Método de las dos fases

Capítulo 6 Método de las dos fases

Cj 4 1 M 0 M 0 ↓ V.B. b X1 X2 X3 X4 X5 X6 M X3 3 3 1 1 0 0 0 M X3 6 4 3 0 -1 1 0 0 X6 4 1 2 0 0 0 1 Zj - Cj 9M 7M-4 4M-1 0 -M 0 0

Cómo evitar usar la gran M Introducción Como en el computador se usa la gran M, “Un número muy grande”, existe un efecto de error en los cálculos, ya que la gran M tiende a infinito, para evitar usar la gran M, se diseño el Método de las dos fases. Fase I Minimizar la suma de las variables de Super-Avit ó Artificiales, usadas en el problema. Si Z = 0 , proceder con la fase II Si Z es diferente de cero, el problema no tiene solución Fase II Use la solución de la fase I como solución inicial factible de la fase II, teniendo en cuenta que todas las variables de Super-Avit ó Artificiales son iguales a cero.

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Método de las dos fases

Ejemplo

Fase I Min Z = 4X1 + X2 Min Z = 4X1 + X2 + MX3 + MX5 Min Z = X3 + X5 C.S.R. C.S.R. C.S.R.

3X1 + X2 = 3 3X1 + X2 + X3 = 3 3X1 + X2 + X3 = 3 4X1 + 3X2 > 6 4X1 + 3X2 – X4 + X5 = 6 4X1 + 3X2 – X4 + X5 = 6

X1 + 2X2 < 4 X1 + 2X2 + X6 = 4 X1 + 2X2 + X6 = 4 XJ > 0 ; J = 1,2 XJ > 0 ; J = 1,2,3,4,5,6 XJ > 0 ; J = 1,2,3,4,5,6

Fíjese Que en la fase I , siempre será Minimizar la suma de todas las variables Artificiales que tenga el problema. A continuación procedemos a solucionar el problema planteado, usando el método simplex, ya sea manualmente ó mediante el software Winqsb. De forma manual, los resultados son los siguientes:

Cj 0 0 1 0 1 0 ↓ V.B. b X1 X2 X3 X4 X5 X6

b/a

1 X3 3 3 1 1 0 0 0 1 (1/3) 1 X5 6 4 3 0 -1 1 0 3/2 0 X6 4 1 2 0 0 0 1 4 Zj - Cj 9 7 4 0 -1 0 0

Cj 0 0 1 0 1 0 ↓ V.B. b X1 X2 X3 X4 X5 X6

b/a

0 X1 1 1 1/3 1/3 0 0 0 3 (-4)(-1) 1 X5 2 0 5/3 -4/3 -1 1 0 6/5 (3/5) 0 X6 3 0 5/3 -1/3 0 0 1 9/5 Zj - Cj 2 0 5/3 -7/3 -1 0 0

Cj 0 0 1 0 1 0 ↓ V.B. b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X1 3/5 1 0 3/5 1/5 -1/5 0 0 X2 6/5 0 1 -4/5 -3/5 3/5 0 (-1/3)(-5/3) 0 X6 1 0 0 1 1 -1 1 Zj - Cj 0 0 0 -1 0 -1 0

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Método de las dos fases

Fíjese Que aquí Z* = 0 Fase II Con la solución óptima de la fase I, planteamos el siguiente problema:

Min Z = 4X1 + X2 Min Z = 4X1 + X2 C.S.R. C.S.R. X1 + 3/5X3 + 1/5X4 – 1/5X5 = 3/5 X1 + 1/5X4 = 3/5

X2 – 4/5X3 – 3/5X4 + 3/5X5 = 6/5 X2 – 3/5X4 = 6/5 X3 + X4 – X5 +X6 = 1 + X4 +X6 = 1

XJ > 0 ; J = 1,2,3,4,5,6

En la fase I, establecimos que X3 = X5 = 0 Luego las eliminamos de las restricciones XJ > 0 ; J = 1,2,4,6

Fíjese que el nuevo problema no tiene la gran M, ya que han dejado de figurar las variables Artificiales, en atención a que ya sabemos que efectivamente son iguales a cero. La solución al nuevo problema se halla mediante el método simplex. Así:

Cj 4 1 0 0 ↓ V.B. b X1 X2 X4 X6

b/a

4 X1 3/5 1 0 1/5 0 3 1 X2 6/5 0 1 -3/5 0 NO 0 X6 1 0 0 1 1 1 (1) Zj - Cj 18/5 0 0 1/5 0

Cj 4 1 0 0 ↓ V.B. b X1 X2 X4 X6 4 X1 2/5 1 0 0 -1/5 1 X2 9/5 0 1 0 3/5 0 X4 1 0 0 1 1 (-1/5)(3/5) Zj - Cj 17/5 0 0 0 -1/5

Solución X1* = 2/5 X2* = 9/5 Z * = 17/5

X4* = 1 X6* = 0

X3* = X5* = 0

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Método de las dos fases

Nota: El lector debe resolver el ejemplo, empleando el método simplex con la gran M y comparar los tableros con los del método de las dos fases, para observar que el método de las dos fases, lo que hace es evitar los tableros en donde figura la gran M.

Ejercicios propuestos Resolver empleando el método de las dos fases, todos los ejercicios resueltos y propuestos de los capítulos 4 y 5 que usen la gran M.

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