mecánica de fluidos problemas resueltos

Mecnica de FluidosProblemas resueltos

JOS M. LPEZ-HERRERA SNCHEZProfesor de la Escuela Superior de Ingenieros

de la Universidad de Sevilla

MIGUEL A. HERRADA GUTIRREZProfesor Titular de la Escuela Superior de Ingenieros


MIGUEL PREZ-SABORID SNCHEZ-PASTORProfesor Titular de la Escuela Superior de Ingenieros


ANTONIO BARRERO RIPOLLde la Real Academia de Ingeniera.

Catedrtico de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla

Mecnica de FluidosProblemas resueltos

~

SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS TOKIO TORONTOAUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI PARS

.MADRID BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MXICONUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTIAGO SAO PAULO

Mecnica de Fluidos. Problemas resueltos

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McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAA, S.A.U.Edificio Valrealty, 1 plantaBasauri, 1728023 Aravaca (Madrid)

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ISBN: 84-481-9889-1Depsito legal: M. 23.512-2005

Editor: Concepcin Fernndez MadridDiseo de cubierta: Luis SanzImpreso en Closas-Orcoyen, S. L.

IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN

DERECHOS RESERVADOS 2005, respecto a la primera edicin en espaol, por

Indice general

Prologo VI

1 Cinematica 1

2 Fluidostatica 19

3 Ecuaciones de conservacion en forma integral 53

4 Analisis dimensional y semejanza fsica 87

5 Movimientos de uidos con viscosidad dominante 113

6 Movimiento turbulento de lquidos en conductos 173

7 Dinamica de gases 219

Ejercicios propuestos 259

v

Prologo

En el ambito universitario los libros de problemas resueltos son en general poco apreciados por una parteamplia del profesorado aunque gozan de sobrada popularidad entre los estudiantes. Mientras estos consideranque los libros de problemas resueltos son un buen instrumento para la preparacion de examenes, la opinion deaquellos es que los problemas constituyen solo un medio para comprobar el nivel de conocimientos adquiridospor los alumnos, pero no un n del aprendizaje en s mismos, puesto que se corre el peligro de que el alumnose especialice en resolver problemas tipo, orillando los aspectos esenciales de la materia ensenada. Este peligrose acrecienta si, como sucede en la practica, la mayora de los libros de problemas disponibles poseen unacalidad discutible, con ejercicios y problemas excesivamente simples, o que son partes de otros mas complejoscuya dicultad se evita, y de los que es difcil obtener, por tanto, un conocimiento solido de los fundamentosy aplicaciones de la Mecanica de Fluidos.

En opinion de los autores es posible, sin embargo, conciliar la demanda por parte del alumnado de unacoleccion de problemas resueltos de Mecanica de Fluidos que permita al alumno tanto preparar ecazmentesus examenes, como adquirir por s mismo una formacion cientco-tecnica rigurosa que le capacite en suvida profesional para abordar con suciencia los problemas practicos que se le presenten. Con el mismoespritu del libro de texto Fundamentos y Aplicaciones de la Mecanica de Fluidos de A. Barrero y Perez-Saborid (McGraw-Hill, 2005), el presente libro, complemento del anterior, afronta en su complejidad losfenomenos que se analizan sin soslayar, naturalmente, las dicultades matematicas inherentes a la resolucionde problemas uidodinamicos reales. Se pretende ademas ensenar al alumno a solventar las dicultadesfsico matematicas con rigor y a la vez con un punto de vista practico, permitiendole usar y perfeccionarsus conocimientos fsicos y su destreza matematica, usualmente decientes por la falta de practica, al mismotiempo que los aplica al modelado y resolucion de problemas uidodinamicos de complejidad creciente. Porotra parte, aprovechando la capacidad y conocimientos informaticos que poseen los estudiantes de hoy da, sehan incluido tambien problemas cuyo tratamiento analtico conduce a una formulacion que debe resolversenumericamente.

Los ejercicios y problemas propuestos, mas de medio centenar, son fruto de la experiencia docente de losautores, que comenzo hace mas de una veintena de anos en la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de laUniversidad de Sevilla. Muchos de ellos, en una forma mas o menos acabada surgieron como problemas enlos examenes de Mecanica de Fluidos de la Escuela y son, por tanto, diferentes a los ejercicios clasicos queaparecen en los libros de texto y en las colecciones de problemas del area.

Los autores.

vi

CAPITULO 1

Cinematica

La consideracion de los uidos como medios continuos es de gran ecacia para la descripcion de susmovimientos. Como es sabido, los resultados de este modelo se aproximan a la realidad en situaciones enlas que el camino libre medio de las moleculas (en el caso de gases) o la distancia intermolecular (en el casode lquidos) son pequenos comparados con la longitud caracterstica del medio uido macroscopico que sequiere describir. En esta situacion, se puede suponer que en cada punto del dominio uido y centrada en elexiste una porcion uido o partcula uida, de tamano grande frente a la longitud microscopica (distanciaintermolecular o camino libre medio) como para contener un numero enorme de moleculas pero pequenocomparado con el tamano macroscopico del medio continuo. Por tanto, en cada punto del dominio uido yen cada instante de tiempo se pueden denir un conjunto de magnitudes medias como la masa por unidadde volumen o densidad, (x, t), de la partcula uida considerada, la cantidad de movimiento por unidad demasa o velocidad de su centro de masas, v(x, t), y la energa interna por unidad de masa, e(x, t), denidacomo toda otra energa de la partcula uida distinta de la energa cinetica por unidad de masa de su centrode masas. Resolver un problema uidomecanico consistira entonces en encontrar las funciones que describenla densidad, velocidad y energa interna en cada punto del dominio uido y en cada instante.

Supuesto conocido el campo de velocidades, el estudio y determinacion de algunas de las caractersticasrelevantes de los movimientos uidos como, por ejemplo, las trayectorias, lneas de corriente, trazas, etc., esel objeto de la cinematica.

Trayectorias

Las trayectorias de los puntos materiales se denen mediante el sistema de tres ecuaciones diferencialesno lineales, de primer orden

dxdt

= v(x, t) , (1.1)

que, junto con las tres condiciones iniciales x(to) = xo, proporcionan las trayectorias

x = xT (xo, to, t) . (1.2)

La expresion (1.2) da la posicion como funcion del tiempo o ley horaria de la partcula que en el instanteinicial to ocupaba la posicion xo.

Finalmente, resulta de interes expresar las ecuaciones de las trayectorias en los tres sistemas de referenciamas utilizados:en coordenadas cartesianas x = (x, y, z), v = (vx, vy, vz):

dx

dt= vx(x, t),

dy

dt= vy(x, t),

dz

dt= vz(x, t); (1.3)

en coordenadas cilndricas x = (r, , z), v = (vr, v, vz):

dr

dt= vr(x, t), r

d

dt= v(x, t),

dz

dt= vz(x, t); (1.4)

1

2 MECANICA DE FLUIDOS. PROBLEMAS RESUELTOS

nalmente, en coordenadas esfericas x = (r, , ), v = (vr, v, v):

dr

dt= vr(x, t) r sen

d

dt= v(x, t), r

d

dt= v(x, t). (1.5)

Observese que la senda denida como el lugar geometrico de las posiciones ocupadas por la partculauida en su movimiento se obtendra facilmente si se despejase el tiempo en una de las tres ecuaciones de (1.2)y el resultado se sustituyese en las otras dos. Se obtendra as una pareja de ecuaciones que representaranmatematicamente sendas supercies y cuya interseccion denira la senda de la partcula uida que en elinstante inicial to ocupaba la posicion xo.

Para jar las ideas anteriores considerese el movimiento bidimensional de un lquido cuyo campo develocidades es

vx(x, y, t) = Ay2 t2 exp[x

2 + y2

4 t

], segun el eje x ,

vy(x, y, t) =Ax

2 t2exp

[x

2 + y2

4 t

], segun el eje y , (1.6)

donde es la viscosidad cinematica del uido y A es una constante con dimensiones de area. En este caso,las trayectorias de las partculas vienen determinadas por las ecuaciones

dx

dt= Ay

2 t2exp

[x

2 + y2

4 t

]y

dy

dt=

Ax

2 t2exp

[x

2 + y2

4 t

]; (1.7)

si la primera de las ecuaciones de (1.7) se multiplica por x, la segunda por y y se suman, la integracion dela ecuacion resultante proporciona

x2(t) + y2(t) = R2 , (1.8)

donde la constante R2 = x2o + y2o es el cuadrado de la distancia al origen de la partcula que inicialmenteocupaba la posicion (xo, yo). Observese que la expresion (1.8), por no contener al tiempo, es la representacionmatematica de las sendas, que como se ve son circunferencias con centro en el origen a lo largo de las quese mueven las partculas uidas. El radio de las sendas viene denido por la posicion inicial de la partculauida cuya senda se quiere describir. Finalmente, para obtener las trayectorias se elimina la coordenada yen la primera de las ecuaciones (1.7) y la integracion de la ecuacion resultante proporciona

arctanx

R2 x2 arctanxo

R2 x2o=

2AR2

exp[x

2 + y2

4 t

], (1.9)

que junto a (1.8) y a R2 = x2o + y2o permiten calcular las componentes x(t) e y(t) de las trayectorias.Otra forma de comprobar que las sendas son circunferencias concentricas es mediante el calculo de las

componentes radial y circunferencial de la velocidad; es facil comprobar que la primera es identicamentenula mientras que la ultima, v, es constante sobre cada circunferencia y decrece con el tiempo

v =Ar

2t2exp

[ r

2

4 t

]con r =

x2 + y2 , (1.10)

de modo que las partculas que estan sobre una circunferencia dada poseen la misma velocidad en cadainstante. Del analisis del campo de velocidades (1.6) se observa que en el instante inicial la velocidad esnula en todas partes excepto en el origen donde esta indenida. Mas informacion acerca de la naturalezadel movimiento puede obtenerse calculando el momento angular M y la energa cinetica Ec, por unidad delongitud perpendicular al plano del movimiento

M = 2 o

v r2 dr = 8A

o

s es d s = 8A con s = r2/(4t) , (1.11)

Ec = 2 o

v22

r d r = A2

t2

o

s es/2 d s = A2

2 t2. (1.12)

CAPITULO 1. CINEMATICA 3

A medida que el tiempo crece, la velocidad circunferencial se va difundiendo hacia el exterior por la accion dela viscosidad pero el momento angular se mantiene constante e igual al valor que posea en el instante inicial,vease (1.11); por el contrario, la energa cinetica del movimiento se disipa debido al trabajo de disipacionde la viscosidad y tiende a cero cuando el tiempo aumenta como el momento angular se difunde y tiende acero para tiempos grandes como se muestra en (1.12).

