Realizado Por:

Franklin Marín

C.I: 19.435.096

Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez

Extremos no Restrictos con dos Variables

Se dice que una función z=f(x,y) tiene un máximo relativo en x=a y y=b, si para

todos los puntos (x,y) “suficientemente cercanos” a (a,b):

f(a,b) >= f(x,y)

Un máximo relativo suele aparecer en la parte superior de un montículo de

la superficie que representa a f(x,y).

Se dice que una función z=f(x,y) tiene un mínimo relativo cuando x=a y y=b,

si para todos los puntos (x,y) “suficientemente cercanos” a (a,b):

F(a,b) <= f(x,y)

Un mínimo relativo suele aparecer en la parte inferior de un montículo de la

superficie que representa a f(x,y).

Los criterios para determinar si se trata de un máximo, un mínimo o un

punto de silla son los siguientes:

1-. Se tiene un máximo o un mínimo relativo si: D(x*,y*)>0.

a) El punto crítico es un máximo relativo si tanto fxx(x*,y*) como

fyy(x*,y*) son negativas.

b) El punto crítico es un mínimo relativo si tanto fxx(x*,y*) como

fyy(x*,y*) son positivas.

2-. Si D(x*,y*)<0, el punto crítico es un punto de silla.

3-. Si D(x*,y*)=0, se necesitan otras técnicas para determinar la naturaleza

del punto crítico.

Ejercicios de Extremos no Restrictos con

dos Variables

Ejercicio 1:

1) f (x , y) = x² + y² - 2x

1. Obtenemos las derivadas parciales de primer orden, las igualamos a cero, y

resolvemos el sistema:

La única solución de este sistema es x = 1, y = 0.

2. Obtenemos las derivadas parciales de segundo orden:

Extremos no Restrictos con dos Variables

y calculamos:

3. Tenemos, . Por tanto, en el punto (1, 0)

tenemos un mínimo local.

Ejercicio 2:

2) f (x , y) = x² + y²

1. Obtenemos las derivadas parciales de primer orden, las igualamos a cero, y

resolvemos el sistema:

La única solución de este sistema es x = 0, y = 0.

Ejercicios de Extremos no Restrictos con

dos Variables2. Obtenemos las derivadas parciales de segundo orden:

y calculamos:

3. Tenemos, . Por tanto, en el

punto (0,0) tenemos un mínimo local.

Llamados así en honor al matemático, físico y

astrónomo Joseph Lagrange, son un procedimiento para

encontrar el punto máximo y mínimo de una función de

varias variables sujetas a restricciones. El método se

reduce a un problema de restringido con una n

cantidad de variables o a uno sin restricciones. Dichas

variables son nombradas como multiplicadores de

Lagrange.

El método dice que: los puntos donde la función tiene

un extremo condicionado con una cantidad de

restricciones, se encuentran entre los puntos

estacionarios de una nueva función sin restricciones

como una combinación lineal de la función y las

funciones implicadas en las restricciones, cuyos

coeficientes son los multiplicadores.

Este método hace uso de derivadas parciales y de

la regla de la cadena para funciones de varias

variables.

En él se busca extraer una función implícita de las

restricciones, y encontrar las condiciones para que las

derivadas parciales con respecto a las variables

independientesde la función sean iguales a cero.

Uso

Este método de Lagrangue se puede utilizar para la solución de

problemas en optimización dinámica, ya que se encuentra

vinculado a la resolución de problemas de optimización de

campos escalares sujetos a restricciones de las variables. Dentro

de la optimización de restricción es utilizada para resolver

situaciones de complejidad mayor, restricciones de igualdad y

desigualdad y transformación de situaciones. Así como también se

pueden utilizar para resolver problemas no lineales.

Campo de AplicaciónEste tipo de cálculo o método son aplicados en el campo de la

producción en base a la optimización de los procedimientos

administrativos con respecto a la valuación y determinación de

costos, presupuestos, etc.

Ejemplo:

Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con

volumen máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de

longitud cuadradas).

Solución:

Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar,

en este caso, es la función volumen del cilindro circular recto. La

expresión de volumen para un cilindro circular recto es:

V(h,r) = πhr²

h: es la altura del cilindro

r: es el radio del cilindro

La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que la

superficie de la caja será igual a 24π (unidades de longitud

cuadradas), escribimos la expresión de la superficie del envase

cilindro circular recto considerando el fondo del recipiente y su

“tapa”.

S(h,r)= 2 πr² + 2 πhr = 24 π

Observe que las expresiones del volumen y de la superficie

están dadas respecto a las mismas dos variables: h y r.

Determinamos los gradientes.

a) primero de la función a maximizar, la función volumen

Vh = πr²

Vr = 2 πhr

hrrV rh 2,2

,

b) luego el gradiente de la restricción

Sh =2πr

Sr = 4πr + 2 πh

hrrS rh 24,2,

La ecuación de Lagrange se escribe:

hrr 2,2= hrr 24,2

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación

de cada componente:

πr² = λ 2πr …ec nº 1

2 πhr = λ (4πr + 2 πh) …ec nº 2, además de

2 πr² + 2 πhr = 24 π …ec nº 3

Despejando λ de las ecuaciones nº 1 y nº 2, se tiene:

22

2 r

r

r

hr

hr

hr

hr

222

2

Al igualar ambas se obtiene:

hr

hrr

22

hrhrr 22

hhr 22

rh 2 , se sustituye en la ecuación nº 3 y se obtiene:

2 πr² + 2 π2rr = 24 π

2 πr² + 4πr² = 24 π

6 πr² = 24 π

r² = 4

r = ± 2, pero solo se considera el valor positivo ya que r

representa una distancia, así que el valor del radio r es 2, la

altura h=4.

Finalmente se concluye que las dimensiones que producen el

volumen máximo de un cilindro circular recto para una superficie de

24 π son: h = 4 ; r = 2

Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden

de una función. Esta función está determinada por m funciones

reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn). Las derivadas parciales de

estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la

matriz Jacobiana de F:

Esta matriz se denota por

o

Ejemplo:

Estas condiciones se nombran en honor de Harold W. Kuhn,

miembro emérito del Departamento de Matemáticas de Princeton,

y Albert W. Tucker, quien formuló por primera vez y estudió las

condiciones.

El teorema que las soporta se basa en las condiciones

necesarias de optimalidad que constituyen la generalización de las

funciones dadas por Lagrange para problemas con restricciones de

desigualdad. Por lo tanto, para poder aplicarla este método será

necesario en primer lugar que todas las funciones que intervengan en

el problema admitan derivadas parciales de primer orden continuas.

En este método se tiene en cuenta el proceso de maximización

por lo cual los resultados a considerar son aquellos diferentes de 0 o

valores positivos, pero teniendo siempre en consideración que se

deben conservar los valores negativos como referencia en las

graficas. Ya que además dentro de este método se busca expresar los

resultadosmediante gráficas que puedan utilizarse para la

interpretación de los resultados obtenidos.

Dicho método fue creado con la finalidad de demostrar condiciones

que no son sencillas de verificar pero que si es posible hacerlo

mediante una serie de cálculos basados en hipótesis de

restricciones.

Campo de Aplicación

Esta se encuentra enfocada al campo de la investigación de

mercadeo en condiciones de desigualdad para determinar cuál de

ellas se cumple en una solución. Dicho método es de gran

aplicabilidad dentro del campo de la economía y en el mercadeo de

capital.