C A P I T U L O I

I N T R O D U C C I O N AL E S T U D I O DE M E C A N I S M O S

I n t r o d u c c i ó n :

D e s d e la a n t i g ü e d a d se h a n e m p l e a d o m á q u i n a s y

m e c a n i s m o s pa r a s u s t i t u i r el t r a b a j o humano; en el

p a s a d o a y u d a r o n en las t a r e a s de c a c e r í a y en t r a ­

ba-jos m a n u a l e s . H o y día los m e c a n i s m o s se e n c u e n ­

t r a n en todas p a r t e s : en la a g r i c u l t u r a , en la in-

dus.tria textil, la i m p r en t a , s i s t e m a s de transporte,

e m p a c a d o , m á q u i n a s h e r r a m i e n t a s , a p a r a t o s dome'sticos

c o m p u t a d o r a s , c o h e t e s e s p a c i a l e s , la radio, la t e ­

l e v i s i ó n , y así s u c e s i v a m e n t e .

En los n u e v o s p r o c e s o s de p r o d u c c i ó n , el c r e c i ­

m i e n t o de la m e c a n i z a c i ó n y la a u t o m a t i z a c i ó n en

t o á o s l o s órdenes de la i n d u s t r i a e x i g e n m u c h o s meca­

n i s m o s y m á q u i n a s f u n c i o n a l e s . Las m á q u i n a s más

a n t i g u a s se d e b e n r e e m p l a z a r , y a sea, por otras más

ó p t i m a s , que e f e c t ú a n el m i s m o t r a b a j o co n m a y o r

r a p i d e z y e f i c i e n c i a o p o r n u e v o s d i s e ñ o s p a r a s a ­

t i s f a c e r nuevos c o n c e p t o s e i n v e n t o s .

P o r tanto, el i n g e n i e r o o el d i s e ñ a d o r de m e ­

c a n i s m o s debe p o s e e r m é t o d o s a v a n z a d o s p a r a analizar

y s i n t e t i z a r m e c a n i s m o s f u n c i o n a l e s que f o r m a n p a r t e

f u n d a m e n t a l de d i c h a s m á q u i n a s . Es po r esto, que la

un mecanismo, su grado de movilidad y el tipo al cual

pertenece. Al examinar los principios fundamentales

e la formación de mecanismos, se puede proceder al

trazado de los esquemas c i n e m á t i c o s“de los m e c a n is ­

mos y maquinas en funcionamiento, y asimismo trazar

y e l e gir con toda libertad 105 esquemas más raciona-

es de dichos mecanismos y máquinas de proyecto r e ­cientes. '

Conceptos Fundamentales:

1.2.1

1 . 2 . 2 .

.2.3.

1-2.4.

.2.5,

deMecanismos: Es una división del Diseño

Maquinas que tiene relación con el Diseño Ci­

nemático de barras, levas, engranajes y tr e ­

nes de engranajes.

Diseño Cinemático: Es el diseño basado en

movimientos requeridos en contraste con el

diseño basado en los esfuerzos permisibles.

Par cinemático: Es la unión,2fiCon facultad de

movimiento, de dos barras, d e " forma que las

barras presentan un movimi e n t o relativo de

unas determinadas c a r a c te rísticas debido a

las constricciones que impone esta unión.

Cadena Cinemática: Recibe este nombre un con-

j o de barras unidas m e d ia n t e pares cinemá­

ticos, con movimiento relativo entre ellos.

Mecanismo. Se llama así a una cadena cinemá­

tica <:on una barra fija. A la barra fija se

le denomina soporte, bastido

.2.6. Máquina: Es el c

¿e una fuente d

>r o bancada-.

:on;unto de meca n i s m o s transmite fuerza ds •■-a

que

pot e nc i a .

1.2.7. E s l a b ó n : S e ' l l a m a así a c a d a uno de l ó s e l e

m e n t o s q u e f o r m a n los s i s t e m a s m e c á n i c o s .

T a m b i é n r e c i b e n los n o m b r e s de b a r r as , e l e ­

m e n t o de t r a n s m i s i ó n y c u e r p o r e s i s t e n t e .

1.2.8. G r a d o s de l i b e r t a d : Es el m í n i m o n ú m e r o de

p a r á m e t r o s n e c e s a r i o s p a r a d e f i n i r la c o n ­

f i g u r a c i ó n g e o m é t r i c a d e l m e c a n i s m o . Se

r e p r e s e n t a p o r aL.

C l a s i f i c a c i ó n de l o s p a r e s :

Los p a r e s se c l a s i f i c a n según:

a .

b.

c .

El l u g a r g e o m é t r i c o d e s c r i t o p o r u n p u n t o c u a l ­

q u i e r a de u n a b a r r a en el m o v i m i e n t o r e l a t i v o de

a m b o s .

El n ú m e r o de. g r a d o s de l i b e r t a d que p o s e a el m o ­

v i m i e n t o r e l a t i v o de las b a r r a s que f o r m a n el

p a r .

El m o d o de e f e c t u a r el c o n t a c t o entre las

b a r r a s .

dos

d. El n ú m e r o de b a r r a s q u e c o n e c t a n .

e. El t ipo de c o n t a c t o e n t r e las dos b a r r a s ^.que for-'

m a n el par.

De las c l a s i f i c a c i o n e s d a d a s la má s i m p o r t a n t e es

que de a c u e r d o al t i p o de c o n t a c t o e n t r e los e s l a b o ­

nes que f o r m a n el p a r , e s t o s a la v e z se c l a s i f i c a n

en: p a r e s de c o n t a c t o s u p e r f i c i a l , pares de c o n t a c -

14

A lo s p a ro s de c o n t a c t o s u p e r f i c i a l se l e s l i a ma p a ro s i n f e r i o r e s , y a : de c o n t a c t o , l i n e n l Y p u n t u a l se l e s l l a m a p a r e s s u p e r i o r e s .

F.n la t a b l a 1 .1 se m u e s t r a los t i p o s de p ares

m á s c o m u n m e n t e e m p l e a d o s en los m e c a n i s m o s planos.

n o m b r e F O R M AGEOMETRICA

REPRESENTACIONESQUEMATICA

GRADO DE L IBERT A D

PAR DE REVOLUCION R

'/////¿* *3

1

PAR PRISMATICO P éS H ° h

1

P A R

HEL ICOIDAL H 3jg g |1

PAR

CIL INDRICO C / ^ 2

PA R

E S F E R I C O S

i * Tí v / / t 11 ) \N-jy s & -

3

P A R

P L A N O P L

.

CD

<§ <3> 3

TABLA 1.1 TIPOS DE P A R E S

c i n e m á t i c o p u e d e a d o p t a r d i v e r s a s forreas, f u n c i ó n d e

l a a p l i c a c i ó n del par, p u d i e n d o s e r é s t a s m u y d i f e ­

r e n t e s e n t r e sí.

E c u a c i ó n d e G r u b l e r :

L a e c u a c i ó n de G r u b l e r es l a r e l a c i ó n q u e d e b e

e x i s t i r e n t r e el n ú m e r o d e g r a d o s de l i b e r t a d , el

n ú m e r o de b a r r a s o e s l a b o n e s y el n ú m e r o d e u n i o n e s ,

de tal f o r m a q u e el m e c a n i s m o q u e se e s t u d i a p u e d a

p r o d u c i r u n m o v i m i e n t o r e s t r i n g i d o . La e c u a c i ó n d e ­

d u c i d a p o r G r u b l e r es:

°L = 3 (e - 1) - 2 i - S

d o n d e :

’L = Es el n ú m e r o de g r a d o s d e l i b e r t a d d e l m e c a n i s ­

m o .

e = Es el n ú m e r o de b a r r a s de l a c a d e n a c i n e m á t i c a ,

i = El n ú m e r o d e p a r e s i n f e r i o r e s .

S = El n ú m e r o de p a r e s s u p e r i o r e s .

M e c a n i s m o de c u a t r o b a r r a s :

Es é s t e u n o d e los m á s i m p o r t a n t e y q u e m e j o r

e j e m p l i f i c a el c o n c e p t o de m e c a n i s m o .

Lo c o n s t i t u y e n c u a t r o e s l a b o n e s : el (1] es

el m a r c o o e s l a b ó n f i j o , q u e se asurte e s t a c i o n a r i o y

q u e p i v o t e a al e s l a b ó n m o t r i z (2} l l a m a d o m a n i v e l a

si d a v u e l t a s c o m p l e t a s a l r e d e d o r del e i e rijo] y el

s e g u i d o r (4) ( l l a m a d o b a l a c i n si o s c i l a a l r e d e d o r d e

son de revoluta.

MECANISMO DE CUATRO BARRAS

D a d a la i m p o r t a n c i a del m e c a n i s m o d e c u a t r o b a ­

r r a s , se h a n e s t a b l e c i d o d i f e r e n t e s t i p o s de m e c a n i s ­

m o s y el p r i m e r o q u e lo h i z o fue G r a s h o f , a él se

d e b e la p r e s e n t o c l a s i f i c a c i ó n de l m e c a n i s m o de c u a ­

t r o b a r r a s :

a. R o t a t o r i o - O s c i l a t o r i o .

b. D o b l e R o t a t o r i o .

c. D o b l e O s c i l a t o r i o .

Los c r i t e r i o s de G r a s h o f tienen--su j u s t i f i c a c i ó n

en l a e x p e r i m e n t a c i ó n .

- C u a n d o la s u m a del e s l a b ó n más c o r t o (S) y el m á s

l a r g o (£•) es m e n o r q u e la suma d e l o s o t r o s d o s

es d e c i r

1 + S < P + q

se t e n d r á :

(a, b). D o s d i f e r e n t e s m e c a n i s m o s r o t a t o r i o s - o s c i -

c. U n m e c a n i s m o d o b l e r o t a t o r i o r e s u l t a si el e s ­

l a b ó n m á s c o r t o (S) es el m a r c o .

d. Un m e c a n i s m o d o b l e o s c i l a t o r i o se f o r m a si se

f i j a el e s l a b ó n o p u e s t o al m á s c o r t o (S) .

- S i & + S > P + q ; e n t o n c e s se o b t e n d r á ú n i c a m e n t e

m e c a n i s m o s d o b l e o s c i l a t o r i o .

- Si i + S = P + q, se o b t i e n e n l o s m i s m o s m e c a n i s ­

m o s (a, b) , (c) y ( d ) . S ó l o q u e s e t e n d r á n p u n t o s

m u e r t o s , q u e c o n s i s t e en t e n e r l o s c u a t r o e s l a b o ­

nes en u n i n s t a n t e c o l i n e a l e s .

l a t o r i o s sí y s ó l o si el e s l a b ó n más c o r t o

(S) es el m o t r i z y el m a r c o s e a c u a l q u i e r

a d y a c e n t e al m o t r i z .

3

ROTA RIO - OSCILATORIO DOBLE ROTATORIODOBLE

OSCILATORIO

Mecanismos Equivalentes:

Dos mecanismos son equivalentes cuando la cine­

mática del eslabón de entrada es la misma para am­

bos, así como la cinemática del eslabón de salida.

Muchos mecanismos que transmiten movimientos por con­

tacto directo, bien sea por deslizamiento o por ro­

damiento puro pueden ser fácilmente analizados des­

de un punto de vista cinemático si se convierten en

el llamado mecanismo equivalente de cuatro barras

articuladas (MECB). En la parte referente a pro­

blemas resueltos se muestran diferentes formas de

obtener cadenas cinemáticas equivalentes y mecanis­

mos equivalentes.

Problemas Resueltos;

1.1. D e t e r m i n a r los g r a d o s de l i b e r t a d del m e c a n i s ­

m o de la f i g u r a 1 . 1 . (a).

Solución:

P a r a a p l i c a r el c r i t e r i o de G r u b l e r se d e ­

b e i d e n t i f i c a r el n ú m e r o de e s l a b o n e s y los

t i p o s de p a r e s .

Fig. I.l DETERMINACION DE GRADOS DE LIBERTAD

De a c u e r d o a la f i g u r a b se o b s e r v a que: e = 5;

i = 5, S = 0. A p l i c a n d o el c r i t e r i o d e G r u b l e r ,

se tiene:

L = 3(e - 1) - 2 i - S

L = 3(5 - 1) - 2.5 = 1 2 - 1 0 = 2

El m e c a n i s m o es a dos g r a d o s de l i b e r t a d ,

p o r t a n t o d e b e n s u m i n i s t r a r s e d o s v a r i a b l e s c o n

el fi n de t e n e r m o v i m i e n t o r e s t r i n g i d o . •

Determinar los grados de libertad del mecanis­

mo de la figura 1 .2 . (a) .

S o l u c i ó n :

Fig. 1.2 DETERMINACION DE GRADOS DE LIBERTAD

En la figura b se observa que los eslabones

2 , 4 y 1 (soporte) están conectados por juntas

dobles. También, los eslabones 3, 4 y 5 están

c e r n e 'feYs. ^ Va.

el mecanismo, se tiene que:

e = 5; i = . 6 ; S = 0

Aplicando el criterio de Grubler, se obtiene:

L = 3 (e - 1) - 2 i - S

L = 3(5 - 1) - 2.6 = 12 - 12 = 0

El mecanismo es una estructura (L = 0). La

aplicación de fuerzas externas sobre los esla­

bones 2 hasta el 5 no produce ningún movimiento

relativo entre los eslabones del mecanismo.

Determinar los grados de libertad del mecanis­

mo de la figura 1.3.(a).

Solución:

(a ) . (b) Fig. I.3 DETERMINACION DE GRADOS DE LIBERTAD

En las uniones A, B, C y D existen juntas

dobles, por tanto el número de pares inferio­

res es de ocho (8).

De acuerdo a la figura b, se tiene:

e = 6 ; i = 8 ; S = 0. Aplicando el criterio de

Grubler:

L = 3 (e -1) - 2i - S

L = 3(6 - 1) - 2.8 = - 1

Puesto que el mecanismo tiene un grado de

libertad negativo, es una estructura indetermi-

D e t e r m i n a r los grados de libertad del mecanis

mo de levas de la figura 1 . 4 . (a).

Solución:

Fig. 1.4 DETERMINACION DE GRADOS DE LIBERTAD

En la figura b se o b s ervan los esl a b o n e s nu­

merados y los tipos de pares que c o n f o r m a n el

m ecanismo. De acuerdo a la g e o m e t r í a del m e ­

canismo, se tiene que:

e - 4, i = 3; S = 2. A p l i c a n d o Grubler:

L = 3(e -1) - 2 i - s

L = 3 (4 - 1) - 2.3 - 2 = 9 - 6 - 2 = 1

El m e c a n i s m o tiene un grado de libertad, y

por tanto se n e c e s i t a e s p ci f i c a r un a sola varia

ble para o b t e n e r m o v i m i e n t o r es t r ingido.

Otra forma de de t e r m i n a r los g r a d o s de l i ­

bertad del m e c a n i s m o mostrado, es c o n s i d e r a r

q ue existen S e s l a b o n e s y 5 pares inferiores.

El eslabón número 5 es el rodillo del seguidor

(eslabón 4) reciprocante. La unión del seguí-

dor con el rodillo es un par inferior y entre

el rodillo y el eslabón 3 e xiste el otro par

inferior. En conclusión se tendrían:

L = 3(5-1) - 2.5 - 1 = 12 - 10 - 1 = 1

Este resultado concuerda con la solución

p r e s e n t a d a anteriormente.

Determ i n a r los grados de libe rtad del sistema

m o s t r a d o .

S o l u c i ó n :

Fia 1.5 DETERMINACION DE GRADOS DE LIBERTAD

P a r a d e t e r m i n a r l o s g r a d o s d e l i b e r t a d d e l

s i s t e m a s e d e b e n n u m e r a r e i d e n t i f i c a r l o s p a ­

r e s q u e c o n e c t a n l o s e s l a b o n e s d e l m e c a n i s m o .

E n l a f i g u r a m o s t r a d a ( e s q u e m a a m p l i f i c a d o ) s e

p u e d e o b s e r v a r q u e h a y 1 0 e s l a b o n e s . L o s n ú ­

m e r o s e n c e r r a d o s d e n t r o d e l o s c í r c u l o s s o n e l

n ú m e r o d e p a r e s i n f e r i o r e s e x i s t e n t e e n l a

u n i ó n . L o s p a r e s s u p e r i o r e s e s t á n s e ñ a l a d o s

p o r m e d i o d e l a l e t r a S . D e a c u e r d o a l a g e o ­

m e t r í a d e l m e c a n i s m o s e o b s e r v a q u e : e = 1 0 ;

i = 1 2 ; S = 2. A p l i c a n d o e l c r i t e r i o d e G rubler,

s e t i e n e :

L = 3 ( e - 1) - 2 i - S

E l m e c a n i s m o e s a u n g r a d o d e l i b e r t a d , p o r

t a n t o s e r e q u i e r e d e u n a s o l a e n t r a d a c o n e l f i n

d e t e n e r m o v i m i e n t o r e s t r i n g i d o . -

Dibujar la cadena cinemática equivalente con

pares de revoluta de la cadena mostrada.

Solución:

. 1.6 CADENA CINEMATICA EQU IVALENTE

Dado que se conoce los centros de curvatu­

ras de los perfiles de levas en contacto, es­

tos se unen por pares de revoluta formando un

eslabón binario. Las levas se transforman en

eslabones ternarios. La cadena cinemática equi­

valente es mostrada en la figura 1.6.(b).

.9. Dibujar el mecanismo equivalente del m e c a n i s ­

mo de leva de disco con seguidor reciprocante

de cara curva.

S o l u c i ó n : ,

En la figura a, se observa que las dos su­

perficies están en contacto en el punto P. El

centro de curvatura de la superficie de la le­

va en contacto con la cara del seguidor es C 2,

y el centro de curvatura de la superficie del

seguidor en contacto con la leva es Q. El me­

canismo equivalente del sistema mostrado, es

un mecanismo de manivela-corredera (Fig. b) ,

para el instante indicado.

Figura i.9 MECANISMO EQ U IVALEN TE MANIVELA-CORREDERA

29

1 .10 . D i b u j a r e l mecanismo e q u i v a l e n t e p a ra l a p o ­s i c i ó n m os t rada .

(b)

Fig. LIO MECANISMO EQUIVALENTE

El m e c a n i s m o e q u i v a l e n t e m o s t r a d o en la fi­

g u ra b , se o b t i e n e al s u s t i t u i r el p a r superior

de las dos s u p e r f i c i e s en c o n t a c t o p o r un e s ­

l a b ó n b i n a r i o , s e ñ a l a d o c o m o 6'. El c e n t r o E

se c o n v i e r t e en un c e n t r o f i j o de r o t a c i ó n . El

e s l a b ó n 4 se t r a n s f o r m a - e n la p l a c a B C D , o e s ­

l a b ó n 4'. A p l i c a n d o el c r i t e r i o de G r u b l e r , se

p u e d e v e r i f i c a r el m e c a n i s m o , es decir:

a. P a r a el m e c a n i s m o o r i g i n a l (Fig. a): e = 5; i = 5; S = 1

L = 3 (5-1) - 2.5 - 1 = 1

b. P ara el m e c a n i s m o e q u i v a l e n t e (Fig. b ) :

e = 6; i = 7

L = 3(6-1) - 2.7 = 1

L o s d o s m e c a n i s m o s t i e n e n u n a s o l a e n t r a ­

d a c o n e l f i n d e t e n e r m o v i m i e n t o r e s t r i n g i d o .

E n e l m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s d e l a f i g u r a

1 . 1 1 ( n o e s t á r e p r e s e n t a d o a e s c a l a ) , s e t i e ­

n e q u e e l e s l a b ó n 0 £ A e s e l m o t r i z . L a s d i ­

m e n s i o n e s d e l o s e s l a b o n e s s o n : = 0 , 0 7 m;

C ^ A = 0 , 0 5 m; A B = 0 , 1 0 m y O ^ B = 0 , 0 9 m. D e ­

t e r m i n a r d e a c u e r d o a l o s c r i t e r i o s d e G r a s h o f

e l t i p o d e m e c a n i s m o d e c u a t r o - b a r r a s y c a l c u ­

l a r e l á n g u l o b a r r i d o p o r e l e s l a b ó n O ^ B .

S o l u c i ó n :

Fig. I.ll MECANISMO DE CUATRO BA RR A S

A p l i c a n d o l o s c r i t e r i o s d e G r a s h o f , s e t i e n e

q u e : S = C ^ A ; ü = A B ; P = O 20 ^ y q = O ^ B .

S u m a n d o , l o s l a d o s

S + ü = 0 , 15 .y P + q = 0 , 1 6 ; r e s u l t a q u e

(P + q) > (S + £) .

D a d o q u e e l e s l a b ó n m á s c o r t o C S ) e s e l

e s l a b ó n m o t r i z y u n o a d y a c e n t e a é l , e s el

m a r c o , s e o b t i e n e d e a c u e r d o al c r i t e r i o d e

G r a s h o f q u e e l m e c a n i s m o d e c t i a tr o b a r r a s e s

R O T A T O R I O - O S C I L A T O R I O .

D e d o n d e C o s 9 ? = - 0 , 7 5 4

P o r c o n s i g u i e n t e

0 2 = 138,94° .

D e a q u í s e c o n c l u y e q u e el á n g u l o b a r r i d o (0)

p o r el e s l a b ó n 0 4 B es: ‘

0 = 9 2 - 0 1 = 1 05 , 35°

P a r a el m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s m o s t r a d o ,

s e t i e n e q u e b = 0 , 2 0 m; C '= 0 , 1 5 m y d = 0 , 1 2 5 m

E n c o n t r a r :

a. El m á x i m o v a l o r d e l e s l a b ó n ' a"si el m e c a ­

n i s m o es r o t a t o r i o - o s c i l a t o r i o c o n M A c o ­

m o e s l a b ó n d e e n t r a d a .

b. El m í n i m o v a l o r d e l e s l a b ó n 'a * s i e l m e c a ­

n i s m o e s d o b l e r o t a t o r i o .

S o l u c i ó n :

V.

Fia. I.l2 CUADRILATERO ARTICULADO

00

Parte a:

Aplicando los criterios de Grashof, para

un mecanismo rotatorio-oscilatorio, se tiene

q u e :

í. = b ; S = a ; P = C; q = d; U + S) < (P + q)

.0,2 + a) < (0,15 + 0,125) (a + 0,2)<(0,275)

de donde, el máximo valor del eslabón a es:

a = 0,075 m.

Parte b :

Aplicando los criterios de Grashof, para

un mecanismo doble rotatorio, se tiene que:

2, = b ; S = d ; P = C ; q = a

(¿ + S)< (P + q) y además del más corto es el

m a r c o .

Sustituyendo valores

CO, 12 5 + 0 ,2 ) £ [0,15 + a) a >^0,125 + 0 , 2 - 0

de donde, el mínimo valor d.el eslabón a es:

a = 0,175 m.

P r e g u n t a s y P r o b l e m a s P r o p u e s t o s :

1 . 1 3 . E s t a b l e c e r la d i f e r e n c i a e n t r e los t é r m i n o s

m e c a n i s m o s y m á q u i n a .

1 . 1 4 . D a r t r e s e j e m p l o s de p a r e s s u p e r i o r e s .

1 . 1 5 . D a r tres e j e m p l o s de p a r e s i n f e r i o r e s .

1 . 1 6 . E s t a b l e c e r l a s r e g l a s p a r a s u s t i t u i r :

a. U n p a r p r i s m á t i c o p o r u n p a r d e r e v o l u t a .

b. U n a l e v a p o r p a r e s de r e v o l u t a .

c. Una junta de resorte por un par de revo­

luta .

d. El mecanismo flexible de correa y polea

por pares de revoluta.

1 . 1 7 . E x p l i c a r el t i p o de m o v i m i e n t o d e u n a c o p l a ­

m i e n t o h e l i c o i d a l .

1 . 1 8 . E x p l i c a r las l i m i t a c i o n e s del c r i t e r i o de Gru-

b l e r .

1 . 1 9 . E s t a b l e c e r l a d i f e r e n c i a e n t r e u n a c a d e n a c i ­

n e m á t i c a y u n m e c a n i s m o .

1 . 2 0 . D e t e r m i n a r la m í n i m a y m á x i m a l o n g i t u d de la

b i e l a d e u n m e c a n i s m o . d e c u a t r o b a r r a s .

1 .2 1 . E s t a b l e c e r u n a c l a s i f i c a c i ó n de l o s m e c a n i s m o s

GL) (R = 0 GL)

Di bu i las c a d e n a s c i n e m á t i c a s e q u i v a l e n t e s con

p a r e s de r e v o l u c i ó n de las c a d e n a s m o s t r a d a s .

1.24. D i b u j a r los m e c a n i s m o s e q u i v a l e n t e s para la

p o s i c i ó n mos t r a d a . J u s t i f i c a r ca d a una de

las s o lu c i o n e s p r e s e n t a d a s .

•i i

38

P a r a el m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s m o s t r a d o ,

e l e s l a b ó n C ^ A es e l m o t r i z . Las- d i m e n s i o n e s

d e l o s e s l a b o n e s s o n : C ^ A = 0 , 0 5 m; 0-,0^ =

0 , 0 7 m; A B = 0 , 1 0 m y O ^ B = 0 , 0 9 m. D e t e r m i ­

n a r :

a. ¿El t i p o d e m e c a n i s m o d e c u a t r o barraís d e

a c u e r d o a l o s c r i t e r i o s d e G r a s h o f ?

b. ¿ E l á n g u l o b a r r i d o p o r e l e s l a b ó n O ^ B ?

( R E S P U E S T A : a) M e c a n i s m o r o t a t o r i o - O s c i l a t o r i o ;b)

0 = 1 0 5 , 4 ° ) . B

Figura 1.25E n l a f i g u r a m o s t r a d a , el e s l a b ó n ' a" r o t a c o n t i ­

n u a m e n t e , y e l C o s c i l a . D e t e r m i n a r la m á x i m a

y m í n i m a l o n g i t u d d e l a c o p l a d o r b. ¿ P o r q u é e n

l a p r á c t i c a , s u l o n g i t u d p u e d e s e r m a y o r q u e el

m í n i m o y m e n o r q u e el m á x i m o ?

b , = 0,10 m) m i n .

a = 0 , 0 9 m •

c = 0 , 1 5 m

d = 0 , 1 6 m

\ /

Figura 1.26

1.27. Determinar los grados do libertad de los mecanis­

mos mostrados.

D e t e r m i n a r l a p o s i c i ó n e x t r e m a d e r e c h a de; e s ­

l a b ó n A B . L a s d i m e n s i o n e s de l m e c a n i s m o s s o n :

A D = 0 , 0 3 m ; C D = 0 , 0 1 5 m; C R = 0 , 0 2 m y A B =

B

Figura I . 30C o m p l e t a r el s i g u i e n t e c u a d r o , d e a c u e r d o al ti

n o d e m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s o b t e n i d o s e g ú n

el criterio de Grasho t .

E s l a b ó n d e lint r a d a

AD1 a r c o

AB

Al)

A!)

en

T i n o d e M e c a n i

AB

CU

BC

A B = 0 ,0 ' m

B C = 0 ,05 m

e n = 0 ,04 m

A n = 0 ,05 m

E n el m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s m o s t r a d o , l a s

d i m e n s i o n e s d e l o s e s l a b o n e s s o n : a = 0 , 0 9 m ;

b = 0 , 2 2 m; c = 0 , 2 0 m y d = 0 , 1 2 m. D e t e r m i ­

n a r :

a. El t i p o d e m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s .

b . El á n g u l o 0.

c. L a d i r e c c i ó n d e l a b i e l a e n p o s i c i ó n d e

p u n t o s m u e r t o s . b

a

d

Figura 1. 3 2L o s l a d o s d e u n c u a d r i l á t e r o s o n 0 , 3 0 ; 0 , 4 0 ;

0 , 5 0 y 0 , 5 5 m. D i s p o n e r p a r a q u e f u n c i o n e a

d o b l e m a n i v e l a y l u e g o a d o b l e b a l a n c í n .

P a r a e l m e c a n i s m o m o s t r a d o , ¿ C u á l p u e d e s e r

l a m á x i m a l o n g i t u d 0 ^ 0 ^ p a r a l a o p e r a c i ó n a d e ­

c u a d a d e l e s l a b ó n ? . D e l m e c a n i s m o s e t i e n e

q u e : C ^ A = 0 , 0 7 6 2 m; A B = 0 , 1 0 2 m y 0^13 = 0 , 1 2 7 m

B

\\

\

\\

\

1

I/

//

y

Figura 1.34

CAPITULO II

VELOCIDAD LINEAL Y V ELOC I D A D A N G U L A R EN LOS ESLAB O N E S DE UN M E C A N I S M O

Introducción:

El estudio de la velocidad es uno de los aspectos

nás importante de un curso de mecanismos. El d e s p l a ­

zamiento y la aceleración están estrechamente r e l a ­

cionados a la velocida d que a m enudo se determina más

fácilmente a través del- estudio de la velocidad que

por un método directo.

Las razones para hacer un aná lisis de la velocidad

varían algo con el tipo de máquina a estudiar. En má­

quinas de gran velocidad es importante conocer las

fuerzas de inercia producidas. Para determinarlas de­

ben hallarse las aceleraciones de ciertos puntos de

la máquina y esto requiere que se haga previamente un

análisis completo de velocidad. En muchos casos, c o ­

mo se ha mencionado, se puede o b t e n e r alguna idea de

las aceleraciones con sólo el e s tudio de las velocida­

des. En los mecanis mos de retorno rápido usados en

limadoras, mortajadoras y otras m á q ui nas herramientas,

un análisis de velocidades m o s trará las velocidades

de avance (trabajo) y de retorno. Frecuentemente, es

más conveniente d e t e r m i n a r la e f i c i e n c i a mecánica de

un mecanismo por medio del análisis de velocidad que

por el de las fuerzas. También, la velocidad de r e s ­

balamiento entre dos órganos en conta c t o es un factor

de importancia en el problema de la lubricación. En

conclusión se p u e d e decir ciue el análisis de velocida-

- Para asegurar graduación de mecanismos de alta v e ­

locidad .

- Para determinar velocidades y energía de barras con­

ducidas .

Velocidad Lineal y Velocidad Angular:

La velocidad lineal (V) es la rata de cambio res­

pecto al tiempo del desplazamiento lineal. Como el

desplazamiento es un vector, la velocidad lineal t a m ­

bién es un vector (magnitud, dirección y s e n t i d o ) ^ S i

el cambio de desplazamiento de un punto en At es As,

la velocidad lineal promedio será As/At. Si el inter­

valo de tiempo es infinitamente jDequeño dt y el d e s ­

plazamiento correspondiente es d s , la velocidad para

ese dt, llamada instantánea es ds/dt. La velocidad

del punto será uniforme o variable si para cualquier

posición que alcance en At la velocidad instantánea es

igual o n ó .

La velocidad angular (W) es la rata de cambio res­

pecto al tiempo del desplazamiento angular. Si este

cambio es A9 en At la velocidad angular promedio

A0/At y la instantánea d0/dt. El concepto de v e l o ­

cidad angular uniforme o variable es análogo al caso

de velocidad lineal.

La relación que existe entre W y V se puede e s ­

tablecer de acuerdo al gráfico mostrado, de la forma

siguiente: El punto A tiene radio de rotación R i g u a l

a OA. La velocidad V del punto A es tangente a la

trayectoria A A ’ y por tanto perpendicular al radio R.

El arco AA' es R A 0 , (A0 en radianes), la magnitud

de la velocidad de A, en la posición O A , es

V = lim R A0/At = R d 0 /dt = R W

At -*■ 0

Métodos de Análisis de Velocidades:

Dado que la mayoría de las piezas de las m á q u i ­

nas están obligadas a tener movimiento plano; es d e ­

cir, que sus puntos se mueven en planos paralelos, se

hará el estudio de su movimiento por medio de su p r o ­

yección sobre un plano paralelo al de aquél; o sea,

por medio de un esquema de funcionamiento de la m á ­

quina de la cual forma parte la pieza considerada.

Esto es importante debido a que los métodos para d e ­

terminar la velocidad de cualquier punto de una m á ­

quina que tenga movimiento restringido, cuando seco-

noce la velocidad de otro punto cualquiera, se a n a ­

lizarán en base a máquinas cuyas piezas se mueven con

movimiento plano.

riÑST¡TU[INSTITUTO UNIVE><S'T*fclO POLIIECHICO b i b l i o t e c a

neos de rotación, c o m p o s i c i ó n y v e l o c i d a d ortogonal.

Estos métodos p u e d e n a p l i c a r s e g r á f i c a o a n a l í t i c a ­

mente, aunque son, más a menudo, e m p l e a d o s g r á f i c a ­

mente. Sin embargo, en m uchos p r o b l e m a s , la solución

se c o n s i g u e con mas f a c i l i d a d a n a l í t i c a m e n t e o por

c o m b i n a c i ó n de ambos p r o c e d i m i e n t o s . A p e s a r de t o ­

do, se c o n s i d e r a que el aspecto r e p r e s e n t a t i v o i n h e ­

rente a todo m é t o d o g r á f i c o f a c i l i t a el e n t e n d i m i e n ­

to, al m i s m o tiempo que p r o p o r c i o n a u n a técnica de

t r a b a j o de a p l i c a c i ó n más amplia. P o d e m o s decir que

d e s d e el punto de vista p r á c t i c o el a n á l i s i s de v e ­

lo c i d a d e s por métodos g r á f i c o s es s i mple , rápido y

exacto. Con estos m é t o d o s sólo se a n a l i z a a la vez

una p o s i c i ó n del m e c a n i s m o , por lo tanto, se n e c e s i ­

tan una serie r e p e t i t i v a de a n á l i s i s si se desea exa­

m i n a r un ciclo c o m p l e t o del m e c a n i s m o .

P r o p i e d a d e s de la D e f i n i c i ó n de C u e r p o Rígido:

Un cuerpo rígido es, por d e f i n i c i ó n , aquel que

b a j o c u a l q u i e r m o v i m i e n t o c o n s e r v a i n a l t e r a b l e la

d i s t a n c i a entre dos c u a l q u i e r a de sus p a r t e s . M a t e ­

m á t i c a m e n t e , la c o n d i c i ó n de r i g i d e z se e x presa por

la c o n s t a n c i a de un p r o d u c t o escalar, de la forma

. (A - B) . (A - B) = c o n s t a n t e (1)

d o n d e A y B son dos p u n t o s c u a l q u i e r a del cuerpo.Aho

ra si d e r i vamos ambos m i e m b r o s r e s p e c t o al tiempo

tenemos que la proyección de la- velocidad de A sobre

la línea A B , es igual a la proyección de la v e l o c i ­

dad de B sobre la misma línea, instante por instante.

• Si en la ecuación (2) se observa que (V-, - V_) re­, A o

presenta la direrencia entre la velocidad absoluta de

A y la absoluta de B , se tiene" que

- VA/B . (A - B) - 0 (4)

y si el producto escalar de los vectores es nulo, sin

ser nulos ninguno de ellos, es por que ambos son per­

pendiculares entre sí.

De las dos consecuencias de la definición ce cuer­

po rígido, se puede enunciar los siguiente teoremas

Teorema 2'.4 .1 . : Cada punto de una línea recta per

tsneciente a un cuerpo rígido en el plano de m o v i ­

miento tiene la misma componente de velocidad en la

dirección de esa línea.

Teorema 2.4.2.: Dados dos puntos, A y B, de un cuer­

po rígido, la velocidad relativa de A respecto a - B

es normal a la recta A 3 .

Centro Instantáneo de Rotación:

Antes de definir el centro instantáneo de rota

ción oara un cuerpo, se analizará el movimiento ins

Supóngase que AB es la p o s i c i ó n inicial de la ba­

rra y que, d e s p u é s de cierto tiempo At, la barra a l ­

c a n z a la p o s i c i ó n A ' B ' .

Los d e s p l a z a m i e n t o c o r r e s p o n d i e n t e s a é s e A t son

A A ’ y BB'. Las líneas p e r p e n d i c u l a r e s a A A ' y B B ’

en sus puntos m e d i o s se inte rsectan en 0 .

Notesé que los triángulos A B O y A ’B'O son idén­

t i c o s puesto A O = A ' 0; B 0 = B ' 0 y -AB = A ' B ’. L u e ­

go,. la barra AB,, se p o d r ían move r de la posición. AB

a l a posición A'B' con la simple r o t a c i ó n del t r i á n ­

g u l o A03 a l r e d e d o r del punto 0. Se p u e d e decir e n ­

t o n c e s que el m o v i m i e n t o de una parte de una máquina,

en cualquier i n s t a n t e (sin importar lo c o m p l e j o de

También si O es el centro instantáneo del punto

y W es la velocidad angular, tenemos que:

= o) x O A

donde

V A i O A

Iego pata el punto B, la velocidad lineal es:

V D = w x ÜBD

r tanto, despegando W, podemos decir que

V A : V B = O A : O B

donde los valores numéricos de las velocidades de

s puntos, son proporcionales a sus distancias al

“tro instantáneo de rotación.

El centro instantáneo, por lo anterior, se pue-

iefinir de las siguientes maneras:

Cuando dos cuerpos tienen movimiento relativo co-

planario, el centro instantáneo es un punto en

un cuerpo sobre el cual otro gira en el instante

cons iderado.

Cuando dos cuerpos tienen movimiento relativo co-

planario, el centro instantáneo es el punto en

el que los cuerpos están relativamente inmóviles

. Cuando dos cuerpos tienen movimiento relativo c o

p l a n a r i o , el centro instantáneo es un punto en

el que los cuerpos presentan la misma velocidad

en el instante considerado.

Ubicación de los Centros Instantáneos:

Antes de señalar los métodos utilizados para l o ­

calizar los centros instantáneos, se debe indicar que

todo los miembros de una máquina, incluyendo la a r ­

madura o bastidor, se denotan con números sucesivos

1 7 3 j etc. Los centros se designan con un

número'/como 12 , 23, 34 , etc. El centro 12 (de

nominado centro uno-dos) pertenece a los miembros in­

dicados con los números 1 y 2 .

Los métodos utilizados para ubicar la posición de

los centros instantáneos son:

a. Inspección:

Esto consiste en que existen ciertos casos

especiales de centros que están definidos total­

mente. Dentro de los casos especiales están: 1)

cuando dos eslabones en un mecanismo están

nectados por un perno, en donde el punto de p i ­

voteo es un centro permanente. 2) cuando un cuer­

po tiene movimiento rectilíneo respecto a otro

cuerpo, el centro se encuentra en el infinito y,

3 ) cuando un cuerpo rueda sobre la superficie de

otro cuerpo, el centro es el punto de contacto

(rodamiento puro).'

b. Por aplicación del Teorema de Kennedy, el cual es­

tablece que si tres cuerpos se encuentran en m o ­

vimiento relativo, poseen en conjunto tres c e n ­

tros instantáneos y los mismos se encuentran a l i ­

neados .

c. Por el Teorema de Kennedy y la normal común al

punto de contacto de los cuerpos.

De acuerdo al número de eslabones que forman un

mecanismo se puede determinar el número de centros ins­

tantáneos a través de la fórmula siguiente:

N = e (e-1)/2

donde e es el número de eslabones .

Generalmente en un mecanismo se deben ubicar un

determinado número de centros por lo cual se hacc n e ­

cesario utilizar otros procedimiento con el fin de lo­

calizar los centros. Los procedimientos g e n e r a l m e r

utilizados para localizar todos los centros instantá­

neos de un mecanismo son la tabulación y el diagrama

circular. F.n el problema 2 . 1 son explicados ambos pro­

cedimientos .

Métodos de Determinación de Velocidades:

La solución de un problema de velocidades requie­

re, en general, emplear cierta dosis de ingenio, ya

que casi todos los problemas son, más o menos, casos

especiales. El mejor método para obtener un solución

depende en gran parte de las condiciones particulares

del problema en cuestión.

p r o b l e m a s se u t i l i z a n e s c a l a s pa ra r e p r e s e n t a r el m e ­

c a n i s m o y t a m b i é n p a r a las v e l o c i d a d e s .

A c o n t i n u a c i ó n a p a r e c e cada uno de los m é t o d o s

m e n c i o n a d o s para d e t e r m i n a c i ó n g r á f i c o -a n a l i t í c a de

v e l o c i d a d e s .

2.7.1. M é t o d o de los c e n t r o s i n s t a n t á n e o s :

Para a p l i c a r el m é t o d o de los c e ntro s ins­

t a n t á n e o s se d e b e c o n s i d e r a r que se conoce la

v e l o c i d a d l i n e a l de un centro y se des ea e n ­

c o n t r a r la v e l o c i d a d de otro c e n tro, p i v o t e a n ­

do a l r e d e d o r de un c e n t r o l igado al b a s t i d o r

del m e c a n i s m o . Los tres c e n t r o s en c u e s t i ó n

d e b e n m a n t e n e r un e s l a b ó n común.

Por e j e m p l o , p a r a un m e c a n i s m o p a r t i c u l a r

se desea e n c o n t r a r la v e l o c i d a d del c entro 34

y se conoce la v e l o c i d a d del c e n t r o 23.

De a c uerdo al m é t o d o de los c e n tros i n s ­

t a n t áneo, se t i e n e como c o n o c i d o la v e l o c i d a d

lineal del c e n t r o 23 y como d e s c o n o c i d o la

v e l o c i d a d del c e n t r o 34, por t a n t o el c e n t r o

ligrado al b a s t i d o r . d e l m e c a n i s m o es el c e n t r o

13, dado que se ha m a n t e n i d o un e s l a b ó n común

(en el caso p r e s e n t a d o el e s l a b ó n 3).

Este m é t o d o exif.e la c o n s t r u c c i ó n de trián­

g ulos s e m e j a n t e s en la d e t e r m i n a c i ó n de v e l o ­

c i d a d e s .

Método de las velocidades relativas.

D a d o d o s p u n t o s A y B, c o n v e l o c i d a d e s V'A

y V 0 r e s p e c t i v a m e n t e , la v e l o c i d a d r e l a t i v a B —

del B r e s p e c t o a A, d e n o t a d a p o r V g / A e s , p o r

d e f i n i c i ó n

VB / A

VB

V,

N ó t e s e q u e la v e l o c i d a d r e l a t i v a de B

con r e s p e c t o a A es i g u a l a la v e l o c i d a d q ue

t e n d r í a B si A e s t u v i e r a f i j o , c o n r e s p e c t o

al o b s e r v a d o r en c u e s t i ó n .

De a c u e r d o al t e o r e m a 2 . 4 . 2 . se t i e n e q u e

la d i r e c c i ó n de la v e l o c i d a d r e l a t i v a de B

r e s p e c t o a A, es n o r m a l a la r e c t a A B .

A h o r a s u p ó n g a s e q u e dos c u e r p o s r í g i d o s

A y B, e s t á n a n i m a d o s de v e l o c i d a d e s a n g u l a ­

res W y W g , r e s p e c t i v a m e n t e , c o n r e s p e c t o

a c i e r t o o b s e r v a d o r . La v e l o c i d a d a n g u l a r re­

l a t i v a de B c o n r e s p e c t o a A, r e p r e s e n t a d a por

W.B / A :

es

WB / A

WB

W

de m a n e r a s e m e j a n t e a c o m o se d e f i n i ó V fi/A,

e x c e p t o q u e e s t a u l t i m a ( V g / A ) es v e l°c i

d a d r e l a t i v a de. un p u n t o r e s p e c t o a o t r o p u n ­

to, en t a n t o q u e la e c u a c i ó n de W g / A se de

f i n e la v e l o c i d a d a n g u l a r r e l a t i v a de un cuer­

po con r e s p e c t o a o t r o c u e r p o .

E s t e m é t o d o e x i g e la c o n s t r u c c i ó n de un

p o l í g o n o de v e l o c i d a d e s , el p o l o (Pv) de v e ­

l o c i d a d e s se s e l e c c i o n a a r b i t r a r i a m e n t e y

las l í n e a s q u e se o r i g i n a n de él s o n l as v e ­

l o c i d a d e s a b s o l u t a s , m i e n t r a s q u e las l í n e a s

e n t r e l os o t r o s p u n t o s r e p r e s e n t a n la v e l o ­

c i d a d de u n p u n t o r e s p e c t o al o t r o .

El p o l í g o n o d e v e l o c i d a d e s es la i m a g e n

de los e s l a b o n e s g i r a d o s 90° en el s e n t i d o de

la v e l o c i d a d a n g u l a r .

M é t o d o de las c o m p o n e n t e s :

De a c u e r d o al t e o r e m a 2 . 4 . 1 . , se t i e n e

q u e c a d a p u n t o d e u n a l í n e a r e c t a en el p l a ­

no de m o v i m i e n t o t i e n e l a m i s m a c o m p o n e n t e de

v e l o c i d a d en la d i r e c c i ó n de e s a l í n e a . E s ­

t a p r o p o s i c i ó n c o n f i r m a el h e c h o d e q u e la

d i s t a n c i a A B e n t r e d o s p u n t o s A y B d e l pla­

no de m o v i m i e n t o no p u e d e c a m b i a r d u r a n t e

el m o v i m i e n t o , lo q u e d e i n m e d i a t o l l e v a a

la c o n c l u s i ó n de q u e las p r o y e c c i o n e s de las

v e l o c i d a d e s de l o s p u n t o s A y B a lo l a r g o

de su l í n e a de c o n e x i ó n , d e b e n s e r i g u a l e s .

El p r o c e d i m i e n t o p a r a la d e t e r m i n a c i ó n de

v e l o c i d a d e s p o r el m é t o d o de las c o m p o n e n t e s

es el s i g u i e n t e : si se c o n o c e n e n v e l o c i d 3 d

de un p u n t o y la d i r e c c i ó n de la v e l o c i d a d de

o t r o p u n t o c u a l q u i e r a de un c u e r p o r í g i d o , p u e ­

de o b t e n e r s e la v e l o c i d a d de o t r o p u n t o cual­

q u i e r a de ese c u e r p o , d e s c o m p o n i e n d o el v e c ­

tor de v e l o c i d a d c o n o c i d o en c o m p o n e n t e s a lo

largo y p e r p e n d i c u l a r a la línea que une e s ­

tos.puntos y h a c i e n d o una de la? c o m p o n e n t e s

r de la v e l o ci dad del otro punto igual a la com­

ponente a lo largo de la. línea en magnitud,

d i r e c c i ó n y sentido. La otra c ompo n e n t e do.

esta v e l o c i d a d será p e r p e n d i c u l a r a la l í n e a

.7.4. Método de la v e l o c i d a d ortogonal:

Este método es una c o n s e c u e n c i a del t e o ­

rema de B u r m e s t e r sobre velocidades.

El teorema de B u r m e s t e r — sobre v e l o c i ­

dades e s t a b l e c e que: En el m ov imiento r í g i ­

do plano, el polígono que tiene por vértices

las e x t r e m i d a d e s de las v elocidad es de tres

o más puntos, es s e m e j a n t e ai polígono cons- f . trui'do t o m ando como v é r t i c e s los puntos m i s ­

mos . __; , - _ ^

La s e m e j a n z a se m a n t i e n e si se giran las

v e l o c i d a d e s en un mismo sentido y en un m i s ­

mo á ngulo en torno a sus puntos.

Este método conduce a la c onsecu ción de

v e l o c i d a d e s mediante t r a z a d o s sencillos.

El p r o c e d i m i e n t o p a r a la d e t e r m i n a c i ó n de

v e l o c i d a d e s por el m é t o d o de las ve loc i d a d e s

giradas puede ser o b s e r v a d o en el p r o b l e m a

2.4.4. - --x

Arrieche, C i n e m á t i c a aplicada. P á g s . 61 y 62.

Diagrama circular:

Se traza un círculo en el cual se marca

los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 alrededor de

la circunferencia, lo que representa los seis

eslabones del mecanismo.

Conforme se van localizando los centros,

se trazgn líneas uniendo los puntos de los

números correspondientes de este diagrama.

De este modo, la línea 12 se traza una vez

que el centro 0 ^ 2 se ha localizado. Los

números en las líneas indican la secuencia

en que fueron trazados, para facilitar su

cotejo. En un momento del procedimiento

(después que se han encontrado 10 centros)

el diagrama aparecerá como lo muestra la

figura 2.1 (b). Inspeccionando los d i a g r a ­

mas se nota que uniendo 24 se cierran dos

triángulos 243 y 124. Ya que éste es el

caso, se localiza el centro instantáneo O-,,

en la intersección de las líneas 0 o , 0-, « y• . ¿ i 34^ 1 2 ^ 1 4 * El procedimiento es el mismo para

los puntos restantes.

Si cada línea se puntea primero, m i e n ­

tras se está localizando el centro y después

cuando se ha encontrado, se repasa haciéndo­

la una línea sólida, se evitan errores. La

figura 2.1 (a) muestra la localización de to­

dos los cent ros instantáneos y la figura

2.1 fe) el diapramn circular terminado.

T a b u i a c i ó n :

E n e s t e p r o c e d i m i e n t o s e e s t a b l e c e u n a

t a b u l a c i ó n g e n e r a l y s e e m p l e a c o n t a b u l a ­

c i o n e s s u p l e m e n t a r i a s , t a l c o m o s e i l u s t r a

e n l a F i g u r a 2 . 1 (d) ( A n á l i s i s d e l p r o b l e m a

p r o p u e s t o ) . E n l a s c o l u m n a s p r i n c i p a l e s d e

l a t a b u l a c i ó n g e n e r a l s e e n u m e r a n l o s n ú ­

m e r o s d e l o s e s l a b o n e s d e l m e c a n i s m o . E n

l a p r i m e r a c o l u m n a s e a p u n t a el n ú m e r o d e

l a p a r t e s u p e r i o r d e e s a c o l u m n a , c o m b i ­

n a n d o c o n a q u e l l o s n ú m e r o s a la d e r e c h a d e l

m i s m o . C o n t i n u a n d o e s t e p r o c e d i m i e n t o h a s ­

t a el f i n a l d e l a s t a b l a s , s e o b t i e n e la

l i s t a c o m p l e t a d e t o d o s l o s c e n t r o s q u e h a n

d e ' e n c o n t r a r s e .

C o n f o r m e l o s c e n t r o s s e v a n l o c a l i z a n ­

d o e n el d i b u j o ( f i g u r a 2 . 1 ( a ) \ s e t a c h a n

e n l a t a b l a , c o m o q u e d a i l u s t r a d o e n l a fi­

g u r a 2 . 1 . ( d ) . C o m ú n m e n t e , l a m i t a d d e l o s

c e n t r o s s e e n c u e n t r a n p o r i n s p e c c i ó n y s o n

t a c h a d o s i n m e d i a t a m e n t e . D e e s t e m o d o e n

e l e j e m p l o d e la f i g u r a 2 . 1 ( a ) , s i e t e

l o s c e n t r o s , e l 1 2, 23 . 5 4 , 1 4 , o , 56

16 f u e r o n e n c o n t r a d o s p o r i n s p e c c i ó n ,

r e s t o d e l o s c e n t r o s t e n d r á n q u e s e r l o c a

l i z a d o s e m p l e a n d o el t e o r e m a d e K e n n e d y y

c o n l a a y u d a d e t a b l a s s u p l e m e n t a r i a s . S u ­

p o n i e n d o q u e s e d e s e a l o c a l i z a r e l c e n t r o

d e

yEl

O1 3 ’

s e e s t a b l e c < la t a b l a si

e ñ _ l a c u a l l o s e s l a b o n e s 1 y 3 s e c o n s i d e ­

r a n c o n u n t e r c e r e s l a b ó n , p o r d e c i r , c o n

el 4. E n t o n c e s los cen t r o s 0 . 0 O34 ’ 14* 13

deben c o i n c i d i r en una linea recta seoún* O

el teorema de Kennedy. El t e r c e r eslabón

p odr í a ser el 2, cuan d o los c e n t r o s 0 ^ ,

''23* °13 esten en una línea recta. R e f i ­

riéndose a la t a b u l a c i ó n g e neral, se e n ­

cuentra que los centros 0 3 4 , P 1 4 , 0 1? y

°23 ^ an s ^do t a c h ad o s , y por lo tanto han

sido l oc a l i z a d o s y e s tán d i s p o n i b l e s .

Para el c e n t r o 0 15 se d i s p o n e de la

tabla s u p l e m e n t a r i a , m o s t r a d a en la forma

-• • (d ), se p u e d e o b s e r v a r que los centros

°13’ °35 y °15 deben e s t a r a l i n e a d o s , al

igual que los c e n t r o s 0 1 6 , 0 56 y 0 1 S . En

la i n t e r s e c c i ó n de la línea 0 ^ ,

con la línea 0-j^, ^56* ^15 se e n c u e n t r a lo­

ca li z a d o el c e n t r o 0 1 5 .

De la m i s m a manera, por el u s o de t a ­

blas, se p u e d e n l o c a l i z a r todos los cen-

_ros. Las t a b l a s de la figura 2.1.(d) mues­

tran el p r o c e d i m i e n t o . La l o c a l i z a c i ó n de

]os centros i n s t a n t á n e o s del m e c a n i s m o de

la figura 2 . 1 . (a), e m p l e a n d o el m é t o d o de

t a b u l a ci ó n es m o s t r a d a en la figura men­

cionada a n t e r i o r m e n t e .

NUMERO DE LOS ESLABONES

1 2

n X

13 24Centros

*15 2S1 6 ''

3 4/

,34 4 5.35/ 4636

TABLAS SUPLEMENTARIAS

2.2. En el mecanismo mostrado, localícense toáoslos

centros instantáneos de rotación.

Solución:

Se enumeran los eslabones del mecanismo y

por inspección se localizan los centros 12, 13,

14 y 15.

O35 (od )

Figura 2. 2. DETERMINACION DE CENTROS INSTANTANEOS

P a r a e n c o n t r a r el c e n t r o 23 ?e t r a z a la n o r ­

mal c o m ú n al p u n t o d e c o n t a c t o y d e a c u e r d o al

t e o r e m a d e K e n n e d y lo? c e n t r o s 13. 23 y 12 d e ­

b e n e s t a r a l i n e a d o s . Un p r o c e d i m i e n t o s i m i l a r

se u t i l i z o ' p a r a los c e n t r o s 34 y 45.

U t i l i z a n d o el m é t o d o de la t a b u l a c i ó n se e n ­

c o n t r a r á n l o s r e s t a n t e s c e n t r o s , c o m o s i g u e :

N U M E R O D E L O S E S L A B O N E S

/

C e n t ros

1

; 2 1 3

14"/ ,1 5

/

/ /23 34

24 35

2 5

/45

En la t a b u l a c i ó n g e n e r a l a p a r e c e n t a c h a d o s

los c e n t r o s q u e h a n l o c a l i z a d o s , p o r t a n t o s ó ­

lo f a l t a n t r e s c e n t r o s p o r u b i c a r .

La t a b l a s u p l e m e n t a r i a p a r a el c e n t r o 24

e s :

24

23 1 2

34 14 •

e n la i n t e r s e c c i ó n d e las l í n e a s 2 3 - 3 4 c o n 12- 1

se e n c u e n t r a el c e n t r o 24..

La t a b l a s u p l e m e n t a r i a p a r a el c e n t r o 25

en la intersección de las líneas 12 - 15 con

24 - 45 se localiza el centro 25.

El centro 35 se encuentra en el infinito,

lo cual puede ser verificado a través de una

:abla suplementaria.

“n mecanismo de la figura 2.3, en cuentre los

centros instantáneos de rotación.

Solución:

Una vez numerados los eslabones del m e c a ­

nismo, por inspección se obtiene los centros

12, _5, 13, 34 y 45. Aplicando el Teorema de

Kennedy y trazando la normal común al punto

áe contacto a los eslabones 2 v 3, se obtiene

el centro O^,. En el diagrama circular (Fig.

ó) se puede observar la secuencia para loc a­

lizar los restantes centros de acuerdo a la .

numeración descrita en él. (Ver figura pagina •

s i g u i e n t e ) .

Figura 2.3 DETERMINACION DE CENTROS INSTANTANEOS

En el m e c a n i s m o mostrado, d e t e r m i n a r la veloci­

dad lineal de los puntos E y F. Se dan como

datos :

- V e l o c i d a d a n g u l a r del e s l a b ó n c o n d u c t o r WoA =

20 rad S ~ 1 .

- L o n g i t u d de los e s l a b o n e s O A = A3 = 0,5 m;

BE = CD = 0,3 m y CE = 0 , 6 m.

S o l u c i ó n :

El m e c a n i s m o est á r e s p r e s e n t a d o por la

e s c a l a de e s p a c i o :

= 1/100 (m/mm)

Se d e t e r m i n a la v e l o c i d a d lineal del punto

A, de a c u e r d o a:

V = u . OA = 20.0,5 = 10 m S “ 1 A

U s a n d o una e sca la de v e l o c i d a d e s Kv = 1/4

(m S Vmm") , se o b t i e n e que la v e l o c i d a d lineal

del punto A es:

C A A ' ) '= V . / K = 10/4 = 40 mm h v /

Con el o b j e t i v o de a n a l i z a r los d i f e r e n ­

tes m é t o d o s u s a d o en la d e t e r m i n a c i ó n g r á f i c a

de v e l o c i d a d e s se resolverá el p r o b l e m a em-

n l e a n d o los s i g u i e n t e s m é t o d o s :

a l e s l a b ó n 3, s e l o c a l i z a e l c e n t r o 13

u s a n d o el d i a g r a m a c i r c u l a r d e la f i ­

g u r a 2 . 4 . 2 . (b) , c o n el o b j e t i v o d e c o n o ­

c e r la d i r e c c i ó n d e l a v e l o c i d a d d e l p u n ­

t o F .

U s a n d o c o m o p u n t o d e p i v o t e ^ 1 3 » s e

t r a s l a d a l a v e l o c i d a d V 2 3 s o b r e l a p r o ­

l o n g a c i ó n d e l a l í n e a 0 ^ - F , y e n el p u n ­

t o d e c o r t e s e c o p i a p e r p e n d i c u l a r m e n t e a

l a l í n e a m e n c i o n a d a e l v e c t o r A A ’, l u e g o

s e u n e A' c o n 0 1 3 p o r el p u n t o F s e t r a z a

u n a l í n e a p a r a l e l a a A A y s e o b t i e n e l a

v e l o c i d a d l i n e a l d e l p u n t o F e n r a z ó n d e

q u e l o s t r i á n g u l o s O -| 3 ' y F F 1 s o n

s e m e j a n t e s . viPa ra d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d

l i n e a l d e l p u n t o E , s e p u e d e o b s e r v a r q u e

e s t á e s i g u a l a la d e l c e n t r o 5 6 , p o r lo

c u a l s e d e t e r m i n a rá l a v e l o c i d a d d e u n

c e n t r o q u e r e l a c i o n e l a v e l o c i d a d d e l c e n ­

t r o d e s c o n o c i d o (56 ) c o n el c e n t r o c o n o ­

c i d o ( 2 3 ) .

El p r o c e d i m i e n t o a u s a r , e s d e t e r m i ­

n a r la v e l o c i d a d d e l c e n t r o 2 5 a t r a v é s

d e l 23 y u n a v e z r e a l i z a d o , s e e n c o n t r a r á

l a v e l o c i d a d d e l c e n t r o b u s c a d o ( 5 6 ) .

U s a n d o e l d i a g r a m a c i r c u l a r ( F i g . b ) ,

s e l o c a l i z a e l c e n t r o 15 y d e s p u é s el 25 .

U n a v e z u b i c a d o el c e n t r o 2 5 , t o m a n d o c o ­

m o p u n t o d e p i v o t e 7 se t r a s l a d a l a v e ­

l o c i d a d s o b r e la l í n e a ^ 2 5 , y e n

4

;ura 2.4. 2. DETERMINACION DE VELOCIDADES POR CENTROS INSTANTANEOS

el punto de corte se copia perpendicularmen­

te a la línea mencionada el'vector AA'.uniert

_ do A' con O p . Por el punto P se traza

una línea paralela a AA*, v así se obtiene

la velocidad lineal del centro 25 en razón

de que los triángulos O p AA' y 0 ? PP', son

semej antes.

U n a v e z e n c o n t r a d a la v e l o c i d a d del c e n ­

t r o 25 se d e t e r m i n a la v e l o c i d a d del c e n t r o

56 a t r a v é s del c e n t r o 0 ^ corno p u n t o d e "

p i v o t e , u s a n d o un p r o c e d i m i e n t o s i m i l a r a

el a n t e r i o r m e n t e m e n c i o n a d o .

D e b i d o a q u e se h a u s a d o las m i s m a s e s ­

c a l a s , r e a l i z a n d o las m e d i c i o n e s r e s p e c t i ­

v a s , se t i e n e q u e :

V r = Kv ( F F ' ) = 2 7 , 5 / 4 = 6 , 8 8 m 5 1 r

= Kv (F. E ' ) = 3 4 / 4 = S , 5 0 m S " 1h

C o m p o n e n t e s :

Se d e t e r m i n a r á , la v e l o c i d a d l i n e a l de

los p u n t o s E y F, d e b i d o a q u e de a c u e r d o a

la d e f i n i c i ó n de c u e r p o r í g i d o se t i e n e q u e

la p r o y e c c i ó n de la v e l o c i d a d de p u n t o s a l i ­

n e a d o s s o b r e la r e c t a q u e l os u n e es la m i s ­

ma p a r a t o d o s , i n s t a n t e p o r i n s t a n t e .

D a d a In v e l o c i d a d l i n e a l del p u n t o A,

se p r o y e c t a V. en la d i r e c c i ó n A B , o b t e n i e n ­

do q u e A A " os d i c h a p r o y e c c i ó n . Se t r a s l a ­

da a p a r t i r de B c o n la m i s m a d i r e c c i ó n , m a g ­

n i t u d y s e n t i d o , la p r o y e c c i ó n de , s i e n ­

do A A ” = B A ”. P o r o t r a p a r t e , B r o t a

en t o r n o a D y la v e l o c i d a d de B es p e r p e n ­

d i c u l a r a Q-B ■. Así la i n t e r s e c c i ó n de la

p e r p e n d i c u l a r a B A " , p o r A " , c o n la p e r p e n ­

d i c u l a r a 9 6 , - p o r B, d e t e r m i n a el e x t r e m o de

Figura 2.4.3. DETERMINACION DE VELOCIDADES POR COMPONENTES

Para determinar V p , se proyecta sobreAF.

la velocidad lineal de A, con lo que se o b ­

tiene la proyección A A " l u e g o se proyecta

sobre BF la velocidad lineal de B, con lo

que se obtiene la proyección BB". Se tras­

lada a partir de F con la misma dirección,

magnitud y sentido, dichas provece i ones , sien­

do AA'" = FA"' y BB" = FB", posteriormen­

te se traza las componentes ortogonales resr

pectivas y asi se determina la velocidad V p .

La velocidad de C se encuentra al proyectar

V sobre BC- y trasladando a partir de C con

igual magnitud, dirección y sentido dicha

proyección, tal que B B ’" = CB"’ . La perpen­

dicular a CB’" , trazada por B"' , con la per-

p e n d i c u l a r a D C , t r a z a d a p o r C , d e t e r m i n a

el e x t r e m o d e V^. CC*').

S e p r o y e c t a V c s o b r e CE, o b t i e n d o s e C C ”

se c o p i a a p a r t i r d e E, d i c h a p r o y e c c i ó n ,

d e m o d o q u e C C " = E C " . P o r C " se t r a z a

la p e r p e n d i c u l a r a C E, la c u a l c o r t a la

d i r e c c i ó n de la v e l o c i d a d d e E e n E 1 . o b ­

t e n i e n d o q u e E E ’ es la v e l o c i d a d del' p u n ­

to E. L o s r e s u l t a d o s q u e se o b t i e n e son:

V F = K v ( FF ’ ) = 2 7 , 5 / 4 = 6 , 8 8 m S -1

V E = K y ( E E ’) = 3 4 / 4 = 8 , 50 m S -1

V e l o c i d a d e s G i r a d a s :

E s t e m é t o d o es c o n s e c u e n c i a d e l T e o ­

r e m a d e B u r m e s t e r y e s t a b l e c e q u e el p o ­

l í g o n o q u e t i e n e p o r v é r t i c e s las e x t r e m i ­

d a d e s de l as v e l o c i d a d e s de t r e s c m á s pun­

t o s , es s e m e j a n t e al p o l í g o n o c o n s t r u i d o

t o m a nd o , c o m o v é r t i c e s los p u n t o s m i s m o s

c o n m o v i m i e n t o p l a n o .

D a d a la v e l o c i d a d l i n e a l d e l p u n t o A,

g i r e m o s V. en 90° en s e n t i d o h o r a r i o p a r aG

o b t e n e r la v e l o c i d a d d e A, g i r a d a , V . . Por G • A

V A s e t r a z a la p a r a l e l a a A B , o b t e n i e n d o

s o b r e B D la v e l o c i d a d de B, t a m b i é n g i r a ­

d a e n 90°: . P o r se t r a z a la p a r a l e ­

la A F y p o r V g , se t r a z a la p a r a l e l a a BF;

d o n d e e s t a s r e c t a s s e i n t e r s e c t e n , e s t á

el e x t r e m o d e la v e l o c i d a d d e F, V p , gi-

G Grada en 90°. Los triángulos ABF y Vv Vfi

rv VZ., son semeiantes.- p >

a'

B

Por Vg se traza la paralela a BC, has­

ta cortar a CD en V^. Por último por

se traza la paralela a CE, hastar cortarla

dirección perpendicular a la trayectoria

que describe la corredera, conloquese ob­

tiene v^.

Para determinar en magnitud, dirección

y sentido las velocidades lineales^ busca­

das, se gira en 90° la velocidad Vp y

en sentido antihorario.

mci

De acuerdo a las escalas usadas, se tie­

ne que:

V c = K (F vj) = 27.5/4 = 6,88 m S ' 1 r V F

V r = K (E Vpl = 34/4 = 8,50 m S " 1 lL v h

En el mecanismo de la figura 2.5, la velocidad

del punto A es de 10 m§ en la dirección m o s ­

trada. Encontrar la velocidad del punto B, sa­

biendo que la escala de espacio usada es:

= 1 / 1 0 (m/mm)

S o l u c i ó n :

Dado que se conoce la velocidad lineal del

punto A en magnitud, se determina que la e s c a ­

la de velocidades es:

Kv = 1/3 ( m S ' V m m )

Dado que eslabón OC gira con la misma v e ­

locidad angular se encuentra la velocidad li ­

neal de C por los triángulos semejantes O C C’ y

O A A’. -

Para determinar la velocidad lineal del

punto D, se construye el polígono de acuerdo a

la ecuación vectorial siguiente:

De acuerdo a la veloci dati lineai de D, por

los triángulos semejantes H D D’ v IiFF' se

encuentra la velocidad lineai del punto F.

Para encontrar la velocidad lineai del pun­

to B, se construye el polífono de velocidades

de acuerdo a la ecuación vectorial siguiente:

Figura 2. 5. DETERMINACION DE VELOCIDADES

Para ubic ar el punto B en la imagen del

eslabón F G . usando la proporción siguiente:

FG/fg = FB/fb

de donde

fb » fg . FB/FG = 28.32/56 = 16 mm

midiendo desde £ esa cantidad (16 nim) se u b i ­

ca al punto b.

i ara determinar el valor de la velocidad

punto B, se traza el vector Pvb y de a c u er ­

do a la escala de velocidades se tiene que:

^B = Kv ÍPv b) = 5 2 / 3 = 1 7 >33 m S " 1

En el me canismo en la posición mostrada, d e ­

terminar la velocidad lineal de los puntos C y

D. Se dan los siguientes datos:

Velocidad angular del eslabón c o n d u c t o r W =

10 rad S - \ EA

- Longitud de los eslabones EA = 0,02 m; AC =

0,11 y BC = 0,0765 m. “ .

S o l u c i ó n :

El mecanismo está representad o por la es­

c a 1 a

K. = 1 / 1 0 0 (m/mm)

v = W. . r.A =• 10.0 ,1 )2 = ( ) ,2 nuS"A ' i:A •

Usando 1 escala de velocidades Kv = 1/100

(mS"'/mni), se obtiene t|ne la velocidad del pun­

to A es:

( A A ' ) = V a / K v- = 0 , 2 . 1 0 0 = 20 mm

mina de acuerdo a:

Figura 2.6. DETERMINACION DE VELOCIDADES POR COMPONENTES

D a d o q u e se c o n o c e la d i r e c c i ó n d e la v e l o ­

c i d a d del p u n t o C, c o m o p e r t e n e c i e n t e al e s l a ­

b ó n 4 y la d i r e c c i ó n d e la v e l o c i d a d d e l p u n t o

A, c o m o p e r t e n e c i e n t e al e s l a b ó n 2, se p r o l o n g a

l o s r a d i o s p e r p e n d i c u l a r m e n t e a e s a s d i r e c c i o ­

n e s , y se e n c u e n t r a el c e n t r o i n s t a n t á n e o de ro­

t a c i ó n d e l e s l a b ó n 3 ( 0 ^ , ) • C o n o c i d o el c e n t r o

i n s t a n t á n e o d e r o t a c i ó n d e l e s l a b ó n 3, se e n ­

c u e n t r a la p r o y e c c i ó n d e la v e l o c i d a d l i n e a l d e l

p u n t o A s o b r e e l e s l a b ó n 3 (en e s t a p o s i c i ó n d e l

m e c a n i s m o c o i n c i d e l a m a g n i t u d d e l a v e l o c i d a d

l i n e a l d e A c o n s u p r o y e c c i ó n s o b r e el e s l a b ó n

3) .

A p a r t i r d e l p u n t o C se c o p i a c o n i g u a l m a g ­

n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o la p r o y e c c i ó n de la

v e l o c i d a d d e A s o b r e el e s l a b ó n 3, l u e g o se h a ­

ce l a c o m p o s i c i ó n r e s p e c t i v a p a r a o b t e n e r la

m a g n i t u d de la v e l o c i d a d l i n e a l d e C.

P a r a la v e l o c i d a d l i n e a l d e l p u n t o D, se

t i e n e q u e la p r o y e c c i ó n d e la v e l o c i d a d del p u n ­

to B s o b r e B D e s B B ”.

A p a r t i r d e D s e c o p i a c o n i g u a l m a g n i t u d ,

d i r e c c i ó n y s e n t i d o la p r o y e c c i ó n B B ”, p o r B"

se t r a z a una l í n e a p e r p e n d i c u l a r a B D h a s t a q u e

c o r t e la d i r e c c i ó n de la v e l o c i d a d d e l p u n t o D

c o m o p e r t e n e c i e n t e al e s l a b ó n 6 , c o n lo q u e se

o b t i e n e q u e e s i g u a l a D D '

D e a c u e r d o a la e s c a l a u s a d a , las m a g n i t u ­

d e s d e las v e l o c i d a d e s s o n :

V c = K v ( C C ’) = 4 1 / 1 0 0 = 0,4-1 m S ' 1

V „ = K (DD') = 4 9 / 1 0 0 = 0 , 4 9 m S " 1 D v *

P a r a el m e c a n i s m o en la p o s i c i ó n m o s t r a d a , d'

t e r m i n a r la v e l o c i d a d lineal del p u n t o D y

v e l o c i d a d a n g u l a r de los e s l a b o n e s BC y CD. Se

t i e n e c o m o d a t o s lo s i g u i e n t e :

- R u e d a 1 y la r u e d a 2 e s t á n en c o n t a c t o p o r

r o d a m i e n t o p u r o , y la r u e d a c o n d u c t o r a 2 g i ­

ra c o n u n a v e l o c i d a d a n g u l a r c o n s t a n t e de 3

rad S .

- L o n g i t u d e s de los e s l a b o n e s 0 ;7A

. 0 3 B = 0 ,045 m; C ^ O - = 0, 0 75 m ;

AC = 0 , 0 9 m y CD = 0,0 5 m.

S o lu c ió n :

El m e c a n i s m o e s t á r e p r e s e n t a d o por la e s ­

cal a :

= 1 / 1 0 0 (m/mm)

La v e l o c i d a d lineal del p u n t o A, se c a l c u l a

:e a c u e rdo a :

V A = W 2 .0 7A = 3 . 0 , 0 3 = 0, 0 9 m S ' 1

U s a n d o la e s c a l a de v e l o c i d a d e s Kv = 3/1000

ttiS 1 /mml , se o b t i e n e q u e la v e l o c i d a d del p u n ­

to A es:

(AA') = V rt/ K = 0,09 . 100/3 = 50 mmA ■ V

P a r a d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d l i n e a l del pun­

to D, se u s a r á el m é t o d o de las c o m p o n e n t e s de

la f o rm a s i g u i e n t e : Con la v e l o c i d a d lineal de

A se e n c u e n t r a la v e l o c i d a d l i n e a l del p u n t o de

= 0 , 0 3 m ;

BC = 0 , 115 m

c o n t a c t o P d e la r u e d a 2 y la r u e d a 1, u t i l i z a n ­

d o la s i g u i e n t e p r o p o r c i ó n :

A A ’/ Ó 2 A = P P ’/ 0 2 P

de d o n d e

pp< = A A ’. 0 7 P / 0 7A = 3 0 . 3 0 / 3 0 = 30 m m

c o n la v e l o c i d a d d e l p u n t o P, se t i e n e la v e ­

l o c i d a d l i n e a l d e l p u n t o B.

S e e n c u e n t r a l a p r o y e c c i ó n d e la v e l o c i d a d

d e l p u n t o A , s o b r e el c u e r p o r í g i d o A C , a p a r ­

t i r d e C se c o p i a d i c h a p r o y e c c i ó n c o n i g u a l

m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o . S e p r o y e c t a V g

s o b r e l a b a r r a B C y a p a r t i r d e C s e c o p i a la

p r o y e c c i ó n d e v e l o c i d a d c o n i g u a l m a g n i t u d , d i ­

r e c c i ó n y s e n t i d o .

E n el o u n t o C se h a c e u n a c o m p o s i c i ó n d e

v e l o c i d a d e s , p a r a o b t e n e r la v e l o c i d a d l i n e a l

de l p u n t o C.

L a v e l o c i d a d l i n e a l d e l p u n t o C, s e p r o y e c ­

ta s o b r e C D , y a p a r t i r d e D se c o p i a c o n igual

m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o , la p r o y e c c i ó n

m e n c i o n a d a .

C o n la p r o y e c c i ó n de l a v e l o c i d a d d e l p u n ­

to C s o b r e C D , a p a r t i r d e l p u n t o D, s e t r a z a n

l a s c o m p o n e n t e s o r t o g o n a l e s , y se o b t i e n e

v e l o c i d a d l i n e a l d el p u n t o D.

Utilizando la escala de velocidades, se oh-

tiene que:

V D = fCv f D D ' ) = 3. 16 ,5/1000 = 0,05 mS" 1

Para determinar la velocidad angular de los

eslabones BC y C D , se construye en rol'.cono de

velocidades (Fie;, b) de acuerdo a ■ r? ecun.ci°-

nes vectoriales siguientes:

V VB + v_ c ¿ *

; r o

D4- \ '

P/C

! n c

Del polígono de velocidades se o1'"

= 5.1-1/ 1 000 = 0 ,0 37 "i

c|ue

V C / B = Xv (bc)

V D/C - Kv (de) 3 .4 1 ,5 / 1 0 0 0 = o. r:> m s 1

El cálculo de las velocidades angulares es

- 1CB 0,2!' rnd S

WCD- , 4 0 rae! S

En el me canismo en la posición mostrada,

terminar en magnitud, dirección y sentido la

velocidad lineal del eslabón D y la velocidad

angular del eslabón C. Se dan como datos lo

s i eui e n t e :O

- V e l o c i d a d a n g u l a r del e s l a b ó n c o n d u c t o r -

120 rad S ^ .

- L o n g i t u d e s de los e s l a b o n e s C^A = 0,25 m ,

AB = 0,37 m y 0 4B = 0 ,34 m.

So lu c ió n :

El mecanismo esta representa do por la escala;

K = 1 / 2 0 0 (m/mm)L -

La velocidad del punto A, o del centro -3,

es igual a:

Y = V 7 - = W 2 - O^A = 1 20 .0,25 = 30 mS A -

U t i l i z a n d o la escala de v e l o c i d a d e s si

g u i e n t e :

= 5/5 (mS V m m ]

T e n e m o s que:

P o r i n s p e c c i ó n s e d e t e r m i n n n l o s c e n t r o s

12; 2 3 ; 3 4 ; 14; 3 5 ; 14; 16; 6 7 ; 7 8 y 18.

D a d o q u e s e c o n o c e 1 h v e l o c i d a d l i n e a l del

c e n t r o 2 3 , s e p u e d e e n c o n t r a r la v e l o c i d a d l i ­

n e a l d e l c e n t r o 34 a t r a v é s d e l c e n t r o f i j o

d e r o t a c i ó n 13.

P a r a u b i c a r e l c e n t r o f i j o 13 s e c o n s t r u y e

el d i a g r a m a c i r c u l a r ( F i g . b") . El c e n t r o 13 se

e n c u e n t r a e n la i n t e r s e c c i ó n d e l a s l í n e a s 1 2 ­

23 c o n 1 4 - 3 4 .

T o m a n d o c o m o p u n t o d e p i v o t e 13 se t r a s l a ­

d a l a v e l o c i d a d V' s o b r e la l í n e a 1 3 - 3 4 , y e n

el p u n t o d e c o r t e s e c o p i a p e r p e n d i c u l á r m e n t e a

la l í n e a m e n c i o n a d a el v e c t o r V ' , u n i e n d o el

e x t r e m o d e V 1 c o n 13. P o r el p u n t o B se t r a z a

u n a l í n e a p a r a l e l a a V ’, a s í se o b t i e n e la v e ­

l o c i d a d l i n e a l d e l c e n t r o 34 e n r a z ó n d e q u e

lo s t r i á n g u l o s s o n s e m e j a n t e s . C o n o c i d a l a v e ­

l e i d a d d e l c e n t r o 3 4 , s e p u e d e d e t e r m i n a r la

v e l o c i d a d d e l c e n t r o 4 6 a t r a v é s d e l c e n t r o fi­

jo 14. El p r o c e d i m i e n t o p a r a c o n o c e r la v e ­

l o c i d a d d e l c e n t r o 4 6 e s s i m i l a r a l u t i l i z a d o

- i r a la d e t e r m i n a c i ó n d e l c e n t r o 3 4 .

C o n la v e l o c i d a d d e l c e n t r o 4 6 , s e d e t e r m i ­

na la v e l o c i d a d d e l c e n t r o 67 a t r a v é s d e l c e n ­

t r o f i j o 16, u t i l i z a n d o la p r o p i e d a d d e t r i a n ­

g u l o s e m e j a n t e s .

P a r a d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d l i n e a l d e l

e s l a b ó n D , s e c o n s t r u y e el p o l í f o n o d e v e l o c i ­

d a d e s ( F i g . c) d e a c u e r d o a la e c u a c i ó n v e c t o ­

r i a l s i 2 U i e n t e :

88

V DS

Il a 8 V,

D 8 / D 6

no, n 6

Del p o l í g o n o so e n c u e n t r a q u o :

7 D * V D 8 / D 6 * K v C d a 'd8) = 3 ' 8 / 5 = 4 - 8 mS

- 1

V t -7 = = K ( P v . d 6 ) = 3 . 2 9 , 5 / 5 = 17,7 mS6 7 Do v

- 1

C o n la v e l o c i d a d lineal del c e n t r o 6 7, de

d e t e r m i n a la v e l o c i d a d a n g u l a r del e s l a b ó n C,

de la f o rm a s i g u i e n t e :

w c = v 6~/o n = 1 7 »7 / 0 »30 = 60 rad s- 1

2.9. En el m e c a n i s m o m o s t r a d o , d e t e r m i n a r la v e l o ­

c i d a d lineal d e l p u n t o C y la v e l o c i d a d a n g u ­

lar del e s l a b ó n B O ^ . Se d a n los d a t o s s i g u i e n ­

tes :

- La v e l o c i d a d a n g u l a r del e s l a b ó n c o n d u c t o r

IV = 10 rad S .

L o n g i t u d e s de los e s l a b o n e s 0 2 P =

B C = 0 , 2 9 2 m.

0 , 1 6 8 m v

S o lu c ió n :

El m e c a n i s m o e s t á r e p r e s e n t a d o p o r la e s c a l a

= 1/ 25 0 (m/mml

V n = W . O , P = 1 0 . 0 , 1 6 8 = 1,6?, m S " 1p o

U t i l i z a n d o la e s c a l a d e v e l o c i d a d e s K r =_1

2 1 / 8 7 5__(mS. mtn) , se t i e n e q u e la v e l o c i d a d del

p u n t o es :(I,. t rW**?■'>

ÍPP.) = V n / K = 1 , 6 8 . 8 7 5 / 2 1 = 70 m m K 2 J P 2 v

D a d o q u e P es u n p u n t o c o i n c i d e n t e se h a r á

u n a i n v e r s i ó n d e l m e c a n i s m o c o n e l f i n de e n ­

c o n t r a r la e c u a c i ó n v e c t o r i a l d e la v e l o c i d a d

n r a el p u n t o s e ñ a l a d o .

Si se f i i a al e s l a b ó n 4, se p u e d e o b s e r v a r

:_:e la t r a y e c t o r i a d ei p u n t o P ? r e l a t i v a al

o u n t o P, es u n a r c o c i r c u l a r c o n c e n t r o de4

: a r v a t u r a en O ’.

P a r a d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d d e l p u n t o P^,

i: c o n s t r u y e el p o l í g o n o d e v e l o c i d a d e s de

a o u e r d o a la e c u a c i ó n v e c t o r i a l s i g u i e n t e :

v + vP4 ~ P 2 / P 4

1_° 4 P J _ 0 ’P •

P a r a d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d l i n e a l del p u n ­

to B, se p r o c e d e d e la s i g u i e n t e f o r m a :

- Se t o m a 0 ^ c o m o p u n t o de p i v o t e p a r a e n c o n ­

t r a r el p u n t o d e c o r t e de V p ^ s o b r e la l í n e a

0 4 B .

La velocidad lineal del punto P ? es:

Se prolonga la línea O^A' y por el punto B

se traza una línea paralela a A A ' .

Dado que el triángulo A'O^A y B’O^B son

semejantes, el vector BB' representa la ve­

locidad lineal del punto B. Para determinar

la velocidad lineal del punto C, se tiene que

proyección de la velocidad del punto B so-

:re la barra B C , es la misma, para ambos pun-

wOS .

A partir de C , se copia la proyección de

la velocidad de B, con la misma dirección, mag-

r.itud y sentido. La velocidad lineal de C

5e obtiene al hacer la composición de vecto­

ras, y su magnitud es:

Vr = Kv (CC') = 2 1.1 9/875 = 0,456 u S_1v*

Para calcular la velocidad angular del es-

líbon B04 , se tiene:

=?_ = Kv (PPj) = 70.2 1 /875 = 1 ,68 a S ' '

cor. lo cual

*30 * ?P4/0,P * 1 >68jín-18 ‘ 9 >33 rad S "'

En el m e c a n i s m o m o s t r a d o , d e t e r m i n a r la v e l o c i ­

d a d a n g u l a r del e s l a b ó n 4 y la v e l o c i d a d l i ­

neal de los e s l a b o n e s 3, 5 y 6 . Se c o n o c e lo

s i g u i e n t e :

- V e l o c i d a d a n g u l a r del e s l a b ó n c o n d u c t o r W 7 =

120 r a d S ' 1 .

- L o n g i t u d de los e s l a b o n e s A B = 0 , 2 7 5 m y

A C = 0 ,8 m. _

S o lu c ió n :

El m e c a n i s m o e s t á r e p r e s e n t a d o p o r la e s c a l a :

= 1 / 2 0 0 (m/mm)

La v e l o c i d a d l i n e a l de los p u n t o s A ? y ,

se c a l c u l a n c o m o s i g u e :

1 6 . 8 m S ' 1

2 8 . 8 m S " 1

U t i l i z a n d o la e s c a l a de v e l o c i d a d e s K =-1 v

1 2 / 2 5 (mS / m m ) , se o b t i e n e q u e la v e l o c i d a d de

A - y B^ s o n :

t a c i ó n O-j^, lo q u e p e r m i t e c o n o c e r la d i r e c c i ó n

d e la v e l o c i d a d de e s o s p u n t o s

P o r i n s p e c c i ó n se l o c a l i z a n los c e n t r o s in s ­

t a n t á n e o s 12, 25, 54, 45, 25, 46 y 16.

En el d i a g r a m a c i r c u l a r de la f i g u r a ( h ) ,

a p a r e c e n en l í n e a s l l e n a s los c e n t r o s q u e h a n

s i d o l o c a l i z a d o s p o r i n s p e c c i ó n .

P a r a l o c a l i z a r el c e n t r o 24, se t i e n e _ q u e

en la i n t e r s e c c i ó n d e las l í n e a s 2 3 - 5 4 co n25-45,

se e n c u e n t r a el c e n t r o m e n c i o n a d o .

El c e n t r o 14, e s t á u b i c a d o en la i n t e r ­

s e c c i ó n de l as l í n e a s 12-24 c o n la l í n e a ¡6-46.

D e b e o b s e r v a r s e q u e la t r a y e c t o r i a ’ del

p u n t o A ^ r e l a t i v a al p u n t o A-, es u n a l í n e a r e c ­

ta, al i g u a l q u e la de l p u n t o B^ r e l a t i v a al

p u n t o B ? .

De a c u e r d o a lo m e n c i o n a d o a n t e r i o r m e n t e , par

ra d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d l i n e a l d e los e s l a ­

b o n e s 5 y 5, se d e b e c o n s t r u i r el p o l í f o n o de

v e l o c i d a d e s fFig. c) d e a c u e r d o a las e c u a c i o ­

n e s v e c t o r i a l e s s i g u i e n t e s :

V A4 = V A 2 + ^ A 4 / A 2

P a r a d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d l i n ea l del

e s l a b ó n 6 , se t r a z a en el p o l í g o n o de v e l o c i ­

dades (Fig. c) la s i g u i e n t e e c u a c i ó n v e c t o r i a l :

= _^A4 + \ / A 4

_ L CF _ L CA

De a c u e r d o a las e s c a l a d e v e l o c i d a d e s , te­

n e m o s que las m a g n i t u d e s de las v e l o c i d a d e s b u s ­

c a d a s son:

V , = K y ( a ? a 4 ) = 1 2 . 9 0 / 2 5 = 4 5 , 2 m S ' 1

V- = K ( b - b j = 1 2 . 5 5 / 2 5 = 25 , 44 m S ' 15 v 2 4 ’

V 6 = K v (Pv c) = 1 2 . 8 9 / 2 5 = 4 2 , 7 2 m S ' 1

La d i r e c c i ó n y s e n t i d o de las v e l o c i d a d e s de

l o s e s l a b o n e s 5, 5 y 6 , p u e d e n o b s e r v a r s e en el

p o l í g o n o de v e l o c i d a d e s de la f i g u r a ( b ) .

P a r a c a l c u l a r la v e l o c i d a d a n g u l a r del e s ­

l a b ó n 4, se t i e n e que:

^ C M 4 = K v ^a 4 c -' = 1 2 . 1 1 6 / 2 5 = 5 5 , 6 8 mS 1

c o n lo cu al , la m a g n i t u d de la v e l o c i d a d a n g u ­

l a r b u s c a d a es ; “ .

W 4 = V C / A 4 / C A = 5 5 * 8 8 / 0 - 8 = 6 9 >6 ra d S ~

El s e n t i d o de la v e l o c i d a d a n g u l a r del e s ­

l a b ó n 4, se p u e d e o b s e r v a r en la f i g u r a 2. 1 0 (a)

Preguntas y Pr o blema s Propuestos.;

2.11. Indiquese la relación entre la velocidad l i ­

neal de dos puntos sobre un es la bó n en m o v i ­

miento cuyo centro ins tantáneo es conocido.

2.12. M u é s t r e s e cómo se encuentra, po r el método de

las componentes, la velocidad del punto B que

se mueve en una dirección co n oc id a, c o n s i d e ­

rando que la velocidad de un segun do punto A

p e r t e n e c i e n t e al mismo cuerpo se conoce tanto

en ma gnitud como en dirección.

2.13. Defina lo que es un centro in st an t án e o de r o ­

tación .

2.14. En el método de las ve lo ci d ad es relativas, ex­

pliq ue por qué también se le d e n o m i n a método

de las imágenes.

2.15. Com pr uebe que cuando tres c u e rp o s tienen m o ­

v im ie nt o relativo complanarlo, los tres c e n ­

tros instantáneos deben de c o i n c i d i r en una

línea recta.

2.16. ¿Cómo se encuentra el centro inst antáneo para

el movim ie nt o de un cuerpo, c u a n d o las d i ­

re cciones del movimiento de dos puntos son

conoc id as?

2.17. ¿Cuál es la dirección de la v e l o c i d a d de una

pa rt í cu l a cuyo vector p o s ic i ón es de valor i n ­

variable?

En la figura 2.18, se t i e n e q u e e] centro „

s al e f u e r a del pape l. D e m u e s t r e que:

V q r e p r e s e n t a la v e l o c i d a d del p u n t o Q, dada

la v e l o c i d a d del p u n t o P igual a V p .

m e c a n i s m o m o s t r a d o .

Figura 2.I9.

En el me canismo mostrado en en gr an aje C rota

al rededor de 0 ^, y el e n g r a n a j e D rueda s o ­

bre el engranaje C. L o ca l í c e n s e todos los

centros instantáneos de rotación,

Figura 2.20.

En cadav uno de los m e c a n i s m o s de las figuras a hasta la I, localícense t o d o s los centros i n s ­

tantáneos de rotación. En cada caso explique

el p r o c e d im ie n to usado. (Ver páginas siguientes)

99

Figura (a)

Figura (b)

Figura (c )

Figura (d)

102

Figura (g)

104

Para el mecanismo mostrado, justificar la solu­ción empleada para la determinación de la velo­cidad angular del eslabón FEG y de la velocidad lineal del nunto R. Los datos son:

- Fiscal a de espacio

Kj = 1/200 (m/mm)

Escala de velocidades

Figura 2.22

D e t e r m i n a r la v e l o c i d a d angular de los eslaho- bes b y c y la ve l oc i da d lineal del punto d p a ­ra el m e c a n i s m o en la posi ción mostrada, co no ce que la:

- V e l o c i d a d a n g u la r del es la bón con du ctor es 20 rad S _1 en el sentido mos trado.

- Lon g it ud del eslabón AB = 0,189 m .

(RESPUESTA: Wb = 20.45 rad S~1 ; Wc = 9,92 rad S ~ 1 ;

Vd = 1,26 m S -1') .

Figura 2. 2 5

108

En el mecanismo mostrado, determinar la velo­

cidad angular de los eslabones CE y BC y la

velocidad lineal de los puntos E y D. Se dan

como datos lo siguiente:

- Velocidad angular del eslabón conductor U'• ' . . .. 0A

= 60 r p m en sentido antihorario.

- Longitud de los eslabones OA = 0,7 m; AC =

BC = AB = 0,81 m ; GB = 0,66'm y CE = 0,70 m,

[RESPUESTA: = 7 ,536 rad S" 1 ; = 4,07

rad S' 1 ; V D = 0,22 mS"1 ; = 3,17 m S _1).

1-igura 2.26

n o

2 . 2 8 . Para el mecanismo en la D o s i c i ó n mostrada, d e

t e r m i n a r la velocidad a n g u l a r de los e s l a b o n e s

GE, FD y CD, y la velocidad lineal del p u n t o F.

Se dan los siguientes datos:

- Velocidad angular del eslabón conductor W- =„ - 1 OA

10 rad S 1 .

- Longitud de los eslabones OA = 0,25 m; AB =

0,3 m ; CD = 0,25 m ; DF = 0,45 m y GE =

0,3 m .

(RESPUESTA: W GE = 2,01 rad S ' 1 ; W pD= 5 ,16rad S'\

^CD = h 2 rad S " 1 ; V p = 0 , 765 m S ' 1).

Para el mecani sino mostrado, determinar la v e ­

locidad lineal del punto D y la velocidad a n ­

gular del eslabón CD. Se conocen la veloci

dad angular del eslabón conductor ÍL, = 10-radS"OA

y la longitud de los eslabones OA = 0,1 m ;

AB = 0,12 m y CD = 0,1o m.

(RESPUESTA: W = 8 , 6 9 rad S

Para el c u ad ri l á t e r o a r t i c u l a d o mostrado, d e ­

terminar la ve locidad lineal y angular de los

eslabones 5 y 6 . La e s c al a de espacio u s a ­

da e s :

K = 1 / 1 0 0 (m/mm)JLi

(RESPUESTA: V g = 2,58 m S 1 ; W 5 = 6 ,14 rad S

V 6 = 3,84 m S " 1 ; = 5,77 rad S 1).

W = 2 O rcd/s

Figura 2 .30

En el m e c a n i s m o m o s t r a d o el e s l a b ó n AB gir a

con una v e l o c i d a d a n g u l a r c o n s t a n t e de 5 rad S

D e t e r m i n e la v e l o c i d a d lineal de t punto E de

la c o r r e d e r a y la v e l o c i d a d a n g u l a r de los es-

1 a b o n e s GC y D E .

La l o n g i t u d de los e s l a b o n e s es: AB =0 , 1 m;

GC = 0,2S m; FD = 0,61 m y DE = 0,30 m.

2.32. Para el mecanismo mostrado, determinar ln

I oc i dad angular «-le los eslabones a, b y c. Iü

mecanismo está representado ñor la escala de

o s p a c i o :

K = 1/ldO (m/inm)

Figura 2 ..3 2

Para el me c an i sm o nostramo, d e te r mi na r la velo­

cidad angular de lr>s es l ab o ne s CI y G H , así co­

mo la velocidad lineal de los puntos D e l . P¿

me ca ni smo esta re pr esentad o por la escala d e e s

pac i o :K. = 1./ ’ SO (m/m m’) .L

v • •

0, 20m/s

Figura 2.33

W = 45 rad/s

Figura 2.34

Figura 2 .35

Para el m e c a n i s m o m o s t r a d o , deter m i na r la v e ­

locidad ang u l ar del e s l a b ó n BD y la v e l o ci da d

lineal del eslabón F. Se conoce que O A =

0,125 m.

Figura 2 . 3 6

para e > m e c a n i s m o en la posición mostrada, d e ­

t erminar la v e l o c i d a d angular de los eslabones

CE y FE v la v e l o c i d a d lineal del punto F. La

esc a l a de e s p a c i o es = 1/200 (m/mm)

W = IO rad /s

Figura 2.37.

2 rota a 6 rad S en el sentido

de las agujas deJ reloj. Encuentre en inao-

nitud, dirección y sentido la velocidad del

eslabón 5.

i5 cm

F i g u r G 2 . 3 9

CAPITULO III

ACELERACION LINEAL Y ACELERACION ANGULAR

EN LOS ESLABONES DE UN MECANISMO

3.1. Introducción:

El estudio de aceleraciones es de importancia vi­

tal para el cálculo de las piezas de máquinas en m o ­

vimiento .

Las fuerzas de inercia que aparecen en los miem­

bros móviles de una máquina, como consecuencia de las

aceleraciones a que están sometidos, alcanzan mag­

nitudes que, en algunos casos y en determinadas posi­

ciones, sobrepasan a los esfuerzos que esos mismos es­

labones sufren por efecto del trabajo que la máquina

realiza. Para determinar las fuerzas de inercia, es

requisito previo conocer las aceleraciones correspon­

dientes, y de aquí que cuando se diseña una máquinasea

indispensable conocer las aceleraciones que han de te­

ner sus distintas partes móviles.

La aceleración esta relacionada con la fuerza (MA)

mediante la segunda Ley de Newton y a su vez está re­

lacionada con el esfuerzo y la deformación de los

materiales empleados.

Se puede decir entonces, que el diseñador debe

determinar las aceleraciones antes de poder fijar la

forma y las dimensiones del elemento de máquina en

cuestión.

Debe te ne rse p r e s en t e que es más difícil de e v a ­

luar y p r e d e c i r la a c e l e r a c i ó n que la veloci da d. Está

exige una discipl ina m e n t al e s t r i c t a y u n a c o nfianza_en

A c e l e r a c i ó n Lineal y A c e l e r a c i ó n Angular:

La a c e l e r a c i ó n lineal (a) es la v a r i a c i ó n de la v e ­

locid ad lineal por unidad de tiempo. Como la v e l o c i ­

dad lineal es'un vector, la a c e l e r a c i ó n lineal ta mbién

es un v e ct or (magnitud, d i r e c c i ó n y sentido). Si el

d e s p l a z a m i e n t o A se d e s c r i b e por la m a g n i t u d y d i ­

re cción del radio v e c t o r R que se ext i e nd e desd e el

o rigen de un si st em a de c o o r d e n a d a s hasta el punto A.

\

En el tiemp o t s u p o n g a m o s que el d e s p l a z a m i e n t o sea

R y en el tiempo t + At el d e s p l a z a m i e n t o se R + AR en

do nde AR es el v e c t o r d es de A hasta A ’ . Entre A v A ’

125

v a l o r e s de A't y A V cad a vez más p e q u e ñ o s ( h a c i e n d o ten­

d e r a cer o A t )

a = lim AV/At = d v / d t

At-0

En t é r m i n o s del v e c t o r p o s i c i ó n R, l a a c e l e r a c i ó n

es :

a = d 2 R / d t 2 = 'r'

El v e c t o r a c e l e r a c i ó n tiene la m i s m a d i r e c c i ó n y

s e n t i d o que el v e c t o r v a r i a c i ó n de v e l o c i d a d . A c e l e ­

r a c i ó n y v e l o c i d a d t i en e n la m i s m a d i r e c c i ó n , só l o

c u a n d o el m o v i m i e n t o es r e c t i l í n e o . El v e c t o r a c e l e ­

r a c i ó n n u n c a es t a n g e n t e a la t r a y e c t o r l a T e x c e_p t o ~ e ñ ~

el m o v i m i e n t o r e c t i l í n e o v a r i a d o , d o n d e d e s p l a z a m i e n ­

to, v e l o c i d a d y a c e l e r a c i ó n son c o l i n e a l e s . — — -—

Si la v a r i a c i ó n de v e l o c i d a d de un p u n t o en m o ­

v i m i e n t o no es la m i s m a en los s u c e s i v o s i n t e r v a l o s de

-lempo i g ua le s, la a c e l e r a c i ó n es v a r i a b l e y t e n d r á

un v a l o r d i f e r e n t e pa r a ca d a i n s t a n t e , en c a s o de s e r

i g u a l e s la a c e l e r a c i ó n es u n i f o r m e o c o n s t a n t e .

La a c e l e r a c i ó n a n g u l ar («) es la v a r i a c i ó n de la

v e l o c i d a d a n g u l a r por u n i d a d de t i e mo o . Es una p r o ­

p i e d a d del m o v i m i e n t o de c u e r p o s o lí neas y no p u e d e

a p l i c a r s e a puntos, p u e s t o q ue su m o v i m i e n t o a n g u l a r

no tiene s i g n i f i c a d o . Si el c a m b i o de la v e l o c i d a d an­

g u l a r es A W en At la a c e l e r a c i ó n a n g u l a r p r o m e d i o es

A W / A t y la i n s t a n t á n e a d W / d t . El c o n c e p t o de a c e l e r a ­

c i ó n a n g u l a r u n i f o r m e o v a r i a b l e es a n á l o g o al caso

de a c e l e r a c i ó n lineal.

•: 7

La a c e l e r a c i ó n n o r m a l , cottio m a g n i t u d v e c i ori fl » , de­

be d i r i g i r s e h a c i a el c e n t r o de g i r o y, p o r tan t o , J a _

a c e l e r a c i ó n total s ó l o p u e d e f o r m a r un á n g u l o a.n u d o , o

sea, m e ñor del 90°, con el ra d i o de c u r v a r uta de

p u n t o , o r e c t a q u e u n e un p u n t o m ó v i l con el c e n t r o de

c u r v a t u r a de su t r a y e c t o r i a .

La d e s v i a c i ó n del v e c t o r a ^ r e s p e c t o a la n o r m a l

O A se c a r a c t e r i z a p o r el á n g u l o 9 q u e se d e t e r m i n a p o r

1 a f ó r m u 1 a :

a r / an= a./W'

En el c a s o de a n a l i z a r d i f e r e n t e s p u n t o s de un

r.isino c u e r p o r í g i d o , se t i e n e q u e t o d o s l os p u n t o s del

c u e r p o p o s e e n i n s t a n t e p o r i n s t a n t e , la m i s m a v e l o ­

c i d a d a n g u l a r y la m i s m a a c e l e r a c i ó n a n g u l a r , L u e g o

la a c e l e r a c i ó n l i n e a l d e c u a l q u i e r p u n t o , e s p r o n o r

c i o n a l d e s u d i s t a n c i a al p u n t o f i j o . T a m b i é n en f u n ­

c i ó n d el á n g u l o 9 se p u e d e d e c i r q u e el á n g u l o

f o r m a la a c e l e r a c i ó n l i n e a l de c a d a p u n t o d e l

r í g i d o , c o n s u v e c t o r p o s i c i ó n , es el m i s m o p a r a

d o s e l l o s , i n s t a n t e p o r i n s t a n t e .

Se p u e d e n o t a r q u e el ú n i c o p u n t o c o n a c e l e r a c i ó n

n u l a es el p u n t o 0 , y t o d a s las a c e l e r a c i o n e s n o r m a l es

v a n d i r i g i d a s h a c i a 0. Un p u n t o , tal c o m o 0, no

n e c e s a r i a m e n t e f i j o , p e r o s i e m p r e s o b r e el p l a n o m ó ­

v i l , se d e n o m i n a c e n t r o d e a c e l e r a c i ó n . S e D u e d e c o n ­

c l u i r q u e ¡las a c e l e r a c i o n e s n o r m a l e s d e d o s p u n t o s

e s t á n e n t r e si, c o m o las r e s p e c t i v a s d i s t a n c i a s de

d i c h o s p u n t o s al c e n t r o de a c e l e r a c i o n e s ; y las a c e ­

l e r a c i o n e s t a n g e n c i a l e s - d e d o s p u n t o s m a n t i e n e n e n ­

t r e si, la m i s m a r e l a c i ó n q u e s u s r e s p e c t i v a s d i s t a n ­

c i a s al c e n t r o de l a s a c e l e r a c i o n e s .

c S or

M/L-Í 7-

1 28

3.4. D e t e r m i n a c i ó n gr áf ica de a celera ci on es en mecanis mo s:

En forma análoga a como sucede en la determi na ci ón

de las v e l o c i d a d e s de las partículas en un mecanismo,

también se pu ed en de t er m i n a r las a ce l er a c i o n e s l i n e a ­

les de las par tí c u la s medi ante la g r a f i c á c i ó n de p o ­

lígonos de acel er a ci o ne s e imágenes de aceleraciones.

El métod o a usar para d e te r mi n ar la a c el e ra c ió n li­

neal y angu l a r de esl abones de un m e c a ni s mo es el de

las a c el e r a c i o n e s relativas basado en el pr i nc ip io del

m o vi m ie n to r e l a t i v o a d e m á s se incluye la a ce leració n

de Coriolis y algunos pr o ce di m ie n to s que pe rm iten a m ­

p li ar los mé to do s de d e t e r mi n ac i ón gr áf ica de a c e l e r a ­

ciones .

5.S. Métod o de las ac e le r a c i o n e s relativas:

Este mét odo está b a sa do en el p r i n ci pi o general del!

m o v i m i e n t o relativo de un punto respecto a otro. Se •

puede enu n ci a r como sigue: 'Para dos puntos A y B de ”

un cuerpo con m o v i m i e n t o plano, la ac e le r a c i ó n a b s o l u ­

ta de B es igual a la suma vec torial de la aceleración

lineal de A y la ace le ración de B rela ti va a A 1 .

Este métod o está basado en los sigui en tes p r i n ­

cipio s :

Todos los m o v i mi e nt o s son co nsiderados como instantá­

neos.

El m o v i m i e n t o i ns ta ntáneo de un punto se considera

como de rot ación pura.

La a c el e ra ci ó n de un punto es más fácil me nte analiza­

do si se' de s co m p o n e en dos componen te s rectangulares, ¡

una normal y la otra tangente a la trayectoria.

- Las v e l o c i d a d e s relativas y absolutas de los e s l a b o ­

nes del m e c a n i s m o deben d e t e r m i n a r s e u t i l i z a n d o e]

mé t o d o de las veloci d a d e s relativas.

El m é t o d o de las a c e l e r a c i o n e s relativas es l l a ­

mado tambié n el método de las imágenes, lo que p e r ­

mite I e n c o n t r a r la aceler a c i ó n lineal de c u a l q u i e r

punto de un eslabón del m e c a n i s m o dada la semejanza

entre los eslabones y el p o l í g o n o de aceleraciones.

[El p o l í g o n o de a c e l eracione s es la imagen del e s l a ­

bón girado (180° - arctg a / w 2) grados, contados en

el sentido en que gira el eslabón.

Las a c e l erac iones absolutas de c u a l q u i e r punto

;>e m i d e n a partir del polo de a c e l e r a c i o n e s (Pa) . Es-

Le m é todo está limitado a d e t e r m i n a r la a c eleración

de dos o más puntos sobre un mismo eslabón del m e c a ­

ni s m o .

^ e raeion de coriolis (movimientos com puestos) :

H a s t a ahora se ha c e n t r a d o la aten ción en a c e l e r a ­

ciones de puntos unidos a sólo un plano móvil. Empero,

se tomarían en cuenta varios planos m ó v iles al mismo

tiempo. En especial, a los m o v i m i e n t o s en c u a l q u i e r

instante de tres planos móviles. Los tres realizan m o ­

vi m i entos relativos y c o p l a n a r e s entre sí. Si se d e ­

nota los planos como 0, 1 y 2, y se toma al plano 0 co­

mo de referencia, se c o n s i d e r a el movimiento, por ejem­

plo del plano 2, con re specto al plano de referencia co

mo m o v i m i e n t o absoluto. Además, al m o v i m i e n t o del

plano <_ con respecto al plano móvil 1 (independiente)se

le llama m o v i m i e n t o relativo. Por Último, al movimien ­

to del plano 1 con respecto al piano de referencia O s e

llama el mo vimi e n t o vehicular.

1 30

Con el o b j e t i v o de h a c e r m á s p r á c t i c o el d e s a r r o ­

llo de la a c e l e r a c i ó n de C o r i o l i s , se c o n s i d e r a n a

c o n t i n u a c i ó n dos c a s o s g e n e r a l e s de m e c a n i s m o s con

m o v i m i e n t o c o m p u e s t o en los c u a l e s se t i e n e n los tres

p l a n o s m ó v i l e s m e n c i or a d o s . Los c a s o s n a r t i c u l a r e s a

anal i zar s o n :

( a. C u a n d o la t r a y e c t o r i a d e s c r i t a s o b r e el e l e m e n t o

r o t a t i v o es u n a l í n e a recta.

b. C u a n d o 'la t r a y e c t o r i a d e s c r i t a s o b r e el e l e m e n t o

r o t a t i v o es u n a l í n e a c u r v a ; p a r a un i n s t a n t e cual­

q u i e r a se p u e d e p e n s a r q u e la t r a y e c t o r i a es un

a r c o c i r c u l a r c o n un r a d i o i g u a l al r a d i o de c u r ­

v a t u r a de la c u r v a p a r a e s e i n s t a n t e .

C a s o I ( t r a y e c t o r i a r e c t a ) :

E n la f i g u r a m o s t r a d a se t i e n e q u e el p l a n o 0 es

el de r e f e r e n c i a y es f ijo, el p l a n o 2 e s t á s o l i d a r i o

a la b a r r a y el p l a n o 1 s o l i d a r i o a la c o r r e d e r a .

S= punto solidarlo plano 2

P = punto solidcrio plano I

P S

Plano

P lano 2

É l P la n o de re fe ren c ia O

Se t i e n e q u e la b a r r a rota a l r e d e d o r de c e n t r o fi

jo con u n a v e l o c i d a d a n g u l a r u n i f o r m e W. La c o r r e d e ­

ra d e s l i z a s o b r e la b a r r a con u n a v e l o c i d a d r e l a t i v a

u n i f o r m e V, y el p u n t o P de l/a c o r r e d e r a d e s c r i b e una

l í n e a r e c t a s o b r e e s e m i s m o e l e m e n t o . En la f i s u r a

de a b a j o se t i e n e : (a ) la p o s i c i ó n i n i c i a l de la b a ­

rra en l í n e a c o m p l e t a m e n t e s ó l i d a . D e s p u é s de u n i n ­

t e r v a l o i n f i n i t e s i m a l d t , la b a r r a a l c a n z a la p o s i ­

c i ó n q u e se i n d i c a c o n l í n e a p u n t e a d a . El d e s p l a z a ­

m i e n t o a n g u l a r d u r a n t e e s e dt es d 0 ; p o r t a n t o d0 =

wdt. El p u n t o S s o b r e la b a r r a t e n í a la p o s i c i ó n S'.

(b) si la c o r r e d e r a no se m o v i e r a a lo l a r g o de la

b a r r a , el p u n t o S' r o t a r í a a l r e d e d o r del c e n t r o fiio

h a s t a la p o s i c i ó n S ". (c) 'si, d u r a n t e ese i n t e r v a l o

d t , la b a r r a p e r m a n e c i e r a e s t a c i o n a r i o , el p u n t o P

de la c o r r e d e r a (P') a l c a n z a r í a la p o s i c i ó n P " p u e s t o

q u e la c o r r e d e r a se m u e v e s o b r e la b a r r a . La t r a y e c ­

t o r i a d e s c r i t a p o r el p u n t o P' s o b r e la b a r r a , es u n a

l í n e a r e c t a e x i s t a o no r o t a c i ó n de la b a r r a . (d) si

se c o m b i n a n los dos d e s p l a z a m i e n t o s del p u n t o S d e s ­

c r i t o s en (a) y (b) se d e b e r í a o b t e n e r F c o m o p o s i ­

c i ó n f i n a l del p u n t o P'. S i n e m b a r g o la p o s i c i ó n f i ­

nal de P' es en r e a l i d a d F'

El d e s p l a z a m i e n t o a d i c i o n a l e n t r e las p o s i c i o n e s

F y .F 1 es c a u s a d o por u n a a c e l e r a c i ó n p e r p e n d i c u l a r a

la t r a y e c t o r i a del p u n t o P.^.spb_re_. 1.a.. H a r r a _y..,ac;t.uj[_n-

do en la d i r e c c i ó n de W. F.sta c o m p o n e n t e de la a c e ­

l e r a c i ó n se l l a m a a c e l e r a c i ó n de C o r i o l i s (aC ), cuya

m a g n i t u d p u e d e ser e n c o n t r a d a de la m a n e r a siguiente:

are F F 1 = are P " F f - are P " F

are FF' = a re P"F* - a re S ' S "

are F F ' = (A P " ) d 9 - (A S ’)d 9 _= C S * P") d9

are FF' = (S"F) dG = (V dt) (Wdt)

are FF' = V W ¡ d t 2 . -

^ ’ _ y r \ ia _ T . ,

La v e l o c i d a d t a n g e n c i a l de P ' , V , es igual a r w ,

( donde r es la d i s t a n c i a e n t r e los p u n t o s P ' A ) , c a m ­

b i a c o n s t a n t e m e n t e de d i r e c c i ó n al r o t a r la b a r r a .

A d e m á s V t , se i n c r e m e n t a r á p r o p o r c i o n a l m e n t eP . - ,

ese c a m b i o en r. P o r lo tanto la v e l o c i d a d t a n g e n c i a »

V t a u m e n t a u n i f o r m e m e n t e con u n a a c e l e r a c i ó n constan- P

te a°, l l a m a d a a c e l e r a c i ó n de C o r i o l i s . E n t o n c e s , se

p u e d e e s c r i b i r que:.

are FF"* = (1/2) a C d t 2' y (1/2) a L dt" = V W dt"O- r* I

de d o n d e .

a c = 2 V W = a c e l e r a c i ó n de C o r i o l i s , d o n d e V es

ia v e l o c i d a d line al de la c o r r e d e r a r e l a t i v a a la b a ­

rra (V , ).p / j

La regla para d e t e nrJ.ua r . la di rece i ó.n jdej— v_£j_Lo r

a c e l e r a c i ó n de Co r i o 1 i s_e s_: E l v e c t o r ve locj dad.

se" rota 90° en la d i r e c c i ó n de la v e l o c i d a d a n g u l a r K.

132

C a s o II ( t r a y e c t o r i a c u r v a ) :

En la f i g u r a se m u e s t r a el b l o q u e b d e s l i z a n d o a

lo l a r g o de una r anura c i r c u l a r , con c e n t r o en 0, con

u n a v e l o c i d a d u n i f o r m e r e l a t i v a a la m e s a . La

v e l o c i d a d de P r e l a t i v a al e s l a b ó n f i j o es:

^ P / 0 = ^ R / 0 + ^ P / R

P e r o V R / 0 = Wa r

e n t o n c e s , se t i e n e que:

1 34

P u e s t o q u e P es un p u n t o q u e d e s c r i b e u n a t r a y e c ­

t o r i a c i r c u l a r de r a d i o r a l r e d e d o r de 0, se t i e n e

q u e la a c e l e r a c i ó n de P es:

d P / 0

a P / 0

a P / 0

V P / 0 / r = CWa f ♦ V p / R ) /r

R / 0 P / R

d o n d e

E n e s t e c a s o , d o n d e el c u e r p o b d e s l i z a m o v i é n d o ­

se a lo l a r g o de u n a t r a y e c t o r i a c i r c u l a r , se t i e n e

q u e l a a c e l e r a c i ó n de C o r i o l i s e x i s t e , d a d o q u e se

t i e n e u n p u n t o q u e se m u e v e r e l a t i v o a la t r a y e c t o r i a

el c u a l t i e n e u n a v e l o c i d a d a n g u l a r , a p e s a r de q u e

la v e l o c i d a d de d e s l i z a m i e n t o es de i g u a l d i r e c c i ó n

q u e la v e l o c i d a d d e l p u n t o c o i n c i d e n t e s o b r e la m e s a .

C o m o se p u e d e o b s e r v a r en los c a s o s e s t u d i a d o s el

p r o b l e m a c o n s i s t e en q u e e x i s t e n u n o o m a s p u n t o s c o ­

m u n e s a dos e s l a b o n e s de un m e c a n i s m o en un i n s t a n t e ,

d i c h o s p u n t o s se l l a m a n c o i n c i d e n t e s . D a d o q u e la

a c e l e r a c i ó n de C o r i o l i s es 2 V W, d o n d e V es la v e l o ­

c i d a d de el p u n t o r e l a t i v o a la t r a y e c t o ria y W es la

v e l o c i d a d a n g u l a r de la t r a y e c t o r i a , es n e c e s a r i o p a -

ra p o d e r e n c o n t r a r la v e r d a d e r a m a g n i t u d y d i r e c c i ó n

de e s a c o m p o n e n t e de a c e l e r a c i ó n h a c e r u n a i n v er s i ó n

del m e c a n i s m o . Si se p a r t e del m e c a n i s m o m o s t r a d o a

c o n t i n u a c i ó n :

La inversión consiste en fijar un eslabón y esta­

blecer el movimiento relativo de los restantes eslabo­

nes.

En el caso del mecanismo mostrado, se tiene que la

trayectoria del punto P relativa al punto' R es

línea recta inviniendo el mecanismo y haciendo que el

eslabón C quede fijo, es muy difícil visualizar

trayectoria de R relativa a P. Para poder determinar

está trayectoria, si se considera -la figura b en que

ahora el eslabón a está fijo. En esta figura se c o ­

loca al eslabón d en determinadas posiciones angula­

res relativas al eslabón a y se determina la

ción relativa de R para cada posición del eslabón d.

Se puede v e r que la p o s i c i ó n del e s labón C s i e m p r e e s ­

tá en una d i r e c c i ó n desde E p a s a n d o por P y que R esta

a una d i s t a n c i a fija desde E. Como se m u e s t r a la t r a ­

yecto r i a de R en el e s l a b ó n C es c u r v i l í n e a y t a n g e n t e

al e s labón C en el punto P. D e s a f o r t u n a d a m e n t e la

t r a y e c t o r i a no es cir cular, de m a n e r a que es difícil de

t e r m i n a r el radio de curvatura. Como puede c o n c l u i r s e

es n e c e s a r i o e i n d i s p e n s a b l e r e a l i z a r la i n v e r s i ó n del

m e c a n i s m o s c u a n d o no se cono ce la t r a y e c t o r i a r e l a t i v a

de los p u n t o s c o i n c i d e n t e s , en el caso e s t u d i a d o la

a c e l e r a c i ó n de Coriolis es 2 V p .

A c e l e r a c i ó n sobre cuerpos en rodadura:

Si u n c u e r p o en m o v i m i e n t o está en c o n t a c t o con

otro a lo l a r g o de una línea, y en el m o v i m i e n t o de

uno r e s p e c t o a otro no se p r o d u c e d e s l i z a m i e n t o s entre

los p u n t o s de ambos cuerpos que c o i n c i d e n en la línea

de contac to, se dice que esos cuerpos están en c o n t a c ­

to con r o d a m i e n t o puro.

Las s u p e r f i c i e s de los cuerpos que r u e d a n p ued en

tener las formas más d i v e rsas, pero s i e mpre han de per­

m i t i r que haya r o d a m i e n t o sin d e s l i z a m i e n t o . La condi­

ción es que los puntos de ambos cuerpos que en c u a l ­

quier i n s t a n t e están sobre la línea de c o n t a c t o han de

tener la m i s m a v e l o c i d a d lineal.

1 5 '

En todos los casos puede ocurrir que uno de

los cuerpos sea fijo y el otro móvil, o bien que a m ­

bos cuerpos sean móviles. Los casos prácticos que se

encuentren más comunmente son los engranajes, como

son: un par de engranajes rectos con acoplamiento epi-

cicloidal o hipociclo idal y el de un piñón con una

cremallera, también los mecanismos de levas cuando el

contacto es por medio de un par s u p e r i o r .

Si se considera el caso de un cilindro que se

- u e v e sobre una superficie convexa de radio R, y c e n ­

tro de curvatura G, como se muestra en la figura de

abajo, con una velocidad angular uniforme. En este

caso, la trayectoria de el centro del disco es un

círculo de radio (R + r) y la velocidad lineal de el

centro del disco relativa a la superficie fija es

WT. El centro, 0, tiene una aceleración normal, r e ­

lativa a la superficie, de magnitud:

?

^O/S-7 (R * r)(wr)" / (R + r)

ACTO CONVEXO-CONVEXO

I í- ,p

a » r p/s

í s '.g’'p/0

M1

IMAGEN DE ACELERACION

en la f i gura. La a c e l e r a c i ó n del p u n t o P, p u n t o de?

c o n t a c t o s o b r e el d i s c o , r e l a t i v o a O es igual a w “r

y se d i r i g e de P h a c i a 0 el cual es de igual d i r e ­

c c i ó n p e r o de s e n t i d o c o n t r a r i o .

En el c a s o de un d i s c o que r u e d a s o b r e u n a s u p e r ­

f icie c ó n c a v a las e c u a c i o n e s a nO / G y a n /PO son de

igual s e n t i d o . En e s t e c a s o la a c e l e r a c i ó n de O r e ­

l a t i v a a S es d a d a p o r la r e l a c i ó n .

a n 0 / s - (W r ) 2 / ( R - r)

En los c a s o s p r e s e n t a d o s p r i m e r o se e n c u e n t r a la

a c e l e r a c i ó n del c e n t r o del d i s c o p a r a l u e g o r e l a c i o ­

n a r l a c o n c u a l q u i e r p u n t o p e r t e n e c i e n t e al disco.

C o m o c a s o e s p e c i a l de r o d a m i e n t o p u r o se e n c u e n ­

tr a n los m e c a n i s m o s de levas en los c u a l e s el c o n ­

t a c t o es a t r a v é s de p a r e s s u p e r i o r e s .

G e n e r a l m e n t e en los m e c a n i s m o s de levas la a c e l e ­

r a c i ó n de C o r i o l i s a p a r e c e dado que las t r a y e c t o r i a s

que d e s c r i b e n los p u n t o s de c o n t a c t o o los c e n t r o s de

los p a s a d o r e s (en el c a s o de s e g u i d o r e s de r o d i l l o ) del

s e g u i d o r p e r t e n e c e n al m o v i m i e n t o c o m p u e s t o .

En la p a r t e r e f e r e n t e a p r o b l e m a s r e s u e l t o s apare-

E c u a c i ó n de E u l e r - S a v a r y :

Para e s t a b l e c e r el centro de curvatura de la t r a ­

y e c t o r i a de un punto cualquiera, que pertenece a un

e l e m e n t o de un mecanismo, se puede aplicar dife rentes

métodos

La aplicación de un m éto do está sujeto a la po-

5 - c i é n del elemento e n el ciclo cinemáti co y de su

p o s i c i ó n respecto a otros elementos d e l mecanismo. Los

-é::dos son: Ecuación de E u l e r - S a v a r y ; Método gráfico

de Savary; co n st rucción de Hartmann; Inversión de la

ror.strucción de la aceler a c i ó n normal y los m é t odos

:ue u t i l i z a n las c i r c u n feren cias de inflexiones. La

e c u a c i ó n de E u ler-Sava ry permi te d e t e r m i n a r el radio

de c u r v a t u r a en un momento dado

Si se d e n o t a n como:

- oí = radio de la c i r c u n f e r e n c i a fija

R = AI = radio de la c i r c u n f e r e n c i a móvil

d - d i á m e t r o de la c i r c u n f e r e n c i a de inflexió n.

r = ppi = radio de c u r v a t u r a de la t r a y e c t o r i a del

punto P en el m o m e n t o c o n s i d e r a d o .

r ip = radio v e c t o r (IP) del punto A

9 = á n g u l o que forma el v e c t o r p o s i c i ó n del p u n t o A

con el eje p r i n c i p a l O A

= v e l o c i d a d a n g u l a r total de la línea m ó vil en el

m o m e n t o c o n s i d e r a d o .

u = v e l o c i d a d del c e n t r o insta n t á n e o de r o t a c i ó n (I)

La e c u a c i ó n de E u l e r - S a v a r y es:

(1 /R ) + (1/R.) = ( 1 / ( r 0 -P) + 1/P) Cos 9 = w/u = 1/d: ¿

Si se c o n o c e R 1 , R ? , P y 9, a p l i c a n d o la f ó rmu la

se d e t e r m i n a el radio de c u r v a t u r a del p u n t o P. (rQ ) .

Es t a e c u a c i ó n es i m p o r t a n t e para d e t e r m i n a r la

a c e l e r a c i ó n normal de p u n t o s p e r t e n e c i e n t e s a la l í ­

nea m ó v i 1 .

M e c a n i s m o s E q u i v a l e n t e s :

El c r i t e r i o para ios m e c a n i s m o s e q u i v a l e n t e s

que sus e s l a b o n e s t e n g a n igual m o v i m i e n t o r e l a t i v o que

el m e c a n i s m o original.

Los mecanismos que transmiten movimiento por con

tacto directo como son los de contacto por rodamiento

puro y por medio de pares superiores pueden ser reem­

plazados por un mecanismo equivalente.

El mecanismo equivalente de cuatro barras es muy

utilizado en los mecanismos de levas cuando se c o n o ­

cen los centros de curvaturas de los dos peifiics en

contacto. . En algunos casos el mecanismo equivalente

sirve para el análisis de una sola posición.

Una vez determinado el mecanismo equivalente

ruede aplicar el método de las aceleraciones relati-

142

5.10. P R OB LE MA S RESUELTOS

5 1. En el mec an ism o para 1 a posición mo str ada ( H g . a), de­

te rm ina r 1 ¿i acelera», ion lineal de C y la ¡ice 1 e rae i ón aiv

guiar de los esl ab one s 3 y 4. Se c on oc er lo siguiente:

- El punto A tiene una velocidad lineal de 4,8 mS .

- Longitud de eslabones 0-,A = 0,1 m; AB = 0,175 ; B O

0,25 m; 0 4C = 0,075 m y 0, 04 = 0.2 1 25 m .

SOLUCION:

A b

C 1

Figura 3. i MECANISMO DE CUATRO BARRAS

El m e c a n i s m o esta r e p r e s e n t a d o por la e s c a l a de es­

p a c i o : Kj = 1/100 fm/mm] .

(a). D e t e r m i n a c i ó n do v e l o c i d a d e s (Fio h) :

U s a n d o la e s cala de v e l o c i d a d e s Kv = 1/5 (m-S /

mm), se o b t i e n e que la v e l o c i d a d lineal del p u n t o

P o r p r o p o r c i ó n se o b t i e n e la v e l o c i d a d lineal del

p u n t o B, de la forma s i g u i e n t e :

v A / 0 2A * V B / 0 2 B

A, es :

(PF"I) = V a /K v = 4,8 .5 = 24 mm

de d o n d e

V = V .0,B /0 ,A = 24. 0 , 0 7 5 / 0 , 1 = 1 8 m m . B A 2 L

P a r a e n c o n t r a r la v e l o c i d a d lineal del pun

C, se c o n s t r u y e el p o l í g o n o de v e l o c i d a d e s

r r e s p o n d i e n t e a la e c u a c i ó n v e c t o r i a l s i g u i e n t e :

VB C/ B

I CB

Del p o l í g o n o de v e l o c i d a d e s , resulr ■ m u í -

Determi naci ón de aceler.'ìci ones U :ig- O

donde

Las a c e l e r a c i o n e s angulares de los eslabones 3 y

- 4 , se c alculan de la manera siguiente:

a 3 = a ^ /B / CB = 1454,4/0.25 (?■ 5817,60 rad S -2

y

a„ = at /0.C = 1056/0,075 = 14080 rad S ' ¿4 C 4

3.2. En el m e c a n i s m o de la figura 3 . 2 . (a), d e t e r m i n a r la

a c e l e r a c i ó n lineal de los puntos A, B, C y D. La v e ­

locidad angular y a c e leración a n g u l a r del eslabón con­- 1 - 2

duc t o r son W, = 30 rad S y a , = 248 rad S , r e s p e c t i v a ­

mente .

SOLUCION:

El m e c a n i s m o está repres e n t a d o por la escala de

e s p a c i o :

Kl = 1/100 (m/mm)

a. D e t e r m i n a c i ó n de velocidades (Fig. bl :

La v e l o c i d a d lineal del punto A, se calcula de

acuerdo a:

V. = W , . 0 , A = 30.0,4!' = 12 mS 1 A 2 2

U t i l i z a n d o la escala de v e l o c i d a d e s Kv = 175

(mS /mm) . Se obtiene ijiie la v elocidad lineal del

p unto A es:

(FJ a) = = 12.5 - 60 mm

Paca e n c o n t r a r la vt Ioeidad lineal tic 1 punto B.

se c onstruye ei polígono de v e l o c i d a d e s le icuerdo

a la e c u a c i ó n \ -ctorial < i g u i c n t o :

145

truyend.o on cl p oligono de ve 1 oc i dudes I ;i cfiiüciPn

vectorial siguiente:

^ = Ji i + = + \VBI CA |CB

148

P a r t i e n d o del polo de ace l e r a c i o n e s (P ), se

t r a z a las c o m ponentes norm a l y tangencial de la

a c e l e r a c i ó n lineal del punto A.

Para de t e r m i n a r la acel e r a c i ó n lineal del

p u n t o IT, se traza en el p o l í g o n o de a c e l e r aciones

la e c u a c i ó n vectorial siguiente:

+ _Í_ = ¡A + ¿B/A + M 1 0 4B _ ' ' i ba

donde

a B = V B /04 B = 14 ,4 2/0 . 8 = 259 , 2 m S ' 2 ¡ | B 04 - 0

a B/ A = V B / A /B A = 1° 2 / 0 -82 = 1 21 ,95 m S ~2 | | BA ■+ A

La a c e l e r a c i ó n lineal del punto C, se encuentra

t r a z a n d o en el pol í g o n o de a celeraciones la e c u a ­

c ión vecto r i a l siguiente:

a C = aA + aC/A + aC/A = + aC/B + aC/B

J_ CB

2 || CA -*■ A

|| CB - B

La a c e l e r a c i ó n lineal del p u n t o D, se e n c u e n ­

tra por la p r o p orción siguiente:

AB _ AD ab ad

]_ CA

d o n d e

a C / A = V C / A /CA = 4 ,4 2/0 , 35 = 55 ,31 mS

a rn/R = V? /R/CB = 7 , S 2/0 ,65 = 93,60 m S ' 2

La v e l o c i d a d lineal del p u n t o P ? , se calcula

como sigue i

V - W. O - P = 10.0,205 = 2,05 m S ' 1 P 2 2

u s a n d o la escala de v e l o c i d a d = 4 1 /1000 (mS /

m m ) , se obtiene que la v e l o c i d a d del punto P 7 es:

( P^P2 ) = V p ? /Kv = 2,05.1000/41 = 50 mm.

D e a c u e r d o a la i n v e r s i ó n del m e c a n i s m o , se

tiene que la e cuación v e c t o r i a l p ara d e t e r m i n a r

las v e l o c i d a d e s es:

Vp2 = ^P4 + ? P2/P4

1 o 4 p 1 CP'

Del p olígono de v e l o c i d a d e s , r e s ulta que:

V p4 = Kv ■ (PyP4 ) = 43,5 . 41 /1 000 = 1 ,78 mS'

V p 2/p4 = Kv (P2 P 4 ) = 5 1 • 41/1000 - 2,09 m S " 1

D e t e r m i n a c i ó n de a c e l e r a c i o n e s ( F i g . C ) :

Para d e t e r m i n a r la a c e l e r a c i ó n angular del e s ­

labón B, se construye el p olígono de a c e l e r aciones

de a c u e r d o a la e c uación vectorial siguiente:

á + a + a ^P2/P4 P2/P4

| C P

La acel e r a c i ó n del punto P , , se d etermina como

sigue :

r a c i o n e s , e n t o n c e s :

_ ?Ka = 41/120, (mS "/ininl

\. La d e t e r m i n a c i ó n de las ace lcrae ioncs conocida

de la ec u a c i ó n vectorial, es como sigue:

a P 4 = V P 4 /0 4P = 1 . 7 8 2 /0.455 = 6,96 m S "“ ¡¡ P 0 4 + 0 4

a n = v 2 , /CP = 2 09/0,5 = 8,74 mS 2 ¡I PC C F2/P4 P2/P4 >. i

a c = 2 W4 V p2/p4 = 2 . 3 ,91.2,09 = 16,35 mS~ 2 J_ CP -*■ P

En la figura d se m u e s t r a la forma p a r a determinar

la d i r e c c i ó n 'y sentido de la acel e r a c i ó n de Coriolis

(¿c ) Del po l í g o n o de aceleraciones, r e s u l t a que:

= K a ' ( r 4 P 2 ') = 29. 41/120 = 9,91 m S ' 2

La a c e l e r a c i ó n a n g ular del e s labón B, se calcula

como sigue:

a = a 1 /O P = 9,91/0,455 = 21,78 rad S 1 ' 4 *P4 4

El p a s a d o r A, en la p a l a n c a acodada A O D , está guiado por

los s a l i e n t e s del collar B, que desliza a lo largo del

eje fijo con veloc i d a d constante V R = 0 , 9 mS . Determi­

nar la a c e leración del m i e mbro CE, cuya p o s i c i ó n e x t r e m a ­

su p e r i o r vi e n e d e t e r m i n a d a por la ranura de la palanca acó*

dada .

SOLUCION:

El m e c a n i s m o está r e presentado por la escala de es­

pa c i o :

= 1/500 ( u / m u ) .

En el centro del p a s a d o r A y en el centro del p a ­

sador que une al e s labón CE con la p a l a n c a a c o d a d a A OD

e x i s t e n puntos coincidentes, por tanto se debe hacer

un a i nversión del mecanismo.

La n o m e n c l a t u r a para indicar los puntos c o i n c i d e n ­

tes es la siguiente:

- A punto p e r t e n e c i e n t e a la p a l anca acodada AOD

- B p u n t o p e r t e n e c i e n t e a el eslabón B.

- P p u n t o p e r t e n e c i e n t e a la p a l anca acodada AO D

- F punto p e r t e n e c i e n t e a el e s l abón CE.

