medición del perﬁl de la cara anterior de la córnea y su ... · agradecimientos a dios por...

Medición del perfil de la caraanterior de la córnea y su

relación con lentes simples degran profundidad focal

por

Andrea Fernanda Muñoz PotosiTesis sometida como requisito parcial

para obtener el grado de

MAESTRA EN CIENCIAS EN EL ÁREA DEÓPTICA

en el

Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica yElectrónica

Julio 2012Tonantzintla, Puebla

Supervisada por:

Dr. Eduardo Tepichin Rodriguez, INAOE,México

Dra. Sandra Franco, UMINHO, Portugal

c©INAOE 2012El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir

y distribuir copias en su totalidad o enpartes de esta tesis

Agradecimientos

A Dios por regalarme el don de la vida.

A mis padres y a mi hermana, gracias por enseñarme a que después de la tormenta

siempre viene la calma, por ser el motor de mi vida, y por apoyarme incondicionalmente.

A mi familia, por el cariño y confianza que me han brindado en todo momento, pero sobre

todo, por estar cada uno a su manera, respaldándome para alcanzar mis objetivos.

A Luis Gabriel Valdivieso Gonzales, por tu amor, gracias por tu soporte en todo mo-

mento y por permitir que sigamos construyendo ese sueño que iniciamos. Es hermoso

disfrutar contigo tantos momentos llenos de alegría, haciéndome sentir a cada momento

tu presencia y cercanía. Sin tu apoyo y el de tu familia, este trabajo no podría haberlo

concluido.

A los Doctores Eduardo Tepichín Rodríguez, Manuel Filipe Costa y a la Doctora San-

dra Maria de Braga Franco, mi más sincera gratitud por su confianza, paciencia y dispo-

sición en todo momento, mi mayor agradecimiento por haber sugerido y aceptado dirigir

este trabajo y enseñarme a disfrutar de él.

A la Doctora Estela López Olazagasti, por su amistad, por permitirme darme cuenta

de que lo importante es crecer como profesional, pero ante todo como persona. Gracias

por su valioso apoyo, comentarios y sugerencias.

A todos mis compañeros, amigos (Janet, Anilu, Oscar, Esteban, Benito, Edith) y pro-

fesores por su apoyo, por enseñarme a crecer en la academia, pero sobre todo a crecer

3

4

como ser humano.

A Cristina Oliveira, Geraldo Eustaquio, Jorge Cunha y Cátia Silva. por tantos momen-

tos de reflexión y apoyo para ayudarme a encontrar la razón por la que se alcanzó este

objetivo.

Finalmente, quiero agradecer al Conacyt por el apoyo en las becas de maestría y beca

mixta para estancia académica en Portugal número 363607, y por el apoyo del proyecto

PY CONACYT 98777 para viajar a España.

Como alguien escribió algún día “Tal como ocurre en otras ciudades del mundo, in-

cluso las del país natal, una persona al visitar un lugar siempre se lleva consigo algo de

ese sitio; como un acto majestuoso de comunión(común-unión), donde se deja un poco

de lo que se tiene y se toma algo para sustituirlo. La magia estaba hecha. El contacto se

había establecido. Nadie era ya el mismo. El encantamiento había surtido efecto”. Gracias

a todos por permitirme disfrutar de esta magia.

Índice general

Agradecimientos 3

1. Introducción General 12

2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 16

2.0.1. Miopía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.0.2. Hipermetropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.0.3. Presbicia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.0.4. Astigmatismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1. Descripción matemática de la Córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Técnicas para la determinación de la topografía córnea . . . . . . . . . . 34

2.2.1. Técnicas que utilizan el principio de reflexión . . . . . . . . . . . 34

2.2.1.1. Queratometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1.2. Fotoqueratoscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1.3. Videoqueratoscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2. Técnicas que utilizan el principio de proyección . . . . . . . . . . 38

2.2.2.1. Topógrafos de proyección de hendidura . . . . . . . . . 38

2.2.2.2. Topógrafos de rasterestereografía . . . . . . . . . . . . 39

5

Índice general 6

2.2.2.3. Topógrafos que utilizan interferometría de moiré . . . . 39

3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 44

3.1. Cálculo de la Aberración Esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.1. Aberración Esférica Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.2. Polinomios de Aberración para la Aberración Esférica . . . . . . 60

3.1.3. Caústica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.4. Relación de la Cintura de la Caústica con la profundidad de foco . 65

4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de la cór-

nea 69

4.1. Calibración X-Y del sistema de adquisición . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1. Procedimiento para la adquisición de las imágenes . . . . . . . . 79

5. Conclusiones y Trabajo a Futuro 86

A. Anatomía Macroscópica de la Córnea 88

A.0.2. Anatomía Microscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A.0.2.1. Epitelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A.0.2.2. Membrana de Bowman . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.0.2.3. Estroma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.0.2.4. Membrana De Descemet . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.0.2.5. Endotelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

B. Descripción cuantitativa de la córnea 93

B.1. Descripción Cuantitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

B.1.1. Centro de la Córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

B.1.2. Direcciones de la córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B.2. Descripción punto a punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Índice general 7

B.2.1. Elevación corneal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B.2.2. Pendiente y curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

B.2.2.1. Radio de curvatura axial . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

B.2.2.2. Radio de curvatura tangencial . . . . . . . . . . . . . . 99

C. Algoritmo de Canny 101

C.0.3. Obtención del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

C.0.3.1. Supresión no máxima al resultado del gradiente . . . . 103

C.0.4. Histéresis de umbral a la supresión no máxima . . . . . . . . . . 104

Índice de figuras

2.1. Mecanismos de visión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Principales estructuras oculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Ojo esquemático de Emsley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Modelo esquemático de Gullstrand-Emsley . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Modelo esquemático de Le Grand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6. Ojo emétrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7. Ojo miope viendo al infinito. La imagen se enfoca por delante de la retina 23

2.8. Ojo miope viendo un objeto cercano. La imagen cae sobre la retina . . . . 23

2.9. Ojo hipermétrope en visión lejana. La imagen se enfoca por detrás de la

retina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.10. Ojo hipermétrope en visión cercana. La imagen se enfoca también por

detrás de la retina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.11. Córnea como lente esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.12. Lente astigmática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.13. Localización de la córnea en el globo ocular . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.14. Modelo esquemático de la córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.15. Principio óptico del queratómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.16. Imagen de anillos de Plácido obtenida por queratoscopía . . . . . . . . . 37

2.17. Modelo esquemático optado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8

Índice de figuras 9

2.18. Relación entre el modelo esquemático optado y la córnea . . . . . . . . . 43

3.1. Aberración esférica de una lente simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2. Aberración esférica y círculo de menor confusión de una lente simple . . 45

3.3. Rayos meridionales refractados en una superficie esférica . . . . . . . . . 47

3.4. Trazado de rayos meridionales por el método Q-U . . . . . . . . . . . . . 49

3.5. Refracción de un rayo meridional en una superficie esférica . . . . . . . . 51

3.6. Definición de la aberración esférica longitudinal SphL . . . . . . . . . . 52

3.7. Relación de Delano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.8. Cáustica de la aberración esférica primaria. . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.9. Parámetros de dependencia de la cintura de la cáustica . . . . . . . . . . 66

3.10. Valores adoptados para obtener la profundidad de foco del ojo . . . . . . 67

4.1. Ojo de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2. Proyección de patrones conocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3. Tearscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4. Patrón del Tearscope proyectado sobre una superficie corneal . . . . . . . 72

4.5. Core transversal de la línea proyectada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6. Imagen binarizada del patrón proyectado con el Tearscope . . . . . . . . 74

4.7. Imagen de un papel milimétrico ubicado verticalmente . . . . . . . . . . 76

4.8. Imagen del patrón de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.9. Imagen del patrón de referencia proyectado sobre la córnea . . . . . . . . 77

4.10. Línea proyectada sobre el ojo haciendo un berrido circular . . . . . . . . 78

4.11. Dispositivo utilizado, patentado por la Universidade do Minho . . . . . . 78

4.12. Imágenes capturadas por la Cámara 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.13. Imágenes capturadas por la Cámara 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.14. Imágenes binarizadas para la Cámara 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.15. Imágenes binarizadas por la Cámara 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Índice de figuras 10

4.16. Secciones de la superficie anterior de la córnea para la cámara 1 . . . . . . . . 81

4.17. Secciones de la superficie anterior de la córnea para la cámara 2 . . . . . . . . 82

4.18. Unificación de la información para las cámaras 1 y 2 . . . . . . . . . . . 82

4.19. Diferentes perspectivas de la superficie anterior de la córnea . . . . . . . . . . 83

4.20. Valores de la superficie anterior de la córnea reportados por un topógrafo

comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.1. La Córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A.2. Esquema de la membrana basal epitelial, Estructuras de anclaje y Capas

de Bowman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.3. Membrana de Descemet y Endotelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

B.1. Zonas de la córnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

B.2. Ubicación del Limbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.3. Ejes ópticos del ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B.4. Representación esquemática de meridiano y semi-meridiano de la córnea 97

B.5. Elevación corneal medida con respecto a una superficie esférica de referencia 98

B.6. Radio de curvatura axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

B.7. Radio de curvatura tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Índice de tablas

2.1. Valores para el modelo del ojo esquemático de Emsley [34] . . . . . . . 18

2.2. Valores para el modelo esquemático de Gullstrand-Emsley [34] . . . . . . 19

2.3. Valores para el modelo esquemático de Le Grand [34] . . . . . . . . . . . 20

2.4. Relaciones más utilizadas para describir la forma de la córnea [41] . . . . 32

2.5. Valores de asfericidad para la superficie anterior de la córnea [41] . . . . 33

2.6. Radio de curvatura medio de la superficie posterior de la córnea . . . . . 40

2.7. Radio de curvatura medio de la superficie anterior de la córnea . . . . . . 41

4.1. Valores reportados de la superficie anterior de la córnea por los dos dispo-

sitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

11

Capítulo 1

Introducción General

Debido a la complejidad inherente del ojo humano, el análisis y la descripción de su

funcionamiento óptico se han abordado en la literatura con diferentes enfoques y simpli-

ficaciones [1]. Entre los diferentes modelos teóricos propuestos se destacan aquellos que

suponen que las superficies ópticas del ojo están compuestas por superficies esféricas o

asféricas con simetría de revolución, con un valor constante asfericidad Q [1-12]. Estos

modelos rotacionalmente simétricos, asumen un valor constante de radio en el centro de

la córnea [13].

El grado creciente de complejidad de los modelos teóricos tiende a proporcionar una

descripción más realista del sistema óptico del ojo y hace que sea más compatible con los

datos experimentales y clínicos [9]. Por ejemplo, para obtener una descripción anátomica

más precisa de la córnea humana, se deben tener en cuenta factores importantes como la

forma asimétrica de rotación [10, 11, 14-18].

La córnea es la estructura anatómica ocular que se encuentra en la parte anterior del ojo

humano, es totalmente transparente y entre sus diversas funciones está la de proteger el iris

y el cristalino. La córnea además de proteger a otras estructuras oculares tiene la función

de focalizar, junto con el cristalino, las imágenes en nuestra retina. Por ello, se puede

12

Capítulo 1. Introducción General 13

considerar a la córnea como el primer elemento que conforma el sistema óptico de nuestros

ojos, con la mayor contribución a la potencia de refracción total del ojo [12, 19, 20].

Debido a ésto, el conocimiento de su topografía, así como su espesor y sus deformaciones,

tienen innumerables aplicaciones.

El interés en la descripción y la visualización de la forma de la córnea se ha incremen-

tado durante los últimos años debido a la evolución en el campo de la cirugía refractiva.

El conocimiento detallado de su topografía es decisiva en este tipo de cirugías [21-23].

Además, en el estudio sobre el uso en lentes de contacto [24-26], en la cirugía ocular

[27-29], cuando se evalúa la calidad óptica del ojo [30] y en el diagnóstico y tratamiento

de patologías de degeneración como el queratocono [31-33].

Como ya se mencionó, la córnea junto con el cristalino son responsables de formar

la imagen sobre la retina. Cuando esto ocurre se habla de un ojo emétrope. En casos

contrarios, cuando la imagen se forma antes es un ojo miope y cuando se forma después

de la retina se llama un ojo hipermétrope. Este tipo de formaciones de la imagen en un

lugar diferente a la retina son denominados ametropías, las cuales si se analizan desde el

punto de vista óptico se traducen en imágenes fuera del foco [34].

El objetivo tanto de los anteojos, como de las lentes de contacto y la cirugía refractiva;

es el de corregir este tipo de problemas de enfocamiento o de corrimiento de foco.

Por otro lado, este problema de enfocamiento ha sido resuelto en óptica, con los lla-

mados sistemas ópticos de gran profundidad de campo, que a su vez implica una gran

profundidad de foco.

Si tomamos en cuenta que la cara anterior de la córnea puede ser tratada como una su-

perficie refractora y en algunos casos simplificados como una lente simple, es importante

hacer un análisis de los sistemas ópticos simples de gran profundidad de foco, para poder

relacionarlos con el ojo.

Es por ello que, en la primera parte de ésta tesís, el objetivo principal es analizar

sistemas ópticos de gran profundidad de foco y su posible relación con el perfil de la


lente; para ajustar este conocimiento a resolver problemas refractivos del ojo.

En este caso, sabemos que un factor importante es el llamado círculo de mínima con-

fusión [35].

Por tanto, el primer objetivo específico de este trabajo, es el de calcular el círculo de

mínima confusión del ojo humano para encontrar su posible dependencia con el perfil de

la cara anterior de la córnea. De aquí, se quiere desprender la posibilidad de proponer a

largo plazo nuevos modelos de perfiles de ablación.

Para ello, se analizarán teórica y experimentalmente las llamadas cámaras fotográficas

de foco fijo, las cuales presentan una gran profundidad de campo, que se puede interpretar

como gran profundidad de foco, entendiéndose ésta última como el rango de distancias

en las que puede estar un objeto sin que se pierda significativamente detalle al capturar su

imagen.

