mòdul iv sistemes de coordenades...

Mòdul IVSistemes de coordenades

astronòmiques

Rubén Quejigo Gutiérrez

Setembre 2009

Materials de Formació

El moviment diürn i anual del sol

El moviment diürn i anual del sol - Mòdul IV. Sistemes de coordenades astronòmiques

Rubén Quejigo Gutiérrez 2


El moviment diürn i anual del sol

Rubén Quejigo Gutiérrez

D'aquesta edició:Servei de Formació Permanent del ProfessoratDirecció General d'Innovació i Formació del ProfessoratConselleria d’Educació i Cultura

Setembre de 2009



CONVENCIONS

Els símbols utilitzats en aquest text són:

Activitats d'introduccióActivitats completament guiades amb exposició gradual de continguts, que permetin assegurar els continguts mínims de la programació del mòdul de formació.

Activitats de consolidació i reforç: Aquestes activitats presenten una dificultat un poc superior ja que no són tan guiades i permetran un millor domini dels temes estudiats.

Activitats de lliurament obligatLes activitats que vénen marcades per aquesta icona s'hauran d'enviar obligatòriament a la tutoria per tal de poder superar el curs de formació.

Activitats opcionalsActivitats d'ampliació de coneixements que permeti aprofundir en la temàtica tractada. No són obligatòries i no s’han de fer si es veu que hi haurà dificultat per seguir el ritme aconsellat per al curs.

Recomanacions o comentarisRecomanacions o comentaris que permetran una millor realització de les activitats encomanades

AjudaPer algunes activitats, si la seva resolució presenta problemes, es podrà consultar l'ajuda que donarà pistes per facilitar la seva realització.

Recursos addicionalsPer poder ampliar els coneixements, es posa a la disposició dels alumnes una documentació complementària de consulta o d'ampliació.



Mòdul IV . Sistemes de coordenades astronòmiques

1.SISTEMES DE COORDENADES EN ASTRONOMIA ......................................................................................6

1.1. INTRODUCCIÓ.........................................................................................................................................................61.2. COORDENADES HORITZONTALS..................................................................................................................................71.3. COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES .....................................................................................................................81.4. AVANTATGES I INCONVENIENTS DELS SISTEMES DE COORDENADES HORITZONTALS I EQUATORIALS HORÀRIES...........................8

Coordenades horitzontals....................................................................................................................................9Coordenades equatorials horàries.......................................................................................................................9

1.5. COORDENADES EQUATORIALS ABSOLUTES..................................................................................................................101.6. ECLÍPTICA. PUNT ÀRIES I LIBRA.............................................................................................................................111.7. COORDENADES ECLÍPTIQUES....................................................................................................................................11

2.TRANSFORMACIÓ DE COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES A COORDENADES HORITZONTALS I VICEVERSA..........................................................................................................................15

2.1. TRANSFORMACIÓ DE COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES A COORDENADES HORITZONTALS...........................................152.2. TRANSFORMACIÓ DE COORDENADES HORITZONTALS A COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES...........................................17

3.TRANSFORMACIÓ DE COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES A COORDENADES EQUATORIALS ABSOLUTES I VICEVERSA....................................................................................................19

3.1. RELACIÓ ENTRE L'ASCENSIÓ RECTA I L'ANGLE HORARI I LA SEVA APLICACIÓ..................................................................19

4.RESUM DE TRANSFORMACIONS DE COORDENADES.............................................................................20

4.1.TRANSFORMACIÓ DE COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES A COORDENADES HORITZONTALS............................................204.2. TRANSFORMACIÓ DE COORDENADES HORITZONTALS A COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES...........................................204.3. TRANSFORMACIÓ DE COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES A COORDENADES EQUATORIALS ABSOLUTES I VICEVERSA...........20

PROGRAMARI UTILITZAT EN EL CURS:

• OpenOffice.org Writer

• OpenOffice.org Calc



1. SISTEMES DE COORDENADES EN ASTRONOMIA

1.1. Introducció

Per resoldre molts de problemes, considerarem que les estrelles estan projectades sobre la superfície d'una esfera de radi arbitrari i presentarem els diversos sistemes de coordenades, els seus avantatges i inconvenients.

Per definir un sistema hem d'indicar un pla fonamental, un punt fonamental i un sentit per mesurar els angles. Els plans que agafarem en Astronomia són: l'Horitzó astronòmic, l'Equador i l'Eclíptica.

Quan el pla és l'Horitzó, parlarem de coordenades horitzontals. Quan sigui l'Equador, coordenades equatorials, i quan sigui l'Eclíptica, coordenades eclíptiques.

