matemáticas 1 - ade/fyco - 2019/2020 examen final...
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Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 1
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
329 000 euros hasta un valor final de 210 000 euros a lo largo de 7
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **6.*****%.
2) El interés será del **2.*****%.
3) El interés será del **0.*****%.
4) El interés será del **4.*****%.
5) El interés será del **1.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 154 -577 -48
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función
que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la
legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -57
y -12. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).
1) Se alcanzarán en el intervalo [1,7].
2) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
3) Se cumplirá en los intervalos: [0,4] y [6,9].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
5) Se alcanzarán en el intervalo [6,7].
6) Se cumplirá en los intervalos: [1,4] y [6,7].
7) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(-4 + 9 t)sen(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).
1) -6 euros
2)-8 - 9 π
3 πeuros = -3.8488 euros
3)-8 + 9 π
3 πeuros = 2.1512 euros
4)-8 + 27 π
3 πeuros = 8.1512 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 1 -1 2 ), ( -2 1 1 2 ), ( 0 -2 -2 -1 ), ( 0 -1 0 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
2
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -20 1
.X - 7 -42 -1
=-2 0-3 2
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x2 - 5 x3 + 3 x4 + 2 x5 ⩵ -43 x1 + 5 x2 - 3 x3 + 4 x4 + 3 x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-1???
+⟨
????
-10
,
????2
,
???12?
⟩
2)
??0??
+⟨
???6?
,
????1
,
???9?
⟩
3)
-6????
4)
???-1?
5)
-2????
+⟨
????
-12
,
????3
,
????
-14
⟩
3
4
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 2
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 5% compuesto en 5 períodos y en la que inicialmente depositamos 14 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
22 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 92 573 78
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 178.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 114.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 13.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue -3.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 19.
5
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 120 x + 30 x2 - 60 x3 - 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
3 x + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=3.
1) 43
2)85
2= 42.5
3)91
2= 45.5
4) 45
5)89
2= 44.5
6) 44
7) 41
8)87
2= 43.5
6
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 10 1 1 00 0 1 01 -1 -1 2
.
1)
? -3 0 50 ? 0 00 -2 ? 10 -1 0 ?
2)
? -3 2 20 ? -1 -10 0 ? 00 -1 1 ?
3)
? -1 0 -10 ? -1 00 0 ? 0-1 1 0 ?
4)
? -1 -2 00 ? 0 00 0 ? 01 -1 -2 ?
5)
? -1 -2 1-2 ? 2 0-1 0 ? 03 0 -2 ?
6)
? -1 -1 00 ? 1 00 0 ? 00 1 1 ?
7)
? -1 0 -1-2 ? -1 1-1 1 ? 1-1 1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 5 2-3 -1
. 1 0-2 1
=4 1-2 0
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 - 5 x2 + 3 x3 - 8 x4 ⩵ 3-2 x1 + 3 x2 - x3 + 3 x4 ⩵ 3x2 + x3 - 2 x4 ⩵ 9
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-1??
+⟨
???-1
,
??
-10?
⟩
2)
???
-10
+⟨
??7?
,
?-6??
,
?8??
,
-10???
⟩
3)
?0??
+⟨
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,
???-4
⟩
4)
??36?
+⟨
???5
,
???-6
⟩
5)
??-7?
7
8
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 3
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el banco
B. En el banco A nos ofrecen un interés del 10% compuesto en 10 períodos
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 4%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 13 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=-2 sin(x + 3) + 2 - 3 cos(x + 3) x ≤ -3
x (x + 2) - 10 -3 < x < -1-sin(x + 1) - 2 cos(x + 1) - 5 -1 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-3.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-3 y x=-1.
9
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 24 x + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(4 + 2 t)log(5 t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 90
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 2 años.
1) 168 - 5 Log[5] + 21 Log[15] millones de euros = 216.8219 millones de euros
2)141
2- 5 Log[5] + 32 Log[20] millones de euros = 158.3162 millones de euros
3) 62 - 5 Log[5] + 45 Log[25] millones de euros = 198.8022 millones de euros
4) 78 - 5 Log[5] + 21 Log[15] millones de euros = 126.8219 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 0 -2 -10 1 0 10 0 1 01 0 2 2
.
1)
? -2 1 00 ? -1 01 -1 ? 01 -2 1 ?
2)
? -1 -1 0-2 ? 4 -1-1 0 ? 02 0 -3 ?
3)
? -1 0 -12 ? 0 -10 -2 ? 0-1 0 0 ?
4)
? 0 2 11 ? 2 00 0 ? 0-1 0 -2 ?
5)
? 0 -2 -2-1 ? 0 1-1 1 ? 10 0 1 ?
6)
? 0 -1 0-1 ? 1 00 2 ? 10 2 1 ?
7)
? 0 -1 00 ? -1 01 -1 ? -1-2 -1 -3 ?
10
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 9 7-4 -3
. -5 22 -1
-1=
-24 -559 20
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 - 3 x2 + 4 x3 + x4 ⩵ 5-4 x1 - 2 x2 - 5 x3 - x4 ⩵ 2-x2 + 9 x3 + 2 x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
3???
+⟨
??-9?
,
???26
⟩
2)
???33
+⟨
??-8?
,
???23
⟩
3)
???32
+⟨
???37
,
??-7?
⟩
4)
???8
+⟨
?-3??
⟩
5)
-2???
+⟨
??-4?
,
?9??
,
??9?
,
2???
⟩
11
12
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 4
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 400 000 euros hasta un valor final de
249 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **8.*****%.
3) El interés será del **1.*****%.
4) El interés será del **4.*****%.
5) El interés será del **9.*****%.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-sin(3 - x) + 3 cos(3 - x) - 4 x ≤ 3
-1
4(x - 10) x -
5
43 < x < 5
cos(5 - x) + 9 5 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=5.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3 y x=5.
13
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 2 x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(6 + t)ⅇ3-t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).
1)1
77 ⅇ
3- 6 ⅇ
4 euros = -26.7129 euros
2)1
7-8 ⅇ
2+ 7 ⅇ
3 euros = 11.6409 euros
3)1
7-14
ⅇ4+ 7 ⅇ
3 euros = 20.0489 euros
4)1
7-9 ⅇ + 7 ⅇ
3 euros = 16.5906 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 1 1 0 0 -2 ), ( -2 2 1 -1 -2 ), ( -3 1 1 -1 0 )
, ( -1 0 -1 0 2 ), ( -3 2 0 -1 0 ), ( -4 4 2 -2 -4 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
14
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
4 -73 -5
.X. 5 38 5
=24 1516 10
1) 0 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + 4 x2 + 6 x3 + 4 x4 - 9 x5 ⩵ 1x1 + x2 + x3 - 2 x5 ⩵ -2x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 - 5 x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???-3?
+⟨
?-6???
,
7????
,
-2????
⟩
2)
??2??
3)
?8???
+⟨
?-6???
,
?-1???
,
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⟩
4)
?2???
+⟨
??5??
⟩
5)
????0
+⟨
2????
,
?-4???
,
?3???
⟩
15
16
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 5
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 458 000 euros hasta un valor final de
306 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **4.*****%.
2) El interés será del **8.*****%.
3) El interés será del **2.*****%.
4) El interés será del **7.*****%.
5) El interés será del **6.*****%.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 -31 512 101
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 189.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 15.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 389.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue -3.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 14.
17
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 3 x2 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 + 2 t)log(3 t) euros.
Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 3 (entre t=1 y t=3).
1)1
2-33
2- 4 Log[3] + 28 Log[12] euros = 24.3415 euros
2)1
2(-10 - 4 Log[3] + 18 Log[9]) euros = 12.5778 euros
3)1
3(-24 - 4 Log[3] + 40 Log[15]) euros = 26.6425 euros
4)1
3-33
2- 4 Log[3] + 28 Log[12] euros = 16.2276 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 -2 0 -2 1 ), ( 2 2 0 -1 2 ), ( -3 -3 -2 0 0 )
, ( 0 -2 -1 -2 0 ), ( -4 -4 0 -4 2 ), ( -1 -1 -2 2 -1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
18
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
8 -5-3 2
.X + 1 00 1
=21 0-8 0
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - x2 - 5 x3 + 2 x4 - 5 x5 ⩵ 0-x1 + x2 - 5 x3 - x4 - x5 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??1??
+⟨
?17???
,
-3????
,
?9???
⟩
2)
????2
3)
?0???
+⟨
?15???
,
-1????
,
6????
⟩
4)
-8????
+⟨
?-3???
,
?-10???
⟩
5)
??-3??
+⟨
13????
,
?2???
,
?8???
⟩
19
20
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 6
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 7%, en la que pasados 2 años
se pasa a ofrecer un interés compuesto del 2%. Inicialmente depositamos
11 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 101 173 25
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 15.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 4.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 25.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 26.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue -2.
21
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 40 x3 + 9 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 4
6
(-9 - 4 a + 3 t - 4 a t
-3 - 2 t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) -4.81685
3) -4.08785
4) -4.44315
5) -4.39445
6) -4.68995
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 6 -9 -6 ) es combinación lineal de la uplas
( -2 -1 -2 ), ( 0 1 -1 ), ( -2 1 -1 ), ( 0 -2 -1 ),
1) Si 2) No
22
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -1-1 2
.X. 0 1-1 3
-1=
1 0-5 1
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 + 5 x2 + x4 + 2 x5 ⩵ -52 x1 - 3 x2 - 6 x3 - 3 x4 - 4 x5 ⩵ -1-x1 + x2 - 3 x3 - x4 - x5 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
0????
+⟨
????5
,
???7?
,
????3
⟩
2)
???8?
+⟨
???-3?
,
????-4
,
????6
⟩
3)
???4?
+⟨
-8????
,
???5?
⟩
4)
????-5
+⟨
????2
,
????-3
,
????6
⟩
5)
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-10??
+⟨
5????
,
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⟩
23
24
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 7
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 4% compuesto en 9 períodos, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un
interés del 5% compuesto en 6 períodos. Inicialmente depositamos
15 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→1
11
3- 6 x + 3 x2 - 2 x3
3+ Logx2
1 - 4 x + 6 x2 - 4 x3 + x4
1) 1
2) -1
3) -1
2
4) -2
5) -∞
6) ∞
7) 0
25
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 10 x3 - 5 x4 - 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 2 a
-4
(-15 - 22 a + 22 t + 68 a t - 51 t2 - 30 a t2 + 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) 1286
3) 1293
4) 1283
5) 1295
6) 1298
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 1 6 1 -1 ) es combinación lineal de la uplas
( -3 -3 -3 -2 ), ( -2 -3 -2 -1 ), ( -2 -1 -1 -2 )
, ( 0 2 1 -1 ), ( -1 -2 -2 0 ), ( -2 -4 -4 0 ),
1) Si 2) No
26
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-3 5-2 3
.X - -1 10 -1
=5 113 7
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 3 x2 - 4 x3 - x4 + 4 x5 ⩵ -2-x1 + 2 x2 - 5 x3 + 5 x4 - 5 x5 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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+⟨
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,
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,
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⟩
2)
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,
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,
??-9??
,
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⟩
3)
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+⟨
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,
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,
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,
?-2???
⟩
4)
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+⟨
26????
,
?-10???
,
8????
⟩
5)
-2????
+⟨
20????
,
?-6???
,
9????
⟩
27
28
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 8
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 10%, en la que pasados 2 años
se pasa a ofrecer un interés del 7% compuesto en 6 períodos. Inicialmente depositamos
13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
2 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
Ejercicio 2A partir de un capital inicial de 20000, el interés en cierta cuenta varía
de un año a otro de modo que el capital viene dado por la función C(t)=
20 0009 + t + 3 t2 - t3
-6 + 3 t - 9 t2 - t3
8-4 t+3 t2
. Determinar la tendencia de futuro calculando
el capital que podemos esperar en la cuenta pasado un gran número de años.
1) -∞
2)20 000
ⅇ5
3)20 000
ⅇ3
4) 20 000
5) 20 000 ⅇ3
6) 0
7) ∞
29
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 20 x3 - 15 x4 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -a
-1
(-6 - 7 a - 14 t + 36 a t + 54 t2 - 15 a t2 - 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 17
2) 9
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) 34
5) 14
6) 24
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -2 1 -1 2 ) es combinación lineal de la uplas
( -4 2 -2 4 ), ( -2 1 -1 2 ),
1) Si 2) No
30
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0-1 1
-1.X +
3 12 1
=2 24 3
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
-1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 10 x3 - 9 x4 + 5 x5 ⩵ -107 x1 + 2 x2 + 5 x4 + x5 ⩵ 03 x1 + x2 - 5 x3 - 2 x4 + 3 x5 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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-10
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,
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,
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,
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2)
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3)
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,
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,
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5)
13????
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,
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31
32
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 9
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 4%, en la que pasados 2 años
se pasa a ofrecer un interés compuesto del 2%. Inicialmente depositamos
15 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 244 -968 -120
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función
que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la
legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -96
y -48. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=8).
1) Se cumplirá en los intervalos: [0,4] y [10,12].
2) Se alcanzarán en el intervalo [2,10].
3) Se cumplirá en los intervalos: [2,4] y [8,12].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,10].
5) Se alcanzarán en el intervalo [2,4].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
7) Se alcanzarán en el intervalo [2,8].
8) Se alcanzarán en el intervalo [8,10].
33
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 240 x2 - 40 x3 - 30 x4 + 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 3 a
0
(6 - 24 a + 16 t + 42 a t - 21 t2 + 27 a t2 - 12 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -26
2) -10
3) -27
4) -32
5) El resto de las soluciones son incorrectas
6) -21
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 1 -2 -2 5 ) es combinación lineal de la uplas
( -4 -4 -4 -4 ), ( 1 -2 1 2 ), ( -2 -2 -2 -2 ), ( 2 0 -1 0 ), ( 1 0 0 -2 ),
1) Si 2) No
34
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 1
.X - 1 01 1
=-2 0-3 -2
1) 1 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - x2 - 2 x3 - 5 x4 ⩵ 55 x1 + 2 x2 - 5 x3 - 8 x4 + 6 x5 ⩵ -12 x1 + x2 - x3 - x4 + 2 x5 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
4????
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,
4????
,
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⟩
2)
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+⟨
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,
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,
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,
1????
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3)
?-6???
+⟨
2????
,
8????
,
-4????
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4)
2????
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⟩
5)
3????
+⟨
3????
,
6????
,
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⟩
35
36
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 10
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un interés compuesto del 6%
, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un interés del 8% compuesto en 2 períodos
. Inicialmente depositamos 8000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
2 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=-2 ⅇx+1 - cos(x + 1) - 1 x ≤ -1-2 (x + 3) -1 < x < 2-2 ⅇx-2 + cos(2 - x) - 9 2 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=2.
37
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 40 x3 - 9 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -3 a
4
(2 + 9 a + 6 t - 36 a t - 18 t2 + 18 a t2 + 8 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 134
2) El resto de las soluciones son incorrectas
3) 142
4) 121
5) 127
6) 132
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 9 5 -2 3 ) es combinación lineal de la uplas
( 1 0 2 -1 ), ( -1 1 4 -2 ), ( 2 -1 -2 1 ),
1) Si 2) No
38
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -20 1
.X. 3 15 2
=5 20 0
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 - x5 ⩵ 53 x1 - 5 x2 - x3 - x4 + 2 x5 ⩵ 2-x1 + 7 x2 + 4 x3 + 2 x4 - 3 x5 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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+⟨
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,
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,
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2)
?-3???
+⟨
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,
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3)
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4)
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5)
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+⟨
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,
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⟩
39
40
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 11
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 2% y en la que inicialmente depositamos 12 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
16 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-24 x + 4 x2 + x3
-12 - 8 x + x2 + x3
1) -2
3
2)2
5
3) 1
4) 0
5) ∞
6) -∞
7) -1
41
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 30 x2 - 20 x3 + 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-6 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=2 y x=5.
1) 145
2) 144
3)289
2= 144.5
4)291
2= 145.5
5)285
2= 142.5
6) 143
7) 141
8)287
2= 143.5
42
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 02 1 0 11 0 1 01 0 0 1
.
1)
? -2 0 0-1 ? 1 10 0 ? 0-1 1 0 ?
2)
? -2 0 00 ? 0 10 1 ? 00 -1 -1 ?
3)
? -2 1 01 ? 1 -10 1 ? 10 1 0 ?
4)
? 0 0 0-1 ? 0 -1-1 0 ? 0-1 0 0 ?
5)
? -1 -1 10 ? 0 00 1 ? 01 0 0 ?
6)
? -1 2 -3-1 ? -1 21 -1 ? -40 0 0 ?
7)
? 0 -1 -10 ? 1 00 0 ? 10 1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - -7 -105 7
. 0 1-1 -1
=-10 -48 4
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 - 4 x2 + 4 x3 + 5 x4 ⩵ 1-2 x1 + 4 x2 - x3 - x4 ⩵ -38 x1 - 4 x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
2???
+⟨
???14
,
??13?
⟩
2)
-9???
3)
??9?
+⟨
7???
,
??0?
