mecanica de fluidos - flujo en canales abiertos
TRANSCRIPT
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO” Ampliación Maracaibo Plataforma SAIA Materia: Mecánica de Fluidos II
UNIDAD II: FLUJO EN CANALES ABIERTOS
Autor:
GOMEZ PEÑA, Robin
C.I.: 9.799.075
Maracaibo, Junio de 2016
INTRODUCCION
El flujo en canales abiertos tiene lugar cuando los líquidos fluyen por la acción
de la gravedad y sólo están parcialmente envueltos por un contorno sólido. En el
flujo de canales abiertos, el líquido que fluye tiene superficie libre y sobre él no actúa
otra presión que la debida a su propio peso y a la presión atmosférica. El flujo en
canales abiertos también tiene lugar en la naturaleza, como en ríos, arroyos, etc., si
bien, en general, con secciones rectas del cauce irregulares. De forma artificial (es
decir, construidas por el hombre) tiene lugar en los canales, acequias y canales de
desagüe. En la mayoría de los casos, los canales tienen secciones rectas regulares,
y suelen ser rectangulares, triangulares o trapezoidales. También tiene lugar el flujo
en canales abiertos en el caso de conductos cerrados (como en tuberías de sección
recta circular) cuando el flujo no es a conducto lleno. En los sistemas de
alcantarillado no tiene lugar, por lo general, el flujo a conducto lleno y su diseño se
realiza como canal abierto.
1.- DEFINICION, HISTORIA E IMPORTANCIA
En ingeniería se denomina “canal” a una construcción destinada al transporte
de fluidos (generalmente utilizada para agua) y que, a diferencia de las tuberías, es
abierta a la atmósfera. También se utilizan como vías artificiales de navegación. La
descripción del comportamiento hidráulico de los canales es una parte fundamental
de la hidráulica y su diseño pertenece al campo de la ingeniería hidráulica, una de
las especialidades de la ingeniería civil.
Cuando un fluido es transportado por una tubería parcialmente llena, se dice
que cuenta con una cara a la atmósfera, por lo tanto se comporta como un canal.
El conocimiento empírico del funcionamiento de los canales se remonta a
varios milenios. En la antigua Mesopotamia se usaban canales de riego, en la Roma
Imperial se abastecían de agua a través de canales construidos sobre inmensos
acueductos, y los habitantes del antiguo Perú construyeron en algunos lugares de
los Andes canales que aún funcionan, Claro es el Ejemplo de los canales de Cumbe
Mayo, el centro hidráulico más importante de los Andes El conocimiento y estudio
sistemático de los canales se remonta al siglo XVIII, con Chézy, Bazin y otros.
Heródoto (padre de la historiografía) cuenta que los cnidios pueblos de la
Caria en Asia menor emprendieron cortar el istmo que une la isla de Cnido al
continente: pero abandonaron este trabajo por mandato de un oráculo.
Antiguo Egipto
Varios reyes de Egipto intentaron unir el mar Rojo con el Mediterráneo.
Soliman II emperador de los turcos empleó sin ningún efecto más de cincuenta mil
hombres para restablecer este canal, que había desaparecido debajo de la arena.
Los egipcios fueron sin duda también los primeros pueblos que se sirvieron
de canales para fertilizar los campos con las aguas del Nilo y cuando las tierras se
hallaban demasiado altas empleaban máquinas para elevar el agua a la altura
necesaria. La mayoría de estas se dice las inventó Arquímedes en su viaje a Egipto.
Algunos suponen que la mayor parte de las bocas del Nilo fueron canales abiertos
por la mano del hombre. Aristóteles decía que el brazo canópico era el único natural,
al paso que Heródoto supone que solo el bolvítico y el bucólico eran artificiales.
Sesostris I y sus sucesores intentaron poner en comunicación el Nilo con el
mar Rojo, en cuya empresa perecieron durante el reinado de Neco unos ciento
veinte mil hombres. El proyecto se abandonó por la predicción de un oráculo que
manifestó que por este medio se abriría quizá un pasaje a los bárbaros. Más
adelante continuó Darío este mismo canal, que según Heródoto tenía ya cuatro días
de navegación, al paso que Diodoro dice que este Príncipe no hizo más que
construir una parte de él dejando lo demás imperfecto por haberle demostrado que
el mar Rojo estaba más alto que Egipto y que si cortaba el istmo inundaría todo
aquel país, lo mismo que con poca diferencia refieren otros autores.
Había en Egipto otros canales, pero estos servían más para el riego que para
la navegación. El mayor de todos fue el que Moeris hizo construir para conducir las
aguas del Nilo al gran lago que había mandado hacer. Se asegura que este canal
tenía ochenta estadios de largo y trescientos pies de ancho, cuya entrada podía
abrirse y cerrarse según convenía. El canal que el califa Omar hizo construir para
trasportar a Medina los granos de Alejandría, creen algunos que fue siguiendo las
huellas del antiguo.
Mesopotamia y Antigua Grecia
Los célebres ríos de Asia el Éufrates y el Tigris estaban en comunicación por
medio de un cunal que algunos creen obra de Nabucodonosor y otro canal que unía
el Tigris con el Euleo sirvió bastante a Alejandro en sus conquistas.
Los griegos y romanos proyectaron abrir un canal cortando el istmo de
Corinto que une Acaya con Morea, a fin de poder pasar del mar Jónico al
Archipiélago. Este istmo apenas tiene más de dos leguas y cortándolo ahorraba a
las embarcaciones una vuelta de ciento sesenta leguas alrededor del Peloponeso y
el doblar un cabo muy peligroso por sus muchos escollos. Periandrio fue el primero
que formó este proyecto cinco ó seis años antes de la era cristiana. Demetrio
Poliorcetas rey de Macedonia tres siglos después ensayó hacer una isla del
Peloponeso, empresa que abandonó más adelante. Julio César, Cayo Calígula,
Nerón y en fin Herodes Ático procuraron entorpecer o frustrar esta tentativa. Tantas
dificultades, muchas de ellas insuperables, dieron lugar a este proverbio latino:
Isthmum fodere.
Heródoto dice que Jerjes en su expedición contra Grecia hizo abrir un canal
o cortar el istmo que unía el monte Athos al continente, en cuyos mares se había
perdido algunos años atrás una de sus flotas. Según lo que dice Estrabón en el lib.
X la península de Leucadia situada en el mar Jónico, célebre por la roca desde
donde se precipitaban al mar los amantes desgraciados, estaba unida al continente
antes de que una colonia de corintios hubiese cortado el istmo.
Antigua Roma
Plutarco refiere que no pudiendo Mario acampado cerca el Ródano proveer
su ejército por las embocaduras de este río que estaban llenas de arena, hizo abrir
un canal de cerca ocho leguas entre el mar y aquel río, por cuyo medio conducía
fácilmente los víveres que necesitaba. Queriendo Druso Nerón conducir con más
prontitud su ejército contra los chancos y frisios, puso en comunicación por los años
712 de Roma el Rhin con el Isel por medio de un canal, del que se sirvió después
germánico en el año 16 de nuestra era. Tácito nos dice que precisado Corbulon por
las órdenes de Claudio a interrumpir su expedición contra los chancos y no
queriendo dejar ocioso su ejército, hizo un canal de unas 22 millas de largo, por el
que puso en comunicación el río Mosa con el Rhin.
Los romanos, no menos que los egipcios y los pueblos del Asia, sin embargo
de que la construcción de sus principales canales fue obra de su genio guerrero
para facilitar los trasportes y hacer las marchas con más prontitud, no descuidaron
por esto los canales de riego tan interesantes a un pueblo agricultor. Así es que
Catón y la mayoría de los escritores antiguos consideran como la más rica de las
posesiones un campo que se pueda regar, solum irrigunm. Cicerón considera con
razón el riego de los campos como la causa principal de su fertilidad y le recomienda
muy particularmente: acide ductus aquarum, derivationes fluminum, agrorum
irrigationes. Vitrubio habla de la construcción de estos canales con mucha extensión,
etc.
China Los chinos han aventajado a los griegos, a los romanos y en una palabra, a
todos los pueblos en la construcción de canales. Según todas las noticias que
tenemos de este pueblo, se ocuparon ya desde la más remota antigüedad en la
conducción y distribución de las aguas. El más célebre canal de China es el Yun-
leang o canal real que emprendió en el año 1289 el emperador Chi-tsou jefe de la
dinastía Fuen, el primero de los emperadores tártaros-mogoles que reinaron en la
China. Corre el espacio de unas 140 leguas.