Lneas de corriente

Contrariamente a las trayectorias, las lneas de corriente no tienen entidad fsica sino matematica. Sedenen como aquellas lneas que en un instante dado son tangentes en cada punto al vector velocidad.As que, estableciendo la proporcionalidad entre el vector tangente a la lnea y el vector velocidad se obtieneel sistema de dos ecuaciones diferenciales, de primer orden, no lineales que satisfacen las lneas de corriente.En coordenadas cartesianas estas ecuaciones son

dx

vx(x, t)=

dy

vy(x, t)=

dz

vz(x, t), (1.13)

en las que el tiempo juega el papel de un parametro. Para resolver el sistema (1.13) es necesario imponer doscondiciones iniciales; por ejemplo, si se toma z como variable independiente habra que especicar x(zo) = xoe y(zo) = yo.

Del mismo modo, las ecuaciones de las lneas de corriente en coordenadas cilndricas y esfericas sonrespectivamente:

dr

vr(x, t)=

r d

v(x, t)=

dz

vz(x, t)(1.14)

ydr

vr(x, t)=

r sen dv(x, t)

=r d

v(x, t). (1.15)

En el caso del campo de velocidades (1.6), las ecuaciones diferenciales (1.13), por tratarse de un movi-miento plano, vz = 0, se reducen a una unica ecuacion de la forma

dx

dy=

vyvx

= yx, (1.16)

cuya integracion proporcionax2 + y2 = R2 , (1.17)

resultado que muestra que las lneas de corriente son circunferencias concentricas que coinciden con las sendas.El lector puede comprobar facilmente que en el caso de movimientos estacionarios, lneas y sendas de corrientecoinciden pero no lo hacen, en general, cuando el movimiento es no estacionario, aunque excepcionalmentelo hagan en el campo de velocidades, dependiente del tiempo, aqu considerado.

Traza

Se llama as a la lnea sobre la que se situan las partculas uidas que en instantes anteriores al consideradopasaron por un punto determinado xo. Su utilidad radica en que si la difusion masica fuese pequena, la trazasera la lnea que formara un colorante, de densidad sensiblemente igual a la del uido cuyo movimiento sedesea visualizar, que se inyectase lentamente desde un punto jo del dominio uido. Para obtener su ecuacionhay que calcular la posicion de los puntos materiales que pasaron por el punto de referencia xo en diferentesinstantes t t

x = xT (xo, t, t) , (1.18)

y eliminar t entre las tres ecuaciones escalares (1.18). El lector puede comprobar facilmente que en el casodel campo de velocidades (1.6), las trazas son tambien circunferencias concentricas y coinciden, por tanto,con lneas de corriente y sendas.


Aceleracion

Al describir la cinematica de los cuerpos rgidos, la aceleracion se dena como la tasa de cambio de la velo-cidad respecto al tiempo. Sin embargo, en la descripcion euleriana de los cuerpos deformables, el concepto deaceleracion debe de ser revisado cuidadosamente. Para jar ideas considerese el movimiento estacionario deun lquido que uye por el conducto de seccion variable de la gura cuyo campo de velocidades v(x) esfuncion exclusiva de la posicion x. Aunque el campo de velocidades es independiente del tiempo es biensabido que el uido aumenta su velocidad, esto es, se acelera a medida que uye por secciones de menor area.

En efecto, en la descripcion euleriana del movimiento uido, cualquiera de las tres componentes del vectorvelocidad vi vara tanto por variar el tiempo como la posicion

dvi =vi t

d t+3

j=1

vixj

dxj . (1.19)

En general, x y t son independientes pero si se sigue el movimiento de las partculas uidas, la posicion deestas esta ligada al tiempo a traves de las trayectorias xT (t). De (1.19) se tiene que la aceleracion en notacionvectorial se escribe

a(x, t) =dvd t

=v t

+dxTd t

v = vt

+ v v . (1.20)A la derivada siguiendo a la partcula se la suele denominar derivada sustancial y se suele representarsimbolicamente como D/D t; se tiene as

a =DvDt

=vt

+ v v , (1.21)que muestra que la aceleracion es suma de una aceleracion local, debida a variaciones temporales del campode velocidad, mas una aceleracion convectiva, debida a variaciones espaciales de la velocidad, o lo que eslo mismo la partcula uida se acelera porque se traslada a zonas del dominio uido donde la velocidades menor. Naturalmente, cualquier otra propiedad fsica de las partculas uidas experimenta tambien unavariacion local y una convectiva asociada al movimiento y su representacion matematica es analoga a la dadaen (1.21).

En coordenadas cartesianas, las componentes de la aceleracion del uido segun los ejes x, y y z son

ax =vxt

+ vxvx x

+ vyvx y

+ vzvx z

,

ay =vyt

+ vxvy x

+ vyvy y

+ vzvz z

,

az =vzt

+ vxvz x

+ vyvz y

+ vzvz z

. (1.22)

Para el caso del campo de velocidades bidimensional dado por (1.6) se tiene

ax =[Ay

t3

(1 x

2 + y2

8t

) A

2x

42t4

]exp

[x

2 + y2

2 t

]

ay = [Ax

t3

(1 x

2 + y2

8t

)+

A2y

42t4

]exp

[x

2 + y2

2 t

]. (1.23)


innitesimales dx relativo a un punto jo x del dominio uido. Como puede seguirse en cualquier libro deMecanica de Fluidos,1 este campo de velocidades puede expresarse, en cada instante t como superposicionde un movimiento de deformacion pura dvd =

= (x, t) dx, mas uno de rotacion como solido rgido con

velocidad angular /2, dvr = [(x, t) dx]/2 siendo== 1/2(v+vT ) la parte simetrica del tensor v

y = v el vector vorticidad.En coordenadas cartesianas (ex, ey, ez) las seis componentes del tensor simetrico,

=, de velocidades de

deformacion vienen dadas por

xx =vxx

, yy =vyy

, zz =vzz

,

xy =12

(vxy

+vyx

), xz =

12

(vxz

+vzx

), yz =

12

(vyz

+vzy

); (1.28)

mientras que en coordenadas cilndricas (ex, er, e) y esfericas (er, e, e) son respectivamente

xx =vxx

, rr =vrr

, =1r

v

+vr

, xr =12

(vxr

+vrx

),

x =12

(1r

vx

+vx

), r =

12

(r

r

vr

+1r

vr

)(1.29)

y

rr =vrr

, =1r

v

, =1

r sen v

+vrr

+v cot

r,

r =12

(r

r

vr

+1r

vr

), r =

r

2

(1

r2 sen vr

+

r

vr

),

=sen 2 r

(

vsen2

+1

sen v

). (1.30)

Por tanto, la velocidad unitaria conque se deforma un elemento de longitud unidad y direccion n es= n y n = n es la velocidad unitaria de deformacion en la propia direccion del elemento. La suma de lasvelocidades de dilatacion lineal unitaria de tres elementos perpendiculares, por ejemplo los ejes coordenados,que coincide con la traza del tensor

=, proporciona la velocidad de dilatacion cubica unitaria o dilatacion que

experimenta la unidad de volumen de uido en la unidad de tiempo. El campo de velocidades de un uidoincompresible (lquido), que no experimenta dilataciones ni compresiones, no puede ser arbitrario, sino queen cada punto del dominio uido y en cada instante debe satisfacer la condicion

v = 0 , (1.31)

para garantizar la condicion de incompresibilidad. Compruebe el lector que el campo de velocidades (1.6) essolenoidal (de divergencia nula) y corresponde por tanto al movimiento de un lquido.

Para el caso del campo de velocidades del ejemplo considerado, el tensor de velocidades de deformacion= en coordenadas cartesianas, (ex,ey), viene dado por

==

A

42t3exp

[x

2 + y2

4t

](yx (y2 x2)/2

(y2 x2)/2 yx)

. (1.32)

1 Vease, por ejemplo, A. Barrero y M. Perez-Saborid, McGraw-Hill, Madrid, 2005.


Circulacion del vector velocidad

La circulacion del vector velocidad a lo largo de una lnea uida cerrada L cualquiera se dene en laforma

=L

v d l . (1.33)

Esta integral es particularmente util porque, bajo condiciones muy generales de validez, su valor se mantieneconstante a lo largo del movimiento (caso de movimiento de uidos ideales o lo que es lo mismo el movimientode gases y lquidos en los que el numero de Reynolds es muy grande). Naturalmente, ese no es el caso delcampo de velocidades denido en (1.10) que representa la difusion viscosa de un momento axial que seencuentra en el momento inicial concentrado en el origen; en efecto, la circulacion de la velocidad a lo largode una circunferencia material (formada por partculas uidas) de radio R es en este caso

(t) =

rv d = 2AR

2t2exp

[ R

2

4 t

].

Observese que, como indica el teorema de Stokes, si la curva L es reducible (es decir, si se puede reducira un punto de forma continua sin abandonar el dominio uido), la magnitud esta relacionada con el ujodel vector vorticidad = v a traves de una supercie cualquiera que se apoye sobre L

L

v d l =

n d . (1.34)


Problema 1.1

Se considera el movimiento plano de un lquido cuya velocidad en coordenadas cilndricas (r, ) vienedada por

vr(r, t) =A

r,

v(r, t) =B(1 + Ct)

r,

donde A, B y C son constantes con dimensiones apropiadas. Se pide:

1. Discutir el tipo de movimiento interpretando, desde el punto de vista fsico, las constantes A, By C.

2. Calcular las lneas de corriente; en particular la que pasa por el punto P de coordenadas (ro, 0).

3. Calcular las trayectorias y las sendas. Hacer aplicacion al calculo de la senda que recorre unapartcula fluida que en el instante inicial ocupa la posicion (r/ro = 1, = 0) en los casos (B/A = 4,Cr2o/A

2 = 0) y (B/A = 4, Cr2o/A2 = 0,4).

4. Determinar tambien la evolucion temporal de la lnea fluida cuya posicion inicial viene dada enforma parametrica por la ecuacion (1 /ro 2, = 0).

Resolucion:

Apartado 1.-

Por ser el campo de velocidades solenoidal

v = (r vr) r

+v

= 0 , (1)

este representa efectivamente el movimiento de un lquido. Por otra parte, este movimiento se puede consi-derar superposicion de otros dos mas simples, lo que es lcito por ser lineal la ecuacion que gobierna el campode velocidades. Las velocidades radiales son producidas por un manantial situado en el origen mientras quelas circunferenciales lo son por un torbellino situado tambien en el origen.

En efecto, si q es el caudal de lquido por unidad de longitud perpendicular al plano del movimiento quemana de un manantial bidimensional situado en el origen, la incompresibilidad del lquido exige que uya elmismo caudal a traves de cualquier circunferencia con centro en el origen;2 se tiene entonces

q = 2o

vrr d = 2 r vr , (2)

donde para obtener la ultima integral se ha hecho uso de la condicion de independencia con (simetra)del campo de velocidades del manantial. La velocidad generada por un manantial situado en el origen esentonces inversamente proporcional a la distancia al manantial y directamente proporcional al caudal quemana de el

vr =q

2 rA =

q

2; (3)

el ultimo resultado en (3) surge de la identicacion del campo de velocidades del manantial con la componenteradial del enunciado y muestra que este ultimo se corresponde efectivamente al de un manantial.