Recursos addicionals

Aquí tens una sèrie d'enllaços que et poden ajudar a entendre tots els conceptes sobre les coordenades astronòmiques a mesura que els estudies. A Internet, n'estic segur, que podràs trobar més enllaços interessants, si és així, els pots compartir amb la resta de companys publicant una nota al Fòrum del curs. Ànim!

● Curs pràctic d'iniciació a l'Astronomia (amb vídeos explicatius)

http://www.elcielodelmes.com/Curso_iniciacion/curso_iniciacion.php

○ Apartat de coordenades astronòmiques

http://www.elcielodelmes.com/noticiasanteriores/0238-Las-coordenadas-astronomicas.php

● Curs d'Astronomia esfèrica de “Antares”

http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem/antares/observatorio/modulo1/m1_u105.html

● Cursos d'iniciació a l'Astronomia

http://www.wikilearning.com/curso_gratis/curso_de_iniciacion_de_astronomia-las_coordenadas_astronomicas/13985-16

http://www.astrosurf.com/astronosur/coordenadas.htm


http://www.elcielodelmes.com/Curso_iniciacion/curso_iniciacion.php

http://www.astrosurf.com/astronosur/coordenadas.htm








1.2. Coordenades horitzontals

Ja havien definit l'Horitzó astronòmic com al pla perpendicular a la vertical del punt d'observació. La vertical talla l'esfera celeste en dos punts: el Zenit (Ze) i el Nadir (Na). L'Horitzó divideix l'esfera celeste en dos hemisferis: el superior o visible i l'inferior o no visible.

El punt fonamental com a origen de la primera coordenada serà el punt cardinal Sud (S) i el sentit elegit és el retrògrad, és a dir, cap l'oest. Així, una estrella E està representada per dues coordenades.

La primera coordenada és l'azimut (A), que és l'arc SB de l'Horitzó amb origen al Sud (S) fins a la vertical de l'astre. L'azimut varia entre 0º i 360º. Així un astre que tingui un azimut:

● A = 0º serà visible al Sud i es troba al meridià del lloc.● A = 90º serà visible a l'Oest i es troba al primer vertical.● A = 180º serà visible al Nord i es troba al meridià del lloc.● A = 270º serà visible a l'Est i es troba al primer vertical.

La segona coordenada és l'altura (h), que és l'arc BE del vertical de l'astre amb origen a l'Horitzó. L'altura varia entre -90º i 90º. Així un astre que tingui una altura:

● h = 0º està a l'Horitzó.● h > 0º està per damunt l'Horitzó i és visible.● h < 0º està per davall de l'Horitzó i és no visible.● h = 90º està al Zenit (Ze).● h = -90º està al Nadir (Na).

Nota: En altres manuals d'Astronomia el punt fonamental com a origen de la primera coordenada (Azimut) és el punt cardinal Nord (N).



1.3. Coordenades equatorials horàries

En aquest sistema, l'origen de coordenades és el centre de la Terra, és a dir és un sistema geocèntric, ja que l'Equador celeste passa pel centre de la Terra; mentrestant el sistema de coordenades horitzontals és un sistema topocèntric, depèn del lloc.

En aquest sistema de coordenades agafarem com a pla fonamental l'Equador i dins d'aquest pla agafarem com a punt fonamental el Q, que definim com la intersecció del meridià superior (el que conté al Zenit (Ze)) amb l'Equador. El sentit elegit és el retrògrad.

Donada una estrella (E), la primera coordenada serà l'angle horari (H), que és l'arc QE' de l'Equador. El valor de H varia entre 0º i 360º o de 0 a 24 hores. Per tant, el valor de H sempre és positiu. Així un astre que tingui un angle horari (H):

● H = 0º = 0 h està al meridià superior.● H = 180º = 12 h està al meridià inferior

Per regla general, l'angle horari (H) es mesura en unitats de temps (hores), però per passar a graus és molt fàcil, ja que una hora són 15º.

La segona coordenada és la declinació (δ), que és l'arc de meridià mesurat en graus (E'E), des de l'Equador a l'estrella. El valor de δ varia de 0º a 90º , o de 0º a -90º.Així un astre que tingui una declinació (δ):

● δ = 0º està a l'Equador● δ = 90º està situat al Pol Nord (P)● δ = -90º està situat al Pol Sud (P')

Una estrella que tingui declinació negativa, no vol dir que sigui no visible.

1.4. Avantatges i inconvenients dels sistemes de coordenades horitzontals i equatorials horàries.



Coordenades horitzontals

● Avantatge: Les coordenades d'azimut i altura poden mesurar-se directament amb un teodolit.