Por otro lado, como ya se mencionó tener una medida del perfil de la cara anterior de

la córnea es de vital importancia. Existen varios trabajos teóricos que predicen el perfil de

la cara anterior de la córnea. En nuestro caso, estamos interesados en perfiles obtenidos a

partir de datos clínicos [1, 8, 10-12, 15-18, 20, 22-26, 29-31, 36, 37].

Sin embargo, estos trabajos dependen de datos obtenidos con equipos oftálmicos co-

merciales, por lo que se tiene poco control sobre éstos.

Por ello, como segundo objetivo de esta tésis, está el de proponer y probar varias téc-

nicas experimentales que nos permitan tomar medidas directamente de ojos de pacientes.

Para lograr los objetivos propuestos, en el capítulo dos, se presenta una breve des-

cripción del sistema óptico ocular, así como los errores refractivos presentes en el ojo,

un análisis de la córnea desde el punto de vista óptico, y los dispositivos clásicamente

utilizados para obtener la topografía y realizar mediciones sobre ella.

En el tercer capítulo se presenta el análisis de lentes simples de gran profundidad de

foco desde el punto de vista de la óptica geométrica, para encontrar finalmente una relación

directa entre la aberración esférica y la profundidad de foco.


En el cuarto capítulo se presentan las técnicas propuestas y finalmente la técnica im-

plementada para obtener información de la superficie anterior de la córnea.

Para finalizar se presentan las conclusiones, recomendaciones y las perspectivas de

trabajo futuro.

Capítulo 2

Sistema óptico ocular, ametropías y

técnicas de medida

Alrededor del 70% de la información que recibe el ser humano llega a través del sen-

tido de la vista. El proceso por el cual percibimos una escena se denomina ’visión’y puede

dividirse en tres etapas (Figura 2.1): óptica, retiniana y cerebral. La primera etapa consiste

en la formación en la retina de una imagen real e invertida del objeto exterior median-

te el sistema óptico del ojo. En la retina, los fotorreceptores muestrean dicha imagen y

transforman la energía luminosa en impulsos nerviosos que son transmitidos a los niveles

superiores del procesado visual a través del nervio óptico. En los centros visuales de la

corteza cerebral se realiza la interpretación de la escena.

16

Capítulo 2. Sistema óptico ocular, ametropías y técnicas de medida 17

Figura 2.1: Mecanismos de visión

Las principales estructuras oculares involucradas en la formación de la imagen retinia-

na son la córnea, el iris y el cristalino, y en menor medida, los humores acuoso y vítreo

(Figura 2.2).

Figura 2.2: Principales estructuras oculares

Para realizar una representación del sistema óptico de un ojo, se han llevado a cabo


diferentes propuestas de modelos esquemáticos, los cuales tratan de predecir el fenómeno

de formación de imágenes en la retina. Uno de ellos es el modelo del ojo esquemático

de Emsley [34], el cual asocia el poder refractor del ojo a solo una superficie refractora

(Figura 2.3), con valores para indice de refracción, radio de curvatura y un poder total

descritos en la Tabla 2.1.

Figura 2.3: Ojo esquemático de Emsley

Medio índice de refracción radio de curvatura distancia entre las superficies Potencia total

n R [mm] d [mm] P [D]

Aire 1

5.55 60

Humor vítreo 4/3 22.22

Tabla 2.1: Valores para el modelo del ojo esquemático de Emsley [34]

Otro modelo esquemático importante es el modelo de Gullstrand-Emsley, el cual des-

cribe al ojo por medio de tres superficies refractoras: la córnea y superficies anterior y

posterior del cristalino (Figura 2.4), los valores optados para estas superficies se presentan

en la Tabla 2.2


Figura 2.4: Modelo esquemático de Gullstrand-Emsley



Aire 1.000

7.800

córnea 4/3 3.6 60.483

10.000

cristalino 1.416 3.6

-6.00

Humor vítreo 4/3 16.69620

Tabla 2.2: Valores para el modelo esquemático de Gullstrand-Emsley [34]

También, existen modelos más complejos que consideran más superficies para des-

cribir el funcionamiento del sistema ocular, como lo es el modelo de Le Grand, el cual

considera cuatro superficies refractoras: las superficies anterior y posterior de la córnea

y las superficies anterior y posterior del cristalino (Figura 2.5). Los valores optados para

estas superficies se presentan en la Tabla 2.3


Figura 2.5: Modelo esquemático de Le Grand



Aire 1.0000

7.800

córnea 1.3771 0.550

6.500

Humor acuoso 1.3374 3.050 59.940

10.200

cristalino 1.4200 4.000

-6.000

Humor vítreo 1.3360 16.59655

Tabla 2.3: Valores para el modelo esquemático de Le Grand [34]

Los modelos descritos anteriormente y otros modelos más del sistema ocular, hacen

referencia a ojo emétropes en los cuales la imagen se forma en la retina (Figura 2.6). Pero

realmente existen variaciones en los radios de curvatura de las superficies consideradas en

dichos modelos, y en los valores de los índices de refracción, los cuales producen que la


imagen elaborada por el sistema ocular, no siempre se encuentra enfocada sobre la retina.

Estos defectos de refracción o ametropías son todas aquellas situaciones en las que, por

mal funcionamiento óptico, el ojo no es capaz de proporcionar una buena imagen.

Figura 2.6: Ojo emétrope

Los defectos de refracción generalmente son congénitos, aunque en algunos casos pue-

den ser adquiridos. Cuando los defectos de refracción son congénitos, se les denomina

ametropías. Alguno de los defectos de refracción (miopía, hipermetropía, astigmatismo

y presbicia) aparecerán tarde o temprano a lo largo de la vida, por lo que es importante

saber cómo se corrigen y cuáles son las indicaciones específicas en cada caso particular.

A continuación se describen brevemente, las ametropías típicas del ojo humano [38].

2.0.1. Miopía

La miopía es la ametropía más conocida porque es la que se presenta con más frecuen-

cia. Cuando una persona es miope, ve mal de lejos aunque de cerca vea perfectamente.

Son varias las causas que en forma aislada o combinada determinan que un ojo sea miope.

Para explicarlas es útil la comparación del ojo con la cámara fotográfica.

Para que la lente enfoque la imagen sobre la película fotográfica, ésta última deberá

estar exactamente en el foco de la lente. Si por algún error de construcción la caja de

la cámara es más grande que lo calculado, la película quedará por detrás del foco de la


lente y, al tomar la fotografía, estará desenfocada. Por tanto, una primera causa de miopía

consiste en que el ojo es más grande de lo normal en el sentido antero-posterior, o sea que

la distancia entre la córnea y la retina es mayor que la normal; lo que hará que la retina esté

por detrás del punto donde normalmente la córnea y el cristalino deben enfocar la imagen.

Otra causa habitual de la miopía consiste en que la córnea o el cristalino tengan un

poder óptico mayor que el debido. Esto hará que los rayos de luz se enfoquen por delante

de la retina aunque el tamaño del ojo sea normal. El resultado es el mismo que el anterior:

el punto de enfoque está por delante de la retina.

Por tanto, cuando un ojo miope enfoca al infinito (visión lejana), la luz que incide en

él llega en forma de rayos paralelos que convergen por delante de la retina, por lo que

la imagen en la retina queda desenfocada y la visión es borrosa. Cuando este mismo ojo

mira un objeto cercano, los rayos de luz que inciden en él son divergentes, por lo que el

punto de enfoque se desplaza hacia atrás. Si el objeto al que se mira está en una distancia

próxima apropiada, los rayos de luz se refractarán a través de la córnea y el cristalino de

forma que enfocarán en la retina, proporcionando una visión nítida.

Las Figuras 2.7 y 2.8, explican gráficamente la condición óptica del ojo miope. En la

Figura 2.7 se ve un ojo miope que enfoca al infinito. Los rayos de luz son paralelos y, ya

sea por un mayor poder óptico de la córnea y cristalino o por un diámetro antero-posterior

mayor del ojo, dichos rayos convergen en un punto F, colocado por delante de la retina.

La imagen que se forma en la retina está fuera de foco: la persona ve borroso, tanto más,

cuanto mayor sea la miopía. En la Figura 2.8 el mismo ojo fija un objeto cercano, por lo que

los rayos de luz que inciden sobre él son divergentes. El poder óptico del ojo ha cambiado,

por lo que el punto F se desplaza hacia atrás, acercándose a la retina o superponiéndose a

ella.


Figura 2.7: Ojo miope viendo al infinito. La imagen se enfoca por delante de la retina

Figura 2.8: Ojo miope viendo un objeto cercano. La imagen cae sobre la retina

El principal síntoma visual de una persona miope es que la visión lejana es defectuosa,

tanto más cuanto mayor sea la miopía. Para mejorar su visión lejana, el miope tendría que

aplanar al máximo su cristalino con el fin de desplazar su foco hacia atrás, para acercarlo

lo más posible a la retina. Sin embargo el cristalino solo es susceptible de ser abombado

por la acomodación para ver objetos próximos, pero no puede ser aplanado más desde el

punto de relajación, que corresponde con la visión lejana habitual. Esto hace que el miope

no pueda esforzarse para ver mejor de lejos. La visión cercana es normal en el miope, y

llega a ser óptima a una determinada distancia, que corresponde justamente a aquella en

que el foco se proyecta exactamente sobre la retina. Cuanto mayor sea la miopía menor

será esta distancia y por ello quienes tengan una miopía muy aguda deberán acercarse


mucho a los objetos que deseen ver con claridad.

La miopía puede aparecer en cualquier individuo aunque es más frecuente si existen

antecedentes del problema en su familia. Habitualmente la miopía se inicia desde la infan-

cia y progresa conforme se desarrolla la persona hasta estabilizarse en la adolescencia.

2.0.2. Hipermetropía

La hipermetropía es mucho menos frecuente que la miopía y, por lo tanto, se le conoce

menos. Volviendo al símil de la cámara fotográfica se podrá entender mejor el mecanismo

de esta ametropía. Al construir la cámara, su lente fue calculada de tal forma que pudiera

enfocar los objetos que están al infinito sobre la película, y se diseñó de tal forma que esta

lente pudiera desplazarse hacia delante para enfocar los objetos cercanos. Imaginemos

ahora que el constructor cometió uno de tres errores al construir la cámara. En primer

lugar, hizo que la caja fuera mas corta, por lo que la película está más cerca de la lente de

lo que debiera. Enfocada al infinito, la lente formará la imagen detrás de la película, por

lo que la fotografía estará fuera de foco. Otra cosa que pudo haber sucedido es que, en

una caja de tamaño adecuado, colocara la lente un poco por detrás de su posición normal,

lo que se traducirá en una situación en todo semejante a la anterior. Finalmente, siendo el

tamaño de la caja y posición de lente los adecuados, el fabricante pudo haber situado por

error una lente de menor potencia que la debida. Esta lente hará que los rayos de luz que la

incidan enfoquen por detrás del foco teórico calculado, es decir, por detrás de la película.

En todos los casos la imagen se formará detrás de la película haciendo que la fotografía

esté desenfocada.

Por tanto, al igual que el miope, el sujeto hipermétrope ve mal de lejos pero ve igual-

mente mal de cerca. Las Figuras 2.9 y 2.10 explican gráficamente esta situación.


Figura 2.9: Ojo hipermétrope en visión lejana. La imagen se enfoca por detrás de la retina

Figura 2.10: Ojo hipermétrope en visión cercana. La imagen se enfoca también por detrás

de la retina

La hipermetropía se presenta esencialmente bajo dos formas. Si un ojo es ligeramente

más corto que lo normal, la imagen enfocada por la córnea y el cristalino caerá por detrás

de la retina. De igual forma, el ojo puede ser de tamaño normal pero la córnea puede

ser más plana de lo normal o el cristalino menos curvo de lo debido, por lo que el poder

óptico de estas estructuras será menor y no podrán hacer que los rayos de luz enfoquen


en la retina sino detrás de ella. Si la capacidad de acomodación del sujeto no es suficiente

para enfocar los rayos de luz sobre la retina, el enfoque se producirá igualmente detrás

de ésta por lo que la visión será defectuosa. Al fijar la mirada en la visión próxima, se

precisará aun mayor capacidad de acomodación para lograr enfocar la imagen (abombar

más el cristalino), pero, esto ya no será posible por lo que la imagen de cerca será aun más

borrosa.

Las molestias del hipermétrope difieren de las del miope por la sencilla razón de que

el hipermétrope sí cuenta con un mecanismo para intentar ver mejor: la acomodación, es

decir, el esfuerzo del músculo ciliar para abombar el cristalino y dar con ello mayor poder

óptico al ojo para así enfocar la imagen sobre la retina. Ésta es la razón por la cual el

hipermétrope, que ve mal de lejos y de cerca, presenta con frecuencia fatiga ocular ya

que constantemente intenta corregir su problema mediante el esfuerzo de la acomodación.

Esto se traduce en malestar, irritación ocular, e incluso en cefaleas [38].

Un dato interesante consiste en que los niños muy pequeños son habitualmente hiper-

métropes, pero esta situación se corrige espontáneamente conforme el niño crece, ya que

los ojos crecen también. La hipermetropía es hereditaria, por lo que los hijos de hipermé-

tropes tienden a ser igualmente hipermétropes. Al igual que para la miopía, no existe en la

actualidad forma de evitar que aparezca y se desarrolle.

2.0.3. Presbicia

La presbicia es lo que popularmente se conoce como vista cansada. Como se expuso

anteriormente, para ver objetos cercanos el ojo debe acomodar; es decir, aumentar la cur-

vatura de su cristalino para hacerlo más convexo y poder así enfocar sobre la retina los

rayos de luz que inciden en él en forma divergente. También se dijo que esto se logra con

la contracción del músculo ciliar, que libera la tensión del cristalino permitiendo que éste

se abombe gracias a su elasticidad propia.

