mecanic a

INTRODUCCIÓN AL LABORATORIO

DE FÍSICA

PARTE 1: MECÁNICA

2

1. INTRODUCCIÓN.

El curso de laboratorio que ponemos en tus manos, Laboratorio de Física 1,

Mecánica, es tu primera incursión práctica en tus estudios universitarios, es por esto que el

mismo cumple varios objetivos entre ellos:

1. Comprobar las leyes cinemáticas, dinámicas y de conservación de la cantidad de

movimiento y la energía.

2. Tener conocimiento de las principales magnitudes de la Mecánica Clásica, como

son: Longitud, Masa y Tiempo.

3. Adquirir una metodología de trabajo en el laboratorio.

4. Usar los métodos estadísticos de análisis para discutir los resultados.

Así, el mismo ha sido diseñado de forma metodológica para que comprendas las

principales formas de análisis de la Física General mediante la experimentación. Estas formas

de análisis, las cuales son:

1. Cinemática, la cual estudia la relación entre las diferentes magnitudes físicas

cinemáticas como: desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo.

2. Dinámica, estudia la relación existente entre la fuerza, la masa y la aceleración a

través de la segunda Ley de Newton.

3. Leyes de conservación, estudia las interacciones del cuerpo y obtiene los

resultados a partir de las leyes de conservación como de la cantidad de movimiento

lineal y angular, así como del trabajo y energía.

Es necesario mencionar que cuando vayas a realizar una práctica no necesariamente

habrás cursado la materia correspondiente, por dicha razón en cada práctica tiene una

estructura dada por: Título, objetivos, fundamento teórico, descripción experimental,

ejercicios, equipos e instrumentos necesarios para realizar la práctica. Esta estructura

convierte a las notas en autocontenidas; sin embargo, debes profundizar tus conocimientos en

los libros de textos que te recomiendan en clase tu profesor; además de los que te

recomendamos como bibliografía al final.

Finalmente, agradezco a todos mis estudiantes tanto de los cursos de física como de

prácticas por su entusiasmo y por las aportaciones hechas al material. Espero que la forma

usada para presentar los resultados sea de tu agrado y práctica para tus propósitos

3

profesionales. Así, de manera muy especial agradeceré a todos aquellos cuyas críticas

enriquezcan esta obra.

R. A. Martínez-Celorio

LEMA:

“LA PRÁCTICA ES EL CRITERIO VALORATIVO DE LA VERDAD”

V. I. Lenin

4

INDICE:

Práctica # 1: MEDICIONES VARIAS. 5

Práctica # 2: CAÍDA DE LOS CUERPOS 9

Práctica # 3: MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL. 13

Práctica # 4: COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES Y COPLANARES. 18

Práctica # 5: MÁQUINA DE ATWOOD (SIN CONSIDERAR FRICCIÓN). 23

Práctica # 6: MÁQUINA DE ATWOOD (CON FRICCIÓN). 29

Práctica # 7: ESTUDIO DE LA FRICCIÓN ESTÁTICA. 35

Práctica # 8: DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE FRICCIÓN DINÁMICA. 40

Práctica # 9: DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE VISCOSIDAD DE UN LÍQUIDO POR EL MÉTODO DE STOKES.

43

Práctica # 10: LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN DE UN CHOQUE INELÁSTICO. 48

Práctica # 11: PÉNDULO BALÍSTICO. 55

Práctica # 12: CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE LOS CUERPOS RÍGIDOS.

61

Práctica # 13: ESTUDIO DEL MOMENTO DE INERCIA. 66

Práctica # 14: TEOREMA DE STEINER. 71

Práctica # 15: EL VOLANTE. 76

Referencias 80

5

Práctica # 1: MEDICIONES VARIAS

OBJETIVOS:

1. Calcular la densidad de un cuerpo sólido.

2. Calcular la aceleración de caída libre.

3. Calcular el radio de curvatura de un casquete esférico.

FUNDAMENTO TEÓRICO:

1. Cálculo de la densidad de un cuerpo sólido homogéneo.

Primeramente analicemos a un cuerpo sólido homogéneo, cuya densidad viene dada

por:

m ,V

ρ = (1)

donde: m, es la masa del cuerpo y V, es su volumen.

Si el cuerpo es un sólido regular, por ejemplo, un cilindro, entonces su volumen

viene dado por:

2

4d hV ,π

= (2)

donde: d, es el diámetro de la sección transversal del cilindro.

Notas:

• En caso del uso de otro sólido regular, habría que aplicar la expresión correspondiente

para el volumen.

• En el caso de que el cuerpo no tenga una forma regular, habrá que aplicar otro método

para determinar el volumen. Este método es el siguiente: al sumergir un cuerpo en un

líquido, este último es desplazado en una cantidad igual al volumen de su cuerpo.

Naturalmente este método también sirve para sólidos regulares.

2. Cálculo de la aceleración de caída libre.

Para calcular la aceleración de caída libre se propone el uso de un péndulo, el cual es

un sistema formado por un cuerpo de pequeñas dimensiones, que cuelga de un hilo, sujeto

6

por el otro extremo de un soporte rígido. El modelo ideal del péndulo considera al cuerpo

como un punto material, y al hilo, inextensible y sin masa.

Si el cuerpo es una esfera cuyas dimensiones no podemos despreciar, entonces, para

oscilaciones pequeñas el período T viene dado por:

2

2

22 15rT ,

gπ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3)

donde: l, es la longitud del hilo; r, es el radio de la esfera y g es la aceleración de caída

libre.

Naturalmente, si r << l entonces:

2T .g

π= (4)

Luego, midiendo la longitud del hilo, el radio de la esfera y el período T de oscilación,

entonces podremos, según nuestras condiciones de trabajo, aplicar las Ecs. 3 ó 4 para

determinar g.

3. Determinación del radio de curvatura de un casquete esférico.

Sea una esfera de radio R (ver figura 1), con un plano secante determinado por los

puntos A, B, C dispuestos según un triangulo equilátero. Llamémosle e=MD a la

distancia perpendicular trazada desde el centro del círculo de radio r, determinado por la

intersección del plano, hasta la superficie de la esfera.

Fig. 1. Esfera de radio R.

E

R

M

O

B

CA r

e

D

7

Entonces usando relaciones trigonométricas podemos ver que los triángulos AMD y

AME son semejantes por ser triángulos rectángulos; además los ángulos ∠MAD = ∠AEM,

por tener sus lados mutuamente perpendiculares. Luego:

( )

2

2

2

2

12

DM AM AM DM MEAM MEr e R e

rR ee

= ⇒ = ⋅

= −

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

. (5)

EJERCICIOS:

Para determinar los valores promedios y trabajar con estos, realice varias veces todas las

mediciones.

1. Cálculo de la densidad de un cuerpo.

• Determine la masa del cuerpo en la balanza.

• Determine el volumen del cuerpo en cuestión acorde con sus características:

a) Sólidos regulares, ejemplo el cilindro. Determine el diámetro y el radio con el

palmer o el pie de rey. Sustituya en la Ec. 2 para hallar V.

b) Sólidos irregulares. Llene una probeta graduada hasta una altura prudencial y

mida el volumen del líquido contenido en la misma. Sumerja el cuerpo en la

probeta y mida nuevamente. Halle por diferencia el volumen del cuerpo.

Luego, sustituyendo la masa y el volumen medidos en la Ec. 1, puede calcularse la

densidad.

2. Cálculo de la aceleración de caída libre.

Verifique previamente, si es posible despreciar el radio r de la esfera ante la longitud del

hilo y en dependencia con sus resultados se trabaja con la Ec. 3 ó Ec. 4.

Determine el período del péndulo de las siguientes formas:

a) De oscilación en oscilación con el cronómetro o con el centisegundo.

b) Midiendo el tiempo de varias oscilaciones (por ejemplo, 20 mediciones) con el

cronómetro.

8

Dividiendo el tiempo total entre el número de oscilaciones, determine el período del

péndulo T, entonces con los valores de T calculados, así como con los valores de r y l, se

determina el valor de g.

Analice los errores y sus características, según el método de medición empleado para el

período.

3. Cálculo del radio de curvatura de un casquete esférico.

• Coloque el esferómetro sobre el casquete esférico y procure que hagan contacto

las cuatro puntas. Lea con el limbo, la medición correspondiente.

• Coloque entonces el esferómetro en una superficie plana y procure que hagan

nuevamente contacto las cuatro puntas con la superficie. Realice una nueva lectura

del limbo.

La diferencia entre ambas lecturas, dará el valor de e.

• Mida la distancia entre la punta central del esferómetro y una de las patas, estando

todavía las cuatro patas en el mismo plano. Esta medición le dará el valor de r.

Sustituyendo e y r en la Ec. 5, hallar R.

EQUIPOS E INSTRUMENTOS:

• Pie de rey o palmer.

• Balanza.

• Cuerpo sólido regular o irregular.

• Probeta graduada.

• Péndulo.

• Cronómetro y centisegundo.

• Regla.

• Esferómetro.

• Casquete esférico (puede ser un vidrio de reloj)

9

Práctica # 2: CAÍDA DE LOS CUERPOS

OBJETIVOS:

1. Determinar la aceleración de caída libre.

2. Verificar que la aceleración de caída libre no depende de la masa.


Supongamos una esfera que cae en caída libre a baja altura y donde despreciamos la

rotación de la tierra, según este modelo las fuerzas que actúan sobre la esfera (ver figura 2)

son: Fg, fuerza gravitatoria; Fv, fuerza de fricción viscosa; Fe, fuerza de empuje de aire.

Fig. 2. Diagrama de fuerzas de una esfera en caída libre.

La acción conjunta de estas tres fuerzas, determina la aceleración de caída del cuerpo,

observe que según la 2da Ley de Newton, se tiene que:

g v eF F F ma.− − = (6)

Veamos por separado cada una de estas fuerzas

• Fuerza gravitatoria, Fg: Esta fuerza es igual al producto de la masa por la

aceleración de la gravedad. Si nuestra esfera tiene radio R de 0,01m y es de acero

(ρ=7,8 x 103 kg/m3) entonces calculando su valor tenemos:

34 0 323gF mg . R g . Nρ π= = =

• Fuerza de fricción viscosa, Fv: Para partículas esféricas, se demuestra que está

fuerza es proporcional al coeficiente de viscosidad del aire, la velocidad y la

geometría de forma tal que:

Fg

Fv

Fe

10

56 3 51 10vF R v . x Nπ µ −= =

donde el valor del coeficiente de viscosidad tomado fue de 1,86x10-4 en unidades CGS absoluto

y la velocidad de 10m/s.

• Fuerza de empuje, Fe: Esta se calcula por la ley de Arquímedes, la cual plantea

que su valor es igual a la fuerza gravitatoria del volumen de aire desplazado, luego,

como la densidad del aire es de 1,29kg/m3 tenemos:

3 54 5 3 103e aireF R .g . x Nρ π −= =

Comparando las fuerzas calculadas, es claramente notable que la fuerza gravitatoria es

predominante, de aquí que en la Ec. 6, la aceleración de la esfera es debida a la Fg; o sea, la

aceleración debida a la gravedad. No obstante, es lógico suponer que si contáramos con un

sistema de medición certero, estas fuerzas no se deben despreciar.

DESCRIPCIÓN DEL EXPERIMENTO:

Debido a que el experimento se realiza en condiciones de laboratorio, las alturas que

recorre el cuerpo son relativamente pequeñas, y por lo tanto, también serán pequeños los

tiempos de caída, el equipo para medir el tiempo debe ser capaz de medir las centésimas de

segundo (centisegundo digital, ver figura 3). Las tres cifras después del punto se corresponden

a las décimas, centésimas y milésimas de segundo.

Fig. 3. Centisegundo digital.

Este equipo esta conectado a un circuito eléctrico que permite hacer funcionar y

detener el centisegundo, el cual es mostrado en la figura 4. El circuito consta, además del

11

centisegundo, de un electroimán que mantiene a la esfera suspendida, mientras se desee, un

soporte con escala y dos interruptores A y B.

Fig. 4. Circuito de conexión para medir el tiempo de caída libre de la esfera

De manera esquemática, el sistema funciona de la siguiente forma, al colocar el

interruptor A en la posición 1, el electroimán funciona, sosteniendo la esfera al mismo mientras

que el centisegundo está detenido. Al pasar el interruptor A a la posición 2, cesa el paso de la

corriente por el electroimán cayendo la esfera, y por ende comienza a funcionar en el

centisegundo. Al caer la esfera, lo hace sobre el interruptor B, el cual se ha colocado

previamente en el lugar adecuado. La función del interruptor B interrumpir el funcionamiento

del centisegundo, de modo que al chocar la esfera contra el mismo se detiene y podemos leer

el tiempo de caída.

