INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO

Mecnica de fluidos

Anlisis dimensional y semejanza Profeso: Francisco Rodrguez BarrientosINTEGRANTES DEL EQUIPO:Tevillo Betancourt cristhian Palacios Martnez EmmanuelCoria Hernndez Jorge Ulises CARRERA: ELECTROMECANICAINDICE Unidad 4 Anlisis dimensional y semejanza

4.1................ Definicin de anlisis dimensional, modelos hidrulicos pg. 34.2.Semejanza geomtrica, cinemtica y dinmica pg. 104.3.Parmetros dimensionales pg. 134.4.Teorema Buckingham pg. 164.5Problemas pg. 184.6. Bibliografa pg. 20

Unida 4Anlisis dimensional y semejanza4.1 definicin de anlisis dimensional, modelos hidrulicosPara resolver problemas prcticos de diseo en la mecnica de fluidos se requiere de desarrollo terico y resultados experimentales Por la agrupacin de cantidades en parmetros a dimensionales es posible reducir el nmero de variables que aparecen y hacen el resultado compacto aplicable a todas las situaciones similares De los curso de mecnica se pude decir que las ecuaciones deducida analticamente son correctas para cualquier sistema de e unidades y en consecuencia cada grupo de trminos en la ecuacin debe tener la misma representacin dimensional, esta ley se le conoce como homogeneidad dimensionalDicha ley ha utilizado para establecer las dimensiones de cantidades como la viscosidadOtra aplicacin muy importante de esta ley se presenta en las situaciones donde las variables que intervienen en un fenmeno fsico se conocen, mientras que la relacin entre las variables se desconoce.Mientras un procedimiento conocido como anlisis dimensional, el fenmeno puede formularse como una relacin entre un conjunto de grupos a dimensionales de las variables, siendo un nmero de grupos menor que el de variables.Las ventajas inmediata de este procedimiento consiste en que se requiere una experimentacin mucho menor para establecer la relacin entre las variables se desconoce. Mediante un procedimiento conocido como anlisis dimensional, siendo el nmero de grupos menor que el de variables. La ventaja inmediata de este procedimiento consiste en que se requiere una experimentacin mucho menor para establecer la relacin entre las variables en un rango dado. Adems, la naturaleza de la experimentacin se simplificara en forma considerablePara ilustrar esto, considrese el problema de determinar el arrastre F sobre una esfera lisa de dinmetro D que se mueve en forma comparativamente lenta con velocidad V a travs de fluido viscoso. Otras variables involucradas son la densidad y la viscosidad, respectivamente, del fluido. Puede establecerse que el arrastre F es una funcin desconocida de variable. Es decir,

Para determinar experimentalmente la relacin se requera un trabajo considerable, ya que solo una de las variables entre parntesis debe modificarse cada vez, lo que resulta en la acumulacin de muchas graficas.En la siguiente imagen se representa la relacin posible de los resultados de este procedimiento, con la grafica de F contra D para diferentes valores de V. Sin embargo, cada grafica corresponde a un valor fijo de de manera que como se ve el diagrama, se requeran muchas graficas para hacer una descripcin efectiva del

Proceso. Adems, un mtodo como este implica el uso de muchas esferas con diferentes dimetros y de muchos fluidos con diferentes viscosidades y densidades. Luego, puede verse que esto significa una investigacin extremadamente larga y costosa.Se puede emplearse el anlisis dimensional antes de abordar un programa experimental.El anlisis anterior del arrastre puede formularse mediante una relacin funcional solamente entre dos grupos dimensionales.

Donde la naturaleza de la funcin g se desconoce. Sin embargo mediante experimento puede establecerse una curva nica que relacione a .Supngase que desea conocer el arrastre para la condiciones . El grupo a dimensional ( puede calcularse de inmediato mediante . Correspondiente a este valor de , el valor de se lee en la curva, como se muestra. Lugo se calcula mediante