Ahora bien, con la edad el cristalino se endurece y pierde elasticidad. Si bien el múscu-


lo ciliar al contraerse lo relaja, la pérdida de elasticidad le impide abombarse y aumentar

así su poder de refracción. El cristalino ya no es capaz de abombarse lo suficiente para

enfocar la imagen de objetos cercanos en la retina. El resultado es que la persona, aún

con buena visión lejana, presenta una visión cercana defectuosa. Este fenómeno ocurre, a

todas las personas sin excepción, después de los cuarenta años de edad aproximadamente.

2.0.4. Astigmatismo

El astigmatismo es una situación óptica tan frecuente como la miopía pero no por ello

se le conoce por igual. Ello se debe seguramente a que en la vida cotidiana tenemos más

contacto con lentes esféricas que con lentes cilíndricas, que son las que pueden corregir

este tipo de defectos. En este tipo de lentes, la potencia refractiva depende del meridiano

de incidencia de la luz.

El astigmatismo corresponde entonces, en el ojo, a la condición óptica en la que la

córnea o el cristalino dejan de ser lentes esféricas para incluir, en mayor o menor grado,

un defecto cilíndrico.

Para entender la forma de una córnea normal, basta con imaginar un balón esférico al

que se le secciona una porción cualquiera. Esta porción es una sección de esfera cuyos

meridianos tienen la misma curvatura (Figura 2.11).

Figura 2.11: Córnea como lente esférica

Si se toma ahora una llanta de automóvil y se hace un corte paralelo a uno de sus diá-


metros (Figura 2.12). Esta porción de llanta presenta dos curvaturas distintas: la primera,

más plana, corresponde a la superficie de rodaje de la llanta; la segunda, más acentuada,

corresponde a la sección de la llanta perpendicular al sentido del rodaje. Si esta sección

de llanta fuera una lente óptica sería una lente astigmática, ya que no tendría el mismo

poder de refracción en todos sus meridianos. Los más planos funcionarían como una lente

esférica poco potente, los más curvos como una lente esférica muy potente. Por tanto, si

una lente esférica enfoca la luz en un solo punto, una lente astigmática lo hace en parte

en un punto correspondiente a los meridianos más planos y en parte en un segundo punto

correspondiente a los meridianos más curvos, por lo que es imposible obtener con dichas

lentes una sola imagen en foco.

Figura 2.12: Lente astigmática

Los astigmatismos se presentan esencialmente por modificaciones en la forma de la

córnea aunque igualmente pueden deberse a trastornos del cristalino. Los astigmatismos

pueden presentarse aislados o combinados con una miopía o una hipermetropía. Todas las

combinaciones son posibles. De igual forma, al presentarse una presbicia, ésta se añade

al astigmatismo previo (en caso de que éste existiera), complicando aún más la condición

óptica del ojo.

Por tanto, una córnea astigmática muestra dos meridianos principales, uno más plano

y otro más curvo, perpendiculares entre sí, [38].

Dentro de los modelos que se explicaron anteriormente, este trabajo se centra en el

modelo esquemático del ojo de Emsley. Como ya se describió, este modelo considera


solo una superficie refractora que coincide con la córnea de un ojo humano. Aunque en

principio, éste modelo parece limitado, es importante tener en cuenta que la córnea es la

primera y más potente superficie refractiva del ojo y es responsable alrededor del 80 %

del poder de refracción total, alcanzando por si misma de 41 a 44 dioptrías en el centro de

la misma (dos tercios del poder refractivo total del ojo) [19, 39, 40], demostrando que la

aproximación de este modelo es muy cercana a la realidad.

La córnea es un tejido transparente, avascular y elástico que se encuentra en la parte

anterior del globo ocular (Figura 2.13). Su superficie frontal está en contacto directamente

con la película lagrimal (protegiendo a la córnea de la deshidratación y ayudando a man-

tener la superficie corneal regular) y la superficie posterior de los párpados, mientras que

su superficie posterior limita la cámara anterior del ojo y está en contacto con el humor

acuoso [41].

Figura 2.13: Localización de la córnea en el globo ocular

Debido a su posición, la córnea tiene que cumplir ciertos criterios físicos y realizar una

variedad de funciones especializadas. Una de ellas es, junto con la esclerótica, mantener la

presión intraocular, para apoyar las estructuras internas del ojo y resistir el trauma. Además

de su función mecánica, la córnea, por ser el elemento de mayor poder de refracción del

sistema óptico [19, 39, 40] y la transparencia del ojo, permite el paso de la luz en la retina.


Uno de los métodos más usuales para obtener información de la forma de la córnea es

la topografía corneal, la cual permite evaluar fundamentalmente la forma y la curvatura

corneal, buscando las regularidades o irregularidades de su superficie anterior o posterior.

Inicialmente, el estudio de la topografía corneal se limito a su curvatura. El primer

registro para determinar el radio central de la córnea, fué efectuado por Scheiner en 1619,

el cual comparaba el tamaño de la imagen formada por reflexión en la superficie de la

córnea con imágenes formadas por varios espejos convexos de diferentes curvaturas.

Luego, en 1820 Ferdinand Cuigner desarrollo un queratómetro. Este método permitía

observar imágenes sobre la córnea, utilizando un ”pinhole” y teniendo en cuenta dentro de

su protocolo el alineamiento de la fuente de luz, la córnea y el observador, [41].

En 1832, Krause, determinó las dimensiones exactas en forma y tamaño del ojo hu-

mano, incluyendo el grosor de la córnea, del cristalino y su poder refractor, describiendo

la superficie anterior de la córnea como una superficie esférica y la posterior como un

paraboloide. El aplanamiento periférico de la córnea fué reconocido por Senff en 1846.

El queratómetro o oftalmómetro, creado por Herman Helmotz en 1856, fué el primer

dispositivo que hizo posible cuantificar la curvatura corneal. La primera técnica más utili-

zada para determinar clínicamente la topografía corneal fué la queratometría, este sistema

se basa en las leyes de la reflexión y considera a la superficie anterior de la córnea como

un espejo convexo.

Luego, el portugués Antonio Placido desarrolló el queratoscopio, inventado original-

mente por Henry Goode en 1847.

Placido en 1880, construyo un dispositivo que proyecta anillos concéntricos sobre la

córnea dando información sobre su superficie, pero su modelo original carecía de magni-

ficación suficiente, dando información cualitativa, pero no cuantitativa. En 1882, Placido

fotografió una de esas imágenes, por lo que se considera ese momento el inicio de la

fotoqueratoscopía.

Gullstrand en 1896, fué el primero que en aplicar la fotoqueratometría para llevar a


cabo el análisis cuantitativo de la superficie corneal utilizando como patrón de proyección

los anillos de Placido, desarrollando un algoritmo para poder cuantificar la forma de los

anillos al ser proyectados sobre la córnea; dando importantes herramientas para el análisis

de la topografía corneal; infortunadamente, este proceso era demasiado lento para llevarlo

a cabo en las prácticas clínicas.

En 1981 Rowsey y colegas inventan el corneoscopio, dispositivo capaz de documentar

e imprimir en forma rápida y ampliada la técnica de Plácido, cubriendo aproximadamente

el 55 % de la córnea, comparado con el queratómetro que sólo abarca un 8%.

En la actualidad, gracias al desarrollo de la cirugía refractiva han aparecido diversos y

sofisticados equipos que discriminan en forma muy minuciosa la topografía de la córnea.

La topografía corneal es normalmente descrita de tres diferentes maneras: cuantitati-

vamente, punto a punto ver Apéndice B, y matemáticamente.

2.1. Descripción matemática de la Córnea

Para describir la forma de la córnea, se recurre a expresiones matemáticas [1-11,

13-16], las cuales son utilizadas por investigadores en el área de la visión, debido a su

apicación en la óptica visual y en el estudio de las aberraciones. Estas expresiones ma-

temáticas, se pueden llevar a cabo de diferentes maneras, algunas describen la superficie

anterior de la córnea por medio de ecuaciones polinomicas complejas [42, 43] y otras

aproximan el perfil de la córnea a secciones cónicas [44].

Una de las expresiones matemáticas más utilizadas para describir el perfil de la córnea

es un elipsoide [45, 46]. A continuación se presenta el modelos matemático formulado por

Baker, Ecuación 2.1 [41], el cual describe una sección cónica que se utiliza para realizar

una descripción bidimensional de la superficie corneal.

y2 = 2r0x− px2, (2.1)


donde r0 es el radio apical, p es un parámetro que define cualquier familia de cónicas

que tenga el mismo radio r0 por tanto, este factor dependerá del modelo adoptado para la

forma de la córnea. Los valores de p, pueden ser:

p < 0 hipérbola,

p = 0 parábola,

0 < p < 1 elipse prolata,

p = 1 círculo,

p > 1 elipse oblata.

(2.2)

Otra de las formas usualmente utilizadas para describir la forma de la córnea son la

asfericidad Q y la excentricidad e, las cuales pueden aplicarse a las superficies cónicas. A

continuación se presenta la Tabla 2.4, donde se encuentran las relaciones entre ellas.

e2 p Q

e2 1− p −Qp 1− e2 1 +Q

Q −e2 p− 1

Tabla 2.4: Relaciones más utilizadas para describir la forma de la córnea [41]

A continuacion en la Tabla 2.5, se presentan algunos valores de asfericidad Q, para la

superficie anterior determinada por diferentes autores. Es importante notar, que los valo-

res negativos de asfericidad indican que la córnea se aplana en dirección a la periferia,

correspondiendo a una elipse prolata.


Autor/Año Asfericidad Q

Townsley/1970 -0.30

Mandell et al./1971 -0.23

Guillon et al./1986 -0.18

Patel et al./1993 -0.01

Tabla 2.5: Valores de asfericidad para la superficie anterior de la córnea [41]

2.1.1. Potencia

Una vez conocido el radio de curvatura de cada punto de la superficie anterior de la

córnea (axial o tangencial), se puede conocer la potencia a través de la siguiente Ecuación:

P =n2 − n1

r, (2.3)

donde n1 es el índice de refracción del aire (n1 = 1), n2 es el índice de refracción

de la córnea que según el Modelo del Ojo de Indiana [47], es n2 = 1.333 y r el radio

de curvatura de la superficie expresado en m. La misma ecuación pude ser aplicada a

la superficie posterior de la córnea, teniendo en cuenta que n1 representa el índice de

refracción de la córnea y n2 el índice de refracción del humor acuoso que es 1,3375.

Reemplazando estos valores en la Ecuación 2.3, se tiene:

P =0, 333

r. (2.4)

Por tanto, la ecuación 2.4, estima el poder de refracción paraxial, cuando los rayos

incidentes son aproximadamente normales a la córnea, siendo válida solamente para la

zona central.

Todos los métodos expuestos anteriormente permiten obtener información sobre la

superficie anterior de la córnea, sin embargo si lo que se desea es realizar un proceso


descriptivo más exacto de la córnea se debe considerar que esta formada por dos super-

ficies refractoras. Con un índice de refracción de 1,337, y valores promedios de radio de

curvatura de la superficie anterior de 7,8 mm y para la posterior de 6,5 mm (Figura 2.14).

Figura 2.14: Modelo esquemático de la córnea

2.2. Técnicas para la determinación de la topografía cór-

nea

En la actualidad, existen varios métodos que permiten determinar la topografía corneal.

En esta sección, se describiran las técnicas más utilizadas para determinar la topografía

corneal,las cuales pueden dividirse en dos grupos: las que utilizan el principio de reflexión

y las basadas en el principio de proyección [48-52].

2.2.1. Técnicas que utilizan el principio de reflexión

En esta técnica se proyectan unos patrones sobre la cara anterior de la córnea que

actúa como superficie de reflexión, de modo análogo a como lo hacen los queratómetros

y los fotoqueratoscopios, utilizan la película lagrimal como un espejo convexo. Según la

óptica geométrica, en los espejos convexos cuanto más curva es la superficie, más pequeña

resulta la imagen reflejada y más juntos aparecen los patrones, [53, 54]. Así se puede

calcular la pendiente de la córnea, y con la información de la inclinación de la superficie


anterior de la córnea se calcula el radio de curvatura y, a partir de él, el poder corneal.

La única manera de estimar datos de elevación es midiendo la altura del ápex corneal

con respecto a una superficie de referencia, que algunos topógrafos consiguen utilizando

premisas que en ocasiones no se cumplen en la realidad. Una de las técnicas más utilizados

es la queratometría.

2.2.1.1. Queratometría

La queratometría (de queratos que es cuerno, córnea y metros que es toma de medidas),

es una prueba realizada a un paciente en la que se determina el radio de curvatura de la

superficie anterior de la córnea. El principio óptico en el que se basa se presenta en la

Figura 2.15, donde la córnea se considera como un espejo convexo.

Figura 2.15: Principio óptico del queratómetro

De la Figura 2.15, por semejanza de triángulos, se tiene que:

h

x=h′

f ′, (2.5)

donde h es el tamaño del objeto, h′ es el tamaño de la imagen, x es la distancia entre

el objeto y el vértice del espejo y f ′ es la distancia focal del espejo convexo que se ha

ubicado aproximadamente igual a la distancia desde el vértice a la imagen.


Como la distancia focal para un espejo esférico convexo f ′ es la mitad de su radio de

curvatura f ′ =r

2, reemplazando en la Ecuación 2.5:

r

2x=h′

h, (2.6)

donde r es el radio de curvatura del espejo convexo.

Por tanto, conociendo el tamaño del objeto, el tamaño de su imagen y la distancia entre

el objeto y la superficie, se puede obtener directamente el radio de curvatura:

r =2h′x

h. (2.7)

La Ecuación 2.3 es la base de la mayor parte de los queratómetros, dicha ecuación

puede denominarse fórmula queratométrica, la cual también permite obtener la potencia

dióptrica. En estos instrumentos el valor máximo del índice de refracción de la córnea

tomado es de 1,3375, el cual se utiliza teniendo en cuenta una aproximación para las

superficies anterior y posterior de la córnea.

2.2.1.2. Fotoqueratoscopia

Inicialmente, la queratoscopía permitía obter información cualitativa de la forma de

la córnea. Para conseguir más información, se hizo necesario almacenarla para posterior-

mente ser analizada. El primer análisis cuantitativo fué atribuído a Gullstrand, él ubico una

cámara fotográfica en la abertura central de los disco de Plácido y desarrollo un algoritmo

para obtener datos cuantitativos a partir de las imágenes de los anillos de Plácido [55-57].

