mecanica de fluidos (fuerza hidrostÁtica sobre superficie plana y no (resumen)

7/28/2019 MECANICA DE FLUIDOS (FUERZA HIDROSTTICA SOBRE SUPERFICIE PLANA Y NO (resumen)

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FUERZA HIDROSTTICA SOBRE SUPERFICIE PLANA Y NO-PLANA

Un fluido ejerce fuerza de presin en todas las direcciones, por lo tanto tambin sobre cualquier superficie en contactocon el, sea plana, curva o cncava.

El objetivo de esta seccin es determinar las caractersticas de esta fuerza hidrosttica originada por la presin del fluido.Estas caractersticas son:

a) la magnitud de la fuerza

b) su lnea de accin

c) el momento de la fuerza desde un eje de articulacin

Fuerza hidrosttica

Es la fuerza generada por la presin (P) del fluido sobre la superficie del contenedor ; por lo tanto, de acuerdo conel teorema 3, esta fuerza hidrosttica (F) incide de manera normal sobre la superficie (A) en contacto.

Superficie en contacto

Es la zona del contenedor que tiene contacto con el fludo.

Cuando la superficie es plana, todos los elementos de fuerzas (dF) son paralelos entre s, condicin que permite sepuedan sumar y se obtenga una sola fuerza resultante (F).

A su vez todos los elementos de rea (dA) en contacto pueden tambin sumarse para obtener el rea total (A) encontacto con el fluido (la expresin matemtica que relaciona estos conceptos):

El rea de la superficie en contacto con el fluido puede estar definido simplemente por una frmula geomtrica o por unafuncin matemtica que obliga a un clculo integral para su determinacin. Esta superficie puede encontrarse sumergidaen tres diferentes posiciones:

a) horizontalb) verticalc) inclinada (como en Fig.1)

Centroide

Es el centro geomtrico de una superficie. Sus coordenadas no dependen de alguna propiedad fsica del fluido, ni de laposicin en que se encuentre.


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Linea de accin

Lnea imaginaria que muestra la direccin y sentido del vector fuerza hidrosttica y que se prolonga atravezando justo elcentro de presin.

Centro de Presin

Es el punto sobre la superficie donde pasa la lnea de accin de la fuerza hidrosttica resultante. Sus coordenadasdependen de la profundidad a la que se localiza, por lo tanto de su posicin y no de alguna propiedad fsica del fluido.

Momento de la Fuerza

Es el efecto de la fuerza sobre la superficie en contacto (en el centro de presin), tomando en cuenta la distancia desde eleje de giro, donde la superficie se encuentra articulada hasta el centro de presin. Se calcula multiplicando la magnitud dela fuerza hidrosttica (dF) por la distancia ms corta (y) desde el eje de articulacin hasta la lnea de accin de la fuerza.O como producto cruz de dos vectores, el vector de posicin y el vector fuerza hidrosttica.

Momento de Area

Es el producto de la multiplicacin del Area (dA) por la distancia ms corta (y) desde el eje de coordenadas hasta encentroide de la figura:

Momento de primer orden:

Momento de segundo orden:

FUERZA HIDROSTTICA SOBRE SUPERFICIES PLANAS

a) Magnitud de la Fuerza hidrosttica

Sabemos que, en cualquier punto de la superficie en contacto se manifiesta una presin (p) ocasionada por las partculasdel fluido.

Por definicin la presin se expresa como una fuerza (dF) que incide perpendicularmente al rea (dA) en contacto con el

fluido y su expresin matemtica es:

Sabemos tambien que la presin hidrosttica en cualquier punto de un fluido depende del peso especfico del fluido (g) yde la profundidad (H) a la que se encuentra el punto de presin (Teorema 2 de la hidrosttica):


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Si se considera que la presin sobre el espejo del fluido es la atmosfrica (po), entonces, vale cero manomtricamente, seobtiene:

Al igualar las ec. y despejar, se obtiene :

Segn la Fig. que muestra el perfil de una superficie en contacto, en posicin inclinada :

Sustituyendo:

Sustituyendo en ec. se obtiene la expresin para un elemento (dF) de estas fuerzas:

Si D = 0, Fig. 2.2

Como todos los elementos de fuerza (dF) que inciden sobre la superficie en contacto son paralelos, se pueden sumar (osea integrar) para obtener una fuerza nica resultante, que es la fuerza hidrosttica (F) que incide perpendicularmentesobre la superficie en contacto.

Si D = 0, la ecuacin se reduce:

Se puede observar que las ec. (2.2.8) y (2.2.10) son expresiones indeterminadas que requieren del clculo integral; quecomparadas con las ec.2.2.9) y (2.2.11) solo requieren de datos que se pueden obtener de tablas de figuras geomtricas

Fuerza hidrosttica (Mtodo Geomtrico)


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La magnitud de la fuerza hidrosttica (F) se calcula usando las ec. y con ayuda de datos que se pueden obtener de la tablade figuras geomtricas sencillas, tales como un circulo, tringulo, etc.

Considerando la ec. anterior

Sustituyendo en la ec. y reduciendo:

Fuerza hidrosttica (Mtodo por integracin)

En este caso, cuando la superficie en contacto no es precisamente una figura geomtrica sencilla, resulta necesario aplicarlas ec. (2.2.8) o (2.2.10)

Que invariablemente requieren de una funcin matemtica, la que determina cmo est delimitado el rea entre los ejescartesianos, para proceder luego al clculo integral del rea (A) y del momento de rea (Mx):

rea:

Momento de rea:

Habindolos calculados se puede determinar la coordenada vertical del centroide (yc) de la figura sumergida.

Estas tres ltimas expresiones son propiedades de la figura por lo tanto son independientes de la posicin que tenga lasuperficie en contaco con el medio fludico.


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FUERZA HIDROSTTICA SOBRE SUPERFICIES NO-PLANAS SUMERGIDAS

Se van a considerar tres casos de superficies no planas en contacto con los fluidos:

a) Superficie cncava

b) Superficie curva

c) Volumen sumergido

Los elementos de fuerzas hidrostticas (dF) sobre estas superficies, en ningn caso son paralelas, sino son vectorestridimensionales

Se pretende para estos casos determinar la magnitud de la fuerza hidrosttica y las coordenadas de su lnea de accin.

Superficies Cncavas

Caractersticas:

1.- Todos los elementos de fuerzas hidrostticas (dF) distribuidas sobre la superficie (dA) son ocasionadas por la presin(p) del fluido y por definicin inciden perpendicularmente sobre la superficie (desde el espacio tridimensional (x,y,z)) enconsecuencia no son paralelas.

Segn ec.(2.2.1) para un elemento (dF):

2.- Adems como la presin hidrosttica es, segn ec. :

Sustituyendo sobre ec. se obtiene la diferencial de la fuerza hidrosttica ec.:

3.- Estas fuerzas (dF) son vectores espaciales (o sea tridimensionales) por lo tanto solo descomponindolos en sus

componentes cartesianos (x,y,z) se vuelven paralelos y entonces ya se pueden sumar (integrar) todos los de un mismo eje.La Fig. 2.15 muestra los vectores componentes en el eje (x).


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Sumas en el eje (x):

Sumas en el eje (y):

Sumas en el eje (z):

Se procede a analizar cada uno de los componentes cartesianos:

a) Fuerzas en el eje (x) (horizontal)

Los componentes (dFx) son paralelos entre s e impactan sobre una superficie vertical imaginaria, solo as sepueden sumar y encontrar la fuerza resultante y su correspondiente lnea de accin. Este es el mismo caso de unasuperficie plana vertical analizado en la secc.2.2.1, con la diferencia de que el rea a considerar ahora es el rea deproyeccin (Ap) de la superficie cncava.

El rea de proyeccin (Ap) es el rea o sombra proyectada sobre el plano (z,y) y Fx es la fuerza hidrosttica componenteen el eje x.

La Lnea de accin se obtiene de la misma manera que en la seccin 2.2.2. y se obtienen las ecuaciones :

b) Fuerzas en el eje (z) (tambin horizontal):

Las fuerzas que apuntan en un sentido, anulan a las del otro sentido:

c) Fuerzas en el eje (y) (Vertical):

Observe que los componentes verticales son dos conjuntos paralelos y unos apuntan hacia abajo y otros hacia arriba. Lafig.2.16 muestra los vectores componentes en el eje (y).

Donde dV corresponde a un elemento de volumen, que se levanta desde la superficie curva hasta tocar el espejo delfluido:


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Integrando:

Donde (V) es el volumen encima de toda la curvatura hasta tocar el espejo del lquido.

Las fuerzas verticales son:

Fuerza vertical hacia arriba:

Fuerza vertical hacia abajo:

Fuerza resultante vertical:

Donde (Ven) es el volumen encerrado en la concavidad.

Esta fuerza vertical resultante hacia arriba se conoce con el nombre de empuje y es una propiedad natural de losfluidos.

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES-EMPUJE Y FLOTABILIDAD

El principio de Arqumedes es un principio fsico que afirma que un cuerpo total o parcialmente sumergido en unfluido esttico, ser empujado con una fuerza igual al peso del volumen de fluido desplazado por dicho objeto. De este

modo cuando un cuerpo est sumergido en el fluido se genera un empuje sobre la superficie del cuerpo que acta siemprehacia arriba a travs del centro de gravedad del cuerpo del fluido desplazado y de valor igual al peso del fluidodesplazado.