● Inconvenients: A causa del moviment de rotació de la Terra, l'azimut i l'altura varien en funció del temps.

Per a llocs d'observació diferents, els horitzons són diferents i per a un mateix instant de temps, els valors de l'azimut i l'altura són diferents.

Coordenades equatorials horàries

● Avantatges: Suposant el moviment de rotació uniforme al llarg del dia, l'angle horari (H) variarà uniformement en funció el temps.

Una estrella aparentment descriurà un cercle paral·lel a l'Equador celeste, és a dir descriurà un paral·lel celeste i per tant la seva coordenada declinació (δ) serà sempre constant.

Com es tracta d'un sistema de coordenades geocèntric, per a llocs d'observació diferents, la declinació d'una estrella és la mateixa per als dos observatoris. Per tant, la declinació no depèn del lloc d'observació ni del temps.

● Inconvenients: S'ha de saber la posició de l'eix del món per col·locar-hi l'eix del teodolit paral·lel a ell i poder mesurar les coordenades.

L'angle horari (H) depèn del lloc d'observació i del temps. Encara que l'angle horari depèn del temps, suposant la rotació de la Terra uniforme, si sabem el valor de H en un instant t1, podem calcular H en un instant posterior t2 perquè ja hem indicat l'equivalència: 15º = 1 hora. Per a observatoris diferents, únicament s'ha de fer la correcció mitjançant la diferència de longituds dels observatoris.



1.5. Coordenades equatorials absolutes.

El problema de les coordenades equatorials horàries era la variació de l'angle horari (H) amb el temps i la seva dependència local. Tractarem de resoldre aquest problema amb una nova coordenada que sigui constant al llarg del temps i no depengui del lloc d'observació.

En aquest sistema de coordenades agafarem com a pla fonamental l'Equador i dins d'aquest pla agafarem com a punt fonamental el Punt Àries ( γ ). De la intersecció de l'Eclíptica i l'Equador obtenim dos punts (El Punt Àries i el Punt Libra). El Punt Àries és la posició que ocupa el centre del sol quan travessa l'Equador, sent la seva declinació δ = 0º , passant de negativa a positiva. El sentit elegit és directe.

Donada una estrella (E), la primera coordenada serà l'ascensió recta (α), que és l'arc γE' sobre l'Equador, a partir del Punt Àries ( γ ) fins al meridià de l' estrella, en sentit directe (contrari a les busques del rellotge).

El valor de α varia entre 0º i 360º o de 0 a 24 hores. Per tant, el valor de α sempre és positiu.

Així un astre que tingui una ascensió recta (α):

● α = 0º = 0 h està al meridià que passa pel Punt Àries

● α = 180º = 12 h està al meridià que passa pel Punt Libra

Per regla general l'ascensió recta (α) es mesura en temps (hores, minuts i segons), però per passar a graus és molt fàcil, ja que una hora són 15º.

Alerta: El Punt Àries està a l'Equador i es mou al llarg del dia, ja que no és punt que estigui lligat al lloc d'observació com, per exemple, el Sud (origen de l'azimut) o l'origen de l'angle horari que està lligat al meridià del lloc. Així, per exemple, que l'ascensió recta d'una estrella sigui α = 90º = 6 h , no vol dir que l'astre estigui situat al meridià del lloc o que sigui visible.

La segona coordenada és la declinació (δ) que és la mateixa que hem definit per al sistema de coordenades equatorials horàries.

Per tant, hem arribat a unes coordenades astronòmiques que no varien amb el temps i no depenen del lloc d'observació. Totes les estrelles fixes a l'esfera celeste tenen unes coordenades equatorials absolutes que defineixen la seva posició i es disposem en catàlegs.



1.6. Eclíptica. Punt Àries i Libra.

Ja sabem que l'Eclíptica és un pla que conté a l'òrbita terrestre i que aquest pla talla l'Equador segons la línia γΩ o línia dels equinoccis.

S'anomena obliqüitat de l'Eclíptica a l'angle POΠ que forma el pla de l'Eclíptica amb el pla de l'Equador celeste. Es simbolitza per acord internacional amb la lletra ε. Aquest angle no és fix per culpa de la nutació i té un valor aproximat de 23º 27'.

Aparentment, el sol circula per l'Eclíptica al llarg de l'any. Quan passa pel Punt Libra la seva declinació (δ) és de 0º (comença la primavera) . Abans de passar pel Punt Àries la declinació del sol era negativa i a partir d'aquest moment serà positiva. El sol assoleix la seva màxima declinació quan està al Tròpic de Càncer (δ = 23º 27') i comença l'estiu. Després la seva declinació es torna una altra vegada nul·la (δ = 0º) al Punt de Libra (comença la tardor) i a partir d'ara la declinació del sol és negativa, arriba al seu mínim al Tròpic de Capricorn (δ = - 23º 27') i comença l'hivern.

