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el blog de mate de aida: Trigonometría MATEMÁTICAS I pág.1

Medidas de ángulos

Ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas de origen común.

Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales o en radianes.

Medidas en grados (unidades sexagesimales):

El grado es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la

circunferencia de este círculo un arco de longitud o

r

360

2.

Un grado es igual a 60 minutos. Un minuto es igual a 60 segundos.

Un ángulo recto mide 90. Un ángulo llano mide 180. Un ángulo completo mide 360.

Medidas en radianes

En el sistema internacional, SI, la unidad de medida del ángulo es el radián (rad).

El radián es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la

circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio.

Teniendo en cuenta la longitud de una circunferencia (2r), y con la definición de radián dada, podemos

deducir que una circunferencia cualquiera medirá 2 radianes.

Un ángulo recto mide 2 rad. Un ángulo llano mide rad. Un ángulo completo mide 2 rad.

Equivalencia entre grados y radianes.

Para pasar de grados, minutos y segundos, a radianes, se multiplica por y se divide por 180.

Para pasar de radianes a grados, minutos y segundos, se multiplica por 180 y se divide por .

Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Seno del ángulo es la razón entre el cateto

opuesto y la hipotenusa. Se designa por sen .

hipotenusa

opuestocatetosen

Coseno del ángulo es la razón entre el cateto

adyacente y la hipotenusa. Se designa por cos .

hipotenusa

contiguocatetocos


Tangente del ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Se designa por tg .

contiguocateto

opuestocatetotg

A partir de estas tres razones, definimos otras tres inversas de ellas:

Cosecante del ángulo es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

sen

1cos

opuestocateto

hipotenusaec

Secante del ángulo es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto contiguo.

cos

1sec

contiguocateto

hipotenusa

Cotangente del ángulo es la razón que existe entre el cateto contiguo y el cateto opuesto.

tg

1cot

opuestocateto

contiguocatetog

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Observando la figura obtenemos que:

r

ysen ,

r

xcos .

Elevando al cuadrado ambas igualdades y

sumando obtenemos:

1cossen2

2

2

2

2

222

r

r

r

x

r

y , que

se llama relación fundamental y suele

escribirse: 1cossen 22 .

Dividiendo la relación fundamental entre 0sen2 :

22

2

2

2

sen

1

sen

cos

sen

sen

22 coscot1 ecg

Dividiendo la relación fundamental entre 0cos2 :

22

2

2

2

cos

1

cos

cos

cos

sen

22 sec1tg


Razones trigonométricas de: 30 , 45 y 60

Los ángulos de 30 , 45 y 60 aparecen con mucha frecuencia en las formas geométricas. Sus

razones trigonométricas se calculan fácilmente a partir del triángulo equilátero y el cuadrado.

2

3

2

2

2 aa

ah

2

3:

2

3º60sen aa

a

h

222 aaad

2

2

2

1º45sen

d

a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

Consideramos unos ejes coordenados de origen O. Con centro en O, trazamos una circunferencia de

radio r.

Un ángulo es positivo si el giro del primer lado al segundo se realiza en sentido contrario al de las

agujas del reloj. Si el sentido de giro coincide con el de las agujas del reloj, el ángulo es negativo.

Situamos un ángulo “” con su vértice en el origen O y su primer lado en el semieje positivo OX. Se dice

que el ángulo es del cuadrante en el que esté el segundo lado. El segundo lado corta a la circunferencia

en el punto P de coordenadas (x,y).

Para un ángulo cualquiera la

definición de las razones

trigonométricas directas es

la siguiente:

r

y

radio

ordenadasen

r

x

radio

abscisacos

x

y

abscisa

ordenadatg

y

x

Pdeordenada

Pdeabscisag cot

y

r

Pdeordenada

radioec cos

x

r

Pdeabscisa

radiosec


Las razones trigonométricas son independientes

del radio de la circunferencia elegida. Al

aumentar o disminuir el radio de ésta, lo único

que hacemos es construir diferentes triángulos

rectángulos semejantes, y las razones

trigonométricas sólo dependen del ángulo, no

del triángulo. Por comodidad, tomaremos la

circunferencia de radio unidad y centrada en el

origen de coordenadas, que se llama

circunferencia goniométrica. Así, para un

ángulo tendremos:

sen = y; es decir, el valor de la ordenada del punto P.

cos = x; es decir, el valor de la abscisa del punto P.

