MATEMÁTICAS I - SEMANA 9

Docentes:Xyoby Chávez PachecoSergio Quispe RodríguezCristina Navarro FloresNaudy López RodríguezPatricia Reynoso Quispe Cordelia Khouri de Arciniegas

2

Logro R1

4

Definir y calcular integrales indefinidas mediante

diversos métodos (sustitución, partes, sustitución

trigonométrica, fracciones parciales)

MATEMÁTICAS I

Antiderivada

Definición: Una función 𝐹 recibe el nombre de antiderivada de 𝑓

en un intervalo 𝐼 si:

𝐹′(𝑥) = 𝑓 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐼

MATEMÁTICAS I

Calcular la antiderivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥2

Ejemplo:

MATEMÁTICAS I

Teorema:

Una función 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en un intervalo 𝐼,

entonces la antiderivada mas general de 𝑓 en 𝐼 es :

𝐹 𝑥 + 𝐶 , donde 𝐶 es una constante arbitraria

Es decir:

න𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 ⟺ 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)

MATEMÁTICAS I

Antiderivada Antiderivada

MATEMÁTICAS I

Regla de sustitución

Si 𝑢 = 𝑔 𝑥 es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo 𝐼 y 𝑓

es una función continua entonces:

න𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = න𝑓 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑔(𝑥)

Ejemplo: Resolver න2𝑥 𝑥2 + 1 𝑑𝑥

Veamos:

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑢 = 𝑥2 + 1 Notando que 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 𝐼 = න𝑢1/2𝑑𝑢 =𝑢3/2

3/2

=𝑥2 + 1 3/2

3/2+ C

MATEMÁTICAS I

Integración por partes

Denotando 𝑢 = 𝑓 𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑔(𝑥) entonces los diferenciales son

𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 por la regla de sustitución:

න𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −න𝑣𝑑𝑢

Ejemplo: Determinar

Veamos:

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑢 = −cos 𝑥

න𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑣 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

න𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − න𝑢𝑑𝑣 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − න −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 == −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥

MATEMÁTICAS I

Ejercicio 01:

Solución

න8𝑥 4𝑥2 − 3 5𝑑𝑥Integrar:

Se hace un cambio de variable: 𝑢 = 4𝑥2 − 3 por lo que 𝑑𝑢 = 8𝑥𝑑𝑥

Sustituyendo en la integral dada se tiene:

න8x 4𝑥2 − 3 5dx = න 4𝑥2 − 3 5 8𝑥𝑑𝑥

= න𝑢5𝑑𝑥

=1

6𝑢6 + 𝐶

=1

6(4𝑥2 − 3)6+𝐶

MATEMÁTICAS I

Ejercicio 02:

Solución:

න3𝑥 + 6

2𝑥2 + 8𝑥 + 3𝑑𝑥Integrar

Sustituyendo: 𝑢 = 2𝑥2 + 8𝑥 + 3 con 𝑑𝑢 = (4𝑥 + 8)𝑑𝑥

Observe que:3𝑥 + 6 𝑑𝑥 = 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =

3

44 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =

3

44𝑥 + 8 𝑑𝑥 =

3

4𝑑𝑢

En la integral dada se tiene:

න3𝑥 + 6

2𝑥2 + 8𝑥 + 3𝑑𝑥 = න

1

2𝑥2 + 8𝑥 + 3[(3𝑥 + 6)𝑑𝑥]

= න1

𝑢

3

4𝑑𝑢 =

3

4න𝑢−1/2𝑑𝑢

=3

4

𝑢1/2

1/2+ 𝐶 =

3

2𝑢 + 𝐶

=3

22𝑥2 + 8𝑥 + 3 + 𝐶

MATEMÁTICAS I

Ejercicio 03:Solución:

Determinar: න𝑥2ln(𝑥)𝑑𝑥

Elija las funciones 𝑢 y 𝑣 de modo que 𝑣𝑑𝑢 sea más fácil de evaluar que 𝑢𝑑𝑣. Así:

𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥

𝑑𝑢 =1

𝑥𝑑𝑥 𝑣 =

1

3𝑥3

න𝑥2ln(𝑥)𝑑𝑥 = න(𝑙𝑛(𝑥))

𝒖

𝑥2𝑑𝑥

𝒅𝒗

= 𝑙𝑛(𝑥)

𝒖 ฑ1

3𝑥3

𝒗

−නฑ1

3𝑥3

𝒗

ฑ1

𝑥𝑑𝑥

𝒅𝒖

=1

3𝑥3 ln 𝑥 −

1

3න𝑥2𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 ln 𝑥 −

1

3

1

3𝑥3 + 𝐶

=1

3𝑥3 ln 𝑥 −

1

9𝑥3 + 𝐶

MATEMÁTICAS I

Ejercicio 04:

Solución

Integrar:

න𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 = නฎ𝑥𝒖

𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝒅𝒗

= ฎ𝑥𝒖 1

2𝑒2𝑥

𝒗

−න1

2𝑒2𝑥

𝒗

ฏ𝑑𝑥

𝒅𝒖

=1

2𝑥𝑒2𝑥 −

1

2

1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

=1

2𝑥 −

1

2𝑒2𝑥 + 𝐶

Eligiendo apropiadamente las funciones 𝑢 y 𝑣 se tiene:

න𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 =1

2𝑒2𝑥