Per tant la declinació del sol varia al llarg de l'any (no és fixa), de manera que: -23º 27' ≤ δ ≤ 23º 27'

1.7. Coordenades eclíptiques

L'Eclíptica talla l'esfera celeste en un cercle màxim. L'eix perpendicular a l'Eclíptica talla a l'esfera celeste en dos punts ПП', anomenats pols de l'Eclíptica, essent el pol nord de l'Eclíptica П, el que està més pròxim al pol nord astronòmic P.

L'Eclíptica talla l'Equador, segons una recta anomenada línia dels equinoccis, limitada pels Punts d'Àries i Libra.

S'anomenen màxims de longitud als cercles que passen pels pols ПП' de l'Eclíptica. Al màxim de longitud que passa pel Punt Àries, s'anomena primer màxim de longitud.



S'anomenen paral·lels de latitud celeste els cercles menors de l'esfera celeste, paral·lels a l'Eclíptica.

En aquest quart sistema de coordenades, agafem com a pla fonamental l'Eclíptica, el punt de referència serà el Punt Àries i el sentit, el directe.

Les coordenades d'un astre E en aquest sistema són (es mesuren en unitats angulars):

– Longitud celeste (λ): És l'arc de l'Eclíptica des del Punt Àries fins al màxim de longitud que passa pel centre de l'astre. Varia entre 0º i 360º

– Latitud celeste (β): És l'arc del màxim de longitud, que passa pel centre de l'astre, des de l'Eclíptica fins al centre de l'astre. Varia entre -90º i +90º



Activitat d'introducció 1Has de relacionar cada gràfic amb les coordenades apropiades de cada estrella E.

Si vols, pots escriure un correu al tutor per tal de corregir-te l'activitat.



1) H = 225º δ = 90º ; 2) α = 30º δ = 60º ; 3) H = 45º δ= 50º ; 4) α = 270º δ = -45º

5) A = 80º h = -45º ; 6) α = 30º δ = -90º ; 7) α = 90º δ = 45º ; 8) A = 80º h = 50º

9) A = 0º h = 0º ; 10) H = 45º δ= -45º ; 11) H = 180º δ = 45º ; 12) A = 260º h = 45º



Ja coneixes quatre sistemes de coordenades astronòmiques. Nosaltres, per a l'estudi del moviment del sol els que més utilitzarem seran el sistema de coordenades horitzontals i el sistema de coordenades equatorials horàries.

Les coordenades es poden transformar d'un sistema a un altre, existint una transformació de coordenades entre cada sistema. Nosaltres únicament estudiarem la transformació de coordenades horitzontals en coordenades equatorials horàries i viceversa, i indicarem quina relació hi ha entre les coordenades equatorials horàries i les coordenades equatorials absolutes simplement per presentar-te la relació fonamental de l'Astronomia de posició.

2. TRANSFORMACIÓ DE COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES A COORDENADES HORITZONTALS I VICEVERSA.

2.1. Transformació de coordenades equatorials horàries a coordenades horitzontals

En aquest apartat, el nostre objectiu és transformar les coordenades equatorials horàries d'una estrella en coordenades horitzontals, per tant les nostres dades i incògnites són:

● Dades : L'angle horari de l'estrella (H), la declinació de l'estrella (δ) i la latitud del lloc d'observació (ρ)

● Incògnites : L'azimut (A) i l'altura de l'estrella (h)

Observem el següent gràfic on està representat el nostre problema. Coneixem H, δ i la latitud ρ, i volem calcular A i h. Si et fixes, tenim un triangle esfèric (format per arcs de cercles màxims) PZeE que relaciona les nostres dades amb les nostres incògnites.



Aquest és el nostre triangle esfèric que hem de resoldre.

Si apliquem la fórmula del cosinus al costat 90º – h, obtenim:

cos 90º−h=cos 90º− ·cos 90º−sin 90º−· sin 90º−· cos H

Recordant que: cos 90º−h = sin h , cos90º−= sin , cos 90º− = sin ,

sin 90º−= cos , sin90º− = cos

Aleshores, obtenim sin h=sin · sincos ·cos ·cos H i aïllant l'altura h:

h = arcsin sin· sincos·cos· cos H

on recordem que h ∈ [−90º ,90º ]

Com ja sabem el valor de l'altura h, podem calcular l'azimut A aplicant la fórmula del sinus als costats 90º – h i 90º - δ i als angles oposats als costats corresponents.

sin Hsin90º−h

=sin 180º−Asin 90º−

⇒ sin Hcos h

= sinAcos

⇒ sin A= cos ·sin Hcos h

A = arcsincos·sin Hcos h

on recordem que A ∈ [0 , 360º]

Important: Quan apliquem la funció recíproca del sinus (arcocosinus) tenim dues solucions “bàsiques” que pertanyen a l'interval [0º , 360º].