Los ángulos mayores que 360º tendrán su segundo lado en el cuadrante que corresponda después de

restarles una ó más vueltas completas. (Para un ángulo mayor que 360º, dividimos entre 360 –no entre

36, aunque se pudiera simplificar-, el cociente nos proporciona el número de vueltas dada a la

circunferencia y el resto sería el ángulo que tiene las mismas razones trigonométricas que el dado.

Signo de las razones trigonométricas

0sen 0sen 0sen

0cos 0cos 0cos

0tg 0tg 0tg

En todo triángulo rectángulo se verifica que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, y

como el seno y el coseno de un ángulo es la razón entre un cateto y la hipotenusa, en consecuencia se

cumplirá que:

-1 sen a +1 y –1 cos a +1

En cambio la tangente, al ser el cociente entre dos catetos, puede tomar cualquier valor real.


El signo de las razones trigonométricas seno y coseno, en cada uno de los cuadrantes, viene dado por el

signo que en éste tenga la ordenada y la abscisa. El signo de la tangente se obtiene por cociente. El

signo de las restantes razones trigonométricas se obtiene a partir de éstas tres.

Ejemplo: ¿Cuáles son las razones trigonométricas del ángulo , sabiendo que 4

3tg y que está en el

cuarto cuadrante?

Por estar en el cuarto cuadrante, se deduce que el seno y tangente son negativas.

5

4cos ;

5

3sen

Además:

Ángulo 0 90 180 270

Seno 0 1 0 -1

Coseno 1 0 -1 0

Tangente 0 No existe 0 No existe

Relaciones entre las razones de ciertos ángulos

Se llama reducir al primer cuadrante a relacionar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

con las razones de un ángulo agudo.

Ángulos complementarios: y 90 - ( y /2 - )

En la figura se observa que el valor del seno de

es igual al valor del coseno de 90- y que el

valor del coseno de es igual al valor del seno

de 90-.

sen (90 - ) = cos

cos (90 - ) = sen

tg (90 - ) = cotg


Ángulos suplementarios: y 180 - ( y - )

En la figura se observa que los valores de los

senos son iguales y los valores de los cosenos

son opuestos.

sen (180 - ) = sen

cos (180 - ) = - cos

tg (180 - ) = - tg

Ángulos que difieren en 180: y 180 + ( y + )

Si dos ángulos difieren en 180º, sus senos y sus

cosenos son opuestos y sus tangentes son

iguales.

sen (180 + ) = - sen

cos (180 + ) = - cos

tg (180 + ) = tg

Ángulos opuestos: y - o que suman 360º: y 360º- ( y 2-)

sen (- ) = sen(360º-) = - sen

cos (- ) = cos(360º-) = cos

tg (- ) = tg(360º-) = - tg

Si dos ángulos son opuestos o suman 360º, sus

cosenos son iguales y sus senos y sus tangentes

son opuestas.


EJERCICIOS

19.- Utilizando los valores de las razones de 30º, 45º y 60º, determina las razones trigonométricas

siguientes:

a) sen 120º b) cos 210º c) tg 300º d) tg 225º e) sen 330º

f) cotg 150º g) sec 240º h) cos(-60º) i) tg 210º j) sen(-45º)

k) cosec 225º l) sec 315º m) sen 1215º n) sec 4440º o) tg(18750º)

Soluciones: a) 2

3 b)

2

3 c) 3 d) 1 e)

2

1 f) 3

g) -2 h) 2

1 i)

3

3 j)

2

2 k) 2 l) 2 m)

2

2

n) 2 o) 3

3

21.- Sin utilizar la calculadora, halla el valor exacto de las siguientes expresiones:

a) 2

sen3

5sen3

2

3sen4

2sen

3

2

b)

