clase 07 - método de pendiente deflexión.pdf

Carlos Alberto Riveros Jerez

Departamento de Ingeniería

Sanitaria y Ambiental

Facultad de Ingeniería

Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Análisis Estructural Método de Pendiente Deflexión

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 3

Calcular los momentos de la viga. Los asentamientos en los

soportes son:

A=32mm B=62mm C=70mm D=28mm

E=210GPa I=800 (10^6) mm4


MOMENTOS POR CARGAS EXTERNAS:

• Tramo AB:

• Tramo BC:



Solución 3

2 2

AB 2 2

2 2

BA 2 2

(Pab ) (300)(3)(3 )FEM =- =- = -225 kNm

l 6

(Pab ) (300)(3)(3 )FEM = = =225 kNm

l 6

2 2

BC 2 2

2 2

BA 2 2

Pab (200)(3)(3 )FEM =- =- = -150 kNm

l 6

(Pab ) (200)(3)(3 )FEM = = =150 kNm

l 6

• Tramo CD(igual al tramo AB):

EFECTOS DE ASENTAMIENTO:

• Tramo AB:


Solución 3


2 2

CD 2 2

2 2

DC 2 2

(Pab ) (300)(3)(3 )FEM =- =- = -225 kNm

l 6

(Pab ) (300)(3)(3 )FEM = = =225 kNm

l 6

0.03m= =0.005

6ml

△

• Tramo BC:

• Tramo CD:



Solución 3

0.008m= =0.00133

6ml

△

0.042m= =0.007

6ml

△

ECUACIÓN DE MOMENTO:

Sabiendo que EI=16800 kNm



Solución 3

AB AB A B

AB A B

BA BA A B

BA A B

BC BC B C

BC B C

CB CB B C

CB

2EI 3M =FEM + (2θ +θ - )

L LM =-225+56000(2θ +θ -0.015)

2EI 3M =FEM + ( +2 - )

LM =225+56000( +2 -0.015)

2EI 3M =FEM + (2 + - )

LM =-150+56000(2 + -0.00399)

2EI 3M =FEM + ( +2 - )

LM =150+

L

L

L

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

△

△

△

△

B C

CD CD C D

CD C D

DC DC C D

DC C D

56000( +2 -0.00399)

2EI 3M =FEM + (2 + - )

LM =-225+56000(2 + +0.021)

2EI 3M =FEM + ( +2 - )

LM =225+56000(2 + +0.021)

L

L

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

△

△

• Ecuaciones de equilibrio:

luego como las rotulas y las articulaciones no soportan

momentos; se tiene:

Luego de (1):


Solución 3


AB

BA BC

CB CD

DC

M =0 (1)

M +M =0 (2)

M +M =0 (3)

M =0 (4)

A B-225+56000(2 + -0.015)=0 (a)θ θ

De (2):

De (3):

De (4):


Solución 3


A B B C225+56000( +2 -0.015)-150+56000(2 + -0.00399)=0 ( b)θ θ θ θ

B C C D150+56000( +2 -0.00399)-225+56000(2 + -0.021)=0 (c)θ θ θ θ

C D225+56000(2 + -0.021)=0 (d)θ θ

Resolviendo (a), (b), (c) y (d):


Solución 3

AB

BA

BC

CB

CD

DC

M =0

M =153.88 kNm

M =-153.88 kNm

M =-107.08 kNm

M =107.08 kNm

M =0

A

B

C

D

=0.0081 rad

=0.0028 rad

=-0.0017 rad

=-0.0117 rad

θθθθ

Encontrar los diagramas de momento y cortante para una viga

continúa de dos luces de igual longitud .

W

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:



Ejemplo 4

2 2

AB BC

2 2

CB BA

-WL -WLFEM = FEM =

12 12WL WL

FEM = FEM =12 12

ASENTAMIENTOS:

Δ=0

ECUACIONES DE PENDIENTE DEFLEXION:



Solución 4

2

AB A B

2

BA A B

2

BC B C

2

CB B C

2EI WLM = (2 + )- (1)

L 122EI WL

M = ( +2 )+ (2)L 12

2EI WLM = (2 + )- (3)

L 122EI WL

M = ( +2 )+ (4)L 12

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

Además se sabe que:

Organizando las ecuaciones (6) en (1) y (7) en (4) se obtiene:

De (2):



Solución 4

BA BC

AB

CB

M +M =0 (5)

M =0 (6)

M =0 (7)

2

A B

2

B C

4EI 2EI WL+ - =0 (8)

L L 122EI 4EI WL

+ + =0 (9)L L 12

θ θ

θ θ

2

BA A B

2EI 4EI WLM + + (10)

L L 12θ θ=

De (3) :

De (5):

De (8) se tiene que:

De (13) en (12) se tiene que:



Solución 4

2

BC B C

4EI 2EI WLM + - (11)

L L 12θ θ=

A B C

2 EI 8EI 2EI+ + =0 (12)

L L Lθ θ θ

3B

A

WL= - (13)

48EI 2

θθ

3

B C

WL 2=- - (14)

168EI 7θ θ





Solución 4


3

C

WL=- (15)

48EIθ

B=0 (16)θ

3

A

WL= (17)

48EIθ

• Momentos:

Sustituyendo (15), (16) y (17) en (10) se obtiene:

Sustituyendo (15), (16) y (17) en (11) se obtiene:


Solución 4


2

BA

WLM = (18)

8

2

BC

WLM =- (19)

8

Diagrama de cortante y momentos


Solución 4


Encontrar los diagramas de momento y cortante para la viga de la figura, la cual sufre un desplazamiento en el apoyo C de 12 mm.