En el cas de l'altura h no tenim dubtes perquè com que h ∈ [−90º ,90º ] i sabem que sin−h ≠ sin h

On sí podem tenir problemes és amb l'azimut A, ja que sin180º−A = sin A , així que aplicarem, per resoldre el dubte, la fórmula del sinus pel cosinus.



sin90º−·cos H=cos 90º−h· sin90º−−sin 90º−h·cos 90º−·cos 180º−A

que simplificant, obtenim:

cos · cos H=sin h· coscos h ·sin · cos A

Per altra banda, si et fixes al gràfic que relaciona els dos sistemes de coordenades, es compleix:

0º A 180º ⇔ 0º H 180º i 180º A 360º ⇔ 180º H 360º

2.2. Transformació de coordenades horitzontals a coordenades equatorials horàries.

De manera anàloga a l'apartat anterior actuem en aquest. Ara, les nostres dades i incògnites són:

● Dades: L'azimut (A) i l'altura de l'estrella (h) i la latitud del lloc d'observació (ρ)

● Incògnites: L'angle horari de l'estrella (H) i la declinació de l'estrella (δ)

El triangle esfèric que hem de resoldre és el mateix que a l'apartat anterior però canvien les dades.



Apliquem la fórmula del cosinus al costat 90º - δ:

cos 90º−= cos 90º−· cos90º−hsin 90º− ·sin 90º−h·cos 180º−A

Simplificant, obtenim:

sin= sin ·sin h−cos ·cos h ·cos A

I per tant, podem calcular la declinació:

= arcsin sin · sin h−cos·cos h ·cos A

on recordem que ∈ [−90º , 90º ] i per tant no tindrem dubtes per triar la solució.

Com ja sabem el valor de la declinació δ , podem calcular l'angle horari H aplicant la fórmula del sinus als costats 90º – h i 90º - δ i als angles oposats als costats corresponents.

sin90º−hsin H

=sin90º−

sin180º−A⇒

coshsin H

=cossin A

⇒ sin H =cos h· sin A

cos

H = arcsin cos h · sin Acos

on recordem que H ∈ [0º ,360º ] = [0h ,24 h ] i 180º A 360º ⇔ 180º H 360º

Important: Quan apliquem la funció recíproca del sinus (arcocosinus) tenim dues solucions “bàsiques” que pertanyen a l'interval [0º , 360º].

En el cas de la declinació δ no tenim dubtes perquè com que ∈ [−90º , 90º ] i sabem que sin − ≠ sin

On sí podem tenir problemes és amb l'angle horari H, ja que sin180º−H = sin H , així que aplicarem, per resoldre el dubte, la fórmula del sinus pel cosinus.

sin90º−h ·cos 180º−A=cos 90º− · sin90º−−sin90º− ·cos 90º−·cos H

−cosh ·cos A=sin·cos−cos · sin· cos H

Si es compleix aquesta darrera igualtat per a un dels valors de l'angle horari (H), aquesta serà la solució correcta.



3. TRANSFORMACIÓ DE COORDENADES EQUATORIALS HORÀRIES A COORDENADES EQUATORIALS ABSOLUTES I VICEVERSA

3.1. Relació entre l'ascensió recta i l'angle horari i la seva aplicació.

Imaginem que estem observant una estrella E des d'un punt d'observació O. Aquesta estrella tindrà unes coordenades equatorials horàries (H i δ), on δ (declinació) serà constant però H (l'angle horari) variarà amb el temps. També tindrà unes coordenades equatorials absolutes (α i δ), on α (l'ascensió recta) i δ (declinació) seran constants.

Com ja sabem, l'angle horari i l'ascensió recta es mesuren sobre l'Equador celeste. L'angle horari (H) es mesura a partir de Q (intersecció del meridià superior amb l'Equador) en sentit retrògrad, i l'ascensió recta (α) es mesura a partir del Punt Àries (γ) (intersecció de l'Equador amb l'Eclíptica) en sentit directe.

El valor de l'arc Qγ s'anomena hora sidèria i es representa per θ i per tant:

θ = α + H

és a dir, l'hora sidèria és igual a la suma de l'ascensió recta i l'angle horari de qualsevol astre.