Ya que la esfera cae, partiendo del reposo, deberá cumplir la ecuación cinemática:

2

2a ,t

= (7)

donde: l, es la distancia recorrida por la esfera; t, el tiempo empleado en recorrer la distancia.

Es importante que hagamos resaltar aquí una cuestión acerca del modelo físico empleado en

este experimento. El mismo considera que la esfera comienza a caer en el mismo instante en

que se interrumpe el paso de la corriente por el electroimán, y esto no es rigurosamente cierto.

En realidad existe un magnetismo remanente que se va a manifestar en un pequeño intervalo

de tiempo después de que cesa la corriente y que mantiene la esfera suspendida. Esto afecta

la medición del tiempo.

A

B

1 2

12

EJERCICIOS:

1. Fije una distancia l para que sea recorrida por la esfera al caer. Para ello coloque el

electroimán en la posición adecuada corriéndolo a lo largo del soporte y midiendo l con la

escala preparada al efecto. Esta distancia debe ser no menor de 20cm. Observe que la

distancia recorrida no es hasta la superficie donde usted coloca el interruptor, sino hasta el

punto del mismo con el cual la esfera choca. Mida varias veces el tiempo de caída de la

esfera. Con el tiempo promedio, sustituya en la Ec. 7 y obtenga el valor de g.

2. Varié de 5cm en 5cm la altura inicial, siempre aumentando y repita lo descrito en el

ejercicio anterior. Interprete sus resultados. Todo lo descrito en los ejercicios anteriores

se refiere al primer método descrito en este experimento.

3. Cambie la esfera por otra de distinta masa y repita el experimento. Analice sus

resultados.


• Electroimán en su soporte.

• Escala vertical.

• Esfera metálica.

• Cronómetro electromecánico.

• Sistema de cables e interruptores de caída libre.

13

Práctica # 3: MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL.

OBJETIVOS:

1. Comprobar el principio de independencia de los movimientos de Galileo.

2. Determinar la velocidad de salida de un lanzamiento horizontal.

3. Calcular de las velocidades en el eje vertical y el horizontal en un lanzamiento oblicuo.


El principio de independencia de los movimientos de Galileo plantea que los

movimientos de los cuerpos en las distintas direcciones son independientes entre sí. Por este

motivo, un movimiento complejo en el espacio tridimensional siempre es posible reducirlo al

estudio de tres movimientos más sencillos en las tres dimensiones.

Así, aplicando este principio al movimiento de un proyectil se efectúa en un plano,

luego es posible descomponerlo en dos movimientos independientes, uno en el eje horizontal,

otro en el vertical (ver figura 5).

Fig. 5. Movimiento de un proyectil.

Escogiendo un sistema de coordenadas cartesianas, donde el eje “y” se hace coincidir

con la dirección y el sentido de la aceleración de caída libre g. Las ecuaciones que dan las

coordenadas x e y, en función del tiempo serán:

20 0

0 0

12y

x

y y V t gt ,

x V t x ,

= + +

= + (8)

donde: x0 y y0 son las coordenadas iniciales y V0x y V0y son las velocidades iniciales. Si en el

instante inicial el proyectil esta en el origen, entonces:

Vy

Vx

V

y

x

g

14

20

0

12y

x

y V t gt ,

x V t .

= +

= (9)

Veamos los siguientes casos:

• Movimiento solamente en el eje de las y.

0

20

0 0102

x

y

V x ,

V y gt .

= ⇒ =

= ⇒ = (10)

• Movimiento en ambos ejes con velocidad inicial en “y” nula.

0 0

20

0102

x x

y

V x V t,

V y gt .

≠ ⇒ =

= ⇒ = (11)

Si se compara este par de ecuaciones con el del caso anterior se tiene como

consecuencia del principio de independencia de los movimientos, que el tiempo en que el

proyectil recorre una distancia y dada, será el mismo en ambos casos, e independiente de la

velocidad inicial en x, V0x. O sea, que el movimiento en el eje de las x no ha modificado en

absoluto al movimiento en el eje de las y. Así, simultaneando estas ecuaciones se tiene que:

22

02 x

gy x ,V

= (12)

que es la ecuación de una parábola. Si conocemos los valores de x y y, podemos con la misma

determinar el valor de V0x.

• Movimiento con velocidad inicial en ambos ejes.

0 0

20 0

0102

x x

y y

V x V t,

V y V t gt ,

≠ ⇒ =

≠ ⇒ = + (13)

La velocidad inicial resultante V0 esta dada por:

2 20 0 0x yV V V .= + (14)

Por lo que es posible, conociendo las distancias recorridas en cada eje y el tiempo t,

calcular los componentes:

15

0xxV ,t

= (15)

012y

yV gt.t

= − (16)


Para comunicar distintas velocidades iniciales a la esfera, que tomaremos como

proyectil, emplearemos un tubo arqueado, según se muestra en la figura 6. La esfera proyectil

se deja caer en el extremo A del tubo arqueado. Este tubo puede girar en su soporte, de modo

que se puede hacer variar el vector velocidad a su salida en el punto B. (ver figura 6.)

Fig. 6. Tubo arqueado usado en el experimento para comunicar distintas velocidades iniciales a la esfera.

El tiempo de caída se mide con los interruptores 1 y 2. Al pasar la esfera por el extremo

B se abre el interruptor 1, comenzando a contar el centisegundo. Al llegar la esfera a la mesa,

golpea el interruptor 2, cesando de contar el centisegundo. El tiempo queda indicado en la

escala del instrumento.

Para determinar las distancias recorridas en cada eje se procede del modo siguiente:

• En el eje y la distancia recorrida se determina mediante la escala preparada al efecto

como se ve en la foto.

• En el eje x, se propone que coloque sobre la pista dos hojas de papel blanco, con

una de papel de carbón en el medio, con la parte entintada hacia abajo. Marque en el

A

B

x

y

Vox

Voy Vo

16

papel superior con la plomada el origen de su eje. Al caer la esfera sobre el papel 1,

quedará una huella en el papel 3, que nos permitirá determinar la distancia x recorrida.

EJERCICIOS:

1. Adiestramiento en el manejo de los instrumentos.

Coloque la esfera con la mano al nivel de la salida B. Trate de coordinar el acto de

soltar la esfera y el abrir el interruptor 1, lo más simultáneamente que le sea posible.

Cuando lo haya logrado, coloque el interruptor 2 de modo tal, que la esfera caiga sobre el,

y registre el tiempo de caída. Todo esto debe hacerse con una altura no menor de 50cm.

Este caso se corresponde con las condiciones:

V0x=0 y V0y=0

mida por lo menos 20 veces el tiempo, con el objetivo de hallar un promedio.

Ahora coloque el tubo de manera que a la salida, la velocidad sea horizontal. Verifique

esto mediante el nivel de burbuja. Coloque con la mano la esfera en el extremo A y

suéltela, y observe el lugar en que cae. Coloque allí el interruptor 2 y mida al menos veinte

veces el tiempo en que cae la esfera. Este caso se corresponde con:

V0x≠0 y V0y=0

Compare sus resultados a la luz del principio de independencia de los movimientos de

Galileo.

2. Determinación de la velocidad de salida en el lanzamiento horizontal.

Retire el interruptor 2 y verifique la horizontalidad del tubo en la zona de salida. Haga

lanzamientos para una determinada altura y con el objetivo de medir la distancia horizontal

recorrida x. Sustituyendo en la Ec. 12 se puede obtener V0x.

Varié la altura y a intervalos de 5cm y repita lo anterior, pero con el objetivo de obtener

un conjunto de pares de valores [xi, yi]. ¿Qué representa esta curva?.

Construya un gráfico de y vs x2. De este último determine la pendiente que según la

Ec. 12 toma el valor:

17

202 x

gm ,v

=

de aquí determine el valor de V0x.

Haga también un gráfico [yi, xi]. ¿Qué representa esa curva?

3. Determinación de la velocidad de salida cuando el tubo arqueado está inclinado.

Incline el tubo arqueado de modo que su lanzamiento este por debajo de la horizontal.

Haga algunos lanzamientos para ubicar el interruptor 2. Ubique el mismo de modo que la

esfera caiga en el. Haga varios lanzamientos para determinar el valor del tiempo de caída.

Mida la altura de que cae la esfera. Mida la distancia x recorrida horizontalmente.

Determine entonces en las Ecs. 15 y 16 los valores de V0x y V0y.


• Tubo arqueado.

• Centisegundo.

• Papel carbón.

• Regla.

• Plomada.

18

Práctica # 4: COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES Y COPLANARES.

OBJETIVOS:

1. Comprobar las condiciones de equilibrio de una partícula.


La segunda Ley de Newton plantea que:

F ma,=∑ (17)

para que un cuerpo de extensión finita se encuentre en equilibrio, ya sea en reposo o

movimiento rectilíneo y uniforme, es necesario (aunque no suficiente) que:

0F .=∑ (18)

Si el cuerpo es una partícula, o sea, que sus dimensiones pueden despreciarse, esta

condición será necesaria y suficiente para lograr su equilibrio dinámico.

Sin embargo, la fuerza es una magnitud física vectorial; por tanto posee magnitud,

dirección y sentido; además recordemos que la suma vectorial como aparece en las Ecs. 17 y

18 tiene características particulares que la diferencian sustancialmente de la suma de

escalares, veamos esto:

Uno de los métodos más usuales de operar con vectores consiste en reducirlos a

componentes. Si analizamos vectores en un plano bidimensional (ver figura 7), cualquier vector

puede representarse como la suma de dos componentes:

x ya a a ,= + (19)

donde: ax y ay son las componentes del vector a dirigido a lo largo de los ejes x y y,

respectivamente.

19

Fig. 7. Descomposición de vectores en sus componentes ortogonales x y y.

Designando a i y j como versores (vectores unitarios) dirigidos a los largo de los ejes x

y y, respectivamente. Entonces, las componentes ax y ay pueden escribirse de este modo:

x x

y y

â a i ,â a j,

=

= (20)

donde ahora ax y ay son números ordinarios o escalares.

El modulo ó longitud del vector, situado en el plano es por el teorema de Pitágoras:

2 2x yA a a .= + (21)

El cálculo de ax y ay es a partir de la figura 1.

x

y

a A cos ,

a A sen ,

θ

θ

=

= (22)

y además:

y

x

aarc tan .

aθ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (23)

La suma de dos vectores A y B, al reducirse ambos a componentes, es sencilla y se

opera de este modo:

( ) ( )

x y

x y

x x y y

ˆ Â a i a j,ˆ ˆB b i b j,

ˆ Â B a b i a b j,

= +

= +

+ = + + +

donde si llamamos C a este vector suma, tendrá componentes:

ay

ax

a

θ

20

X x x

y y y

C a b ,C a b ,

= += +

(24)

de donde lo tenemos determinado completamente, ya que aplicando las Ecs. 21 y 23

obtendremos su magnitud, dirección y sentido.

Si sobre un cuerpo de dimensiones despreciables actúan dos fuerzas, podemos

calcular su resultante por este método. Luego, para lograr que el cuerpo se encuentre en

equilibrio, habrá que aplicarle una tercera fuerza de igual magnitud y dirección, pero de sentido

contrario, por lo cual se cumplirá que:

( )1 2 3 3 1 20 F F F F F F .= + + = − +

Si las fuerzas están situadas en la misma dirección, hallar su resultante es trivial.

En el caso de que las fuerzas sean perpendiculares, el cálculo de la resultante también

es sencillo, ya que mediante el teorema de Pitágoras (ver figura 7):

2 21 2

1

2

RF F F ,

Farc tan .F

θ

= +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Si las fuerzas no son perpendiculares, tenemos que descomponer y hallar la resultante

como se indico anteriormente. No obstante, si lo único que se desea es hallar la magnitud,

podemos aplicar el teorema de Pitágoras generalizado. El mismo plantea que la resultante de

dos vectores de módulos F1 y F2 que forman entre sí un ángulo α (ver figura 8), puede

calcularse como:

( )2 21 2 1 22RF F F F F cos ,α= + ±

donde usamos el signo + si el ángulo es agudo y el signo – si es obtuso. Observe que si α es

de 90°, este teorema se reduce al anterior.

