Ecuaciones semilinealescon espectro discreto

José F. Caicedo Alfonso Castro

Ecuaciones semilinealescon espectro discreto

Bogotá, D. C., Colombia, agosto de 2012

FACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

© Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas © José F. Caicedo Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas, sede Bogotá Alfonso Castro Harvey Mudd College Department of Mathematics Claremont, CA, EUA

ilustración portada y contraportada Profesor Gustavo RubianoDepartamento de Matemáticas

isbn 978-958-761-242-4 Mathematics Subject Classification (MSC2010): 35-XX

Primera edición, 2012

Bogotá, Colombia Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales

Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia Caicedo Contreras, José Francisco, 1939- Ecuaciones semilineales con espectro discreto / José F. Caicedo, Alfonso Castro. – Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012 xiv, 178 p.

Incluye referencias bibliográficas ISBN : 978-958-761-242-4

1. Ecuaciones diferenciales parciales 2. Ecuaciones diferenciales semilineales 3. Teoría espectral (Matemáticas) 4. Análisis funcional II. Castro Buitrago, Alfonso, 1950- II. Tít. CDD-21 515.353 / 2012

Contenido

Prólogo ix

1 Conservación de energía 1

1.1 El método de Cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Soluciones positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Soluciones Oscilatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Plano de fase, energía, valor intermedio 11

2.1 Principio de Contracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Alternativa de Fredholm, caso semilineal . . . . . . . . . . 13

2.4 Plano de fase, ecuación superlineal . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Valor intermedio generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 19

vVII

XI

vi CONTENIDO

2.6 Sistemas con acoplamiento débil . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7 El método de líneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Problemas radialmente simétricos 25

3.1 Identidad de Pohozaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Caso radialmente simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Energía y plano de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Métodos de Orden 31

4.1 Principio del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Supersoluciones y subsoluciones . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Grado, género, teoría L-S 37

5.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Grado de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Aplicaciones de Teoría de grado . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Grado de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Aplicaciones del grado de L-S . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.6 La noción de género . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.7 Teorema de Liusternick-Schnirelman . . . . . . . . . . . . 78

5.8 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Bifurcación 85

6.1 Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

VIII

CONTENIDO vii

6.2 Teoremas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 El método de Lyapunov-Schmidt 97

7.1 Introdución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3 Ejemplos de problemas variacionales . . . . . . . . . . . . 102

7.4 Lemas de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.5 El espectro del operador de Laplace . . . . . . . . . . . . . 117

7.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.7 Otros problemas variacionales . . . . . . . . . . . . . . . 132

8 Otros principios variacionales 135

8.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.2 Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.3 La noción de seudogradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.4 El lema de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.6 Principios de minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.7 Aplicaciones de los principios de minimax . . . . . . . . . 148

8.8 La variedad de Nehari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A Funciones de Green 163

Bibliografía 167

IX

Prólogo

Este libro está diseñado como un primer curso sobre ecuaciones di-ferenciales semilineales para estudiantes con conocimientos básicos deálgebra lineal, análisis matemático y ecuaciones diferenciales. El estu-dio del primer capítulo solamente requiere de conocimientos básicos deecuaciones diferenciales elementales. Para el segundo capítulo se necesitamanejo de las coordendas polares y el teorema del valor intermedio. Loanterior, más conocimiento de ecuaciones diferenciales ordinarias singu-lares facilitan el estudio del capítulo 3. En el capítulo métodos de orden,se usa a menudo el papel de las segundas derivadas parciales por su im-portancia para determinar mínimos o máximos locales. El estudio de loscapítulos 5 a 8 requiere de cierta familiaridad con conceptos básicos delanálisis funcional tales como la integral de Lebesgue, espacios de Hilberty espacios Lp.

Por ecuación semilineal entendemos una ecuación de la forma

L(u) +N(u) = 0, (1)

donde L es un operador lineal y N es un operador no lineal de caracte-rísticas tales como dependencia en menos derivadas que L. Prototipo deestos problemas es la ecuación

Δu+ g(x, u) = 0, x ∈ Ω; u(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (2)

donde Δ denota el operador de Laplace y Ω, una región en Rn. Pararegiones acotadas, el operador de Laplace, sujeto a las condiciones de

ixXI

x CAPÍTULO 0. PRÓLOGO

frontera en (2), tiene espectro discreto; es decir, sus valores propios for-man una sucesión sin punto de acumulación en la recta real. En efecto,ellos son una suceción decreciente, convergente a −∞ y todos tienen mul-tiplicidad finita. Para ver cuan abierta está esta area del conocimiento,notamos que el operador de D’Alembert �u ≡ ∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2 sujeto a lascondiciones u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t) = u(x, t + 2π) también tie-ne espectro discreto ({k2 − j2; k = 1, 2, . . . , j = 0, 1, . . .}), pero el valorpropio 0 tiene multiplicidad infinita. Esto es causa de que muchas de laspropiedades de solubilidad de (2) no se puedan llevar a

