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DEPARTAMENTO DEECONOMÍA

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DEL EQUILIBRIO GENERAL

MATERIAL DE ENSEÑANZA

Nº 1

Alejandro Lugon

MEDECON

MATERIAL DE ENSEÑANZA N° 1

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DEL EQUILIBRIO GENERAL

Alejandro Lugon

Octubre, 2015

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA

MATERIAL DE ENSEÑANZA 1

http://files.pucp.edu.pe/departamento/economia/ME001.pdf

http://files.pucp.edu.pe/departamento/economia/ME001.pdf

© Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú,

© Alejandro Lugon

Av. Universitaria 1801, Lima 32 – Perú.

Teléfono: (51-1) 626-2000 anexos 4950 - 4951

[email protected]

www.pucp.edu.pe/departamento/economia/

Encargado de la Serie: José Rodríguez

Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú,

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Alejandro Lugon Introducción a la Teoría del Equilibrio General Lima, Departamento de Economía, 2015 (Material de enseñanza 1) PALABRAS CLAVE: Equilibrio general, intercambio, economías con producción, eficiencia.

Las opiniones y recomendaciones vertidas en estos documentos son responsabilidad de sus

autores y no representan necesariamente los puntos de vista del Departamento Economía.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2015-12785.

ISSN 2413-8606 (Impreso)

ISSN (En línea –en trámite)

Impreso en Kolores Industria Gráfica E.I.R.L.

Jr. La Chasca 119, Int. 264, Lima 36, Perú.

Tiraje: 100 ejemplares

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Introduccion a la Teorıa del Equilibrio General1

Alejandro Lugon2

Octubre 2015

1Notas escritas para cursos de la Maestrıa en Matematicas Aplicadas y de la Maestrıa de Eco-nomıa de la PUCP. Una primera version fue preparada para un cursillo dictado en el XXVII Colo-quio de la SMP (2009) en la Universidad Nacional del Altiplano - Puno. Agradezco al Departamentode Economıa de la PUCP el apoyo en la revision final.

2Dep. de Economıa, PUCP

Introduccion a la Teorıa del Equilibrio

General

Alejandro Lugon

Dep. de Economıa, PUCP

Abstract

This document presents the fundamentals of the General EquilibriumTheory in finite dimension. The purpose is to provide a manual at thepostgraduate level. Precision and completeness of the definition, results andproofs are the main objective of the exposition.

Chapter 1 covers the consumer theory, from preferences to demand. Chap-ter 2 is about exchange economies: equilibrium’s existence and uniqueness,efficiency and core. Production firm is the subject of Chapter 3, from tech-nology to offer. Chapter 4 exposes production economies: existence and ef-ficiency of equilibrium. Finally, Chapter 5 contains some results about effi-ciency using the social welfare function theory.

Key words: General Equilibrium, Pure Exchange, Production Economy,Efficiency.

JEL Code: D51

Resumen

Este documento presenta los resultados fundamentales de la Teorıa del equi-librio general en dimension finita. El objetivo es servir de notas de clase anivel de posgrado. La exposicion de cada tema intenta ser precisa y completaen las definiciones, resultados y demostraciones.

En el Capıtulo 1 se cubre la teorıa del consumidor, de las preferenciasa la demanda. El Capıtulo 2 trata sobre economıas de intercambio puro,cubriendose los puntos de existencia y unicidad del equilibrio, eficiencia ynucleo. La empresa productiva se desarrolla en el Capıtulo 3, de las tec-nologıas a la oferta. En el Capıtulo 4 se ven la economıas con produccion,existencia y eficiencia del equilibrio. Finalmente el Capıtulo 5 presenta re-sultados generales sobre eficiencia por medio de la funciones de bienestarsocial.

Palabras Clave: Equilibrio General, Intercambio, Economıas con pro-duccion, Eficiencia.

Codigo JEL: D51

Indice general

Notacion 2

Introduccion 3

1. Consumidores 41.1. Preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Equilibrio Walrasiano para Economıas de Intercambio Puro 142.1. Exceso de Demanda Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5. Nucleo y Economıas Repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Empresas 353.1. Tecnologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Oferta y Beneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Equilibrio Walrasiano para Economıas con Produccion 414.1. Oferta y Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Funcion Exceso de Demanda Agregada y Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 454.3. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5. Bienestar 535.1. Funcion de Bienestar Social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2. Resultados Analıticos bajo diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3. Metodo de Negishi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Bibliografıa 61

1

Notacion

Para x, y ∈ RL

• x� y si ∀i xi > yi

• x ≥ y si ∀i xi ≥ yi

• x y si x ≥ y ∧ x 6= y

RL+ = {x ∈ RL|x ≥ 0}

RL++ = {x ∈ RL|x� 0}

∆ = {x ∈ RL+|∑L

i=1 xi = 1}

∆+ = {x ∈ RL++|∑L

i=1 xi = 1}

2

Introduccion

La Teorıa del Equilibrio General es el esfuerzo mas amplio y elegante de la teorıa economi-ca para modelar la realidad economica como la que vivimos a diario. El problema economicobasico surge cuando diversos agentes tienen bienes que desean intercambiar entre ellos paralograr una mejor situacion personal. Estos agentes pueden ser de dos tipos: consumidores yempresas. Las empresas compran bienes para transformarlos en otros y venderlos logrando unbeneficio economico, el cual se reparte entre sus propietarios. Los consumidores poseen unacanasta inicial de bienes y participacion en las beneficios de las empresas, con esta riquezacompran una canasta que sera la que consuman. El objetivo de las empresas sera maximizarsus beneficios y el objetivo de los consumidores maximizar su satisfaccion personal. Parahacer mas precisas estas afirmaciones necesitamos especificar las reglas de intercambio, laforma en que los agentes juzgan las situaciones y las posibilidades de transformacion delas empresas. Esto se puede hacer de varias maneras, dependiendo del contexto o problemaeconomico particular que se quiera modelar. En este texto abordaremos primero el modelomas sencillo posible, asumiendo que tenemos un numero finito de bienes (L) y consumidores(I), desarrollaremos un modelo de intercambio puro sin la presencia de empresas. En unasegunda parte introduciremos el sector productivo. En ambos casos todos los intercambios sedan a traves del mercado donde los bienes se compran y venden a precios p ∈ RL++, uniformesy fijos desde el punto de vista de todos los consumidores y empresas.

3

Capıtulo 1

Consumidores

El consumidor es el agente basico del modelo. Tendremos I ∈ N consumidores, cada unoidentificado por un indice i = 1, . . . , I. Cada consumidor i posee una dotacion inicial de losbienes, representada por el vector ωi ∈ RL+ de manera que ωij es la cantidad que inicialmenteposee el individuo i del bien j. Cada consumidor puede intentar conseguir en el mercado unacanasta de consumo mejor que su dotacion inicial, vendiendo y comprando a los precios demercado. Este canasta de consumo sera un vector xi ∈ RL+. Para juzgar si una canasta esmejor que otra dotaremos al consumidor de preferencias.

1.1. Preferencias

La relacion de preferencia del consumidor i es una relacion sobre RL+, <i⊂ RL+ × RL+. Larelacion x <i y la leemos x es preferido o indiferente a y o, de manera equivalente, x es almenos tan bueno como y. Por el momento no es necesario diferenciar entra agentes ası queobviaremos el superındice.

Nos interesa limitar nuestro estudio a las preferencias racionales:

Definicion 1.1 (Racionalidad) Una preferencia < se dice racional si es:

Completa: ∀x, y ∈ RL+ se tiene x < y o y < x.

Transitiva ∀x, y, z ∈ RL+ si x < y ∧ y < z =⇒ x < z

A partir de la relacion debil < podemos definir la relacion de preferencia estricta:

x � y si y solo si x < y y no y < x

y le indiferencia:x ∼ y si y solo si x < y e y < x

No es difıcil demostrar la siguiente:

Proposicion 1.2 Si < es racional entonces

1. � es irreflexiva y transitiva.

2. ∼ es reflexiva, transitiva y simetrica.

4

3. ∀x, y, z ∈ RL+ x < y =⇒ y � z =⇒ x � z

Para el caso que queremos desarrollar es conveniente pedir una de las siguientes propie-dades que tienen que ver con la deseabilidad de lo elegido.

Definicion 1.3 (Deseabilidad) Unas preferencias < sobre RL+ se dicen:

1. (M) Monotonas, si ∀x, y ∈ RL+ con x� y se tiene x � y.

2. (FtM) Fuertemente Monotonas, si ∀x, y ∈ RL+ con x y implica x � y.

3. (LnS) Localmente no Saciadas, si ∀x ∈ RL+ y ∀ε > 0, ∃y ∈ V (x, ε) tal que y � x.

La relacion entre estas propiedades es:

Proposicion 1.4 FtM =⇒ M =⇒ LnS.

Demostracion

d La primera implicacion es directa al observar que x� y implica x y. Para lasegunda, dado ε > 0 consideramos y = x + ε√

L(1, 1, . . . , 1) � x. Por M tenemos

que y � x. Como ||x− y|| =√ε2 ≤ ε tenemos que y ∈ V (x, ε).c

Otra propiedad importante tiene que ver con la continuidad de la relacion:

Definicion 1.5 (Continuidad) Unas preferencias < sobre RL+ se dicen continuas si paratodo par de secuencias convergentes xn → x e yn → y tales que xn < yn para todo n se tieneque x < y.

Como vemos en la siguiente proposicion existen muchas maneras de definir la continuidadde unas preferencias:

Proposicion 1.6 Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. < es continua.

2. <⊂ RL+ × RL+ es cerrado.

3. Si x � y entonces existen Ux y Uy vecindades de x e y respectivamente abiertas en RL+tales que a ∈ Ux y b ∈ Uy implica a � b.

4. ∀x ∈ RL+ los conjuntos {y ∈ RL+|y < x} y {y ∈ RL+|x < y} son cerrados.

5. ∀x ∈ RL+ los conjuntos {y ∈ RL+|y � x} y {y ∈ RL+|x � y} son abiertos.

Demostracion

5

d Es obvio que 1) y 2) son equivalentes y que 4) y 5) tambien. Probaremos que5)⇒3)⇒2)⇒4).

5)⇒3): Si existe z tal que x � z � y, construimos los conjuntos Ux = {a ∈RL+|a � z} y Uy = {b ∈ RL+|z � b}. Si no existe tal z, consideramos Ux = {a ∈RL+|a � y} y Uy = {b ∈ RL+|x � b}. En cualquier caso por 5) ambos conjuntosson abiertos y por definicion cumplen con la segunda parte de 3).

3)⇒2):Consideremos una secuencia {(xn, yn)} ⊂< convergente a (x, y). Si fueraverdad que y � x por 3) tendrıamos que la existencia de las vecindades Ux y Uy ypor lo tanto para n suficientemente grande xn � yn lo que contradice (xn, yn) ∈<.Por lo tanto x < y es decir (x, y) ∈<, mostrando que < es cerrado.

2)⇒4): Sea una secuencia {yn} ⊂ {a ∈ RL+X|a < x} convergente a y. La secuen-cia {(yn, x)} esta en < y converge a (y, x). Por 2) tenemos entonces (y, x) ∈<que significa y � x.c

Finalmente damos una propiedad que sera de ayuda cuando veamos el problema delconsumidor.

Definicion 1.7 (Convexidad) Unas preferencias < sobre RL+ se dicen convexas si ∀x ∈RL+ el conjunto de sobrenivel {y ∈ RL+|y < x} es convexo. Si este conjunto es estrictamenteconvexo (y < x, z < x, y 6= z =⇒ ∀α ∈]0, 1[: αy + (1 − α)z � x) las preferencias se dicenestrictamente convexas.

1.2. Utilidad

Podemos trabajar los temas que siguen a partir de las preferencias de los consumidores,pero esto es mucho mas manejable si usamos una representacion funcional. Esta representa-cion recibe el nombre de funcion utilidad.

Definicion 1.8 (Utilidad) Una funcion u : RL+ −→ R es una utilidad que representa a laspreferencias < si: ∀ x, y ∈ RL+:

x < y ⇐⇒ u(x) ≥ u(y)

Una primera observacion directa sobre esta definicion es su ordinalidad:

Proposicion 1.9 Si u : RL+ −→ R representa a < y f : R −→ R es estrictamente crecienteen el rango de u, entonces v = f ◦ u tambien representa a <.

La segunda es que la racionalidad de las preferencias es una condicion necesaria para serrepresentadas:

Proposicion 1.10 Si u : RL+ −→ R representa a < , entonces < es racional.

Esto ultimo se debe a que la relacion de orden ≥ en R es completa y transitiva.La pregunta natural es si la racionalidad es tambien suficiente para la representabilidad.

Como vemos en el clasico ejemplo de las preferencias lexicograficas, la respuesta es negativa.Consideremos sobre R2

+ las preferencias definidas por

x < y si (x1 > y1) ∨ (x1 = y1 ∧ x2 ≥ y2)

6

Estas preferencias son racionales, transitivas, fuertemente monotonas y estrictamente conve-xas. Sin embargo no tienen ninguna funcion de utilidad que las representen. Esto se constataal observar que x ∼ y si y solo si x = y, si existiera una funcion de utilidad tendrıamos unaaplicacion inyectiva de R2

+ a R.Lo que falla en la lexicografica es la continuidad. Si tomamos las secuencias xn =

(1/n, 0)→ (0, 0), yn = (0, 1) tenemos xn � yn pero (0, 1) � (0, 0).Para preferencias continuas daremos dos teoremas de representabilidad pero solo proba-

remos el primero.

Teorema 1.11 Toda preferencia < racional, contınua y monotona es representable por unafuncion de utilidad u : RL+ −→ R contınua.

Demostracion

dSea e = (1, 1, . . . , 1) ∈ RL+, fijemos x ∈ RL+ y definamos:

A+ = {α ∈ R+|αe < x} (1.1)

A− = {α ∈ R+|x < αe} (1.2)

Por la continuidad ambos conjuntos son cerrados y por la racionalidad son novacıos y su union es R+. Por lo tanto su interseccion no puede ser vacıa, esdecir existe α tal que αe < x < αe es decir x ∼ αe. Si existieran α1 y α2

tales que α1e ∼ x ∼ α2e por la monotonicidad tendrıamos que α1 = α2, esdecir:A+ ∪ A+ = {αx}. Con esto definimos la funcion u(x) = αx para la cualdemostraremos que representa a la preferencia y que es contınua.

Representacion:

x < y ⇐⇒ αxe ∼ x < y ∼ αye (1.3)

⇐⇒ αxe < αye (1.4)

⇐⇒ αx ≥ αy (1.5)

⇐⇒ u(x) ≥ u(y) (1.6)

Donde la primera y cuarta equivalencia es por definicion, la segunda por transi-tividad y la tercera por monotonicidad.

Continuidad: Basta demostrar que la imagen inversa de cualquier intervaloabierto ]a, b[⊂ R es un abierto de Rn. Es facil ver que u−1(]a, b[) = {x ∈ RL+|be �x � ae}, el cual es abierto dada la continuidad de las preferencias.c

La condicion de monotonicidad no es realmente necesaria y podemos tener un teoremamas general:

Teorema 1.12 (Ver [2]) Toda preferencia < racional y continua sobre un subconjunto Xde un espacio topologico con una base contable de abiertos es representable por una funcionde utilidad continua.

7

1.3. Demanda

El objetivo del consumidor es escoger el mejor elemento (maximal) segun sus preferenciasdentro de un conjunto de oportunidades de consumo. Para nuestro objetivo este conjuntoesta determinado por el vector de precios p ∈ Rn++ y la dotacion inicial ω ∈ RL+: B(p, w) ={x ∈ RL+|px ≤ pw} y recibe el nombre de conjunto presupuestario. Usando la funcion deutilidad el Problema del consumidor es:

Max u(x) (1.7)

s.a. x ∈ B(p, ω)

o de forma explıcita:

Max u(x)

s.a. px ≤ pω

x ≥ 0

Proposicion 1.13 Con p ∈ RL++ el conjunto B(p, ω) es convexo y compacto.

Esta propiedad de B(p, ω) junto con la continuidad de la funcion utilidad nos aseguran laexistencia de solucion. Para mantener la simplicidad de nuestro desarrollo asumiremos quelas preferencias son estrictamente convexas para que la solucion sea unica.