A partir de entonces, surgieron varios fotoqueratoscópios los cuales tenían como objetivo

de medir mayores áreas utilizando patrones de formas diferentes.

En la actualidad, se han publicado diferentes trabajos sobre el diseño y la implemen-

tación de diferentes queratoscopios [58].


2.2.1.3. Videoqueratoscopia

Los sistemas de videoqueratoscopia, utilizan cámaras CCD para la adquisición de las

imágenes. En ellos, la imagen de las patrones estilo disco de Plácido se capturan en forma-

to de vídeo, se digitalizan y se analizan mediante computador. Al utilizar un videoquera-

toscopio comercial, el paciente se debe fijar en una luz situada en el centro del cono de las

miras, y es fundamental que quien capture la imagen, alinee bien la imagen en los ejes x

e y (controlados por una cruz lateral) y en el z, es decir, que la imagen esté bien enfocada,

Figura 2.16.

Figura 2.16: Imagen de anillos de Plácido obtenida por queratoscopía

La mayoría de los sistemas utiliza el centro de la mira más interna o la reflexión de

la luz de fijación como punto de referencia a partir del cual la posición de cada punto se

puede derivar matemáticamente. De este modo se obtiene información cuantitativa acerca

de una superficie corneal (de aproximadamente 11 mm) que sólo excluye el área muy

central (<0,3 mm). En ocasiones se puede perder algo de información por la existencia de

sombras correspondientes a la nariz, las cejas o los párpados.


2.2.2. Técnicas que utilizan el principio de proyección

En estos sistemas, la imagen se forma en la superficie de la película lagrimal del mis-

mo modo que una diapositiva se proyecta sobre una pantalla. Se caracterizan por medir

directamente la forma auténtica de la córnea, y por eso se pueden derivar de ellos la incli-

nación, el radio de curvatura y el poder corneal. Entre otras ventajas, tienen la posibilidad

de cubrir la totalidad de la córnea,manteniendo la precisión de la reconstrucción de los

datos tanto muy centrales como muy periféricos con un nivel de resolución habitualmente

superior al de los sistemas de reflexión. Además, pueden caracterizar muy bien las varia-

ciones sobre la normalidad en la córnea, ya que no asumen ninguna forma predeterminada

de la misma y son capaces de obtener información de áreas irregulares no reflectivas que

aparecerían mudas para un topógrafo de reflexión.

Los sistemas de proyección son menos sensibles a una falta de alineación perfecta o

enfoque que los de reflexión y, por lo tanto, menos proclives a errores dependientes del

examinador. Sin embargo, el papel que el espesor de la película lagrimal pueda jugar en

la reconstrucción de los mapas no se conoce completamente al día de hoy. Espesores de

película lagrimal tan variables como de 7 a 40 µm podrían dar lugar a resultados tanto

generales de toda la córnea como focales muy dispares en estos sistemas que poseen una

resolución tan alta. Además, por eso hay que controlar la representación del menisco la-

grimal creado por los párpados. A su vez, estos sistemas pueden utilizar la proyección de

hendiduras,rasterografía, interferencia de moiré.

2.2.2.1. Topógrafos de proyección de hendidura

Los topógrafos de proyección de hendidura, como el Orbscan R©, obtienen 40 imáge-

nes de la totalidad de la córnea que contienen cada una 240 puntos, lo que hace un total

de 9.600 puntos, con una resolución de 2 µm. La hendidura escanea la córnea con un

ángulo de incidencia conocido, y la cámara, también con un ángulo conocido, adquiere


la imagen que contiene los contornos de la cara anterior y posterior de la córnea, lo que

permite por sustracción conocer también el grosor de la misma. La principal limitación

del sistema es que requiere un tiempo de adquisición de imágenes relativamente largo (0,8

segundos)durante el cual pueden darse alteraciones debidos al movimiento de los ojos

[59].

2.2.2.2. Topógrafos de rasterestereografía

En los topógrafos de rasterestereografía o rasterfotogametría, una malla es proyectada

sobre la película lagrimal con una inclinación conocida. La elevación se calcula median-

te la comparación del desplazamiento de la malla cuando se proyecta sobre la córnea a

diferencia de cuando se proyecta sobre una superficie plana.

2.2.2.3. Topógrafos que utilizan interferometría de moiré

En los topógrafos regidos por interferencia de moiré, dos conjuntos de líneas paralelas

se proyectan oblicuamente sobre la córnea, uno desde el lado temporal y otro desde el

nasal, sobreponiéndose en la córnea. La adición de estas dos imágenes da lugar a franjas

de interferencia circulares que representan puntos de igual altura [60].

Existen varios trabajos publicados sobre la determinación de la curvatura anterior y

posterior de la córnea, estos estudios determinan la curvatura de la superficie anterior

porque están más enfocados en aplicaciones para la cirugía refractiva, en las Tablas 2.6 y

2.7 se presentan los valores reportados por dichos trabajos.


Autor/Año Número de ojos Radio de Curvatura Observaciones

Gullstrand/1909 [34] 6,8

Le Grand/1980 [34] 6,5

Royston et al./1990 [36] 15 6,35 Meridiano vertical

Dunne et al./1991 [41] 60 6,78 Meridiano horizontal


Patel et al./1993 [41] 20 5,81 Meridiano horizontal

Edmund/1994 [41] 6,71

Lam et al./1997 [41] 60 6,51 Meridiano horizontal

Dubbelman et al./2002 [41] 83 6,40

Dubbelman et al./2006 114 6,53

Tabla 2.6: Radio de curvatura medio de la superficie posterior de la córnea

Algunos autores [61-63], encontraron una relación entre los valores de los radios de

curvatura anterior y posterior de la córnea dada por:

rpost = 0, 81 ∗ rant. (2.8)

Si se considera que la superficie anterior de la córnea está en contacto con aire (n=1) y

la superficie posterior con el humor acuoso (n=1,336), se puede considerar la potencia de

cada una de las superficies corneales y por tanto la potencia total, utilizando la Ecuación

paraxial:

P = Pant + Ppos − Pant ∗ Ppos ∗e

n′, (2.9)

dónde, Pant es la potencia de la superficie anterior , Ppos es la potencia de la superficie


Autor/Año Número de ojos Radio de Curvatura Observaciones

Gullstrand/1909 [34] 7,7

Gullstrand/1924 [41] 220 7,858 Hombres

Stenstrom/1948 [41] 1000 7,86

Gullstrand-Emsley/1952 [34] 7,8

Tait/1956 [41] 2000 7,85

Sorsby et al./1969 [41] 194 7,80

Lowe/1969 [41] 157 7,67

Le Grand/1980 [34] 7,8

Royston et al./1990 [41] 15 7,77 Meridiano horizontal


Dunne et al./1992 [41] 60 7,96 Meridiano vertical

Patel et al./1993 [41] 20 7,71 Meridiano horizontal

Longanesi et al./1996 [41] 38 7,76 Meridiano vertical

Lam et al./1997 [41] 60 7,80 Pacientes chinos

Bennett-Rabbetts/1998 [34] 7,8

Dubbelman et al./2002 [41] 83 7,87

Tabla 2.7: Radio de curvatura medio de la superficie anterior de la córnea

posterior, e es el espesor corneal y n′ el indice de refracción de la córnea [41].

Las potencias de cada superficie se calculan usando la siguiente Ecuación 2.3, con-

siderando n′ = 1, 376, n = 1 y r = 7, 8 ∗ 10−3m, para el calculo de la potencia de la

superficie anterior, y sustituyendo estos valores en la ecuación 2.3, se tiene que:

Pant = +48, 21D.

Para calcular la potencia de la superficie posterior se considera n′ = 1, 376, n = 1, 336

y r = 6, 8 ∗ 10−3m, por tanto:

Ppos = −5, 88D.


Sustituyendo los valores obtenidos en la Ecuación 2.3, y considerando un valor medio

del espesor corneal de 550 µm para un espesor corneal central, se obtiene un valor de

+42,22 D, para una potencia total de la córnea que como ya se mencionó, representa cerca

del 70 % de la potencia total del ojo.

En el cálculo de la potencia corneal se consideran las superficies corneales esféricas,

así como un espesor corneal constante. Pero, en la realidad el espesor corneal varia del

centro a la periferia de la córnea, y la superficie corneal tiene una forma asférica [1-12], es

por ello que existen dispositivos comerciales que permiten obtener información real tanto

de la superficie anterior como posterior de la córnea.

Teniendo en cuenta que si se toma como modelo esquemético del ojo humano un siste-

ma compuesta por solo una lente (Figura 2.17), la cual esta constituída por dos superficies

refractoras, las cuales si se relacionan con la disposición de la córnea en el ojo humano es-

tán dispuestas como se presenta en la Figura 2.18, se podrá realizar en el siguiente capítulo

un análisis de las superficies refractoras desde el punto de vista de la óptica geométrica y

su relación con la llamada aberración esférica.

Figura 2.17: Modelo esquemático optado


Figura 2.18: Relación entre el modelo esquemático optado y la córnea

Capítulo 3

Análisis de Lentes Simples de Gran

Profundidad de Foco

Las aberraciones se han observado desde que aparecieron los primeros instrumentos

ópticos como microscopios y telescopios en los siglos XVII y XVIII y, por supuesto han

tratado de corregirse. Al estudio y modelado de las aberraciones han contribuido: Ernst

Abbe (1840-1905) quien trabajo para la empresa Carl Zeiss, Philipp Ludwig von Seidel

(1821-1896) con sus aportes desde la óptica geométrica y Fritz Zernike (1888-1966), entre

otros [35].

La aberración esférica es la más importante de todas las aberraciones primarias, ya que

afecta a todo el campo de una lente, incluyendo las proximidades del eje óptico (Toraldo

Di Francia, 1953). El nombre de esta aberración se debe a que se observa en la mayoría

de las superficies esféricas, de refracción o reflectantes [35]. Esta aberración es debida a

las diferentes posiciones de enfoque de los rayos marginales y paraxiales, tal y como se

muestra esquemáticamente en la Figura 3.1. El valor de ésta aberración se puede calcular

por medio de diferentes métodos.

44

Capítulo 3. Análisis de Lentes Simples de Gran Profundidad de Foco 45

Figura 3.1: Aberración esférica de una lente simple

Desde el punto de vista del trazado de rayos, sin tener en cuenta la aproximación pa-

raxial, la aberración esférica ocurre para un objeto puntual en el eje de una lente simple

donde los rayos del objeto que pasan a través de las regiones exteriores de dicha lente lle-

gan a un foco en un punto diferente de los rayos que pasan cerca del centro de la misma.

En consecuencia, la imagen formada será una mancha circular de luz, cuyo diámetro se

denomina círculo de menor confusión, en el cual se produce la menor perdida de informa-

ción y por tanto es la posición donde la calidad de la visión es menos afectada, ver Figura

3.2.

Figura 3.2: Aberración esférica y círculo de menor confusión de una lente simple


Se han propuesto varios modelos del sistema ocular. Uno de ellos, es relacionarlo

con una cámara fotográfica. En la actualidad las cámaras fotográficas contienen sistemas

ópticos de múltiples lentes con el fin de reducir al mínimo las aberraciones, logrando una

mejor calidad en la imagen. Sin embargo, en los inicios de la fotografía, existían cámaras

simples que usaban sólo una lente la cual permitía una gran profundidad de foco con

resoluciones de imagen aceptables.

En este capítulo, se realizará un análisis teórico de la aberración esférica con el fin de

llevar a cabo su cálculo y determinar así la mejor posición del enfoque de los rayos; en

otras palabras, determinar la posición del círculo de menor confusión.

Para llevar a cabo estos propósitos: en la primera sección, se lleva a cabo, desde el

punto de vista de la óptica geométrica, el cálculo de la aberración esférica.

En la segunda sección, se analiza la aberración esférica primaria para una lente delga-

da.

En la sección tres, se analiza la aberración esférica utilizando funciones polinómicas.

En la sección cuarta, se analiza la cáustica.

3.1. Cálculo de la Aberración Esférica

Para llevar a cabo el cálculo de la aberración esférica se tendrán en cuenta las ecua-

ciones básicas del trazado de rayos meridionales refractados en una superficie esférica,

Figura 3.3.


Figura 3.3: Rayos meridionales refractados en una superficie esférica

En la Figura 3.3, se muestra una superficie refractante esférica y un rayo interceptando

la superficie en el punto P. La superficie normal a P es N la cual coincide con el centro de

curvatura de la superficie esférica, C. La convención de signos utilizada, supone que la luz

viaja de izquierda a derecha, por tanto:

-El radio de curvatura r es positivo si el centro de curvatura está a la derecha del vértice

de la superficie refractora y negativo en caso contrario. La curvatura C es la inversa de el

radio de curvatura (c = 1r).

-Los ángulosU yU ′ de acuerdo con la geometría analítica, son positivos si la pendiente

del rayo es positivo y negativos en el caso contrario.

-El ángulo de incidencia I es positivo si el rayo llega a la superficie de izquierda a

derecha, por debajo del normal, o de derecha a izquierda por encima de lo normal. Este

ángulo es negativo en caso contrario.

-El ángulo de refracción I ′ es positivo si el rayo sale de la superficie de izquierda a

derecha, por encima de la normal, o de derecha a izquierda por debajo del normal. Este

ángulo es negativo en caso contrario.

-L es la distancia desde el vértice de la superficie a la intersección del rayo antes de la

refracción con el eje óptico (objeto). Es positiva si este objeto es a la derecha del vértice,


y negativa si está a la izquierda.

-L′ es la distancia desde el vértice de la superficie a la intersección del rayos después de

la refracción (imagen). Es positiva si esta imagen está a la derecha del vértice, y negativa

si está a la izquierda. Esta regla es válida para la luz que viaja de izquierda a derecha, así

como para la luz que viaja de derecha a izquierda.

-Y es la altura del rayo incidente, es positiva si el rayo atraviesa a la superficie óptica

por encima del eje óptico y negativa en caso contrario.

