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DEPARTAMENTO DEECONOMÍA

MATERIAL DE ENSEÑANZA

Nº 5

MEDECON

MATEMÁTICAS PARAECONOMISTAS

Tessy Grace Vásquez

MATERIAL DE ENSEÑANZA N° 5

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS 1

Tessy Grace Vásquez Baos

Abril, 2019

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA

MATERIAL DE ENSEÑANZA 5

http://files.pucp.edu.pe/departamento/economia/ME005.pdf

http://files.pucp.edu.pe/departamento/economia/ME005.pdf

Matemáticas para Economistas 1 Material de Enseñanza 5

© Tessy Grace Vásquez Baos

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Encargado de la Serie: José Rodríguez

Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú,

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Tessy Grace Vásquez Baos Matemáticas para Economistas 1 Lima, Departamento de Economía, 2019 (Material de enseñanza 5) PALABRAS CLAVE: Matemáticas para la Economía. Funciones. Matrices. Vectores. Cálculo. Análisis real

Las opiniones y recomendaciones vertidas en estos documentos son responsabilidad de sus

autores y no representan necesariamente los puntos de vista del Departamento Economía.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2019-05533

ISSN 2413-8606 (Impreso)

ISSN (En línea –en trámite)

mailto:[email protected]

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Notas de ClasesProf. Ramon Garcıa Cobian

Matematicas para Economistas I1

Tessy Grace Vasquez Baos

Agosto, 2018

1Las notas fueron revisadas por el Prof. Ramon Garcıa Cobian, el Prof. Ale-jandro Lugon y no hubiera sido posible sin la asistencia en redacion de ChristianMaravı, Marco Ceron y Cesar Castro; ası como el apoyo del Departamento deEconomıa, en ese entonces a cargo del Prof. Waldo Mendoza.

Matemática para Economistas 1

Tessy Grace Vásquez Baos

Resumen

El presente texto consolida las notas de las clases dictadas por el Prof. Ramón García-Cobián en el curso “Matemática para Economistas 1". Aborda conceptos básicos de matrices, vectores y funciones, así como una introducción al cálculo y análisis en Rn, incluyendo espacio euclidiano, cálculo diferencial y el teorema de la función implícita. Este texto tiene como objetivo servir de guía a los estudiantes de los primeros ciclos de la carrera de economía.

Palabras Clave: Matemáticas para la Economía. Funciones. Matrices. Vectores. Cálculo. Análisis real.

Códgo JEL: C02

Abstract

This document presents the classroom notes of Prof. Ramón García-Cobián for the "Mathematics for Economics 1" course. The notes cover the concepts of matrices, vectors and functions as well as providing an introduction of calculus and analysis on Rn, including Euclidean space, differential calculus and the implicit function theorem. The objective is to serve as a guide for students in the first year of the Economics degree program.

Key Words: Mathematics for economics. Functions. Matrix. Vectors. Calculus. Real Analysis.

Jel Code: C02.

Indice general

1. Nociones de Funciones, Matrices y Vectores 31.1. Elementos de un modelo economico . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Ecuaciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Ecuacion de definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Ecuacion de comportamiento . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3. Ecuacion de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1. Funciones Reales de Variable Real . . . . . . . . . . . . 81.5.2. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3. Funciones Trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.4. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.1. Matriz de numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6.2. Matriz identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.3. Nociones de Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.4. Suma de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.5. Multiplicacion de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.6. Resta Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.7. Propiedades de la Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.8. Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.9. Propiedades de los Determinantes . . . . . . . . . . . . 251.6.10. Solucion de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.1. Multiplicacion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.2. Interpretacion geometrica de vectores . . . . . . . . . . 32

1

2 INDICE GENERAL

1.7.3. Interpretacion geometrica del vector por un escalar . . 331.7.4. Independencia lineal de dos vectores . . . . . . . . . . 33

1.8. Analisis del Equilibrio Economico . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8.1. Equilibrio Parcial del Mercado . . . . . . . . . . . . . . 371.8.2. Modelos de Equilibrio parcial . . . . . . . . . . . . . . 371.8.3. Modelos de Equilibrio General . . . . . . . . . . . . . . 401.8.4. Modelo Macroeconomico . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2. Nociones de Calculo y Analisis en Rn 452.1. Espacio Euclidiano Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.1. Generacion de un Subespacio . . . . . . . . . . . . . . 462.1.2. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.3. Distancia o Metrica en un Conjunto . . . . . . . . . . . 522.1.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . 53

2.2. Calculo Diferencial y Analisis Matematico . . . . . . . . . . . 562.2.1. Tasa de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.2. Tasa de cambio de variable dependiente . . . . . . . . . 592.2.3. Propiedades de la Derivada: . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.4. Continuidad y diferenciabilidad de una funcion . . . . . 682.2.5. Concepto Riguroso de Continuidad . . . . . . . . . . . 692.2.6. Reglas de las derivadas o de diferenciacion . . . . . . . 712.2.7. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.2.8. Funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.2.9. Diferenciacion parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.2.10. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.2.11. Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2.12. Reglas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.2.13. Teorema de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . 105

Capıtulo 1

Nociones de Funciones,Matrices y Vectores

1.1. Elementos de un modelo economico

Mas alla de las particularidades de cada modelo economico, la totalidadde estos posee una serie de elementos bien definidos:

1. Variables endogenas: son aquellas variables cuyos valores se deter-minan dentro del modelo.

2. Variables exogenas: son aquellas variables cuyos valores se determi-nan fuera del modelo.

3. Parametros: se define de esta forma a cualesquiera variables que sepresenten en el modelo y que a la vez desempenen el rol de constanteen el modelo.

1.2. Ecuaciones del modelo

1.2.1. Ecuacion de definicion

A lo largo del texto se hara referencia abreviada a expresiones en terminosde elementos ya conocidos. Por ello se recurre a la ecuacion de definicion,

3

4CAPITULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES

relacion que posee la forma:

Definiens︸︷︷︸Lo Definido

:= Definiendum︸︷︷︸La Definicion

Ejemplo 1.2.1 Una definicion basica dentro del marco de la contabilidadnacional es la de demanda agregada:

Demanda

agregada︸︷︷︸Y d

:=Consumo

privado︸︷︷︸C

+Inversion

total︸︷︷︸I

+Consumo

publico︸︷︷︸G

+Exportaciones

netas︸︷︷︸XN

. (1.1)

En (1,1), el simbolo := debe leerse como sigue ‘es definido(a) como’.

1.2.2. Ecuacion de comportamiento

Una vez establecidas las variables de trabajo, las ecuaciones de compor-tamiento explicitan las hipotesis hechas. Por ejemplo, la ecuacion:

C = C(Y+

)

plantea una relacion directa entre el consumo privado C y el nivel de ingresosY . Por relacion directa se entiende que a mayores niveles de ingreso mayorsera el nivel de consumo privado. En terminos formales:

C(Y0) < C(Y1) para todo Y0 y Y1 tal que Y0 < Y1.

De manera analoga se plantea una relacion inversa entre la inversion privaday la tasa de interes:

I = I(r−

)

y, de manera similar, por relacion inversa se entiende que a mayores nivelesde tasas de interes menor sera el nivel de inversion que corresponde. Formal-mente se cumple:

I(r0) > I(r1) para todo r0 y r1 tal que r0 < r1.

Ejemplo 1.2.2 La oferta agregada depende de los factores de produccion,como el capital (K) y el trabajo (L):

Y s = Y s(K,L).

1.3. TEORIA DE CONJUNTOS 5

1.2.3. Ecuacion de equilibrio

Como es habitual, la combinacion de relaciones de comportamiento gene-ran funciones de oferta y demanda. Tradicionalmente, una forma comun deinteraccion entre oferta y demanda es la condicion de equilibrio de mercado,la cual estipula:

Demanda = Oferta.

1.3. Teorıa de conjuntos

Dado que el lenguaje en terminos de conjuntos sera de uso extensivo,convencionalmente el sımbolo ∈ denotara una relacion de pertenencia.

Definicion 1.3.1 (Axioma de Extension) Dos conjuntos son iguales siposeen los mismos elementos. Es decir:

∀X, Y : X = Y ⇔ (∀z : z ∈ X ⇐⇒ z ∈ Y ).

Al respecto el primer intento por elaborar una teorıa de conjuntos provinode Cantor en el siglo XIX, lo cual resulto en una teorıa intuitiva. En el sigloXX, B. Russell formula la siguiente paradoja:

∀x : x ∈ x ∨ x /∈ x

y defınase:ϑ := {x : x /∈ x}.

Por lo tanto:(ϑ ∈ ϑ) ∨ (ϑ /∈ ϑ).

Pero, si ϑ ∈ ϑ, entonces, por definicion de ϑ, se sigue que ϑ /∈ ϑ. Y si ϑ /∈ ϑ,igualmente se sigue que ϑ ∈ ϑ. De cualquier manera surge una contradiccion.

Posteriormente, y como consecuencia de la paradoja, surge la axiomati-zacion de las teorıas, atribuida a Peano, Zermelo y Von Neumann.

Definicion 1.3.2 (Axioma de Especificacion) Si existe un conjunto y estadada una ‘idea’1, entonces existe un conjunto formado por los elementos de

1Idea expresable en el lenguaje formal de la teorıa, como P (x), siendo P un predicadoy x una variable libre.


aquel que satisfacen dicha idea. Si P (x) es una proposicion referida a x y Ces un conjunto, entonces hay un conjunto de la forma:

{x ∈ C : P (x)} .

Entonces, ya no es posible formular la paradoja de Russell pues ¿de queconjunto, cuya existencia estuviera ya garantizada se sacarıan los x tales quex /∈ x?.2

Definicion 1.3.3 (Diferencia de conjuntos)

A\B := {x ∈ A|x /∈ B}

Figura 1.1: Diferencia de conjuntos.

Por ejemplo, sean:

A = {5; 12}, B = {5; 0.51}. Entonces A\B = {1

2}

Definicion 1.3.4 (Relacion) Una relacion es un conjunto cuyos elementos(si los tuviera) son pares ordenados.

2Suele decirse, erroneamente, que del “universo”, i.e., del “conjunto de todos losconjuntos”; pero este no puede existir, pues si A es cualquier conjunto, entonces elB := {x ∈ A : x /∈ x} es un conjunto tal que B /∈ A(Demostrarlo es un ejercicio pa-ra el lector). Ası, no puede haber ningun universo.

1.4. NUMEROS REALES 7

Por ejemplo, no es relacion el conjunto: {(2,−1), 3}, pero son relacioneslos conjuntos {(2,−1), (0, 3)} y ∅. Ejemplo de relaciones:

R = {(0, 0), (1, 0), (1,−2)} y

S = {(0, 0), (1, 0)}.

En el conjunto R observamos elementos diferentes que comparten el primercomponente.

1.4. Numeros reales

Consideremos el siguiente ejemplo: ¿Sera√

2 un numero racional? Deserlo, habrıa enteros positivos, m y n, tales que.

m2

n2= 2, por lo tanto m2 = 2n2.

Sin perdida de generalidad se pueden tomar m y n como primos relativos,i.e., que no poseen factor comun.Entonces m es par y:

m = 2R, ∃R ∈ N.

Luego

4R2 = 2n2 ∴ 2R2 = n2.

Por lo que n tambien es par. Pero esto contradice el que m y n fueran primosrelativos. Ası, la respuesta es que

√2 no es un numero racional, sino un

“irracional”. √2 /∈ Q ⊆ R.

De manera similar se puede mostrar que:

π ∈ R ∧ π /∈ Q.

1.5. Funciones

Definicion 1.5.1 (Funcion) Una funcion es una relacion en la que no hayelementos diferentes que compartan el primer componente.


Esto da lugar al denominado criterio de la lınea vertical, mediante el cualla grafica de dicha funcion en el plano no puede ser cortada en mas de unpunto cuando se le interseca con una lınea vertical.

Definicion 1.5.2 (Dominio) Dada una funcion, el dominio de dicha fun-cion es el conjunto de todos los primeros componentes.

Ejemplo 1.5.3DR = {0, 1} ; DS = {0, 1}

Definicion 1.5.4 (Rango o Codominio) Conjunto de todos los segundoscomponentes de la relacion

cDR = {0,−2}

cDS : {0}Segun definicion 1.5.1 , R no es funcion, pero S sı lo es. Se dira que R es

una “correspondencia” de DR a cDR y que S es una funcion de DS a cDS.

R : {1, 0} >> {0,−2}S : {0, 1} → {0}

Notacion para funciones: f : A→ B

x→ f(x) = x3 − 2x+ 1

f(−2) = −3

1.5.1. Funciones Reales de Variable Real

f : R→ R

Funciones Constantes

Son funciones que a cada numero real le asignan una misma imagen:

x 7→ f(x) = 3 (polinomio de grado cero)

1.5. FUNCIONES 9

Figura 1.2: Funcion constante.

Funciones Polinomicas

Son aquellas f : R→ R tales que f(x) es un polinomio en x:

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n.

Funcion LinealSi f(x) = a0 + a1x, se dice que es lineal de grado 1, y tendrıa la grafica

1.3.

Figura 1.3: Funcion lineal con a1 > 0

La anterior representacion de la funcion lineal implica:

f(x+ 1)− f(x) = (a0 + a1(x+ 1))− (a0 + a1x) = a1x+ a1 + a1x = a1.


Como se puede observar en el caso de la funcion lineal, a1 representa cuantoasciende la recta por unidad horizontal, es decir, a1 es la pendiente de lagrafica.

Ejemplo 1.5.5 La funcion lineal denotada por y = f(x) = 2x − 1 tienela grafica 1.4. Si se desea conocer el punto donde la grafica interseca al ejehorizontal debe resolverse:

0 = y = 2x− 1.

Luego de resolver en x se obtiene que:

x =1

2.

Figura 1.4: Funcion lineal segundo ejemplo.

Funcion CuadraticaSi la funcion tiene la siguiente forma f(x) = a0 +a1x+a2x

2, se dice que esuna funcion cuadratica, y su grafica es una parabola con vertice en x = −a1

2a2.

Si a2 > 0 entonces la abscisa del vertice de la parabola se encuentra abajo, ysi a2 < 0 entonces la abscisa del vertice de la parabola se encuentra arriba.

Ejemplo 1.5.6 Sea la funcion f con regla de correspondencia:

f(x) = x2 + 2x− 3.

En dicho caso a2 > 0, mientras que las propiedades del vertice de la parabolapermiten obtener:

abscisa del vertice = −2

2= −1.

1.5. FUNCIONES 11

En la abscisa x = −1 se cumple lo siguiente:

f(−1) = 1− 2− 3 = −4.

Por otro lado:0 = x2 + 2x− 3.

Con lo cual los puntos de interseccion con el eje de abscisas son:

x1 = −3 y x2 = 1.

Entonces la grafica es tal como se describe en la figura 1.5.

Figura 1.5: Funcion cuadratica.

Ejemplo 1.5.7 Considerese la siguiente funcion:

f(x) = 5x2 + 3x+ 1.

En dicho caso, se obtiene que:

abscisa del vertice = − 3

10

y en dicho punto f vale:

f(−310

) = 5

(−3

10

)2

+ 3

(−3

10

)+ 1 =

11

20

Lo cual se puede observar en la grafica 1.6.


Figura 1.6: Ejemplo: funcion cuadratica.

Ejemplo 1.5.8 Sea la grafica de la siguiente funcion:

y = −1

2x2 + 3x− 2.

En dicho caso, el coeficiente del termino cuadratico es igual a:

a = −1

2< 0

y la formula de la abscisa da lugar a:

abscisa del vertice =−3

−1= 3

y la ordenada se obtiene reemplazando x por la abscisa del vertice:

y = −1

2(9) + 9− 2

Por lo tanto:

y = 2.5

Recuerdese que si se desea resolver una ecuacion de la forma:

x2 − 6x+ 4 = 0, (1.2)

1.5. FUNCIONES 13

se puede aplicar la siguiente formula para su solucion:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a.

En el caso de la ecuacion (1,2), que tiene la grafica 1.7, la solucion es lasiguiente:

x =6±√

36− 16

2

x1 = 3−√

5

x2 = 3 +√

5

Figura 1.7: Grafica de funcion cuadratica.

1.5.2. Funciones Racionales

Este tipo de funciones se definen como el cociente de funciones polino-miales.

Ejemplo 1.5.9 A continuacion se presentan diversos ejemplos de funciones


racionales:

y =2x+ 1

x2 + 1

y =1

xy = 3x

1.5.3. Funciones Trascendentes

Funcion Exponencial:y = ex.

