matemático universidad de los andes enero 2007
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“APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS (ABP)” Y EL
“METODO INTERACTIVO DE ENSEÑANZA (MIE)”
EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS -
UNA APLICACIÓN EN CÁLCULO DIFERENCIAL
Por
SALIN AVELLANEDA PINZÓN
Trabajo presentado al Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes en
el cumplimiento parcial de los requisitos para optar el título de
Matemático
De la
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Enero 2007
El autor agradece a la Universidad de los Andes su permiso de poder
Distribuir copias de este documento tesis completamente o parcialmente.
Firma del autor..............................................................................................................
Salin Avellaneda Pinzón
Enero 15, 2007
Certificado por..............................................................................................................
José Ricardo Arteaga Bejarano
Departamento de Matemáticas, Director de tesis
Aceptado por..............................................................................................................
Luis Jaime Corredor Londoño
Director, Departamento de Matemáticas
2
“APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS (ABP)” Y EL
“METODO INTERACTIVO DE ENSEÑANZA (MIE)”
EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS -
UNA APLICACIÓN EN CÁLCULO DIFERENCIAL
Por
SALIN AVELLANEDA PINZÓN
Trabajo presentado al Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes en
el cumplimiento parcial de los requisitos para optar el título de
Matemático
Resumen
En este manuscrito se encuentra los resultados de una indagación sobre la aplicación de los métodos Aprendizaje Basado en Problemas y el Método Interactivo de Enseñanza a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Estos métodos a pesar de que nacen en las ciencias de la salud es posible, según el autor, llevarlos al ambiente de la enseñanza-aprendizaje de otras disciplinas, en particular de las matemáticas, para grupos no numerosos. El autor presenta un ejemplo concreto dentro del curso de Cálculo Diferencial, el tema de límites, continuidad y derivadas, en el cual desarrolla su intuición basado en experiencias de docentes e investigadores en Educación Matemática. El valor de este documento radica en que la mayoría de los temas expuestos fueron aprendidos por Salin Avellaneda Pinzón de manera autodidacta es decir, ninguno de ellos hacen parte de algún curso de la carrera de matemáticas. Aunque no se han llevado a la práctica las propuestas, resultado de la indagación, el autor acepta su puesta a prueba y brinda el documento a quien esté interesado. Director de tesis: José Ricardo Arteaga Bejarano Departamento de Matemáticas
3
TABLA DE CONTENIDO
OBJETIVOS ............................................................................................................ 4
INTRODUCCION ................................................................................................... 5
LA EDUCACION MATEMÁTICA: Una mirada general ................................. 12
IMPLEMENTACION DEL MIE: Método Interactivo de Enseñanza ............. 20
IMPLEMENTACION DEL ABP: Aprendizaje Basado en Problemas .......... 40
ENSAMBLAJE DE LOS MÉTODOS ................................................................ 51
DESARROLLO DEL CURSO: “LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS”,
APLICANDO ABP-MIE ....................................................................................... 57
CONCLUSIONES .............................................................................................. 118
BIBLOGRAFIA ................................................................................................... 119
4
OBJETIVOS
Objetivo general Este documento busca proponer a los profesores de matemáticas un
método de enseñanza-aprendizaje que cumpla las características
deseadas en un curso de cálculo diferencial, que no son otras diferentes a
que los estudiantes aprendan calculo diferencial y que sobretodo dominen
las aplicaciones en sus respectivos campos de acción, además de
mantener el equilibrio entre el trabajo del profesor y del estudiante,
mezclando elementos del Método Interactivo de Enseñanza y el
Aprendizaje Basado en Problemas.
Objetivos específicos
Presentar las características generales del el Método Interactivo de
Enseñanza (MIE).
Presentar las características generales del el Aprendizaje Basado en
Problemas (ABP).
Plantear una propuesta de ensamblaje de los dos métodos para
aplicarlos de forma paralela.
Presentar el diseño de un curso de matemáticas en cálculo
diferencial, aplicando los dos métodos en paralelo.
5
INTRODUCCION
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el
Universo” Descartes
La matemática ha sido estigmatizada en el mundo del conocimiento al ser
amada por pocos y odiada por muchos, Como arte y como ciencia de
estudio, intensamente dinámica y cambiante, los retos que implica su
aprendizaje, debido a la necesidad de un cierto talento nato para
comprenderla, o por lo menos de cierta disciplina al momento de
estudiarla, hace que sea difícil para la mayoría de las personas, aunque
necesaria para muchos.
Parte de esa partición de amor y odio, se relaciona con la manera como se
ha llevado esta ciencia a los estudiantes a lo largo de la historia.
La educación matemática es un tema complicado, que requiere de una
revisión permanente, máxime en la época actual en que nos encontramos,
donde la tecnología y la forma de enseñar han cambiado tan
profundamente. De las nuevas tendencias de enseñanza, han surgido
diversas metodologías, que hacen menos deseable la “forma clásica” de
enseñar, en particular de “enseñar matemáticas”, llamando forma clásica a
la cátedra universitaria como el método magistral donde el profesor solo
muestra como se hace y los estudiantes aportan muy poco en el desarrollo
del conocimiento.
6
La Educación, entendida como el conjunto de conocimientos, ordenes y
métodos que ayudan al individuo en el desarrollo y mejora de las
facultades intelectuales, morales y físicas, no crea facultades en el
educando, sino que coopera en su desenvolvimiento y precisión
ayudándole a definirse y desarrollar todo su potencial.1
La complejidad de la matemática y de la educación, implica que quienes
nos dedicamos a ella, tengamos la obligación de permanecer atentos y
abiertos a los cambios que la realidad va exigiendo. Para nadie es un
secreto que la educación, presenta una fuerte resistencia al cambio,
situación que puede ser considerada negativa cuando no se conjuga con
la realidad y no se adapta o transforma a las necesidades del entorno.
Al ser la enseñanza “el proceso mediante el cual se comunican o
transmiten conocimientos especiales o generales sobre una materia, y el
aprendizaje el proceso por el cual una persona es entrenada o instruida
para dar una solución a situaciones”2. Otros autores constructivistas
consideran que el aprendizaje se construye a partir de experiencias
personales y no solo por procesos de transmisión del conocimiento.
Los métodos de enseñanza permiten que sea o no, efectivo el aprendizaje
debido a la interacción que hay entre quien enseña y quien recibe el
conocimiento (proceso de enseñanza-aprendizaje).
Este proceso de enseñanza-aprendizaje a su vez, esta basado en el
principio de la motivación, que consiste en estimular a un sujeto para que
1 Navarro, Rubén Edel. El concepto de enseñanza aprendizaje. REDcientífica. Citando a
Ausubel y Colbs, 1990 en www.redcientifica.com/doc/doc200402170600.html. 2 Navarro, Rubén Edel. El concepto de enseñanza aprendizaje. REDcientífica, en
www.redcientifica.com/doc/doc200402170600.html.
7
éste ponga en actividad sus facultades. Para ello se requiere conocer
también las condiciones del individuo, es decir, su nivel de captación, de
madurez y de cultura, entre otros.
Frente al aprendizaje, hay que señalar que este está determinado por las
habilidades del individuo, con respecto a la facilidad que tiene o no, para
manejar ciertos temas. Para dar claridad a esta situación, hay que recurrir
a los factores que influyen en el aprendizaje: los que dependen del sujeto
que aprende (la inteligencia, la motivación, la participación activa, la edad
y las experiencias previas) y los inherentes a las modalidades de
presentación de los estímulos (premio o reto). Es decir, se tienen
modalidades favorables para el aprendizaje cuando la respuesta al
estímulo va seguida de una motivación, o cuando el individuo tiene
conocimiento del resultado de su actividad y se siente guiado y controlado
por una mano experta. (Rubén Edel Navarro)
La educación matemática presenta unas características que se deben
cumplir, donde cada una es tan importante como la anterior, porque hace
parte de un todo que es el aprender matemáticas y sobre todo el enseñar
matemáticas, estas características “deseadas” se plantearan en el
transcurso del texto.
Los procesos de educación matemática exigen que tanto el profesor como
el método se conjuguen de tal manera, que la predisposición de los
estudiantes frente al tema se disipe y se genere un ambiente de
participación y amor frente al tema que se presenta.
8
Teniendo en cuenta que las matemáticas son una abstracción reflexiva, es
más difícil enseñarla y aprenderla, por que si los estudiantes no apropian
el conocimiento y lo recrean en su cerebro, no va a ser posible que
dominen ese conocimiento; esto hace que la enseñanza también se
dificulte mucho y que tengamos que plantear nuevas estrategias para
lograr el aprendizaje en nuestros estudiantes.
Las características que deben cumplir los profesores y una clase óptima
de matemáticas en general, según la visión planteada en este trabajo de
tesis como propuesta son:
De diseño:
Una clase debe contener algo de historia de las matemáticas, cómo
influyó lo que se está explicando en la historia, generalidades de los
autores y sobretodo qué tan importante es para la humanidad. Es
decir, qué se ha desarrollado gracias a estos temas.
Se deben conectar los temas que se están viendo en clase con
otros campos del conocimiento. Es decir nos solo las aplicaciones
directas de cada cosa. Una buena clase de matemáticas debe ser
capaz de relacionarse hasta con la música y muchos otros campos,
además de los que son aplicaciones directas del tema.
Como clase:
La clase debe ser capaz de mostrar cómo se deben desarrollar las
matemáticas con creatividad y rigor, sin que esto implique que la
clase se deba volver tediosa o aburrida, simplemente que las cosas
se deben hacer con cierta rigurosidad para que sean aprobadas y
9
que se debe desarrollar la creatividad para poder crear
matemáticas, así como para cualquier otro arte donde los artistas
son los matemáticos, así como los que las enseñan, teniendo en
cuenta que la diferencia entre el diseño de la clase y la clase son
las técnicas de interacción con los estudiantes.
La clase debe presentar y desarrollar un lenguaje matemático,
donde se muestre que el desarrollo de habilidades depende tanto
del entendimiento de los conceptos como de adquirir destrezas en
la mecánica de los problemas y ejercicios.
La clase debe desarrollar el pensamiento lógico matemático, que es
una abstracción que se hace del mundo de lo físico y social, y se
relaciona con estructuras creadas en nuestros cerebros para poder
hacer deducciones y análisis de los mismos.
Tal vez una de las cosas a las que la humanidad le ha dado mas
importancia en la educación matemática, es el desarrollo de
modelos y a la solución de problemas, por que es mítico el hecho
de que el saber matemáticas te hace un bueno en el arte de
resolver problemas (así no sean problemas matemáticos),
obviamente siguiendo modelos matemáticos.
Del profesor:
El profesor (profesor, tutor, etc.) debe aportar su grano de arena, no
solo por las cosas evidentes (dominio del tema, tolerancia,
disposición, etc.), que son muy importantes, sino por que debe
presentarlas con todo el amor y la pasión que el lleva hacia las
matemáticas y ser capaz de contagiar todo esto a sus alumnos.
10
Además el profesor debe ser capaz de mostrar la belleza de las
matemáticas, no solo mostrando los desarrollos de manera
mecánica sino además, mostrando, cuando sea posible, soluciones
alternas y creativas, que hacen que se vean los desarrollos
matemáticos en todo su esplendor.
Teniendo en cuenta que las matemáticas se han visto siempre como un
problema de memoria, de aplicación de fórmulas, aburrida, inservible y
además dictada por profesores “poco creativos”, es necesario buscar
alternativas que corrijan estos planteamientos. Parte de ese cambio está
en los profesores, puesto que del interés que se despierte en los
estudiantes, a través de la selección y presentación de contenidos de una
manera más asequible, actividades diarias que representen retos en el
aula y ejercicios que motiven la enseñanza, los factores negativos
tenderán a disminuir.
El curso de cálculo diferencial es una oportunidad para propiciar en el
estudiante un cambio de actitud frente a la matemática, pues es la
iniciación de las matemáticas en la vida Universitaria, para todas las
carreras que usan a las matemáticas como herramienta para su disciplina,
como la economía, la ingeniería, etc.
No es desconocido para todos que la llegada de los estudiantes a la vida
universitaria viene llena de una serie de tragedias personales, en donde
en la mayoría de los casos, se debe aprender lo que supuestamente ya
había aprendido, recordar y/o descubrir conocimientos que le fueron (o
debieron ser) impartidos con anterioridad, para poder entender lo que
ahora debe aprender.
11
Es por ello que el curso de Cálculo diferencial planteado como se propone
en el presente documento, hace que la ruptura o paso de un nivel de
conocimientos a otro, sea menos agresiva y permite al estudiante
aprovechar el conocimiento previo que trae, lo cual eleva sus niveles de
motivación, al sentir que no está del todo perdido en un nuevo universo de
conocimiento.
Se espera que este documento sea de utilidad para los profesores
universitarios de matemática y a todos aquellos interesados en la
búsqueda de alternativas de enseñanza – aprendizaje. Para ello, la
estructura del mismo ha sido pensada de tal forma que a partir de un
ejemplo (Curso de cálculo diferencial), sea posible su estudio y aplicación
para otros cursos de matemáticas.
12
LA EDUCACION MATEMÁTICA: Una mirada general
El aprendizaje humano
Existe una larga tradición de la enseñanza verbalista o magistral, en los
profesores y los estudiantes, que ha llevado a estos actores a dejar de
lado el proceso de aprendizaje como fin. El generalizado rechazo hacia
este campo de las ciencias, ha llevado a los estudiantes a memorizar
momentáneamente, sin percatarse de que lo realmente importante es
entender la matemática.
De otro lado, los recursos didácticos existentes (escasos de por sí), no
benefician el proceso formativo. El bajo nivel de materiales diseñados que
beneficien la asimilación del conocimiento matemático se constituye en un
obstáculo que deben atravesar profesor y estudiante. Los conocimientos
que vienen con el estudiante se constituyen en otro problema a resolver
que pueden ser transformadas si el método es lo suficientemente
amigable y accesible.
Si tenemos en cuenta que la mayor preocupación del autor radica en
hacer que los contenidos sean compresibles, accesibles y amigables, la
propuesta de hacer cambios en los métodos de enseñanza de la
matemática resulta pertinente.
Las características de los distintos niveles educativos y de las distintas
etapas del desarrollo intelectual, fijan los lineamientos sobre los cuales
estos nuevos métodos, materiales y contenidos deben desarrollarse.
13
En un nivel superior (Universitario) se espera que el estudiante tenga una
serie de conocimientos conceptuales y prácticos, así como elementos de
análisis y comprensión que le permitan resolver independientemente un
problema o a través de la guía de alguien con mayor capacidad.
En el aprendizaje humano participan además de las características
individuales, los contenidos, el contexto y la motivación. Todos estos
elementos, influyen positiva o negativamente a la hora de aprender pero,
el grado de motivación puede hacer efectivo o no el aprendizaje.
Si se logra mostrar y demostrar al estudiante que lo que aprende puede
aplicarlo en su vida cotidiana y le es útil en su trabajo, es probable que el
proceso de aprendizaje tenga más éxito que si solo se muestra el
aprendizaje como un requisito, una nota, o la materia necesaria para
continuar en otro nivel.
Métodos de enseñanza y posibilidades de aprendizaje
Saber cómo enseñar una ciencia, es una actividad que debe ser apropiada
por los encargados de impartirla: de los profesores, los académicos y los
investigadores primordialmente. Las disciplinas científicas evolucionan y
quienes están más próximos a esos cambios deben brindar elementos
acerca de cómo es posible mejorar el aprendizaje y la enseñanza de esas
disciplinas, con base en sus estudios, teorías, investigaciones, etc.
Se hace necesario entonces relacionar los avances científicos con los
argumentos racionales y los conocimientos, de una forma equilibrada e
14
integrada. Este proceso también contribuye, a lo que hoy por hoy se ha
denominado la divulgación del conocimiento o la ciencia.
Las estrategias que se emplean para impartir conocimientos en los
estudiantes deben ser coherentes con la especificidad de lo que se quiere
enseñar, sin que ello implique que se dejen de lado las relaciones que
tienen algunos temas (por no decir todos), con otros campos o áreas del
conocimiento. Para nuestro caso: la matemática frente a la historia y la
filosofía de la ciencia, la psicología de la educación, la sociología de la
ciencia, entre otros.
Si damos una mirada a la formación matemática, encontramos que tanto
estudiantes como profesores se acostumbraron a una educación
magistral, que ven como natural o normal, en la que el profesor cubre la
totalidad del tiempo destinado al aprendizaje y no da paso al diálogo, al
análisis o la crítica, teniendo en cuenta que lo primordial es cumplir con el
programa o contenidos y los tiempos establecidos para ello. El estudiante
por su parte, viene de una escuela sino igual, si muy similar, en donde
recibe conocimientos que muchas veces no asimila y solo memoriza ideas
que luego olvida, con el fin de lograr una nota o un requisito, obviando la
interacción, las intervenciones y el aprovechamiento real del conocimiento
de su profesor.
En el caso de la Universidad de los Andes, actualmente se ha hecho
énfasis en las clases magistrales con sección de problemas lo cual, desde
el punto de vista del autor significa perder algunas de las características
planteadas por él, en el desarrollo adecuado de una clase.
15
Aunque ya existen nuevos métodos para evitar el problema del profesor
como único parlante en clases numerosas, estos todavía no han mostrado
gran efectividad, porque la interacción y el contacto de profesor
estudiante, se hace demasiado difícil. Ejemplo de ello es el “ABP con
aplicación a clases numerosas”, que se ha tratado de aplicar en la
enseñanza de la medicina sin presentar el éxito que presentó el ABP
tradicional, al que se hace referencia en este documento.
Esta situación, hace que no se cree una motivación real por las
matemáticas, ni un interés por la interacción con otras ciencias. Pero
entonces ¿cómo salvar estas dificultades? Una solución podría estar en la
familiarización real del estudiante con la aplicabilidad y belleza de las
matemáticas, brindando elementos que faciliten su estudio y su
aprendizaje, espacios para asesorías y para interacción con otros
estudiantes que pueden pertenecer incluso a disciplinas diferentes.
A partir de lo anteriormente expuesto, resulta favorable presentar como
métodos alternativos para la enseñanza de las matemáticas: el
Aprendizaje Basado en Problemas -ABP y el Método Interactivo de
Enseñanza -MIE, toda vez que los mismos aportan elementos
significativos al proceso de enseñanza-aprendizaje, como veremos más
adelante y dentro de los cuales se encuentra la interacción como
motivante del aprendizaje, solucionando así los problemas presentados en
las clases magistrales.