2 En problemas bidimensionales se emplean letras minusculas para representar magnitudes por unidad de longitud


Analogamente, si representa la circulacion del vector velocidad a lo largo de una lnea cerrada cualquiera(notese que en ausencia de movimiento radial las lneas uidas son circunferencias concentricas) se tiene

=

v dl = 2o

vr d = 2 r v , (4)

donde se ha hecho uso de la simetra para calcular la ultima de las integrales en (4). La comparacion de(4) con la velocidad circunferencial del enunciado muestra que esta corresponde al campo de velocidadesgenerado por un torbellino situado en el origen con circulacion = 2 B(1 + C t).

Apartado 2.-

Teniendo en cuenta que es un movimiento plano vz = 0, la ecuacion (1.14) de las lneas de corriente se reduce a

dr

vr=

r d

v, (5)

odr

r=

A

B(1 + Ct)d , (6)

si se particulariza para el campo de velocidades del enunciado. Integrando (6) se obtienen las lneas decorriente, que tienen la forma de espirales logartmicas,

r = ro exp[

A

B(1 + Ct)( o)

]r = ro exp

[A

B(1 + Ct)

]; (7)

notese que en la integracion de (6), el tiempo juega el papel de un parametro. El ultimo resultado en (7) esla ecuacion de las lneas de corriente que en cada instante pasan por el punto(ro, 0).

Apartado 3.-

Las trayectorias de las partculas, teniendo en cuenta (1.4), vienen determinada por las ecuaciones

dr

dt=

A

r, (8)

rd

dt=

B(1 + Ct)r

. (9)

Puesto que (8) y (9) estan desacopladas, la integracion de (8) con la condicion inicial r(t = 0) = roproporciona

r2 = r2o + 2At . (10)

Sustituyendo (10) en (9) la integracion de esta ultima ecuacion con la condicion (t = 0) = o proporciona

o = B[C t

2A+

2A C r2o4A2

lnr2o + 2At

r2o

]. (11)

Por ultimo, la ecuacion de las sendas se obtiene eliminando el tiempo t en una de las dos ecuaciones (10)y (11)

(r) = o +(B

A BCr

2o

2A2

)ln(

r

ro

)+

BCr2o4A2

(r2

r2o 1

). (12)

Observese que en el caso particular de movimiento estacionario (C=0), (12) y (7) se reducen a la mismaecuacion indicando que lneas de corriente y sendas coinciden en ese caso.


En la gura se representan las sendas seguidas por dos partculas uidas que parten en distintos instantes dela misma posicion inicial. La curva de la izquierda corresponde al caso Cr2o/A

2 = 0 mientras que la derechacorresponde a Cr2o/A

2 = 0,4. Observese que el caso estacionario, C = 0, corresponde a un movimiento espiraldonde el paso de la espiral, denido como v/vr, es B/A = 4. Observese tambien que para valores positi-vos de C, C = 0, el paso de la espiral aumenta con el tiempo como se puede observar en la gura de la derecha.

Apartado 4.-

En la gura siguiente se ha representado la evolucion con el tiempo de una lnea uida que como es sabidoes una lnea formada por partculas uidas. En este caso se han considerado las partculas uidas que enel instante inicial estan situadas sobre la lnea = 0 y cuyas posiciones sobre la lnea vienen denidaspor el parametro dimensional , tal que 1 /ro 2. Las trayectorias de cada una de las partculas sepueden calcular a partir de (10) y (11), eliminando entre ellas la posicion inicial; se obtiene entonces laecuacion de la lnea uida considerada

= B[C t

2A+

2A C r2o4A2

lnr2

r2 2At], (13)

cuya evolucion para diferentes tiempos se representa en la gura. Observese que las partculas uidas (partcu-las materiales) que inicialmente forman una lnea siguen formando parte de ella a lo largo del movimientouido. Debido a la continuidad, la lnea uida se deforma en su evolucion temporal pero mantiene su iden-tidad de lnea durante el movimiento.


Problema 1.2

Un lquido, de densidad y viscosidad , contenido entre dos cilindros coaxiales, infinitamente largos, deradios R1 y R2,(R1 < R2) se mueve estacionariamente debido al giro de los dos cilindros alrededor de sueje con velocidades angulares 1 y 2 constantes. El campo de velocidades del lquido es unidireccionaly de valor

v = Ar +B

ry vr = 0 ,

donde las constantes dimensionales A y B son,

A =(1 R21 2 R22

R21 R22

)y B =

(1 2

R21 R22

).

Se pide:

1. Direcciones principales de deformacion y velocidades de dilatacion lineal unitarias.

2. Velocidad de dilatacion cubica unitaria. Evolucion temporal de la lnea fluida que en el instanteinicial ocupa la posicion o = 0. Hacer aplicacion al caso R2 = 2R1, A = 1 y B = 101R21.

3. En el caso de que el espesor de la capa de lquido R2 R1 sea pequeno frente al radio de loscilindros, R2 R1 R1, simplificar la expresion del campo de velocidades. Con que movimientounidireccional se puede identificar el campo de velocidades simplificado?

Resolucion:

Apartado 1.-

El lector puede comprobar facilmente que las lneas de corriente son circunferencias concentricas. El tensor= en coordenadas polares (er, e), vease (1.29), viene dado por

==

vrr

r

2

r

(vr

)+

12r

vr

r

2

r

(vr

)+

12r

vr

1r

v

+vrr

, (1)

que en este caso se reduce a

= (r) =

0 Br2

Br2

0

, (2)

Las direcciones principales n y las velocidades de dilatacion lineal unitarias vienen dadas por= n n = 0 , det (= =I ) = 0 , (3)

donde=

I es el tensor unidad; teniendo en cuenta (2) y (3) se obtienen las velocidades de dilatacion unitarias

2 (A B

r2

)2= 0 1(r) = B

r2, y 2(r) =

B

r2, (4)


y las direcciones principales, de componentes n1 = (cos 1, sen 1) y n2 = (cos 2, sen 2), 0

B

r2

Br2

0

( cos 1sen 1

)= 1(r)

(cos 1sen 1

)(5)

0

B

r2

Br2

0

( cos 2sen 2

)= 2(r)

(cos 2sen 2

), (6)

cuyas soluciones 1 = 45o y 2 = 45o proporcionan

n1 =

1/2 er +

1/2 e y n2 =

1/2 er

1/2 e . (7)

Apartado 2.-

Observese, de (4), que 1 + 2 = 0; igualdad que reeja que el volumen uido no cambia su valor a lo largodel movimiento, lo que indica que el uido es incompresible. Observese que la traza de es la divergencia delvector velocidad, que para este movimiento es identicamente nula en cualquier punto del dominio uidopuesto que el uido es incompresible

v = vrr

+vrr

+1r

v

= 0 . (8)

La ecuacion de la lnea uida que en el instante inicial estan situadas sobre la lnea = 0) y cuyasposiciones sobre la lnea vienen denidas por el parametro dimensional , tal que 1 /R1 2 se determinaa partir de las trayectorias

rd

dt= v

dr

dt= vr = 0

o =

(A+B/r2o

)t y r = ro , (9)

por tanto, la ecuacion de evolucion de la lnea uida es

(t, ) =[A+B

1r2()

]t, y r() = (10)

cuya evolucion para diferentes tiempos se representa en la gura para el caso R2 = 2R1, A = 1 y B =101R21; las distancias se han adimensionalizado utilizando el radio del cilindro interior R1.


Apartado 3.-

En el caso en que R2 R1 R1 es conveniente substituir como variable espacial r por r = R1 + y siendoy h = R2 R1 R1 R2. En efecto, el campo de velocidades en la nueva variable y es

v(y) = A(R1 + y) +B

R1 + y= AR1 +

R1B

+(A B

R21

)y + ... (11)

en la cual se ha aproximado 1/r por

1r=

1R1 + y

=1R1

(1 y

R1+ ...

). (12)

Si se tiene en cuenta que

AR1 +R1B

= v|r=R1 = 1R1 (13)y que

A BR21

=1 2 R22/R21

1R22/R21 1 2

1R21/R22= (1 2)1 +R

22/R

21

1R22/R21=

(2 1)R1h

+O(1) + ..., (14)

donde para obtener el resultado anterior se ha realizado la aproximacion

R22R21

=(R1 + h)2

R21= 1 + 2

h

R1+ ...; (15)

el campo de velocidades resulta nalmente

v(y) = 1R1 + (2 1)R1 yh. (16)

Observese que las lneas de corriente del movimiento bidimensional son ahora rectas paralelas al eje xen un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, [ex = e(R1), ey = er(R1)] con origen en y = 0(r = R1); la razon es que el radio de curvatura de las lneas de corriente es tan grande comparado conel espesor de la pelcula lquida h/R1 1, que en primera aproximacion (radio de curvatura innito) laslneas de corriente circulares se convierten en rectas. Este movimiento corresponde al de un lquido entredos placas paralelas cuyo movimiento es debido al movimiento relativo de una de las placas respecto a laotra, paralelamente a si misma. Este movimiento bidimensional es conocido como movimiento de Couettey esta generado por dos placas planas paralelas, separadas una distancia h, que se mueven con velocidades1R1 y 2R1. Notese que en ejes ligados a la placa de velocidad 1R1, el campo de velocidades (16) seexpresa en la forma

vx(y) = (2 1)R1 yh, (17)

que corresponde al movimiento estacionario del lquido inducido por el movimiento de una placa con velocidad(2 1)R1 respecto a la otra que esta separada una distancia h.

En la gura se ha representado la evolucion temporal de una lnea uida que en el instante inicial fueseperpendicular a las placas. Comparese esta evolucion con la mostrada en la gura anterior.


Problema 1.3

Se considera el movimiento plano de un lquido generado por la superposicion de una corriente enel infinito, uniforme y de valor U, un manantial situado en el punto (a, 0), de intensidad q1 porunidad de longitud perpendicular al plano del movimiento, y un sumidero situado en el punto (a, 0)de intensidad q2. El campo de velocidades resultante, en coordenadas cartesianas, es

vx(x, y, t) = U +q12

x+ a(x+ a)2 + y2

q22

x a(x a)2 + y2

vy(x, y, t) =q12

y

(x+ a)2 + y2 q2

2y

(x a)2 + y2 .

Se pide:

1. Calcular los puntos de remanso.

2. Calcular la ecuacion de las lneas de corriente.

3. Dibujar las lneas de corriente divisorias en los casos siguientes: q1 = q2 = q y q2 < q1.

4. Idem para el caso en que el sumidero este situado delante del manantial y ambos posean la mismaintensidad; dibujar las lneas de corriente en los casos: q < Ua, q = Ua y q > Ua.

5. Calcular el campo de velocidades correspondiente a un manantial tridimensional del que emanaun caudal Q. Flujo resultante de la superposicion de una corriente uniforme y un manantialtridimensional.

