método de la bisección
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Método de la bisecciónPaso a paso
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Paso 1Identificar tu función en este caso tu función es:
F(x)=x3-x-1
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Paso 2• Darle valores a x desde -3 a 3 como es muestra en la tabla
Valores en x F(X)=X3-X-1-3
-2
-1
0
1
2
3
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Paso 3• Evaluar la función F(x)=x3-x-1 dándole valores a x desde -3 a 3 como es
muestra en la tabla. Por ejemplo F(x)=(-3)3-(-3)-1 que nos daría un valor de -25.
Valores en x F(X)=X3-X-1-3 -25
-2 -7
-1 -1
0 -1
1 -1
2 5
3 23
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Paso 4• Observamos que cuando evaluamos la función en 1 nos da -1.• Y cuando evaluamos la función en 2 nos da 5 • Por lo tanto el cambio de valor de -1 a 5 nos da el intervalo por donde
va pasar nuestra recta en el eje x ,entonces tomaremos los valores de 1 y 2.
Valores en x F(X)=X3-X-1-3 -25
-2 -7
-1 -1
0 -1
1 -1
2 5
3 23
Por lo tanto nuestro intervalo queda como (1,2).
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Paso 5
Realizar tu tabla en donde trabajaras los valores como la siguiente:Nota:Se va ir haciendo mas grande la tabla dependiendo del numero de iteraciones que hagamos.
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
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Paso 6
Tomamos el intervalo que obtuvimos en la diapositiva 5 y lo colocamos en la casilla de intervalo.
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
(1,2)
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Paso 7
Colocamos el valor de 1 en la casilla de x1 Colocamos el valor de 2 en la casilla de x2
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
1 2 (1,2)
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Paso 8
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 2 (1,2)
I=Numero de iteraciónEn la casilla de iteración colocaremos el numero de iteraciones que usaremos para acercarnos a la tolerancia que nos piden.En este caso colocaremos 0 ya que en la iteracion se definen los intervalos.
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Paso 9
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 (1,2)
Obtendremos el valor de Xm con la siguiente formulaXm=(x1+x2)/2
Sustituimos valores en la función:Xm=(1+2)/2Nos da un valor de 1.5 que es el que colocaremos en la casilla Xm
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Paso 10
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 (1,2)
Obtendremos el valor de f(x1) evaluando la función x3-x-1Con el valor que esta en la casilla x1
Sustituimos valores en la función:F(x1)=(1)3-(1)-1
Nos da un valor de -1 que es el que colocaremos en la casilla f(x1)
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Paso 11
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 (1,2)
Obtendremos el valor de f(xm) evaluando la función x3-x-1Con el valor que esta en la casilla xm
Sustituimos valores en la función:F(xm)=(1.5)3-(1.5)-1
Nos da un valor de .875 que es el que colocaremos en la casilla f(xm)
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Paso 12
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 (1,2)
Obtendremos el valor de f(x2) evaluando la función x3-x-1Con el valor que esta en la casilla x2
Sustituimos valores en la función:F(x2)=(2)3-(2)-1
Nos da un valor de 5 que es el que colocaremos en la casilla f(x2)
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Paso 13
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
T=ToleranciaObtendremos el valor de T con la siguiente formulaT=(x2-x1)/2Sustituimos valores en la función:T=(2-1)/2Nos da un valor de .5 que es el que colocaremos en la casilla T
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Paso 14
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
Ya tenemos la primera fila completa.El numero de iteraciones que tenemos que realizar depende de la tolerancia que nos dan en este caso nuestra tolerancia es de T=.001 y como vemos la tolerancia que tenemos es de .5 por lo tanto no estamos cerca de la tolerancia deseada.Entonces se realizaran las iteraciones necesarias hasta llegarHasta la tolerancia deseada.
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Paso 15
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
1.5
Ahora comenzaremos ha construir la segunda fila.Para poderla construirla tenemos que determinar el valor de x1 y x2 lo haremos bajo los siguientes criterios:
F(x1)*f(xm)<0 ---- x2=xm Si el producto de f(x1) y f(xm)es menor a 0 x2 es igual que xmF(x1)*f(xm)>0 ---- x1=xm Si el producto de f(x1) y f(xm) es mayor a 0 x1 es igual que xm
Entonces obtendremos el resultado del producto sustituyendo valores(-1)*(.875)= -.875 Nuestro resultado es menor a 0 por lo tanto el valor de x2=xm.Entonces colocamos el valor de xm que es 1.5 en la casilla x2 de la segunda fila.
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Paso 16
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
1.5 (1,1.5)
Ya obtuvimos el valor de x2 entonces nuestro nuevo intervalo es de (1,1.5)Este nuevo intervalo lo colocamos en la casilla de intervalo de la segunda fila.
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Paso 17
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
1 1 1.5 -1 (1,1.5)
Ahora colocaremos el valor de 1 en la casilla de iteración de la segunda fila.Como podemos observar el valor de x1 no cambio por lo tanto transferiremos los valores de x1 y f(x1) a la fila 2.
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Paso 18
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
1 1 1.25 1.5 -1 (1,1.5)
Obtendremos el valor de Xm con la siguiente formulaXm=(x1+x2)/2
Sustituimos valores en la función:Xm=(1+1.5)/2Nos da un valor de 1.25 que es el que colocaremos en la casilla Xm
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Paso 19
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
1 1 1.25 1.5 -1 -.2968 (1,1.5)
Obtendremos el valor de f(xm) evaluando la función x3-x-1Con el valor que esta en la casilla xm
Sustituimos valores en la función:F(xm)=(1.25)3-(1.25)-1
Nos da un valor de - .2968 que es el que colocaremos en la casilla f(xm)
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Paso 20
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
1 1 1.25 1.5 -1 -.2968 .875 (1,1.5)
Como el valor de x2 cambio por el de xm. En la casilla f(x2) se transfiere el valor de f(xm) a dicha casilla.
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Paso 21
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
1 1 1.25 1.5 -1 -.2968 .875 .25 (1,1.5)
Por ultimo obtendremos el valor de T con la siguiente formulaT=(x2-x1)/2Sustituimos valores en la función:T=(1.5-1)/2Nos da un valor de .25 que es el que colocaremos en la casilla T
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Paso 22
I X1 Xm X2 F(x1) F(xm) F(x2) T Intervalo
0 1 1.5 2 -1 .875 5 .5 (1,2)
1 1 1.25 1.5 -1 -.2968 .875 .25 (1,1.5)
Hemos completado la segunda columna.Observamos que la T(tolerancia) no esta cerca a nuestra tolerancia deseada que es de T=.001 entonces repetiremos el procedimiento hasta que lleguemos a ella para eso repetiremos el mismo procedimiento a partir de la diapositiva numero 15.