mecanica de fluidos i

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONUTICOS

Mecnica de Fluidos I Examen 020209

1.- Enunciado del teorema Bjerkness-Kelvin. Apyense en este teorema para obtener las condiciones

que permiten asegurar que el movimiento de un lquido sea irrotacional. Escriban las ecuaciones de

continuidad y cantidad de movimiento cuando la velocidad del lquido deriva de un potencial.

2.- Las condiciones de salto a travs de una onda de choque normal, que se mueve con velocidad D

en el seno de un gas en reposo (presin pa y densidad a) son

aD = (D v) ,

pa + aD2 = p+ (D v)2 ,

1

paa+1

2D2 =

1

p

+1

2(D v)2 ,

donde p y son la presin y densidad detrs de la onda y v su velocidad con respecto al gas en reposo.

Utilizar el anlisis dimensional para obtener la dependencia de las relaciones

p

pa,

a

yv

D,

con el nmero mnimo de parmetros adimensionales del problema.

Simplifiquen las relaciones adimensionales obtenidas cuando pa aD2. Observen que en este casoel cociente p/pa, no es el apropiado y debe ser sustituido por otro.

SOLUCIN

1.- El teorema de B-K dice

d

dt

ILF~v d~`=

ILF~a d~`,

donde ~a = D~v/Dt es la aceleracon del fluido.

Si la aceleracin deriva de un potencial, la ecuacin anterior se reduce a

d

dt

ILF~v d~`= 0,

lo que nos indica que la circulacin a lo largo de cualquier lnea fluida cerrada no cambia con el tiempo.

Por lo tanto, para que un movimiento sea irrotacional es necesario: (a) que inicialmente sea irrotacional

(circulacin inicial nula) y (b) que la aceleracin del fluido derive de un potencial. La condicin (b) en

el caso de los lquidos se cumple si el nmero de Reynolds es muy alto (efectos viscosos despreciables)

y las fuerzas msicas derivan de un potencial, en cuyo caso la ecuacin de cantidad de movimiento nos

proporciona

~a =D~v

Dt=

p

+ U

.

En este caso puede escribirse ~v = , de modo que la ecuacin de la continuidad, ~v = 0, se reducea

= 0,

mientras que la de cantidad de movimiento queda

t

+

1

2()2

+

p

+ U

= 0,

o bien t

+1

2()2 + p

+ U = C (t) .

2.- En las relaciones anteriores se tiene

= f1 (a, pa,D, ) ,

p = f1 (a, pa,D, ) ,

v = f1 (a, pa,D, ) .

las dimensiones de cada una de las magnitudes son:

[=] a ; v [=]D ; p [=] pa [=] aD2,

de modo que SOLO HAY DOS MAGNITUDES DIMENSIONALMENTE INDEPENDI-

ENTES. Si elegimos estas magnitudes como a y D, se obtiene

a= 1

pa

aD2, ,

p

aD2= 2

pa

aD2, ppa=

p

aD2aD2

pa=

pa

aD2, ,

v

D= 3

pa

aD2, .

Cuando pa aD2, la solucin no depende de pa, y el anlisis dimensional proporcionaa= 4 () ,

p

aD2= 5 () ,

v

D= 6 () .




Por un tubo capilar de radio R y altura 2H (R H) asciende agua hasta la altura H de equilibrio.

La tensin superficial del agua es , su densidad es y su viscosidad ; mientras que la viscosidad del aire es a y su densidad a . La aceleracin de la gravedad es g.

Los efectos de tensin superficial son dominantes para la determinacin de la superficie de separacin entre el aire y

el agua, tanto cuando se alcanza el equilibrio como cuando asciende por el tubo capilar. El ngulo de contacto con la

pared del tubo es nulo.

Cuando el agua est ascendiendo hasta su posicin de equilibrio, desplaza al aire forzndolo a salir por la parte superior

del tubo. Suponiendo que en el movimiento del agua y del aire por el tubo los efectos viscosos son dominantes. Se

pide:

1.- Determinen la altura H de equilibrio del agua en el tubo capilar.

