MÉTODO DE CRAMER• Teorema que da la solución de un sistema lineal

de ecuaciones en términos de determinantes.

• Sea un sistema de ecuaciones nxn donde:

A es matriz de los coeficientesXi es la fila i-ésima de X (matriz de las variables)Ai es la matriz que tiene los mismos elementos

de A, excepto los de la i-ésima columna, en la que constan los términos independientes.

Pasos para calcular sistemas de

ecuaciones por el método de Cramer

Criterios para la solución

•El sistema debe tener el mismo número de ecuaciones como de incógnitas.

•El método es aplicable únicamente si el determinante de la matriz ampliada es distinto de cero.

1. Colocar las ecuaciones una debajo de otra

Donde X, Y y Z son las incógnitas

2. Extraer los coeficientes de cada ecuación y expresarlos en la forma de matriz ampliada

A=

3. Calcular el determinante de la matriz ampliada.

W

A

W

Para el calculo de X1. Reemplazamos los coeficientes de la columna X por equivalencias del sistema de ecuaciones.

Q=

La matriz Q es la nueva matriz ampliada

Aplicamos la siguiente fórmula para el cálculo de X

=tX=

Para el cálculo de Y 1. Reemplazamos los coeficientes de la columna Y por equivalencias del sistema de ecuaciones.

R=

La matriz R es la nueva matriz ampliada

Aplicamos la siguiente fórmula para el cálculo de Y

= sY=

Para el cálculo de Y 1. Reemplazamos los coeficientes de la columna Z por equivalencias del sistema de ecuaciones.

U=

La matriz U es la nueva matriz ampliada

Aplicamos la siguiente fórmula para el cálculo de Z

= vZ=

Ejemplo:

X= 1

Y=-2

Z=3

* SISTEMAS DE ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONES

Una vez aplicado Gauss o Gauss-Jordan, el sistema tieneinfinitas soluciones si el número de ecuaciones válidas es menor al número de incógnitas. Ejemplo:

{2𝑥−9 𝑦−𝑧=−32𝑥−4 𝑧=4

Un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones cuando las líneas son paralelas, es decir, tienen la misma pendiente, y tienen los mismos-y de intersección.

{ 𝒙−𝟐 𝒚+𝒛=𝟎𝒙−𝟑 𝒚 −𝟐 𝒛=𝟎𝟐 𝒙−𝟓 𝒚 −𝒛=𝟎

|1 −2 11 −3 −22 −5 −1|¿3+8−5+6−2−10¿0

(1 −2 11 −3 −22 −5 −1|

000) (1 −2 1

0 −1 −30 −1 −3|

000)≈ ≈(1 −2 1

0 −1 −30 0 0 |000)

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

𝐹 2=𝐹 2−𝐹1

𝐹 3=𝐹 3−2𝐹1

𝐹 3=𝐹 3−𝐹 2

(1 −2 10 −1 −3|00) ∴∃∞𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑥−2 𝑦+𝑧=0𝑥−2 (−3𝑧 )+𝑧=0

𝑥+6 𝑧+𝑧=0𝑥=−7 𝑧

− 𝑦−3 𝑧=0𝑦=−3𝑧

𝑪𝑺 {−𝟕𝒛 ;−𝟑 𝒛 }/𝒛∈ℝ