2.- FLUJO UNIFORME Y PERMANENTE El flujo uniforme y permanente comprende dos condiciones de flujo. El flujo
permanente, como se define para flujo en tuberías, se refiere a la condición según
la cual las características del flujo en un punto no varían con el tiempo (jV/jt = 0,
jy/jt = 0, etc.). El flujo uniforme se refiere a la condición según la cual la profundidad,
pendiente, velocidad y sección recta permanecen constantes en una longitud dada
del canal (jy/jL = 0, jV/jL = 0, etc.).
En el caso especial de flujo uniforme y permanente, la línea de alturas totales,
la línea de alturas piezométricas y la solera del canal son todas paralelas (es decir,
son iguales sus pendientes). Esto no es verdad para flujo permanente no uniforme.
3.- FLUJO NO UNIFORME El flujo no uniforme ocurre cuando la profundidad del líquido varía a lo largo
de la longitud del canal abierto, o sea, jy/jL ≠ 0. El flujo no uniforme puede ser
permanente o no permanente. También puede clasificarse en tranquilo, rápido o
crítico.
4.- FLUJO LAMINAR El flujo laminar en canales abiertos se dará para valores del número de
Reynolds Re de 2.000 o menores. El flujo puede ser laminar hasta Re = 10.000.
Para el flujo en canales abiertos, Re = 4RV/v, donde R es el radio hidráulico (área
de la sección recta dividida por el perímetro mojado),
V= velocidad de la corriente, y v = viscosidad cinemática.
5.- LA FORMULA DE CHEZY Para flujo uniforme y permanente, es:
𝑉𝑉 = 𝐶𝐶√𝑅𝑅𝑅𝑅 (1)
Donde V = velocidad media
C = coeficiente R = radio hidráulico S = pendiente de la línea de alturas totales
6.- EL COEFICIENTE C puede obtenerse aplicando cualquiera de las
expresiones siguientes:
𝐶𝐶 = �8𝑔𝑔𝑓𝑓
(2)
𝐶𝐶 =23 + 0,00155
𝑅𝑅 + 1𝑛𝑛
1 + 𝑛𝑛√𝑅𝑅
�23 + 0,00155𝑅𝑅 �
(Kutter) (3)
𝐶𝐶 =1𝑛𝑛𝑅𝑅1/6 (Manning) (4)
𝐶𝐶 =87
1 + 𝑚𝑚/√𝑅𝑅 (Bazin) (5)
𝐶𝐶 = −23,2 log �1,811𝐶𝐶𝑅𝑅𝑅𝑅
+𝜀𝜀𝑅𝑅� (Powell) (6)
En las expresiones (3), (4) Y (5), n y m son factores de rugosidad
determinados experimentalmente sólo para el agua. En general, se prefiere el
empleo de la fórmula de Manning en el flujo en canales abiertos.
7.- EL CAUDAL (Q) para flujo uniforme y permanente, aplicando la fórmula
de Manning, es:
𝑄𝑄 = 𝐴𝐴𝑉𝑉 = 𝐴𝐴 �1𝑛𝑛�𝑅𝑅2/3𝑅𝑅1/2 (7)
Donde Q viene en m3/s, si A viene dada en m2 y R en m.
Las condiciones ligadas al flujo uniforme y permanente se llaman normales.
De ahí los términos profundidad normal y pendiente normal.
8.- LA PERDIDA DE CARGA (hL), expresada en términos de la fórmula de
Manning, es:
ℎ𝐿𝐿 = �𝑉𝑉𝑛𝑛𝑅𝑅2/3�
2
𝐿𝐿 Haciendo 𝑅𝑅 = ℎ𝐿𝐿/𝐿𝐿 (8)
En el caso de flujo no uniforme pueden emplearse los valores medios de V y
R con aceptable precisión. Para un canal largo se emplearán longitudes cortas en
las que los cambios en profundidad sean de la misma magnitud.
9.- DISTRIBUCION VERTICAL DE LA VELOCIDAD La distribución vertical de la velocidad en un canal abierto puede suponerse
parabólica para flujo laminar, y logarítmica para flujo turbulento.