21

Fig. 8. Representación de la suma vectorial de dos fuerzas mediante la regla del paralelogramo.


La figura 9 muestra una mesa de fuerzas, donde la misma está compuesta de una

mesa circular superior que está calibrada en grados y montada en una varilla vertical,

mantenida en una base con tornillos de nivelación. El cuerpo cuyo equilibrio se estudia es el

anillo que esta en el centro de la mesa. La espiga central sirve para indicarnos cuando el

cuerpo esta en equilibrio. Las fuerzas que actúan sobre el anillo son las tensiones de las

cuerdas.

Fig. 9. Mesa de fuerzas.

Si la fricción en las poleas es despreciable, las tensiones en las cuerdas deberán ser

iguales a la fuerza gravitatoria que actúa sobre los cuerpos suspendidos, ya que el sistema

esta estático. Cada polea montada en su presilla tiene un índice mediante el cual puede

determinarse la dirección en que se ejerce la fuerza.

F1

F2

FR

α

22

EJERCICIOS:

1. Nivele la mesa de fuerzas usando el nivel de burbuja, hasta que quede lo mas

horizontal posible. Coloque el anillo provisto de hilos en la espiga central de la mesa de

fuerzas.

2. Sitúe las fuerzas F1 y F2 que el profesor le indique. En el primer caso, las fuerzas

pueden ser perpendiculares. Calcule la resultante correspondiente y demuestre

experimentalmente la validez de sus resultados teóricos.

3. Sitúe fuerzas no perpendiculares F1 y F2 y calcule la fuerza resultante usando el

teorema de Pitágoras generalizado. Coloque una tercera fuerza con la magnitud

calculada y varíe el ángulo hasta que se equilibre el sistema. Mida el ángulo

correspondiente y compruebe analíticamente que:

1 2 3 0F F F .+ + =

Este experimento se repite tantas veces como se desee con distintos valores de F1 y

F2.


• Mesa de fuerzas.

• Poleas.

• Nivel de burbuja.

• Caja de pesas.

23

Práctica # 5: MÁQUINA DE ATWOOD (SIN CONSIDERAR FRICCIÓN)

OBJETIVOS:

1. Comprobar la propiedad de la constancia de las velocidades.

2. Comprobar la propiedad de la constancia de las aceleraciones.

3. Comprobar la segunda Ley de Newton.


La primera Ley de Newton expresa que: “Todo cuerpo conserva su estado de

reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme, a menos que sea obligado a cambiar ese

estado por fuerzas aplicadas sobre él”.

Sea un cuerpo que se encuentre en movimiento, bajo la acción de ciertas fuerzas. Si en

determinado momento, estas fuerzas dejan de actuar, el movimiento del cuerpo será, a partir

de entonces, un movimiento rectilíneo y uniforme, o sea, con velocidad constante,

independientemente de las distancias que recorra. Esta es la propiedad de la constancia de

las velocidades.

La segunda ley de Newton plantea: “La aceleración producida por una o varias

fuerzas que obran sobre un cuerpo, es de magnitud proporcional a la resultante de las

fuerzas que actúan sobre él, y de igual dirección y sentido que dicha resultante, y es

inversamente proporcional a la masa del cuerpo”. Matemáticamente se expresa como:

F ma.=∑ (25)

De esta ley se desprende, que dada la masa de un cuerpo y las fuerzas que actúan

sobre él, esta determinada su aceleración y la misma es constante, si constantes son las

fuerzas y la masa, independientemente de las distancias que recorra el cuerpo. Esta es la

propiedad de la constancia de las aceleraciones.

Naturalmente, al variar la fuerza que actúa sobre un cuerpo varía su aceleración, pero

la variación de ambas magnitudes deberá ser siempre tal, que para un mismo cuerpo se

cumpla que:

31 2

1 2 3

n

n

F FF F .a a a a

= = = (26)

24


La máquina de Atwood (ver figura 10 a) es un dispositivo sencillo que consiste en una

polea, de la cual cuelgan dos cuerpos, 1 y 2, de igual masa m. Lleva una escala en su soporte

central para medir las distancias recorridas por los cuerpos. Sujetas a este soporte se colocan

plataformas en las posiciones deseadas, a lo largo del eje. Las plataformas son de dos tipos:

maciza y horadada (ver figura 10 b,c) Hay también un conjunto de sobrecargas, que son

pequeños cuerpos con una abertura (ver figura 11), que permiten colocarlos sobre los cuerpos

1 y 2. La plataforma horadada permite el paso de los cuerpos, no así de las sobrecargas.

Fig. 10. Máquina de Atwood y tipos de plataformas, en (a) horadada; mientras que en (b) es maciza.

Fig. 11. Plataformas usadas en el experimento.

El modelo físico ideal de este aparato es el siguiente:

1. Se considera la polea sin masa y sin fricción en la garganta.

2. El hilo es inextensible y sin masa.

m1 m2

(b) (c) (a)

25

Teniendo en cuenta esas condiciones, apliquemos las ecuaciones correspondientes a

la segunda ley de Newton, a los cuerpos 1 y 2, teniendo el 1 una sobrecarga. Para ello,

veamos los diagramas de fuerza de la figura 12.

Fig. 12. Diagramas de fuerzas de la máquina de Atwood (a). En (b) se representa al cuerpo de

masa m con un sobrepeso, en (c) es el diagrama de fuerzas de la polea; mientras que en (d) se muestra el diagrama de fuerzas del cuerpo 2.

Si tomamos como sistema de referencia el indicado en la figura 12, se tiene que para:

• Cuerpo 1: 1 1 1 1m g T m a .− =

• Cuerpo 2: 2 2 2 2T m g m a .− =

como el hilo es inextensible: a1=a2. Además, como la polea no tiene fricción en la garganta

implica que T1=T2. Bajo estas condiciones se obtiene que:

1 21 2

1 2

m ma a a g,m m

−= = =

+ (27)

1 2

1 2

2m mT g,m m

=+

(28)

donde:

1

2

m m m,m m,

= + ∆=

donde: ∆m, es la masa de la sobrecarga; mientras que m es la masa de los cuerpos 1 y 2.

T1

m1g

T2

m2g T1 T2

N

+

+ +

(a) (b) (c) (d)

26

De aquí, que si m1=m2 (o sea, ∆m=0, no hay sobrecarga) entonces:

0a = y T mg=

lo cual corrobora la primera ley de Newton, y el sistema seguirá en movimiento rectilíneo y

uniforme. En este tipo de movimiento:

y V t,∆ = ∆ (29)

luego, como V=cte deberá cumplirse que:

31 2

1 2 3

n

n

y yy yV cte.t t t t

∆ ∆∆ ∆= = = = = =∆ ∆ ∆ ∆

(30)

Si la sobrecarga es aplicada, entonces sustituyendo en la Ec. 27 queda:

2mga ,

m m∆

=+ ∆

donde: ∆mg es la fuerza neta resultante que obra sobre el sistema y 2m+∆m su masa total. El

sistema se mueve con Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado y esto implica que:

( )20

0

12

y V t a t ,

V V a t ,

∆ = ∆ + ∆

= + ∆ (31)

que en el caso que V0=0 se reducen a:

( )212

y a t ,

V a t ,

∆ = ∆

= ∆ (32)

como a=cte, deberá cumplirse que:

( ) ( ) ( )( )

( )

1 22 2 2

1 2

1 2

1 2

22 2 n

n

n

n

yy ya cte at t t

VV Va cte bt t t

∆∆ ∆= = = = =

∆ ∆ ∆

= = = = =∆ ∆ ∆

(33)

De variar la sobrecarga ∆m, variara lógicamente la aceleración del sistema, pero

siempre de modo tal que:

1 2

1 2

n

n

m gm g m g cte.a a a

∆∆ ∆= = = = (34)

27

EJERCICIOS:

1. Constancia de las velocidades.

Coloque la plataforma horadada a una distancia fija del punto en que usted colocara

una sobrecarga constante. Coloque la plataforma maciza, bajo la horadada, a una distancia ∆y

que se le indique. Coloque la sobrecarga sobre el cuerpo suspendido por encima de la

plataforma horadada, de modo que descienda y se desprenda de la sobrecarga al atravesar

esta. Mida varias veces el tiempo ∆t en el cual el cuerpo recorre la distancia ∆y (sin

sobrecarga), con el objetivo de hallar un promedio.

Varié entonces la distancia ∆y y repita el procedimiento, siempre cargando el cuerpo a

una distancia fija de la plataforma horadada. Obtenga, de este modo, un conjunto de pares de

valores [∆yi, ∆ti] los cuales deberán cumplir la Ec. 30.

2. Constancia de las aceleraciones.

Este ejercicio se puede llevar a cabo de dos maneras:

a) Retire la plataforma horadada. Determine varias veces el tiempo en que el

cuerpo con sobrecarga recorre una distancia ∆y.. Repita el procedimiento para

otros valores de ∆y hasta tener un conjunto de pares de valores [∆yi, ∆ti].

Como estas mediciones corresponden a un cuerpo con sobrecarga deberán

corresponder a un MRUA y verifique que cumplan la Ec. 33 a.

b) Coloque la plataforma horadada a una distancia ∆y de la plataforma maciza.

El cuerpo, al desprenderse de la sobrecarga, recorre este ∆y con MRU con la

velocidad terminal del MRUA anterior a soltar la sobrecarga. Es necesario

medir dos tiempos: el transcurrido hasta soltar la sobrecarga y el del MRUA.

Llamémosles ∆t1 y ∆t2, respectivamente. Con ∆t2 podemos calcular la

velocidad como:

2

2

yV .t

∆=∆

Variando la distancia ∆y, obtendremos un conjunto de pares de valores

[∆Vi, ∆ti] que deberá cumplir la Ec. 33 b.

28

3. Comprobación de la segunda Ley de Newton.

Retire la plataforma horadada. Mida varias veces el tiempo en que recorre un ∆y fijo,

alguno de los dos cuerpos. Varié entonces la sobrecarga repitiendo el procedimiento. Con

los valores [∆yi, ∆ti] calcule las aceleraciones ai correspondientes mediante:

( )2

2 ii

i

ya ,t∆

=∆

para las distintas cargas.

Con el conjunto de pares de valores [ai, ∆mig] verifique si se cumple la Ec. 34.

Haga un gráfico de ai vs ∆mig. Extrapole para ai→0. ¿Qué conclusiones saca usted

del mismo, sobre la consideración de que no hay fricción en el eje de la polea y la igualdad

de las masas de los cuerpos 1 y 2?


• Máquina de Atwood.

• Sobrecargas.

• Cronómetros.

29

Práctica # 6: MÁQUINA DE ATWOOD (CON FRICCIÓN)

OBJETIVOS:

1. Verificar la propiedad de la constancia de las aceleraciones.

2. Determinar el valor de la fricción equivalente.


La segunda ley de Newton expresa que: “La aceleración producida por una o varias

fuerzas que obran sobre un cuerpo, es de magnitud proporcional a la resultante de las

fuerzas que obran sobre él y de dirección y sentido igual que dicha resultante, e

inversamente proporcional a la masa del cuerpo.” Esta ley se enuncia matemáticamente de

la forma:

F ma.=∑

De esta ley de desprende que para una masa dada del cuerpo, la aceleración es

constante y está predeterminada, si la fuerza que actúa sobre el cuerpo es constante e

independiente de la distancia que recorra el cuerpo. Esta es la propiedad de la constancia de

las aceleraciones.


La máquina de Atwood es un sistema que consiste en una polea de la cual cuelgan dos

cuerpos de masas aproximadamente iguales. Lleva una escala en su soporte central para

medir las distancias recorridas por los cuerpos (ver figura 13). Hay también un conjunto de

sobrecargas que son pequeños cuerpos con una ranura, de modo tal, que se pueden colocar

por encima de los cuerpos.

30

Fig. 13. Máquina de Atwood y tipos de plataformas, en (a) horadada; mientras que en (b) es maciza.

El modelo físico de este sistema supone que la masa de la polea es despreciable frente

a la masa de los cuerpos que cuelgan, y que el hilo es inextensible y sin masa.

Desarrollaremos en lo que sigue, las expresiones de la dinámica para los cuerpos que

componen la máquina de Atwood. Las expresiones que aparecen con el asterisco se

corresponden con ecuaciones de la dinámica y la cinemática de la rotación, las cuales no

entraremos a explicar exhaustivamente, pues harían la introducción demasiado extensa.