Si se d e j a fijo al eslabón B, se puede o b s e r v a r que

la t r a y e c t o r i a del p u n t a A relativa al punto B es una

linea recta, lo mismo sucede con la t r a y e c t o r i a del pun­

to F r e l a t i v a al punto P, si se d eja fijo a la p a l anca

AOD, las ecuaci o n e s vectoriales para d e t e r m i n a r la a c e ­

l e ración del eslabón CE se plantearán de a c u e r d o a lo

visto a nteriormente.

a. D e t e r m i n a c i ó n de v e l ocidades (Fig. b ) :

De acuerdo a la mag n i t u d de la v e l o c i d a d del es­

labón B, se usará una escala de velo c i d a d e s k'v =

3/100 (mS V m m ), por tanto ( P h) = v b //'' = 0,9. !00/3 -

30 m m .

D e t e r m i n a c i ó n de a c e l e r aciones (Fig. C ) :

La a c e l er aci ón normal del punto A, se calcula

como sigue:

a” = v ^ / O A = 1 ,0S 2/ 0 ,1S = 7,35 m S ' 2 II AO - 0

si

rp— n = a"/Ka = 30 mm en el p o lígono -de acele- v a A' A

raciones, entonces:

Ka = 49/ 200 (mS"'7mm)

P ara d e t e r m i n a r la aceleración lineal del p u n ­

to A, se traza en el polígono de acelera c i o n e s la

e c u a c i ó n v ectorial siguiente.

áA = aA + J a _ = + + aA/B + aA/ B + ¡ L

_|_AO _ II YY

)de donde:

an = ñ n = 0 ñor que el radio de c u r v a t u r a es in- B A/B r

f i n i t o . _

at = 0 por que la ve loc ida des constante.L B

r-c - ? w V = 0 por que el eslabón B no rota, o - ¿ w g v R/,A i I

Para d e t e r m i n a r la aceleración Lineal del pun

t 0 Fi se t r a za en el polígono de a c e l e r aciones 1;

e c uación vectorial siguiente:

de donde :

a!î = a p/n = 0 porque el radio de c u r v a t u r a es i n ­f i n i t o .

a" = Vp /OP = 13 .1 1 m S “ 2 [| PO - 0

ap = . OP/OA = 7,4 m S ' 2 J_ PO

ac ' = 2 W V p/p = 14,7 m S " 2 J_ PO

El sentido de la aceleración de coriol'is ( a c 1)

se puede observar en la figura d.

Del polígono de aceleraciones, se tiene que la

acel e r a c i ó n del eslabón CF. es igual a:

âç£ = âp = Ka (Pa f) = 103,5 . 49/200 = 2S,36 m S ' 2

El disco de la figura 3.S, gira alre d e d o r de 0, y es

cond u c i d o por un cilindro neumático. En el instante

mostrado, el eje del pistón tiene una v e l o c i d a d c o n s ­

tante en la direc c i ó n indicada de 0,13 mS 1 r elativa al

c i l i n d r o .

D e t e r m i n a r la a c e leración angular del disco, si el

m e c a n i s m o está r e p resentado por la escala de espacio

= 1 /1000 (m/mm] . •

SOLUCION:

a. D e t e r m i n a c i ó n de v e l o cidades (Fi*>. b):

En el centro del pasador que une el eje del

c i lindro neumático con el disco se localisa los

puntos coïncidentes P ? , P- y P.. I.n? puntos P, y

P. son el mismo punto y e! punto P, es su proyección4 1 ■ ' ’

en el eslabón 2 .

Si se deja fijo el eslabón 2 y pe hace una in­

versión del mera ni sino se observa que la t r a y e c t o ­

ria del punto P4 relativa al punto P, es una

línea r e c t a .

De acuerdo a lo expuesto, se tiene que la

ec u a c i ó n vecto r i a l para la d e t e r m i n a c i ó n de v e l o ­

cidades es:

Vp4 = P2 + ^P4/P2 -

' 104P L°2F

Donde

'_P4/P2 = ^c

sí

(Pvr_c ) = V c / K v = 50 mm en el no l í g o n o de v e l o c i d a ­

des, entonces:

Kv = 3/100 (mS '/mm)

Una vez g ráficada la ecuación vectorial de

veloci d a d e s , se tiene que:

v = Kv (P P.) * 58,5 . 3/100 = 0,176 mS 1 P4 v 4

V = Kv CP P ? ) = 30.30/100 = 0.09 m S ' 1 P2 v -

D e t e r m i n a c i ó n de a c e l e r aciones (Fig. c):

La acel e r a c i ó n normal del punto P. es:

(P n^l = ap^/Ka = 90 mm en el p o lígono de a c e l e ­

raciones, entonces:

Ka = 1/152 (mS 2/ m m ) .

Para d e t e r m i n a r la acel e r a c i ó n a n g u l a r del

disco, se const r u y e el p o lígono de ace l e r a c i o n e s

de acuerdo a la e c uación vectorial siguiente:

a P4 = ^P4 + ^_P4 = ^_P2 + ^P2 + aP4/P2 + a P4/P2 +

i°4P Í 0 7P

donde se tiene q u e :

a p 7 = V p22/ 0 2P = 0 ,092/0,102 = 0,079 m S ' 2 ||P0, ■* 0

aP4/P? = ^ Porclue radio de c u r v a t u r a es infinito

aP4/P2 = ^ porque la v e l o c i d a d (Vc ) es constante.

aC = 2 W 2 V c = 2.0,88 . 0,15 = 0,265 m S * 2 J_ P 0 7

- QEl sentido de la acel e r a c i ó n de C oriolis (a ),

se puede o b s e r v a r en la figura d.

Del polígono de a c e l e r aciones, r e sulta que:

áp \ = Ka (n4 PJp = 67 ,5 / 1 52 = 0 ,444 m S ' 2

La a c e leración a n gular del disco es:

La figura 3.6. m u estra un sistema de engranajes. El

e n g r a n a j e i n t erno R está estacionario. El e n g r a n a ­

je interno tiene 0,26 m. de diámetro, el e n g r a n a j e P

tiene 0,08 m. de diámetro y AH = 0,06 m . El punto B

está sobre la p i e z a tr i a n g u l a r al cual está firmemeth

te u n i d a al e n g r a n a j e P. D e t e r m i n a r la a c e l e r a c i ó n

abs o l u t a de los puntos B y C. En el i n stante m o s t r a ­

do, la v e l o c i d a d angular y la a c e l e r a c i ó n a n g u l a r son

las indicadas en la figura.

SOLUCION:

a. Determinación de velocidades (Fig. b) .

La v e l o c i d a d lineal del punto A, se c a l c u l a

como sigue:

V = W. 0,A = W . (rR - Tp) = 184.0,09 =A ¿

= 16,56 m S ^

D ado que la v e l o c i d a d lineal del punto A es

igual a la v elocidad angular por el radio del en

g r a naje P, se tiene que:

Por tanto

p.| ra d e t e mi i un r 1 a v e l o c i d a d 1 ineal doì punto

B, se c onstruyo el polífono do v e l ocidades

a c u e r d o a In ec u a c i ó n vectorial siguiente:

^B_= h * V a|CR i RA

Figura 3 .6 SISTEMA DE ENGRANAJES INTERNOS

(Pv a) = /Ky = 25 mm en el p o ligono de velocida

d e s , entonces :

Kv = 100/151 C m S ' V m m )

Del pol í g o n o de v e locidades, r e s u l t a que:

V B = Ky fPv b) = 59.100/151 = 39,07 m S ' 1

V B/A = Kv (ab) = 37,5.100/151 = 24,83 m S " 1

D e t e r m i n a c i ó n de ace l e r a c i o n e s (Fig. c ) :

La a c e leración ab s o l u t a del punto A, como per

teneci e n t e al brazo 0 2A, es:

aA

Donde

a" = w 2 .0 2A = 1 8 4“ . 0 ,09 = 3047,04 m S _ 2 ¡J AO, +

a* = a . 0 ?A = 9200. 0,09 = 828 mS AO 7

Sí

(Pg = a^/Ka = 27,6 mm en el p o l í g o n o de acele

raciones, entonces:

Ka = 1104/10 (mS "/mm)

Del p o l í g o n o de aceleraciones, resulta que:

i = Ka (Pa b') = 87 . 1104/10 = 9604,8 S m S ' 2 B

¿ = Ka (Pa c') = 89,7 1104/10 = 9902,88 mS 2 c

En el instante mostrado, el e ngranaje D tiene una v e ­

locidad angular de 180 rad S ‘ y una a c e l e r a c i ó n a n ­

gular de 16800 rad S ’2 . D e t e r m i n a r la a c e l e r a c i ó n an­

gular del e s l a b ó n C y la a c e leración lineal deí e s ­

labón A, si el m e c a n i s m o está r e presentado por

escala de espacio:

Kl = 1 /3047 O / m )

SOLUCION:

Para la d e t e r m i n a c i ó n de v e l o c i d a d e s y a c e l e r a c i o ­

nes en el m e c a n i s m o se realiza la sigui e n t e inversión:

Se deja fijo al eslabón 2 y el punto P* des c r i b e un

arco c i rcular con centro de curva t u r a en G, re l a t i v a al

p u n t o P 2 -

El punto P 4 es un punto c o i n c i d e n t e con el punto

p„ en el centro del p a s ador del eslabón 3.

"JF

Del p o l í g o n o de veloci d a d e s , resulta que:

V c/T = Kv (i si = 4 2 . 1 0 0 / 3 1 7 4 8 = 1,32 m S * 15 / J ■

v p7 = Kv (Pv P 2) = 1 6 .1000/31748 = 0,50 m S " 1

V p2/J = Kv (P2 j) = 4 5 , 5 . 1 0 0 0 / 3 1 7 4 8 = 1,43 m S ' 1

V p4/S = Kv (P4 s) = 75. 1 0 0 0 / 3 1 7 4 8 = 2,36 m S ' 1

V p i / p 2 = Kv (P4 P 2} = 29. 1 0 0 0 / 3 1 7 4 8 = 0,91 m S ~ 1

D e t e r m i n a c i ó n de a c e l e r a c i o n e s (Fig. c ) :

La a c e l e r a c i ó n normal del punto J e s :

aj = V 2/Q J = 1 ,892/0 ,04 = 89 ,21 m S " 2 ||JQ - Q

sí

fP^ñj) = aj^"- = 22 m m ' en P°líg°no de acele­

raciones, entonces:

Ka = 5000/1233 ( mS'2/mro)

La a c e l e r a c i ó n tangen c i a l del p u n t o J es:

a T = ct.rD = 16800.0.01 1 = 1 76,44 m S ' 2 J_QJ

En el p o l í g o n o’de ace l e r a c i ó n la a c e l e r a c i ó n

tangencia! del punto J se representa como:

168

SOLUCION:

Para d e t e r m i n a r las in c ó g n i t a s del prob l e m a . se

p rocederá de la forma siguiente:

- Se aplicará un m é t o d o p a r t i c u l a r - ^ para la a c e l e r a ­

ción lineal del eslabón B.

- Se real i z a r á una i nversión del m e c a n i s m o para c a l ­

cular la a c e l e r a c i ó n angular del eslab-ón D.

a. D e t e r m i n a c i ó n de v e l o c i d a d e s y ace l e r a c i o n e s (Fig.

b) del e s l abón B. •

Dado que la v e l o c i d a d lineal del p u n t o J es:

V, = 1.8 m S " 1

.1Usando la escala de v e l o c i d a d e s Kv = 3/50 (mS/

m m ) , se tiene que:

CO = QJ = V j / Kv = 30 m m -

La a c e l e r a c i ó n normal del punto J, es:

aj = V 2 /QJ = 1 ,8'/0 ,01 = 524 m S ' 2

_2 .U san d o la e s c a l a de a c e l e r a c i o n e s Ka = 54/5 (mS “/mnii

CO = QJ = aj /Ka = 30 mm.

Para d e t e r m i n a r la? v e l o c i d a d e s y las a c e l e r a ­

ciones se t oma la v e l o c i d a d a n gular u nitaria, como

se puede o b s e r v a r en los result a d o s de la velocidad

y a c e leración del punto J (OC = 30 m m ) .

Arr T e c h e C I N E M A T I C A APLICADA, Págs . 256 y 257 .

tín el gráfico de la fisura b, el punto C es

el centro ríe curvatura del eslabón A.

R 1 p r o c e d i m i e n t o por d e t e r m i n a r las velocida­

des y a c e l e raciones, es como sigue:

°4

Figura 3.8 MECANISMO DE YUGO Y RETORNO RAPIDO

- Por el punto C. se traza el vec t o r CO p a ralelo a

JQ y dirigido hacia Q,

- Por el punto C, se traza un vector par a l e l o a'LC

- Por el punto 0, se traza la p e r p e n d i c u l a r a L C ,

y se obtiene H,

El segmento OH representa g e o m é t r i c a m e n t e la

v e l o c i d a d del eslabón B; CC re p r e s e n t a la v e l o c i ­

dad de C, y CH, la veloci d relativa.

En cua n t o a la aceleración, si CO re p r e s e n t a la

aceleración de C entonces CH es la a c e l e r a c i ó n del

eslabón B y HO es la acel e r a c i ó n relativa.

De acuerdo a la escala de aceleración, se t i e ­

ne q u e :

áD = CH = Ka (CH) = 15.54/5 = 162 m S ~ 2 .D

La direc c i ó n de la ace l e r a c i ó n del e s labón B,

puede ser o b s e r v a d a en el po l í g o n o de l a 'figura b.

Un mét o d o alternativo para v e r i f i c a r el p r o c e ­

d imiento empleado puede ser co n s i d e r a r lo s i ­

guiente:

- L es el punto del eslabón A en contacto con el

es 1 abón B .

- S es el punto del eslabón B en c o ntacto con el

eslabón A.

- Oes el punto fijo del eslabón A.

- C es el centro de curvatura del arco del eslabón

Para d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d lineal del p u n ­

to P4 , se c onstruye el p o lígono de vel o c i d a d e s de

acuerdo a la ecuación vectorial siguiente:

V P4 + ^ P 2 / P 4

i°4P • II 04P

De la figura b, se d e t e r m i n a qu e la v e l o c i d a d

del e s l a b ó n B (igual a V p 2 ) es:

V B = V p2 = Kv CHO) = 25.3/50 = 1,5 mS"'

Para d e t e r m i n a r la direc c i ó n y s e ntido de la

v e l o c i d a d lineal del eslabón B se g ira en sentido

a n t i h o r a r i o la v elocidad lineal del punto J (CO) .

Sí en el polígono de v e l o c i d a d e s ( F T T ) =v 2'

^ P 2 v ~ ^ entonces , la escala de velociaa-

des es :

Ky = 1/4 0 (mS 1 /miri) .

Del po l í g o n o de v e l o c i d a d e s r e s u l t a que:

V p4 = Kv (Py P4 ) = S2/40 = 1,30 m S ' 1

V p 2/ p4 - Kv (P2P4 ) = 30/40 = 0,75 m S ’ 1

Para ca l c u l a r la a c e l eración a n gular del e s l a ­

bón, se c onstruye el polígono de ace l e r a c i o n e s de

acuerdo a la ecuación vectorial siguiente:

Do n d e

ap2 h CH. = 162 m S ' 2 [| LJ J

aP4 - VP 4 ^ ° 4 P = 5 0 >7 mS" 2 H P04 - 0 4

aC = 2 W 4 V p2/p4 = 2 . 39 . 0 ,75 = 58 ,5 m S ~2 J_ P 0 4

El s e n tido de la a c e l e r a c i ó n de Coriolis se

p u e d e o b s e r v a r en la figura e.

SI en el pol í g o n o de a c e l e r aciones (EJC') = a c /K

= 24 mm, la escala de a c eleraciones es:

K a = 39/16 (mS -/ram) .

Del p o l í g o n o de a c eleraciones (Fig. d ) , resulta

que: .

á p 4 = Ka CP2 ' Tr) = 81.39/16 = 197,44 m S ' 2

La a c e l e r a c i ó n angular del eslabón D, se c a l c u ­

la como sigue: ,

aD = a P 4 /0 4P = 197,44/0,03 = 5923,20 rad S ~2

El v o l ante de un m o t o r gira con una v e l o c i d a d a n g u l a r- 1 -2

W., = 30 rad S y una a c e leración a n gular - 750 radS

El peso del r e g u l a d o r se mu e v e hacia afuera con rel a c i ó n

al v o lante con una v e l o c i d a d un i f o r m e de 3 mS . D e t e r ­

m inar la a c e l e r a c i ó n de G (c. d. g. del peso regulador).

El m e c a n i s m o está r e presentado por la escala de espacio:

SOLUCION:

La a c e l e r a c i ó n angular del eslabón 3, se c a l c u l a

como sigue:

W = V / B G = V „ - », /BG = 3/0 ,30 = 10.05 rad S 1¿ bO/D

Para d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d lineal del punto G 2 ,

se const r u y e el p o l í g o n o de v e l o c i d a d e s (Fig. b) de

acuerdo a la e c u a c i ó n vectorial siguiente:

+ 7 G 2 / B J_ BG

donde

Vg = VI2 ■ 0->B = 30 . 0 ,45 = 1 3 ,5 mS 1 J_ 0 2B

sí, en el p o l í g o n o de velo c i d a d e s (P b) = V B /Kv = 6 7 , 5 mnt

entonces la esc a l a de velocidades e s :

K = 1 / 5 (mS Vnrai) v

Del p olígono de velocidades, se tiene que:

60 /S = 12 m S ' 1

= 60,5/5 = 12,1 m S ' 1

Para deterininar la aceleración absoluta de , se

c o n s t r u y e el p o l í g o n o de a c e l e r aciones (Fig. el de

acuerdo a la ecu a c i ó n vectorial siguiente:

Donde :

nG2

w? . 0 2g = 3 0 2 . 0,j95 = 355,5 mS 2

t _G2 a 2 ' °2G =

750 . 0 ,395 = 296 , 25 m S ' 2 J_

nG3/G2 = V G 3 / G 2 /GB = (V G3/B - V G 2 / B )2/GB = 480

tG3/G2

= GB (a3/2) = GB (a, - a,! = ^25 ~

c _2 W 2 V G3/G2 =

2.30.12.1 = 726 m S ' 2 i GB

,-2

2

El sentido de la acel e r a c i ó n de c oriolis puede o b ­

servarse en la figura d.

SI en el p o lígono de acelera c i o n e s flP ñ ^)= a ^ / K a =

51 mm, en t o n c e s la escala de ace l e r a c i o n e s es:

K = 237/34 ( m S '2/ m m ) . a

Del p o l í g o n o de aceleraciones, resulta que:

= Ka (P G,) = 85.237/34 = 592,50 m S " 2 G j v

U n a forma de verif i c a r la solución del p roblema, es

traficar (aparece en líneas punteadas) en el p o l í g o n o de

a c e l e r a c i ó n la ecuación v ectorial siguiente:

a G3 = a B + a B + aG5/B + a G3/B

donde :

W? .GR = 30,14 ras'" II GB + B

o-.GB = 0 i

La a c e l e r a c i ó n angular del eslabón 3 es cero, p o r ­

que el peso del regu l a d o r se mueve con una v e l o c i d a d

u n i f o r m e .

P a r a el m e c a n i s m o mostrado, d e t e rminar la ace l e r a c i ó n

a b s o l u t a del e s l a b ó n 3 y la a c e leración a n g u l a r del

e s l a b ó n 4. Se conoce lo siguiente:

- La v e l o c i d a d a n gular del eslabón condu c t o r = 10- 1

rad S = constante.

- L o n g i t u d de los eslabones O A = 0,05 m; CB = 0,12 m

AB = 0,056 m y AC =^0,106 m.

SOLUCION:

El m e c a n i s m o está repre s e n t a d o por la esca l a de

e spacio: .

= 1/1000 (m/irnn) .

a. D e t e r m i n a c i ó n de vel o c i d a d e s (Fig. b) :

La v e l o c i d a d lineal del punto P 2 , se d e t e r m i ­

na como sigue:

= W-.OP = 10.0,05 = 0,5 mS P L ¿

SI en el polígono de velocidades (PV.P2 = ^P2

= 40 m m . entonces la escala de v e l o c i d a d e s es:

D e t e r m i n a c i ó n de a c e l e r a c i o n e s (Fig. c ) :

La a c e l e r a c i ó n lineal del p u n t o es:

a p 2 = Y¡1 . OP = 1 0 2 .0,0S = 5 m S ' 2 || PO - 0

SÍ '

(PaF’2 ' ) = a p ?/Ka = 47 m m en el p o l í g o n o de

a c e l e r a c i o n e s , entonces:

Ka = 5/47 (mS "/mm)

Para de t e r m i n a r la acel e r a c i ó n abs o l u t a del

punto A, se tienen las ecuaciones v e c t o r i a l e s s i ­

g u ientes :

aA = a B + aA/B + aA/B

||XX _[AB

aA = J l _ + !a7C + aA/C

|| Y Y J_ AC

Igualando las dos e c u a ciones, se tiene que:

- _ (aB * aA / B ) + aA/B = fac * 3A/J + aA/C

aA || XX |l YY

d o n d e : •

Una vez gráf i c a d a la e c uación vectorial C1),

se o b t i e n e la a c e l eración absoluta del punto A.

Para d e t e r m i n a r la a c e leración absoluta del p u n ­

to P ^ , se tien e n las siguientes ecuaciones v e c t o ­

riales :

+ á*P4/A

1 PA

aP2 a P4 +

donde :

a n ■> ,

P 4/A = V p 4 /A /PA = 3 , 6 mS “ || PA •+ A

aC = 2 w4 VP ? / P4 = 11,08 m S ' 2 _J_ BC

a P4/P2

I! BC

El sentido de la acel e r a c i ó n de C oriolis se

puede o b servar en la figura d.

Del polígono de aceleraciones, resulta que:

*P2/P4 = = K a ^ t P / A ) “ 1 4 6 -/54? = 15 ,53 mS

áp4/A = Ka (C- t p / A ) = 139,5 . 5/47 = 14,84 m S ' 2

L a acel e r a c i ó n angular del e s l abón 4, se cal­

cula como sigue:

a 4 = 3p 4 / A /AP = 14,84/0,066 = 224,85 rad S ' 2

En el m e c a n i s m o mostrado, d e t e r m i n a r la acel e r a c i ó n

an g u l a r del eslabón WJ y E, y la a c e l e r a c i ó n lineal

del pu n t o J. La v e l o c i d a d angular del e s labón c o n ­

d u c t o r es W = 30 rad S ’ 1 = constante. El m e c a n i s m o

e s t á r e p r e s e n t a d o por la escala de espacio

= 1/200 (m/mm).

SOLUCION:

Para d e t e r m i n a r la acel e r a c i ó n a n gular del e s l a ­

bón AW, se aplicará el método del p r o f e s o r A. Cowie;

y p ara la a c e leración lineal del punto J y la a c e l e ­

r a c i ó n a n g u l a r del eslabón E se u t i l i z a r á el mecanis­

mo e q u i v a l e n t e de manivela, biela y corredera. -

a. D e t e r m i n a c i ó n de v e l o c i d a d (Fig. b) :

Si se denota a L el punto m aterial de la l e ­

va que en ese instante está en co n t a c t o con el

punto material S del seguidor, y G y K, los cen-

tros de curvatura de las líneas en contacto, d é l a

leva y el seguidor, respectivamente. El punto C

es el punto geométrico de c o r t e de la t angente t.t

con la normal, KG, en L,

El m e c a n i s m o equivalente, es el c u a d r i l á t e r o

articu l a d o O G K A . El punto A coi n c i d e en el i n s ­

tante considerado con el cent r o i n s tantáneo de r o ­

tación de la biela KG. La v e l o c i d a d lineal del

punto L es :

V L = W . OL = 30.0,24 = 7 , 0 5 mS 1

SI, en el polígono de veloci d a d e s , (Py L) =

V L /Ky = 50 m m ; entonces la escala de velo c i d a d e s

es :

Kv = 141/1000 (mS 1/ m m ) .

Para determ i n a r la v e l o c i d a d lineal del p u n ­

to S, se construye el p o l í g o n o de v e l o c i d a d e s de

acuerdo a la ecuación v e c t o r i a l siguiente:

■' _!s_= i +J a s | k g

Para de t e r m i n a r la v e l o c i d a d lineal del punto

C, se tiene las e c u a ciones v e ctoriales:

= h + Ü k i = I t +| AS 1

La veloc i d a d lineal del pu n t o W, se encu e n t r a

trazando en el o olígono de v e locidades, la ecua-

La acel e r a c i ó n a £ /s y ak2 son cero, por que

la v e l o c i d a d relativa de es c e r 0 -

El sentido de la aceleración de Coriolis

( a^1), se puede o b s e r v a r en la figura d.

El m i e m b r o de la i zquierda de la e c u a c i ó n es

u n solo vect o r que va a lo largo de la tangente,

los m i e m b r o s de la d e r echa se^conocen todos a

e x c e p c i ó n de la ma c n i t u d de Al c o n s t r u i r el

.polígono de a c e l e r aciones se debe o b s e r v a r que

los v e c t o r e s a£; a * ; a £ /s y akZ son de sentido

n e g a t i v o .

P a r a de t e r m i n a r la a c e l eración lineal del

punto J, se tiene el m e c a n i s m o e q u i v a l e n t e de ma

ni vela, b i e l a y corredera.

La ecu a c i ó n vectorial' para la a c e l e r a c i ó n li

neal de J es:

áj = á," + aW + aJ / W + aJ/ W

donde

o11 = V 2 /AW = 1 39,04 mS " !i WA -*■ A W W

a J / W “ V J / K / J W = 2 7 ’41 mS"2 l l’T W * "

Para calcular la aceleración tangencial del

Dunto W, se tiene que:

Del p o lígono de a celeraciones, resulta que:

áj = Ka ( P v J 1) = 27. 2741/800 = 92,51 m S ' 2

?J/W = Ka CnJ/ W J,) = 8 4 ' 2 741/800 = 287,81 m S ' 2

Las a c eleraciones a ngulares de los eslabones

E y WJ, se c a lculan como sigue:

a E = a J /' r E = 92,5 1 /0 ,08 = 1 233,45 rad S ' 2

y

“iVJ = * W J W = 287 , 81 /0 ,61 = 471 ,81 rad S ' 2

Para el m e c a n i s m o con rueda fija se tiene que existe

r o d a miento p uro entre 3 y 4. Se desea d e t e rminar la

a c e l e r a c i ó n a b soluta del punto E y las aceleraciones

angulares de los eslabones 2 y 3. Se conoce que la:

- V e l o c i d a d angular del eslabón c o n d u c t o r = 1 rad S _1

c o n s t a n t e .

- Longitud de los eslabones BD = 0,9 m y DE = 1,2 m.

192

SOLUCION:

F.l m e c a n i s m o está r e presentado por la escala de

espac io :

L3/200 ( m / m m ) .

Figura 3.12 MECANISMO CON RUEDA F IJA

a. D e t e r m i n a c i ó n de velo c i d a d e s (Fig. b) :

La v e l o c i d a d lineal del punto D, es:

V D = W 1 . B D = 1 . 0 , 9 = 0 , 9 mS *

Sí, en el p o lígono de v e l ocidades, (Pv d) =

V p / K v = 60 mm, entonces, la esca l a de v e l o c i d a ­

des es:

K = 3/200 (mS 1/ m m ) . v

Para de t e r m i n a r la v e l o c i d a d lineal del punto

E, se const r u y e el polígono de v e l o c i d a d e s de

acuerdo a la e c uación vectorial:

^E/D

i ED

Del pol í g o n o de v e locidades, r e s ulta que:

V £ = Kv fPv e) = 72,5 . 3/200 = 1.09 m S " 1

V E/D = Kv (e d) = 4 7 . 3/200 = 0,71 m S ' 1

La v e l o c i d a d angular del eslabón 3 es:

W = V ^ / G E = 1,09/0,59 = 1,863 rad S ~ 1 3 E

b. D e t e r m i n a c i ó n de ace l e r a c i o n e s (Fig. c) :

La ace l e r a c i ó n lineal del punto D, se determi­

na como sigue:

a = W “ . BD = 0,9 m S " 2 || DB - B

195

195

Las aceleraciones angul a r e s de los esla b o n e s

2 y 3 , s o n :

a 2 = a £ / D /ED = = 0,93 rad S - 2 , y

0 3 = aE / G /EG = 2 >14/°>59 = 3,66 rad S ' 2

j . D e t e r m i n a r la aceleración a n g u l a r y lineal del esl-a-

Don 6 del m e c a n i s m o mostrado. Se conoce lo siguiente:

- V e l o c i d a d a n g ular del e s labón c onductor W-,. = 15 rad SOA

c o n s t a n t e .

- L o n g i t u d de los eslabones: O A = 0,1 m; AB = 0,4 m;

B 0 4 = 0,23 m; AE = 0,15 m; DC = 0,11 ra; ED = 0,1 m

y 0^0^ = 0,28 m.

SOLUCION:

El m e c a n i s m o está repres e n t a d o por la e s c a l a de

e s p a c i o :

= 1 /300 (m/mm)

a. D e t e r m i n a c i ó n de v e l o cidades CFig, b ) :

VA = W0 A .°2A = 15.0.1 = 1,5 mS"'1

Sí, en el polígono de velocidades, (Pv a ) =

VA / K V = m m ’ escala velocidades os:

Kv = 1/4 0 ( m S ' V m m )

La veloc i d a d lineal del punto B, se d e t e r m i n a

al cons t r u i r el polígono de velocidades de acuer-

do a la ecuación vecto r i a l siguiente:

i°4B

La veloc i d a d lineal de los puntos E 3 y C , se

e n c u e n t r a n por las p r o p o r c i o n e s :

AB = AE ab ae^

de donde

(a e 3 ) = (AE)(ab)/(AB) = 0,15. 43/0,4 = 16,20 mm

SÍ

(04 B ) / ( P v b) = (04 C ) / ( P v c 4)

de donde

(Pv c 4) = (04 C) (Pv b ) / ( 0 4 B) = 30 , 25.73/69 = 52 mm.

Para e ncontrar la v e l o c i d a d lineal del punto D_ ,

se tiene las ecuaciones vectoriales: .

D3 = J¡A_ + W .j DA

V D3 = 7 B + 7 D3/B

] DB

VB/A

J_ AB

La v.elocidad lineal del punto se encuentra

por raedlo de las ecuaciones vectoriales'

199

Del p o l í g o n o de velocidades, resulta que:

Vg = Kv (Pv b) = 73/40 = 1,85 m S "1

V d 4 / b = Kv Cb d 4 ) = 63/40 = 1,58 m S " 1

V d/d4 = Kv (d4 d 5) = 47/40 = 1,18 m S ' 1

^E6/E3 “ K’v ^e 6 e 3^ ■ 45/40 = 1 ', 3 " S ' 1

V C5/ C4 = Kv (c5 c 4 ) = 47/40 = 1,18 m S ' 1

V B M = Kv ( b a ) = 43/40 = 1,08 m S ~ 1

V D 3 /A = Kv (d3 a) = 25/40 = 0,63 m S ' 1

V D _/B = Kv Cd- b) = 21/40 = 0,53 m S ' 1

r D4/04 = Kv Cd4 V = 39/40 = °>98 m S " 1

V E6/D = Kv (e6 d) = 8 , 5 / 4 0 = 0 , 2 1 m S ~ 1

La v e l o c i d a d angular de los eslabones 3 y 4

se cal c u l a n como sigue:

W 3 = V b / a /AB = 2,70 rad S ' 1 , y

^4 = V B / 0 4 B = 7,96 rad S ' 1 .

D e t e r m i n a c i ó n de acelera c i o n e s (Fig. c)

La acel e r a c i ó n lineal del punto (ó D.-} se

deter m i n a de a c uerdo a las ecuaciones vectoriales

siguientes :

205

La ace l e r a c i ó n an

c a l c u l a como sigue:

oular del eslabón 6

/ED = 16 ,88 rad S,.2

:3ra la p o s i c i ó n m ostrada del mecanismo, d e t e r m i n a r

•a a c e l e r a c i ó n angular del eslabón CDE y la a c e l e r a ­

ción lineal de los puntos P y F. Se dan como datos:

- V e l o c i d a d angular del eslabón condu c t o r W 2 = 25,56

rad S " 1 = constante.

Lo n g i t u d de los eslabones: 0 2

v 0,B = 0,34 m.

0 A = 0,27 m; AB = 0,7 m

SOLUCION:

El m e c a n i s m o esta r e p resentado por la esc a l a de

espacio :

K l = 9/2000 (m/mm) .

Determinación de velo c i d a d e s (Fig. b) :

La v e l o c i d a d lineal del punto A se c a l c u l a co­

mo sigue:

v A = w 2 .o2A = 25,56.0,27 = 6,9 mS1

La v e l o c i d a d lineal del punto B se encue n t r a

por m e d i o de la e c uación vectorial siguiente:

i °4B

*B/A

I AB

206

T r . (S e g c g ) ^ T r . ( S E C ) , )'

T r . (Cg e g dg) -x, T r . (C E D)

r e s p e c t i v a m e n t e .

De este modo se puede obser\rar la v e r a c i d a d

de la c onstrucción, porque d4 g se localiza s o ­

bre una d i r e c c i ó n SD || BO^

La escala de velo c i d a d e s u t i l i z a d a es:

Ky = 69/500 ( m S ' V m m )

de donde r e s ulta que:

( P ^ a ) = V a /K v = 50 mía.

