UNADMLICENCIATURA EN MATEMTICAS

Clculo Diferencial.

Unidad 2.Lmites y continuidad.

Actividad 2. Lmites de funciones.

Alumno: Claudio Ramn Rodrguez Mondragn.

Matrcula: AL13503064

1.- Resolver: Resolviendo con los teoremas de lmite:

O se puede resolver directamente, aplicando el lmite.

2.- Resolver: Si aplicamos el valor del lmite, encontramos una divisin entre cero, y eso es una indeterminacin, entonces, tenemos que buscar eliminar esa indeterminacin, por medio de la factorizacin:

Factorizando numerador y denominador:

Con este artificio matemtico desaparece la indeterminacin:Ahora podemos directamente aplicar el lmite, omitiendo aplicar los teoremas individuales.

3.- Resolver:

Primero evaluamos el denominador, por si existe indeterminacin al momento de sustituir el valor.

Entonces tenemos que factorizar el numerador y el denominador, para eliminar la indeterminacin:

Aplicando el lmite:

4.- Resolver: Se trata de un lmite al infinito:

Factorizamos la potencia ms grande en el numerador y en el denominador:

Reduciendo:

Aplicando el teorema de lmite:

Puesto que:

Los valores de f(x), se apegan al cero, cuando x crece o decrece infinitamente. Esto representa una asntota vertical, sobre el eje de las x o paralela a esta.

Esto representa una asntota vertical con ecuacin y=-2:

La funcin se apega al -2, o a la asntota y=-2, cuando la variable independiente crece o decrece infinitamente.

5.- Demostrar por medio de la definicin que: Para:

Identificamos los elementos para:

Entonces:

Entonces para hay un valor que cumpla con la definicin de lmite:

Entonces:

Ahora tenemos que:

Entonces:

Sustituyendo:

Entonces por triple desigualdad:

Tenemos que:

Para que se cumpla la condicin de lmite:Grficamente:

En la grfica:

Ahora, cualquier punto (x,y), debe de satisfacer la funcin:

Como los puntos:

Y los puntos:

Tomando valores de:Entonces: para:

Punto:Valores

sustitucinComprobacin, si satisface la funcin:

si

si

si

si

Y los puntos quedan as:

Por lo tanto:

Se cumple.

6.- Definir: y Para:

Se contempla en las definiciones de valores de funcin que decrecen sin lmite: (Leithold, 1998, pg. 57)Sea una funcin definida en cada nmero de algn intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en mismo.Conforme se aproxima a , decrece sin lmite, lo cual se escribe con la ecuacin:

Si para cualquier nmero:

Tal que:

El lmite no existe, y el smbolo solo indica el comportamiento de los valores de la funcin , conforme se aproxima cada vez ms a .Para:

Se contempla en las definiciones de lmite de cuando decrece sin lmite: (Leithold, 1998, pg. 251)Sea una funcin que est definida en todo nmero de algn intervalo abierto . El lmite de cuando decrece sin lmite es , lo que se escribe como:

Si para cualquier:

Sin importar que tan pequea sea, existe un nmero:

Tal que:

El smbolo indica solo el comportamiento de la variable .

7.-Sea , demostrar que si es par, entonces y que si n es impar, entonces, no existe.Para:

Ejemplo: para n=2, es un nmero par.Evaluamos entonces por los dos lados, hacer un lmite bilateral.

Observamos que:

Entonces:

Por principio de lmites bilaterales.

Ahora para:

Tenemos dos casos, para el lmite bilateral, para n par: (Leithold, 1998, pg. 58)

Para a)Se debe probar que para cualquier

Tal que:

O equivalentemente:

O de modo equivalente:

Este se cumple si:

Cuando:

Para b) para n par

Se debe probar que para cualquier

Tal que:

Entonces:

Porque n es un entero par

Porque:

Porque:

Este se cumple si:

Cuando:

Este se cumple si:

QED.Como se cumple la definicin de lmite para:

Entonces:

QED.Para:

Ejemplo: para n=1, es un nmero impar.Evaluamos entonces por los dos lados, hacer un lmite bilateral.