2.- Estimen el orden de magnitud de la velocidad ascensional del agua y del aire por el tubo capilar. Estimen tambin

el orden de magnitud de la fuerza de friccin del agua en la pared del tubo y comparenla con la debida a la tensin

superficial.

3.- Estimen el orden de magnitud de la cada de presin en el aire durante su movimiento dentro del tubo capilar,

mostrando que la presin del aire se puede considerar constante e igual a la ambiente.

4.- Mediante la ecuacin de cantidad de movimiento en la direccin vertical, relacionar el gradiente de presin motriz

con el caudal Q (t) de agua por el tubo.

5.- Mediante la ecuacin de la continuidad aplicada al volumen de control apropiado, determinen la relacin entre el

caudal Q (t) y la altura x (t) de la entrefase.

6.- Determinen x (t) utilizando los resultados de los apartados 4 y 5.

7.- Determinen en funcin del tiempo la fuerza en la direccin del eje vertical z que el tubo ejerce sobre el agua.

Tengan en cuenta la exixtencia de una superficie de separacin donde acta la tensin superficial.

SOLUCIN

1.- La ecuacin de la fluidosttica para el agua dentro del tubo cuando se ha alcanzado la posicin de equilibrio es

p+ gz = pa.

En la superficie de separacin, donde z = H, la presin es p1 = pa 2/R ya que los efectos de tensin superficial sondominantes. Por lo tanto

pa 2R+ gH = pa,

de modo que

H =2gR

.

2.- De la ecuacin de cantidad de movimiento a lo largo del tubo capilar, cuando los efectos de viscosidad son

dominantes, proporciona

(p)`H

vc`R2,

dado que (p)` gH se obtiene

vc` gR2

.

Dado que el volumen del tubo capilar es fijo, el incremento de volumen de agua es lo que decrece el volumen de aire

y, dado que la seccin del tubo es constante, la velocidad caracterstica del agua y del aire es la misma, esto es:

vcg vc` gR2

.

El esfuerzo de friccin es tal que

f vc`R,

de modo que la fuerza de friccin es

Ff fRH gR2H R,

del mismo orden que la de tensin superficial.

3.- Dado que los efectos viscosos tambin son dominantes en el movimiento del aire, la ecuacin de cantidad de

movimiento para el aire proporciona

(p)gH

avcgR2,

de modo que

(p)g aHvcgR2

agH a

(p)` ,

y por lo tanto

(p)g(p)`

a 1.

Y, como consecuencia, se pueden despreciar las variaciones de presin en el aire son despreciables frente a las del

agua y puede considerarse que la presin en el aire dentro del tubo capilar es la ambiente, pa, como cuando no hay

movimiento.

4.- Las ecuaciones de cantidad de movimiento para el agua, con los efectos viscosos dominantes, es

z(p+ gz) =

r

r

rvr

;

r(p+ gz) = 0.

Como p+ gz no depende de r, la primera de las dos ecuaciones anteriores puede integrarse con respecto a r para dar

v =1

4

z(p+ gz)

r2 R2

,

donde se han impuesto las condiciones de contorno v = 0 en r = R y v/r = 0 en r = 0.

Dado que

Q = 2Z R0

urdr =4

z(p+ gz)

Z R0

r2 R2

dr2 = R

4

8

z(p+ gz)

.

5.- La ecuacin de la continuidad en forma integral para un volumen de control igual al del agua dentro del tubo

capilar en cada instante proporciona

R2dx

dt= Q.

6.- De la ecuacin de cantidad de movimiento y de la de continuidad anteriores se tiene

R2dx

dt= R

4

8

z(p+ gz)

,

se obtiene

p+ gz = pa z8R2dx

dt,

donde se ha impuesto la condicin de contorno p + gz = pa en z = 0. Imponiendo la condicin de contorno

p = pa 2/R en z = x (t), se tiene

pa 2R+ gx = pa x

8R2dx

dt,

ecuacin que puede escribirse en la forma adimensional

1 d = d,

donde

=x

Hy =

gR2t8H

.

La solucin, con la condicin inicial (0) = 0, es

= ln (1 ) ,

o, en variables fsicas,

t = 8HgR2

h xH+ ln

1 x

H

i.