Resolucion:

Apartado 1.-

Los puntos de remanso son aquellos donde la velocidad se anula vx = vy = 0. La componente de la velocidadsegun el eje y de las partculas uidas que estan sobre el eje y = 0 es nula. Si entre los puntos y = 0 sebuscan aquellos en los que la velocidad segun el eje x es tambien nula se obtiene la ecuacion algebrica, desegundo grado, que proporciona la posicion, xR, de los puntos de remanso

U +q12

1xR + a

q22

1xR a = 0 ,

cuya solucion es

xR =12[(q1 q2)

(q1 q2)2 + 4(1 + q1 + q2)] , (1)

donde xR = xR/a, q1 = q1/(2Ua) y q2 = q2/(2Ua).

Apartado 2.-

Las lneas de corriente se obtienen a partir de la ecuacion (1.13) que particularizada para el campo develocidades del enunciado resulta[

U +q12

x+ a(x+ a)2 + y2

q22

x a(x a)2 + y2

]dy =

[q12

y

(x+ a)2 + y2 q2

2y

(x a)2 + y2]dx .

La ecuacion anterior puede escribirse en la forma

U dy +q12

d[y/(x+ a)]1 + [y/(x+ a)]2

q22

d[y/(x a)]1 + [y/(x a)]2 = 0 ,


que integrada proporciona la ecuacion de las lneas de corriente

Uy +q12

arctany

x+ a q2

2arctan

y

x a = C ; (2)

para cada uno de los valores de la constante de integracion C se obtiene una lnea de corriente.

Apartado 3.-

Para el caso en que los gastos del sumidero y del manantial sean iguales, q1 = q2 = q, los puntos de remansoestan situados en, vease (1),

xR =

1 + 2q con q = q/(2Ua) ,

y la ecuacion para las lneas de corriente, vease (2), es

Uy +q

2arctan

y

x+ a q

2arctan

y

x a = C ;

la evaluacion de la ecuacion anterior en (x , y 0+) proporciona C = 0 y la ecuacion de la lneade corriente divisoria (la que pasa por los puntos de remanso) se representa junto con alguna otra lnea decorriente en la gura adjunta. Observese que en este caso se obtiene una lnea de corriente cerrada (ovalode Ranquine) y el procedimiento aqu descrito de superposicion de manantiales y sumideros con gasto totalnulo, aunque un poco mas elaborado, es una tecnica valida para la representacion de ujos de uidos idealesalrededor de obstaculos simetricos. En la gura se representa las lneas de corriente del campo resultante dela superposicion de una corriente uniforme y un manantial y un sumidero de la misma intensidad para elcaso q = 4Ua; en el dibujo se ha omitido, por ser simetrica, la parte correspondiente al semiplano (y < 0).

5 0 50

1

2

3

x

y/a

Para el caso q1 < q2 las dos lneas de corriente divisorias se obtienen para los valores de C, C = (q1q2)/2para la que pasa por el punto de remanso delantero

Uy +q12

arctany

x+ a q2

2arctan

y

x a =q1 q2

2,

y C = 0 para la que pasa por el punto de remanso posterior

Uy +q12

arctany

x+ a q2

2arctan

y

x a = 0 .

Observese que la lnea de corriente que pasa por el punto de remanso delantero presenta una asntota enx de valor ya = (q1 q2)/(2U). Conviene indicar que al mismo resultado se puede llegar medianteargumentos fsicos; en efecto, en virtud de la incompresibilidad de lquido, el caudal emitido por el manantialque llega al innito con velocidad U es (q1 q2) = 2yaU.

En la gura siguiente se representan las lneas de corriente resultantes de la superposicion de una corrienteuniforme, un manantial q1 y un sumidero de menor intensidad q2. Se ha representado el caso q1 = 4Ua yq2 = 3Ua.


5 0 50

1

2

3

4

5

x/a

y/a

Es facil comprobar nalmente que en ausencia de sumidero, q2 = 0, hay un unico punto de remansosituado, delante del manantial, a una distancia del origen

xR = q1 1

y la ecuacion de la lnea de corriente divisoria es

Uy +q12

arctany

x+ a=

q12

.

Observese que en x + la lnea de corriente divisoria presenta una asntota de valor ya = q1/(2U);como en el caso anterior su valor puede obtenerse tambien mediante la condicion de conservacion de la masa.

En el caso en que el sumidero estuviese situado delante del manantial la situacion es distinta a laanteriormente analizada. Si, por ejemplo, los gastos de manantial y sumidero fuesen iguales q1 = q2 = q,la posicion de los puntos de remanso se obtienen a partir de las ecuaciones

U +q

2

[ xR + a

(xR + a)2 + y2R+

xR a(xR a)2 + y2R

]= 0

y

yR(xR + a)2 + y2R

+yR

(xR a)2 + y2R= 0 .

Las soluciones del sistema anterior estan sobre el eje y = 0 y

xRa

= [1 q

aU

]1/2si q aU

mientras que estan sobre el eje x = 0 con

yRa

= [

q

aU 1

]1/2si q > aU .

Para el primer caso, q < aU, las ecuaciones para cada una de las dos lneas de corriente divisoriasadoptan la misma expresion

Uy q2[arctan

y

x+ a arctan y

x a]= q/2 ;

en la gura siguiente se representa las lneas de corriente divisorias para el caso q = aU/2.


5 0 50

1

2

3

4

5

x/a

y/a

A medida que aumentan los gastos del manantial y del sumidero, los puntos de remanso se aproximanal origen, en el que se situan cuando q = aU. En este caso un esquema del ujo se representa en la gurasiguiente.

5 0 50

1

2

3

4

5

x/a

y/a

Finalmente, cuando q > aU, los puntos de remanso se situan sobre el eje imaginario y la ecuacion dela lnea de corriente que pasa por el punto de remanso situado en la parte positiva del eje de ordenadas es

Uy q2[arctan

y

x+ a arctan y

x a]= UyR q2

[2 arctan

yRa

];

la representacion del ujo para el caso q = 4aU se da en la gura situada debajo.

5 0 50

1

2

3

4

5

x/a

y/a

Apartado 4.-

El ujo de masa a traves de cualquier supercie esferica con centro en el manantial es

Q = o

2o

vrr sen d r d


y como vr es uniforme sobre cualquier supercie esferica, se tiene

vr =Q

4r2, v = 0 , v = 0 con r =

(x xo)2 + (y yo)2 + (z zo)2 ;

naturalmente si Q es negativo se tiene un sumidero en lugar del manantial.Si el manantial se supone situado en el origen (xo = yo = zo = 0), el campo de velocidades resultante de

la superposicion del manantial y de una corriente uniforme paralela al eje x es

vx = U +Q

4r2x

r, vs =

Q

4r2s

r, con s =

y2 + z2 .

Los puntos de remanso, en este caso uno, estan situados sobre el eje s = 0, a una distancia del origen

xR = [

Q

4U

]1/2.

Estableciendo el paralelismo entre el vector velocidad y el vector tangente a la supercie de corriente seobtiene la ecuacion que proporciona estas

dx

U + (Qx)/(4r3)=

ds

(Qs)/(4r3);

esta ecuacion tras alguna manipulacion algebrica se puede escribir en la forma

Us ds+Q

4d(x/s)

[1 + (x/s)2]3/2= 0 ;

la integracion de la ecuacion anterior es inmediata y proporciona

Us2

2+

Q

4x

x2 + s2= C .

La constante C de la supercie de corriente que pasa por el punto de remanso es C = Q/4 y su representacionen un plano meridiano se da en la gura adjunta para el caso Q = 4U.

Observese que en x la supercie de corriente presenta una asntota de valor sa = [Q/(U)]1/2. Elresultado anterior se obtiene tambien facilmente sin mas que invocar el principio de conservacion de la masa.

CAPITULO 2

Fluidostatica

Las fuerzas que actuan sobre una porcion ma-croscopica de uido pueden clasicarse en fuerzasde volumen y fuerzas de supercie. Las fuerzas desupercie, que ocurren a traves de cualquier su-percie que separe dos porciones macroscopicas deuido, tienen su origen en el movimiento de agita-cion molecular y en la interaccion entre las molecu-las situadas a ambos lados de la supercie. Sobreun elemento de supercie d de orientacion n cen-trado en el punto x y en un instante t estos efectosdan lugar a una fuerza diferencial macroscopicadenida por dFs = fs(x, t,n) d, donde fs es elvector fuerza por unidad de supercie o esfuerzo.

Los esfuerzos vienen dado por la relacion

fs(x, t,n) = n (x, t) = n (p I+ ) ; (2.1)

donde es el tensor de esfuerzos que consta del termino p(x, t)I, donde I es el tensor unitario y p(x, t) esla presion a la que se anade la contribucion debida a los esfuerzos asociados a la deformacion del uido, oesfuerzos de viscosidad ; dichos esfuerzos estan caracterizados por el tensor de esfuerzos de viscosidad , .1

En el caso de que el uido este en reposo, los esfuerzos de viscosidad son nulos = 0.Las fuerzas de volumen se ejercen sobre cualquier elemento de volumen del dominio uido, y son las

debidas a un campo exterior, tal como el gravitatorio o el electromagnetico, y las debidas a las fuerzas deinercia asociadas al movimiento no inercial del sistema de referencia. Estas fuerzas pueden caracterizarse porun vector de fuerzas volumetricas fv o, de forma equivalente, por un vector de fuerzas masicas fv = fm/,de manera que la fuerza que actua en el instante t sobre un elemento de volumen d que rodea al puntojo x del dominio uido esta dada por d fv(x, t) = d (x, t) fm(x, t).

Considerando que las fuerzas de volumen son debidas unicamente al campo gravitatorio terrestre y almovimiento no inercial del sistema de referencia, el vector de fuerzas masicas es en general

fm = g (ao + x+ x+ 2 v) , (2.2)

donde el sistema de ejes rota con una velocidad angular (t), su origen se mueve con una aceleracion ao(t)y v(x, t) es el campo de velocidades del uido en el sistema de referencia elegido; observese que los dosultimos terminos de (2.2) son las aceleraciones centrfuga y de Coriolis. En ausencia del termino de Coriolisy del asociado a la aceleracion angular del sistema de referencia es facil comprobar que el vector de fuerzasmasicas puede escribirse como fm = U con el potencial de fuerzas masicas dado por

U = g x+ ao x 12 ( x)2. (2.3)

1 El tensor de esfuerzos de viscosidad es funcion del tensor de velocidades de deformacion, (vease Captulo 1). Sedenominan uidos newtonianos aquellos para los que la relacion entre y es lineal e isotropa, dada por la ley de Navier-Poisson.

19


Se dice que un uido se encuentra en una situacion de uidostatica cuando es posible encontrar unsistema de referencia en el que el uido esta en reposo. El campo de presiones se determina entonces por elbalance, como exige la ley de Newton, de fuerzas (volumetricas y de supercie) aplicado a cualquier porcionde uido encerrado por una supercie generica

pn d +

fm d =

(p+ fm) d = 0 p+ fm = 0 , (2.4)

donde la integral de supercie se ha transformado en una integral de volumen haciendo uso del teorema deGauss.

