UNADMLICENCIATURA EN MATEMTICAS

Clculo Diferencial.

Unidad 1.Nmeros reales y funciones.

Actividad 2. Aplicacin de los axiomas de nmeros reales.

Alumno: Claudio Ramn Rodrguez Mondragn.

Matrcula: AL13503064

Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los nmeros reales.

1.- Dado , donde y , demuestre que .

Hiptesis:

1.-

2.- y

Tesis:

1.- .

Desarrollo de la demostracin:

Tanto como x,y,z son nmeros que pertenecen a los nmeros reales, y y es mayor que x, adems z es negativo.

Existe un subconjunto que satisface las siguientes condiciones:

(i). Dado:

Se tiene una y solo una de las siguientes condiciones:

(ii). Dados

Entonces:

Se tiene que:

Entonces, el conjunto de los nmeros reales son:

Para que:

Para este anlisis se plantea que:

Se tiene que:

Para:

Pero para este anlisis, se usa:

Que es lo mismo que:

Puesto que la diferencia de un nmero menor y un nmero mayor, el resultado es negativo, y al multiplicar por otro negativo, z, el resultado ser positivo:

Entonces:

QED.

2.- Demuestre que para cualesquiera tales que y entonces .

Hiptesis:

1.-

2.- y

Tesis:

1.- .

Desarrollo de la demostracin:

Sean:Entonces, el conjunto de los nmeros reales son:

Para que:

Adems:

Entonces la diferencia entre un nmero mayor y un menor, ambos mayores de cero, est ser positiva:

La multiplicacin de un positivo por otro positivo, el resultado permanece positivo.

Y adems:

y Entonces:

Y la diferencia, permanece positiva

Lo que demuestra:

O tambin demuestra:

QED.

3.- Demuestre por induccin matemticas que dados tales que demostrar que para cualesquiera .Hiptesis:

1.- tales que Tesis:1.- para cualesquiera Desarrollo de la demostracin:Sean:Entonces, el conjunto de los nmeros reales son:

Para que:

La diferencia entre un nmero mayor y un menor, ambos mayores de cero, est ser positiva:

Entonces tenemos que cumplir:

Para probar esto, usaremos la induccin matemtica:Probar para:

Puesto que:

Tendremos:

Se indica que:

Para n=1Indica que:

Y entonces:

Lo que demuestra que:

Para n=kIndica que:

Y entonces:

Asumimos que:

Para n=k+1Indica que:

Y entonces:

Asumimos que:

Como:

Entonces por lgica se debe de cumplir:

Y se deduce que:

QED.Se cumple para cualquier k, este con cualquier valor elemento de los nmeros naturales:

4. Resolver la ecuacin

Tenemos los siguientes anlisis:

Falso

Para buscar los valores verdaderos, debe de cumplir la igualdad:

Verdadero

Falso

Verdadero

Solucin:

4.- Resolver la desigualdad:

Factorizamos:

Anlisis de cada factor:

Los valores clave para analizar son:

Valores prueba antes, entre y despus del -3 y 4, para aseverar el resultado:X=-5

verdaderoX=0

falsoX=5

Verdadero

Entonces los valores verdaderos estn en los intervalos:

Solucin:

Y los intervalos:

6.- Resolver la desigualdad:

Primer valor encontrado:

Analizando el valor absoluto:

Los valores claves para analizar la situacin son: Valores prueba antes, entre y despus del , para aseverar el resultado, tomando en cuenta que:X=0

falso

X=2

verdadero

X=5

Falso

Entonces los valores verdaderos estn en:

Solucin:

Los intervalos:

7.- Demuestre que y Hiptesis:1.- y Tesis:1.- Desarrollo de la demostracin:Analizando los cuatro casos de los valores absolutos:Caso1:Se deduce que:

Se tiene que:

Entonces:

Caso2:Se deduce que:

Se tiene que:

Entonces:

Caso3:Se deduce que:

Se tiene que:

Entonces:

Caso4:Se deduce que:

Se tiene que:

Entonces:

Por lo tanto se sabe que: que y QED.8.- Resolver la desigualdad: Evaluando el discriminante:

Entonces:

Lo que representa:

Para la cuadrtica, no existe solucin, entonces no hay valores en el conjunto de los nmeros reales para los cuales la ecuacin cuadrtica satisfaga al cero.Solucin:FalsoIntervalo:

Gracias.