materia de fisica general

7/23/2019 materia de fisica general

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NIVELACIÓN DE CARRERA

LIC. PATRICIO MATA

RIOBAMBA-ECUADOR

DERECHOS RESERVADOS

INTRODUCCION

1




La Física es una de las ciencias más importantes para la interpretación de lanaturaleza !oda t"cnica# aplicación o disciplina del conocimiento $umano%ue ten&a %ue 'er con la interpretación cuantitati'a de la naturaleza o laaplicación de tales conocimientos# tiene como (ase a la Física Además todare'olución en los campos conceptuales de la Física $a traído consi&o

cam(ios pro)undos en la 'ida del ser $umano en nuestro planeta

Este modulo trata del estudio racional * e+perimental de la teoría delmo'imiento * el estudio del calor * la temperatura de sistemas )ísicos# loscuales poseen un n,mero in-nito de &rados de li(ertad Así podemosmencionar entre "stos a los .uidos como &ases * lí%uidos# a sólidosde)orma(les con propiedades termodinámicas de-nidas

/no de los o(0eti'os (ásicos de este documento es a*udar a %ue losestudiantes del (ac$illerato desarrollen los $á(itos de razonamiento ló&ico%ue necesitarán para comprender la Física# conocimientos %ue tam(i"n son,tiles en otras disciplinas Con )recuencia# los alumnos sienten %ue la Físicaes la más di)ícil de las ciencias por%ue# a,n en los cursos elementales# pidemuc$o más %ue la simple memorización de $ec$os ara estudiar (ien laFísica el alumno necesita aprender a pensar como los )ísicos De(e de0ar laetapa de cazador * recolector de )órmulas * pasar a resol'er pro(lemas2de(e lle&ar a ser# como los )ísicos# un solucionador creati'o de pro(lemas

En este te+to se destacan dos temas principales3 la comprensión delconcepto * la resolución de pro(lemas# tratando de a*udar a %ue el alumnodesarrolle el razonamiento ló&ico * de la destreza analítica %ue permiten al)ísico practicar * pro&resar en su pro)esión

Despu"s de terminado de estudiar cada uno de los contenidos conceptuales* su respecti'o análisis * resumen# se presenta una estrate&ia (ásica *sistemática para resol'er pro(lemas# en cuatro partes Esas partes 4MODELO, PLANTEMIENTO, SOLUCIÓN y ANÁLISIS 5i el estudiante 'e

cómo se aplica el m"todo en cada e0emplo# podrá aplicar me0or un m"todoseme0ante en sus propios tra(a0os

6




/nidad

7

TEMA 1: EL MUNDO DE LAFÍSICA

Introducción 8eneral

9:u" es Física;

De-nición de Física

La materia

Estructura de la materia

La )ísica * otras ciencias

Clasi-cación de la )ísica

<"todo cientí-co

Acti'idad =1

E0ercicios

E0ercicios

CONTENIDOS

>?@E!IV>53

Apreciar los o(0eti'os# m"todos *alcances de la )ísica

acer descripciones * narracionesdentro del concepto de un pro(lemacientí-co utilizando elementosteóricos * prácticos * modelosmatemáticos

1




EL MUNDO DE LA FÍSICA

INTRODUCCIÓN GENERAL.- a* ciertas le*es * conceptos )ísicos (ásicos%ue son )undamentales para muc$as de las disciplinas cientí-cas * dein&eniería %ue $an desempeBado un papel importante en el desarrollo deesas * otras tecnolo&ías El papel desempeBado por esas le*es# o le*es deFísica# como se conocen# es el de sistematizar * correlacionar el ampliocaudal de conocimientos empíricos %ue $an ad%uirido los $umanos en lossi&los anteriores 5in el conocimiento de esas le*es sería inconce(i(le lle'ara ca(o la planeación detallada * la distri(ución de recursos en &ran escala#%ue se re%uiere para &enerar * desarrollar tecnolo&ías nue'as * comple0as

La ciencia %ue se ocupa de los descu(rimientos * desarrollo de esas le*es#se conoce como Física or su naturaleza la Física es una ciencia mu*)undamental * se relaciona con una &ran 'ariedad de otras disciplinas# paramuc$as de "stas ,ltimas# son indispensa(les ciertos conocimientos deFísica

Ciencia: Es el conocimiento del mundo natural# o(tenido mediante lae+periencia * la razón# * %ue tal conocimiento no permanece estático sino%ue se $alla en continuo pro&reso

CLASIFICACIÓN DE LA CIENCIA

A la ciencia se le $a clasi-cado en tres &randes di'isiones# %ue no sone'identemente rí&idas# sino más (ien por una -nalidad didáctica en3Ciencias ?ioló&icas# Ciencias Físicas * Ciencias umanas A las dos primerasciencias tam(i"n se les conoce como3 ciencias naturales

Ciencia !i"#$%ica.- 5on a%uellas %ue estudian los $ec$os * )enómenosrelacionados con la 'ida Esta a su 'ez se clasi-ca en3 ?iolo&ía# oolo&ía#?otánica# ?io%uímica# Fisiolo&ía# 8en"tica# Citolo&ía * Ecolo&ía

Ciencia F&ica.- 5on las %ue estudian los conceptos de las cosas

relacionadas con los o(0etos inanimados Estas se clasi-can en3 Física#:uímica# 8eolo&ía# Astronomía

Ciencia '()ana: 5on a%uellos %ue estudian los $ec$os relacionadosespecí-camente con el ser $umano * sus acti'idades Estas ciencias sedi'iden en3 5ociolo&ía# la istoria# la Lin&ística# la Antropolo&ía#Demo&ra)ía# Economía

*+( e F&ica




La Física tiene cierta reputación# "sta emplea la matemática como sulen&ua0e )uerte# pero tam(i"n inclu*e# conceptos# ideas * principios %ue see+presan con pala(ras comunes

O/e0i" 2e #a F&ica.- El o(0eti'o de estudiar Física no es $acer de /sted

un Físico# sino es proporcionarle una idea de cómo los )ísicos 'en el mundoDarle la satis)acción de entender * $asta predecir los resultados de muc$os)enómenos %ue ocurren a su alrededor# tener su-ciente conocimiento de laFísica para %ue sea un pro)esional de "+ito en un mundo permeado por latecnolo&ía# ser capaz de tomar decisiones acertadas como ciudadano deuna "poca de creciente comple0idad * aprender a )ormular pre&untas

De3nici$n 2e F&ica.- Física es la ciencia %ue estudia las propiedades dela )a0e4ia * las le*es %ue tienden a modi-car su estado o su mo'imientosin cam(iar su naturaleza

La pala(ra Física 'iene del t"rmino &rie&o 5P6yi7# %ue si&ni-canaturaleza# por ello la Física es la ciencia encar&ada de estudiar los)enómenos de la naturaleza

!odas las modi-caciones en las propiedades de los cuerpos reci(en elnom(re de fenóen!s.

Fen$)en" F&ic".- son a%uellos %ue e+perimentantrans)ormaciones sin alterar la naturaleza delcuerpo * %ue lue&o de un tiempo recuperaran suestado normal# se caracterizan por no dar lu&ar anue'os cuerpos E0emplo3 el alar&amiento de unresorte

Fen$)en" +(&)ic".- 5on a%uellos en los cuales $a*cam(ios en la composición de las sustancias# se

caracterizan por dar lu&ar a nue'os cuerpos E0emplo3La com(ustión del papel

Fen$)en" Fii"#$%ic".- 5on a%uellos %ue se presentan en los seresor&anizados * se consideran como resultado de la concurrencia de los)enómenos )ísicos * %uímicos E0emplo3 La len&ua# "sta desempeBa comoór&ano de la pala(ra# a*uda a la di&estión# sentido del &usto Este )enómenose presenta en los seres 'i'os

G




La Ma0e4ia.- 5i podemos ad'ertir los )enómenos )ísicos es por%ue e+iste lamateria# la cual se caracteriza por el $ec$o de %ue ocupa un lu&ar en elespacio e impresiona nuestros sentidos

La materia constitu*e todos los o(0etos# 'i'os o animados# llamados

cuerpos# son cuerpos las piedras# plantas# animales# el aire# etc

La sustancia es la materia particular de la cual está $ec$o cada cuerpo 5onel $ierro# cloruro de sodio# cloro-la# etc

Los cuerpos se di'iden en dos &rupos simples * compuestos

C(e48" Si)8#e: 5on a%uellos constituidos por una sola sustancia o clasede materia E0emplo3 El sodio# el cloro# el $idró&eno

C(e48" C")8(e0".- 5on a%uellos )ormados por 'arias sustancias oclases de materia di)erentes E0emplo3 El ácido sul),rico# cloruro de sodio

E0a2" 9&ic" 2e #a )a0e4ia.- Los estados de la materia son3 lí%uido#sólido# &aseoso * el plasma Hionización de un &as

ESTRUCTURA DE LA MATERIA

8eneralmente todo cuerpo está )ormado de mol"culas *partículas# estas ,ltimas )orman el llamado átomo# losneutrones * protones )orman el n,cleo del átomo * loselectrones se encuentran descri(iendo ór(itas elípticasalrededor del n,cleo

LA FÍSICA OTRAS CIENCIAS

Como la naturaleza es ,nica# la ciencia tam(i"n lo es 5in em(ar&o con elo(0eto de )acilitar su estudio a la Física se relaciona con las si&uientesramas

J

:/K<ICA

?I>L>8KA

8E>L>8KA

A5!R>N><KA

IN8ENIERKA

LA FÍSICA OTRAS CIENCIAS




+(&)ica.- Es la ciencia %ue estudia la naturaleza * las propiedades de loscuerpos simples# la acción molecular de los mismos * las com(inacionesde(idas a dic$as acciones

!i"#"%&a.- Es la ciencia %ue estudia las le*es de la 'ida o de los seres 'i'os

Ge"#"%&a.- Es la ciencia %ue tiene por o(0eto el estudio de la materia %uecompone el 8lo(o !errestre# su naturaleza# su situación * las causas %ue la$a*an determinado

A04"n")&a.- Ciencia %ue trata de la posición# mo'imiento * constituciónde los cuerpos celestes

In%enie4&a.- Es la aplicación de las ciencias Físico<atemáticas# a lain'ención# per)eccionamiento * utilización de la !"cnica Industrial

CLASIFICACION DE LA FISICA

La Física es una ciencia mu* amplia# * para )acilitar su estudio seacostum(ra di'idirlo en las si&uientes partes

Mec;nica.- Es la parte de la Física %ue estudia el mo'imiento * el e%uili(riode los cuerpos# así como las )uerzas %ue pueden producirlos Esta a su 'ezse di'ide en Din;)ica y E0;0ica, ramas %ue estudian respecti'amente elmo'imiento * el e%uili(rio de los cuerpos sólidos * en 'i24"2in;)ica e'i24"0;0ica, cuando dic$o estudio se re-ere a mo'imiento * e%uili(rio delos .uidos

Ac<0ica.- Es la parte de la Física %ue estudia la )ormación# la prolon&ación#* en &eneral todas las propiedades del sonido# el cual pro'iene de las'i(raciones %ue se transmiten por medio de ondas

Ó80ica.- Es la %ue estudia las le*es * los )enómenos de la luz * susinteracciones con la materia

E#ec04")a%ne0i)".- Es la %ue estudia las acciones * reacciones de lacorriente el"ctrica so(re los imanes

Te4)"2in;)ica.- Estudia los )enómenos relacionados con )orma de

ener&ía# de(ido a la a&itación de las mol"culas de los cuerpos

La Física moderna cu(re los desarrollos de la Física del si&lo 'einte# con unatendencia en el pensamiento %ue mira a los )enómenos )ísicos desde unpunto de 'ista uni-cado * más ló&ico# * "sta se di'ide en3

F&ica A0$)ica.- Estudia las interacciones en el interior del átomo

F&ica N(c#ea4.- Estudia las interacciones en el interior del n,cleo delátomo

M




M=TODO CIENTÍFICO

En el mundo %ue nos rodea# la materia * la ener&ía se mani-estan dedistintas )ormas# so(re nuestros sentidos# como instrumentos de detección#es así# como o(ser'amos cam(ios * trans)ormaciones# denominados

)enómenos

La luz * el calor disipados por el 5ol3 la llu'ia %ue cae# la transmisióntele'isi'a# de los 'uelos espaciales# caminatas lunares# in'olucran di'ersos *comple0os )enómenos# %ue estudian ciencias como la Física# :uímica#?iolo&ía# etc

En el caso especial de la Física# cuando se analiza un determinado)enómeno se procede sistemáticamente# si&uiendo una serie de etapas#esta(lecidas en sus pasos )undamentales Esta secuencia constitu*e eldenominado <"todo Cientí-co o E+perimental

El <"todo Cientí-co# es entonces el con0unto de pasos * recursose+perimentales# teóricos# utilizados por el in'esti&ador para lo&rara unadescripción ordenada# co$erente * sistemática2 el mismo %ue consta de3

Oe4aci$n.- Consiste en o(ser'ar un )enómeno en )orma acti'a# crítica *cuidadosa# notando * analizando los di)erentes )actores * circunstancias %ueparecen in.uenciarlos 8eneralmente al o(ser'ar siempre de(emos$acernos ciertas interro&antes3 9cómo;# 9por %u";# 9cuándo; O 9para %u";

'i8$0ei.- 5on posi(les e+plicaciones %ue se da al )enómeno o(ser'ado#

las mismas %ue estarán su0etas a compro(ación *a sea para3 apro(ar#me0orar o descartar# mediante la e+perimentación

E>8e4i)en0aci$n.- En este proceso del m"todo cientí-co se 'uel'e arepetir el )enómeno o(ser'ado en condiciones distintas# con el o(0eto detomar medidas# con los cuales se realizan cálculos matemáticos paracompro(ar una de las $ipótesis

Ley " Te"4&a.- Lue&o de $a(er compro(ado# modi-cado o creado nue'ase+plicaciones al )enómeno de las $ipótesis planteadas# este resumen teóricopasa a ser una le* aislada# a la cual $a* %ue &eneralizarla para todos los

)enómenos %ue tienen tales características

F$4)(#a Ma0e);0ica.- La teoría se condensa siempre en una ecuaciónmatemática# la cual resume toda la le*

En conclusión3 <"todo cientí-co# es el con0unto de pasos * recursose+perimentales# teóricos# utilizados por el in'esti&ador para lo&rara unadescripción ordenada# co$erente * sistemática

P




• Construir un tu(o de inmersión# en una pila &rande ase&urar un $ilopara de0ar caer en el tu(o de inmersión * apli%ue los pasos delm"todo cientí-co

ACTI?IDAD N@ 1

• Nunca trate de ela(orar las acti'idades solicitadas sin antes $a(erestudiado los temas indicados# pues e+isten al&unas pre&untas %ueno podrá realizarlas sin un adecuado conocimiento

• En los e0ercicios prácticos * de in'esti&ación %ue se solicitan# sea lomás ordenado * detallista posi(le# *a %ue "stas característicaspermitirán esta(lecer el ni'el de conocimientos ad%uiridos por usted

CONTESTE:

1 9De-na %ue es Física;6 9:u" es el m"todo cientí-co;7 9:u" es una $ipótesis * %ue es una teoría; 9:u" di)erencia e+iste entre la Física * las matemáticas;G /tilizan todas las ciencias la e+perimentaciónJ Indi%ue dos de las partes en %ue se di'ide la Física * lo %ue se estudia

en cada una de ellasM 9:u" relación $a* entre Física * :uímica;P 9Cómo se apro'ec$an en la práctica los conocimientos de Física;

COMPLETE:

Q Cuando una $ipótesis predice )enómenos %ue se 'eri-can# secon'ierte en le* o en

1=La teoría se sintetiza con una

11La o(ser'ación consiste en $acer

so(re lo o(ser'ado16La teoría se sintetiza con una

INTERPRETE:

17@usti-%ue por %u" se considera a la Física como una ciencia1Indi%ue la )ase de la metodolo&ía cientí-ca a la %ue pertenece cada

uno de los si&uientes enunciadosa >(ser'ar un microor&anismo en el microscopio( <edir las temperaturas de 'arios lí%uidos

c >(tener un 'alor para la aceleración &ra'itacional# i&ual a & SQ#Q mTs6

Q




1GDi(u0e la estructura atómica1JAnote las pala(ras nue'as del tema tratado1MEla(ore una sopa de letras con las pala(ras nue'as1PE+pli%ue por %u" tenemos la responsa(ilidad de entender# aun%ue

sea un ni'el (ásico las re&las de la naturaleza

1Q5e $icieron dos e+periencias para medir la temperatura de un litro dea&ua * un litro de aceite Los resultados se encuentran en lassi&uientes ta(las3

A%(a Acei0e !emperatura

HCU1G

1P

61

6

6M

7=

!emperatura HCU

1G

6=

6G

7=

7G

=

!iempoHmin

= 1 6 7 G !iempoHmin

= 1 6 7 G

a Constru*a las &rá-cas de temperatura H! en )unción del tiempo

Ht( Determine las ecuaciones de las &rá-casc Compare la rapidez con la %ue se calientan las dos sustancias

6=Cuatro 'acas ne&ras * tres 'acas marrones dan tanta lec$e en cincodías como tres 'acas ne&ras * cinco 'acas marrones en cuatro días9:u" clase de 'aca es la más lec$era# la ne&ra o la marrón;

EBERCICIOS DE APLICACIÓN

1 Realice un es%uema del <"todo Cientí-co6 9or %u" conceptos como la (elleza# la (ondad * la caridad no pueden

in'esti&arse desde la Física;7 9Cuáles son las )ases del m"todo cientí-co; 9Cómo determinaría al área de una -&ura de )orma irre&ular;

SELECCIONE LA RESPUESTA CORRECTA:

G 5eBale la disciplina %ue no es cienciaa Física( :uímica

c <atemáticasd Astrolo&ía

J La parte de la Física %ue estudia el mo'imiento se conoce con elnom(re de3a <ecánica( Ac,sticac Ópticad !ecnolo&ía

M 9Cuál de los si&uientes enunciados en una $ipótesis cientí-ca;

a Los átomos son las partículas de materia más pe%ueBas %uee+isten

1=




( Nuestro uni'erso está contenido en otro uni'erso cu*a e+istenciano se $a podido detectar

c Al(ert Einstein es el )ísico más &rande %ue $a e+istido

U!ICAR DENTRO DEL PARENTESIS EL NUMERO DE LA EPRESIONEISTENTE EN LA COLUMNA DE LA I+UIERDA +UE CORRESPONDA ALA DEFINICION CORRECTA DE LA COLUMNA DE LA DEREC'A.

P Fenómeno Físico H Estudia los )enómenosrelacionados

con el mo'imiento de loscuerpos

Q Cuerpo compuesto H Naturaleza1=Fenómeno %uímico H Lanzar un cuerpo por la

'entana deun automó'il

11<ecánica H Estudia el mo'imiento * laspropiedades de las ondas

16Electrón H :uemar una $o0a de papel17$*sis H Conocimiento del mundo

natural1Ciencia H :ue descri(e ór(itas

elípticas1GAc,stica H Formado de dos sustancias

1JIma&ine %ue dispone de los si&uientes elementos3a /n recipiente cilíndrico lleno $asta el (orde con un lí%uido( >tro recipiente# %ue tiene una )orma * una dimensión di)erente

9Cómo di'idiría el contenido del primer recipiente en dos partese+actamente i&uales;

1MAl medir la temperatura de una determinada masa de a&ua %ue estácalentando# se o(tiene la si&uiente ta(la3

Instante Hmin = 1 6 7 G P !emperaturaHUC

6= 6G

7= 7G

= G J=

a Constru*a una &rá-ca con los datos de la ta(la( 9Cuál es la ecuación matemática %ue relaciona las dos 'aria(les;c 9Cuál es la unidad de la constante de proporcionalidad;

1PA una persona se le proporcionan los si&uientes elementos3 una 'ela#una ca0a de cerillos * una ca0a de c$inc$es# como se o(ser'a en l-&ura 9Cómo podría "sta persona# con "stos elementos# su0etar la

'ela encendida a una puerta de madera;

11




/nidad

166




Todo se mueve: las galaxias, los aviones, los átomos y las personas. La

descripción cuidadosa de su movimiento es la base para controlar el tráfco

aéreo y para lograr que las personas lleguen a donde quieren ir, o para

comprender los átomos y su modo de ormar las galaxias. l primer paso en

el largo camino de comprender como se comporta el !niverso y lo que "ay

en él, ue como aprender a describir el movimiento. n los aporte dados por

los cient#fcos anteriores podemos ver los proceso seguido en los traba$os

de %alileo &epler. 'espués de ellos tuvo que transcurrir medio siglo de

avances matemáticos y controversia sobre los principios de la mecánica,

para poder contar con una teor#a completa. (ue )saac *e+ton, proesor de

17

TEMA 1: MEDICIONES EN FISICA

>ri&en del sistema m"trico

<a&nitudes )ísicas

5istema m"trico

Con'ersión de unidades

Análisis dimensional

Ci)ras si&ni-cati'as

Notación cientí-ca

Acti'idad =6

E0ercicios

TEMA : TEORÍA DE ERRORES

Errores3 Clases de errores

<ediciones

Cálculo de Errores en lasmediciones

Acti'idad =7

E0ercicios

TEMA : FUNCIONES GRAFICAS

Funciones

roporcionalidad

Distancia entre dos puntos

endiente de la recta

Acti'idad =

E0ercicios

CONTENIDO

S

>?@E!IV>53

• Esta(lecer las unidades)undamentales# deri'adas *suplementarias del 5I

• E+presar las ma&nitudes en unidadesadecuadas

• Identi-car * usar pre-0os m"tricoscomunes

• Reconocer %ue todas las cantidadesmedidas tienen cierto &rado deincertidum(re

• Emplear correctamente las ci)rassi&ni-cati'as para re&istrar losresultados de las mediciones

• Realizar operaciones aritm"ticas ennotación cientí-ca

• Calcular e interpretar el errora(soluto * el error relati'o en un

con0unto de datos de medidasdirectas e indirectas

• Analizar el papel de la Física en eldesarrollo de la tecnolo ía




atemáticas en la -ambridge !niversity, quien creó esa teor#a y la publicó

en su libro, los rincipia, en /012. La teor#a de *e+ton tuvo tanto éxito que

no se observó discrepancia entre ellas y la realidad durante más de 344

a5os. 'urante el siglo 66 se "an desarrollado más teor#as de grandes

consecuencias, pero la de *e+ton permanece como el punto de partida

para estudiar la (#sica, y como la aproximación correcta que se aplica a unacantidad gigantesca de aplicaciones prácticas. n los cap#tulos posteriores

estudiaremos la teor#a de *e+ton y varias de esas aplicaciones.

%alileo, &epler y *e+ton establecieron frmemente a las matemáticas como

el lengua$e de la (#sica, idioma que comen7aremos a aplicar en este

cap#tulo. Los procesos #sicos suceden en el espacio y se llevan a cabo a

través del tiempo. ara modelarlos se establecen convenciones para medir

posiciones, longitudes, intervalos de tiempo y ángulos. ara comprender el

movimiento necesitamos "erramientas matemáticas que nos permitan

describir cantidades con dirección y tama5o. 8-omencemos9.

1.. MEDICIONES EN FISICA

1.1. ORIGEN DEL SISTEMA METRICO DE UNIDADES.- aradescu(rir las le*es %ue &o(iernan los )enómenos naturales# loscientí-cos de(en lle'ar a ca(o mediciones de las ma&nitudes

relacionadas con dic$os )enómenos La Física# en particular#suele ser denominada ciencia de la medición Loor el'in#destacado )ísico in&l"s del si&lo pasado# destacó la importanciade las mediciones en el estudio de las ciencias# por medio delas si&uientes pala(ras

5iempre di&o %ue si es posi(le medir a%uello de lo %ue se$a(la * se consi&ue e+presarlo en n,meros# entonces puedesa(erse al&o al respecto# pero cuando no puede e+presarse así#el conocimiento es de-ciente e insatis)ec$o

Como sa(emos# para e)ectuar una medición es necesarioesco&er una unidad para cada ma&nitud El esta(lecimiento deunidades# reconocidas internacionalmente# tam(i"n esimprescindi(le en el comercio * en el intercam(io entre lospaíses

1.. MAGNITUDES FISICAS.- 5on todas a%uellas suscepti(les deser medidas

MEDIR.- Es comparar una ma&nitud con otra de su misma

especie %ue ar(itrariamente se toma como patrón o unidad

1




MAGNITUD.- Es todo a%uello %ue podemos medirLas ma&nitudes se clasi-can en )undamentales# deri'adas *suplementarias

MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- 5on a%uellas en las %ue

pueden realizarse mediciones directas por medio de uninstrumento de medición

TA!LA 1:

MAGNITUD UNIDAD SIM!OLO DIMENSIONLon&itud<asa

!iempo !emperaturaIntensidad de

CorrienteIntensidad luminosaCantidad desustancia

metrosWilo&ramose&undoel'inAmperio

Candelamol

mW&s A

Cdmol

L< !

MAGNITUDES DERI?ADAS.- 5on a%uellas %ue se e+presan en)unción de las )undamentales por medio de e+presionesmatemáticas llamadas ecuaciones dimensionales Así pore0emplo3 Xrea# 'elocidad# aceleración# tra(a0o# etc

TA!LA :

MAGNITUD

UNIDAD SIM!OLO

DIMENSION

XreaVolumenVelocidadAceleraciónFuerza

Ener&íaresión

<etro cuadrado<etro c,(ico<etroTse&undo<etroTse&undocuadradoNeYton

@ouleNeYtonTmetrocuadrado

<6

<7

mTsmTs6

nHW&mTs6

@ HNmNTm6

L6

L7

LT! S L!1

LT!6S L!6

<LT!6S <L!6

<L6T!6S <L6 !6

<LTL

6

!

6

S <L

1

!

6

MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS.- 5on a%uellas utilizadasen la medición de án&ulos

TA!LA :

MAGNITUD UNIDAD SIM!OLO

An&ulo planoAn&ulo sólido

RadiánEstereorradi

radsr

1G




án

1.. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES S.IH

La (ase para el 5I )ue el sistema <"trico Decimal El 5istema

<"trico Decimal )ue discutido durante un si&lo# especialmentepor $om(res de ciencia %uienes deplora(an la caótica situaciónde las medidas en todo el mundo ues la in'esti&acióncientí-ca se $aría di)ícil por )alta de co$erencia entre lasunidades# puesto %ue la misma unidad con un mismo nom(retenía di)erentes e%ui'alentes

5e llama 5istema <"trico Decimal por%ue3 <"trico# por tenercomo (ase el metro# * Decimal por%ue para )ormar losm,ltiplos * su(m,ltiplos se utiliza la (ase diez

Despu"s de la primera * se&unda 8uerras <undiales# el mundode un 'ira0e $acia un a'ance cientí-co * t"cnico Fue cuando se$izo necesario el uso de nue'as unidades %ue tenía el 5istema<"trico Decimal# * es así como se promul&ó * esta(leció elllamado 5istema Internacional de /nidades 5 I# %ue de(ería seradoptado en todos los países del mundo

SISTEMA DE UNIDADES.- Es un con0unto sist"micoor&anizado de unidades# adoptado con'encionalmente Entrelos principales tenemos3

SISTEMA C.G.S.- Este sistema se (asa en las tres primerasma&nitudes )undamentales3 C Hcentímetro 8 H&ramo 5Hse&undo# * es utilizado en el campo de la in'esti&ación

SISTEMA M..S.- Este sistema es utilizado en el campo de lain&eniería * tam(i"n está (asado en las tres primerasma&nitudes )undamentales# <Hmetro# HWilo&ramo#5Hse&undo

SISTEMA INGLES.- Este sistema es utilizado por los países de

$a(la in&lesa# la lon&itud se mide en pies# la masa en li(ras * eltiempo en se&undos

1. SISTEMA A!SOLUTO . SISTEMA TECNICO

TA!LA J:L M T

C85 cm & s<5 m W& sIN8LE5

pie l( s

L M TC85 cm &) s<5 m W&) sIN8LE5

pie l() s

1J




L3 Lon&itud<3 <asa

!3 !iempo

L3 Lon&itud<3 <asa

!3 !iempo

MULTIPLOS SU!MULTIPLOS

Los m,ltiplos * su(m,ltiplos de las unidades del 5I sedenomina a&re&ando los pre-0os al nom(re de la unidadcorrespondiente

TA!LA K:

P4e3/" S&)"#" Fac0"4 N()4ic" Fac0"4E>8"nencia#

E+aeta

!era8i&a<e&ailoectoDecaUni2a2decicentimilimicronanopico

)entoalto

E

!8< Da

dcmZnp

) a

1==================1===============

1============1=========1======

1===1==

1=1

=1==1

===1======1

=========1============1

===============1==================1

1=1P

1=1G

1=16

1=Q

1=J

1=7

1=6

1=1

1==

1=1

1=6

1=7

1=J

1=Q

1=16

1=1G

1=1P

1.J. CON?ERSION DE UNIDADES

De(ido a %ue unidades di)erentes en el mismo sistema o ensistemas di)erentes pueden e+presar la misma ma&nitud#al&unas 'eces es necesario con'ertir las unidades de unama&nitud a otra unidad# por e0emplo# de pies * *ardas o depul&adas a centímetros En la con'ersión de unidades tenemos3

CON?ERSION DIRECTA.- Cuando se utiliza ta(las decon'ersión en las cuales se leen directamente la e%ui'alenciade la unidad a ser con'ertida

CON?ERSION INDIRECTA.- Cuando se utiliza un )actor decon'ersión %ue es un n,mero racional %ue relaciona unidadesde una misma ma&nitud# de tal )orma %ue la primeramultiplicada por el )actor# nos d" el e%ui'alente a la se&undaunidad

1.K. ANALISIS DIMENSIONAL

1M




Estudia las relaciones entre las ma&nitudes )undamentales *deri'adas

ECUACION DIMENSIONAL.- Es una i&ualdad %ue se e+presanen t"rminos de ma&nitud * no de unidades Dic$as ma&nitudes

se e+presan con letras ma*,sculas En el sistema internacionallas )undamentales son3 Lon&itud [L\2 <asa [<\ * !iempo [!\Condición esencial de cual%uier )órmula Física es la$omo&eneidad Los dos miem(ros %ue inte&ran una i&ualdadde(en presentar siempre a la misma ecuación dimensionalFINES DEL ANALISIS DIMENSIONAL:

• 5ir'e para encontrar la ecuación dimensional de una ma&nitudderi'ada cual%uiera

• 5ir'e para determinar )órmulas empíricas en (ase a datose+perimentales

• 5ir'e para 'eri-car una )órmula Física mediante el principio de$omo&eneidad

PRINCIPIO DE 'OMOGENEIDAD

Cada uno de los t"rminos de(e tener una misma dimensión5ea3 A S ? ] C# entonces por el principio3 [A\ S [?\ S [C\

PROPIEDADES:

1 5e cumplen todas las operaciones menos la suma * la resta

6 !odos los 'alores num"ricos3 n,meros# án&ulos# )uncionestri&onom"tricas# lo&aritmos * constantes sin unidades %ue estánde coe-cientes se representan por la unidad H1

7 ara %ue una e+presión sea dimensionalmente correcta u$omo&"nea# cTu de los t"rminos de(en poseer una mismadimensión

+ S V=t ] 1T6at6

+ S m'=S mTs

a S mTs6

t S s

m S mTs ^ s ] mTs6 ^ s6

m S m ] mm S m

[L\ S [L\ Lo %ue se denomina ecuación dimensionalmente$omo&"nea

1.. CIFRAS SIGNIFICATI?AS

1P



GJ cm GP cm


Cuando realizamos una medición con cual%uier instrumento demedida# * si este tiene cierta precisión limitada# el n,mero dedí&itos 'álidos en la medición tam(i"n es limitado De a$í %uedecimos# el nmero de ciras signifcativas de una magnitud

medida es el nmero de d#gitos conocidos confablemente que

contiene. ara una ma&nitud medida# esto se de-neusualmente como los dí&itos%ue se pueden leerdirectamente en elinstrumento utilizado para$acer la medición# más undí&ito incierto %ue seo(tiene por estimación de la )racción de la di'isión máspe%ueBa de la di'isión de la escala del instrumento Así pore0emplo3

En la -&ura# la lámina metálica mide un poco más de GJcm oGJ mm 5i se mira cuidadosamente# o(ser'amos %ue ele+tremo de la lámina metálica se encuentra a T1= demilímetro a partir de GJ mm# por consi&uiente la medida %uedame0or e+presada con GJ cm# siendo "ste ,ltimo# un n,meroapro+imado# en donde tenemos dos dí&itos leídos con certeza *uno apro+imado razona(lemente En este caso tenemos unacantidad de tres ci)ras si&ni-cati'as

Pa4a 2e0e4)ina4 e# n<)e4" 2e ci94a i%ni3ca0ia ee)8#ea #a i%(ien0e 4e%#a:

1 Los dí&itos di)erentes de cero son siempre si&ni-cati'osGJ cm tiene tres ci)ras si&ni-cati'as

6 !odos los ceros -nales despu"s del punto decimal sonsi&ni-cati'os G== + 1=6W& tiene tres ci)ras si&ni-cati'as

7 Los ceros entre los dí&itos si&ni-cati'os son siempresi&ni-cati'os 1=J m tiene cuatro ci)ras si&ni-cati'as

Los ceros empleados ,nicamente para u(icar el puntodecimal no son si&ni-cati'os ==6G m tiene tres ci)rassi&ni-cati'as

Re%#a 8a4a 4e2"n2ea4 (n n<)e4" c"n ci94ai%ni3ca0ia:

1 5i el dí&ito si&uiente a la ,ltima ci)ra si&ni-cati'a es G oma*or# la ,ltima ci)ra aumenta en 1

6 5i e dí&ito si&uiente a la ,ltima ci)ra si&ni-cati'a es menor%ue G# la ,ltima ci)ra si&ni-cati'a se %ueda i&ual

E0emplo3

• 671 %ueda i&ual

• =GJ redondeando =GG• 1G redondeando 1G

1Q




• GG redondeando J

1.. NOTACION CIENTIFICA

Los cientí-cos tra(a0an con )recuencia con cantidades mu*

&randes o mu* pe%ueBas or e0emplo# la masa de la !ierra esapro+imadamente J======================== Wilo&ramos *la masa de un electrón es===============================Q11 Wilo&ramos escritasen esta )orma# las cantidades necesitan muc$o espacio * sondi)íciles de usar en los cálculos ara tra(a0ar más )ácilmentecon tales n,meros# se escri(en a(re'iadamente# e+presandolos decimales como potencias de diez Este m"todo de escri(irn,meros se denomina notación e+ponencial La notacióncientí-ca se (asa en la notación e+ponencial En la notación

e+ponencial En la notación cientí-ca# la parte num"rica de unamedición se e+presa como un n,mero entre 1 * 1=multiplicado por una potencia de 1=

En esta e+presión# 1 _ < ` 1=# * n es un entero or e0emplo#6=== m puede escri(irse 6 + 1=7 m la masa de una pelota detenis es apro+imadamente 1P=& o 1P + 1=6W&

ara usar la notación cientí-ca al escri(ir los resultados de unamedición# mue'a el punto decimal $asta %ue a la iz%uierda de"l sólo %uede un dí&ito di)erente de cero Lue&o cuente el

n,mero de lu&ares %ue corriBo el punto decimal# * emplee esen,mero como el e+ponente de diez or e0emplo# l masaapro+imada de la !ierra3J======================== Wilo&ramos S J + 1=6W&

>(ser'e %ue el e+ponente es ma*or a medida %ue el puntodecimal se mue'e a la iz%uierda

ara escri(ir la masa del electrón en notación cientí-ca# $a*%ue mo'er el punto decimal 71 lu&ares a la derec$a Así# lamasa del electrón3

===============================Q11 Wilo&ramos S Q11+ 1=71W&

>(ser'e %ue el e+ponente es menor a medida %ue e puntodecimal se mue'e a la derec$a

1..1.OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATI?AS NOTACION CIENTIFICA

1. S()a y 4e0a.- ara sumar o restar cantidadese+presadas en notación cientí-ca# todas las potencias

de (ase 1= de(en tener i&ual e+ponente E0emplo3

6=




=+ 1=Jm ] 7 + 1=Gm S = + 1=Jm ] =7 + 1=Jm S7 + 1=Jm

. M(#0i8#icaci$n. ara multiplicar cantidadese+presadas en notación cientí-ca# se multiplican las

cantidades de <# se conser'a la misma (ase de 1= *se suman al&e(raicamente los e+ponentes E0emplo3H7+1=W&HP+1=QW&S[H7HP\+1= QW&S6+1=17W&S6+1=

16W&

. Diii$n. ara di'idir cantidades e+presadas ennotación cientí-ca con di)erentes e+ponentes# eldenominador del numerador E0emplo3

E>8e4i)en0":

• Realizar mediciones de di)erentes cuerpos# utilizando instrumentos demedición como el cali(rador * el tornillo microm"trico

ACTI?IDAD N@

• Nunca trate de ela(orar las acti'idades solicitadas sin antes $a(erestudiado los temas indicados# pues e+isten al&unas pre&untas %ueno podrá realizarlas sin un adecuado conocimiento

• En los e0ercicios prácticos * de in'esti&ación %ue se solicitan# sea lomás ordenado * detallista posi(le# *a %ue "stas característicaspermitirán esta(lecer el ni'el de conocimientos ad%uiridos por usted

CONTESTE:

1 Con sus propias pala(ras escri(a %u" entiende usted por medir6 In'esti&ue las de-niciones de las unidades )undamentales7 Escri(a tres pre-0os de los m,ltiplos * su(m,ltiplos# aplí%uelos al

metro e indi%ue los nom(res de las unidades o(tenidas * suse%ui'alencias con el metro

Escri(a los sistemas %ue e+isten com,nmenteG 9:u" se de(e cumplir en cual%uier ecuación donde inter'en&an

'aria(les Físicas;J Descri(e el m"todo para con'ertir las unidades de una cantidad

FísicaM 9Cuál es la importancia de las ci)ras si&ni-cati'as en la medición;

P 9Cuál es la importancia de utilizar la notación cientí-ca;

61




COMPLETE:

Q La unidad de masa del 5istema Internacional de /nidades es

1=El el'in es una unidad %ue se esta(leció para medir

115on ma&nitudes deri'adas las %ue resultan de la

16La unidad para medir la super-cie es en el 5I es

17!iene dimensión la masa en el 5I 9Cuál es esa dimensión;

1En el sistema in&l"s# este sistema se (asa en el pie como unidad de la li(ra como unidad de * else&undo como unidad de

ANALICE:

1GDescri(a * e+pli%ue el )uncionamiento de los instrumentos de medida%ue se o(ser'a en las -&uras

1JEn &eneral 95e puede e+presar con e+actitud el 'alor de unacantidad Física; 9or %u" se o por %u" no;

1MIndi%ue# %ue son ecuaciones dimensionales# * para %u" sir'en on&a7 e0emplos

1PE+pli%ue las tres re&las para determinar las ci)ras si&ni-cati'as1QIndi%ue cuáles de los si&uientes conceptos pueden ser considerados

como ma&nitudes Físicas3 edad# tamaBo# 'olumen# color# inteli&encia#simpatía# &rosor# olor# dureza * (elleza E+pli%ue su respuesta

6=Complete el si&uiente cuadro de unidades %ue no pertenecen al 5I#pero %ue $an sido aceptados por la comunidad cientí-ca

TA!LA :

Ma%ni0(2 N")4e

S&)"#"

S.I.

!iempo ora

!onelada

!

Distancia <illa

!emperatura

°

ul&ada

<asa >nza

otencia

66





EBEMPLO MODELO 1: El co$ete 5aturno V tiene =111Wm de lon&itudcuando es lanzado 9Cuál es su lon&itud en micrómetros * en pies;

DATOS:

LS =111 WmLS Zm

LS pies

MODELO: rimero esta(lecemos los 5istemas %ue inter'ienen Lue&o suse%ui'alencias * por ,ltimo aplicamos a la cantidad dada

PLANEAMIENTO: 1Wm S 1=== m# 1 Zm S1=J * 1 pie S =7=Pm

SOLUCION:

ANALISIS: Esta es una con'ención indirecta en el primer caso * en else&undo caso una con'ersión directa e+acta

1 E+presar 76==== pul&adasTdía a3 piesT$# cmTmin# mTs

DATOS:

MODELO:

PLANTEAMIENTO:

67




SOLUCION:

ANALISIS:

6 Escri(a las si&uientes cantidades en notación cientí-caa 7P6S d =MGS( 616==S e ===6Sc J6======S ) =====JQS

7 Las si&uientes cantidades e+presadas en notación e+presar en )ormanormala 6 + 1=7S d MG + 1=6S( 16 + 1=JS e P + 1=GSc 7 + 1=GS

Realice las si&uientes operaciones * utilice ci)ras si&ni-cati'asa 16P + 1=G ] + 1=S( J + 1= 4 =7 + 1=7Sc H6 + 1=6 H + 1=6Sd HP + 1=7H16 + 1=Se H1=67S

) S


1 Realice las si&uientes con'ersiones3a =7m a cm( !res días a minc 161 millas a md 7 + 1=6 Wm a cme 6 toneladas a W&) ==JP pul&adas a cm& 6 litros a cm7

$ JG Wm&T$ a mW&Ts

6 Escri(a en notación cientí-ca las si&uientes cantidades3a <asa de un (arco3 1========== W&( Vida media de un $om(re3 1========= $c <asa del átomo3 ======================1 W&d eríodo de un electrón en su ór(ita3 ===============1 se <asa de la !ierra3 GQM====================== W&

7 Realice las si&uientes operaciones3a GQ + 1=J ] 7JG + 1=G

6




( 61 + 1=7 ] P6 + 1=7 4 G=M + 1=

c HG7P + 1=JHGJM + 1=7d H7P + 1=GHM + 1=Ge 76G + 1= 6QJ + 1=G

) JQ + 1=Q JPM + 1=J

& HP + 1=7 ] M=G + 1=7 ] 7P + 1=G 4 11 + 1=6

$ =JJ + 1=6 + HMP + 1=G G + 1=G ] 716 + 1=7

i 1=6 + 1=M 4 H=M + 1=1= ==P + 1=7 ] HQM + 1= + H6G + 1=J

La distancia entre Nue'a OorW * Londres es de 7P= millas E+preseesta distancia en Wilómetros# metros * pies /tilice la notacióncientí-ca cuando sea apropiado

G /n 0u&ador de (ás%uet(ol mide J pies * Q pul&adas de alto 9Cuántomide en centímetros;

J La 'ida media de un n,cleo radiacti'o es de 1G + 1= Ps 9Cuál es su

'ida media en milise&undos Hms# microse&undos HZs# nanose&undosHns# picose&undos Hps * en minutos Hmin;

M El límite de 'elocidad en una carretera del país es de G mp$ 9cuáles el límite en Wilómetros por $ora;

P En muc$as carreteras europeas el límite de 'elocidad es de 1== WmT$9Cuál es este límite en millas por $oras;

Q La masa de un átomo de uranio es de = + 1= J W& 9Cuántos átomosde uranio $a* en 16=& de uranio puro;

1=A continuación aparecen las dimensiones de 'arios parámetros )ísicos%ue se descri(en posteriormente en este li(ro [<\# [L\# * [!\ indicanmasa# lon&itud * tiempo# respecti'amenteVelocidad H' [L\T[!\Aceleración Ha [L\T[!6\Fuerza HF [<\[L\T[!6\Ener&ía HE [<\[L6\T[!6\otencial [E\T[!\resión Hp [F\T[L6\Densidad Hb [<\T[L7\

11Encuentre las respuestas de los si&uientes pro(lemas num"ricos3

a HQ= + 1=MH7= + 1=J

(

6G




c

APENDICE Fac0"4e 2e c"ne4i$n 2e (ni2a2e

L"n%i0(21m S 1== cm S 1=== mm S 1=J Zm S 1=Q nm1Wm S 1=== m S =J61 mi1m S 76P1 pies S 7Q7M pul&1cm S =7Q7M pul&1 pie S 7=P cm1 pul& S 6G= cm1 mi S G6P= pies S 1J=Q Wm1A S 1=1= m S 1=P cm S 1=1 nm

Á4ea1 cm6 S =1GG pul&6

1 m6 S 1= cm6 S 1=MJ pies6

1 pul&6 S JG6 cm6

1 pie6 S 1 pul&6 S ==Q6Q m6

?"#()en1l S 1=== cm7 S 1=7 m7 S ==7G1 pie7 S J1=6 pul&7

1 pie7

S ==6P76 m7

S 6P761 S MMM &alones

Tie)8"1 min S J=s1 $ S 7J==s1 d S PJ==s1 aBo S 71GJ + 1=M s

?e#"ci2a21 cms1 S ==76P1 pies1

1 pie s1 S 7=P cms1

1 mimin1 S J= mi$1 S PP piess1

1 Wm$1 S =6MMPms1

1 mi$1S =M=ms1

6J




Ace#e4aci$n1ms6 S 1== cms6 S 76P1 pies s6

1 cm s6 S ==1 m s6 S ==76P1 pie s6

1 pie s6 S =7=P m s6 S 7=P cm s6

1 mi $1 s1 S 1JM pies s6

Maa1 W& S 1=7 & S ==JPG slu&1 & S JPG + 1=G slu&1 slu& S 1GQ W&1 u S 1JJ1 + 1=6M W&

F(e4a1 N S 1=G dinas S =66M l(1 l( S G N S G + 1=G dinas

P4ei$n1 a S 1 N m 6 S 1G1 + 1= l( pul& 6 S =6=Q l( pie6

1 l( pul& 6 S JPQ1 a1 l( pie 6 S MPG a1 atm S 1=17 + 1=G a S 1M l( pul& 6 S 611M l( pie6

Ene4%&a1 @ S 1=M er&s S =67Q cal1 cal S 1PJ @ H(asado en la caloría a 1G°1 pie l( S 17GJ @1 ?tu S 1=GG @ S 6G6 cal1 eV S 1J=6 + 1=1Q @1 W$ S 7J== + 1=J @

E(ia#encia )aa-ene4%&a1 W& ↔ PQPP + 1=1J @1 u ↔ Q71G <eV1 eV ↔ 1=M7 + 1=Qu

P"0encia1 S 1 @ s1

1 $p S MJ = GG= pies l( s1

1 ?tu $1 S =6Q7

6M




. TEORIA DE ERRORES

.1 INTRODUCCION

El proceso de medida de una ma&nitud Física nos lle'a a la o(tención deun n,mero Desde un punto de 'ista puramente matemático# el'erdadero 'alor de una ma&nitud es un n,mero real en &eneral conin-nitas ci)ras

En las situaciones reales# los aparatos son imper)ectos# el o(ser'adorcuenta con sentidos de sensi(ilidad limitada# las condicionese+perimentales su)ren alteraciones %ue pueden pasar inad'ertidas# etc

O a,n en el supuesto de %ue todos los )actores )uesen controla(les# laso(ser'aciones alteran el sistema %ue se está o(ser'ando

or lo tanto# cuando $acemos la medida de una ma&nitud no podemosase&urar %ue le n,mero o 'alor %ue resulta es i&ual al "al!r "er#a#er!

de la ma&nitud medida# de modo %ue entre ellos e+iste# en &eneral# unadi)erencia %ue se denomina err!r

. TIPOS DE ERROR

Las causas de error pueden ser di'ersas# de tal manera %ue el error total

cometido es el resultado de la acumulación de 'arios errores parcialesde(idos a circunstancias di'ersas Esto $a dado lu&ar a %ue los erroresse los clasi-%ue en3 errores sistemáticos * accidentales ..1 ERRORES SISTEMATICOS.- 5on causados por de-ciencia de los

instrumentos de medición * por la impericia del o(ser'ador 5ona%uellos %ue se producen siempre en una misma dirección# *a seapor e+ceso o de)ecto del instrumento

Los errores causados por la de-ciencia de los instrumentos se

denominan tam(i"n errores instrumentales * se cometen cuandose utiliza instrumentos de mala calidad o mal cali(rados Hla a&u0a

6P




del instrumento no está en el cero de la escala antes de iniciar lamedición

Los errores por impericia del o(ser'ador se llaman tam(i"nerrores personales * el más com,n es el posicionamiento del

o(ser'ador para medir o parala0e Hla 'isual del o(ser'ador no sediri&e perpendicularmente a la escala

.. ERRORES ACCIDENTALES.- 5on los producidos por.uctuaciones desconocidas e impre'isi(les de las condicionese+perimentales# es decir están )uera del control del o(ser'ador

. TRATAMIENTO DE LOS ERRORES:

Cuando realizamos una sola medición nunca estaremos se&uros de %uea%uella es la correcta# para ello $a* %ue realizar 'arias 'eces la misma

medición con el o(0eti'o de disminuir los errores * realizar ciertoscálculos matemáticos * estadísticos En una medición distin&uimos dosclases de mediciones3 <ediciones Directas * <ediciones Indirectas ..1 MEDICION DIRECTA.- 5on a%uellas %ue se o(tienen por lectura

directa de un instrumento de medición Así# por e0emplo3 ara lalon&itud se utiliza el .e+ómetro# para la masa se utiliza una(alanza# para la temperatura se utiliza un termómetro# etc Enuna medición directa se determinan los errores a(soluto *relati'o

E44"4 A"#(0".- El error a(soluto H+ de una medición directase o(tiene de la di)erencia entre el 'alor o(tenido H+ i * el 'alor

aceptado como 'erdadero H

?a#"4 ace80a2" c")" e42a2e4" H.- 5e o(tiene di'idiendo la

sumatoria de todas las mediciones para el n,mero de las mismas#a este 'alor se lo conoce como promedio

Entonces el 'alor pro(a(le de la lectura es3

E44"4 Re#a0i" 8"4cen0(a# e4H.- 5e o(tiene di'idiendo elerror a(soluto para el 'alor aceptado como 'erdadero *

multiplicado por 1==

6Q




Valor pro(a(le de la lectura3

.. MEDICION INDIRECTA.- 5on a%uellas %ue o(tienen por mediode operaciones matemáticas H)órmulas o ecuaciones Así# pore0emplo3 ara determinar el Xrea se multiplica lon&itud porlon&itud HL + L S L6# para determinar la 'elocidad se di'ide lalon&itud para el tiempo HLT! en las mediciones indirectas e+istepropa&ación de errores de(ido a las operaciones %ue se realizan *el resultado -nal se 'e a)ectado# como es la suma o resta# lamultiplicación# la di'isión# la potenciación * radicación

E44"4 a"#(0" 8a4a #a ()a y #a 2i9e4encia QSH.- Es i&ual a

la suma de los errores a(solutos de las 'aria(les inter'inientesAsí# por e0emplo3 el semiperímetro de un rectán&ulo de lados a *

rimero de(emos medir las lon&itudes de los lados del rectán&ulo* sumarlos Como son mediciones directas# consecuentementetienen errores a(solutos e+perimentales

<edición directa

<edición directa>peración3

Error a(soluto de la suma o

resta

Error relati'o de la suma o

resta

7=

(

a




E44"4 a"#(0" 2e# P4"2(c0" QAH.- Es i&ual a la sumatoria delos productos de la una 'aria(le por el error a(soluto de la otraAsí mismo tomemos como e0emplo el rectán&ulo para demostrarel área

<edición directa

<edición directa

>peración3 A

A

A

Error a(soluto del do(le

producto

El producto se desprecia *a %ue comparado con

es sumamente pe%ueBo siempre * cuando los errores en lasmediciones no sean ma*ores del Q caso contrario no sir'e "staconsideración3

ara determinar el error relati'o del producto se tiene3

Error relati'o del do(le producto

E44"4 a"#(0" 8a4a e# c"cien0e QCH.- Es i&ual a la sumatoriade los productos de la una 'aria(le por el error a(soluto de la otra* ese resultado di'idido para el denominador al cuadrado

71

(

a




<edición directa

<edición directa

>peración3 C

2 como es mu* pe%ueBo# entonces3

2 como se toma en cuenta los si&nos

± * ser

'alores a(solutos se tiene3 Error a(soluto del

cociente

ara determinar el error relati'o del cociente se tiene3

Error relati'o del cociente

76




E44"4 2e #a P"0enciaci$n y 4a2icaci$n.- 5i se tiene la ecuación

2 entonces la propa&ación de errores# primero se determina

el error relati'o# * se tiene3

Ec(aci$n Gene4a#

E>8e4i)en0":

Realizar las mediciones directas e indirectas de di)erentes cuerpos#utilizando instrumentos de medición como la (alanza# cali(rador * el tornillomicrom"trico

ACTI?IDAD N@

CONTESTE:

1 9En %u" consiste medir un o(0eto directa e indirectamente;6 9:u" características tiene una unidad patrón;7 Realice un cuadro sinóptico u or&anizador &rá-co so(re las ideas

)undamentales relacionadas al tema Descri(a los posi(les errores %ue se cometen en una mediciónG 9De %uien depende los errores cometidos en una medición;

COMPLETE:

J Los errores sistemáticos se cometen siempre en unamisma

M El error a(soluto es la di)erencia entre el 'alor* el'alor

P El error relati'o es el cociente entre el error* el

'alorQ E+iste propa&ación de errores en lasmedicionespor%ue se realizan com(inacionesentre 'arias 'aria(les

1=/n error relati'o porcentual es acepta(le es una medida directa $astaun

ANALICE

11En el len&ua0e cotidiano se acostum(ra a nom(rar el peso de un cuerpoe Wilo&ramos o en &ramos 9Es correcto eso; E+pli%ue

169Cuándo realiza mediciones necesita de al&uien %ue le a*ude; E+pli%ue179de %uien depende la e+actitud de una medición; 9or %u";19Cómo $aría la medida directa del 'olumen de una $a(itación;

77





EBEMPLO MODELO 1: En el la(oratorio se realizo la medición de la masa#lar&o# anc$o * altura del paralelepípedo de la -&ura

<asa Hm3 1G#6&2 1G#M&# 1G#J &# 1G#J& * 1G#G&Lar&o Hl3 P#M cm# P#P cm# P#G cm# Q#= cm# Q# cm

Anc$o Ha G#7 cm# G#1 cm# G#J cm# G#7 cm# G#= cm

Altura H$ 6#Q cm# 6#M cm# 6#P cm# 7#= cm# 6# cm

Determinar3

a Los errores a(solutos * relati'os de cada medida directa( Las lecturas con sus respecti'os erroresc El 'olumen del paralelepípedo con sus respecti'os errores * lecturasd La densidad del paralelepípedo con sus respecti'os errores

MODELO: 5e utilizaran las de-niciones de los errores a(soluto * relati'opara las medidas directas como son la masa# el lar&o# * el anc$o * la alturaara el 'olumen * la densidad se $ará uso de las de-niciones de los errorespara la potenciación * el cociente

PLANTEAMIENTO: De acuerdo con los datos# primero se determinará el

'alor aceptado como 'erdadero para cada una de las mediciones directas

7




Lue&o los errores a(solutos * relati'os

A continuación se determinará el 'olumen del paralelepípedo3

O por ,ltimo la densidad * sus errores

SOLUCIÓN: ara )acilidad del tratamiento de los datos se realizará un

cuadro3

Ta#a

N@ )%H

) %H #c)H

#c)H

ac)H

a c)H 6c)H

) %H

1 1G#6 =#76 P#M =#1P G#7 =#= 6#Q =#1

6 1G#M =#1P P#P =#=P G#1 =#1J 6#M =#=J

7 1G#J =#=P P#G =#7P G#J =#7 6#P =#=

1G#J =#=P Q#= =#16 G#P =#= 7#= =#6G 1G#G =#=6 Q# =#G6 G#= =#6J 6# =#7J

f MM#J =#JP # 1#6P 6J#7 =#P 17#P =#P

+ 1G#G6

=#1 P#PP =#6J G#6J =#1M 6#MJ =#1M

a gm S =#1 & gl S =#6J cm ga S =#1Mcm g$ S=#1M cm

7G




(

c

V S HP#PP cm+HG#6Jcm+ H6#MJcm

V S 16P#Q6 cm7

d

7J




Lectura

ANALISIS: E necesario realizar paso a paso para una me0or comprensión *al -nal poner las unidades

6 /na persona midió 'arias 'eces su masa * o(tu'o los si&uientes datos

GJ#P= W&2 GJ#MP W&2 GJ#M W&2 GJ#P6 W&3 Determinar

a El 'alor aceptado como 'erdadero( El error a(solutoc El error relati'o porcentuald E+presar su lectura

DATOS:

MODELO:

PLANTEAMIENTO:

7M




SOLUCIÓN

ANÁLISIS

7 El área de un rectán&ulo se reporta como HG6 h Qcm6 * una de susdimensiones se reporta como H1=#= h =#6Gcm 9Cuál será el 'alor * su errora(soluto de la otra dimensión;

EBERCICICIOS PROPUESTOS

1 E+perimentalmente se $allaron los si&uientes 'alores de la 'elocidad delsonido37=#G mTs# 77P#Q mTs# 7=#P mTs# 7=#G mTs# 77Q#7 mTs allar el 'aloraceptado como 'erdadero R J )

6 Los si&uientes son los errores a(solutos3 =#oC2 =#7oC# =#PoC * =#6oC# seencontraron al realizar la medición de la temperatura en la ciudad de?aBos 5e la temperatura promedio del lu&ar es de 1P#J oC allar los

errores relati'os de estas mediciones R 1,K 1, , J,, 1,7 Calcular el error relati'o del 'olumen del cilindro# si la ecuación es V S

Hj6$T

La medición de la ma&nitud de un se&mento es L S H1G# h =#7mm2 * lamedición de una lon&itud de onda es k S HGG== h 7==A > Determinarcuál de las mediciones es más precisa R La 2e# e%)en0", 8"4(ee# 8"4cen0a/e e )en"4

G Calcular el error relati'o de la resisti'idad# cu*a ecuación es3

7P




J 5e o(tienen los resultados de las mediciones de un paralelepípedo consus respecti'os errores a(solutos3 l S H16#1 h =#6cm# a S HP#M h =#16 cm# $ S H#7 h =#1=cm# respecti'amente La masa del mismo estae+presada como m S H11#7 & h #7

Determinar3

a El área )ormada por el lar&o * anc$o de sus respecti'os errores *lecturas

( El 'olumen )ormado por el paralelepípedo con sus respecti'os errores* lecturas

c La densidad con sus respecti'os errores * lecturas

R aH 1K,K c) ,1V c) , H JK,1c) J,Kc)K,K cH ,JV % c) V,W.

M En un la(oratorio se o(tu'ieron los si&uientes resultados de ciertasmediciones<asa Hm3 J=#7P W&# J=#1 W&# J=# W&# J=#1 W&# J=#7G W&

!iempo Ht3 J#P s# J#PP s# J#P= s# J#PJ sDistancia H+3 61#PQ m# 61#PG m# 61#Q= m# 61#P= m * 61#PJ mDeterminar3a Los errores a(solutos * relati'os de cada 'aria(le * sus respecti'as

lecturas( La 'elocidad con sus respecti'os errores * lecturas# si se sa(e %ue ' S

+Tt

P En el la(oratorio# se o(tu'ieron los si&uientes 'alores de las medicionesrealizadas a un cilindro macizoAltura3 1J mm# 1J#Gmm# 1Mmm# 1J#GmmDiámetro3 1P#=mm# 1P#G mm# 1Q#= mm# 1P#=mm<asa3 6#M &# 6#= &# 6#J & * 7 & Determinar3a El 'olumen con sus respecti'os errores * su escritura( La densidad del cilindro con sus errores * su escritura

. FUNCIONES GRÁFICAS

.1 INTRODUCCIÓN

Al estudiar los )enómenos naturales# &eneralmente se presenta la necesidadde relacionar dos o más ma&nitudes# estas relaciones en muc$os casospueden ser e+presadas a tra'"s de ecuaciones matemáticas# una de ellas sellama )unción * %ue depende de otra ma&nitud %ue se le denomina 'aria(leEstas relaciones entre )unciones se pueden representar por medio de&rá-cas# las mismas %ue nos permiten apreciar * 'isualizar las 'ariacionesde las )unciones /na &rá-ca (ien ela(orada $ace más %ue a-rmar %ue unaima&en 'ale más %ue mil pala(ras

. SISTEMA DE REFERENCIA

Los sistemas de re)erencias# son e0es de coordenadas %ue permitenrepresentar en cada uno de los e0es a escalas preesta(lecidas Entre los

7Q




sistemas de re)erencia más usados tenemos /nidimensionales#(idimensionales * tridimensionales

• De (na 2i)eni$n: Este sistema está )ormado por un solo e0e$orizontal# llamado e0e de las 5e toma como punto -0o =# como ori&en

de una escala adecuada de &raduación# las ma&nitudes a la derec$a delori&en = son positi'as * a la iz%uierda del ori&en = son ne&ati'as arau(icar un punto de este sistema de re)erencia estará )ormado por unasola componente# llamada a(scisa# la misma %ue puede ser positi'a one&ati'a

• De 2" 2i)eni"ne: Está )ormado por dos e0es perpendiculares entresi# llamados e0es de coordenadas %ue se cruzan en un punto com,nllamado ori&en =# di'idiendo al plano en cuatro cuadrantes I# II# III * IV Ele0e $orizontal se llama e0e de las a(scisas * el e0e 'ertical se llama e0e de

las ordenadas# por lo tanto# para u(icar un punto en este sistema dere)erencia# se tendrá dos componentes H+2 * Las ma&nitudes a laderec$a del e0e * son positi'as * a la iz%uierda son ne&ati'as# lasma&nitudes so(re el e0e + son positi'as * (a0o el mismo son ne&ati'as

• De 04e 2i)eni"ne: Este sistema de re)erencia esta )ormado por trese0es de coordenadas perpendiculares entre si# dando lu&ar a la )ormaciónde tres planos >y, >, y. ara determinar un punto en los e0estridimensionales# está )ormado por tres componentes H+# *# z

. FUNCION: 5e dice %ue una ma&nitud * H'aria(le dependiente es una)unción de otra ma&nitud + H'aria(le independiente# cuando su 'alor esdeterminado por el 'alor de la 'aria(le /na )unción se escri(esim(ólicamente y 9>H, %ue se lee * en )unción de +

De esta manera# mu* )recuentemente los resultados de los e+perimentos eFísica se presentan en ta(las o cuadros de datos# en una columna 'an los'alores de + * en otra los 'alores de *# lue&o a partir de la ta(la seconstru*en las &rá-cas

.J GRAFICAS: /na &rá-ca se ela(ora a partir de los datos de una )unción#en el caso del plano# la 'aria(le se u(ica en la a(scisa * la )unción en laordenada 5e unen los puntos con una línea de cur'atura

Así una &ra-ca nos da in)ormaciones no solo so(re los puntose+perimentales# sino tam(i"n so(re todos los puntos de la &rá-ca# nosindica cómo se comportan un )enómeno

E+isten di)erentes &rá-cas Funciones Lineales cu*a &rá-ca es una línearecta# %ue tienen la )orma3 y a>, %ue pasa por el ori&en# y X a>, %ue

no pasa por el ori&en

=




Funciones cuadráticas cu*a &rá-ca es unapara(ólica %ue tiene la )orma y a>, lamisma %ue pasa por el ori&en

E+isten otras &ra-cas de )unciones# comopor e0emplo3 y a>, donde la &rá-ca esuna $ip"r(ola

.K PROPORCIONALIDAD: 5e dice %uees una proporción o proporcionalidad de dos ma&nitudes cuando estánrelacionadas de modo %ue al 'ariar la una tam(i"n 'aría la otra# *a sea enaumento * disminución# dando lu&ar a dos clases de proporcionalidaddirecta e in'ersa

.K.1 PROPORCIONALIDAD DIRECTA: una proporción es directa cuando

la 'aria(le independiente aumenta en la misma proporción la )unción

5i la )unción es de la )orma y Y>, la &rá-ca es una línea recta %ue pasapor el ori&en# * es indirectamente proporcional a +# y Z >H, donde esla constante de proporcionalidad3 S *T+

1

g*

g+

*




!am(i"n e+iste otra proporción directa de la )orma * S + ] (# su &rá-ca esuna línea recta# pero %ue no pasa por el ori&en# como se o(ser'a en la-&ura

Cuando se tiene una proporcionalidad cuadrática# si la 'aria(le se duplica# la)unción se cuadriplica# * es de la )orma y ># donde * esproporcionalidad al cuadrado de +# y Z >H, * la &rá-ca es unapará(ola

.K. PROPORCIONALIDAD IN?ERSA: 5i consideramos dos ma&nitudes + *# tales %ue al aumentar la una 'aria(le# la )unción disminu*e en la mismaproporción Así por e0emplo3 al duplicar el 'alor +# el 'alor de * %ueda

di'idido entre 6 5i triplicamos el 'alor de +# el 'alor de * %ueda di'idido por7 Cuando esto ocurre diremos %ue es in'ersamente proporcional a +# H*

# la &rá-ca es una $ip"r(ola

6

g* g

+

*

+

+

(

*

+

*

+




. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UNA RECTA.- Cuando seconocen dos puntos de una recta# en cual%uiera de los sistemas dere)erencia citados# es )ácil determinar la distancia entre dic$os puntos ara

demostrar el cálculo de la distancia# tomaremos dos puntos# P1>1, y1H yP>, yH de una recta l en un sistema de coordenada en el plano# para locual utilizaremos el !eorema de itá&oras# de acuerdo a la -&ura

5i consideramos el trián&ulo rectán&ulo )ormado por los puntos 1:6#entonces3

H166 S H1:6 ] H:66

ero de acuerdo al &rá-co se tiene %ue3

16 S d

1: S g+ S +6 4 +1

:6 S g* S *6 4 *1

Entonces se tiene d6 S g+6 ] g*6 S d6 S H+6 4 +16 ] H*6 4 *16

8eneralizando esta ecuación para puntos en el espacio e0estridimensionales se tiene3

. PENDIENTE DE LA RECTA: La pendiente Hm de una recta# es el &radode inclinación de la recta# la misma %ue es i&ual a tan&ente del án&ulo

Entonces m S tan

7

d

*

+

g*

g+

1

6

:

+1

+6

*1

*6

g*

:

*

+

g+

1

6

+1

+6

*1

*6 d




E>8e4i)en0"

• De0e4)ina4 #a 84"8"4ci"na#i2a2 2i4ec0a (0i#ian2" e# a#a4%a)ien0"2e (n 4e"40e c"n 4e#aci$n a #a )aa.

• Nunca trate de ela(orar las acti'idades sin antes $a(er estudiante los temas indicados# pues e+isten al&unaspre&untas %ue no se podrán realizarlas sin un adecuado conocimiento

• En los e0ercicios prácticos * de in'esti&ación %ue se solicitan# sea lo más ordenado * detallista posi(le# *a %ueestas características permitirán esta(lecer el ni'el de conocimiento ad%uiridos por usted

1 En una )unción# %ue elementos se identi-can6 Indi%ue %ue es una &rá-ca * e+pli%ue cómo se di(u0a7 9:u" características tiene la proporcionalidad directa e in'ersa; 9:u" es pendiente de una &rá-ca * %ue utilidad puede tener su

conocimiento;G 9:u" podemos deducir del $ec$o de %ue la &rá-ca de una ma&nitud A

contra otra ma&nitud ? sea una línea recta * cómo se indicaal&e(raicamente;

COMPLETE:

J Los sistemas de re)erencia sir'en para &ra-car o

u(icarM 5i una 'aria(le se duplica en la misma%ue la )unción#

entonces se dice %ue unaproporcionalidad

P La distancia entre dos puntos es i&ual ade losincrementos de las 'aria(les al cuadrado

Q La tan&ente del án&ulo de inclinación de una recta es i&ualade la recta

1= El e0e $orizontal se conoce cómo* al'ertical como

ANALICE:

11 /sted sa(e %ue la lon&itud C de una circun)erencia de radio R estádada por C3 6Ra 9:u" tipo de relación e+iste entre C * R;( 9Cómo sería el &rá-co C S )HR;c 9Cuál es el 'alor de la pendiente de la &rá-ca;

16 /n medicamento de(e administrarse a un en)ermo en dosis de P&otas a la 'ez# empleando un cuenta&otas Como no se dispone de "l# se

usa otro %ue de0a salir &otas con un diámetro dos 'eces ma*or En estecaso# 9Cuántas &otas de(erán administrarse al paciente;




17 5i O es )unción de # determine la ecuación respecti'a# en lassi&uientes cuestionesa 5i O es proporcional a # la constante de proporcionalidad es cuatro( 5i O es proporcional al in'erso de # la constante de proporcionalidad

es oc$o

c 5i O es proporcional al in'erso del cuadrado de # la constante deproporcionalidad es a1 En los &rá-cos si&uientes# determinar cuál es una proporcionalidad

directa con los cuadrados

1G A es directamente proporcional a ?# ? es in'ersamente proporcional aC * A es in'ersamente proporcional a D6 Escri(a la ecuación %ue sea0uste a estas condiciones


EBEMPLO MODELO 1: De acuerdo a la si&uiente &rá-ca

Determinar

a La )orma de la )unción * escri(ir

( 9asa la recta por el ori&en o no# por%ue;c Esco0a los puntos 1 HG2 =cm * 6 HG2 =cm Encuentre g+ * g*

G

*

+

*

+

*

+

Ha H( Hc




d La distancia entre 1 * 6

e El 'alor de la pendiente Hm) 5i escri(ió la )unción en el literal a 9Cuál es el 'alor de la constante

a; 9* el de (;

DATOS:

MODELO:

PLANTEAMIENTO:

SOLUCIÓN:

ANÁLISIS

6 Dados los si&uientes puntos &ra-car en sus respecti'os sistemas dere)erencia

a 1 H7 * 6 H

( 1 H7 2 * 6 HG 2 7

c 1 H1# 7# =# 6 H=# 7# 7 H6# =# * H7# # J

J




7 Dadas las si&uientes )unciones# dar 'alor a la 'aria(le independiente *&ra-car

a * S 6+( * S 6 ] 7+c * S +6

d * S +6

e * S +6 ] 6+ ] P) * S 1=T+6

& * S 6+6 ] +

$ * S

EBERCICIOS PROPUESTOS

1 Dados los si&uientes puntos &ra-car en sus respecti'os sistemas dere)erenciaa 1 HM * 6 H6( 1 HG 2 M * 6 H 2 6c 1 H7# # G# 6 HG# # 7 7 H6# P#

6 Dar 'alores a la 'aria(le independiente * &ra-car las si&uientes )uncionesa * S + 6( * S 6+6 ] 7

c ' S JTtd * S PT+

7 Dados los puntos de una recta ( 1 H 62 7 * 6 HG 2 M Determinar3a 5u &rá-ca( La distancia entre 1 * 6

c La pendiente de la rectad El án&ulo de inclinación

Dados los puntos A H6# 7# M * ? H# G# Determinar3a 8ra-car los puntos( La distancia

G Considere el &rá-co O 4 mostrado en la -&ura de este pro(lema

M

*

A

!

C

D

1K

JK




a Empleando los puntos ? * C# calcule la pendiente de la recta( Repita el cálculo de la inclinación utilizando a$ora los puntos A * D

J Durante el e+perimento# un estudiante midió la masa de 1= cm7 de a&uaLue&o midió la masa de 6=cm7 de a&ua 5i&uió con ese proceso * o(tu'olos si&uientes datos# %ue se presentan en la ta(la q P Determinar3

Ta#a [ W

?"#()enc)H

Maa%H

1=

6=7==G=

M#Q

1G#P67#M71#J7Q#J

a Represente &rá-camente los 'alores * di(u0e la cur'a %ue me0or sea0usta a los puntos

( Descripción de la cur'a resultantec De la &rá-ca# utilice una ecuación %ue relacione el 'olumen con la

masad Esco0a dos puntos * determine la pendiente

e 9:u" unidades tiene la pendiente * como se llama esa unidad;

M Al de0ar caer un cuerpo desde cierta altura# durante un tiempo t# correuna altura $ Los datos o(tenidos se presentan en la ta(la q QDeterminar3

Ta#a [ V

Tie)8"H

A#0(4a)H

167

G6=GP=

a Con los datos de la ta(la di(u0e la &rá-ca( Analice la &rá-ca * e+prese la ecuación correspondiente

P En un la(oratorio# al medir l masa * su aceleración para una )uerzaconstante# se o(tu'ieron los si&uientes datos %ue se tienen en la ta(la q

1= Determinar3

P

+K 1 1K




Ta#a [ 1

MaaY%H

Ace#e4aci$n)H

167GJ

16#=G#Q#17#=6#G6#=

a Represente &rá-camente los 'alores dados( Descri(a la cur'a resultantec De acuerdo a la &rá-ca 9Cuál es la relación entre la masa * la

aceleración;d Escri(a la ecuación %ue relaciona la masa * la aceleracióne 9:u" unidades tiene la constante;

Q Dada la si&uiente ta(la q11 DeterminarTa#a [ 11

167G

7=1G1=6=6G

a Cuando se duplica el 'alor de Hde S 1 a S 6# 9Entre cuánto%ueda di'idido el 'alor de O;

( O cuando se triplica el 'alor de # 9:u" sucede con el 'alor de O;c 9:u" tipo de relación e+iste entre O * ;d En (ase al literal anterior# complete la ta(lae !race la &rá-ca

1= <ediante la ecuación # $alle las respuestas a estos pro(lemas

usando unidades con'enientesa 9:u" distancia recorre una (icicleta durante 1#G minutos# si 'ia0a conuna rapidez constante de 7= WmT$;

( 9Cuánto tiempo emplea un auto para recorrer J===m con una rapidezconstante de 7= WmT$;

/nidad

Q7




.1 INTRODUCCIÓN

Consideramos %ue las Ciencia Físicas son cada 'ez más importantes por su'alor )ormati'o# cultural * práctico# para una me0or u(icación en la sociedadt"cnico 4 cientí-ca contemporánea# por esta razón# el o(0eto de la Física#es el conocimiento * estudio de los )enómenos producidos en el medio %ue

nos rodea ara ello# se utiliza la o(ser'ación crítica * o(0eti'a# se&uida de la(,s%ueda de las le*es %ue ri&en el )enómeno# así como el proceso

G=

TEMA. ALGE!RA ?ECTORIAL

Introducción

<a&nitudes escalares * 'ectoriales

Elementos de un 'ector

Clases de 'ectores

Componentes de un 'ector

En el plano

En el espacio

Formas de e+presar un 'ector

Coordenadas rectan&ulares

Coordenadas polares

Coordenadas &eo&rá-cas

En )unción de sus 'ectores (ase

En )unción de su módulo * unitario

>peraciones con 'ectores

5uma * resta

roductos3 Escalar * 'ectorial

Acti'idad =G

E0ercicios

CONTENIDOS

>?@E!IV>53

Esta(lecer di)erencias entre ma&nitudesescalares * 'ectoriales

Identi-car los elementos de un 'ector Descomponer 'ectores en el plano * en

el espacio <ostrar capacidad para e+presar

'ectores en di)erentes )ormas Emplear correctamente los 'ectores

&rá-camente * analíticamente Comprender la importancia de los

'ectores en el desarrollo * aplicación delos temas de Física

Reconocer en las operaciones con'ectores# las aplicaciones de la &eometríaelemental * de la tri&onometría# *resol'er pro(lemas mediante la

utilización de estos m"todos




matemático %ue permite delimitar * de-nir dic$o )enómeno estudiado Estoimplica un conocimiento pro)undo de la <atemática# de la cual la Física sesir'e como instrumento teórico )undamental

La presente unidad# es puramente matemático * se $a incorporado en los

,ltimos aBos a la Física por ser esencial e el desarrollo * estudio de los)enómenos )ísicos# siendo mu* importantes para lle&ar a un conocimientosu-ciente de esta ciencia# la descripción de ciertos )enómenos se lle'a aca(o de una manera con'eniente# mediante la utilización de los 'ectores# lo%ue )acilitará la comprensión del uni'erso * la ci'ilización en la %ue 'i'imos#dando lu&ar a %ue el estudiante aprenda a o(ser'ar# estudiar * pensarcríticamente

Las cantidades Físicas %ue tienen propiedades tanto num"ricas como dedirección se representan por medio de 'ectores En esta unidad estádedicada principalmente al Al&e(ra Vectorial * a al&unas propiedades&enerales de los 'ectores 5e analizarán la adición * su(stracción de los'ectores# 0unto con al&unas aplicaciones simples a situaciones Físicas Elanálisis del producto de 'ectores# las propiedades &ra-cas * al&e(raicas

. MAGNITUDES ESCALARES

Ciertos e)ectos o )enómenos de la naturaleza pueden ser cuanti-cados omedidos con el simple conocimiento del 'alor num"rico de la intensidad deloa mismos# pero para muc$os de ellos no es su-ciente descri(ir con su

'alor# de a$í %ue para una &ran 'ariedad de -nes# es con'eniente clasi-carlas cantidades Físicas en dos clases

MAGNITUD ESCALAR: Es a%uella %ue está de-nida por su ma&nitud ocantidad * acompaBada de una cantidad de medida

E0emplos3

Lon&itud 6= [m\

!iempoG [s\<asa P#G [W&\ !emperatura 66C5uper-cie 7= [m6\

MAGNITUD ?ECTORIAL: Es a%uella %ue %ueda de-nida por su módulo#dirección * sentido * está acompaBada de su unidad respecti'a

E0emplos3 eso S 7G W&)

Aceleración HG mTs62 5 7=o EVelocidad HG i 0mTs

G1




.. DEFINICION DE ?ECTOR: Al 'ector se le pueden dar al&unasde-niciones3

De acuerdo al al&e(ra 'ectorial# Vector es la representación &rá-ca de unama&nitud 'ectorial# %ue tiene módulo# dirección * sentido

8eom"tricamente# ?ec0"4 es un se&mento de recta orientado# diri&ido# %uedetermina ma&nitud o módulo# dirección * sentido# al %ue se le coloca una.ec$a

El 'ector es un se&mento de recta de lon&itud proporcional a su módulo#con su .ec$a %ue indica el sentido ara denotarlo se utiliza letrasma*,sculas * una .ec$a encima# pueden ser las letras de ori&en * e+tremoo simplemente una sola letra * una .ec$a# de acuerdo a la -&ura se tiene3>< S A

.. ELEMENTOS DE UN ?ECTOR: /n 'ector está determinado por cutroelementos o características %ue siempre están presentes3 >ri&en# módulo oma&nitud# dirección sentido

O4i%en: Es el punto de aplicación del 'ector# se desi&na por la letra >#como se o(ser'a en la -&ura

M$2(#" " Ma%ni0(2: El módulo de un 'ector es un n,mero real# %ue

consiste en el 'alor %ue se le $a asi&nado al 'ector o la distancia entre elori&en * el e+tremo ara desi&nar el módulo de un 'ector# %ue utilizan dos(arras 'erticales a las letras o letra del 'ector o simplemente a las letras nose le pone la .ec$a# de acuerdo a la -&ura %ue tenemos

>< S J unidades

A S J unidades

Di4ecci$n: La dirección %ue tiene un 'ector se e+presa mediante lautilización de un án&ulo H# medido en sentido anti$orario a partir del e0e +

G6




positi'o $asta el 'ector# tam(i"n se utilizan los puntos cardinales HNorte#sur# este * oeste

Sen0i2".- El sentido de un 'ector 'iene dado por la .ec$a en el e+tremo delmismo El sentido está implícito en la dirección a * nos indica $acia donde

se diri&e la recta

.. CLASES DE ?ECTORES: ara el estudio de la Física se consideran lossi&uientes tipos de entes matemáticos %ue se conocen con el nom(re de'ectores

...1 ?ec0"4e 3/" " Li%a2".- Es a%uel cu*o punto de aplicación es-0o Además determina la posición es -0o Además determina la posición deun punto en el espacio# con respecto a un determinado sistema de

re)erencia# como se o(ser'a en la &rá-ca# el 'ector

... ?ec0"4 #i4e: Es a%uel %ue su punto de aplicación se traslada acual%uier punto del espacio sin cam(iar su módulo# dirección * sentido

... ?ec0"4 De#ian0e.- Es a%uel cuando s punto de aplicación puedetrasladarse a lo lar&o de su línea de acción# sin cam(iar sus característicasori&inales

G7




...J ?ec0"4e E(i8"#en0e.- Cuando dos'ectores tienen la misma dirección o direccionesparalelas# el mismo sentido * el mismo módulo#aun%ue sus puntos de aplicación sean distintos# sedenominan 'ectores e%uipolentes

..J PROPIEDADES DE LOS ?ECTORES: Entre las propiedades de los

'ectores consideramos las si&uientes3

..J.1 I%(a#2a2 2e ?ec0"4e.- Dos 'ectores son i&uales si tienen lamisma ma&nitud# dirección * sentido# a,n cuando tienen puntos de partidadi)erentes# permitiendo trasladar un 'ector paralelo a si mismo en undia&rama# sin a)ectarlo

..J. ?ec0"4e ne%0i" ( "8(e0".- 5on a%uellos %ue tienen elmismo módulo# la misma dirección pero de sentido opuesto Es decir %ue sia un 'ector sumamos su ne&ati'o * su resultado es cero3 A ] HA S =

..J. ?ec0"4 N(#".- Es un 'ector %ue tiene módulo cero# conconsecuentemente carece de dirección * sentido Es decir el punto deori&en * e+tremo coinciden en un mismo punto

..J.J ?ec0"4 Uni0a4i".- Es a%uel 'ector cu*o modulo es i&ual a la

unidad# se o(tiene di'idiendo el 'ector para su módulo * determina ladirección * sentido de un 'ector en el plano o el espacio# para lo cual se

G

A

A




utilizan los 'ectores (ase o unitarios normalizados i, $, ;, para loscomponentes positi'as de un 'ector <, <x, <y, <7 respecti'amente

5u ecuación3

. COMPONENTES DE UN ?ECTOR

Las componentes de un 'ector se de-nen como las pro*ecciones so(re lose0es tomados como re)erencia 5u utilidad es de &ran importancia enmuc$os estudios de la Física# al simpli-car muc$os de ellos %ue se realizan

cuando inter'ienen ma&nitudes 'ectoriales o e)ectos 'ectoriales supuestosDe acuerdo a su descomposición del 'ector *a sea en los e0es de dos o tresdimensiones# se o(tendrán de i&ual modo dos o tres componentesrespecti'amente

..1 COMPONENTES DE UN ?ECTOR EN EL PLANO: 5i se tiene un'ector A, a partir del ori&en de un sistema de coordenadas rectan&ulares#en el LAN> O# se e+presa como la suma de los 'ectores llamados

componentes 'ectoriales# %ue son pro*ecciones del 'ector A so(re los e0es +e * La pro*ección del 'ector so(re el e0e +# es la componente A>, * lapro*ección del 'ector so(re el e0e *# es la pro*ección Ay. Entonces el 'ector%ueda e+presado de la si&uiente )orma

5i de un 'ector A se conoce su módulo * su dirección es decir el án&ulo %ue)orma con el e0e + positi'o# se puede )ácilmente determinar suscomponentes rectan&ulares so(re +# * so(re *# como son A> y Ay,respecti'amente# aplicando las relacionestri&onom"tricas

GG




Entonces el 'ector en )unción de sus componentes rectan&ulares se tiene3

La ma&nitud del 'ector A# es un n,mero positi'o con unidades 5u dirección#el án&ulo %ue )orma el 'ector con el e0e + positi'o Hmedido en sentido anti$orario 'aría entre = * 7J= Las )unciones tri&onom"tricas seno * cosenode 'arían entre 1 * 1

5i el 'ector A 'iene e+presado en sus componentes rectan&ulares# se tienenlos si&uientes casos3

a El módulo de un 'ector# cuando se tienen sus componentesrectan&ulares# se o(tiene utilizando el Te"4e)a 2e Pi0;%"4a * se tiene

( La dirección de un 'ector en )unción de sus componentes# con respecto ale0e + positi'o# se determina utilizando la )unción tri&onom"tricatan&ente Htan

De lo anterior concluimos# %ue el 'ector %ue determinado de dos )ormas3

i En )unción de sus coordenadas rectan&ulares A S HA+ 2 A* 0 En )unción de su módulo * dirección respecto al e0e + positi'ollamada coordenadas polares# A S HA 2

.. COMPONENTES DE UN ?ECTOR EN EL ESPACIO.- Consid"rese un'ector A %ue act,a en el ori&en > de un sistema de coordenadasrectan&ulares tridimensionales +# *# z# $asta el punto 5in em(ar&o#cuando A esta diri&ido dentro de un octante del cuadrante +# *# z# sipro*ectamos el e+tremo del 'ector so(re el plano +z# o(tenemos un 'ector

pro*ección de A so(re dic$o plano# cu*as componentes son A+ * A*# comose o(ser'a en la -&ura

GJ




A+z S A+ ] Az

Además de la componente A*# * la pro*ección del 'ector en el plano +z#)orman un paralelo&ramo como se muestra la -&ura# entonces el 'ector A esla suma de estas dos componentes rectan&ulares

A S A+z ] A*

A S A+ ] A* ] Az

Las componentes# desde el punto de 'istaal&e(raico# so n,meros reales# siendo positi'as#ne&ati'as o 'alor cero De la -&ura se tienen %ue3

A+ S A+z Cos * Az S A+z 5en

De i&ual )orma# podemos deducir de la -&ura %ue3

A+z S A Cos * A* S A 5en

De esta manera# o(tenemos las e+presiones si&uientes para lascomponentes escalares correspondientes

A+ S A+z Cos S Acoscos

A* S A 5en

Az S A+z 5en S Acos5en

Así mismo demostraremos el módulo del 'ector en )unción de suscomponentes rectan&ulares

Entonces3

De a%uí %ue la ma&nitud de A S A# sea i&ual a la raíz cuadrada de la sumade los cuadrados de sus componentes

GM




Án%(#" Di4ec0"4e.- La orientación de un 'ector en el espacio# se de-nepor los án&ulos directores coordenados + H# * H# z H# medidos entre el'ector * los e0es positi'os +# *# z respecti'amente Los án&ulos directi'os

están comprendidos entre =o

* 1P=o

# no tienen con'ención de medida# esdecir no es necesario indicar el sentido de su medición# como se o(ser'a enlas -&uras

De acuerdo a los trián&ulos rectán&ulos som(reados en las -&uras !enemos

A estos se conocen como los cosenos directores del 'ector A

?ec0"4e ae " (ni0a4i" n"4)a#ia2".- Los 'ectores i# 0# W# se llaman'ector unitario normalizados o 'ectores (ase# %ue utilizan para desi&nar lasdirecciones de los e0es +# * * z respecti'amente como se muestra en la-&ura El sentido Ho punta de .ec$a de estos 'ectores se descri(iráanalíticamente por un si&no más o por un si&no menos# dependiendo de si"stos apuntan a lo lar&o del e0e positi'o o ne&ati'o de los e0es +# * * z

Las características de estos 'ectores son3

GP




?ECTOR !ASE MODULO DIRECCIONSENTIDO

i i S 1 la del e0e + positi'o dele0e +

i 0 S 1 la del e0e * positi'o dele0e *

z z S 1 la del e0e z positi'o dele0e z

/tilizando los 'ectores (ase o unitarios normalizados para e+presar un'ector se tiene3

A S A+ i ] A* 0 ara el plano

A S A+ i ] A* 0 ] Az W ara el espacio

/na manera )ácil de o(tener los cosenos directoras de A# es )ormando un'ector unitario en la dirección de A# siempre * cuando A se e+prese en)orma 'ectorial en )unción de sus 'ectores (ase# A S A+ i ] A* 0 ] Az W *tendremos3

5i compararnos las componentes A+ # A* #Az# representan los cosenosdirectores de A

uesto %ue la ma&nitud de un 'ector es i&ual a la raíz cuadrada de la sumade los cuadrados de las ma&nitudes de sus componentes# * uA tiene unama&nitud i&ual a la unidad H1# entonces se puede deducir %ue2

GQ




Esta ecuación puede ser de &ran utilidad para determinar uno de losán&ulos directores si se conoce los oíros dos

.J FORMAS DE EPRESAR UN ?ECTOR:

Las )ormas de e+presar o escri(ir un 'ector es importante en el momento derealizar operaciones con 'ectores# *a %ue# para tal o cual operación todoslos 'ectores tienen %ue estar e+presados en la misma )orma# de a$í %uetenemos las si&uientes )ormas2

aH En 9(nci$n 2e ( c""42ena2a 4ec0an%(#a4e.- 5i consideramos%ue todo 'ector parte del ori&en de coordenadas# si damos las coordenadasdel e+tremo del 'ector tenemos3

A S HA+ 2 A* ara el plano

A S A+ 2 A* 2 Az ara el espacio

E0emplos

A S HG 2 Mm ara el plano

A S HJ 2 G # m ara el espacio

H En 9(nci$n 2e c""42ena2a P"#a4e 5i se conoce el módulo del'ector * el án&ulo con respecto a sus e0e# se mide en sentido anti$orario *además se especi-ca el plano en el %ue está contenido# entonces se tiene

A S HA 2 ara el plano

A S HA 2 + 2 * 2 z ara el espacio

cH En 9(nci$n 2e c""42ena2" %e"%4;3ca.- El 'ector 'iene dado por sumódulo * el rum(o Hpuntos cardinales# norte# sur# este * oeste# en el casode 'ectores en el espacio# tam(i"n se tiene el án&ulo de ele'ación odepresión con respecto al plano $orizontal +z

2H En 9(nci$n 2e ( ec0"4e ae.- !odo 'ector %ue tiene suscoordenadas o componentes rectan&ulares# se puede escri(ir en )unción de

sus 'ectores (ase# multiplicando cada componente por su respecti'ounitario

J=




A S A+ i ] A* 0 ara el plano

A S A+ i ] A* 0 ] Az W ara el espacio

E0emplo

A S H1P i 4 1 0 ara el plano

A S H i 4 G 0 ] M WmTs6 ara el espacio

eH En 9(nci$n 2e ( )$2(#" y (ni0a4i" El 'ector 'iene e+presado enmódulo * acompasado de su unitario# %ue (ien puede estar e+presadodirectamente o mediante un &rá-co

A S AuA S AH/+ i ] /* 0 ara el plano

A S AuA S AH/+ i ] /* 0 ]/z W ara el espacio

.K. OPERACIONES CON ?ECTORES3

La importancia misma de conocer el ál&e(ra 'ectorial * mane0arla# es suaplicación en el campo de la <ecánica NeYtoniana# *a %ue muc$as de lasma&nitudes como desplazamientos# 'elocidades# aceleraciones# )uerzas#momentos son otros e0emplos de de cantidades Físicas %ue poseenma&nitud * dirección * %ue se pueden operar si&uiendo ciertas re&las

Las operaciones con 'ectores son3 5uma * resta de 'ectores# )orma analítica* &rá-ca <ultiplicación de 'ector# como3 roducto de un escalar por un'ector# roducto Escalar * roducto 'ectorial Di'isión de un 'ector por unescalar

.K.1. SUMA RESTA DE ?ECTORES.

A la suma * resta de 'ectores se le considera como una sola operación

llamada v5uma Al&e(raicav# *a %ue se puede escri(ir la di)erencia como unasuma Así por e0emplo3 A ? S A ] H? La suma * resta puede realizar#&rá-camente * analíticamente

.K.1.1. S()a y 4e0a 2e ec0"4e %4;3ca)en0e.- 5i un 'ector tienemódulo# dirección * sentido# la suma o resta de 'ectores no o(edece lasre&las del ál&e(ra ordinaria# para lo cual se den de-nir ciertosprocedimientos o m"todos para sumar o restar# este proceso se e+presacon'enientemente en t"rminos &rá-cos ara sumar * restar e+isten tres

m"todos3 m"todo del paralelo&ramo# m"todo del trián&ulo * m"todo delpolí&ono

J1




aH M0"2" 2e# Pa4a#e#"%4a)".- ara sumar o restar dos 'ectores# seesco&e un punto de com,n o e0e de coordenadas * a partir de este punto secolocan los orí&enes de los 'ectores con su mismo módulo# dirección *

sentido# lue&o se trazan paralelas a los 'ectores )ormando unparalelo&ramo# la dia&onal %ue parte del punto com,n# es el 'ectorresultante

H M0"2" 2e# 04i;n%(#".- A partir de la le* del paralelo&ramo tenemos elm"todo del trián&ulo para sumar o restar dos 'ectores 5e colocan los'ectores uno a continuación del otro con su mismo módulo dirección *sentido * el 'ector resultante es la unión de ori&en del primero con ele+tremo del se&undo

cH M0"2" 2e# 8"#&%"n".- Este m"todo sir'e para sumar más 'ectores#para lo cual se colocan los 'ectores uno a continuación del otro * elresultante es la unión del ori&en del primer 'ector con el e+tremo del ,ltimo'ector

.K.1. S()a y 4e0a 2e ec0"4e ana#&0ica)en0e.- ara sumar o restardos o más 'ectores analíticamente# se pueden realizar de dos )ormas#&eom"tricamente * 'ectorialmente

J6




aH S()a y 4e0a 2e ec0"4e %e")04ica)en0e.- Este m"todo sir'epara determinar la suma o resta de dos 'ectores %ue )orman un trián&ulo oparalelo&ramo * se puede encontrar su módulo * dirección del 'ectorresultante# utilizando la Le* del Coseno * la Le* del 5eno

LE DEL COSENO:

C;#c(#" 2e# )$2(#" 2e #a ()a " 4e0a 2e ec0"4e 8"4 e# )0"2"2e# 04i;n%(#".- 5ean los 'ectores A * ? * si ? )orma un án&ulo con la$orizontal se tiene3

Aplicando la le* del Coseno se dice3 En todo trián&ulo# cual%uier lado delcuadrado es i&ual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menosel do(le producto del los lados ad*acentes por el coseno del án&ulo opuestoal lado De acuerdo al trián&ulo de la -&ura# cu*os lados son R# A * ?#tenemos3

Donde # es el án&ulo opuesto al lado R * es i&ual S 1P= =

Ca#c(#" 2e# M"2(#" 2e #a ()a " 4e0a 2e ec0"4e 8"4 e# )0"2"2e# 8a4a#e#"%4a)".- 5i aplicamos la misma le* al paralelo&ramo )ormadopor los 'ectores A * ?# %ue )orman el án&ulo

5i consideramos el trián&ulo >: * el trián&ulo rectán&ulo D:# de las-&uras# tenemos3 Aplicando el teorema de itá&oras primer trián&ulotenemos3

H:6 S H>:6 ] H:6# pero sa(emos %ue3

: S R 2 >: S >D ] D:2 pero así mismo3 >D S A * D: S ?cosHcomponente en + del 'ector ?# * : S ?sen Hcomponente en * del 'ector

?

J7




R6 S A6 ] 6A?Cos ] ?6HCos6 ] 5en6# pero Cos6 ] 5en6# sacando )actorcom,n a los dos ,ltimos t"rminos tenemos3

Ca#c(#" 2e #a 2i4ecci$n 2e# ec0"4 4e(#0an0e.- La dirección del 'ectorestá dada por el án&ulo %ue )orma la resultante con uno de los 'ectores#en este caso con el 'ector A * de acuerdo al trián&ulo rectán&ulo >:#tenemos3

De i&ual )orma en el mismo trian&ulo rectán&ulo * aplicando la )uncióntan&ente tenemos3

LE DEL SENO:

Ca#c(#" 2e# )$2(#" y 2i4ecci$n 2e #a ()a " 4e0a 2e ec0"4e.- 5i setiene una &rá-ca de la suma o resta de dos 'ectores por el m"todo deltrián&ulo o paralelo&ramo# se puede tam(i"n aplicar la Le* del 5eno# paradeterminar analíticamente su resultante * dirección# la misma %ue dice3 En

todo trián&ulo# los lados son proporcionales a los senos de los án&ulosopuestos De acuerdo a la -&ura# * si se tienen los lados R# A * ? * ademáslos án&ulos # * # se o(tiene3

H S()a y 4e0a 2e ec0"4e ec0"4ia#)en0e.- ara sumar o restar doso más 'ectores 'ectorialmente# se pueden realizar de dos )ormas3 en)unción de sus componentes rectan&ulares * en )unción de sus 'ectores

(ase

J




En 9(nci$n 2e ( c")8"nen0e 4ec0an%(#a4e.- 5i se tienen dos o más'ectores# *a sea en el plano o espacio# es con'eniente se&uir los si&uientespasos

1 5e trasladan todos los 'ectores a sumarse o restarse al ori&en de

coordenadas6 5e descomponen los 'ectores en sus componentes rectan&ulares# laspro*ecciones de los 'ectores en cada uno de los e0es +# * para elplano# en los e0es +# *# z# en el caso del espacio

7 5e suman sus componentes al&e(raicamente

5ean los 'ectores de la -&ura A# ? * C

A S HA+ 2 A* ? S H?+ 2 ?* C S HC+ 2 C*

Entonces#

R S A ] ? ]C donde2

Pa4a e# 8#an":

A S HA+ 2 A* ? S H?+ 2 ?* C S HC+ 2 C* entonces#

R S [HA+ ] ?+ ] C+ ] [HA* ] ?* ] C*\

R S HR+ 2 R*

ara determinar el módulo del 'ector# se tiene3

ara determinar la dirección del 'ector resultante de acuerdo a la -&ura#tenemos3

Pa4a e# e8aci".

5ean los 'ectores de la -&ura2

A S HA+ 2 A* 2 Az ? S H?+ 2 ?* 2 ?z C S HC+ 2 C* 2 Cz

Entonces su resultante es3

R S [HA+ ] ?+ ] C+ 2 HA* ] ?* ] C* 2 HAz ] ?z ] Cz\

R S HR+ 2 R* 2 Rz

JG




ara determinar el módulo del 'ector# tenemos3

ara determinar la dirección del 'ector# $a* %ue determinar los án&ulosdirectores del 'ector con respecto a cada uno de sus e0es de coordenadascomo muestra la -&ura

En 9(nci$n 2e ( ec0"4e ae.- 5i se tienen dos o más 'ectores# *asea en el plano o espacio es con'eniente se&uir los si&uientes pasos

1 5e traslada todos los 'ectores a sumarse o restarse al ori&en decoordenadas

6 5e descomponen los 'ectores en sus componentes rectan&ulares# las

pro*ecciones de los 'ectores en cada uno de los e0es $% & * en el casodel plano# * en los e0es $% &% * ' # en el caso de los 'ectores en cadauno de los e0es +# * en el caso del plano# * en los e0es +# * * z# en elcaso del espacio

7 5e suman sus componentes al&e(raicamente

5i se tienen los 'ectores A# ? * C

Pa4a e# 8#an":

A S A+ i ] A* 0

? S ?+ i ] ?* 0

C S C+ i ] C* 0


R S A ] ? ] C# donde2

R S [HA+] ?+ ] C+ 2 HA* ] ?* ] C*\

R S HR+ i 2 R* 0 2 Rz W

JJ




5u módulo * dirección es3

Pa4a e# e8aci":

5ean los 'ectores3

A S A+ i ] A* 0 ] Az W

? S ?+ i ] ?* 0 ] ?z W

C S C+ i ] C* 0 ] ?z W


R S A ] ? ] C

R S [HA+ i ] ?+ 0] C+ W 2 HA* i ] ?* 0] C* W 2 HAz i] ?z 0 ] Cz W\

R S HR+ i 2 R* 0 2 Rz W

5u módulo * án&ulos directores

P4"8ie2a2 2e #a ()a ec0"4ia#:

1. P4"8ie2a2 C"n)(0a0ia: El orden de los 'ectores no altera suresultante

A ] ? S ? ]A

. P4"8ie2a2 A"cia0ia.- 5i se suman primero dos 'ectores * lue&o sesuma un tercero# su resultante no cam(ia

JM




HA ] ? ] C S A ] H? ] C

. P4"8ie2a2 2i04i(0ia ec0"4ia#.- 5i se multiplica un escalar por lasuma de 'ectores es i&ual al producto del escalar por cada 'ector

mHA ] ? S mA ] m?

J. P4"8ie2a2 Di04i(0ia Eca#a4.- 5i se multiplica un 'ector por la sumade dos escalares es i&ual al producto del 'ector por cada escalar

AHm ] n S mA ] nA

K. P4"8ie2a2 2e# I2n0ic" A2i0i".- 5i se suma un 'ector con su 'ectorne&ati'o# su resultado es nulo Hcero

A ] HA S =

.K. MULTIPLICACIÓN DE ?ECTORES:

La multiplicación de 'ectores de di)erente naturaleza permite &enerarcantidades Físicas di)erentes a las %ue se &eneraron or supuesto %ue nopuede &eneralizar las re&las de multiplicación de escalares# pues los'ectores tienen a más ma&nitud una dirección * un sentido2 a continuaciónde-niremos tres tipos de productos %ue se pueden e)ectuar entre 'ectores

<ultiplicación de un escalar por un 'ector# producto escalar * roducto'ectorial

.K..1 MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN ?ECTOR

Cuando multiplicamos un escalar por un 'ector A# o(tenemos u nue'o'ector cu*o módulo es W 'eces la lon&itud del 'ector A Este nue'o 'ectortiene la misma dirección del 'ector * su sentido será2 el mismo %ue el de A

cuando W w =# opuesto al de A si W ` =# * el 'ector será nulo cuando W S =#como se o(ser'a en la -&ura

5i ( es escalar *#

A S A+ i ] A* 0 ] Az W entonces tenemos3

WA S WHA+ i ] A* 0 ] Az W

WA S WA+ i ] WA* 0 ] WAz W

P4"8ie2a2e 2e #a )(#0i8#icaci$n 2e (n eca#a4 8"4 (n ec0"4

JP




1. P4"8ie2a2 C"n)(0a0ia.- El orden del producto del escalar por el'ector no altera su resultado

a ^ A S A ^ a

. P4"8ie2a2 A"cia0ia.- 5i se multiplica un escalar por un 'ector * lue&ose multiplica por un se&undo escalar# su resultado no cam(ia

aH( ^ A S Ha ^ ( ^ A

. P4"8ie2a2 Di04i(0ia ec0"4ia#.- 5i se multiplica primero un escalar

por la suma de 'ectores es i&ual al producto del escalar por cada 'ectora ^ HA ] ? S aÂ ] a^?

J. P4"8ie2a2 2i04i(0ia eca#a4.- 5i se multiplica un 'ector por la sumade dos escalares es i&ual al producto del 'ector por cada escalar

Ha ] (Â S aÂ ] (Â

EPERIMENTO

De0e4)ina4 #a ()a y 4e0a 2e ec0"4e %4;3ca y ana#&0ica)en0e(0i#ian2" #a #eye 2e# en" y c"en".

C"n04(i4 y 2e)"04a4 #a 84"8ie2a2e y ca4ac0e4&0ica 2e #"ec0"4e en e# e8aci"

• Nunca trate de ela(orar las acti'idades sin antes $a(erestudiante los temas indicados# pues e+isten al&unas pre&untas

%ue no se podrán realizarlas sin un adecuado conocimiento• En los e0ercicios prácticos * de in'esti&ación %ue se solicitan#

sea lo más ordenado * detallista posi(le# *a %ue estascaracterísticas permitirán esta(lecer el ni'el de conocimientoad%uiridos por usted

CONTESTE

JQ




1 Realice un es%uema de todos los contenidos de la unidad6 a&a un resumen de las )ormulas utilizadas en esta unidad7 9En %ue se di)erencias las ma&nitudes 'ectoriales de las ma&nitudes

escalares; 9:u" es un 'ector; De tres e0emplos

G Como se puede determinar la ma&nitud de un 'ectorJ 9:u" puede decir de los 'ectores %ue tienen el mismo unitario;M 9:u" condición de(en cumplir las cantidades Físicas# para %ue se traten

como 'ectores;P ara determinar el unitario del 'ector# no de(emos necesariamente

conocer el módulo de dic$o 'ector E+pli%ueQ 9:u" m"todos se utiliza para sumar 'ectores &rá-camente;1= 95e aplican las le*es asociati'a * conmutati'a a la sustracción de

'ectores;11 9uede ser cero la ma&nitud de un 'ector si al&una de sus componentes

es di)erente de cero;

16 9uede un producto escalar ser una cantidad ne&ati'a;

COMPLETE:

17 Al par ordenado HA 2 se le denominacoordenadas

1 Cuando el punto de aplicación de un 'ector se traslada a lo lar&o de sulínea de acción# el 'ector se

llama1G El 'ectorcarece de dirección * sentido1J El án&ulo %ue )orma un 'ector con el e0e positi'o de las + en sentido

anti$orario# representa del 'ector

INTERPRETE:

1M /n estudiante de Física a-rma %ue la llu'ia es un ma&nitud Física decarácter 'ectorial por%ue tiene dirección Re)ute esta a-rmación

1P /n auto recorre 7G m $acia el norte * lue&o J= m $acia el este *-naliza su recorrido con 6GWm al noroestea Represente &rá-camente las distancias( Represente &rá-camente el 'ector desplazamiento

1Q A continuación enunciamos al&unas situaciones para %ue analice *aprenda la )orma como operan los 'ectoresa 5i decimos %ue la distancia entre la ciudad A * la ciudad ? es de 766

m# * %ue entre la ciudad ? * la ciudad ? $a* 7GP Wm 95e puedesuponer %ue la distancia se separa la ciudad A de la ciudad C es de

766 m ] 7GP m o JP= m; 9or %u";

M=




( 5upon&amos %ue un (ote na'e&a a altamar con una 'elocidad de6=WmT$ * el 'iento sopla con una 'elocidad de G mT$ 9uedea-rmar cuál es la 'elocidad resultante del (ote; 9or %u";


1. Re84een0a4 %4;3ca)en0e #" i%(ien0e 8(n0":

A H62G2=2 ? H1# G# = C H=2 G# 7 D HJ# = # EHG# M P FH# J# G

. Re84een0a4 %4;3ca)en0e #" i%(ien0e ec0"4e.

A S H=N2 7G? S H1= mTs 2 N7=>

C S H6= W& 4)2 67G

. A c"n0in(aci$n e 2an #a 84"yecci"ne 2e #" ec0"4e "4e #"e/e >, y y

a < S H 2 = 2 G

( N S HJ2 P

c : S HM2 G 2 J

E+prese cada uno de los 'ectores en t"rminos de3

i /nitarios normalizados

ii Calcular su móduloiii Calcular su unitario

M1




J. Da2" #" i%(ien0e ec0"4e:

A S HM 2 G2 PN

? S H7= W&)2 E7MN2 6G án&ulo

C S H1G mTs3 61G

E+pr"selo en las otras )ormas de determinar un 'ector# en cada uno de loscasos

DATOS

MODELO

PLANTEAMIENTO

SOLUCIÓN

ANÁLISIS

M6




/nidad

J.. INTRODUCCIÓN

M7

TEMA. CINEMATICA DE LA PARTICULA

De-nición

<o'imiento en una dimensión

artícula

Vector posición

Desplazamiento

Reposo

<o'imiento

!ra*ectoria

Distancia

Velocidad

Rapidez

Aceleración

Clasi-cación de los mo'imientos

<o'imiento Rectilíneo /ni)orme

H<R/

<o'imiento Rectilíneo /ni)ormemente

Variado H<R/V

Acti'idad =J

E0ercicios

CONTENIDOS

>?@E!IV>53

Conocer las de-niciones de mo'imiento#tra*ectoria# 'elocidad * aceleración

Identi-car los elementos de un 'ector Descri(ir el mo'imiento de los o(0etos

por medio de ta(las * &rá-cas E+plicar los cam(ios en la descripción del

mo'imiento de o(0etos desde di)erentespuntos de 'ista

Construir &rá-cas de la posición 4 tiempo#

'elocidad 4 tiempo# aceleración 4 tiempo Aplicar correctamente las ecuaciones del

mo'imiento uni)orme * uni)ormemente'ariado

resentar un in)orme de los la(oratoriosso(re <R/ * <R/V

Valorar la importancia de la ciencia en elestudio

Reconocer en las operaciones con'ectores# las aplicaciones de la &eometríaelemental * de la tri&onometría# *

resol'er pro(lemas mediante lautilización de estos m"todos




El o(0eti'o de la Física es# )undamentalmente# el de comprender los)enómenos naturales llamados )ísicos# para lo&rarlo tu'o %ue transcurrirmuc$os aBos# a lo lar&o de los cuales la tarea se di'idió en 'arias partes#como un m"todo para lo&rar descu(rir las le*es del mundo real Al con0untode teorías * )enómenos %ue se $an interpretado con la Física * %ue se

desarrollaron $asta -nales del si&lo I se denomina Física Clásica Duranteel si&lo # la Física a su)rido &randes trans)ormaciones# tanto en su -loso)íacomo en los m"todos empleados para su desarrollo# a partir de ello sur&enlas nue'as teorías %ue comprenden lo %ue se denomina la Física <oderna#las mismas %ue son &eneralizaciones de la Física Clásica

El comportamiento )ísico de los sistemas di-ere si se considera cuerpos %uese mue'en a 'elocidades mu* altas# así como tam(i"n para sistemas cu*asdimensiones son del orden de las ma&nitudes atómicas o menores Lasteorías %ue permiten e+plicar estos )enómenos son la <ecánica Cuántica *

la Relati'idad La Física Clásica se limita a un estudio en el cual las'elocidades son mu* pe%ueBas comparadas con la 'elocidad de la luz * lasdimensiones de los cuerpos son &randes comparadas con las dimensionesmicroscópicas

Este documento se dedicará a a(ordar temas correspondientes a la<ecánica Clásica como parle de la Física Clásica La <ecánica se encar&adel estudio de todo lo relacionado al mo'imiento de los cuerpos# sus causas* su consecuencia# es decir# las le*es )undamentales %ue descri(e elmo'imiento de un sistema )ísico Este estudio puede $acerse a dos ni'eles#el primero a un ni'el descripti'o# en el cual interesa simplemente

determinar el estado del mo'imiento de los cuerpos# mientras se de0a delado la cuestión de las causas %ue pro'ocan el mo'imiento de los cuerpos#esto ,ltimo implica al&o más pro)undo * por tanto más comple0o or ello se$a di'idido a la <ecánica en dos &randes su( ramas3 la Cinemáticaencar&ada de descri(ir el mo'imiento en si de los cuerpos sin considerar lascausas %ue lo produ0eron ni las consecuencias %ue se deri'an de estemo'imiento * la Dinámica %ue se preocupa de las cuestiones máspro)undas# es decir# la relación causa mo'imiento consecuencia

J.1. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Cinemática La Cinemática estudia todo lo relacionado con el mo'imientode los cuerpos# sus ecuaciones * le*es# sus relaciones * aplicaciones# perosin preocuparse por cuál o cuáles son las causas %ue producen dic$osmo'imientos

A la Cinemática lo estudiaremos desde el punto de 'ista de sus e0es decoordenadas# es decir en una * dos dimensiones

M




J.. MO?IMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

Antes de estudiar los mo'imientos en una dimensión# es necesario de-nirlos si&uientes conceptos

Pa40&c(#a.- En nuestro estudio se considerará como partícula a cual%uiercuerpo# sin importar sus dimensiones# *a %ue este con relación a su entornoes demasiado pe%ueBa

Si0e)a 2e 4e9e4encia.- /n sistema de re)erencia# son los e0es decoordenadas rectan&ulares# los mismos %ue se intersecan en un puntollamado ori&en# "ste siempre se considera en reposo

?ec0"4 P"ici$n4H.- Determina la posición de una partícula respecto a unsistema de re)erencia

rS ro+ i ] ro* 0 ] roz W

rS r+ i ] r* 0 ] rz W

Uni2a2.- Las unidades de la posición 'iene dada en unidades de lon&itud

[r\S[m\ 5I

[r\ S [cm\ C85

[ r \ S [ pies \ In&l"s

Di)eni$n.- La dimensión del 'ector posición es de la ma&nitud

[r\S [L\

?ec0"4 De8#aa)ien0" 4H.- Es la 'ariación %ue e+perimenta el 'ectorposición H r de una partícula en un cierto inter'alo de tiempo Hgt

Uni2a2.- Las unidades de la posición 'ienen dadas en unidades de lon&itud

[ gr \ S [ m \ 5I

[ gr\ S [cm\ C85

[gr \ S [ pies \ in&l"s

Di)eni$n.- La dimensión del 'ector posición es de la ma&nitud

[gr\ S [L\

MG




Re8"".- /na partícula está en reposo durante cierto inter'alo de tiempo HAt cuando su posición H r permanece constante dentro de un mismosistema de re)erencia# es decir %ue Hgr S=

M"i)ien0".- Es el cam(io de posición %ue e+perimentan los cuerpos con

respecto a un sistema de re)erencia Hgr S =

T4ayec0"4ia.- Es la lon&itud medida so(re la tra*ectoria recorrida por elcuerpo o partícula al mo'erse de una posición a otra

?e#"ci2a2 H.- Es la relación %ue se esta(lece entre el desplazamientorealizado por la partícula * el inter'alo de tiempo en %ue se e)ect,o

?e#"ci2a2 In0an0;nea.- 5e de-ne como el límite de su 'elocidadpromedio en cual%uier instante en el límite con)orme el inter'alo At * sudesplazamiento asociado Ar tiende a cero

5in em(ar&o# el límite del cociente# en este caso# por de-nición# es laderi'ada con respecto ax tiempo# d+Tdt# de la )unción de posición +Hl Dea%uí se desprende la )orma alternati'a

La 'elocidad e+presada 'ectorialmente en )unción de su deri'ada tenemos3

Ra8i2e H.- Es la relación %ue se esta(lece entre la distancia recorridapor la partícula# al mo'erse de una posición a otra# * el inter'alo de tiempoen %ue se realizó

Uni2a2e.- La unidades de la 'elocidad están relacionadas por lasma&nitudes de lon&itud * tiempo

Di)eni$n.- La dimensión de la 'elocidad es de la ma&nitud so(re tiempo

Ace#e4aci$n a H.- La aceleración es la ma&nitud 'ectorial %ue mide la'ariación de 'elocidad en la unidad de tiempo

Ace#e4aci$n in0an0;nea.- La aceleración instantánea de una partícula esel límite de la aceleración media cuando At tiende a cero

or de-nición el 'alor limitador del cociente es la deri'ada 'Ht# * tenemos la

)orma e%ui'alente

Así mismo la aceleración en )orma 'ectorial * en )unción de su deri'ada setiene3

Uni2a2e.- Las unidades de la aceleración están relacionadas por lasma&nitudes de la 'elocidad * el tiempo

Di)eni$n.- La dimensión de la aceleración es de la ma&nitud por eltiempo al cuadrado#

J.1. CLASIFICACIÓN DE LOS MO?IMIENTOS

MJ




El mo'imiento pone en 0ue&o tres ma&nitudes3 espacio# tiempo * 'elocidadConociendo dos de ellas podemos siempre $allar la tercera desconocida

Los parámetros en )unción de los cuales se realiza la clasi-cación de losmo'imientos son3 La )orma de la !ra*ectoria * las características del 'ector

'elocidad en )unción del tiempo

De acuerdo a la tra*ectoria# los mo'imientos se clasi-can en3

1 Rectilíneo3

a <o'imiento Rectilíneo /ni)orme H<R/

( <o'imiento Rectilíneo /ni)ormemente Variado H<R/V

6 Cur'ilíneo3

a ara(ólico( Circular3

• <o'imiento Circular /ni)orme H<C/• <o'imiento Circular /ni)ormemente Variado H<C/V

c Elíptico

De acuerdo a las características del 'ector 'elocidad# los mo'imientos seclasi-can en3

1 Velocidad Constante3

a I&ual a cero Reposo

( Di)erente de cero3

• Dirección constante <R/• Dirección 'aria(le <C/

6 Velocidad Varia(le3

a <ódulo 'aria(le * dirección constante <R/ V( <ódulo * dirección Varia(le <C/V

J.J. MO?IMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

5e llama mo'imiento rectilíneo uni)orme H<R/# a%uel en el cual la partícularecorre una tra*ectoria rectilínea con 'elocidad constante en módulo

dirección * sentido# en un cierto inter'alo de tiempo# la aceleración lineal es

MM




cero Entonces# en el <R/# sólo entran en 0ue&o los parámetros 'elocidad *desplazamiento lineal en )unción del tiempo

ara o(tener una 'isión rápida de la )orma %ue 'arían las componentes dela posición H r ; de la 'elocidad y ' * de la aceleración H a # de un cuerpo

durante su mo'imiento# con'iene representar &rá-camente "stasma&nitudes

8rá-ca de la posición r 's el tiempo t En un <R/# la posición de uncuerpo en )unción del tiempo 'iene dada por la relación r S r= ] 't# lo %uesi&ni-ca %ue la posición es proporcional al tiempo# * en consecuencia# surepresentación &rá-ca es una línea recta# dependiendo del módulo desu 'elocidad

An;#ii 2e #a %4;3ca.En el inter'alo de t= $asta t1# la recta indica %ue el cuerpo cam(ia deposición proporcionalmente en el sentido positi'o del e0e +

En el inter'alo de t1 $asta t6# la recta es paralela al e0e +# indica %ue elcuerpo no $a cam(iado de posición# es decir %ue gr S =

En el inter'alo de t6 $asta t7# la recta indica %ue el cuerpocam(ia de posición proporcionalmente en el sentido ne&ati'o# contrario ale0e + Hre&resa

El Xrea som(reada (a0o la recta corresponde al módulo del desplazamientode la partícula De acuerdo a la &rá-ca# la distancia total recorrida por lapartícula es la suma &eom"trica de las áreas en inter'alo desde t= $asta t1

EPERIMENTO

CONTESTE:

1 9El cole&io donde estudia puede considerarse como un cuerpo puntual;

6 En el mo'imiento consideramos como 'aria(le independiente3

a El espacio

( La 'elocidad * aceleración

c El tiempo

d La partícula

7 9La tra*ectoria es un 'ector o un escalar;

9De %u" depende la )orma de una tra*ectoria;

MP




G E+pli%ue por %u" la 'elocidad instantánea de un o(0eto es tan&ente a latra*ectoria de "ste

J De-na la aceleración media

M Las pala(ras positi'o# ne&ati'o o cero 9tienen al&,n si&ni-cadoindependiente de la elección del sistema coordenadoM 9or %u" sí o por %u"no;

P 9Cómo se representa el desplazamiento en una &rá-ca de posición en)unción del tiempo; 9O una &rá-ca de 'elocidad en )unción del tiempo;

COMPLETE:

Q La 'ariación del 'ector posición %ue una partícula e+perimenta en un

inter'alo de tiempo se denomina

1= La distancia recorrida por una partícula es i&ual al módulo deldesplazamiento# siempre %ue la tra*ectoria sea* noe+ista cam(ios en el sentido del mo'imiento

11 La rapidez instantánea es i&ual aldel'ector 'elocidad

16 5i una partícula se mue'e con 'elocidad H ' constante# su aceleraciónes i&ual a

INTERPRETE:

17 /n estudiante de Física a-rma %ue vla llu'ia es una ma&nitud Física decarácter 'ectorial por%ue tiene direcciónv Re)ute esta a-rmación

1 E+pli%ue en cuáles casos podemos considerar la Luna como unapartícula * en cuáles casos no


1 /na partícula se desplaza H Gi ]Jl0 Wm# con 'elocidad constante#durante P min

Determinar3

a La 'elocidad en mT$( La rapidez en mTs

MQ




c El 'ector unitario de la 'elocidad

d El 'ector unitario del desplazamiento

6 /na particular se mue'e con una 'elocidad constante de HJGi ] G6 0 WmT$# lle&a al punto H7G 2 1M Wm en 7 $oras Determinar3

a La posición %ue tenía la partícula en t S 1 $ora

( El desplazamiento realizado desde t S 1 $ora $asta t S 7 $oras

c La distancia recorrida en el inter'alo anterior

Desde un mismo punto parten dos mó'iles con una rapidez constante deM6 WmT$ * 1 mTs respecti'amente 5i el se&undo sale 1G minutos antes %ueel primero# determinar analíticamente * &rá-camente la distancia %ue lossepara a las $oras de $a(er salido el primero

a 5i lle'an la misma dirección * sentido

( 5i lle'an la misma dirección# pero sentido contrario

P=




G Dos corredores A * ? so(re una pista recta# tienen rapideces constantesde 6 mTs * G mTs respecti'amente# 5i A parte G s# antes %ue ?

a 9Dónde * cuándo A es alcanzada por ?;

( 9Cuáles son las &rá-cas ' t para cada uno de los corredores;

EBERCICIOS PROPUESTOS

1 /na partícula se mue'e con una 'elocidad constante de H 1GT ] 1P0 mTsdurante 6 min Determinar3

a El desplazamiento realizado

( La distancia recorrida



R a H1P==i ] 61J=0 m2 ( 6P11#JP m2 c H=#Ji ] =#MM0 2 d H=#JMi ]=#MM0

6 /n 'ia0ero sorprendido por una tormenta# 'e el relámpa&o de unadescar&a el"ctrica a H#1 Wm2 N6GUE * o*e el trueno a los 16 s Determinar

a La 'elocidad del sonido en el aire Hconstante

P1




( La rapidez del sonido



7 /na partícula recorre MG m con una 'elocidad constante de H 1J i2 P0 WmT$ Determinar

a El tiempo empleado

( El desplazamiento realizado



R a 1#61 s2 ( HQ#MP i GJ#=G 0 m2 c H=#JJM =#MGT 2 d H=#JJM =#MG0

/n partícula parte del punto HG2 7 m * se mue'e con una 'elocidadconstante de H i ] M0 mTs durante M s

Determinar

a La posición alcanzada por la partícula


c La distancia recorrida

G /na partícula situada en el punto H2 G m se mue'e con 'elocidadconstante $asta el punto H62M en 16s

Determinar3

a La 'elocidad empleada

( El desplazamiento realizadoc La distancia recorrida

R a H =#G i ] 0 mTs2 ( H Ji ] 160 m2 c 17#6 m

J /n mó'il con una rapidez constante de 76# WmT$ parte del punto HG21Pm * mo'i"ndose rectilíneamente lle&a al punto H162 7lm

Determinar

a El tiempo empleado

P6





c La distancia recorrida

M Desde un mismo punto parten dos mó'iles con una rapidez constante de1G WmT$ * 61 WmT$# respecti'amente 5i lle'an la misma dirección * sentido#* el primero sale 7= min antes# $allar analítica * &rá-camente dónde *cuándo se encuentran R a A 6J#6G Wm del lu&ar de partida * a 1#MJ $ de$a(er partido el primero

P Dos puntos# A * ?# están en la misma $orizontal Desde A parte $acia ?un mó'il con una rapidez constante de J= WmT$ 5imultáneamente * desde? parte $acia A otr( mó'il con una rapidez constante de 16#G mTs 5i seencuentran a las tres $oras de $a(er partido# 9cuál es la distancia entre A *?;

a 5olución analítica#

( 5olución &rá-ca

Dos puntos# A * ?# están separados 1= Wm Desde A parte $acia ? un mó'ilcon una rapidez constante de WmT$ 5imultáneamente# * desde ?# parte$acia A otro mó'il can una rapidez constante de 7 WmT$# determinaranalítica * &rá-camente dónde * cuándo se encuentran

R a A G#M1 Wm de dónde partió el mó'il A * n 1#7 $ de $a(er partido

Q Dos puntos A * ? están separados 1== Wm Desde A parte $acia ? unmó'il con una rapidez constante de G= WmT$ 5imultáneamente * desde ?parte otro mó'il con el mismo sentido %ue A * con una rapidez constante de6= WmT$ allar analítica * &rá-camente dónde * cuándo se encuentran

materia de fisica general

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