En el caso de un uido incompresible (lquido) la ecuacion de la uidostatica (2.4) es, empleando (2.3),

(p+ U) = 0 p+ U = C(t)es decir, p gez x+ ao x 2 ( x)

2 = C(t) , (2.5)

donde la funcion C(t) debe determinarse a partir de las condiciones de contorno. Observese que, de acuerdocon (2.5), la supercies isobaras, p = cte, deben ser tambien equipotenciales U = cte. En particular si enel dominio uido existe una supercie libre (por ejemplo, una interfase gas-lquido) donde la presion esconstante, dicha supercie debe ser, en cada punto, ortogonal al vector de fuerzas masicas.

Fuerzas de tension supercial en interfases

Es bien conocido que cuando se pretende mezclar ciertas parejas de uidos estos maniestan una ten-dencia a permanecer separados formando una frontera bien delimitada. Se reere entonces a estos comouidos inmiscibles. La interfase de separacion entre dos uidos inmiscibles se comporta entonces como unamembrana en tension siendo la fuerza tangencial por unidad de longitud la denominada tension supercial. La tension supercial puede considerarse alternativamente como una energa por unidad de supercie. Latension supercial es una propiedad de las fases puestas en contacto. Logicamente la interfase tienden aadoptar la posicion de mnima energa que corresponde a la de mnima supercie.

Como se puede observar en la proyeccion mostrada en la gura, las fuerzas de tension supercial danlugar a esfuerzos normales a la interfase, si esta presenta curvatura, que se anaden a los esfuerzos supercialesejercidos por los uidos de un lado y otro de la interfase. Obligando a satisfacer el equilibrio de fuerzas en ladireccion normal que actuan sobre un elemento diferencial supercial en la interfase se obtiene la ecuacionde Laplace-Young que relaciona el salto de presiones a traves de la interfase con su forma geometrica y latension supercial

p = p1 p2 = (

1R1

+1R2

)= n (2.6)

donde R1 y R2 son los radios de curvatura de la interfase y n es el vector unitario normal a la supercie.

CAPITULO 2. FLUIDOSTATICA 21

Problema 2.1

La figura muestra un recipiente bidimensional limitado lateralmente por dos superficies planas queforman respectivamente angulos y con la horizontal, y cuya superficie inferior, de longitud L, eshorizontal estando articulada mediante una rotula en el punto O y esta retenido en el punto B por uncable dispuesto como se muestra en la figura; la superficie superior del recipiente, situada a una distanciaH de la base, esta abierta a la atmosfera. Si el peso de las paredes del recipiente es despreciable, sepide:

1. Si el recipiente se llena hasta un nivel h < H de un lquido de densidad , calcular las fuerzasque se ejercen sobre el mismo en la rotula, FO, y la traccion de la cuerda FB = FBey, cuando ellquido y el recipiente se encuentran en reposo bajo la accion de la gravedad.

2. Calcular la relacion que deben cumplir los angulos y para que sea posible que el recipientevuelque (gire sobre la rotula) si el lquido en su interior alcanza un cierto nivel h. Calcular h.

G46 G46

Resolucion:

Apartado 1.-

Puesto que el lquido esta en reposo respecto del recipiente la distribucion de presiones en el lquido esta dadapor

p(y) = pa + g(h y). (1)Para determinar las fuerzas que se ejercen en la rotula O y en el apoyo A, FO y FB = FBey se calcularanlas fuerzas debidas al lquido y a la atmosfera sobre las paredes del recipiente y se establecera el equilibrio dedichas fuerzas y de sus momentos respecto de O con los de FO y FB = FBey. Debido a que el problema esbidimensional se sobrentendera en lo que sigue que todas las fuerzas y momentos son por unidad de longitudperpendicular al plano del dibujo.

La pared del recipiente que forma un angulo con la horizontal, , posee un vector unitario normalexterior n = senex + cosey, y el vector posicion respecto de O de un punto generico de la superciees x = (L s cos)ex + s senex, donde s es la distancia desde x al apoyo A; observese que x n =(L cos s)ez, donde ez es el vector unitario perpendicular al plano del dibujo y que apunta hacia el lector.


Por tanto, la fuerza resultante sobre es

F = h/ sen0

(p pa)nds = h/ sen0

g(h s sen)nds = gh2

2 senn, (2)

donde se ha tenido en cuenta (1) con y = s sen sobre ; el momento resultante respecto de O de lasfuerzas que actuan sobre es

MO = h/ sen0

(p pa)x nds = ezg h/ sen0

(h s sen)(L cos s)ds

= ezg(h2L sen 2 2h3/3)/(4 sen2 ).(3)

Asimismo, la pared del recipiente que forma un angulo con la horizontal, , posee un vector unitarionormal exterior n = senex cosey, y el vector posicion respecto de O de un punto generico dela supercie es x = s cosex + s seney, donde s es la distancia desde x a la rotula O; observese quex n = sez. La fuerza resultante sobre es

F = h/ sen0

(p pa)nds = h/ sen0

g(h s sen)nds = gh2

2 senn , (4)

y el momento resultante respecto de O de las fuerzas que actuan sobre es

MO = h/ sen0

(p pa)x nds = ezg h/ sen 0

(h s sen)sds = gh3

6 sen2 ez. (5)

Finalmente, sobre el fondo horizontal del recipiente, f , se tienen nf = ey, x = xex, x nf = xez;la fuerza resultante sobre f es

Ff = L0

(p pa)nfds = L0

geyds = ghLey, (6)

y el momento resultante respecto de O de las fuerzas sobre h es

MOf = L0

(p pa)x nfds = ezg L0

xdx = ghL2/2ez. (7)

El momento de la fuerza FB = FBey respecto de O es

MOA = FBLez . (8)

Planteando el equilibrio de momento en el punto O, es decir, igualando a cero la suma de (3), (5), (7) y (8)se obtiene

FBgL2

=h

2L+

h3

6L3

(1

sen2 1

sen2

) h

2 cos2L2 sen

. (9)

Una vez determinada FB el equilibrio de fuerzas determina FO; igualando a cero la suma de (2), (4), (6),FB y FO se obtiene

FO = FBey gh2

2 senn gh

2

2 senn + ghLey. (10)

Los resultados anteriores pueden obtenerse tambien considerando el balance de fuerzas y de momentosentre las fuerzas FB y FO y el peso de lquido contenido en el recipiente, por unidad de longitud perpendicularal plano del dibujo, W = gAey, donde A es el area de la seccion del recipiente ocupada por el lquido.En efecto, observese que, puesto que sobre la supercie libre del lquido, h, se tiene p = pa la suma de (2),(4) y (6) puede escribirse como

F + F + Ff =++f+h

(p pa)nds =A

pd = gAey = W, (11)


donde se ha aplicado el teorema de Gauss a la supercie cerrada + +f +h y se ha tenido en cuentaque p = g = gey. Analogamente, la suma de (3), (5) y (7) es equivalente al momento respecto de Odel peso del lquido contenido en el recipiente; en efecto,

MO +MO +MOf =++f+h

(p pa)x nds = A

p xd = xcm W, (12)

donde el centro de masas del lquido en la seccion A esta denido por xcm =Axd. El equilibrio de

momentos respecto de O exige

FBLez + xcm W = 0 FB = W (xcm ez) (13)

y el equilibrio de fuerzas exigeFO = FBey W. (14)

Compruebe el lector que cuando A y xcm se calculan en funcion de , y h los resultados (13)-(14) coincidencon (9)-(10).

Apartado 2.-

Si el recipiente comienza a girar alrededor de la articulacion O para un cierto nivel h del lquido, en estasituacion el cable no realiza ningun efecto con lo que FB = 0; notese que, de acuerdo con la ecuacion (13),esta condicion es equivalente a que el centro de masas del lquido contenido en el recipiente este situado enla vertical que pasa por O. Igualando a cero (9) se obtiene la ecuacion cuadratica para h

h2

L2

(1

sen2 1

sen2

) 3h

cosL sen

+ 3 = 0. (15)

Naturalmente, el vuelco solo sera posible si la ecuacion (15) posee races reales, lo que exige que su discrimi-nante sea positivo, 9(cos2 / sen2 ) 12(sen2 sen2 ), condicion que puede escribirse de forma mascompacta como

sen 2 sen1 + 3 sen2

. (16)

En particular, observese que la condicion (16) siempre se cumple si = < /2 puesto que en este casolas caras laterales del recipiente son paralelas (recipiente prismatico) y siempre es posible hacer que elrecipiente vuelque para un h sucientemente alto si, naturalmente, la altura del recipiente, H (h H)es sucientemente elevada; notese tambien que si = /2 (16) no se cumple para ningun valor de y,por tanto, no se produce el vuelco en este caso. Para valores de y que satisfagan (16) el vuelco seproducira para el valor de h correspondiente a la raz menor de (15), que esta dada por

h =3 sen2

[11 4(1 sen2 / sen2 )/(3 cos2 )]

4(1 sen2 / sen2 ) . (17)

Evidentemente, para que el vuelco se produzca es necesario, ademas, que (17) proporcione un valor h H,lo que puede considerarse una condicion adicional, junto con (16), para y .


Problema 2.2

Una balanza marca un peso de Wb cuando un globo de goma de volumen se coloca sobre su plato.Si la goma pesa Wg (10 g) se pide:

1. Densidad y presion del aire en el interior del globo supuesto que su temperatura es la del aire delambiente Ta.

2. Si el globo se coloca sobre una interfase aire-agua, que fraccion del volumen del globo se sumergeen el agua?

Hacer aplicacion para los valores numericos: Wb = 20g,Wg = 10g, = 1m3,Rg = 287m2s2K1,a = 1,2 kg/m3, Ta = 293K.