Del p o l í g o n o de velocidades, se tiene que:

Vg = Kv (Pv b) = 4 8.69/500 = 6, 6 2 mS

^S/DS= Kv (s d

8^ =55.69/500 = 7, 59 mS *

^E8/S= Kv

(e8 s) = 34.69/500 = 4, 69 . mS'

V C8/E8= Kv

(c8 e 8 5= 20,5.69/500 = 2,83 mS"

V D8/ES= Kv

fd8 e g)= 79.60/500 = 10 ,9 m S "

^C8 / C 2= Kv

(c8 c 2) = 19.5.69/500 = 2,69 mS

^E3/ E 3= Kv

íe8 e 3]= 18.5.69/500 = 2,55 mS

V D8/D4= Kv CO d 4>

= 4 9.69/500 = 6 ,76 m S ' 1

V a " Kv (b a) = 55.69/500 = 7,59 c-1mS

D e t e r m i n a c i ó n de a c eleraciones (Fig. cl:

La acel e r a c i ó n lineal del punto E„ se obtie-O

ne por las e c u a ciones vectoriales:

a E8 = f s + aES/S + ¿E8/S

i ES |¡ AB

donde

aES/S = = 91,65 mS “

ak2 = 2 W 3 V E8/E3 ’ 5 5’30 ™ S ' 2

El s e n tido de las aceleraciones de Cor i o l í s se

puede o b s e r v a r en las figuras d, e y f.

Para d e t e r m i n a r la aceleración lineal del p u n ­

to F se c o n s t r u y e el p o lígono de ace l e r a c i o n e s de

«cuerdo a las ecuaciones vectoriales siguientes:

+ aLC8/E8

i CE

a C8 ^C2 +

donde

aC8/E8 = V C 8 / E 8 /CE = 55 ’39 ¡I CE - E

Por p r o p o r c i ó n se obtiene la acel e r a c i ó n li­

neal del p u n t o F, es decir:

aC8/C2 + j k1

¡I o 2a

"CS + a C8/E8

(I ES * S

i AB

de donde

(c8 f 8 ) = (c8 d g ) (C F) / fC D)

P ara d e t e rminar ia velocidad del punto P, se

tiene la ecuación vectorial

= " + “n +aE8 aD8/E8 aD8/E8

= V p g / E g/DE = 242 ,47 m S ~ 2 || DE + E

= ctg . DE = 259 ,64 m S - - J_ DE

La aceleración lineal del punto P es igual a

la a c e l e r a c i ó n tangencial relativa del punto Eg

r e s n e c t o a E_.• 3

Del método de la semejanza de aceleraciones se

tiene que:

t r . CS e 8 d g ) * tr . ( S E D ) , y

t r - CS eg Cg) ^ t r> (S E C)

'•espectivamente .

La escala utilizada de a c e l e r aciones es :

Ka = 1/0,4657 (mS'2/ m m ) .

Del polígono de aceleraciones se tiene que:

_ = Ka (P f) = 45/0.4657 = 96,63 m S " 2 F a ’

P = a E8/E3 = Ka (e8 V = 37/0,4657 = 79,45 m S " 2

C8/E8 = Ka (c8 e 8 5 = 4 4 / 0 >4657 = 94,48 m S“2

donde

naD8/E3

ta D8/E8

La a c e l e r a c i ó n a n g ular del e s l abón 8, se c a l ­

cula como sigue:

°8 = a C 8 / E 8 /EC = 9 4 >4 8 /°>15 = 629,87 rad S ' 2

Para el m e c a n i s m o mostrado, d e t e rminar la a c e l e r a c i ó n

a n g u l a r del e s l abón BC y la acel e r a c i ó n lineal de los

punt o s D y P. La magnitud, d irección y sentido de

la v e l o c i d a d a n g u l a r del eslabón c onductor es s e ñ a l a ­

do en el gráfico. La escala de espacio del m e c a n i s m o

repres e n t a d o es:

K l = 1/ 2 0 0 0 ( m / m m ) .

SOLUCION:

a. D e t e r m i n a c i ó n de velo c i d a d e s (Fig. b) :

La v e l o c i d a d lineal del punto B.,, se c a l cula

como sigue:

V„, = W.OB = 15.0,01075 = 0.16125 m S ' 1u —

SI, en el p olígono de v e l ocidades (Pv '°2 =

V n . / K v = 24 mm, entonces la escala de v e l o c i d a d e sD ¿es :

= 43/6400 (mS V m m ) .

La v e l o c i d a d lineal del punto C 7 , se c a l c u l a

como sigue:

La v e l o c i d a d lineal del punto S se determina

c o n s t r u y e n d o el pol í g o n o de acuerdo a las ecuacio­

nes v e c t o r i a l e s

V S = ^B2 + V B5/B2 + ^S/B5 = + V'CS/C2 + ^S/C5

J_ BS j_ cs

La v e l o c i d a d V D del pu n t o D se d e t e r m i n a de

ac uerdo a la e c u a c i ó n vectorial:

= + ^D/S||X1X 1 J_DS

La v e l o c i d a d lineal del punto B s se dete r m i n a

de a c u erdo a las e c u a ciones vect o r i a l e s siguientes:

^BS = + ^ B 5 / D = ^B2 + ^BS/ B 2

J_ B D || YY

La v e l o c i d a d lineal del punto C¡. se obtiene por

el m é t o d o de la s e m e j a n z a como sigue:

(d S) / CD S) = CS b s)/(SB) = (d b s)/(D B)

de donde

(d b-1 = (d Sj (D B) / CD S) = 46 , 75 m m ,

entonces p ara se tiene que:

Cd b )./(DB) = (d C S )/(DC)

215

aD/S ' V D/S /DS = °’98 m S "2 IIDS * S, en el p o ­

lígono de aceleraciones, se tiene que:

( S’n D / S 1 = a D / S /Ka = 0,98.40/3 = 13,1 mm

La acel e r a c i ó n lineal del punto B s se d e t e r ­

mina de a c u erdo a las e c u a ciones vectoriales:

aBS = fg + aB3/P + ¿ B5/D

J_BD

a B5 = aB2 + a B5/B2 +

II YY =

de d o n d e :

aB5/D = V B 5 / D /BD = 1 -21 m S ' Z II BD - D, en

el p o lígono de aceleraciones, se tiene que:

*'d ' n B5/lP = a B 5 / D /lía = 1,21.40/3 = 16,1 mm

La acel e r a c i ó n lineal del punto C £ , se obtiene

po r el m é t o d o de la semejanza como sigue:

Cd'S') / (DS) = P' h s') / (SB) = (d ’ h ¡L) / (DB)

de donde

(d f b ) ” (d ' 55 • ) (DB) /(D S ) = 16 5 mm

entonces la aceleración lineal del punto se

obtiene como sípue:

Cd-bi) / (Dtn = (bi C¿)/(BC1

de donde

C ’) = ( d 'b¿) (BC) / (DB) = 36,7 m m , del

pol í g o n o de a celeraciones se tiene que:

aC5 = Ka (Pa C s) = 150,5.3/40 = 11,29 m S ' 2

aB5 = Ka (Pa b 5 ) = 183.3/40 = 13,73 m S " 2

aD = Ka (pa d '^ = 79.3/40 = 5,93 m S 2

aS = Ka ÍPa S,) = 172.3/40 = 12,90 m S ' 2

aB5/B2 = Ka ^ = 82,5.3/40 = 6,19 m S "2

aB 5 / D = Ka ^n B5/D b 5^ = 163.3/40 = 1 2 ,23 m S ' 2

Las ace l e r a c i o n e s lineales buscadas son:

a P ” a B5/B2 = 6,19 mS 2

áD = 5,93 raS"2

La acel e r a c i ó n a n g ular del eslabón R C , se c a l ­

cula c omo sigue: -

“ = a B S / D /EÍD = 12.23/0,9 = 13,59 rad S " 2

El sentido déla a c e leración a n g ular es horario

lo que puede o b s e r v a r s e de acuerdo al pol í f o n o de

a c e l e r a c i o n e s .

P r e g u n t a s y Problemas Propuestos:

3.16. En un instante dado, la aceleración^-á'S'gular de

un punto en r o t a c i ó n es p ositiva. Quiejjggíello

decir que el pu n t o está en m o v i m i e n t o , o'íí|ue 1 a

veloc i d a d a n g ular existe.

3.17. Cuando es usado el método de Cowie.

3.18. E x plique el m é t o d o de las imágenes de las a c e ­

leraciones .

3.19. ¿Cuándo es la a c e leración de Coriolis igual a

cero, aunque se asuma una terna móvil?

5.20. Def i n a el centro de ace l e r a c i o n e s nulas.

3.21. Explique por qué la acel e r a c i ó n normal se diri-

je hacia el centro de c urvatura de la t r a y e c t o ­

ria que describe el punto.

3.22. Demos t r a r que la a c e leración de C oriolis es

igual a dos veces el producto v e c t o r i a l de la

v e l o c i d a d angular del punto sobre la t r a y e c t o ­

ria por la v e l o c i d a d relativa.

3.23. D e m o s t r a r que: El vector d i f e rencial de las

ac e l e r aciones de dos puntos que se m u e v e n en un

mismo plano, forman con el s egmento rectil í n e o

que une esos dos puntos, el m i s m o ángulo 0 que

forma el vector a c e leración de cada punto y la

recta que une el punto con el cent r o de las ace­

leraciones nulas.

3.24. E x plique el método de la inversión cinemática.

3.25. Explique la relación entre las a c e l e r a c i o n e s pro­

y e ctadas .

En el m e c a n i s m o indicador de Thompson, d e t e r m i n a r la

ace l e r a c i ó n a n g ular del eslabón BF y la a c e l e r a c i ó n

lineal de los puntos D y F. El eslabón OA gira con

una v e l o c i d a d angular de 9 rad S 1 y una a c e l e r a c i ó n. 7

an gular de 81 rad S en el sentido mostrado. Las

d i m e n s i o n e s de los eslabones son las s i g u ientes: O A =

0,76 m ; AC - 0,64 m ; AD = 1 m ; AB = 0,34 m ; BF = 0,83 m

y RC = 0,47 m .

¡'Respuesta: a BF = Z8,42 rad S " ; a^ = 226 ,05 mS " ;

ap = 85,51 mS ”1-

Figuro 3.26

Para el meca n i s m o mostrado, d e t e r m i n a r la a c e l e r a c i ó n

lineal del bloque 6 y la a c e l e r a c i ó n a n g u l a r de los es

labones CE y ABC. La veloc i d a d angular del e s l a b ó n M B

es de 12 rad S en sentido antihorario. Las d i m e n s i o ­

nes del meca n i s m o son: MB = OA = AB =' 0,24 m; BC =

0,165 m y AC = 0.195 m.

CRespuesta: = 0,92 m S " 2 ; = 61,56 rad S 2

"ABC = 14,63 rad S ' 2 )

Fiqura 3 . 2 7

El árbol de tra n s m i s i ó n desliza por la guía que p i v o ­

ta en 0 y el perno B del e x t r e m o de la barra tiene una

v e l o c i d a d cons t a n t e hacia arriba (V = 0,457 m S" ) en

la ranura fija. Determinar la a c e leración lineal del

punto A que está en el árbol de t r a n s m i s i ó n y c o i n c i ­

de con 0 en ese instante:

(Respuesta: = 1,14 m S ~ 2).

Figura 3 .2 3

\JvA

\'v

xV

\\V

\ S

-WV

; 2 1

En el m e c a n i s m o mostrado, de t e r m i n a r la a c e l e r a c i ó n

a n g u l a r del eslabón 2 y 4. Se dan como datos lo

s i g u i e n t e :

- Escala de espacio: = 1/200 (m/mm)

- Esca l a del p olígono de velocidades: Kv = 3/100

(mS ^/ m m ) .

_ 7- A c e l e r a c i ó n lineal del punto A igual a 5 m S en la

d i r e c c i ó n mostrada.

(Respuesta: a. = 20,7 rad S L ■ ¿ 7 = 31,42 rad S ~ 2)

P2

D e t e r m i n a r la a c e l e r a c i ó n a n gular y lineal del e s l a ­

bón 6. Se cono c e lo siguiente:

- Velo c i d a d a n g u l a r del eslabón conduc t o r , = 2 0 ra d S

- L ongitud de los eslabones O^A = 0,3 m; AB = 0,8 m ;

BO., = 0,6 2 m; AD = 0,4 m; OjH = 0,2 m y DE = 0,41 m.

- ? - _ - 2 (Respuesta: a ^ = 90 mS ; = 4.),90 rad S )

Fiaura 3 . 3 0

D e t e r m i n a r la a c e leración a n g ular del e s l a b ó n 4. La

v e l o c i d a d y a c e leración angular del e s l a b ó n c o n d u c ­

tor son 4 rad S ' y 16 rad S " , r e s p e c t i v a m e n t e . El

m e c a n i s m o está repres e n t a d o por la escala de espacio

= 1/200 ( m / m m ) .

(Respuesta: a = 0,42 rad S ' 2) .

Para el m e c a n i s m o de corredera invertida, d e t e r m i n a r

en magnitud, direc c i ó n y sentido la a c e l eración a n ­

g ular del eslabón 4. La v e l o c i d a d angular y a c e lera­

ción angular del eslabón c o n d u c t o r son 10 rad S y_2

100 rad S ', respectivamente. La m a g n i t u d de los es­

labones son: OA = 0 ,325 m; AB = 0,50 m y EB = 0,13 m

(Respuesta: a = 56,84 rad S " 2)

A

Figura 3 .3 3

I

229

En el mecan i s m o m ostrado, j u s t i f i c a r la solución utili­

zada. Determinar:

I: A plicando el método de Cowie para los e slabones W

y ' B _ -2,a. La aceleración angular de el eslabón B (R^l ,60 rad S )b. Aceleración total de Coriolis (R: 0,72 mS )

II: Para los e slabones ’A' y 'C'. _2c. Aceleración absoluta de C (R = 0,25 m S ). _2d. Aceleración de Coriolis en el punto de contacto (R = 0,52 mS )

Los datos son = F.scala de espacio: K, = 1/1000 (m/uim); 1Escala de velocidades: Kv = 2/625 (mS /mu) Escala de aceleraciones: Ka = 4/375 CmS"2/mm}

Para el m e c a n i s m o mostrado, de t e r m i n a r la aceleración

lineal de la corredera F y la a c e l e r a c i ó n de los e s ­

labones G y H. Se conoce lo siguiente:

- V e l o c i d a d a n g u l a r del eslabón conductor Vv' =15 rad S = cóns tante .

- Longitud de los eslabones OA = 0,06 m ; AB = 0,31 m;CB = 0,15 m; DE = 0,455 y EF = 0,51 m.

- - , , - 7 - - 2 - , , iResouesta: a,. = 6,5 mS “: a,, = 13,25 rad S : 1 ,86 rad

r ri b

230

La barra 2 es el miembro c o n d u c t o r que tiene una v e ­

locidad angular de 96 rad S v una a c e l e r a c i ó n an-_ y

guiar de 2400 rad S ” en sentido c o n t r a r i o a las

agujas del reloj. Determinar la ace l e r a c i ó n angular

del e s l abón 4 y la aceleración lineal de los puntos

C y D. El meca n i s m o está r e p r e s e n t a d o por la e s c a ­

la de espacio: = 1/100 ( m / m m ) .

D

77777

Figura ú. 39

----- — — — "■

232

De t e r m i n a r la aceleración a n gular del e s l abón HO y

la acel e r a c i ó n lineal del pu n t o P.

tá repres e n t a d o por la escala de espacio:

W = !5 rad /

Figura 3.41

* En el meca n i s m o de leva se muestra la trayectoria tra

zada por P4 sobre el eslabón 2. D e t e r m i n a r la acele

ración de el s eguidor reciprocante 4.

Figura 3 .4 3

El b l o q u e A tiene una v e l o c i d a d de 0,25 mS y

a c e l e r a c i ó n lineal constante de 0,5 mS • sobre

guías fijas de izquierda a d e r e c h a en cada caso,

t e r m i n a r la aceleración lineal del eslabón B y

a c e l e r a c i ó n angular del eslabón C. El m e c a n i s m o

tá repres e n t a d o por la esc a l a de espacio:

_ = 1/200 ( m / m m ) .

Figura 3 .4 5

Para el c u a d r i l á t e r o ar t i c u l a d o con correderas., d e ­

terminar la acel e r a c i ó n a n g u l a r y lineal de los e s ­

labones 5 y 6. La v e l o c i d a d a n gular del e s l a b ó n con­

ductor es W, = 20 rad S ' 1 = c o n s t a n t e en sentido h o ­

rario. Las dimensiones del m e c a n i s m o son: O A - 0 , 6 m ;

AB = 0,79 m; CB = 0,625 m_; ED = 0,25 m y EP - 0,25 m.

B

F igu ra 3 .4 6

Para el mecan i s m o mostrado, d e t e r m i n a r la a c e leración

ab s o l u t a del p u n t o P y la acel e r a c i ó n a n g u l a r de los

e s l a b o n e s ¿'y R. El m e c a n i s m o esta r e p r e s e n t a d o por

la esc a l a de espacio = :: 3/1000. (m/mm) . La escala

de velo c i d a d e s es: Ky = 3/100 imS /mm) .

Figura 3.47

Para el m e c a n i s m o de retorno rápido, d e t e r m i n a r la

a c e l e r a c i ó n angular del eslabón O^ B y la aceleración

lineal de los puntos C y D. El eslabón conductor

O-jA gira en el sentido m o strado a 15 rad S . Las

d i m e nsiones del m e c a n i s m o son: O^A = 0,24 m; BC =

1,21 m; B 0 4 = 0,2 m; BD = 0,62 m y AD = 0,25 m.

Figura 3. 48

La d i m e n s i ó n del m o m e n t o de inercia e s :

I = masa x r a d i o 2 = ( K g . S 2)/m x m 2 = Kg S 2 m

Hn el SI es Kg.m^. •

•5. T r a n s m i s i ó n de Fuerza en un a Máquina:

Las fuerzas en una m á q u i n a son transm i t i d a s a través

ae los pares que c o n e c t a n los eslabones y a través de

ellos mismos.

Las fuerzas que actúan sobre un e s l abón de una má-

q u x n a se localizan, en general, en sus puntos de oóntac-

l o con otros mi e m b r o s de la máquina, siendo las dos e x ­

c epciones más i m p o rtantes las fuerzas debidas a la g r a ­

vedad y las de inercia. Dichos contactos se logran c o ­

r r i e n t e m e n t e por m e d i o de pares inferiores y, a veces

por medio de pares superiores. Cu a l q u i e r a que sea el’

tipo de u n i ó n , l as fuerzas e jercidas por un eslabón s o ­

bre otro son, si se d e s p r e c i a el

las superficies de dichasrozamiento, n ormales a

piezas en el p u n t o de contacto.

Cuand0 el contacto entre dos piezas de una maquinase

establece por medio de un par inferior, la fuerza 'ejerci-

a por una de ellas sobre la otra no se aplica en el pun­

o de contacto, sino que es la resultante de varias fuer­

zas elementales distribuidas sobre un área considerable.

Estas fuerzas elementales tienen direcciones normales a

las superficies en sus correspondientes puntos de contac­

En el caso de un par i n f e r i o r ••t o .

guíente, su re s u l t a n t e también s e r á normal a ese plano.

Sin embargo, la linea de acción de

p u e d e determ i n a r s e solamente de la

par. Para simp l i f i c a r el a n álisis

que la línea de acción de la resul

tro de g ravedad del área de cont a c

te se deter m i n a por las co n d i c i o n e

Los pares superiores (pares de

miento) tienen un punto de contact

tacto. Si la fr i c c i ó n se des p r e c i

t ida a través del par es nor m a l a

tacto, dentro de ellos se tiene lo

y los engranajes.

D e t e r m i n a c i ó n de F u e r z a s :

En el análisis de fuerzas de un m e c a n i s m o completo,

ge n e r a l m e n t e se debe hacer un d i a g r a m a del cue r p o ±i~

bre de cada e s l a b ó n para indicar las fuerzas que actúan

so b r e él. Al d e t e r m i n a r las d i r e c c i o n e s de esas f u e r ­

zas, se deben a p l i c a r las leyes de la estática, dado que

el s i s t e m a compu e s t o por todas las fuerzas ex t e r i o r e s y

todas las fuerzas de inercia que actú a n sobre un a pieza

de u n a m á q u i n a es un sistema en equilibrio.

Los postulados de la es t á t i c a u t i l izados en la d e ­

t e r m i n a c i ó n gráfica de fuerzas son:

- Si sobre un punto actúan var i a s fuerzas en di f e r e n t e s

d i r e c c i o n e s es p o sible r e e m p l a z a r su acción po r la de

una fuerza l l amada resultante. El valor, la dirección

y el sentido de la resultante se determina, como para

todas las ma g n i t u d e s vectoriales, según la regla de

la suma de vectores.

245

esa r e s u l t a n t e no

s c a r a c t e r í s t i c a s del

se supone, a veces,

tante p a s a p o r el cen­

to, pero corr ientemen-

s de equilibrio.

r odadura o d e sliza-

o o una línea de con-

a, la fuerza transmi -

la superf i c i e de c o n ­

s me c a n i s m o s a levas

en equilibrio solamente si las dos fuerzas son co-

lineales de igual magnitud pero de sentido contrario.

- Para que un cuerpo rígido bajo la acción de tres fuer­

zas esté en e q u i librio estático, las lineas de acción

de las tres fuerzas debe ser c o n c u r r e n t e s en un p u n t a

En consecuencia, si se conocen las líneas de acción

de dos de las fuerzas, la línea de acci ó n de la ter­

cera debe pasar por su punto de a p l i c a c i ó n y el p u n ­

to de concurrencia. En algunos casos se puede r e ­

ducir a tres un número mayor de fuerzas d e t e r m i n a n d o

la resultante de las fuerzas conocidas.

- Un cuerpo rígido bajo el efecto de un pa r está en

e q u i librio estático sólo si está bajo el efecto de

otr-o par cop l a n a r de igual m a g n i t u d pero sentido

o p u e s t o .

En el caso de un análisis de fuerzas est á t i c o o d i ­

n á m ico, los vec t o r e s que r e p r e s e n t a n dichas fuerzas

d e b e n formar un pol í g o n o cerrado.

F u erzas de Inercia:

La fuerza de inercia que se m a n i f i e s t a en el m o v i ­

m i e n t o plano de un cuerpo rígido se d e t e r m i n a así:

F = - m aG

d onde m es la inasa del cuerpo, y a^ es la acel e r a c i ó n

del centro de gra v e d a d del cuerno Fi cí • •

247

Si un e s labón gira en torno a su centro de rot a c i ó n

con un a v e l o c i d a d a n g ular variable, se tiene que todas

las fuerzas de inercia de este e s l a b ó n pueden reducirse

a u n a f u e r z a resultante de inercia apl i c a d a al c e n ­

tro de gravedad: F^ = - m a'G y un par de fuerzas de

i n e r c i a de m o m ento T = - a I siendo, I el m o m ento

de i n e r c i a con rel a c i ó n al eje que p ara por el centro

de g r a v e d a d del eslabón; a la a c e l e r a c i ó n a n g ular del

e s l a b ó n en el plano de movimiento. El m o m e n t o T tiene

s e n t i d o opuesto al de la ace l e r a c i ó n angular, lo que

indica el signo menos en el segundo m i e m b r o de la igual­

dad.

De acuerdo con el p r i n c i p i o de la e s t á t i c a la f u e r ­

za y el par de fuerza con el m o m e n t o T p u e d e n s u s ­

t ituirse por una fuerza resultante. La línea de acción

de la result a n t e F^ se deter m i n a como sigue.

e = I ("“/F q

debe n o t a r s e que el m o m e n t o de F^ a l r e d e d o r del centro

de g r a v e d a d es opuesto en sentido a a.

La fuerza de inercia de un e s l a b ó n que está animado

de un m o v i m i e n t o p l a n o - p a r a l e l o se d e t e r m i n a por el

m i s m o -procedimiento que el e mpleado en el c aso anterior.

Al co n s i d e r a r la fuerza de i n e r c i a de sentido c o n ­

trario a la a c e l eración del centro de gr a v e d a d del

cuerpo, se reduce el p r oblema a un a n álisis estático,

pue s t o que la suma de todas las fuerzas aplicadas a el

cuerpo Cincluyendo la de inercia) debe ser cero, por

tanto se deben tener p r esente los po s t u l a d o s mencionados

en el a p artado 4.4.

M é t o d o s de d e t e r m i n a c i ó n de fuerzas:

En los an á l i s i s estáticos y d inámicos de fuerzas las

ec u a c i o n e s v e c t o r i a l e s de equilibrio se pue d e n r e s o l v e r

g r á f i c a m e n t e o analíticamente.

Los factores que d e t e rminan si se hace un a s o l u ­

ción analí t i c a o g r á f i c a son el tipo de m e c a n i s m o y el

núm e r o de p o s i c i o n e s que se deben analizar.

Los métodos a u s a r p ara d e t e rminar las fuerzas son:

a. Prin c i p i o de la sup e r p o s i c i ó n de causas y efectos.

El efecto que u n a fuerza ejerce sobre un cuerpo r í ­

gido, es i n d e p e n d i e n t e de los efectos de las demás

fuerzas a p l i c a d a s al mismo cuerpo. Así p a r a e n c o n ­

trar el efecto final que un s i s tema de fuerza e j e r ­

ce sobre el cuerpo, es suficiente sumar o s u p e r p o ­

ne r los efectos de todas y cada un a de las fuerzas

que actúan sobre dicho cuerpo. Este méto d o es v e n ­

tajoso cuando se r e alizan en forma c o m b i n a d a a n á ­

lisis estát i c o s y dinámicos de fuerzas.

5. P olígono Funicular: El polígono funicular, es la

c o n s t r u c c i ó n g r á f i c a que nos p e rmite d e t e r m i n a r la

l ínea de a c c i ó n de la resultante de un s i stema de

fuerzas co p l a n a r e s cualquiera. Den t r o de sus p r o ­

pie d a d e s está que: el punto donde se cor t a n dos l a ­

dos c u a l q u i e r a del polígono c o r r e s p o n d i e n t e a un

sistema de fuerzas, es un punto de la línea de acción

Si se c o n s i d e r a los mom e n t o s alred e d o r del punto A,TA

el efec t o de la c o m p onente t r a n sversal F. ' que a c ­

túa en el e s l a b ó n 3 es p r o d u c i r un a fuerza tra n s v e r ­TA

sal F ^ que actúa en el eslabón 4 en el punto C.

Los m o m e n t o s de estas fuerzas t ransversales a l r e d e ­

dor del pu n t o A son iguales (los mo m e n t o s debidos a

las fuerzas radiales son cero) y se p u e d e n exp r e s a r

como

cT A c TA .„F 34 x AC = Fj x AB

de donde se tiene

„T A „TA .„ , ,n 34 = 3 x A B /AC

En la f i g u r a del m e c a n i s m o a r t i culado se puede

o b s e r v a r un a c o n s t r u c c i ó n g r á f i c a usando triángulos

semejantes. Si se consi d e r a Fá en componentes trans­TE RE

v ers a l y radial y F4 , respectiv a m e n t e , se tie­

ne que el m o m e n t o alre d e d o r del punto E, p r o duce una TE

c o m p o n e n t e F^_ que actúa en el eslabón E en el pu n ­

to C. Los mo m e n t o s de estas fuerzas a lrededor del

pu n t o E son i g u ales y se p u e d e n e xpresar como:

TF TFF ‘ 3 x EC = F * c x ED

de donde

TF TF

F 43 = F4 x ED/EC

be o o s e r v a que la tuerza r A~ es iaT* E *

do c o n t r a r i o a la fuerza F34 •

En la parte i n ferior del c u a d r i l á t e r o ar t i c u l a d o se

m u e s t r a el po l í g o n o u tilizado para d e t e r m i n a r . En

forma general estos tres métodos son los u t i l i z a d o s pa­

ra d e t e r m i n a r las fuerzas g r á f i c a m e n t e teniendo p r e ­

sente s i e mpre los postulados de la e s t á t i c a men c i o n a d o s

en el a p artado 4.4.

Un p r o c e d i m i e n t o general p ara d e t e r m i n a r las f u e r ­

zas puede ser:

1. D i b u j a r los d iagramas del cue r p o libre de todos los

e s l a b o n e s del mecanismo, tal que, se i ndiquen todas

las fuerzas que actúan sobre el eslabón. Para los

eslab o n e s en los que actúan 2 o 3 fuerzas-, las d i ­

recci o n e s y las magnit u d e s de las fuerzas se p u e ­

den d e t e r m i n a r y debe m o s t r a r s e en los diag r a m a s del

c u e r p o libre del eslabón.

2. Se debe c o menzar el análisis p o r el eslabón más l e ­

jano de la cadena sobre el cual están a ctuando las

f u e rzas externas o el m o mento e x t e r n o . C o m u nmente

este pu e d e c o n siderarse s i m u l t á n e a m e n t e con unaunión

de eslab o n e s y el análisis se comienza en cu a l q u i e r a

2 esla b o n e s que contengan s o l a m e n t e 6 incógnitas, ha­

cien d o uso de la Ley de N e w t o n de Acción y Reacción.

Los dos eslabones pueden ser a n a l izados por el uso

del pol í g o n o funicular, pol í g o n o de fuerzas o c o m ­

p on e n t e s radiales y t ransversales.

254

El m e c a n i s m o está r e p r e s e n t a d o po r la esca l a

de espacio:

= 1/400 (m/mm)

un a vez n umerados los eslabones del m e c a n i s m o , se

o b s e r v a que en el eslabón 6 actúan 3 fuerzas, es

d e c i r

*16 + F S6 + Q = 0 .

En el eslabón 5 no actúan fuerzas externas,

p o r lo tanto, se tiene que el m i s m o e s t á en equili­

b r i o solamente si las dos fuerzas Y * 35 - son c o l i n e a l e s de igual m a g n i t u d pero d i f e r e n t e s e n ­

t ido (Fig. b ) :

Por c o n siguiente el cuerpo rigido 6 e stá en

e q u i l i b r i o estático, si las líneas de a c c i ó n de

las tres fuerzas son c oncurrentes, en este caso

el pu n t o de c o n c u r r e n c i a es M.

U na vez d e t e r m i n a d a la línea de a c c i ó n de

las fuerzas que actúan en el e s l a b ó n 6 se c o n s ­

truye el p olígono de fuerzas (Fig. c) .

De acuerdo al- análisis efect u a d o a n t e r i o r m e n ­

te refer e n t e al eslabón 5 en la figura b, se pue­

de o b s e r v a r los sentidos de las fuerzas que m a n ­

tienen en equili b r i o est á t i c o al eslabón.

E f e c tuando un análisis similar al realizado

en el eslabón 6 , se tiene que para d e t e r m i n a r l a s

fuerzas que actúan en el e s l a b ó n 3, las tres

fuerzas deben ser concu r r e n t e s en el punto K, por

2SS

tanto se debe g r áficar la e c u a c i ó n vectorial s i ­

g u i ente :

230

43 53

E s t a b l e c i e n d o las c o n d i c i o n e s de e q u i librio

e s t á t i c o en el e s l abón 3, la fuer z a F^j es igual

pero de sentido cont r a r i o a la fuerza F,32» P°r

consiguente, el p a r de t o r sión que debe suminis­

tr ársele al e s l a b ó n OA a través del centro

ro t a c i ó n 0 es:

de

T =F 3 2’e

En el p o l í g o n o de fuerzas (Fig. c) , Q = 3000/Kf = 80 mm, se tiene que la esc a l a de fuerzas es:

Kf = 75/2 (Kgf/mm)Del po l í g o n o de fuerzas se tiene que:

F 32 = F , 2 •Kf = 66.75/2 = 2475 Kgf.

El par de t o rsión e q u i v a l e n t e (Te) es:

Te = F 3 2 .e = 2475 .0 , 05875 = 14-5 ,41 Kgf-m.

en sentido horario.

En el m e c a n i s m o mostrado, el p e s o W = 500 Kgf y

el peso de la p l a c a ABC es 350 Kgf. De t e r m i n a r

la fuerza que debe aplicarse en el c ilindro para

m a n t e n e r el s i s t e m a en e q u ilibrio.

S o l u c i ó n :

Una vez numer a d o s los e s l a b o n e s del m e c a n i s ­

mo se tiene que en el e s l a b ó n 3, act ú a n las fuer-

2 3’y el peso W.

Para de t e r m i n a r la linea de acción de la fuer­

za 4 > se encue n t r a en el pol í g o n o de fuerzas la

resultante R de las fuerzas, F 34 y Ü A z C’ a P art2 r

del punto G se traza la d i r e c c i ó n de la fuerza R.

Las fuerzas F u > F' 54 y R son c o n c u r r e n t e s en

el punto K, puesto que no h a y a p licado un par e x ­

terno en el eslabón 4.

Figura 4 . 2 MECANISMO CON CILINDRO

Del p o l í g o n o de fuerzas, se tiene que la f uer­

za en el c i lindro es:

F c = F s4 = F 5 4 .Kf = 68.10 = 680 Kgf.

En el m e c a n i s m o mostrado, d e t e rminar la fuerza F^

n e c e s a r i a p a r a b a l a n c e a r el par T 2 a plicado en el

e s l a b ó n 2. El par T 2 es igual a 1,73 Kgf - m en

s e n t i d o antihorario. Las d i m e nsiones de los e s ­

labones del mecan i s m o son: OA = 0 ,035 m; A B= 0,047m

y CB = 0,049 m.