-n y n′ son los índices de refracción de los medios.

Teniendo en cuenta la convención de signos descrita y utilizando la les del seno; de la

Figura 3.3, para los triángulo PCB y PCA, se tiene:

sin I

L− r= −sinU

r, (3.1)

y

sin I ′

L′ − r= −sinU ′

r. (3.2)

Sumando los ángulos internos para los triángulos PCB y PCA, y utlizando la Ley de

Snell, se tiene:

I − U = I ′ − U ′, (3.3)

y

n

n′=

sin I ′

sin I. (3.4)

Utilizando además el Método Q-U para trazado de rayos, se analizará la Figura 3.4,

definiendo el rayo meridional por el ángulo U y un segmento perpendicular Q desde el

vértice de la superficie de los rayos meridionales.


Figura 3.4: Trazado de rayos meridionales por el método Q-U

De donde se puede analizar que:

sin I = Qc+ sinU. (3.5)

Luego, utilizando la ley de Snell y la definición de la Ecuación 3.3, se tiene que:

Q′ =sin I ′ − sinU ′

c. (3.6)

Para obtener las expresiones equivalentes cuando la superficie es plana (c=0), de la

Figura 3.4, se puede ver que:

− sinU =Q

L

y

tanU =Y

L.

Utilizando la Ecuación 3.1 y multiplicando por nr, se tiene que:


n

L=n

r− n

r

sin I

sin I − sinU. (3.7)

Luego, utilizando la Ecuación 3.2, se tiene:

n′

L′=n′

r− n′

r

sin I ′

sin I ′ − sinU ′. (3.8)

Restando las Ecuaciones 3.8 y 3.7 y utilizando la ley de Snell, resulta:

n′

L′− n

L=

(n′ − n)r

+n sin I ′

r

(− 1

sin I − sinU− 1

sin I ′ − sinU ′

). (3.9)

La Ecuación anterior es exacta y nos es útil, para encontrar la dependencia de la abe-

rración esférica con el diámetro del círculo de mínima confusión.

Antes de calcular esta aberración, se tendrán en cuenta algunas expresiones de los valo-

res de los segmentos Q y Q’, definido a partir del trazado de rayos meridionales refractados

en una superficie esferica, como se presentan en la Figura 3.3. A partir de las definiciones

para dichos segmentos dadas por las Ecuaciones 3.5 y 3.6, y utilizando algunas relaciones

trigonométricas se tiene que:

Q

r= sin I − sinU = 2 sin

(I − U

2

)cos

(I + U

2

)(3.10)

y

Q′

r= sin I ′ − sinU ′ = 2 sin

(I ′ − U ′

2

)cos

(I ′ + U ′

2

). (3.11)

Teniendo en cuenta el valor del segmento PA desde el vértice hasta la intersección del

rayo marginal con la superficie óptica, como se muestra en la Figura 3.5:


Figura 3.5: Refracción de un rayo meridional en una superficie esférica

Se tiene que:

PA = 2r sin

(I − U

2

)= 2r sin

(I ′ − U ′

2

), (3.12)

por tanto,

Q = 2r sin

(I − U

2

)cos

(I + U

2

)= PA cos

(I + U

2

)(3.13)

y

Q′ = 2r sin

(I ′ − U ′

2

)cos

(I ′ + U ′

2

)= PA cos

(I ′ + U ′

2

). (3.14)

Ahora, basándonos en una definición más formal para el cálculo de la aberración es-

férica, como se muestra en la Figura 3.6, y teniendo en cuenta que para un sistema con n

superficies ópticas, la imagen de una superficie será el objeto para la siguiente superficie.


Figura 3.6: Definición de la aberración esférica longitudinal SphL

De la Figura 3.6, se puede notar que la aberración esférica longitudinal para la imagen

es:

SphL = L′ − l′ (3.15)

y la aberración esférica longitudinal para el objeto, antes de pasar por la superficie

óptica, está dada por:

SphL−1 = L− l. (3.16)

Donde el sub índice -1 indica una superficie anterior.

Por tanto, para encontrar una expresión para la aberración esférica se utlizará el Mé-

todo descrito por Conrady en 1957. El primer paso es considerar la Ecuación 3.9, que se

puede escribir como:

n′

l′− n

l=

(n′ − n)r

+n sin I

r

(1

sin I − sinU− 1


).

Reagrupando términos se tiene que:

n′

l′− n

l=

(n′ − n)r

+n sin I

r(sin I − sinU)

(1− sin I − sinU


), (3.17)


pero, reescribiendo la Ecuación 3.1 y multiplicandola por un factor nr, se tiene que:

r

L= 1− sin I

sin I − sinU,

reemplazando la expresión antes mencionada en la Ecuación 3.17, resulta:

sin I

sin I − sinU=1-

r

L=L− rL

. (3.18)

Utilizando los valores de Q y Q′ de las Ecuaciones 3.13 y 3.14, se tiene:

n′

L′− n

L=

(n′ − n)r

+n(L− r)

rL

(1− Qr

Q′r

),

por tanto,

n′

L′− n

L=

(n′ − n)r

+n(L− r)

rL

(1− Q

Q′

). (3.19)

La Ecuación 3.19, es exacta para cualquier rayo meridional. Para los rayos paraxiales,

se tiene la Ecuación de Gauss, dada por:

n′

l′− n

l=n′ − nr

, (3.20)

restando las Ecuaciones 3.20 y 3.19, se tiene:

n′(L′ − l′)L′l′

− n(L− l)Ll

=n(L− r)

Lr

(Q

Q′− 1

). (3.21)

Reorganizando, la Ecuación 3.21 se tiene:

(L′ − l′) = L′l′n(L− r)n′Lr

(Q

Q′− 1

)+L′l′n(L− l)

n′Lr,


por lo tanto,

SphL =L′l′n(L− r)

n′Lr

(Q

Q′− 1

)+L′l′n(L− l)

n′Lr,

reemplazando, obtenemos:

SphL =

[nL′l′

n′Ll

]SphL−1 +

n(L− r)L′l′

n′rL

(Q−Q′

Q

). (3.22)

Sustituyendo la Ecuación 3.13 en 3.14, resulta:

SphL =

[nL′l′

n′Ll

]SphL−1 +

n(L− r)L′l′

n′rL

(cos(I+U2

)− cos

(I′+U ′

2

)cos(I′+U ′

2

) ). (3.23)

Utilizando la siguiente identidad trigonométrica:

cosα− cos β = 2 sin

(β + α

2

)sin

(β − α2

)(3.24)

y teniendo en cuenta que U = U ′ + I − I ′, se obtiene:

SphL =

[nL′l′

n′Ll

]SphL−1 +

2n(L− r)L′l′

n′rL

(sin(I+U ′

2

)− sin

(I−I′2

)cos(I′+U ′

2

) ). (3.25)

Donde el primer término es la amplificación longitudinal de la superficie, el segundo

término la aberración esférica introducida por la superficie óptica y el último término la

aberración esférica longitudinal transferida.

La Ecuación 3.25, determina la aberración esférica para un sistema compuesto por dos

superfies refractoras, pero como la idea es encontrar una ecuación que defina la aberración

esférica en términos de parámetros que se puedan medir fácilmente, se hizo uso del método

propuesto por Delano en 1952. Este método presenta una relación de refracción de un rayo

paraxial y uno marginal, como se aprecia en la Figura 3.7. Estos rayos no necesariamente


se originan en el mismo espacio objeto.

Figura 3.7: Relación de Delano

De la Figura 3.7, se tiene:

sinU = − sx,

por tanto:

SphL = − s′

sinU ′

ySphL−1 = −s

sinU, (3.26)

obteniendo así:

SphL =

[nU sinU

n′U ′ sinU ′

]SphL−1 −

ni(Q′ −Q)n′U ′ sinU ′

. (3.27)

Reemplazando los valores de los segmentos Q y Q′ de las Ecuaciones 3.13, 3.14 y

3.24 se tiene:

SphL =

[nU sinU

n′U ′ sinU ′

]SphL−1 −

2niPA

n′U ′

[sin(I+U ′

2

)sin(I′−I2

)sinU ′

]. (3.28)

La ecuación anterior puede aplicarse a sistemas ópticos formados por k superficies a


lo largo de un eje común. Para pequeñas aperturas PA es aproximado a la altura y del rayo

meridional.

Usando relaciones de transferencia: U+ = U ′, u+ = u′, n+ = n′ y remplazándolas se

tiene:

SphLk =

[n1U1 sinU1

n′kU′k sinU

′k

]SphL0 +

k∑j=1

2niPA

n′kU′k

[sin(I+U ′

2

)sin(I′−I2

)sinU ′k

]. (3.29)

Donde el sub índice 0 es para el objeto, el sub índice k es para la superficie anterior y

el sub índice k + 1 es de la superficie de la imagen. El factor que acompaña SphL0 es el

aumento longitudinal de todo el sistema.

3.1.1. Aberración Esférica Primaria

La aberración esférica primaria es obtenida cuando la abertura es lo suficientemente

grande para alejarse de la aproximación paraxial y entonces producir aberración esférica,

pero, lo suficientemente pequeña para evitar los términos de alto orden.

Por tanto, si PA = y en la Ecuación 3.29, entonces:

SphLk =

[n1U

21

n′kU′2k

]SphL0 +

k∑j=1

niy(i+ u′)(i′ − i)2n′kU

′2k

. (3.30)

Donde el factor que acompaña a SphL0 es la magnificación longitudinal del sistema

óptico.

La ecuación anterior puede escribirse como:

SphLk =

[n1U

21

n′kU′2k

]SphL0 +

k∑j=1

SphLc, (3.31)


donde SphLc es la aberración esférica longitudinal y está dada por:

SphLc =yni(i+ u′)(i′ − i)

2n′ku′2k

=yni(i+ u′)

(nn′ i− i

)2n′ku

′2k

=y nn′ i

2(i+ u′)(n− n′)2n′ku

′2k

. (3.32)

Reescribiendo la expresión anterior se tiene:

SphLc =ny4F 2

2n′ky21

( nn′− 1)[(1

r− 1

l

)n

n′− 1

l

] [1

r− 1

l

]2, (3.33)

donde F es la distancia focal efectiva que se define como la distancia desde el plano

focal hasta un plano imaginario llamado plano principal y y1 es la altura de un rayo me-

ridional a la entrada de la pupila. Reemplazando y por S, (S2 = x2 + y2), debido a la

simetría de rotación del sistema óptico, la aberración esférica longitudinal puede escribir-

se como:

SphL = aS2, (3.34)

donde a es el coeficiente de la aberración esférica longitudinal.

Luego, la aberración esférica transversal:

SphT = bS3, (3.35)

donde b es el coeficiente de la aberración esférica transversal.

Los valores de la aberración esférica transversal son fáciles de obtener a partir de la

aberración esférica longitudinal:


u1 = −SphT0SphL0

,

u′k = −SphTkSphlk

. (3.36)

Es importante notar que la aberración esférica longitudinal es positiva, si el foco mar-

ginal está a la derecha del foco paraxial.

Usando la Ecuación 3.36 la aberración esférica transversal se puede escribir como:

SphTk =

[n1u1n′ku

′k

]SphT0 +

k∑j=1

SphTC, (3.37)

donde la contribución de la aberración esférica transversal es:

SphTC =y nn′ (n− n′)(i+ u′)i2

2n′ku′k

. (3.38)

Con frecuencia, la Ecuación 3.38 se expresa de la siguiente manera:

SphTC = σi2, (3.39)

dónde:

σ =y nn′ (n− n′)(i+ u′)

2n′ku′k

. (3.40)

Puesto que nuestro trabajo está enfocado a encontrar el diámetro de circulo de mínima

confusión del ojo, y éste se relaciona directamente con la aberración esférica transversal,

se generalizará la Ecuación 3.38 que se analizó para una sola superficie refractora para

una lente delgada o gruesa, recordando que una lente está compuesta por dos superficies

refractoras. Dicha relación se puede calcular a partir de la Ecuación 3.33 pero sumando


las contribuciones para las dos superficies:

SphT =(n− 1)l′22n2y2

[(1

r1− n+ 1

l1

)(1

r1− 1

l1

)2

y41 −(

1

r2− n+ 1

l′2

)(1

r2− 1

l′2

)2

y42

].

(3.41)

Particularizando el caso, para lentes delgadas, se tiene que:

SphT =(n− 1)kl′2y

3

2n

{(n2k − c1 + (n+ 1)ν1

)(nk − 2 (c1 − ν1)) + n (c1 − ν1)2

},

(3.42)

dónde:

ν1 =1

l1,

c1 =1

r1,

c2 =1

r2,

k = c1 − c2.

(3.43)

Hasta el momento, se puede analizar que la magnitud de la aberración esférica depende

de la forma de la lente y de las posiciones objeto e imagen.

La siguiente expresión de la aberración esférica para lentes delgadas fué calculada por

Conrady en 1957:

SphT = −l′ky3(G1k

3 −G2k2c1 +G3k

2ν1 +G4kc21 −G5kc1ν1 +G6kν

21

). (3.44)

Particularizando el caso, para objetos en el infinito l′k = f, y para objetos a una distan-

cia finita l′k = [k(n− 1) + ν1]−1 .


Donde, las funciones G de la ecuación 3.44 están determinadas por:

G1 =n2(n− 1)

2,

G2 =(2n+ 1)(n− 1)

2,

G3 =(3n+ 1)(n− 1)

2,

G4 =(n+ 2)(n+ 1)

2,

G5 =2 (n2 − 1)

n,

G6 =(3n+ 2)(n− 1)

2n.

(3.45)

De aquí se puede observar que la aberración esférica se incrementa con el cubo de la

abertura.

3.1.2. Polinomios de Aberración para la Aberración Esférica

En la sección 3.1.1, se encontraron expresiones para la aberración esférica, teniendo

en cuenta aberturas relativamente pequeñas, por lo que los términos de alto orden no se

consideraban. Pero si la abertura es grande se debe tener en cuenta la altura de los rayos.