Para un flujo laminar uniforme en canales abiertos amplios de profundidad
media y m, la distribución de velocidad puede expresarse así:
𝑣𝑣 =𝑔𝑔𝑅𝑅𝑣𝑣�𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚 −
12
𝑦𝑦2� 𝑜𝑜 𝑣𝑣 =𝛾𝛾𝑅𝑅𝜇𝜇�𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚 −
12
𝑦𝑦2� (9)
La velocidad media V, es:
𝑉𝑉 =𝑔𝑔𝑅𝑅𝑦𝑦𝑚𝑚2
3𝑣𝑣 𝑜𝑜 𝑉𝑉 =
𝛾𝛾𝑅𝑅𝑦𝑦𝑚𝑚2
3𝜇𝜇 (10)
Para un flujo turbulento uniforme en canales abiertos anchos la distribución
de velocidad puede expresarse así:
𝑣𝑣 = 2,5�𝜏𝜏0/𝜌𝜌 ln(𝑦𝑦/𝑦𝑦0) 𝑜𝑜 𝑣𝑣 = 5,75�𝜏𝜏0/𝜌𝜌 ln(𝑦𝑦/𝑦𝑦0) (11)
10.- ENERGIA ESPECÍFICA La energía específica (E) se define como la energía por unidad de peso (m.
kp/kp o N ⋅ m/N) con relación a la solera del canal, o sea:
𝐸𝐸 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑜𝑜𝑓𝑓𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑅𝑅 𝑣𝑣𝑅𝑅𝑎𝑎𝑜𝑜𝑣𝑣𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑦𝑦 + 𝑉𝑉2/2𝑔𝑔 (12a)
Una expresión más exacta del término de energía cinética sería aV2/2g. Para
la discusión del factor de corrección de la energía cinética “a” en función del caudal
“q” por unidad de anchura “b” del canal (o sea, q = Q/ b):
𝐸𝐸 = 𝑦𝑦 + 0/2𝑔𝑔) �𝑞𝑞𝑦𝑦�2
𝑜𝑜 𝑞𝑞 = �2𝑔𝑔(𝑦𝑦2𝐸𝐸 − 𝑦𝑦3) (12b)
Para un flujo uniforme, la energía específica permanece constante de una
sección a otra. Para un flujo no uniforme, la energía específica a lo largo del canal
puede aumentar o disminuir.
11.- PROFUNDIDAD CRÍTICA La profundidad crítica (yc) para un caudal unitario constante q en un canal
rectangular es aquella para la cual la energía específica es mínima.
𝑦𝑦𝑐𝑐 = �𝑞𝑞2
𝑔𝑔3
= �23� 𝐸𝐸𝑐𝑐 =
𝑉𝑉𝑐𝑐2
𝑔𝑔 (13)
Esta expresión puede transformarse en:
𝑉𝑉𝑐𝑐 = �𝑔𝑔𝑦𝑦𝑐𝑐 𝑜𝑜 𝑉𝑉𝑐𝑐
�𝑔𝑔𝑦𝑦𝑐𝑐= 1 Para flujo crítico (14)
Por consiguiente, si el número de Froude 𝐹𝐹𝑝𝑝 = 𝑉𝑉𝑐𝑐/�𝑔𝑔𝑦𝑦𝑐𝑐 = 1, existe el flujo
crítico. Si Fr > 1 hay flujo supercrítico (flujo rápido); y si Fr < 1, el flujo es subcrítico
(flujo tranquilo).
12.- CAUDAL UNITARIO MAXIMO El caudal unitario máximo (qmáx) en un canal rectangular, para una energía
específica dada E.
𝑞𝑞𝑚𝑚á𝑥𝑥 = �𝑔𝑔𝑦𝑦𝑐𝑐3 = �𝑔𝑔[(2/3)𝐸𝐸]3 (15)
13.- EN CANALES NO RECTANGULARES Y PARA UN FLUJO CRÍTICO
𝑄𝑄2
𝑔𝑔=𝐴𝐴𝑐𝑐3
𝑏𝑏′ 𝑜𝑜
𝑄𝑄2𝑏𝑏′
𝑔𝑔𝐴𝐴𝑐𝑐3= 1 (16)
Donde b' es la anchura de la superficie libre del agua. La expresión (16) la
podemos transformar, dividiendo por 𝐴𝐴𝑐𝑐2, en la forma:
𝑉𝑉𝑐𝑐2
𝑔𝑔=𝐴𝐴𝑐𝑐𝑏𝑏′
𝑜𝑜 𝑉𝑉𝑐𝑐 = �𝑔𝑔𝐴𝐴𝑐𝑐𝑏𝑏′
= �𝑔𝑔𝑦𝑦𝑚𝑚 (17)
Donde el término Ac/b' se denomina profundidad media Ym.