S o l u c i ó n :

El m e c a n i s m o está r e p r e s e n t a d o por la e s c a l a

de e s pacio:

= 1/1000 (m/mm)

E s t a b l e c i e n d o las c o n diciones de a q u i l ibri o pa­

ra el e s l a b ó n 2 , se tiene que el par e q u i l i b r a n t e

que d ebe ser aplicado al e s l abón es:

D a d o que T es igual a T 2 , pero de s e n tido con­

trario, se calcula F 3 2 ’ como sigue:

F 32 = T 2/e = 1,73/0,03 = 57,67 Kgf

E n la figura (a) se puede o b servar las fuerzas

que m a n t i e n e n en e q u i librio el e s l abón 2 .

En el m e c a n i s m o mostrado, d e t e r m i n a r las fuerzas

F 14 Y F 12 debidas a la acción de la fuerza exter­

na F4 , y el par e q u i l i b r a n t e (T ) que debe s u m i ­

n i s t r á r s e l e al eslabón 2 a través del centro 0 7 .

El m e c a n i s m o está r e p r e s e n t a d o por la escala de

espacio: K. = 1/100 (m/mm) /

S o l u c i ó n

F4 = 4500N

Figura 4.4 MECANISMO DE RETORNO RAPIDO

En el e s l abñn 4 actúan tres fuerzas que

concurrentes, debido a que no ha y po r externo apli­

cado .

La e c u a c i ó n vectorial p ara d e t e r m i n a r las fuer­

zas en el e s labón 4 es:

F + F , + F , . = 0 r 14 4 34

La fuerza F 34 es p e r p e n d i c u l a r al e s l a b ó n 4.

En las figuras a, c y d se puede o b s e r v a r los

d iagramas del cuerpo libre de los esla b o n e s del

m e c a n i s m o con las fuerzas que m a n t i e n e n en equili­

brio el sistema.

Si, en el p o l í g o n o de fuerzas, F 4 = F 4 / K f =

50 mm, e n tonces la escala de fuerzas es:

= 90/1 (N/mm)

Del p o l í g o n o de fuerzas se tiene que:

w = F K-p = 30.90 = 2700 N 14 1 4 ' 1

F 12 = F 12 • K f = 2 6 ' 90 = 2340 N

F 32 = F 32 • K f = 26-90 = 2340 N

Para cal c u l a r el par equi v a l e n t e se aplica 1

En el mecanismo, d e t e r m i n a r las f u e rzas en los co­

jinetes A, B, C, 0 2 y 0 4 , y el par e q u i l i b r a n t e (TJ

que debe su m i n i s t r á r s e l e al e s l a b ó n 2 a través del

centro de r o tación C^. En el ins t a n t e mo s t r a d o

en el e s l a b ó n 6 actúa una fuerza externa de 45 Kgf.

El m e c a n i s m o está r e p r e s e n t a d o por la escala de

e s p acio = 1/100 ( m / m m ) .

S o l u c i ó n :

En el dia g r a m a del cuerpo libre del e s l a b ó n 6 se o b s e r v a n las fuerzas que actú a n sobre la corre­

dera. De las tres fuerzas, sólo la fuerza F es

conocida. Sin embargo, puesto que en el e s labón 5

actú a n sola m e n t e dos fuerzas, un a en A y otra en

B, es evi d e n t e que la línea de acci ó n de F¡-g debe

p a s a r por la i n t e r s e c c i ó n A de sus líneas de acción;

y p u e s t o que sobre la c o r r e d e r a sólo actú a n tres

fuerzas, F ^ debe también p a s a r por A. La d i ­

re c c i ó n de F^g debe ser normal a las guías, como

se m u e s t r a en la figura a. Con o c i d a las di r e c c i o ­

nes de las tres fuerzas, se p u e d e d i b u j a r el p o ­

lígono c o r r e s p o n d i e n t e (mostrado en la figura b)

y d e t e r m i n a r los valores de F-g y Fj-g. En la f i ­

gura c se o bservan los sentidos de las fuerzas que

m a n t i e n e n en equili b r i o el e s l abón 5. Las fuerzas

que act ú a n en el e s labón 4 son F,-^, F ^ y F^^. De

las tres fuerzas F ^ es conocida, sin embargo la

d i r e c c i ó n de la fuerza F,^ (perp e n d i c u l a r al e s ­

labón 4) se conoce dado que el e s l a b ó n 3 d e scribe

sobre el eslabón 4 una t r a y e c t o r i a rectilínea. Di­

chas fuerzas son concur r e n t e s en el p u n t o M (Fig.

d) .

En la figura e se m u estra el d iagrama del cuer­

po libre del e slabón 3 con las fuerzas que actúan

sobre é l . P ara de t e r m i n a r las fuerzas que actúan

en el e s l abón 2 , se tiene la e c u a c i ó n vectorial si­

guiente :

lo de presión de los engranajes e s t a n d a r es de

20°. El m e c a n i s m o está r e p r e s e n t a d o po r la e s ­

cala de espacio: K, = 1/75 ( m / m m ) .

La m a g n i t u d y d i r e c c i ó n de la fuerza se

d e t e r m i n a c o n s t r u y e n d o el pol í g o n o de fuerza.

La fuerza F J 2 es igual pero de s e n tido c o n ­

trario a la fuerza y F 12 es igual ‘y de

s e n tido contrario a F ^ . El par T £ se calcula

como s i g u e :

En el pol í g o n o de fuerzas (Fig. b ) , se tiene

que :

R = R/K^ = 40 mm,

por tanto, la escala de fuerzas es i

Kf = 11/2 CKgf/mm)

Del p olígono, r e sulta que la fuerza entre los

d i e ntes de los engranajes es:

F 23 = F 2 3 ‘Kf = 43 - 11/2 = 236,50 Kgf.

El pa r que debe sum i n i s t r a r s e al piñón es:

f e = F 3 2 'r = 236,5.1 2 , 5 / 7 5 = 39,42 Kgf-m.

;1 sentido del par es horario.

D e t e r m i n a r las fuerzas en todas las juntas y el

pa r que debe sum i n i s t r a r s e al e s labón OA para

m a n t e n e r en e q u i librio es t á t i c o el mecanismo. El

m e c a n i s m o está repres e n t a d o por la escala de e s ­

pacio: K l = 1/500 (m/mm).

Solución:

En^el Dol í g o n o de fuerzas (Fig. f) se tiene

que: P = p/¡c-f = 25 mm, po r tanto la escala de

fuerzas es:

K f = 2 (Kgf/mm)

Las fuerzas que actúan en el eslabón 6 son F

:S6 y p -1 6’

La ec u a c i ó n vectorial de las fuerzas que a c ­

túan en el e s l abón 6 es:

16

XX56 P = 0

La fuerza F s& es d e s conocida en d i r e c c i ó n y

magnitud, por lo que se usará el m é t o d o de las

c omü o n e n t e s radiales y transversales. La e c u a ­

ción vectorial de las fuerzas que actúan en el

e s l a b ó n 6 se transforma en:

16

XX

' 56

f I CE

P =

En la figura a se puede o b s e r v a r el mét o d o grá­

fico u t i l i z a d o para d e t e r m i n a r las fuerzas que ac-

— — Tfuerzas P y F 6 5 , se toma un polo ar b i t r a r i o 0 y

se trazan los radios 1, 2 y 3 / Por el centro

de la junta c, se traza una línea p a r a l e l a a el

r a d i o 1 (1 ') hasta la intersección con línea de

acción de la fuerza P, a par t i r del punto de

corte de esas líneas se traza una línea p a r a l e l a

a el radio 2 (2 ') hasta cortar la línea de acción- t

de la fuerza F g S . En el pu n t o de corte de las

líneas m e n c i o n a d a s anteriormente. Se traza una

l ínea p a ralela a el radio 3 (3') h a s t a la i n t e r ­

s e c ción de la línea de acción de la fuerza F,"o 5

loc a l i z á n d o s e el punto m.

U n iendo m con C, se obtiene el radio 4 ’. Por

el polo del pol í g o n o f unicular se t r a z a una l í ­

ne a par a l e l a a 4' [4) hasta que corte la línea de

acci ó n de la fuerza Fg^, con lo que se d e t e r m i n a

la m a g n i t u d de esa fuerza y de la fuerza F ^ j . El

p r o c e d i m i e n t o es m ostrado en las figuras b y c.

En la figura d se m u e stra el p o l í g o n o de fuer­

zas del eslabón 6 .

P ara de t e r m i n a r las fuerzas en los eslabones

3 y 4, se u t i l i z a un pro c e d i m i e n t o s i milar al

apl i c a d o en los eslabones 5 y 6 . En los d i a g r a ­

mas de las figura e, f y g se m u e s t r a los p r o c e ­

dimie n t o s para determ i n a r las fuerzas.

D ebe observ a r s e que la fuerza Q es igual pe­- T

ro de sentido c o n t r a r i o a la fuerza F^^ lo mismo

sucede con la fuerza F ^ y ^ 3 4 -

Del polígono de fuerzas del e s l abón 3, se

tiene la m a g n i t u d v d irección de la fuerza F„_.• 2 3

El di a g r a m a del cuerpo libre del eslabón

m u e s t r a las fuerzas y el sentido del par que de

be sum i n i s t r a r s e para m a n t e n e r en equili b r i o es

tático el mecanismo. De los políg o n o s de fuer

zas, se tiene que:

F 1ó ~ F 16 = 22.2 = 44 Kgf

F 56 “ F 56 = 22,5.2 = 45 Kgf

F 3 5 - F 3 5 ^ i = 31,5.2 = 63 Kgf

F 14 = F 14 K f = 22.2 = 44 Kgf

F 23 = F 23 K f = 47,5.2 = 95 Kgf

F 34 “ F 34 K f = 33.2 = 66 Kgf

F 12 " f 12 K f " 4 7 >5.2 = 95 Kgf

El par equi v a l e n t e T g , se c a l cula como sigue

T e = F3 2 ’e = 95.0,04 = 3,8 Kgf - m

El sentido del par T g es horario.

En el meca n i s m o m ostrado, d e t e rminar el par que

debe s u m i n i s t r a r s e al eslabón 2 y las fuerzas en

los c ojinetes O, A, C y E para m a n t e n e r el m e ­

c a n i s m o en e q u i librio estático. Se dan como d a ­

tos :

- L o n g i t u d de los eslabones: OA = 0,2 m ; AC = 0 5

y EC = 0,4 m .

S o l ución:

El m e c a n i s m o está r e p r e s e n t a d o por la escala

de e s p a c i o :

= 1/100 fm/mm)

La esc a l a de fuerzas es:

Kf = 1 (Kgf/mm)

P ara de t e r m i n a r las fuerzas en los cojinetes

se u t i l i z a r á el método de la s u p e r posición, c o n ­

s i d e r a n d o (a) que solamente a c t ú a la fuerza P

Cb) que sólo actúa la fuerza Q (c ) sumando los

casos anteriores.

En el caso de que sólo ac t ú a la fuerza P se

t i e n e en el di a g r a m a del cue r p o libre del e s l a ­

b ó n 4 CFig- a) Que sobre él actúa las fuerzas P,

F,'. y F,'. . La direc c i ó n de la fuerza F,\ es 34 ' 14 o4

a lo largo del e s l abón AC debi d o a que el m i s m o

e s l a b ó n se c onvierte en un m i e m b r o de dos f u e r ­

zas cuan d o se omite 0 ; las líneas de acción de

las fuerzas P y F 34 se i n t e r s e c t a n en el p u n ­

to M. El e s labón 4 está en eq u i l i b r i o bajo la

a cci ó n de tres fuerzas sin que actúa un par s o ­

bre el eslabón, de manera que la dire c c i ó n del

v e c t o r F.J4 es tal que debe pa s a r por los puntos

M y E. El po l í g o n o de fuerzas (Fig. c) se c o n s ­

truye de acuerdo a la ec u a c i ó n v e c t o r i a l siguien-

Para calcular el par T¿ del eje n e c e s a r i o pa­

ra m a n t e n e r el e s labón 2 en e q u i l i b r i o b a j o la

acc i ó n del par p r o d u c i d o por F 3'2 y F ^ es:

T i = F . > e ' = 25 .0,13 = 3,25 Kgf-m (horario) e 32 *

En el caso de que s olamente actúa Q como fuer­

za externa, en la figura e se m u e s t r a el d i a g r a ­

m a del cuerpo libre del e-slabón 3 bajo la acción

de las fuerzas Q, F4 - F 23 ’ Se conoce

d i r e c c i ó n de Q y la de F ^ 3 es a lo largo de la

línea EC debido a que él e s l a b ó n 4 se c onvierte

en un m i embro de dos fuerzas cuando se omite P.

Las inters e c c i ó n de las dire c c i o n e s conoc i d a s de

Q y F ¡ 3 da el punto K. La d i r e c c i ó n de F 23 de­

be p a s a r por los puntos K y A debido a que

e s l a b ó n 3 está en e q u i librio bajo la acción de

tres fuerzas sin que actúe u n par en el eslabón.

El p o l í g o n o de fuerzas (Fig. f) se c o n s t r u y e de

a c u e r d o a la ecuación v e c t o r i a l siguiente:

||AK IICK

Para calcular el Par T ” del eje n e c e s a r i o p a ­

ra m a n t e n e r el eslabón 2 en e q u i l i b r i o bajo la

a cc i ó n del par producido por F '^2 y F ” 2 es:

x = P" e" = 29.0,19 = 5,51 Kgf-m (horario)1 e 32 '

Para determinar las fuerzas totales, en los

d i a g r a m a s de la figura b y d se puede o b s e r v a r las

d i f e r e n t e s fuerzas que m a n t i e n e n en e q u i l ibrio los

eslabones 3 y 4.

En el mecan i s m o m o s t r a d o , d e t e r m i n a r la fue r z a F„B

r e q u e r i d a para que la veloc i d a d del blo q u e 2 sea

de 3,48 mS . Se tiene como dato lo siguiente:

- La masa del eslabón 3, m, = 0,1 K g , y el m o m e n ­

to de inercia, Ij = 0,000552 K g - m 2 .

- El pol í g o n o de aceleraciones; Ka = 3,32 (m S’2/fnm)

- Esca l a de espacio: fíL = 1 /280 (m/mnO

S o l u c i ó n :

Del pol í g o n o de ace l e r a c i o n e s se o b t i e n e que:

aG3 = (Pa g3) Ka = 41.3,32 = 136,12 m S " 2

a^/ B = (N^/g-a ) Ka = 65, 5 . 3,32 = 21 7 ,46 mS 2

La a c e l e r a c i ó n angular del e s l a b ó n 3 es:

cij = a^g/AB = 217,46/0,25 = 869.84 rad S 2 (Horario)

La fuerza de inercia del e s l a b ó n 3 es:

F03 = m 3 - ^G3 = - 13,61 Kgf.

C o n el objetivo de sust i t u i r el sistema de fuer­

za de inercia y par de inercia, po r una fuer z a ú n i ­

ca, se calcula a c o n t i n u a c i ó n la dista n c i a <e) a que

se h a l l a la fuerza de inercia de el centro de g r a ­

ve d a d del eslabón.

La d i s t a n c i a e se calcula c omo sigue:

e = ct3 I3/ c 03 = 869,84 . 0,000552/13,61 = 0,035 m.

De acuerdo a la escala de espacio, la d i s t a n ­

cia e se r e p r esenta en la fig u r a a como:

e = 0,035 / K l = 10 mra

L a fuerza de inercia (FQ 3 ) se r e p r e s e n t a d e s ­

p l a z a d a l'a distancia e de m a n e r a que F Q , x é dé

u n pa r cuyo sentido sea o p u e s t o al de a,. La r e a ­

cc i ó n en A es y es ve r t i c a l dado que la f r i c ­

c i ó n es despreciable. Las fuerzas en B son la

f u e r z a Fg y la reacción de la c o r r e d e r a F 2-, la

cual es horizontal, debido a que la f r icción es

des p r e c i a b l e . Del d i agrama del cuerpo libre del

e s l a b ó n 3 (Fig. a), se tiene que:

^43 + + ' CF B ^ F 2 3 > = 0

Las líneas de acción de las fuerzas F„„ y F.,. Oo .43

se i n t e r s e c t a n en el punto M. El eslabón 3 está

en e q u i l i b r i o bajo la acción de tres fuerzas sin

que actúe u n par externo sobre el- eslabón, de m a ­

nera que la d irección dtel v e c t o r Fg + es

tal que d e6 e pasar por los punt o s B y M. En el

p o l í g o n o de fuerzas se tiene que F q 3 = 13 , 6 1 / K f =

50 mm, por tanto la escala de fuerzas es:

K f = 1/3,674 (Kgf/mm)

El p o l í g o n o de fuerzas es m o s t r a d o en 'la figtK

ra b. La m a g n i t u d de la fuerza Fg es:

. . Fg = F g .Kf = 42,5/3,674 = 11,57 Kgf.

La d i r e c c i ó n y sentido de la fue r z a se m u e s t r a en

la figu r a b. -

2 84

4.11. Para el m e c a n i s m o mostrado, hacer un análisis di­

nám i c o completo. De un análisis c i n e m á t i c o del

m e c a n i s m o se conoce que:

a, = 119 rad S a. = 625 rad S 2; á , = 162 mS~2J 4 gi

- «2 y ag 4 = 104 mS . Los paráme t r o s del m e c a n i s m o

s o n : .

- ^ L o ngitud de los eslabones: O A = 0,06 m; OD =

0,10 m ; AB = 0,22 m; DB = 0,15 m; AG^ = 0,09 m;

DC = BC = 0,12 m y DG, = 0,09 m.

- Masas de los eslabones: m 3 = 1 ,5 Kg y m 4 = 5 Kg

- M o m e n t o s de inercia: I, = 0,012 K g - m 2 v i . =? -> ' 4

0,054 Kg-m .

La fuerza F c es igual a 800 Newton. ,

Solución: , ?(:i ..

P r imero se d e t e r m i n a n las fuerzas de inercia

que actú a n en los eslabones 3 y 4, como sigue:

F q 3 = m3 ág3 = 1,5 . 162 = 243 N, y ■

Fq4 = m4 ag 4 = 5.104 = 520 N

Con el obj e t i v o de sustituir el s i s tema de

fue r z a y pa r de inercia, por una fuerza única, se

c a l c u l a las d i s t a n c i a s e, y e 4 , como se m u e s t r a a

c ontinuación: -

e 3 = o 3 i 3/ f 03 = 119 • 0,012/243 = 0,006 m, y

e 4 = a 4 I 4/F04 = 6 2 5 . 0 , 054/520 = 0,065 m.

\. V

En las figuras b y d, se puede o b s e r v a r la

u b i c a c i ó n de las fuerzas fínicas, FQ _ y FQ 4 , res

p e c t i v a m e n t e . El a n álisis se comienza d e t e r m i ­

na n d o la resultante de las fuerzas Fc y FQ4 por

m e d i o de un p olígono (Fig. e] de fuerzas. U s a n ­

do el pol í g o n o funi c u l a r se localiza la línea de

acc i ó n de la re s u l t a n t e R.

Una vez d e t e r m i n a d a la línea de acción de la

r e s u l t a n t e R, se aplica el método de las c o m p o ­

n ent e s radiales y transversales. En la figura

b se o b s e r v a el p r o c e d i m i e n t o utilizado para de­

t e r m i n a r la c o m p o n e n t e F ^ , y en la figura d el

u t i l i z a d o p ara de t e r m i n a r la componente F.J^ Da- j _ _ Tn 43 *do que la co m p o n e n t e F43 es igual pero de sen-

txdo contr a r i o a la co m p o n e n t e F -J0 , se tiene que

la fuerza . es :34

F = f TA ■+ F 1 = FTD + F RD 34 _34 _34 _34 _3£

II AB || DB

En la figura c se m u e s t r a el pol í g o n o para

d e t e r m i n a r F ^ . Una vez dete r m i n a d a en m a g n i ­

tud, d i r e c c i ó n y s e n t i d o la fuerza F-^, se tie­

ne las fuerzas que m a n t i e n e n en equilibrio el

e s l a b ó n 4 ob e d e c e n a la e cuación v e c t o r i a l si­

g u i e n t e : j J

F 14 + F 04 + F c + F 34 = 0 ...

Para d e t e r m i n a r las fuerzas que actúan s o ­

bre el e s l abón 3 se tiene la ecuación vectorial-

La fuerza F ^ es igual p e r o de sentido c o n ­

trario a la fuerza F„..j4

La fuer z a es igual p ero de sentido c o n ­

trario a la fuerza F ^ -

En el e s l a b ó n 2 actúan las fuerzas y

la F^ 2 Y P ar de valor F ^ x h, donde h es

la d i s t a n c i a p e r p e n dicular a la fuerza y m e d i d a

desde el cen t r o de A a 0.

' 0La e s c a l a de espacio u t i l i z a d a p a r a r epresen­

tar el m e c a n i s m o es:

K l = 1/500 (m/mm)

p o r tanto las distancias e, y e^ son:

= e^/Kj, = 3 mm, y

= e ^ / K L = 32,5 mm

La esc a l a de fuerzas es:

K f = 10 (N/mm)

Del p o l í g o n o de fuerzas (Fig. e) se tiene que:

F 1 4

II TI H-l II 40 ..10 = 400 N

F 34 F 34'

IIm 33. 10 = 330 N

F 23 = F 23-,Kf = 35 .10 = 350 N

La f u e r z a F-^ es igual p e r o de sentido a la

fuerza F, . El par e q u i l i b r a n t e que debe suminis^

t r a r s e al eslabón 2 a través de O es:

T g = F 3 2 .h = 350.0,058 = 20,3 N-m

El par T s es de sentido antihorario.

P ara el mecanismo de retorno rápido, hacer un

aná l i s i s dinámico completo. Se conoce lo s i ­

guiente: .

- L o n g i t u d de los eslabones: OP = 0,1645 m;

QP = 0,3048 m y PR = 0,2032 m.

- Pesos de los eslabones: 1V? = 0,79 Kg; W3 = 1,59 K W 4 = 4,54 Kg y W $ = 6 ,8 Kg.

- Radios de giros: K 2 = 0,0508 m; K, = 0,0508 m

y K4 = 0,1524 m. ,

- E s c a l a de aceleraciones: Ká = 1 (mS~2/mm)

S o l u c i ó n :

De acuerdo al p o l í g o n o de a c eleraciones y a

las ma s a s de los eslabones las fuerzas de i n e r ­

cia son:

^02 = m2 ¿g2 = Of2-ag2)/g = (0,79.34,54)/9,8 = 2.78 Kgf

f03 = m3 ¿ g3 = = _nT5EDH,7)/9,8 -2.06 Kgf

Para d e t e r m i n a r las fuerzas que actúan en el

e s l abón 3 se tiene la ecuación vectorial:

4 3 F 03 + F 23 °

En el e s l a b ó n 2 se tiene la ec u a c i ó n vectorial

F 32 + F 02 + F 12

Para d e t e r m i n a r el par e q u i v a l e n t e que debe

s u m i n i s t r a r s e al eslabón 2 a través del eje con

centro de r o t a c i ó n 0 , se tiene la ecuación , s i ­

guiente :

F 3 2‘e 1 F 0 2 'e 2

En el p o l í g o n o de fuerzas (Fig. c) se tiene que:

05= F Q 5/ K f 8 m m ,

por tanto, la escala de fuerzas es:

Kf = 11/50 (Kgf/mm)

Del p o l í g o n o de fuerzas, resulta que las fuerzas

s o n :

45 = F 4SK f = 9.0,22 = 1,98 Kgf

14 = F 14 K f =38.0,22 = 8 , 3 6 Kgf

23 = F 23 K f =6 8 .0,22 = 14,96 Kgf'

12 ' F 12 Kf =80.0,22 = 17,6 Kgf

El p ar e q u i l i b r a n t e T g es:

T = 14,96 . 0,1387 + 2,78 . 0,047 = 2,207 Kgf-m (antihorario)

P reguntas y P roblemas Propuestos.;

4.13. Explique las c o n diciones de eq u i l i b r i o de las

fuerzas que actúan sobre u n a partícula.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

E x p l i q u e los s i s t e m a s t e fuerzas que actúan s o ­

bre un cuerpo rígido.

¿Cuáles son las c o n diciones n e c e s a r i a s y s u f i ­

cientes p ara man t e n e r u n cuerpo en e q u i l i b r i o ?

D e m u e s t r e lo siguiente: La acción de u n sistema

de fuerzas sobre un cuer p o rígido no varía, si

se añaden a el sistema de f u e r z a s o se quitan

dos fuerzas que se eq u i l i b r a n m u t u amente.

N o m b r e las condiciones p ara d e s c o m p o n e r una fuer­

za en dos componentes o s u s t i t u i r una fuerza por

dos fuerzas que se interceptan.

Exp l i q u e el principio de acción y reacción.

A p l i c a n d o el método del p o l í g o n o funicular,

terminar: ?

de -

a. La result a n t e de dos

b. Las equilibrante de u

la imagnitud, direcció

una de ellas (F.j)

c . Las equi 1ibrantes de

las d i r e cciones y pos

4.20. Expliq ue las causas por

de los casos de anal i si s

¿Qué i m p o rtancia tiene el centro de pe r c u s i ó n ?

¿Porqué el m é t o d o de la s u p e r p o s i c i ó n no es

v e n t a i o s o cuando se consideran las fuerzas de

f r i c c i ó n ? .

D e t e r m i n a r las fuerzas en todas las juntas y el

par que d ebe sum i n i s t r a r s e al e s l a b ó n OA para

m a n t e n e r el m e c a n i s m o en eq u i l i b r i o estático. Se

tiene que la e s c a l a de espacio es: = 1/100 (m/mm) ; y la escala de f u e r z a s ^ K f = 2(Kgf/mm]

(RESPUESTA: F 16 = 7 Kgf; F56 = 40 Kgf; Fj, = 58K g f ;

F 34 = 25 Kgf; F 23 = 106 Kgf = F ,, ; T e = 7,95 Kgf-m)

En el mecanismo m ostrado, d e t e r m i n a r las fuerzas

en todas las juntas y en el cilindro. La escala

de fuerzas es: Kf = 2 ( R g í / m m ) .

(RESPUESTA: F 1 = 14 Kgf; F _S6 = 52 Kgf; F )4 =

112 Kgf; f _ 4 = 40 Kgf; F23 = 56 Kgf; F ]2 = 5S Kgf

Fc = 21 Kgf).

Figuro 4 .2 4

En el m e c a n i s m o mostrado, justificar la solución

u t i l i z a d a oara la d e t e r m inación de la fuerza de

p r e n s a d o (Fp ) aplicada a la corredera 6 , cuando

sobre la c orredera 2 actúa la fuerza motriz

P = 1000 Kgf

(RESPUESTA: F p = 2000 Kgf).

F igura 4 .2 5

De t e r m i n a r las fuerzas en todas las juntas y el

par que debe s u m i n i s t r a r s e al eslabón 2 Dara

m an t e n e r el m e c a n i s m o en equilibrio. El mecanis­

mo está repres e n t a d o por la escala de espacio:

~ 1/100 ( m / m m ) . La e s c a l a de fuerzas es:

Kj = 4 ( K g f / m m ) .

(RESPUESTA: F 1g = 169,81 Kgf; F 5fi = 396 Kgf;

F s4 = 396 Kgf; F34 = 172 Kgf; F 14 = 372 Kgf;

F32 = 108 KSf ; Fe = 140’ 8 KRf; Te = 2,82

C

Figura 4 .2 6

4.27. Para el m e c a n i s m o mostrado, hacer un análisis di­nám i c o comnleto. Se tiene como dato lo s i g u i e n ­te :

- M a s a s de los eslabones: m„ - 0,2 Kgf; m, = 0,6 Ko m 4 = 1 Kgf; m,. = 0,4 Kgf v = 0,5 Kgff

' - Escala de esDacio: K. = 1/610 f m / m m ] .- L _ ]

Escala de velocidades: Kv = 1/0,0314 (mS /mm). 2

- Escala de aceleraciones: Ka = 9/14 (mS ”/mm).

(RESPUESTA: F ] 2 = 30 , 24 K g f ; F , 2 = 26,95 Kgf ; .

F 45 = 21,86 Kgf; F 14 = 14,7 Kgf; F 53 = 5,42 Kgf;

Fj-6 = 14,95 Kgf; F 16 = 20 , 95 Kgf; T e = 2,61 Kgf-m)

298

F igu ra 4 .2 7

4.28.para el m e c a n i s m o mostrado, hacer un análisis di

námico comnleto. Se tiene

299

Pesos : 2 - ° .9 1 Kg6,8 Kg.

- Radios de"'s -

como dato'lo siguiente:

= 1,13. Kg; W4 = 4,54 Kp

v K4 = 0,1524giro de los eslabones: K_ = 0,051715

ra.

300

4.29. D e t e r m i n a r la fuerza R n ecesaria nara ma n t e n e r

en equilibrio estático el sistema baio la acción

de la fuerza P. El meca n i s m o está ren-resenta-

do p or la esc a l a de esnacio: K. = 1 /400 (n/nun).

.. v ■/' ■ ,r~

Kgf

Figura 4 .2 9

301

30. D e t e rminar las fuerzas en los c ojinetes A, B, C,

D y E; debido a la fuerza anl i c a d a en el eslabón

6 , y el car T g a plicado al eslabón 2 en E. Las

dimensiones del mecan i s m o son: AB = 0,33 m; DB =

0,60 m; EC = 0,18 m.

Figura 4 . 3 0

50 2

Determ i n a r las fuerzas en los cojinetes O, A, B

C v el Dar que debe s u m i n i s t r a r s e al eslabón OA

oara vencer las fuerzas resistentes que actúan

en las correderas. Las dim e n s i o n e s de los e s ­

labones son: O A = 0,045 m v CB = 0,177 m.

V

F igura 4.31

Para el m e c a n i s m o mostrado, ha c e r un análisis di

námico completo. Se dan como dato lo siguiente:

V e l o c i d a d angular del e s l a b ó n conductor: W

10 Rad S = constante.

L o n g i t u d de los eslabones: O A = 0,135 m; AB

M asa de los eslabones; m 3 = m 4 - 4 Kg; m 5

4. 3 4Figura

G E N E R A L I D A D E S DE M E C A N I S M O S EN T R E S DIM E N S I O N E S

I n t r o d u c c i ó n :

Los me c a n i s m o s en tres d i m e nsiones h an adquirido

u n a g ran importancia, oc a s i o n a d o p or el d e s a rrollo

c r e c i e n t e de m a n i p u l a d o r e s que se usan extens a m e n t e

en medios, tales como, la industria núclear, la e x ­

p l o r a c i ó n del fondo m a r i n o e investi g a c i o n e s espaciar

les .

El m e c a n i s m o de cuatro barras en tres d i m e n s i o ­

nes es u n a c o n f i g u r a c i ó n espacial de cuatro barras

con juntas de rótulas que c onectan las maniv e l a s c u ­

yos ejes tienen ori e n t a c i o n e s arbitrarias en el e s ­

pacio. Es usado p a r a tr a n s m i t i r m o v i m i e n t o s a t r a ­

vés de esq u i n a s o en e s pacios estrechos y usualm e n t e

f u n c i o n a como rota t o r i o - osc i l a t o r i o o doble rotato­

rio.

El a n álisis c i n e mático de un m e c a n i s m o espacial

i n v o l u c r a la d e t e r m i n a c i ó n de los d e s plazamientos,

v e l o c i d a d e s y a c e l e r aciones relativos de varios m iem­

bros o part e s con r e s p e c t o a una entrada de m ovimien­

to al mecanismo.

Pares Cinemáticos:

Los pares ut i l i z a d o s en los me c a n i s m o s espaciales

se c l a s i f i c a n según el número de grados de libertad

relativo de las dos barras

30 7

TABLA 5.1 PARES CINEMATICOS

C r i t e r i o de Kutzbach:

El cri t e r i o de Kut z b a c h p e r m i t e calcular los g r a ­

dos de libertad de un m e c a n i s m o espacial, de tal f o r ­

ma que el m e c a n i s m o que se estudie pro d u z c a m o v i m i e n ­

to restr i n g i d o . La ec u a c i ó n d e d u c i d a po r Kutzbach es:

L = 6 Ce-1D - 5 a 1 - 4 a 2 - 3 a 3 - 2 a 4 - a 5

d o n d e :

L = es el núme r o de grados de libertad,

e = es el número de eslabones

a , a 7 , a,, a4 y a 5 son los n ú m e r o s de pares cinemá-

tic o s ~ d e p r i mera a q u i n t a clase, respectivamente.

M e c a n i s m o de cuatro bar r a s t r i d i mensional.

La figura m u e s t r a u n m e c a n i s m o de cuatro b a T r a s ,

con dos mani v e l a s (AB = b, CD = d ) , cuyos ejes son

g e n e r a l m e n t e oblicuos ( d e s a lineación lineal EO - f,

d e s a l i n e a c i ó n á n g u l a r D E G = £) . La b i e l a rígida de

un i ó n (BC = c) tiene a r t i c u l a c i o n e s de rótulas en B y

C. Las d e s a l i n e a c i ó n de los planos de los circuios de

la m a n i v e l a de la p e r p e n d i c u l a r común a los ejes de la

m a n i v e l a son OA = a y DE = e . El ángulo girado por

AB, res p e c t o al eje X es 9, y el ángulo que forma

CD con el eje X es 0. La r elación geométrica entre

los p a r á m e t r o s del m e c a n i s m o está dada por:

d o n d e :

0 = Es la v e l o c i d a d angular de la m a n i v e l a CD, y

9 = Es la v e l o c i d a d angular de la m a n i v e l a B A .