Resolucion:

El peso que proporciona la balanza es la resultante de las fuerzas exteriores que actuan sobre el globo, queson: el peso del aire del interior del globo, Wi = ig ez, donde i es la densidad del aire en el interiordel globo, el peso de la goma, Wg = Wg ez, y el empuje de Arqumedes. Como ensena la experienciacotidiana, el empuje de Arqumedes actua sobre todo cuerpo sumergido en un uido en reposo, y no es masque la resultante de las fuerzas de presion que ejerce el uido sobre la supercie del cuerpo. Observese quesi la presion fuese uniforme sobre la supercie del cuerpo no se producira ninguna fuerza resultante y, portanto, el empuje de Arqumedes esta asociado a las variaciones de presion que se producen en un uido enreposo bajo la accion de un campo de fuerzas masicas. Para calcular el empuje de Arqumedes en el caso quenos ocupa, se tomara un sistema de ejes con origen el centro del globo y con el eje z apuntando en sentidoopuesto al de la gravedad; la distribucion de presiones en el aire exterior al globo es p(z) = p(0) agz,donde p(0) es la presion exterior a la cota correspondiente al centro del globo z = 0. Si n es la normalexterior unitaria a la supercie del globo, , la resultante de las fuerzas de presion sobre la supercie delglobo es,

E =

p(x)n d =

(pa agz)n d = pa

n d + ag

z n d . (1)

Al ser en este caso una supercie cerrada, la expresion (1) puede calcularse facilmente mediante el teoremade Gauss, que proporciona

n d =

1 d = 0 , (2)y

z n d =

z d = ez (3)

donde la integral en (2) es nula por serlo el integrando 1 = 0.El resultado (2) expresa que la fuerza resultante de una presion uniforme aplicada sobre cualquier su-

percie cerrada es nula, mientras que el resultado (3) proporciona, cuando se introduce en (1) el celebradoprincipio de Arqumedes

E = agez , (4)

que expresa que todo cuerpo sumergido en un uido en equilibrio uidostatico bajo la accion (exclusiva)de la gravedad experimenta un empuje hacia arriba de valor igual al peso del uido que desaloja; observeseque los resultados (2)-(4) son validos para cualquier supercie cerrada y, por tanto, independientes de lageometra del cuerpo considerado. La ecuacion (4) puede obtenerse de una forma alternativa, que poseela ventaja de ser aplicable tambien para uidos compresibles en equilibrio bajo cualquier tipo de fuerzas


masicas, mediante el articio matematico del volumen desalojado, que es la region ocupada por el cuerpocuando se imagina reemplazada por el uido exterior permaneciendo este en equilibrio uidostatico (tantoen el exterior como en el interior del volumen desalojado). De esta forma para el uido en el interior delvolumen desalojado se verica tambien la ecuacion uidostatica p = fm y se tiene, por tanto,

E =

pn d =

fm d . (5)

El resultado (5) generaliza (4) y expresa el empuje de Arqumedes como una fuerza de igual magnitud ysentido opuesto a la resultante de las fuerzas masicas sobre el volumen desalojado; observese que (4) seobtiene de (5) para el caso particular = a y fm = gez.

Apartado 1.-

Una vez que se ha caracterizado el empuje de Arqumedes sobre el globo, el balance de fuerzas que actuansobre este proporciona

Wbez Wgez igez + agez = 0 , (6)lo que permite calcular la densidad del aire en el interior del globo

i = a + (Wb Wg)/(g) ; (7)la presion en el interior del globo esta dada por la ecuacion de estado

pi = RgiTa = pa +Rg(W Wg)/(g) , (8)donde pa = RgaTa es la presion del aire a la temperatura y densidad ambiente. Particularizando (7)-(8) pa-ra los valores numericos especicados en el enunciado se obtiene ia 102kg/m3 y pipa 103N/m2.Notese que la sobrepresion en el globo posee un valor denido (constante) en el interior del mismo puestoque las variaciones de presion debido a la gravedad son despreciables en el interior; en efecto, estas ultimasson del orden de gp igR 10N/m2 103N/m2 pi pa.

Apartado 2.-

En este caso el globo esta parcialmente sumergido entre el agua y el aire ambiente. Los volumenes sumergidosen cada fase, 1 y 2 respectivamente, se calculan imponiendo el equilibrio entre el peso del globo y el empujede Arqumedes resultante de las fuerzas de presion asociado a las distribuciones de presiones en el aire y enel lquido. Si 1 y 2 denotan las porciones de la supercie del globo banadas por el agua y por el aire, laformula (5) puede aplicarse directamente para el caso de un cuerpo parcialmente sumergido en dos uidosinmiscibles teniendo en cuenta que en el interior del volumen desalojado, = 1 + 2, el integrando fmes continuo a trozos puesto que debe tomarse un valor de la densidad 1( ) en 1 y otro valor 2( a)en 2. Se tiene entonces

E = 1+2

pn d = 1

1fm d 2

2fm d . (9)

Si se aplica (9) para 1 y 2 constantes y para fm = gez, la ecuacion de balance entre el peso del cuerpo yel empuje de Arqumedes se obtiene facilmente como

W = 1g1 + 2g2 , (10)

donde W es el peso total del globo. La ecuacion (10) junto con la condicion = 1 + 2, proporciona losvolumenes sumergidos en cada fase

1

= 1 2

=W

g(1 2) 2

1 2 , (11)

donde el subndice 1 denota el uido mas pesado y el subndice 2 el mas ligero.


Como se observa en (11), el cuerpo puede estar en equilibrio entre los dos uidos bajo la accion de supropio peso si su densidad media, W/(g), esta comprendida entre las de los uidos 2 W/(g) 1; encaso contrario (11) proporciona fracciones volumetricas negativas o mayores que la unidad, lo que es imposibley signica que es necesario incluir una fuerza externa adicional en (10) para mantener el equilibrio. Ademas,en el caso de que las densidades sean muy dispares, 1 2, se distinguen los casos lmites dados por

1 W

g1si 1 W/(g) 2 y

1 W/(g) 2

1 1 si 1 W/(g) 2. (12)

En el primer caso la densidad media del objeto es proxima (y menor) que la del uido mas pesado 1.El mismo lmite se recoge si se desprecia el empuje de Arqumedes debido al uido 2 en el analisis. En elcaso contrario, la densidad media del objeto es proxima (y mayor) que la del uido mas ligero 2 y se puedeconsiderar que el objeto ota pues se hunde una fraccion minuscula. Este es el caso del enunciado; en efecto,si se aplica la ecuacion (12) al globo del enunciado con 1 , 2 a, W = Wg + ig y se particularizapara los datos del problema resulta

1 Wg

g+

i a

3 105 , (13)

que muestra sin ambiguedad que el globo considerado ota completamente sobre la supercie.


Problema 2.3

Una esfera de radio R y peso W contiene aire en su interior a la presion y temperatura ambiente y secomunica con el exterior por medio de un orificio. La esfera se introduce en agua con el orificio en suparte inferior como se indica en la figura. El agua penetra en el interior de la esfera comprimiendo elaire que hay en ella hasta que se alcanza el equilibrio mecanico. Debido a que el tiempo que tarda enpenetrar el lquido en el interior es pequeno comparado con el tiempo necesario para que los efectos deconduccion de calor en el aire sean importantes, el proceso de compresion del aire hasta que se alcanzael equilibrio mecanico puede considerarse isentropico. Suponiendo que a W/(gR3), donde a es ladensidad del aire ambiente, determinar:

1. Posicion de equilibrio mecanico y presion y temperatura del aire en el interior de la esfera.

2. En la posicion de equilibrio del apartado anterior la temperatura del aire es diferente de la delambiente exterior; existe por tanto, una evolucion posterior lenta hacia la posicion final de equilibriomecanico y termico. Determinar esta nueva posicion de equilibrio, as como la presion del aire enel interior de la esfera.

3. Si la esfera se depositase en la interfase aire-lquido con el orificio situado en la parte superior,de manera que no penetrase lquido en su interior ( 0), determinar el angulo que define laposicion de equilibrio.

Resolucion:

Apartado 1.-

La posicion de equilibrio del sistema esta denida por los angulos y de la gura; en particular el volumendel sector esferico correspondiente al angulo determina tambien el volumen del gas interior y, mediantela condicion isentropica, su presion pi. Dichos angulos se determinaran aqu de dos formas diferentes que,naturalmente, conducen al mismo resultado: a) mediante aplicacion directa del principio de Arqumedespara un cuerpo parcialmente sumergido entre dos uidos y b) mediante la integracion de la distribucion depresiones sobre las supercies exterior e interior de la esfera y estableciendo entonces el balance de fuerzassobre la misma. En ambos casos se necesitaran los volumenes y de los sectores esfericos determinadospor los angulos y que pueden determinarse facilmente a partir de

= R sen0

2rdr(

R2 r2 R cos)= R3

(23+

cos3 3

cos)

, (1)

con una expresion analoga para .


Como se discutio en el problema anterior, la condicion a W/(gR3) permite despreciar las variacionesde presion debidas a los efectos gravitatorios en el aire exterior (tambien en el interior) por lo que sus valorespa y pi pueden considerarse constantes. Si se desprecia, por tanto, el empuje de Arqumedes del aire exteriory se aplica el mismo, teniendo en cuenta que, en este caso, el peso del cuerpo soportado por el empuje deArqumedes del lquido es el de la esfera mas el del lquido contenido en su interior, se obtiene

W + g = g , (2)

donde es la densidad del lquido. Por otra parte, la condicion isentropica es pi = pa(i/a) y, puesto quela masa del gas contenida en el interior de la esfera es constante, la relacion de densidades puede expresarsecomo la inversa de la relacion de volumenes y se tiene, por tanto,

pi = pa

(4R3/3

4R3/3

); (3)

la temperatura del aire interior se determina mediante la ecuacion de estado de la forma

Ti = Tapipa

ai

= Ta

(4R3/3

4R3/3

)(1)/. (4)

Finalmente, la condicion que cierra el problema es que pi es la presion en la supercie libre del lquidointerior a la esfera; como la distribucion de presiones en el lquido solo depende de la coordenada vertical,debe de vericarse que pi = pa+gR(coscos) donde pa es la presion en la interfase exterior aire-lquido.Haciendo uso de este hecho y del resultado (1), las ecuaciones (2)-(3) pueden escribirse

W = gR3(cos cos + cos

3 cos3 3

), (5)

cos cos = pagR

(2 3 cos + cos3 2 + 3 cos cos3

). (6)

que constituyen un sistema no lineal de ecuaciones algebricas que debe resolverse numericamente paradeterminar y .

El resultado anterior tambien puede obtenerse integrando directamente las distribuciones de presiones enel gas y en el lquido sobre las supercies exterior e interior de la esfera. En efecto, si se toma un sistema decoordenadas esfericas con origen el centro de la esfera y con el angulo polar, , medido a partir del oricio,la distribucion de presiones en el lquido esta dada por p = pa + gR(cos cos) por lo que la resultantede las fuerzas de presion del lquido sobre la esfera es

Fl =

2R2 d sen ( cos ez)[pa + gR(cos cos)] , (7)

donde se ha tenido en cuenta que en el sector 0 las fuerzas de presion en la supercie exteriorse cancelan con las de la interior y solo se ha considerado la componente segun z de la normal unitaria,nz = cos , puesto que el efecto de la componente horizontal se anula por simetra. Analogamente, laresultante de las fuerzas de presion del gas sobre la supercie exterior es

Fa =

2R2 d sen ( cos ez)pa , (8)

y para la resultante sobre la supercie interior se obtiene, teniendo en cuenta que ahora n apunta hacia elinterior de la esfera (nz = cos ),

Fi =

2R2 d sen (cos ez)pi , (9)

donde pi = pa + gR(cos cos). Sumando (7)-(9) y efectuando las integrales, todas ellas inmediatas, seobtiene la resultante de las fuerzas de presion sobre la esfera, F = Fl + Fa + Fi, como


F = gR3(cos cos)(1 cos2 )ez + 2gR3ez

d sen cos (cos cos) =

= R3g(cos cos + cos

3

3 cos

3

3

),

(10)

imponiendo el balance de fuerzas sobre la esfera FWez = 0 se obtiene de nuevo (5). Notese que, en estecaso, el empuje de Arqumedes esta contenido en la expresion de F.