Obsrvese que para se obtiene = 1 o bien x = H, que es la posicin de equilibrio. En la figura siguiente seda la evolucin de la altura adimensional = x/H en funcin del tiempo adimensional .

00.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Tiempo adimensional

Altu

ra a

dim

ensi

onal

del

men

isco

7.- Utilizando un volumen de control que incluya al agua del tubo y a la superficie de separacin, la ecuacin de

cantidad de movimiento en forma integral

0 = Zp~ndA+

Z~n 0dA+

Z`

~n`d`+Z~gd,

donde ~n es la normal exterior al volumen de control. La integral de la presin se anula porque la presin es la ambiente

en ambos extremos

Zp~ndA =

Zep~ndA+

Zsp~ndA = (pa pa)R2~k = 0,

la integral de los efectos viscosos est extendida a la seccin de entrada y a la pared lateral. Los efectos viscosos en la

entrada son del orden de D/H 1 con respecto a los de la pared lateral, de modo queZ~n 0dA =

Ze~n 0dA+

Z`~n 0dA

Z`~n 0dA,

donde ` es la superficie lateral del tubo.

El trmino debido a la tensin superficial es Z`

~n`d` = 2R~k,

donde ` = 2R es el permetro de la seccin. El trmino de las fuerzas msicas esZ~gd = gxR2~k.

Dado que la fuerza que ejerce el tubo sobre el lquido es el dado por las integrales

~F =

Z`~n 0dA+

Z`

~n`d`,

la ecuacin de cantidad de movimiento en forma integral queda

~F = gxR2~k.

Hacindolo sin utilizar la ecuacin en forma integral se tiene

p = vr

r=R

=R

2

z(p+ gz)

,

pero

z(p+ gz) = 8Q

R4= 8

R2dx

dt,

de modo que

p = 4R

dx

dt,

y la fuerza de friccin es

Ff =

Z x0

p2Rdz = 8xdx

dt= gxR2 2R,

si ahora le sumamos la contribucin de la tensin superficial, 2R, se tiene

F = Ff + 2R = gxR2.




La figura representa un cambiador de calor por el que circula un lquido de densidad, viscosidad, conduc-

tividad trmica y calor especfico constantes. Est formado por una bomba ideal de potencia W constante,

una tubera circular de dimetro D, y un depsito de volumen mucho mayor que D3. El lquido sale del

depsito por la seccin e y retorna al mismo por la seccin 4. Todo el conjunto es adiabtico excepto los

tramos 1 2 y 3 4 de longitud L cada uno de ellos. El lquido se calienta en el tramo 1 2 cuyas paredestienen una temperatura Tc, y se enfra en el tramo 3 4 cuyas paredes estn a una temperatura Tf , ambasconocidas y constantes y que cumplen (Tc Tf ) /Tc 1. La longitud de los tramos de tubera desde e a1 y desde 4 hasta el depsito es despreciable frente a la longitud del resto. En la tubera (desde 1 a 4) el

movimiento es turbulento con coeficiente de friccin de Darcy, , constante y tal que L/D 1. El tramo2 3 est aislado trmicamente y tiene una longitud L/2. Suponiendo que el sistema funciona en rgimenestacionario y en ausencia de fuerzas msicas se pide:

1.- Determinen la cada de presin entre las secciones 1 y 4 en funcin de la velocidad del lquido. Comparen

esta cada de presin con la energa cintica del lquido.

2.- Determinen el caudal Q que circula por la tubera en funcin de la potencia W de la bomba.

3.- Suponiendo que el calor q por unidad de superficie lateral de tubo y por unidad de tiempo, en los tramos

1 2 y 3 4, est dado por

q =8vc (Tp T ) ,

donde Tp es la temperatura de la pared y c el calor especfico del lquido, escriban la ecuacin simplificada

de la energa, teniendo en cuenta que en el movimiento de los lquidos es v2 cT . Tengan tambin encuenta el resultado del apartado 1.

4.- Determinen la temperatura del lquido en el depsito, Td, y la diferencia de temperaturas T2 Td.

5.- Calor, por unidad de tiempo, transferido al lquido en el tramo 1 2 en funcin de la potencia W de labomba y de las temperaturas Tc y Tf .