Determinación de la velocidad angular de la b a r r a rl-

gida B C :

La v e l o c i d a d lineal del punto _B es:

V B = 9 b icos S i - sen 0 i) (1)

m ientras que la v e l o c i d a d lineal de C e s :

V c = 0 d (-sen 0 i + eos 0 eos 5 i - eos 0 s e n ? k) (2)

e n t o n c e s :

v. = V„ + w x (C^B) (3)C D

Deb i d o a que la veloc i d a d angular de la b a r r a rí­

gida BC (W) es p e r p e n d i c u l a r a ( C - B ) , se cumple:

W . CC^B) = 0 (4)

P o s t m u l t i p l i c a n d o los dos m i embros de la e cuación

(3) v e c t o r i a l m e n t e por (C-B) , d e s a r r ollando el d o ­

ble" p r oducto y c o n s i d e r a n d o la c ondición (4), se t i e ­

ne que la v e l o c i d a d angular de la barra rígida CB es:

_ = ( (C-TJ) x V B / A ) / c 2 (51

en la que c es el m ó d u l o de la barra rígida C B .

5.6. Problemas Resueltos:

5.1. Para el mecan i s m o mostr a d o , d e t e r m i n a r los gra­

dos de libertad.

S o l u c i ó n :

Primero se deben ide n t i f i c a r los e slabones

del m e c a n i s m o y los tipos de pares que los c o ­

nec t a n con el fin de a p licar el c r i t e r i o de

K u t z b a c h .

De acuerdo a la figu r a b se tiene que son

cuatro (4) los eslabones del m e c a nismo. Los

pares son: 2 de rev o l u t a (R) y 2 esféricos (S).

El a c o plamiento de r e v o l u t a es a un grado de

libertad y el e s férico tiene tres grados. E n ­

tonces, se tiene que:

e = 4; a 1 = a; a 2 = 0 ; a- = 2 ; a4 = 0 y a 5 = 0

S u stituyendo en la fórmula, los v a lores en­

contrados :

L = 6 (e - 1) - 5 a. - 4 a 2 “ ^ ^ ~

L = 6(4 - 1) - 5.2 - 3.2 = 2

Es decir, el s i s t e m a es a dos grados de li­

bertad .

■

En el gráfico aparece la barra A B , de 0,30 m

de l o ngitud cuyos extremas desca n s a n sobre dos

collares que d e s l i z a n en guías ortogonales en­

tre sí. E n c o n t r a r la velocidad lineal de B,

S1 VA = 0,30 mS 1 ( K ) ; HA = 0,15 m y O H = 0,20m

S o l u c i ó n :

Del gráfico, se tiene:

(ÍPO) = (FTO) + (Á^H) + (¡Pa) ,Reemplazando: -

31

Figura 5.3 MECANISMO DE CORREDERAS

xí = 0,2 l + z K + (B- - A)

De a q u í :

(B-A) = xi - 0,2 j_ - zK

Mu l t i p l i c a n d o e s c a l a r m e n t e a ambos m i embros

por si mismo

D e r i v a n d o res p e c t o al tiempo:

o oX X + Z Z = 0

R e e m p l a z a n d o

X X = - 0,30 . 0 , 1 5 m 2 S 1

De la g e o m e t r í a dada

X = X / 0 , 3 0 2 - 0 , 2 0 2 - 0 , 1 5 2 = / O ,0275

Luego

X = - 0 ,045 / /0 , 0275 = - 0 , 90 / /TT (mS 1)

Entonces

V D = X = - 0,90 / /TT i B

Los c o llares de los extremos de la b a r r a t e l e s ­

cópica A B d e s l i z a n a lo largo de los ejes f i ­

jos paral e l o s que se m u estran en la figura. D u ­

rante un inte r v a l o del mo v i m i e n t o = 0,13 mS (j_)

y V B = 0,05 m S -1 (i). D e t ermínese la v e l o c i d a d

a n g ular del eje de la barra, en la pos i c i ó n

en la que = 0,1 m e Yg = 0,05 m.

S o l u c i ó n :

Dado que la v e l o c i d a d angular de una barra

rígida es normal a dicha barra, se tiene la

sigu i e n t e ecuación:

lYn = CfA/B X V b ] ; rA/B (1)

donde ÍV es la v e l o c i d a d angular de la barra

t e l e s c ó p i c a y es normal a A B .

De acuerdo a los datos, se tiene que las

coor d e n a d a s cartesianas de los puntos A y B

son :

A (0,07 ; 0,10; 0) y B (0; 0,05 ; 0,14)

P o r tanto el vector p o s i c i ó n r ^ g es:

fA / B = ( 0 ’ ° 7 ' 0} i + ( 0 ’ 10 * °’05U + (° í

rA /B = 0,07 i + 0,05 l + 0,14 K (m)

Su módulo, elevado al c u adrado es:

r\n = (0,07)2 + (0 ,05) 2 + (0, 14) 2

r 2/B = 0,027 (m2)

Las velocidades de los puntos A y B son:

= 0,13 j_ (mS ’1) , y

V B = 0,05 j_ ( mS'1)

donde V^/g es:

V A / B = 0,08 j_ (m S’1)

S u s tituyendo los v a l o r e s encontrados en la

e c u a c i ó n (1) se tiene qu e la v e l o c i d a d angular

de la barra t e l e s c ó p i c a es:

Wn = (0,07 i_ + 0,05 i - 0,14^1) x (0,08 j)/0,027

W = 0,207 i + 0,415 k

y su módulo.

Figuro 5.4 VELOCIDAD ANGULAR DE LA BARRA AB

5.5. D e t e r m i n a r la v e l o c i d a d del collar B, en magni­

tud, d i r e c c i ó n y sentido, si = 11,5 mS en

la d i r e c c i ó n i n dicada en la figura 5.5.

S o l u c i ó n :

Primero, si se denota los módulos de los

v e ctores en la forma siguiente, se tiene:

O A = a; BA = c; CB = d y OC = e

R e c o r r i e n d o ve c t o r i a l m e n t e , el c i rcuito

OABCO, se obtiene la siguiente ecuación:

(Á70) + CíT a ) + CCHÍ) + (O-C) = O

d o n d e :

(S-Ó) = a i

\ x

de s p e j a n d o las c o m p o n e n t e s de (B-A) y elevan

do al cuadrado, se obtiene que:

S u m ando m i e m b r o a m i e mbro estas tres ecua

ciones, se tiene:

c 2 = a 2 + b 2 + d 2

D e r i v a n d o r e specto al tiempo

O °0 = 2 a a + 2 d d

d e s p e j a n d o d ( V g ) , se obtiene

V = d = -.(a a)/d = - (0,4) (1 1 ,S)/0 ,6 = - B

de donde :

R e s olviendo las e c u a ciones (1), ( 2 ) , (3) y

(4) simultáneamente, res u l t a n que:

W = - 4,86 rad S ^x

W = 2,29 rad S ^yW_ = - 0,571 rad S ^

V D = 12 m S ' 1

Por tanto la veloc i d a d a n g u l a r del eslabón

CD y la velocidad lineal de D son:

W CD = - 4,86 i_ + 2,29 i - 0,571 k, y

V D = - 12 k

Del meca n i s m o mostrado, se tiene que: A B = 2 , 5 0 6

BC = 4,344 m; AH = 0,515 m; GH = 0,768 m y

a = 31,42°. De t e r m i n a r la v e l o c i d a d del esla-

S o l u c i ó n :

Figuro 5 .7 MECANISMO M AN IVELA -C O R R ED E R A Z

Denotando los módulos de los vectores de la for­

ma siguiente:

AB = b; BC = c; CG = d; GH = e y H A = f

Recorriendo vectorialmente, el circuito

A B C G H A se obtiene la siguiente ecuación.

donde

(B-A) = b Cos a i + b sen a j_

CC-B) = i + Cy j_ + C z k

(G^C) = - d k

(ÍTCT) = - e i

(A^H) = f j_

Al susti t u i r resulta

b cos a + b sen a j_ + Cx i. + Cy j_ + Cz k - dk - e fi

De ahí sur g e n las ecuaciones e scalares si

guientes

b Cos a + C - e = 0 x

b sen a + C + f = 0

c z - d = 0

De s p e j a n d o las componentes de (C-B) y ele

vando al cuadrado2 2 2 ?

cx = e - 2 b cos a + b eos“ a

2 _2 , 2 ?0 . - f + 2 bf sen a + b sen“ a

2c„ = dL

S u m ando m i e m b r o a m i e m b r o estas tres e c u a ­

ciones y reduciendo términos semejantes:

c2 = b 2 + d 2 + e2 + f" - 2be cos a + 2bf sen a (1)/

Al s u s t i t u i r valores en (1), se o b tiene el

valor d, es decir:

Con el fin de tener un sistema cons i s t e n t e

de unida d e s , las r.p.m. se t r a n s f o r m a r á n en

r a d S " 1 , c omo s i g u e :

ó = (2.tt.30)/60 = 3.14 rad S ' 1

D e r i v a n d o la ecuación (1). se tiene que la

v e l o c i d a d de C (d) es:

d = - b a (e sen a + f eos a) / d

Sustituyendo v a lores en la e c uación anterior,

nos da

d = - 2 ,506.3,14 (0 ,768 sen 31,42° ♦ 0,515 eos 31.42^/4,236

° “ 1 d = - 1 ,543 mS

o sea

V c = d = - 1 ,54 3 k

P ara d e t e r m i n a r la v e l o c i d a d angular de la

b a r r a BC, se d i s pone de la ecuación

Por tanto, p r i m e r o se de t e r m i n a n los valo­

res siguientes:

C = 0 768 - 2,506 eos 31,42° = - 1,375 x

C = - 0,515 - 2,506 sen 31-42° = - 1,821

C = 4,286

C 2 = C 2 + C 2 + C 2 = 23,581

r = C Í + C j + C kC/B x - y L z -

rr ,c = - 1 ,375 i - 1 ,821 i + 4 , 286 kC / D

V = b a (- sen a i + cosa]) = 2.506.3,14 (-sen 31,42° B

+ eos 31,42° j_)

V = - 4,104 i + 6 , 7 1 8 1 B

(VC ' V = ? C/B = 4,104 - ' 6 ,718 ^ ’ 1 ,543 -

Sustit u y e n d o los v a l ores e n c o ntrados en la

ec u a c i ó n (2) , se obtiene que la v e l o c i d a d a n ­

gular de la barra BC es:

W = 6,508 i_ + 3,185 j_ + 3,441 k

y su módulo

W = 8,021 rad S 1

.8 . La m a n i v e l a DC gira a lrededor del eje h o r i z o n ­

tal con una v e l o c i d a d angular W 1 = 12 rad S

(-i) que es const a n t e d u r ante un intervalo cor­

to del m o v i m i e n t o en el que está c o m p r e n d i d a la

p o s i c i ó n mostrada. El v a stago BC tiene r ó t u ­

las en sus extremos que c o nectan la m a n i v e l a AB

con DC. D e t e r m i n a r en m a g n i t u d y sentido, la

v e l o c i d a d :

Ia. A n g u l a r W, de la man i v e l a AB

b. A n g u l a r ¥ del eje del vástago BC_

S o l u c i ó n :

Fiqura 5.8 D E T E R M I N A C I O N DE E -QCiDADE S A N G U L A R E S

nerales del c u a d r i l á t e r o espacial p ara la d e ­

term i n a c i ó n de las incógnitas del p r o b l e m a . s e

m u e s t r a en la figura de arriba el m o d e l o a usar.

Deno t a n d o a:

AO = a ; BA = b ; CB = c ; DC = d ; ED = e ; AE = f

5 = ángulo entre eje impulsor (OA) y eje i m p u l ­

sado (ED) (5 = 9 O °")

9 = ángulo girado por AB r especto al eje x (0 = O

0 = ángulo que forma DC con el eje Z (0 = 0 o)

La e c u a c i ó n general del c u a d r i l á t e r o espa-

¡tuido los v a l ores de t, 9 y 0,

O b s e r v a n d o que 9 = W-, y í = W,, la ec u a c i ó n para

c a l c u l a r la v elocidad angular de la m a n i v e l a AB

es :

tí = tí1 d (f sen 0 - b sen 0 eos 9 + b sen 9 eos 0 eos 5

- a sen £ eos 0 )/ b (d sen 9 eos 0 + f s e n G

- d eos 9 sen 0 eos £ - e sen £ eos 9)

Su s t i t u y e n d o los valores conocidos, resulta que. .

W 2 = (6.0,04)(0,04 sen 90° Cos 0°)/(0,04 sen 90 eos 0°) = 6 radS

Por tanto, la v e l o c i d a d angular de la m a n i v e l a AB

es :

W 2 = - 6 k

P ara de t e r m i n a r la velo c i d a d a n g ular de la

b i e l a BC, se usará la e c uación siguiente:

he ■ * tbc> ' e

A c o n t i n u a c i ó n se calculan los siguientes velo-

res :

V = -9 k x (b cos 9 i - b sen 0 i) = -b 9 cos 9 j_ = - 0,12 j_B

Vc = - 0 X (-d cos 0 k - d sen 9 i) •= - d 0 cos 9i = - 0,24 i

(Vc -Vb 3 = - 0,24 i + 0,12 i

Las c o o r d e n a d a s de los puntos B y C son.

B (0,02; 0; 0,04) Y C (0,04; 0,04, 0)

Por tanto, el vec t o r r„c es:

Determinar la velocidad angular del eslabón RS,

si el eslabón LS gira a 30 rpm [ K ) . Tome OP -

0 2 m; PR = O . 1 LS = 0 ,06 m ’ ML ” ° ’ 3 m ’ MO = 0,12 m; a = 60°; 9 = 30” y M 60». El

eslabón OP se encuentra en el plano YZ .

S o l ución:

Rec o r r i e n d o v e c t orialmente, el circuito

OP R S L M O se obtiene la ecuación:

i X;

Figuro 5.9 DETERMINACION DE VELOCIDAD ANGULAR

(P^O) + (R-T) + (S-TT) + (L^S) + (ÑFT) + (0-W) = 0 (1)

Si se d e n o t e n los m ó d ulos de los vec t o r e s de

la forma siguiente:

PO = a ; RP = b ; SR = c ; LS = d ; ML = e y O M = f

Se tiene que:

(P-O) = a Cos a k + a sen a j_

(S^R) = C x i + Cy í + C z -

(L-S) = -d cos 0 i - d sen 0 j_

(M-L) = - e k

(O-M) = - f i

Res p e c t o al v e c t o r (R-P) sus componentes son:

(R-P) = b cos 9 i + b sen 9 u

Para e n c o n t r a r el versor u, de acuerdo al

gráfico de abajo, se obtiene que: y / \

_ R \u = cos a j_ - sen a k \

\ ej xS u s t i t u y e n d o el v e r s o r u, r e s ulta

N P

(R-P) = b cos 9 ^ + b sen 9 c o s a j_ - b sen 9 s e n a k

Su s t i t u y e n d o los valores encontrados en la

e c u a c i ó n (1) da:

a cos a k + a sen a j_ + b cos 9 i_ + b sen 9 cos a j_- b sen 9 sen a k

+ C i + C i + C k - d cos 0 i - d sen 0 i - e k - f i = 0 x — y — z — - — — —

De ahi sur g e n las ecuaciones escalares s i g u i e n ­

tes :

331

j> 3

A c o n t i n u a c i ó n se c a l c u l a n los v a l ores n e c e ­

sarios p a r a aplicar la ec u a c i ó n (4):

C = f + d eos 0 - b eos 9 = 0,12 +0,06 eos 60o- 0,1 eos 30° = 0,0634 • x

f = d sen 0 - a sen a - b sen 9 eos a = 0 ,06 sen 60o- 0,2 sen 60 o- v

- 0,1 sen 30° eos 60°

Cy - -0,1462

C7 = e - a eos a + b s e n Q sen a = 0,3 - 0,2 eos 60°+ 0,1 sen 30°

sen 60° =

Cz = 0,2433

C2 = C2 + C2 + el = 0,0846 (m2) x y z

C = 0,0634 i - 0,1462 j_ + 0,2433 k (m)

v„ 9 r a D x ( F r )- j

VD = 9 (eos a k + sen a j_) x (b eos 9 i_ + b sen 9 eos a j_ - R

b sen 9 sen a k)

V = b 9 (- sen 9 i + eos 9 cosaj_ - sen a eos 9 k)R

V = - 0,0435 i + 0,0377 j_ - 0,0652 k

Vs = 0 k x CS1!) = 0 k x (d eos 0 i + d sen 0 j)

Vg = d 0 feos 0 j_ - sen 0 1) = 0,0942 j_ - 0,1632 i_

(V„-Vn) = -0,1197 i + 0,0565 j_ + 0,0652 k (mS 1)S R

S u s t i t u y e n d o los v a lores e n c o n t r a d o s en la

ec u a c i ó n (4), resulta que:

j k0,1462 0,2433

0,0565 0,0652 !

4

0,0634.0,0652/0,0846) + k (0,0634.0,0565 - 0,1462.0,1197/0,0846)

W = - 0,2752 i - 0,3931 i + 0,1645 k

El m ó d u l o de la v e l o c i d a d a n gular de la bi e l a

(S-"R) es:

W = 0,5073 rad S 1

La biela G, G, de el mecan i s m o m o s t r a d o está uni­

da a los eslab o n e s B y a la m a n i v e l a R G 2 por m e ­

dio de rótulas. El eslabón B de s c r i b e una t r a ­

y e c t o r i a r e c t i l í n e a sobre PL y la m a n i v e l a R G 2 gira a 30 rp m alred e d o r del eje Z. Determinar,

p a r a el instante representado, la v e l o c i d a d de

el e s l abón B y la v e l o c i d a d a n g ular del e s l abón

G ? Gj. Se conoce lo siguiente:

- L o ngitud de los eslabones: R G 2 - AL - 0,12 m,

RA = 0,20 y AS = 0,30 m.

- P o sición r elativa de los eslabones: a = 60

y 9 = 30°. .

S o l u c i ó n :

Si se den o t a los módulos de los vectores de

la forma siguiente:

RG, = b; G 2 Gj = c; G,L = e ; LA = a y AR = f

R e c o rriendo v e c t orialmente, el circuito RG^Gj

se obtiene la siguiente ecuación:

( G ^ A ) + ( G ^ G 2) + (L^G3) + (A-fJ + (ÍTÁ) = O (1)

335

d o n d e :

(g -A) - b eos 0 i + b sen 9 j_

Figura 5.IO DETERMINACION DE VELOCIDADES

( G ^ Ü 2) - cx i •+ C y i + c z k

(L - G,) = -e sen a j_ - e eos a k

(ÁTT) = - a k

(R^A) = - £ i

Al sustituir en la e c u a c i ó n (T), r e s u l t a

b eos 9 i + b sen 9 i + Cx i + Cy i + Cz l -e sen o i

-e eos a k ■ a k - f i = 0

^ 1 a c p n i a c i O U S S e S C 3 . l 3 . T 6 S s iDe 3quí surgen las e c u a c i u u ^

g u i e n t e s ;

b eos 9 + C x - f " ®

b sen 9 + Cy - e sen a = 0

C - e eos a - a = 0

Despejando las componentes de (G3-G2) y

elevando al cuadrado

c 2 = f 2 - 2 b £ eos 9 + b 2 eos 9

X . 2 2 nr 2 = e 2 s e n 2 a - 2 b e sen 9 sen a + b sen 9y

o 2 2c 2 = a 2 + 2 a e eos a + e eos a z

Sumando miembro a miembro estas tres ecua­

ciones y reduciendo términos semejantes

2 + fe2 + e2 + f2 _ 2 b f eos 9 - 2 b sen 9 sen a + 2 ae eos a

Derivando la eeuacián anterior, se tiene que la velocidadO

de B Ce) es:

b 9 (e eos 6 seno- £ sen 9)/(e - b sen 9 sen a ♦ a eos a)

de la e c u a c i ó n p a r a c a lcular la v e l o c i d a d de B

es n e c e s a r i o d e t e rminar el valor de e, pero si

se observa el gráfico se tiene que AS es la p r o

y e c e i ó n de e sobre el eje Y, por tanto:

e = AS / Sen a = 0 ,30/sen 60» = 0,35 m

T a m b i é n :

9 = (2 .n . 3 0 ) / 60 - 3,14 rad S 1

Sustituyendo los valores en la ecuación de

V , se tiene que:B 7

Para calcular la v e l o c i d a d angular del e s l abón

G 7Gj, se tiene la ecuación:

W = ^rG3/G2 x ^G3/G2^ 1 c2 (2)

Por tanto, se calcula lo siguiente:

C v = 0,2 - 0,12 eos 30° = 0,10

0^ = 0,35 sen 60° - 0,12 sen 30° = 0,24

C_ = 0,12 + 0,35 eos 60° = 0,30

C 2 = C 2 + C 2 + C 2 = (0,1 ) 2 + (0,24)2 + (0,3) 2 = 0,1576

rG3/G2 = ® í + + 0,3 k

OV G2 = 6 k x (G2-A) = 3,14 k x (0,12 eos 30° i + 0,12 sen 30° j) =

Vq2 = - 0,19 i_ + 0,33 j_

VG3 = VB = 0,17 *-cos 60° - + sen 60° D =- °>15 í + °>09 k

(VG3 -VG2) = 0,19 i - 0,18 i + 0,09 k

S u s t i t u y e n d o en (2), se tiene:

W = (0,1 i_ + 0,24 j_ + 0,3 k) x [0,19 i_ - 0 ,18 j_ + 0 ,09 k)/0,1576

y el vec t o r velocidad a n g u l a r es:

Sustit u y e n d o en la e c u a c i ó n (1) lo a n t e ­

rior, resulta

0,3 i - b eos 0 i_ - b sen 0 j + C i + C j +

Cz £ 'd sen a j_ + d eos a k - 0 ,45 k - 0 J j_ = 0

De chí surgen las ecuaci o n e s esca l a r e s s i g u i e n ­

tes :

0,3 - b eos 0 + Cx = 0

- b s e n S + C y - d s e n a - 0,1 = 0 C z + d eos a - 0,45 = 0

De s p e j a n d o las c o m ponentes de (B-A) y e l e ­

vando al cuadrado

Cx = 0 , 0 9 - 2.0,3 b eos 0 + b 2 e o s 2 0

2 2 2 2 2 C~ = b s e n“ 0 + d sen a + 0,01 + 2.0,1 b sen 0

2 .0,1 d sen a + 2 b d sen 0 sen a.

2

C z = 0,2025 - 2.0,45 d eos a + d 2 e o s 2 a

S u mando miembro a m i e m b r o estas tres e c u a c i o ­

nes y reduciendo términos semejantes.

De r i v a n d o respecto al tiempo „

0 = 0 , 6 b 0 sen 9 + 0,2 b 9 eos 9 + 0,2 d a c o s a

+ 2 b d 9 eos 9 sen a +2 b d a sen 0 eos a +O

0 , 9 d a sen a

, „ o _ v a = W , . al sust i t u i rSi se o b s e r v a que 9 - y a 3 »

los valores conocidos, resulta

1,943 sen 9 + 2,1265 eos 9 + 0,7323 = 0

Para de t e r m i n a r la m a g n i t u d de el ángulo 9,

se u t i l i z a r á el gráfico m o s t r a d o abajo.

donde

A = 1,943; B = 2,1265 y C = 0,7823

La e c u a c i ó n queda de la forma

A sen 9 + B eos 0 - ^

Di vi diendo _todos los términos de la ecuación

entre V a 2 * B 2 , se obtiene:

342

V A= W k x (-b eos 0 i - b sen 9 i)

V A= 1,5818 i_ + 2,5491 j_

= w 3 i x (d sen a - d eos a k)

V B= 0,4769 i + 0,7632 k

^ 3- v A ) = -i ,5818 i - 2,0722 i + 0 ,7632

¿VI susti t u i r los v a l ores encontrados en ^a

e c u a c i ó n nos da que la v e l o c i d a d angular de la

b a r r a A B e s :

W = 2 ,0506 i - 0 ,2941 i_ + 3,4510 k

y su m ó d u l o

W = 4,02 5 rad S 1

12. Para el m e c a n i s m o mostrado, d e t e r m i n a r la v e ­

locidad a n gular de la b a r r a OS. La barra RG

se e n c u e n t r a en el YZ y la barra GS en el e s ­

pacio. La barra RG es p e r p e n d i c u l a r a la b a ­

rra GS y forma un mismo cuerpo. La v elocidad

lineal de la corre d e r a P es de 0,17 mS ( - ¿ ) •

Se conoce que: RG = 0,1 m; GS = 0,04 m; DP -

0,05 m; PT = 0,08 m; T R = 0,04 m; 0 3°° Y

0 = 30 rpm (k) .

de lo cual se obtiene que las c o o r denadas del

punto 0 son:

X = 5 eos 0 + 4 o

Y = 8 + 5 sen 0 = e + 5 sen 0o

Para el punto S, se tiene:

(GTr) = 10 sen a j_ + 1° cos “ -

(S^ÍT) = 4 cos 0 i + 4 sen 9 u

Para encontrar el versor u, de acuerdo a

la figura S.12.b, se obtiene que:

u = cos a j_ - sen a k

Por tanto (S-G) es:

(STG) = 4 eos 0 i. + 4 sen 6 cos a i - 4 sen 9 sen a k

Siendo las coordenadas del punto S

X = 4 cos 9

Y = 1 0 sen a + 4 sen 9 cos a

l = 10 cos a - 4 sen 9 sen a s

Dadas las coordenadas de los puntos 5 y 0,

se calcula la longitud de la barra SO la

forma siguiente:

(SO) 2 = C2 = (Xs - x0) 2 + C W + (Zs loi

C2 = (4 cos 0 - & eos 0 " 4)2 + (10 sena+ 4 sen 0 eos a

- e - 5 sen 0]2+ (1° c o s a - 4 sen 9 sen a)

D e s a r r o l l a n d o las operaciones indicadas y

reduciendo términos semejante

Derivando respecto al tiempo y agru p a n d o té

minoso

9 (-40 sen 9 eos 0 - 3 2 sen 9 + 1 2 0 eos 9 sen 0 eos a +

+ 8 e eos 9 eos a) = 0 (40 sen 0 eos 9 - 4 0 sen 0 -

- 100 eos 0 sen a - 120 sen 9 eos 0 eos a + 10 e eos 0)O

+ e (2 e - 20 sena - 8 sen 9 eos a + 10 sen 0)

Sustituyendo valores en la ecuación y simplificando

se obtiene que:

9 = 2,27 0 + 0,14 = 2,27.3,14 + 0,14 = 7,27 rad S " 1

OUn a vez obtenido el valor de 9, se puede

c a l c u l a r la v e l o c i d a d lineal del punto S, en

la forma:

V s = 9 (G - R) x (S - G) / GR

Vg = 9 (-b sen 9 i + b eos 9 eos aj_- b eos 9 sen a k)

Vs = -0,2518 i + 0,0727 j_ - 0,1259 k (mS'1)

La veloc i d a d lineal del punto 0, se d e t e r ­

mi n a como sigue:

La v e l o c i d a d r e lativa del punto 0 respecto al

punto S es :

(y _v ) = 0,1733 i_ - 0,1 067 j_ + 0 , 1 255 k O ^

Para cal c u l a r el v e c t o r (ITS) se tiene que:

c = 0,04 eos e - 0,05 eos 0 - 0,04 = - 0,0633 (m)

C X= 0,1 s e n a + 0,04 sen 0 cosa - 0,0S - 0,05 sen 0=-0,0011 M

c = 0,1 cosa - 0,04 sen 9 sen a = 0,02 (m)

z = - 0,0633 d_ - 0,0011 i + 0,02 k

r2 = r2 + C2 + C2 = 0,0044081 O") u x y 2

La d e t e r m i n a c i ó n de la veloc i d a d angular

de la b a r r a OS, se r e aliza por medio de la

ecuación vecto r i a l

— - / 2W = (C x / C

Al s u s t i t u i r valores, resulta que:

W = 0,4527 i + 2,5942 ¿ + 1,5754 k

y su mód u l o

5.7. Preguntas y Problemas Propuestos.

5.13. ¿Cuál es la aplicación del concepto de barra

rígida en el análisis de me c a n i s m o s en tres

dimensiones?

5.14. Porqué en m e c a nismos en tres dim e n s i o n e s los

conceptos de barra r í g i d a y cuerpo rígido no

. son ci n e m á t i c a m e n t e equivalentes.

5.15. Cuales son los pa r á m e t r o s que deben c o n c e r s e

para determ i n a r el m o v i m i e n t o de una b a r r a

rígida.

5.16. Demostrar que la v e l o c i d a d angular de un a b a ­

rra rígida es normal a d i c h a barra.

5.17. Explique el c r iterio de Kutzbach.

5.18. Explique analí t i c a m e n t e la junta cardànica.

5.19. E x plique los c riterios p ara de t e r m i n a r si

un c u a d r i l á t e r o en el espacio es rotatorio-

o s c i l a t o r i o ; doble r o t a t o r i o y doble o s c i l a ­

t o r i o .

5.20. E x plique los c onceptos usa d o s para d e t e r m i ­

nar la aceleración lineal y angular de la

biela de un c u a d r i l á t e r o en el espacio.

-34

P ara el m e c a n i s m o mostrado, d e t e r m i n a r una e x ­

pr e s i ó n analítica para c alcular el v a l o r del

vec t o r G 7Gj ( a ) •

R, = R4 = Pores de Revolé'0

En el m e c a n i s m o m ostrado, la corredera se mueve

en la d i r e c c i ó n O X . En la po s i c i ó n m o s t r a d a las

dimensiones son: OA = 0,2 m; BA = 0,1 m y BC =

0,3 m. Si la v e l o c i d a d a n g u l a r de la m a n i v e l a

BA es de 40 rad/S (k) y 9 = 60°, de t e r m i n a r la

velo c i d a d lineal de la corredera.

(RESPUESTA: V c = - 4,3 m S " 1)

Y

Figura 5 . 2 5

D e t e rminar la velocidad del collar

loeidad angular del eslabón CR.

Figura 5 . 2 o

La narra AR mide 0,38 m. Su e x t remo A des

liza en el eje X y su extremo B d e s liza so

bre una recta de ecuación Z = 0,30, en el ni

no YZ . E ncuentre la p o sición y la v e l o c i d a d

de B, si XA = 0,12 m y = 0,7.5 m S ~1 (i i .

(RESPUESTA: VR = 0,20 m ; V fi = -0,-15 m S ' 1)

Z

Figura 5 .2 7

En el siguiente m e c a n i s m o se tiene que AB = OC =

0,12 m y BC = 0,24 m. Determinar: la posición

de las barras (forma v e c t o r i a l ) , la v e l o c i d a d li

neal de B y la v e l o c i d a d angular de la barra BC

cuando 9 (ángulo que forma AB con el eje Y) v a ­

le 30° y ^ = 0,1 iS 1 (5?) ■

(RESPUESTA: (CTO) = 12 j_; (B^U) = 6 i - 1,61 ¿

+ 23,18 k; (<TÓ) = 23,18 k; (B^A) = 10,59 i * 6 V B = 33,46 i - 19,33 j_ + 10 k; W g C = 0,75 i -

1 ,24 i - 0,11 k ) .

Z

//

//

y

* Figura 5 . 2 9

Figura 5 .3 0

.31. D e t e r m i n a r la v e l o c i d a d a n g u l a r del eslabón

S L , si para la pos i c i ó n m o s t r a d a se tiene

que :

- Las d i m e nsiones del m e c a n i s m o son: OM =

0,05 m; MN = 0,04 m; NS = 0,015 m; SL=0,095m;

LR = 0,03 m; RP = 0,1 m; RK = 0,06 m y

KO = 0,045 m.

- El eje de la ma n i v e l a NS se e n c u e n t r a en el

plano XY.

- El ángulo a = 60°

- La v e l o c i d a d angular de la m a n i v e l a LR es

de 20 rad S ' ( i ) .

(RESPUESTA: = 4,76 i + 2,07 j + 3,53 k]

Z

359

D e t e r m i n a r los grados de l i bertad de los m e ­

canismos mostrados.

ZI

5 6 5

38. La v a r illa AB de 0,07 m de lo n g i t u d está a r ­

ticulada al d i s c o po r medio de una rótula y

al collar B m e d i a n t e una horquilla. El d i s ­

co gira en el pl a n o YZ con el valor c o n s t a n ­

te de W 1 = 12 rad S 1 , mie n t r a s el collar pue­

de d e s p l a z a r s e l i b r emente a lo largo de la

varilla ho r i z o n t a l CD. Para la pos i c i ó n 0 =

0°, c a l c u l a r la v e l o c i d a d del collar.

Y

Figura 5 .3 8

Ns.

364

5.39. En el m e c a n i s m o mostrado, el e s l abón C^ A rota

en torno al eje Z a 40 rad S , encon t r a r la

v e l o c i d a d de los eslabones AB y O^B. Las d i ­

m e n s i o n e s c onocidas son: 0 ?A = 0,04 m; A B =

0,15 m y BO^ = 0,1 m.

Y

Figura 5.39