Observamos que:

Entonces:Por definicin de lmites bilaterales:

En este caso sera innecesario demostrar los dos casos, pues no existe el lmite bilateral.Tenemos dos casos, para el lmite bilateral, para n impar: (Leithold, 1998, pg. 58)

Para a)Se debe probar que para cualquier

Tal que:

O equivalentemente:

O de modo equivalente:

Este se cumple si:

Cuando:

Para b) para n impar

Se debe probar que para cualquier

Tal que:

Entonces:

Porque n es un entero impar

Porque:

Porque:

Este se cumple si:

Cuando:

Este se cumple si:

Pero no se cumple, pues:

QED.Como se cumple la definicin de lmite para:

Entonces:

QED.

8.- Supngase que demostrar que existe tales que , si .Identificando:

Una funcin tiene lmite en en un punto , si se aproxima a tomar el valor cada vez que su variable independiente se aproxima a tomar el valor de esto se denota por: (Villena, 2012)

Se dice que toma valores prximos a un punto , o que est entorno a bastar con considerarla perteneciente a un intervalo o vecindad:

Centrado en de semiamplitud muy pequea, llamada , lo cual significa:

Y adaptando esta expresin:

Esto indica que, y empleando la definicin de valor absoluto:

Entonces para que se cumpla:

Y para que basta con hacer la siguiente proposicin:

Pero tenemos que meter el concepto de:

Con ayuda de la grafica, esto significa que es acotada en un intervalo alrededor de . Como para hay un valor que cumpla con la definicin de lmite:

Entonces:

Para:

Tenemos que:

Y con esto podemos identificar que:

Ahora para tener una idea ms clara, podemos darle un valor a : (Spivak, 1996, pg. 135)Un valor que cumpla con la definicin de lmite:

Entonces:

Para:

Tenemos que:

Y con esto podemos identificar que:

Lo que quiere decir que:Se dice que toma valores mximos prximos a un punto , o que est entorno a bastar con considerarla perteneciente a un intervalo o vecindad de:

9.- Demostrar que si y solo si Para

Entonces para hay un valor , sin importar cual pequea sea, que cumpla con la definicin de lmite:

Como reescribimos el concepto, en especial para :

Si y solo si:

Ambos lmites tienden a un valor , lo que implica que ambos lmites estn en el intervalo:

Y adems ambos lmites son iguales.Analizando exclusivo para:

Ahora introducimos , y que sern nombrados como las vecindades o intervalos, tales que:

Y entonces:

Ahora existe un valor , tal que:

Analizando exclusivo para:

Ahora introducimos , y que sern nombrados como las vecindades o intervalos, tales que:

Un intervalo en la vecindad del cero:

Y entonces:

Ahora, debemos de introducir a :

Entonces:

Para introducir al intervalo:

Lo que representara que:

Entonces:

Y por lgica:

Por lo tanto los lmites son iguales:

Y como

QED.

10.- Demostrar por definicin que Sea:

Identificando los valores para:Identificamos los elementos para:

Entonces:

Entonces para hay un valor que cumpla con la definicin de lmite:

Entonces:

Entonces:

Analizando la ecuacin:

Racionalizamos:

Entonces para:

Como siempre

Y por lgica aritmtica, el denominador hace a la expresin cada vez ms pequea, mientras obtenga valores reales para el dominio , entonces:

Es la expresin buscada, por lo tanto para:

Tenemos que:

Y despejando los elementos solicitados:

Dado que para races cuadradas.Entonces se cumple;

Para:

Y como fin:

Y ordenando:

QED.BibliografaLeithold, L. (1998). EL CALCULO. Mxico: Oxford Univerity Press.Spivak, M. (1996). CLCULO INFINITESIMAL. Mxico: Editorial Revert.Villena, M. (2012). Limite de funciones de una variable real. Guayaquil: ESPOL.