�u+ g(t, x, u) = 0, u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, t) = u(x, t+ 2π). (3)

Complicaciones mayores surgen en el anterior problema cuando sepide que en las soluciones el período en la variable t sea múltiplo irra-cional de 2π, es decir, 2τπ con τ irracional, (ver [15]). En esos casos, 0no es valor propio y el espectro puede tener puntos de acumulación (ver[54]). En general podemos decir que la solubilidad de (1) está determi-nada por la interacción de la derivada de N con el espectro de L. Unpunto de partida para este análisis son las notas 8.4 y 8.5 Allí se ve quesi el rango de la derivada de N no intersecta el espectro de −L entonces(1) tiene una única solución. El teorema 7.5, debido a A. Ambrosetti yG. Prodi, demuestra que cuando el rango de N ′ intersecta el espectro de−L, bien puede ser que la ecuación (1) no tenga solución o tenga más deuna solución. En el caso del teorema 7.5 puede decirse que el rango deloperador L+N es como el de una función cuadrática, una parábola. Amedida que el rango de N ′ incluye más valores propios la ecuación (1)puede tener más soluciones. Esto se pone de manifiesto en los teoremas1.2 y 7.5.

Queremos hacer énfasis en que los últimos dos capítulos están inti-mamente ligados. Son muchas las oportunidades que aparecen al mezclarlas técnicas de reducción del capítulo 7 con los principios de minimaxdel capítulo 8 (ver [27] y [24]). Los teoremas 8.2 y 8.3 merecen espe-cial atención pues dan existencia de puntos críticos en la ausencia desimetrías.

No hemos pretendido hacer un tratado exhaustivo del progreso enanálisis funcional no lineal sino dar conocimientos suficientes que moti-ven el estudio de problemas de actualidad. En los últimos capítulos sepresentan problemas y bibliografía para iniciarse en la investigación dela solubilidad de problemas no lineales.

XII PRÓLOGO

xi

Los autores agradecen a la Universidad Nacional de Colombia, sedeBogotá, y a Harvey Mudd College, y a sus departamentos de matemá-ticas, por su hospitalidad; sin esta, culminar el presente libro hubieratomado muchos años más.

Claremont, California, mayo de 2012

XIIIPRÓLOGO

CAPÍTULO 1

Conservación de energía

1.1 El método de Cuadratura

Comenzamos explicando cómo obtener información acerca de solu-ciones de ecuaciones de la forma:

u′′(t) + f(λ, u(t)) = 0, t ∈ [0, π], (1.1)

u(0) = u(π) = 0 (1.2)

λ ∈ R, usando “cuadratura”. Por cuadratura entenderemos el análisis de(1.1) a través de observar que si (1.1) se multiplica por u′(t), entoncesesta ecuación queda reducida a una ecuación cuadrática de primer orden.En efecto, multiplicando (1.1) por u′(t) tenemos que

1

2

((u′(t))2

)′+ (F (λ, u(t))′ = 0, (1.3)

1

2 CAPÍTULO 1. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

donde F (λ, x) =∫ x0 f(λ, s) ds. Es decir,

(u′)2 + 2F (λ, u) = C, (1.4)

donde C es independiente de t. La ecuación (1.4) es, en efecto, una formade conservación de energía.

Si la ecuación (1.1), sujeta a condiciones iniciales, tiene unicidad desoluciones (por ejemplo, cuando f es localmente Lipschitziana en la se-gunda variable), vemos que las soluciones de (1.1) son simétricas conrespecto a sus puntos críticos. Es decir:

Lema 1.1. Si u es solución de (1.1) en [a, τ ] y u′(τ) = 0, entoncesu(t) = u(2τ−t) es solución de (1.1) en [τ, 2τ−a]. Si además (1.1) sujetaa condiciones iniciales tiene solución única, entonces u(τ + t) = u(τ − t)para todo t ∈ [0,mın{τ, π − τ}].

Demostración. Sean v(t) = u(t+τ), y w(t) = u(τ−t). Fácilmente vemosque v, w son soluciones de (1.1) (nótese que sólo intervienen las derivadasde orden par y que f no depende de t). Como v(0) = w(0) = u(τ), yv′(0) = u′(τ) = w′(0) = 0, obtenemos que v, w satisfacen la mismacondición inicial. Luego, por unicidad de soluciones v(t) = u(t + τ) =w(t) = u(τ − t), prueba el lema. �

El lema anterior implica que aun cuando el problema de valor inicialno tenga una única solución, si se conoce una solución en un intervalo[a, b] y u′(a) = u′(b) = 0, entonces simetrizando alrededor de a y de b,se puede extender la solución de la ecuación diferencial en (1.1) en R.

A continuación usamos las anteriores observaciones para entender laestructura de las soluciones del problema (1.1)-(1.2) cuando λ > 0 yf es positiva. También las usamos en el caso en que f es “superlineal”para cada λ ∈ R para probar que el problema (1.1)-(1.2) tiene infinitassoluciones (ver teorema 1.2).

1.2 Soluciones positivas

En esta sección consideramos el caso en que el término no lineal espositivo. Demostramos:

1.2. SOLUCIONES POSITIVAS 3

Lema 1.2. Si f(λ, t) ≥ 0 para todo λ > 0 y todo t ∈ R y f es continua,entonces:a) Las soluciones de (1.1)-(1.2) o son positivas en (0, π) o son idéntica-mente nulas.

b) Si u, v son soluciones de (1.1)-(1.2) y u(π2 ) > v(π2 ), entoncesu(t) > v(t) para todo t ∈ (0, π).

c) Además si u �= v, entonces F (λ, u(π2 )) �= F (λ, v(π2 )).

Demostración. Sean G : [0, π]× [0, π] → R definida por:

G(s, t) =

{s(π−t)

π , si 0 ≤ s ≤ t,t(π−s)

π , si t ≤ s ≤ π.(1.5)

Para la construcción de esta función, ver anexo (Funciones de Green).

Un cálculo elemental demuestra que (1.1)-(1.2) es equivalente a

u(t) =

∫ π

0G(s, t)f(λ, u(s)) ds, para todo t ∈ [0, π]. (1.6)

Como el integrando en (1.6) es no negativo, vemos que u(t) ≥ 0 paratodo t ∈ [0, π]. Ya que para cada t ∈ [0, π] G(., t) es positiva en (0, π),obtenemos que si u(τ) = 0 para algún τ ∈ [0, π], entonces f(λ, u(s)) = 0para todo s ∈ (0, π). Luego u(t) = 0 para todo t ∈ (0, π), esto demuestraa).

Sea τ punto crítico de u. De (1.4) tenemos:

(u′(t))2 = 2F (λ, u(τ))− 2F (λ, u(t)), para todo t ∈ [0, π].

En particular u′(0) = −u′(1) =√

2F (λ, u(τ)), donde τ es tal queu(τ) = max{u(t); t ∈ [0, π]}. Si F (u(τ) = 0, vemos que u′ ≡ 0, luegou ≡ 0. Pero si F (u(τ)) �= 0, tenemos que tanto u como v(t) = u(π − t)satisfacen:

u′(t) =√

2F (λ, u(τ))− F (λ, u(t)), u(0) = 0 en [0, τ1), (1.7)

v′(t) =√

2F (λ, v(τ))− F (λ, v(t)), v(0) = 0 en [0, τ2), (1.8)

4 CAPÍTULO 1. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

donde τ1 = sup{t; u(t) < u(τ)}, τ2 = ınf{t;u(t) ≤ u(τ)}. Ya que ellado derecho de las ecuaciones (1.7)-(1.8) es el mismo y es localmenteLipschitziano en [0, u(τ)), por el teorema de unicidad de soluciones paraproblemas de valor inicial tenemos:

u(t) = v(t) = u(π − t) en [0, τ1), τ1 = π − τ2.

Ahora si τ2 ≤ τ1, se puede demostrar que u(τ1) = u(τ2) = u(t)(ejercicio). Luego u(t) = u(π − t) también [τ1, τ2], es decir, tenemos:Si u satisface (1.1)-(1.2), entonces:

u(π

2) = max{u(t); t ∈ [0, π]} y u(t) = u(π − t). (1.9)

Es decir, u es simétrico con respecto a π2 .

Sean u, v dos soluciones de (1.1)-(1.2) tales que u(π2 ) > v(π2 ). De(1.4) tenemos∫ u(t)

0

du√F (λ, u(π2 ))− F (λ, u)

= t√2 t ∈ [0, τ1], (1.10)

∫ v(t)

0

du√F (λ, u(π2 ))− F (λ, v)

= t√2 t ∈ [0, τ2]. (1.11)

Ya que F es creciente en la segunda variable, de las igualdades (1.10)-(1.11) obtenemos:

u(t) = v(t) ∀t si y sólo si F(λ, u

(π2

))= F

(λ, v

(π2

)). (1.12)

Además si F (λ, u(π2 )) > F (λ, v(π2 )), entonces u(t) > v(t) para todot ∈ (0, π), esto demuestra las partes b) y c). �

Ahora podemos demostrar:

Teorema 1.1. Sean g : R → R continua y positiva y f(λ, u) = λg(u).Si lımu→∞

g(u)u = ∞, entonces existe λ∗ > 0 tal que para 0 < λ < λ∗ el

problema (1.1)-(1.2) tiene por lo menos dos soluciones, y para λ = λ∗

por lo menos una solución. Si u, v satisfacen (1.1)-(1.2) y u(π2 ) < v(π2 ),entonces u(t) < v(t) para todo t ∈ (0, π).