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8/18/2019 MAXIMOS_Y_MINIMOS_DE_FUNCIONES__29873__.doc
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12 m2
MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION REAL DE VARIAS
VARIABLES
Supongamos que tenemos 12 metros cuadrados de una lámina de metal. Si
queremos construir una caja rectangular sin tapa. Cuáles deben ser sus
medidas para que el volumen sea máximo?
Este es uno de los tantos problemas que podemos resolver al fnal de esta
clase. Para ello necesitamos establecer algunos conceptos previos.
1. PUNTOS EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS
ABSOLUTOS DE UNA FUNCION.
efnici!n." sean# $ una $unci!n de dos variables con dominio .
%a&b' un punto .
a' Se dice que %a&b' es un punto máximo absoluto de $ si
(%x&)' *$%a&b'& para cada %x&)' en
El n+mero real $%a&b' se llama máximo absoluto de $.
b' Se dice que %a&b' es un punto m,nimo absoluto de $ si
(%a&b'*$%x&)'& para cada %x&)' en .
El n+mero real $%a&b' se llama m,nimo absoluto de $.
Ejemplo 1." consideremos la $unci!n $%x&)' - x2 )2 con dominio el conjunto
/%x&)' 0 2x2 )2 * 3}
Punto m,nimo absoluto# %4&4' Punto máximo absoluto# cualquier punto de la
circun$erencia C# x2 )2-3
5,nimo absoluto# $%4&4' - 4 máximo absoluto # $%p'-3
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6bservaciones." a partir del ejemplo 1 se pueden 7acer algunos comentarios#
• 8n punto de extremo absoluto puede ocurrir en el interior del dominio o en su
$rontera.• 9os valores máximos ) m,nimo absoluto de una $unci!n son +nicos.
•
9os puntos de extremos absolutos no son necesariamente +nicos.• El dominio es un conjunto cerrado ) acotado ) además $ es continua en .
en general. Esta es una condici!n sufciente para garanti:ar la existencia de
puntos de extremos bsolutos de una $unci!n.
; continuaci!n defnimos los conceptos de conjunto cerrado& conjunto acotado )
establecemos el teorema que $ormali:a el +ltimo comentario.
Conjunto cerrado." un conjunto en 2 %
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2. PUNTOS DE EXTREMO LOCALES Y EXTREMOS LOCALES
DE UNA FUNCION.
En muc7os problemas no solo 7a) que determinar en qu@ puntos de dominio& una
$unci!n tiene un extremo absoluto& sino tambi@n en que puntos& al menos
localmente& se alcan:an valores extremos.
Defniciones
egi!n rectangular abierta."
- /%x&)' 0 2 a Ax A b & c A ) A dB
egi!n rectangular cerrada."
- /%x&)' 0 2 a *x * b & c * ) * dB
efnici!n." Sean# $ una $unci!n de dos variables.
%a&b' un punto del dominio de $.
a' Se dice que %a&b' es un punto máximo local de $& si existe una regi!n
rectangular cerrada que contiene a %a&b' tal que#
(%x&)' *$%a&b'& para cada %x&)' en
El numero $%a&b' se llama máximo local de $.
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b' Se dice que %a&b' es un punto m,nimo local de $& si existe una regi!n
rectangular cerrada que contiene a %a&b' tal que#
(%x&)' *$%a&b'& para cada %x&)' en
El numero $%a&b' se llama m,nimo local de $.
6bservaci!n." En la defnici!n de un punto máximo %m,nimo' local se supone quela regi!n rectangular cerrada está incluida en el dominio de la $unci!n $.
En !" f#$%" si#$ien&e se m$es&%" !" #%'fc" (e $n" )$nci*n con +"%ios
m',imos - mnimos !oc"!es. Se /$e(e /ens"% 0$e !os m',imos !oc"!es son
!"s "!&$%"s (e !"s c$m%es - !os mnimos !oc"!es !"s /%o)$n(i("(es (e !os
+"!!es.
3. PUNTOS CRITICOS.
efnici!n." sean# $ una $unci!n real de dos derivadas con dominio .
%a&b' un punto de .
Se dice que %a&b' es un punto cr,tico de $ si satis$ace una de las condiciones
siguientes#
%a' $x%a&b' - 4 ) $)%a&b' - 4%b' $x%a&b' o $)%a&b' no existe.
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8sando el teorema anterior podemos afrmar que todo punto extremo local es un
punto cr,tico.
Ejemplo." eterminar los puntos cr,ticos de la $unci!n $%x&)'-2x)"x2"2)2
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%d' 9a ma)or %menor' imagen 7allada en %c' será el máximo o minimo absoluto
de $ en .
EjemploH."calcule los valores máximos ) m,nimo absoluto de la $unci!n $ defnida
como#
$%x&)'-x2x )2"2 & para %x&)' en -/%x&)' 0 2 x2 )2 * 3}
5. CRITERIO DE LA SE6UNDA DERIVADA PARA
CLASIFICAR A LOS PUNTOS CRITICOS.
Sabemos que todo punto de extremo local de una $unci!n es un punto cr,tico de
ella. ;s,& los puntos en que una $unci!n tiene máximo o m,nimo local deben ser
buscados en los puntos cr,ticos. Para ello necesitamos un criterio que nos permita
afrmar si un punto cr,tico dado es un punto de máximo o m,nimo local o nada de
eso.
=eorema." sean# $ una $unci!n de dos variables cu)as derivadas parciales desegundo orden son continuas.
%a&b' es un punto cr,tico de $ con $ x%a&b'-4-$ )%a&b'
g%a&b'-$ xx%a&b' $ ))%a&b' G %( x)%a&b''2
%a' Si g%a&b' I4 ) $xx%a&b' I4 & entonces $%a&b' es un minimo local.%b' Si g%a&b' I4 ) $xx%a&b'
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Para resolver el problema planteado debemos buscar valores extremos de $%x&)'
cuando %x&)' está en la curva C de ecuaci!n g%x&)'-4. 9a fgura anterior muestra la
curva C junto con algunas curvas de nivel de $. dic7as curvas de nivel tienen
ecuaciones $%x&)'-K& donde K - 14& 24 L
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restringido por la curva intersecci!n de las superfcies O%x&)&:'-4 ) Q%x&)&:'-4. Se
puede demostrar que si un valor extremo ocurre en %x 4&)4&:4'& entonces el valor
gradiente N%x4&)4&:4' está en el plano determinado por O%x4&)4&:4' ) Q%x4&)4&:4'.
;si& existen n+meros reales M ) R tales que#
N%x4&)4&:4'- M O%x4&)4&:4' R Q%x4&)4&:4'8. CONCLUSIONES
En clase 7emos estudiado todos los elementos necesarios para determinar los
extremos absolutos de $unciones reales& )a sea con restricciones o sin ellas. En
particular& estudiamos el caso de una $unci!n que es continua sobre un conjunto
cerrado ) acotado& mostrando un m@todo para 7allar los extremos absolutos.
=ambi@n 7emos visto la $orma de clasifcar a los puntos cr,ticos de una $unci!n. Para
ello utili:amos un criterio que bien se le podr,a considerar análogo al criterio de la
segunda derivada& estudiado en el curso anterior. Ninalmente& tratamos el problema
de 7allar los extremos de una $unci!n con una ) dos restricciones e inclusive& dimos
una interpretaci!n geom@trica del m@todo de los multiplicadores de 9agrange ent@rminos de los gradientes.