14.- FLUJO NO UNIFORME Para estudiar el flujo no uniforme en canales abiertos, éstos suelen dividirse
en longitudes L llamadas tramos. Para calcular las curvas de perfil, la ecuación de
energía conduce a:
𝐿𝐿 =�𝑉𝑉2
2
2𝑔𝑔 + 𝑦𝑦2� − �𝑉𝑉12
2𝑔𝑔 + 𝑦𝑦1�
𝑅𝑅0 − 𝑅𝑅=𝐸𝐸2 − 𝐸𝐸1𝑅𝑅0 − 𝑅𝑅
=𝐸𝐸1 − 𝐸𝐸2𝑅𝑅 − 𝑅𝑅0
(18)
Donde S0 = la pendiente de la solera del canal, y S = la pendiente de la línea
de energía.
Para sucesivos tramos, donde los cambios en profundidad son
aproximadamente los mismos, el gradiente de energía S puede escribirse así:
𝑅𝑅 = �𝑛𝑛𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚2/3 �
2
𝑜𝑜 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚2
𝐶𝐶2𝑅𝑅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (19)
Los perfiles superficiales para condiciones de flujo gradualmente variable en
canales rectangulares anchos pueden analizarse empleando la expresión:
𝑝𝑝𝑦𝑦𝑝𝑝𝐿𝐿
=𝑅𝑅0 − 𝑅𝑅
(1 − 𝑉𝑉2/𝑔𝑔𝑦𝑦) (20)
El término dy/dL representa la pendiente de la superficie libre del agua en
relación con la solera del canal. Así, pues, si dy/dL es positivo, la profundidad
aumenta aguas abajo.
15.- RESALTO HIDRAULICO El resalto hidráulico se produce cuando un flujo supercrítico cambia a flujo
subcrítico. En tales casos, la elevación de la superficie líquida aumenta súbitamente
en la dirección del flujo. En el caso de un flujo constante en un canal rectangular.
𝑞𝑞2
𝑔𝑔= 𝑦𝑦1𝑦𝑦2 �
𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦22 � (21)
16.- FLUJO EN CANALES ABIERTOS DE SECCION RECTA CIRCULAR Los problemas sobre flujo uniforme en canales abiertos de secciones
circulares pueden resolverse esencialmente de la misma forma que los de
secciones no circulares, radicando la mayor diferencia en el cálculo del radio
hidráulico de parte de una sección circular que, en general, encierra mayor dificultad.
Los cálculos en los que intervienen secciones rectas que son segmentos de círculos,
aunque no muy complicados, son, sin embargo, muy laboriosos. Los cálculos se
pueden simplificar (con alguna pérdida de precisión) al utilizar las gráficas
mostradas en la Figura 10.1, que da las magnitudes hidráulicas de una sección
circular. Se da una curva para cada una de las magnitudes hidráulicas (perímetro
mojado, área, caudal, radio hidráulico y velocidad) que muestra cómo varía cada
una de las magnitudes con la profundidad de la corriente. Se observa que en
ordenadas se representa la profundidad relativa (expresada en tanto por ciento) de
la real, para un flujo dado, respecto de la profundidad a conducto lleno (que es, por
supuesto, el diámetro de la tubería). En las abscisas se representan las otras
magnitudes hidráulicas relativas.
17.- SECCIONES RECTAS DE MAXIMO RENDIMIENTO La sección recta de máximo rendimiento para un canal abierto se define como
aquella sección que dé el máximo caudal cuando se dan la pendiente, el área y el
coeficiente de rugosidad. Si estas magnitudes se mantienen constantes, la
velocidad (y, por tanto, el caudal) será máxima cuando el perímetro mojado sea
mínimo. Basándose en esta premisa, se puede determinar la sección recta de mayor
rendimiento (y, por tanto, la más económica) para las formas más comunes.