Per regla general, l'hora sidèria es mesura en hores, minuts i segons.

Aquesta igualtat és coneguda com a la relació fonamental de l'Astronomia de posició.

També podem definir l'hora sidèria com l'angle horari del Punt Àries. Aquesta hora és fonamental i és l'hora que utilitzen els observatoris. Recordeu la definició de dia sideri al Mòdul II? Bé..., aleshores l'astre de referència per definir el dia sideri és en realitat el Punt d'Àries. Quan el Punt d'Àries passa pel meridià del lloc d'observació comença un dia sideri. Són les 0 h de temps sideri.

Aleshores, l'hora sidèria és una hora local perquè està lligada al meridià del lloc. Si canvien de lloc, l'hora sidèria també canviarà.

La relació fonamental de l'Astronomia de posició també és important perquè permet passar de les coordenades equatorials horàries a les coordenades equatorials absolutes i viceversa. És clar que necessitarem saber l'hora sidèria en el moment de l'observació. I d'aquesta manera, també podem passar de coordenades horitzontals a les coordenades equatorials absolutes, mitjançant les coordenades equatorials horàries i l'hora sidèria.



4. RESUM DE TRANSFORMACIONS DE COORDENADES.

4.1.Transformació de coordenades equatorials horàries a coordenades horitzontals

h = arcsin sin· sincos·cos· cos H A = arcsin cos·sin Hcos h

4.2. Transformació de coordenades horitzontals a coordenades equatorials horàries.

= arcsin sin · sin h−cos·cos h ·cos A H = arcsincos h · sin Acos

Recordar:

0º A 180º ⇔ 0º H 180º i 180º A 360º ⇔ 180º H 360º

4.3. Transformació de coordenades equatorials horàries a coordenades equatorials absolutes i viceversa.

θ = α + H



Activitat de reforç 1Qüestions del mòdul

Si vols, pots enviar un correu al tutor per corregir les qüestions o discutir les respostes al fòrum del curs amb la resta de companys.

1. En quin punt del cel, la declinació és igual a 90º?

2. Quin és l'angle horari del Zenit? I l'azimut del Zenit?

3. Quin és l'angle horari de l'oest? I de l'est?

4. Quina és l'ascensió recta i declinació del Punt Àries?

5. L'azimut d'un astre és de 45º i la seva altura de 60º. En quina part del cel has de buscar aquest astre?

6. Un astre té un angle horari de H = 18 hores = 270º . En quina part de l'esfera es troba?

7. Si la latitud d'un lloc és de 40º, quines són les coordenades horitzontals del Pol Nord celeste?

8. Una estrella té la sortida al punt cardinal nord. Quin serà l'azimut de la seva posta?

9. Quines són les coordenades horitzontals del Nord, Est, Sud i Oest ?

10. Si per a un astre, en un moment determinat, les seves coordenades equatorials horàries són H = 0º i δ = 30º, dotze hores després, quines seran les seves coordenades equatorials horàries?

11. Des d'un observatori observem que l'altura de tots els astres no canvia al llarg del dia. On estem situats?

12. A un lloc d'observació de latitud 40º és possible que una estrella tingui la sortida (ortus) i la posta (ocàs) al mateix punt de l'Horitzó astronòmic?. Si la resposta és afirmativa, quin punt o punts serien?



Activitat d'introducció 2Construcció full de càlcul: Transformació de coordenades horitzontals en coordenades equatorials horàries.El següent exercici consisteix a fer un full de càlcul per transformar les coordenades horitzontals (Azimut i altura) en coordenades equatorials horàries (Angle horari i declinació). Has de seguir els següents passos:

Nota: El nom de les funcions fan referència a la versió de l'OpenOffice en català i poden variar una mica respecte a la versió en castellà.

1. El primer de tot, has d'obrir un full de càlcul nou al que anomenaràs coordhoriztoequahora.ods.

2. Anomena al primer full Horitz_Horari

3. Has de construir un quadre com el de la imatge següent, donant format a les cel·les (color de fons i color de text) .

Les cel·les han de tenir la mateixa ubicació que a la imatge per després definir les funcions.

4. A les cel·les A7, B7, A9, B9, A11, B11, G6, H6, H14, I14, H16 i I16 has de donar el format numèric de tal manera que no tinguin cap lloc decimal.

