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UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMASEAP INGENIERIA SISTEMAS
FISICA MODERNAVICTOR CABRERA ABANTO
ECUACIONES PRINCIPALES DE LA DUALIDAD DE
LA MATERIA
FISICA MODERNA
•LA SUPOSICION DE PLANCK DE QUE LA RADIACION INTERACIONA CON LA MATERIA A TRAVES DE UNIDADES DE
ENERGIA hv Y NO POR UNA ABSORCION CONTINUA FUE USADA POR EINSTEIN PARA EXPLICAR EL
FENOMENO FOTOELECTRICO.
CONCEPTOS VISTOS
LA LUZ TIENE PROPIEDADES TANTO ONDULATORIAS COMO CORPUSCULARES.
A CADA FOTON SE LE PUEDE ASOCIAR UN MOMENTO: Y UNA MASA EFECTIVA: (EL EFECTO COMPTON), LAS ONDAS DE BROGLIE, … ETC.
CONCEPTOS VISTOS
Chhp // 2/Chv
LA DUALIDAD DE ONDA-CORPUSCULO ES CONCEBIDA COMO MANIFESTACIONES DE LA MATERIA.
LOS CUANTOS DE PLANCK REPRESENTA UNIDADES DISCRETAS DE ENERGIA:
CONCEPTOS VISTOS
hE
CONCEPTOS VISTOS
),( txE
A CADA FOTON SE LE ASOCIA UN ONDA ELECTROMAGNETICA, CUYA AMPLITUD ES:
p y E, SE DETERMINAN EN EL CAMPO ELECTROMAGNETICO.
SEA UN FOTON O UN ELECTRON SE LE PUEDE ASOCIAR UN CAMPO MATERIAL CUYA AMPLITUD ESTA DADO POR:CONOCIDA COMO FUNCION DE ONDA.
FUNCION DE ONDA
),( tx
EN ESTE CAMPO MATERIAL PODEMOS DETERMINAR p, E, frecuencia, longitudes de onda, DE UNA O MUCHAS PARTICULAS.
*2),( tx
FUNCION DE ONDA
LA INTENSIDAD DE LA ONDA ESTA DADA POR:
DONDE : *ES EL COMPLEJO CONJUGADO DE LA ONDA, PARA MAX BORN LA FUNCION DE ONDA ES TIENE SU INTERPRETACION PROBABILISTICA, Y
2ES PROPORCIONAL A LA PROBABILIDAD DE ENCONTRAR A LA PARTICULA DENTRO DE UN ELEMENTO DE LONGITUD dx: dx*
1*
dx
FUNCION DE ONDA
ESTA ECUACION ES NORMALIZADA:
EN GENERAL EN UN ELEMENTO DE VOLUMEN :
dV=dxdydz.
NO PODEMOS PREDECIR EXACTAMENTE EL MOVIMIENTO SUB-SIGUIENTE DE LA PARTICULA POR EL PRINCIPIO DE HEISENBERG.
1*
dV
FUNCION DE ONDA
EN OTRAS PALABRAS DEBEMOS DE HABLAR SOLO DE PROBABILIDAD Y NO DE TRAYECTORIAS DEFINIDAS.
SHRODINGER PLANTEO LA SIGUIENTE ECUACION:
VmPE
0
2
2
DONDE m0 ES LA MASA EN REPOSO, K= p2/2m ES LA ENERGIA CINETICA p ES EL MOMENTO LINEAL DE LA PARTICULA.
NOTE QUE ES UNA ECUACION NO RELATIVISTA, NO SE INCLUYE LA ENERGIA EN REPOSO DE EINSTEIN.
FUNCION DE ONDA
COMO SON ONDAS:LA VELOCIDAD DE GRUPO DEL PAQUETE DE ONDAS ES:
vg=p/m0=v y LA VELOCIDAD DE FASE:vf= C2/v para Broglievf=v para Shrodinger:
FUNCION DE ONDA
DE TAL MANERA QUE LA ECUACION DE Shrödinger:
ttxitxV
xtx
mE
),(),(),(
2 2
22
ESTA ECUACION ES INTUICION DE CARÁCTER ONDULATORIO.DEBE CUMPLIR CON CIERTOS REQUISITOS:1.DEBE SER CONSISTENTE CON LAS ECUACIONES DE λ, ν y E.2.DEBE SER LINEAL.3.LA PRIMERA DERIVADA DEBE SER LINEAL4.LA FUNCION Y SUS DERIVADAS DEBEN TENER UN BUEN COMPORTAMIENTO.5.CUANDO X TIENDE A ±oo ENTONCES Lim ψ --0
DESARROLLEMOS ESTAS CONDICIONES.