En el caso de esta funcion y = 1 cuando x = 0. Esta funcion tiene la propiedadde crecer al infinito muy rapido (ver figura 1.8).

Figura 1.8: Funcion exponencial.

Funcion Logarıtmica,(ver figura 1.9):

y = log x.

Definicion 1.5.10 (Logaritmo en base b > 0) El “logaritmo en base b dea” es el exponente al que hay que elevar b para obtener a:

logb a = m

si y solo si:a = bm.

Se introduce como notacion:

loge = ln (logaritmo neperiano).

Cabe precisar que esta funcion no se encuentra definida para los negativos niel cero.

1.6. MATRICES 15

Figura 1.9: Funcion logarıtmica.

1.5.4. Funciones de varias variables

Ejemplo 1.5.11

z = f(x, y) = 2x+ y

esto indica que:

Si x = 1 e y = −2 entonces z = 0.Si x = 2 e y = −1 entonces z = 3.

Y ası sucesivamente.

Ejemplo 1.5.12 Sea la funcion z = 2xy + x− u

x y u z2 1 −1 7...

......

...

1.6. Matrices

Definicion 1.6.1 (Matriz) Se trata de una arreglo rectangular de numeros.


1.6.1. Matriz de numeros reales

Sean las matrices:

A =

[−2 0 4

12

π 379

]2×3

B = [−1 1 0 3]1×4

C =

13

02−1

4×1

D =

1 0 00 −2 00 0 1

3×3

E =

[π2

2−1 3

4

]2×2

Dentro de las clases de matrices tenemos:

Matrices cuadradas: D y E.

Matriz fila: B.

Matriz columna: C.

Matriz diagonal: D.

Consideremos ademas los siguientes ejemplos:

G =

[2 11 3

]2×2

H =

2 1 −11 3 2−1 2 0

3×3

Las Matrices H y G son matrices cuadradas y simetricas a la vez. Las ma-trices tienen elementos que son marcados por subındices que indican el lugarque ocupan en la fila y en la columna.

Por ejemplo, sea:

G =

[2 11 3

]2×2

1.6. MATRICES 17

Ası que G11 = 2, G12 = 1, G21 = 1 y G22 = 3. Otra forma de extraer elemen-tos de acuerdo a una ordenacion puede expresarse de la siguiente manera:A1·• = [−2 0 4], que indica la primera fila de la matriz A, o:

E•2 =

[234

]el cual indica la segunda columna de la matriz E.

Ejemplo 1.6.2 Sea:

D =

1 0 00 −1 00 0 1

3×3

Esta matriz es conocida como diagonal pues cumple que dij = 0 ∀i 6= j

H =

2 1 −11 3 2−1 2 0

3×3

Esta matriz es conocida como simetrica pues cumple que hij = hji ∀i, ∀j.

1.6.2. Matriz identidad

Se dice que una matriz es identidad cuando los elementos de la diagonalprincipal son todos iguales a 1 y los otros iguales a 0.

I : [1] ,

[1 00 1

],

1 0 00 1 00 0 1

1.6.3. Nociones de Igualdad

Dos matrices son iguales si sus correspondientes elementos lo son. Esdecir:

A = B si y solo si ∀i, j : Aij = A′ji.


1.6.4. Suma de Matrices

Dadas A y B, ambas m× n, su suma A+B se define por:

(A+B)ij := Aij +Bij.

Ejemplo 1.6.3

A =

[−2 0 4

12

π 379

]2×3

B =

[1 0 00 −2 0

]2×3

Como ambas matrices son del mismo tipo, entonces su suma es igual a:

A+B =

[−1 0 4

12

π − 2 379

]2×3

1.6.5. Multiplicacion de Matrices

Multiplicacion de Matrices por escalar

Dadas A y B, ambas m × n, la multiplicacion de una matriz por unescalar, se define de la siguiente manera:

Si A es m× n y α ∈ R. Entonces (αA)ij := αAij

Ejemplo 1.6.4

−1

2A =

[1 0 −2−1

4−π

2−18

9

]2×3

Multiplicacion de Matrices por Matrices

Sean A y B matrices de dimensiones m× h y h× n, respectivamente; sedefine A×B por:

AB sera m× n, y (AB)ij = Ai1B1j + · · ·+ AihBhj

Esto implica que cada valor de la primera fila de la matriz A, multiplicael correspondiente valor de la primera columna de la matriz B. O la sumaproducto de la primera fila de la matriz A y la primera columna de la matrizB, y asın sucesivamente.

1.6. MATRICES 19

Nota.-La condicion para que se de la multiplicacion de dos ma-trices es que el primer factor debe tener tantas columnas comofilas tiene el segundo factor.

Ejemplo 1.6.5

A =

[−2 0 4

12

π 379

]2×3

B =

1 2 0−1 1 10 −1 0

3×3

Por lo tanto:

AB =

[−2 −8 0

12− π π − 27

9π

]2×3

Lo que se hizo fue:[AB]2×3 = [A]2×3 × [B]3×3

Por lo que no existe B × A.

Ejemplo 1.6.6 Sean las siguientes matrices:

C =

1 2 00 1 −1−1 0 0

3×3

D =

1 2 0−1 1 10 −1 0

3×3

Por lo tanto:

CD =

−1 4 2−1 2 1−1 −2 0

3×3

DC =

1 4 −2−2 −1 −10 −1 1

3×3

Si A es m × h y B es h × n entonces (AB)ij =h∑k=1

aikbkj, con aik repre-

sentando el elemento ubicado en la fila i, columna k.

La multiplicacion matricial es siempre asociativa, pero no necesariamentesiempre conmutativa.

Ejemplo 1.6.7 De producto nulo con matrices no nulas.[2 61 3

] [−62

]=

[00

]


De ese modo, debemos diferenciar resultados en numeros reales con losresultados en matrices.

Para los numeros reales se aplica:

ab = 0⇒ (a = 0 ∨ b = 0)

(a 6= 0 ∧ ab = ac)⇒ b = c

Mientras que para las matrices:

AB = 0 ; (A = 0 ∨B = 0)

(A 6= 0 ∧ AB = AC) ; B = C

Definicion 1.6.8 (Inversa de una matriz) En M(n, n), si AB = I en-tonces se dice que B es “inversa de A” y que A es “inversa de B” (Seescribe: B = A−1 ∧ A = B−1).

Ejemplo 1.6.9 [2 61 3

]×[a cb d

]=

[1 00 1

]2a+ 6b = 1

a+ 3b = 0

2c+ 6d = 0

c+ 3d = 1

No existe solucion, por lo tanto la matriz

[2 61 3

]no tiene inversa.

Con ello, se demuestra que algunas matrices cuadradas carecen de inversa.

Pero

[2 01 3

]sı tiene inversa:

[2 01 3

]×[a cb d

]=

[1 00 1

]2a = 1

a+ 3b = 0

1.6. MATRICES 21

a =1

2

b = −1

62c = 0

c+ 3d = 1

c = 0

d =1

3. Entonces

[2 01 3

]−1

=

[12

0−16

13

]Teorema 1.6.10 Si una matriz post-multiplicando a otra, da la identidad,entonces esta tambien dara la identidad al premultiplicarlo, i.e. AB = I ⇒BA = I.

Transpuesta de matriz

Definicion 1.6.11 Si A es matriz m × n entonces su transpuesta es otramatriz n×m definida por:

(A′ij) = Aji

Ejemplo 1.6.12

A =

[−1 2 00 3 −1

2

]2×3

Entonces:

A′ =

−1 02 30 −1

2

3×2

1.6.6. Resta Matricial

A−B := A+ (−1)B

Ejemplo 1.6.13 Sean:

A =

[1 −2 00 7 −1

]2×3

B =

[3 1 −1−1 0 2

]2×3

C =

21−1

3×1


De ese modo,

A−B =

[−2 −3 11 7 −3

]2×3

AC =

[08

]2×1

Ejemplo 1.6.14 Consideremos los siguientes ejemplos de “sumatorias”3:

3∑k=1

2 = 2 + 2 + 2 = 6

3∑k=1

1

k=

1

1− 1

2+

1

3=

11

6

2∑k=1

k + 1

k=

1 + 1

1+

2 + 1

2=

7

2

∞∑k=11

1

k=

1

11+

1

12+

1

13+ · · ·

∞∑k=0

ark = a+ ar + ar2 + ar3 + · · · = a(1 + r + r2 + · · · ) =a

1− r

1.6.7. Propiedades de la Matrices

1. (A′)′ = A. Ejemplo.

A′ =

−1 02 30 −1

2

3×2

(A′)′ =

[−1 2 00 3 −1

2

]2×3

= A

3Aunque el termino “sumatoria” aun no ha sido aceptado por la Real Academia Es-panola, su uso esta tan generalizado que ya lo sera.

1.6. MATRICES 23

2. (AB)′ = B′A′. Ejemplo:

A = m× n

B = n× h

AB = m× h

(AB)′ = h×m = B′ × A′

3. [A−1]′ = (A′)−1. Ejemplo:

A =

[−1 02 −1

]2×2

A−1 =

[−1 0−2 −1

]2×2

A′ =

[−1 20 −1

]2×2

(A−1)′ =

[−1 −20 −1

]2×2

(A′)−1 =

[−1 −20 −1

]2×2

Por lo tanto:

[A−1]′ = (A′)−1

4. (AB)−1 = B−1A−1, si A y B tienen inversas.

5. (A+B)′ = A′ +B′.

1.6.8. Determinante de una matriz

Teorema 1.6.15 Dada una matriz A, n×n, ∃ A−1 ⇐⇒ 0 6= det(A), dondedet(A) se define inductivamente ası:


Si: n = 1, entonces det([a]) := a;

Si: n = 2, entonces det

([a11 a12

a21 a22

]):= (a11 × a22)− (a12 × a21);

Si: n = 3, entonces det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11

Si ya se sabe para n, entonces para n + 1, se define de la siguiente manera:si se elige la fila 1, entonces el det(A):

detA =

1 −2 0 −12 0 1 20 3 1 0−1 0 2 −4

=

= (−1)1+1 × 1

∣∣∣∣∣∣0 1 23 1 00 2 −4

∣∣∣∣∣∣+ (−1)1+2 × (−2)

∣∣∣∣∣∣2 1 20 1 0−1 2 −4

∣∣∣∣∣∣+(−1)1+3 × 0

∣∣∣∣∣∣2 0 20 3 0−1 0 −4

∣∣∣∣∣∣+ (−1)1+4 × (−1)

∣∣∣∣∣∣2 0 10 3 1−1 0 2

∣∣∣∣∣∣= 27

Si se elije fila i, entonces det(A) =n−1∑k=1

Cik; donde Cik := es el co-factor ik

de la matriz A se define como: Ci,k = (−1)i+kMik y Mik es el determinantede la matriz que queda luego de suprmir la fila i, columna k. Es preferibleelegir las filas o columnas con mayor cantidad de ceros.

−3C32 + C33 = 3(−1)3+2M32 + (−1)3+3M33

= −3

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 1 2−1 2 −4

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣1 −2 −12 0 2−1 0 −4

∣∣∣∣∣∣= −3 ∗ (−4− 4− 5) + (4− 16) = 27

1.6. MATRICES 25

1.6.9. Propiedades de los Determinantes

1. det(A′) = det(A).

2. Al intercambiar entre sı dos filas o dos columnas, el determinante cam-bia de signo.

Ejemplo 1.6.16 cambia 1◦ con 3◦ fila de M32 de la matriz A.∣∣∣∣∣∣−1 2 −42 1 21 0 −1

∣∣∣∣∣∣ = 1 + 4 + 4 + 4 = 13

3. Si una lınea se multiplica por un numero, el determinante resulta mul-tiplicado por ese numero.

Ejemplo 1.6.17 Se multiplica la ultima columna del M32 de la matriz A por−2 y se obtiene que el determinante resulta multiplicado por dicho numero.∣∣∣∣∣∣

1 0 22 1 −4−1 2 8

∣∣∣∣∣∣ = 8 + 8 + 2 + 8 = 26

Si una matriz n × n se multiplica por α, el determinante de la matrizresultara multiplicado por αn.

Si 2 lıneas paralelas son proporcionales, entonces el determinante es 0.

Ejemplo 1.6.18 Notese que si tenemos la siguiente matriz: 1 0 −12 1 26 3 6

donde la tercera fila es el triple de la segunda, tenemos que:

E1 =

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 1 26 3 6

∣∣∣∣∣∣ = 1∗(−1)4∗(6−(−6))+3∗(−1)5∗(2−(−2)) = 12−12 = 0


Al sumar a una lınea cualquiera un multiplo arbitrario de otra lıneaparalela, el determinante no cambia.

Ejemplo 1.6.19 Consideremos la matriz:

E2 =

1 0 −12 1 2−1 2 −4

con determinante igual a -13, conforme se demuestra:∣∣∣∣∣∣

1 0 −12 1 2−1 2 −4

∣∣∣∣∣∣ = −4 + (−4) + 0− (1)− 0− 4 = −13

Si ahora tenemos que la primera fila es igual a la primera fila mas la tercerafila: 1◦fila+ (1)3◦fila de E2:∣∣∣∣∣∣

0 2 −52 1 2−1 2 −4

∣∣∣∣∣∣ = −20− 4− 5 + 16 = −13

Teorema 1.6.20 Si en una matriz, las filas o las columnas son linealmentedependientes entonces el determinente es nulo ∴ si son linealmente indepen-dientes, el determinante es diferente de 0.

Redefinicion en una matriz A m× n:

1. Rango(A) := maximo numero de filas linealmente independientes.

2. Rango(A) := maximo numero de columnas linealmente independientes.

3. Rango(A) := maximo orden de una submatriz de determinante 6= 0.

Las tres definiciones dan lo mismo segun un teorema del algebra lineal.

Ejemplo 1.6.21

A =

2 −1 01 0 23 −2 −2

1.6. MATRICES 27

0 � Rango(A) � mın(m,n)

maxRango(A) = mın(m,n)

Ası Rango(A) = 0 si es matriz nula.

Como A3· = 2A1· − A2·, entonces el determinante de A es cero, por lo tantoel Rango(A)=2.

A las matrices cuadradas cuyo determinante es diferente de cero se las llama“regulares”, y a aquellas cuyo determinante es igual a cero, se las llama“singulares”.

Teorema 1.6.22 Si An×n es tal que det(A) 6= 0, entonces su inversa es:

A−1 =1

det(A)

C11 · · · C1n...

. . ....

Cn1 · · · Cnn

′

donde Cij es el co-factor ij de la matriz A, ya definido.

Ejemplo 1.6.23

A =

[2 1−1 0

]det(A) = 0− (−1) = 1 ∴ ∃A−1

A−1 =1

1

[C11 C12

C21 C22

]′=

[(−1)2M11 (−1)3M12

(−1)3M21 (−1)4M22

]′

A−1 =

[M11 −M12

−M21 M22

]′=

[0 1−1 2

]′=

[0 −11 2

]Por lo que podemos verificar: A× A−1 = I[

2 1−1 0

]×[

0 −11 2

]=

[1 00 1

]


Ejemplo 1.6.24

A =

1 0 −12 1 0−1 2 0

det(A) = −5

A−1 =1

−5

(−1)2M11 (−1)3M12 (−1)4M13

−M21 M22 −M23

M31 −M32 M33

′

A−1 =

0 25−1

5

0 15

25

−1 25−1

5

1.6.10. Solucion de ecuaciones lineales

Si Anxnxnx1 = bnx1 y det(A) 6= 0 entonces, x = A−1b

Definicion 1.6.25 Regla de Cramer:

x1 = |A1| / |A| donde A1 :=

b1 a12 · · · a1n...

.... . .

...bn an2 · · · ann

x2 = |A2| / |A| donde A2 :=

a11 b1 · · · a1n...

.... . .

...an1 bn · · · ann

, etc.

Es un metodo para encontrar solucion a ecuaciones lineales.

Ejemplo 1.6.26x− y = 2

2y + z = −1

x+ 2z = 4

A =

1 −1 00 2 11 0 2

,

1.6. MATRICES 29

b =

2−14

det(A) = 3

x =

∣∣∣∣∣∣2 −1 0−1 2 14 0 2

∣∣∣∣∣∣3

x =2

3.

y =

∣∣∣∣∣∣1 2 00 −1 11 4 2

∣∣∣∣∣∣3

y =−4

3.

z =

∣∣∣∣∣∣1 −1 20 2 −11 0 4

∣∣∣∣∣∣3

z =5

3.