6

8

3

4

6

7cos

3

2 tgtgsen

c)

cos4

cos26

sen4 d) 2

sen26

sen43

2sen32

e) 4

7sen

4

3cos

4

5sen

f)

6

7tg

3

4tg

3

5cos

g) 3

sen324

cos26

sen6

cos3

Soluciones: a) 3 b) 33 c) 2 d) 3 e) 2

2 f)

6

343 g) -2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS

Observando la figura, se tiene: OB=1

OA = OB · cos = cos

AB = OB · sen = sen

Expresamos el segmento OP de dos formas

distintas:

OP = OB · cos(+) = cos(+)

OP = OQ - PQ;

OQ = OA · cos = cos · cos;

PQ = AB · cos(90º-) = sen · sen

Igualando y sustituyendo, tenemos:

sensencoscoscos


De esta se deduce:

·senº90sen·cosº90cosº90cosº90cossen

·sencos·cossen·sencos·cossen . Luego:

·sencos·cossensen

·tgtg1

tgtg

·coscos

·sensen

·coscos

·coscos

·coscos

·sencos

·coscos

·cossen

·sensen·coscos

·sencos·cossen

cos

sentg

Luego:

·tgtg1

tgtgtg

Como )( , se tiene:

sensencoscoscos

sencoscossensen

tgtg1

tgtgtg

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

A partir de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos y haciendo =, se tiene:

cossen22sen

22 sencos2cos

2tg1

tg22tg

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

Tenemos:

2cos

2sen1

2sen

2cos

22coscos

22

22

. Sumando y restando ambas igualdades:

2·sen2cos1

2·cos2cos1

2

2

. Despejando, obtenemos:


2

cos1

2sen

2

cos1

2cos

cos1

cos1

2tg

Sumas y diferencias de senos y cosenos (transformación en productos)

Llamaremos A=+ y B=-, entonces: 2

BA ,

2

BA .

Sabemos que:

·sencos·cossensen

sencoscossensen

Sumando: ·cos·sen2sensen

Restando: ·sen·cos2sensen

También sabemos que:

sensencoscoscos

sensencoscoscos

Sumando: ·cos·cos2coscos

Restando: ·sen·sen2coscos

Sustituyendo por A y B, queda:

2·cos

2·sen2sensen

BABABA

2·sen

2·cos2sensen

BABABA

2·cos

2·cos2coscos

BABABA

2·sen

2·sen2coscos

BABABA


EJERCICIOS

26.- Si 5

3sen y cos < 0, calcula:

a) cos b) 2sen c) 2

tg

d)

2sen e) tg f)

6sen

Soluciones: a) 4/5 b) 24/25 c) -3 d) –4/5 e) –3/4 f) 10

433

30.- Sabiendo que 13

12sen y

7

24tg y que 270º < < 360º y 180º < < 270º, calcula:

sen , cos y tg .

Soluciones: 325

36sen

;

325

323cos

;

323

36tg

33.- Simplifica las siguientes expresiones:

a) º20cosº40cos

º20senº40sen

b)

º75senº195sen

º75senº195sen

c)

º40senº60sen

º40cosº60cos

Soluciones: a) 3

3 b) 3 c) –tg 50


ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son ecuaciones en las que aparecen razones trigonométricas actuando sobre un ángulo incógnita que,

como en todas las ecuaciones, hay que despejar. Salvo que se pida expresamente, el valor de la

incógnita se puede dar en grados o en radianes. Las soluciones que se obtengan deben ser comprobadas

sobre la ecuación inicial, pues frecuentemente aparecen soluciones extrañas.

Para resolver una ecuación trigonométrica, se utilizan las fórmulas trigonométricas anteriores,

aplicando el siguiente procedimiento:

a) Despejamos el mismo ángulo en todas las razones trigonométricas.

b) Pueden presentarse dos casos:

Que nos quede toda la ecuación en función de una razón trigonométrica.

Que nos quede la ecuación como un producto de factores igualado a cero, de forma

que en cada factor sólo haya una razón trigonométrica.

c) Escribir la solución:

Dada una razón trigonométrica hay infinitos ángulos con esa misma razón.