De todas las secciones rectas, la de máximo rendimiento es el semicírculo,
ya que tiene el perímetro mojado mínimo para un área dada. Para una sección
rectangular, la de mayor rendimiento es la que tiene una profundidad igual a la mitad
de su anchura. Para una sección triangular, la que tiene las pendientes de los lados
igual a la unidad es la de máximo rendimiento. Y para una sección trapezoidal es la
que es igual a la mitad de un hexágono regular (es decir, los tres lados iguales con
ángulos interiores de 1200 cada uno). Todas estas secciones se muestran en la
Figura 10.2.
18.- DISEÑO DE ESTRUCTURAS HIDRAULICAS 18.1.- ENERGIA DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS La energía total del agua de cualquier línea de corriente que pasa a través
de una sección del canal puede expresarse como la altura total en metros de agua,
que es igual a la suma de la elevación por encima del nivel de referencia, la altura
de presión y la altura de velocidad.
Como se puede observar en la figura tomada de Chow (1994), con respecto
al plano de referencia, la altura total H de una sección O que contiene al punto A en
una línea de corriente del flujo de un canal de pendiente alta se puede escribir de la
siguiente manera:
𝐻𝐻 = 𝑧𝑧𝐴𝐴 + 𝑝𝑝𝐴𝐴 ∗ cos∅ +𝑉𝑉𝐴𝐴2
2𝑔𝑔
𝑧𝑧𝐴𝐴 Elevación del punto A por encima del plano de referencia.
𝑝𝑝𝐴𝐴 Profundidad del punto A por debajo de la superficie medida a lo largo de la
sección del canal.
∅ Ángulo de la pendiente del fondo del canal.
𝑉𝑉𝐴𝐴2
2𝑔𝑔 Altura de velocidad del flujo en la línea de corriente que pasa por H.
En general, cada línea de corriente que pasa a través de una sección del
canal tendrá una altura de velocidad diferente debido a la distribución no uniforme
de velocidades. Con el fin de tener en cuenta esta distribución, puede utilizarse el
coeficiente de energía para corregir ese efecto.
𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 + 𝑝𝑝 ∗ cos∅+∝∗𝑉𝑉2
2𝑔𝑔
Para canales con pendiente baja θ≅0. Luego la energía total en la sección
del canal es:
𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 + 𝑝𝑝+∝∗𝑉𝑉2
2𝑔𝑔
Si se considera un canal prismático, como el de la figura, la línea que
representa la elevación del de la altura total del flujo es la línea de energía. La
pendiente de esa línea (Sf) se conoce como gradiente de energía. La pendiente de
la superficie de agua se representa por Sw y la de fondo por So. De acuerdo con el
principio de conservación de energía, la altura de energía total en la sección 1
localizada aguas arriba debe ser igual a la altura energía total en la sección 2
localizada aguas abajo más la pérdida de energía hf entre las dos secciones.
𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 +∝1∗𝑉𝑉12
2𝑔𝑔= 𝑧𝑧2 + 𝑦𝑦2 +∝2∗
𝑉𝑉22
2𝑔𝑔+ ℎ𝑓𝑓 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝 ∗ cos∅
Cuando hf=0 y α1=α2=1 la ecuación de energía se convierte en la ecuación
de Bernoulli.
𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 +𝑉𝑉12
2𝑔𝑔= 𝑧𝑧2 + 𝑦𝑦2 +
𝑉𝑉22
2𝑔𝑔= 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑛𝑛𝑐𝑐𝑎𝑎𝑝𝑝𝑛𝑛𝑎𝑎𝑅𝑅
18.2.- CANTIDAD DEL MOVIMIENTO DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS
La cantidad de movimiento que pasa a través de una sección del canal por
unidad de tiempo se expresa por:
𝛾𝛾.𝑄𝑄.𝛽𝛽.𝑉𝑉𝑔𝑔
Siendo β el coeficiente de cantidad de movimiento.
El cambio de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual a la
resultante de fuerzas externas actuantes sobre el cuerpo.
𝑄𝑄. 𝛾𝛾𝑔𝑔
= (𝛽𝛽2.𝑉𝑉2 − 𝛽𝛽1.𝑉𝑉1) = 𝑃𝑃1 − 𝑃𝑃2 + 𝑊𝑊. sen∅ − 𝐹𝐹𝑓𝑓
Siendo W el peso del agua contenido entre las secciones; y Ff es la fuerza
de fricción y de resistencia externas a lo largo de la superficie de contacto.