Una manera de comprobar este resultado es resolviendo ecuacion por ecuacionel sistema de ecuaciones:

x− y = 2

2y + z = −1

x+ 2z = 4

De estas ecuaciones podemos expresar x, y, z de la siguiente forma:

x = 2 + y

z = −1− 2y


y = 2 + x

x = 4− 2z

Resolviendo:2 + y = 4− 2z

2 + y = 4− 2(−1− 2y)

2 + y = 4 + 2 + 4y

y =−4

3

z =5

3

x =2

3

Ejemplo 1.6.27Y = C(Y ) + I(r) +G

M = PL(Y, r)

Donde:

r: Tasa de interes

Variables endogenas: Y, r

Variables exogenas: G,M,P

Si: C(Y ) = a + bY con a > 0, 0 < b < 1; I(r) = α − βr con α, β > 0 yL(Y, r) = γY − δr con γ, δ > 0.

Entonces:Y = a+ bY + α− βr +G

M = P (γY − δr)

Equivalente a: [1− b βPγ −Pδ

]×[Yr

]=

[a+ α +G

M

]

1.7. VECTORES 31

D := −(1− b)Pδ − β(Pγ) 6= 0

Y =1

D

∣∣∣∣ a+ α +G βM −Pδ

∣∣∣∣ =−(a+ α +G)Pδ − βM

D

r =1

D

∣∣∣∣ 1− b a+ α +G−Pγ M

∣∣∣∣ =M(1− b)− Pγ(a+ α +G)

D

1.7. Vectores

1.7.1. Multiplicacion vectorial

Ejemplo 1.7.1 Consideremos los siguientes vectores:

u =

2−11

3×1

v =[

3 −1]

1×2

y

u× v =

6 −2−3 13 −1

3×2

.

Sea:

w =[

3 −1 2]

1×3

u× w =

6 −2 4−3 1 −23 −1 2

3×3

El producto escalar es:

u.w = 2(3) + (−1)(−1) + (1)(2) = 9

A partir de estos ejemplos podemos observar los siguientes resultados:

1. Si dados dos vectores cualesquiera, el primero es columna y el segundoes fila, entonces siempre se pueden multiplicar como matrices.


2. Dado dos vectores de igual numero de componentes, se define su pro-ducto escalar4 ası:

u = [ u1 u2 · · · un ]

v = [ v1 v2 · · · vn ]

u.v =n∑i=1

uivi

1.7.2. Interpretacion geometrica de vectores

Primero se tiene solo un componente: u = (212), ver Figura 1.10

Figura 1.10: Vector de un componente.

Luego podemos tener vectores de dos componentes u = (212,−11

2) (ver

figura 1.11), que pueden aparecer como vector fila, o vector columna.

[ u1 u2 ];

[u1

u2

].

Definicion 1.7.2 (Suma de vectores) Si los vectores u y v tienen igualnumero de componentes (ver representacion grafica de la suma en el figura1.12), su suma se define por:

(u+ v) := (ui + vi)

4 Tambien llamado “producto interno”.

1.7. VECTORES 33

Figura 1.11: Vector de dos componentes.

1.7.3. Interpretacion geometrica del vector por un es-calar

Ejemplo 1.7.3 Sea u = (212,−11

2), si este es multiplicado por un factor,

obtenemos un comportamiento como el de la figura 1.13.

−1

4u.

1.7.4. Independencia lineal de dos vectores

Ejemplo 1.7.4 Sean u = (2,−1) y v = (1, 1), cuya representacion graficade observa en la figura 1.14.{αu|α ∈ R} es la recta Lu{βv|β ∈ R} es la recta Lv

¿∃α, β ∈ R tal que αu+ βv = (0, 0)?

α(2,−1) + β(1, 1) = (0, 0)

(2α + β,−α + β) = (0, 0)

2α + β = 0


Figura 1.12: Suma de vectores.

α− β = 0

α = 0

Como:

α = β

Por lo tanto:

β = 0

Existe una sola solucion, a saber α = 0 = β; por lo tanto se dice que u y vson vectores “ linealmente independientes”. Sea:

w = (−6, 3)

¿∃γ, δ ∈ R tal que, γu+ δw = (0, 0)?

γ(2,−1) + δ(−6, 3) = (0, 0)

(2γ − 6δ,−γ + 3δ) = (0, 0)

γ = 3δ

Entonces hay infinitos posibles valores por ejemplo: (15 y 5);(3 y 1);(−3 y−1), por lo cual los vectores u y w no son linealmente independientes.

1.7. VECTORES 35

Figura 1.13: Interpretacion geometrica del vector por un escalar.

Definicion 1.7.5 (Dependencia Lineal de Vectores) Un conjunto fini-to de vectores es “linealmente dependiente”, si existe al menos una coleccionde multiplos escalares de dichos vectores tales que la suma de ellos de elvector nulo.

Ejemplo 1.7.615u+ 5w = (0, 0)

((15(2), 15(−1)) + (5(−6), 5(3))) = (0, 0).

Entonces {u,w} es linealmente dependiente.

Por otro lado, un conjunto finito de vectores es linealmente indepen-diente, si la unica coleccion de multiplos cuya suma sea el vector nulo, estrivial, a saber (0, 0, 0, ..., 0).

Ejemplo 1.7.7 u y v son linealmente independientes.

A la suma de multiplos escalares de un conjunto de vectores se le llamauna “combinacion lineal” de ellos.

Ejemplo 1.7.815u+ 5w = (0, 0)


Figura 1.14: Grafica de vectores linealmente independientes.

Una combinacion lineal de vectores es nula cuando da el vector nulo.

Ejemplo 1.7.9

15u+ 5w = (0, 0)

No es nula la siguiente:

2u+ w = (−2, 1)

Una combinacion, lineal de vectores es trivial si todos los multiplos sonnulos.

Ejemplo 1.7.10

0u+ 0w = (0, 0)

Pero no toda combinacion nula es ”trivial”.

Ejemplo 1.7.11

15u+ 5w = (0, 0)

Un conjunto finito de vectores es linealmente independiente si su unicacombinacion lineal nula es la trivial. Dicho conjunto sera linealmente depen-diente si ademas de la trivial, tiene otras combinaciones lineales nulas.

Ejemplo 1.7.12 ¿Son linealmente independientes los vectores u = (2, 7),v = (1, 8) y w = (4, 5)?. Para ello, tenemos que formar:

αu+ βv + θw = 0

1.8. ANALISIS DEL EQUILIBRIO ECONOMICO 37

Reemplazando:

2α + β + 4θ = 0

7α + 8β + 5θ = 0

Como hay menos ecuaciones que incognitas, este sistema tiene∞ soluciones.

α = −3θ

β = 2θ

De ese modo las posibles soluciones pueden ser:

α = −3, β = 2, θ = 1

α = −6, β = 4, θ = 2

por lo tanto, estos vectores son linealmente dependientes y dicho sistema tiene∞ soluciones.

1.8. Analisis del Equilibrio Economico

El equilibrio se puede entender como la igualdad de fuerzas opuestas,reposo o ausencia de movimiento.

1.8.1. Equilibrio Parcial del Mercado

Equilibrio de la oferta y la demanda en un solo mercado (Ley de Walras,siglo XIX).

1.8.2. Modelos de Equilibrio parcial

Hay un bien cuyo precio determina una demanda y una oferta; si ambosson iguales, hay equilibrio en el mercado de ese bien (‘Equilibrio parcial’).

Dado p > 0 quedan determinadas:Demanda: Qd = f(p)Oferta: Qs = g(p)Donde f y g son funciones dadas; p es ‘precio de equilibrio’ si f(p) = g(p).


Ejemplo 1.8.1 Sea el modelo de equilibrio parcial:

Qd = a− bpQs = −c+ dp

con a, b, c, d > 0. En este modelo p∗ es precio de equilibrio si:

Qd(p∗) = Qs(p∗)

con lo cual:a− bp∗ = −c+ dp∗

y por lo tanto:

p∗ =a+ c

b+ d.

Figura 1.15: Equilibrio entre oferta y demanda.

De esta forma, en el modelo del ejemplo, existe un unico precio de equi-librio.

Ejemplo 1.8.2 Sean:

Qd = a− bp2, la demanda y

Qs = −c+ dp, la oferta.


Luego de igualar las funciones de oferta y demanda para hallar el precio deequilibrio p∗, tenemos:

a− b(p∗)2 = −c+ dp∗

a+ c = b(p∗)2 + dp∗

con lo cual, se obtiene:

p∗ =1

2b

(−d∓

√d2 + 4b(a+ c)

).

Dado que un precio con valor negativo no tiene sentido economico, la unicasolucion es:

p∗ =1

2b

(−d+

√d2 + 4b(a+ c)

)> 0

Por lo que existe un unico equilibrio p∗.

Ejercicio 1.8.3 Sean las siguientes funciones, las ecuaciones de demanda yoferta respectivamente:

Qd = 5− 3p

Qs = 6p− 10

Igualando la oferta y la demanda (Qs(p∗) = Qd(p∗)), tenemos:

5− 3p = 6p− 10

p =5

3

Ejercicio 1.8.4 Sean las siguientes funciones, las ecuaciones de demanda yoferta respectivamente:

Qd = 3− p2

Qs = 6p− 10

3− p2 = 6p− 10

p1 = 1

p2 = −7 (economicamente no es valido).

Por lo tanto, en este ejemplo la solucion es: p = 1.


Ejemplo 1.8.5 Sean las siguientes funciones de demanda y oferta:

Qd = 10 +1

p

Qs = 5− 1

p

Conforme se observa en el grafico 1.16, ambas funciones convergen (tienden)a ciertos puntos. La funcion de demanda converge a 10, mientras que lafuncion de oferta converge a 5. El precio de equilibrio se da cuando:

Qs(p∗) = Qd(p∗)

10 +1

p∗= 5− 1

p∗

p∗ = −2

5Dado que el valor obtenido es negativo, decimos que no existe precio que desolucion a este problema; por lo tanto no hay equilibrio aun cuando variasfunciones sean convergentes.

Figura 1.16: Oferta y demanda.

1.8.3. Modelos de Equilibrio General

En los modelos de equilibrio general no solo se considera el equilibrio deun mercado, sino de una economıa que es un conjunto finito de mercados,


uno para cada bien.

Al existir ‘n’ mercados (n ∈ N), existe un vector de precios (p1, p2, ..., pn)uno por cada bien, y de esta forma, las decisiones de los agentes en unmercado pueden depender de los precios de otros mercados, ası:

Qd1 = Qd

1(p1, p2, . . . , pn)

Qs1 = Qs

1(p1, p2, . . . , pn)...

Qdn = Qd

n(p1, p2, . . . , pn)

Qsn = Qs

n(p1, p2, . . . , pn)

Un equilibrio general esta dado por un sistema de precios p1, p2, ..., pn talque, en cada mercado la oferta y la demanda coinciden:

Qsi = Qs

i (p1, p2, ..., pn)

Ejemplo 1.8.6 n = 2 (caso bidimensional)Modelo lineal:

Qd1 = f1(p1, p2) = a0 + a1p1 + a2p2

Qs1 = g1(p1, p2) = b0 + b1p1 + b2p2

Qd2 = f2(p1, p2) = α0 + α1p1 + α2p2

Qs2 = g2(p1, p2) = β0 + β1p1 + β2p2

Equilibrio general es un par (p∗1, p∗2) tal que:

a0 + a1p∗1 + a2p

∗2 = b0 + b1p

∗1 + b2p

∗2

α0 + α1p∗1 + α2p

∗2 = β0 + β1p

∗1 + β2p

∗2

Formandose ası el siguiente sistema de ecuaciones:

(a1 − b1)p∗1 + (a2 − b2)p∗2 = b0 − a0

(α1 − β1)p∗1 + (α2 − β2)p∗2 = β0 − α0

Que sera reescrito para facilitar la solucion, de la siguiente manera:

θ1p∗1 + θ2p

∗2 = h

θ3p∗1 + θ4p

∗2 = k


Para que exista solucion unica, debe cumplirse que:

θ4θ1 − θ2θ3 6= 0

ası la solucion toma la forma de:

p∗1 =

∣∣∣∣∣∣ h θ2

k θ4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ θ1 θ2

θ3 θ4

∣∣∣∣∣∣p∗2 =

∣∣∣∣∣∣ θ1 hθ3 k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ θ1 θ2

θ3 θ4

∣∣∣∣∣∣Determinantes: ∣∣∣∣ θ1 θ2

θ3 θ4

∣∣∣∣ = θ1θ4 − θ2θ3 (Regla de Cramer)

Por lo tanto reemplazando los valores anteriores, obtenemos los siguientesresultados. Existe solucion (p∗1, p

∗2) unicamente si:

(a1 − b1)(α2 − β2)− (a2 − b2)(α1 − β1) 6= 0

y esa solucion es:

p∗1 =(b0 − a0)(α2 − β2)− (β0 − α0)(a2 − b2)

(a1 − b1)(α2 − β2)− (a2 − b2)(α1 − β1)

p∗2 =(a1 − b1)(β0 − α0)− (b0 − a0)(α1 − β1)

(a1 − b1)(α2 − β2)− (a2 − b2)(α1 − β1)

Ejemplo 1.8.7

Qd1 = 10− 2p1 + p2

Qs1 = −2 + 3p1

Qd2 = 15 + p1 − p2

Qs2 = −1 + 2p2

Planteamos ası las siguientes ecuaciones a resolver:

10− 2p1 + p2 = −2 + 3p1

15 + p1 − p2 = −1 + 2p2

Resolviendo asi ecuacion a ecuacion, obtenemos los siguientes resultados:

p∗1 =26

7

p∗2 =46

7


Ejemplo 1.8.8 Modelo n-mercantil.Se llega a un sistema lineal en p1, p2, ..., pn:

a11p1 + a12p2 + · · ·+ a1npn = b1

a21p1 + a22p2 + · · ·+ a2npn = b2

...

an1p1 + an2p2 + · · ·+ annpn = bn

Existe solucion unica si el determinantes es diferente de cero:

D ≡

∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0

con lo cual:

p∗i =1

D

∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 a1n...

. . ....

an1 bn ann

∣∣∣∣∣∣∣ .1.8.4. Modelo Macroeconomico

Ingreso:Y = C + I +G

Modelo en ‘forma original’ o hipotesis de conducta, donde: C = Consumo,I = Inversion y G = Gasto gubernamental. Se asume que el consumo dependedel nivel de ingreso:

C = a+ bY ,

siendo 0 < b < 1 la propension marginal al consumo. Con variables endoge-nas: Y y C mientras que las variables exogenas son: I y G. Se pide resolverel modelo, lo cual significa considerar las variables exogenas como datos yobtener las endogenas en funcion de los datos. Por lo tanto:

Y = a+ bY + I +G

Y =

(1

1− b

)(a+ I +G)

Modelo en ‘forma reducida’ :

C = a+

(b

1− b

)(a+ I +G)

Capıtulo 2

Nociones de Calculo y Analisisen Rn

2.1. Espacio Euclidiano Rn

Rn = {(x1, . . . , xn)|x1 ∈ R, . . . , xn ∈ R}, n-tuple conjunto ordenado de x(numeros reales). En Rn se extiende la nocion de definicion de conjunto devectores linealmente dependientes o linealmente independientes.

Ejemplo 2.1.1 ¿Es el siguiente conjunto de vectores (−1, 0, 1, 0); (0, 0, 1, 0)linealmente independientes o no?

(−α, 0, α, 0) + (0, 0, β, 0) = (0, 0, 0, 0)

−α = 0 ∧ 0 = 0 ∧ α + β = 0 ∧ 0 = 0

α = β; β = 0

α = 0 ∧ β = 0

Es una solucion trivial. Por lo tanto, al ser la solucion trivial la unica com-binacion nula, estos vectores son linealmente independientes.

Ejemplo 2.1.2 ¿Es {(−1, 0, 1, 0)} un conjunto de vectores linealmente in-dependiente o no?

−α = 0 ∧ 0 = 0 ∧ α = 0 ∧ 0 = 0

Por lo que α = 0, es trivial. Ası la respuesta es afirmativa.

45

46 CAPITULO 2. NOCIONES DE CALCULO Y ANALISIS EN RN

¿Todo conjunto de un solo vector es linealmente independiente? No, pueshay conjuntos de un solo vector como el {(0, 0, 0, 0)} que es linealmente de-pendiente.

