Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 01

CUADRILATEROS

Definición. Es aquel polígono de cuadro

lados. En todo cuadrilátero la suma de las

medidas de sus ángulos interiores es 360°.

Cuadrilátero Convexo ABCD

Vértices: A, B, C y D

Elementos Lados: DAyCD,BC,AB

Diagonales: BDy,AC

+ + θ + = 360°

Cuadrilátero Cóncavo PQRT; cóncavo en T

Vértices: P, Q, R y T Elementos Lados: TPyRT,QR,PQ

Diagonales: QTy,PR

x + y + z + w = 360°

Clasificación:

1. Trapezoide. Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos no son paralelos. Trapezoide asimétrico Trapezoide simétrico

Bisósceles

TEMA:

CUADRILÁTEROS Y CIRCUNFERENCIA

A B

C

D

P R

Q

T x

y

z

A

B

C

D

P R

Q

T

a

a

b

b

Eje de simetría

Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 02

2. Trapecio. Es aquel cuadrilátero que

tiene dos lados opuestos paralelos a los

cuales se les denomina bases.

Si: AD//BC ABCD: trapecio

Elementos:

Bases : BCyAD

Laterales: CDyAB

Base media: MN Altura : h

Tipos de Trapecios

A. Trapecio Escaleno. Es aquel cuyos

laterales son de diferente longitud.

En la figura: AD//BC

AB CD

ABCD es un trapecio escaleno

En la figura: QR//PT

PQ RT

En el caso que: QRPQyPTPQ

PQRT es un trapecio escaleno, llamado trapecio rectángulo

B. Trapecio Isósceles. Es aquel cuyos

laterales son de igual longitud.

En la figura:

Si: BC//AD y AB = CD

ABC es un trapecio isósceles Entonces:

mBAD = mADC; mABC = mBCD

PA = PD; PB = PC AC = BD Sus ángulos opuestos son suplementarios

Propiedades

1.

AD//BC AD//BC//MN

MN : Mediana del trapecio

MN = 2

ba

A

B C

D

M N

a

a b

b

h

A

B C

D

P

Q R

T

A

B C

D

p a a

A

B C

D

M N

b

a

Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 03

Observación: Se cumple: X = 2

nm

2. BC//AD

Si: BQ = QD y AP = PC

BC//AD//PQ

PQ = 2

ba

Observación:

Si: AP = PD

Se cumple:

X = 2

mn

3. Paralelogramo. Es aquel cuadrilátero en

el cual sus dos pares de lados opuestos

son paralelos.

AD//BCyCD//AB

ABCD es un paralelogramo

Propiedades:

- AB = CD y BC = AD

- Sus ángulos opuestos son de igual

medida

- Sus diagonales se bisecan

Tipos de Paralelogramos

A. Romboide

Si: AB BC y BD AC

ABCD: romboide

B. Rombo

Si: AB = BC y BD AC

ABCD: rombo

Consecuencia: BDAC

C. Rectángulo

m n

X

A

B C

D

P Q

b

a

n

A

B C

D

a a

b

b

A

B C

D

a a

b

b

n m

n m

A

B

D

C

a

a

a

a

m m

n

n

A B

C D

P X

m

A D

C B

m

m m

m

Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 04

Si: AB BC, y además es equiángulo

ABCD: rectángulo Consecuencia: AC = BD

D. Cuadrado

Si: AB = BC y AC = BD

ABCD: cuadrado Consecuencia: es equiángulo y las diagonales son bisectrices.

CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN

Se denomina circunferencia al lugar

geométrico de todos los puntos de un plano

cuya distancia a otro punto del mismo plano

llamado centro, es constante. Esta longitud

constante se denomina radio (r).

CÍRCULO

Es aquella superficie plana determinada por

la unión de una circunferencia y su región

interior.

PROPIEDADES

1. Si: L es tangente OT es radio Entonces:

OT L ; =90°

2. Si: O es centro ABON

Entonces:

AM = MB; mAN = mNB

Centro : O

Radio : OP , OP = r

Cuerda : CD Diámetro : AB , AB = 2r

Secante : m

Tangente : n

Arco : CD , CTD

Flecha Sagita: 𝑀𝐻̅̅ ̅̅ ̅ Punto de Tangencia: T

Longitud de la circunferencia: 2𝜋𝑟 Área del Círculo: 𝜋𝑟2

A

B C

D

m m

m m

O A B

C

D M

H r

P

m

n

T

L

T O

A

M

O

N

B

Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 05

3. Si mAB = mCD

Entonces: AB = CD ; OM = ON

4. Si: m//CD//AB

Entonces: mAC = mBD ;

mCT = mTD

5. Si: PByPA son tangentes y O es centro.

Entonces:

PA = PB ; =

TEOREMA DE PONCELET

En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes

de los catetos es igual a la suma de las longitudes de

la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia

inscrita.

Se cumple:

a + b = c + 2r

Nota Inradio: Radio de la circunferencia inscrita. Circunradio: Radio de la circunferencia circunscrita.

TEOREMA DE PITHOT

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia,

la suma de las longitudes de dos lados opuestos es

igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Se cumple:

a + c = b + d

POSICIONES RELATIVAS DE DOS

CIRCUNFERENCIAS COPLANARES

Circunferencias Exteriores

O1 O2 > R + r

Circunferencias Tangentes Exteriores

O1 O2 = R + r

Circunferencias Secantes

R – r < O1 O2 < R + r

A

M

O

N D

C

B

A

C

B

D

T m

A

B

P

O

C

A B

a b

c

r

A

B

C

D

a

b

c

d

O1

R

O2

r

O1 O2

R

r

O1

R

O2

r

Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 06

Circunferencias Tangentes Interiores

O1 O2 = R – r

Circunferencias Interiores

O1 O2 < R – r

Circunferencias Concéntricas

O1

R

O2

r

T

R

O1 O2

r

r

R

O

Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 07

Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 08