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:

En este caso no se presentan momentos de empotramiento.

ASENTAMIENTOS:

Δc=12mm



Ejemplo 5



Solución 5

AB A B

BA A B

BC B C

CB B C

2EIM = (2 + ) (1)

L2EI

M = ( +2 ) (2)L

2EI 3M = (2 + - ) (3)

L2EI 3

M = ( +2 - ) (4)L

L

L

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

△

△

CD C D

DC C D

DE D E

ED D E

2EI 3M = (2 + + ) (5)

L2EI 3

M = ( +2 + ) (6)L L

2EIM = (2 + ) (7)

L2EI

M = ( +2 ) (8)L

Lθ θ

θ θ

θ θ

θ θ

△

△

Además se sabe que:

Organizando las ecuaciones para Δ=0.012m y L=7m con (12) en

(1) y (13) en (8) se obtiene:



Ejemplo 5

BA BC

CB CD

DC DE

AB

ED

M +M =0 (9)

M +M =0 (10)

M +M =0 (11)

M =0 (12)

M =0 (13)



Ejemplo 5

A B

A B BA

B C BC

B C CB

C D CD

C D DC

D E DE

D

4EI 2EI+ =0 (14)

7 72EI 4EI

+ -M =0 (15)7 7

4EI 2EI 9EI+ - -M =0 (16)

7 7 61252EI 4EI 9EI

+ - -M =0 (17)7 7 6125

4EI 2EI 9EI+ + -M =0 (18)

7 7 61252EI 4EI 9EI

+ + -M =0 (19)7 7 6125

4EI 2EI+ -M =0 (20)

7 72EI

+7

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ E

4EI=0 (21)

7θ

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que:

• (2) y (3) en (9):

• (4) y (5) en (10):



Ejemplo 5

A B B C

A B C

2EI 4EI 4EI 2EI 9EI+ + + - =0

7 7 7 7 61252 8 2 9

+ + - =0 (22)7 7 7 6125

θ θ θ θ

θ θ θ

B C C D

B C D

2EI 4EI 9EI 4EI 2EI 9EI+ - + + + =0

7 7 6125 7 7 61252 8 2

+ + =0 (23)7 7 7

θ θ θ θ

θ θ θ

• (6) y (7) en (11):

• Despejando θA de (14) y remplazando en (22):

• (25) en (23):



Ejemplo 5

C D D E

C D E

2EI 4EI 9EI 4EI 2EI+ + + + =0

7 7 6125 7 72 8 9 2

+ + + =0 (24)7 7 6125 7

θ θ θ θ

θ θ θ

B B C

B C

1 8 2 9- + + - =0

7 7 7 61252 9

=- + (25)7 6125

θ θ θ

θ θ

C D

D

24 18 8 2- + + + =0

49 42875 7 77 9

=- - (26)26 22750

C

C

θ θ θ

θ θ

• (26) en (24):

• (27) en (21):

• (28) en (27)



Ejemplo 5

D D E

D E

1 9 8 9 2- - + + + =013 79625 7 6125 7

26 108=- - (27)

97 84875

θ θ θ

θ θ

E E

E

52 216 4- - + =0

679 594125 79

= (28)12250

θ θ

θ

D

9=- (29)

6125θ

• (29) en (26):

• (30) en (25):

• (31) en (14)


Ejemplo 5

C =0 (30)θ

B

9= (31)

6125θ

A

9=- (32)

12250θ


CALCULO DE LOS MOMENTOS:

• (32) y (31) en (15):

• (31) y (30) en (16):

• (31) y (30) en (17):



Ejemplo 5

BA

27M = (33)

42875

BC

27M =- (34)

42875

CB

9M =- (35)

8575

• (30) y (29) en (18):

• (30) y (29) en (19):

• (29) y (28) en (20):


Ejemplo 5

CD

9M = (36)

8575

DC

27M = (37)

42875

DE

27M =- (38)

42875


CALCULO DE LAS REACCIONES:

Tramo AB:

Tramo BC:



Ejemplo 5

B AB BA

AB

AB

Y AB BA

BA

M =0: -R (7)-M =0

27-R (7)- =0

30012527

R =-300125

F =0: -R +R =0

27R =

300125

∑

∑

C BC BC CB

BC

BC

Y BC CB

CB

M =0: - R (7)+M +M =0

27 9-R (7)+ + =0

42875 857572

R =300125

F =0: R +R =0

72R =-

300125

∑

∑

• Tramo CD:

• Tramo DE:



Ejemplo 5D CD CD DC

CD

CD

Y CD DC

DC

M =0: -R (7)-M -M =0

9 27-R (7)- - =0

8575 4287572

R =- 300125

F =0: -R +R =0

72R =

300125

∑

∑

D ED DE

ED

ED

Y ED DE

DE

M =0: R (7)+M =0

27R (7)+ =0

30012527

R =-300125

F =0: -R +R =0

27R =

300125

∑

∑

DIAGRAMA DE MOMENTO Y CORTANTE:



Ejemplo 5

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