Requerimos del estudiante que la acepte o consulte su libro de texto.

Se coloca sobre uno de los cuerpos una sobrecarga de masa ∆m. Si se llama m1 a la

masa total m + ∆m y a la masa del otro cuerpo se llama m2, los diagramas de fuerzas de

ambos cuerpos se muestran en la figura 14 a, b.

Fig. 14. Diagrama de fuerzas de los cuerpos de masa m1 (a) y m2 en (b).

Las ecuaciones de la dinámica para ambos cuerpos son:

1 1 1 1

2 2 2 2

m g T m a ,T m g m a ,

− =− =

(35)

T1

m1g

T2

m2g

(a) (b)

m1

m

(a)

(b) (c)

31

donde: m1 = m + ∆ m y m2 = m.

Si se observa el diagrama de fuerzas de la polea (figura 15) y aplicamos las leyes de la

dinámica de la rotación a la polea tenemos:

( )1 2 frT R T R M I .α− − = ∗ (36)

Fig. 15. Diagrama de fuerzas de la polea.

Como el hilo es inextensible, a1=a2 y además: a= α R*. Si dividimos entre R la Ec. 36

y su resultado se simultanea con las E. 35. se obtiene que:

1 2 2frM am g m g I I ,

R R Rα

− − = =

de donde despejando:

1 22

1 2

frm g m g M / Ra .

m m I / R− −

=+ +

(37)

Pero como m1 = m + ∆m y m2 = m, donde ∆m es la masa de la sobrecarga y m es la

masa de los cuerpos, entonces tenemos:

22frmg M / R

a .m m I / R∆ −

=+ ∆ +

(38)

Si aproximamos la polea a un disco, se debe cumplir que:

*2

2MRI =

el cual se sustituye en la Ec. 38 donde se obtiene que:

2 2frmg M / R

a .m m M /∆ −

=+ ∆ +

(39)

T1 T2

N

32

Analizando esta expresión tenemos que:

1. La aceleración del sistema depende las fuerzas y momentos que actúan sobre el

mismo, y de las masas de los cuerpos que los componen. No depende entonces, de

las distancias recorridas; luego, este sistema cumple la propiedad de la constancia de

las aceleraciones.

Si la masa M de la polea es despreciable como sucede en la mayoría de los casos,

entonces la Ec. 39 queda como:

2

emg fa ,m m

∆ −=

+ ∆ (40)

donde hemos hecho el cambio:

fre

Mf .

R= (41)

En esta expresión se pone de manifiesto como, aun cuando la sobrecarga de masa

∆m no este aplicada, existe una aceleración retardatriz provocada por Mfr/R. El origen de esta

aceleración está en la fricción del eje de la polea, Ec. 41.

Llamémosle a este termino fe “fricción equivalente”. Esta denominación viene dada por

la siguiente analogía: Sea un cuerpo de masa 2m+∆m que se mueve con aceleración a, bajo

el efecto de la fuerza ∆mg y la fricción fe. Entonces de la figura 16 se debe cumplir la siguiente

ecuación:

( )2emg f m m a,∆ − = + ∆

esta expresión idéntica a la Ec. 40.

Fig. 16. Diagrama de fuerzas de cuerpo análogo.

2m+∆m

(2m+∆m)g

2m+∆m

N

fe

33

De la Ec. 40 se concluye que el cuerpo se moverá con movimiento rectilíneo y uniforme

si cumple que:

emg f .∆ =

Luego, para determinar fe basta obtener el valor de la sobrecarga que haga mover el

sistema con aceleración cero. Pero lograr que un sistema se mueva de este modo es muy

difícil, por lo tanto, emplearemos otro procedimiento para determinar fe.

Si se analiza la Ec. 40 se observa que existe una relación lineal entre a y ∆mg. Luego,

determinando varios valores de a para distintos valores de ∆mg y extrapolamos hacia el eje de

las abcisas, el intercepto con este se corresponde al valor de la fricción equivalente. (ver figura

17).

Fig. 17. Gráfica de a vs ∆mg de la Ec. 40.

Las aceleraciones del sistema se determinaran como:

2

2a ,t

= (42)

siendo: l la distancia recorrida y t el tiempo empleado en recorrerla.

EJERCICIOS:

1. Constancia de la aceleración.

Coloque una sobrecarga sobre uno de los cuerpos y determine el tiempo en que recorre

una distancia l varias veces, con el objetivo de hallar un promedio. Varié entonces la distancia l

a

∆mg

34

y repita el procedimiento anterior tantas veces como se le indique, hasta obtener un conjunto

de pares de valores [li,ti]. Compruebe la constancia de la aceleración como:

1 22 2 21 2

22 2 n

n

.t t t

= = =

Construya un gráfico de l vs. t2 y de la pendiente determine a.

Observación: En este ejercicio la sobrecarga es la misma en todos los casos.

2. Determinación de la fricción equivalente.

Fije una distancia l. Pese el conjunto de sobrecargas con las que va a trabajar. Mida varias

veces el tiempo en que cada uno de los cuerpos recorre la distancia l con cada una de las

sobrecargas. Determine los promedios y las aceleraciones correspondientes. Haga una grafica

con el conjunto de pares de valores [ai, ∆mgi] y del punto de intersección con el eje de las x,

determine fe.


• Máquina de Atwood.

• Cronómetro.

35

Práctica # 7: ESTUDIO DE LA FRICCIÓN ESTÁTICA.

OBJETIVOS:

1. Comprobar que la fuerza de fricción estática es proporcional a la fuerza normal entre

las superficies en contacto.

2. Calcular el coeficiente de fricción estática entre dos superficies.

3. Comprobar la independencia de la fuerza de fricción estática con la magnitud del área

en contacto.


En todos los fenómenos mecánicos existen las fuerzas de rozamiento que van casi

siempre acompañadas de la transformación de una forma de energía a otra; por lo general, la

energía mecánica se transforma en energía calorífica gracias a la acción de las fuerzas de

rozamiento.

Existen dos tipos de fuerzas de fricción, en dependencia de si las superficies en

contacto se encuentran en movimiento relativo o no. En el primer caso, diremos que la fricción

que actúa es dinámica y en el segundo, estática, no obstante, ambas tienen algunas

características comunes que debemos señalar. Estas características son:

1. Las fuerzas de fricción son independientes de la magnitud del área en contacto.

2. Dependen de las características de las superficies.

3. están relacionadas con la fuerza normal que actúa entre los cuerpos en contacto.

Cuando se trata de mover un cuerpo se observa que, mientras la fuerza que se ejerce

sobre él no alcanza cierta magnitud, este no se mueve. Sin embargo, una vez que se ha

pasado cierto valor máximo de la fuerza el cuerpo se mueve, y que para mantener el

movimiento no es necesario una fuerza tan grande como la hecha para provocarlo. He aquí un

claro ejemplo para explicar la clasificación de las fuerzas de fricción en estática y dinámica.

De aquí se concluye, que la fuerza de fricción estática fe toma todos los valores de la

fuerza externa que se ejercen sobre el cuerpo, hasta el punto en que esa fuerza externa toma

un valor tal que la fricción aunque la iguala, no puede superar, luego, ante un mínimo

36

incremento de Fext, el cuerpo inicia el movimiento y la fricción que comienza a actuar es la

fricción dinámica.

Luego, la fricción estática toma cualquier valor entre 0 y un valor máximo, fmax. Este

valor máximo es proporcional a la fuerza normal entre las superficies en contacto, luego:

maxe ef N ,µ= (43)

donde µe es un coeficiente de fricción estática, el cual es adimensional que depende de los

tipos de superficies en contacto.

Existen dos formas de poner el sistema en movimiento inminente. Este será el punto

en el cual la fuerza externa aplicada sobre el cuerpo tiene el valor igual al de la fricción estática

máxima, y por lo tanto, cualquier incremento de F provoca el movimiento del cuerpo.

1. El cuerpo se encuentra en un plano inclinado (vea figura 18). La fuerza F es en este

caso, la componente en x de mg, o sea, mgsen θ.

Fig. 18. Plano inclinado.

Si se varía θ hasta el punto en que cualquier aumento de mgsenθ provoca el

deslizamiento del cuerpo, el mismo estará en movimiento inminente. En este caso, del

diagrama de fuerzas se obtiene que:

0

0x e

y

F mg sen f ,

F N mg cos ,

θ

θ

= − =

= − =∑∑

donde las sumas de fuerzas son cero, puesto que el cuerpo se encuentra en reposo. Pero

como el cuerpo se encuentra en movimiento inminente, fmax=µeN, luego:

femax

θ

θ mg

N

37

e e

e

mg sen N mg cos ,tan .

θ µ µ θµ θ

= =∴ =

(44)

2. Se tira horizontalmente de un cuerpo colocado en un plano horizontal (ver figura 19).

Fig. 19. Cuerpos atados por hilo inextensible.

Las fuerzas se ejercen, colocando pesas sobre un platillo. Supondremos que el hilo es

inextensible y de masa despreciable. La polea no tiene fricción en la garganta. En este

caso, de los diagramas de fuerzas se obtiene que:

{

0

0

0

y

x e

y

F N mg ,Cuerpo

F T f .

Platillo F mg T .

⎧ = − =⎪⎨

= − =⎪⎩

= − =

∑∑∑

en la condición de movimiento inminente:

0e e

e

f N ,T N ,µ

µ=

∴ − =

pero T=mg y N=mg, entonces:

0e eMMg mg .m

µ µ− = ⇒ = (45)


Las superficies bajo estudio serán las de un cuerpo en forma de bloque y una superficie

plana. Se realizarán dos estudios, primero un plano inclinado como el de la figura 18, el cual se

mg

N

T

mg

T

38

varía su ángulo θ con respecto a la horizontal. Usando entonces la Ec. 44 se puede determinar

el coeficiente de fricción estática.

En el segundo estudio, se usará el esquema experimental de la figura 19, el cual es

posible alinearlo horizontalmente con una polea en el borde de la mesa de trabajo, de manera

que se pueda tirar del mismo con un platillo cargado de pesas. Sobre el bloque sobre la

superficie (fig. 19) se pueden colocar pesas que permitan variar la fuerza normal entre el

bloque y la superficie. En este caso, variaríamos solamente fmax, manteniéndose µe constante.

Luego, es lógico que para poner en movimiento inminente el bloque cargado, será necesario

poner mas pesas en el platillo que estando descargado. De la Ec. 45 se ve que existe una

relación lineal entre la masa del platillo más las pesas M y la del cuerpo en movimiento

inminente m. Luego, si se llevan a un gráfico estas magnitudes, deberá obtenerse una línea

recta, de cuya pendiente se puede obtener µe.

EJERCICIOS:

1. Cálculo de µe usando el plano inclinado.

Coloque el bloque sobre el plano inclinado, y aumente, lentamente, el ángulo de

inclinación. Llegado al punto donde cualquier elevación del plano pone en movimiento al

cuerpo, mida el ángulo de inclinación en el semicírculo. Repita varias veces este

procedimiento con el objetivo de realizar un promedio. Sustituyendo en la Ec. 44 obtenga

µe. Si se va a realizar el cálculo de los errores en este experimento, tenga en cuenta que el

∆θ debe ser determinado en radianes.

2. Cálculo de µe usando el sistema de la figura 19.

Amarre el bloque con un cordel y este al platillo. Coloque el sistema como se indica en

la figura 6. Cargue el platillo poco a poco hasta observar que cualquier carga adicional

pone en miento al cuerpo. Repita este procedimiento para obtener un promedio. Pese el

bloque en una balanza y obtenga el valor de m. Sustituyendo en la Ec. 45, se obtiene el

valor de µe. Advertencia: No deje caer las pesas en el platillo, colóquelas cuidadosamente.

3. Cálculo de µe usando el sistema de la figura 19 con pesas sobre el bloque.

39

Repita lo dicho en el ejercicio 2, pero, colocando pesas sobre el bloque, de modo que

se incremente el valor de la normal a intervalos regulares. Construya un gráfico de M vs m

y de la pendiente del mismo, determine µe. Observe si la recta pasa o no, por el origen y

saque sus conclusiones.

4. Cálculo de µe usando el sistema de la figura 18.

Si su bloque esta formado por superficies del mismo material, pero diferentes áreas,

repita lo señalado en el ejercicio 1. Saque sus conclusiones respecto a la magnitud de la

fuerza de fricción.

Repita el experimento para otro bloque con otro tipo de superficie.