Los dos métodos propuestos facilitan los procesos de discusión y análisis,
la interacción a través del trabajo en equipo y la aplicabilidad a la realidad.
16
Desde el punto de vista del aprendizaje, los dos métodos conjugados
evitan que los estudiantes vean el proceso enseñanza-aprendizaje como
algo mecánico o como un problema de almacenamiento, y por el contrario,
contribuyen al desarrollo de habilidades matemáticas, para la toma de
decisiones y para compartir experiencias de quienes intervienen en el
proceso, haciendo de la clase un espacio de pensamiento.
Debido a que la conjugación de estos métodos no ha sido aplicada, los
aspectos mencionados anteriormente se esperan lograr en el curso
propuesto.
En los capítulos siguientes se presentan los dos métodos por separado,
señalando los elementos más significativos y las características de cada
uno de ellos.
Teniendo en cuenta que la propuesta se enmarca en el contexto de un
Curso dictado en la Universidad de los Andes, a continuación se señalan
algunas comparaciones con el método Yerly, que se aplica en la
Universidad y que también revela algunas de las características deseadas
por nosotros y que describiremos a continuación:
Método Yerly3
Características principales:
1. “Cada curso sigue un texto que todos los estudiantes tienen en sus
manos.
3 Método de enseñanza-aprendizaje de la Universidad de los Andes, Departamento de
matemáticas, 2003. En http://pentagono.uniandes.edu.co/~jarteaga/proyectos/coordinacion-
academica2/archivos/metodo-ea-uniandes.pdf
17
2. Hay un programa elaborado por el profesor (o los profesores del
departamento), donde se determina, día por día, la materia de la
clase y los ejercicios o problemas correspondientes, programa que
se entrega a los estudiantes al principio del semestre o, por lo
menos, con anticipación a la clase.
3. Eso es esencial: el alumno debe estudiar la lección en su texto y
hacer los ejercicios y problemas anotados de la clase
4. La clase está destinada a completar las explicaciones del libro,
aclarar los puntos más difíciles e importantes y comprobar el trabajo
del estudiante. No es un monologó del profesor; no es la repetición
por parte del profesor de lo escrito en el libro, sino un dialogó con
los estudiantes. Ellos son los que exponen la materia y presentan
los ejercicios y problemas; el profesor da todas las explicaciones
adicionales que juzga útiles, rectifica lo que puede haber de
inexacto y hace resaltar en su enseñanza los hechos
fundamentales.
5. El número de estudiantes de cada clase es más bien pequeño: no
pasa de treinta y cinco, de modo que el profesor los conoce a todos
al cabo de pocas semanas.
6. Cuando el estudiante ha tenido un inconveniente imprevisto y no
puede preparar la lección, informa al profesor antes del principio de
la clase”.
Ventajas
1. Es una buena planeación y organización del curso; una repartición
uniforme del trabajo del estudiante. Evita defectos como los que se
18
ven con frecuencia: No alcanzó el tiempo para cumplir el programa.
Evita o disminuye mucho la”desbrevada” de los estudiantes en
vísperas de los exámenes. Cuando estos llegan, los alumnos ya
han recorrido toda la materia.
2. La eficiencia de la clase es grande. Se puede decir que el
estudiante recibe docencia a la par del autor del texto y del
profesor; este último no tiene por qué repetir lo que el primero
explicó claramente. El tiempo de la clase se aprovecha bien. El
estudiante explica, pregunta y discute. Toda la atención del alumno
está dedicada al tema tratado.
3. Las explicaciones del profesor tienen un alcance mayor cuando el
estudiante ya ha visto el texto, que cuando oye por primera vez la
materia. Sobra decir que este método elimina completamente aquel
en que el alumno emplea la hora de clase en tomar notas a toda
velocidad y tiene apenas tiempo de pensar en lo que escribe.
4. El estudiante no tiene el problema de saber dónde estudiar. En
caso de ausencia por motivo de enfermedad por ejemplo, la falta
es menos grave.
5. Enseña a trabajar por su cuenta. La Universidad no desea tener
alumnos que dejan de estudiar al obtener su grado, sino que
continúen toda su vida. Para ello, el método es una buena
preparación.
6. El contacto entre profesor y alumno es constante; el primero conoce
muy bien a sus discípulos; y los puede guiar, ayudar. Se forman
vínculos de amistad y gratitud duraderos y el profesor merece el
titulo de "maestro".
19
7. Dos cursos paralelos tienen el mismo texto, el mismo programa
(escogido por el jefe de departamento con los profesores del curso)
y no hay desigualdad de preparación en cursos sucesivos.
Una vez enunciadas estas características, se observó que el método
propuesto no riñe con el método adoptado por la Universidad, y por el
contrario, puede constituirse en un complemento del mismo.
20
IMPLEMENTACION DEL MIE: Método Interactivo de Enseñanza
Teniendo en cuenta lo mencionado en los capítulos anteriores, y las
características que el autor propone para que las clases de matemáticas
sean óptimas, es necesario generar un método estructurado y organizado
que ayude con el desarrollo de las mismas.
El Método Interactivo de enseñanza, diseñado para “guiar y dirigir las
actividades del estudiante ayudándolo a identificar, aplicar, interpretar y
utilizar el contenido crítico de la información – de la misma forma que un
tutor lo haría”, resulta de gran utilidad al profesor en el diseño de sus
clases, y beneficia al estudiante al hacerle saber hacia dónde va, cómo va
a llegar y cuándo ha llegado, lo cual garantiza el aprendizaje. 4
Para el diseño de las clases, el profesor debe adelantar las siguientes
acciones:
Planeación: el profesor debe planear como piensa que su clase se debe
desarrollar. En esta planeación es posible pensar incluir los ítems antes
mencionados (historia, relación con otros campos, conceptos, ejercicios
mecánicos, rigurosidad). En este momento es cuando el profesor
establece los objetivos, la secuencia y tamaño de las lecciones o temas a
tratar. Igualmente, planea la incorporación de la interacción en cada una
4 Manual del Participante para Taller Curso Básico de Sistema Comando de Incidentes dictado por
USAID – OFDA LAC. MD Taller-2- Manual editado con última revisión en febrero de 2006.
21
de las lecciones y la manera como motivará o inducirá la participación de
los estudiantes.
Preparación de material: Además de planear el desarrollo de las clases, el
profesor debe elaborar documentos para los estudiantes que ayuden a su
aprendizaje y a la vez, favorezcan la interactividad de la clase.
Esto hace que se facilite la transmisión de conocimientos, que se cuente
con “herramientas” que guíen y dirijan las actividades y que se incorporen
todos los componentes del método en cada una de las clases. (Los
componentes serán descritos más adelante).
Con la ayuda de los materiales de apoyo, se permite al estudiante usar la
información que recibe en el momento en el que lo requiere.
¿Qué es MIE – Método Interactivo de Enseñanza-?
Es un procedimiento destinado a que los participantes lo hagan activa y
permanentemente para adquirir conocimientos y habilidades que les
permitan lograr objetivos de desempeño preestablecidos.
El método interactivo de enseñanza esta creado para la enseñanza de
equipos USAR (Urban Search & Rescue) en temas relacionados con la
prevención y atención de emergencias, esta implantado en cursos como
Búsqueda y Rescate en Estructuras Colapsadas (BREC), Sistema
Comando de Incidentes (SCI), Asistente en Primeros Auxilios Avanzados
(APAA), entre otros. Estos cursos están diseñados por OFDA (Office of
22
U.S. Foreign Disaster Assistance) para la capacitación de grupos de
respuesta a emergencias en toda Latinoamérica.
Este método ofrece amplias posibilidades de aplicación en la capacitación
de personas adultas, especialmente en el desarrollo de conocimientos y
habilidades técnicas.
El método es abiertamente participativo y estimula la interacción entre
todos los componentes de la situación de aprendizaje. Asimismo, el
método al estar dirigido hacia el logro de objetivos depende tanto del
profesor como del diseño y desarrollo de la capacitación.
El MIE presenta 5 componentes y 3 documentos de apoyo, para que el
desarrollo del aprendizaje esté de acuerdo a lo planteado para los
participantes.
Componentes:
Objetivos
Contenidos
Interacción
Realimentación
Evaluación
Material de apoyo:
Material de referencia (MR)
Material del participante (MP)
Planes de lección (PL)
23
Componentes:
Objetivos
Los objetivos proponen un resultado o producto deseable y alcanzable por
parte de un participante, se enfocan con especificidad en las tareas a
realizar por el participante, no en lo que hará el profesor. El conocimiento
de los objetivos permite concentrarse en lo fundamental.
En la elaboración de objetivos la selección del verbo debe ser coherente y
apropiada con la descripción del comportamiento o resultado que se
espera de los participantes, una guía útil para seleccionar los verbos
apropiados se encuentra en los seis niveles intelectuales del campo
cognitivo5 de la taxonomía de Benjamín Bloom.
Se incluye el cuadro como una ayuda para los profesores interesados en
implementar el método, con el fin de suministrar herramientas a la hora de
redactar objetivos en el proceso de planeación de las lecciones. Con ello
no se busca la memorización de los verbos o la aplicación exclusiva de
estos, sino que se consideren las categorías y las habilidades del
pensamiento propuestas por Bloom.
5 Las conductas que se adquieren o modifican por medio de aprendizaje, se definen a partir de los
dominios del aprendizaje de Benjamín Bloom. (cognitivo, psicomotriz y afectivo)
24
TAXONOMÍA DE BLOOM DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO6
CATEGORÍA
CONOCIMIENTO
RECOGER
INFORMACIÓN
COMPRENSIÓN
Confirmación
Aplicación
APLICACIÓN
Hacer uso del
Conocimiento
ANÁLISIS
(orden
Superior)
Dividir,
Desglosar
SINTETIZAR
(Orden
superior)
Reunir,
Incorporar
EVALUAR
(Orden
Superior)
Juzgar el
resultado
Descripción:
Las
habilidades
que se
deben
demostrar en
este nivel
son:
Observación y
recordación de
información;
conocimiento de
fechas, eventos,
lugares;
conocimiento de
las ideas
principales;
dominio de la
materia
Entender la
información;
captar el
significado;
trasladar el
conocimiento a
nuevos
contextos;
interpretar
hechos;
comparar,
contrastar;
ordenar,
agrupar; inferir
las causas
predecir las
consecuencias
Hacer uso de la
información;
utilizar
métodos,
conceptos,
teorías, en
situaciones
nuevas;
solucionar
problemas
usando
habilidades o
conocimientos
Encontrar
patrones;
organizar las
partes;
reconocer
significados
ocultos;
identificar
componentes
Utilizar ideas
viejas para
crear otras
nuevas;
generalizar a
partir de datos
suministrados;
relacionar
conocimiento
de áreas
diversas;
predecir
conclusiones
derivadas
Comparar y
discriminar
entre ideas;
dar valor a
la
presentación
de teorías;
escoger
basándose
en
argumentos
razonados;
verificar el
valor de la
evidencia;
reconocer la
subjetividad
Que Hace el
Estudiante
El estudiante
recuerda y
reconoce
información e
ideas además de
principios
El estudiante
esclarece,
comprende, o
interpreta
información en
base a
El estudiante
selecciona,
transfiere, y
utiliza datos y
principios para
completar una
El estudiante
diferencia,
clasifica, y
relaciona las
conjeturas,
hipótesis,
El estudiante
genera,
integra y
combina ideas
en un
producto, plan
El
estudiante
valora,
evalúa o
critica en
base a
6 http://www.eduteka.org/TaxonomiaBloomCuadro.php3.
25
CATEGORÍA
CONOCIMIENTO
RECOGER
INFORMACIÓN
COMPRENSIÓN
Confirmación
Aplicación
APLICACIÓN
Hacer uso del
Conocimiento
ANÁLISIS
(orden
Superior)
Dividir,
Desglosar
SINTETIZAR
(Orden
superior)
Reunir,
Incorporar
EVALUAR
(Orden
Superior)
Juzgar el
resultado
aproximadamente
en misma forma
en que los
aprendió
conocimiento
previo
tarea o
solucionar un
problema
evidencias, o
estructuras
de una
pregunta o
aseveración
o propuesta
nuevos para
él o ella.
estándares y
criterios
específicos.
Ejemplos de
Palabras
Indicadoras
[1]
- define
- lista
- rotula
- nombra
- identifica
- repite
- quién
- qué
- cuando
- donde
- cuenta
- describe
- recoge
- examina
- tabula
- cita
- predice
- asocia
- estima
- diferencia
- extiende
- resume
- describe
- interpreta
- discute
- extiende
- contrasta
- distingue
- explica
- parafrasea
- ilustra
- compara
- aplica
- demuestra
- completa
- ilustra
- muestra
- examina
- modifica
- relata
- cambia
- clasifica
- experimenta
- descubre
- usa
- computa
- resuelve
- construye
- calcula
- separa
- ordena
- explica
- conecta
- divide
- compara
- selecciona
- explica
- infiere
- arregla
- clasifica
- analiza
- categoriza
- compara
- contrasta
- separa
- combina
- integra
- reordena
- substituye
- planea
- crea
- diseña
- inventa
- que pasa si?
- prepara
- generaliza
- compone
- modifica
- diseña
- plantea
hipótesis
- inventa
- desarrolla
- formula
- reescribe
- decide
- establece
gradación
- prueba
- mide
-
recomienda
- juzga
- explica
- compara
- suma
- valora
- critica
- justifica
- discrimina
- apoya
- convence
- concluye
- selecciona
- establece
26
CATEGORÍA
CONOCIMIENTO
RECOGER
INFORMACIÓN
COMPRENSIÓN
Confirmación
Aplicación
APLICACIÓN
Hacer uso del
Conocimiento
ANÁLISIS
(orden
Superior)
Dividir,
Desglosar
SINTETIZAR
(Orden
superior)
Reunir,
Incorporar
EVALUAR
(Orden
Superior)
Juzgar el
resultado
rangos
- predice
- argumenta
EJEMPLO
DE
TAREA(S)
Describe los
grupos de
alimentos e
identifica al
menos dos
alimentos de
cada grupo. Hace
un poema
acróstico sobre la
comida sana.
escriba un
menú sencillo
para desayuno,
almuerzo, y
comida
utilizando la
guía de
alimentos
Qué le
preguntaría
usted a los
clientes de un
supermercado
si estuviera
haciendo una
encuesta de
que comida
consumen? (10
preguntas)
Prepare un
reporte de lo
que las
personas de
su clase
comen al
desayuno
Componga
una canción y
un baile para
vender
bananos
Haga un
folleto sobre
10 hábitos
alimenticios
importantes
que puedan
llevarse a
cabo para
que todo el
colegio
coma de
manera
saludable
Contenidos
Deben estar acordes con los objetivos, cubrir la materia, guardar
coherencia y permitir la exploración de detalles.
A la hora de redactar los contenidos hay que decidir cuales son las
palabras y aspectos clave que deben afianzarse en los estudiantes y que
ayudan a una mejor compresión de los temas a tratar.
27
Los contenidos son los aprendizajes que los alumnos deben adquirir.
Estos aprendizajes deberán ser integrales; es decir que deberán abarcar,
al menos, tres dimensiones: lo conceptual, lo procedimental y lo
actitudinal.7
o CONTENIDOS CONCEPTUALES: son objetos de conocimiento
referidos a datos, hechos, conceptos y principios. La actividad que
requieren por parte del alumno es esencialmente intelectual.
o CONTENIDOS PROCEDIMENTALES: el objeto a conocer es una
destreza, una habilidad o una estrategia. Para aprenderlos, el alumno
deberá disponerse a hacer algo, a realizar un procedimiento.
o CONTENIDOS ACTITUDINALES: el objeto a incorporar está
constituido por actitudes, valores y normas. Hacen referencia a los
aprendizajes vinculados a las dimensiones ética y social.
Interacción
Es el intercambio permanente de información, asociaciones y construcción
de conocimientos. Debe ser de doble vía: entre los participantes y el
profesor, y además entre los participantes (multidireccional).
Mediante la interacción los participantes escuchan y son escuchados,
intercambian información de tal manera que mantienen la atención en la
lección.
7 Licenciada Donati, Gabriela. Guía para armar el plan de clases. Pontificia Universidad Católica
Argentina - Facultad de Derecho y Ciencias Sociales del Rosario. Mayo de 2004.
28
El profesor, apoyado en diferentes canales de comunicación8, debe
fomentarla mediante la preparación de ejemplos que generen discusión,
haciendo preguntas, cuestionando al grupo, analizando en conjunto, para
finalmente proponer una síntesis grupal y puntualizando aspectos
relevantes (La interacción debe dirigirse hacia ideas concluyentes).
Realimentación
Consiste en la exploración bi-direccional que el profesor realiza sobre el
avance del grupo, la comprensión del tema y la convicción que prevalece
en una idea.
Su objeto es hacer que profesor conozca del proceso de capacitación.
Puede obtenerse mediante estímulos enviados al grupo o a una persona a
través de una pregunta un juicio o una aseveración. La respuesta indica el
estado de asimilación, duda y otros datos de utilidad.
Evaluación
Debe ser permanente, y no consiste en solo medir o probar. El enfoque de
la evaluación en el MIE, implica que el profesor evalúe conforme a los
objetivos y apoye a cada participante para que él los alcance, corrigiendo
los desvíos que aparezcan en el camino.
No debe ser restrictiva y debe ser dirigida al mejoramiento de procesos y
al estimulo del aprendizaje. No debe convertirse en un proceso mecánico
de verificación, sino que debe tener un sentido formativo puesto que al
8 Algunas personas aprenden mejor escuchando, otras observando y un tercer grupo prefiere
comprobar, experimentar y creer en lo que aprende.
29
hacer énfasis en los objetivos, el participante conoce aquello que tiene que
lograr y se esfuerza por alcanzarlo.
Material de apoyo:
Los siguientes materiales deben ser preparados por el profesor para el
adecuado desarrollo del curso:
Material de referencia (MR)
Documento previo al desarrollo de las lecciones y contiene aspectos
relevantes para el desarrollo de las mismas. Debe contener información
necesaria (prerrequisito) para poder tomar el curso, de tal manera que el
participante pueda contextualizarse antes de las lecciones; ó tener
información sobre el contenido general del curso para profundizar en los
casos en que el participante este interesado y el desarrollo de la misma
lección no lo permite (tiempo, temas priorizados).
Material del participante (MP)
Documento de soporte para el desarrollo de la lecciones, que facilita al
participante la consignación de información relevante de manera
PERSONAL, manteniendo su concentración en el tema, toda vez que el
material está diseñado con espacios, diagramas y otros elementos que
ayudan a que en el proceso de toma de apuntes se refuercen los aspectos
mas importantes de la lección.
Contiene el objetivo de desempeño de todo el curso y los objetivos para
cada lección, así como el desarrollo de sus contenidos. El MP maneja un
formato similar al del Plan de Lección, con la diferencia de que la columna
30
de la derecha se encuentra en blanco y los elementos subrayados del PL
son espacios para diligenciar por el estudiante.
Planes de lección (PL)
Tal vez el documento mas importante, ya que es “la prescripción de
instrucción, el modelo que describe las actividades en las que el
participante debe concentrarse a fin de alcanzar los objetivos del curso”9.
Es una herramienta que sirve como base para preparar y presentar los
contenidos de la lección. Los planes de lección deben contener los
siguientes componentes:
1. Introducción
2. desarrollo
3. repaso
4. evaluación
5. cierre
Estos cinco componentes expresan, en su orden, la lógica de la lección,
permiten al profesor “planear” los contenidos y la manera de abordarlos,
teniendo en cuenta, los momentos de motivación, interacción, refuerzo de
conceptos principales, conclusiones, aclaraciones, etc. que permiten
apropiar y construir conocimientos y habilidades.
9 Robert F. Mager y Kenneth M. Beach, citados en Material de Referencia CPI, versión 2004,
USAID-OFDA
31
Se sugiere un formato para la elaboración del Plan de Lección, que
cuenta con una descripción de la lección, una página de objetivos y un
formato para los contenidos. A continuación se presenta un ejemplo para
explicar las partes del mismo.
Descripción de la Lección Este formato que es de uso exclusivo del profesor, se compone de dos
columnas en las que se presentan los siete aspectos que caracterizan la
lección:
ASPECTO DESCRIPCIÓN
Duración Tiempo en horas que se estima para cada tema.
Puntos a cubrir
Se hace la presentación de los aspectos más relevantes de la lección.
Presenta la enumeración de los conceptos, categorías, y puntos de
interés y que cubren los objetivos de la lección.
Preparación
sugerida
Se sugieren entre otros la lectura de los temas previamente, la
preparación de ayudas didácticas, la preparación de preguntas y
ejemplos.
Sistema de
evaluación Se indica el tipo de evaluación a aplicar, y el tiempo destinado para ello
Materiales y
recursos a utilizar
Se enumeran los materiales necesarios para el desarrollo de la clase. Si
se trata de presentaciones se numeran y se indica el lugar en el que van
dentro del contenido.
(Recuerde que puede utilizar tantas ayudas como necesite)
Importancia de la
Lección
Señala los aspectos de aplicabilidad e la lección, la motivación base de la
lección o el tema a tratar.
Referencias
Se señalan otros documentos de investigación del tema, y se aclara el
uso o utilidad de elementos del formato de contenidos: Los textos al
margen derecho son indicadores para el profesor. Los textos subrayados
y en negrilla son espacios para completar en el MP.
Se recuerda la importancia de guiar el participante a través de preguntas y
orientando el razonamiento, para encontrar conceptos que permitan
complementar el concepto estudiado.
32
Formato de Objetivos El formato que es de uso exclusivo del profesor, puede modificarse. El
que se sugiere consta de:
o Número de la Lección.
o Título
o Recuadro de objetivos
o Columna derecha de interacción en donde se señalan algunos
aspectos que el profesor debe recordar a la hora de presentar
la lección y sus objetivos
Lección Nº…
Título de la lección
OBJETIVOS
Se enumeran los objetivos que se esperan lograr al finalizar la lección.
1. 2. (…)
Formato de Contenidos El formato que es de uso exclusivo del profesor, puede modificarse. El
que se sugiere consta de:
o Título del tema a tratar
INTERACCIÓN (Ejemplo) Presente la lección, Preséntese Indique la importancia de la lección dentro del curso Pida a los participantes leer los objetivos Pida cerrar el MP.
33
o Desarrollo del tema. Aquí se subrayan aspectos de
importancia dentro de la lección, que se quiere que queden
claros y afianzados en los estudiantes. (los mismos en el MP
se constituyen en espacios en blanco que es estudiante debe
llenar)
o Columna derecha de interacción en donde se señalan algunos
aspectos que el profesor debe recordar a la hora de presentar
el contenido de la lección.
EJEMPLO 1. Propiedades de las funciones continuas Teniendo claro que la definición de continuidad, viene directamente de la aplicación de límites, podemos pensar que las propiedades de los límites se heredan a las funciones continuas, estas propiedades descritas verbalmente son:
Suma de funciones continuas es continua
Resta de funciones continuas es continua
Producto de una función continua con una constante, es una función continua
Producto de funciones continuas es continuo
Razón de funciones continuas es continua, si la función denominador no se hace cero
Composición de funciones continuas es continua Estas propiedades al igual que las de los límites se pueden escribir de manera formal:
)(,.60)(,.5.4
.3.2.1
:
,
agencontinuaesfsigfpgsifg
cfgfgf
pencontinuassontambienfuncionessiguienteslas
entoncesnteconstaunacypencontinuasfuncionesgyfsean
g
f
INTERACCIÓN Ellos ya vieron lo de límites, así que llenaran esto con facilidad La composición es la mas complicada y tal vez no se les ocurre ayúdeles Que ellos escriban estas propiedades formalmente solos
34
Ventajas
o Combina la enseñanza individualizada (por el propio estudiante) y
la enseñanza integrada (o estudio en grupo), en el salón de clase.
Los conocimientos resultado de la enseñanza individualizada
asisten la enseñanza en el salón de clase, proporcionado
elementos en el repaso, el afianzamiento de conocimientos y la
aplicación de los mismos.
o En los procesos de interacción se puede hacer uso de técnicas y
modos10 de aprendizaje, además de la participación, tales como:
demostración y práctica, ejercicios de simulación, estudios de caso,
ejercicios de laboratorio, entre otros. Los mismos deben ser
seleccionados por el profesor, dependiendo de los objetivos que
quiere alcanzar.
o Se facilita el proceso de decisión de ¿Qué enseñar? Y, ¿como se
enseña?, debido a que esta dirigido al logro por objetivos. La
teoría, conceptos, procedimientos, etc., que el estudiante debe
conocer se relacionan con la aplicación que se les dará a los
mismos en el desarrollo de la clase y en las actividades propuestas.
o La adecuada planeación de cada una de las lecciones, hace que se
pueda avanzar más durante todo el curso, ya que el manejo de
10
Los modos son el sistema de interacción que se emplea entre los componentes de toda la
situación de aprendizaje para lograr los objetivos preestablecidos. Tomado de Material de Referencia del Curso Capacitación para instructores de USAID – OFDA LAC. Versión enero de 2004.
35
tiempos para cada lección es mas controlado, lo que a su vez
permite abordar mas temas durante el semestre.
o Al ser un método participativo, estimula la interacción entre los
componentes del proceso de aprendizaje (profesor-participante y
participante-participante). Los estudiantes pueden utilizar su tiempo
de manera más efectiva, al tener claros los objetivos del curso: la
posibilidad de distracción disminuye al tener claros los temas a
tratar.
o Da claridad a la evaluación, el participante sabe exactamente que
se espera de el en la evaluación, en función de los objetivos y los
contenidos
o El método permite la realimentación continua. Los estudiantes
reciben mayor atención individual.
o El uso de planes de lección estructurados, permite que la lección se
enfoque en lo realmente deseado y relacionado con el tema
evitando discusiones innecesarias o divagaciones.
Desventajas y dificultades
o Es difícil de aplicar efectivamente en grupos muy numerosos, por
que no se logra el nivel de interacción deseado.
36
o Implica el desarrollo de habilidades, por parte de los profesores, en
el diseño y elaboración de los materiales de apoyo.
o El desarrollo de cada lección debe tener alta dosis de motivación,
para que la interacción sea óptima. Igualmente el profesor debe
propiciar y orientar los espacios para la participación en
intercambio de conocimientos y experiencias.
Aplicación
Se propone la implementación de algunas estrategias del MIE en la
enseñanza de las matemáticas (aunque en principio no fue desarrollado
para tal fin), por las herramientas que suministra en el proceso de
enseñanza-aprendizaje como son: la estructuración de las ideas y el
desarrollo de los contenidos de la clase, que hacen que el profesor se
enfoque en los temas que debe tratar para el correcto desarrollo del
curso.
La aplicación del método permite que el curso que se prepare bajo este
modelo, se pueda utilizar en los cursos iguales que se dicten durante el
semestre, facilitando un mejor seguimiento de los temas dictados, los
tiempos destinados a cada uno de ellos y el énfasis que la materia
requiere. Evita que se alteren los temas o las clases se dispersen, sin que
ello implique que de acuerdo con las circunstancias, las explicaciones de
mayor profundidad que requiera el desarrollo del curso, no puedan ser
impartidas.
37
Concretamente, en lo que respecta al curso de cálculo diferencial, el
método permite al estudiante un acercamiento inicial a las matemáticas
universitarias, facilitando procesos de socialización de su conocimiento
previo, resolución de dudas o inquietudes con la ayuda de sus
compañeros de curso, no solo del profesor.
El MIE en el curso de cálculo diferencial, será aplicado por el profesor en
el desarrollo de sus clases, mediante el uso de los planes de lección en
cada uno de los temas a desarrollar durante el curso. Así mismo, el
estudiante también participará en la aplicación del método, al contar con el
material de referencia y material del participante que será establecido para
cada uno de los temas que componen el curso. Para que esto sea posible,
es necesario que el profesor prepare y/o establezca todos los textos y
materiales de apoyo mencionados anteriormente con suficiente tiempo.
Dichos materiales se prepararan en concordancia con el plan de estudios
de la Universidad de los Andes, para este curso.
Ejemplo
A continuación se presenta un ejemplo de Material de Referencia, Material
del participante y Plan de Lección, que puede ser elaborado y aplicado por
un profesor, en una clase de “Continuidad”, utilizando el Método
Interactivo de Enseñanza - MIE.
El ejemplo tiene por objeto mostrar como se planea la clase con este
método. Algunos de los materiales de apoyo (Plan de Lección), se
constituyen en lecciones desarrolladas para el curso de “Límites,
continuidad y derivadas”, objeto de este documento.
38
Material de referencia
En este caso en particular podríamos definir un material de referencia
como el libro de cálculo: Stewart, James. Calculus, Early Trascendentals.
5ª.ED. internacional Thomson, 2003. Sección 4.7 “problemas de
optimización”, ó podemos desarrollar un documento que profundice el
tema antes mencionado.
Si quisiéramos un documento de referencia para presentar prerrequisitos,
el mismo se puede elaborar bajo los parámetros necesarios. Por ejemplo,
se mostrarían temas como: funciones, límites, derivadas, etc.
Plan de lección
Este documento se presenta en el capítulo: DESARROLLO DE CURSO
“LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS”, APLICANDO ABP-MIE, en la
lección número cuatro (4) “Continuidad” del Curso.
Material del participante
Tiene el mismo formato del plan de Lección, en donde la columna de la
izquierda tiene el contenido y los espacios a diligenciar por el estudiante.
La columna de la derecha esta en blanco y permite tomar notas
adicionales o comentarios de refuerzo sobre el tema tratado.
Para el ejemplo los espacios a llenar son las palabras que están
subrayadas en el plan de lección, es decir, el material de participante es el
mismo plan de lección, sin los comentarios del profesor y con algunos
espacios por llenar.
39
Ejercicios para la aplicación del método MIE
1. Defina los objetivos que quiere desarrollar en la lección en el tema
deseado.
2. Desarrolle los puntos principales a tratar durante su lección.
3. Identifique y elabore el material de apoyo para su lección (MP, MR
y PL) de acuerdo con los requisitos planteados para los mismos.
4. Validar el material. Este proceso requiere constatar que los temas,
la utilización y calidad del material de apoyo, los tiempos
establecidos para cada lección, los objetivos planteados y el
método de evaluación permiten completar con eficiencia el
desarrollo del curso. Producto de esta validación deben surgir ideas
para fortalecer, ampliar o ajustar su diseño.
40
IMPLEMENTACION DEL ABP: Aprendizaje Basado en Problemas
Como queremos una clase óptima, donde se desarrollen además de
habilidades mecánicas, creatividad, solución de problemas, lógica
matemática y modelaje de la vida real, tenemos que relacionar el método
anterior con otro que lo complemente y nos permita cumplir con las
características deseadas.
El método ABP, como método de aprendizaje que plantea algunas
técnicas en la manera de aprender, y que brinda elementos para
solucionar problemas de la vida real al relacionar el conocimiento
aprendido con la cotidianidad, facilita que el estudiante pueda apropiar los
conceptos y mantener niveles de motivación adecuados.
Adicionalmente, este método aporta elementos para el desarrollo de la
cognición y la meta-cognición, que se traducen como el ¿qué se aprende?
y el ¿cómo se aprende?
El ABP permite el desarrollo del método científico, trabajo de
investigación, trabajo en equipo, toma de decisiones, básicamente hacer
ciencia.
¿Que es ABP (PBL) – Aprendizaje Basado en Problemas-?
El ABP es consistente con las visiones filosóficas actuales del aprendizaje
humano, particularmente el constructivismo, según el cual no existen
41
verdades absolutas, sino que las diferentes percepciones (conocimiento),
son elaboradas por el aprendiz con base en un conocimiento previo y en
la visión que recibe con sus sentidos, y las demás formas de interacción
con el mundo.
El ABP es un método de aprendizaje centrado en el alumno, siguiendo los
principios de la teoría del aprendizaje de adultos, donde en un ambiente
controlado se le da un problema, y este lo conduce a aprender. Es decir, a
los estudiantes se les plantea un problema de tal manera que ellos
mismos descubran que necesitan un nuevo conocimiento antes que
puedan resolver el problema, “El problema guía el aprendizaje y nos dice
que necesitamos saber”.
Es un método que permite aprender los conceptos, contextualiza en un
ambiente que enriquece el aprendizaje (qué se necesita saber para poder
resolver el problema). Además, desarrolla actitudes de responsabilidad,
compromiso, solidaridad y habilidades de investigación, sociales y de
comunicación.
De otra parte, se genera el deseo por aprender profundamente los temas,
gracias a la motivación que da el problema y no simplemente por pasar los
exámenes, aunque sabemos que este aprendizaje profundo no es fácil.
Ventajas
o Al no depender exclusivamente de los profesores, los estudiantes
pierden el miedo a la investigación y desarrollan habilidades de
auto-aprendizaje “aprenden a aprender”
42
o Al ser problemas con los cuales se podrían encontrar en la vida
profesional, ven una clara aplicación de los conocimientos
adquiridos.
o Engranar el conocimiento previo y el adquirido al contexto del
problema hace que apropiemos el conocimiento, ayudando a un
aprendizaje de largo plazo.
o Como son problemas que presentan retos, la motivación de los
estudiantes por adquirir el conocimiento y poder resolver el
problema aumenta considerablemente.
o Un solo problema puede abarcar más de un solo tema, esto hace
que se puedan sintetizar varios cursos a uno solo, identificando lo
que necesitamos saber de cada curso.
o Se elimina la transmisión pasiva de conocimiento
Desventajas y dificultades
o Estamos acostumbrados al aprendizaje basado en materias
(cálculo, física, química, etc.), pasando exámenes de temas
particulares y uno cada vez, esto dificulta la aceptación de un nuevo
método, ”mejor malo conocido, que bueno por conocer”.
43
o Al estar acostumbrados a un método basado en materias;
establecer roles entre los estudiantes y el profesor es una de las
principales dificultades de este método.
o El desarrollo de habilidades por parte de los profesores, como
profesores de procesos de aprendizaje y no como transportadores
de información.
o Se requiere de gran trabajo por parte del profesor, ya que debe
diseñar uno o varios problemas cuya solución exija a los
estudiantes haber logrado todos los conocimientos teóricos y
prácticos del curso.
o Los problemas propuestos deben ser motivadores y efectivos, es
importante tener en cuenta que deben ser tomados de la vida
cotidiana ó del ámbito profesional. Deben ser retadores y
relevantes para los estudiantes y pensados de tal manera que
pareciendo simples, no puedan ser resueltos hasta adquirir los
conocimientos necesarios
o Existe la sensación que se desperdicia mucho tiempo, porque
como hay tanto tiempo para la investigación, se cree que ese
tiempo es poco productivo.
o El ABP asume que los estudiantes tienen habilidades para el
desarrollo de problemas, que no siempre pasa. (Aunque no es una
44
desventaja del método podría hacer dificultoso el desarrollo del
mismo).
o En el ABP es difícil controlar el tiempo de resolución del problema,
pueden haber estudiantes que lo resuelvan en una clase y otros
que necesiten varias para poderlo resolver.
Etapas y Pasos para desarrollar el ABP
Podemos descomponer el desarrollo del ABP en 3 etapas11, que
corresponden a los momentos por los cuales se debe pasar el proceso de
aprendizaje de los estudiantes, con la aplicación de este método.
Etapa 1
o Presentación y definición del problema
Identificar que necesitamos saber, esto se hace con lluvia de
ideas: ¿Qué sabemos?, ¿Qué no sabemos?, ¿Qué creemos
saber?
11
Estas etapas se establecen de acuerdo con lo planteado por Donald R. Woods en su libro Problem-based Learning: How to game the most from PBL. Pág. 2-2.
Inicio
Etapa 1:
Problema
Etapa 2:
Investigación
“Aprendizaje”
Etapa 3:
Realimentación
45
Un buen problema tiene tres características principales: no hay una única
manera de resolverlo, no hay una única solución y la presentación de la
información puede ser incompleta ó tener más de la necesaria. (Un
ejercicio, por el contrario, cuenta con información necesaria y plantea la
ruta para llegar a la solución, que es única).
Etapa 2
o Los estudiantes aprenden, investigan, adquieren información
adicional por su cuenta, afuera del grupo tutorial (clase),
pueden consultar distintas fuentes (libros, especialistas, etc.)
para que su aprendizaje sea integro.
Etapa 3
o El estudiante aplica el conocimiento aprendido, siguiendo
una ruta dada por el tutor durante la sesión, donde se
estimula a la reflexión sobre lo aprendido acerca de las
preguntas realizadas desde un comienzo.
o Se explora sobre cuales preguntas ya han sido resueltas
mediante el proceso de investigación por parte de los
estudiantes, y si se han generado nuevas preguntas para
nuevas investigaciones.
o El uso activo de los nuevos conocimientos adquiridos y una
buena realimentación sobre la asimilación de lo aprendido
ayuda a incorporar la información a la memoria de largo
plazo.
46
o Cambiándole información al problema ya utilizado, o con un
problema nuevo, de modo que se generen nuevas pautas
para un conocimiento próximo.
o Dos de los conceptos mas importantes que se deben tener
en cuenta al momento de realizar esta etapa y en donde la
mayoría de las veces se falla, son la cognición y meta-
cognición. Se presentan en el momento de la realimentación
y consisten en la conceptualización de lo aprendido y cómo
se aprendió, para que el conocimiento se afiance e
interiorice.
Aplicación
Se aplicará el ABP en el curso de cálculo diferencial, mediante el
desarrollo de un “problema transversal12” en todo el semestre, que
consiste en establecer un problema que se divide en momentos de
acuerdo con los conocimientos que deban aplicarse para resolverlo. En
cada uno de estos momentos se cambiaran las condiciones del problema,
de tal manera que, se incrementa la complejidad y se suman
conocimientos para su resolución.
Ejemplo
Asumamos que el tema por enseñar en cálculo diferencial es “optimización
de funciones polinómicas de segundo orden”, así que lo primero que debe
hacer el profesor es plantear el problema, hay que tener en cuenta lo
12
La trasversalidad en este caso se refiere a que el problema será aplicado a lo largo de los diferentes momentos del curso, e involucra los diferentes temas desarrollados durante el mismo.
47
antes mencionado para el diseño del mismo (motivación, simple, retador,
relevante, etc.)
Problema que podríamos aplicar en este tema particular es:
A. “Una empresa ensambladora de cajas, le ha solicitado a usted que
diseñe una caja tetrapack, partiendo de una lámina de cartón que
produce una máquina, de tal manera que la empresa obtenga cajas
de mayor volumen”
Teniendo en cuenta que vamos a trabajar siguiendo el ABP, el proceso a
seguir es el siguiente:
El profesor debe realizar la primera etapa del ABP (lluvia de ideas: ¿Qué
sabe? ¿Qué no sabe?, etc.).
Para que la socialización sea productiva y motivante, es importante
proponer preguntas y escoger preguntas de las propuestas por los
estudiantes, para avanzar en el tema.
Luego, teniendo en cuenta que la idea de estas dudas es que los
estudiantes investiguen, no se les deben dar pautas de trabajo: ellos
deben resolver el problema (El profesor ya sabe cómo se resuelve).
Los estudiantes deben plantear dudas tales como:
“¿de qué tamaño es la lamina?”
“¿qué características debe tener la caja que se quiere construir?”
48
“¿los dos problemas son iguales?”
Además, deben saber cosas del tipo:
“el volumen de la caja”
“el área de una lámina”
“características de la caja”
En este caso el profesor debe evitar hacer comentarios como:
“la caja se debe cortar de tal manera…”
Los estudiantes después de hacer la investigación (el tiempo de
investigación lo decide la dificultad del problema y la cantidad de cosas
que se deben saber para su resolución) y resolver el problema, deben
revisar todos los conceptos que están atrás de esta respuesta.
De esta manera se llega al proceso de realimentación de los
conocimientos adquiridos y el ciclo vuelve a comenzar.
Como nuestro caso plantea un “problema transversal” la idea es que para
las siguientes lecciones se siga con el mismo problema pero haciendo
algunas modificaciones, de tal manera que aumente la dificultad y los
conocimientos necesarios para llegar a su resolución.
En este caso, si la lección es “optimización de funciones polinómicas de
tercer orden”, un nuevo problema relacionado con el anterior, que ahora
requiere conocimientos de la nueva lección, sería:
49
B. “En la empresa productora de leche, desean envasarla en cajas de
un litro, que es la presentación más comercial. Al comprar las cajas
piden al productor de las mismas, que les permita dar el material
para elaborarlas”
El problema que podría relacionar los dos anteriores A y B, sería:
C. Si se quieren almacenar 24 cajas de leche, cada una de un litro,
¿qué tamaño debe tener la lámina con la que se hará la caja donde
estas se almacenarán, para que la empresa obtenga menor pérdida
de material?
Se seguiría de la misma manera hasta culminar los objetivos planteados
por el curso ó hasta que no le pudiéramos sacar mas provecho al
problema y necesitáramos cambiarlo (la idea en el problema transversal
es que solo se necesita uno para abarcar todos los temas).
Ejercicios para la aplicación del método ABP
Estos ejercicios están dirigidos a aquel interesado en desarrollar
habilidades para la implementación del ABP. Su finalidad es familiarizar al
profesor ó interesado, con los pasos del método para el planteamiento de
problemas y desarrollo de cursos siguiendo el mismo.
1. Plantee un problema, no ejercicio, del tema que usted desee, de tal
manera que cumpla con los requisitos planteados por el ABP. Hint:
50
Empiece por temas breves y luego aumente la dificultad. Recuerde
la diferencia entre problema y ejercicio.
2. Suponiendo que usted quiere enseñar a alguien el tema escogido
en el numeral 1. y desea seguir el ABP, que respuesta espera de
sus estudiantes en la primera etapa y cuales serian los errores más
comunes en los que usted como tutor podría caer.
3. Ahora suponga que usted quiere desarrollar un ejercicio transversal
con el tema antes escogido, que modificaciones le realizaría al
problema planteado en el numeral 1. de tal manera que aumente la
dificultad, sin que se pierdan las características requeridas por el
ABP.
51
ENSAMBLAJE DE LOS MÉTODOS Los dos métodos nombrados anteriormente se pueden clasificar dentro de
las corrientes Conductista y Constructivista respectivamente y si bien
pueden presentar elementos totalmente opuestos también cuentan con
otros que al interrelaciónalos pueden tener efectos positivos en el proceso
de enseñanza – aprendizaje como un método mixto.
El constructivismo, representó un cambio significativo frente al enfoque
tradicional o conductista, toda vez que propone al estudiante, dentro del
proceso de enseñanza – aprendizaje como un protagonista del mismo y
no como solo un receptor de conocimientos. Hay un paso de la mentalidad
de considerar al docente como transmisor del conocimiento y conocedor
exclusivo para darle un papel de mediador o facilitador en el proceso de
aprendizaje. El estudiante por su parte, interactúa de forma colaborativa
para construir el conocimiento.
No se trata de demostrar que existe o no un modelo ideal en el proceso de
enseñanza – aprendizaje, los dos métodos presentan ventajas y
desventajas y justamente ello es lo que lleva a proponer una estrategia
mixta, en la que se utilizan las ventajas de los dos métodos: MIE y ABP y
las dos perspectivas que los caracterizan: Conductismo y Constructivismo.
Desde el punto de vista de las perspectivas es importante señalar que
como elementos a rescatar en la perspectiva conductivista se encuentra
el manejo de los aspectos de tipo organizativo como la definición de la
estructura del curso, la enunciación de objetivos y el manejo de las
52
evaluaciones; y desde la perspectiva constructivista, por su parte, están el
proceso de retroalimentación, las actividades individuales y grupales, que
contribuirán al logro de los objetivos y la construcción de conocimiento
colectivo y las relaciones que se pueden generar con el entorno.
A continuación, se presenta un cuadro con los elementos que de cada
método se consideran para la propuesta.
MÉTODO PERSPECTIVA ELEMENTOS DE LA PROPUESTA
Aprendizaje basado en problemas
(ABP)
Constructivista
Elaboración e implementación de un problema transversal para investigar que motiva a los participantes. Los resultados se utilizan para orientar a los participantes hacia los objetivos del curso y las necesidades de los estudiantes.
Organización de los temas para facilitar al estudiante la profundización en los temas de mayor interés personal.
Utilización del conocimiento previo de los estudiantes para la construcción de relaciones y nuevo conocimiento.
Énfasis en el desarrollo de actividades en equipos de trabajo para facilitar la construcción y socialización del conocimiento.
Desarrollo de actividades de revisión para promover la reflexión critica. (Realimentación)
Desarrollo del curso como un micro mundo, que permite la simulación de aplicabilidad de lo aprendido en la vida real, así como de las competencias y habilidades que se esperan lograr al finalizar el curso.
53
MÉTODO PERSPECTIVA ELEMENTOS DE LA PROPUESTA
Método Interactivo
de Enseñanza
(MIE)
Conductivista
Desarrollo del material de estudio a manera de guía y contenidos para que el estudiante desarrolle su propia aproximación al tema.
Manejo administrativo por semanas, secciones y temas de acuerdo a las limitantes de tiempo y recursos.
División del conocimiento en fragmentos de fácil distribución.
Diseño de los objetivos del curso siguiendo criterios específicos según las competencias y habilidades que se desea generar en los estudiantes.
Planeación de la clase, mediante el uso de planes de lección, planeando espacios para .de interacción.
Propuesta
Conductivista y constructivista
Planteamiento del problema transversal como motivación e introducción a los temas a tratar en las diferentes lecciones. El mismo, permite ubicar situaciones de la cotidianidad, así como la aplicación de los conceptos a la vida real.
Con esta propuesta se facilita un proceso de amplia participación debido al rigor en la planeación del curso.
o Fortalecimiento del aprendizaje individual, al promover proceso investigativos, evaluaciones precisas con base en los objetivos y el desarrollo del problema transversal.
o Ambiente propicio para la negociación social, el trabajo colectivo, la reflexión crítica y la creación de escenarios simulados y micro mundos en donde los participantes pueden relacionar los conocimientos adquiridos con las situaciones del entorno.
54
MÉTODO PERSPECTIVA ELEMENTOS DE LA PROPUESTA
o El estudiante como el del profesor, tiene un papel equilibrado (MIE: profesor, ABP: estudiante)
Con la combinación de estos elementos de los dos métodos, se busca que
el proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática, sea un proceso
de elaboración. Es decir, un proceso donde el estudiante selecciona,
organiza, transforma y recuerda la información que recibe de las diversas
fuentes, y es capaz de establecer relaciones entre ésta, sus conocimientos
previos y el mundo en el que habita.
Puntos de encuentro y Propuesta del autor
El ensamblaje de los dos métodos se da a partir de aquellos elementos
que son ventaja en cada método y conlleva a que las desventajas de uno
u otro método puedan ser potencialmente transformadas de forma
positiva.
Como ejemplo tenemos los espacios existentes al aplicar el ABP, entre
lección y lección y que se destinan a investigación individual o trabajo en
equipo. Los espacios se pueden complementar con las lecciones
planeadas con el MIE. Esta situación de soporte teórico en los espacios
mencionados, ayuda a profundizar en los conceptos y categorías para
posteriores avances en los temas a tratar y evita que el estudiante vea
estos espacios de tiempo como tiempos muertos.
55
Igual situación se presenta con los modos de interacción del MIE, en
donde si se plantean de forma adecuada los ejercicios y los ejemplos se
puede llegar a simulaciones, estudios de caso y en particular se llega al
planteamiento del problema transversal.
Teniendo en cuenta los aspectos anteriormente mencionados de los dos
métodos y de las dos corrientes en que se sustentan, la propuesta objeto
de este documento se estructura como una opción metodológica para la
enseñanza – aprendizaje de las matemáticas. Está dirigida a los
profesores en primera instancia y a los estudiantes en segundo lugar, en
la medida en que se constituye en una visión intermedia entre los métodos
y una posibilidad de interacción que saca a los actores mencionados de
procesos memorísticos y coyunturales a que estamos acostumbrados.
Las características de la propuesta se señalan a continuación:
Planificación de lecciones siguiendo el modelo del Método
Interactivo de Enseñanza – MIE (objetivos, contenidos, interacción,
planes de lección).
Manejo de tiempos con la ayuda de la planificación de lecciones y
la programación de momentos de interacción y de trabajo en
equipos.
Planteamiento de un problema antes de la presentación de las
lecciones necesaria para su resolución, de manera que se convierta
en un medio para motivar e introducir los temas a tratar a lo largo
del curso. El problema es transversal a las lecciones, a partir de
modificaciones que se hacen al enunciado inicial y que implican que
el estudiante adquiera nuevos conocimientos para su solución.
56
Realimentación como eje de la cognición y meta-cognición, (ABP) y
como medio para la confirmación del conocimiento aprendido (MIE).
Incentiva procesos investigativos individuales y colectivos, que
facilitan las construcciones conceptuales, deducciones formales,
pensamiento categorial y la apropiación de los mismos, a partir de
las definiciones trabajadas en el curso y la solución del problema
transversal.
El método propuesto cubre tres aspectos importantes en el proceso
de enseñanza - aprendizaje:
o Aprendizaje como una actividad individual: el estudiante
marca los niveles de apropiación del conocimiento de
acuerdo a factores cognitivos y de habilidades propias. (Este
aspecto se relaciona en la propuesta con los dos métodos).
o Trabajo en equipo: la interacción social favorece el
aprendizaje mediante la creación de discusiones cognitivas
que causan un cambio conceptual. Este intercambio de
información entre compañeros, que tienen diferentes niveles
de conocimiento, provoca una modificación de los esquemas
del individuo y acaba produciendo aprendizaje, y mejorando
las condiciones motivacionales. (Este aspecto se relaciona
con el ABP, en la solución del problema y con el MIE en los
espacios de interacción).
o Construcción y socialización del conocimiento: el estudiante
adquiere información y aunque él realice también una
actividad individual, el énfasis debe ponerse en el
intercambio social. (Se relaciona con el ABP).
57
DESARROLLO DEL CURSO:
“LÍMITES, CONTINUIDAD Y
DERIVADAS”, APLICANDO ABP-MIE
Este curso esta planteado a manera de ejemplo, para aquellos profesores
que se interesen en aplicar la propuesta descrita anteriormente, en alguno
de sus cursos.
Se ha desarrollado un Curso de Cálculo Diferencial siguiendo el programa
de Cálculo Diferencial, dictado en la Universidad de los Andes pero
estructurado a partir de Planes de Lección desarrollados siguiendo el MIE.
En las lecciones 1 y 5 del curso se presenta el problema transversal es
sus dos momentos como desarrollo del método ABP.
En el desarrollo de este ejemplo, el profesor puede ver tanto la
importancia de la planificación de la lección -incluyendo la interacción
(columna de la derecha de los Planes de Lección)-, como la de la
aplicación del problema transversal.
El curso se pensó para mostrar la aplicación de los dos métodos (MIE y
ABP), de manera paralela, y las ventajas que representa en el proceso de
enseñanza – aprendizaje tanto para el profesor como para el estudiante.
58
Esta simbiosis presenta todas las características deseadas que fueron
consideradas como motivación para la elaboración de este documento, en
la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas e implica esfuerzos tanto
del profesor como del estudiante para el óptimo desarrollo del curso, y
como fin último, para que el proceso de aprendizaje de los estudiantes sea
efectivo.
Se tomaron como material de referencia los Libros Calculus, Early
trascendentals. 5a Edición. Internacional Thomson, 2003 de Stewart,
James, y Cálculo y geometría analítica 6ª Edición. Volumen 1. Editorial
Mc. Graw Hill de Larson, Hostetler y Edwards.
El curso se ha estructurado en (6) seis lecciones para una duración total
de 13 horas, distribuidas así:
LECCIÓN TIEMPO
Introducción 1 hora
Límite de una función 2 horas
Cálculo de límites 2 horas
Continuidad 2 horas
Límites al infinito 2 horas
Razones de cambio, la derivada y su función 4 horas
El tiempo asignado a cada lección esta dado por el programa de cálculo
diferencial de la Universidad de los Andes, y puede estar sujeto a
modificaciones, teniendo en cuenta que no se ha realizado su
implementación.
59
PLANES DE LECCIÓN
A continuación se presentan los planes de lección que constituyen el
curso. El material del participante no se incluye de forma explicita en este
documento, pero son los mismos planes de lección modificados así: la
columna derecha esta en blanco para uso del estudiante y las partes
subrayadas se suprimen para dejar espacios para llenar.
Los ejemplos y los ejercicios no están escritos, debido a que el profesor
puede escogerlos, de acuerdo con las secciones de cada una de las
lecciones y el énfasis que requiera su clase.
La evaluación final de cada lección, así como la del curso, debe
elaborarse siguiendo los objetivos del curso y de cada una de las
lecciones dictadas, teniendo en cuenta que estas permiten revisar
conceptos y verificar el cumplimiento de los objetivos (son formativas).
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-1
Descripción de la Lección 1. Introducción
Duración 1 hora
Puntos a cubrir
Presentación del profesor y algunos antecedentes, de
los participantes y del curso
Propósito, objetivos y evaluación
Trabajo en grupo y en equipo
Principios para la solución de problemas
Introducción al ejercicio transversal, organización de
equipos de trabajo.
Preparación
sugerida
Tener clara la primera etapa del ABP, para poder
orientar a los estudiantes.
Sistema de
evaluación Esta primera lección, no tiene evaluación
Materiales y
recursos a
utilizar
Tablero
Marcadores borrables
(recuerde que puede utilizar tantas ayudas como
necesite)
Importancia de
la Lección
Es importante para el desarrollo del ejercicio
transversal, base del desarrollo del ABP
Referencias
Los textos al margen derecho son indicadores para el
profesor. Los textos subrayados y en negrilla son
espacios para completar en el MP.
Recuerde guiar al participante a través de preguntas y
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-2
orientando el razonamiento, para encontrar conceptos
que permitan complementar el concepto estudiado.
Posteriormente concluya o cierre las intervenciones
para llegar a los conceptos correctos.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-3
Lección 1 Introducción
OBJETIVOS Al finalizar esta lección el participante será capaz de:
1. Recordar los nombres y algunos antecedentes de los
participantes y el profesor. 2. Describir el propósito del curso, los objetivos, el método
de evaluación, el método a utilizar y otros detalles de importancia para el desarrollo del mismo.
3. Caracterizar el trabajo en grupo y el trabajo en equipo.
4. Describir cada uno de los principios para la solución de problemas.
5. Plantear un primer plan para el desarrollo del ejercicio transversal.
Presente la lección, Preséntese Indique la importancia de la lección dentro del curso Pida a los participantes leer los objetivos Pida cerrar el MP.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-4
1. Propósito del curso Al finalizar el curso los participantes desarrollarán habilidades y destrezas en la resolución de problemas de “límites, continuidad y derivadas”, mediante actividades de trabajo en equipo y aplicando el método de investigación.
1.1. Objetivo de desempeño Los participantes, en equipos de trabajo de 6 a 8, serán capaces de desarrollar a lo largo del curso un problema planteado con el ABP (aprendizaje basado en problemas), y presentarlo en un tiempo no mayor a 20 minutos.
1.2. Objetivos del curso Definir los conceptos de límite.
Definir los conceptos de derivadas.
Ser capaz de trabajar en equipo para el eficiente desarrollo de un problema
Resolver problemas referentes a los temas del curso
2. Método Enseñanza-Aprendizaje El curso se presenta con elementos del método Interactivo de enseñanza (MIE) y del aprendizaje basado en problemas (ABP). Los objetivos expresan conocimientos y habilidades que se deben obtener en el curso y señalan los puntos claves a evaluar. Se requiere de la participación activa y permanente del los participantes para lograr los objetivos y el propósito del curso. Se utilizarán: Material de Referencia: MR Material del participante: MP
Haga que lean esto en el material del participante y que aclaren todos los aspectos
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-5
REGLAS DEL CURSO Preguntar, opinar, aportar, escuchar lo que dicen los demás respetando las intervenciones, favorece el método y estimulan el conocimiento. Los celulares, beepers y demás dispositivos de comunicación deben estar en modo silencio o apagados para evitar interrupciones durante la lección. Las preguntas, inquietudes o dudas que no se logren resolver durante la lección, serán aclaradas o resueltas al inicio de la siguiente lección ó en las horas extras de atención del profesor.
EVALUACIONES
Se evaluarán los objetivos al final de cada lección, y al final del curso se evaluará el objetivo de desempeño propuesto. Es importante que las evaluaciones sean acordes con los objetivos planteados en cada una de las lecciones y se incluirán problemas ligados con los mismos.
3. Trabajo en grupo vs. trabajo en equipo
El ser humano como ser social, desde los inicios de la humanidad se ha agrupado con sus pares para sobrevivir. Esta agrupación le brindó facilidades para obtener alimento, abrigo, protección y reconocimiento. Con el fin de obtener un objetivo común, las personas tuvieron y tienen la necesidad de reunirse. Las habilidades y conocimientos de esas personas resultan indispensables para lograr lo que se proponen. No obstante, la salida o entrada de uno de sus componentes no debe afectarlo de manera significativa. Una definición de grupo sumamente amplia es la que lo caracteriza como a un conjunto de objetos (personas, cosas, etc.), de tamaño n sin
El profesor tiene total autonomía de decidir cual es el porcentaje de las evaluaciones, pero es importante aclararlo en esta lección
Pregunte ellos que creen que es un grupo y su diferencia con un equipo Es importante que los estudiantes tengan claras estas definiciones, porque el trabajo que se realizará en la aplicación del problema transversal, implica trabajo en equipo para el adecuado desarrollo del aprendizaje.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-6
que el valor de n este rígidamente determinado. Sin embargo el valor n no puede ser demasiado grande. 13 Los grupos tienen como característica primordial el reconocimiento de un sujeto, objeto o situación como de común importancia. Tienen su propia dinámica y tienen características diferentes según el tipo de interés que lo funda o de grupo del que se hable. Los grupos pueden ser: PRIMARIOS Su fundamento es la solidaridad y el afecto. Eligen sus propios objetivos, siendo el principal el de mantenerse como grupo. Sus normas que nacen de ellos mismos, pueden ser implícitas, lo cual no evita que todos sus miembros las conozcan y las vigilen. SECUANDARIOS Formados y regidos por instituciones. Su estructura responde a normas jurídicas, políticas, económicas, educativas y otras creadas por la institución, que además fija los objetivos a lograr. Cuando los grupos desarrollan trabajo conjunto, participativo, en el que cada miembro cumple una función específica e indelegable, que se articula con la de otros en un orden determinado e interdependiente, se generan cambios en los sistemas, hay transformación. Un sistema así formado es un EQUIPO. CARACTERISTICAS DEL TRABAJO EN GRUPO Las siguientes características son básicas en el trabajo en grupo:
METAS: Lo que el grupo debe alcanzar.
COHESION: Grado de atracción que se ejerce sobre los integrantes
NORMAS: Las internas reconocidas por los integrantes.
ESTRUCTURA: Pueden ser informales o representadas por organigramas (formales).
PARTICIPACION Y LIDERAZGO: si el poder y la condición de sus miembros es pareja, equilibrada, el grado de participación será mayor.
13
http://www.monografias.com/trabajos11/grupo/grupo.shtml
Es el curso de cálculo, que hace parte la U de los Andes, es un grupo secundario. En su interior habrá grupos primarios “la rosca de los amigos” Hay que aclarar la diferencia entre grupo y equipo, que es: el equipo es un grupo, que tiene un objetivo común y se ORGANIZA para alcanzarlo, asignando funciones a cada uno de sus miembros
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-7
TRABAJO EN EQUIPO Un equipo es un sistema, un grupo de personas organizadas para un trabajo o investigación. Cada uno de sus miembros tiene una función específica, interdependiente y convergente con las de los demás. Las mismas se orientan a cumplir actividades de interés común. Los siguientes elementos nos permiten dar claridad a la definición:
PROPOSITO COMUN
FUNCIONES ESPECIFICAS
INTERDEPENDENCIA
CONVERGENCIA
COMPROMISO COMPARTIDO CARACTERISTICAS BASICAS DE UN EQUIPO DE TRABAJO Los equipos de trabajo tienen unas características que les permiten ser más eficaces:
1. Participación: Ninguno de los miembros del equipo puede ser excluido o auto-excluirse. Todos deben participar en el análisis de hechos o ideas y en la búsqueda o generación de soluciones.
2. Comunicación: La interdependencia es clave en el trabajo en equipo, por ello es importante comunicar a los otros la información que se posee. “COMUNICAR ES MAS QUE INFORMAR”. La comunicación es un intercambio de entendimiento entre las personas. El líder de un equipo debe propiciar el ambiente para intercambiar ese conocimiento, favoreciendo no solo la confianza de los miembros del equipo, sino también la eficiencia en el cumplimiento de objetivos.
3. Pertenencia: Es lo que se conoce como sentido o espíritu de equipo. Se forma mediante la participación, la creatividad, el logro de los objetivos, y la satisfacción individual de sus miembros.
4. Capacitación conjunta: Se refiere a la promoción permanente de aprendizaje en equipo, mediante el diálogo, la discusión y la disciplina. Evita la rutinización y fortalece los conocimientos, las habilidades y la creatividad. Para cumplir con el objetivo propuesto, el equipo debe:
Identificar y definir el problema
Producir opciones de solución
Seleccionar las opciones adecuadas y factibles
Elaborar un plan para su aplicación Implementarlas, evaluarlas y ajustarlas si es necesario
Explicar cada uno de los elementos de la definición mediante ejemplos
Mas participación mas puntos de vista, mas soluciones. Esta participación debe ser ordenada y efectiva. No perder el objetivo o la meta.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-8
4. Principios para la solución de problemas
Aunque no existen reglas bien definidas y rápidas que garanticen el éxito en la solución de problemas, es posible dar algunos pasos generales y aprender algunos principios que resultan ser útiles en la solución de problemas, estos pasos no son más que sentido común hecho explicito. Se han adaptado desde el libro “How to solve it” de George Polya. Estos pasos son:
a. Entender el problema b. Pensar en un plan ó estrategia c. Llevar a cabo el plan d. Mirar retrospectivamente
Ahora desmenucemos cada uno de estos pasos Entender el problema Aquí el primer paso es leer el problema y asegurarse de entenderlo con claridad, hágase las siguientes preguntas: ¿Qué sé? ¿Qué no sé? ¿Qué condiciones tengo? ¿Qué se puede cambiar? Para muchos problemas resulta útil hacer un diagrama e introducir la notación apropiada. Por ejemplo:
x, y ò z para variables desconocidas
V para el volumen
t para el tiempo Pensar en un plan
Haga que alguien lea esta introducción Haga una lluvia de ideas sobre lo que ellos creen que deben ser los pasos Utilizando lo dicho por ellos concrete los 4 pasos y haga que lo escriban en su MP Deje que ellos hablen lo que significa este punto y hágalos llegar a cuales son las preguntas que deben hacerse Concrete las preguntas, pero deje claro que entre mas preguntas se hagan mas conocen del problema Deje que ellos den ejemplos para una buena notación ò ejemplos donde es útil hacer diagramas
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-9
Con frecuencia ayuda preguntarse “¿Cómo puedo relacionar lo conocido con lo desconocido?”, si no ve una relación inmediata, las siguientes ideas pueden ser útiles para idear un plan:
intente reconocer algo familiar
intente reconocer patrones
use analogías
introduzca algo nuevo
establezca casos
resuelva hacia atrás
establezca metas intermedias
razonamiento indirecto (contradicción) Llevar a cabo el plan En el paso anterior ideó el plan. Al ponerlo en práctica tenemos que comprobar cada etapa y escribir detalles que demuestren que todos nuestros pasos son correctos, sin omitir detalle. Mirar retrospectivamente Luego de completar una solución, es importante revisarla, no solo para ver si cometimos algún error, sino que también podemos pensar en una manera más fácil ó elegante de solución, recuerde que cada problema tiene tantas maneras de resolverse como observaciones del mismo, además entender una solución puede ser útil para resolver un problema futuro.
5. Problema transversal – Momento inicial
Recuerde que hay tantos ejercicios como se le ocurran, en este caso trabajaremos con un ejemplo. Esta parte de su plan de lección no aparece en el manual del participante Organice el curso por equipos de trabajo, de 6 a 8 personas, recuerde que esos equipos van a trabajar durante todo el curso, así que es importante una buena distribución, unas sugerencias son:
Por carreras afines
Por orden aleatorio
Haga una lluvia de ideas, para ver ellos que creen sobre el “pensar en un plan” Relacione lo que ellos dijeron con los ítems que va a hacer llenar en el MP De ejemplos de cada ítem o haga que ellos los den Haga que alguien lea y que saquen conclusiones Que alguien lea, entre todos llenen los espacios en blanco ACLARE QUE NO ES UNA VERDAD REVELADA, SOLO ALGUNOS PASOS UTILES
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-10
Que voluntariamente se organicen Después de organizados los equipos distribuya el material con el enunciado del ejercicio transversal. Después de 5-10 minutos de lectura empiece con la primera etapa del ABP. Indague sobre lo que saben, lo que no saben, lo que entienden y lo que deben investigar sobre el problema, y déjelos que trabajen como equipo, no resuelva todas sus dudas deje que ellos investiguen eso hace parte del aprendizaje Comentarios para el profesor: Este problema presenta características importantes para la correcta implementación del ABP (ver página XXXX de este documento). Es un problema totalmente anti-intuitivo que al ser solucionado aclara y desarrolla los conceptos de “limites” e “infinito”. El problema en su momento inicial motivará el aprendizaje de la mayoría de conceptos a abordar en las lecciones 2, 3,4 y 5. Por ello el mismo debe presentarse al finalizar la lección 1. Para que éste sea desarrollado de manera adecuada y para que el estudiante aprenda los conceptos deseados, es importante que el profesor tenga claras los siguientes aspectos del problema, que corresponden a aquellos que se esperan que el estudiante enfrente en el momento de conocer el problema:
o Las dimensiones de un camión del cerrejón y relacionarlas con las dimensiones de los bloques
En su motivación está la clave del éxito del ejercicio!!!
Lluvia de ideas sobre el ejercicio y cree un abrebocas para la investigación, NO LO RESUELVA Deje que ellos den todas las posibilidades. Las dudas puntuales de los equipo de trabajo las puede resolver en el horario de atención a estudiantes.
Ud. Diga si hay preguntas y aclare los conceptos explicados Haga que vuelvan al MP1.1 y que lean los objetivos, pregunten si han quedado claros y haga la despedida y el paso a la siguiente lección
PROBLEMA TRANSVERSAL – MOMENTO INICIAL “En rescate vehicular se utilizan cuñas escalonadas para estabilización de vehículos, antes de hacer el acceso al paciente. Las cuñas son bloques de madera de 10 cm. x10 cm. x50 cm., y se van poniendo corridas una sobre la otra, de acuerdo con la necesidad. Se accidenta un camión transportador del Cerrejón, ¿Un rescatista lo podría acuñar, si contara con todos los bloques de madera que quisiera?”
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-11
o ¿Qué es una cuña escalonada y cómo se construye? o ¿Dónde esta la dificultad del problema después de tener claros
los puntos anteriores? Posteriormente, se pasa a resolver estos puntos con los estudiantes para entender por qué el problema ayuda con el aprendizaje del concepto de límites Para esto realizaremos un dibujo:
En este dibujo podemos ver los puntos señalados anteriormente, la relación de tamaños entre los bloques de madera y el vehiculo que queremos estabilizar, además de conocer la forma de las cuñas escalonadas Ahora, nuestro punto es saber ¿dónde esta el problema con este problema y por qué solucionarlo nos ayuda a entender los conceptos de limites e infinito? Y la respuesta es simple: este problema se reduce a preguntar ¿es posible hacer cuñas escalonadas lo suficientemente altas y anchas como para estabilizar un vehiculo tan grande? La respuesta a esta pregunta, que intuitivamente nos dice que es imposible, porque al construir la cuña escalonada, va a ser muy alta y
Cuña
escalonada
Cerrejón
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II INTRODUCCION PL 1-12
ancha lo cual la puede hacer inestable (los bloques se van a caer), pero al hacer el modelaje matemático del problema podemos ver que es simplemente un límite que tiende a infinito. Así, con este problema abarcamos dos de los conceptos base del curso: INFINITO y LÍMITE.
6. Resumen Enfatice los conceptos claves de la lección:
Trabajo en grupo y trabajo en equipo
Principios para la solución de problemas
Motívelos para el desarrollo del ejercicio transversal Por ultimo revise los objetivos planteados para esta lección y verifique su cumplimiento.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LIMITE DE UNA FUNCION PL 2-1
Descripción de la Lección 2. Límite de una función
Duración 2 horas
Puntos a cubrir
Motivación a los límites.
Definición y notación de límites.
Definición de límites laterales.
Límites infinitos y asíntotas verticales.
Preparación
sugerida
Recuerde que la motivación es uno de los factores
más importantes al utilizar este método.
El concepto de “infinito” es complicado y debe tener
claro como abordarlo.
Debe aprovechar los conocimientos previos en
precálculo, particularmente desigualdades y
funciones.
Sistema de
evaluación
Evaluación de repaso al finalizar la lección.
El contenido de esta lección entra en el examen final
del curso.
Materiales y
recursos a
utilizar
Tablero.
Marcadores borrables.
(Recuerde que puede utilizar tantas ayudas como
necesite).
Importancia de
la Lección
Es importante por que hace la introducción al cálculo
en general (diferencial e integral), debido a que el
concepto de límite construye las definiciones de
derivada e integral.
Referencias Los textos al margen derecho son indicadores para el
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LIMITE DE UNA FUNCION PL 2-2
profesor. Los textos subrayados y en negrilla son
espacios para completar en el MP.
Recuerde guiar el participante a través de preguntas y
orientando el razonamiento, para encontrar conceptos
que permitan complementar el concepto estudiado.
Posteriormente concluya o cierre las intervenciones
para llegar a los conceptos correctos.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LIMITE DE UNA FUNCION PL 2-3
Lección 2 Límite de una función
OBJETIVOS Al finalizar esta lección el participante será capaz de:
1. Explicar que se quiere decir con la notación de
límites. 2. Determinar el valor de los límites para funciones
dadas. 3. Mostrar ejemplos de funciones que cumplan con
límites planteados. 4. Determinar asíntotas verticales para funciones
dadas.
Presente la lección, Preséntese Indique la importancia de la lección dentro del curso Pida a los participantes leer los objetivos Pida cerrar el MP.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LIMITE DE UNA FUNCION PL 2-4
1. Introducción
El cálculo es la matemática de los cambios –velocidades y aceleraciones, entre otras. Aunque las matemáticas previas al cálculo también tratan estos temas, existe una diferencia fundamental entre ellas y el cálculo, “el cálculo es dinámico”, por ejemplo:
Las matemáticas previas al cálculo permiten describir la pendiente de una recta, pero para describir la pendiente de una curva es necesario el cálculo
Esta situación involucra una estrategia general –la reformulación de las matemáticas previas al cálculo a través de un proceso de límite. Esto nos lleva hacia tres estadios, las matemáticas previas al cálculo, el proceso de límite y la formulación propia del cálculo.
2. Definición y notación de límites
El límite lo aplicamos para investigar el comportamiento de una función para valores cercanos a algún punto de nuestro interés, pero NO iguales al punto En general, usamos la siguiente notación, para describir lo antes mencionado:
Matemáticas
previas al cálculo
Proceso de
límite
Cálculo
Haga que alguien lea esta introducción Si alguien conoce mas ejemplos deje que los expongan y genere debate Deje que alguien lea esta primera parte. Haga especial énfasis en que no es evaluar en el punto
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LIMITE DE UNA FUNCION PL 2-5
",),("
)(lim
:)(
Laigualespatiendexcuandoxfdemitelíeldecimosy
Lxf
NotaciónDefinición
px
Si tomamos x lo suficientemente cerca de p, entonces, f(x) esta tan cerca como queramos de L. De ejemplos de esta sección.
3. Límites laterales Tomemos el siguiente ejemplo: La función de Heaviside H se define por:
01
00)(
tsi
tsitH
Su gráfica se muestra a continuación:
Podemos ver que el límite en 0, siguiendo la definición, es decir, acercarnos tanto como queremos no es un solo valor, por que H(t) tiende a 0 cuando t lo hace a 0 desde la izquierda y que esta función tiende a 1 cuando t lo hace a 0 desde la derecha, así que indicamos simbólicamente esto de la siguiente manera:
Deje que todos hablen sobre lo que entienden de la definición No es necesario seguir este ejemplo, deje que sus estudiantes lo guíen para poner el ejemplo que deje el concepto claro para todos NO TIENE SENTIDO QUE UD. RESUELVA EL EJEMPLO, UD. YA LO SABE HACER Esta función se usa con mucha regularidad en ing. eléctrica y electrónica para modelar interruptores Haga una lluvia de ideas sobre lo que ellos creen que pasa con esta función Con este ejemplo haga que ellos desarrollen la definición de límites laterales
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LIMITE DE UNA FUNCION PL 2-6
1)(lim0)(lim00
tHytHxt
El símbolo “ 0t ” indica que solo consideramos valores de t menores
que 0. Del mismo modo, “ 0t ” indica que solo consideramos valores de t mayores que 0. Esto nos da la motivación para nuestra siguiente definición, límites laterales:
",),("
)(lim
:
Laigualespatiendexcuandoxfdeizquierdomitelieldecimosy
Lxf
Definicion
px
Es decir, si tomamos x lo suficientemente cerca de p, pero menor que p, entonces podemos aproximar los valores de f(x) a L, tanto como queramos. De manera análoga, si queremos que x sea mayor que p, obtenemos el “límite derecho de f(x), cuando x tiende a p, es igual a L” y lo escribimos:
Lxfpx
)(lim
Si comparamos las dos definiciones que llevamos podemos concluir que
Lxfpx
)(lim Lxfpx
)(lim Y Lxfpx
)(lim
Al comparar la definición de límite con las definiciones de límites laterales. Ahora estamos listos para dar algunos ejemplos
4. Límites infinitos y asíntotas verticales
Después de ver los ejemplos empiezan a surgir algunas dudas sobre algunas funciones conocidas que tienen algunos patrones raros por ejemplo:
Según lo que ellos pudieron concluir deje que alguien lea la definición y comparen con lo descubierto anteriormente Deje que con las definiciones dadas concluyan la ecuación Los ejemplos deben aclarar conceptos, deje que sus estudiantes participen para ver que tienen claro y que no NO TIENE SENTIDO QUE UD. RESUELVA EL EJEMPLO, UD. YA LO SABE HACER Ellos ya saben gráficas de funciones, déjelos ver en donde esta el problema
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LIMITE DE UNA FUNCION PL 2-7
2
1)(
xxy
Cuya gráfica es:
Conforme x se aproxima a cero, 2x también se aproxima a cero y 2
1
x se
hace muy grande, de hecho al ver la gráfica de la función parece que los valores de f(x) se pueden aumentar arbitrariamente, si se escoge un x lo bastante cerca de cero. Esto nos hace llegar a nuestra siguiente definición, límites infinitos:
",),("
)(lim
:
finitoinespatiendexcuandoxfdemitelíeldecimosy
xf
Definición
px
Significa que los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos, tomando x lo suficientemente cerca de p, pero distinto de p. De manera similar podemos definir límites tendientes a “menos infinito” como:
)(lim xfpx
Lo cual significa que los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente grandes en valor negativo al tomar x suficientemente cerca de p, pero distinto de p.
Utilice la gráfica para aclarar donde esta el problema Ellos deben conocer la gráfica, pues hace parte de funciones conocidas que se ven en un curso básico de precálculo.
Recuerde que infinito no es un numero, simplemente estamos indicando que algo es tan grande como ud. Quiera “menos infinito” no es algo tan pequeño como quiera, es algo tan grande sino que con signo negativo
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LIMITE DE UNA FUNCION PL 2-8
Teniendo claros cuándo el cálculo de límites da como resultado infinito y o menos infinito podemos dar la definición de asíntotas verticales: Definición: la recta x=p se llama asíntota vertical de la curva y=f(x) si por lo menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
)(lim xfpx
)(lim xfpx
)(lim xfpx
)(lim xfpx
)(lim xfpx
)(lim xfpx
Ahora hallemos algunas asíntotas verticales – Ejercicios.
5. Resumen Enfatice los conceptos claves de la lección:
Límites y su notación
Límites laterales
Límites infinitos y asíntotas verticales Para efectos de este curso, el concepto de límite no se presenta de manera formal (con épsilon y delta), solo mostraremos la intuición del mismo concepto debido a que seguimos el programa de cálculo de la Universidad de los Andes y este tema no se ve en la Universidad. Recuerde que la matemática se aprende haciendo ejercicios por su cuenta, que solo ver soluciones no hace que aprendan, deje algunos ejercicios que les pellizquen la curiosidad, aunque no se habla del ejercicio transversal guíelos hacia una probable solución. Por ultimo revise los objetivos planteados para esta lección y verifique su cumplimiento, recuerde que el objetivo 2 es todos los límites, incluye límites laterales e infinitos. El objetivo 3 se cumple en los ejemplos y ejercicios.
Recuerde qué es una asintota Deje que ellos digan qué características debe cumplir la asuntota antes de dar las afirmaciones
En los ejemplos muestre por que eso es asintótico En los ejercicios finales puede incluir todo lo visto durante la lección No descuide el objetivo 3, haga ejemplos guiados al cumplimiento de ese objetivo
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CALCULO DE LIMITES PL 3-1
Descripción de la Lección 3. Cálculo de límites
Duración 2 horas
Puntos a cubrir
Motivación al cálculo de límites
Descripción de las leyes de los límites
Aplicaciones de las leyes de los límites, para
funciones conocidas (polinomios, racionales,
exponencial, etc.) y las que pueden surgir a partir de
ellas.
Teorema del emparedado.
Preparación
sugerida
Recuerde que la interacción es uno de los factores
más importantes al utilizar este método, deje que los
estudiantes deduzcan la mayoría de las cosas.
Las demostraciones no se muestran, porque no se ve
la definición precisa de límite, es importante que
usted las conozca.
Se habla siempre de funciones como f(x) es
importante aclarar que puede ser cualquier función
Debe aprovechar los conocimientos previos en
precálculo, particularmente desigualdades y
funciones.
Sistema de
evaluación
Evaluación de repaso al finalizar la lección.
El contenido de esta lección entra en el examen final
del curso.
Materiales y
recursos a
Tablero.
Marcadores borrables.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CALCULO DE LIMITES PL 3-2
utilizar (Recuerde que puede utilizar tantas ayudas como
necesite).
Importancia de
la Lección
Es importante por que facilita el trabajo, para la
resolución de límites complicados o de unciones que
no se conoce su gráfica.
Referencias
Los textos al margen derecho son indicadores para el
profesor. Los textos subrayados y en negrilla son
espacios para completar en el MP.
Recuerde guiar el participante a través de preguntas y
orientando el razonamiento, para encontrar conceptos
que permitan complementar el concepto estudiado.
Posteriormente concluya o cierre las intervenciones
para llegar a los conceptos correctos.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CALCULO DE LIMITES PL 3-3
Lección 3 Cálculo de límites
OBJETIVOS Al finalizar esta lección el participante será capaz de:
1. Describir las leyes de los límites. 2. Usar las propiedades de los límites para determinar
límites de funciones. 3. Evaluar y determinar la existencia de límites
de funciones racionales o polinómicas. 4. Usar el teorema del emparedado para determinar
algunos límites.
Presente la lección, Preséntese Indique la importancia de la lección dentro del curso Pida a los participantes leer los objetivos Pida cerrar el MP.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CALCULO DE LIMITES PL 3-4
1. Introducción
En la lección anterior introdujimos la notación de límites, la importancia de los mismos en el cálculo, además de ver algunos ejemplos, en esta lección empezamos a calcular límites, sin tener la gráfica de la función, simplemente conociendo algunas propiedades de los límites además de límites de algunas funciones conocidas como: polinomios, funciones racionales, exponenciales, etc. Estas herramientas harán más fácil el desarrollo de los límites y la aplicación de los mismos en muchos de los ejercicios. Ahora teniendo claro para dónde vamos, mostremos qué propiedades cumplen los límites y qué características deben tener las funciones para que estas propiedades se cumplan.
2. Propiedades de los límites
Estas leyes se pueden expresar de manera verbal de la siguiente manera:
El límite de una suma es la suma de los límites
El límite de una resta es la resta de los límites
El límite de la multiplicación de una constante por una función es la multiplicación de la constante por la función
El límite de un producto es el producto de los límites
El límite de un cociente es el cociente de los límites Estas propiedades son muy útiles para hallar límites de nuevas funciones partiendo de los límites de funciones conocidas, es necesario poner ciertas restricciones sobre los límites de las funciones de las que partimos, estas restricciones son muy sencillas:
los límites deben existir.
en el último caso el límite del denominador debe ser diferente de cero.
Haga que alguien lea esta introducción. Deje que ellos llenen los espacios en blanco.
Aclare que aquí trabajaremos sobre todo en polinomios y funciones racionales. Haga una lluvia de ideas con las propiedades que ellos creen que se pueden cumplir con los límites. Guíe el diligenciamiento de los espacios en blanco. Muestre algunos ejemplos donde no se cumplen las propiedades para que así vean que son necesarias estas características Deje que alguien lea esta primera parte.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CALCULO DE LIMITES PL 3-5
Después de describir estas características de los límites de forma verbal lo podemos hacer con la notación matemática correspondiente:
0)(lim)(lim
)(lim
)(
)(lim.5
)(lim*)(lim)()(lim.4
)(lim)(lim.3
)(lim)(lim)()(lim.2
)(lim)(lim)()(lim.1
:.)(lim)(lim
:
xgsixg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
xfcxcf
xgxfxgxf
xgxfxgxf
entoncesexistenxgyxf
límiteslosqueynteconstaunaescqueSupongamos
miteslilosdeLeyes
px
px
px
px
pxpxpx
pxpx
pxpxpx
pxpxpx
pxpx
Ahora introducimos a título de ley dos límites especiales, que son necesarios para el desarrollo de nuestro trabajo, aunque se pueden demostrar aquí solo los mencionaremos y utilizaremos:
px
cc
px
px
lim
lim
Estos límites son obvios desde un punto de vista intuitivo, basta graficar las funciones para calcularlos.
3. Cálculo de límites utilizando sus propiedades
Teniendo claras las propiedades de los límites y utilizando los dos últimos límites podemos empezar a hacer algunas deducciones sobre límites de funciones:
Como ellos ya conocen la notación de límites, deje que ellos traten de escribir matemáticamente las propiedades
Ayude a aclarar dudas con respecto a cómo se hallan esos límites Deje que ellos le digan como lo mostrarían Vea que realmente están claras las propiedades
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CALCULO DE LIMITES PL 3-6
n
px
n
pxxfxf
positivoenterounesnqueSupongamospotenciasdelímite
)(lim)(lim
:
Podemos ver que esta propiedad se deduce al aplicar la ley del producto repetidas veces con g(x)=f(x) De manera similar, aunque la demostración no es tan directa como la anterior, podemos enunciar la siguiente propiedad:
0)(lim,
)(lim)(lim
:
xfqueSuponemosparesnsi
xfxf
positivoenterounesnqueSupongamosraicesdelímite
px
npx
n
px
Utilizando las dos propiedades que acabamos de mencionar y aplicando los dos límites conocidos podemos concluir:
0,lim
lim
:,
pqueSuponemosparesnsipx
px
entoncespositivoenterounesnqueSupongamos
nn
px
nn
px
Ahora concluimos que:
)()(lim
:
,
pfxf
entonces
fdeDOMINIOelenestapyracionalfuncionunaopolinomiounesfsi
px
Esto se deduce aplicando las cinco propiedades de los límites y utilizando los dos límites que conocemos además de los límites que dedujimos anteriormente Estamos listos a aplicar esta teoría en algunos ejemplos.
Deje que ellos digan cómo se dedujo esta fórmula Vea la forma general de un polinomio y de una función racional y muestre donde se utiliza cada propiedad
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CALCULO DE LIMITES PL 3-7
4. Teorema del emparedado
En esta sección mencionaremos, sin demostración, una de las propiedades más importantes de los límites, cuya motivación no es más que solucionar límites difíciles comparando con límites conocidos, por ejemplo: Con los métodos dados hasta este momento es difícil demostrar cuanto da el límite de una función complicada, por ejemplo la que vemos en la gráfica: f(x). Motivándonos con la gráfica mostrada a continuación, podemos ver lo que queremos hacer, utilizando como comparación las dos parábolas que se ven en la gráfica.
Si una función g(x) se “comprime” entre otras dos funciones f(x) y h(x), cerca de un punto p, y si f y h tienen el mismo límite L en p, entonces es necesario que g tenga el mismo límite L en p. Ahora podemos escribir formalmente lo mencionado antes:
f(x)
El ejemplo es la mejor motivación No muestre la gráfica hasta que ellos lo mencionen Que cuando ellos vean la gráfica traten de enunciar el teorema Que traten de escribirlo formalmente de manera general
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CALCULO DE LIMITES PL 3-8
Lxg
entoncesLxhxf
ypdecercaestaxcuandoxhxgxfsiemparedadodelTeorema
px
pxpx
)(lim
)(lim)(lim
,)()()(:
5. Resumen Enfatice los conceptos claves de la lección:
Propiedades de los límites
Algunos límites de funciones conocidas
Teorema del emparedado Recuerde que la matemática se aprende haciendo ejercicios por su cuenta, que solo ver soluciones no hace que aprendan, deje algunos ejercicios que les pellizquen la curiosidad, aunque no se hable del ejercicio transversal guíelos hacia una probable solución. Por último revise los objetivos planteados para esta lección y verifique su cumplimiento, vea que la mayoría de los objetivos están guiados a la resolución de límites, así que lo que mejor puede hacer es dejar que ellos resuelvan muchos límites.
Recuerde que es una asintota Deje que ellos digan que características debe cumplir la asuntota antes de dar las afirmaciones En los ejemplos muestre por que eso es asintótico En los ejercicios finales puede incluir todo lo visto durante la lección No descuide el objetivo 3, haga ejemplos guiados al cumplimiento de ese objetivo
Antes del resumen pregunte si hay dudas o ejercicios para aclarar Verifique el cumplimiento de los objetivos preguntando Haga que alguien lea nuevamente los objetivos Si tiene tiempo mencione que sigue continuidad y que son aplicaciones de límites.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-1
Descripción de la Lección 4. Continuidad
Duración 2 horas
Puntos a cubrir
Motivación al concepto de continuidad.
Definición de continuidad en un punto y en un
intervalo.
Tipos de discontinuidad.
Propiedades de las funciones continuas y algunos
ejemplos de ellas.
Teorema del valor intermedio.
Preparación
sugerida
Recuerde que la interacción es uno de los factores
más importantes al utilizar este método, deje que los
estudiantes deduzcan la mayoría de las cosas.
Las demostraciones aunque no se muestran, por que
no se ve la definición precisa de límite, es importante
que usted las conozca.
Se habla siempre de funciones como f(x) es
importante aclarar que puede ser cualquier función.
Debe aprovechar los conocimientos previos en
precálculo, particularmente desigualdades y
funciones.
Sistema de
evaluación
Evaluación de repaso al finalizar la lección
El contenido de esta lección entra en el examen final
del curso
Materiales y
recursos a
Tablero
Marcadores borrables
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-2
utilizar (Recuerde que puede utilizar tantas ayudas como
necesite)
Importancia de
la Lección
La mayoría de las funciones que se trabajan
cotidianamente, son continuas y esto le da ciertas
facilidades de manejo y ayudas en el momento de
resolver problemas.
Referencias
Los textos al margen derecho son indicadores para el
profesor. Los textos subrayados y en negrilla son
espacios para completar en el MP.
Recuerde guiar el participante a través de preguntas y
orientando el razonamiento, para encontrar conceptos
que permitan complementar el concepto estudiado.
Posteriormente concluya o cierre las intervenciones
para llegar a los conceptos correctos.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-3
Lección 4 Continuidad
OBJETIVOS Al finalizar esta lección el participante será capaz de:
1. Definir continuidad en un punto y en un intervalo. 2. Describir los diferentes tipos de discontinuidad y
hallar y describir discontinuidades de funciones. 3. Utilizar las propiedades de las funciones continuas
para verificar si nuevas funciones son continuas y sus intervalos de continuidad.
4. Aplicar el teorema del valor intermedio para resolver algunos ejercicios.
Presente la lección, Preséntese Indique la importancia de la lección dentro del curso Pida a los participantes leer los objetivos Pida cerrar el MP. Pregunte que entienden ellos por la palabra continuidad fuera del contexto matemático
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-4
2. Introducción
Si nosotros queremos ir de un sitio a otro tenemos que pasar siempre por sitios intermedios, así que en el lenguaje habitual diríamos que nuestro movimiento es continuo, por que todavía no existe la tele-transportación, pero por ejemplo cuando vamos manejando podemos estar en un momento sin acelerar y en el instante siguiente acelerar al máximo, así que la aceleración en un carro puede ser repentina como un cambio brusco. De esta forma introducimos la palabra continuidad, que en el lenguaje cotidiano nos hace referencia a un proceso gradual, sin interrupciones ni cambios abruptos. En esta lección veremos que la definición matemática de continuidad corresponde con el significado habitual.
3. Definición de continuidad en un punto
De modo informal, se puede decir que una función es continua si su gráfica se puede hacer sin levantar el lápiz del papel. En las lecciones anteriores vimos que se pueden hallar límites de cuando x tiende a p con solo hallar el valor de la función en p, decimos que las funciones que cumplen esta propiedad son continuas en el punto p. Ahora definimos formalmente qué significa que una función sea continua en un punto:
)()(lim
::
pfxf
sippuntounencontinuaesfuncionunaDefinicion
px
Y definimos que una función es discontinua en p, si la función no es continua en p. Vemos que en las definiciones anteriores, realmente estamos pidiendo tres condiciones para que una función sea continua:
Haga que alguien lea esta introducción Pida ejemplos ellos ya vieron esos ejemplos Deje que ellos traten de escribir formalmente la definición Pregunte por qué eso es equivalente con lo explicado anteriormente, deje que ellos lo resuelvan Que ellos llenen los espacios en blanco, cuales son las condiciones pedidas Deje que alguien lea esta primera parte. Haga especial énfasis en que no es evaluar en el punto
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-5
Que la función exista en el punto p
Que el límite de la función exista en el punto p
Que sean iguales la función y el límite Esto hace que realmente no sean tan comunes las funciones continuas, los fenómenos de la física clásica suelen ser continuos: desplazamiento, velocidad, etc. Pero como vimos en lecciones anteriores hay funciones utilizadas con regularidad que no son continuas por ejemplo: función de Heaviside. Ahora podemos ver ejemplos de funciones y decir si son discontinuas en algunos puntos.
4. Tipos de discontinuidades
Ya mostramos que las funciones discontinuas se pueden ver geométricamente como las funciones que no se pueden graficar sin levantar el lápiz del papel, ahora mostremos algunos ejemplos de funciones discontinuas y que podemos analizar de los mismos:
Antes de ver cada tipo de discontinuidad, analicemos por qué son discontinuas cada una de estas funciones:
a) No coincide el valor del límite con el valor de la función en ese punto.
b) No esta definida la función en 0, por lo tanto la función es discontinua en 0.
Hágalos dar mas ejemplos de funciones continuas y discontinuas, trate que no sean formulas matemáticas sino ejemplos cotidianos Deje que ellos digan cual de las tres condiciones falta para que sean continuas
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-6
c) No existe el límite en el punto, por lo tanto no es continua en ese punto.
Después de analizar porque esas funciones son discontinuas en algunos puntos podemos analizar los tipos de discontinuidad que presentan:
a) Este tipo de discontinuidad se llama removible porque se puede eliminar al redefinir la función en el punto donde se presenta la discontinuidad
b) Esta discontinuidad se denomina infinita, su nombre viene de una manera evidente
c) El ultimo tipo de discontinuidad que analizaremos se llama por salto porque la función “salta” de un valor a otro
Este último tipo de discontinuidad nos hace definir, al igual que con los límites laterales, las continuidades laterales:
)()(lim
::
pfxf
sipenderechaladesdecontinuaesfuncionunaDefinicion
px
De la misma manera definimos cuando una función es continua por la izquierda Después de estas definiciones, analizamos tal vez una de las definiciones más importantes para esta lección, aunque es bastante clara no hay que subestimarla, por que hasta ahora hemos definido continuidad en un punto y pasamos a un concepto más general:
.
:
tervaloinelennumerotodo
encontinuaessitervaloinunsobrecontinuaesfuncionunaDefinicion
En un punto extremo del intervalo, se entiende que “continua” quiere decir “continua desde la izquierda” ó “continua desde la derecha”, según sea el caso. Estamos listos para dada una función hallar sus intervalos de continuidad y los tipos de discontinuidad que presenten:
Hágalos caer en cuenta de las características principales de cada discontinuidad Deje que ellos creen el nombre y la característica y usted refuerce el concepto
Es posible que no se llegue a la notación exacta, pero se puede hacer una aproximación en la definición. (Depende de la interacción que el profesor haga con los estudiantes, llegar o no a una buena aproximación) Como ya conocen la definición de límites laterales, deje que ellos definan continuidad lateral Aclare la importancia de continuidad en u intervalo y deje que ellos deduzcan la definición Aclare y enfatice que pasa si el intervalo es cerrado Muestre ejemplos que aclaren la teoría
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-7
5. Propiedades de las funciones continuas Teniendo claro que la definición de continuidad, viene directamente de la aplicación de límites, podemos pensar que las propiedades de los límites se heredan a las funciones continuas, estas propiedades descritas verbalmente son:
Suma de funciones continuas es continua
Resta de funciones continuas es continua
Producto de una función continua con una constante, es una función continua
Producto de funciones continuas es continuo
Razón de funciones continuas es continua, si la función denominador no se hace cero
Composición de funciones continuas es continua Estas propiedades al igual que las de los límites se pueden escribir de manera formal:
)(,.60)(,.5.4
.3.2.1
:
,
agencontinuaesfsigfpgsifg
cfgfgf
pencontinuassontambienfuncionessiguienteslas
entoncesnteconstaunacypencontinuasfuncionesgyfsean
g
f
Las propiedades antes mencionadas son fácilmente demostrables siguiendo las propiedades de los límites, hagamos una demostración para comprobar la facilidad de las mismas.
)()(*)()(lim*)(lim)(*)(lim)(lim
:
,
pfgpgpfxgxfxgxfxfg
dem
pencontinuasfg
entoncespencontinuasfuncionesgyfsi
pxpxpxpx
Ellos ya vieron lo de límites, así que llenaran esto con facilidad La composición es la mas complicada y tal vez no se les ocurre ayúdeles Que ellos escriban estas propiedades formalmente solos Deje que traten de hacer esta demostración, es bastante sencilla
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-8
Talvez la propiedad más difícil de mostrar, es la de la composición, para la demostración de esta propiedad es necesario, plantear un teorema antes que hace que la demostración de esta propiedad sea evidente.
)(lim))((lim
)())((lim,)(lim:
xgfxgf
igualesqueloo
qfxgfentoncesqxgyqencontinuaesfsiTeorema
pxpx
pxpx
Aunque no vamos a hacer una demostración formal mostraremos porque la propiedad que acabamos de mencionar, en intuitivamente cierta: porque si x esta cerca de p, entonces g(x) esta cerca de q y como f es continua en q, si g(x) esta cerca de q entonces f(g(x)) esta cerca de f(q). Después de mencionar esta propiedad, es fácil demostrar la propiedad que nos faltaba, la de composición de funciones continuas es continua. Terminando las propiedades de las funciones continuas, mostraremos los ejemplos más comunes de funciones continuas, para aplicar estas propiedades: Empezamos con las funciones que conocimos en lecciones anteriores: los polinomios y las funciones raíz, que como ya mostramos en lecciones anteriores son continuas. Partiendo de ellas obtenemos las funciones racionales, que son continuas en su dominio. Si analizamos las gráficas de las funciones trigonométricas básicas como sin y cos son continuas, así que utilizando las propiedades de funciones continuas podemos concluir que todas las funciones trigonometricas son continuas sobre su dominio. De igual manera, podemos decir que las funciones exponenciales y logarítmicas son continuas sobre su dominio. Con los ejemplos anteriores es posible dar nuevos ejemplos de funciones continuas, aplicando las propiedades vistas en la lección. Unos ejemplos nos ayudan a aclarar estas propiedades.
Deje que ellos expliquen este teorema y complemente con l texto de abajo Demuestre la propiedad, si tiene tiempo, no es indispensable para el desarrollo de la clase, se puede dejar como ejercicio Ellos conocen muchas funciones deje que digan todas las que conocen y después muestra las más populares Deje que utilicen las propiedades para dar nuevas funciones continuas y explicar las otras como tangente, etc. Pregúntese por las inversas!!
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-9
6. Teorema del valor intermedio
Es tal vez de las propiedades más importantes de las funciones continuas, se utiliza con gran frecuencia para métodos numéricos, aunque el enunciado parece sencillo e intuitivamente el teorema es bastante claro, la demostración es muy complicada y no la desarrollaremos en este curso. Antes de mencionar el teorema del valor intermedio, vamos a mostrar como motivación un caso mas especifico:
En la gráfica anterior mostramos tres funciones continuas y todas ellas empiezan en un punto del semiplano (f2 y f3 en el superior, f1 en el inferior) y terminan en el semiplano contrario, de estas funciones observamos que todas pasan por la recta y=0, es decir, que si una función continua empieza en los positivos y termina en los negativos, necesariamente pasa por el cero. Como la mayoría de los conceptos vistos aquí se pueden escribir formalmente de la siguiente manera:
0)(),(,
0)(0)(,
cftqbacentonces
bfyafybatervaloinelsobrecontinuaesfquepongamosSu
De igual manera si empieza en los negativos y termina en los positivos, es decir, si f(a)<0 y f(b)>0.
Deje que ellos al mirar la gráfica encuentren patrones y cosas que ayuden a la introducción del teorema ¿Por qué es importante que la función sea continua? De ejemplos de qué pasa si la función no es continua.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-10
Después de esta introducción, aumentamos levemente la generalidad del teorema anterior de la siguiente manera:
Ncftqbacentonces
bfyafentrenteestrictamenumerocualquierNseay
batervaloinelsobrecontinuaesfqueSupongamos
)(),(,
)()(
,
Este enunciado se llama teorema del valor intermedio y lo podemos ver gráficamente de la siguiente forma:
Una de las aplicaciones más importantes es hallar raíces de funciones continuas, método bastante utilizado en métodos numéricos y optimización. Ahora es el momento de mostrar una de estas aplicaciones.
¿Cómo se puede aumentar la generalidad? Antes de ver la gráfica que se entiende por el teorema Recuerde que el punto c no es único, por ejemplo la función sin Explique como se puede usar para identificar raíces
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II CONTINUIDAD PL 4-11
7. Resumen Enfatice los conceptos claves de la lección:
Definición de continuidad en un punto
Definición de continuidad en un intervalo
Tipos de discontinuidad
Propiedades de las funciones continuas y algunos ejemplos de ellas
Teorema del valor intermedio Recuerde que la matemática se aprende haciendo ejercicios por su cuenta, que solo ver soluciones no hace que aprendan, deje algunos ejercicios que les pellizquen la curiosidad, aunque no se hable del ejercicio transversal guíelos hacia una probable solución. Por ultimo revise los objetivos planteados para esta lección y verifique su cumplimiento, vea que la mayoría de los objetivos son básicamente teóricos y que los ejercicios ayudan a entender esta teoría, recuerde que la continuidad no es más que una de las aplicaciones de límites, pero las funciones continuas son las más trabajadas. El siguiente punto del ejercicio transversal se dará en la siguiente lección donde se hará la primera evaluación de trabajo y aumentara la dificultad del ejercicio para progresar en los temas del curso.
Pregunte y vea la claridad de los conceptos Deje ejercicios interesantes de trabajo en equipo y de pistas para el ejercicio transversal
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-1
Descripción de la Lección 5. Límites al infinito y asíntotas horizontales
Duración 2 horas
Puntos a cubrir
Notación y definición de límites al infinito.
Definición de asíntotas horizontales.
Técnicas para hallar algunos límites al infinito.
Ejercicio transversal.
Preparación
sugerida
Recuerde que la interacción es uno de los factores
más importantes al utilizar este método, deje que los
estudiantes deduzcan la mayoría de las cosas.
Recuerde las etapas del ABP, en particular la etapa2.
El concepto de infinito, presenta ciertas dificultades
para ser entendido, tome el concepto con calma.
Debe aprovechar los conocimientos previos en
precálculo, particularmente desigualdades y
funciones.
Utilice las gráficas de las funciones para aclarar los
conceptos
Sistema de
evaluación
Evaluación de repaso al finalizar la lección.
El contenido de esta lección entra en el examen final
del curso.
Materiales y
recursos a
utilizar
Tablero
Marcadores borrables
(Recuerde que puede utilizar tantas ayudas como
necesite)
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-2
Importancia de
la Lección
Este capitulo nos muestra la tendencia de las
funciones cuando dejamos que el dominio sea tan
grande como queremos.
Referencias
Los textos al margen derecho son indicadores para el
profesor. Los textos subrayados y en negrilla son
espacios para completar en el MP.
Recuerde guiar el participante a través de preguntas y
orientando el razonamiento, para encontrar conceptos
que permitan complementar el concepto estudiado.
Posteriormente concluya o cierre las intervenciones
para llegar a los conceptos correctos.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-3
Lección 5 Límites al infinito y asíntotas
horizontales OBJETIVOS Al finalizar esta lección el participante será capaz de:
1. Describir la definición de límites al infinito. 2. Describir y hallar asíntotas horizontales para
algunas funciones. 3. Aplicar las técnicas mostradas para resolver. 4. Algunos límites al infinito. 5. Presentar y realizar la segunda etapa del
problema transversal.
Presente la lección, Preséntese Indique la importancia de la lección dentro del curso Pida a los participantes leer los objetivos Pida cerrar el MP.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-4
1. Introducción
Aunque en lecciones pasadas vimos límites infinitos, es decir que cuando x tiende a un punto p, f(x) tiende a infinito, ahora veremos que pasa cuando x tiende a infinito, estos límites son de bastante utilidad para saber la estabilidad de ciertos sistemas hidráulicos, eléctricos y mecánicos.
2. Definición de límites al infinito
Antes de definir formalmente los límites al infinito vemos que es necesario plantear una notación, que matemáticamente se simboliza:
Lxfx
)(lim
Lo cual indica que los valores de f(x) se acercan tanto como uno quiera a L, cuando x se hace muy grande, esta descripción se puede hacer de una manera formal y se escribe de la siguiente manera:
NxquesiempreLxf
tqNientecorrespondnumerounexistetodoparaquesignifica
Lxf
entoncesatervaloingunalendefinidafuncionunafseaDefinicion
x
)(
,0
)(lim
).,(:
Expliquemos esta definición haciendo un dibujo
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-5
De esta forma introducimos de manera formal el concepto de límite al infinito cuando este es igual a L, ahora veremos que los límites cuando tienden a infinito, también pueden ser infinito, y un ejemplo de esto es la clásica función identidad. Cuando un límite que tiende a infinito da infinito se escribe formalmente de la siguiente manera:
NxquesiempreMxf
tqNientecorrespondnúmerounexisteMtodoparaquesignifica
xf
entoncesatervaloingunalendefinidafunciónunafseaDefinición
x
)(
,0
)(lim
).,(:
De manera análoga podemos definir el resto de definiciones relacionadas con los límites que tienden a infinito y “menos infinito”, de modo que todas las definiciones que daremos están resumidas en el siguiente cuadro:
)(lim)(lim
)(lim)(lim
)(lim)(lim
xfxf
xfxf
LxfLxf
xx
xx
xx
Que ellos vean las variables de la definición en el dibujo y que nuevamente entiendan la definición Cuando ellos llenen los espacios, entenderán a que queremos llegar Deje que den mas funciones si conocen Deje que ellos traten de escribir la definición formal Simplemente son todas las posibles combinaciones de los infinitos
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-6
3. Técnicas para hallar límites al infinito
Aunque hay técnicas mas avanzadas para hallar límites que tienden a infinito como la regla de L’Hospital, en esta lección veremos dos técnicas sencillas que ayudan a resolver algunos límites que tienden a infinito. Antes de mostrar las dos técnicas, es importante recordar que en funciones continuas los límites se hallan simplemente evaluando la función, pero hay que tener en cuenta que las propiedades de los límites solo se puede realizar si los límites existen así que cuidado con el manejo de límites infinitos. Las técnicas siguientes surgen de los errores más comunes que se cometen cuando se estas hallando este tipo de límites, pero para ejemplificar estos errores vamos a tratar de hallar unos límites:
xx
límitessiguienteslosCalculemos
x
xx
xx
x
1lim
lim
:
2
145
232
2
Límites como estos son los que hacen que se presenten errores en el manejo de los límites los principales errores al trabajar con límites al infinito son los siguientes:
Hacer la operación infinito sobre infinito y darle valor a eso generalmente el error es decir que eso es 1
Hacer la resta de infinitos, es decir, infinito menos infinito y decir que ese valor es 0
Para evitar estos trágicos errores plateamos dos técnicas que ayudan a resolver algunos de estos problemas, no son una receta para todos los problemas pero es una guía para algunos, las técnicas son las siguientes:
Para evaluar el límite en el infinito de una función racional, dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de x que haya en el denominador.
Deje que alguien lea esta introducción Diga que la regla de L’Hospital se vera después en el curso Formalmente cuando un límite da infinito, no existe En el tablero, haga que ellos traten de resolver esos límites Que por la experiencia en el tablero, vean cuales fueron los errores que se cometieron y llenen el espacio
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-7
La siguiente técnica es recurrir al algebra para reescribir la función, en general resulta útil es multiplicar en el numerador y el denominador por el conjugado de la función radical.
Pero estas técnicas son útiles si presentamos primero unos límites en el infinito conocidos que nos ayuden a relacionar las funciones con límites conocidos, estos son:
0lim0lim
,,0
:
0lim0lim
tanlimtanlim
11
2
1
2
1
rr xxxx
x
x
x
x
xx
entoncesracionalnumerounrsi
mencionastécnicaslasenaplicarparaútilmásteoremaelveztaly
ee
xx
Ahora estamos listos para poder resolver los límites que planteamos al comienzo de este punto:
xxx
xx
xx
x
1lim
lim
2
145
232
2
Además de estos ejemplos podemos ver algunos otros que aclaren los conceptos y las técnicas.
4. Asíntotas horizontales Como vimos en lecciones anteriores las asíntotas son bastante importantes para el estudio de las funciones, así que definimos las asíntotas horizontales de la siguiente manera:
LxfóLxf
scondicionesiguienteslasdecualquieracumplesesi
xfycurvaladehorizontalasíntotaunaesLyrectalaDefinición
xx
)(lim)(lim
:
)(:
Déjelos masticar las técnicas planteadas y explique porque ayudan a resolver algunos límites, recuerde las propiedades de los mismos. Si ellos conocen otros límites en el infinito deje que los propongan y aválelos en la clase, por ejemplo los polinomios Haga que ellos resuelvan los límites en el tablero, cada uno se resuelve una de las técnicas ¿Qué entienden de la definición, porqué se llaman TAMBIEN asíntotas?
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-8
Después de este concepto podemos hacer algunos análisis de las funciones, estamos listos para revisar límites en puntos, continuidad e intervalos de continuidad, asíntotas verticales y horizontales.
Demos algunos ejemplos y ejercicios de estos análisis de las funciones. . 5. Problema transversal – Momento final.
Después de todo este conocimiento estamos listos para presentar el trabajo realizado hasta hoy y plantear una nueva tarea para nuestros equipos de trabajo. Haga una presentación por grupos del problema, como lo han trabajado y que llevan resuelto hasta este punto. Oiga todas las intervenciones y deje que expliquen todos los caminos que se plantearon antes de llegar a esa solución. No critique sus soluciones si cometieron un error, déles pautas para el mejoramiento del mismo, no deje que se desmotive y no les resuelva el problema. Haga una pequeña introducción y dificulte el problema, para que avancen según el conocimiento del tema.
Deje que digan que análisis le pueden hacer a una función Estos ejemplos son de los más importantes para el ejercicio transversal Tenga en cuenta que el ejercicio transversal es casi tan importante como los otros trabajos y debe toarse con la seriedad adecuada Esta primera presentación esta incluida en la nota del curso. Deje que ellos den todas las posibilidades. Las dudas puntuales de los equipo de trabajo las puede resolver en el horario de atención a estudiantes.
PROBLEMA TRASVERSAL – MOMENTO FINAL “Uno de los rescatistas que llega al accidente se da cuenta que el carro se encuentra volcado sobre el techo, por lo cual debe aproximar la forma en que se encuentra el techo, para estabilizar el vehículo de forma adecuada. Cerca del lugar del incidente y cercano al camión hay una pared que sirve como punto de apoyo del acuñamiento. ¿Qué debe hacer el rescatista para aproximar la forma del techo para estabilizar adecuadamente el camión, sin poner en riesgo su vida y la de los demás?”
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-9
Comentarios para el profesor: Este problema se constituye en un segundo momento del problema enunciado en la lección 1. Abarcará el tema de la lección 6 y presenta modificaciones que se le imprimen al problema enunciado en la lección 1. Su carácter de transversal lo imprimen las modificaciones que se hacen al enunciado inicial y al manejo que se hace del mismo, para aplicar conceptos anteriores e introducir los conceptos de la última lección. El problema se podría utilizar en otros momentos del cálculo, pues aunque los estudiantes no lo saben, aplicarán el teorema fundamental del cálculo. Al solucionarlo aclara y desarrolla el concepto de DERIVADA. Lo que se espera al momento del enfrentamiento de los estudiantes con el problema, para que este cumpla el objetivo planteado por el ABP, es que los estudiantes construyan el conocimiento deseado: los objetivos planteados al inicio de la lección 6. Las primeras cosas que los estudiantes deben relacionar al momento de entender el problema son:
o ¿Qué es lo que el rescatista quiere hallar: “la forma del techo del vehículo?”
o ¿Cómo se ancla el acuñamiento a una pared? o ¿Qué otros datos podemos obtener del problema? o El problema del problema: ¿cómo podemos aproximar formas?
Ahora se desarrollan estos puntos para entender por qué este problema ayuda con el aprendizaje de los estudiantes en el concepto de derivada. Para esto realizaremos un dibujo:
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-10
Para aclarar este dibujo vemos que (a) es la pared a la que vamos a anclar nuestra cuña escalonada, que (b) es el techo del vehiculo después del accidente (la forma en que queda el techo es lo que deseamos hallar) y por ultimo (c) la forma de poner una cuña escalonada anclada. Ahora, el profesor que ya sabe cálculo integral puede imaginarse la solución de este problema. Pero un estudiante de este curso aun no sabe cómo se puede relacionar el problema con las derivadas (esa es la idea). Por ultimo, el dato que puede (necesita) sacar el estudiante de nuestro problema es que cada vez que pone una hilera de bloques, puede hallar el AREA Después de aclarar los tres primeros puntos, pasamos al más importante: el problema con el problema y por qué solucionarlo nos ayuda a entender los conceptos de derivadas. La manera de hallar la forma del techo del vehiculo, no es mas que plantear el área que se va hallando por cada hilera de bloques como una función, y derivar esa función.
(b)
(a)
(c)
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS HORIZONTALES PL 5-11
6. Resumen
Enfatice los conceptos claves de la lección:
Límites al infinito y algunos ejemplos
Técnicas para resolver estos límites
Asíntotas horizontales
Segunda parte del ejercicio transversal Recuerde que la matemática se aprende haciendo ejercicios por su cuenta, que solo ver soluciones no hace que aprendan, deje algunos ejercicios que les pellizquen la curiosidad, aunque no se hable del ejercicio transversal guíelos hacia una probable solución. Por ultimo revise los objetivos planteados para esta lección y verifique su cumplimiento, vea que la mayoría de los objetivos son básicamente teóricos y que los ejercicios ayudan a entender esta teoría y deje claro el concepto de infinito, NO es un numero, simplemente ejemplifica algo que se hace muy grande
Pregunte y vea la claridad de los conceptos Aclare todo lo sucedido en la presentación del ejercicio transversal para que en la próxima presentación no se cometan los mismos errores
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-1
Descripción de la Lección 6. Razones de cambio, la derivada y su función
Duración 4 horas
Puntos a cubrir
Definición de la recta tangente
Algunas aplicaciones (velocidad)
Definición de derivada
Aplicación, como la pendiente de la recta tangente
Razón instantánea de cambio
La función derivada
Funciones diferenciadles y continuidad
Ejercicio final
Preparación
sugerida
Recuerde que la interacción es uno de los factores
mas importantes al utilizar este método, deje que los
estudiantes deduzcan la mayoría de las cosas
Sistema de
evaluación
Evaluación de repaso al finalizar la lección
El contenido de esta lección entra en el examen final
del curso
Materiales y
recursos a
utilizar
Tablero
Marcadores borrables
(Recuerde que puede utilizar tantas ayudas como
necesite)
Importancia de
la Lección
Es la más importante del curso, es donde se ven las
grandes diferencias entre la matemática antes del
cálculo y el cálculo.
Referencias Los textos al margen derecho son indicadores para el
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-2
profesor. Los textos subrayados y en negrilla son
espacios para completar en el MP.
Recuerde guiar el participante a través de preguntas y
orientando el razonamiento, para encontrar conceptos
que permitan complementar el concepto estudiado.
Posteriormente concluya o cierre las intervenciones
para llegar a los conceptos correctos.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-3
Lección 6 Razones de cambio, la derivada y
su función OBJETIVOS Al finalizar esta lección el participante será capaz de:
1. Definir recta tangente a la curva y hallarla para
algunas curvas. 2. Definir velocidad instantánea y razón instantánea
de cambio. 3. Definir la derivada de una función en un punto. 4. Definir la función derivada y su notación. 5. Relacionar funciones con su función derivada. 6. Definir intervalos de derivabilidad y hallarlos
para algunas funciones. 7. Nombrar las formas en que una función es
no derivable.
Presente la lección, Preséntese Indique la importancia de la lección dentro del curso Pida a los participantes leer los objetivos Pida cerrar el MP.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-4
1. Introducción
En la primera lección de límites, hablamos que era la interfaz entre las matemáticas previas al cálculo y el cálculo, y mencionamos algunos ejemplos de lo que podemos hacer utilizando el cálculo y no podemos hacer con las matemáticas previas, en esta lección retomaremos uno de los problemas clásicos del cálculo y empezaremos a ver las aplicaciones del mismo con la ayuda de los límites, el ejemplo que vamos a tomar es: la recta tangente a una función. En las matemáticas previas sabemos como hallar pendientes de rectas teniendo dos puntos sobre la recta:
segundodelscoordenadalasson
yxypuntoprimerdelscoordenadalassonyxdondemxx
yy),(),(, 221121
21
Y también sabemos hallar la ecuación de una recta si tenemos la pendiente y un punto sobre la recta:
punto
delscoordenadalasyxypendientelaesmdondexxmyy ),(),( 0000
Recordar estos conceptos va a ser de vital importancia en el desarrollo de esta lección, es por esto que los mencionamos para hacer la introducción al tema, ya que lo que haremos es desarrollar estos conceptos para funciones generales
2. Recta tangente
Para comenzar con uno de los conceptos más importantes en el cálculo como lo es el de la recta tangente en un punto p, realizaremos una gráfica que ayude a entender el concepto y como lo definiremos:
Haga que alguien lea esta introducción Haga que digan, todos los ejemplos que conozcan Deje que ellos hablen, que digan si realmente conocen eso ó tienen dudas. Deje que ellos hagan una definición de lo que creen que es una recta tangente
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-5
Como queremos hallar la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto p, el problema se reduce a hallar la pendiente de esta recta, ahora si seguimos la gráfica para deducir la definición de recta tangente, lo primero será hallar las pendientes de las rectas que están entre los puntos p y cada uno de los Q, después utilizando lo que ya conocemos de límites, generalizaremos para llegar a una definición.
))(,())(,(,)()(
xfxQyafapdondem
pQrectaslasdependientes
ax
afxf
pQ
Y de la gráfica podemos ver que mientras Q este más cerca de p, la
recta pQ , se acercara más a la recta tangente. De este modo
conociendo el concepto de límite podemos dar la siguiente definición:
límiteesteexistaquesiemprem
pendienteconpporpasaquerectalaes
afappuntoelenxfycurvalaaTangenterectalaDefinición
ax
afxf
ax,lim
:
))(,()(:
)()(
Recuerde que ya sabemos escribir la ecuación de una recta si tenemos la pendiente y un punto por donde pasa. Ahora estamos listos para hallar algunas ecuaciones de rectas tangentes para funciones.
¿Qué entienden de la gráfica? ¿Por qué solo se reduce a esto? Deje que ellos digan que hacer para encontrar la definición, puede que salgan cosas mas interesantes Deje que ellos traten de escribir la definición formal Esto se aclaro en la introducción de esta lección
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-6
3. El problema de la velocidad
El cálculo se desarrollo a la sombra de algunos problemas en los que trabajaron los matemáticos en el siglo XVII, dos de estos problemas fueron:
El problema de la recta tangente
El problema de la velocidad y la aceleración Aunque ya mencionamos el primero, la definición también se puede usar para determinar el ritmo de cambio de una variable frente a otra, lo que es de gran utilidad en gran cantidad de aplicaciones, algunos ejemplos son: crecimiento de poblaciones, ritmos de producción, flujo de líquido y el problema de la velocidad. En esta sección haremos énfasis en el problema de la velocidad aunque los otros problemas se desarrollan de la misma manera. Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una ecuación de movimiento s=f(t), donde s es el desplazamiento del objeto con respecto al origen, en el instante t. en el intervalo de t=a hasta t=a+h, el cambio de posición es f(a+h)-f(a) y definimos la velocidad promedio en ese intervalo como:
h
afhaf
tiempo
entodesplazamipromediovelocidad
)()(
De esta forma y queriendo definir la velocidad instantánea v(a) en el instante t=a, decimos que:
h
afhaf
hav
esatiempoelenAINSTANTANEvelocidadlaDefinición
)()(
0lim)(
::
Que si nos damos cuenta no es más que la pendiente de la recta tangente de la función desplazamiento, simplemente al hacer h=x-a, y podemos hacer la generalización a otras razones de cambio y simplemente diremos:
x
y
oxcambiodeneantainstaRazón
lim
Que es igual a la pendiente de la recta tangente de la función y=f(x).
Solo por curiosidad, los otros problemas fueron el de máximos y mínimos y el problema del área. Si conocen más ejemplos que los digan Haga una introducción al problema con el velocímetro del carro y análisis de unidades Este es el enunciado del problema Ellos como lo definirían, haga una lluvia de ideas, recuerde que casi todo es una aplicación de los límites Que completen los espacios con su propia motivación, igual asesore la llenada de los mismos
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-7
4. Derivadas
Hemos llagado a uno de los conceptos mas importantes del cálculo, aunque la definición no nos va a sorprender, sus aplicaciones si, el límite utilizado en la definición de la pendiente de una recta tangente se usa también para definir una de las dos operaciones del cálculo, la derivación.
existelímiteestesipf
esppuntoelenfunciónunadederivadalaDefinición
h
pfhpf
h,lim)´(
:,:
)()(
0
Como ya sabemos, lo podemos cambiar a:
px
pfxf
axpf
)()(lim)´(
Entonces al interpretar la derivada como la pendiente de la recta tangente, podemos decir que, la recta tangente a y=f(x), en el punto (a,f(a)), es la recta que pasa por (a,f(a)) cuya pendiente es igual a f´(a). De igual forma podemos concluir con lo visto anteriormente que la derivada f´(a) es la razón instantánea de cambio de y=f(x) con respecto a x cuando x=a. Podemos ahora, aunque ya lo hicimos antes, realizar algunos cálculos para hallar derivadas en puntos.
5. La función derivada En este momento lo que vamos a hacer es, partiendo de la definición de derivada en un punto hacer una función que describa las características de la derivada. Recordemos que una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. Ahora aterricemos la definición de función al trabajo que venimos realizando, nuestros conjuntos A y B son los mismos y son los reales, y
Como vimos antes, se puede ver como la pendiente de la recta tangente ó como razón de cambio, por que las dos definiciones son idénticas, pero en diferente contexto
Como creen que se puede definir esa función para que cumpla las características de la derivada
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-8
partiendo de la función inicial f(x) definimos la función derivada de la siguiente manera:
h
xfhxf
hxf
)()(
0lim)´(
Aunque es sutil el cambio que hacemos entre la definición de derivada y la de función derivada, solo una letra, los conceptos son totalmente distintos, la función derivada es asignarle a cada punto x el valor de la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. A esta función la llamaremos la derivada de f, cuyo dominio es el
conjunto existexfx )´(/ y hay que tener en cuenta que este dominio
puede ser menor que el dominio de f. Veamos unas gráficas para aclarar un poco esta definición:
En la gráfica anterior vemos un esbozo de una función y su derivada, para analizar esta gráfica es importante ver los puntos p y q, vemos que en la gráfica de la función f(x) aunque su valor no es cero la pendiente de la recta tangente en esos puntos si lo es, por esto en la gráfica de su derivada vemos que en esos puntos es cero, además antes del punto p y después del punto q la pendiente es positiva que se puede ver en la gráfica de su derivada y en el intervalo (p,q) la pendiente es negativa y también lo podemos ver en la derivada.
Deje que traten de definir la función, solos. ¿Qué entienden por la definición? Esto nos dice que aunque la función este definida, pueden existir algunos puntos donde la derivada no este definida Esta gráfica de claridad en el concepto, deje que ellos SOLOS la analicen, solo guíe la discusión Este es el análisis que esperamos que ellos hagan de la gráfica, si los ve perdidos oriéntelos pero no les diga.
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-9
Aunque para este curso, la derivada la denotaremos como mostramos, es importante mostrar otras notaciones, para que cuando un estudiante lea otro texto no se confunda por la notación: Si usamos la notación tradicional y=f(x) para indicar que la variable independiente es x y la dependiente es y, entonces otras notaciones encontradas son:
)()()(´)´( xfDxDfxfyxf xdxd
dx
df
dx
dy
Estas notaciones resultan útiles en otro tipo de problemas o en el cálculo más avanzado, pero en este momento, simplemente hay que notar que son sinónimos de f´(x). Ahora podemos relacionar funciones con su función derivada y lo podemos ver en los siguientes ejercicios.
6. Funciones no derivables
Al igual que lo hicimos cuando definimos continuidad en un punto y después extendimos la definición a intervalos de continuidad, ahora extenderemos la definición de función derivable a intervalos de derivablidad, la extensión a intervalos se hace de manera natural y es la siguiente:
),(),(),(
),,()´(
),(:
óaóaformassiguientes
lasdetambiénserpuedetervaloinestebaptodoparaexistepfsi
baabiertotervaloinunenderivableesffunciónunaDefinición
Si definimos intervalos de derivabilidad es porque algunas funciones no son diferenciables en algunos puntos, y esto pasa simplemente porque el límite no existe en esos puntos. A ahora veremos un teorema que hará más fácil el trabajo de buscar estos intervalos:
pencontinuaesfentoncespenblediferenciaesfsiTeorema ,:
La demostración de este teorema es sencilla y la haremos a continuación, bastara ver que f(x) tiende a f(p) cuando x tiende a p:
En estos ejemplos esta la notación de Leibniz, útil cuando se con la notación de incrementos (deltas) y mas adelante se podrá ver como un “cociente” Deje que ellos definan estos intervalos Es importante por que es necesario que el intervalo sea abierto Deje que ellos traten de hacer la demostración en el tablero
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-10
0
)0(*)´(
,lim)()(
lim
1,)()(
lim)]()([lim
pf
miteslilosdespropiedadepxpx
pfxf
porcionmultiplicapxpx
pfxfpfxf
pxpx
pxpx
Como la diferencia entre f(x) y f(p) se hace cero cuando x tiende a p,
concluimos que )()]([lim pfxfpx
. Así que f es continua en p.
Del teorema anterior podemos concluir, que si una función no es continua en un punto, tampoco es diferenciable, pero cabe la pregunta, ¿toda función continua es diferenciable? Para contestar esa pregunta proponemos el siguiente ejercicio que los participantes ya están en capacidad de responder:
¿Dónde es derivable la función xxf )( ?
Respuesta: en todo punto menos en el cero, pero la función es continua en todas partes. Esto pasa por que la función tiene picos o cambios abruptos de dirección, y al tratar de calcular la derivada vemos que los límites por izquierda y derecha difieren. Para terminar esta sección, sabemos que una función no es derivable, simplemente si el límite no existe, y por las lecciones anteriores sabemos que un límite no existe si tiende a infinito y esto pasa cuando la función presenta una recta tangente vertical. Entonces, a manera de conclusión podemos dar las formas en que una función es no diferenciable:
Discontinuidad en un punto
Presenta picos o esquinas
Tiene una recta tangente vertical Ahora podemos hacer ejercicios para complementar la teoría.
Esta demostración ayuda a complementar lo visto en límites Esta conclusión puede no ser muy clara, explíquela muy bien En este ejercicio, hágalos hacer todos los límites y además pídales continuidad Deje que ellos digan cuando no existen los límites, y muestre que ya vimos varios, discontinuidad y picos falta límites que dan infinito Deje que ellos llenen los espacios Recapitule cuando la función no es derivable
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
2006-II RAZONES DE CAMBIO, LA DERIVADA Y SU FUNCIÓN PL 6-11
7. ejercicio final El momento final del problema transversal fue enunciado en la lección anterior, con el fin de que investigaran y desarrollaran una posible solución. En este momento se deben hacer las presentaciones finales para cumplir nuestro objetivo de desempeño, refiriéndonos a las conclusiones en los dos momentos de nuestro problema transversal, por parte de cada uno de los equipos de trabajo.
8. Resumen Enfatice los conceptos claves de la lección:
Recta tangente
Razones de cambio (velocidad)
Definición de derivada
La función derivada Recuerde que la matemática se aprende haciendo ejercicios por su cuenta, que solo ver soluciones no hace que aprendan, deje algunos ejercicios que les pellizquen la curiosidad. Por último revise los objetivos planteados para esta lección y verifique su cumplimiento, este atento en el ejercicio final que presenta el mayor de los retos y hace parte fundamental de esta metodología de enseñanza.
Deje suficiente tiempo para la investigación y realice observaciones objetivas Pregunte y vea la claridad de los conceptos Comente todo el trabajo realizado a través del curso y apoye a sus estudiantes sobre el buen trabajo que hicieron recuerde MOTIVACION
118
CONCLUSIONES
o Estos métodos a pesar que nacen en las ciencias de la salud, pueden
ser llevados al ambiente de la enseñanza-aprendizaje de otras
disciplinas, en particular de las matemáticas para grupos no
numerosos, permitiendo un equilibrio entre el esfuerzo del profesor y
del estudiante, de tal manera que se obtengan las características
deseables en una clase de matemáticas.
o Dentro del curso de Cálculo Diferencial, los temas de límites,
continuidad y derivadas, fueron desarrollados bajo el modelo
propuesto mostrando que es posible el diseño de cursos de
matemáticas siguiendo paralelamente el ABP y el MIE.
o La aplicación de los métodos Aprendizaje Basado en Problemas y el
Método Interactivo de Enseñanza a la enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas es más efectiva si se desarrollan todas las materias del
ciclo básico de matemáticas con este método. Esto debido a que un
problema puede contener elementos cuyo análisis requiera de la
mirada que proporcionan otras materias.
119
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