Teorema 1.14 Si las preferencias son racionales, continuas y estrictamente convexas, elproblema del consumidor (1.7) tiene una unica solucion para todo p ∈ RL++.

Demostracion

dUsando el Teorema de Wieirstrass, la existencia esta garantizada por la compa-cidad de B(p, ω) y la continuidad de u. Para la unicidad supongamos que (1.7)tiene dos soluciones: x′ y x′′ entonces para α ∈]0, 1[ tenemos que (1−α)x′+αx′′

pertenece tambien a B(p, ω), por ser este convexo, y como las preferencias sonestrıctamente convexas (1 − α)x′ + αx′′ � x′, contradiciendo la optimalidad dex′.c

Este teorema nos permite definir la funcion1 demanda:

x : RL++ −→ RL+p 7−→ x(p) = ArgMaxx∈B(p,ω)u(x)

Esta funcion nos da la canasta deseada por un consumidor con utilidad u y dotacioninicial ω si los precios de mercado son p. A partir de ella podemos encontrar lo que elconsumidor quiere vender y lo que quiere comprar en el mercado, a esta funcion se le llamaexceso de demanda:

z(p) = x(p)− ωAsı, si z`(p) > 0 el consumidor desea comprar dicha cantidad del bien `, si −z`(p) > 0 elconsumidor desea vender dicha cantidad del bien ` y si z`(p) = 0 el consumidor no deseacomprar ni vender del bien `.

Las propiedades de la funcion exceso de demanda relevantes para nuestro estudio estanen el siguiente teorema:

1Sin unicidad tendrıamos una correspondencia

8

Teorema 1.15 Si las preferencias son racionales, continuas, estrıctamente convexas y lo-calmente no saciadas, para todo p ∈ RL++ tenemos:

1. z(p) es continua en p.

2. ∀α > 0 : z(αp) = z(p)

3. pz(p) = 0

4. ∃s > 0 tal que ∀p ∈ RL++ : mın`=1,...,L z`(p) > −s

Demostracion

d 1. La continuidad de z se deriva de la continuidad de la demanda y esta sepuede obtener como un caso particular de un teorema general de la teorıade optimizacion. Daremos aquı una prueba directa. Tomemos una secuenciade precios pn convergente en RL++ a p, debemos mostrar que xn = x(pn)→x(p) = x. La secuencia de precios al ser convergente es acotada y podemosdefinir p` = maxn p

n` > 0 y p

`= mınn p

n` > 0 para cada ` = 1, . . . , L, ası

p`xn` ≤ pn` x

n` ≤ pnxn ≤ pnω ≤ pω

de donde 0 ≤ xn` ≤pωp`

. Por lo tanto la secuencia xn esta incluida en el

compacto {x ∈ RL+|0 ≤ x ≤ (pωp1

, pωp2

, . . . , pωpL

)}. Consideremos una subsuce-

sion convergente xnk → x′. Como pnkxnk ≤ pnkω tomando lımites tenemospx′ ≤ pω, luego u(x′) ≤ u(x). Sea y ≥ 0 tal que py < pω para nk su-ficientemente grande tambien pnky < pnkω y por lo tanto u(y) ≤ u(xnk),tomando lımites nuevamente u(y) ≤ u(x′). Tomemos ahora y ≥ 0 tal quepy = pω y consideremos la secuencia yn = (1 − 1

n)y → y, para la cual

pyn = (1− 1n)pω < pω y por lo tanto u(yn) ≤ u(x′), en el lımite u(y) ≤ u(x′).

Lo que hemos probado es que ∀y ≥ 0 tal que py ≤ pω tenemos u(y) ≤ u(x′)y por lo tanto x′ = x.

2. Directo al observar B(αp,w) = {x ∈ RL+|αpx ≤ αpw} = {x ∈ RL+|px ≤pw} = B(p, w)

3. Al ser las preferencias localmente no saciadas la solucion de (1.7) no puedeser interior, luego px(p) = pω de donde pz(p) = p(x(p)− ω) = 0.

4. Por definicion x(p) ≥ 0 luego z`(p) = x`(p) − ω` ≥ −ω`. Basta tomars > max` ω`.c

1.4. Ejercicios

1. Muestra que si % es racional entonces:

a) � es irreflexiva y transitiva.

b) ∼ es reflexiva, transitiva y simetrica.

c) Si x � y % z entonces x � y.

9

2. Define la preferencia estricta � y la indiferencia ∼ que se derivan de una preferencialexicografica % en Rn+.

3. Muestra que la preferencia lexicografica es racional, fuertemente monotona y estricta-mente convexa.

4. (Tomado de [4]). Sea % una preferencia sobre X. Decimos que � es negativamentetransitiva cuando x � y implica que ∀z ∈ X (x � z) ∨ (z � y). Demuestre que % estransitiva si y solo si � es negativamente transitiva.

5. (Tomado de [4]) Sobre un conjunto X definimos una relacion �, que llamaremos pre-ferencia estricta, a partir de la cual definimos <, que llamaremos preferencia debil:

x < y ⇐⇒ y 6� x

y dos propiedades:

A La preferencia estricta � es asimetrica si no existe en X ningun par x e y tal quex � y e y � x.

NT La preferencia estricta � es negativamente transitiva si siempre que x � ycualquier z ∈ X cumple x � z o z � y, pudiendo ser ambas ciertas.

Probar que si la preferencia estricta � cumple A y NT entonces la preferencia debil< es completa y transitiva. ¿Es la recıproca tambien verdad?

6. (Tomado de [1]) Para una % preferencia sobre X, definimos la propiedad:

P: ∀x, y, u, v si x % u y y % v entonces αx+ (1− α)y % αu+ (1− α)v ∀α ∈ [0, 1]

Estudiar si P implica la convexidad de % y/o si la convexidad de % implica P.

7. Muestre que si una preferencia % sobre X es Localmente No Saciada toda curva deindiferencia Cz = {x ∈ X|x ∼ z} para z ∈ X no tiene puntos interiores.

8. Sea < una preferencia racional sobre RL+ y � su preferencia estricta. Definimos laspropiedades:

M : ∀x, y ∈ RL+ con x� y se tiene x � y.

FtM : ∀x, y ∈ RL+ con x y implica x � y.

LnS : ∀x ∈ RL+ y ∀ε > 0, ∃y ∈ V (x, ε) tal que y � x.

DD : ∃v ∈ RL+ tal que ∀x ∈ RL+, ∀α > 0: x+ αv � x

Se sabe que FtM =⇒ M =⇒ LnS. Ubica DD en esta secuencia

9. Prueba que toda preferencia representable por una funcıon continua es continua.

10. Encuentra un ejemplo de una preferencia no continua sobre Rn+ que sea representablepor una funcion de utilidad.

10

11. Sea % una preferencia sobre X ∈ Rn y u : X → R una utilidad que la representa.Demuestra que si % es convexa entonces ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ [0, 1] se cumple que u(αx +(1− α)y ≥ mın{u(x), u(y)} (u es cuasiconcava).

12. (Tomado de [1])Decimos que una funcion u : RL+ → R es estrictamente quasi-concava(EQC) si para todo par de canastas x, y ∈ RL+, x 6= y y 0 < α < 1 se cumple:

u (αx+ (1− α)y) > mın{u(x), u(y)}

Dadas una preferencia < y una utilidad u que la representa, pruebe que u es EQC siy solo si < es estrictamente convexa.

13. Muestra que si X es finito y � es una preferencia racional sobre X entonces existe unafuncıon de utilidad que representa a �.

14. (Tomado de [1]) Una preferencia � sobre R× RL−1+ es cuasilineal respecto del primer

bien si:

a) x ∼ y ⇒ (x+ (α, 0, . . . , 0)) ∼ (y + (α, 0, . . . , 0)) para todo α

b) (x+ (α, 0, . . . , 0)) � x para todo x y α > 0

Muestra que � sobre R × RL−1+ es cuasilineal respecto del primer bien si y solo si es

representable por una funcıon de utilidad u(x) de la forma:

u(x) = x1 + v(x2, . . . , xL)

15. Sea la preferencia lexicografica sobre el conjunto X = {0, 1}n. Muestra que es repre-sentable y encuentra una funcıon de utilidad que lo haga.

16. Una preferencia � sobre Rn+ es homotetica si cumple con: x ∼ y ⇒ αx ∼ αy para todos

x, y ∈ X y α ≥ 0. Muestra que � sobre Rn+ es homotetica si y solo si es representable

por una funcıon de utilidad u(x) homogenea de grado uno.

17. Sea la funcion de utilidad u : Rn+ → R homogenea de grado 1. Muestra que para todo

λ > 0: x ∼ y ⇒ λx ∼ λy.

18. Encuentra la demanda (funcıon o correspondencia) para cada una de las siguientesutilidades:

a) U(x1, x2) = ax1 + bx2

b) U(x1, x2) = 2x1 + 3x2

c) U(x1, x2) = mın{ax1, bx2}d) U(x1, x2) = mın{x1, 3x2}e) U(x1, x2) = xa1x

b2

f ) U(x1, x2) = x21x

42

g) U(x1, x2) = (xρ1 + xρ2)1ρ

h) U(x1, x2) = (x0,51 + x0,5

2 )2

11

i) U(x1, x2) = x1 +√x2

j ) U(x1, x2) = x1 + lnx2

k) U(x1, x2) = x1 + ln (1 + x2)

l) U(x1, x2) = −(x1 − a)2 − (x2 − b)2

m) U(x1, x2) = −(x1 − 9)2 − (x2 − 1)2

19. Demuestre que si las preferencias de un consumidor son estrıctamente convexas sudemanda x(p, ω) es una funcion. Esto es: existe una unica canasta que resuelve elproblema de maximizacion.

20. Sea la funcion x(p) la demanda Walrasiana de un consumidor con dotacion inicialω fija. Muestra que esta funcıon cumple el Axioma Debil de la Preferencia Revelada(ADPR):

∀p, p′ ∈ RL++:

p · x(p′) ≤ p · ω ∧ x(p′) 6= x(p)⇒ p′ · x(p) > p′ · ω

21. (Tomado de [1]) Considere la utilidad sobre R3+:

u(x1, x2, x3) =√x1 +

√x2 + x2 +

x3

1 + x3

perteneciente a un consumidor con dotacion inicial ω = (1, 1, 1).

a) Muestre que u es estrictamente concava, fuertemente monotona y continua.

b) Muestre que para x3 > 0:

(x1, x2 + x3, 0) � (x1, x2, x3)

c) Muestre que si p2 = p3 entonces x3(p) = 0

d) Considere la secuencia de precios pn = (1, 1/n, 1/n).

e) Estudie y comente los lımites de x2(pn) y x3(pn).

22. (Tomado de [6]) En el problema:

Min p · xs.a. u(x) ≥ u

x ≥ 0

Definimos la funcion e(p, u) como el valor optimo y la correspondencia h(p, u) como elconjunto de canastas donde se encuentra e(p, u). Demuestra que:

a) e(p, u) es homogenea de grado uno y concava en p.

b) Si u(·) representa a una preferencia localmente no saciada: x ∈ h(p, u) =⇒u(x) = u.

c) Si u(·) representa a una preferencia convexa h(p, u) es de imagen convexa.

12

d) Si la convexidad de las preferencias es estricta h(p, u) es funcion.

23. Sea un consumidor con unas preferencias racionales, localmente no saciadas y homoteti-cas. Muestra que su demanda cumple:

∀α > 0 : x(αp,w) =1

αx(p, w)

24. (Tomado de [1])Sea X : RL++ → RL+ la demanda de un consumidor con preferenciasracionales, continuas, fuertemente monotonas y estrictamente convexas. Tomemos unasecuencia {pn} en RL++ convergente a p ∈ RL+. Pruebe que si p1 > 0 entonces lasecuencia ( de las cantidades demandadas del bien 1) {X1(pn)} en R+ es acotada.

25. (Tomado de [5])Demuestre que si las preferencias de un consumidor son estrıctamenteconvexas su demanda x(p, ω) es una funcion. Esto es: existe una unica canasta queresuelve el problema de maximizacion.

13

Capıtulo 2

Equilibrio Walrasiano para Economıasde Intercambio Puro

Consideremos una economıa de L bienes e I consumidores. Cada consumidor i esta defi-nido por su dotacion inicial ωi y su preferencia <i, ası la economıa es la coleccion:

E = {(ωi,<i)|i = 1, . . . I}

Asumiremos que ω =∑I

i=1 ωi � 0, es decir que en el agregado la economıa en su conjunto

dispone de cantidades positivas de todos los bienes considerados.

2.1. Exceso de Demanda Agregada

Dada una economıa, las transacciones entre los agentes estan determinadas por el vectorde precios. Dado p ∈ RL++ cada consumidor i decide su consumo optimo y su accion en elmercado esta dada por su Exceso de Demanda zi(p), la suma de todos ellos nos dara laFuncion Exceso de Demanda Agregada, Z : RL++ −→ RL definida como:

Z(p) =I∑i=1

zi(p)

La FEDA hereda las propiedades la FED individual:

Teorema 2.1 Si las preferencias son racionales, continuas, estrictamente convexas y fuer-temente monotonas, para todo p ∈ RL++ tenemos:

1. Z(p) es continua.

2. ∀α > 0 : Z(αp) = Z(p)

3. pZ(p) = 0

4. ∃s > 0 tal que ∀p ∈ RL++ : mın`=1,...,L Z`(p) > −s

5. Si pn → p 6= 0 con p`′ = 0 para cierto `′: max` Z`(pn)→ +∞

Demostracion

14

d Los puntos 1 al 4 son directos a o partir del Teorema 1.15. Veamos el punto5. Sea pn → p 6= 0 si perder generalidad supongamos p1 = 0 y p2 > 0. Como∑I

i=1 ωi � 0 tenemos que p

∑Ii=1 ω

i =∑I

i=1 pωi � 0 y por lo tanto al menos

para algun i pωi � 0. Demostraremos que para este consumidor:

lımn→∞

max`xi`(p

n) = +∞

supongamos que no, que la secuencia max` xi`(p

n) es acotada, por lo tanto pode-mos tener subsecuencia convergente, xnk = xi(pnk)→ x.

Como pnkxi(pnk) ≤ pnkωi, en el lımite px ≤ pωi. Sea y ≥ 0 tal que py < pωi

para nk suficientemente grande tambien pnky < pnkωi y por lo tanto u(y) ≤u(xnk), tomando lımites nuevamente u(y) ≤ u(x). Tomemos ahora y ≥ 0 talque py = pωi y consideremos la secuencia yn = (1 − 1

n)y → y, para la cual

pyn = (1− 1n)pωi < pωi y por lo tanto u(yn) ≤ u(x), en el lımite u(y) ≤ u(x). Lo

que hemos probado es que ∀y ≥ 0 tal que py ≤ pωi tenemos u(y) ≤ u(x). Peropara la canasta y = x+(1, 0, . . . , 0) cumple py = px = pωi y por la monotonicidadfuerte u(y) > u(x).c

2.2. Equilibrio

Diremos que un precio p es de equilibrio si los excesos de demandas agregados son nulos,de esta forma si algun agente quiere comprar siempre encontrara un vendedor y viceversa.Formalmente tenemos:

Definicion 2.2 (Equilibrio) Para una economıa E con funcion exceso de demanda agre-gada Z : RL++ −→ RL diremos que p∗ es un precio de equilibrio si Z(p∗) = 0.

En lo que resta de este capıtulo nos ocuparemos de probar la existencia de equilibrio.

Teorema 2.3 Si la funcion exceso de demanda agregada Z : RL++ −→ RL cumple las cincopropiedades del Teorema 2.1 entonces existe un vector de precios de equilibrio p∗.

La demostracion la haremos a traves de una serie de lemas y usaremos:

Teorema 2.4 (Punto Fijo de Kakutani) Si una correspondencia1 φ : A⇒ A, con A novacıo, compacto y convexo, es Semi Continua Superiormente y de imagen convexa no vacıaentonces tiene un punto fijo x∗ ∈ A en el sentido que x∗ ∈ φ(x∗).

La estrategia de la prueba es definir a partir de Z una correspondencia que cumpla lascondiciones del teorema de Kakutani para obtener un punto fijo y luego probar que dichopunto fijo es el equilibrio buscado.

Empecemos por notar que la homegeneidad de Z nos permite normalizar los precios y con-siderar solo a aquellos que pertenecen al simplex positivo de RL: ∆+ = {p ∈ RL++|

∑L`=1 p` =

1}.1Ver Anexo

15

Definamos la correspondencia f : ∆⇒ ∆ como:

f(p) =

{q ∈ ∆|Z(p)q ≥ Z(p)q′, ∀q′ ∈ ∆} si p ∈ ∆+

{q ∈ ∆|pq = 0} si p ∈ ∆ \∆+

tambien podemos escribir:

f(p) =

{q ∈ ∆|q` = 0 si Z`(p) < maxi Zi(p)} si p ∈ ∆+

{q ∈ ∆|q` = 0 si p` > 0} si p ∈ ∆ \∆+

Como ∆ es no vacıo, compacto y convexo, para poder aplicar el Teorema de Kakutanisolo falta probar:

Lema 2.5 La correspondencia f es SCS y de imagen convexa

Demostracion

d La convexidad es directa, veamos la semi continuidad superior. Sean las secuen-cias pn → p, qn → q con qn ∈ f(pn) debemos probar que q ∈ f(p). Si p ∈ ∆+ en-tonces p� 0 y para n suficientemente grande pn � 0 y Z(pn)qn ≥ Z(pn)q′, ∀q′ ∈∆, tomando limites y usando la continuidad de Z: Z(p)q ≥ Z(p)q′, ∀q′ ∈ ∆ ypor lo tanto q ∈ f(p). Si p ∈ ∆ \∆+ y p` > 0 entonces existe ε > 0 tal que paran suficientemente grande pn` > ε. Si pn ∈ ∆ \ ∆+ entonces qn` = 0. Si pn ∈ ∆+

entonces

Z`(pn) ≤ 1

εpn`Z`(p

n)

= −1

ε

∑j 6=`

pnjZj(pn)

≤ s

ε

∑j 6=`

pnj

<s

ε

Luego Z`(pn) es acotado pero como p ∈ ∆\∆+ tenemos que maxj Zj(p

n)→ +∞luego, para n suficientemente grande maxj Zj(p

n) > Z`(pn) y por lo tanto qn` = 0.

Resumiendo tenemos que si p` > 0 entonces para n suficientemente grande qn` = 0y su lımite q` = 0 tambien, lo que prueba que q ∈ f(p) c

El lema anterior y el Teorema de Kakutani nos permite afirmar la existencia de un puntofijo para la correspondencia f , el lema siguiente nos dice que dicho punto fijo es el equilibriobuscado.

Lema 2.6 Si p∗ es un punto fijo de f entonces p∗ ∈ RL++ y Z(p∗) = 0.

Demostracion

d Si p∗ ∈ f(p∗) y p∗ ∈ ∆ \ ∆+ entonces p∗p∗ = 0 lo cual es imposible. Por otrolado si Z(p∗) 6= 0 como p∗ ∈ ∆+ tendrıamos f(p∗) ⊂ ∆ \∆+ lo cual tambien esimposible.c

Una vez establecida la existencia se pueden estudiar diversas caracterısticas del equilibriocomo eficiencia, unicidad, estabilidad, robustez etc. En la siguiente seccion veremos el temade unicidad y dejaremos para un capıtulo aparte el estudio de la eficiencia.

16

2.3. Unicidad

Si nuestro modelo intenta describir con el concepto de equilibrio el resultado de la in-teraccion de los agentes, luego de mostrar que el equilibrio existe un buen resultado teoricoserıa poder asegurar su unicidad. Lamentablemente esto no es posible, veremos un ejemploen el cual tendremos mas de un equilibrio.

Ejemplo 2.7 (Tomado de [5]) El consumidor 1 tiene utilidad u1(x1, x2) = x1 − 1/8x−82 y

dotacion inicial (2, r), el consumidor 2 tiene utilidad u2(x1, x2) = x2 − 1/8x−81 y dotacion

inicial (r, 2). Estas utilidades representan preferencias completas, continuas, convexas y es-trictamente monotonas. Para esta economıa, normalizando los precios con p2 = 1, el excesode demanda para el primer bien es:

Z1(p1, 1) = r(p1)−1 − (p1)−8/9 + (p1)−1/9 − r

Es facil ver que Z1(1, 1) = 0 luego los precios (1, 1) son de equilibrio. Segun el valor de rpodemos tener un par de equilibrios mas, por ejemplo si r = 28/9 − 21/9 ≈ 0,7717 tenemosque Z1(2, 1) = 0 y Z1(0,5, 1) = 0.

En general se puede probar (Sonnenschein-Mantel-Debreu) que dada una funcion quecumpla las cinco propiedades del Teorema 2.1 existe una economıa E = {(ωi,<i)|i = 1, . . . I}que genera dicha funcion como su Exceso de Demanda Agregada. Luego si queremos tenerunicidad, debemos restringir nuestra economıa a un subconjunto menor que el estudiado.

Lo que si se puede lograr sin mucho esfuerzo es probar que genericamente toda economıatiene un numero finito (e impar) de equilibrios aislados. Estas resultados son los que veremosa continuacion.

Empecemos estableciendo un resultado para la unicidad local. Para esto normalicemospL = 1 y definamos Z(p) = (Z1(p), Z2(p), . . . , ZL−1(p)), asumiremos que esta funcion tienederivadas parciales continuas formando la matriz D(p) = D(p1,...,pL−1)Z(p)

Definicion 2.8 (Regularidad) Un equilibrio p∗ es regular si la matriz D(p∗) es regular, esdecir tiene determinante no nulo (equivalentemente tiene inversa o es de rango completo).Una economıa es regular si todos sus equilibrios sin regulares.

Es posible demostrar que especificando adecuadamente el espacio de todas las economıas,el conjunto de economıas regulares es abierto y denso. En terminos tecnicos, la propiedadde ser regular es generica. En terminos menos tecnicos, las economıas no regulares son muyraras y si se perturban se convierten en regulares.

Proposicion 2.9 Bajo la normalizacion pL = 1 todo equilibrio regular es localmente unico,es decir aislado.

Demostracion

d La demostracion recae en el Teorema de la Funcion Implıcita. Si p∗ es unequilibrio tenemos que (p∗, 0) es solucion de F (p, q) = Z(p)− q = 0, un sistemade L − 1 ecuaciones para las 2L − 2 variables (p1, . . . , pL−1, q1, . . . , qL−1). Estesistema define localmente en (p∗, 0) a (p1, . . . , pL−1) como funcion (q1, . . . , qL−1)si el Jacobiano DpF (p, q)|(p∗,0) 6= 0. Como DpF (p, q)|(p∗,0) = D(p∗) 6= 0 al ser p∗

regular, tenemos que localmente F (p, 0) = Z(p) = 0 tiene como unica solucion ap∗. c

17

Proposicion 2.10 En una economıa regular con la normalizacion pL = 1 el numero deequilibrios es finito.

Demostracion

d Consideremos el conjunto de equilibrios normalizados:

E = {p = (p1, . . . , pL−1, 1)|Z(p) = 0}

Si tuvieramos en E una secuencia de precios que tienda a un vector con algunacomponente nula, la propiedad del comportamiento en la frontera de Z nos darıaque algun exceso de demanda tenderıa a infinito,lo cual es imposible si los preciosson de equilibrio. Luego todos los precios de equilibrio tiene una cota inferior.De la misma manera no podemos tener precios arbitrariamente grandes por estoequivale a que el precio del bien L tienda a cero. Luego el conjunto E es acota-do. Por otro lado como el exceso de demanda es continuo E es cerrado. En laproposicion anterior vimos que E es discreto.

Al ser E un conjunto compacto (cerrado y acotado) y discreto de un espacioeuclideano, debe ser finito. c

Podemos dar un pequeno paso mas y afirmar que el numero de equilibrios de una economıaregular debe ser impar.

Como ya dijimos al comienzo de esta seccion si queremos conseguir unicidad global de-bemos restringir nuestra economıa. Una manera clasica de hacerlo es asumir que el excesode demanda agregada cumple el Axioma Debil de las Preferencias Reveladas, una propiedadque cumple cada exceso de demanda individual (de cada agente) pero que no se conserva alagregarlos.

Definicion 2.11 (ADPR) Dada una FEDA Z decimos que cumple el Axioma Debil de lasPreferencias Reveladas (ADPR) si para todo par de precios p y p′ tales que Z(p) 6= Z(p′), sipZ(p′) ≤ 0 entonces p′Z(p) > 0.

El ADPR nos garantizara la unicidad del equilibrio.

Proposicion 2.12 Si Z cumple ADPR el conjunto E de precios de equilibrio es convexo.

Demostracion

d Tomemos dos precios de equilibrio p y p′ con Z(p) = 0 = Z(p′) y una combi-nacion convexa de estos pα = αp + (1− α)p′ que no sea un precio de equilibrio:Z(pα) 6= 0. Por la Ley de Walras:

pαZ(pα) = αpZ(pα) + (1− α)p′Z(pα) = 0

Ambos terminos de la suma no pueden ser positivos, al menos uno de los dosdebe ser no negativo. Sin perder generalidad supongamos que pZ(pα) ≤ 0, por elADPR debemos tener que pαZ(p) > 0 lo cual contradice Z(p) = 0. c

Es facil ahora ver que una economıa regular cuya FEDA cumple ADPR debe tener ununico equilibrio.

Teorema 2.13 Una economıa regular con una FEDA Z que cumple el ADPR tiene un unicoequilibrio.

18

2.4. Eficiencia

En la seccion anterior hemos estudiado el equilibrio de mercado, donde los intercambiosse dan de acuerdo a ciertos precios, ahı nos centramos en la existencia de unos preciosp ∈ RL++ que equilibraran el mercado. Este vector de precios genera para cada consumidori = 1, . . . , I una canasta de consumo xi(p). En ese sentido el vector (x1(p), . . . , xI(p)) ∈ RL×I+

es una reasignacion de las dotaciones iniciales por medio del intercambio en el mercado deacuerdo a los precios dados.

La pregunta que nos hacemos en esta seccion es sobre la bondad de esta reasignacion en elsentido de eficiencia. El intercambio entre dos agentes se da cuando es favorable para ambos,al adoptar el mercado como mecanismo estamos limitando las posibilidades de intercambio.Sin limitaciones en los intercambios se puede lograr cualquier asignacion factible.

Definicion 2.14 (Asignacion factible) Dada una economıa E = {(ωi,<i)|i = 1, . . . I}una asignacion factible es un vector (x1, . . . , xI) ∈ RL×I+ tal que

∑Ii=1 x

i = ω =∑I

i=1 ωi

Podemos redefinir el concepto de equilibrio dando enfasis a la asignacion de los recursos yno a los precios.

Definicion 2.15 (Asignacion de Equilibrio) Una asignacion (x1, . . . , xI) factible es deequilibrio si existe p ∈ RL++ tal que para todo i = 1, . . . , I, pxi ≤ pωi y si ui(x) > ui(xi)entonces px > pωi

La pregunta que surge es si, a partir de una asignacion de equilibrio, todavıa se pue-den lograr intercambios beneficiosos para ambas partes involucradas (obviamente fuera delmercado). Este concepto de eficiencia es capturado por el de Optimo de Pareto.

Definicion 2.16 (Optimo de Pareto Fuerte) Una asignacion factible (x1, x2, . . . , xI) esun Optimo de Pareto Fuerte si @ (x1, . . . , xI) factible tal que:

1. ∀i = 1, . . . , I ui(xi) ≥ ui(xi)

2. ∃j tal que uj(xj) > uj(xj)

Definicion 2.17 (Optimo de Pareto Debil) Una asignacion factible (x1, x2, . . . , xI) esun Optimo de Pareto Debil si @ (x1, x2, . . . , xI) factible tal que:

∀i = 1, . . . , Iui(xi) > ui(xi)

Proposicion 2.18 1. Todo Optimo de Pareto Fuerte es un Optimo de Pareto Debil.

2. Si las preferencias de los consumidores son continuas y fuertemente monotonas, todoOptimo de Pareto Debil es un Optimo de Pareto Fuerte.

Demostracion

d 1. Directo

19

2. Mostraremos que, bajo los supuestos, si una asignacion no es Pareto Fuerteentonces no es Pareto Debil.

Sea (x1, x2, . . . , xI) una asignacion que no es Pareto Fuerte, entonces existeuna asignacion factible (x1, x2, . . . , xI) tal que:

a) ∀i = 1, . . . , I ui(xi) ≥ ui(xi)

b) ∃j tal que uj(xj) > uj(xj)

Por la continuidad de las preferencias para α suficientemente pequeno:uj((1 − α)xj) > uj(xj) y por la monotonicidad fuerte: ∀i = 1, . . . , I, i 6= jui(xi + α

I−1xj) > ui(xi) ≥ ui(xi). Luego hemos conseguido una asignacion

factible en la cual todos los consumidores estan mejor, luego (x1, x2, . . . , xI)no es Pareto Debil.c

En general un Optimo de Pareto es una asignacion de los recursos de una economıa talque a partir de ella nadie puede mejorar sin que alguien empeore. Hay que notar que esteconcepto no nos permite decir si una asignacion es mejor que otra en general. Tampoco hayninguna nocion de equidad o justicia implıcita, por ejemplo una asignacion (ω, 0, . . . , 0) esun un optimo de Pareto, si el consumidor 1 tiene preferencias monotonas.

En la siguiente seccion veremos la respuesta a la pregunta inicial de este capıtulo.

Primer y Segundo Teorema del Bienestar

Bajo suposiciones suaves toda asignacion de equilibrio es un optimo de Pareto.

Teorema 2.19 (Primer Teorema del Bienestar) Si las preferencias de los consumido-res son Localmente No Saciadas, todo Asignacion de Equilibrio es un Optimo de ParetoFuerte

Demostracion

d Sea (x1, x2, . . . , xI) una asignacion de equilibrio con precios de equilibrio p. Seauna asignacion (y1, y2, . . . , yI) con u(yi) ≥ u(xi) para todo i y (spg) u(y1) >u(x1). Como x1 es la demanda de 1 a precios p debemos tener que

py1 > px1

Para los demas consumidores si fuera verdad que pyi < pxi por la No SaciedadLocal existira un zi tal que pzi < pxi y u(zi) > u(yi) ≥ u(xi) Lo cual contradiceel hecho que xi es la demanda de i a precios p. Luego debemos tener que

pyi ≥ pxi

Sumando tenemos que p∑I

i=1 yi =

∑Ii=1 py

i = py1+∑I

i=2 pyi > px1+

∑Ii=2 px

i =

pω y no podrıamos tener∑I

i=1 yi = ω, con lo cual la asignacion (y1, y2, . . . , yI)

no es factible. c

20

Se puede tener el mismo resultado cambiando la hipotesis de No Saciedad Local por lade Convexidad Estricta.

El Segundo Teorema del Bienestar nos dice que todo Optimo de Pareto es “algo parecido”a un equilibrio de mercado si se redistribuyen las dotaciones iniciales. Para establecer esteresultado usaremos:

Definicion 2.20 (Soporte) Una asignacion (x1, . . . , xI) factible es soportada por p ∈ RL+,p 6= 0 si para todo i = 1, . . . , I si ui(x) ≥ ui(xi) entonces px ≥ pxi

En relacion a la definicion de Asignacion de Equilibrio hay que notar primero que nose exige que todos los precios sean positivos, p puede tener algunos precios, pero no todos,nulos. Tambien vemos que es posible tener x con ui(x) > ui(xi) y px ≤ pxi, es decir nose pide que xi sea optimal. Estas diferencias no son tan inocentes como parecen, aun ası ladiferencia mas importante es que no se pide que pxi ≤ pωi. Es decir que un consumidorpuede recibir una canasta cuyo valor a precios p sea mayor que el de su dotacion inicial. Estoindica que de la asignacion de dotaciones iniciales a la asigancion soportada por p ha habidouna redistribucion de la riqueza.

El siguiente resultado nos da una primera relacion precisa entre los dos conceptos:

Proposicion 2.21 Si las preferencias son localmente no saciadas toda asignacion de equi-librio es soportada por el precio de equilibrio.

Demostracion

d Sea (x1, . . . , xI) la asignacion de equilibrio y p el precio de equilibrio. Comolas preferencias son LNS, pxi = pωi para todo i = 1, . . . , I. Entonces debemosmostrar solamente que ui(x) = ui(xi) implica px ≥ pωi. Supongamos que no, quepx < pωi, por LNS existe x tal que px < pωi y ui(x) > ui(x) = ui(xi), lo cualcontradice la optimalidad de xi. c

Queda la pregunta de cuando una asignacion (x1, . . . , xI) soportada por p puede ser con-siderada una asignacion de equilibrio. Por el efecto de la redistribucion de la riqueza sabemosque esto no es en general posible a partir de las dotaciones iniciales, debemos redistribuirlas.El caso mas sencillo es pensar que las redistribuimos directamente a (x1, . . . , xI).

Proposicion 2.22 Si las preferencias son continuas y fuertemente monotonas. Para unaasignacion (x1, . . . , xI) soportada por p ∈ RL+, p 6= 0 con pxi > 0 para todo i = 1, . . . , I secumple que p� 0 y para todo i = 1, . . . , I si ui(x) > ui(xi) entonces px > pxi

Demostracion

d Supongamos x tal que ui(x) > ui(xi) entonces px = pxi > 0 y tomemos λx con0 < λ < 1. Por continuidad, para λ suficientemente cerca de 1: ui(λx) > ui(xi)y p(λx) = λ(px) < px = pxi > 0. Lo cual contradice la suportabilidad de(x1, . . . , xI) por p. Ahora por la monotonicidad fuerte, para todo ` = 1, . . . , L,ui(xi + e`) > ui(xi), luego p(xi + e`) > pxi de donde p` > 0.c

Podemos ahora formular:

21

Teorema 2.23 (Segundo Teorema del Bienestar) Si las preferencias de todos los con-sumidores son estrictamente convexas, fuertemente monotonas y continuas, entonces todoOptimo de Pareto Debil es soportado por un vector de precios p ∈ RL+.

Demostracion

d Sea (x1, x2, . . . , xI) un Optimo de Pareto Debil. Para cada consumidor i defini-mos V i = {yi ∈ RL+|yi �i xi} y luego el conjunto V = {

∑Ii=1 y

i − ω|yi ∈ V i ∀i}.Como las preferencias son convexas, cada V i es convexo y por lo tanto tambienlos es V . Por la no saciedad local , cada V i es no vacıo y por lo tanto tambien loses V . Ademas V ∩−RL+ = ∅, si no fuera ası tendrıamos una asignacion (y1, . . . , yI

tal que∑I

i=1 yi − ω ≤ 0, es decir factible con yi �i xi para todo i, esto es impo-

sible por ser (x1, x2, . . . , xI) un Optimo de Pareto Debil. Tenemos dos conjuntos(V y −RL+) convexos, no vacıos y disjuntos, luego existe un hiperplano separadorpara ambos: p ∈ RL, p 6= 0 y r ∈ R tal que: ∀y ∈ V , py ≥ r y ∀y ∈ −RL+, py ≤ r.Como 0 ∈ −RL+ tenemos r ≥ 0 luego ∀y ∈ V , py ≥ 0.

Supongamos ahora para cierto j un x ∈ RL+ tal que x <j xj. Por la monotonicidadfuerte para cada i tenemos un yi tal que yi �i xi. Como las preferencias sonestrictamente convexas, para α ∈]0, 1[:

αyi + (1− α)xi �i xi

para i 6= j y para j:αyj + (1− α)x �j xj

Luego ∑i 6=j

(αyi + (1− α)xi) + (αyj + (1− α)x)− ω ∈ V

y por lo tanto

p

(∑i 6=j

(αyi + (1− α)xi) + (αyj + (1− α)x)− ω

)≥ 0

haciendo α tender a 0:

p

(∑i 6=j

xi + x− ω

)≥ 0

Como (x1, x2, . . . , xI) es factible∑

i 6=j xi = ω − xj, reemplazando:

p(−xj + x

)≥ 0

Hemos probado es que si x <j xj entonces px ≥ pxj, resta probar que p ∈ RL+.Para esto tomemos el `-esimo vector canonico e` ∈ RL, por la monotonicidadfuerte para todo i : xi + e` �i xiluego p(xi + e`) ≥ pxi, de donde p` ≥ 0. c

Para que un optimo de Pareto sea realmente una asignacion de equilibrio con redistribu-cion, la condicion clave esta dada en la proposicion 2.22, la riqueza de cada individuo debeser positiva.

22

2.5. Nucleo y Economıas Repetidas

Sea una economıaE = {(ωi,<i)|i = 1, . . . I}

en la seccion anterior hemos estudiado las asignaciones factibles que no pueden ser mejo-radas de manera conjunta para todos los consumidores de una economıa. En esta seccionestudiaremos cuales son aquellas asignaciones factibles que no pueden ser mejoradas paraningun subconjunto de consumidores. Esta idea tiene estrecha relacion con la teorıa de losjuegos cooperativos de donde toma prestados los terminos de coalicion, bloqueo y nucleo.

Definicion 2.24 (Coalicion) Una coalicion es cualquier subconjunto no vacıo de I. Abu-sando de la notacion denotaremos por S tanto a la coalicion como al consumidores en ella.

Definicion 2.25 (Bloqueo) Una coalicion S ⊂ I bloquea a una asignacion factible (xi)i∈I ∈RL×I+ si existe una asignacion (xi)i∈S ∈ RL×S+ tal que:

1. Para todo i ∈ S: xi �i xi

2.∑

i∈S xi ≤

∑i∈S w

i

Es decir que una coalicion bloquea una asignacion para toda la economıa si los miembrosde ella pueden repartirse sus dotaciones iniciales (2) de manera que todos los consumidores dela coalicion mejoran sus situacion respecto de la asignacion propuesta (1). en otras palabras,en la asignacion propuesta, en terminos de valor subjetivo la coalicion aporta mas a laeconomıa de lo que recibe de ella. Es facil ver que un optimo de Pareto es una asignacionque no es bloqueada por la coalicion de todos los consumidores.

En virtud de estas interpretaciones, una asignacion aceptable sera aquella que no seabloqueada por ninguna coalicion.

Definicion 2.26 (Nucleo) El nucleo de una economıa N (E) es el conjunto de todas lasasignaciones factibles que no son bloqueadas por ninguna coalicion.

De la definicion es directo que toda asignacion del nucleo debe ser un optimo de Pareto.Por otro lado se puede reformular la demostracion del Primer Teorema del Bienestar y verque toda asignacion de equilibrio pertenece al nucleo. Los detalles de la demostracion sedejan como ejercicio.

Teorema 2.27 Dada una economıa E con preferencias continuas, estrictamente convexas yfuertemente monotonas:

W(E) ⊂ N (E) ⊂ P(E)

Donde W(E) como el conjunto de todas las asignaciones de un Equilibrio Walrasiano yP(E) como el conjunto de todos los Optimos de Pareto Debiles.

Como ya se dijo, la primera inclusion del anterior teorema puede ser vista como unaextension del Primer Teorema del Bienestar. Si tomamos ahora el Segundo Teorema del Bie-nestar, sabemos que bajo ciertas condiciones, todo OPd es un EW luego de redistribuir lasdotaciones adecuadamente, por lo tanto tambien pertenece al nucleo luego de la redistribu-cion. En esta lınea se tiene en realidad un resultado mas fuerte, que puede ser resumido demanera poco precisa en la idea que “si la economıa es grande el nucleo es pequeno”.

Para formalizar esta ideas usaremos la construccion teorica de “economıas replicadas”.

23

Definicion 2.28 (N-Replica) Dada una economıa E = {(ωi,<i)|i = 1, . . . I} considera-mos un N-replica a la economıa:

EN = {(ωij,<ij)|i = 1, . . . I, j = 1, . . . N}

donde cada consumidor con ındice ij es identico al consumidor de E con ındice i.

En lo que sigue mostraremos que conforme crece N , el nucleo de la N -replica se contraey converge al conjunto de las asignaciones de equilibrio. El primer resultado simplifica elmanejo del nucleo de las sucesivas replicas.

Proposicion 2.29 Dada una economıa Econ preferencias continuas, estrictamente convexasy fuertemente monotonas, en toda asignacion del nucleo de una N-replica, todos los consu-midores del mismo tipo reciben la misma canasta, si (x11, . . . , x1N , . . . , xin, . . . , xI1, . . . , xIN ∈N (EN ) entonces para todos i, n,m: xin = xim

Demostracion

d Consideremos una asignacion x en la que al menos un par de consumidoresdel mismo tipo no obtienen la misma canasta, probaremos que esta asignaciones bloqueada por cierta coalicion y por lo tanto no pertenece al nucleo. Sinperder generalidad podemos especificar los ındices los consumidores y suponeruna asignacion para la N -replica tal que x11 6= x12 con i1 el consumidor de tipoi peor tratado entre los de su tipo: xin <i xi1 con x1n �1 x11.

Definimos:

xi =1

N

N∑n=1

xin

como las preferencias son estrictamente convexas tenemos que

xi <i xi1

x1 �1 x11 (2.1)

Consideremos entonces la coalicion S = {11, 21, . . . , i1, . . . I1} y para esta laasignacion: x = (x1, . . . , xI). Esta asignacion es S-factible:

I∑i=1

xi =I∑i=1

1

N

N∑n=1

xin =1

N

I∑i=1

N∑n=1

xin =1

N

I∑i=1

N∑n=1

ωi =1

NN

I∑i=1

ωi =I∑i=1

ωi

Entonces por 2.1, tenemos que la coalicion S bloquea x c

La proposicion anterior nos permite representar al nucleo de cualquier replica indicando lacanasta que reciben los consumidores de acuerdo a su tipo:

CN = {(x1, . . . , xI) ∈ RIL|(x1, . . . , xI , . . . , x1, . . . , xI) ∈ RILN pertenece a N (EN )}

Como toda asignacion de equilibrio de una N -replica esta en su nucleo, entonces tambiencumple la propiedad de que todos los consumidores del mismo tipo reciben la misma canasta.Entonces es directo que toda asignacion de equilibrio de una N -replica es la correspondienteN -replica de una asignacion de equilibrio de la economıa original. De esta forma W(E)representa a W(EN ) para todo N .

Daremos ahora un resultado sencillo pero importante:

24

Teorema 2.30 Dada una economıa E con preferencias continuas, estrictamente convexas yfuertemente monotonas, para todo N = 1, 2, . . . :

W(E) ⊂ CN+1 ⊂ CN

Demostracion

d La inclusion W(E) ⊂ CN+1 es directa. Para ver que ⊂ CN+1 ⊂ CN basta notarque toda coalicion que se forme en un N -replica se puede formar en una N + 1-replica, ası que si una asignacion no es bloqueada en la N + 1-replica no puedeser bloqueada la N -replica. c

Una lectura de este resultado es que conforme vamos replicando la economıa el nucleose contrae, mientras las asignaciones de equilibrio permanecen las mismas. Veremos a conti-nuacion que en el lımite el nucleo coincide con las asignaciones de equilibrio.

Teorema 2.31 Dada una economıa E con preferencias continuas, estrictamente convexas yfuertemente monotonas, para todo N = 1, 2, . . . :

W(E) =∞⋂N=1

CN

Demostracion

d La inclusion W(E) ⊂⋂∞N=1 CN se infiere del teorema anterior.

Para W(E) ⊃⋂∞N=1CN , probaremos que si x ∈ CN para todo N entonces x ∈

W(E). Empecemos definiendo los conjuntos

U i = {y ∈ RL+|y �i xi}V i = U i − ωi

Como las preferencias son fuertemente monotonas si y > xi, y ∈ U i y por la tantoy−ωi ∈ V i, en particular ambos conjuntos son no vacıos. Tambien son convexospor la convexidad de las preferencias. Tomemos ahora el conjunto ∪Ii=1V

i, comono podemos asegurar su convexidad consideremos su capsula convexa:

V =

{I∑i=1

αivi

∣∣∣∣∣vi ∈ V i, αi ≥ 0,I∑i=1

αi = 1

}

Si 0 ∈ V entonces tendrıamos vi ∈ V i y αi ≥ 0 tales que:∑I

i=1 αi = 1 y

I∑i=1

αivi = 0

Tomando vi = yi − ωi con yi ∈ U i tenemos que:

I∑i=1

αiyi =I∑i=1

αiωi

25

Como algunos αi pueden ser nulos (pero no todos!) tomemos el conjunto S ={i|αi > 0} y reescribimos ∑

i∈S

αiyi =∑i∈S

αiωi

A partir de este conjunto S contruiremos una coalicion que en cierta replica blo-quea a x. Tomemos la N -replica y para cada tipo i ∈ S de consumidor tomemosni agentes, donde ni es el menor entero mayor o igual a Nαi:

Nαi ≤ ni ≤ Nαi + 1

operando obtenemos:ni − 1

ni≤ Nαi

ni≤ 1

cuando N tiende a infinito tambien lo hace ni, por lo tanto:

lımN→+∞

Nαi

ni= 1

Luego como yi �i xi y las preferencias son continuas, para N suficientementegrande: Nαi

niyi �i xi Para dicho N tomamos la coalicion formada por ni agentes

de tipo i ∈ S y le asignamos a cada uno la canasta Nαi

niyi preferida a xi. Esta

asignacion es factible para la coalicion:∑i∈S

niNαi

niyi =

∑i∈S

Nαiyi = N∑i∈S

αiyi = N∑i∈S

αiωi =∑i∈S

Nαiωi ≤∑i∈S

niωi

Esto es imposible por que la asignacion x esta en el nucleo de toda N -replica,luego no puede ser cierto que 0 ∈ V .

Como V es convexo y 0 /∈ V por el Teorema de Separacion, existe p ∈ RL, p 6= 0tal que p · v ≥ p · 0 = 0 para todo v ∈ V . Como en V podemos tener vectores concualquiera de sus componentes arbitrariamente grande se concluye que p ∈ RL+.Ahora, para todo i si y �i xi entonces y − ωi ∈ V i ⊂ V y p · y ≥ p · ωi. Paraterminar la demostracion necesitamos mostrar que p � 0, p · xi = p · ωi y quey �i xi ⇒ p · y > p · ωi.Por la monotonicidad de las preferencias, para todo i: xi + (ε, ε, . . . , ε) �i xi conε > 0, luego p · (xi + (ε, ε, . . . , ε)) ≥ p · ωi si hacemos ε → 0 tendremos quep · xi ≥ p · ωi, sumando sobre i:

I∑i=1

p · xi ≥I∑i=1

p · ωi

por otro lado x es una asignacion factible, luego∑I

i=1 xi ≤

∑Ii=1 ω

i, multiplicandopor p ∈ RL+:

I∑i=1

p · xi ≤I∑i=1

p · ωi

26

Luego∑I

i=1 p · xi =∑I

i=1 p · ωi por lo que para cada i

p · xi = p · ωi

Consideremos ahora y �i xi con p · y = p · ωi. Por monotonicidad y 6= 0 y porcontinuidad de las preferencias, para 0 < δ < 1: δy �i xi, luego p · δy ≥ p · ωi.Luego tenemos:

δ(p · y) < p · y = p · ωi ≤ p · δy = δ(p · y)

contradiccion que prueba que

y �i xi ⇒ p · y > p · ωi

Finalmente tomemos xi + εe` �i xi, luego p · (xi + εe`) > p · ωi = p · xi, de donde

p` > 0

c

2.6. Ejercicios

1. Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por

U1(x1, x2) = x1x2

y con dotacion inicial ω1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene

U2(x1, x2) = mın{x1, x2}

y dotacion inicial ω2 = (4, 1). Considerando p ∈ R2++:

a) Encuentra la funcion (correspondencia) de demanda de cada consumidor.

b) Encuentra la funcion (correspondencia) de exceso de demanda de la economıa(Z(p1, p2)).

c) Verifique si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED

d) ¿Existe equilibrio en esta economıa?.

e) ¿Cuales son los Optimos de Pareto?.


U1(x1, x2) = (x2 + 1)ex1


U2(x1, x2) = x1x2


27




d) ¿Existe equilibrio en esta economıa? ¿Cual es?

e) ¿Cuales son los Optimos de Pareto?

3. Sea el consumidor 1 con preferencias dadas de la siguiente manera:

(x1, x2) � (x′1, x′2) ⇐⇒ (x1 − 3)2 < (x′1 − 3)2

o

(x1 − 3)2 = (x′1 − 3)2 y x2 > x′2

y con dotacion inicial ω1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene U2(x1, x2) = x1x2, ω2 = (4, 0).

Considerando p ∈ R2++:



c) ¿Es Z homogenea de grado cero?, es continua?, se cumple pZ(p) = 0?

d) ¿Que pasa con Z(pn) cuando pn tiende a (0, 1)?.

e) ¿Existe equilibrio en esta economıa?.

f ) ¿Cuales son los Optimos de Pareto?.

Responde a todas las preguntas anteriores, ahora considerando que las dotaciones ini-ciales son:

ω1 = (0, 4) y ω2 = (6, 2).

4. Sea una economıa de dos bienes y dos consumidores. El consumidor A con preferenciasrepresentadas por

UA(x, y) = −(x− 6)2 − (y − 4)2

con dotacion inicial ωA = (5, 2). El consumidor B tiene

UB(x, y) = −(x− 5)2 − (y − 5)2

y dotacion inicial ωB = (3, 4).

a) ¿Es la asignacion ((0, 0); (8, 6)) un Optimo de Pareto?, ¿Fuerte?, ¿Debil?

b) Encuentra la demanda de cada consumidor.

c) Encuentra el exceso de demanda de la economıa (Z(px, py)).


e) Verifica si Z cumple las 5 propiedades de la FEDA usadas para la demostracionde la existencia de equilibrio.

28

f ) Si alguna propiedad no se cumple, busque una explicacion.

5. Dados a, b ∈ RL \ {0} y ω ∈ RL++, estudie si la funcion Υ : RL++ −→ RL definida por

Υ(p) =p · ap · ω

b− p · bp · ω

a

puede ser una funcion exceso de demanda de acuerdo a las propiedades.

6. Si la siguiente funcion

Z(p1, p2) =

(ap2

bp1 + cp2

+dp1 + ep2

fpi,

gp1

hp1 + kp2

+p1 + l

mp2

)es el exceso de demanda de una economıa de intercambio puro.

a) Para cada una de las posible propiedades de las preferencias de los consumidoresde esta economıa: Continuidad, Convexidad, convexidad estricta, monotonicidad,monotonicidad fuerte y no saciedad local: ¿Que restricciones sobre los parametrosa, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l,m, n imponen?

b) Suponiendo que dichas preferencias son continuas, estrictamente convexas y fuer-temente monotonas, encuentra los precios de equilibrio de esta economıa.


U1(x1, x2) = x1x2


U2(x1, x2) = mın{x1, x2}





d) ¿Existe equilibrio en esta economıa?.


U1(x1, x2) = (x2 + 1)ex1


U2(x1, x2) = x1x2



29




9. Sea el consumidor 1 con preferencias dadas de la siguiente manera:

(x1, x2) � (x′1, x′2) ⇐⇒ (x1 − 3)2 < (x′1 − 3)2

o

(x1 − 3)2 = (x′1 − 3)2 y x2 > x′2

y con dotacion inicial ω1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene U2(x1, x2) = x1x2, ω2 = (4, 0).

Considerando p ∈ R2++:



c) ¿Es Z homogenea de grado cero?, es continua?, se cumple pZ(p) = 0?

d) ¿Que pasa con Z(pn) cuando pn tiende a (0, 1)?.

e) ¿Existe equilibrio en esta economıa?.

Responde a todas las preguntas anteriores, ahora considerando que las dotaciones ini-ciales son:

ω1 = (0, 4) y ω2 = (6, 2).

10. Sea Z(p1, p2) = (B p2p1, Ap1

p2) − (A,B). Muestra que Z cumple las cinco propiedades

demostradas para las funciones exceso de demanda. Encuentra la forma que toma lacorrespondencia f(p) de la demostracion de existencia de equilibrio.

11. Considera una economıa de intercambio puro 2x2 con los siguientes consumidores:

u1(x, y) = 2x+ y y w = (2, 3).

u2(x, y) = xy3 y w = (1, 2).

a) Encuentra la demanda de cada consumidor.

b) Encuentra el equilibrio Walrasiano.

c) Determina el conjunto de los optimos de Pareto

d) Dibuja la caja de Edgeworth, ubica los optimos de Pareto, la curva de contrato yel equilibrio Walrasiano

12. Dibuja la Caja de Edgeworth con U1(x1, x2) = x1 + x2, ω1 = (1, 2), U2(x1, x2) =mın{x1, x2}, ω2 = (3, 4), identificando el equilibrio, el conjunto de Optimos de Paretoy la curva de contrato.

13. Considera una economıa de intercambio puro de dos consumidores:

30

Consumidor A: UA(xA1, xA2) = xA1xA2 −√xB1, ωA = (1, 0).

Consumidor B: UB(xB1, xB2) = xB1xB2 −√xB2, ωB = (0, 1).

Encuentra el equilibrio Walrasiano (los consumidores son precios-tomantes y solo eligensu consumo) y verifica si es un optimo de Pareto. ¿Puedes explicar que sucede?


u1(x, y) = 2x+ y y w = (2, 3).

u2(x, y) = xy3 y w = (1, 2).



c) Dibuja la caja de Edgeworth y ubica el equilibrio Walrasiano.

15. Encuentra los precios de equilibrio para la economia de intercambio puro de L bienesformada por N consumidores. El consumidor i tiene funcion utilidad Ui(x) =

∏Lj=1 x

αijj

con∑L

j=1 αij = 1 y dotacion inicial wi. Puedes probar primero con L = 3, N = 4.

16. Considere una economıa de intercambio puro de dos bienes y dos consumidores (a, b >0):

Consumidor 1: u1(x1, y1) = (x1)ay1 con dotacion inicial ω1 = (1, 0).

Consumidor 2: u2(x2, y2) = x2(y2)b con dotacion inicial ω2 = (0, 1).

Encuentre los precios(asuma p1 = 1) y la asignacion de equilibrio.

17. Considera una economıa de intercambio puro de dos consumidores:

Consumidor A: UA(xA1, xA2) = xA1xA2 −√xB1, ωA = (1, 0).

Consumidor B: UB(xB1, xB2) = xB1xB2 −√xB2, ωB = (0, 1).

Encuentra el equilibrio Walrasiano (los consumidores son precios-tomantes y solo eligensu consumo).

18. ¿En cual parte de la demostracion de la existencia de equilibro se usa la propiedad:

∃s > 0 tal que ∀` = 1, . . . , L , ∀p ∈ RL++ : Z`(p) > −s

19. Considere una economıa de intercambio puro de dos bienes y dos consumidores (a, b >0):

Consumidor 1: u1(x1, y1) = (x1)ay1 con dotacion inicial ω1 = (1, 0).

Consumidor 2: u2(x2, y2) = x2(y2)b con dotacion inicial ω2 = (0, 1).

Encuentre los precios(asuma p1 = 1) y la asignacion de equilibrio.

31

Figura 2.1: Caja de Edgeworth para la Pregunta 20

20. La caja de Edgeworth de la Figura 2.1 muestra las preferencias de dos consumidores:Los consumidores tienen unas preferencias por regiones:

A 41 ∼ 42 � 31 ∼ 32 ∼ 33 � 22 ∼ 23 ∼ 24 � 14 ∼ 13

B 14 ∼ 24 � 13 ∼ 23 ∼ 33 � 22 ∼ 32 ∼ 42 � 31 ∼ 41

a) Encuentra los optimos de Pareto.

b) Si las dotaciones iniciales estan en la region 23, cual es el nucleo?

c) Considera la siguiente definicion: una asignacion es un optimo debil de Pareto sino existe otra asignacion preferida por todos los agentes”.

1) Formaliza la definicion.

2) ¿Cuales son los optimos debiles de Pareto de este ejercicio?

3) ¿Cual es la relacion entre las dos definiciones de optimalidad Paretiana?¿Cuando las dos definiciones son equivalentes?

21. (Tomado de [6]) Supongamos una economıa de intercambio puro donde todos los con-sumidores tienen las mismas preferencias. ¿Cuales son los requisitos mınimos sobreestas preferencias para que la asignacion donde todos reciben la misma canasta sea unOptimo de Pareto?

22. (Tomado de [5]) Suponga una economıa de intercambio puro con 2 bienes y 2 con-sumidores identicos, es decir con la misma dotacion inicial y las mismas preferencias(racionales, continuas, fuertemente monotonas y estrictamente convexas). Dibuje la ca-ja de Edgeworth, estudie los Optimos de Pareto, el nucleo y el Equilibrio Walrasiano.

32

23. Dibuja la Caja de Edgeworth con U1(x1, x2) = x1 + x2, ω1 = (1, 2), U2(x1, x2) =mın{x1, x2}, ω2 = (3, 4), identificando el equilibrio, el conjunto de Optimos de Paretoy la curva de contrato.

24. Sea una economıa de intercambio E con L bienes y N consumidores (%i, ωi) con prefe-rencias estrictamente convexas. En esta economıa la asignacion factible (x1, . . . , xN) esun optimo de Pareto. Si consideramos ahora la economıa E2 de L bienes y 2N consu-midores donde, para i = 1, . . . , N , el consumidor i y el consumidor i+N son identicosal consumidor i de E , pruebe que la asignacion (x1, . . . , xN , x1, . . . , xN) es un optimo dePareto de E2. ¿Se puede relajar la suposicion sobre las convexidad de las preferencias?

25. (Tomado de [5])Supongamos una economıa de intercambio puro donde todos los con-sumidores tienen las mismas preferencias. ¿Cuales son los requisitos mınimos sobreestas preferencias para que la asignacion donde todos reciben la misma canasta sea unOptimo de Pareto?

26. (Tomado de [1])Sea una economıa de intercambio puro con dos consumidores, i = 1, 2,con preferencias representadas por utilidades Ui : RL+ → R continuas, fuertementemonotonas y estrictamente convexas. y dotaciones iniciales ωi ∈ RL++. Muestre que

una asignacion (x1, x2) ∈ RL+ × RL+ es un Optimo de Pareto Fuerte si y solo si existenαi ≥ 0 con α1 + α2 = 1 tal que (x1, x2) es solucion de:

max α1u1(x1) + α2u2(x2)

s.a. x1 + x2 ≤ ω2 + ω2

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

27. Sea una economıa de dos bienes y dos consumidores. El consumidor 1 con preferenciasrepresentadas por

U1(x1, x2) = 2x1 + x2

y dotacion inicial ω1 = (3, 5). El consumidor 2 tiene

U2(x1, x2) = x31x

62

y dotacion inicial ω2 = (6, 4).

a) Dibuje la caja de Edgeworth identificando las dotaciones iniciales, los optimos dePareto y el nucleo de la economıa.

b) Tome la asignacion del nucleo preferida por el consumidor 1 y muestre que noesta en el nucleo de la 2-replica (revise la demostracion sobre la convergencia delnucleo).

28. (Tomado de [1]) Dada una economıa de intercambio puro, decimos que una asignacionfactible (x1, . . . , xI) es una asignacion de:

QuasiEquilibrio con Redistribucion si existe p ∈ RL+ y (W 1, . . . , ,W I) ∈ RI+ talque:

33

a)∑I

i=1Wi = pω

b) Para cada i, si x �i xi entonces pxi ≥ W i

c)∑I

i=1 xi = ω

y es una asignacion de:

Equilibrio con Redistribucion si existe p ∈ RL++ y (W 1, . . . , ,W I) ∈ RI+ talque:

d)∑I

i=1Wi = pω

e) Para cada i, si x �i xi entonces pxi > W i

f )∑I

i=1 xi = ω

Pruebe que si (x1, . . . , xI) es un QER con W i > 0 para todo i, entonces es un ER.

34

Capıtulo 3

Empresas

Las empresas son agentes economicos con la capacidad de transformar canastas de bienes.Tendremos J ∈ N empresas, cada una identificada por un indice j = 1, . . . , J . Cada empresaj esta definida por sus posibilidades de transformacion de canastas, lo que llamaremos tecno-logıa. El objetivo de cada empresa sera maximixar su beneficio bajo las restricciones dadaspor su tecnologıa. El resultado de esta maximizacion sera su funcion oferta y su funcionbeneficio. Al ser nuestro modelo una economıa totalmente cerrada el beneficio es repartidoentre los consumidores de acuerdo a la participacion de cada uno de ellos en cada empresa.

3.1. Tecnologıas

De manera formal cada empresa j tendra una tecnologıa definida por un conjunto Y j ⊂RL. A cada elemento y ∈ Y j se le llama plan de produccion factible, y tiene la siguienteinterpretacion:

Si y` < 0 el bien ` es usado como insumo en la cantidad |y`| = −y`.

Si y` > 0 el bien ` es producido en la cantidad |y`| = y`.

Si y` = 0 el bien ` no forma parte del plan de produccion.

De esta forma, el plan de produccion y representa la transformacion de la canasta−mın{y, 0} en la canasta max{y, 0}.

En lo que sigue asumiremos siempre que toda tecnologıa es un conjunto no vacıo y cerrado.Otras propiedades que podemos pedir a una tecnologıa son las siguientes:

Definicion 3.1 (Posibilidades) Una tecnologıa Y ⊂ RL presenta:

1. Posibilidad de Inactividad, si 0 ∈ Y

2. Posibilidad de Libre Deshecho, si y ∈ Y y y′ ≤ y implica y′ ∈ Y .

3. No Gratuidad, si y ∈ Y con y ≥ 0 implica y = 0.

4. Acotada Superiormente, si existe K ∈ R tal que todo y ∈ Y cumple y` ≤ K paratodo ` = 1, 2, . . . , L.

35

La posibilidad de inactividad indica que la empresa siempre puede dejar de operar sinincurrir en costos. Libre deshecho implica que la empresa siempre puede usar mas insumosde los necesarios y/o ofrecer al mercado menos de lo fısicamente producido. La no gratuidadnos dice que no es posible producir algun producto sin usar ningun insumo. La acotacionsuperior limita la cantidad maxima que se puede obtener de todo producto.

Hay varias propiedades relacionadas con la “forma”de Y , nosotros necesitamos:

Definicion 3.2 (Convexidad) Una tecnologıa Y ⊂ RL se dice convexa cuando Y comosubconjunto de RL es convexo. La tecnologıa sera estrictamente convexa si Y es estrictamenteconvexo, es decir que cumple:

∀y, y′ ∈ Y, y 6= y′,∀α ∈]0, 1[: αy + (1− α)y′ ∈◦Y

3.2. Oferta y Beneficio

Dados los precios p� 0 el beneficio para la empresa de realizar el plan de produccion yes simplemente py. Este beneficio podemos expresarlo como

py = pmax{y, 0}+ pmın{y, 0} = pmax{y, 0} − p(−mın{y, 0}) = Iy − Cy

donde Iy = pmax{y, 0} es el ingreso por la venta de los productos y Cy = p(−mın{y, 0}) esel costo total de los insumos usados.

El objetivo de cada empresa sera maximizar su beneficio bajo las restricciones dadas porsu tecnologıa:

Max py (3.1)

s.a. y ∈ Y

Este problema no necesariamente tiene solucion:

Teorema 3.3 Dada una tecnologıa Y no vacıa, cerrada y acotada superiormente, entonces∀p ∈ RL++ existe y ∈ Y tal que ∀y ∈ Y : py ≥ py.

Demostracion

d Como Y es no vacıa tomemos y ∈ Y y definamos:

Yp = {y ∈ Y |py ≥ py}

Es obvio que Yp es no vacıo y que si existe el plan de produccion y buscado, estedebe estar en Yp y maximizar tambien el producto py. Como el producto internoes una aplicacion continua, si Yp es compacto la existencia de y estara asegurada.Como Yp = Y

⋂{y ∈ RL|py ≥ py}, es la interseccion de dos cerrados, entonces

es cerrado. Probemos ahora que tambien es acotado.

Para cada ` = 1, 2, . . . , L definimos:

k` =py −K

∑i 6=` pi

p`

36

yK = mın

`=1,...,Lk`

Si tenemos y ∈ Y tal que para cierto `: y` < K entonces:

py = p`y`+∑i 6=`

piyi < p`K+K∑i 6=`

pi = p`K+(py−p`k`) = py+p`(K−k`) ≤ py

es decir y /∈ Yp.En resumen si y ∈ Yp entonces para todo `:

K ≤ y` ≤ K

c

El teorema anterior nos asegura la buena definicion de la funcion:

π(p) = Max pys.a. y ∈ Y

y de la correspondencia:y(p) = {y ∈ Y |py = π(p)}

ambas con dominio en RL++. La funcion π(p) es la funcion beneficio (maximo) de la empresay la correspondencia y(p) es la oferta de la empresa. Hay que notar que los elementos dey(p) tienen entradas positivas y negativas. Las positivas son efectivamente las cantidades, delos bienes correspondientes, ofrecidas en el mercado por la empresa. Las entradas negativasson a su vez las cantidades, de los bienes correspondientes, demandadas en el mercado porla empresa.

En el capıtulo siguiente, donde vemos economıas con produccion, el beneficio y la ofertaformaran parte de la determinacion del equilibrio. Estableceremos aquı sus propiedades.

Teorema 3.4 Dada una tecnologıa Y no vacıa, cerrada y acotada superiormente, el beneficioy la oferta correspondientes cumplen:

1. π(p) es homogenea de grado 1 y convexa

2. y(p) es homogenea de grado 0.

3. Si Y es convexa, y(p) es de imagen convexa. Si Y es estrictamente convexa, y(p) esde imagen unitaria.

4. y(RL++) es acotado superiormente.

Demostracion

d

37

1. Para ver la homogeneidad, tomemos α > 0:

π(αp) = Maxy∈Y (αp)y = Maxy∈Y α(py) = α (Maxy∈Y py) = απ(p)

Por su parte la convexidad se establece de la siguiente manera, con α ∈ [0, 1]y p, p′ ∈ RL++:

π(αp+ (1− α)p′) = Maxy∈Y (αp+ (1− α)p′)y = Maxy∈Y αpy + (1− α)p′y

≤Maxy∈Y αpy +Maxy∈Y (1− α)p′y = αMaxy∈Y py + (1− α)Maxy∈Y p′y

= απ(p) + (1− α)π(p′)

2. y(αp) = {y ∈ Y |(αp)y = π(αp)} = {y ∈ Y |α(py) = απ(p)} = {y ∈ Y |py =π(p)} = y(p)

3. Sea Y es convexa, tomemos α ∈ [0, 1] y y, y′ ∈ y(p), es decir py = py′ = π(p),de donde:

p(αy + (1− α)y′) = α(py) + (1− α)(py′) = απ(p) + (1− α)π(p) = π(p)

con lo cual αy + (1 − α)y′ ∈ y(p). Ahora sea Y es estrictamente convexa,supongamos y, y′ ∈ y(p) con y 6= y′ y tomamos α ∈]0, 1[. Entonces αy +

(1−α)y′ ∈◦Y y para ε > 0 suficientemente pequeno αy+ (1−α)y′+ εp ∈ Y

conp(αy + (1− α)y′ + εp) = π(p) + ε||p||2 > π(p)

lo cual es una contradiccion ya que π(p) es el beneficio maximo en Y .

4. y(RL++) ⊂ Y que es acotado superiormente.

c

Teorema 3.5 Dada una tecnologıa Y no vacıa, cerrada, acotada superiormente y estricta-mente convexa la funcion de oferta y(p) es continua.

Demostracion

d Tomemos una secuencia de precios pn en RL++ que tienden a p ∈ RL++, debemosmostrar que y(pn)→ y(p).

Primero mostraremos que la secuencia y(pn) es acotada, por la parte 4 del Teo-rema anterior tenemos una cota superior. Para la cota inferior, solo tenemos quepreocuparnos de los terminos y`(p

n) < 0. Notemos primero que como pn es con-vergente a p ∈ RL++ entonces existen r > 0 y s > 0 tal que ∀` = 1, . . . , L y∀n = 1, 2, 3, . . . : r < pn` < s. Fijemos ahora y ∈ Y y definimos:

M :=∑y`<0

sy` +∑y`>0

ry` ≤∑y`<0

pn` y` +∑y`>0

pn` y` = pny ≤ pny(pn)

Ahora si y`(pn) < 0:

ry`(pn) ≥ pn` y`(p

n) ≥∑

y`(pn)<0

pn` y`(pn) ≥M −

∑y`(pn)>0

pn` y`(pn)

38

≥M −∑

y`(pn)>0

sy`(pn) ≥M −

∑y`(pn)>0

sK ≥M − LsK

Con lo que hemos obtenido la cota inferior:

y`(pn) ≥ M − LsK

r

Supongamos ahora que y(pn) 9 y(p) , esto es que existe δ > 0 y una subsecuenciay(pnk) tal que ||y(pnk)− y(p)|| > δ. Como subsecuencia de y(pn), y(pnk) tambienesa acotada y por lo tanto posee una subsecuencia convergente: y(pnkm )→ y quecumple ||y−y(p)|| > δ Ahora para todo y ∈ Y tenemos que: pnkmy(pnkm ) ≥ pnkmy,tomando lımites, como el producto interno es continuo: py ≥ py para todo y ∈ Y ,es decir y = y(p) lo cual contradice ||y − y(p)|| > δ. c

3.3. Ejercicios

1. (Tomado de [5]) Sea

Y = {(x1, x2, . . . , xL−1, y) | y ≤ f(x1, x2, . . . , xL−1) ∧ xi ≥ 0 i = 1, . . . , L− 1}

Es verdad que Y es convexa si y solo si f es convexa?.

2. (Tomado de [5]) Muestre que si Y es cerrado, convexo y cumple con −RL+ ⊂ Y entonceses de libre desecho (Y − RL+ ⊂ Y ).

3. De un ejemplo de una tecnologia Y que sea aditiva pero no convexa.

4. Dibuja una tecnologıa en R2 que sea irreversible y otra que no lo sea.

5. (Tomado de [5] Sea f la funcion de produccion asociada a una tecnologıa Y con unsolo producto(Y = {(x1, x2, . . . , xL−1, y)|y ≤ f(x1, x2, . . . , xL−1)xi ≥ 0}). Muestre queY tiene retornos a escala constantes si y solo si f es homogenea de grado uno.

6. (Tomado de [4]) Sea una empresa con la tecnologıa Y = {(−x, z)|x ≥ 0 , z ≤ f(x)}.Demuestra que si Y es de libre disponibilidad (libre desecho, eliminacion gratuita)entonces f es no decreciente.

7. Un plan de produccion y ∈ Y es eficiente si @y′ ∈ Y tal que y′ ≥ y, y′ 6= y. Muestreque si y ∈ Y maximiza el beneficio para unos precios p� 0 entonces es eficiente.

8. (Tomado de [6]) Pruebe que si la tecnologıa Y es de retornos a escala no decrecientesentonces ∀p ∈ T se tiene que π(p) ≤ 0. Si ademas 0 ∈ Y entonces π(p) = 0.

9. (Tomado de [5] Para la tecnologıa de la Figura 3.1 :

a) ¿Que tipo de retornos exhibe esta tecnologıa?

b) Encuentra el conjunto T de precios para los que el problema de la empresa tienesolucion.

39

Figura 3.1: Tecnologia de la Pregunta 9

c) Encuentra la funcion/correspondencia de oferta de esta empresa.

d) ¿Como son sus beneficios?

10. Un plan de produccion y ∈ Y es eficiente si @y′ ∈ Y tal que y′ ≥ y, y′ 6= y. Muestreque si y ∈ Y maximiza el beneficio para unos precios p� 0 entonces es eficiente.

40

Capıtulo 4

Equilibrio Walrasiano para Economıascon Produccion

A la economıa definida en el Capıtulo 2, de L bienes e I consumidores, le le adicionaremosJ empresas. Cada empresa j = 1, . . . , J esta definida por su tecnologıa Y j. Cada consumidori esta definido por su dotacion inicial ωi, su preferencia <i y por sus participaciones θi =(θi1, θi2, . . . , θiJ) con 0 ≤ θij ≤ 1 en los beneficios de cada empresa. Estas participacionesdeben cumplir

∑Ii=1 θ

ij = 1, de manera que nuestra economıa es totalmente cerrada.Entonces una Economıa con Produccion es la coleccion:

E = {(ωi,<i)i=1,...,I , (Yj)j=1,...,J , (θ

ij) i=1,...,Ij=1,...,J

}

Asumiremos ahora que para ω =∑I

i=1 ωi y Y =

∑Jj=1 Y

j existe y′ ∈ Y tal que ω+y′ � 0 esdecir que en el agregado para la economıa en su conjunto, es posible disponer de cantidadespositivas de todos los bienes considerados.

De la misma manera que en una economıa de intercambio puro, definiremos una funcionexceso de demanda agregada y el cero de esta funcion sera el equilibrio. En esa direccionestudiaremos primero las componentes del exceso de demanda agregada.

4.1. Oferta y Demanda

En una economıa E = {(ωi,<i)i=1,...,I , (Yj)j=1,...,J , (θ

ij) i=1,...,Ij=1,...,J

}, cada empresa j al resolver

su problema:

Max py

s.a. y ∈ Y j

genera una oferta yj(p) y unos beneficios πj(p) = pyj(p).A su vez cada consumidor i resuelve el problema:

Max ui(x)

s.a. px ≤ pωi +∑J

j=1 θijpyj(p) (4.1)

x ≥ 0

41

donde las posibilidades de consumo de cada agente toman en cuenta su dotacion inicial debienes y su participacion en las empresas 1 Cada consumidor genera una demanda xi(p) y elexceso de demanda de toda la economıa esta definido como:

Z(p) =I∑i=1

xi(p)−J∑j=1

yj(p)−I∑i=1

ωi

y, al igual que antes, el equilibrio sera el vector de precios p∗ ∈ RL++ tal que Z(p∗) = 0.Para demostrar la existencia de equilibrio, probaremos que Z cumple las mismas propie-

dades del teorema 2.1. Para establecer estas propiedades, usaremos las propiedades de lasofertas yj(p) probadas en el capıtulo anterior. Para las demandas xi(p) necesitamos probaren este nuevo contexto sus propiedades. Empezamos con los resultados:

Lema 4.1 Si las tecnologıas Y j son no vacıas, cerradas, acotadas superiormente y estricta-mente convexas, la funcion “riqueza”:

W i(p) = pωi +J∑j=1

θijpyj(p)

es continua y homogenea de grado 1.

Demostracion

d Directo a partir de la continuidad de cada yj(p) y del producto interno y lahomegeniedad de grado 0 de cada yj(p). c

Proposicion 4.2 Si las tecnologıas Y j son cerradas, acotadas superiormente, estrictamenteconvexas y con 0 ∈ Y j. Para todo p ∈ RL++, el conjunto presupuestario:

Bi(p) = {x ∈ RL+|px ≤ W i(p)}

es no vacıo, convexo, compacto y para todo α > 0: Bi(αp) = Bi(p).

Demostracion

d Como 0 ∈ Y j entonces pyj(p) ≥ p0 = 0 y W i(p) ≥ pωi ≥ 0, por lo tanto0 ∈ Bi(p). Que Bi(p) es convexo y cerrado es directo. Para ver que es acotado,basta notar p`x` ≤ px ≤ W i(p) con lo que si x ∈ Bi(p):

0 ≤ x` ≤W i(p)

p`

Finalmente, al ser W i(p) homogenea de grado 1:

Bi(αp) = {x ∈ RL+|αpx ≤ W i(αp)} = {x ∈ RL+|αpx ≤ αW i(p)}

= {x ∈ RL+|px ≤ W i(p)} = Bi(p)

c

1pωi +∑Jj=1 θ

ijpyj(p) = p(ωi +

∑Jj=1 θ

ijyj(p))

42

El siguiente resultado servira para establecer el paralelo del Teorema 1.15:

Teorema 4.3 Si las preferencias <i son racionales, continuas, estrictamente convexas, lo-calmente no saciadas y las tecnologıas Y j son cerradas, acotadas superiormente, estricta-mente convexas y con 0 ∈ Y j. Entonces para todo p ∈ RL++ tenemos que :

Existe un unico xi(p) ∈ RL+, solucion de (4.1), el cual cumple:

1. xi(p) es continua en p.

2. ∀α > 0 : xi(αp) = xi(p)

3. pxi(p) = W i(p)

Demostracion

d Al igual que en el caso sin produccion, la existencia de xi(p) esta garantizadapor la continuidad de las preferencias y la compacidad de Bi(p) 6= ∅, la unicidadviene de la convexidad estricta de <i y la convexidad de Bi(p). Para cada unade sus propiedades:

1. Debemos mostrar que para toda secuencia de precios pn ∈ RL+ covergente ap ∈ RL+ se tiene que xi(pn) → xi(p). Como W i(p) es continua: W i(pn) →W i(p) y entonces la secuencia xi(pn) es acotada. Usando un argumentosimilar al de la demostracion del Teorema 3.5, si xi(pn) 9 xi(p), podemosconstruir una subsecuencia de xi(pn) convergente a cierto x, con terminosa una distancia mayor que cierto δ > 0 de xi(p). Para esta subsecuencia:pnkxi(pnk) ≤ W i(pnk) y tomando lımites: px ≤ W i(p), luego x ∈ Bi(p).Tomemos ahora cualquier x ∈ Bi(p), x 6= 0 es decir 0 < px ≤ W i(p) y paratodo λ ∈]0, 1[: 0 < λpx < W i(p). Por continuidad, para k suficientementegrande: 0 < λpnkx < W i(pnk), de donde λx ∈ Bi(pnk) y por lo tantoxi(pnk) <i λx y en el lımite x <i λx. De donde haciendo λ → 1: x <i x ypor consecuencia x = xi(p), lo cual contradice ||x− xi(p)|| ≥ δ > 0.

2. La homegeneidad se desprende directamente de Bi(αp) = Bi(p).

3. La no saciedad local de las preferencias no permiten una solucion interior a(4.1) y por lo tanto pxi(p) = W i(p) c

El ultimo resultado que daremos nos servira para ver el comportamiento en la fronterade la FEDA:

Teorema 4.4 Si las preferencias <i son racionales, continuas, estrictamente convexas, fuer-temente monotonas y las tecnologıas Y j son cerradas, acotadas superiormente, estrictamenteconvexas y con 0 ∈ Y j. Entonces para toda secuencia de precios convergente a un punto enla frontera: pn → ρ con pn ∈ RL++ y ρ 0 con algun ρn`′ = 0, tenemos que o bien:

max`xi`(p

n)→ +∞ para cierto i = 1, . . . , I

omın`yj`(p

n)→ −∞ para cierto j = 1, . . . , J

43

Demostracion

d Para demostrar el resultado por contradiccion, supongamos que para todo i =1, . . . , I y todo j = 1, . . . , J las secuencias: max` x

i`(p

n) y mın` yj`(p

n) son acotadasy por lo tanto lo son las secuencias xi(pn) y yj(pn). Al ser acotadas poseensubsecuencias convergentes:

xi(pnk)→ xi

yyj(pnk)→ yj

En cada uno de los puntos de estas subsecuencias se cumple:

pnkxi(pnk) = pnkωi +J∑j=1

θijpnkyj(pnk)

tomando lımites:

ρxi = ρωi +J∑j=1

θijρyj = W i

Como hemos supuesto que para ω =∑I

i=1 ωi y Y =

∑Jj=1 Y

j existe y′ ∈ Y tal

que ω + y′ � 0, sea y′ =∑J

j=1 y′j. Por optimalidad: pnkyj(pnk) ≥ pnky′j en el

lımite ρyj ≥ ρy′j, de la misma manera ρyj ≥ 0 esto junto con ρωi ≥ 0 nos daW i ≥ 0. Ahora sumando sobre i:

i∑i=1

W i =i∑i=1

(ρωi +

J∑j=1

θijρyj

)≥

i∑i=1

(ρωi +

J∑j=1

θijρy′j

)=

= ρ

(i∑i=1

ωi +J∑j=1

i∑i=1

θijy′j

)= ρ(ω + y′) > 0

De donde obtenemos que para al menos un i, W i > 0. Para este consumidordefinimos

βi = {x ∈ RL+|ρx ≤ W i}Tomemos ahora x ∈ βi, para 0 < λ < 1: λ(ρx) < W i. Por continuidad, para ksuficientemente grande,

pnk(λx) < pnkωi +J∑j=1

θijpnkyj(pnk)

es decir λx ∈ Bi(pnk) y por lo tanto xi(pn) <i λx de donde, al tomar lımites parank y λ→ 1:

x <i x

como esto es para todo x ∈ βi, lo que hemos obtenido es que x es maximal para<i en βi. Ahora, como ρ 0 con algun ρn`′ = 0 y W i > 0, βi es no acotado y porlo tanto las preferencias <i, fuertemente monotonas, no pueden tener elementomaximal en βi. Al llegar a una contradiccion , la prueba queda establecida. c

44

4.2. Funcion Exceso de Demanda Agregada y Equili-

brio

Dada la economıa E = {(ωi,<i)i=1,...,I , (Yj)j=1,...,J , (θ

ij) i=1,...,Ij=1,...,J

}, la funcion exceso de de-

manda agregada esta definida como:

Z(p) =I∑i=1

xi(p)−J∑j=1

yj(p)−I∑i=1

ωi (4.2)

y, al igual que antes, el equilibrio sera el vector de precios p∗ ∈ RL++ tal que Z(p∗) = 0.Para demostrar la existencia de tal equilibrio, probaremos para esta Z un resultado

similar al Teorema 2.1, con lo cual el Teorema 2.3 garantiza la existencia de equilibrio.

Teorema 4.5 Si las preferencias <i son racionales, continuas, estrictamente convexas, fuer-temente monotonas y las tecnologıas Y j son cerradas, acotadas superiormente, estrictamenteconvexas y con 0 ∈ Y j. Entonces Z definida por (4.2) cumple

1. Z(p) es continua.

2. ∀α > 0 : Z(αp) = Z(p)

3. pZ(p) = 0

4. ∃s > 0 tal que ∀p ∈ RL++ : mın`=1,...,L Z`(p) > −s

5. Si pn → p 6= 0 con p`′ = 0 para cierto `′: max` Z`(pn)→ +∞

Demostracion

d

1. Z(p) es continua, por ser todas las xi(p) y yj(p) continuas.

2. Z es homogenea de grado cero al serlo todas las xi(p) y yj(p).

45

3.

pZ(p) = p

(I∑i=1

xi(p)−J∑j=1

yj(p)−I∑i=1

ωi

)

=I∑i=1

pxi(p)−J∑j=1

pyj(p)−I∑i=1

pωi

=I∑i=1

pxi(p)−J∑j=1

i∑i=1

θijpyj(p)−I∑i=1

pωi

=I∑i=1

(pxi(p)−

J∑j=1

θijpyj(p)− pωi)

=I∑i=1

(pxi(p)−W i(p)

)=

I∑i=1

(W i(p)−W i(p)

)= 0

4. La cota inferior se construye a partir de la cota inferior 0 de cada xi y lascotas superiores Ki de cada yj.

5. Esto consecuencia inmediata del Teorema 4.4 y de las cotas inferior y supe-rior de xi e yj respectivamente.c

4.3. Eficiencia

Veremos en esta seccion las versiones de los Teoremas del Bienestar para economıascon produccion. Primero daremos las definiciones previas para el caso de economıas conproduccion.

Definicion 4.6 (Asignacion factible) Dada una economıa

E = {(ωi,<i)i=1,...,I , (Yj)j=1,...,J , (θ

ij) i=1,...,Ij=1,...,J

}

una asignacion factible es un vector

(x, y) = (x1, . . . , xI , y1, . . . , yJ) ∈ RL×I+ × RL×J

tal que para todo j = 1, . . . , J , yj ∈ Y j y

I∑i=1

xi =I∑i=1

ωi +J∑j=1

yj

Definicion 4.7 (Equilibrio) Una asignacion (x, y) factible es de equilibrio si existe p ∈RL++ tal que :

46

1. Para todo j = 1, . . . , J : pyj ≥ py para todo y ∈ Y j

2. Para todo i = 1, . . . , I: ui(x) > ui(xi) implica px > pωi +∑J

j=1 θijpyj

Definicion 4.8 (Soporte) Una asignacion (x, y) factible es soportada por p ∈ RL+, p 6= 0,si existe (W 1, . . . ,W I) ∈ RI+ tal que :

1.∑i

i=1 Wi =

∑Ii=1 pω

i +∑J

j=1 pyj

2. Para todo j = 1, . . . , J : pyj ≥ py para todo y ∈ Y j

3. Para todo i = 1, . . . , I: ui(x) ≥ ui(xi) implica px ≥ W i

Definicion 4.9 (Optimo de Pareto Fuerte) Una asignacion(x, y) es un Optimo de Pa-reto Fuerte si:

1. Es factible.

2. @ (x, y) asignacion factible tal que:

a) ∀i = 1, . . . , I ui(xi) ≥ ui(xi)

b) ∃j tal que uj(xj) > uj(xj)

Definicion 4.10 (Optimo de Pareto Debil) Una asignacion (x, y) es un Optimo de Pa-reto Debil si:

1. Es factible.

2. @ (x, y) factible tal que:∀i = 1, . . . , I ui(xi) > ui(xi)

Igual que en el caso de intercambio puro, todo Optimo de Pareto Fuerte es un Optimo dePareto Debil y si las preferencias de los consumidores son continuas y fuertemente monotonas,todo Optimo de Pareto Debil es un Optimo de Pareto Fuerte.

Tambien es verdad que bajo suposiciones suaves toda asignacion de equilibrio es unoptimo de Pareto.

Teorema 4.11 (Primer Teorema del Bienestar) Si las preferencias de los consumido-res son Localmente No Saciadas, todo Asignacion de Equilibrio es un Optimo de ParetoFuerte

Demostracion

d Sea (x, y) una asignacion de equilibrio con precios de equilibrio p y definamos:

W i = pωi +J∑j=1

θijpyj

por No Saciedad Local tenemos que pxi = W i. Sea ahora una asignacion (x′, y′)con u(x′i) ≥ u(xi) para todo i y (spg) u(x′1) > u(x1). Como x1 es la demanda de1 a precios p debemos tener que

px′1 > px1

47

Para los demas consumidores si fuera verdad que px′i < pxi por la No SaciedadLocal existira un zi tal que pzi < pxi y u(zi) > u(x′i) ≥ u(xi) Lo cual contradiceel hecho que xi es la demanda de i a precios p. Luego debemos tener que

px′i ≥ pxi

Sumando tenemos que

pI∑i=1

x′i = px′1 +I∑i=2

px′i

> px1 +I∑i=2

pxi =I∑i=1

W i =I∑i=1

(pωi +

J∑j=1

θijpyj

)

= pω +J∑j=1

pyj

≥ pω +J∑j=1

py′j = p

(ω +

J∑j=1

y′j

)

es decir p∑I

i=1 x′i > p

(ω +

∑Jj=1 y

′j)

, como p � 0 la asignacion (x′, y′) no es

factible.c

El Segundo Teorema del Bienestar tambien sigue siendo valido:

Teorema 4.12 (Segundo Teorema del Bienestar) Si todas las tecnologıas son conve-xas y las preferencias de todos los consumidores son estrictamente convexas, fuertementemonotonas y continuas, entonces todo Optimo de Pareto Debil es soportado por un vectorde precios p ∈ RL+.

Demostracion

d Sea (x1, . . . , xI , y1, . . . , yJ) un Optimo de Pareto Debil. Para cada consumidor idefinimos V i = {x ∈ RL+|x �i xi} y luego el conjunto V =

∑Ii=1 V

i−{ω}. Comolas preferencias son convexas, cada V i es convexo y por lo tanto tambien los esV . Por la no saciedad local , cada V i es no vacıo y por lo tanto tambien los es V .

Por otro lado el conjunto Y =∑J

j=1 Yj tambien es no vacıo y convexo. Para

estos conjuntos tenemos:V ∩ Y = ∅

si no fuera ası, tendrıamos una asignacion (x′, y′) tal que∑I

i=1 x′i−ω =

∑Jj=1 y

′j,

es decir factible con x′i �i xi para todo i, esto es imposible por ser (x, y) unOptimo de Pareto Debil. Tenemos entonces dos conjuntos, V e Y , convexos, novacıos y disjuntos, luego existe un hiperplano separador para ambos: p ∈ RL,p 6= 0 y r ∈ R tal que: ∀x ∈ V , px ≥ r y ∀y ∈ Y , py ≤ r.

Supongamos ahora para cierto i′, un x ∈ RL+ tal que x <i′xi′. Basados en la

monotonicidad fuerte, para cada i tomemos un xi tal que xi �i xi. Como laspreferencias son estrictamente convexas, para α ∈]0, 1[:

αxi + (1− α)xi �i xi

48

para i 6= i′ y para i′:αxi

′+ (1− α)x �i′ xi′

Luego ∑i 6=i′

(αxi + (1− α)xi) + (αxi′+ (1− α)x)− ω ∈ V

y por lo tanto

p

(∑i 6=i′

(αxi + (1− α)xi) + (αxi′+ (1− α)x)− ω

)≥ r

haciendo α tender a 0:

p

(∑i 6=i′

xi + x− ω

)≥ r (4.3)

Si tomamos x = xi′

tenemos que:

p

(I∑i=1

xi − ω

)≥ r

Como (x1, . . . , xI , y1, . . . , yJ) es factible∑I

i=1 xi − ω =

∑Jj=1 y

j ∈ Y y por lotanto tambien:

p

(I∑i=1

xi − ω

)= p

J∑j=1

yj ≤ r

Luego:

p

(I∑i=1

xi − ω

)= r = p

J∑j=1

yj (4.4)

Sea ahora para cierto j′, y ∈ Y j′ luego∑

j 6=j′ yj + y ∈ Y luego:

p

(∑j 6=j′

yj + y

)≤ r = p

J∑j=1

yj

de donde:py ≤ pyj

′

Tambien para cierto i′ tomemos x <i′xi′

por (4.3) y (4.4):

p

(∑i 6=i′

xi + x− ω

)≥ r = p

(I∑i=1

xi − ω

)

luego:px ≥ pxi

′

49

∑i 6=i′ x

i = ω − xi′ +∑J

j=1 yj, reemplazando:

p(−xi′ + x

)≥ r

Como (x1, x2, . . . , xI) es factible∑

i 6=i′ xi = ω − xi′ +

∑Jj=1 y

j, reemplazando:

p(−xi′ + x

)≥ r

Definiendo W i = pxi tenemos las tres condiciones de la definicion de soportabi-lidad, solo resta probar que p ∈ RL+.

Para esto tomemos el `-esimo vector canonico e` ∈ RL, por la monotonicidadfuerte para todo i : xi + e` �i xi luego p(xi + e`) ≥ pxi, de donde p` ≥ 0. c

4.4. Ejercicios

1. (Tomado de [1])Sea una economıa de dos bienes, dos consumidores y una empresa. Elconsumidor 1 con preferencias representadas por

U1(x1, x2) =√x1 x2

con dotacion inicial ω1 = (3, 0) y 0 < θ1 < 1. El consumidor 2 tiene

U2(x1, x2) = 2Ln(x1) + Ln(x2)

dotacion inicial ω2 = (2, 0) y θ2 = 1− θ1. La empresa tiene tecnologıa

Y = {(x, y) ∈ R2|x ≤ 0 y ≤√−x}

a) Encuentra la funcion oferta de la empresa.

b) Encuentra la funcion ( o correspondencia) de demanda de cada consumidor.

c) Encuentra la funcion ( o correspondencia) de exceso de demanda de la economıa(Z(p1, p2)).


e) Verifica si Z cumple las 5 propiedades de la FEDA usadas para la demostracionde la existencia de equilibrio.

2. Sea una economıa de dos bienes, dos consumidores y una empresa. El consumidor 1con preferencias representadas por

U1(x1, x2) =√x1 x2

con dotacion inicial ω1 = (1, 0) y θ1 = 0,3. El consumidor 2 tiene

U2(x1, x2) = x1 + Ln(x2)

dotacion inicial ω2 = (2, 0) y θ2 = 0,7. La empresa tiene tecnologıa

Y = {(x, y) ∈ R2|x ≤ 0 y ≤ Ax

x− 1}

donde A > 0 es un factor de productividad.

50

a) Encuentra la funcion oferta de la empresa.

b) Encuentra la funcion (correspondencia) de demanda de cada consumidor.

c) Encuentra la funcion (correspondencia) de exceso de demanda de la economıa(Z(p1, p2)).


e) Estudia el efecto del factor de productividad A en el equilibrio (precios y asigna-cion).

3. (Tomado de [5]) Considera una economia de dos bienes (x1, x2) con un (unico) consu-midor con preferencias continuas, convexas y fuertemente monotonas y una empresacapaz de transformar una cantidad z del primer bien en una cantidad, no mayor que,f(z) del segundo. f es una funcion creciente y estrictamente concava. Sean (p, w) losprecios de los bienes y (L, 0) la dotacion inicial del consumidor. La empresa maximi-za su beneficio tomando los precios como fijos. El consumidor es el propietario de laempresa, siendo su ingreso la suma de la venta del primer bien y los beneficios de laempresa.

a) Plantea el problema de la empresa y el del consumidor.

b) Encuentra unos precios de equilibrio para U(x1, x2) = x1x2 y f(z) = z1/2.

4. Tenemos una economıa formada por dos consumidores:

Consumidor A: UA(xA1, xA2) = mın{xA1, xA2/4}, ωA = (a, 1), θA = 1/3.

Consumidor B: UB(xB1, xB2) = (xB1)1/3(xB2)2/3, ωB = (1, b), θB = 2/3.

y una empresa con tecnologıa:

Y = {(x1, x2)|4x2 + x1 ≤ 0 , 4x1 + x2 ≤ 0}

a) Plantea el problema de la empresa y resuelvelo (analıtica o graficamente), indi-cando para cual conjunto de precios el problema tiene solucıon (T ∗). Escribe lafunciones oferta y beneficio.

b) Considerando solo p ∈ T ∗, plantea y resuelve el problema de cada consumidor.

c) Escribe la funcion exceso de demanda y verifica si cumple todas las propiedades. Si encuentras alguna que no se cumple, identifica el motivo.

d) Existe equilibrio? Si existe encuentralo, si no existe encuentra el motivo.


u1(x, y) = 2x+ y y w = (2, 3).

u2(x, y) = xy3 y w = (1, 2).



51

c) Determina el conjunto de los optimos de Pareto

d) Dibuja la caja de Edgeworth, ubica los optimos de Pareto, la curva de contrato yel equilibrio Walrasiano

e) Suponga ahora que los consumidores son propietarios a partes iguales de una

empresa con funcion de oferta: S(p1, p2) = (− p224p21, p2p1

). Repita los partes (a) y (b).

6. (Tomado de [5]) Supongamos una economıa donde los consumidores tienen preferenciascontinuas y fuertemente monotonas y existe una unica empresa con tecnologıa Y .Muestra que si existe y ∈ Y tal que y +

∑Ni=1 ωi � 0 entonces no puede haber un

equilibrio con transferencias donde algunos de los precios sean nulos.

52

Capıtulo 5

Bienestar

En los capıtulos anteriores hemos estudiado un modelo de economıa de intercambio cony sin produccion, poniendo el enfasis en el mercado como mecanismo de intercambio. Eneste capıtulo exploraremos una vision mas centralizada para este intercambio/produccion.Tomaremos el punto de vista de un planificador central, dictador benevolente o, de maneraabstracta, de la sociedad como un todo unificado.