Apartado 2.-

Al nal del proceso enunciado en el apartado 2, la temperatura interior, Ti, es igual a la del aire ambiente,Ta, luego la ecuacion (6) debe sustituirse por la relacion

pipa

=ia

=(

4R3/34R3/3

), (11)

que, haciendo uso de la condicion pi = pa + gR(cos cos), proporciona

cos cos = pagR

2 3 cos + cos3 2 + 3 cos cos3 . (12)

Las ecuaciones (5) y (12) permiten determinar y para la posicion correspondiente al equilibrio mecanicoy termico.

Apartado 3.-

Si la esfera se deposita sobre la interfase aire-lquido con el oricio situado en su parte superior, el interiorde la esfera solo contiene aire a la presion pa y, por tanto, la resultante de las fuerzas de presion sobre elcuerpo es distinta de cero solamente en la porcion de la supercie banada por el lquido, que se denotara por . Dicha fuerza puede calcularse como en el apartado 1, introduciendo un sistema de coordenadas esfericascon origen en el centro de la esfera y con el angulo polar medido desde el radio vertical inferior. En efecto,si n es la normal unitaria a apuntando hacia el lquido, la fuerza del lquido sobre cada elemento desupercie es pnd, y la fuerza sobre el correspondiente elemento de supercie situado del lado del aire espa(n)d = pand; por tanto, la resultante de las fuerzas de presion sobre la esfera es

F =

(p pa)n d =

g(R cos + z)n d , (13)

donde se ha tenido en cuenta que la distribucion de presiones en el lquido es p = pag(R cos+z), dondeel eje z apunta en sentido opuesto a la gravedad y tiene su origen en el centro de la esfera, por lo que lacota correspondiente a la interfase aire-lquido es R cos. Puesto que sobre se tiene z = R cos ynz = cos , la segunda integral en (13) puede calcularse facilmente como

F = 2R3gez 0

sen cos (cos cos) = R3gez(23 cos + cos

3

3

). (14)

El equilibrio de fuerzas sobre la esfera, F Wez = 0, determina entonces la ecuacion algebrica paracalcular como funcion de W directamente de (14).

Observese que, haciendo uso de la relacion (1) con en lugar de , la ecuacion (14) puede escribirsetambien como

F = gez , (15)

donde es el volumen interior a la esfera sumergido en el lquido. Conviene indicar que el resultado (15)es independiente de la geometra de la supercie (y, por tanto, de la del volumen sumergido ) y


puede obtenerse de una forma general aplicando el teorema de Gauss a la integral (13); observese que esteprocedimiento resulta especialmente ventajoso cuando la geometra de sea tan complicada que no seaposible llevar a cabo directamente la integral de supercie. En efecto, si se considera la supercie cerradaformada por junto la seccion h limitada por la curva que es intersectada en la supercie del cuerpo porel plano horizontal z = R cos (plano de la interfase aire-lquido), y se tiene en cuenta que sobre h (denormal n = ez) el integrando de la segunda integral en (13) es nulo, (13) puede expresarse como

F = +h

g(R cos + z)n d = g

z d = gez . (16)

La expresion (16) puede usarse, por ejemplo, para relacionar el empuje sobre el casco de una embarcacion(independientemente de su forma) y el volumen sumergido del mismo; en equilibrio dicho empuje debe deigualar al peso de la embarcacion (correspondiente al casco mas la carga en su interior). Ademas, dichaexpresion puede generalizarse para el caso en el que el peso del objeto es comparable al peso del aire (uotro uido) contenido en el volumen sumergido. En efecto, tomando el origen del eje z en la interfase entrelos dos uidos, la distribucion de presiones en el uido inferior, cuya densidad se denotara por 1 esta dadapor p1 = p(0) 1gz y en el uido superior, de densidad 2, esta dada por p2 = p(0) 2gz. Por tanto, laresultante de las fuerzas de presion sobre la supercie sumergida se obtiene directamente de (13) sustituyendop por p1 y pa por p2,

F =

(p1 p2)n d =

(1 2)gzn d . (17)

Introduciendo la supercie auxiliar h como se explico anteriormente y aplicando el teorema de Gausscomo en (16) se obtiene

F =+h

(1 2)gzn d = (1 2)gez . (18)

Observese que el efecto de las fuerzas de presion del uido superior se reduce al peso del mismo contenido enel volumen sumergido, 2gez; dicho peso es el que descansa sobre la cara interna de la supercie banadapor el lquido . Si el peso del cuerpo es W , la condicion de equilibrio general que se obtiene usando (18)es, por tanto,

W = (1 2)g . (19)


Problema 2.4

Considerese un recipiente parcialmente lleno con un volumen V de un lquido de densidad ; el recipienteesta abierto a la atmosfera por su parte superior, de forma que existe una interfase aire-lquido a presionpa. Calcular la distribucion fluidostatica de presiones en el lquido en los casos siguientes:

1. Si el recipiente esta en reposo en un sistema inercial en presencia de la gravedad.

2. Si al recipiente se le comunica una aceleracion vertical variable con el tiempo ao(t).

Resolucion:

Apartado 1.-

Si el lquido se encuentra en reposo en un sistema inercial en presencia de la gravedad, la ecuacion (2.5)indica que la supercie libre es horizontal (perpendicular a g); si O es el punto del fondo del recipiente dondela profundidad del lquido es maxima, de valor Ho conocido a partir de V y de la geometra del recipiente,y se toma un sistema de ejes cartesianos con origen O y el eje z apuntando en direccion contraria a g,g x = gz, la distribucion de presiones se obtiene de (2.5) como

p = pa + g(Ho z) , (1)donde se ha determinado la constante C imponiendo la condicion p = pa en z = Ho, lo que proporcionaC = pa + gHo.

Apartado 2.-

Si se imparte ahora al recipiente un movimiento de traslacion en la direccion del eje z de aceleracion conocidaao(t) = ao(t)ez, el sistema de ejes del apartado anterior, ligado al recipiente, deja de ser inercial y la ecuacion(2.5) proporciona, con x ao(t) = zao(t) ,

p = pa + [g + ao(t)](Ho z) , (2)donde C(t) se ha determinado imponiendo la condicion de contorno [p(x, t)]z=Ho = pa en (2.5), lo queproporciona ahora C(t) = pa+Ho[g+ao(t)]. Observese que en las supercies equipotenciales z = constantela presion es uniforme (supercies isobaras), pero su valor depende del tiempo si lo hace ao; ademas, la presionen dichas supercies es mayor que la correspondiente al caso puramente gravitatorio cuando el recipiente seacelera en direccion ascendente [ao(t) > 0], y menor cuando se decelera [ao(t) < 0]. La presion en el puntoO es

p = pa + [g + ao(t)]Ho ; (3)

si ao(t) > 0 se tiene en O la maxima presion mientras que es la presion mnima si ao(t) < 0. En particular, sipv es la presion de vapor del lquido a la temperatura Ta (despreciable generalmente frente a pa) y en alguninstante la deceleracion alcanza el valor

ao(t) = pa + gHo pvHo

paHo

g , (4)

entonces el lquido se vaporiza (cavita) en el punto O, y aparece una burbuja de vapor que se extiendeen el dominio uido para valores mayores de la deceleracion; se tiene, entonces, una region bifasica cuyadistribucion de presiones es distinta de la indicada en (4).


Problema 2.5

Un conducto de diametro D contiene en su interior una porcion de lquido de densidad que ocupaun tramo del conducto de longitud Ls. El conducto tiene forma de L y tanto su tramo horizontal comoel vertical tienen una longitud L > Ls (D L). Si en un instante dado, tal y como se muestra enla figura, el conducto comienza a girar con una velocidad angular alrededor de su extremo o de talmanera que su tramo horizontal permanece paralelo al eje z y la entrefase del lquido mas cercana a ose encuentra a una distancia xf del mismo, calcular la aceleracion respecto a un sistema de referenciainercial (O,X, Y, Z) que debe adquirir el centro de rotacion o para que el lquido permanezca en reposorespecto del conducto; considerese solo la posibilidad de que el punto o se encuentre siempre sobre elplano X Y (aoz = 0). En particular:1. Calcule la aceleracion del punto o, ao cuando xf esta en el rango 0 xf L Ls, es decir, en

una posicion tal que todo el lquido se situe en el tramo horizontal.

2. Idem para un valor de L Ls < xf < L, es decir, parte del lquido yace en el tramo vertical.3. Trayectoria seguida por el conducto si inicialmente o coincide con O.

Resolucion:

Para analizar el problema se consideraran dos sistemas de refe-rencia: uno inercial (O,X, Y, Z) respecto del cual describiremosla trayectoria del conducto, y un sistema de referencia no iner-cial ligado al conducto (o, x, y, z) respecto del cual describira eluido. Puesto que (o, x, y, z) gira con velocidad angular y suorigen traslada con aceleracion ao con respecto a (O,X, Y, Z),el potencial de fuerzas masicas respecto al sistema no inercialresulta ser

U = aox x+aoy yg z2(x2 + y2)

2 aox xg z

2x2

2, (1)

donde se ha tenido en cuenta que, al ser D L, se tiene y x en todo el conducto. Observese que el valoraoy no contribuye al problema y, sin perdida de generalidad, se tomara aoy = 0. Esto implica que ao = aoexdonde necesariamente ao debe ser una constante puesto que el potencial U no puede depender del tiemposi se quiere mantener una situacion de reposo (uidostatica). Respecto del sistema inercial ao vara con eltiempo al hacerlo ex debido a la rotacion del conducto.

Dado el potencial (1), resulta de la relacion uidostatica la distribucion de presiones en el interior dellquido

p+ gz + aox 122(x2 + y2) p+ gz + aox 12

2x2 = C . (2)

La relacion de ao con y xf se halla imponiendo en (2) la condicion de contorno p = pa en las dos interfasesaire-lquido como se indica a continuacion.

Apartado 1.-

En este caso todo el lquido esta contenido en el tramo horizontal del conducto como se muestra en la gura,por lo que puede suponerse z 0 en (2). Si dicha ecuacion se particulariza en x = xf se obtiene

C = pa + aoxf 122x2f . (3)


Si (3) se sustituye en (2) y el resultado se particulariza en x = Ls + xf seobtiene la ecuacion

pa + ao(Ls + xf ) 122(xf + Ls)2 = pa + aoxf 12

2x2f , (4)

que permite obtener inmediatamente

ao = (Ls + 2xf )2

2. (5)

Observese que en este caso, para mantener una misma posicion de la entre-fase xf con un aumento de la velocidad de giro se requerira aumentar la aceleracion ao para contrarrestarapropiadamente las fuerzas centrfugas que tienden a alejar a la entrefase del extremo o.