,
?-2??
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4)
?3??
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???15
,
??18?
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5)
??14?
+⟨
???12
,
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⟩
43
44
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 12
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés del 1% compuesto en 2 períodos
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 7%
. Inicialmente depositamos 15 000 euros en el banco A y 2000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
sin(1 - x) + 3 cos(1 - x) - 3 x ≤ 11
4((x - 14) x + 13) 1 < x < 3
-2 ⅇx-3 - 2 cos(3 - x) - 1 3 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=3.
45
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 12 x - 3 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=2 + t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 90
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1)358
3millones de euros = 119.3333 millones de euros
2) 105 millones de euros
3)277
3millones de euros = 92.3333 millones de euros
4)290
3millones de euros = 96.6667 millones de euros
46
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 0 10 1 0 -1-1 0 1 00 0 0 1
.
1)
? -3 0 -10 ? 0 00 1 ? 01 3 0 ?
2)
? -3 0 12 ? 1 10 -1 ? 02 -2 0 ?
3)
? 1 0 00 ? 0 11 1 ? 00 0 0 ?
4)
? -1 0 00 ? 1 01 -1 ? 00 0 0 ?
5)
? -1 1 -10 ? -1 00 -1 ? 0-1 0 2 ?
6)
? -1 2 -22 ? 0 10 0 ? 12 1 -1 ?
7)
? 0 -1 -12 ? -1 -31 0 ? 0-2 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -1-1 1
.X. 1 20 1
=3 6-2 -4
1) 1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - x2 - x4 ⩵ 1-x1 - x2 - 5 x4 ⩵ 34 x1 + x2 - 7 x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-1???
+⟨
-1???
,
?-12??
⟩
2)
???0
3)
5???
+⟨
?1??
,
?-12??
⟩
4)
??1?
+⟨
?7??
⟩
5)
?-5??
+⟨
0???
,
?-9??
⟩
47
48
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 13
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 464 000 euros hasta un valor final de
267 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **5.*****%.
2) El interés será del **9.*****%.
3) El interés será del **6.*****%.
4) El interés será del **0.*****%.
5) El interés será del **2.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 14 417 134
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
22 y 66. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-13
3,7].
2) Se alcanzarán en el intervalo [3,7].
3) Se alcanzarán en el intervalo [-13
3,3].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [3,5].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-13
3,0].
7) Se cumplirá en los intervalos: [-13
3,-
7
3] y [5,7].
8) Se alcanzarán en el intervalo [-13
3,-
7
3].
49
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 24 x2 - 3 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=cos(6 t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).
1) 0 euros
2) -60 euros
3) -70 euros
4) 0 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -1 0 1 1 ), ( -4 -4 2 2 -4 ), ( -2 -2 1 1 -2 ), ( 1 -1 2 1 -1 ), ( -2 -3 1 2 -1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
50
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 3 -2-7 5
. 0 -11 3
=2 10-6 -24
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
-1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 - x2 + 3 x3 + 3 x4 - 2 x5 ⩵ 13 x1 + 4 x2 + 3 x3 - 7 x4 + 5 x5 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???
-10?
+⟨
??6??
,
?-6???
⟩
2)
????8
+⟨
???12?
,
???-1?
,
???
-19?
⟩
3)
???5?
+⟨
???9?
,
???-3?
,
???
-21?
⟩
4)
1????
+⟨
???7?
,
????-7
,
????
-28
⟩
5)
???10?
+⟨
-2????
,
???-4?
⟩
51
52
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 14
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 312 000 euros hasta un valor final de
446 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto en 6 períodos de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **2.*****%.
3) El interés será del **5.*****%.
4) El interés será del **0.*****%.
5) El interés será del **7.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 173 86 -55
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
8 y 17. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [3,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-1,0].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
4) Se cumplirá en los intervalos: [0,0] y [2,3].
5) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [2,3].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
7) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [2,6].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,0].
53
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 6 x2 - 2 x3 + x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(4 + 3 t)log(t) euros.
Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 2 (entre t=1 y t=2).
1)1
2-14 +
51 Log[3]
2euros = 7.0073 euros
2) -14 +51 Log[3]
2euros = 14.0146 euros
3) -25
4+ 14 Log[2] euros = 3.4541 euros
4)1
2-93
4+ 40 Log[4] euros = 16.1009 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 -1 2 2 ), ( 1 -1 -2 2 ), ( -2 1 -1 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
54
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 0-2 -1
.X + -1 10 -1
=1 03 2
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 - 2 x2 + 3 x3 - 4 x4 + x5 ⩵ 3-x1 - x2 + 7 x3 - 3 x4 + 3 x5 ⩵ 95 x1 + 3 x2 + x3 + 5 x4 + x5 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-1??
+⟨
-9????
,
1????
,
?10???
⟩
2)
???1?
+⟨
?19???
,
?-3???
,
-7????
⟩
3)
???-7?
+⟨
????0
,
??10??
⟩
4)
??0??
+⟨
-11????
,
?-5???
,
-5????
⟩
5)
3????
55
56
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 15
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 3% y en la que inicialmente depositamos 10 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
12 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→2-12 + 16 x - 7 x2 + x3
-4 + 8 x - 5 x2 + x3
1) -1
2) ∞
3) 1
4) -∞
5) 0
6) -2
7) -1
2
57
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 24 x - 6 x2 - 8 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
6 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=5.
1) 171
2) 173
3) 174
4)347
2= 173.5
5)345
2= 172.5
6)437
3= 145.6667
7) 153
8)491
3= 163.6667
58
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 0 00 1 -1 00 0 1 00 -1 1 1
.
1)
? -1 -1 00 ? 1 00 0 ? 00 1 0 ?
2)
? -1 0 00 ? 0 00 0 ? 0-1 -1 0 ?
3)
? -1 0 00 ? 0 1-1 1 ? 1-1 0 0 ?
4)
? 0 -1 -11 ? -1 -10 1 ? 00 1 0 ?
5)
? 0 -1 0-2 ? 1 1-1 0 ? 00 0 0 ?
6)
? 0 -1 00 ? 2 -10 0 ? 0-1 -1 -2 ?
7)
? 0 0 0-1 ? 0 -13 -3 ? 2-3 3 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - -1 20 -1
. 0 -11 -1
=-1 01 -2
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-9 x1 - 3 x3 - 2 x4 ⩵ -25 x1 + 5 x2 + 2 x3 + x4 ⩵ 54 x1 - 5 x2 + x3 + x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??10?
+⟨
???0
,
???17
⟩
2)
??10?
+⟨
??-4?
,
???18
⟩
3)
?4??
+⟨
???-7
,
??1?
,
-1???
⟩
4)
??-3?
+⟨
??
-10?
,
??-8?
,
3???
,
???-5
⟩
5)
???
-11
+⟨
??-1?
,
??
-10?
⟩
59
60
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 16
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
413 000 euros hasta un valor final de 104 000 euros a lo largo de 8
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **5.*****%.
2) El interés será del **6.*****%.
3) El interés será del **7.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **4.*****%.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
2 ⅇx-1 - 2 cos(1 - x) + 1 x ≤ 1
ⅇ2 (x - 1) - ⅇx-1 + 2 x + x -sin(2) + 3 + sin(2) - 2 cos(1 - x) 1 < x < 3
-2 sin(3 - x) + 3 cos(3 - x) + ⅇ2 + 9 - 4 sin(2) - 2 cos(2) 3 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=3.
61
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 24 x2 + 16 x3 - 5 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(2 + 4 t)(cos(2πt)+2) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 primeros meses del año (entre t=0 y t=3).
1) 8 euros
2)8
3euros = 2.6667 euros
3) 16 euros
4) 0 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 2 1 -2 2 ), ( -4 -4 4 2 0 ), ( -2 -2 2 1 0 ), ( -1 -1 0 -1 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
62
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 0 1-1 0
. 1 10 1
=-1 -22 2
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
11 x1 + 4 x2 + 2 x3 - 2 x4 + 2 x5 ⩵ 3-25 x1 - 9 x2 + x3 - x4 - 4 x5 ⩵ -2-8 x1 - 3 x2 - 7 x3 + 7 x4 - 2 x5 ⩵ -7
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?4???
+⟨
????1
,
?-9???
,
????3
,
???-8?
⟩
2)
??-2??
+⟨
19????
,
?59???
,
3????
⟩
3)
???2?
+⟨
??3??
⟩
4)
??-1??
+⟨
?-58???
,
?59???
,
1????
⟩
5)
-19????
+⟨
?-61???
,
?61???
,
2????
⟩
63
64
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 17
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el banco
B. En el banco A nos ofrecen un interés del 6% compuesto en 12 períodos
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 3%
. Inicialmente depositamos 2000 euros en el banco A y 6000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→∞6 + 5 x + 4 x2 + 5 x3
-9 + 2 x + 4 x2 - 2 x3
1) ∞
2) -1
3) -5
2
4) -∞
5) 1
6) -1
4
7) 0
65
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 48 x + 12 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=2 + 2 t + 3 t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 90
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 178 millones de euros
2) 94 millones de euros
3) 106 millones de euros
4) 132 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 1 0 0-1 1 1 -10 0 1 -10 1 -1 2
.
1)
? -1 -1 01 ? 1 00 0 ? 00 0 -1 ?
2)
? -1 0 00 ? -1 00 0 ? 02 -1 -1 ?
3)
? -1 1 1-1 ? -2 -40 1 ? -10 0 1 ?
4)
? -1 1 01 ? 0 0-1 0 ? 1-1 0 1 ?
5)
? 0 -1 01 ? -2 00 0 ? 0-1 1 0 ?
6)
? 0 -1 1-2 ? 1 -10 0 ? 0-1 1 0 ?
7)
? 0 0 -1-1 ? 2 20 1 ? 0-1 1 1 ?
66
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -11 0
.X - 1 0-2 1
=2 03 -1
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 - 3 x2 + 2 x3 - x4 ⩵ 22 x1 - x3 + x4 ⩵ -55 x1 - 3 x2 + x4 ⩵ -8
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-4???
+⟨
???-7
,
??7?
,
??6?
,
?2??
⟩
2)
??3?
+⟨
?-7??
⟩
3)
?-2??
+⟨
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,
??4?
⟩
4)
?3??
+⟨
???-7
,
???0
⟩
5)
0???
+⟨
???-5
,
???3
⟩
67
68
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 18
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 5%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 9%
. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 1000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→∞-8 + 5 x + 6 x2 - 8 x3
5 - 2 x + 3 x2 + 8 x3
1) -3
2) -∞
3) -1
4) -2
3
5) ∞
6) 0
7) 1
69
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 6 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=3 + 3 t + t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 70
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1)203
2millones de euros = 101.5 millones de euros
2)449
6millones de euros = 74.8333 millones de euros
3)382
3millones de euros = 127.3333 millones de euros
4)254
3millones de euros = 84.6667 millones de euros
70
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 0 1 01 -1 1 10 0 0 1
.
1)
? 0 0 01 ? -1 10 1 ? 00 0 0 ?
2)
? -2 1 -11 ? 0 10 0 ? 00 0 0 ?
3)
? -1 -3 30 ? 2 -10 0 ? -10 -1 -1 ?
4)
? -1 -1 -10 ? 0 0-1 -1 ? -21 1 1 ?
5)
? -1 -1 -12 ? 0 -10 0 ? 02 -2 -1 ?
6)
? 0 -1 0-1 ? 2 -1-1 0 ? -1-1 0 2 ?
7)
? 0 -1 01 ? 0 -11 0 ? -11 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -1-7 4
.X + 1 -20 1
=-1 -17 -3
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 3 x2 - x4 ⩵ 0-x1 - 4 x2 - 3 x3 - 2 x4 ⩵ 3-2 x1 - 5 x2 + 3 x3 - x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-2?
+⟨
6???
,
?-2??
⟩
2)
??7?
+⟨
??-8?
,
?-10??
,
??8?
,
??1?
⟩
3)
???-1
+⟨
10???
,
0???
⟩
4)
???6
+⟨
?-5??
,
?-6??
,
?9??
,
??-4?
⟩
5)
??0?
+⟨
9???
,
?-1??
⟩
71
72
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 19
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 6% compuesto en 7 períodos y en la que inicialmente depositamos 8000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
12 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0-x2 + Sinx2
x3
1) -2
2) -∞
3) ∞
4) 1
5) 0
6) -1
7) -1
2
73
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 120 x2 + 160 x3 + 75 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-2 + x + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-3 y x=3.
1)33
2= 16.5
2) 6
3)34
3= 11.3333
4)7
3= 2.3333
5)35
2= 17.5
6) 18
7) 15
8) 17
74
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 1 0 00 -1 1 00 0 0 1
.
1)
? -1 0 0-1 ? 0 11 -1 ? 0-1 0 0 ?
2)
? -1 0 1-2 ? 0 -10 0 ? 0-2 1 0 ?
3)
? 0 0 00 ? 0 00 1 ? 00 0 0 ?
4)
? 0 -2 -20 ? 0 0-1 0 ? 10 0 1 ?
5)
? 0 -1 -10 ? 0 0-1 0 ? 0-1 0 1 ?
6)
? 0 0 -20 ? 1 01 -1 ? -3-1 0 0 ?
7)
? 0 0 -10 ? 1 -10 0 ? 00 1 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -12 -1
.X. 2 -1-1 1
=1 -11 -1
1) 0 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* -1* *
4) * 2* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + 5 x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ -1x1 + 2 x2 - 5 x3 - 3 x4 ⩵ -1-6 x1 - 9 x2 - 9 x3 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
4???
+⟨
-18???
,
-7???
⟩
2)
?-2??
+⟨
?13??
,
?6??
⟩
3)
5???
+⟨
-6???
,
???7
,
???2
,
??-7?
⟩
4)
1???
+⟨
?15??
,
-6???
⟩
5)
???2
+⟨
??8?
,
?0??
,
?-9??
⟩
75
76
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 20
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y
otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 9%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 5%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 8000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
2 ⅇx+1 + 1 x ≤ -1
x log(9) - 2 (x + 2) log(x + 2) + 4 + log(9) -1 < x < 12 sin(1 - x) + cos(1 - x) + 3 - log(9) 1 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=1.
77
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 48 x + 48 x2 - 20 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(3 + 2 t)log(3 t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 30
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 5 años.
1)27
2- 4 Log[3] + 28 Log[12] millones de euros = 78.6829 millones de euros
2) 6 - 4 Log[3] + 40 Log[15] millones de euros = 109.9276 millones de euros
3) -5
2- 4 Log[3] + 54 Log[18] millones de euros = 149.1856 millones de euros
4)155
2- 4 Log[3] + 54 Log[18] millones de euros = 229.1856 millones de euros
78
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 -20 1 0 00 0 1 02 0 0 -3
.
1)
? 0 0 20 ? 0 00 0 ? 0-2 0 0 ?
2)
? -1 -1 -21 ? 0 00 0 ? 10 0 3 ?
3)
? -1 0 02 ? 0 10 0 ? 01 1 0 ?
4)
? -1 0 10 ? 0 00 1 ? 00 0 0 ?
5)
? -1 0 11 ? 0 -1-2 0 ? -10 0 0 ?
6)
? -1 0 31 ? -1 0-1 0 ? 01 -1 0 ?
7)
? -1 1 -10 ? 0 0-1 0 ? 00 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 1
.X + 8 -311 -4
=8 -212 -2
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 + x2 + 8 x3 - 3 x4 ⩵ 45 x1 + 11 x3 - 4 x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???
-68
+⟨
???
-62
,
??4?
⟩
2)
???
-71
+⟨
??
-24?
,
???9
⟩
3)
??-9?
+⟨
-9???
,
?-10??
,
??-8?
⟩
4)
??6?
5)
?3??
+⟨
??
-24?
,
??6?
⟩
79
80
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 21
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 1% y en la que inicialmente depositamos 12 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
20 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→1-2 + 5 x - 3 x2 - x3 + x4
-3 + 7 x - 5 x2 + x3
1) ∞
2) -1
3) 0
4) -∞
5) -1
3
6) -2
3
7) 1
81
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 30 x2 - 20 x3 - 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-4 + 6 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=-1.
1) 101
2)201
2= 100.5
3)205
2= 102.5
4)207
2= 103.5
5) 103
6) 102
7) 99
8)203
2= 101.5
82
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
.
1)
? -1 0 00 ? 0 21 0 ? 00 0 0 ?
2)
? -1 0 02 ? 0 -12 0 ? -1-2 1 0 ?
3)
? -1 1 01 ? 0 00 0 ? 01 0 1 ?
4)
? -1 0 00 ? 0 00 0 ? 00 0 0 ?
5)
? 0 -1 00 ? 1 20 -1 ? -20 2 3 ?
6)
? 0 0 -11 ? 0 01 -1 ? -10 0 0 ?
7)
? 0 0 0-1 ? -1 00 0 ? 00 1 -2 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -12 1
.X - 1 00 1
=0 1-1 -2
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 - x2 + 5 x3 ⩵ 4-2 x1 + x2 + 4 x4 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???0
+⟨
?-10??
,
?-12??
⟩
2)
8???