Con el fin de establecer una curva como esta, puede utilizarse un tnel de viento o un tnel de agua donde, para una esfera el valor de puede justificarse fcil y continuamente con solo variar la velocidad V de la corriente libre. La fuerza se mide para cada valor de V de manera que los valores correspondiente de puede calcularse con facilidad. Luego, con tiempo y costo muchos menores, se establece una curva entre grupos a dimensionales que, como resultado del anlisis dimensional, es vlida cualquier fluido o para cualquier esfera en un flujo del intervalo de probadoDe acuerdo con esto se encuentra ecuaciones que no depende de dimensiones y unidades es usual tener ecuaciones fsicamente significativa. Luego, los grupos a dimensionales mencionados antes son mejores para imitar procesos reales que las variables mismas en s. Estudios de modelosPara ayudar al diseador frecuentemente se emprende estudios con modelos de estructuras y maquinas hidrulicas propuestas. Estos permite una observacin visual del flujo y hacen posible la obtencin de ciertos datos numricos; por ejemplos, calibraciones de vertederos y compuertas, profundidades de flujos, distribuciones de velocidad, fuerzas en compuertas, eficiencia y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presin y perdidas.Si se van obtener datos cuantitativos correctos de un estudio con un modelo, debe haber similitud geomtrica exacta y (2) que la razn de las presiones dinmicas en puntos correspondientes sea una constante similares La similitud geomtrica se extiende a la rugosidad de la superficie del modelo y prototipo. Si el modelo es un decimo del tamao del prototipo en todas las dimensiones lineal, la altura de la proyecciones de rugosidades debe estar en la misma proporcin.Para que las presiones dinmicas estn en la misma proporcin en puntos correspondientes del modelo y el prototipo, las razones de los varios tipos de fuerzas deben ser las mismas en puntos correspondientes. Por tanto, paraqu se tenga una similitud dinmica estricta, los nmeros de Mach, de Reynolds, de Froude y de Weber deben ser lo mismo tanto en el modelo como en el prototipo.

Flujos en tubosCuando se tiene flujo a rgimen permanente en un tubo, las fuerzas viscosas e inerciales son las nicas de importancia; de aqu que cuando se observa una similitud geomtrica, el tener el mismo numero de Reynolds en el modelo y prototipo proporciona similitud dinmica. Los varios coeficientes de presin correspondiente son los mismos. Para con fluidos que tiene la misma viscosidad cinemtica en el modelo y prototipo, el producto VD debe ser igual. Frecuentemente esto requiere muy altas velocidades en modelos pequeos.Estructuras hidrulicas abiertas Las estructuras tales como canales de alivio, tanques amortiguadores, transiciones de canal y vertederos generalmente tienen fuerzas debida ala gravedad y fuerzas inerciales que son mayores que las fuerzas viscosas y fuerzas turbulentas de corteEne estos casos, la similitud geomtrica y el mismo valor del nmero de Froude en modelos y prototipos producen una buena aproximacin a la similitud dinmica; as

Ya que la gravedad es la misma, la razn de velocidad vara segn la raz cuadrada de la razn de escala ,

Los tiempo corresponde para que tenga lugar eventos (como el tiempo para que se pase una particular por una transicin) esta relacionados; as y La razn de descarga es

Las razones de fuerza, por ejemplo, sobre las compuertas , son

Donde h es la carga. De igual manera, se pueden derivar otras razones pertinentes de manera que los resultados del modelo se puedan interpretar como el funcionamiento del prototipo.La figura 4. 3 muestra una prueba de modelo que se realizo para determinar el efecto de un rompeolas sobre la formacin de ola en un puerto.Maquinaria hidrulicaLa velocidad de rotacin de maquinaria hidrulica presenta una variable adicional. Las partes mviles en una maquina hidrulica requiere un parmetros adicional para asegurar que los patrones de la lnea de corriente sean similares en el modelo y en el prototipo. Este parmetro debe relacionar el flujo con la velocidad de las partes mviles. Para maquinas geomtricamente similares, si los diagramas vectoriales de velocidad que entran o salen de las partes de movimientos son similares, se dice que las unidades son homognea, es decir, que para propsito prcticos existen similitud dinmica. El nmero de Froude no es importante, pero los efectos del nmero de Reynolds pueden causar una discrepancia de 2 o 3% en la eficiencia entre modelos y el prototipo.El nmero de Mach tambin es de importancia en los compresores de flujo axial y en turbina de gas.

4.2 Semejanza geomtrica, cinemtica y dinmicaEn sentido general la semejanza es la indicacin de una relacin conocida entre dos fenmenos

Con frecuencia en mecnica de fluidos es la relacin entre un flujo escala natural y un flujo que involucra fronteras ms pequea pero geomtricamente similares

Sin embargo existes leyes de similitud de uso comn de fluidos en que intervine flujos con fronteras similares.Por ejemplo existe, una relacin de similitud entre un flujo comprensible subsnico y un flujo incompresible alrededor de un cuerpo deformado de manera preestablecida con respecto a la del flujo compresible.De la misma manera, en hidrologa se utilizan modelos de ros que son geomtricamente similares en una vista de planta, pero que a menudo no son similares con respecto a la profundidad del rio real.Dos flujos compuestos por conjuntos similares de lneas de corriente se conocen como flujos dilemticamente similares.Debido a que las fronteras formaran algunas de la lneas de corrientes, los flujos cinematicamente similares tambin debe ser geomtricamente similares. Sin embargo el inverso de esta afirmacin no es cierto, ya que es fcil encontrar flujos cinematicamente no similares a pesar de tener fronteras geomtricamente similares.Se le conoce como similitud dinmica a la distribucin de fuerza entre dos flujos tal que en puntos correspondientes de esto, existen tipos idnticos de fuerzas paralelas y adems tiene una relacin con el mismo valor para todos los puentes correspondientes entre los dos flujos,Adems, esta relacin debe ser la misma para todos los tipos de fuerzas presentes. Luego, para flujos dinmicamente similares existir esta misma relacin entre las fuerzas resultantes correspondientes que actan sobre las fronteras correspondientes,Se demuestra que los flujos deben ser cinematicamente similares y, adems, deben tener distribuciones de masa tales que la relacin de las densidades en puntos correspondientes de los flujos sea de la misma para todos los conjuntos de puntos correspondientes.Los flujos que satisfacen esta ltima condicin se conoce como flujo con distribuciones de masa similares. Para demostrar que las similitudes cinemtica y de masa son necesarias para que haya similitud dinmica, ntese que la primera condicin de similitud cinemtica significa que las aceleraciones: 1.- Son paralelas en puntos correspondientes 2.- Tienen una relacin de sus magnitudes contante para todos los conjuntos de puntos correspondientes Por lo siguiente, pude concluirse que debido a que las fuerzas resultantes sobre las partculas tiene una relacin de magnitudes constantes entre los flujos, es necesariamente cierto que todas las componentes correspondientes de las fuerzas resultantes tiene la misma relacin de magnitudes entre los flujos.En pocas palabras, flujos cinematicamente similares con distribucin de masa similares satisfacen todas las condiciones de los flujos dinmicamente similares,Por qu la similitud dinmica es importante en los ensayos de modelos?Si existe la misma reaccin entre las fuerzas correspondientes en punto correspondientes y esta relacin es la misma para todo el flujo, puede decirse que la integracin de las distribuciones de fuerzas que origina la sustentacin o el arrastre tambin tendr la misma relacin entre los flujos del modelo y del prototipo. Si no se tienen flujos que tenga aproximadamente similitud dinmica, las relaciones de fuerzas entre los flujos de modelos y del prototipo para diferentes conjuntos de puntos correspondientes sern diferentes y no existir una forma simple para relacionar las resultantes.El ensayo en modelos ser til, para flujos dinmicamente similares, la relacin entre fuerzas correspondientes en puntos correspondientes y la relacin respectiva entre las fuerzas resultantes deseadas del modelo y del prototipo no es difcil de establecer,La relacin entre estas fuerzas es la relacin deseada entre las fuerzas resultantes sobre las fronteras correspondientes de los flujos. Es decir

4.3 Parmetros adimensionales.

CANTIDADSMBOLODIMENSIONES

LongitudlL

TiempotT

MasamM

FuerzaFMLT-2

VelocidadVLT-1

AceleracinaLT-2

reaAL2

CaudalQL3T-1

PresinpML-1T-2

GravedadGLT-2

DensidadML-3

Peso EspecficoML-2T-2

Viscosidad DinmicaML-1T-1

Viscosidad CinemticavL2T-1

Los parmetros adimensionales asociados a las magnitudes anteriores, vienen determinados por relaciones entre los diversos efectos que se pueden considerar:

El Nmero de Reynolds.El nmero de Reynolds VD/ es la relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Un nmero de Reynolds crticos distingue entre los diferentes nmero de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberas, en la capa lmite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situacin. En flujo compresible, el nmero de Mach generalmente es ms importante que el nmero de Reynolds.

El Nmero de Froude.El nmero de froude V/ gl, cuando se eleva al cuadrado y se multiplica y se divide por A, es una relacin de las fuerzas dinmicas (o inerciales) con respecto a las fuerzas gravitacionales, con un flujo a superficie lquida libre. La naturaleza del flujo depende de si el nmero de froude es mayor o menor que la unidad. Este nmero es til en clculos de resalto hidrulico, en el diseo de estructuras hidrulicas y de barcos.

El Nmero de Weber.El nmero de Weber V2l/ es la relacin de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas de tensin superficial. ste es importante en interfases gas-lquido o lquido-lquido y tambin donde estas interfases se encuentran en contacto con una frontera. La tensin superficial causa pequeas ondas (capilaridad) y la formacin de gotas, y tiene un efecto sobre la descarga de orificios y vertederos con pequeas cabezas.

El Nmero de Mach.La velocidad del sonido en un lquido se escribe como K/ si K es el mdulo de elasticidad volumtrica o c = (kRP) donde k es la relacin de calor especfico y T la temperatura absoluta para un gas perfecto. V/c o V/K/ es el nmero deMach.Es una medida de la relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elsticas. Cuando V/c se eleva al cuadrado y se multiplica por A/2 en el numerador y el denominador, el numerador es la fuerza dinmica y el denominador la fuerza dinmica a la velocidad del sonido. Tambin se puede demostrar que es una medida de la relacin de la energa cintica del flujo con respecto a la energa interna del fluido. Es el parmetro correlacionante ms importante cuando las velocidades estn cerca o por encima de las velocidades locales de sonido.

4.4 Teorema de BunkinghamDe acuerdo con este teorema, el numero de grupos adimensionales independientes que pude emplearse para describir un fenmeno en el que intervine n variables es igual al numero n r, donde r usualmente es el numero de dimensiones bsicas necesarias para expresar las variables para expresar las variables dimensionales.El clculo de r en el teorema de Buckingham como el nmero de dimensiones bsicas necesarias para expresar dimensionalmente las variables no siempre es correcto. Por ejemplo, en anlisis de esfuerzos existen problemas relacionados con fuerzas y la distancias donde las dimensiones bsicas pueden ser dos (F, L) para el sistema FLT o puede ser tres (M, L, T) si se selecciona el sistema MLT.A continuacin se dar un procedimiento correcto para calcular el valor de rLas variables se colocan alo largo de un eje horizontal y las dimensiones bsicas M, L, T, etc., que se utilizaran, se colocan en un eje vertical, como se muestra. Debajo de cada variable se colocan una columna de nmeros con las potencias a las que deben elevarse las dimensiones bsicas en la representacin de las variables particular.

Luego, en la representacin anterior la variable dbe tener las dimenciones , mientras que la variable . El arreglo de nmeros conformado de esta manera se conoce como matriz dimensional del proceso y se representa as:

Como debe recordarse de algebra, pude calcularse el determinante de un grupo de nmeros que forman un arreglo con igual nmeros de filas y columnas, el arreglo anterior pude hacerse cuadrado arreglando una fila de ceros, es obvio que este determnate es cero.Cul es le tamao del mayor sub grupo cuadrado cuyo determnate es diferente de cero?El nmero de filas o columnas en este determnate define el rango de la matriz original. En este caso existen varias posibilidades. Por ejemplo, al utilizar las primeras 3 filas y las primeras 3 columnas se obtiene: Por lo que el rango de la matriz dimensional es igual a 3El valor correcto de r en el teorema de de Bunkingham puede establecerse ahora como el rango de la matriz dimensional.

4.5 Problemas

4.6 Bibliografa Mecnica de fluidos, tercera edicin, Irving H. Shames Mecnica de fluidos, octava edicin, Vctor L. Streeter 3