• Plano inclinado.

• Bloques.

• Juego de pesas.

• Balanza.

• Semicírculo.

• Sistema de polea y platillos.

40

Práctica # 8: DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE FRICCIÓN DINÁMICA.

OBJETIVOS:

1. Determinar el coeficiente de fricción dinámica entre dos superficies.


Los fundamentos físicos de este experimento están muy relacionados con el anterior, o

sea, el estudio de la fricción estática. Para evitar repeticiones innecesarias remitimos al alumno

al estudio de las características generales de las fuerzas de fricción que se desarrollan allí.

Hagamos ahora hincapié en las cuestiones pertinentes en particular con la fuerza de fricción

dinámica.

Como se explico anteriormente, esta era la fuerza de fricción que surgía cuando las

superficies en contacto se hallaban en movimiento relativo. En general, esta fuerza tiene un

comportamiento variable con la velocidad, disminuyendo al aumentar esta primero y

aumentando para altos valores de la velocidad. No obstante, dentro de un intervalo bastante

amplio de velocidades, puede considerarse constante la fricción dinámica. Por tanto, al igual

que en el caso de fricción estática se define entonces un coeficiente de fricción dinámica µd,

como la relación por cociente entre el valor de la fricción dinámica y la fuerza normal, o sea:

dd

f ,N

µ = (46)

este coeficiente es adimensional y dependerá solo de las características de las superficies en

contacto.

La diferencia esencial entre la fricción estática y la dinámica consistirá entonces en

que:

• La fricción estática está: 0 maxe e ef f N .µ≤ ≤ =

• La fricción dinámica es: d df N .µ=

siempre dentro de un grado de aproximación de bajas velocidades.

41


Este experimento se realiza con un plano inclinado de gran longitud (por lo menos de

1,5m), cuyo ángulo respecto a la horizontal es posible variar y fijar. (Ver figura 20).

Fig. 20. Plano inclinado.

Si la inclinación del plano es tal, que el cuerpo desliza sobre el mismo, entonces estará

en acción la fricción dinámica, de manera que del diagrama de fuerzas del cuerpo se obtiene

que:

( )( )

( )0

d x

y

Fx mg sen N ma ,

F N mg cos ,

N mg cos .

α µ

α

α

= − =

= − =

∴ =

∑∑

Sustituyendo N y despejando la aceleración en la dirección del eje x (ax) se obtiene

que:

( ) ( )x da g sen g cos .α µ α= − (47)

De la expresión anterior se observa que ax es constante para θ fijo, luego si partimos

de una velocidad inicial nula:

( ) ( )

( )( )

2

2

2

2

x d

d

a g sen g cos ,tg sen / t

.g cos

α µ α

αµ

α

= = −

−=

(48)

Esta ecuación también puede expresarse como:

( ) ( )2

2d

sectan ,

g tα

α µ− =

θ

θ mg

femax

N

42

lo cual implica:

( ) ( )2

2d

sectan .

g tα

α µ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(49)

Si hacemos los siguientes cambios para formar la ecuación de la línea recta, vemos

que:

( )

( )2

2

d

y tan , m ,g

secx , b ,

t

α

αµ

= =

= =

el intercepto con el eje de la ordenadas es µd.

EJERCICIOS:

1. Logre el movimiento inminente del cuerpo inclinando lentamente el plano respecto a la

horizontal. Fije el ángulo del plano en un valor mayor que el del movimiento inminente,

de manera que el bloque se deslice una vez que sea colocado sobre la superficie. Para

una longitud determinada l, determine varias veces el tiempo en que el bloque la

recorre. Promedie sus valores y obtenga en la Ec. 48 el valor de µd.

2. Repita lo anterior para otro valor de α.

3. Repita el procedimiento señalado en el ejercicio 1, para distintos ángulos, hasta

obtener un conjunto de pares de valores [αi, ti], los cuales se pueden transformar en

[sec(αi),tan(ti)]. Lleve a un gráfico los mismos, y del punto de intersección determine

el valor de µd.


• Plano inclinado de gran longitud.

• Semicírculo.

• Bloque.

• Regla.

43

Práctica # 9: DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE VISCOSIDAD DE UN LÍQUIDO POR

EL MÉTODO DE STOKES.

OBJETIVOS:

1. Determinar el coeficiente de viscosidad de un líquido.


La propiedad que caracteriza la resistencia al flujo de los fluidos es la viscosidad. Esta

resistencia no sola es debida al flujo del fluido en sí, sino también al movimiento de los cuerpos

que en el se mueven.

Existe un coeficiente µ que describe la viscosidad. Este coeficiente se define sobre la

base de la ley de Newton, que plantea que:

xyx

y

dv ,d

τ µ= − (50)

donde: τyx, es la fuerza cortante por unidad de área que actúa en la dirección x entre dos

capas de líquido; Vx, la velocidad de dicha dirección. Interpretemos esta ecuación, a través de

un ejemplo.

En un tubo como el de la figura 21, la velocidad de las partículas no es la misma en

toda la sección transversal. Una representación de la misma se observa en lo que se llama el

perfil de velocidades. Habrá pues, diferentes velocidades a lo largo del eje y. La derivada de

la velocidad con respecto a y va a ser proporcional a la fuerza cortante por unidad de área que

se ejerce entre esas capas de líquido.

Fig. 21. Perfil de velocidades.

x

44

Esta fuerza es debida a que el movimiento de una capa se transfiere a las otras por la

viscosidad. Esta transferencia de cantidad de movimiento nos permite interpretar a τyx como la

densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento. Como se observa en la ley de Newton, el

flujo es proporcional y de sentido contrario al gradiente de la velocidad.

Hagamos el análisis dimensional de la Ec. 50 con el objetivo de hallar las unidades de

µ. Para ello despejemos nuestra incógnita:

yx

x

y

.dvd

τµ = − (51)

Las unidades de τyx son unidades de presión, o sea, de fuerza sobre área. Luego:

[ ]

[ ]

2 2

1

1 1

MLT / L ,LT / L

ML T .

µ

µ

−

−

− −

=

∴ = (52)

En función de la unidad de presión del Sistema Internacional (SI), de la Ec.52 tenemos

que:

[ ] ,sPa−=µ

donde: Pa, es la unidad de Pascal, la cual es dada por:

2Pa N / m .=

Muy común es el uso del poise y del centipoise (Po y cPo respectivamente). El poise se

define a partir de la Ec. 52, pero con las magnitudes medidas en el CGS absoluto, o sea:

1 1 1 0 01o o ogP y cP , P ,

cm s= =

−

µ es una magnitud que depende de la temperatura.

Si una esfera se mueve con velocidad V en un líquido de viscosidad µ se puede

demostrar que sobre esta actúa una fuerza viscosa que viene dada por:

6vF R V ,π µ= − (53)

donde el signo negativo significa que la fuerza es contraria a la velocidad. Esta Ley recibe el

nombre de Ley de Stokes.

45


El montaje para este experimento consiste de una probeta en la cual se encuentra el

líquido cuya viscosidad µ se va a determinar. En dicha probeta se han hecho dos trazos a una

distancia no menor de 50 cm. Se tiene también un conjunto de pequeñas esferas, que serán

lanzadas sucesivamente al líquido, ver figura 22.

Fig. 22. Probeta para la determinación del coeficiente de viscosidad y diagrama de fuerzas de la esfera en la probeta.

Suponga que se deja caer una esfera de radio R y densidad ρ en un líquido cuya

densidad es ρ’, sobre la esfera actúan varias fuerzas que son: la fuerza gravitatoria, mg; la

fuerza de empuje Fe y la fuerza de fricción viscosa Fv (vea el diagrama de fuerzas de la figura

22). En el momento inicial, la velocidad inicial de la esfera prácticamente nula, entonces de la

Ec. 50 se tiene que Fv es prácticamente despreciable, de tal modo que si: mg>Fe , la esfera

comienza a moverse en el líquido aumentado su velocidad y por consiguiente la fuerza viscosa

deja de ser despreciable; mientras que las restantes fuerzas se mantienen constantes.

Entonces llega el instante en que:

0y e vF mg F F ma,= − − = =∑ (54)

lo cual implica que la velocidad permanece constante y la esfera sigue cayendo con velocidad

límite.

y

Fe y

Fv y

46

Determinando el valor de la velocidad, junto a otras magnitudes de fácil determinación

en el laboratorio, podremos hallar µ. Veamos como:

Cuando se logre la velocidad límite, tendremos que:

v eF mg F ,= − (55)

de donde:

6 eR v mg F ,π µ = − (56)

o sea:

eF V ,ρ′= (57)

donde V es el volumen de la esfera.

La fuerza de empuje es igual al producto de la masa del líquido desalojado por la

aceleración de caída libre, g, o sea:

343

'e

'e

F Vg,

F R g,

ρ

ρ π

=

=

y además:

343

mg R g.ρ π=

Sustituyendo estas expresiones en la Ec. 56 y despejando µ se obtiene que:

229

'R ( ) g ,V

ρ ρµ −= (58)

la cual será nuestra formula de trabajo.

En el caso de que la esfera se mueva dentro de una probeta de radio r deberá hacerse

una corrección debida a la influencia de las paredes en la velocidad de caída igual a:

11 24

k ,R / r

=+

de modo que el resultado final obtenido será:

corr k .µ µ=

47

El líquido deberá estar lo suficientemente por encima del trazo superior, con el

objetivo de garantizar que al entrar la esfera en la zona de medición ya haya alcanzado la

velocidad limite.

EJERCICIOS:

1. Las esferas deben estar limpias, para lo cual se recomienda el uso de tetracloruro de

carbono. Mida los diámetros de las mismas y determine el radio promedio R. Péselas

en conjunto y halle la masa m. Determine su densidad mediante:

34 3m m .V / R

ρπ

= =

2. Determine la densidad del líquido en estudio con el areómetro o la balanza de Mohr-

Westphal.

3. Mida el tiempo en que cada esfera recorre la distancia marcada en la probeta. Mida

esta distancia. Con el tiempo promedio ¿calcule la velocidad límite?. Sustituya en la Ec.

58 y determine µ. ¿En qué unidades está expresado µ?

4. Mida el radio interior de la probeta y la temperatura del líquido. Haga la corrección

correspondiente al radio de la probeta al valor de µ obtenido en el ejercicio anterior.


• Probeta graduada.

• Esferas de vidrio, acero o cobre. Puede hacerse también con gotas de agua.

• Cronómetro, regla milimetrada, pie de rey o micrómetro.

• Areómetro de Beaume o balanza de Mohr-Westphal.

• Balanza analítica de otro tipo.

NOTAS:

En caso de no tener esferas se puede cambiar estas por agua dejando caer la misma

con un gotero. Mantenga las esferitas dentro de un recipiente pequeño para evitar su perdida.

Deje caer las esferitas al centro de la probeta para que no rocen las paredes y tenga cuidado

con la verticalidad de la probeta.

48

Práctica # 10: LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y

COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN DE UN CHOQUE INELÁSTICO.

OBJETIVOS:

1. Verificar experimentalmente la ley de conservación de la cantidad de movimiento.

2. Determinación del coeficiente de restitución.


La Ley de conservación de la cantidad de movimiento plantea que: “Cuando la fuerza

externa sobre un sistema es nula, la cantidad de movimiento lineal del sistema

permanece constante”. Puesto que la cantidad de movimiento de un sistema es la suma de

las cantidades de movimiento de las partículas que lo componen, se puede decir que:

1 1

n n

sist i i ii i

P P m V .= =

= =∑ ∑

Una aplicación interesante de la conservación de la cantidad de movimiento en

sistemas donde la fuerza resultante es nula, se representa en los choques de partículas.

Cuando dos cuerpos chocan, se producen deformaciones en las zonas que entran en contacto,

que originan la aparición de fuerzas. Estas fuerzas se caracterizan por ser de gran magnitud y

breve tiempo de acción, y reciben el nombre de fuerzas impulsivas y por lo tanto, y las mismas

tienen dentro del sistema la acción y la reacción.

Las fuerzas impulsivas tienen una gran magnitud en comparación con las fuerzas

externas que pudieran estar presentes actuando sobre el sistema y como resultado de ello, el

cambio de cantidad de movimiento de una partícula que sufre un choque, proveniente de una

fuerza externa, es insignificante en comparación con el cambio de cantidad de movimiento

producido por la fuerza impulsiva. Luego, durante los choques podemos pasar por alto las

fuerzas externas y plantear que en los mismos se conserva la cantidad de movimiento.