Apartado 2.-

En este caso un tramo de lquido de longitud Ls L + xf se encuentra enel tramo vertical, y los efectos gravitatorios entran en juego. La condicion decontorno en la interfase x = xf es la misma que en el apartado anterior, por loque el valor de C esta dado de nuevo por (3). La ecuacion (2) particularizadaen la otra interfase, x = L y z = Ls L+ xf , proporciona ahora

pa + g(Ls L+ xf ) + aoL 122L2 = pa + aoxf 12

2x2f , (6)

de la que se obtiene

ao =L+ xf

22 + g

(1 Ls

L xf

). (7)

Observese que dada una velocidad de giro sera posible una solucion de equilibrio con ao = 0 para uncierto valor xf = xf dado por la raz de la ecuacion (7)

xfL

= +

(1 + )2 2Ls/L (8)

siendo = g/2 L. Esta solucion correspondera al equilibrio de las fuerzas centrfugas que aparecen en eltramo horizontal de lquido con las gravitatorias que actuan sobre el tramo vertical. Para valores de xf > xfel miembro derecho de (7) es menor que cero (ao < 0) indicando que las fuerzas de aceleracion ayudan a lasfueras centrfugas a equilibrar las gravitatorias; por contra, si ao > 0 son las fuerzas gravitatorias las querequieren la contribucion de las fuerzas de aceleracion para equilibrar las fuerzas centrfugas.

Apartado 3.-

Una vez determinado ao = ao(, xf ), la trayectoria del punto o se calcula a partir de la expresion de losvectores unitarios en el sistema (o, x, y, z) respecto a (O,X, Y, Z)

ex = cost eX + sent eY yey = sent eX + cost eY ,

(9)

se requiere pues qued2 Xod t2

= ao = ao(cost eX + sent eY ) , (10)


donde Xo es la trayectoria seguida por el punto o origen del sistema de referencia. Teniendo en cuenta queen el instante inicial t = 0, Xo(0) = 0 y Xo(0) = 0, la trayectoria seguida del punto o es

Xo(t) =ao2

[(1 cost)eX + ( t sent)eY ] , (11)

1 0.5 0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

X

Y

mientras que la trayectoria seguida por el vertice v es

Xv(t) = Xo(t) + Lex =ao2

[(1 cost)eX + ( t sent)eY ]+ L(cost eX + sent eY ) .

(12)

En la gura se muestra la trayectoria seguida por el punto o(lnea continua) y el punto v (lnea a trazos) as como la posicionen diversos instantes del tramo horizontal del conducto (se hanempleado los valores L = 1, = 2, ao = 1). Como se mostrara masclaramente en el punto siguiente, jar la trayectoria de equilibrio,es decir y ao, equivale a establecer la posicion de equilibrio xf ala que se coloca la interfase en un conducto horizontal.

El problema considerado aqu es caracterstico de los estudiados en el campo del control; disciplinaque estudia como situaciones de equilibrio en principio inestables (una varilla dispuesta verticalmente so-bre un dedo) se estabilizan mediante un movimiento del sistema, ley de control, adecuado (moviendoapropiadamente el dedo).


Problema 2.6

Un cubo cilndrico de altura H y radio R (H R), que contiene un volumen V (V R2H) de unlquido de densidad , esta provisto de un asa conectada mediante una cuerda a un punto P situado auna distancia L > H del centro de la base del cubo, O. El conjunto cuerda-asa-cubo gira como un solidorgido alrededor de P con velocidad angular y con la recta OP contenida en un plano vertical fijo. Sedesea analizar la posibilidad de que el lquido este en equilibrio respecto al cubo. Indicar las condicionesque deben cumplir los parametros del problema para que el regimen fluidostatico pueda darse de formaaproximada. Calcular, entonces, la ecuacion de la superficie libre del lquido en el interior del recipiente.

Resolucion:

Para analizar el problema se tomara un sistema de ejes ligados al cubo con origen en O y con el eje zapuntando hacia P , el eje y se toma perpendicular al eje z y contenido, junto con este, en el plano verticalde giro, y el eje x se toma perpendicular a dicho plano de manera que = ex. En la posicion mas bajadel cubo en su movimiento el eje z es colineal con el vector gravedad g y apunta en la direccion contraria almismo de modo que las componentes de g segun los ejes z e y varan con el tiempo de la forma

g = g costez + g sentey . (1)Por otra parte, la aceleracion del origen del sistema de referencia es centrpeta y de valor

ao = 2Lez , (2)y, ademas, se tiene

x = ex (xex + yey + zez) = (yez zey) , (3)por lo que el potencial de fuerzas masicas viene dado a partir de (2.1) como

U = gz cost gy sent+2Lz 122(z2 + y2) . (4)

Por tanto, U depende del tiempo y tambien lo hacen, en este caso, las supercies equipotenciales; puestoque en uidostatica toda supercie libre isobara debe de ser tambien equipotencial, resulta que el lquidoen el cubo no puede alcanzar una situacion de reposo respecto de este ya que, de otra forma, se llega a lacontradiccion de que su supercie libre debe de variar con el tiempo cuando se expresa en ejes ligados al cubo,lo que requiere necesariamente velocidades no nulas respecto del recipiente. No obstante, en la practica seobserva frecuentemente que dichas velocidades, inducidas por el desequilibrio entre las fuerzas de gravedad ylas no inerciales, son tan pequenas que el lquido permanece siempre en el interior del recipiente al no tener


tiempo para salir del mismo antes de que se complete una vuelta alrededor de P . En particular, esto sucedecuando los efectos gravitatorios en (4) son muy pequenos frente a los efectos centrfugos asociados al giroalrededor de P ; la condicion para ello se obtiene al comparar los terminos gravitatorios con el tercer terminoen (4), que proporciona

gz cost2Lz

g2L

1 , (5)donde se ha tenido en cuenta que las longitudes caractersticas en las tres direcciones espaciales son delmismo orden de magnitud en el lquido, H z y x R [por lo que los dos terminos gravitatorios en(4) son tambien del mismo orden] y, ademas, se considerara solo el caso mas realista de que H y R seana lo sumo del orden de L [por lo que el ultimo termino de (4) es a lo sumo comparable al tercero]. Bajola condicion (5) lo efectos gravitatorios pueden despreciarse en (4) y U resulta independiente del tiempoen primera aproximacion. Puede alcanzarse entonces un regimen aproximadamente uidostatico con unadistribucion de presiones dada por

p+2Lz 122(z2 + y2) = C , (6)

que muestra que las supercies isobaras (y equipotenciales) son cilndricas de generatrices paralelas al ejex. Si zo es la coordenada z del punto de la supercie libre con coordenadas x = 0 e y = 0, la constante en(6) es C = pa + 2zo(2L zo)/2, y la ecuacion de la supercie libre se obtiene haciendo en (6) p = pa yz = zs(y),

zs = L

(1

1 y

2 z2o + 2LzoL2

). (7)

La constante zo se determina a partir del volumen V de lquido dado como

V = R0

20

zs(r, )rdrd , (8)

donde r y son las coordenadas polares en el plano z = 0 y zs(r, ) se obtiene haciendo y = r sen en(7). Resulta de interes analizar el caso particular en que el cubo este unido al centro de rotacion medianteuna cuerda muy larga, L R H, que permite desarrollar la raz en (7) en serie de Taylor [1 1 /2 +O(2) para 1] y obtener (7)

zs zo + y2 z2o2L

, (9)

donde el segundo termino de (9) es pequeno frente al primero, por lo que la interfase es plana en primeraaproximacion, zs zo, con una correccion parabolica de orden zo/L H/L 1 comparado con zo.2 Laintegral (8) puede ahora llevarse a cabo analticamente y proporciona

V R2zo[1 zo/(2L)] + R4

8L, (10)

por lo que, en primera aproximacion, zs zo = V/A. Finalmente, conviene indicar que el analisis y losresultados anteriores [excepto (10)] permanecen validos para cualquier forma de la seccion transversal delcubo distinta de la circular siendo, en este caso, R una dimension caracterstica de la seccion y H unaprofundidad caracterstica del lquido en el recipiente.

2 Las correcciones retenidas en (9)-(10) solo tienen sentido si se supone que los errores cometidos al despreciar los terminosgravitatorios son todava mucho menores que H/L, esto es, si g/(L2) H/L 1. En caso contrario, (9) y (10) soloproporcionan correctamente la primera aproximacion: zs zo V/A para H L, siendo A la seccion del cubo; el calculo deuna aproximacion de mayor orden es complicado y no puede calcularse por uidostatica, sino que es necesario tener en cuentalas (pequenas) velocidades inducidas por el desequilibrio entre las fuerzas gravitatorias y las no inerciales.


Problema 2.7

Un recipiente cilndrico vertical de altura H y diametro D contiene un volumen V de un lquido dedensidad y tiene su seccion superior abierta a la atmosfera, a presion pa, mientras que su base seapoya en un plano horizontal sobre el que puede deslizar libremente. El recipiente gira en torno a su ejecon velocidad angular y el centro de su base describe en el plano horizontal un movimiento circularde radio L con velocidad angular uniforme . Suponiendo en lo que sigue que H es lo suficientementegrande como para que el lquido no rebose, se pide:

1. Valor de para que el lquido pueda alcanzar un estado de reposo respecto del recipiente (regimenfluidostatico). Dicho valor es el que se tomara para los apartados que siguen.

2. Ecuacion de la superficie libre del lquido en regimen fluidostatico. Indique el mnimo valor de ,, para que la superficie libre toque el fondo del recipiente.

3. Para cualquier valor dado > existe una configuracion fluidostatica en la que la superficielibre se repliega sobre las paredes dejando descubierta una cierta region de la base del recipiente:calculese la ecuacion que define el contorno de dicha zona.

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Resolucion:

Se tomaran unos ejes (O, x, y, z) ligados al recipiente con origen O en el centro de la base y tales que eleje z coincide con el eje del recipiente y apunta en direccion contraria a la de la gravedad, y los ejes x ey estan situados sobre la base y se mueven solidariamente con ella. Asimismo es util considerar un sistemade ejes jos (Q,X, Y, Z) ligados al plano horizontal cuyo origen Q es el centro de la circunferencia descritapor O, el eje Z es paralelo a z, y los ejes X e Y tales que coinciden con x e y en un cierto instante inicialt = 0. Se demostrara que, excepto para un valor de , la direccion del vector fuerzas masicas vara con eltiempo en el sistema (O, x, y, z) y, por tanto, no puede haber uidostatica. De otra forma, al ser la supercielibre del lquido isobara, tambien debe ser equipotencial o, lo que es lo mismo, perpendicular en cada puntoal vector de fuerzas masicas, de lo que se deduce que si el vector fuerzas masicas vara con el tiempo en(O, x, y, z), la ecuacion de la supercie libre debe depender tambien del tiempo en dicho sistema de refe-rencia

mecánica de fluidos problemas resueltos

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