Considerando ésta altura, se tiene:

ρ = S. (3.46)

La ecuación anterior representa la altura de los rayos en la pupila de salida donde


S2 = x2 + y2, entonces la aberración esférica longitudinal, esta dada por:

LA0(ρ) = a0 + a2ρ2 + a4ρ

4 + a6ρ6 + ... =

∞∑i=0

a2iρ2i, (3.47)

donde a0 es el desplazamiento longitudinal del foco paraxial de referencia, a2ρ2 es

la aberración esférica longitudinal primaria ó de 3 orden, a4ρ4 es la aberración esférica

longitudinal secundaria ó de 5 orden.

Luego, la aberración esférica longitudinal y transversal se pueden expresar a partir de

la Ecuación 3.36 de la siguiente manera:

u′k = −TA0(ρ)

LA0(ρ)= − ρ

rw, (3.48)

donde rw es el radio de curvatura del frente de onda esférico de referencia con semi-

diámetro unitario.

De manera general, si el radio de curvatura es la distancia de la pupila a la imagen:

rw = lk − l′k, (3.49)

entonces:

TA0(ρ) = b1ρ+ b3ρ3 + b5ρ

5 + b7ρ7 + ... =

∞∑i=0

b2i+1ρ2i+1, (3.50)

donde b1ρ es la aberración esférica transversal del rayo paraxial en el plano de obser-

vación, b3ρ3 es la aberración esférica transversal primaria SphT y

b2i+1 =a2irw. (3.51)

Otra forma útil de escribir estos polinomios es por medio de la aberración del frente


de onda:

W (ρ) = c2ρ2 + c4ρ

4 + c6ρ6 + c8ρ

8 + ... =∞∑i=0

c2i+2ρ2i+2. (3.52)

El desplazamiento4f del plano de observación con respecto al foco paraxial (positivo

si se aleja de la lente) está dado por:

4f = a0 = b1rw = −2c2r2w. (3.53)

3.1.3. Caústica

En presencia de la aberración esférica los rayos de luz siguen la trayectoria que se

ilustra en la Figura 3.8. En 1978, la envolvente de estos rayos fue llamada caústica por

Alejandro Cornejo et al. [64].

Figura 3.8: Cáustica de la aberración esférica primaria.

Donde L1 es la distancia desde el foco paraxial hasta el foco marginal, L2 es la distan-


cia desde el foco paraxial hasta la posición donde la desviación del frente de onda es cero,

L3 es la distancia desde el foco paraxial hasta donde se encuentra la cintura de la cáustica,

lugar donde se encuentra el mejor enfoque y L4 es la posición desde el foco paraxial hasta

el final de la caústica.

Asumiendo solo presencia de la aberración esférica primaria y usando las Ecuaciones

3.51 y 3.53, las cuales se reemplazan en la Ecuación 3.47, la aberración esférica longitu-

dinal medida en un plano con un foco desplazado en relación al foco paraxial, está dada

por:

LA0(ρ) = a0 + a2ρ2 = b1rw + b3rwρ

2 = b1rw + SphL(ρ). (3.54)

Y la aberración esférica transversal con el mismo foco desplazado está dada por:

TA0(ρ) = b1ρ+ b3ρ3 = b1ρ+ SphT (ρ). (3.55)

Por tanto, la desviación del frente de onda W medida en la pupila de salida, con res-

pecto a la esfera de referencia con un radio de curvatura rw, es:

W (ρ) = c2ρ2 + c4ρ

4 = − b12rw

ρ2 − b34rw

ρ4. (3.56)

Considerando el foco paraxial como el plano donde no hay desplazamiento de foco, se

tendría que:

b1 = 0, (3.57)

por lo tanto, a partir de la Ecuación 3.54, la distancia L1 del foco paraxial al foco mar-

ginal, que por definición es la aberración esférica marginal, se determinaría a partir de la

variación del frente de onda de la pupila máxima con respecto a una distancia normalizada,

en este caso a0, dada por:


(d(W (ρ))

dρ

)ρ=ρmax

= − b1rwρmax −

b3rwρ3max = 0.

Por lo tanto:

b1 = −b3ρ2max,

Como b1 =a0rw

, entonces:

L1 = a0 = −b3rwρ2max. (3.58)

De la Ecuación 3.56, la posición axial del centro de curvatura de la esfera de referencia

para obtener la desviación mínima del frente de onda en el borde de la pupila de salida se

obtiene cuando:

dW (ρmax)

drw=

b12r2w

ρ2max +b34r2w

ρ4max = 0,

reemplazando, se tiene:

W (ρmax) = b1 +b3ρ

2max

2. (3.59)

Teniendo en cuenta la convención de signos:

b1 =b3ρ

2max

2. (3.60)

A partir de la Ecuación 3.52, la distancia L2 del foco paraxial a la posición para la

mínima desviación del frente de onda en la pupila de salida es:

L2 = a0 = b1rw = −b32rwρ

2max =

L1

2. (3.61)

La cintura de la cáustica o mejor posición focal, que es la distancia desde el foco

paraxial hasta la cintura de la cáustica:


L3 = L1 −L2

2= −3

4b3rwρ

2max =

3

4L1. (3.62)

Por último para encontrar el final de la caústica, se impone la condición de que la

pendiente de TA(ρ) es una función de ρ y es igual a cero, al margen de la pupila de salida:

[dTA0(ρ)

dρ

]ρ=ρmax

= b1 + 3b3ρ2max = 0. (3.63)

Así,

b1 = −3b3ρ2max, (3.64)

usando de nuevo la Ecuación 3.54, la distancia L4 desde el foco paraxial al final de la

cáustica:

L4 = −3b3rwρ2max = 3L1. (3.65)

3.1.4. Relación de la Cintura de la Caústica con la profundidad de

foco

Una vez determinados los factores que influyen en la mejor posición de enfoque de una

lente simple con presencia de aberración esférica primaria, ecuación 3.62, se determinarán

los parámetros necesarios para encontrar la profundidad de foco de una lente simple de

distancia focal fija, teniendo en cuenta que para cámaras de foco fijo esta distancia se

utiliza para obtener la máxima profundidad de campo. Entendiéndose que la profundidad

de campo es mayor cuando más cerrado se encuentra el diafragma, ósea cuando menor es

el diámetro de la abertura de entrada de la lente.

De acuerdo a la Ecuación 3.62, la posición de la cintura de la cáustica es:


L3 = −3

4b3rwρ

2max =

3

4L1.

Luego el diámetro del círculo de mínima confusión, según [35] es:

w =2

c

[dW (ρ)

dρ

]ρ=ρmax

=2

c

(− b1rwρmax −

b3rwρ3max

),

como b1 =a0rw

, que es el desplazamiento del plano de observación con respecto al foco

paraxial, entonces:

w =2

c

(−a0r2wρmax −

b3rwρ3max

).

Si b3ρ2max = 2b1 =2a0rw

, entonces:

w = −6

c

(a0r2wρmax

). (3.66)

Por tanto el diámetro del círculo de mínima confusión (Figura 3.9), depende del despla-

zamiento del plano de observación con respecto al plano paraxial a0, el radio de curvatura

de la lente (r), el radio de curvatura del frente de onda esférico de referencia (rw) y la

distancia del eje óptico a un punto en el extremo de la pupila (ρmax).

Figura 3.9: Parámetros de dependencia de la cintura de la cáustica

Una vez determinado el diámetro del círculo de mínima confusión, encontraremos el


valor del rango de desplazamientos en el plano de observación, para obtener la profundidad

de foco del ojo, dado por:

a0 = −w.c.rw6.rw

(3.67)

Por tanto, si el sensor que se utiliza para determinar el diámetro del círculo de mínima

confusión es el ojo humano, y se requiere que su tamaño sea de 2 conos en la retina;

para una agudeza visual de 2020

, el diámetro del círculo de mínima confusión sería w =

5µm. Teniendo en cuenta el Modelo del ojo de Indiana [34], y considerando los valores

de diámetro máximo de la pupila=7mm, índice de refracción del humor vítreo=1.337 y

diámetro del círculo de mínima confusión=5µm,como se presentan en la Figura 3.10:

Figura 3.10: Valores adoptados para obtener la profundidad de foco del ojo

Realizando los cálculos para una superficie cuya distancia focal tiene en cuenta la

aproximación paraxial, la profundidad de foco es:

a0 = 6µm. (3.68)

Según lo analizado a lo largo de éste capítulo uno de los factores determinantes para el

cálculo de la aberración esférica es el tamaño de la pupila de entrada, parámetro que clíni-

camente no se altera, por tanto en el capítulo siguiente se estudiará otro factor importante


que es el perfil de la superficie de entrada, el cual puede ser cambiado por medio de cirugía

refractiva la cual tiene objetivo corregir las ametropías, modificando el poder dióptrico de

la córnea. Al ser la superficie anterior de la córnea el mayor componente refractivo del

sistema ocular, la mayoría de las técnicas refractivas actuan sobre ésta zona,consiguiendo

cambios significativos en la refracción. Por tanto si se implementa una técnica capaz de

medir éstas modificaciones, se podrá realizar un monitoreo de dicha cirugía.

Capítulo 4

Resultados experimentales de la

medición de la superficie anterior

de la córnea

Como fue descrito en los capítulos anteriores el conocimiento de la topografía de la

córnea tiene innumerables aplicaciones unas de ellas se citan en los siguientes trabajos

[15-17, 21, 27-31]. Actualmente, existen en el mercado diferentes dispositivos que permi-

ten recuperar la información de la topografía corneal, un ejemplo de ellos es el Orbscan R©y

el Pentacan R©, los cuales utilizan un sistema de iluminación que proyectan en la córnea,

y posteriormente realizan un barrimiento de ésta capturando las imágenes con una cámara

de vídeo cuya disposición angular con respecto a la superficie en estudio es conocida, por

tanto aplicando un método de triangulación se obtiene la información de la superficie en

estudio.

El inconveniente de estos dispositivos comerciales además de su costo, es el poco

control que se puede obtener sobre ellos. Es por eso, que poder acceder a un dispositivo

que proporcione la misma información que dispositivos comerciales pero que sea de fácil

69

Capítulo 4. Resultados experimentales de la medición de la superficie anterior de lacórnea 70

acceso es de vital importancia.

Utilizando el mismo principio de funcionamiento de dispositivos comerciales como el

Orbscan R©y Pentacan R©, se intento construir un dispositivo de reconstrucción tridimen-

sional de la superficie anterior de la córnea. Inicialmente se trato de proyectar un patrón

conocido (cuadrícula o línea) sobre un ojo de prueba, ver Figura 4.1, pero las imágenes

obtenidas para su posterior procesamiento presentaban un bajo contraste, tal y como se

muestra en la Figura 4.2, dificultando el procesamiento de imágenes, razón por la cual no

se puedo continuar con la idea.

Figura 4.1: Ojo de Prueba

Figura 4.2: Proyección de patrones conocidos

Posteriormente se pensó en mejorar el sistema de iluminación, entonces se utilizo co-

mo sistema de iluminación un Tearscope R©(Figura 4.3), el cual es un dispositivo fabricado


por Keeler Instruments Inc. Este instrumento es utilizado en optometría para observar la

película lagrimal de manera no invasiva y realizar evaluaciones sobre el tiempo de ruptura

y espesor de la capa lagrimal, para así, tener en cuenta dicho análisis en la adaptación de

lentes de contacto y en el tratamiento de la sequedad ocular.

Figura 4.3: Tearscope

Este dispositivo utiliza patrones de proyección diseñados por el Dr. Jean Pierre Gui-

llon, los cuales al proyectarse sobre una superficie corneal se observa distribuidos de ma-

nera uniforme Figura 4.4, facilitando el análisis cualitativo de la deformación de dicho

patrón al Optometrista.


Figura 4.4: Patrón del Tearscope proyectado sobre una superficie corneal

Antes de procesar las imágenes adquiridas se realiza un tratamiento digital con el fin

de eliminar el ruido presente debido a iluminación proveniente de la fuente de iluminación

utilizada, para lleva a cabo dicho procesamiento se recurre a la utilización de binarización

de imágenes, que tiene como principal objetivo lograr extraer o aislar regiones u objetos

de interés de las imágenes. Para extraer esta información se necesita aplicar algoritmos

sobre las imágenes, los cuales permitirán analizar la imagen de forma matemática y tomar

el control de ella.

La segmentación digital de una imagen se logra cuando se divide o se separa ésta, en

las partes u objetos que la conforman. La manera en la que logra esta subdivisión indicará

el método de segmentación utilizado. Los métodos más comunes de segmentación están

relacionados con las variaciones en la imagen de la intensidad de los niveles de escala

de grises, las diferencias de textura o colores entre vecindades de píxeles o simplemente

cambios drásticos en las intensidades de ciertas regiones de la imagen.

El proceso llevado a cabo después de la adquisición de la imagen consiste en identifi-

car la posición de los bordes de la córnea, para ello inicialmente se realiza un suavizado de

la imagen para reducir la influencia del speckle y del ruido de fondo debido a la ilumina-


ción ambiental con la ayuda de un filtro Canny ( Apéndice C), posteriormente el proceso

de binarización se lleva a cabo realizando un corte transversal en la imagen obtenida del

patrón proyectado; como su distribución en intensidades es aproximadamente Gaussiana

(Figura 4.5), se puede asumir que las coordenadas en la imagen de los puntos que repre-

sentan la intercepción del patrón proyectado con la superficie anterior de la córnea son en

aproximación, las coordenadas de la posición central del corte transversal.

Figura 4.5: Core transversal de la línea proyectada

Utilizando el rango de valores en niveles de gris de la Distribución Gaussiana del

patrón proyectado sobre el ojo, se definió un umbral de binarización según el siguiente

criterio:

UMBRAL = Imin +H(Imax − Imin), (4.1)


donde Imin e Imax son los valores de las intensidades mínimas y máximas respectiva-

mente de la Distribución Gaussiana y H es un valor comprendido entre 0 y 1 que se ajusta

dependiendo del nivel de ruido de toda la imagen. La posición del punto medio (PM )

del rango en píxeles con niveles de gris superior al valor del umbral, definen la posición

central de la Distribución Gaussiana.