Si el flujo es paralelo o gradualmente variado P1 y P2 se calculan
considerando una distribución hidrostática de presiones. Si esto no ocurre se
remplazan P1 y P2 por β’1*P1 y β’2*P2, donde β’1 y β’2 son los coeficientes de
distribución de presiones o de fuerza ya que P1 y P2 son fuerzas.
La ecuación de cantidad de movimiento es similar a la ecuación de energía
para flujo gradualmente variado (β’=1) y si suponemos pendiente baja y ancho b
tenemos:
𝑃𝑃1 =𝛾𝛾. 𝑏𝑏. 𝑦𝑦12
2 𝑃𝑃2 =
𝛾𝛾. 𝑏𝑏. 𝑦𝑦22
2 𝐹𝐹𝑓𝑓 = 𝛾𝛾. ℎ′𝑓𝑓. 𝑏𝑏. 𝑦𝑦�
𝑄𝑄 =𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2
2∗ 𝑏𝑏 ∗ 𝑦𝑦� 𝑊𝑊 = 𝛾𝛾. 𝑏𝑏. 𝐿𝐿. 𝑦𝑦� sin∅ =
𝑍𝑍1 − 𝑍𝑍2𝐿𝐿
Remplazando en la ecuación principal se obtiene:
𝑧𝑧1 + 𝑦𝑦1 + 𝛽𝛽1 ∗𝑉𝑉12
2𝑔𝑔= 𝑧𝑧2 + 𝑦𝑦2 + 𝛽𝛽2 ∗
𝑉𝑉22
2𝑔𝑔+ ℎ′𝑓𝑓
En la ecuación de energía hf mide la energía interna disipada en la masa
completa del agua dentro del tramo. En la ecuación de cantidad de movimiento h’f
mide las pérdidas debidas a fuerzas externas ejercidas por el agua sobre la pared
del canal. En flujo uniforme hf y h’f toman el mismo valor.
La distinción entre la ecuación de energía y cantidad de movimiento reside
en que la primera es una cantidad escalar y la segunda una cantidad vectorial; la
ecuación de energía contiene un término para pérdidas internas (hf), en tanto que
la ecuación de cantidad de movimiento contiene un término para la resistencia
externa (h’f).
El principio de cantidad de movimiento tiene ventajas de aplicación a
problemas que involucren grandes cambios en la energía interna (un ejemplo típico
es el caso del resalto hidráulico).
19.- EJERCICIOS PARA MOSTRAR APLICACIÓN DE ECUACIONES DE MANNING, CHEZY y BAZIN
19.1.- Un canal de tierra lleva un tirante de 6 pies y b =20pies, talud 1.5,
So=0.0002 y n=0.025 determinar el gasto para la fórmula de manning y con este
valor calcular a) el valor de “n” en la fórmula de cúter y b) el valor de “m” en la
fórmula de bazin.
Datos
y =6 pies = 1.83 m b =20 pies = 6.096 m So = 0.0002 n =0.025 Q=?
Solución:
Primero calculamos el área hidráulica:
𝐴𝐴1 = 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑧𝑧𝑦𝑦2
𝐴𝐴1 = (6.096)(1.83) + 1(1.83) 2
𝐴𝐴1 = 16.18 𝑚𝑚2
Calculamos el perímetro mojado:
𝑃𝑃 = 6.096 + 2(1.83)�1 + (1.5)2
𝑃𝑃 = 12.6942 𝑚𝑚
Calculamos el radio hidráulico:
𝑅𝑅 =16.18 𝑚𝑚2
12.6942 𝑚𝑚 𝑅𝑅 = 1.275 𝑚𝑚
Aplicando la fórmula de Manning calculamos el caudal:
𝑄𝑄 =1𝑛𝑛
(𝐴𝐴)(𝑅𝑅)23(𝑅𝑅)
12
𝑄𝑄 =1
0.013(16.18 𝑚𝑚2)(1.275 𝑚𝑚)
23(0.0002)
12
𝑄𝑄 = 10.76𝑚𝑚3
𝑐𝑐
a) el valor de “n” en la fórmula de Kúter 𝐶𝐶 =
RESOLVIENDO POR HCANALES:
19.2.- Un canal tiene un ancho mb 50.2= , tirante de m80.0 , el ángulo de
reposo del material es de °60 , la smv /80.1= , a) Determinar cuál es el gasto; b)
¿Cuál es el radio hidráulico?, dibujar la sección transversal y si la pendiente del
canal es de 003.0 , calcular a) el coeficiente C de Kutter, si 032.0=n y b) el
coeficiente C de Chezy, si 35.2=m
Datos:
¿?/80.1
6080.050.2
==
°===
Qsmv
mymb
θ
SOLUCION:
Hacemos el cálculo del talud, con ayuda del ángulo °= 60θ
577.060
160
=°=
=°
zCtgz
ztg
a) Determinamos cual es el gasto
Usamos la fórmula de área hidráulica y reemplazamos
336928.28.0))8.0(577.05.2(
)(
mAA
yzybA
=
+=+=
Usamos la ecuación de caudal y reemplazamos
3264704.4)36928.2(8.1
.