Todo conjunto formado por un solo vector no nulo es linealmente inde-pendiente.

2.1.1. Generacion de un Subespacio

Dado un conjunto de vectores en Rn:{un, ..., vn}, se llama subespaciogenerado por dicho conjunto al conjunto de todas las combinaciones linealesde ellos.

Ejemplo 2.1.3 Sea:

C = {(−1, 0, 1, 0); (0, 0, 1, 0)};

entonces, el subespacio generado por C es el conjunto de todas las combina-ciones lineales de los vectores de C:

S[C] = {α(−1, 0, 1, 0) + β(0, 0, 1, 0)|α ∈ R ∧ β ∈ R}

¿(2, 1, 0, 2) ∈ S[C]?

Sı, caso que ∃α, β ∈ R tales que:

α(−1, 0, 1, 0) + β(0, 0, 1, 0) = (2, 1, 0, 2)

−α = 2 ∧ 0 + 0 = 1 ∧ α + β = 0 ∧ 0 + 0 = 2.

Como este resultado es incosistente, podemos afirmar que (2, 1, 0, 2) no per-tenece a S[C].

¿(−2, 0, 3, 0) ∈ S[C]?

−α = −2 ∧ 0 = 0 ∧ α + β = 3 ∧ 0 = 0

α = 2

β = 1

Por lo tanto,(−2, 0, 3, 0) sı pertenece a S[C].

2.1. ESPACIO EUCLIDIANO RN 47

Ejemplo 2.1.4 Sea el conjunto:

P := {(1, 1); (0,−1)}

S[P ] = {α(1, 1) + β(0,−1)|α, β ∈ R}

{(α, α− β)|α ∈ R ∧ β ∈ R}

¿(2, 5) ∈ S[P ]?

Sı, pues:

(α, α− β) = (2, 5)

Resolviendo encontramos:

α = 2

β = −3

Todos los vectores de R2 pertenecen a S[P ], pues:

∀a,∀b, (a, b) ∈ S[P ]ya que

(α, α− β) = (a, b)

α = a

β = a− b

Notese que un conjunto de vectores genera todo el espacio si su sub-espacio generado es igual al espacio entero.

Definicion 2.1.5 (Base de Rn :) Es cualquier conjunto de vectores que ge-nere todo Rn y que sea linealmente independiente.

Ejemplo 2.1.6 P es una base de R2, pues si α(1, 1) + β(0,−1) = (0, 0),entonces.

α = 0 ∧ β = 0

Por lo que P sı es base por ser linealmente independiente y generar todo elespacio.


Ejemplo 2.1.7

ξ = {(1, 1), (0,−1), (1, 0)}, S[ξ] = R2.

Pero ξ no es linealmente independiente ∴ ξ no es base de R2. Ademas “C”del ejemplo 1.11.3 no es base de R por que no genera todo el espacio.

Ejemplo 2.1.8 En R2 una base es B = {(2,−1); (0, 1)} pues:Primero: Es linealmente independiente ya que la unica solucion de α(2,−1)+β(0, 1) = (0, 0) es α = 0 ∧ β = 0.Segundo: B genera todo el espacio de R2, es decir S[B] = R2 ya que si (a, b) ∈R2 entonces:

α(2,−1) + β(0, 1) = (a, b)

(2α, β − α) = (a, b)

α =a

2∧ β = b+

a

2

∴ (a, b) = (a

2)(2,−1) + (b+

a

2)(0, 1)

Por lo tanto sı es base.

Ejemplo 2.1.9 En R2 una base es Bc = {(1, 0); (0, 1)} (Base Canonica deR2), ya que la unica solucion de:

α(1, 0) + β(0, 1) = (0, 0)

es α = 0, β = 0, y por lo tanto dichos vectores son linealmente indepen-dientes. Ademas genera todo el espacio ya que para cualquier (a, b), se tieneque:

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). (2.1)

Ejemplo 2.1.10 En Rn una base es Bc = {(1, 0, ..., 0); (0, 1, 0, ..., 0); ...; (0, 0, ..., 1)}.

Teorema 2.1.11 Todas las bases de Rn tienen el mismo numero de ele-mentos a saber “n”. Se llama la dimension de Rn al numero n.


2.1.2. Espacio Vectorial

Definicion 2.1.12 Es un conjunto provisto de dos operaciones, una opera-cion binaria interior y una operacion binaria exterior, tales que:

1. Una operacion binaria interior ∗:

∗ : V × V → V

Es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro, y todo v de V poseeinverso, i.e.:

u ∗ v = v ∗ u;

u ∗ (v ∗ w) = (u ∗ v) ∗ w;

∃θ ∈ V, ∀u ∈ V, θ ∗ u = u;∀u ∈ V, ∃u ∈ V, u ∗ u = θ.

2. Una operacion binaria exterior F:

F : R× V → V .

Es “asociativa en escalares”, tiene como escalar neutro al 1 y es dis-tributiva:

(αF(βFu) = (αβ)Fu;

1Fu = u;

αF(u ∗ v) = (αFu) ∗ (αFv);

(α + β)Fu = (αFu) ∗ (βFu).

Ejercicio 2.1.13 Sea V el conjunto de todas las funciones reales definidassobre [0, 1]; sea ∗ que dice: f ∗ g

(f ∗ g)(x) := f(x) + g(x).

Sea F la que se define por:

(αFf)(x) = (α)(f(x))

Tarea: Comprobar que (V, ∗,F) constituyen un espacio vectorial.Nota: Normalmente se abusa en la notacion usando + en vez de ∗ y soloyuxtaposicion en vez de F.


Teorema 2.1.14 Cualquier espacio vectorial tiene bases y todos las bases deun mismo espacio son igualmente abundantes, i.e., (todas las bases tienen elmismo numero de elementos); y por lo tanto al numero de elementos de unacualquiera de las bases se llama “dimension del espacio vectorial”.

El conjunto de todas las matrices en R2 es un espacio vectorial.

Demostracion:

Sea M(m,n) el conjunto de todas las matrices de orden m × n, sobre elcampo de los numeros reales R

Sea A = [aij]i=1,...,mj=1,...,n ∈M(m,n).Sea B = [bij]i=1,...,mj=1,...,n ∈M(m,n).Sea C = [cij]i=1,...,mj=1,...,n ∈M(m,n).

1. Asociatividad de la adicion:

aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij, ∀i, j

2. Conmutatividad de la adicion:

aij + bij = bij + aij, ∀i, j

3. Elemento neutro en la adicion: existe un elemento 0 = [zij(= 0)]i=1,...,mj=1,...,n ∈M(m,n), llamado el vector cero tal que:

aij + cij = aij + 0 = aij, ∀i, j

por lo tanto:a+ 0 = a, ∀a ∈M(m,n).

4. Elementos inversos en la adicion. Para cada a ∈M(m,n), existe un ele-mento −a = [−aij]i=1,...,mj=1,...,n ∈ M(m,n), llamado el inverso aditivode a, tal que:

aij + (−aij) = aij − aij = 0 =: zij, ∀i, j

por lo tanto: a+ (−a) = 0.


5. Distribucion de la multiplicacion por escalar con respecto a una adicionde vectores:

α(aij + bij) = αaij + αbij, ∀i, j

por lo tanto:

α(a+ b) = αa+ αb

6. Distribucion de la multiplicacion por escalar con respecto a una adicionen los reales:

(α + β)aij = αaij + βaij, ∀i, j

por lo tanto:

(α + β)a = αa+ βa, ∀a ∈M(m,n)

7. Compatibilidad de multiplicacion escalar:

(αβ)aij = α(βaij)

por lo tanto:

(αβ)a = α(βa)

8. Elemento identidad 1 en la multiplicion escalar:

1aij = aij

por lo tanto:

1a = a

M(m,n) junto con las dos operaciones binarias (+, ·) satisface los ochoaxiomar anteriores y por lo tanto es un espacio vectorial (real).

Ejercicio 2.1.15 Una base para el espacio vectorial de las matrices M [(2, 2)]esta conformado por:[

1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

]y

[0 00 1

].

Tarea: Demostrarlo.


2.1.3. Distancia o Metrica en un Conjunto

Definicion 2.1.16 En un conjunto S cualquiera, una Metrica es cual-quier funcion de dominio S × S que toma valores en los reales, es decird: S × S → R tal que:

1. d(x, y) ≥ 0 ∀x, ∀y de S (innegatividad de d).

2. d(x, y) = 0⇐⇒ x = y.

3. d(x, y) = d(y, x) ∀x, ∀y(conmutatividad de d).

4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) ∀x, ∀y(desigualdad triangular).

Definicion 2.1.17 En R2, la metrica euclidiana, es definida por:

dE((x1, x2), (y1, y2)) :=√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2

Ejemplo 2.1.18

dE((−1, 2), (5, 5)) :=√

(−1− 5)2 + (2− 5)2

:=√

36 + 9 = 3√

5

Definicion 2.1.19 La “metrica de la suma” es definida por:

ds((x1, x2), (y1, y2)) := |x1 − y1|+ |x2 − y2|

Ejemplo 2.1.20

d((−1, 2), (5, 5)) = |−1− 5|+ |2− 5| = 9

Definicion 2.1.21 La “metrica del maximo” es definida por:

dM((x1, x2), (y1, y2) := max{|x1 − y1| ; |x2 − y2|}


Ejemplo 2.1.22

dM((−1, 2), (5, 5)) = max{6, 3} = 6

Definicion 2.1.23 La “metrica discreta” es definida por:

dD((x1, x2), (y1, y2)) :=

{0 si (x1, x2) = (y1, y2)1 si (x1, x2) 6= (y1, y2)

}

Ejemplo 2.1.24dD((−1, 2), (5, 5)) = 1

En el analisis metrico, las tres primeras metricas son equivalentes, en elsentido de que todo resultado referente a la nocion de “continuidad” obtenidacon una de dichas tres metricas vale tambien con cualquiera de las otras dos.

2.1.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Todo sistema lineal con m ecuaciones algebraicas en n incognitas puederepresentarse por Ax = b donde A es una matriz de m × n, x es un vectorcolumna de n incognitas y b un vector columna de m datos, de la siguienteforma:

a11x1 + · · ·+ a1nx1 = b1

...

am1x1 + · · ·+ amnxn = bn a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

x1

...xn

=

b1...bn

Esto puede ser reescrito como:

n∑j=1

a1jxj = b1

...n∑j=1

amjxj = bn


Ejemplo 2.1.25 Sistema de ecuaciones lineales algebraicas:

2

3x− y = 6

x+ 3y =1

2[23−1

1 3

] [xy

]=

[612

]x =

37

6

y = −17

9

Ejemplo 2.1.26x+ y − z = 1

−y + 3z = 2[1 1 −10 −1 3

] xyz

=

[12

]Siendo una de sus soluciones:

x = 1

y = 1

z = 1

Ejemplo 2.1.27x+ y = 1

2x− y = 0

x+ 3y = 1 1 12 −11 3

[ xy

]=

101

x =

1

3x = 1⇒⇐


Cuando existen mas ecuaciones que incognitas suele aparecer una con-tradiccion, por lo que en tales casos no existe solucion.

Cuando hay mas incognitas que ecuaciones suelen existir infinitas (∞)soluciones.

Cuando hay tantas incognitas como ecuaciones suele haber, solucionunica.

Caso (1) ∃A−1 ∴ ∃unaunica solucion∴ x = A−1b

Ax = b

A−1Ax = A−1b

Ix = x = A−1b

Caso (2) ¬∃A−1

∴ si b 6= 0 entonces ¬∃ solucion.∴ si b = 0 entonces ∃ ∞ soluciones.

Ejemplo 2.1.28 Caso 1) Sea el siguiente sistema:

23x −y = 6x +3y = 1

2

entonces:

A =

[23−1

1 3

]

A−1 =1

3

[3 1−1 2

3

]

AA−1 =

[1 00 1

]Por lo tanto ∃! solucion y esta dada por x = A−1.b

x =1

3

[3 1−1 2

3

] [612

]=

[376

−179

]


Ejemplo 2.1.29 Caso 2) (b 6= 0).- Sea el siguiente sistema:

2

3x+ 2y = 0

x+ 3y = 1

entonces:

A =

[23

21 3

]A tiene determinante cero, podemos decir que no tiene inversa. Podemosademas demostrar que existe una contradiccion de la siguiente forma:

2

3a+ 2b = 1

a+ 3b = 0

2

3c+ 2d = 0

c+ 3d = 1

∴ ¬∃ A−1 y no hay solucion para el sistema.

Ejemplo 2.1.30 Caso 2 (b = 0).- Sea el siguiente sistema:

2

3x+ 2y = 0

x+ 3y = 0

De este ejemplo podemos decir que x = −3y y si reemplazamos en la primeraecuacion, obtenemos 2

3(−3y) + 2y = 0 con lo cual obtenemos que se debe

cumplir que 2y = 2y, es decir y = β con β ∈ R, por lo tanto x = −3β. Deesta forma, existen ∞ soluciones (−3β, β) con β ∈ R.

2.2. Calculo Diferencial y Analisis Matemati-

co

Definicion 2.2.1 Funcion Real de Variable Real:

2.2. CALCULO DIFERENCIAL Y ANALISIS MATEMATICO 57

f : R→ R

x 7→ f(x) = 2x3 − x+ 1

f(−2) = −16 + 2 + 1 = −13

Funcion Real de Variable Vectorial:

f : Rn → R

Un caso especıfico:f : R2 → R

(x, y) 7→ f(x, y) = 2xy − x+ y

f(−1, 2) = −1

Otro caso:f(x, y, z) = xy − y2z + 2x− z

Definicion 2.2.2 Estatica Comparativa La estatica comparativa permite sa-ber como cambia la solucion de un modelo cuando cambian las variablesexogenas.

Sea el siguiente Modelo Estable:

0 = f1(x1, x2, . . . , xn;α1, α2, . . . , αm)

0 = f2(x1, x2, . . . , xn;α1, α2, . . . , αm)

......

0 = fn(x1, x2, . . . , xn;α1, α2, . . . , αm)

Donde fi representa la diferencia entre la demanda en el mercado i y la ofertaen ese mismo mercado.

Variables endogenas: Precios de los bienes x1, x2, . . . , xn.

Variables exogenas o parametros: α1, α2, . . . , αm.

Dados α1, α2, . . . , αn siendo la solucion x∗1, x∗2, . . . , x

∗n, entonces como variara

la solucion ante cambios ∆α1,∆α2, . . . ,∆αn, arbitrarios y pequenos, en losvalores α1, α2, . . . , αn.


Ejemplo 2.2.3 Si:Y = C(Y ) + I(r) +G

Con:

C(Y ) = 10 +1

2Y

M = PL(Y, r)

I(r) =1

rL(Y, r) = Y − r

Considerar los siguientes valores para:

G = Gasto gubernamental = 90

P = Indice de precios = 1

M = Oferta monetara = 200

Solucion

Y = 10 +Y

2+

1

r+G

M = P (Y − r)

Y − M

P= r

1 = (Y − M

P)(Y

2− 10−G)

0 =Y 2

2− (

M

2P+ (10 +G))Y + (

M

P(10 +G)− 1)

0 =Y 2

2− 200Y + 19999

Y ∗ =100±

√10000− (10000− 1

2)

12

' 200

La solucion es: Y ∗ = 200, r∗ = 0,1, ¿Como varıan Y ∗ y r∗, ante un cambioen G de 0,2, M de -2 y ∆P = 0?

G = 90, 2 M = 198 P = 1

∴ ∆Y ∗ ∼= ∆r∗ ∼=

Para responder esta pregunta tenemos que analizar diversos conceptos:


2.2.1. Tasa de cambio

Si x∗ = 120 cambia a x = 132

∴ ∆x∗ = 132− 120 = 12 (decima parte de x∗)

Si y∗ = 12 cambia a y = 24

∴ ∆y∗ = 12 (Totalidad de y∗)

Decimos que el cambio relativo de “x” es: x∗ =12

120= 0, 1 = 10 %

y de “y”es: y∗ =12

12= 1 = 100 %

2.2.2. Tasa de cambio de variable dependiente

Sea por ejemplo:

y = f(x) = x2 + 1

Donde: x : Variable independiente. y : Variable dependiene.

Si x = 2, entonces y = 5

x = 3 =⇒ y = 10

x = 2, 1 =⇒ y = 5, 41

∆x ∆y1 50,1 0,41

Por lo tanto la tasa de cambio es:

∆y

∆x=

0,41

0,1= 4, 1

∆x ∆y ∆y∆x

0,01 0,0401 4.010,001 0,004001 4.001


Conjetura: “A medida que ∆x ↓ 0; ∆y∆x→ 4”. Entonces, el nuevo valor

de x es 2 + ∆x y el nuevo valor de y es (2 + ∆x)2 + 1. Por lo tanto, el cambioen Y es (2 + ∆x)2 + 1− 5 = 4∆x+ (∆x)2.

De esa manera, el cambio relativo de y respecto a x es ∆y∆x

= 4∆x+(∆x)2

∆x−

4 + ∆x. Entonces, si ∆x ↓ 0, ∆y∆x→ 4.

En ese caso se dice:“El Lımite de ∆y∆x

cuando ∆x→ 0 es 4”

Tan cerca como se quiera de 4 estara ∆y∆x

con solo hacer que ∆x estebastante cercano a 0.Dado: ε > 0, hay un δ > 0 tal que:

Si|∆x| < δ, entonces,

∣∣∣∣∆y∆x− 4

∣∣∣∣ < ε′

Otro ejemplo:x = 20 ∧ y = 401

Entonces, el nuevo valor de x es 20+∆x, el nuevo valor de y es (20+∆x)2+1;y el cambio en y es (20 + ∆x)2 + 1− 401 = 40∆x+ (∆x)2.

Por lo tanto, el cambio real de y respecto a x es:

∆y

∆x=

40∆x+ (∆x)2

∆x= 40 + ∆x

En general:x = a → y = a2 + 1

Con el nuevo valor de x es a+ ∆x, el nuevo valor de y es (a+ ∆x)2 + 1; y elcambio en y es (a+ ∆x)2 + 1− (a2 + 1) = 2a∆x+ (∆x)2.

Por lo tanto, el cambio real de y respecto a x es:

∆y

∆x=

2a∆x+ (∆x)2

∆x= 2a+ ∆x

Se dice: “El lımite de ∆y∆x

dado que x = a, cuando ∆x→ 0 es 2a”. En general,

se llama derivada de y respecto a x para x = a al lımite ∆y∆x

cuando ∆x→ 0.

dy

dx(a) =

dy

dx

∣∣∣∣a

=dy

dx

∣∣∣∣x=a

:=∆x→0 lım∆y

∆x


Esto es la tasa puntual de cambio.

Ejemplo 2.2.4

y = f(x) = x3 − 2x

x = a

y = a3 − 2a

Si el nuevo valor de x fuese a + ∆x, el nuevo valor de y serıa (a + ∆x)3 −2(a+ ∆x). El cambio de y es:

(a+ ∆x)3 − 2(a+ ∆x)− (a3 − 2a)

3a2∆x+ 3a∆x2 + ∆x3 − 2∆x

Cambio relativo de y respecto a x serıa:

∆y

∆x=

3a2∆x+ 3a∆x2 + ∆x3 − 2∆x

∆x= 3a2 + 3a∆x+ ∆x2 − 2.

este ultimo termino tiende a 3a2 − 2 cuando ∆x → 0. De esta forma, ”laderivada de y respecto a x en x = a es 3a2 − 2”. Otra forma de ver laderivada es considerarlo como la pendiente de la recta tangente a la graficade la funcion en el punto de abscisa a.

Ejemplo 2.2.5 Sea g = funcion tal que g(5) = 2.

La derivada de y respecto a x cuando x = 5 es 3.

dy

dx(5) = 3

Ejemplo 2.2.6

y =x

3− 2

dy

dx(4) =

(13(4 + ∆x)− 2

)−(

43− 2)

∆x=

1

3

lım∆x→0

∆y

∆x=

1

3


2.2.3. Propiedades de la Derivada:

1. Si y = xn con n ∈ N, entonces dydx

(a) = nan−1

Disminuir el exponente una unidad y multiplicar por el exponente ori-ginal.

2. Si z = u(x) + v(x), entonces dzdx

= dudx

+ dvdx

.

3. Si z = αu(x), entonces dzdx

= αdudx

Las dos ultimas propiedades nos muestran que la “derivacion es una operacionlineal”.

Ejemplo 2.2.7

y = −2 + 6x+3

5x3 − 1

2x4

∴dy

dx=d(−2)

dx+d(6x)

dx+d(

35x3)

dx+d(−x4

2

)dx

=

= 6 +9

5x2 − 2x3

Por lo tanto:

f ′(a) = lım∆x→0

f(a+ ∆x)− f(a)

∆x

Donde f(a+∆x)−f(a)∆x

es el cociente diferencial.

f ′(a) = lım∆x→0

∆y

∆x=dy

dx(a)

f ′(a) : Es la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion en elpunto de abscisa a.

Ejemplo 2.2.8 Sea:f(x) = x2 − 4x+ 3

f ′(x) = 2x− 4

y sea a = 10Entonces:

f ′(10) = lım∆x→0

f(10 + ∆x)− f(10)

∆x


Figura 2.1: Funcion Lımite.

= lım∆x→0

f(10 + ∆x)− 63

∆x

(10 + ∆x)2 − 4(10 + ∆x) + 3− 63

100 + 20∆x+ ∆x2 − 40− 4∆x− 60

∆x=

∆x2 + 16∆x

∆x

lım∆x→0

(16 + ∆x) = 16

Lımite del cociente diferencial en dicho punto cuando ∆x→ 0.

Mayor aproximacion, mayor exactitud:

dy

dx(10) = 16

Ejemplo 2.2.9y = x3

dy

dx= 3x2 ≥ 0 ∀ x ∴

x dydx

y0 0 01 3 1−1 3 −1

Ejemplo 2.2.10y = x2 − 4x+ 3


dy

dx= 2x− 4

dy

dx(a) = 0

queremos evaluar: dydx

(α) si y solo si 2α− 4 = 0, α = 2 ∴ vertice es (2,−1)

∴ Si b > 2 =⇒ dy

dx(b) > 0

Si b < 2 =⇒ dy

dx(b) < 0

Ejemplo 2.2.11 Calcular:

lımx→−1

(x2 − x− 2

x+ 1

)Como el numerador se anula para x = −1 ⇒ decimos que el numerador esigual a (x+ 1)(x− 2).

Luego ∀x cercano a −1 (pero 6= −1), el cociente vale (x+1)(x−2)x+1

= x− 2

∴ lımx→−1

(x2 − x− 2

x+ 1

)= lım

x→−1(x− 2) = −3

Pero para: (x2 − x− 21

x+ 1

)no hay lımite cuando x→ −1, pues lım

x→−1(x2−x−21) = 1−(−1)−21 = −19

por lo que, si x vale “casi”−1, el cociente valdra “casi”−19ε

, con ε un numerotan pequeno como queramos, es decir, el cociente sera de valor absoluto tangrande como queramos.

Definicion:Si f : R→ R y a ∈ Dom(f)

Entonces:

El “lımite diestro”de f en a se define como “ lımx→a+

f(x) := el lımite al

cual se aproxima f(x) al descender x hacia a”.


Figura 2.2: Lımite diestro y siniestro

El “lımite siniestro”de f en a se define como “ lımx→a−

f(x) := el lımite al

cual se aproxima f(x) al ascender x hacia a”(ver gafico 2.2).

Ejemplo 2.2.12 Sea (ver gafico 2.3)

f : R→ R

x→ f(x) :=

{1 + 2x, si x > 3−x+ 2, si x ≤ 3

}lımx→3+

f(x) = 7

lımx→3−

f(x) = −1

pero lımx→1+

f(x) = 1

lımx→1−

f(x) = 1

¿Cuando existe un lımite? ¿Como se calcula su valor?

Definicion 2.2.13 (Definicion de Lımite) Se dice que el lımite de la fun-cion f en el punto a es L si ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 6= a del dom(f) (|x− a| <δ =⇒ |L− f(a)| < ε). Tan cerca como se quiera de L estara la imagen detodo punto bastante cercano de a.


Figura 2.3: Ejemplo de lımite diestro y de lımite siniestro

Ejemplo 2.2.14 Sea la funcion:

f(x) =x2 − 1

x+ 1

Dom(f) = {x ∈ R/x+ 1 6= 0}= R\ {−1}

lımx→−1

f(x) = −2, pues ∀ε > 0

Si |x− (−1)| < ε

2con x 6= −1,

entonces:

|−2− f(x)| =

∣∣∣∣−2− (x2 − 1)

x+ 1

∣∣∣∣=

∣∣∣∣−2− (x− 1)(x+ 1)

x+ 1

∣∣∣∣= |−1− x| (ya que x 6= −1)

= |1 + x| < ε

2< ε

Notese que segun lo anterior, dado un positivo ε cualquiera, basta con definirδ := ε

2.


Proposicion 2.2.15 Si existen los lımites de f y g en a, entonces:

1. lımx→a

(f(x) + g(x)) = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x)

2. lımx→a

(αf(x)) = α lımx→a

f(x)

3. lımx→a

(f(x)g(x)) = lımx→a

f(x)lımx→a

g(x)

4. lımx→a

(f(x)

g(x)

)=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)si lım

x→ag(x) 6= 0

5. lımx→a

(f(x))n =(

lımx→a

f(x))n

Ejemplo 2.2.16 Calcule el valor del siguiente lımite:

lımx→2

(x3 − 2x2 + 6) = lımx→2

x3 − lımx→2

2x2 + lımx→2

6

= 8− 8 + 6

= 6

Ejercicio 2.2.17 Resolver el siguiente ejercicio:Dado

q =v2 + v − 56

v − 7, v 6= 7

Halle el lımite a la izquierda y el lımite a la derecha de 7. De esta forma,factorizando tenemos:

lımx→7

(x− 7)(x+ 8)

(x− 7)= lım

x→7(x+ 8)

= 15

Pero:

lımx→7

x+ 7

x− 7= no existe

Pues el lımite del numerador es > 0 y el del denominador = 0.

Ejercicio 2.2.18 El siguiente lımite:

lımx→0

senx

x= 1


Para esta demostracin empleamos L’Hopital 1, derivando arriba y abajo, yobtenemos:

lımx→0

cosx

1= 1

2.2.4. Continuidad y diferenciabilidad de una funcion

Definicion 2.2.19 Una funcion f : R → R es “continua en a”si existelımx→a−

f(x) y existe lımx→a+

f(x) y ademas lımx→a−

f(x)= lımx→a+

f(x) = f(a). Es

decir, existen ambos lımites laterales y ademas coinciden con f(a).

Definicion 2.2.20 La continuidad de una funcion se define como la propie-dad de que la funcion sea continua en cada punto de su dominio.

Ejemplo 2.2.21 La siguiente funcion es continua:

f(x) = −x3

Ejemplo 2.2.22 La siguiente funcion es continua:

f(x) =1

x

Pues

dom(f) = R\ {0} y ∀a 6= 0, lımx→a

(1

x) =

1

a.

Ejemplo 2.2.23 Sea una funcion

f : R→ R tal que x 7→ |x|

f es no diferenciable en 0, pero si en cualquier x 6= 0, ya que por cero pasaninfinitas rectas “tangentes” en (0, 0) a la grafica de la funcion (ver grafica2.4).


f(x) =1

x= x−1.

1Ver la llamada “regla de L’Hopital”para calcular lımites de cocientes de funcionesdiferenciales, por ejemplo, en Sydsaeter et al., Matematicas para el analisis economico,pp. 193-195.


Figura 2.4: Ejemplo de lımite

Ella sera diferenciable si lo es en cada punto de su dominio:

f′(a) = (−1)x−2|x=a

= − 1

x2

∣∣∣∣x=a

= − 1

a2

2.2.5. Concepto Riguroso de Continuidad


f : R→ R tal que x→ f(x) := x2 ∴ dom(f) = R.

Demostremos que f es continua. (Por demostrar (PD): ∀a ∈ dom(f), f escontinua en a).

Sea a ∈ R, entonces: PD: ∀ε > 0,∃δ > 0, (x 6= a y |x− a| < δ ⇒|x2 − a2| < ε) Si x 6= a es tal que |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| =|x2 − a2| = |x− a||x+ a|.


Pero como |x − a| < δ, se tiene que −δ < x − a < δ ∴ a − δ < x <a + δ ∴ |x| < |a| + δ. Entonces: |x− a| |x+ a| 5 δ(|a| + δ) = δ2 + 2 |a| δ.Ahora, querıamos hallar algun valor de δ tal que δ2 +2|a|δ fuera < al ε dado.

Por ejemplo,Si a 6= 0, entonces, (2.2)

con δ < min(√

ε2; ε

6|a|

), se obtiene que δ2 + 2|a|δ < ε

2+ ε

2= ε.

El caso para a = 0 se deja como ejercicio.

Entonces definimos una funcion:

f : R→ R

y donde a ∈ R, decimos que “f es continua en a”si:

1. Existe el lımx→a

f .

2. lımx→a

f .= f(a).

3. a pertenece al dominio de f

Chang: “Si uno de estos tres requisitos falla, entonces f es discontinua en a”.Nos: “f es discontinua en a”si:

1. a pertence al dominio de f .

2. lımx→a

f 6= f(a)

Ejemplo 2.2.26 Sea la funcion g, definida:

g(x) =1

x

Chang: “g es discontinua en 0”(Falso) pues 0 /∈ dominio de g.

Ejemplo 2.2.27 Sea la funcion h : R→ R y

x→ h(x) :=

1 si x < 0

0 si x = 0

−1 si x > 0

por lo que podemos decir que h es discontinua en 0, puesto que 0 ∈ dominiode R y no es posible que h(0) = lım

x→0h(x).


2.2.6. Reglas de las derivadas o de diferenciacion

La operacion derivada, cumplira las siguientes reglas:

1. ddx

(xn) = nxn−1, con n ∈ R

2. Si y = f(x) y z = g(x), entonces:

d

dx(y ∓ z) =

dy

dx∓ dz

dx;

equivalentemente podemos escribir

(f ∓ g)′(x) = f ′(x)∓ g′(x).

3. Si y = f(x) y z = g(x), entonces

d

dx(y.z) =

(dy

dx

)(z) +

(dz

dx

)(y)

Ejemplo 2.2.28 Sean las siguientes funciones

y = x3 − 2x ∧ z = 2x2 + x

entonces si derivamos obtenemos:

d

dx(y.z) = (3x2 − 2)(2x2 + x) + (4x+ 1)(x3 − 2x)

d

dx(y.z)(1) = 1(3) + 5(−1)

d

dx(y.z) |x=1 = −2

4. Nuevamente si y = f(x) y z = g(x), entonces:

d

dx

(yz

)=

dydx

(z)− dzdx

(y)

z2, si z(x) 6= 0.


Ejemplo 2.2.29 Considerando las mismas funciones del ejemplo pa-sado, obtenemos:

d

dx

(yz

)=

(3x2 − 2)(2x2 + x)− (x3 − 2x)(4x+ 1)

(2x2 + x)2

d

dx

(yz

)∣∣∣∣x=1

=(1)(3)− (−1)(5)

(9)=

8

9

5. Equivalentemente podemos denotar:

(f.g)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)(f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x)

Ejemplo 2.2.30 Sean f , g y h funciones definidas en: R → R, demostrarque se cumple:

(fgh)′(x) ≡ f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)

Ası

(fgh)(x) = f(x)[g(x)h(x)]

= [f( gh︸︷︷︸ϕ

)](x) = (fϕ)(x)

de modo que

(fϕ)′(x) = f ′(x)ϕ(x) + ϕ′(x)f(x)

= f ′(x)g(x)h(x) + (gh)′(x)f(x)

= f ′(x)g(x)h(x) + [g′(x)h(x) + g(x)h′(x)]f(x)

= f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)

Ejemplo 2.2.31 En la teorıa microeconomica es muy importante encontrarla relacion que existe entre IMe (Ingreso medio) e IMg (Ingreso marginal),ası como CMe y CMg, por lo que resolvemos:

Relacion entre IMe e IMg. Una empresa produce un bien (cantidadQ), su funcion de ingreso medio, la cual es el precio, se expresa como IA =


f(Q) y su ingreso marginal es IM (I denota el ingreso.) ¿Que relacion existeentre IM e IA?

IM =d

dQ(I)

pero

I = IA ∗Q

de modo que:

IM =d

dQ(Q ∗ IA)

IM =d

dQ(Qf(Q))

IM =d(Q)

dQ.f(Q) +Qf ′(Q)

IM = f(Q)︸︷︷︸IA

+Qf ′(Q)

IM − IA = Q︸︷︷︸+

f ′(Q)︸︷︷︸−

< 0

pues la demanda es decreciente, pero como:

IA =I

Q= Q

P

Q= P

IA es la inversa de la funcion de demanda y de donde podemos concluir quese cumple la ley de la economıa

IA > IM

Ingreso medio > Ingreso marginal

Relacion entre el costo medio y el costo marginal)

Sea C(Q) la funcion de costo total: C = C(Q).

Definimos el costo medio como:

CA =C(Q)

Q


Figura 2.5: Ingreso medio e Ingreso marginal

por lo que:

d

dQ(costo medio) =

d

dQ

(C(Q)

Q

)=

Q ddQC(Q)− C(Q)dQ

dQ

Q2

=C ′(Q)

Q− C(Q)

Q2

=1

Q

(C ′(Q)− C(Q)

Q

)=

1

Q(CM − CA)

luego:d

dQ(CA) T 0 si y solo si CM T CA (ver grafico 2.6)


Figura 2.6: Costo medio y costo marginal

Ejemplo 2.2.32 Dado IA = 60−3Q (ver grafico 2.7), hallar IM . Para en-contrar IM , expresamos el ingreso medio en su forma general: IA = H−mQcon m > 0.

Esta forma general proviene del siguiente procedimiento, sea Q ∈ R+

IM(Q) = IA(Q)−Q∣∣f ′(Q)

∣∣entonces:

IM(Q) = (H −mQ)−Q |−m|= H − 2mQ

si la curva de IA es recta y la curva IM es recta, su pendiente es el dobledel IA y tiene la misma ordenada en el origen.

Ejemplo 2.2.33 Dada la funcion IA = (Q − 4)2 + 2 (ver grafico 2.8) con


Figura 2.7: Primer ejemplo de funcion de ingreso medio

0 5 Q 5 5, de modo que:

d

dQ(IA) = 2Q− 8

Se pide encontrar el vertice, donde Q se anula.

IM =d

dQI =

d

dQ(Q3 − 8Q2 + 16Q+ 2Q)

IM = 3Q2 − 16Q+ 18

0 =d

dQIM = 6Q− 16

de modo que:

Q =8

3

IM(8

3) = 3.

64

9− 16.

8

3+ 18 =

10

3


Figura 2.8: Segundo ejemplo numerico de la funcion de ingreso medio

2.2.7. Regla de la cadena

Considerando la siguiente correspondencia entre las funciones f y g:

xf−→ y

g−→ z

Surgen las siguientes preguntas:

¿Como influye una variacion en x tanto en y como en z?

y = f(x) ∧ z = g(y). Luego, z = g(f(x)) = (gof)(x)

Podemos encontrar: ¿dz

dx?

Definicion 2.2.34 Sean:

f : R→ R ∧ g : R→ R dada.

tales que ∀x del dom(f), f(x) ∈ dom(g) y sea a ∈ dominio de f . Se define lafuncion “gof” como la composicion de f y g mediante:

(gof)(x) := g(f(x))


Figura 2.9: Diagrama de la Regla de la Cadena

x −→ f(x) −→ g(f(x))

¿Como es la derivada (gof)′(a)?. Es igual a g′(f(a))(f ′(a))

Si: y = f(x) ∧ z = g(y)

Entonces se quiere:

dz

dx

∣∣∣∣x=a

=dy

dx

∣∣∣∣ .y=f(a)

dz

dy

∣∣∣∣x=a

Ejemplo 2.2.35 Considerando las siguientes correspondencias:

β → α→ δ → γ

por lo que mediante la regla de la cadena podemos obtener:

dγ

dβ=dγ

dδ.dδ

dα.dα

dβ

Ejemplo 2.2.36 Sean las siguientes funciones:

y = 2x3 − x+ 6

z =1

y.


Notese que ∀ x de R, y(x) 6= 0; por lo cual tiene sentido la composicion defunciones: x 7→ y 7→ z

Calculedz

dx.

Para calculardz

dx, encontramos:

dz

dx=

dz

dy

dy

dx

= (−y−2)(6x2 − 1)

= − 1

y2(6x2 − 1)

=(1− 6x2)

(2x3 − x+ 6)2

ahora, queremos saber que pasa si x = 2, es decir queremos saber a que es

igualdz

dx|x=2, por lo tanto:

dz

dx

∣∣∣∣x=2

= − 23

400

Ejemplo 2.2.37 Sea una economıa en donde el ingreso Y , se relaciona con

el consumo C por f del siguiente modo Yf−→ C, tal que:

C = f(Y ) :=√Y + 1

Ademas, el bienestar V es funcion del consumo C, y esta definido como:

V = C23 = g(C)

Ası, la relacion entre variables se denota por:

Yf−→ C

g−→ V

Entonces:

dV

dY

∣∣∣∣Y=1

=dV

dC

∣∣∣∣C=2

dC

dY

∣∣∣∣Y=1

=

(2

3C−13

)∣∣∣∣C=2

(1

2Y−12

)∣∣∣∣Y=1


dV

dY=

(2

3

13√

2

)(1

2.

1√1

)=

1

33√

2

Decimos que si la derivada es:

pequena, entonces la variable dependiente no es muy sensible respectoa cambios en la variable independiente;

es > 0 (positiva), entonces la variable dependiente crece si crece lavariable independiente.

grande, entonces la variable dependiente es muy sensible respecto acambios en la variable independiente;

es < 0 (negativa), entonces la variable dependiente crece si decrece lavariable independiente.

Ejemplo 2.2.38 Sean las siguientes variables:

y = u3 + 1 ∧ u = 5− x2

entonces:

dy

dx=

dy

du.du

dx= (3u2)(−2x)

=dy

du.du

dx= 3(5− x2)2(−2x)

ası

dy

dx| x=2 = 3(5− (2)2)2(−2(2)) = −12

dy

dx| x=2 =

dy

du|y=1 .

du

dx|x=2= (3)(−4) = −12

Ejemplo 2.2.39 Sean las siguientes variables:

w = ay2 ∧ y = bx2 + cx


entonces:dw

dx= (2ay)(2bx+ c)

de modo que podemos descomponer y operar de la siguiente manera:

dw

dx| x=−1 =

dw

dy|y=b−c .

dy

dx|x=−1

dw

dx| x=−1 = (2ay) |y=b−c .(2bx+ c) |x=−1

dw

dx| x=−1 = 2a(b− c)(−2b+ c)

Ejercicio 2.2.40 Calcular dydx

en cada uno de los siguientes casos:

1. y = (3x2 − 13︸︷︷︸u

)3, entonces:

dy

dx= 3u2,6x = 3(3x2 − 13)2(6x)

2. y = (8x3 − 5)9, entonces:

dy

dx= 9(8x3 − 5)8(24x2)

3. y = (ax+ b)4, entonces:

dy

dx= 4(ax+ b)3(a)

4. y = log(5x2 − 2x) ∧ d(log z)

z=

1

z, entonces,

dy

dx=

1

(5x2 − 2x).(10x− 2)


Ejemplo 2.2.41 Sea la siguiente igualdad:

y = (16x+ 3︸︷︷︸u

)−2 que puede ser expresada como y =1

(16x+ 3)2

entonces para calcular dydx

usamos la regla del cociente:

dy

du.du

dx=dy

dx= −2(16x− 3)−3(16)

que proviene de:

dy

dx=

(16x+ 3)2(0)− (1)2(16x+ 3)(16)

(16x+ 3)4=−2(16)

(16 + 3)3

Ejemplo 2.2.42 Sea la siguiente funcion f , definida como:

y = f(x) := 7x+ 21

por lo tanto:dy

dx= 7

ademas existe su funcion inversa local pues en cualquier punto es inyectiva.De de ese modo:

inversa de x =y − 21

7, es f−1(y)

por lo que:

f−1(y) =x− 21

7y

(f−1)′(x) =1

7

de ese modo:(f−1)′(x)f ′(x) = 1

2.2.8. Funcion inversa

Se denota a la funcion inversa de f : R → R como f−1, y se llama“inversa de la funcion”f a una funcion g tal que:

gof es la identidad, donde identidad es definida como una funcion : R→ R es tal que x 7→ x,


es decir, que:x→ identidad(x) = x

donde la identidad corresponde graficamente a la bisectriz del primer y tercercuadrante.

Ejemplo 2.2.43 Sea la funcion f definida en:

f : R→ R: x 7→ x3

y sea la funcion g definida en:

g : R→ R: x 7→ 3

√x

entonces:

(gof)(x) = g(f(x)) = g(x3)

=3√x3 = x

= identidad

luego g es la inversa de f , es decir, g = f−1.

Teorema 2.2.44 (Funcion inversa) Si una funcion f tiene derivada en xy esta tiene valor distinto de 0, entonces(

f−1)′

(f(x)) =1

f ′(x)

Definicion 2.2.45 (Inyectividad) Una funcion f es “inyectiva si es unafuncion que a puntos diferentes del dominio les asigna puntos diferentes enel codominio, es decir:

si x 6= y entonces f(x) 6= f(y)

En general si f ′(a) 6= 0, entonces f tiene inversa local cerca de a; de esemodo la recta tangente no es horizontal (pero si f ′(a) = 0, entonces quizatenga inversa o quiza no).


Ejemplo 2.2.46 Sea la funcion f :

f(x) = x3

por lo tanto:

f ′(x) = 3x2

f ′(2) = 12

por lo que:

(f−1)′(2) =1

12

paralelamente:f−1(y) = 3

√y

de modo que:

(f−1)′(y) =1

3.

1

y23

con y = 23

¿Existira la funcion inversa para y = f(x) = x2?. No, porque f no es inyec-tiva.

Por lo tanto, una funcion tendra inversa si todas las lıneas horizontalescortan a la funcion en solo un punto o no lo cortan. Sin embargo, si se define:

ϕ :

]2

1

2, 3

1

2

[=⇒ R

x 7→ ϕ(x) = x2

entonces ϕ es inyectiva, por lo tanto existe la inversa de ϕ , es decir, existeϕ−1. En lo anterior, se dice que ϕ es una restriccion de f al

]21

2, 31

2

[por lo

que se habla de inversas locales, pues en este caso ϕ−1 es una inversa localde f cerca de 3.

Teorema 2.2.47 (Funcion inversa local) Si:

f : R→ R


y a pertenece al dominio de f y ademas f ′(a) 6= 0, entonces existe la inversalocal de f “cerca de a (es decir, en algun intervalo abierto que contiene alpunto a).

Entonces, para x “cerca de a, la inversa se define como:(f−1)′

(f(x)) =1

f ′(x)

Ejemplo 2.2.48 Sea la funcion f(x):

f(x) = x2 ∧ a = 3

entonces:f ′(3) = 6 6= 0

por lo tanto decimos que existe la funcion f−1 cerca de 3.(f−1)′

(f(3)) =1

f ′(3)=

1

6. Luego

(f−1)′

(9) =1

f ′(3)

Definicion 2.2.49 (Monotonicidad) Una funcion f es monotona si esque f es creciente o si es que f es decreciente.

f es creciente si x′ = x entonces f(x′) = f(x).

f es estrictamente creciente si x′ > x entonces f(x′) > f(x).

f es decreciente si x′ 5 x entonces f(x′) = f(x).

f es estrictamente decreciente si x′ < x entonces f(x′) > f(x).

De modo que la “funcion constante sı es monotona. Ademas, cuando la de-rivada de f existe y es continua decimos que:

f es creciente si f ′(x) > 0.

f es decreciente si f ′(x) < 0.

Ejemplo 2.2.50

a. y = −x6 + 5 (x > 0).

dy

dx= −6x5 < 0, con x > 0 por lo que es decreciente.

b. y = 4x5 + x3 + 3x.

dy

dx= 20x4 + 3x2 + 3 > 0, por lo que es creciente.


2.2.9. Diferenciacion parcial

Definicion 2.2.51 (Diferenciacion parcial) La diferenciacion parcial seda porque la funcion a diferenciar, depende de dos o mas variables indepen-dientes, tal como:

z = f(x, y)

entonces la diferenciacion parcial se usa para medir la sensibilidad de z cuan-do varıa x. Es decir, la variacion de z, (∆z) si x varıa (∆x) “ceteris pari-bus”(manteniendose constante el resto).//

Por lo tanto:

∆z

∆xrefleja la sensibilidad de z respecto a x;

del mismo modo si ∆y, ceteris paribus produce ∆z, entonces:

∆z

∆yrefleja la sensibilidad de z respecto a y;

ası las derivadas parciales son definidas de la siguiente manera:

∂z

∂x: = lım

∆x→0

∆z

∆x∂z

∂y: = lım

∆y→0

∆z

∆y

Ejemplo 2.2.52 La demanda de dinero (que representamos con L) es fun-cion del ingreso o salario (representado por Y ) y de la tasa de interes (re-presentada por r). Esto se puede representar de la siguiente manera:

L = L(Y+, r−

)

esto quiere decir que la demanda de dinero depende directamente del ingresoo salario (es decir, a mayores niveles de ingreso, mayor sera la cantidad de-mandada de dinero de los agentes), pero, a su vez, esta funcion de demandade dinero depende inversamente de la tasa de interes (en otras palabras, amayores niveles de tasa de interes, menor sera la cantidad demandada dedinero de los agentes, pues mayor sera el costo de oportunidad de mantenerdinero).


Por lo tanto si:L = 2Y 2 − 100r

Entonces, la funcion evaluadas en los siguientes argumentos resulta:

L(100, 6 %) = 20000− 6 = 19994

y las variaciones que causan cada uno de estos argumentos a la demanda dedinero es:

∂L

∂Y|Y=100r=0,06

=(2(Y + ∆Y )2 − 100r)− (2Y 2 − 100r)

∆Y∂L

∂Y|Y=100r=0,06

=4Y∆Y + 2∆Y 2

∆Y= 4Y + 2∆Y

y como ∆Y → 0, entonces:

∂L

∂Y|Y=100r=0,06

= 400

Ejemplo 2.2.53 Sea las funciones determinadas por:

z = 2x3y − xy2 + 6x− 3y

de manera que:∂z

∂x= 6x2y − y2 + 6

y del mismo modo:

zy ≡∂z

∂y= 2x3 − 2xy − 3

de ahora en adelante cualquier funcion f con subındice x (fx) muestra ladiferenciacion parcial de la funcion f con respecto a su argumento x, ası:

zx ≡∂z

∂x| x=2y=−1

≡ ∂z

∂x(2,−1) = −24− 1 + 6 = −19.

Ejemplo 2.2.54 (Mercado y Estatica Comparativa)

Demanda ∴ Q = a− bP , con a, b > 0, dados

Oferta ∴ Q = −c+ dP , con c, d > 0, dados


Figura 2.10: Mercado y estatica comparativa

El equilibrio se da si y solo si:

Demanda = Oferta

a− bP ∗ = −c+ dP ∗

por lo que el precio de equilibrio es:

P ∗ =a+ c

b+ d

y reemplazando, obtenemos:

Q∗ = a− bP ∗

= a− b(a+ c

b+ d)

=ad− bcb+ d

¿Como y cuanto afectan a los valores de equilibrio los pequenos cambios enlos parametros?//


En un modelo estatico como el de mercado, donde:

∂P ∗

∂a=

1

b+ d> 0, prop. directa

∂P ∗

∂d=−(a+ c)

(b+ d)2< 0, prop. indirecta

si la sensibilidad → 0 entonces decimos que hay poca sensibilidad.

∂P ∗

∂c> 0 >

∂P ∗

∂d

Ejemplo 2.2.55 (Macroeconomıa) El nivel de demanda agregada, medi-do por el gasto es equivalente a la suma agregada del consumo privado, elnivel de inversion privada y el nivel de consumo publico en un contexto deeconomıa cerrada.

Y = C + I +G

Sin embargo, el consumo agregado es calculado mediante la siguiente ecua-cion:

C = a0Y0 + a1

donde a1 es el nivel de consumo autonomo, y a0 es la propension marginal aconsumir e Y0 es el nivel de ingreso disponible, es decir el ingreso menos losimpuestos T 2.

Y0 = Y − T

Las variables endogenas son: Y , C, Y0 y las variables exogenas: I, G, T , a0,a1, por lo que reeplazando obtenemos:

Y = a0(Y − T ) + a1 + I +G

de modo que:

Y ∗ =I +G+ a1 − a0T

1− a0

Por lo tanto las variaciones de la demanda ante cambios en las variablesexogenas, seran medidos por:

∂Y ∗

∂I= 1

1−a0> 1 ; ∂Y ∗

∂G= 1

1−a0> 1 ; ∂Y ∗

∂T= −a0

1−a0< 0

2En algunos casos tambien se agregan a las transferencias


∂Y ∗

∂a1

= (1− a0)−2((−T )(1− a0) + (I +G+ a1 − a0T ))

= (1− a1)−2( I +G+ a1 − T︸︷︷︸puede ser directa o inversa

)

Definicion 2.2.56 (Relacion Funcional.) Entre las funciones: y1, y2, ..., yndonde:

y1 = f1(x1, x2, ..., xm)

y2 = f2(x1, x2, ..., xm)...

yn = fn(x1, x2, ..., xm)

hay una “relacion funciona si existe:

G : Rn → R

tal que ∀x1, x2, ..., xm,

0 = G(f1(x), f2(x), ..., fn(x)).

Ejemplo 2.2.57 Sean las funciones f1 y f2:

f1 = x1 − x2,

f2 = x21 + x2

2 − 2x1x2;

Entonces hay una relacion funcional entre f1, f2, pues con:

G(y1, y2) := y21 − y2

se obtiene que ∀x1, x2,

0 = G(f1(x1, x2), f2(x1, x2)).

Ejemplo 2.2.58 Sean:y = ex ∧ z = lnx

¿Existe relacion entre y y z?¿Existe G : R2 → R tal que ∀x, 0 = G(y, z)?

Sı, sea:G(y, z) := ln y − ez

entonces,G(ex, lnx) = ln(ex)− elnx = 0 ∀x.


Teorema 2.2.59 Entre las n funciones diferenciables:

y1 = f1(x1, x2, ..., xm)

y2 = f2(x1, x2, ..., xm)...

yn = fn(x1, x2, ..., xm)

con n ≤ m. Hay relacion funcional si y solo si ∀x1, x2, ..., xm;

0 = G(f1(x), f2(x), ..., fn(x))

siendo G alguna funcion Rn → R⇐⇒ ∀x1, x2, ..., xm se cumple que el rangode la matriz Jacobiana es menor n, siendo la matriz jacobiana definida de lasiguiente forma:

Jyx ≡

∂y1

∂x1· · · ∂y1

∂xm...

. . ....

∂yn∂x1

· · · ∂yn∂xm

≡ ∂(y1, y2, ..., yn)

∂(x1, x2, ..., xm)

Ejemplo 2.2.60 Sean y = ex∧z = x2, por lo que n = 2∧m = 1 (eso quieredecir que el jacobiano tiene 1 fila y 2 columnas), es decir:

J(y,z)x ≡∂(y, z)

∂x=

[ex

2x

]entonces, el rango de J(y,z)x = 1, independencia funcional ∀x.


y = x1 + x2 − x3

z = x21 + x2

2 + x23 + 2x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3

por lo que la relacion funcional esta dada por:

z = y2

de ese modo n = 2 ∧m = 3 y se cumple:

G(y, z) := −z + y2 = 0, ∀x


siendo el jacobiano:

J(y,z)x =

[1 1 −1

2(x1 + x2 − x3) 2(x2 + x1 − x3) 2(x3 − x1 − x2)

]ası su rango vale 1 < n = 2 relacion funcional (es decir, dependencia entrefunciones).


y1 = 2x2 − x3

y2 = x1 − x2

y3 = −x1 + 5x2 − 2x3

donde el jacobiano es:

Jyx =

0 2 −11 −1 0−1 5 −2

y como su determinante es cero, el rango de Jyx ≤ 2 < 3, es decir son“funciones dependientes”. Las filas que son dependientes se pueden expresarcomo:

2A1 − A2 = A3

2A1 − A2 − A3 = 0

por lo que:G(y1, y2, y3) = 2y1 − y2 − y3 = 0

La dependencia de funciones se reduce a la dependencia lineal cuando lasfunciones involucradas son lineales (polinomios de grado 1).

2.2.10. Diferenciales

Considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.2.63 Sea, la siguiente funcion:

y = f(x) = −1 + x− x3


entonces:f ′(x) = 1− 3x2

si x = 2, entonces,y = f(x) = −7

¿Como y cuanto varıa el valor de y desde y si se compone un ∆x arbitraria-mente pero pequeno desde x?. Una respuesta “aproximada” es ∆y ∼= f ′(x)∆xo tambien dy = f ′(x)dx.

Diferencial de f en 0:

∆x 7→ ∆y = 1(∆x)

Diferencial de f en 1:∆x 7→ ∆y = −2(∆x)

diferencial de f en 12:

∆x 7→ ∆y =1

4(∆x)

El incremento en la variable independiente ocasionado por un incremen-to pequeno de la variable dependiente, se expresa como: dy = −11dx, parax = 2, pues f ′(2) = 1− 12 = −11.

Que sucede si x = 1,998, entonces,

y ∼= y + ∆y = (−7) + (−11)(−0,002) = −6,978

y si x = 2, 001, entonces:

y ∼= (−7) + (−11)(0, 001) = −7, 011

Ası, la diferencial de una funcion en un punto dado, es una funcion que trans-forma los incrementos en la variable independiente en los correspondientesincrementos de la variable dependiente.

Definicion 2.2.64 La diferencial de f en x es la funcion que a cada ∆x leasigna:

∆y := f ′(x)∆x

es decir tiene un sentido como:

∆x −→ diferenciacionde f en x

−→ ∆y


Considere el siguiente ejemplo economico:

Ejemplo 2.2.65 Nuevamente considere una economıa cerrada en donde lademanda agregada Y es calculada por el metodo del gasto, el cual agrega elconsumo privado C, la inversion I y el consumo publico G:

Y = C + I +G

donde:C = αY , con α ∈]0, 1[

de donde se obtiene:

Y =1

1− α(I +G) ∧ C =

α

1− α(I +G)

Si ahora en el modelo de demanda agregada, el consumo es no lineal; esdecir: Y = C+ I+G, con C = ϕ(Y ) donde ϕ : R→ R, tal que: ϕ′(0) ∈]0, 1[.Entonces no tenemos formas de encontrar valores, por lo que recurrimos ala diferenciacion.

Ejemplo 2.2.66 Tomando como referencia el ejemplo economico anterior,donde el consumo depende del ingreso; si ahora el consumo estara definidopor:

C = 120 +3

4Y

el diferencial de C respecto a Y es 3/4.

Si deseamos saber en cuanto cambia C si Y cambia en 2 %, debemos re-currir al concepto de elasticidad.

Entonces, si Y0 = 400, C0 = 420. Si Y pasa de 400 a 410, entonces, C pa-sara de 420 a 420+ 3

4(410−400) = 4271

2. Por lo tanto, ∆Y = 410−400 = 10

y el cambio relativo de Y se expresa como: ∆YY

, mientras el cambio relativode C se expresa como: ∆C

C.

La elasticidad se calcula como: ∆ %C∆ %Y

=∆CC

∆YY

En este ejemplo particular, el diferencial de C respecto a Y es 3/4. Y

entonces: ∆ %C∆ %Y

=∆CC

∆YY

= ∆C∆YxYC

= 34x400

420= 5

7.

Entonces, si Y cambia en 2 %, C cambia en(

57

)(2 %) = 10

7%.


Definicion 2.2.67 Si y = f(x), entonces se llama “elasticidad” de y res-pecto a x, para x = x0, al

lım∆x→0

∆yy

∆xx

|x=x0=x0

y0

(dy

dx

)|x=x0

=: εyx(x0)

Ejemplo 2.2.68 Del ejemplo economico anterior, tenıamos que:

C = 120 +3

4Y

donde:

εCY =Y

C.dC

dY=

(Y

C

)(3

4

)εCY (400) =

400

420

(3

4

)=

5

7

Ejemplo 2.2.69 Si:

y = 2− 1

2x+ x2

en donde:

εyx =x

y

(dy

dx

)=x

y(2x− 1

2)

εyx(2) =2

5(−1

2+ 4) = 1

2

5

εyx(4) =4

16(−1

2+ 8) = 1

7

8

εCY =dCdYCY

; εyx(20) =124020

si ∆xx

= 112

%, entonces ∆yy

= 34

%.

εyx(x) =f ′(x)yx

Ejemplo 2.2.70 Sea:y = 20− 2x


entonces,dy

dx= −2

ası:

εyx(−2) =−2x

y=x

y(−2)

εyx(3) =−2× 3

14=−3

7

Definicion 2.2.71 (Elasticidad) Para y = f(x), se dice que “es elasticarespecto de x en x = x”si |εyx(x)| > 1, y se dice que “y es inelastica respectode x en x = x”si |εyx(x)| < 1.

Ejemplo 2.2.72 Sea:y = 1 + 3x

¿es y elastica o inelastica respecto a x para x = 2?

εyx(2) =x

y

(dy

dx

)=

2

7(3) =

6

7

por lo que el resultado es menor a uno, la funcion y es inelastica.

Ejemplo 2.2.73 Sea una economıa en donde la demanda por dinero es de-notada por M . Esta es funcion directa del nivel de ingreso Y definido como:

M = f(+

Y )

ası obtenemos la elasticidad ingreso, demanda por dinero, de la siguientemanera:

εMY =Y

M.dM

dY=f ′(Y )MY

.

Ejemplo 2.2.74 Sea:

C = a+ bY , con a > 0, 0 < b < 1

1.dC

dY= b, ademas

C

Y=a+ bY

Y=

a

Y+ b.


2.

εCY =Y

C.dC

dY=

baY

+ b< 1

como Y > 0, entonces εCY > 0, por lo que es inelastica.

3.Y > 0 =⇒ |εCY | < 1

2.2.11. Diferencial total

Sea:z = f(x, y) dado x = a ∧ y = b

entonces ante ∆x,∆y, ¿cuanto cambia z?

∆z ≈ ∂z

∂x

∣∣∣∣(a,b)

∆x+∂z

∂y

∣∣∣∣(a,b)

∆y


z = f(x, y) = 2xy2

entonces, si x = 2 ∧ y = 1, z = 4. Ademas, si ∆x = 0, 01, ∆y = −0, 02,entonces:

∆z ∼= (2y2) |(2,1) ∆x+ (4xy) |(2,1) ∆y

∆z = (2)(0,01) + (8)(−0,02)

= 0,02− 0,16 = −0,14

por lo que diferencial de z en (2, 1), es df(2, 1), que se define como unafuncion definida en:

R2 → R

(∆x,∆y) → ∂z

∂x|(2,1) ∆x+

∂z

∂y|(2,1) ∆y

Si:z = f(x1, x2, ..., xn),

entonces,df(a1, a2, ..., an) = df(a) =⇒ dz


que se define como:

Rn → R

(∆x1,∆x2, ...,∆xn) → ∂z

∂x1

|a ∆x1 +∂z

∂x2

|a ∆x2 + · · ·+ ∂z

∂xn|a ∆xn

Ejemplo 2.2.76 Sea la funcion consumo:

C = C(+

Y ,−r) =

Y

3− 2r

si Y = 120 y r = 12, entonces C = 39, a partir de esto ¿Habrıa un ∆C, si

∆Y = 2 y ∆r = 0,01?

Como se sabe:

∆C =∂C

∂Y∆Y +

∂C

∂r∆r

∆C =1

3(−2) + (−2)(0,01)

= −2

3− 0,02

= −0,67− 0,02

= −0,69

y la elasticidad se encuentra definida por:

εzxi :=xiz.∂z

∂xi|x=a

Definicion 2.2.77 (Diferencial Total) Sea la funcion:

z = f(x1, x2, ..., xn)

Existe (a1, a2, ..., an), tal que f(a1, a2, ..., an) = b, entonces la diferencial totalde f en a es la funcion:

df(a) : Rn → R

: (v1, ..., vn)→ ∂f

∂x1

(a)v1 + ...+∂f

∂xn(a)vn


n∑i=1

∂f(a)

∂x1

vi ∼= df(a)(v) = sf |a (v)

en general:

f(a+ v)− f(a) ∼=n∑j=1

∂f(a)

∂xj(v)


z = 2x1(x2)2 − x1 + x2

y sea a = (−1, 2), entonces el diferencial total de f en (−1, 2) es la funciondefinida en:

R2 → R(v1, v2) → 1(v1) + (−7)(v2)

pues:∂f∂x1

= 2(x2)2 − 1 y ∂f∂x2

= 4x1x2 + 1

por lo tanto:∂f∂x1

(−1, 2) = 7 y ∂f∂x2

(−1, 2) = −7

pero la diferencial de f en c = (2,−1) es la funcion definida en:

R2 → R(v1, v2) → (7)v1 + (−7)v2

debido a que dx1 = −7dx2.¿Que es df?

df(a)︸︷︷︸sımbolo

indivisible

(v) = df |a

si a es unica:

dz =∑n

i=1

∂z

∂xi(a)(vi)

pero como:v ≡ dx ≡ (dx1, ..., dxn)

entonces:

dz =∑n

i=1

∂z

∂xi(a)(dxi)


Ejemplo 2.2.79 Sea:z = f(x, y, u)

donde u = ϕ(x) e y = ψ(x), entonces:

dz =∂z

∂x∆x+

∂z

∂y∆y +

∂z

∂u∆u

=∂z

∂x∆x+

∂z

∂yϕ′(x)∆x+

∂z

∂uψ′(x)∆x

pero como:

ϕ′(x) =dy

dx∧ ψ′(x) =

du

dxentonces,

dz

dx=∂z

∂x+

(∂z

∂y

dy

dx+∂z

∂u

du

dx

)Ejemplo 2.2.80 Sea:

w = g(t, u, x, v)

donde:u = ϕ(t) ∧ v = ψ(t) ∧ x = 2t

por lo tanto se cumple que:

dw

dt=∂w

∂u+∂w

∂u.du

dt+∂w

∂v.dv

dt+∂w

∂x.dx

dt

Ejemplo 2.2.81 Suponga que en una economıa existe un agente, en dondesu funcion de utilidad U depende directamente del nivel de consumo C, y delnivel de ocio O:

U = f(+

C,+

O)

donde ademas el nivel de consumo depende de manera directa del nivel deingreso Y y el nivel de ocio tambien depende del nivel de ingreso Y , es decir:

C = ϕ(+

Y ) ∧ O = ψ(+

Y )

por lo que se cumple:

dU

dY=∂U

∂C.dC

dY+∂U

∂O.dO

dY

sabiendo que:U = f(ϕ(Y ), ψ(Y ))


Ahora, si:z = f(x, y, u) ∧ u = ϕ(x, y)

entonces:

∆x =⇒{

∆z : directa∆z : indirecta vıa u

}de modo que:

dz

dx=

(∂z

∂x+∂z

∂u.∂u

∂x

)(dz

dx

)y=cte

≡ ζz

ζx, derivada parcial total.

por lo que:ζz

ζx=∂z

∂y+∂z

∂u.∂u

∂y

eso quiere decir que apesar de que la funcion depende de dos variables, lavariacion solo es observada en una de ellas.

Ejercicio 2.2.82 Hallar la derivada totaldz

dyde:

z = (x+ y)(x− 2y)

con x = 2− 7y, entonces:

dz

dy=∂z

∂y+∂z

∂x.dx

dy︸︷︷︸−7

por lo que tenemos que:

dz

dy= [(x+ y) + (x− 2y)] (−7) + [(x+ y)(−2) + (x− 2y)(1)]

dz

dy= (2x− y)(−6) + (−2x− 2y + x+ y)

dz

dy= −14x+ 7y − x− y = −15x+ 6y

dz

dy= −15(2− 7y) + 6y = −30 + 111y


Ejercicio 2.2.83 Hallardz

dten:

1. Para una funcion z:

z = f(x, y, t) ∧ x = a+ bt ∧ y = c+ dt

entonces:

dz

dt=

∂z

∂t+∂z

∂x.dx

dt+∂z

∂y.dy

dtdz

dt=

∂z

∂t+∂z

∂x.(b) +

∂z

∂y.(d)

2. Para otra funcion z:

z = 3u+ vt con u = 2t2 ∧ v = t+ 1

entonces:

dz

dt=

∂z

∂t+∂z

∂u.du

dt+∂z

∂v.dv

dtdz

dt= v + 3(4t) + t(1) = 13t+ v

dz

dt= 13t+ t+ 1 = 14t+ 1

¿y cuanto seradz

dt|t=2?

sera:dz

dt|t=2= 3 + 24 + 2 = 29

Ejercicio 2.2.84 CalculardQ

dtpara:

Q = A(t)Kαt L

1−αt

con A(t) creciente en t, donde:

Kt = K0 + at ∧ Lt = L0 + bt

por lo tanto:dQ

dt=∂Q

∂A.dA

dt+∂Q

∂K.dK

dt+∂Q

∂L.dL

dtdQ

dt= Kα

t L1−αt

(dA

dt

)+ αA(t)L1−α

t Kα−1t (a) + (1− α)A(t)Kα

t L−αt (b)


Ejercicio 2.2.85 Calculardw

duy

dw

dvsi:

w = f(x1, x2)

donde:x1 = 5u2 + 3v y x2 = u− 4v3

dw

du=

∂w

∂x1

.∂x1

∂u+∂w

∂x2

.∂x2

∂udw

du=

∂w

∂x1

(10u) +∂w

∂x2

(1)

= 10u∂w

∂x1

+∂w

∂x2

dw

dv=

∂w

∂x1

.∂x1

∂v+∂w

∂x2

.∂x2

∂vdw

du=

∂w

∂x1

(3) +∂w

∂x2

(−12v2)

= 3∂w

∂x1

+ 12v2 ∂w

∂x2

2.2.12. Reglas diferenciales

Sea:y = f(x1, x2)

por lo tanto:

dy =∂f

∂x1

dx1 +∂f

∂x2

dx2

y se cumplen las siguientes reglas:

1. Siy = ϕ(x)︸︷︷︸

u

+ ψ(x)︸︷︷︸v

entonces:dy = ϕ′(x)dx+ ψ′(x)dx

de donde:d(u± v) = du± dv


2. Se cumple que para:

d(uv) = derivada(vu)︸︷︷︸d(uv)

dx

.diferencial(x)︸︷︷︸dx

=

(u.dv

dx+ v

du

dx

)dx

= (uv′ + vu′)dx = (u)(v′x) + (v)(u′dx) =

= udv + vdu

3.

d(uv

)=vdu− udv

v2

4.

d(un) = n.un−1

(du

dx

)= n.un−1du

5. Si k es constante, entonces se cumple que:

d(k) = 0

6.

d(u± v ± w) = du± dv ± dw

7.

d(uvw) = vwdv + uwdv + vudw

Definicion 2.2.86 (Funcion explıcita e implıcita) Una funcion es “explıci-ta” o “explıcitamente dada” si se indica la imagen de cualquier punto deldominio; pero se dice que es “implıcita” o “implıcitamente dada” si de dainformacion que permite determinar la imagen de cualquier punto del domi-nio.

Ejemplo 2.2.87 Considere las siguientes ilustraciones:


1. Sea:

y = 2x3 − x+ 1

Se da explıcitamente la funcion:

R → Rx → 2x3 − x+ 1

2. Sea:

0 = 2x3 − x+ 1− y ∀x ∈ R, ∃ y ∈ R

Se da la funcion implıcitamente. En este caso puede obtenerse unaforma explıcita de ella:

y = 2x2 − x+ 1

3. Sea:

0 = 2x5y2 − x3y7 + 2, ∀x ∈ R, ∃ y ∈ R

Ahora no es posible obtener y en funcion de x de modo explıcito.

En general, dada una funcion:

F : R2 → R

se sabe que para x ∈ R, y ∈ R, 0 = F (x, y). ¿Hay una funcion ϕ que de y apartir de x para x cerca de x, tal que para ∀x cercano a x, 0 = F (x, ϕ(x))?.

2.2.13. Teorema de la funcion implıcita

Si F : R2 → R, es continua ası como sus derivadas parciales y 0 = F (x, y)para x, y, entonces ∃ε > 0 y ∃ϕ, una funcion ϕ :]x − ε, x + ε[→ R, tal que∀x ∈]x− ε, x+ ε[, 0 = F (x, ϕ(x)); si 0 6= ∂F

∂y(x, y). Ademas, en tal caso:

ϕ′(x) =

(− 1

∂F∂y

(x, y)

)∂F

∂x(x, y)


Ejemplo 2.2.88 Sea:

0 = 2x2y2 + x2y6

ahora si x = 0 y y = 0 se tiene: 0 = F (x, y), ası

∂F

∂y= 4x4y + 6x2y5

que vale 0 en (x, y) = (0, 0) ∴ no se aplica el teorema, por lo cual no se puederesponder la cuestion de existencia de una funcion implıcita.

Ejemplo 2.2.89 Sea:

xy − z3x2 + 2︸︷︷︸F (x,y,z)

si x = 2; y = 1, entonces con z = 1 resulta 0 = F (2, 1, 1):

xy − z3x2 + 2 = 2− 4 + 2 = 0

Luego ¿existira ϕ(x, y) cerca de (2, 1) que para todo punto (x, y) cercano a(2, 1), 0 = F (x, y, ϕ(x, y))?

∂F

∂z= −3z2x2 |(2,1,1) = −12 6= 0

por lo que la respuesta es Sı.

Dada una funcion F : R3 → R se sabe que ∃(x, y) de R2, ∃z de R,0 = F (x, y, z). ¿Hay una funcion ϕ definida “cerca”de (x, y), tal que ∀(x, y)cercano a (x, y), 0 = F (x, y, ϕ(x, y))?.

Teorema 2.2.90 (Funcion Implıcita) Si F : R3 → R es continua asıcomo sus derivadas parciales y 0 = F (x, y, z), ∃x,∃y,∃z; entonces ∃ε > 0,existe una funcion ϕ :]x − ε, x + ε[×]y − ε, y + ε[→ R tal que ∀(x, y) de

]x− ε, x+ ε[×]y − ε, y + ε[, 0 = F (x, y, ϕ(x, y)), si 0 6= ∂F

∂z(x, y, z). Ademas

en tal caso se cumple:[ ∂ϕ∂x

(x, y)∂ϕ∂y

(x, y)

]= − 1

∂F∂z

(x, y, z)

[∂F∂x

(x, y, z)∂F∂y

(x, y, z)

]


Ejemplo 2.2.91 Sea:0 = x3y − xy2z + 2

si x = 2, y = 1, entonces una solucion es z = 5

∂F

∂z= −xy2 y

∂F

∂z|(2,1,5) = −2 6= 0

por lo tanto existe ε > 0, existe una funcion ϕ : U → R, tal que ϕ(2, 1) =5, ∀(x, y) ∈ U , donde ϕ(x, y) es solucion correspondiente, es decir 0 =F (x, y, ϕ(x, y)), y ademas[ ∂ϕ

∂x(2, 1)

∂ϕ∂y

(2, 1)

]= −1

2

[3x2y − y2zx3 − 2xyz

]=

1

2

[7−12

]=

[72

−6

]Entonces, para un,

x = 2 + ∆x con ∆x = −0,002

y = 1 + ∆y con ∆y = +0,003

la solucion en z es aproximadamente:

z = 5 + ∆z

donde:

∆z ∼=∂ϕ

∂x(2, 1)∆x+

∂ϕ

∂y(2, 1)∆y

∼=7

2(−0,002)− 6(0,003)

= −0,25

por lo que la nueva solucion es 4, 975.

Ejemplo 2.2.92 Sea la siguiente relacion entre x e y:

F (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0

si x = 1, entonces la solucion es y = 0, ası

∂F∂y

= 2y ; ∂F∂x

= 2x∂F∂y

(1, 0) = 2(0) = 0 ; ∂F∂y

(1, 0) = 2(0) = 0

si varıa un poco el valor en 1 de x ¿existe solucion en y?, en caso que sı,entonces, ¿cual sera la solucion para un ∆x arbitrario?


Ejemplo 2.2.93 Sea el sistema donde:

0 = x3y2 + xy − b

ademas:0 = axy3 − 6

si a = 3 y b = 10, entonces una solucion es x = 2 ∧ y = 1. por lo que,

∂(sistema)

∂(endogena)=

[3x2y2 + y 2x3y + x

ay3 3axy2

]por lo que si reemplazamos los valores dados, obtenemos:

∂(sistema)

∂(endogena) (3,10,2,1)

=

[13 183 18

]el cual tiene determinante igual a 180 6= 0.

Ahora,

∂(sistema)

∂(exogena)(3, 10) = −

(∂(sistema)

∂(endogena)

)−1

(3,10,2,1)

×(∂(sistema)

∂(exogena)

)(3,10,2,1)

= − 1

180

[18 −18−3 13

]×[

0 −12 0

]= − 1

180

[−36 −1826 3

]=

[36180

18180

−26180

−3180

]¿Que solucion hay en x, y para a = 2,987 y para b = 10,001?

∆x =∂ϕ

∂a.∆a+

∂ϕ

∂b.∆b

∆x =36

180(0,013) +

18

180(0,001)

∆x = 0,0026 + 0,0001 = 0,0027

ademas:

∆x =∂ϕ

∂a.∆a+

∂ϕ

∂b.∆b

∆y = − 26

180(0,013)− 3

180(0,001)

∆y = −0,00169− 0,000016666

∆y = −0,0017


Teorema 2.2.94 Si F : Rn+1 → R, es continua, ası como sus derivadas par-ciales; y ∃(x1, x2, ..., xn, z) de Rn+1, 0 = F (x1, x2, ..., xn, z) con 0 6= ∂F

∂z(x, z),

entonces ∃ε > 0, existe una funcion ϕ, tal que:

ϕ :]x1 − ε, x1 + ε[×...×]xn − ε, x+ ε[→ R,

z = ϕ(x1, x2, ..., xn) ∧ ∀(x1, x2, ..., xn),

0 = F (x1, x2, ...xn, ϕ(x1, x2, ...xn)︸︷︷︸z

)

ademas, ∂ϕ∂x1

(x)...

∂ϕ∂xn

(x)

= − 1∂F∂z

(x, z)

∂F∂x1

(x, z)...

∂F∂xn

(x, z)

Teorema 2.2.95 Si un sistema:

0 = F1(x1, x2, ..., xm, z1, z2, ..., zn)...

0 = Fn(x1, x2, ..., xm, z1, z2, ..., zn)

para el cual existe x de Rm, z de Rn, 0 = F (x, z) ∧ 0 6= det(Jacobiano de Frespecto a z)

∂F1

∂z1(x, z) · · · ∂F1

∂zn(x, z)

.... . .

...∂Fn

∂z1(x, z) · · · ∂Fn

∂zm(x, z)

n×n

Sea:Uz(x) =]x1 − ε, x1 + ε[×...×]xn − ε, xn + ε[ para cierto ε.

Entonces existe una funcion:

ϕ : Uz(x)→ Rn

tal que:ϕ(x) = z ∧ ∀x de Uz(x), 0 = F (x, ϕ(x))

Ademas el Jacobiano de las z respecto de las x en (x) =

−(

Jacobiano de F respectode z en (x, z)

)−1(Jacobiano de F respecto

de x en (x, z)

)


es decir,∂ϕ1

∂x1(x) · · · ∂ϕ1

∂xm(x)

.... . .

...∂ϕn

∂x1(x) · · · ∂ϕn

∂xm(x)

=

∂F1

∂z1(x, z) · · · ∂F1

∂zn(x, z)

.... . .

...∂Fn

∂z1(x, z) · · · ∂Fn

∂zn(x, z)

−1

×

∂F1

∂x1(x, z) · · · ∂F1

∂xm(x, z)

.... . .

...∂F1

∂x1(x, z) · · · ∂F1

∂xm(x, z)

∂ϕ∂x

(x) = −(∂F∂z

(x, z))−1 (∂F

∂x(x, z)

)Jacobiana de las endogenas deequilibrio resp. a las exogenas

=Jacobiana del sistemarespecto a endogenos

× Jacobiana del sistemarespecto a exogenas

Ejemplo 2.2.96 Si:0 = x3y2 + xy − b

y si a = 3 ∧ b = 10 entonces:

0 = axy3 − 6

en donde las soluciones son x = 2 y = 1 ¿Que solucion hay si a = 2,987∧b =10,001? en donde las variables endogenas son: x, y y las variables exogenasson: a, b en el cual

∂(sistema)

∂(endogena)=

[3x2y2 + y 2x3y + x

ay3 3axy2

]∂(sistema)

∂(endogena)| a=3b=10x=2y=1

=

[13 183 18

]

cuyo determimante es 180 6= 0.

Se puede aplicar Teorema de la funcion implıcita (TFI) :∃ vencidad V de (3, 10) en R2 de la cual sale una funcion ϕ : V → R2

tal que ϕ(3, 10) = (2, 1) ∧ ∀∆3,∀∆10 bastante pequeno como para que(3 + ∆3, 10 + ∆10) ∈ V ; se tiene o cumple que ϕ(3 + ∆a, 10 + ∆b) es el”nuevo equilibrio del sistema”. Se cumple la nueva seleccion:

0 = ϕ1(3 + ∆a, 10 + ∆b)3(ϕ2(∗, ∗))2 + ϕ1(∗, ∗)ϕ2(∗, ∗)− 10,001

Ejemplo 2.2.97 (Modelo IS-LM lineal) Sea que el ingreso Y esta deter-minado de una agregacion de la variable consumo C, inversion I, y gasto G.

Y = C + I +G (IS)


M = PL (LM)

Se asume que C = αY con α ∈ ]0, 1[ donde α es la propension marginal aconsumir, ademas la inversion esta determinada por I = a− br, donde a esel nivel de inversion autonoma, y b es la sensibilidad de la inversion respectoa la tasa de interes y donde se cumple que a, b > 0. Ademas L = c+dY −er,donde c es el nivel de demanda por dinero autonoma, d es la sensibilidad dela demanda por dinero con respecto a la produccion, y e es la sensibilidad dela demanda por dinero respecto a la tasa de interes. Las variables endogenasson: Y, r mientras que las variables exogenas son: G,M,P .

¿Es posible alcanzar forma reducida?. Por lo que resolviendo, podemosencontrar las siguientes soluciones:

Y =−(a+G)Pe− b(M − Pc)−P (e(1− α) + bd)

.

r =(1− α)(M − pe)− Pd(a+G)

−P (e(1− α) + bd).

Ejemplo 2.2.98 (Modelo IS-LM general) Considerando las mismas ecua-ciones IS − LM del ejemplo anterior asumimos que C = C(Y ), dondeC ′(Y ) ∈ ]0, 1[ e I = I(r), donde I ′(r) < 0 y por ultimo L = L(Y, r), dondeLY > 0 > Lr.

¿Es aplicable TFI al modelo general IS − LM?. por lo que:

∂(sistema)

∂(endogena)=

[−1 + C(Y ∗) I ′(r∗)PLY (Y ∗, r∗) PLr(Y

∗, r∗)

]

entonces existe el equilibrio (Y ∗, r∗) cuyo determinate es diferente de 0.

0 = 2,987ϕ1(∗, ∗)ϕ2(∗, ∗)− 6


entonces:

∂ϕ

∂(exogena)= −

(∂(sistema)

∂(endogena)

)−1(∂(sistema)

∂(exogena)

)∂ϕ

∂(exogena)= − 1

180

[18 −3−18 13

]′ [0 −12 0

]∂ϕ

∂(exogena)= − 1

180

[18 −18−3 13

] [0 −12 0

]∂ϕ

∂(exogena)= − 1

180

[−36 −1826 3

]∂ϕ

∂(exogena)=

[38180

18180

−26180

−3180

]por lo que: [

∆x∆y

]∼=

[∂ϕ

∂(exogena)

]×[

∆a∆b

]=

1

180

[36 18−26 −3

]×[−0,0130,001

]=

[−36(0,013)+18(0,001)

18026(0,013)−3(0,001)

180

]

por lo tanto nuevo sol x = 2 + ∆x, y = 1 + ∆y.¿Para que sirve?Tienes un sistema de ecuaciones con tantas incognitas como ecuaciones ypara un juego determinado de parametros, la soluciuon es tal que existenmodificaciones en los datos y te da una nueva solucion de manera aproximadaempleando una matriz (arreglo) a la cual se le hace corresponder una matrizjacobiana de la siguiente manera:(

∆x

∆y

)=

(∂(funcion implıcita)

∂(exogena)

)(∆a

∆b

)=

((∂(sistema)

∂(endogena)

)−1

×(∂(sistema)

∂(exogena)

))(∆a

∆b

)que cumple con las condiciones:

det

(∂(sistema)

∂(endogena)

)6= 0


pues el sistema tendra inversa si y solo sı det(A) 6= 0⇐⇒ ∃A−1. Este procesoes conocido como la sensibilidad de la variable endogena respecto a la variableexogena.

material de enseÑanz a - pucpfiles.pucp.edu.pe/departamento/economia/me005.pdf(material de...

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