Dada una economıa:

E = {(ωi,<i)i=1,...,I , (Yj)j=1,...,J , (θ

ij) i=1,...,Ij=1,...,J

}

postulamos la (gaseosa) pregunta ¿que es bueno para ella?.Debe ser natural pensar que la respuesta a esta pregunta debe basarse en las preferencias

(utilidades) de los consumidores.Dada la economıa E = {(ωi,<i)i=1,...,I , (Y

j)j=1,...,J , (θij) i=1,...,I

j=1,...,J}, con ω =

∑Ii=1 ω

i y Y =∑Jj=1 Y

j, podemos construir el conjunto

X =

{(x1, x2, . . . , xI) ≥ 0

∣∣∣∣ I∑i=1

xi ∈ ω + Y

}de todas las asignaciones de consumo factibles dadas la dotacion inicial total y la tecnologıasde transformacion disponibles. Sobre este conjunto X cada consumidor tiene sus preferencias,basadas en la canasta que le toca en cada asignacion. Serıa muy positivo que podamos agregarestas preferencias individuales en una “preferencia social”.

Lamentablemente el Teorema de Imposibilidad de Arrow nos dice que no hay una ma-nera general de hacer esto convenientemente. Seamos mas precisos en esto de general yconveniente.

Lo de general es porque se quiere una regla que se pueda aplicar siempre, para cualquiereconomıa, es decir estamos buscando una funcion que salga del espacio de economıas y leasigne a cada una de ellas una preferencia sobre el X correspondiente. A este concepto se leconoce como el axioma de dominio irrestricto.

Lo de conveniente se refiere a tres propiedades:

1. Respeto a la unanimidad: En cualquier economıa si todos los individuos prefierenla asignacion x a la asignacion y, la preferencia social debe ser tambien tal que x espreferido a y.

53

2. No dictatorial: La agregacion no debe de asignar como preferencia social siempre lapreferencia de un individuo en particular.

3. Independencia de las alternativas irrelevantes: La preferencia social entre dosalternativas depende solo de las preferencias individuales sobre ellas.

Teorema 5.1 (Arrow) No existe una regla de agregacion social de dominio irrestricto,respeto a la unanimidad, no dictatorial y con independencia de las alternativas irrelevantes.

En base a este resultado los intentos de agregacion de preferencias deben sacrificar algunade las propiedades pedidas. Tıpicamente estas son la de dominio irrestricto o la independenciade las alternativas irrelevantes. Nosotros sacrificaremos esta ultima.

5.1. Funcion de Bienestar Social

Si asumimos que cada preferencia individual esta representada por una funcion utilidady que el rango (valores de llegada) de todas ellas es comparable inter-agentes. En este casouna solucion parcial pero sencilla al problema de agregacion es construir, en base a estasfunciones de utilidad individuales, un utilidad para toda la sociedad. Esta recibe el nombrede Funcion de Bienestar Social (FBS). Si tenemos una FBS buscar lo mejor para la sociedades maximizar este FBS.

Definicion 5.2 (Funcion de Bienestar Social) Dada la economıa E y el conjunto X deasignaciones factibles correspondiente, fijamos para cada preferencia <i una funcion utilidadui que la represente, una FBS es:

W : X −→ R(x1, . . . , xI) −→ W (u1(x1), . . . , uI(xI))

Una manera mas practica para definir la FBS es usar como dominio el conjunto devectores de utilidad que se pueden alcanzar, esto es el conjunto de posibilidades de utilidad:

U = {(u1, u2, . . . , uI) | ∃(x, y) factible, con ui ≤ ui(xi) ∀i = 1, 2, . . . , I}

Esto es mas conveniente ya que el conjunto X ⊂ RI×L mientras que U ⊂ RI . Es por estoque es usual trabajar con FBS definidas sobre U :

W : U −→ R(u1, . . . , uI) −→ W (u1, . . . , uI)

Una propiedad que normalmente se exige a una FBS es ser creciente o estrictamentecreciente:

Definicion 5.3 Una FBS es creciente si ∀u, u′ ∈ U con u ≥ u′ se tiene W (u) ≥ W (u′) y siu� u′ se tiene W (u) > W (u′)

Una FBS es estrictamente creciente si ∀u, u′ ∈ U con u u′ se tiene W (u) > W (u′)

54

Ası, una FBS es creciente si cuando un individuo aumenta su nivel de utilidad y ninguno lodisminuye la FBS no disminuye y si todos aumentan su nivel de utilidad la FBS aumenta.Por otro lado una FBS es estrictamente crecientes si cuando un individuo aumenta su nivelde utilidad y ninguno lo disminuye la FBS aumenta.

Las FBS mas usadas son:

Utilitarista: W (u1, u2, . . . , uI) =∑I

i=1 βiui

Rawlsiana: W (u1, u2, . . . , uI) = mıni=1,...,I

{βiu

i}

CES Asumiendo que los valores ui son positivos:

• W (u1, u2, . . . , uI) =(∑I

i=1(βiui)1−ρ

) 11−ρ

para ρ 6= 1

• W (u1, u2, . . . , uI) =∑I

i=1 βi ln(ui) para ρ = 11

Las FBS utilitarista y CES son estrictamente crecientes pero la FBS Rawlsiana es sola-mente creciente.

Otra propiedad interesante es la concavidad de W , que se puede interpretar como “aver-sion a la desigualdad”2.

La FBS Utilitarista, al ser lineal, es indiferente a la desigualdad mientras la Rawlsianapresenta la maxima aversion. Para las CES se puede controlar este comportamiento conel parametro ρ. Note que si ρ = 0 tenemos la FBS utilitarista y si ρ → +∞ tenemos laRawlsiana.

Como la FBS le asigna a cada vector de posibilidades de utilidad (u1, u2, . . . , uI) ∈ U unnivel de bienestar social W (u1, u2, . . . , uI), el problema del planificador central sera entonces:

max W (u1, u2, . . . , uI) (5.1)

s.a. (u1, u2, . . . , uI) ∈ U

Esto es, maximizar el bienestar social de la economıa. Debe ser obvio que la soluciondepende de la FBS que se elija. En general no hay ninguna razon positiva que permitapreferir alguna FBS en lugar de otra. El uso de una FBS particular es mas bien ”ideologico.o

subjetivo.Veamos ahora con cierto detalle el problema del planificador (5.1). Empecemos por ca-

racterizar el conjunto U .

Proposicion 5.4 Si el conjunto de asignaciones factibles es no vacıo, cerrado y acotado ylas funciones de utilidad son continuas el conjunto U es cerrado y acotado superiormente.

Si las funciones de utilidad son concavas y todas las tecnologıas convexas, el conjunto Ues convexo.

Sobre U podemos identificar los vectores de utilidad que corresponden a una asignacionPareto eficiente. Estos puntos conforman la Frontera de Pareto:

P = {(u1, u2, . . . , uI) ∈ U | @(u′1, u′2, . . . , u

′I) ∈ U tal que ∀i : u′i ≥ ui y ∃i : u′i > ui}

La siguiente proposicion identifica P con los vectores de utilidad de los Optimos de Pareto.

1Equivalente a W (u1, u2, . . . , uI) =∏Ii=1(ui)βi

2Similar a la aversion al riesgo en otros contextos

55

Proposicion 5.5 Una asignacion (x, y) es un Optimo de Pareto si y solo si(u1(x1), u2(x2), . . . , uI(xI)) ∈ P

Para terminar este punto vemos que maximizar una FBS apropiada siempre nos da unresultado asociado a un optimo de Pareto.

Proposicion 5.6 Si la FBS W es creciente el problema del Planificador Central (5.1) tienesolucion en P

En la siguiente seccion veremos en mayor detalle estos resultados y como usarlos para estudiarel equilibrio de una economıa.

5.2. Resultados Analıticos bajo diferenciabilidad

En lo que sigue, trabajaremos con la funcion utilitarista:

W (u) = β1u1 + β2u

2 + · · ·+ βIuI

para la cual podemos establecer:

Teorema 5.7 Si u = (u1, u2, . . . , uI) ∈ P entonces existen βi ≥ 0 no todos nulos tal que enu la FBS W (u1, u2, . . . , uI) =

∑Ii=1 βiu

i alcanza su maximo sobre U .

Si la FBS W (u1, u2, . . . , uI) =∑I

i=1 βiui con βi > 0 alcanza su maximo sobre U convexo

en u entonces u = (u1, u2, . . . , uI) ∈ P .

La maximizacion de la que habla el Teorema anterior es:

max β1u1 + β2u

2 + · · ·+ βIuI

s.a. (u1, u2, . . . , uI) ∈ U

si no queremos pasar por la construccion del conjunto U este problema se puede escribircomo:

max β1u1(x1) + β2u

2(x2) + · · ·+ βIuI(xI)

s.a. (x, y) es factible

o


2(x2) + · · ·+ βIuI(xI)

s.a.

I∑i=1

xi −I∑i=1

ωi =J∑j=1

yj

xi ≥ 0

yj ∈ Y j

56

Si cada tecnologıa Y j esta definida por una funcion de produccion F j(yj) ≤ 0:


2(x2) + · · ·+ βIuI(xI)

s.a.

I∑i=1

xi −I∑i=1

ωi =J∑j=1

yj (5.2)

xi ≥ 0

F j(yj) ≤ 0

Asumiendo diferenciabilidad, concavidad y convexidad donde corresponda y las condicioneapropiadas para tener soluciones interiores podemos usar el lagrangiano :

L ≡ β1u1(x1) + β2u

2(x2) + · · ·+ βIuI(xI)−

L∑`=1

λ`

(I∑i=1

xi` −I∑i=1

ωi` −J∑j=1

yj`

)−

J∑j=1

µjF j(yj)

para caracterizar la solucion con las condiciones de primer orden:

∂xi`L ≡ βi∂ùi(xi)− λ` = 0 (5.3)

∂yj`L ≡ λ` − µj∂`F j(yj) = 0 (5.4)

de donde obtenemos las condiciones de optimalidad:

∂ùi

∂`′ui=λ`λ`′

=∂`F

j

∂`′F j(5.5)

para cualquier combinacion de i, j, `, `′.Por otro lado si consideramos un contexto de Equilibrio Walrasiano con transferencias,

cada consumidor i resuelve:

max ui(xi)

s.a. pxi ≤ W i

xi ≥ 0

con Lagrangiano:Li ≡ ui(xi)− γi(pxi −W i)

y condiciones de primer orden:

∂

∂xi`Li ≡ ∂ù

i(xi)− γip` = 0 (5.6)

de donde obtenemos:∂ù

i

∂`′ui=p`p`′

(5.7)

Por su parte, las empresas resuelven:

max pyj

s.a. F j(yj) ≤ 0

57

con Lagrangiano:Lj ≡ pyj − ψjF j(yj)

y condiciones de primer orden:

∂

∂xj`Lj ≡ p` − ψj∂`F j(yj) = 0 (5.8)

de donde:∂`F

j

∂`′F j=p`p`′

(5.9)

Observemos que en el caso de un Equilibrio Walrasiano con transferencias las condiciones(5.7) y (5.9) nos dicen que todas las relaciones marginales de (5.5) son iguales al ratio deprecios p`

p`′. Es decir que para cada Optimo de Pareto los valores de los multiplicadores λ`

nos dan los precios que lo soportan como Equilibrio Walrasiano.Por otro lado, de (5.3):

∂`ui(xi) =

λ`βi

y de (5.6):∂`u

i(xi) = γip`

podemos, identificando λ` con p`, observar que para obtener la asignacion de equilibrio comooptimo de Pareto el peso de cada consumidor en la FBS debe ser igual a la reciproca de sumultiplicador γi.

Finalmente, el teorema de la envolvente aplicado al problema de cada consumidor, en elcontexto de equilibrio con transferencias, nos dice que el valor de γi es la utilidad marginaldel ingreso del consumidor i en la canasta de consumo que obtiene.

Como conclusion tenemos que, si usamos una FBS utilitarista para determinar un OP enparticular, a mayor peso relativo, menor utilidad marginal del ingreso, por lo tanto mayorriqueza. Visto de otro modo, si tenemos un EW, la FBS utilitarista que lo genera como OPdebe ponerle mayor peso relativo a aquellos consumidores que tienen mayor riqueza a losprecios de equilibrio.

Todo lo dicho hasta ahora puede usarse para construir un metodo de calculo del equilibrioWalrasiano que veremos en la siguiente seccion.

5.3. Metodo de Negishi

El metodo de Negishi es una estrategia para el calculo del Equilibrio Walrasiano (yparalelamente tambien una demostracion de su existencia). Su bondad radica en que setrabaja en un espacio de dimension igual al numero de agentes L y no en el espacio debienes. En el caso de tener un numero muy grande de bienes, incluso infinitos, pero unnumero pequeno de consumidores, esto es muy conveniente.

La idea de Negishi se basa en:

Todo Equilibrio Walrasiano es un Optimo de Pareto.

Todo Optimo de Pareto se puede encontrar resolviendo un problema como (5.2)

58

Todo Optimo de Pareto es un Equilibrio Walrasiano con transferencias.

Todo Equilibrio Walrasiano es un Equilibrio Walrasiano con transferencias nulas.

Si la economıa no cumple alguna de estas afirmaciones, el metodo de Negishi no es valido.En base a estas afirmaciones se puede implementar el siguiente algoritmo de calculo de

equilibrio:

1. Resolver (5.2) tomando los pesos βi como parametros

2. Calcular los precios, de acuerdo a los βi, que soportan el Optimo

3. Calcular las transferencias, de acuerdo a los βi, necesarias para tener un Equilibrio contransferencias3.

4. Obtener el juego de parametros que hacen todas las transferencias nulas.

5. Con los pesos βi encontrados determinar los precios y asignaciones de equilibrio.

5.4. Ejercicios

1. En el Teorema de Imposibilidad de Arrow tenemos, entre otras, las siguientes hipotesis:

a) Preferencia social racional.

b) Independencia de las alternativas irrelevantes.

c) Propiedad Paretiana.

d) Ausencia de dictador.

Para cada una de las siguientes funciones de agregacion social encuentra cuales de lasanteriores propiedades no son satisfechas.

a) Pluralidad: Primero la alternativa que es la preferida por el mayor numero deagentes, luego las siguientes sin contar las ya elegidas.

b) Borda: Para cada agente numerar las alternativas segun sus preferencias. Sumardichos puntajes y ordenar segun dicha suma.

c) Condorcet: x es preferida o indiferente socialmente a y si x es preferida o indi-ferente por la mitad o mas de los agentes.

d) Pseudo-condorcet: Hacer votaciones por pares y ordenar segun el numero deelecciones ganadas por cada alternativa.

e) Agenda: Ordenar al azar (uniformemente) las alternativas y enfrentar a la prime-ra con la segunda en una votacion por mayorıa, tomar la ganadora y enfrentarlacon la tercera en una votacion por mayorıa, tomar la ganadora y enfrentarla .....A la alternativa que gane el ultimo enfrentamiento se designa como la primeraen la preferencia social. Repetir el procedimiento, sin variar el orden establecido,hasta ordenar todas las alternativas.

3Aca es donde entran las dotaciones iniciales.

59

2. (Tomado de [1])Considere una economıa de dos consumidores y dos bienes.Los consu-midores tienen dotacion inicial ω1 = (1, 4) y ω2 = (3, 2) y utilidades:

U1(x, y) = xy

U2(x, y) = x2y

a) Resuelva:max αU1(x1, y1) + (1− α)U2(x2, y2)

s.a. 0 ≤ x1 + x2 ≤ 40 ≤ y1 + y2 ≤ 6

donde 0 ≤ α ≤ 1

b) Encuentre el valor de α que hace que la solucion anterior coincida con la asignacionde equilibrio de la economıa.

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Bibliografıa (References)

[1] Aliprantis, C.D., D.J. Brown y O. Burkinshaw, Existence and Optimality of Com-petitive Equilibria. Springer Verlag, 1990.

[2] Debreu, G. Theory of Value. Yale University Press. 1959.

[3] Hildebrand, W. y A.P. Kirman Introduccion al Analisis del Equilibrio. AntoniBosch, editor. 1982.

[4] Kreps,David M. Curso de Teorıa Microeconomica. McGraw Hill,1994.

[5] Mas-Colell, A.,M.D. Winston, J.R. Green Microeconomic theory. Oxford UniversityPress. 1995.

[6] Varian,Hall Analisis Microeconomico. Antoni Bosch, editor. 1992.

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material de enseÑanz a - pucpfiles.pucp.edu.pe/departamento/economia/me001.pdf · a la demanda. el...

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