Sabemos que la presin hidrosttica aumenta con la profundidad y conocemos tambin que se manifiestamediante fuerzas perpendiculares a las superficies slidas que contacta. Esas fuerzas no slo se ejercen sobre las paredesdel contenedor del lquido sino tambin sobre las paredes de cualquier cuerpo sumergido en l.

Cuando un cuerpo esta sumergido las fuerzas se distribuyen en forma simtrica de acuerdo al teorema general dela hidrosttica. La simetra de la distribucin de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la direccinhorizontal ser cero, pero en la direccin vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actauna fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presin crece conla profundidad, resulta ms intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actauna resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje.

"Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de lquidodesplazado."
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Para calcular el empuje que acta sobre ese cuerpo se tiene en cuenta su peso en el aire y su peso sumergido en el liquido.

Empuje =Peso del cuerpo en el airePeso del cuerpo sumergido.

Empuje =Peso del lquido desplazado =Densidad del liquido. g .

Volumen del liquido desplazado =Densidad del liquido. g . Volumen del cuerpo

Flotabilidad: Efectos fsicos del agua sobre el cuerpo:

La flotabilidad: Del principio de Arqumedes: Todo cuerpo sumergido en un lquido recibe un empuje o flotabilidadpositiva proporcional al volumen del lquido desplazado.

La respiracin es un agente importante en la flotabilidad. Otros agentes son la contextura, la osamenta y la cantidad detejido adiposo. Si una persona est detenida y relajada la flotabilidad aumenta, pero la agitacin disminuye el aire en lospulmones y aumenta la densidad del cuerpo en el agua.

Resistencia al agua: En inmersin la resistencia del agua depender de la posicin de desplazamiento del sujeto. Porejemplo, para una embarazada la resistencia del agua depende de la forma que tiene su cuerpo, el que se va modificando alo largo del embarazo. Generalmente la posicin vertical ofrece mayor resistencia al desplazamiento que la posicinhorizontal.

EQUILIBRIO RELATIVO DE LQUIDOS QUE SE TRASLADAN

Hasta ahora se ha considerado, para el clculo de superficies de nivel y de presin en un punto interior de un fluido, que

ste se encontraba en reposo, o bien, que poda estar en movimiento uniforme, sin ninguna aceleracin. Sin embargo,

cuando el fluido se encuentra en el interior de un recipiente, sin ocuparlo en su totalidad, y por lo tanto, con completa

libertad de movimiento para desplazarse por el interior del mismo, y se hace mover a este recipiente con un movimiento

acelerado o retardado, se observa que el lquido va tomando una cierta inclinacin que depende de la aceleracin a que se

halla sometido el sistema. Para su estudio supondremos un depsito prismtico con una cierta cantidad de lquido; unapartcula del mismo estar sometida a dos tipos de fuerzas, tal como se indica en la Fig III.1, es decir, la fuerza debida a la

aceleracin del movimiento y la fuerza debida a la aceleracin de la gravedad. Ambas fuerzas se pueden proyectar sobre

los ejes, obtenindose,

F i g I I I . 1 . - E q u i l i b r i o r e l a t i v o d e u n l q u i d o q u e s e t r a s l a d aIII.-29

en las que se ha supuesto masa unidad. Sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones fundamentales, se tiene,


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quedando as determinadas la presin en cualquier punto y las superficies de nivel.

Clculo del ngulo que forma la nueva superficie libre con la inicial, paralela al eje Ox.-

La ecuacindel plano que forma ngulos,

, , , con los coordenados es,

x cos + y cos + z cos = Cte


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EQUILIBRIO RELATIVO DE LQUIDOS QUE GIRAN ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL

Supongamos un recipiente cilndrico, vertical, que est lleno de un determinado lquido hasta una cierta altura h; si sehace girar dicho cilindro alrededor de un eje vertical, la superficie libre del fluido cambiar de forma. El problemaconsiste en determinar la forma que adoptar la superficie libre, y la presin en cada punto del lquido, cuando el cilindroque lo contiene gire alrededor de su propio eje.Para los clculos supondremos un sistema cartesiano de forma que el eje

de giro coincida con el eje z, y la base del cilindro est contenida en el plano (x,y). Al girar el recipiente con una ciertavelocidad angular w, cada uno de los puntos del lquido estar sometido a la accin de dos fuerzas, la centrfuga, r w2, yla gravedad, - g, como se indica en la Fig III.3.Las componentes de la resultante de estas fuerzas son,


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