mQQ
AvQ
=
==
b)
Determinamos cual es el Radio Hidráulico, usando la fórmula de Radio
Hidráulico
[ ]
mR
R
zybyzybR
545.0577.01)8.0(25.2
8.0)8.0(577.05.212
)(
2
2
=++
+=
++
+=
Como S=0.003, Hallamos el coeficiente C de Kutter con n=0.032
717.3
545.0032.0
003.00015.0231
032.01
003.00015.023
0015.0231
10015.023
=⇒
++
++=
++
++=
CC
Rn
S
nSC
Hallamos el coeficiente C de Chezy con m=2.35
RmC
+=
1
87
797.20
545.035.21
87=⇒
+= CC
19.3.- Un canal trapecial tiene un ancho de 1.50 m, talud 0.75:1 y está
tarazado con una pendiente de 0.0008. Si el canal estuviera completamente
revestido de mampostería, entonces para un gasto de 1.5m³/s el tirante seria de
0.813m. Si el mismo canal estuviera revestido de concreto, se tendría un gasto de
1.2m³/s un tirante de 0.607 m. Calcular la velocidad que se tendría en el canal,
cuando el gasto es de 1.3m³/s, si el fondo es de concreto y las paredes de
mampostería.
Datos:
Mampostería: 𝑏𝑏 = 1.50 𝑍𝑍 = 0.75: 1 𝑐𝑐 = 0.0008 𝑄𝑄 = 1.5𝑚𝑚3 /𝑐𝑐 𝑛𝑛 = 0.020 𝑌𝑌 = 0.813𝑚𝑚 𝑣𝑣 =? 𝑐𝑐 = 0.0008 Concreto: 𝑄𝑄 = 1.2𝑚𝑚3 /𝑐𝑐 𝑛𝑛 = 0.014 𝑦𝑦 = 0.607 𝑣𝑣 =?
SOLUCION: Hallamos el área:
𝐴𝐴 = 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑧𝑧𝑦𝑦²
𝐴𝐴 = 1.50(0.7) + 0.75(0.7)²
𝐴𝐴 = 1.417
Perímetro:
𝑃𝑃 = 𝑏𝑏 + 2𝑦𝑦�1 + 𝑍𝑍²
𝑃𝑃 = 1.50 + 2(0.7)�1 + (0.75)²
𝑃𝑃 = 3.69
Radio:
𝑅𝑅 =1.4173.69
= 0.39
Promediamos las rugosidades:
𝑛𝑛₁𝑛𝑛₂ =0.020 + 0.014
2
𝑛𝑛₁𝑛𝑛₂ = 0.017
Aplicamos la ecuación de Manning:
𝑄𝑄 =1𝑛𝑛𝐴𝐴𝑅𝑅
23 × 𝑅𝑅
12
𝑄𝑄 =1
0.017(1.417)(0.39)
23 × (0.0008)
12
𝑄𝑄 = 58.82(1.417)�(0.39)²3
× √0.00082
𝑄𝑄 = 1.3𝑚𝑚³/𝑐𝑐
Hallamos la velocidad:
𝑣𝑣 =𝑄𝑄𝐴𝐴
𝑣𝑣 =1.3
1.417
𝒗𝒗 = 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 RESOLVIENDO CON HCANALES:
