Introducción:

Hacia 1850, el matemático y lógico irlandés George Boole (1851- 1864), desarrolló un sistema matemático para formular proposiciones lógicas con símbolos, de manera que los problemas pueden ser escritos y resueltos de una forma similar al álgebra tradicional.

En matemáticas, una función booleana es una función cuyo dominio son las palabras conformadas por los valores binarios 0 ó 1 ("falso" o "verdadero", respectivamente), y cuyo codo minio son ambos valores 0 y 1.Formalmente, son las funciones de la forma ƒ: Bn → B, donde B = {0,1} y n un entero no negativo correspondiente a la arridad de la función.

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de Boole.

Asimismo, se plantean formas que son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma función. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas, por tener más operaciones que las necesarias.

Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas, el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo. Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de Boole y la lógica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación presentado en la lógica de proposiciones.

OBJETIVOS GENERALES

Modos de representación:

Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes:

Algebraica Por tabla de verdad Numérica Gráfica

El uso de una u otra, como veremos, dependerá de las necesidades concretas en cada caso.

Algebraica:

Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables.

A) F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C

B) F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

c) F = (A + B + C) (A + B + C’) (A + B’ + C’) (A’ + B’ + C’)

d) F = BC’ + AB’

e) F = (A + B) (B’ + C’)

f) F = [(BC’)’ (CB) ´ (AB’)’]’

g) F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’

La expresión a) puede proceder de un problema lógico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones canónicas: de suma de productos (sum-of-productos, SOP, en inglés), la b), y de productos de sumas (producto-of-sums, POS, en inglés), la c); su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos.

Por tabla de verdad:

Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles para una función de n variables vendrá dado por 2n. Una función lógica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero sólo tiene una tabla de verdad. La siguiente tabla corresponde a la función lógica del punto anterior.

La forma más cómoda para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la función canónica de suma de productos (o forma canónica disyuntiva)

F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

Nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendrá por lo tanto cuatro combinaciones que lo serán (010 para A’BC’, 100 para AB’C’, 101 para AB’C y 110 para ABC’) siendo el resto de combinaciones 0. Con la función canónica de producto de sumas (o forma canónica conjuntiva) se puede razonar de forma análoga, pero en este caso observando que la función será 0 cuando lo sea uno de sus productos.

También es fácil obtener la tabla de verdad a partir de la función simplificada, pero no así a la inversa.

Gráfica:

La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (véanse los símbolos de las puertas lógicas). Representación gráfica de dos funciones lógicas

Métodos de simplificación.

Por simplificación de una función lógica se entiende la obtención de su mínima expresión. A la hora de implementar físicamente una función lógica se suele simplificar para reducir así la complejidad del circuito.

A continuación se indican los modos más usuales de simplificar una función lógica.

Algebraico

Para la simplificación por este método no sólo bastará con conocer todas las propiedades y teoremas del álgebra de Boole, además se debe desarrollar una cierta habilidad lógico-matemática que se adquiere fundamentalmente con la experiencia.

Como ejemplo se simplificará la siguiente función:

F = A’C’ + ABC + BC’ + A’B’C + A’BC

Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los sumandos 2º con 5º y 4º con 5º que conllevan simplificación:

F = A’C’ + BC’ + BC (A + A’) + A’C (B + B’)

Note que el término 5º se ha tomado dos veces, de acuerdo con la propiedad que dice que A + A = A. Aplicando las propiedades del álgebra de Boole (A + A' = 1 y A. 1 = A), queda

F = A’C’ + BC’ + BC + A’C

Repitiendo nuevamente el proceso,

F = A’ ( C’ + C) + B ( C’ + C) = A’ + B

No siempre las funciones son tan fáciles de simplificar como la anterior. El método algebraico, por lo general, no resulta cómodo para los no expertos, a los cuales, una vez simplificada una ecuación les pueden quedar serias dudas de haber conseguido la máxima simplificación.

1.- AB + BC + A´B´C =

AB (C + C´) + BC (A + A´) + A´B´C =

ABC + ABC´ + BCA + BCA´ +A´B´C

ABC + ABC´ + BCA´ +A´B´C

AB (C + C´) + A´C (B + B´)

AB (1) + A´C (1)

R: AB + A´C

2.- Z= A´B * A´´ + C + A´´B * (A´+ C) =

A´B * A´´ * C´+ (A´´ + B´)*(A´+ C)

0

AA´ + AC+ B´A´ + B´C

0

Z= AC+ B´A + B´C

A

B

A

C

Z= = AB + BC + A´B´C

A

B

Z= A´B * A´´ + C + A´´B * (A´+ C)

A

C

A´B

A´+ C

AB

BC

C B A Z

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 1 1

C B A Z0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 1 0 01 1 1 1

3.-F1= X´Y´Z + XY´Z´ + XY´Z + XYZ´ + XYZ

X Y Z F1 F20 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 11 0 0 1 11 1 0 1 11 1 1 1 0

X´Y´Z + XY´Z´ + XY´Z + XYZ´ + XYZ

X´Y´Z + XY´Z´ + XY´Z + XY (Z´+ Z)

X´Y´Z + XY´Z´+ XY´Z + XY

X´Y´Z + XY´ (Z´+ Z)

X´Y´Z + XY´ + XY

X´Y´Z +X (Y´ + Y)

R= X´Y´ Z+ X

F= X´Y´Z + X´YZ+ XY´Z´ + XY´Z

X´Y´Z + X´YZ+ XY´ (Z´+ Z)

} X´Y´Z + X´YZ+XY´

X´Z (Y´+ Y) + XY´

X´Z + XY´

Y

Z

X X + Y´Z

X

Z

Y

X´Z + XY´

4.- AB + A (B + C) + B (B + C)

AB + AB + AC + BB +BC

AB + AB + AC + B + BC

AB + AC + B + BC

AB + AC + B

B + AC

A B C S0 0 0 0

5.- (A + B) (A + B´)

AA + AB´+ BA + BB´

A + AB´ + BA + 1

A (1 + B´+ B)

A

6.- A + A´B

(A´+A´´ + B)´

A´´ (A´+ B´) ´´

A´´ (A + B´) ´´

(A´´A + A´B´)

A´B´

(A´ + B´)´

A

C

B

AC

B + AC

A + B

7.- AB + AB´C

AB + AB´C

A (B + B´C)

A (B´B´´C´) ´

A (B´ (B´+ C´)) ´

A (B + C)

AB + AC

8.- (A + B) (A´+ C) (B + C)

(AA´ + AC +BA´ + BC) (B + C)

(AC + BA + BC) (B + C)

ACB +BA´B + BCB + ACC + BA´C + BCC

ABC + A´B + BC + AC + A´BC + BC

ABC + A´B + BC + AC + A´BC

BC(A + 1+ A´) + A´B + AC

BC + A´B + AC =

A´B + AC + BC

A´B + AC + BC + AA´

B (A´ + C) + A (A´ + C)

(A + B) (A´+ C

9.- ABC + AB´ (A´C´) ´

ABC + AB´ (A + C)

ABC + AB´A + AB´C

ABC + AB´ + AB´

AC + AB´

A (C + B´)

10.- (A´B´´ + (BC) ´ + BC´ + CB´) ´´

A´B´´ + BC + BC´ + C´B

(AB´)´´ (B´C´) ´ + BC´ + C´B

(AB´´)´´ (B´C´B´C´) ´´ + C´B

(AB´´)´´ (B´C´) ´´ (B´C´´) ´ (B´) ´

A B C

11.- A´B´C´D´ + A´B´C´D + A´B´CD + A´BC´D´ + AB´C´D + AB´CD + ABCD´ + ABCD + A B´CD´

A´B´C´ (D´ + D) +A´ (B´CD + BC´D´) + AB´D (C´ + C) + ABC (D´+ D) + AB´CD´

A´B´C´ (1) + A´ (1) + AB´D (1) + ABC (1) + AB´CD´

A´B´C´ + A´ + AB´D + ABC + AB´CD´

A´B´C´ + A´ + AB´+ AB´ + DCD´)

A´B´C´ + (1) + DCD´

A´B´C´+ DCD´

A´B´

F´F

A B C D

Conclusión

La semejanza existente entre el álgebra booleana y la lógica proposicional, nos permite realizar una relación entre las funciones existentes en una y en otra. Así, se pueden realizar métodos para trabajar con funciones de Boole, que resulten en una ayuda, por ejemplo, para la etapa de diseño del hardware de una computadora los cuales se basan en conceptos que se obtienen a partir del desarrollo de las dos áreas.

El método presentado es de mucha utilidad cuando se trabaja con pocas variables, pero deja de serlo cuando este número crece. Se deja como sugerencia para algún otro trabajo, el análisis de técnicas alternativas para un número mayor de variables, como podría ser el desarrollado por; o en todo caso, la creación de algoritmos con esta finalidad.

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital.

Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.Las compuertas lógicas son los dispositivos electrónicos más sencillos que existen, pero al mismo tiempo son los más utilizados en la actualidad.

Bibliografía

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/bool.html.

Morris Mano, DISEÑO DIGITAL, Prentice may, capítulos 2 y 3.

Ronald J. Tocci, SISTEMAS DIGITALES: PRINCIPIOS Y APLICACIONES, Prentice may, capítulo 3.

Apuntes de clase de la Materia Sistemas Digitales I.

http://www.monografias.com/trabajos11/seman/seman2.shtml#ixzz3p8a2m2kD