MÉTODO DE LA RIGIDEZ ALUMNO : Jhon Patrik Ramírez ReáteguiCURSO : Análisis EstructuralCARRERA : Ingeniería CivilCICLO : VIIDOCENTE : Ing. Civil Edy Vásquez Panduro

CONCEPTO DE RIGIDEZ

Capacidad de resistencia de un cuerpo a doblarse o torcerse por la acción de fuerzas exteriores que actúan sobre su superficie.

RELACIONES FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO ESTRUCTURAL

MÉTODO DE RIGIDEZ=MÉTODO DE EQUILIBRIO

COEFICIENTE DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

COEFICIENTE DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

SISTEMA DE COORDENADAS , CISCRETIZACIÓN

RIGIDECES DE BARRAS ELEMENTALES

EJERCICIO APLICATIVO

Análisis de una armadura con un rodillo en un plano inclinado empleando el método de la rigidez matricial.

Use el análisis matricial de la rigidez para determinar las reacciones en los soportes y las fuerzas internas de la armadura que se muestra en la figura cuyo apoyo simple tiene un plano de deslizamiento inclinado a 45° respecto a la horizontal. Considere como constante.𝐴𝐸

SOLUCIÓN

Se numeran los nodos y los elementos con un orden indistinto. Recuerde que la punta de la flecha en cada elemento está dirigida hacia el extremo alejado , por lo que el extremo 𝐹contrario es el cercano , del mismo. En los elementos 1 y 2, el 𝑁extremo lejano tiene que ser forzosamente el nodo ②, ya que es ahí donde está el soporte girado, figura b. Por conveniencia, se establece el origen de las coordenadas globales , en el nodo 𝑥 𝑦③. Como el soporte en rodillos ② se encuentra sobre un plano inclinado, en este nodo se emplean ejes nodales ´´, ´´.𝑥 𝑦

Evidentemente la dirección ´´ debe coincidir con el plano de 𝑥deslizamiento del soporte inclinado y ´´ es perpendicular a ´´. Se 𝑦 𝑥codifican los desplazamientos de tal modo que primero estén los desconocidos o no restringidos y después los conocidos o restringidos; puesto que la línea de acción de la fuerza reactiva del soporte ② se dirige hacia ´´, el desplazamiento codificado como 4 está restringido y 𝑦es nulo. Los números entre paréntesis de color morado son alusivos a las coordenadas , del nodo, mientras que los de color rojo indican las 𝑥 𝑦coordenadas ´´, ´´.𝑥 𝑦

Las coordenadas en los ejes ´´, ´´ para los nodos ① y ③ pueden 𝑥 𝑦obtenerse por trigonometría con base en la figura 2-6c.

𝑎 = 3 45° = 2.1213 = 3 45° = 2.1213𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑚 𝑏 𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑐 = 4 45° = 2.8284 = 4 45° = 2.8284𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑚 𝑑 𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝑚

Cosenos directores y matriz de rigidez global para cada elemento

Figúrese que un elemento de armadura está conectado a un rodillo inclinado en su extremo . Al tener un sistema de coordenadas globales 𝐹

, en el nodo cercano , y un sistema de coordenadas nodales ´´, 𝑥 𝑦 𝑁 𝑥 𝑦´´ en el nodo lejano , deben calcularse cosenos directores para ambos 𝐹sistemas de coordenadas. Evidentemente, los cosenos directores y 𝜆𝑥

del primer sistema se siguen evaluando con las ecuaciones 2 − 2 y 2 𝜆𝑦− 3. En tanto, los correspondientes al segundo sistema se determinan como sigue:

Donde: 𝜃𝑥´´, ´´ = ángulos más pequeños entre los ejes ´´, ´´ globales 𝜃𝑦 𝑥 𝑦

positivos y el eje local ´ positivo.𝑥 𝑥´´ , ´´ = coordenadas ´´, ´´ del extremo cercano del 𝑁 𝑦 𝑁 𝑥 𝑦 𝑁

elemento en turno. 𝑥´´ , ´´ = coordenadas ´´, ´´ del extremo lejano del elemento 𝐹 𝑦 𝐹 𝑥 𝑦 𝐹

en turno. 𝐿 = longitud del elemento. Luego, la matriz de rigidez en coordenadas globales de un elemento 𝑖

bajo estas condiciones es

Donde: 𝐴 = área de la sección transversal del elemento. 𝐸 = módulo de elasticidad del elemento. 𝐿 = longitud del elemento. 𝑁𝑥 , = número de código del grado de libertad global asociado con 𝑁𝑦

el extremo cercano en las direcciones y respectivamente del 𝑁 𝑥 𝑦elemento en turno.

𝐹𝑥´´, ´´ = número de código del grado de libertad nodal asociado 𝐹𝑦con el extremo lejano en las direcciones ´´ y ´´ respectivamente 𝐹 𝑥 𝑦del elemento en turno.

𝜆𝑥 , = cosenos de y respectivamente.𝜆𝑦 𝜃𝑥 𝜃𝑦 𝜆𝑥´´, ´´ = cosenos de ´´ y ´´ respectivamente.𝜆𝑦 𝜃𝑥 𝜃𝑦

Debido a que los elementos 1 y 2 están conectados a un soporte inclinado, tienen números de código en la dirección de los ejes globales y nodales, en consecuencia, se aplican las expresiones 2 − 2, 2 − 3, 2 − 16 y 2 − 17 para obtener sus cosenos directores en ambos sistemas coordenados, y la matriz de rigidez de cada uno de ellos se calcula empleando la ecuación 2 − 18. Por otra parte, el elemento 3 sólo tiene cosenos directores y , así que su matriz de rigidez global se 𝜆𝑥 𝜆𝑦desarrolla de la forma habitual, es decir, mediante la ecuación 2 − 4. A partir de la figura b y de la información proporcionada al inicio del problema se tienen los datos de las tablas 2-1, 2-2 y 2-3.

Matriz de rigidez de la estructura Para obtener la matriz de rigidez de la estructura, se

ensamblan las tres matrices anteriores siguiendo el procedimiento acostumbrado. Puede verse que 𝐾tiene un orden de 6 6 debido a que seis grados de 𝑋libertad fueron identificados en la armadura, además, la partición en ella se efectúa como siempre.

Vectores de desplazamientos y de cargas De la figura b, se observa que los desplazamientos codificados con 1 y 2

corresponden a las componentes horizontal y vertical del desplazamiento en el nodo ①, así que 1 = Δ 1 y 2 = 1; también puede verse que el 𝐷 𝐻 𝐷 𝛿𝑉desplazamiento 3 viene siendo el desplazamiento resultante del nodo ②, por lo que 3 = Δ2. Dadas las restricciones de los soportes ② y ③, los desplazamientos 𝐷con códigos 4, 5 y 6 son inexistentes, entonces, 4 = 5 = 6 = 0.𝐷 𝐷 𝐷

Por otro lado, en la dirección 1 se encuentra aplicada una carga de 30 en el 𝑘𝑁sentido positivo de , de modo que 1 = 30 , mientras que en las direcciones 𝑥 𝐶 𝑘𝑁2 y 3 no hay cargas externas, de ahí que 2 = 3 = 0. Además, en la dirección 4 𝐶 𝐶se presenta la fuerza reactiva resultante del soporte ②, es por eso que 4 = 2, 𝐶 𝑅y en las direcciones 5 y 6 ocurren las reacciones en y del soporte ③, en 𝑥 𝑦consecuencia, 5 = 3 y 6 = 3 . Siendo así, las matrices y son, 𝐶 𝑅 𝑥 𝐶 𝑅 𝑦 𝐷 𝐶respectivamente