+⟨
-5???
⟩
3)
?2??
+⟨
-6???
,
-5???
⟩
4)
0???
+⟨
?-12??
,
-6???
⟩
5)
??-2?
+⟨
??-2?
,
??0?
,
??0?
,
?10??
⟩
83
84
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 22
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 5% y en la que inicialmente depositamos 15 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
21 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 41 172 28
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 14.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 53.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 49.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 7.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 12.
85
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 30 x2 - 20 x3 + 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
18 + 3 x - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=1.
1) 82
2)5
2= 2.5
3)163
2= 81.5
4)157
2= 78.5
5)165
2= 82.5
6) 80
7) 81
8)161
2= 80.5
86
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 0 -1 20 1 0 -11 0 1 -1-1 0 -1 2
.
1)
? -1 -1 -10 ? 1 10 3 ? 30 1 1 ?
2)
? -1 -1 01 ? 0 20 0 ? -10 0 0 ?
3)
? 0 0 -10 ? 1 1-1 0 ? 20 0 1 ?
4)
? -1 0 10 ? 0 -11 -1 ? 10 -1 0 ?
5)
? -1 1 00 ? 0 01 -1 ? 00 -1 1 ?
6)
? -1 1 01 ? 0 -10 0 ? 00 0 1 ?
7)
? 0 -1 1-1 ? -1 0-1 0 ? 10 0 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 0-1 1
. -1 -23 5
-1=
-13 -516 6
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 1* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + 4 x2 + 4 x4 ⩵ -44 x1 + 6 x2 + 10 x4 ⩵ -2-x1 - x2 + x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???3
+⟨
2???
,
?-10??
⟩
2)
??-3?
+⟨
1???
,
?-5??
⟩
3)
??0?
+⟨
0???
,
8???
⟩
4)
???-3
+⟨
???-6
,
?-9??
,
??10?
⟩
5)
??6?
87
88
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 23
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 9%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 6%
. Inicialmente depositamos 4000 euros en el banco A y 8000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→-∞-5 - 5 x + 6 x2 + 3 x3 - 5 x4
1) -∞
2) -5
3) 0
4) 1
5) -1
6) -2
7) ∞
89
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 24 x - 18 x2 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=30 ⅇ-3+2 t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 20
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 20 -15
ⅇ3+ 15 ⅇ
3 millones de euros = 320.5362 millones de euros
2) 20 -15
ⅇ3+ 15 ⅇ millones de euros = 60.0274 millones de euros
3) 20 +15
ⅇ5-15
ⅇ3millones de euros = 19.3543 millones de euros
4) 20 -15
ⅇ3+15
ⅇmillones de euros = 24.7714 millones de euros
90
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 -10 1 0 00 0 1 10 0 0 1
.
1)
? 0 1 00 ? 0 00 0 ? -10 0 0 ?
2)
? -1 0 -11 ? 0 -2-1 1 ? 1-1 3 1 ?
3)
? -1 0 1-1 ? 2 0-1 -1 ? 01 0 -1 ?
4)
? -1 0 10 ? 0 -10 0 ? 02 -2 -1 ?
5)
? 0 0 -11 ? -1 -10 0 ? -10 0 -1 ?
6)
? 0 0 0-2 ? 1 0-2 3 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 0 00 ? 0 00 -1 ? 00 -1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 -11 1
.X - -1 5-1 4
=0 -51 -4
1) 0 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 - 8 x2 + 4 x3 + 4 x4 ⩵ -32 x1 - 5 x2 - 3 x3 - 5 x4 ⩵ -5x1 - 3 x2 + 7 x3 + 9 x4 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-2?
+⟨
-1???
,
??-5?
,
5???
,
?-2??
⟩
2)
?-9??
+⟨
44???
,
60???
⟩
3)
?-12??
+⟨
46???
,
59???
⟩
4)
?-6??
+⟨
47???
,
62???
⟩
5)
-6???
+⟨
?2??
,
???8
,
??2?
⟩
91
92
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 24
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 2%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés del 7% compuesto en 11 períodos
. Inicialmente depositamos 10 000 euros en el banco A y 5000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=-ⅇx+1 - 2 cos(x + 1) + 1 x ≤ -1-x - 3 -1 < x < 2sin(2 - x) + 3 cos(2 - x) - 8 2 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=2.
93
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 48 x + 48 x2 - 20 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(2 + 2 t)(cos(2πt)+2) millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 80
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 78 millones de euros
2) 86 millones de euros
3) 110 millones de euros
4) 96 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 2 50 1 -1 -30 0 1 10 1 0 -1
.
1)
? -1 0 00 ? 0 -10 2 ? -10 -1 0 ?
2)
? 2 0 -10 ? -1 20 1 ? -10 -1 -1 ?
3)
? 0 -3 -11 ? -1 00 0 ? 00 -1 0 ?
4)
? 0 -1 00 ? 0 00 0 ? -20 0 0 ?
5)
? 0 -1 01 ? -1 0-1 1 ? 00 0 0 ?
6)
? 0 -1 01 ? -1 30 1 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 0 0-1 ? -1 01 0 ? 03 -1 2 ?
94
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
3 51 2
.X + 0 -11 0
=5 73 3
1) -1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* 1* *
4) * 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + 5 x2 + x3 + 5 x4 ⩵ -2-5 x1 - 9 x2 - x3 - 3 x4 ⩵ -6x1 + 2 x2 - x4 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-2?
+⟨
?-1??
,
-13???
⟩
2)
??2?
+⟨
???7
⟩
3)
?-8??
4)
???0
+⟨
?1??
,
-15???
⟩
5)
??-1?
+⟨
?-2??
,
?5??
⟩
95
96
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 25
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 3% y en la que inicialmente depositamos 5000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los 7000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0
-x +x3
6+ Sin[x]
x4
1) ∞
2) -2
3
3) -∞
4) -2
5) 1
6) -1
2
7) 0
97
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 24 x - 6 x2 + 8 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-4 + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=4.
1)71
3= 23.6667
2)5
3= 1.6667
3)127
6= 21.1667
4)139
6= 23.1667
5)65
3= 21.6667
6)133
6= 22.1667
7)59
3= 19.6667
8)68
3= 22.6667
98
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 0 2 10 1 -1 -10 0 1 0-1 0 1 1
.
1)
? -1 0 -1-1 ? 0 11 0 ? -10 0 -1 ?
2)
? -1 0 00 ? 0 00 -1 ? 00 1 -1 ?
3)
? -1 0 01 ? -1 0-2 1 ? 0-2 0 -1 ?
4)
? 0 -1 -11 ? -1 00 0 ? 01 0 -2 ?
5)
? -1 4 30 ? 0 01 -1 ? 50 0 1 ?
6)
? 0 -1 0-2 ? 3 -10 -1 ? 00 1 0 ?
7)
? 0 -1 00 ? 0 01 0 ? 0-1 -1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 1 21 3
. 1 41 5
=3 136 28
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + 8 x2 + 5 x3 - 2 x4 ⩵ 24 x1 + 11 x2 - 5 x3 ⩵ 3-x1 - 3 x2 + 10 x3 - 2 x4 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???3
+⟨
???-2
⟩
2)
-2???
+⟨
-95???
,
22???
⟩
3)
???-5
+⟨
??-6?
,
???8
,
???-1
⟩
4)
??3?
+⟨
-93???
,
24???
⟩
5)
??2?
+⟨
-92???
,
24???
⟩
99
100
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 26
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de
312 000 euros hasta un valor final de 455 000 euros a lo largo de 6
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **6.*****%.
2) El interés será del **5.*****%.
3) El interés será del **1.*****%.
4) El interés será del **4.*****%.
5) El interés será del **2.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 123 -516 -60
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función
que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la
legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -51
y -15. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [1,3].
3) Se cumplirá en los intervalos: [1,3] y [6,9].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
5) Se alcanzarán en el intervalo [1,7].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,7].
7) Se cumplirá en los intervalos: [0,3] y [7,9].
8) Se alcanzarán en el intervalo [6,7].
101
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 6 x2 - 2 x3 + x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(4 + 7 t)ⅇ-2-t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).
1) 80 +1
6-53
ⅇ8+11
ⅇ2euros = 80.2452 euros
2)1
6-53
ⅇ8+11
ⅇ2euros = 0.2452 euros
3) 140 +1
6-53
ⅇ8+11
ⅇ2euros = 140.2452 euros
4) 90 +1
6-53
ⅇ8+11
ⅇ2euros = 90.2452 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -2 1 -2 ), ( -3 1 -1 3 ), ( 2 1 1 -1 ), ( -1 2 0 2 ), ( 0 2 -2 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
102
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0-2 1
.X. -1 3-1 2
=1 -3-2 6
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + x2 - 3 x3 - x4 + 3 x5 ⩵ 23 x1 + x2 + 4 x3 - x4 + 2 x5 ⩵ -39 x1 + 3 x2 + 5 x3 - 3 x4 + 7 x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-3??
+⟨
????1
,
????-3
,
???21?
⟩
2)
?6???
+⟨
????-5
,
??10??
,
?-5???
,
????-7
⟩
3)
???-6?
+⟨
????-9
⟩
4)
?2???
+⟨
????-3
,
???0?
,
???20?
⟩
5)
?0???
+⟨
????0
,
????0
,
????7
⟩
103
104
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 27
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y
otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 9%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 3%
. Inicialmente depositamos 3000 euros en el banco A y 12 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
Ejercicio 2Una factoría fabrica cierto tipo de dispositivos. El coste marginal (coste
de fabricar una unidad) se reduce cuando producimos grandes cantidades
de dispositivos y viene dado por la función C(x)=7 + 3 x + 5 x2 + 5 x3
4 + 5 x + 2 x2 + 3 x3 + 3 x4
. Determinar el coste por unidad esperado cuando se producen grandes cantidades de unidades.
1) -∞
2) -3
4
3) -1
4) -1
2
5) 0
6) ∞
7) 19 000
105
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 6 x2 - 8 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(7 + 6 t)(cos(2πt)+2) millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 70
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 90 millones de euros
2) 62 millones de euros
3) 166 millones de euros
4) 122 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 1 -11 1 0 01 0 1 0-1 0 -2 2
.
1)
? -1 -1 0-1 ? 2 10 0 ? 00 0 1 ?
2)
? 0 -2 21 ? -2 20 -1 ? -10 0 0 ?
3)
? 0 -1 00 ? 1 00 1 ? 00 0 0 ?
4)
? 0 0 1-2 ? 0 -1-2 0 ? -1-1 0 1 ?
5)
? 0 0 -13 ? 0 -3-1 0 ? 12 0 0 ?
6)
? 0 0 00 ? -1 01 -1 ? 01 0 0 ?
7)
? 0 0 00 ? 0 -10 0 ? 01 0 -1 ?
106
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -42 7
.X. 1 -3-1 4
=6 -23
-11 42
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - x2 + 5 x3 - 6 x4 ⩵ 25 x1 + x2 + x3 - x4 ⩵ 1-6 x1 - 4 x2 + 8 x3 - 10 x4 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??4?
+⟨
???
-23
,
??-7?
⟩
2)
??2?
+⟨
??
-29?
,
??-9?
⟩
3)
???2
+⟨
??5?
,
??-4?
,
?-7??
⟩
4)
???-1
5)
??5?
+⟨
???
-26
,
??-9?
⟩
107
108
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 28
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
412 000 euros hasta un valor final de 298 000 euros a lo largo de 9
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **0.*****%.
3) El interés será del **4.*****%.
4) El interés será del **7.*****%.
5) El interés será del **2.*****%.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
ⅇx-1 x ≤ 1
x -1 + 3 sin(1) - 3 cos(1 - x) + 8 + 3 sin(1) 1 < x < 2
sin(2 - x) + 2 cos(2 - x) + 4 - 3 sin(1) - 3 cos(1) 2 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=2.
109
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 24 x2 + 16 x3 - 5 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 + t)ⅇ1-t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).
1)1
74 ⅇ - 3 ⅇ
2 euros = -1.6134 euros
2) 10 +1
7-11
ⅇ6+ 4 ⅇ euros = 11.5494 euros
3) 30 +1
7-11
ⅇ6+ 4 ⅇ euros = 31.5494 euros
4)1
7-11
ⅇ6+ 4 ⅇ euros = 1.5494 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 2 1 2 -2 ), ( -2 4 -1 1 -4 ), ( 1 -2 2 1 2 )
, ( -4 -4 4 -2 -4 ), ( -3 0 3 1 -4 ), ( -2 -2 2 -1 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
110
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -12 1
.X. 3 21 1
=4 3-5 -4
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + 4 x2 + x3 + 3 x4 + 2 x5 ⩵ 2-8 x1 - 7 x2 - 8 x3 - 10 x4 - 7 x5 ⩵ -5-x1 - 5 x2 + 5 x3 + x4 + x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
0????
+⟨
???-5?
,
???
-14?
,
????
-14
⟩
2)
???5?
+⟨
???-4?
,
????16
,
???7?
⟩
3)
???7?
+⟨
???10?
⟩
4)
????-8
+⟨
???-4?
,
???
-17?
,
???10?
⟩
5)
???1?
111
112
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 29
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
324 000 euros hasta un valor final de 202 000 euros a lo largo de 10
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **2.*****%.
2) El interés será del **5.*****%.
3) El interés será del **3.*****%.
4) El interés será del **9.*****%.
5) El interés será del **4.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 224 -26 22
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
7 y 22. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].
2) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
3) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [5,6].
4) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].
5) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
8) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].
113
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=30 ⅇ-2+3 t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).
1)1
6-10
ⅇ2+ 10 ⅇ
16 euros = 1.481×107 euros
2)1
6-10
ⅇ2+ 10 ⅇ euros = 4.3049 euros
3)1
6
10
ⅇ5-10
ⅇ2euros = -0.2143 euros
4)1
6-10
ⅇ2+ 10 ⅇ
4 euros = 90.7714 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 0 2 -1 ), ( 0 0 -2 -1 ), ( -1 0 1 1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
114
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 30 1
. -1 0-2 -1
=4 21 0
1) 1 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 7 x2 - 6 x3 + 3 x4 + 7 x5 ⩵ -6-x1 - x2 - 2 x3 - 3 x4 + 3 x5 ⩵ -4-3 x1 - 4 x2 + 2 x3 - 3 x4 - 2 x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
16????
+⟨
-9????
,
?9???
,
15????
⟩
2)
???3?
+⟨
?6???
,
9????
,
?7???
,
?9???
⟩
3)
??7??
+⟨
????10
,
???4?
⟩
4)
17????
+⟨
-10????
,
-9????
,
14????
⟩
5)
????1
+⟨
-13????
,
?3???
,
?-12???
⟩
115
116
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 30
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 6%, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un
interés del 7% compuesto en 11 períodos. Inicialmente depositamos
5000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
2 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞5 - 3 x - 6 x2 + 4 x3
-8 + 5 x - 7 x2 + 4 x3
2+3 x+4 x2
1) ⅇ
2) 0
3)1
ⅇ4
4) -∞
5) ∞
6) 1
7)1
ⅇ2
117
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 60 x2 - 10 x3 - 15 x4 + 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 2
5
(-3 - 2 a + 3 t - a t
-2 + t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) -1.38629
3) -1.89139
4) -2.28469
5) -1.28359
6) -1.61979
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -2 -4 -4 ) es combinación lineal de la uplas
( 1 2 2 ), ( 2 4 4 ),
1) Si 2) No
118
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -13 -2
.X + 3 -2-1 1
=6 -216 -5
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 - 9 x2 + 2 x3 - 5 x4 + 2 x5 ⩵ 3-2 x1 + 4 x2 - 4 x3 - 3 x4 + x5 ⩵ 15 x1 + 5 x2 + 2 x3 + 8 x4 - 3 x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??1??
+⟨
???2?
,
????46
,
???
-13?
⟩
2)
???-9?
+⟨
???-4?
⟩
3)
0????
+⟨
????-1
,
????47
,
????
-26
⟩
4)
?3???
+⟨
????-4
,
????48
,
???-8?
⟩
5)
????-3
119
120
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 31
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y
otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 1%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 9%
. Inicialmente depositamos 8000 euros en el banco A y 3000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞2 - 7 x - 6 x2
-5 + 2 x - 6 x2
2+5 x+4 x2
1) ∞
2) 1
3) -∞
4) ⅇ
5)1
ⅇ
6)1
ⅇ4
7) 0
121
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 6 x + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=10 ⅇ-1+2 t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 20
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 20 -5
ⅇ+ 5 ⅇ
3 millones de euros = 118.5883 millones de euros
2) 20 +5
ⅇ3-5
ⅇmillones de euros = 18.4095 millones de euros
3) 20 -5
ⅇ+ 5 ⅇ
5 millones de euros = 760.2264 millones de euros
4) 20 -5
ⅇ+ 5 ⅇ millones de euros = 31.752 millones de euros
122
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 1 0 00 1 1 01 0 -2 1
.
1)
? -6 2 10 ? 0 00 -2 ? 00 -5 2 ?
2)
? -1 0 01 ? 0 0-2 -1 ? 00 0 0 ?
3)
? 0 0 00 ? 0 00 -1 ? 0-1 -2 2 ?
4)
? -1 1 00 ? 0 00 0 ? 02 -1 0 ?
5)
? 0 -1 -11 ? -2 0-2 0 ? 10 -1 0 ?
6)
? 0 -1 0-1 ? -1 10 0 ? 00 0 -1 ?
7)
? 0 -1 11 ? 1 01 0 ? -10 0 2 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 01 1
.X. 1 21 3
=-1 -21 3
1) -2 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* -2* *
4) * 1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 - 2 x2 - 5 x3 - 8 x4 ⩵ 64 x1 + x2 - 3 x3 - 5 x4 ⩵ 43 x1 + 3 x2 + 2 x3 + 3 x4 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?2??
+⟨
??
-30?
,
???8
⟩
2)
???-2
+⟨
??
-27?
,
???11
⟩
3)
???-5
+⟨
??
-25?
,
??
-21?
⟩
4)
???-4
+⟨
??-6?
⟩
5)
?-4??
123
124
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 32
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 1% compuesto en 12 períodos y en la que inicialmente depositamos 8000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
12 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 2352 1793 154
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 11.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 20.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 110.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 15.
125
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 60 x2 - 60 x3 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
6 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-3 y x=1.
1)151
3= 50.3333
2)305
6= 50.8333
3)293
6= 48.8333
4)299
6= 49.8333
5)148
3= 49.3333
6)128
3= 42.6667
7)154
3= 51.3333
8)142
3= 47.3333
126
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 1 -1 -10 1 2 10 0 1 1
.
1)
? -1 -2 -1-1 ? 1 12 -1 ? -10 0 0 ?
2)
? -1 -1 00 ? 1 00 0 ? 01 -1 -1 ?
3)
? -1 0 0-2 ? 1 10 0 ? -1-2 1 1 ?
4)
? 0 0 00 ? 0 10 -1 ? -20 1 -1 ?
5)
? -1 0 20 ? -1 10 0 ? -10 -1 0 ?
6)
? -1 1 02 ? 3 31 -1 ? 10 0 0 ?
7)
? -1 1 10 ? 0 0-1 0 ? 00 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 00 1
-1.X. 1 0
-1 1=
-1 00 1
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 0* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-8 x1 + 9 x2 + 2 x3 - 5 x4 ⩵ 4-4 x1 + 4 x2 - x3 + 2 x4 ⩵ 5-4 x1 + 5 x2 + 3 x3 - 7 x4 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???10
+⟨
???5
,
-7???
,
-2???
⟩
2)
??
-36?
+⟨
???
-14
,
???16
⟩
3)
6???
4)
?-2??
+⟨
???
-18
,
???18
⟩
5)
??
-33?
+⟨
???
-16
,
???17
⟩
127
128
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 33
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 5% compuesto en 5 períodos, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un
interés del 3% compuesto en 3 períodos. Inicialmente depositamos
13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
8 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→∞6 - 9 x - 9 x2
5 + 8 x - x2
1) -1
2) -1
2
3) 0
4) 1
5) -∞
6) 9
7) ∞
129
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 8 x3 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular a
-3
(-2 a + 4 t - 6 a t + 9 t2 - 15 a t2 + 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) 96
3) 101
4) 97
5) 114
6) 119
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 6 -2 -8 3 ) es combinación lineal de la uplas
( -1 0 0 4 ), ( -1 0 1 2 ), ( -1 0 2 0 ), ( -2 2 -2 1 ), ( 2 -2 1 1 ), ( 0 0 -1 2 ),
1) Si 2) No
130
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 1 00 1
. 1 30 1
=0 -11 3
1) 0 *
* * 2)
* -2* *
3) * 0* *
4) * -1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-8 x1 - 5 x2 + 2 x3 + 5 x4 + x5 ⩵ -25 x1 + 3 x2 + 7 x3 + 7 x4 - x5 ⩵ -313 x1 + 8 x2 + 5 x3 + 2 x4 - 2 x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-2??
+⟨
-42????
,
-51????
,
1????
⟩
2)
????-1
3)
-21????
+⟨
?66???
,
?81???
,
?-3???
⟩
4)
??3??
+⟨
-44????
,
-52????
,
0????
⟩
5)
??4??
+⟨
???3?
⟩
131
132
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 34
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 6%, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un
interés del 4% compuesto en 2 períodos. Inicialmente depositamos
14 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
8 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 304 147 44
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
14 y 30. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).
1) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
2) Se cumplirá en los intervalos: [0,2] y [6,7].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,4].
4) Se cumplirá en los intervalos: [0,2] y [4,6].
5) Se alcanzarán en el intervalo [0,0].
6) Se alcanzarán en el intervalo [4,7].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-2,4].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,7].
133
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 120 x2 + 80 x3 - 15 x4 - 6 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -3 a
-1
(3 - 48 a - 32 t - 60 a t - 30 t2 + 45 a t2 + 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -6
2) 12
3) 18
4) 8
5) -2
6) El resto de las soluciones son incorrectas
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 4 4 8 -5 ) es combinación lineal de la uplas
( 0 -2 2 -2 ), ( -3 -4 2 1 ), ( -4 -4 4 2 ), ( -1 -2 0 0 ), ( -2 -2 2 1 ),
1) Si 2) No
134
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -3-1 2
.X - 2 1-1 0
=-3 02 -1
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
6 x1 + 7 x2 + 5 x3 + 5 x4 + 7 x5 ⩵ -6-3 x1 - x2 - 2 x3 - 2 x4 - 3 x5 ⩵ 55 x2 + x3 + x4 + x5 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???3?
+⟨
????-2
,
???10?
,
-9????
,
?0???
⟩
2)
????
-12
+⟨
????-1
,
????8
,
????-1
⟩
3)
??4??
+⟨
???1?
⟩
4)
??0??
+⟨
???3?
,
???
-14?
,
???-1?
⟩
5)
-3????
+⟨
???6?
,
???
-11?
,
????-3
⟩
135
136
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 35
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 4% y en la que inicialmente depositamos 9000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
17 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 -22 384 70
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 2.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 14.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 94.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 11.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 119.
137
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 48 x - 24 x2 - 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-27 + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-3 y x=1.
1) 80
2)167
2= 83.5
3) 84
4)169
2= 84.5
5)163
2= 81.5
6) 82
7) 83
8)165
2= 82.5
138
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
3 -1 0 -3-2 1 0 21 -1 1 -1-1 0 2 2
.
1)
? -2 -2 -10 ? 0 -10 1 ? 10 1 0 ?
2)
? -2 -2 12 ? 0 01 2 ? 0-1 -3 -2 ?
3)
? -1 0 21 ? 0 00 0 ? -1-2 -1 0 ?
4)
? 0 -3 -30 ? -1 -12 0 ? -10 0 1 ?
5)
? 0 -2 00 ? -2 -10 0 ? 00 0 1 ?
6)
? 0 0 0-1 ? 0 01 -1 ? -1-2 2 -3 ?
7)
? 0 0 0-1 ? 0 01 0 ? -10 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + -1 02 -1
. 2 5-3 -7
=-1 -310 24
1) 0 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * *
-2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 + 5 x2 + 3 x3 + 8 x4 ⩵ 4-4 x1 + 4 x2 - 4 x3 - 11 x4 ⩵ 4x2 + 7 x3 + 19 x4 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-1???
+⟨
???
-26
,
???31
⟩
2)
2???
+⟨
??77?
,
???30
⟩
3)
0???
+⟨
???
-28
,
??
-87?
⟩
4)
3???
+⟨
??8?
⟩
5)
-4???
+⟨
?-8??
⟩
139
140
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 36
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 253 000 euros hasta un valor final de
101 000 euros a lo largo de 8 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto en 5 períodos de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **0.*****%.
4) El interés será del **7.*****%.
5) El interés será del **1.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 34 597 164
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
19 y 36. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-11
3,7].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-11
3,2].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
4) Se cumplirá en los intervalos: [-11
3,-
8
3] y [3,7].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-11
3,0].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-11
3,-
8
3].
7) Se alcanzarán en el intervalo [2,3].
8) Se alcanzarán en el intervalo [2,7].
141
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=sen(4 + t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
π primeros meses del año (entre t=0 y t=π).
1) 80 +2 Cos[4]
πeuros = 79.5839 euros
2) -30 +2 Cos[4]
πeuros = -30.4161 euros
3) -80 +2 Cos[4]
πeuros = -80.4161 euros
4)2 Cos[4]
πeuros = -0.4161 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 -2 -2 -2 ), ( -2 2 2 1 ), ( 1 2 0 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
142
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -11 0
.X - 1 20 1
=-1 -2-1 -2
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 4 x2 - 2 x3 - x4 - 4 x5 ⩵ 3-5 x1 - 2 x2 + 4 x3 + 2 x4 + 7 x5 ⩵ 3-8 x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 + 3 x5 ⩵ 6
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????-7
+⟨
????
-10
,
???
-17?
,
???0?
⟩
2)
????5
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143
144
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 37
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 6% y en la que inicialmente depositamos 6000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los 8000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→1
25
6- 8 x + 6 x2 - 8 x3
3+
x4
2+ Logx2
-1 + 5 x - 10 x2 + 10 x3 - 5 x4 + x5
1) -∞
2) ∞
3) -2
4) 1
5) 0
6)2
5
7) -1
145
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 120 x2 + 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-2 + 3 x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=3.
1)29
3= 9.6667
2) 4
3)26
3= 8.6667
4)17
3= 5.6667
5)11
3= 3.6667
6)49
6= 8.1667
7)55
6= 9.1667
8)23
3= 7.6667
146
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 0 -10 1 0 20 0 1 0-2 0 0 -1
.
1)
? -1 0 -1-4 ? 0 -20 0 ? 02 2 0 ?
2)
? -1 -2 00 ? 3 00 0 ? 00 0 1 ?
3)
? -1 -1 -10 ? 2 00 0 ? 00 0 0 ?
4)
? -1 -1 10 ? 0 00 0 ? 0-1 1 -1 ?
5)
? -1 0 10 ? 1 -1-1 1 ? -10 1 1 ?
6)
? -1 1 -10 ? 0 0-1 1 ? 2-1 1 -3 ?
7)
? -1 1 01 ? 0 00 0 ? 01 0 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -23 5
.X. 0 1-1 1
=1 -4-3 11
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - 2 x2 - 5 x3 - 7 x4 ⩵ -3-2 x1 + 8 x3 + 11 x4 ⩵ 56 x1 + 4 x2 + 2 x3 + 3 x4 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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-23
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2)
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3)
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4)
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5)
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-19
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147
148
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 38
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de
157 000 euros hasta un valor final de 444 000 euros a lo largo de 5
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **1.*****%.
2) El interés será del **6.*****%.
3) El interés será del **9.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **3.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 202 246 8
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
15 y 23. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
2) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [3,5].
3) Se alcanzarán en el intervalo [1,5].
4) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [3,5].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-1,1].
6) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
149
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 48 x2 - 8 x3 + 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(6 + 7 t)(sen(2πt)+2) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 primeros meses del año (entre t=0 y t=3).
1)1
399 -
21
2 πeuros = 31.8859 euros
2)1
319 -
7
2 πeuros = 5.962 euros
3)1
3-5 +
7
2 πeuros = -1.2953 euros
4)1
352 -
7
πeuros = 16.5906 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 1 -1 1 1 ), ( 0 2 -1 -2 ), ( 1 -2 -1 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
150
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 20 1
-1.X. 0 1
-1 1=
1 -2-1 2
1) 0 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* 1* *
4) * 2* *
5) * *
0 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-6 x1 - 10 x2 - 8 x3 + 10 x4 ⩵ -22 x1 + 3 x2 + 2 x3 - 4 x4 - 4 x5 ⩵ -2x1 + 2 x2 + 2 x3 - x4 + 4 x5 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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2????
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,
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2)
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3)
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⟩
4)
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5)
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151
152
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 39
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de
183 000 euros hasta un valor final de 399 000 euros a lo largo de 6
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **6.*****%.
2) El interés será del **3.*****%.
3) El interés será del **1.*****%.
4) El interés será del **9.*****%.
5) El interés será del **5.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 243 456 48
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
33 y 45. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
2) Se alcanzarán en el intervalo [3,6].
3) Se cumplirá en los intervalos: [1,3] y [6,7].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,9].
5) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [7,9].
6) Se alcanzarán en el intervalo [1,3].
7) Se alcanzarán en el intervalo [3,9].
8) Se alcanzarán en el intervalo [6,9].
153
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=sen(5 + 6 t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).
1) 80 euros
2) -90 euros
3) 10 euros
4) 0 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -1 0 -1 ), ( -1 0 0 2 ), ( 1 2 -2 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
154
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 -2-2 5
. 1 10 1
-1=
-1 43 -7
1) -1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* 1* *
4) * 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 + 4 x2 + x3 + x4 - x5 ⩵ 2-10 x1 + 7 x2 + 3 x3 + 4 x4 - 5 x5 ⩵ 35 x1 - 3 x2 - 2 x3 - 3 x4 + 4 x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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155
156
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 40
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 341 000 euros hasta un valor final de
233 000 euros a lo largo de 8 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **4.*****%.
2) El interés será del **1.*****%.
3) El interés será del **5.*****%.
4) El interés será del **2.*****%.
5) El interés será del **6.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 162 325 26
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
26 y 32. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=5).
1) Se alcanzarán en el intervalo [5,5].
2) Se cumplirá en los intervalos: [1,2] y [4,5].
3) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
4) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [4,5].
5) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
6) Se alcanzarán en el intervalo [2,5].
7) Se alcanzarán en el intervalo [1,2].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
157
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 6 x2 - 3 x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=sen(-9 + 3 t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
2 π primeros meses del año (entre t=0 y t=2 π).
1) 30 euros
2) -70 euros
3) 80 euros
4) 0 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -1 0 0 ), ( -1 1 -1 1 ), ( 0 -2 1 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
158
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0-2 1
-1.X -
1 2-2 -3
=-1 -23 4
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
7 x1 - 5 x3 + 5 x4 + 8 x5 ⩵ -33 x1 + 2 x2 - 3 x3 + x4 + 2 x5 ⩵ 5-2 x1 + x2 + x3 - 2 x4 - 3 x5 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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2)
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5)
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159
160
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 41
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un interés compuesto del 6%
, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un interés del 8% compuesto en 7 períodos
. Inicialmente depositamos 6000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
4 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
Ejercicio 2Una factoría fabrica cierto tipo de dispositivos. El coste marginal (coste
de fabricar una unidad) se reduce cuando producimos grandes cantidades
de dispositivos y viene dado por la función C(x)=3 + 5 x + 5 x2 + 3 x3 + 2 x4
7 + 2 x + 9 x2 + 2 x3 + 5 x4
. Determinar el coste por unidad esperado cuando se producen grandes cantidades de unidades.
1) -3
2) ∞
3) 0
4)2
5
5) -∞
6) 18 000
7)43
100
161
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 24 x2 - 8 x3 + x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -3 a
-3
(8 + 6 a + 4 t - 78 a t - 39 t2 + 45 a t2 + 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -763
2) -744
3) -758
4) -768
5) El resto de las soluciones son incorrectas
6) -748
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 6 0 -6 -6 ) es combinación lineal de la uplas
( -2 0 2 2 ), ( -1 0 1 1 ),
1) Si 2) No
162
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 1-1 0
.X + 1 -30 1
=2 -8-1 4
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -1* *
4) * 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 + 9 x2 - x3 - 5 x4 + 2 x5 ⩵ 43 x1 + 7 x2 + 4 x3 - 5 x4 + 4 x5 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
6????
+⟨
????
-10
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2)
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+⟨
?-17???
,
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3)
8????
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,
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4)
10????
+⟨
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5)
?0???
163
164
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 42
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
241 000 euros hasta un valor final de 116 000 euros a lo largo de 7
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **2.*****%.
2) El interés será del **6.*****%.
3) El interés será del **0.*****%.
4) El interés será del **1.*****%.
5) El interés será del **9.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 274 -216 -9
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función
que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la
legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -25
y -9. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [2,6].
3) Se alcanzarán en el intervalo [-2,7].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,6].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-1,4].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
165
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 8 x3 + 4 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=sen(2 + 2 t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).
1) 30 +
Cos[2]
2-
1
2Cos[2 (1 + 3 π)]
3 πeuros = 30. euros
2) 10 +
Cos[2]
2-
1
2Cos[2 (1 + 3 π)]
3 πeuros = 10. euros
3) -70 +
Cos[2]
2-
1
2Cos[2 (1 + 3 π)]
3 πeuros = -70. euros
4)
Cos[2]
2-
1
2Cos[2 (1 + 3 π)]
3 πeuros = 0. euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 2 0 1 ), ( 0 -2 2 -1 ), ( -1 2 -2 -1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
166
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
7 185 13
.X - 2 11 1
=-21 -18-15 -13
1) 0 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x3 - x4 - 2 x5 ⩵ -4-4 x1 + 3 x2 + x4 + x5 ⩵ -14 x1 - 3 x2 - 3 x3 + x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????2
+⟨
???6?
,
????1
,
???-4?
⟩
2)
-3????
+⟨
????-3
,
???-5?
,
???0?
⟩
3)
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5)
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167
168
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 43
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 1% compuesto en 8 períodos, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un
interés compuesto continuamente del 10%. Inicialmente depositamos
14 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
4 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 304 306 18
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
25 y 30. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [4,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-1,0].
3) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [4,5].
4) Se cumplirá en los intervalos: [0,0] y [4,5].
5) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,0].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
8) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].
169
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 10 x3 - 5 x4 - 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -a
3
(2 + 5 a + 10 t + 8 a t + 12 t2 + 3 a t2 + 4 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) 72
3) 66
4) 65
5) 68
6) 70
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 8 -2 6 -4 ) es combinación lineal de la uplas
( -1 -1 -2 1 ), ( -2 -2 -4 2 ),
1) Si 2) No
170
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 0
-1.X +
1 30 1
=2 40 0
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
* 0* *
4) * -1* *
5) * *
-2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
7 x1 - 2 x2 - x3 - 4 x4 + x5 ⩵ 54 x1 - x2 + 4 x4 - 5 x5 ⩵ -5-3 x1 + x2 + x3 + 8 x4 - 6 x5 ⩵ -10
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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171
172
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 44
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
463 000 euros hasta un valor final de 154 000 euros a lo largo de 8
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **9.*****%.
2) El interés será del **2.*****%.
3) El interés será del **0.*****%.
4) El interés será del **1.*****%.
5) El interés será del **5.*****%.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 822 504 26
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue -4.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 2.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 9.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 1.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.
173
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 + 2 t)cos(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
2 π primeros meses del año (entre t=0 y t=2 π).
1) -10 euros
2) 0 euros
3) -2
πeuros = -0.6366 euros
4) -80 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 -2 2 0 -1 ), ( -4 -4 4 0 -2 ), ( -2 -2 -1 0 1 )
, ( -4 -4 -2 0 2 ), ( -4 -4 1 0 0 ), ( -1 -1 -1 0 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
174
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -31 -1
-1.X +
1 -2-1 3
=-3 -6-4 0
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 3 x2 - 3 x3 + 4 x5 ⩵ 1-x1 + 2 x2 + 8 x3 - 2 x4 - x5 ⩵ -2x1 - x2 + 5 x3 - 2 x4 + 3 x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-4????
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6????
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2)
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3)
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3????
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4)
-3????
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⟩
5)
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175
176
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 45
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
343 000 euros hasta un valor final de 175 000 euros a lo largo de 9
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **1.*****%.
2) El interés será del **7.*****%.
3) El interés será del **0.*****%.
4) El interés será del **3.*****%.
5) El interés será del **5.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 222 226 -2
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
7 y 23. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-3,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
3) Se alcanzarán en el intervalo [-1,3].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,6].
6) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].
7) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].
8) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].
177
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 6 x2 - 3 x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=10 ⅇt euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).
1)1
6-10 + 10 ⅇ
2 euros = 10.6484 euros
2)1
6-10 + 10 ⅇ
6 euros = 670.7147 euros
3)1
6-10 +
10
ⅇeuros = -1.0535 euros
4)1
6(-10 + 10 ⅇ) euros = 2.8638 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 1 -2 0 -2 ), ( -2 -4 4 -4 ), ( -1 -2 2 -2 ), ( 0 2 0 1 ), ( 1 1 1 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
178
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0-1 1
.X. 0 -11 0
=1 1-2 0
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 - 2 x2 + x3 + x4 - 2 x5 ⩵ -25 x1 + 2 x2 + 5 x3 + x4 - x5 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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2)
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179
180
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 46
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 9% compuesto en 9 períodos, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un
interés del 8% compuesto en 8 períodos. Inicialmente depositamos
9000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
7 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 154 -336 -33
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función
que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la
legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -33
y -17. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se cumplirá en los intervalos: [2,4] y [6,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
4) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].
5) Se cumplirá en los intervalos: [2,4] y [6,8].
6) Se cumplirá en los intervalos: [0,4] y [6,8].
7) Se alcanzarán en el intervalo [2,6].
8) Se alcanzarán en el intervalo [2,4].
181
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 12 x2 - 2 x3 + 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 2
3
(5 + 5 a + 5 t - 5 a t
-1 + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) -1.13751
3) -2.08301
4) -1.43841
5) -2.29891
6) -1.16981
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -1 5 -2 ) es combinación lineal de la uplas
( -4 -4 -4 ), ( -1 0 2 ), ( -2 0 1 ), ( -2 -2 -2 ),
1) Si 2) No
182
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 11 2
.X - 1 -20 1
=-1 21 0
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
-1 *
* * 4)
* 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 2 x4 + 3 x5 ⩵ 4-2 x1 - 5 x2 + 3 x3 + x4 + 2 x5 ⩵ 29 x1 + 7 x2 - 10 x3 - 4 x4 - 7 x5 ⩵ -8
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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183
184
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 47
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 483 000 euros hasta un valor final de
186 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **1.*****%.
3) El interés será del **4.*****%.
4) El interés será del **0.*****%.
5) El interés será del **7.*****%.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 131 33 -5
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 3.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 13.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 5.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue -3.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue -5.
185
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 6 x2 + 3 x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(6 + 3 t)(cos(2πt)+1) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
9 primeros meses del año (entre t=0 y t=9).
1)39
2euros = 19.5 euros
2) 2 euros
3)5
6euros = 0.8333 euros
4) -1
2euros = -0.5 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 1 2 -1 1 -1 ), ( -1 -1 1 2 -1 ), ( 1 2 -1 0 -1 ), ( -2 -2 2 4 -2 ), ( 0 -2 1 -2 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
186
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + -1 -21 1
. -1 1-1 0
=1 0-2 2
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 + 3 x5 ⩵ -3-2 x1 - 5 x2 - x3 + x4 + 4 x5 ⩵ 3-8 x2 - 5 x3 + x5 ⩵ 6
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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2)
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5)
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187
188
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 48
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 2%, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un
interés del 7% compuesto en 12 períodos. Inicialmente depositamos
12 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
8 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 -12 154 23
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 5.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 20.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 1.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 24.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 4.
189
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 120 x2 + 80 x3 - 15 x4 - 6 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 2 a
3
(8 a - 8 t - 12 a t + 9 t2 - 6 a t2 + 4 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -84
2) -83
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) -103
5) -93
6) -85
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 1 8 -8 -8 ) es combinación lineal de la uplas
( 2 2 -1 -1 ), ( 4 4 -2 -2 ),
1) Si 2) No
190
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 1
.X. -1 -15 4
=-6 -5-6 -5
1) 0 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 3 x3 + x4 - 2 x5 ⩵ 1-7 x1 - 3 x2 + x3 - x4 + x5 ⩵ -13 x1 + 3 x2 + 5 x3 - x4 + 3 x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???9?
+⟨
????7
⟩
2)
????2
+⟨
???
-13?
,
????-6
,
????-5
⟩
3)
??0??
+⟨
???
-10?
⟩
4)
?0???
+⟨
???
-12?
,
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,
????-2
⟩
5)
??-1??
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,
????-6
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⟩
191
192
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 49
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y
otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 8%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 4%
. Inicialmente depositamos 4000 euros en el banco A y 8000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→∞-5 - 8 x - 6 x2 + 9 x3 + x4 + 4 x5
1) ∞
2) -5
3) -7
4) -∞
5) -4
6) 0
7) 1
193
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 12 x - 6 x2 - 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=20 ⅇ1+3 t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 80
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 80 +20
3 ⅇ2-20 ⅇ
3millones de euros = 62.7804 millones de euros
2) 80 -20 ⅇ
3+20 ⅇ10
3millones de euros = 146904.9834 millones de euros
3) 80 -20 ⅇ
3+20 ⅇ4
3millones de euros = 425.8658 millones de euros
4) 80 -20 ⅇ
3+20 ⅇ7
3millones de euros = 7372.7658 millones de euros
194
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 0 1 00 1 0 0-1 1 1 01 -1 -1 1
.
1)
? 1 -1 00 ? 0 01 0 ? 00 0 1 ?
2)
? -1 -1 -11 ? -1 00 -1 ? 0-1 0 1 ?
3)
? -1 0 -1-1 ? 0 00 2 ? 01 0 1 ?
4)
? -1 0 10 ? -1 00 1 ? 0-1 -1 1 ?
5)
? -1 2 00 ? -5 -10 -1 ? 10 0 0 ?
6)
? 0 -1 00 ? 0 00 0 ? 0-1 0 0 ?
7)
? 0 -1 00 ? 0 01 0 ? 00 -1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -11 0
.X. 2 -13 -1
=2 01 0
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 ⩵ -4x1 + 3 x3 + 5 x4 ⩵ -53 x1 + 4 x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-3??
+⟨
??15?
,
??19?
⟩
2)
?6??
3)
8???
+⟨
?4??
⟩
4)
0???
+⟨
??18?
,
??20?
⟩
5)
??9?
+⟨
??15?
,
???
-11
⟩
195
196
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 50
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
416 000 euros hasta un valor final de 268 000 euros a lo largo de 5
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **0.*****%.
2) El interés será del **8.*****%.
3) El interés será del **7.*****%.
4) El interés será del **9.*****%.
5) El interés será del **3.*****%.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=2 ⅇx-3 - 5 x ≤ 33 (x - 2) log(x - 2) - x 3 < x < 42 sin(4 - x) - 2 cos(4 - x) - 2 + log(64) 4 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=4.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3 y x=4.
197
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 6 x2 - 3 x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(9 + 8 t)(cos(2πt)+2) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
4 primeros meses del año (entre t=0 y t=4).
1) 50 euros
2) -5
2euros = -2.5 euros
3) 17 euros
4)13
2euros = 6.5 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 1 2 0 1 ), ( 1 -2 0 2 0 ), ( -3 3 2 -2 1 ), ( 0 -1 1 2 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
198
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + -1 10 -1
. 3 -11 0
-1=
-2 60 -1
1) 1 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
8 x1 + 5 x2 - 5 x3 + 3 x4 - 2 x5 ⩵ 4-5 x1 - 3 x2 + 3 x3 + 5 x4 + 5 x5 ⩵ -3-3 x1 - 2 x2 + 2 x3 - 8 x4 - 3 x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??2??
+⟨
1????
,
?-57???
,
20????
⟩
2)
??-6??
3)
???1?
4)
?-6???
+⟨
-2????
,
?-56???
,
17????
⟩
5)
???0?
+⟨
?1???
,
34????
,
?-30???
⟩
199
200
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 51
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 443 000 euros hasta un valor final de
125 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto en 5 períodos de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **2.*****%.
2) El interés será del **5.*****%.
3) El interés será del **4.*****%.
4) El interés será del **6.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→24 x - 4 x2 + x3
-4 + 8 x - 5 x2 + x3
1) -1
2) -∞
3) 0
4) 2
5) 1
6) -2
7) ∞
201
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(2 + t)log(2 t) euros.
Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 3 (entre t=1 y t=3).
1)1
3-39
4-5 Log[2]
2+ 16 Log[8] euros = 7.2627 euros
2)1
2-39
4-5 Log[2]
2+ 16 Log[8] euros = 10.8941 euros
3)1
3-14 -
5 Log[2]
2+45 Log[10]
2euros = 12.0251 euros
4)1
2-6 -
5 Log[2]
2+21 Log[6]
2euros = 5.5403 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -1 0 -2 0 ), ( -2 2 1 -1 -2 ), ( -2 0 -1 -2 -1 ), ( -4 0 -2 -4 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
202
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -13 2
.X. 3 21 1
=-6 -415 10
1) -1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* 0* *
4) * 1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + 3 x2 + 2 x4 + x5 ⩵ -17 x1 - 5 x2 - 3 x3 - 3 x4 - x5 ⩵ 25 x1 + x2 - 3 x3 + x4 + x5 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-1??
+⟨
???9?
,
???0?
,
????9
⟩
2)
???0?
+⟨
????0
,
?-9???
,
?4???
,
??9??
⟩
3)
0????
+⟨
???6?
,
????1
,
???-3?
⟩
4)
???2?
5)
???1?
+⟨
???9?
,
???-5?
,
???-1?
⟩
203
204
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 52
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 1% y en la que inicialmente depositamos 8000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
13 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0
-1 +x2
2+ Cos[x]
x4
1) -∞
2) 1
3) ∞
4) -1
5)1
3
6) 0
7)1
24
205
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 12 x2 + 12 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
6 - x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=2 y x=5.
1)67
2= 33.5
2) 33
3)63
2= 31.5
4) 35
5) 36
6)71
2= 35.5
7)69
2= 34.5
8)73
2= 36.5
206
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 -20 1 0 -10 1 1 -10 0 0 1
.
1)
? -4 1 -20 ? 0 00 -4 ? -10 1 0 ?
2)
? 0 0 20 ? 0 10 -1 ? 00 0 0 ?
3)
? -1 -1 01 ? -1 01 0 ? 10 1 0 ?
4)
? -1 -1 11 ? -1 02 2 ? 11 1 1 ?
5)
? -1 1 0-2 ? 0 10 -1 ? 0-2 0 0 ?
6)
? 0 -1 11 ? -1 1-1 -2 ? -20 0 1 ?
7)
? 0 0 -1-1 ? 0 10 0 ? 04 -3 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 30 -1
.X - -3 -14 1
=-17 -45 1
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* 1* *
5) * *
-2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 + 2 x2 + 6 x3 - 4 x4 ⩵ -4-3 x1 + 2 x2 - 5 x3 + 3 x4 ⩵ -55 x1 - x2 + 8 x3 - 5 x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
1???
+⟨
???3
,
??6?
⟩
2)
??-9?
+⟨
??10?
,
-2???
,
9???
⟩
3)
???-2
4)
??15?
+⟨
??-2?
,
???8
⟩
5)
??16?
+⟨
??0?
,
???11
⟩
207
208
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 53
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 5% y en la que inicialmente depositamos 11 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
17 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→354 - 81 x + 45 x2 - 11 x3 + x4
18 - 3 x - 4 x2 + x3
1) ∞
2) -1
3) -2
4) -∞
5) 1
6) -2
3
7) 0
209
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 240 x2 - 80 x3 - 30 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
2 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=2.
1)319
3= 106.3333
2) 107
3)677
6= 112.8333
4)331
3= 110.3333
5)671
6= 111.8333
6)683
6= 113.8333
7)340
3= 113.3333
8)337
3= 112.3333
210
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 10 1 0 01 0 1 00 0 0 1
.
1)
? -2 0 30 ? 0 -10 1 ? -2-1 2 0 ?
2)
? -1 -2 0-1 ? 1 01 -1 ? 00 0 0 ?
3)
? -1 -1 10 ? 0 00 -1 ? 1-1 1 0 ?
4)
? 0 0 -10 ? 0 0-1 0 ? 10 0 0 ?
5)
? -1 0 00 ? 0 1-1 1 ? -11 -1 -2 ?
6)
? -1 0 10 ? 0 0-1 0 ? -10 1 1 ?
7)
? -1 1 10 ? 0 -20 0 ? 00 -1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 11 1
-1.X -
0 -11 -1
=0 2-2 -1
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 - 4 x2 - x3 - 2 x4 ⩵ -2-5 x1 + 5 x2 + 3 x3 + 5 x4 ⩵ 13 x1 - 3 x2 + x3 + x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???5
+⟨
??
-10?
,
??10?
⟩
2)
?-1??
+⟨
??
-11?
,
??8?
⟩
3)
-3???
+⟨
??-8?
,
???-8
⟩
4)
??-3?
+⟨
?-10??
,
??4?
,
??-3?
,
?5??
⟩
5)
???-5
+⟨
8???
⟩
211
212
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 54
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 9% compuesto en 10 períodos, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés del 1% compuesto en 3 períodos. Inicialmente depositamos
13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
8 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
Ejercicio 2La población de cierto país (en millones de habitantes) viene dada por la función P(t)=
78 + 8 t - t2
-8 - 5 t - t2
-9+9 t
. Determinar la tendencia de futuro para esta población.
1)7
ⅇ4
2)7
ⅇ
3) -∞
4) 0
5) ∞
6) 7
7)7
ⅇ117
213
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 4 x3 - x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -a
-1
(a + 2 t - 10 a t - 15 t2 - 15 a t2 - 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -18
2) -1
3) -4
4) El resto de las soluciones son incorrectas
5) -8
6) -21
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 0 8 -4 0 ) es combinación lineal de la uplas
( 0 -2 1 0 ), ( 0 -4 2 0 ),
1) Si 2) No
214
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 21 3
.X. 1 11 2
=-5 -8-7 -11
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + x2 - 5 x3 + 5 x4 - x5 ⩵ 5-6 x1 + 5 x2 - 7 x3 + 5 x4 - 6 x5 ⩵ 6-4 x1 + 3 x2 + 3 x3 - 5 x4 - 4 x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?25???
+⟨
21????
,
?-24???
,
?-1???
⟩
2)
???2?
+⟨
?26???
,
-22????
,
?1???
⟩
3)
4????
4)
-5????
+⟨
?5???
,
?6???
,
????-4
,
????6
⟩
5)
??0??
+⟨
?23???
,
?-25???
,
?0???
⟩
215
216
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 55
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 9%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 3%
. Inicialmente depositamos 4000 euros en el banco A y 11 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2A partir de un capital inicial de 10000, el interés en cierta cuenta varía
de un año a otro de modo que el capital viene dado por la función C(t)=
10 000-4 - 4 t + 2 t2 - 4 t3
-8 - 3 t - 6 t2 - 4 t3
7+3 t
. Determinar la tendencia de futuro calculando
el capital que podemos esperar en la cuenta pasado un gran número de años.
1) 0
2) -∞
3)10 000
ⅇ6
4)10 000
ⅇ5
5) 10 000
6)10 000
ⅇ3001/500
7) ∞
217
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 12 x - 6 x2 - 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(2 + 8 t)(sen(2πt)+2) millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 40
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 5 años.
1) 260 -20
πmillones de euros = 253.6338 millones de euros
2) 44 +4
πmillones de euros = 45.2732 millones de euros
3) 52 -4
πmillones de euros = 50.7268 millones de euros
4) 80 -8
πmillones de euros = 77.4535 millones de euros
218
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 0-1 1 0 0-2 0 1 00 0 0 1
.
1)
? -1 -1 00 ? 0 -1-2 2 ? 3-1 0 2 ?
2)
? 0 0 01 ? 0 02 0 ? 00 0 0 ?
3)
? -1 0 00 ? 0 00 -1 ? 00 0 0 ?
4)
? -1 0 1-1 ? 1 -11 -1 ? 12 -1 0 ?
5)
? -1 1 10 ? 1 10 -1 ? 10 -1 1 ?
6)
? -1 1 11 ? -1 0-1 -1 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 -3 20 ? 1 1-1 0 ? 01 0 -2 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -1-1 2
.X - 1 -30 1
=-1 30 -1
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* 1* *
4) * *
0 * 5)
* *
1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 - x2 - 5 x3 - x4 ⩵ -59 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 5 x4 ⩵ -2-5 x1 - x2 + 3 x3 - 4 x4 ⩵ 7
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-12???
+⟨
?-37??
,
-3???
⟩
2)
???-3
+⟨
11???
,
?12??
⟩
3)
??7?
+⟨
???-6
,
-1???
,
-3???
,
?0??
⟩
4)
-15???
+⟨
?-34??
,
-4???
⟩
5)
???-7
+⟨
10???
,
7???
,
??0?
⟩
219
220
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 56
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 7%, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un
interés compuesto del 8%. Inicialmente depositamos 14 000
euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-2 cos2 3-x
2 x ≤ 3
1
2(x (3 x - 22) + 35) 3 < x < 4
4 x - 3 (x - 3) log(x - 3) -37
24 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=4.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3 y x=4.
221
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 40 x3 + 9 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -a
1
(4 - 4 a t - 6 t2 + 6 a t2 + 8 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) 4
3) -11
4) -16
5) 15
6) 14
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -3 5 -1 0 ) es combinación lineal de la uplas
( 2 -2 0 1 ), ( 2 -1 -2 -1 ), ( 0 -1 2 2 ),
1) Si 2) No
222
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-13 10-4 3
.X. 0 -11 3
=-10 -43-3 -13
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 - 3 x2 + x3 + 3 x4 + 5 x5 ⩵ -55 x1 + 2 x2 - 3 x3 + x4 + 2 x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-9???
+⟨
?10???
,
????-6
,
???7?
,
?5???
⟩
2)
??0??
+⟨
????
-20
,
????-9
,
???
-17?
⟩
3)
???
-14?
+⟨
????
-18
,
???13?
,
???
-15?
⟩
4)
?2???
+⟨
??4??
⟩
5)
????11
+⟨
????
-19
,
????
-12
,
????13
⟩
223
224
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 57
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés del 6% compuesto en 10 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 3%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 5000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞5 - 4 x - 5 x2
6 - 3 x - 5 x2
6+7 x+3 x2
1)1
ⅇ3
2) ∞
3) 1
4)1
ⅇ5
5) 0
6)1
ⅇ4
7) -∞
225
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 48 x + 48 x2 + 20 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=t + 3 t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
30 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1) 40 millones de euros
2) 102 millones de euros
3)63
2millones de euros = 31.5 millones de euros
4)123
2millones de euros = 61.5 millones de euros
226
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 -1 -10 0 1 10 -1 1 11 0 -1 0
.
1)
? -2 0 -10 ? 0 00 0 ? 00 1 0 ?
2)
? -2 3 00 ? -1 00 0 ? 10 0 0 ?
3)
? 0 1 00 ? -1 01 0 ? -1-1 1 -1 ?
4)
? -1 0 -1-1 ? 0 10 0 ? 0-1 2 0 ?
5)
? -1 1 00 ? 0 00 -1 ? 0-1 2 -1 ?
6)
? -1 1 10 ? 0 00 1 ? 00 0 1 ?
7)
? 0 -1 1-2 ? 0 11 0 ? 0-1 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-5 -8-3 -5
.X - 2 1-3 -1
=-2 -13 1
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -1* *
4) * 0* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 - 5 x2 + x3 + x4 ⩵ -15 x1 + 7 x2 + x3 + 2 x4 ⩵ -42 x2 + 2 x3 + 3 x4 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???-3
+⟨
??15?
,
??17?
⟩
2)
??-4?
+⟨
??1?
,
4???
,
??3?
,
-5???
⟩
3)
?-1??
+⟨
??12?
,
??14?
⟩
4)
-5???
+⟨
-3???
⟩
5)
-3???
+⟨
???-8
,
???
-10
⟩
227
228
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 58
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 2% compuesto en 7 períodos y en la que inicialmente depositamos 10 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
13 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-2-6 - x + x2
2 x + x2
1) -∞
2) ∞
3) -2
4)5
2
5) 0
6) -1
7) 1
229
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 120 x + 90 x2 + 20 x3 - 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
4 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=3.
1) 38
2)75
2= 37.5
3) 39
4)79
2= 39.5
5) 41
6)77
2= 38.5
7)81
2= 40.5
8) 36
230
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 1 -1 1-1 0 1 0-1 0 0 1
.
1)
? -1 -1 -10 ? 0 01 1 ? 10 0 0 ?
2)
? 0 0 00 ? 1 -11 0 ? 01 0 0 ?
3)
? -1 0 00 ? 0 10 1 ? 00 -1 0 ?
4)
? -1 1 -2-1 ? 0 00 0 ? -10 1 -1 ?
5)
? -1 1 00 ? 0 00 0 ? 00 -2 0 ?
6)
? 0 -3 30 ? -1 00 0 ? -10 0 2 ?
7)
? 0 -1 10 ? 1 02 1 ? 00 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
11 304 11
-1.X. -1 -1
2 1=
-19 -197 7
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* 0* *
4) * -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
47 x1 + 29 x2 - 3 x3 - x4 ⩵ -134 x1 + 21 x2 + 4 x3 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??1?
+⟨
?-292??
,
?-37??
⟩
2)
??4?
3)
???10
4)
???0
+⟨
179???
,
21???
⟩
5)
??-3?
+⟨
?-289??
,
?-32??
⟩
231
232
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 59
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 2% compuesto en 7 períodos y en la que inicialmente depositamos 14 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
20 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 822 424 18
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 12.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 6.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue -1.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 0.
233
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 240 x + 120 x2 + 60 x3 - 60 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-3 + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=4.
1)123
2= 61.5
2) 50
3) 62
4) 60
5) 61
6)121
2= 60.5
7) 58
8)119
2= 59.5
234
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 1 1 10 1 0 0-1 0 1 20 0 0 1
.
1)
? -2 0 -10 ? -1 00 -2 ? 01 5 -1 ?
2)
? -1 -1 10 ? 0 01 -1 ? -10 0 0 ?
3)
? -1 1 1-1 ? -1 -20 -1 ? 00 0 0 ?
4)
? 0 -1 -12 ? -2 -23 0 ? -2-1 0 0 ?
5)
? 0 -1 00 ? -1 -10 0 ? 00 1 1 ?
6)
? 0 -1 1-1 ? 1 -2-1 0 ? -22 -1 -2 ?
7)
? 0 -1 10 ? 0 10 1 ? 1-1 0 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - -1 -1-1 -2
. -1 -15 4
-1=
3 1-10 -2
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 - x2 - 2 x3 + 5 x4 ⩵ -22 x1 - 5 x2 - 4 x3 + x4 ⩵ -4-x1 + 2 x2 + 2 x3 - 2 x4 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??0?
+⟨
2???
,
-8???
⟩
2)
???2
+⟨
?-3??
,
?-6??
⟩
3)
???-4
+⟨
???-8
⟩
4)
??3?
+⟨
1???
,
?-5??
⟩
5)
??8?
+⟨
???-7
⟩
235
236
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 60
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 6% y en la que inicialmente depositamos 13 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
16 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 101 403 88
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 138.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue -9.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 8.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 10.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 120.
237
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 40 x3 - 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-18 + 3 x + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=5.
1)275
2= 137.5
2) 135
3) 54
4) 137
5) 138
6)273
2= 136.5
7)277
2= 138.5
8) 139
238
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 2 0 1-1 -1 0 -1-3 -4 1 -3-1 -1 0 0
.
1)
? -1 -2 -12 ? -1 -1-1 1 ? 0-3 0 1 ?
2)
? -1 -1 -11 ? 0 00 0 ? 10 0 0 ?
3)
? -1 0 -11 ? 0 01 -2 ? 00 -1 0 ?
4)
? -1 0 00 ? 0 00 0 ? -1-1 0 0 ?
5)
? -1 2 -11 ? -1 -1-1 0 ? 0-1 0 1 ?
6)
? 0 -3 -10 ? 2 10 1 ? 00 0 1 ?
7)
? 0 -2 -10 ? 1 20 1 ? 1-1 -1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 0-1 -1
.X. 2 31 2
=2 32 3
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + 3 x2 + 2 x3 + 5 x4 ⩵ 2x1 - 4 x2 - 5 x3 - 5 x4 ⩵ -6-x1 + 2 x2 - x3 + 5 x4 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-1?
+⟨
???-2
⟩
2)
???0
+⟨
-7???
,
?0??
⟩
3)
?5??
+⟨
?-6??
,
?2??
⟩
4)
?9??
+⟨
?4??
,
-9???
,
4???
⟩
5)
?7??
+⟨
?-5??
,
4???
⟩
239
240
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 61
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 3% y en la que inicialmente depositamos 6000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
12 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→1
11
3- 6 x + 3 x2 - 2 x3
3+ Logx2
1 - 4 x + 6 x2 - 4 x3 + x4
1) -∞
2) ∞
3) 1
4) 0
5) -2
3
6) -1
3
7) -1
2
241
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 60 x2 - 60 x3 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-6 + 5 x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=5.
1)569
6= 94.8333
2)587
6= 97.8333
3)511
6= 85.1667
4)581
6= 96.8333
5)593
6= 98.8333
6)292
3= 97.3333
7)289
3= 96.3333
8)171
2= 85.5
242
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 02 1 1 -11 0 1 00 0 -2 1
.
1)
? -1 -1 0-1 ? 3 00 0 ? 00 0 0 ?
2)
? -1 0 00 ? -1 00 0 ? 0-1 1 0 ?
3)
? -1 0 01 ? 1 -1-1 0 ? 1-1 0 -2 ?
4)
? 0 0 0-3 ? 1 1-1 0 ? 0-2 0 2 ?
5)
? 0 -1 1-1 ? -1 01 0 ? 00 0 -1 ?
6)
? 0 0 00 ? -3 10 -1 ? -10 -1 -2 ?
7)
? 0 0 00 ? -2 00 0 ? -10 0 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -4-1 5
-1.X -
1 -1-1 2
=-1 20 0
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -1* *
4) * 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 - x2 + x3 - 2 x4 ⩵ 0-5 x1 + 5 x2 - 3 x3 + 7 x4 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?1??
+⟨
??6?
,
???-4
⟩
2)
???-2
+⟨
??3?
,
???-2
⟩
3)
?-8??
+⟨
?-1??
,
???5
,
???4
,
1???
⟩
4)
?-2??
+⟨
??6?
,
??-5?
⟩
5)
?-1??
+⟨
-3???
,
??-2?
,
??2?
,
?7??
⟩
243
244
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 62
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 1%, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un
interés del 6% compuesto en 8 períodos. Inicialmente depositamos
9000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 12 114 37
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
4 y 11. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=4).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-5
2,-
3
2].
2) Se cumplirá en los intervalos: [-5
2,-
3
2] y [2,4].
3) Se alcanzarán en el intervalo [1,2].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-5
2,0].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-5
2,4].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-5
2,1].
7) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
245
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 2 x3 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 4
5
(-3 + 15 a + t + 5 a t
-9 + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 3.02184
2) 3.93084
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) 3.14084
5) 2.48454
6) 2.57134
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -4 0 -6 ) es combinación lineal de la uplas
( -1 0 2 ), ( -1 0 0 ),
1) Si 2) No
246
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 -11 3
.X - 1 10 1
=-2 04 -5
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
* -2* *
4) * 0* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + x2 - 2 x3 - 2 x4 ⩵ 55 x1 + 3 x2 - 2 x3 + 3 x4 + x5 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-1????
+⟨
????8
,
???-3?
,
?-6???
,
-7????
⟩
2)
???3?
+⟨
?-9???
,
?-15???
,
?-5???
⟩
3)
??-9??
4)
????0
+⟨
4????
,
9????
,
1????
⟩
5)
????3
+⟨
?-9???
,
?-18???
,
4????
⟩
247
248
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 63
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 10%, en la que pasados 3 años
se pasa a ofrecer un interés compuesto del 10%. Inicialmente depositamos
13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
Ejercicio 2A partir de un capital inicial de 1000, el interés en cierta cuenta varía
de un año a otro de modo que el capital viene dado por la función C(t)=
1000-7 + 9 t - 4 t2 + 3 t3
9 - 7 t + 6 t2 + 3 t3
-8+9 t
. Determinar la tendencia de futuro calculando el
capital que podemos esperar en la cuenta pasado un gran número de años.
1) ∞
2)1000
ⅇ4
3) 1000
4) -∞
5)1000
ⅇ15 001/500
6) 0
7)1000
ⅇ30
249
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 20 x3 - 15 x4 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular a
-1
(-15 - 20 a + 40 t - 8 a t + 12 t2 + 9 a t2 - 12 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 37
2) 34
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) 28
5) 31
6) 13
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -9 -5 -5 -1 ) es combinación lineal de la uplas
( -4 -4 2 0 ), ( 2 1 -2 1 ), ( -2 -2 1 0 ), ( -3 -1 -1 -1 ), ( 1 -1 2 1 ),
1) Si 2) No
250
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
4 3-3 -2
.X. -5 -32 1
=-21 -1415 10
1) 1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* 0* *
4) * *
2 * 5)
* *
* 0
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 5 x2 + 5 x3 - x4 - 2 x5 ⩵ 1-3 x1 - 2 x2 - x3 + 2 x4 + 3 x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??5??
+⟨
???5?
,
????0
,
-9????
,
-9????
⟩
2)
????-7
+⟨
????-5
,
???19?
,
???
-13?
⟩
3)
3????
+⟨
????-4
⟩
4)
??-2??
+⟨
????-6
,
???21?
,
???
-10?
⟩
5)
?2???
+⟨
????-4
,
????
-11
,
???
-15?
⟩
251
252
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 64
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 218 000 euros hasta un valor final de
469 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **8.*****%.
2) El interés será del **5.*****%.
3) El interés será del **3.*****%.
4) El interés será del **2.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 283 76 4
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
4 y 7. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].
2) Se cumplirá en los intervalos: [3,4] y [6,7].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
4) Se cumplirá en los intervalos: [3,4] y [6,6].
5) Se alcanzarán en el intervalo [3,6].
6) Se cumplirá en los intervalos: [0,4] y [6,7].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
8) Se alcanzarán en el intervalo [3,4].
253
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 24 x2 - 3 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 + 9 t)(sen(2πt)+1) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 primeros meses del año (entre t=0 y t=3).
1)1
3
15
2-
9
2 πeuros = 2.0225 euros
2)1
3
3
2+
9
2 πeuros = 0.9775 euros
3)1
3
99
2-
27
2 πeuros = 15.0676 euros
4)1
324 -
9
πeuros = 7.0451 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 1 1 2 ), ( -4 2 2 4 ), ( -2 1 1 2 ), ( -3 2 3 1 ), ( -1 1 2 -1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
254
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 5 -32 -1
. -4 -311 8
-1=
62 2346 17
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + 5 x2 - x3 + 2 x4 + 3 x5 ⩵ -92 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x5 ⩵ -5x1 + 2 x2 - 5 x3 + 2 x4 + 2 x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??0??
+⟨
-23????
,
?-4???
,
?-3???
⟩
2)
???-5?
+⟨
????-4
,
??-3??
⟩
3)
3????
+⟨
-22????
,
?-2???
,
6????
⟩
4)
???-1?
+⟨
?17???
,
8????
,
?-2???
⟩
5)
3????
+⟨
????-8
⟩
255
256
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 65
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 7%, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un
interés compuesto continuamente del 5%. Inicialmente depositamos
5000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞2 - 8 x + 3 x2
-5 - 5 x + 3 x2
-1+3 x
1) 0
2)1
ⅇ3
3)1
ⅇ2
4)1
ⅇ4
5) ∞
6) -∞
7) 1
257
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 10 x4 + 9 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -3 a
-4
(4 - 6 a - 4 t + 12 a t + 6 t2 - 9 a t2 - 4 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 333
2) 306
3) 315
4) 328
5) El resto de las soluciones son incorrectas
6) 321
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 5 -3 -2 -6 ) es combinación lineal de la uplas
( -1 1 0 1 ), ( -2 2 0 2 ), ( 0 -2 2 1 ),
1) Si 2) No
258
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 02 1
.X - -4 3-3 2
=5 -26 0
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 3 x2 + 2 x3 - 3 x4 - 5 x5 ⩵ 5-3 x1 + 4 x2 - 5 x3 - 2 x4 ⩵ -4x1 - x2 + 3 x3 + 5 x4 + 5 x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-8????
+⟨
?-4???
,
?-13???
,
-20????
⟩
2)
???-3?
+⟨
9????
,
????1
,
9????
,
????8
⟩
3)
?-6???
+⟨
?-2???
,
-16????
,
-18????
⟩
4)
-6????
+⟨
?-6???
,
?-10???
,
-19????
⟩
5)
??-7??
+⟨
?1???
⟩
259
260
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 66
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 118 000 euros hasta un valor final de
286 000 euros a lo largo de 10 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **1.*****%.
2) El interés será del **5.*****%.
3) El interés será del **8.*****%.
4) El interés será del **7.*****%.
5) El interés será del **3.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 222 145 32
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
16 y 22. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=5).
1) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [4,5].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [0,0].
6) Se alcanzarán en el intervalo [3,5].
7) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [3,4].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
261
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 2 x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=3 + 2 t + 2 t2 euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 primeros meses del año (entre t=0 y t=3).
1)212
9euros = 23.5556 euros
2)46
9euros = 5.1111 euros
3) 12 euros
4)14
9euros = 1.5556 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 2 2 1 -2 ), ( 1 2 1 0 ), ( 1 1 0 -1 ), ( -1 0 0 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
262
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 00 1
. 2 11 1
=1 12 1
1) 0 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* 0* *
4) * *
0 * 5)
* *
2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 - x2 + 3 x3 + 2 x4 - x5 ⩵ -1-5 x1 + 7 x2 + 5 x3 + 8 x4 - 7 x5 ⩵ -7-3 x1 + 4 x2 + x3 + 3 x4 - 3 x5 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-6???
+⟨
????1
,
????0
,
???-9?
,
???10?
⟩
2)
-8????
+⟨
?-11???
,
?-8???
,
?9???
⟩
3)
?-6???
+⟨
-13????
,
?-9???
,
?6???
⟩
4)
????4
5)
-6????
+⟨
-12????
,
?-6???
,
?3???
⟩
263
264
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 67
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 434 000 euros hasta un valor final de
303 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto en 5 períodos de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **7.*****%.
2) El interés será del **5.*****%.
3) El interés será del **3.*****%.
4) El interés será del **1.*****%.
5) El interés será del **6.*****%.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→1
11
2- 9 x +
9 x2
2- x3 + Logx3
1 - 4 x + 6 x2 - 4 x3 + x4
1) -2
2)1
3
3) ∞
4) -∞
5) -3
4
6) 1
7) 0
265
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 2 x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(6 + 9 t)ⅇ-1+t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
8 primeros meses del año (entre t=0 y t=8).
1)1
8-12
ⅇ2+3
ⅇeuros = -0.065 euros
2)1
86 +
3
ⅇeuros = 0.888 euros
3)1
8
3
ⅇ+ 15 ⅇ euros = 5.2347 euros
4)1
8
3
ⅇ+ 69 ⅇ
7 euros = 9458.5989 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -1 1 2 -1 ), ( 1 0 -1 1 -2 ), ( 0 -1 -1 2 0 )
, ( -1 -1 0 1 2 ), ( 0 1 0 -1 -1 ), ( -1 1 1 -2 1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
266
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 13 2
-1.X. 0 -1
1 2=
-2 -43 6
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-10 x1 - 4 x2 - 8 x3 - 10 x4 - 4 x5 ⩵ -25 x2 + 5 x3 + 3 x4 + x5 ⩵ -45 x1 - 3 x2 - x3 + 2 x4 + x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-8???
+⟨
???-1?
,
?-1???
⟩
2)
??-6??
+⟨
????1
⟩
3)
?3???
+⟨
???2?
,
????22
,
???-4?
⟩
4)
??-1??
+⟨
???7?
,
???
-11?
,
???-9?
⟩
5)
?0???
+⟨
???5?
,
????19
,
????13
⟩
267
268
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 68
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 2%, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un
interés compuesto del 5%. Inicialmente depositamos 13 000
euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
Ejercicio 2La población de cierto país (en millones de habitantes) viene dada por la función P(t)=
96 + 3 t + 7 t2
1 - 2 t + 7 t2
-9+t
. Determinar la tendencia de futuro para esta población.
1) ∞
2) -∞
3)9
ⅇ4
4) 9
5) 9 ⅇ143/200
6) 9 ⅇ5/7
7) 0
269
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 4 x3 - 3 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular a
1
(-3 + 16 a - 32 t - 20 a t + 30 t2 - 15 a t2 + 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -1
2) 4
3) 3
4) 6
5) El resto de las soluciones son incorrectas
6) -9
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 3 -7 2 -9 ) es combinación lineal de la uplas
( -2 1 -1 -2 ), ( 2 1 1 -1 ), ( -2 2 0 -1 ), ( -2 -2 2 1 ),
1) Si 2) No
270
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
7 -2-3 1
.X. 1 0-1 1
-1=
12 7-5 -3
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 - 2 x2 + 4 x3 + 11 x4 - 3 x5 ⩵ -36 x1 - x2 + 5 x3 - 7 x4 + 2 x5 ⩵ -3x1 + x2 + x3 - 18 x4 + 5 x5 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?1???
+⟨
????
-102
,
???6?
,
???
-21?
⟩
2)
???
-15?
+⟨
????
-101
,
????25
,
????
-83
⟩
3)
???
-14?
+⟨
????
-102
,
???8?
,
???
-25?
⟩
4)
????10
+⟨
?7???
⟩
5)
?10???
271
272
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 69
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 3% compuesto en 9 períodos y en la que inicialmente depositamos 11 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
17 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→327 - 9 x - 3 x2 + x3
-9 + 15 x - 7 x2 + x3
1) 3
2) -∞
3) 1
4) ∞
5) -1
6) 0
7) -2
3
273
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 12 x2 + 12 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-6 + 8 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=5.
1) 200
2) 234
3) 235
4)467
2= 233.5
5)616
3= 205.3333
6)680
3= 226.6667
7) 232
8)469
2= 234.5
274
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 -1 0 10 1 0 00 1 1 0-1 -1 1 1
.
1)
? -1 1 -10 ? 0 00 -1 ? 01 1 0 ?
2)
? -1 -2 -20 ? 1 10 0 ? 00 0 1 ?
3)
? -1 0 00 ? 0 00 -1 ? 00 0 0 ?
4)
? -1 1 -1-1 ? -1 12 -2 ? 0-1 0 -1 ?
5)
? -1 3 -2-1 ? -2 11 0 ? 0-1 1 -2 ?
6)
? 0 -1 10 ? -2 10 0 ? 00 0 -2 ?
7)
? 0 0 -10 ? 0 0-1 -1 ? 01 1 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -14 3
.X + 0 1-1 2
=1 -3-3 9
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* 0* *
4) * -1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 ⩵ -1-5 x1 + 3 x2 + 5 x3 + 3 x4 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-14??
+⟨
?37??
,
?6??
⟩
2)
-10???
3)
?8??
+⟨
6???
⟩
4)
??0?
+⟨
25???
,
3???
⟩
5)
???-2
+⟨
?42??
,
0???
⟩
275
276
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 70
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 6%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 3%
. Inicialmente depositamos 7000 euros en el banco A y 14 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
2 sin(x + 1) - 3 cos(x + 1) - 2 x ≤ -1
-sin(x + 1) - 3 cos(x + 1) + x -1 - 3 sin(1) + cos(1) - 3 - 3 sin(1) + cos(1) -1 < x < 0
-3 x + 2 (x + 1) log(x + 1) - 3 - 4 sin(1) - 2 cos(1) 0 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=0.
277
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 24 x2 - 16 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(1 + 4 t)log(2 t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 90
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 4 años.
1) 92 - 3 Log[2] + 55 Log[10] millones de euros = 216.5627 millones de euros
2) 72 - 3 Log[2] + 36 Log[8] millones de euros = 144.7805 millones de euros
3) 50 - 3 Log[2] + 78 Log[12] millones de euros = 241.7433 millones de euros
4) 62 - 3 Log[2] + 55 Log[10] millones de euros = 186.5627 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 0 00 1 0 -10 1 1 -10 0 0 1
.
1)
? -1 -2 1-1 ? 1 -10 0 ? 02 -1 -2 ?
2)
? -1 0 -10 ? 0 10 -1 ? 00 0 0 ?
3)
? -1 1 01 ? -1 00 0 ? -1-1 0 -2 ?
4)
? -1 1 1-1 ? -1 -12 -3 ? 3-1 1 -1 ?
5)
? 0 -1 0-1 ? -1 1-1 0 ? 1-2 1 -1 ?
6)
? 0 -1 00 ? 0 0-1 0 ? -1-2 0 -1 ?
7)
? 0 0 -10 ? 0 10 0 ? 10 0 0 ?
278
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - -1 02 -1
. 3 -5-7 12
=7 -12
-10 17
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 + 2 x2 + x3 - x4 ⩵ 3-5 x1 - x2 + x3 - 2 x4 ⩵ 2x1 - x2 - 2 x3 + 3 x4 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
1???
+⟨
??
-14?
,
???-5
⟩
2)
??4?
+⟨
??
-13?
,
???-3
⟩
3)
??1?
+⟨
??
-12?
,
???-1
⟩
4)
??-8?
5)
6???
+⟨
?8??
,
?6??
,
-4???
,
-4???
⟩
279
280
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 71
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 6% compuesto en 11 períodos y en la que inicialmente depositamos 13 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
22 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 92 494 73
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 19.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 6.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue -6.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 81.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 9.
281
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 40 x3 - 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-6 x - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=4.
1)277
2= 138.5
2) 136
3) 88
4)275
2= 137.5
5) 128
6) 138
7) 139
8) 96
282
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 0 -1 02 1 -1 -11 1 0 02 1 -1 0
.
1)
? -4 1 -30 ? 0 1-1 4 ? 30 1 -1 ?
2)
? 0 1 -1-1 ? 0 11 0 ? -20 -1 0 ?
3)
? -2 0 1-1 ? 0 -10 0 ? 00 1 0 ?
4)
? -2 3 -10 ? -1 00 0 ? 01 1 -2 ?
5)
? -1 -1 -11 ? 0 -10 0 ? -30 0 -1 ?
6)
? -1 -1 10 ? 0 02 -2 ? 10 -1 0 ?
7)
? -1 1 01 ? 0 00 -2 ? 10 -2 6 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -11 0
.X - 3 4-1 -1
=-9 -10-4 -4
1) 0 *
* * 2)
* -2* *
3) * -1* *
4) * 2* *
5) * *
0 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + x2 - 11 x3 - 8 x4 ⩵ -32 x1 + 10 x2 + x3 + x4 ⩵ -9-2 x1 - 4 x2 + 7 x3 + 5 x4 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???0
+⟨
??1?
⟩
2)
??10?
+⟨
?-7??
⟩
3)
2???
+⟨
??9?
,
???
-35
⟩
4)
???
-31
+⟨
??9?
,
???
-34
⟩
5)
?0??
+⟨
??6?
,
??27?
⟩
283
284
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 72
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y
otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 4%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 7%
. Inicialmente depositamos 14 000 euros en el banco A y 9000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=4 - cos(x + 1) x ≤ -18 - 2 x (x + 1) -1 < x < 08 - 2 sin(x) 0 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=0.
285
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 24 x2 - 16 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(4 + 3 t)log(t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 70
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 4 años.
1) 126 +115 Log[5]
2millones de euros = 218.5427 millones de euros
2)187
4+ 40 Log[4] millones de euros = 102.2018 millones de euros
3)95
4+ 78 Log[6] millones de euros = 163.5072 millones de euros
4) 36 +115 Log[5]
2millones de euros = 128.5427 millones de euros
286
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 01 1 0 1-1 0 2 -1-1 -1 1 -1
.
1)
? 0 0 00 ? 1 -20 1 ? 1-1 2 -1 ?
2)
? -1 0 -10 ? 0 00 0 ? 01 1 0 ?
3)
? -1 0 -10 ? 1 -10 1 ? -10 0 0 ?
4)
? -1 0 0-2 ? 1 00 -2 ? 0-2 1 0 ?
5)
? -1 0 10 ? 0 00 -1 ? 01 -1 -1 ?
6)
? -1 0 2-1 ? 0 -10 -1 ? 1-1 0 0 ?
7)
? -1 2 -10 ? 1 00 0 ? 02 -2 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -2-2 5
.X. 0 -11 1
=1 0-2 0
1) 1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 0* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x3 + x4 ⩵ 2-2 x1 + x2 + 5 x3 + 3 x4 ⩵ 52 x1 - x2 - 9 x3 - 5 x4 ⩵ -9
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???0
2)
???0
+⟨
??-2?
,
???-2
⟩
3)
??-1?
+⟨
???1
,
???1
⟩
4)
???5
+⟨
???-5
,
2???
,
-2???
,
?7??
⟩
5)
3???
+⟨
??-5?
,
???-4
⟩
287
288
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 73
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 422 000 euros hasta un valor final de
308 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto en 10 períodos de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **7.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **8.*****%.
4) El interés será del **5.*****%.
5) El interés será del **9.*****%.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0
-1 + ⅇx - x -x2
2-
x3
6
x4
1) -1
2) -∞
3) 1
4)1
24
5) -2
6) ∞
7) 0
289
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 2 x3 + 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 + 6 t)(cos(2πt)+2) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).
1) 6 euros
2) 2 euros
3) 0 euros
4) 42 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 2 0 1 0 -1 ), ( 1 0 1 0 0 ), ( 0 0 -2 -1 2 ), ( -2 1 2 2 0 ), ( -4 2 4 4 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
290
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 1 0-1 1
. 3 -4-5 7
=-5 7-5 7
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 - 5 x2 - x4 + x5 ⩵ -22 x1 - 3 x2 - 10 x3 - 5 x4 + 3 x5 ⩵ -43 x1 + x2 - 5 x3 - 2 x4 + x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-3???
+⟨
????9
,
???4?
,
???-8?
⟩
2)
???
-10?
+⟨
9????
,
??6??
,
??1??
,
???-1?
⟩
3)
???-5?
4)
?2???
+⟨
????12
,
???3?
,
????-3
⟩
5)
????-3
+⟨
????11
,
????11
,
????-5
⟩
291
292
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 74
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 361 000 euros hasta un valor final de
490 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto trimestralmente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **9.*****%.
4) El interés será del **5.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞9 + 8 x - 5 x2 + x3
6 + 4 x - x2 + x3
2+6 x
1) -∞
2)1
ⅇ3
3)1
ⅇ24
4) ∞
5)1
ⅇ5
6) 0
7) 1
293
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 48 x2 - 8 x3 + 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(-3 + 7 t)cos(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
π primeros meses del año (entre t=0 y t=π).
1) 0 euros
2) 60 -14
πeuros = 55.5437 euros
3) -14
πeuros = -4.4563 euros
4) -60 -14
πeuros = -64.4563 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 0 0 0 -1 ), ( 1 0 -2 0 1 ), ( 0 -2 2 1 -1 )
, ( 1 -2 1 1 1 ), ( -1 2 -2 -1 0 ), ( 1 -2 2 -2 1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
294
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 30 1
-1.X -
-2 -11 0
=6 -1-2 1
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 + x5 ⩵ 0-2 x1 + 5 x3 - 2 x4 - x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??10??
2)
??-3??
+⟨
???4?
,
???3?
,
????3
⟩
3)
??2??
+⟨
-1????
,
??3??
⟩
4)
?3???
+⟨
????
-10
,
????-7
,
????2
⟩
5)
???1?
+⟨
???3?
,
???2?
,
???0?
⟩
295
296
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 75
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 4% y en la que inicialmente depositamos 6000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
15 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 82 84 24
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 6.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 18.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 78.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 4.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 1.