Consideremos el choque de dos esferas en una dimensión como se muestra en la

figura 23.

49

Fig. 23. Representación de los instantes inicial y final en el choque de dos esferas.

De acuerdo con la ley de la conservación de la cantidad de movimiento, debe cumplirse

que:

1 1 1 1 2 2i f fm V mV m V .= + (59)

Teniendo en cuenta que los vectores de velocidad (V) son colineales y despejando la

razón entre las masas m1/m2, se obtiene:

21

2 1

f

i if

Vm .m V V

=−

(60)

Esta expresión servirá para corroborar la ley de la conservación de la cantidad de

movimiento.

Es frecuente clasificar a los choque según se conserve la energía cinética del sistema o

no. Así, cuando la energía cinética del sistema se conserve en el choque, a este se le

denomina choque elástico, y si esto no ocurre choque inelástico, un caso muy particular es

cuando los cuerpos se mantienen unidos después del choque el cual es llamado choque

plástico, que no significa la pérdida total de energía cinética, sino, que esta pérdida es la

máxima posible que permite la ley de conservación de la cantidad de movimiento. Así, teniendo

en cuenta la cantidad de energía que se libera en un choque se define un coeficiente

adimensional llamado coeficiente de restitución, el cual mide cuán plástico o elástico es un

choque que matemáticamente se expresa por:

1

1

1

2

2

2

V1i

a)

b)

c)

V1f V2f

V2i=0

50

2 1

2 1

f f

i i

V Ve ,

V V−

=−

(61)

donde el signo (−) tiene como propósito hacer positivo este coeficiente. Luego es obvio que:

• Para el choque elástico: e=1.

• Para el choque plástico: e=0.

Calculemos la pérdida de energía cinética en el caso que tenga lugar un choque

plástico. Entonces, tendremos que según la ley de conservación de la cantidad de movimiento:

1 1 1 2i fm V ( m m )V .= +

La energía cinética inicial será:

21 1

12ci iE m V ,=

y la final:

21 2

12cf fE ( m m )V .= +

Pero sustituyendo Vf se obtendrá que:

2 21 2 1 1

21 2

2 21 1

1 2

12

12

icf

icf

( m m )m VE ,( m m )

m VE .m m

+=

+

=+

Si definimos un coeficiente

energía cinética del sistema después del choquek ,energía cinética antes del choque

=

tendremos que para el choque plástico:

( )2 212 1 1 2 1 1

212 1 1 1 2

i

i

m m m V mk .m V m m

+= =

+ (62)

Cuando choquen dos partículas de modo que queden separadas, deberá cumplirse

siempre que:

,21

1

mmmk+

>

pues la máxima perdida la produce el choque plástico.

51


Para realizar la comprobación de la Ec. 60, estudiaremos el fenómeno de choque entre

dos cuerpos esféricos que se encuentran suspendidos en forma pendular, tal como se muestra

en la figura 24.

Fig. 24. Representación de dos cuerpos 1 y 2 que chocan.

Los cuerpos esféricos de masas m1 y m2 de la figura están suspendidos por hilos de

un soporte. Las esferas tienen sus centros a la misma altura. Desplazando una esfera de su

posición de equilibrio y soltando la misma, esta inicia un movimiento de péndulo. Al alcanzar la

posición inicial choca con la otra esfera en reposo. Por medio de la regla graduada R se

pueden medir las posiciones de las esferas antes y después del choque.

Sea la esfera de masa m1 colocada en la posición A. Esta posición es señalada en la

regla en la posición a1 (ver figura 25). La posición inicial de esta esfera es la posición a2. La

esfera de masa m2 se encuentra en equilibrio en el punto determinado por b1 y se desplaza

después del choque de modo tal, que en la regla se lee b2.

Fig. 25. Posiciones a medir de las esferas en el experimento.

m2 m1

l d

A

φ θ1

θ2

Ra2 b2 b1 a3 a1

m1 m2

R

52

Los ángulos de oscilación del péndulo se pueden relacionar con los desplazamientos

de los hilos medidos sobre la regla, mediante las siguientes relaciones:

1 2 11

1 3 22

1 2 1

a atan ,d

a atan ,d

b btan .d

θ

θ

φ

−

−

−

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(63)

En estas expresiones d es la distancia desde la regla graduada hasta el punto de

suspensión de la esfera.

Cuando la esfera de masa m1 se libera de la posición A, su energía potencial es mgh

se transforma en cinética. Luego se debe cumplir que:

21 1 1 1

12 im V m g h ,=

donde V1i, es precisamente la velocidad antes del choque.

Luego:

1 12iV g h ,=

que es igual a la velocidad de caída libre, de aquí que:

( ) ( )( ) ( )21 1 1 11 2 2h cos cos sen / ,θ θ θ= − = − =

donde: l es la longitud del hilo. Luego de la velocidad inicial es dada por:

1 12 2iV g sen( / ),θ= (64)

la cual es la velocidad un instante antes del choque, donde aplicando la ley de conservación de

la cantidad de movimiento, se tiene que:

1 1 1 1 2 2i f fm V m V m V .= + (65)

Producto de las velocidades adquiridas, las partículas tendrán cierta energía cinética

que se convertirá en potencial al ascender. Haciendo un análisis análogo al anterior, se puede

obtener que:

( )1 22 2fV g sen / ,θ= (66)

53

( )2 2 2fV g sen / .φ= (67)

Luego sustituyendo en la Ec. 60 los valores de las velocidades obtenidas, se tiene que:

( )( ) ( )

( ) ( )( )

1

2 1 2

1

1

22 2

2 22

sen /m ,m sen / sen /

sen / sen /e .

sen /

φθ θ

φ θθ

=−

−=

(68)

EJERCICIOS:

1. Pese las esferas en la balanza. mida las longitudes d y l, y verifique que están en

contacto las esferas. Anote las posiciones de equilibrio de las esferas, a2 y b1.

2. Seleccione un valor a1 para determinar la posición inicial de la esfera 1. Este valor

deberá ser el mismo durante todo el experimento.

3. Para determinar a3 y b2, hágalo del siguiente modo:

• No pretenda hacer las dos mediciones al mismo tiempo, sino una primero y otra

después. Deje caer la esfera varias veces, con el objetivo de ubicar la zona de a3.

Póngase entonces de frente a esa zona y haga varias mediciones para hallar un

promedio. Esto se hace para evitar errores de paralaje. Repita entonces todo el

procedimiento para calcular b2.

Con los valores obtenidos de a1, a2, a3, b1 y b2 sustituya en la Ec. 63 para calcular θ1,

θ2 y φ. Con estos valores, sustituya en la Ec. 68 y calcule m1/m2 y e. Compare m1/m2 obtenido

por este método, con el proveniente de pesar las esferas.

Calcule con las Ecs. 64, 65 y 66 las velocidades de las esferas. Halle entonces la

energía cinética inicial y la final del sistema, y su relación por cociente:

.ci

cf

EE

k =

Verifique si esta relación es mayor que la del choque plástico, la cual viene dada por la

Ec. 62.

54


• Soporte con regla.

• Esferas colgantes.

• Balanza.

55

Práctica # 11: PÉNDULO BALÍSTICO.

OBJETIVOS:

1. Determinar la velocidad de salida de un proyectil usando un péndulo balístico.


El péndulo balístico es un instrumento que sirva para determinar la velocidad de salida

de proyectiles de las armas basándose en las leyes de conservación, las cuales son:

1. La ley de conservación de la cantidad de movimiento, la cual plantea que: “La cantidad

de movimiento de un sistema de partículas se conserva cuando la fuerza

resultante externa que actúa sobre el mismo es nula”.

Esta ley resulta de singular aplicación en los choques. Esto es debido a que, cuando

dos partículas chocan, las fuerzas externas que actúan adquieren una magnitud muy elevada

durante en un brevísimo intervalo de tiempo y por ese motivo, en el acto del choque, se pueden

despreciar las fuerzas externas. Se considera entonces que la cantidad de movimiento del

sistema, inmediatamente antes del choque, es igual a la cantidad de movimiento del sistema

inmediatamente después del choque.

2. La ley de conservación de la energía mecánica, que plantea que: “La energía

mecánica de un sistema se conserva, cuando el trabajo de las fuerzas no

potenciales (o no conservativas), es nulo”.

Obsérvese que esta ley no implica la no existencia de fuerzas no potenciales,

solamente exige que el trabajo de las mismas sea nulo. Y para ver como una fuerza puede

estar presente, sin realizar trabajo, recordemos entonces la definición de esta ultima magnitud:

El trabajo es una magnitud escalar cuyo diferencial se define como: δW=F⋅dr, donde: F es la

fuerza que actúa y dr un desplazamiento infinitesimal. Luego, si el ángulo entre la fuerza y el

desplazamiento es de 90°, el trabajo será nulo.

En todo choque se conserva la cantidad de movimiento, no así, la energía mecánica.

Existe un tipo de choque en el cual la pérdida de energía mecánica alcanza su valor máximo:

este es el choque plástico. Este choque se caracteriza porque en el las partículas que chocan

permanecen unidas después de la colisión. Por lo tanto, ambas poseen igual velocidad.

56


El péndulo balístico consiste en un cilindro relleno de plastilina que está suspendido por

cordeles, en sus extremos, de un soporte como se muestra en la figura 26.

Fig. 26. Arreglo experimental del péndulo balístico.

El proyectil, cuya velocidad se va a determinar, puede ser la bala de un cañón de

resorte, o la esfera impulsada por un tubo arqueado como muestra la figura. En la parte inferior

del péndulo existe un indicador que nos permite determinar en la regla, los desplazamientos

que sufre el cilindro.

Analicemos ahora, que sucede en el sistema cuando el proyectil incide sobre el

péndulo. Como el cilindro esta relleno de plastilina, se quedan unidos, péndulo y proyectil,

teniendo lugar un choque plástico. En el mismo se conserva exclusivamente, la cantidad de

movimiento del sistema, no así la energía mecánica. Pero, una vez concluido el choque, el

sistema bala mas cilindro ha adquirido una cierta velocidad V, que le permite ascender hasta

una altura h. En dicha ascensión se conserva la energía mecánica, ya que la única fuerza no

potencial que actúa (la tensión en las cuerdas, es perpendicular al desplazamiento). Entonces,

la energía cinética en la parte inferior, será igual a la energía potencial gravitatoria en la parte

superior del recorrido. Un análisis secuencial de este fenómeno se muestra en la figura 27 (a, b

y c).

A

B

R

57

Fig. 27. Estados por los que transcurre el péndulo balístico. En (a) el péndulo está en reposo, en (b) la bala ha quedado incrustada dentro del péndulo; mientras que en (c) el péndulo junto

con la bala suben una altura h.

Aplicando las ecuaciones correspondientes a la conservación de la cantidad de

movimiento y de energía mecánica, tenemos:

• Conservación de la cantidad de movimiento:

i f i fP P mv ( m M )V .→ →

= ⇒ = + (69)

• Conservación de la energía mecánica:

( ) ( )212Mi Mf fE E M m V M m gh.= ⇒ + = + (70)

Como el objetivo es hallar Vi. Despejemos Vf en la Ec. 70:

2fV g h ,=

sustituyendo en la Ec. 69 y despejando Vi:

2im MV g h.

m+⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (71)

Pero nuestro sistema de mediciones no determina h, sino el desplazamiento horizontal

del cilindro, al que llamaremos d. Busquemos la relación entre d y h. Investigando esta relación

a partir de la figura 28.

Vi

m M M

M m

m

Se conserva cantidad de movimiento Se conserva la energía

(a) (b) (c)

h Vf

58

Fig. 28. Posiciones inicial y final que ocupa el péndulo balístico.

En la figura llamamos l a la distancia desde el centro de masa del cilindro hasta el nivel

donde se encuentra suspendido, de aquí que:

20D ,= +

De ahí también se observa que:

( ) ( )( )1h cos cos ,α α= − = −

pero:

( )

( ) 2

12 2

1 22

cossen ,

cos sen ,

αα

αα

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞∴ − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

luego:

22

h sen ,α⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(72)

donde:

1 dsen ,α − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d

D ×

α α

× h

l l0

59

sustituyendo la Ec. 72 en la Ec. 71 se obtiene:

( ) 22 22

22

i

i

( m M )V g sen ,m

( m M )V sen g .m

α

α

+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(73)

En el caso de que α sea pequeño, entonces:

( )i

m M dV g .m+

= (74)

EJERCICIOS:

1. Determinar las magnitudes experimentales.

Mida la longitud l0 de los hilos y el diámetro D del péndulo. Mida la masa del péndulo,

así como la de los proyectiles que se usan en el experimento.