Una vez llevado a cabo el procesamiento descrito anteriormente, se puede asumir que

las coordenadas (U,V) de los puntos que representan la intercepción del patrón proyectado

con la superficie del cuerpo a reconstruir son en aproximación, las coordenadas (U,V)

dadas en píxeles de la posición central del corte transversal. En la Figura 4.6, se muestra

el resultado de la aplicación de la teoría antes descrita sobre la imagen adquirida.

Sin embargo es importante resaltar, que hasta el momento todo el procesamiento apli-

cado es llevado a cabo sobre la imagen adquirida, la cual tiene como sistema coordenado

los píxeles, por tanto posteriormente se debe llevar a cabo un procedimiento para reali-

zar la conversión de las coordenadas de las cámaras a las coordenadas reales dadas en

milímetros.

Figura 4.6: Imagen binarizada del patrón proyectado con el Tearscope


4.1. Calibración X-Y del sistema de adquisición

Puesto que el procedimiento antes mencionado, da información de las coordenadas de

los puntos sobre la imagen binarizada en píxeles, se debe realizar un proceso de conversión

de píxeles a mm sobre el objeto para poder llevar a cabo la reconstrucción tridimensional

apropiada. Esta conversión se realiza utilizando un objeto patrón de dimensiones cono-

cidas, ubicándolo sobre el plano de ubicación de la superficie a reconstruir. En la Figura

4.7, se observan una imagen de un papel milimétrico, cuyos cuadros tienen 1mm de lado,

este papel fué utilizado como patrón de conversión. De esta imágen se puede apreciar cla-

ramente que no existe una alta influencia de las aberraciones geométricas en el objetivo

de la cámara, para ver esto, se ubican las líneas rectas en los extremos de las imágenes,

donde se puede apreciar que no existen deformaciones superiores a un píxel de la lineali-

dad del papel milimétrico. Por tanto, se puede aplicar un factor de conversión de píxeles a

milímetros directamente; de la imagen se encontró que estos factores, son:

Fx = 0, 0181mm

pixel,

y

Fy = 0, 0181mm

pixel.

Luego se procedió a encontrar la relación entre el patrón proyectado y el reflejado,

relación que típicamente es utilizada por los topografos corneales [65] [66], pero no se

obtuvieron los resultados esperados pues existía gran perdida de información entre el pa-

trón proyectado y el reflejado por la córnea en las Figuras 4.8 y 4.9, se presentan imagenes

adquiridas para el patrón de referencia y el reflejado por la córnea. Una manera de mejorar

la gran perdida de información sería realizar la captura simultanea de más de una imagen

para así solucionar los problemas presentes por las sombras producidas por las pestanãs,

así como también la inclusión de un sistema externo de iluminación para así poder tener


Figura 4.7: Imagen de un papel milimétrico ubicado verticalmente

un sistema de referencia en el momento de la unificación de la información.

Figura 4.8: Imagen del patrón de referencia


Figura 4.9: Imagen del patrón de referencia proyectado sobre la córnea

Para resolver el problema anterior inicialmente se propuso utilizar la proyección de

una línea, con la cual se realizaría un barrido circular para poder obtener la reconstruc-

ción de la superficie anterior de la córnea (Figura 4.10), por ello se decidió utilizar de un

dispositivo patentado por la Universidad de Minho Figura 4.11, el cual está compuesto bá-

sicamente por dos partes: un sistema de iluminación que permite obtener un haz en forma

de linea, y un sistema óptico para capturar las imágenes que posteriormente son procesa-

das. Todo el equipo está montado sobre un soporte que puede moverse horizontalmente y

verticalmente. También forman parte del equipo un soporte para la barbilla, donde el pa-

ciente apoya la cabeza durante las mediciones, y una computadora para el almacenamiento

de las imágenes y procesamiento de datos.

El sistema de iluminación es simple y compacto y se ha desarrollado de manera que

pueda realizar movimientos de rotación a alta velocidad. esta formado por una fuente de

luz, un sistema de colimación y una lente cilíndrica y una lente convergente. Es importante

resaltar que la lente cilindrica esta conectada a un motor que permite realizar rotaciones

controladas de ésta desde 0◦ hasta 360◦.


Figura 4.10: Línea proyectada sobre el ojo haciendo un berrido circular

Figura 4.11: Dispositivo utilizado, patentado por la Universidade do Minho


El haz de luz al centrarse en la córnea, produciendo una sección óptica y mediante su

rotación se obtienen secciones ópticas de varios meridianos de la córnea. Las imágenes

de las secciones ópticas obtenidas son capturados por dos cámaras CCD constituyendo,

junto con sus lentes, el sistema óptico del equipo. Las cámaras están dispuestas en planos

perpendiculares entre sí y sus ejes ópticos forman un ángulo conocido con respecto al haz

de luz.

Ambas cámaras están conectadas a un computador a través de una tarjetas de adqui-

sición y son controladas por un software que le permite adquirir las imágenes. Como el

haz de luz gira, las cámaras adquieren imágenes ópticas de varias secciones de la cór-

nea. Las imágenes obtenidas para cada una de las cámaras se utilizan posteriormente para

determinar la topografía de la córnea.

4.1.1. Procedimiento para la adquisición de las imágenes

Antes de la adquisición de las imágenes, el paciente debe apoyar la cabeza en el soporte

para barbilla. A continuación, con la ayuda del sistema de desplazamiento horizontal y

vertical, la línea de luz se enfoca sobre la córnea del paciente.

Luego, las dos cámaras adquieren imágenes simultáneamente, mientras que el haz de

luz gira, permitiendo obtener una exploración completa de la córnea. La adquisición se

hace en forma de una secuencia de imágenes, las cuales se analizan utilizando un algoritmo

desarrollado específicamente para este fin, utilizando el software Matlab R©.

Después de la adquisición de las imágenes para cada una de las cámaras Figuras 4.12

y 4.13, el primer paso consiste en identificar la posición de los bordes de la córnea en

cada una de las imágenes obtenidas, para ello se lleva a cabo el mismo procesamiento de

suavizado y binarización utilizado para la imagen obtenida con el Tearscope R©.


Figura 4.12: Imágenes capturadas por la Cámara 1

Figura 4.13: Imágenes capturadas por la Cámara 2

Este procedimiento se realiza para cada una de las imágenes adquiridas. Las Figuras

4.14 y 4.15, muestran los puntos representativos de la línea proyectada, capturadas para

las cámaras 1 y 2 usando un valor de H = 0.3.

Figura 4.14: Imágenes binarizadas para la Cámara 1


Figura 4.15: Imágenes binarizadas por la Cámara 2

Después, se llevo a cabo el mismo proceso de correspondencia entre las coordenada

en píxeles y las coordenadas en milímetros, para ello se utilizó un procedimiento similar

al descrito en la sección 4.1, para cada una de las cámaras, los resultados se presentan en

las Figuras 4.16 y 4.17.

(a) Imagen a 0 grados de barrido (b) Imagen a 30 grados de barrido

(c) Imagen a 150 grados de barrido

Figura 4.16: Secciones de la superficie anterior de la córnea para la cámara 1


(a) Imagen a 60 grados de barrido (b) Imagen a 90 grados de barrido

(c) Imagen a 120 grados de barrido

Figura 4.17: Secciones de la superficie anterior de la córnea para la cámara 2

Puesto que la idea fundamental es aprovechar las perspectivas de cada cámara para

reconstruir tridimensionalmente el objeto de interés, se hace necesario unificar la informa-

ción que proviene de cada una de ellas. Para llevar a cabo este proceso, se tuvo en cuenta la

coincidencia entre el eje visual y eje de iluminación, obteniendo los resultados mostrados

en la Figura 4.18.

Figura 4.18: Unificación de la información para las cámaras 1 y 2


Posteriormente, todos los puntos obtenidos de la unificación de información se ajustan

a un polinomio de cuarto grado, obteniéndose la forma de la superficies anterior de la

córnea, Figura 4.19.

Figura 4.19: Diferentes perspectivas de la superficie anterior de la córnea

Para verificar los valores obtenidos de radio de curvatura de superficie anterior de la

córnea se analizó al mismo paciente con un dispositivo comercial y los valores obtenidos

de observan en la Figura 4.20.


Figura 4.20: Valores de la superficie anterior de la córnea reportados por un topógrafo

comercial

En la Tabla 4.1, se presenta la comparación entre los valores de radio de curvatura

de la superficie anterior de la córnea reportados por el topografo corneal Orbscan y el

dispositivo utilizado.

Dispositivo utilizado Radio de curvatura promedio

[mm]

Patente Uminho 8.00±0.0182

Orbscan 7.990±0.001

Tabla 4.1: Valores reportados de la superficie anterior de la córnea por los dos dispositivos

Los resultados obtenidos demuestran que el dispositivo utilizado para obtener medidas

del radio de curvatura de la superficie anterior de la córnea junto con la técnica de proce-


samiento digital de imágenes utilizada presentan una alta presició al ser comparadas con

un dispositivo comercial.

Capítulo 5

Conclusiones y Trabajo a Futuro

En la realización del presente trabajo de investigación se puede concluir que:

Se demostró que el diámetro de mínima confusión para una superficie refractora de-

pende de su radio de curvatura y del diámetro de la pupila de entrada del sistema, lo cual

implica que si se utiliza un modelo esquemático como el de Emsley, se podrá disminuir la

aberración esférica cambiando el radio de curvatura de la córnea.

Se demostró que los resultados obtenidos con el dispositivo utilizado para obtener me-

didas del radio de curvatura de la superficie anterior de la córnea junto con la técnica de

procesamiento digital de imágenes utilizada, presentan una alta presición al ser compara-

das con un dispositivo comercial.

Se utilizó un dispositivo que permite por medio del procesamiento digital de imágenes

obtener medidas de la superficie anterior de la córnea directamente de ojos de humanos.

Como trabajo a futuro se pretende implementar un dispositivo de reconstrucción tri-

dimensional de la superficie anterior de la córnea en el Instituto Nacional de Astrofísica

Óptica y Electrónica, el cual permitirá obtener una colaboración interdisciplinar entre las

áreas de las ciencias exactas y la salud.

Se pretenderá utilizar este dispositivo para realizar medidas sobre pacientes en ámbito

86

Capítulo 5. Conclusiones y Trabajo a Futuro 87

clínico, permitiendo obtener la información suficiente para obtener una base de datos sobre

las deformaciones presentes en la superficie anterior de la córnea, lo cual permitirá que el

dispositivo se convierta en una valiosa herramienta de diagnóstico, para la adaptación de

lentes de contacto y la valoración y el seguimiento detallado en la cirugía refractiva.

Apéndice A

Anatomía Macroscópica de la

Córnea

Situada en la abertura anterior de la esclera, la córnea, tiene una superficie de 170

mm2,representa una sexta parte del área total de la parte externa del globo ocular. Vista

de frente,la córnea mide en el adulto aproximadamente entre 11-12.5 mm., en su diámetro

horizontal y 10.5-11.5 mm., en el vertical y es más fina en el centro (una media de 0.52

mm.) que en la periferia (0.65 a 0.75 mm). Tiene forma aproximada de casquete esférico

de curvatura mayor que el globo escleral (Figura A.1).

88

Apéndice A. Anatomía Macroscópica de la Córnea 89

Figura A.1: La Córnea

A.0.2. Anatomía Microscópica

Histológicamente está formada por cinco capas: epitelio, membrana de Bowman, es-

troma, membrana de Descemet y endotelio. En situación normal, carece de vasos sanguí-

neos y linfáticos.

A.0.2.1. Epitelio

Su espesor mide 50 µm, se renueva cada 7 días y representa cerca del 10 % del espesor

total de la córnea. El epitelio corneal esta formado por 5 ó 6 filas de células estratifica-

das, no querantinizadas las cuales se agrupan en tres tipos de células: células superficiales,

intermedias y basales. Las células superficiales, tiene una forma poligonal con un diáme-

tro entre 40-60 µm teniendo mayor espesor en el centro que en la periferia. Las células


intermedias tiene forma de alas y forman capas de células que migran para la superficie

de la córnea. Las células basales tienen una forma cilíndrica con una altura de 20 mm y

un ancho de 10 mm son las más activas de todo el epitelio corneal, están situadas más en

profundidad y componen la única capa de células columnares. La principal función del

epitelio es proteger al ojo de los traumas externos, impedir el paso de desechos y bacterias

a otras capas de la córnea.

A.0.2.2. Membrana de Bowman

Es una zona acelular, de 10 a 15 µm de espesor, situada debajo del epitelio. El mar-

gen anterior limita anteriormente con la membrana basal del epitelio y el borde posterior

se mezcla con las fibras de colágeno anteriores del estroma. Bajo microscopia óptica, la

membrana de Bowman parece homogénea, pero la microscopia electrónica permite obser-

var que está compuesta por fibrillas cortas de colágeno tipo I (cuya función principal es

presentar resistencia al estiramiento), con diámetros de 20 a 25 µm y bandas de 67 µm,

dispuestas al azar en una matriz amorfa. (Figura A.2).

Figura A.2: Esquema de la membrana basal epitelial, Estructuras de anclaje y Capas de

Bowman


Se suele considerar que la capa de Bowman es resistente al traumatismo, ofreciendo

una barrera a la invasión corneal por microorganismos y células tumorales, pero no se

ha demostrado. Por otro lado, se ha constatado que la membrana de Bowman carece de

capacidad regeneradora cuando se lesiona. Durante la curación de la herida se forma una

capa delgada, con una fina estructura idéntica a la de la capa de Bowman; sin embargo,

esta capa secundaria no recupera su espesor original.

A.0.2.3. Estroma

Es un tejido conectivo denso, que constituye aproximadamente el 90 % del grosor de la

córnea. Consta fundamentalmente de fibras de colágeno, células y sustancia fundamental.

El 78 % es agua. Las fibrillas de colágeno corresponden aproximadamente al 80 % del

peso seco de la córnea, la sustancia fundamental el 15 % y los elementos celulares tan

sólo un 5 %.

A.0.2.4. Membrana De Descemet

Tiene un espesor de aproximadamente unos 3 µm al nacer y 8 a 10 µm en el adulto.