Por ejemplo, sabiendo que 2

3sen , para hallar los ángulos que tienen esa razón primero se

determinan los cuadrantes a los que puede pertenecer el ángulo “”, observando el signo de la razón

trigonométrica. Como el seno es positivo, “” puede pertenecer al primero y al segundo cuadrante. Hay

dos ángulos comprendidos entre 0º y 360º cuyo seno vale 2

3, que son 60º y 180º-60º=120º. Si a cada

uno de estos ángulos le sumamos un número entero de vueltas, obtenemos ángulos con el mismo seno.

Por tanto, las soluciones son:

= 60º + 360º·k = 3

+ 2K, con k Z

= 120º + 360º·k = 3

2 + 2K, con k Z


SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejemplo: Resuelve:

1coscos

3

yx

senysenx

12

·cos2

·cos2

32

·cos2

·sen2

yxyx

yxyx

. Dividiendo miembro a

miembro: 3

2·cos

2·cos2

2·cos

2·sen2

yxyx

yxyx

3

2cos

2sen

yx

yx

32

tg yx

soluciónmismayxyx

Iyxyx

1203604802402

)(120602

. Entonces:

32

·cos60·sen2 yx

32

·cos2

3·2

yx 1

2cos

yx 0

2

yx x – y = 0 (II)

Uniendo (I) y (II) se tiene: 600

120

yx

yx

yx


Resolución de triángulos rectángulos

Un triángulo cualquiera está compuesto por seis elementos: tres lados y tres ángulos. Resolver un

triángulo es hallar el valor de sus seis elementos, conocidos algunos de ellos. Para resolver triángulos

rectángulos, tenemos en cuenta las siguientes relaciones entre sus elementos:

La suma de sus ángulos es: A + B + C = 180.

Teorema de Pitágoras: 222 cba

Razones trigonométricas básicas: Ca

bB cossen ;

Ca

cB sencos ;

c

bB tg ;

b

cC tg


EJERCICIOS

2.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

a) a = 130 m B = 40º b) C = 55º c = 95 m

c) a = 65 m b = 40 m d) c = 32 m B = 15º

Soluciones: a) C = 50º, b = 83`58 m, c = 99`58 m b) B = 35º, a = 115`97 m, b = 66`52 m

c) A = 58`39º, B = 31`61º, c = 76`32 m d) C = 75º, a = 33`12 m, b = 8`57 m

3.- Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 10 metros, cuando los rallos del sol

forman un ángulo de 60º con el suelo.

Solución: 17,32 m

4.- Si la sombra de un poste es igual a su altura, ¿qué ángulo forman los rallos del sol con el horizonte?

Solución: 45º

5.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo que

forman las ramas del compás.

Solución: 33`92º

6.- Calcula la altura de un poste, sabiendo que dese un cierto punto del suelo se ve éste bajo un ángulo

de 30º y si nos acercamos 30m, lo vemos bajo un ángulo de 45º.

Solución: 40,95 m

7.- Desde dos torres de observación separadas entre sí 2485 metros se ve un incendio forestal (entre

ambas torres) bajo unos ángulos respectivos de 84º y de 72º. ¿A qué distancia de cada una de las

torres se está produciendo el incendio?

Solución: 1879,37 m y 605`63 m

8.- Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal

bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un ángulo de 40º. Calcula la altura del pedestal.

Solución: 1,13 m

9.- Halla la altura de la torre QR de pie

inaccesible y más bajo que el punto de

observación, con los datos de la figura.

Solución: 77,87 m

10.- Calcula la altura QR, cuyo pie es inaccesible

y más alto que el punto donde se encuentra el

observador, con los datos de la figura

Solución: 74,55 m


RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

Teorema del seno: En cada triángulo, el ángulo mayor tiene enfrente el lado mayor y el ángulo menor, tiene enfrente el

lado menor.