2. Determinar la aproximación de la Ec. 74.

Haga dos o tres lanzamientos para una velocidad de salida determinada, con el

objetivo de localizar la zona en que caerá la medida del indicador. Concentre su atención en

esta zona y haga varias mediciones de la distancia d. Determine, entonces, si es posible utilizar

la aproximación:

d dsen .≈

Acorde con sus resultados, utilice para el calculo de Vi la Ec. 73 ó la Ec. 74.

3. Determine la velocidad de salida del proyectil.

Realice un lanzamiento horizontal hacia el piso y determine el punto de caída. Mida el

desplazamiento horizontal y el vertical como se indica (ver figura 29) y determine Vi en la

ecuación:

2

20

12

xy g .v

=

60

Fig. 29. Arreglo para calcular la velocidad de salida.

4. Cambio de velocidad de salida.

Si su sistema de lanzamiento del proyectil lo admite, como en el caso del cañón de

resorte, realice el experimento nuevamente con otra velocidad de salida.

5. Cambio de la masa del proyectil.

Cambie su proyectil por otro de diferente masa y repita el experimento. Saque sus

conclusiones acorde con el sistema de lanzamiento utilizado.


• Péndulo balístico.

• Proyectiles.

• Cañón de resorte o tubo arqueado.

• Balanza.

• Regla.

• Plomada.

A

B

x

y

Vox

Voy Vo

61

Práctica # 12: CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE LOS

CUERPOS RÍGIDOS.

OBJETIVOS:

1. Demostrar la constancia de la aceleración angular α en distintos puntos de un cuerpo

rígido para una acción externa constante y determinar su valor.

2. Determinar el momento de inercia del cuerpo en estudio y el momento de las fuerzas

de fricción que actúan en el eje de rotación del mismo.


Cuando un cuerpo rígido rota alrededor de un eje fijo, cada punto del mismo ejecuta

una trayectoria distinta, pero todos giran el mismo ángulo. Esta característica del movimiento

de rotación de los cuerpos rígidos propicia la definición de magnitudes angulares para su

descripción. De este modo se definen:

• Desplazamiento angular:

2 1.θ θ θ∆ = − (75)

• Velocidad angular:

d .dtθω = (76)

• Aceleración angular:

d .dtωα = (77)

Si deseáramos relacionar para un punto del cuerpo las variables de rotación con las de

traslación tendremos que:

ds rd ,v r,a r,

θωα

===

(78)

donde: r, es el radio de la circunferencia que describe el punto.

62

Las Ecs. 76 y 77 se obtienen de la Ec. 75, que no es más que la definición de un

ángulo en radianes. Por lo tanto, estas relaciones solo son validas cuando θ esta medido en

radianes.

La acción capaz de variar el estado de rotación de un cuerpo es el momento de la

fuerza o torque, el cual esta definido por:

( )M R F ,

M FR sen bf ,θ= ×

∴ = =

donde: b=Rsen(θ) es el brazo, o sea, la distancia perpendicular desde el eje de rotación hasta

la línea recta que contiene la dirección de la fuerza. En el caso particular que θ=90° se tiene:

b R .=

La ecuación fundamental de la dinámica de rotación plantea que:

M I ,α=∑ (79)

donde I es el momento de inercia. Esta magnitud es un escalar que representa la oposición del

cuerpo a variar su estado de movimiento de rotación.


El cuerpo usado para el estudio consiste en una polea escalonada de la cual se

suspenden dos hilos que poseen en sus extremos dos cuerpos (ver figura 30).

La polea escalonada esta sujeta por dos tornillos que ejercerán sobre el sistema un

momento de fricción retardatriz. Uno de los cuerpos así suspendido debe ser de masa

despreciable respecto al segundo. Este cuerpo de pequeña masa lo llamaremos el indicador. El

segundo cuerpo será el encargado de poner el sistema en movimiento y le llamaremos el

impulsor. Una escala vertical nos permitirá determinar las distancias recorridas por el indicador.

En lo que sigue señalaremos por R el radio del escalón donde cuelga el impulsor, y r el ídem

para el indicador.

63

Fig. 30. Polea escalonada.

Los diagramas de fuerza de la polea y el cuerpo impulsor son los mostrados en la

figura 31. De modo que la Ec. 79 queda como:

frTR M I ,α− = (80)

donde Mfr es el momento de las fuerzas de fricción del eje. Además para el cuerpo impulsor se

cumple la ley de Newton, o sea, que:

Mg T ma.− = (81)

Fig. 31. Diagrama de fuerzas de la polea.

De mantenerse constantes los momentos de las fuerzas sobre la polea, la aceleración

angular α deberá ser constante. Esto debe cumplirse para todos los puntos del sistema y se

m

indicador

R fr

T

64

puede demostrar determinando la aceleración que toma el indicador, al colocarlo en los

distintos radios de la polea. Esta aceleración se determina mediante la expresión:

2

2a ,t

= (82)

donde l es la distancia vertical que recorre en un tiempo t . La aceleración angular se

determina entonces por:

a .r

α = (83)

Si en lugar de variar la posición del indicador, variamos el punto R de aplicación de la

tensión, varia el momento externo y con ello, α. De modo que, de la Ec. 80 se obtiene:

frTR I M .α= + (84)

La magnitud T se puede calcular de la Ec. 81 despejando:

T Mg ma,= − (85)

donde a se calcula de igual modo que antes, al igual que α.

Como en este caso, el momento de las fuerzas de fricción en el eje Mfr es constante,

se observa que existe una relación lineal entre el producto TR y α donde I es la pendiente y

Mfr es el punto de intersección.

EJERCICIOS:

1. Constancia de la aceleración angular.

Mida los radios de la polea escalonada. Dejando constante el radio de donde cuelga el

cuerpo impulsor, determine el tiempo promedio en que el indicador recorre una distancia

determinada l. Varié el radio r en que se encuentra el indicador y repita el procedimiento. Así

se pueden obtener distintos valores de aceleración lineal a para cada r distinta. Estos valores

pueden llevarse a un gráfico, donde se obtiene una línea recta demostrativa de que α es

constante. De la pendiente de la misma, se puede obtener el valor de α.

65

2. Determinación del momento de inercia de la polea y del momento de las fuerzas

de fricción en el eje.

Pese el cuerpo impulsor en la balanza. Varié el momento de la fuerza T variando el

punto de apoyo, o sea cambiando el radio R. Determine nuevamente el valor de la aceleración

a y el valor de la aceleración angular α. Calcule la tensión mediante la Ec. 85 y el producto TR.

Repita este procedimiento hasta obtener un conjunto de pares de valores [TRi, αi]. Construya

el gráfico de TR contra α. Determine de la pendiente el valor del momento de inercia, y del

punto de intersección el momento de las fuerzas de fricción en el eje.

Observaciones. Esta práctica debe realizarse tratando de medir las distancias l lo más grande

posible. Además no se puede variar la posición de los tornillos que fijan la polea pues variarían

el momento de las fuerzas de fricción. Se recomienda el uso de un hilo fino que no se rompa ni

enrede con facilidad, pues de lo contrario no se puede hacer el experimento.


• Polea escalonada.

• Cronómetro.

• Escala vertical.

• Cuerpo impulsor y cuerpo indicador.

66

Práctica # 13: ESTUDIO DEL MOMENTO DE INERCIA.

OBJETIVOS:

1. Estudiar la dependencia del momento de inercia con la masa y la distribución radial de

la misma.


El la traslación pura, la ecuación que describe la dinámica de este movimiento es:

CMF ma ,= (86)

donde: F, es la fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema; m, la masa total del

sistema y αcm Es la aceleración lineal del centro de masa del sistema.

Al igual que en la traslación pura, existe una ecuación que describe la rotación de un

cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. Esta es:

A AM I ,α= (87)

donde: MA, es el momento externo resultante respecto al eje de rotación A; α, la aceleración

angular del cuerpo; IA, Es el momento de inercia respecto al eje A.

El momento de inercia IA desempeña en la Ec. 87, el mismo papel que la masa m en la

Ec.86. De acuerdo con esto, IA representa la oposición del cuerpo a variar su estado de

movimiento de rotación. Puede demostrarse que, para un sistema de partículas rígidamente

unidas, el momento de inercia respecto a un eje A viene dado por:

2

1 1

n

A i iI m r ,=

=∑ (88)

donde: mi, es la masa de la i-esima partícula; ri, Es la distancia de la partícula el eje de

rotación.

Luego se ve que el momento de inercia depende de la masa del sistema y de su

distribución radial. Y esta es precisamente la diferencia esencial entre el momento de inercia y

la masa, como medida de la oposición de los cuerpos a variar su estado de movimiento.

67


El arreglo experimental se muestra en la figura 32, donde una cruz se hace rotar

mediante un sistema conformado por hilo, platillo y masa.

Fig. 32. Arreglo experimental de la cruz.

El objetivo del experimento es determinar para los cubos C de la figura 32, la forma de

la dependencia del momento de inercia de estos con respecto a sus masas m y la distancia r

que los separa del eje de rotación.

Si se hace un análisis del experimento: al colocar ciertas pesas en el platillo con masa

total mpe, el sistema comienza a moverse. La cuerda esta sometida a una tensión T que se

aplica en la polea y que provoca un momento de fuerza sobre esta, con respecto al eje de

rotación. En realidad este momento no es el único que aparece, pues existen además, el

momento ecuación dinámica de la rotación para el sistema formado por la cruz y los dados

respecto al eje O, quedando:

OTb I .α= (89)

Un diagrama de fuerza del paltillo y las pesas se muestra en la figura 33, quedando la

ecuación dinámica de la traslación del platillo como:

pe p pe pF ( m m )g T ( m m )a,= + − = +∑

T

cruz

C

C

mg

68

donde: mpe, es la masa de las pesas; mpl, la masa del platillo; T, tensión de la cuerda; a, es la

aceleración del platillo y g, es la aceleración debida a la gravedad.

Fig. 33. Diagrama de fuerzas de las masas en el platilla.

Existe además una relación cinemática entre la aceleración lineal a de las pesas y del

platillo, con la aceleración angular α del sistema en rotación. Esta es:

a b,α= (90)

Combinando las ecuaciones anteriores obtenemos:

( )20 1p pe

gI b m m .a

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(91)

Queda ahora hallar una forma de medir la aceleración a, que conjuntamente con

mpl y mpe serán las variables en la expresión que nos da el momento de inercia I0 del sistema.

Para calcular la aceleración lineal a, podemos, partiendo de que el sistema se moverá con

aceleración constante, usar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Entonces, el tiempo que demora el platillo en recorrer una distancia l vendrá expresado por:

212

2

2at ,

a .t

=

∴ = (92)

Sustituyendo la Ec. 92 en Ec. 91 queda:

( )2

20 1

2p pegtI b m m .

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (93)

Pero, el momento de inercia del sistema I0 será:

0 c DI I I ,= + (94)

x T

mg y

69

donde: IC, es el momento de inercia de la cruz; ID, es el momento de inercia de los dados. Así,

despejando ID de la Ec. 94 y sustituyendo I0 de la Ec. 93 se obtiene:

( )2

2 12D p pe CgtI b m m I .

⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (94)

Esta ecuación nos permite el cálculo de ID y con esto, efectuar la comprobación de la

dependencia con la masa y el radio según la Ec. 88.

EJERCICIOS:

1. Determinación de IC.

Pese el platillo y mida el radio b. Para la determinación de IC se mide el tiempo que

emplea el platillo con las pesas en recorrer una distancia fija. Sustituyendo en la Ec. 93, se

obtendrá IC, puesto que en este caso no se coloca los dados en la cruz. Se deben realizar

varias mediciones de t, a fin de usar en la E. 93 un tiempo promedio.

2. Dependencia de ID con r.

Para ello colocamos los dados de hierro, a distancias r y medimos el tiempo para cada

distancia, de forma que empleando Ec. 94 se puede calcular ID para cada r, y con estos pares

de valores elaborar un gráfico de ID vs r y otro de ID vs r2. Analice sus resultados.

3. Dependencia con la masa.

Para ello colocamos dados de materiales distintos, a la mayor distancia r y calculamos,

la igual que en los incisos anteriores, el momento de inercia ID para cada tipo de dados y con

estos pares de valores podemos elaborar un gráfico de ID vs. m. Analice sus resultados.