5. A les cel·les C7, C9, C11, I6, J14 i J16 has de donar el format numèric de tal manera que tinguin un lloc decimal.

6. A les cel·les D7, D9 i D11 has de donar el format numèric de tal manera que tinguin cinc llocs decimals

7. Les dades les posarem a les cel·les que tenen el fons blau i els resultats “sortiran” a les cel·les que tenen el fons vermell clar. Per tant, les dades seran la latitud del lloc, l'altura de l'astre i l'azimut, i el format serà en graus, minuts i segons. Si alguna dada (com pot ser la latitud o l'altura) és negativa hem de posar el signe negatiu als graus, minuts i segons. Per exemple, si l'altura d'un astre és de - (10º 34' 56''), a les cel·les corresponents posarem -10º -34' i -56''.



8. Hem de passar les dades de graus, minuts i segons a radians. Definirem les següents funcions a les cel·les:

Cel·la FuncióD7 =(A7+B7/60+C7/3600)*PI()/180D9 =(A9+B9/60+C9/3600)*PI()/180

D11 =(A11+B11/60+C11/3600)*PI()/180

9. Com ja tenim les dades en radians, ara aplicarem les fórmules de transformació:

= arcsin sin · sin h−cos·cos h ·cos A i H = arcsincos h · sin Acos

Per calcular la declinació no tindrem cap problema ja que la declinació ha d'estar compresa entre -90º i 90º i la funció recíproca del sinus (arcosinus) ens dona directament un angle en aquest interval. Per tant, a la cel·la E6 definim la funció:

=ASIN(SIN(D7)*SIN(D9)-COS(D7)*COS(D9)*COS(D11))

i ens donarà una solució en radians que hem de convertir en graus, minuts i segons.

10. D'aquesta manera definim les següents funcions a les següents cel·les:

Cel·la FuncióG6 =TRUNCA((E6*180/PI()))H6 =TRUNCA(((E6*180/PI())-G6)*60)I6 =((((E6*180/PI())-G6)*60)-H6)*60

La funció “TRUNCA”, trunca els llocs decimals d'un nombre

11. Bé, ja tenim la declinació però ara ens falta l'angle horari. Primer de tot, tenim un problema perquè l'angle horari (H) es calcula mitjançant la funció recíproca del sinus (arcsinus),

H = arcsincos h · sin Acos i per tant la solució podria ser negativa si es troba entre -90º i 0º, i

com l'angle horari ha de ser positiu hem de definir a la cel·la E10 la següent funció lògica:

=SI(ASIN(COS(D9)*SIN(D11)/COS(E6))<0; ASIN(COS(D9)*SIN(D11)/COS(E6))+2*PI();ASIN(COS(D9)*SIN(D11)/COS(E6)))

D'aquesta manera si l'angle és negatiu, li sumen 2 radians (360º).

12. Però com que l'angle horari varia entre 0º i 360º, matemàticament existeix una altra solució, ja que sin (180º – α) = sin (α). També hem de salvar la possibilitat que aquesta solució sigui negativa, així que a la cel·la E11 definim la funció:

=SI(PI()-E10<0; 3*PI()-E10; PI()-E10)



13. Ara ens hem de decidir per la solució correcta astronòmicament. Per fer això utilitzarem la fórmula del sinus pel cosinus ja simplificada: −cosh ·cos A=sin·cos−cos · sin· cos H .

Per a cada solució definim:

Cel·la FuncióG10 =SI(-COS($D$9)*COS($D$11)=SIN($E$6)*COS($D$7)-

COS($E$6)*SIN($D$7)*COS(E10);"solució correcta";"solució incorrecta")

G11 =SI(-COS($D$9)*COS($D$11)=SIN($E$6)*COS($D$7)-COS($E$6)*SIN($D$7)*COS(E11);"solució correcta";"solució incorrecta")

14. A la cel·la G14 agafem la solució correcta i definim la funció:

=SI(G10="solució correcta"; E10; E11)

15. Ara transformarem la solució correcta (que està en radians) a graus, minuts i segons.

Cel·la FuncióH14 =TRUNCA(G14*180/PI())I14 =TRUNCA((G14*180/PI()-H14)*60)J14 =(((G14*180/PI()-H14)*60)-I14)*60

16. I per últim transformarem la solució correcta de l'angle horari a hores, minuts i segons.

Cel·la FuncióH16 =TRUNCA($G$14*12/PI())I16 =TRUNCA((G14*12/PI()-H16)*60)J16 =(((G14*12/PI()-H16)*60)-I16)*60

Activitat d’entrega obligada 1Transformació de coordenades mitjançant el full de càlcul construït.

Amb el full de càlcul que has construït (coordhoriztoequahora.ods) has de transformar les següents coordenades horitzontals en coordenades equatorials horàries.

