Unidad 5. Medición

I. Figuras Planas

2. Área (cuadriláteros y polígonos regulares)

El área es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir

una superficie.

Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.

Polígono regular: Polígono convexo cuyos lados y ángulos son todos

congruentes.

Importante: El polígono y el círculo están muy relacionados. Todos los

polígonos regulares se pueden inscribir en un círculo.

Fórmulas para cuadriláteros

Cuadrado: 2lA

Rectángulo: axbA

Trapecio A = 212

1bbh

Paralelogramo: hxbA

Rombo: A = 2

21dd

b = largo o baseA = Áreal = largoh = alturad = diagonalPa = Perímetro x apotema

Fórmula para polígonos regulares

PaA2

1

Fórmula para triángulos

2

hxbA

Solución:1. A = b x a 3. A = b x a 5 x 4 16.45 x 8.7 20cm2 143.115 m2

2. A = b x a 4. A = b x a 7.35 x 3.2 10 x 10 23.52pies2 100m2

Las superficies (Área) se miden con unidades cuadradas; su nombre y valor se derivan de

las unidades de longitud. Si consideramos, por ejemplo, el cuadrado de lado 1 metro, la

unidad de superficie que obtenemos es el metro cuadrado (cuadrado de un metro de lado).

Así, cuando decimos que la superficie de una vivienda es de 120 metros cuadrados (120

m2), estamos diciendo que necesitaríamos 120 losetas cuadradas, de un metro de lado cada

una, para cubrir el suelo de dicha vivienda.

El área es la medida de una superficie y, por lo tanto, se expresa en unidades cuadradas.

Ej. mm2, cm2, dm2, m2, hm2, km2, millas2, pulgadas2, pies2, etc...)

Para obtener el área de una superficie, es necesario que las dimensiones que se dan estén

expresadas con la misma unidad de medida. Por ejemplo, metros con metros o kilómetros

con kilómetros. Cuando las dimensiones tienen unidades de medida diferentes, se hace una

conversión para poder obtener el área, pues en caso contrario las unidades que se

obtendrían no serían cuadradas.

A continuación observaremos diferentes ejemplos

en los que calcularemos el área.

Rectángulo. Es un paralelogramo en el cual los lados adyacentes son

perpendiculares y todos sus ángulos son rectos.

Hallaremos el área de la siguiente región.

2

pies

3 pies

Calcularemos el área de rectángulos con las siguientes medidas. Recuerda: en el

rectángulo el A = b x a

1. b= 5; a=4 cm

2. b= 7.35pies; a=3.2 pies

3. b= 16.45m.; a=8.7 m.

4. b= 10m.; a=10 m.

1 pies 1 pies 1 pies

1 pies 1 pies

RectánguloA = l x aA = 3 x 2A = 6 pies2

Solución:

a) Perímetro b) Área

P = 2l + 2a A = b x h 2(7) + 2 (6.40) 7 x 5 14 + 12.80 A = 35P = 26.80

A = l2

A = largo x largoA = 1 (1)A = 1 km2

Paralelogramo. Un paralelogramo es un cuadrilátero en el cual los lados opuestos

son paralelos.

En el siguiente diagrama se muestra un paralelogramo:

b) Calcularemos su perímetro.

c) Calcularemos su área utilizando la fórmula.

Cuadrado. Es un rectángulo donde las medidas de sus lados son iguales.

Solución:

a) P = 4l c) A = l x a 4 (6.32) 12 x 4 25.28 48

b) A = 2

21dd d) El área del rombo es la mitad del

2

412

2

48

Rombo. Es un paralelogramo equilátero

¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD? ¡Muy bien! Un rombo

¡Intenta hallar lo siguiente! (La solución se muestra en el cuadrante debajo del diagrama)

a) Halla su perímetro.

b) Halla su área empleando la fórmula.

c) Halla el área del rectángulo EFGH

d) Compara las dos áreas que has hallado.

área del rectángulo que lo contiene.

= 24

Así, el área del trapecio será:

A =

2

21

144

)36(4

)1224(4

)1224)(8(2

1

)(2

1

cm

bbh

Trapecio. Es un cuadrilátero con un solo par de lados opuestos paralelos.

Calcularemos el área de un trapecio isósceles, sabiendo que la base mayor mide 24

cm. la base menor 12 cm. y cada uno de los lados iguales 10 cm.

Datos importantes:

1. Conocemos las dos bases y nos falta conocer su altura, h.

2. En el triángulo BCN, tenemos que BC = 10 cm.

3. El lado NB se obtiene sabiendo que MN = 12 cm. y AM = NB, por ser un trapecio

isósceles:

4. NB = AM = 24 - 12 = 12 2 = 6 cm.

5. La altura es siempre perpendicular al lado, por lo que el triángulo BCN es

rectángulo.

Hallamos la altura, h, del trapecio, aplicando el Teorema de Pitágoras: (h = CN)

CN2 + NB2 = CB2

CN2 + 62 = 102

CN2 + 36 = 100 CN2 = 100 – 36 CN2 = 64

2CN = 64 CN = 8 h = 8

24 cm

Recuerda… la “p” en la fórmula de Herón

equivale al semiperímetro del

triángulo.

Triángulo: Es un polígono de tres lados

1. Hal laremos el área del s iguiente tr iángulo:

2. Hal laremos el área del tr iángulo rectángulo cuyos catetos miden

3 y 4 cm.

La siguiente fórmula se utiliza cuando no tenemos la altura del triángulo y solo conocemos la medida de sus 3 lados.

3. Hal laremos el área del tr iángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.

(TRIANGULO ESCALENO, DESCONOCEMOS LA ALTURA).

Uti l izaremos la Fórmula de Herón.

A = 2

bh

A =

25.382

772

)7(112

cm

bh

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón se ut i l iza para hal lar el área de un t r iangulo

conociendo sus t res lados.

p = semiperímetro de la figuraa,b,c, = medida de los lados del triángulo.

Polígonos regulares: Polígono regular es el que t iene sus ángulos

iguales y sus lados iguales .

Los vért ices de un pol ígono regular están ci rcunscr i tos en una

circunferencia.

Elementos de un polígono regular

Centro (C): Punto interior que equidista de cada vértice.

Radio (r): Es el segmento que va del centro a cada vértice.

Apotema(a): Distancia del centro al punto medio de un lado.

Área de un polígono regular

REFERENCIA RÁPIDA DE FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

FORMA ELEMENTOSFÓRMULA

PERÍMETROFÓRMULA

ÁREA

TRIÁNGULO b: Baseh: Altura

l: Lado1m: Lado2n: Lado3

P = l + m + n2

bhA

CUADRADO

a: Lado P = 4a A = a2

RECTÁNGULO

b: Baseh: Altura

P = 2b + 2h A = b x h

ROMBO

a: Lado

d: Diagonal menorD: Diagonal mayor

P = 4a A = 221dd

ROMBOIDE

PARALELOGRAMO

b: Baseh: Altura

P = 2b + 2h A = b x h

TRAPECIO

l: Lado1m: Lado2n: Lado3o: Lado4

b1: Base menorb2: Base mayor

h: Altura

P = l + m + n + o2

)( 21 bbhA

PENTÁGONO

a: Apotemab: Base P = 5 b 2

PaA

HEXÁGONO

a: Apotemab: Base

P = 6 b2

PaA