Es una lámina basal gruesa producida por el endotelio. Mediante microscopia electrónica

se observa que la membrana de Descemet está compuesta por zonas anterior en banda y

posterior homogénea. La zona anterior se produce en el útero, aproximadamente a los 4

meses de gestación y la porción posterior se produce después del nacimiento, y su grosor

aumenta con la edad, más en las mujeres, llegando a ser el doble que en los hombres hacia

los 70 años [67]. Periféricamente, aparecen en el ojo normal engrosamientos localizados

de la membrana de Descemet, que reciben el nombre de cuerpos de Hassall-Henle. A

diferencia de la capa de Bowman la membrana de Descemet se desprende del estroma con

facilidad, regenerándose con rapidez tras la lesión. (Figura A.3).


Figura A.3: Membrana de Descemet y Endotelio

A.0.2.5. Endotelio

Posteriormente a la membrana de Descemet se encuentra una única capa da células

planas hexagonales. La microscopia electrónica permite observar las células normales de

superficie plana con bordes netamente delimitados. Las células endoteliales, de forma más

cuboidea y de una altura aproximada de 10 µm al nacer, se aplanan con la edad hasta

aproximadamente 4 µm en los adultos. Por lo general, no existe actividad mitótica en el

endotelio tras el nacimiento. Algunas células endoteliales mueren a lo largo de la vida,

dando como resultado una disminución gradual de la población de células endoteliales

con la edad. Cuando se produce una pérdida celular por la edad o por un traumatismo, las

células vecinas cubren la zona que ha quedado vacía. Ello da como resultado un aumento

del área celular y una disminución de la densidad celular.

Apéndice B

Descripción cuantitativa de la

córnea

B.1. Descripción Cuantitativa

La descripción cuantitativa de la superficie anterior de la córnea puede ser dividida en

cuatro zonas geográficas del ápex al limbo, que se pueden observar con la vídeoqueratos-

copía en color (Figura B.1) [41]:

93

Apéndice B. Descripción cuantitativa de la córnea 94

Figura B.1: Zonas de la córnea

La primera zona, es la central o óptica que mide entre 3 ó 4 mm, cubre la pupila y

es la responsable de la visión de alta definición. La parte central es casi esférica y su

curvatura no varía más de 0,05 mm., (0,25 D)[68, 69], se denomina ápex o vértice corneal.

La segunda zona es la para-central mide entre 7 u 8 mm., su radio de curvatura es mayor

que el de la zona central y en ella la córnea empieza a aplanarse junto con la zona central;

es muy importante para adaptar lentes de contacto. La tercera es la zona periférica la cual

mide 11 mm. aproximadamente,es la zona de máximo aplanamiento y la cuarta es la zona

límbica que mide 12 mm., que es como un anillo de 0,5 a 1,00 mm de ancho junto a la

esclera.

B.1.1. Centro de la Córnea

La mayoría de los sistemas ópticos hechos por el hombre tienen simetría de rotación

alrededor de una línea, conocida como el eje óptico. Si las superficies refractoras son

esféricas, ésta es la línea que une los centros de curvatura de estas superficies. Por el

contrario, para describir plenamente las propiedades ópticas del ojo humano, es necesario


introducir diferentes tipos de ejes. Esto es debido a la carencia de simetría del ojo y debido

a que el punto de fijación y la fóvea no se sitúan a lo largo del eje de simetría más adecuado.

Normalmente, para describir a la córnea se tienen en cuenta cuatro ejes: el eje visual, el

centro geométrico, el apex corneal y el centro de la pupila de entrada [34].

El centro geométrico, o anatómico, es el punto equidistante de dos puntos opuestos

del limbo (Figura B.2) que es una zona de transición de aproximadamente tiene 1 mm

de ancho entre la córnea y la esclerótica. Se utiliza como un punto de referencia en la

adaptación y evaluación de lentes de contacto.

Figura B.2: Ubicación del Limbo

El punto de intersección con el eje visual de la córnea se denomina visual, es el punto

de referencia en la descripción de las propiedades ópticas tanto de la córnea como todo el

sistema ocular. Algunos autores sugieren que este centro es coincidente con el vértice de

la córnea.

El apex corneal es el punto de mayor curvatura de la córnea (o un radio menor de

curva).

Desde el punto de vista óptico, la pupila hace el papel de diafragma del sistema ocular

limitando los rayos luminosos que pasan al interior del ojo. El centro de la pupila de

entrada es la intercepción de la línea que une el punto de fijación y el centro de la pupila.

En la Figura B.3, se ilustran los ejes ópticos del ojo humano.


Figura B.3: Ejes ópticos del ojo humano

B.1.2. Direcciones de la córnea

Para describir la topografía de la córnea, es importante definir una localización. Nor-

malmente, esta localización se hace a lo largo de meridianos que son líneas que cruzan

a la córnea a lo largo de su diámetro desde un punto del limbo hasta otro punto opuesto.

La designación de los meridianos depende del ángulo que hace con respecto a la línea

horizontal, comenzando por 0◦, continuando con la dirección contraria a las manecillas

del reloj hasta 180◦, Figura B.4. Otro concepto manejado es el de semi-meridiano, que

corresponde a una línea que une el centro de la córnea con un punto del limbo, Figura B.4.


Figura B.4: Representación esquemática de meridiano y semi-meridiano de la córnea

B.2. Descripción punto a punto

En esta descripión, se representan los valores de los radios de curvatura, en diferen-

tes lugares de la córnea. Aunque este método parece sencillo, es difícil de asimilar una

impresión general de la forma de la córnea representada por un conjunto de números. Pa-

ra hacer más fácil la evaluación de la topografía corneal, estos valores se representan en

forma de gráfico de curvas de nivel. Hay varios formatos posibles para la determinación

y presentación de la topografía corneal [70], cada uno tiene sus ventajas, limitaciones y

aplicaciones.

B.2.1. Elevación corneal

Una forma de describir la forma de la topografía de la córnea es determinar la variación

punto a punto de su elevación con respecto a un plano de referencia. Generalmente, este

plano de referencia se ubica de manera tangencial al vértice de la córnea o situado al

nivel del limbo. Aunque esta técnica permite obtener una impresión general de toda la

topografía de la córnea, pueden pasar desapercibidas pequeñas deformaciones de ella. Es

por eso, que los topógrafos comerciales utilizan superficies de referencia esféricas (Figura


B.5) para observar las variaciones de esas pequeñas alteraciones.

Figura B.5: Elevación corneal medida con respecto a una superficie esférica de referencia

B.2.2. Pendiente y curvatura

La topografía corneal tambien puede ser descrita en términos de la pendiente, que

puede ser obtenida a partir de la pendiente de la córnea que se puede obtener mediante el

cálculo de la primera derivada. Los sistemas de topografía basados en anillos de Plácido

miden directamente la pendiente de la superficie anterior de la córnea y a partir de ésta

determinan la curvatura y la potencia corneal.

Una forma alternativa de expresar la forma de la superficie de la córnea es a través de

su curvatura, la cual puede definirse de dos maneras diferentes: curvatura axial y curvatura

tangencial. Puesto que el inverso de la curvatura de un punto determina su radio, hay dos

tipos de radio de curvatura que se utilizan comúnmente en la descripción de superficie de

la córnea y para calcular la potencia de la córnea, el radio de curvatura axial y el tangencial.

B.2.2.1. Radio de curvatura axial

También es llamado radio de curvatura sagital o global, para todos los puntos de la

superficie, el radio se mide con respecto a su origen a lo largo del eje visual del sistema.


La precisión de estas medidas tiende a disminuir según se avanza hacia la periferia de la

superficie en cuestión, Figura B.6.

Figura B.6: Radio de curvatura axial

B.2.2.2. Radio de curvatura tangencial

También designado como instantáneo o local, es independiente de cualquier eje, de-

pende solo de la curvatura de cada zona corneal. Para una superficie asferica como la

córnea los centros de curvatura no están localizados, por tanto esta medida hace referencia

al radio de la esfera que mejor ajusta la curvatura para un área circunscrita que cubre las

inmediaciones del punto en cuestión. La ventaja de este método es que representa más fiel-

mente aquellos puntos de la periferia o aquellas áreas con irregularidades focales, Figura

B.7.


Figura B.7: Radio de curvatura tangencial

El radio de curvatura tangencial, puede calcularse a partir de la siguiente Ecuación:

rt =(1 + ( dy

dx)2)3/2(

∂2y∂x2

) . (B.1)

Apéndice C

Algoritmo de Canny

El proceso llevado a cabo se realizo utilizando el algoritmo de Canny, el cual es un

método para la detección de bordes, que se basaba en tres criterios, estos son:

- Criterio de detección: expresa el hecho de evitar la eliminación de bordes importan-

tes y no suministrar falsos bordes.

- Criterio de localización: establece que la distancia entre la posición real y la locali-

zada del borde se debe minimizar.

- Criterio de una respuesta: integra las respuestas múltiples correspondientes a un

único borde.

Uno de los métodos relacionados con la detección de bordes es el uso de la primera

derivada, la que es usada por que toma el valor de cero en todas las regiones donde no

varía la intensidad y tiene un valor constante en toda la transición de intensidad. Por tanto

un cambio de intensidad se manifiesta como un cambio brusco en la primera derivada,

característica que es usada para detectar un borde, y en la que se basa el algoritmo de

Canny.

El algoritmo de Canny consiste en tres grandes pasos:

101

Apéndice C. Algoritmo de Canny 102

• Obtención del gradiente: en este paso se calcula la magnitud y orientación del vector

gradiente en cada píxel.

• Supresión no máxima: en este paso se logra el adelgazamiento del ancho de los

bordes, obtenidos con el gradiente, hasta lograr bordes de un píxel de ancho.

• Histéresis de umbral: en este paso se aplica una función de histéresis basada en

dos umbrales; con este proceso se pretende reducir la posibilidad de aparición de

contornos falsos.

C.0.3. Obtención del gradiente

En este paso se calcula la magnitud y la orientación del vector gradiente en cada uno

de los píxeles de la imagen. Antes de calcular el vector gradiente, se realiza un suavizado

de la imagen original y una eliminación del posible ruido a partir de la aplicación de un

filtro gaussiano sobre la imagen. El filtrado gaussiano se puede interpretar como la convo-

lución de la imagen con una máscara predefinida, cuyos elementos vienen determinados

por la desviación estándar del filtro σ y por una constante c. Tal y como se muestra a con-

tinuación, los elementos de la máscara de convolución se calculan mediante la siguiente

ecuación:

Gσi,j = c.e

−(i2 + j2)

2σ2 , (C.1)

donde:

i, j: Fila y columna de cada elemento de la máscara considerando que el origen se encuen-

tra en el centro de dicha máscara.

c:Constante por la que se debe multiplicar cada elemento para que la suma de todos ellos

sea igual a 1.

σ:Desviación estándar del filtro cuyo valor está comprendido entre 0 y 3 (cuánto más


cercano a 3 sea el valor de σ , más suavizada quedará la imagen original).

Una vez se suaviza la imagen, para cada píxel se obtiene la magnitud y la orientación

del vector gradiente. El vector gradiente de una imagen f(x,y) en un punto (x,y), se define

como un vector bidimensional dado por la ecuación:

G[f(x, y)] =

Gx(x, y)

Gy(x, y)

=

∂f(x, y)

∂x∂f(x, y)

∂y

,el vector gradiente es un vector perpendicular al borde que apunta en la dirección de

máxima variación de intensidad (de negro a blanco). Su magnitud |G[f(x, y)]| y dirección

φ(x,y) vienen dadas por:

|G[f(x, y)]| =√G2x(x, y) +G2

y(x, y), (C.2)

φ(x,y) = arctanGy(x, y)

Gx(x, y). (C.3)

Cuanto mayor sea esta variación de intensidad, mayor será la magnitud del vector

gradiente.

C.0.3.1. Supresión no máxima al resultado del gradiente

En este segundo paso se realiza una supresión de los píxeles que no presentan una

máxima variación de intensidad (pequeña magnitud del vector gradiente). Para ello, se

consideran las direcciones de 0◦,45◦, 90◦ y 135◦ (respecto al eje horizontal) y a cada píxel

se le asigna una de estas direcciones (la que más se aproxime a la dirección del vector

gradiente calculada anteriormente). A continuación, se compara la magnitud del vector

gradiente en la dirección asignada con la de al menos uno de sus píxeles vecinos en esa

dirección. En el caso de que esta magnitud sea menor, se le asigna un 0 de magnitud a

dicho píxel; de lo contrario, se le asigna al píxel el valor que tenga la magnitud del vector


gradiente. Siguiendo este mismo procedimiento para cada uno de los píxeles, se consigue

suprimir los píxeles que no presentan una elevada variación de intensidad y se obtienen

los píxeles que se podrían considerar como posible ’borde’. Un dato importante a añadir

sería la introducción de ruido durante este procedimiento, el cual podría ocasionar una

confusión en la asignación de valores de magnitud del vector gradiente de cada uno de

los píxeles. De ser así, los píxeles con valor de magnitud 0 podrían pasar a tener un valor

diferente y a considerarse como ’borde’.

C.0.4. Histéresis de umbral a la supresión no máxima

Un último paso en la aplicación del algoritmo de Canny es la realización de una histé-

resis de umbral con el objetivo de eliminar el posible ruido detectado en el paso anterior.

Se consideran dos umbrales (el primero más pequeño que el segundo), de manera que pa-

ra cada píxel de la imagen (con valor diferente de 0) se observa si la magnitud del vector

gradiente es superior al segundo umbral; de ser así, se asignará un 1 a dicho píxel. De lo

contrario, se tendrá que comparar si ese valor de magnitud es superior al primer umbral.

En el caso de que sea superior, también se asignará un 1 a ese píxel, pero si se trata de un

valor inferior, se le asignará un 0 (es decir, por debajo del primer umbral no se detectará

ningún píxel como borde). Como resultado, se obtiene una imagen binaria (salida de la

función) que en adelante se representará como una matriz.

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medición del perﬁl de la cara anterior de la córnea y su ... · agradecimientos a dios por...

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