M A T R I Z

M A T R I Z

INTRODUCCION

Una matriz es una ordenacin rectangular de la forma:

a 11 a 12 .. a 1n 1 fila a 21 a 22 .. a 2n 2 fila

a m1 a m2 .. a mn ( m ) fila

1 columna 2 columna ( n ) columna

Cada componente de la matriz ( de orden m ( n ) es un escalar ( elemento de un campo ), cuya ubicacin est dada por sus dos subndices, el primero indica la fila y el segundo la columna.MATRIZ CUADRADA DE ORDEN DOS

Una matriz formada por dos filas y dos columnas se denomina matriz cuadrada de orden dos. El conjunto de todas estas matrices se simboliza por M 2.RELACION DE IGUALDAD EN M 2 ( = )

Definicin:

a 11 a 12 = b 11 b 12 ( a 11 = b 11 ( a 12 = b 12 ( a 21 = b 21 ( a 22 = b 22 a 21 a 22 b 21 b 22

Teorema 1: La relacin de igualdad en M 2 es una relacin de equivalencia.

ADICION EN M 2Definicin:

a 11 a 12 + b 11 b 12 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b 22

Teorema 2: La adicin en M 2 es asociativa y conmutativa.

Neutro aditivo:

0 0

0 =

0 0

Inverso aditivo:

A = a 11 a 12 ( ( A = ( a 11 ( a 12

a 21 a 22 ( a 21 ( a 22

Teorema 3: ( M 2 ; + ) es un grupo abeliano.Resta :

a 11 a 12 ( b 11 b 12 = a 11 ( b 11 a 12 ( b 12

a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 ( b 21 a 22 ( b 22

MULTIPLICACION POR UN ESCALAR EN M 2Definicin:

Sea k un escalar, entonces:

a 11 a 12 k a 11 k a 12 k = a 21 a 22 k a 21 k a 22

Propiedades:

Sean A y B matrices cuadradas de orden dos y k y m escalares, entonces:

1 ) 1 A = A

2 ) ( k m ) A = k ( m A ) = m ( k A )

3 ) ( k + m ) A = k A + m A

4 ) k ( A + B ) = k A + k B

Teorema 4: ( M 2 ; + , ) es un espacio vectorial.

MULTIPLICACION EN M 2

Definicin :

a 11 a 12 b 11 b 12 a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 =

a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

Teorema 5: La multiplicacin en M 2 es asociativa y distributiva con respecto a la adicin, pero no es conmutativa.Neutro multiplicativo:

1 0

I =

0 1

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ EN M 2

Definicin:

a 11 a 12

= a 11 a 22 ( a 12 a 21

a 21 a 22

Observacin 1: A es singular si y slo si | A | = 0

Teorema 6: Sean A y B matrices cuadradas de orden dos y k un escalar, entonces:

a ) | k A | = k2 | A |b ) | ( A | = | A |c ) | A B | = | A | | B |MATRIZ INVERSA EN M 2 a 11 a 12 a 22 ( a 12

A = ( | A | ( 0 ( A ( 1 = | A | ( 1

a 21 a 22 ( a 21 a 11

Observacin 2: Si una matriz tiene determinante igual a cero, entonces no existe su matriz inversa.

Teorema 7: Sea A una matriz cuadrada de orden dos, entonces:

a ) A A ( 1 = A ( 1 A = Ib ) | A ( 1 | = | A | ( 1APLICACION DE DETERMINANTES

Dado el sistema:

a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2

Se definen los determinantes:

a 1 b 1 c 1 b 1 a 1 c 1 D = X = Y =

a 2 b 2 c 2 b 2 a 2 c 2

Entonces:

a ) Existe una y slo una solucin si y slo si D ( 0:

S = { ( x , y ) : x = X / D ( y = Y / D }b ) Existen infinitas soluciones si y slo si D = X = Y = 0:

S = { ( x , y ) : a 1 x + b 1 y = c 1 }

c ) No existe solucin si y slo si D = 0 , X ( 0 e Y ( 0.

S = (ANEXOS

1 ) Lo sealado en M 2 puede extenderse a matrices cuadradas de orden superior, salvo en lo referente a las definiciones de determinante y matriz inversa.

2 ) Sean A una matriz de orden n ( m y B una matriz de orden p ( q, entonces pueden definirse:

a ) A + B si y slo si n = p y m = q.

b ) A B si y slo si m = p.

Analorpe