L

Le 1 2

34

SOLUCIN

1.- la ecuacin de cantidad de movimiento para el conducto proporciona

d

ds

p

+1

2v2=

2Dv2,

que se integra para dar p

+1

2v2=

p

+1

2v21

s2Dv2.

La condicin de contorno en 4 (s = 5L/2) proporcionap

+1

2v24

=

p

+1

2v21

5L4D

v2,

que relaciona la velocidad con las presiones en 1 y 4. De la ecuacin anterior se obtiene

p1 p412v

2=5L2D

1.

2.- La potencia de la bomba est dada por

W = Q

p+

1

2v21

p+

1

2v2e

,

pero p+

1

2v2e

= pd,

siendo pd la presin en el depsito. De acuerdo con esto se tienep+

1

2v21

= pd +W

Q.

Adems, la condicin de contorno en 4 proporciona p4 = pd, de modo que sustituyendo en la ecuacin del

apartado 1 se obtiene

pd +1

2v2 = pd +

W

Q 5L4D

v2,

de modo que con Q = vD2/4, se tiene

1

2

1 +

5L2D

v3 =

4 (W/)D2

; v =

"8 (W/)

D21 + 5L2D

# 13 ,y el caudal es

Q =D2

4

"8 (W/)

D21 + 5L2D

# 13 .3.- La ecuacin de la energa es

vd

ds

h+

1

2v2=q

rh,

pero h = cT + p/ y, dado que las variaciones de presin en distancias del orden de L son del orden de v2

(vase apartado 1) y que la energa cintica es despreciable frente a la trmica, se tiene

d

ds

h+

1

2v2 cdT

ds,

de modo que la ecuacin de la energa, con la aproximacin anterior y con el valor de q, se reduce a

dT

ds=

2D

(Tp T ) .

4.- La integracin de la ecuacin anterior proporciona

T = Tp +Ke s2D ,

donde la constante de integracin K debe determinarse de la condicin de contorno apropiada a cada caso.

La temperatura en 1 es la del depsito porque le bomba funciona en rgimen ideal, de modo que T1 = Te y

en la descarga del depsito tambin se conserva la entropa, de modo que T1 = Te = Td. Por lo tanto, para

el tramo 1 2 se tiene Tp = Tc y T (s = 0) = Td de modo que K = Td Tc y la solucin queda

T = Tc + (Td Tc) es2D ; vlida para el tramo 1 2.

Al final del tramo, en 2, donde s = L, la temperatura T2 es

T2 = Tc + (Td Tc) eL2D .

En el tramo 2 3 el tubo est aislado trmicamente, de modo que la ecuacin de la energa queda

dT

ds= 0 T = T2 ; vlida para el tramo 2 3.

En particular se tiene T3 = T2.

En el tramo 3 4 vuelve a ser vlida la ecuacin

T = Tp +Ke s2D ,

con Tp = Tf y con la condicin T (s = s3) = T2 se obtiene

K = (T2 Tf ) es32D ,

y la distribucin de temperaturas queda

T = Tf + (T2 Tf ) e(s3s)2D .

En particular, en la seccin 4, donde s3 s4 = L, se tiene

T4 = Tf + (T2 Tf ) eL2D .

Dado que la entalpa de remanso en 4 es igual a la entalpa de remanso en e y esta a su vez es la del depsito,

resulta que T4 = Te = Td, por ser despreciable la energa cintica frente a la trmica y por ser el rgimen

estacionario. Por lo tanto, la ltima ecuacin se puede escribir como

Td = Tf + (T2 Tf ) eL2D ,

que junto con

T2 = Tc + (Td Tc) es2D ,

se pueden determinar las dos incgnitas T2 y Td. Se obtiene

Td = Tf + (Tc Tf )e

L2d

1 + eL2d

,

y

T2 = Td + (Tc Tf )1 eL2d1 + e

L2d

.

5.- El calor pedido es

= DZ L0qds =

D2

4vc

Z L0

dT

dsds =

D2

4vc (T2 Td) ,

por lo tanto

= Qc (T2 Td) ,

Donde el valor de Q en funcin de W , y el de T2 Td en funcin de Tc Tf , estn dados ms arriba.

mecanica de fluidos i

Documents