Has d'enviar al tutor un correu amb l'assumpte: Activitat obligada 1 de Mòdul IV , les respostes dels exercicis adjuntant l'arxiu coordhoriztoequahora.ods

1. A = 213º 52' 38'' ; h = 10º 2' 3'' ; ρ = 17º 25' 14''

2. A = 56º 23' 52'' ; h = 58º 42' 12'' ; ρ = - (12º 45' 21'')

3. A = 288º 54' 12'' ; h = 0º 0' 56'' ; ρ = 21º 41' 23''



Activitat d'introducció 3Construcció full de càlcul: Transformació de coordenades equatorials horàries en coordenades horitzontals.El següent exercici consisteix a fer un full de càlcul per transformar les coordenades equatorials horàries (angle horari i declinació) en horitzontals (azimut i altura). Has de seguir els següents passos:

Nota: El nom de les funcions fan referència a la versió de l'OpenOffice en català i poden variar una mica respecte a la versió en castellà.

1. El primer de tot, has d'obrir un full de càlcul coordhoriztoequahora.ods que ja has fet a l'activitat d'introducció 2

2. Anomena al segon full Horari_Horitz

3. Has de copiar el full Horitz_Horari al nou full Horari_Horitz perquè bàsicament és el mateix full de càlcul.

(Les cel·les han de tenir la mateixa ubicació que a la imatge per després definir les funcions)

4. Has de canviar els noms de les dades i els resultats. Si vols, pots canviar de lloc la informació (en vermell) i llevar la part dels resultats que està en unitats de temps, ja que l'azimut no té unitats de temps i pots obtenir un quadre semblant a la imatge anterior.

5. Hem de modificar la columna E de Resultats, on es fa la transformació de coordenades.

h = arcsin sin· sincos·cos· cos H A = arcsin cos· sin Hcos h

A la cel·la E6 definim la funció:

=ASIN(SIN(D7)*SIN(D9)+COS(D7)*COS(D9)*COS(D11))



6. Aquí amb l'azimut també tenim un problema perquè l'azimut (A) es calcula mitjançant la funció

recíproca del sinus (arcsinus), A = arcsin cos· sin Hcos h i per tant la solució podria ser negativa

si es troba entre -90º i 0º, i com l'azimut ha de ser positiu hem de definir a la cel·la E10 la següent funció lògica:

=SI(ASIN(COS(D9)*SIN(D11)/COS(E6))<0;ASIN(COS(D9)*SIN(D11)/COS(E6))+2*PI();ASIN(COS(D9)*SIN(D11)/COS(E6)))

D'aquesta manera si l'angle és negatiu, li sumen 2 radians (360º).

7. A la cel·la E11 no hem de modificar res, però recordem que com que l'azimut varia entre 0º i 360º, matemàticament existeix una altra solució, ja que sin (180º – α) = sin (α). També hem de salvar la possibilitat que aquesta solució sigui negativa, així que a la cel·la E11 ja està definida la funció:

=SI(PI()-E10<0; 3*PI()-E10; PI()-E10)

8. Ara ens hem de decidir per la solució correcta astronòmicament. Per fer això utilitzarem la fórmula del sinus pel cosinus ja simplificada:. cos ·cos H=sin h ·coscosh · sin ·cos A

Per a cada solució definim:

Cel·la FuncióG10 =SI(COS($D$9)*COS($D$11)=SIN($E$6)*COS($D$7)+COS($E$6)*SIN($D$7)*

COS(E10);"solució correcta";"solució incorrecta")

G11 =SI(COS($D$9)*COS($D$11)=SIN($E$6)*COS($D$7)+COS($E$6)*SIN($D$7)*COS(E11);"solució correcta";"solució incorrecta")

Activitat d’entrega obligada 2Transformació de coordenades mitjançant el full de càlcul construït.

A l'activitat d'introducció 6 de Mòdul I, vas trobar les coordenades del teu lloc de residència habitual o del teu centre de treball. Ara aprofitarem la coordenada de la latitud per fer la següent activitat.

Has de fer una sèrie de transformacions de coordenades equatorials horàries en coordenades horitzontals aprofitant el full de càlcul que has construït. Als tres exercicis, la latitud serà la del teu lloc de residència o del teu centre de treball.

1. H = 0º 0' 0'' δ = -(23º 27' 0'' )

2. H = 0º 0' 0'' δ = 0º 0' 0''

3. H = 0º 0' 0'' δ = 23º 27' 0''

Envia un correu al tutor amb l'assumpte Activitat obligada 2 de Mòdul IV especificant la latitud que has utilitzat a l'exercici, amb les respostes (Altura i azimut) i adjuntant l'arxiu del full de càlcul coordhoriztoequahora.ods


mòdul iv sistemes de coordenades...

Documents