4. Calcule los valores teóricos y compárelos con los experimentales. Para los cálculos

teóricos suponga que los dados son partículas, y que las distancias de los mismos al

eje de rotación viene dada, por la distancia desde el punto medio del cubo, hasta dicho

eje. Analice sus resultados.

70


• Cruz metálica montada en caja de bolas.

• Dados metálicos.

• Polea.

• Platillos.

• Pesas.

• Cronómetro.

• Regla.

• Balanza.

MEDIDAS Y PRECAUCIONES:

Antes de hacer mediciones de tiempo, verifique la horizontalidad de la cuerda que tira

de la polea.

Procure evitar los errores de paralaje, al determinar el tiempo en que el platillo recorre

la distancia l.

71

Práctica # 14: TEOREMA DE STEINER.

OBJETIVOS:

1. Realizar la comprobación experimental del Teorema de Steiner.


La ecuación fundamental de la dinámica de la rotación plantea que:

RM I ,α=

donde: MR es el momento resultante de la fuerzas que actúan sobre el sistema, α es la

aceleración angular e I el momento de inercia. El momento de inercia es una magnitud escalar

que representa la oposición de un cuerpo a variar su estado de movimiento de rotación, y

desempeña un papel semejante al que la masa tiene en la dinámica de la traslación.

Pero, hay una diferencia esencial entre la medida de la oposición de un cuerpo a variar

su estado de traslación (la masa) y la medida de la oposición del cuerpo a variar su estado de

rotación (el momento de inercia), esta diferencia consiste en que el momento de inercia I de un

cuerpo o sistema, esta relacionado no solo con la masa del cuerpo, sino con la distribución

espacial de esta alrededor del eje de rotación. De este modo, para sistemas de partículas se

tiene que:

2

1

n

i ii

I m r ,=

=∑

y para cuerpos continuos:

2

v

I r dm,= ∫

donde en ambos casos r representa las distancias hasta el eje de rotación.

Luego resulta obvio, que el momento de inercia deberá depender del eje de rotación

elegido, ya que a cada eje de rotación le corresponde una distribución espacial distinta.

Existe un teorema que describe como varía el momento de inercia de un cuerpo sólido

y rígido, con respecto al momento de inercia con el eje en el centro de masa. Este teorema es

exclusivamente para ejes paralelo, y se denomina teorema de Steiner ó de los ejes paralelos.

Su enunciado es el siguiente: “El momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje

72

arbitrario es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior, y que

pasa por el centro de masa, mas el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la

distancia entre los dos ejes” y matemáticamente se expresa como:

2CMI I M ,= + (95)

donde: I, es el momento de inercia respecto al eje arbitrario; ICM, es el momento de inercia

respecto al eje que pasa por el centro de masa; M, la masa del cuerpo y l la distancia entre los

ejes.

Una consecuencia importante que se desprende de este teorema es que para que un

cuerpo gire con su menor momento de inercia, es necesario que su eje de rotación pase por su

centro de masa.


La comprobación experimental de este teorema, exige la determinación independiente

de I, ICM, M y L, y estos resultados deben cumplir Ec. 95, dentro del marco de las condiciones

experimentales. Para llevar a cabo esta comprobación se usará una barra con dimensiones de

300 mm de largo por 12 mm de lado. En el centro de la barra hay un orificio con rosca y en los

extremos orificios simétricos.

Para la determinación independiente de I se cuelga la barra de un dispositivo en forma

de prisma de soporte, según se muestra en la figura 35a. Al desplazarse la barra de su

posición de equilibrio un pequeño ángulo y ser liberada, la misma ejecuta oscilaciones de

péndulo físico respecto a un eje que pasa sobre la superficie del orificio, paralelo la borde

superior del prisma ver figura 35b. Este eje lo tomamos como eje O. La determinación del

período T de las oscilaciones, permite calcular el momento de inercia de la barra respecto a

dicho eje de la manera siguiente: las oscilaciones que realiza la barra respecto al eje O. (fig.

35b) corresponden a la de un péndulo fijo.

73

Fig. 35. Arreglo experimental para demostrar el teorema de Steiner. En (a) prisma de soporte, mientras que en (b) la barra oscilando en el punto O.

El período T de estas oscilaciones, cuando son de pequeña amplitud y estará dado

por:

2 IT ,Mg

π= (96)

de donde se obtiene:

2

24T MgI ,

π= (97)

La determinación independiente de ICM se efectúa enroscando, en el orificio central de

la barra, un tornillo, el cual tiene un alambre acerado en su eje longitudinal, mediante el cual se

cuelga la barra, fijando el otro extremo del alambre en un soporte superior.

Así, aplicando una torsión al alambre mediante la barra y liberando la misma

posteriormente, se producen oscilaciones cuyo período permite calcular el momento de inercia

con respecto a un eje que, como es evidente pasa por el centro de masa y es paralelo al eje O.

Este eje es denominado como OCM. La determinación de M y l se realiza por medio de una

balanza y una regla respectivamente.

El período TCM de las oscilaciones que realiza la barra respecto al eje OCM para

pequeñas amplitudes es:

(a) (b)

O

OCM

74

2 CMCM

IT ,k

π= (98)

donde k, es una constante que depende de las propiedades del alambre.

Como se desconoce el valor de k, tenemos que emplear otro cuerpo auxiliar de

momento de inercia conocido ID. Mediante la determinación del período TD de las oscilaciones

de este cuerpo auxiliar, colocado en el lugar de la barra, es posible obtener otra ecuación que

nos permita eliminar la constante k.

2 DD

IT .k

π= (99)

De las Ecs. 98 y 99 se obtiene:

2

2CM

CM DD

TI I .T

= (100)

Como cuerpo auxiliar utilizaremos un disco cuyo momento de inercia esta expresado

por:

218D DI M D ,= (101)

donde: MD, es la masa del disco y D es el diámetro del disco

EJERCICIOS:

1. Determinación de los datos experimentales.

Determine la masa M de la barra en la balanza, así como la longitud l con la regla.

Determine análogamente la masa MD del disco, así como su diámetro.

2. Determinación de I.

Cuelgue la barra de la cuchilla-soporte, como se indica en la figura 35a. Haga oscilar la

barra con una amplitud pequeña y mida el tiempo de 20 oscilaciones con el objetivo de

determinar el período T. Sustituyendo en la Ec. 97 se obtiene I.

75

3. Determinación de ICM.

Coloque la barra en el tornillo de manera que oscile horizontalmente con el eje pasando

por el centro de masa. Mida el tiempo en que ejecuta 20 oscilaciones, con el objetivo de

determinar el período TCM. Retire la barra y coloque el disco. Repita lo anterior y determine TD.

4. Calcule ID mediante Ec. 101 y sustituya el resultado en Ec. 100, determine ICM.

Verifique el cumplimiento del teorema de Steiner.


• Cronómetro.

• Regla graduada.

• Disco de metal.

• Alambre.

• Barra de metal cuadrada.

76

Práctica # 15: EL VOLANTE.

OBJETIVOS:

1. Determinar el momento de inercia de un volante.

2. Determinar el momento de las fuerzas de fricción en el eje.


Existe en muchos mecanismos un dispositivo llamado volante. La función del mismo es

almacenar energía mecánica del sistema en forma de energía cinética de rotación.

Naturalmente, esta energía se disipa en producto de los trabajos no potenciales que se realizan

sobre el sistema; sin embargo, resulta un modo eficaz de almacenar energía. Para ello los

volantes se construyen con grandes dimensiones y masa elevada con respecto a las demás

componentes del sistema, de manera que posean un gran momento de inercia I. Entonces al

ponerse en movimiento con velocidad angular, ω tendrán una energía cinética de rotación igual

a:

212CRE I .ω= (102)

Si un volante es impulsado por un cuerpo suspendido como se muestra en la figura 36

se cumplirán las siguientes relaciones energéticas:

fr CR CT PW E E E ,= ∆ + ∆ + ∆ (103)

donde: Wfr, Trabajo de las fuerzas de fricción en el eje del volante; ∆ECR, es la variación de

energía cinética de rotación correspondiente al volante; ∆ECT, es la variación energía cinética

del cuerpo que se traslada; mientras que ∆EP, es la variación de la energía potencial

gravitatoria.

Si el sistema parte del reposo, y se toma un sistema de referencia al final del recorrido,

entonces:

2 21 12 2fr f f iM I mV mgh ,θ ω∆ = + − (104)

donde:V Rω=

77

Fig. 36. Arreglo experimental del volante.

Si el cuerpo entonces se suelta, el volante continua rotando mientras no disipe en

forma de trabajo de la fuerza de fricción, la energía almacenada en forma de energía cinética

de rotación. Si se considera que el momento de la fuerza de fricción permanece constante,

entonces:

212

'fr iM I .θ ω∆ = − (105)


Como se mostró en la figura 36, el volante del cual pende un cuerpo, que puede

descender una altura h hasta soltarse finalmente. El movimiento de este cuerpo es

uniformemente acelerado, luego su velocidad final es el doble de su velocidad media, o sea:

2hV .t

= (106)

Estas magnitudes son fácilmente medibles en el laboratorio.

El Angulo ∆θ se relaciona con la altura h de la siguiente forma:

2h ,t

θ∆ = (107)

x

R

y

h

78

donde ∆θ está naturalmente en radianes. Sustituyendo en la Ec. 103 se obtiene:

2 2

1 12 22

2 1 2fr

h h hM I m mgh,R t R t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(108)

donde las únicas incógnitas son I y Mfr.

Una vez que se suelta el cuerpo, el volante gira un ángulo ∆θ’ y tarda en detenerse un

tiempo t’. Su velocidad angular inicial ωi será de la Ec. 106,

2h .tR

(109)

Luego, como el movimiento del volante es uniformemente desacelerado entonces su

velocidad media es igual a la mitad de la velocidad inicial, o sea:

22

'

m '

h h ,tR tR t

θω ∆= = = (110)

de donde:

'' ht .

tRθ∆ = (111)

Sustituyendo en Ec. 105, se obtiene:

2

12

2'

frht hM I .tR tR

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Sumando esta última expresión a la Ec. 108, se obtiene:

2

12

2'

frh ht hM m mgh,R tR t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

de aquí se puede despejar Mfr:

2

12

2

fr '

hm mghtM ,

h R ht tR

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ (112)

donde todas las magnitudes son posibles de medir directamente en el laboratorio. Para hallar el

momento de inercia del volante, una vez conocido el Mfr de la Ec 105 se tiene que:

79

22

2

22

1 2

'

' frfr

htMM tR

I .h

R t

θω

⎛ ⎞⎜ ⎟− ∆ ⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(113)

EJERCICIOS:

1. Determinación de los datos experimentales.

Mida el radio del eje del que cuelga el cuerpo. Determine la altura h que va a

descender el cuerpo. Determine la masa de este cuerpo.

2. Determinación del tiempo de caída del cuerpo.

Introduzca el hilo del que cuelga el cuerpo por el orificio que se encuentra en el eje del

volante, de manera que sobresalga no más de 1cm por el otro lado. Enrolle entonces el hilo,

dándole vueltas al volante, de manera que quede firme y que no “monte”. Deje caer el cuerpo

entonces, la altura h, determinando con el cronómetro el tiempo que demora en soltarse.

Repita varias veces lo descrito en este ejercicio, con el objetivo de realizar un promedio de los

tiempos obtenidos.

3. Determinación del tiempo de frenado del volante.

Repita el procedimiento de enrollar el hilo, pero ahora con el objetivo de determinar el

tiempo que demora el volante en detenerse, una vez que se ha soltado el cuerpo.

4. Determinación del momento de la fuerza de fricción.

Sustituyendo en las Ecs. 112 y 113 se obtienen el momento de la fuerza de fricción en

el eje Mfr, y el momento de inercia I.


• Volante.

• Cronómetro.

• Regla.

• Balanza.

• Cuerpo que cuelga mediante un hilo.

80

REFERENCIAS:

1. R. Resnick, D. Halliday, Krane, Física para estudiantes de ciencias e ingeniería, Compañía

Editorial Continental.

2. Alonso y Finn, Física, Vol. 1, Fondo Educativo Interamericano.

3. R. A. Serway, Física. Interamericana.

4. Sears, F. W.; Zemansky M.; Young H. D., Física Universitaria, Fondo Educativo

Interamericano.

mecanic a

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