Una expresión cuantitativa de este hecho es el teorema de los senos, que se enuncia así:

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

C

c

B

b

A

a

sensensen

Demostración:

En un triángulo ABC trazamos una altura h desde el vértice A:

Los triángulos BHA y CHA son rectángulos. Por tanto, tenemos:

CbBc

Cbhb

hC

Bchc

hB

·sen·sen

·sensen

·sensen

,

de donde:

B

b

C

c

sensen .

Si trazáramos la altura desde el vértice C se obtendría:

B

b

A

a

sensen .

Aplicación:

Sirve para relacionar dos lados de un triángulo con los ángulos opuestos. Por tanto, se podrá resolver

con él cualquier triángulo del que conozcamos dos ángulos y un lado, o dos lados y el ángulo opuesto a

uno de ellos.

Al utilizar el teorema del seno, podemos tener dos soluciones distintas válidas.


Teorema del coseno: El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble

producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido:

Abccba ·cos2222

Baccab ·cos2222

Cabbac ·cos2222

Demostración:

Supongamos que los ángulos A y C son agudos. El razonamiento es similar en los demás casos.

AH = c · cosA

HC = b – AH = b – c · cosA

Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos AHB y BHC y teniendo en cuenta las igualdades

anteriores, se obtiene:

AcbAcbhAcbhHCha ·cos··2·cos·cos 222222222

AchAchAHhc 22222222 ·cos·cos

Restando: Acbbca ·cos··2222

Por tanto: Abccba ·cos2222

Aplicación:

El teorema de los cosenos sirve para relacionar los tres lados de un triángulo con uno de los ángulos del

mismo. Por tanto, se podrá resolver con él cualquier triángulo del que se conozcan los tres lados, o bien

un triángulo del que se conozcan dos lados y el ángulo comprendido.

Interpretación geométrica del Teorema del seno:

En todo triángulo, la razón de un lado al seno del ángulo opuesto (constante de proporcionalidad entre

los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos) es igual al diámetro de la circunferencia

circunscrita a dicho triángulo.

RC

c

B

b

A

a2

sensensen

EJERCICIO

40.- Un ángulo de un triángulo vale 30. Calcula su lado opuesto sabiendo que el radio de la

circunferencia circunscrita es 3.

Solución: a=3


ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Veremos distintas expresiones del área de un

triángulo:

1. En función de la base y la altura:

bhbS ·2

1

2. En función de dos lados y el ángulo comprendido:

Caha

hC ·sensen . Sustituyendo en el apartado 1: CabS ·sen·

2

1

3. En función de los lados. Fórmula de Herón.

CabS ·sen·2

1 , multiplicamos por 4:

CabS ·sen··24 , elevamos al cuadrado:

CababCabCabS 222222222222 ·cos··4··4cos1···4·sen··416

222 ·cos··2··4 Cabab , por el teorema del coseno:

222222··4 cbaab , por diferencia de cuadrados:

222222 2·2 cbabacbaba , por el cuadrado de la suma:

2222· baccba , por diferencia de cuadrados:

bacbaccbacba ···

Haciendo a + b + c = 2p y restando 2ª, 2b y 2c se obtiene:

b + c – a = 2p –2a = 2 (p-a);

a + c – b = 2p - 2b = 2 (p-b);

a + b – c = 2p - 2c = 2 (p-c);

Entonces:

)(2)·(2)·(2·216 2 apbpcppS

cpbpappS

2

cbap

p: semiperímetro


4. En función de los lados y el radio de la circunferencia circunscrita:

Por el teorema de los senos se tiene que: R

cCR

C

c

2sen2

sen

R

abcS

4

Problemas de resolución de triángulos:

Un triángulo queda determinado cuando se conocen:

- tres lados.

- dos lados y el ángulo comprendido.

- un lado y los ángulos adyacentes.

Resolver un triángulo es obtener, a partir de los tres datos conocidos que lo determinan, los otros tres

restantes. Para ello se procede del siguiente modo:

1. Representar la figura.

2. Situar sobre la figura los datos conocidos.

3. Señalar sobre la figura los elementos que hay que hallar.

4. Utilizar las herramientas estudiadas.

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