FUNCION DE ONDA
1.- Debe ser consistente con:
VmpE
hEph
2
2
2.- DEBE SER LINEAL EN O SEA, SI: ),( tx
),(),...,(,),( 21 txtxtx n
FUNCION DE ONDA
SON SOLUCIONES DE LA ECUACION DE SHRÖDINGER, ENTONCES:
n
iiinn txatxatxatxatxa
1332211 ),(),(...),(),(),(
TAMBIEN DEBE SER UNA SOLUCION.
3. SI:ttx
ttx
ttx
ttx n
),(,...,),(,),(,),( 321
SON SOLUCIONES, ENTONCES:
n
i
ii
nn t
txbttxb
ttxb
ttxb
ttxb
1
33
22
11
),(),(...),(),(),(
4. LA FUNCION: ttxytx
),(),(
DEBEN SER DE UN BUEN COMPORTAMIENTO, ESTO SIGNIFICA QUE LAS DOS FUNCIONES DEBEN CUMPLIR CON LA CONTINUIDAD, SIN RUPTURAS, DE VALOR UNICO, FINITOS .
0),(lim
txx
5. CUANDO LA VARIABLE X SE DIRIGE HACIA ±∞, LA FUNCION DEBE TENDER A CERO:
FUNCION DE ONDA
ES LA PROBABILIDAD POR UNIDAD DE VOLUMEN DE ENCONTRAR UNA PARTICULA EN LA UNIDAD DE TIEMPO
),(),(* txtx
CORRIENTE DE PROBABILIDAD
LA ECUACION:
PARA DETERMINAR LA CORRIENTE DE PROBABILIDAD USAREMOS AL ECUACION DE CONTINUIDAD PARA CAMPO VARIABLES:
dtdJ
.
MULTIPLICANDO POR dV= dx dy dz:
dVdtdJ .
CORRIENTE DE PROBABILIDAD
UTILIZANDO EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA:
dVdtddSJ .
POR OTRA PARTE SI A LA ECUACION DE SCHORODINGER
ttxitxV
xtx
m
),(),(),(
2 2
22
LE CAMBIAMOS
),(),( * txportx
TENEMOS: t
txitxVx
txm
),(),(),(
2
**
2
*22
CORRIENTE DE PROBABILIDAD
A ESTOS RESULTADOS LOS MULTIPLICAMOS POR :
, RESPECTIVAMENTE
ttxtxitxVtx
xtxtx
m
),(),(),(),(),(),(
2**
2
2*
2
RESTAMOS:
ttxtx
ttxtxi
xtx
xtx
m),(),(),(),(),(),(
2
**
2
*2
2
2*
2
),(),(* txytx
ttxtxitxVtx
xtxtx
m
),(),(),(),(),(),(
2
**
2
*22
CORRIENTE DE PROBABILIDAD
QUEDANDO:
t
txtxx
txxtx
mi ),(),(),(),(2
*
2
*2
2
2*
INTEGRANDO, OBTENEMOS LA ECUACION CORRIENTE DE PROBABILIDAD:
),(),(2
**
* txtxtxxm
ib
a
APLICAR PARA UNA PARTÍCULA LIBRE DE ENERGIA E Y MOMENTO P, QUE PUEDE SER DESCRITO POR UNA FUNCIÓN DE ONDA:
CORRIENTE DE PROBABILIDAD
)(*
)(
thE
kxi
thE
kxi
Ae
Ae
AL APLICAR EL COMPLEJO CONJUGADO, TENEMOS:
DONDE:
mEk 2
DERIVANDO AMBAS FUNCIONES, REEMPLAZANDO EN LA ECUACION DE LA CORRIENTE DE PROBABILIDAD , LUEGO INTEGRANDO Y REDUCIENDO TERMINOS, TENEMOS:
bbaa vvdxt
***
DONDE:
vmk
mh
22
re ikr
CALCULE LA CORRIENTE DE PROBABILIDAD:
LA RESPUESTA:
)2(
2 3 ikrrr
miS
2
2
2 rvr
mrkrS
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CORRIENTE DE PROBABILIDAD
0)(2)(2 22
22
xVEmdxxd
m
LA ECUACION INDEPENDIENTE DEL TIEMPO O DE ESTADO ESTACIONARIO:
ECUACION DE SCHORODINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO
SE PUEDE PROBAR QUE:
pxEti
Aetx ),(ES SOLUCION DE LA ECUACION DE SCHORODINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO
constVmpE 2
PROBLEMAS:
ECUACION DE SCHORODINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO