Método de la Falsa Posición.

Introducción

    Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de aproximación por "fuerza bruta" es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica.

    Un inconveneiente del método de bisección es que al dividir el intervalo de x1 a xu en mitades iguales, no se toman en cuenta las magnitudes de f(x1) y f(xu). Por ejemplo, si f(x1) está mucho más cercana a cero que f(xu), es lógico que la raíz se encuentre más cerca de x1 que de xu. Un método alternaticvo que aprovecha esta visualización gráfica consiste en unir f(x1) y f(xu) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las x representa un mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta de una "falsa posición" de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín, regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal.

 

Fórmula

Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x se estima mediante:

Multiplicando en cruz la ecuación anterior obtenemos:

Agrupando términos y reordenando:

Dividiendo entre

Esta es una de las formas del método de la falsa posición. Esta puede ponerse en una forma alternativa al separa los términos:

sumando y restando xu en el lado derecho:

Agrupando términos se obtiene:

o:

Esta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la ecuación reemplazará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de la función con el mismo signo de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada.

Algoritmo

Paso 1: Elija valores iniciales inferior, xi, y superior xu, que encierran la raíz, de forma tal que la funciòn cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(xl) f(xu) <0.

Paso 2: Una aproximación de la raíz xr se determina mediante:

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué subintervalo está la raíz:

a) Si f(xl)f(xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga xu = xr y vuelva al paso 2.

b) Si f(xl)f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga xl = xr y vuelva al paso 2.

c) Si f(xl)f(xr) = 0, la raíz es igual a xr; termina el cálculo.

 

Applet

Pseudocódigo

FUNCTION FalsaPos(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)    iter=0    fl=f(xl)    DO        xrold=xr        xr=xu-((f(xu)*(xl-xu))/(f(xl)-f(xu)))        fr=f(xr)        iter=iter+1        IF xr!=0 THEN            ea=ABS((xr-xold)/xr)*100        END IF        test=fl*fr        IF test<0 THEN            xu=xr        ELSE IF test>0 THEN            xl=xr            fl=fr        ELSE            ea=0        END IF        IF ea<es OR iter >= imax EXIT    END DOFlasaPos=xrEND FalsaPos

Método de la Müller.

Introducción

Este método utilizado para encontrar raíces de ecuaciones  con raíces múltiples, y consiste en obtener los coeficientes de la parábola que pasa por tres puntos elegidos. Dichos coeficientes son sustituidos en la formula cuadrática para obtener el valor donde la parábola intersecta al eje X; es decir, la raíz estimada. La aproximación se puede facilitar, si se escribe la ecuación de la parábola en una forma conveniente.

Una de las mayores ventajas de este método, es que al trabajar con la formula cuadrática es posible localizar tanto raíces reales, como raíces complejas.

Fórmula

Los tres valores iniciales necesitados son denotados como xk, xk-1 y xk-2. La parábola pasa a través de los puntos: (xk, f(xk)), (xk-1, f(xk-1)) y (xk-2, f(xk-2)), si se escribe en la forma de Newton, entonces:

donde f[xk, xk-1] y  f[xk, xk-1, xk-2] denotan restas divididas. Esto puede ser escrito como:

donde

La próxima iteración esta dada por la raíz que brinda la ecuación  y = 0.

 

Applet

Método de la Secante.

Introducción

Es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iniciales, los cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la ecuación que se esta analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para conocer si es la raíz que se busca.

Al ser un método abierto, converge con la raíz con una velocidad semejante  a la de Newton-Raphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca. Su principal diferencia con el método de Newton-Raphson es que no se requiere obtener la derivada de la función para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un código para encontrar raíces por medio de este método.

Fórmula

 

Debido a que el método de la secante se basa en el método de Newton-Raphson, pero evitando el usar la derivada de la función. Lo anterior lo logra haciendo uso de la siguiente aproximación:

                                        

Si se sustituye dicha aproximación en el lugar de la derivada en la formula de newton-Raphson, se obtiene lo siguiente:

                                        

                                         

 

Applet

Método de Aproximación gráfica.

Introducción

El método de la Aproximación gráfica es el método mas sencillo pero el menos indicado, debido a que solo vas a ir dando valores a la incógnita de una función hasta llegar al punto mas cercano de la raíz.

 

 

 

 

 

Fórmula

Para este Método no hay formula alguna solo se utiliza la ecuación desea , por ejemplo f(x)= x3+2x2+10x-20=0, y se le daría valor a x hasta llegar al resultado deseado.

 

 

 

 

Algoritmo

Aquí se pondrá un ejemplo de como llevar acabo la  aproximación gráfica:

 f(x)= x3+2x2+10x-20=0

x f(x)4 683 372 121 -7

 

 

 

 

 

Pseudocódigo

En este caso no utilizaremos Pseudocódigo utilizaremos un ejemplo hecho en Mathlab :

x=-10:0.0001:10;

y=(x.^3)+2*(x.^2)+10*x-20

plot(x,y)

grid