297
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 60 x2 + 100 x3 - 60 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
9 + 6 x - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-2 y x=5.
1) 7
2) 57
3)147
2= 73.5
4)145
2= 72.5
5) 73
6) 71
7) 75
8) 74
298
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 1 -1 -10 1 0 -10 0 1 1
.
1)
? -2 0 10 ? 0 -11 0 ? -11 0 0 ?
2)
? -1 0 -10 ? 0 00 1 ? 0-2 0 0 ?
3)
? 0 0 00 ? 0 10 -1 ? 00 1 -1 ?
4)
? -1 0 02 ? 1 -11 1 ? -1-1 -1 -1 ?
5)
? -1 1 10 ? 0 00 0 ? 0-1 -1 0 ?
6)
? 0 -1 0-1 ? 1 0-1 0 ? -1-1 0 1 ?
7)
? 0 -1 02 ? -1 0-2 0 ? 05 1 -2 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 -2
-1.X. 1 1
-1 0=
-1 20 -1
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 9 x2 - 3 x3 + 6 x4 ⩵ 34 x1 + 3 x2 - 3 x3 + 5 x4 ⩵ 15 x1 - 2 x3 + 3 x4 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-9??
2)
?1??
3)
?0??
+⟨
??13?
,
??-9?
⟩
4)
???1
+⟨
??11?
,
??-7?
⟩
5)
??6?
+⟨
???8
,
???-9
⟩
299
300
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 76
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 4% y en la que inicialmente depositamos 10 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
16 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-26 + 5 x + x2
2 + 3 x + x2
1) 0
2) ∞
3) -1
4) 1
5) -2
6) -2
3
7) -∞
301
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 240 x - 240 x2 - 60 x3 + 30 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
6 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=1 y x=4.
1)77
6= 12.8333
2)83
6= 13.8333
3) 3
4)40
3= 13.3333
5)43
3= 14.3333
6)71
6= 11.8333
7)46
3= 15.3333
8)31
3= 10.3333
302
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 22 1 -1 10 0 1 00 0 1 1
.
1)
? 0 2 -2-2 ? -2 30 0 ? 00 0 -1 ?
2)
? -1 -1 -20 ? 0 00 0 ? -10 0 0 ?
3)
? 0 -1 0-1 ? -1 01 0 ? 00 -1 0 ?
4)
? 0 -1 00 ? 0 -11 1 ? -10 -2 0 ?
5)
? 0 -1 00 ? 1 -10 0 ? 00 0 -1 ?
6)
? 0 -1 10 ? 0 -1-1 0 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 0 -10 ? -1 0-2 0 ? 3-1 -1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
11 -8-4 3
-1.X +
3 -4-8 11
=-66 73-91 101
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
7 x1 - 18 x2 - x3 + 3 x4 ⩵ 3-5 x1 + 13 x2 - 5 x3 + x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-6??
+⟨
?40??
,
?-22??
⟩
2)
-9???
+⟨
?5??
,
??-6?
,
10???
⟩
3)
?-7??
+⟨
100???
,
-55???
⟩
4)
?-7??
+⟨
?38??
,
?-20??
⟩
5)
??-1?
+⟨
???
-10
,
?-3??
,
???8
,
??0?
⟩
303
304
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 77
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 493 000 euros hasta un valor final de
300 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **8.*****%.
2) El interés será del **0.*****%.
3) El interés será del **4.*****%.
4) El interés será del **2.*****%.
5) El interés será del **6.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 23 295 67
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
2 y 29. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=5).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-9
2,5].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-2,4].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
6) Se alcanzarán en el intervalo [5,5].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].
8) Se alcanzarán en el intervalo [3,5].
305
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 6 x2 - x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(-1 - 2 t)cos(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
π primeros meses del año (entre t=0 y t=π).
1) 0 euros
2)4
πeuros = 1.2732 euros
3) -10 +4
πeuros = -8.7268 euros
4) -80 +4
πeuros = -78.7268 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 2 -2 -1 2 ), ( 0 -1 -2 1 2 ), ( -4 3 -1 0 2 ), ( -4 2 2 2 0 ), ( -2 1 1 1 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
306
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
5 -3-3 2
-1.X +
0 1-1 2
=1 31 5
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 - 3 x2 + 7 x3 + 2 x4 + 5 x5 ⩵ 75 x1 - 3 x2 - 4 x3 - 2 x4 - 5 x5 ⩵ -4-3 x1 + 2 x2 - x3 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???2?
+⟨
?19???
,
5????
,
?18???
⟩
2)
??0??
+⟨
????9
,
????0
,
?8???
,
??9??
⟩
3)
??0??
+⟨
11????
,
4????
,
?15???
⟩
4)
?-14???
+⟨
?20???
,
?9???
,
8????
⟩
5)
3????
307
308
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 78
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 3% y en la que inicialmente depositamos 7000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los 9000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 2021 1643 100
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 52.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 19.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 15.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 2.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.
309
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 480 x + 360 x2 - 40 x3 - 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=0.
1)103
3= 34.3333
2)203
6= 33.8333
3)88
3= 29.3333
4)106
3= 35.3333
5)100
3= 33.3333
6)191
6= 31.8333
7)94
3= 31.3333
8)97
3= 32.3333
310
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -2 0 10 0 1 00 -1 1 01 -3 2 2
.
1)
? -2 1 00 ? -1 0-2 4 ? 00 0 2 ?
2)
? -1 -2 -12 ? 1 05 1 ? 23 1 2 ?
3)
? 3 -1 -10 ? -1 00 1 ? 0-1 -1 -1 ?
4)
? -1 0 00 ? -1 00 0 ? -10 1 1 ?
5)
? -1 0 00 ? 0 00 0 ? 00 -1 -1 ?
6)
? 0 -3 -2-2 ? 3 1-1 0 ? 13 -1 -4 ?
7)
? 0 0 0-2 ? -2 -20 1 ? -11 -1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
4 -11 0
.X. -3 2-5 3
=-17 11-3 2
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 + x2 - 3 x3 - 9 x4 ⩵ -8-5 x1 - 2 x2 - 3 x3 ⩵ 1-2 x1 - x2 - 3 x3 - 3 x4 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?11??
+⟨
?-6??
,
5???
⟩
2)
??4?
+⟨
???-1
,
??5?
,
??0?
⟩
3)
???-1
+⟨
?-7??
,
8???
⟩
4)
?12??
+⟨
3???
,
?-15??
⟩
5)
?7??
311
312
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 79
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 1%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 10%
. Inicialmente depositamos 12 000 euros en el banco A y 5000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2Una factoría fabrica cierto tipo de dispositivos. El coste marginal
(coste de fabricar una unidad) se reduce cuando producimos grandes
cantidades de dispositivos y viene dado por la función C(x)=7 + 7 x + x2
1 + 6 x + x2
. Determinar el coste por unidad esperado cuando se producen grandes cantidades de unidades.
1) -3
2) 10 000
3)27
25
4) ∞
5) -∞
6) 0
7) 1
313
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 24 x + 30 x2 - 16 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(1 + 2 t)(cos(2πt)+1) millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 80
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 80 millones de euros
2) 82 millones de euros
3) 86 millones de euros
4) 92 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 0 0 -10 0 1 -11 1 0 1
.
1)
? -2 1 1-1 ? -2 -21 -5 ? 31 -2 1 ?
2)
? -1 -1 -2-1 ? 1 11 -1 ? 00 0 0 ?
3)
? 0 0 0-1 ? 0 10 -1 ? 00 -1 0 ?
4)
? -1 0 1-1 ? 0 00 -1 ? 00 -1 0 ?
5)
? -1 1 -21 ? 0 0-1 -1 ? 00 0 0 ?
6)
? 0 -1 00 ? 0 00 1 ? 00 1 1 ?
7)
? 0 -1 00 ? 0 01 -1 ? 00 0 0 ?
314
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 2-1 -1
. -4 3-3 2
=11 -8-8 6
1) 0 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + x3 + x4 ⩵ -5-2 x1 - 5 x2 + 2 x3 + 3 x4 ⩵ -9x1 - 5 x2 + x3 + 2 x4 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-8?
+⟨
??8?
,
???3
⟩
2)
0???
+⟨
??7?
,
??-5?
⟩
3)
???-9
4)
???-6
5)
1???
+⟨
???-3
,
??-8?
⟩
315
316
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 80
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y
otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 8%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 4%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 5000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→∞-8 + 7 x + 3 x2
3 - 7 x + 3 x2
7+6 x
1)1
ⅇ4
2) 1
3) ∞
4) 0
5) -∞
6)1
ⅇ5
7) ⅇ28
317
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 24 x + 30 x2 + 16 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=2 + 3 t + 2 t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
80 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1)464
3millones de euros = 154.6667 millones de euros
2)505
6millones de euros = 84.1667 millones de euros
3)235
2millones de euros = 117.5 millones de euros
4)286
3millones de euros = 95.3333 millones de euros
318
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 1 00 1 0 00 0 5 -20 0 -2 1
.
1)
? -2 0 00 ? 0 10 0 ? 00 -1 0 ?
2)
? -1 0 01 ? 0 02 -2 ? 00 1 1 ?
3)
? -1 0 10 ? 0 -10 0 ? 0-2 3 0 ?
4)
? 0 -1 -20 ? 0 00 0 ? 20 0 2 ?
5)
? 0 -1 10 ? 0 02 0 ? 10 0 -1 ?
6)
? 0 0 -10 ? -1 00 1 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 0 0-1 ? -1 01 -1 ? 01 1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-5 712 -17
-1.X -
1 -10 1
=17 -1712 -12
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* 0* *
4) * 1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
7 x1 + 2 x3 - 3 x4 ⩵ -3-4 x1 + 2 x2 + x3 - x4 ⩵ 5-3 x1 - 2 x2 - 3 x3 + 4 x4 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-2?
+⟨
?-1??
,
?9??
,
-8???
,
?2??
⟩
2)
???13
+⟨
???15
,
??-6?
⟩
3)
?1??
+⟨
??18?
,
???-2
⟩
4)
-3???
+⟨
???14
,
??-4?
⟩
5)
?-9??
+⟨
?1??
⟩
319
320
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 81
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 443 000 euros hasta un valor final de
250 000 euros a lo largo de 10 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **9.*****%.
2) El interés será del **7.*****%.
3) El interés será del **2.*****%.
4) El interés será del **5.*****%.
5) El interés será del **6.*****%.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→2-16 + 16 x - 4 x3 + x4
4 x - 4 x2 + x3
1) 0
2) -∞
3) -2
3
4) -2
5) 1
6) ∞
7) -1
321
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 24 x2 + 16 x3 - 5 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(6 + 3 t)(cos(2πt)+1) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
8 primeros meses del año (entre t=0 y t=8).
1) -9
16euros = -0.5625 euros
2)15
16euros = 0.9375 euros
3)9
4euros = 2.25 euros
4) 18 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 0 0 2 1 ), ( -2 -2 0 3 0 ), ( 1 1 -2 0 0 ), ( 1 2 0 -1 1 ), ( 0 1 1 -1 -1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
322
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -1-1 2
-1.X +
1 13 4
=5 94 7
1) 1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 - 3 x2 + x4 + x5 ⩵ -5-2 x1 - 4 x2 + 3 x3 + 4 x4 + 5 x5 ⩵ -4-5 x1 - x2 + 3 x3 + 3 x4 + 4 x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????-3
2)
??3??
+⟨
????13
,
????-6
,
???0?
⟩
3)
7????
4)
????16
+⟨
???
-17?
,
???11?
,
????-3
⟩
5)
????15
+⟨
???
-18?
,
????-9
,
???2?
⟩
323
324
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 82
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 8%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 4%
. Inicialmente depositamos 3000 euros en el banco A y 8000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
ⅇx-1 - 1 x ≤ 1
-1
2(x - 4) x -
3
21 < x < 3
(x - 2) log(x - 2) 3 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=3.
325
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 6 x + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=2 + 3 t + t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 20
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1)220
3millones de euros = 73.3333 millones de euros
2)143
6millones de euros = 23.8333 millones de euros
3)98
3millones de euros = 32.6667 millones de euros
4)97
2millones de euros = 48.5 millones de euros
326
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 1 0 1-1 1 1 10 2 -1 3
.
1)
? 0 0 0-1 ? -1 -11 -1 ? 01 -3 1 ?
2)
? -1 0 01 ? 0 0-2 2 ? -12 -2 1 ?
3)
? -1 0 1-1 ? 0 10 -1 ? 0-1 0 0 ?
4)
? 0 -1 0-1 ? 1 0-1 1 ? 00 1 1 ?
5)
? 0 -1 00 ? 0 00 0 ? 01 0 -1 ?
6)
? 0 -1 00 ? 0 01 0 ? -10 1 0 ?
7)
? 0 -1 10 ? -1 01 -1 ? -10 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 1-2 -1
.X - 1 -11 0
=0 2-3 -2
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 - 2 x2 - x3 + 4 x4 ⩵ 2-7 x1 - 5 x2 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
2???
+⟨
?6??
,
?-30??
⟩
2)
?-6??
+⟨
??9?
,
?-2??
,
?7??
⟩
3)
??-1?
+⟨
?10??
,
?-26??
⟩
4)
??0?
+⟨
-5???
,
?-28??
⟩
5)
4???
+⟨
-6???
⟩
327
328
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 83
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 9%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés del 6% compuesto en 8 períodos
. Inicialmente depositamos 7000 euros en el banco A y 13 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=ⅇx+2 + 3 cos(x + 2) + 3 x ≤ -2-2 x + 3 (x + 3) log(x + 3) + 3 -2 < x < 0sin(x) + 3 cos(x) + 9 log(3) 0 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2 y x=0.
329
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 48 x + 12 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(2 + 2 t)ⅇ-2+t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
80 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1) 80 + 6 ⅇ millones de euros = 96.3097 millones de euros
2) 84 millones de euros
3) 100 +2
ⅇmillones de euros = 100.7358 millones de euros
4) 80 +2
ⅇmillones de euros = 80.7358 millones de euros
330
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 0 0 11 1 1 00 0 1 01 0 1 1
.
1)
? -2 -2 0-1 ? 3 0-1 3 ? 0-1 2 2 ?
2)
? 0 1 -1-1 ? -2 10 0 ? 0-1 0 -2 ?
3)
? -1 0 00 ? 0 00 -1 ? 00 -2 0 ?
4)
? -1 0 00 ? 1 -1-2 0 ? -21 1 0 ?
5)
? -1 2 02 ? 0 10 0 ? 04 -3 -1 ?
6)
? 0 -1 -10 ? 0 10 -1 ? 00 -1 1 ?
7)
? 0 0 -1-1 ? -1 0-1 0 ? 00 -1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-3 5-2 3
.X. 2 -5-1 3
=-3 6-2 4
1) 0 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* -1* *
4) * 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-9 x1 + x2 - 3 x3 + 8 x4 ⩵ 24 x1 - 5 x2 + 2 x3 - 5 x4 ⩵ 0-5 x1 - 4 x2 - x3 + 3 x4 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???6
+⟨
??12?
,
??34?
⟩
2)
??13?
+⟨
???7
,
??36?
⟩
3)
?-6??
+⟨
???0
,
?3??
,
???-9
⟩
4)
??1?
+⟨
?1??
⟩
5)
0???
+⟨
??13?
,
??35?
⟩
331
332
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 84
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 373 000 euros hasta un valor final de
182 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto en 5 períodos de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **0.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **5.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **2.*****%.
Ejercicio 2La población de cierto país (en millones de habitantes) viene dada por la función P(t)=
402 + 6 t - 6 t2
-5 + 8 t - 6 t2
-5+9 t
. Determinar la tendencia de futuro para esta población.
1) 0
2) 40 ⅇ1499/500
3) 40
4)40
ⅇ4
5) 40 ⅇ3
6) ∞
7) -∞
333
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 6 x2 - x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 + 3 t)(cos(2πt)+1) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).
1)9
14euros = 0.6429 euros
2)27
2euros = 13.5 euros
3) -3
14euros = -0.2143 euros
4)12
7euros = 1.7143 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 1 -2 0 -1 1 ), ( 1 1 -2 -1 1 ), ( -2 -4 -2 -2 4 )
, ( 0 2 2 2 0 ), ( -1 2 -1 -1 -1 ), ( -1 -2 -1 -1 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
334
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -31 -1
.X + 0 1-1 0
=5 32 1
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
* -2* *
4) * 0* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 + x2 - 5 x3 + 2 x4 - 3 x5 ⩵ -25 x1 + 4 x2 + 9 x3 - x4 + 2 x5 ⩵ 25 x2 + 4 x3 + x4 - x5 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?3???
+⟨
????-4
,
???
-16?
,
????
-12
⟩
2)
??0??
+⟨
????-5
,
????-9
,
????
-13
⟩
3)
??9??
+⟨
10????
⟩
4)
???3?
5)
-2????
+⟨
???-3?
,
????-7
,
???
-20?
⟩
335
336
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 85
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 3%, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un
interés del 10% compuesto en 10 períodos. Inicialmente depositamos
12 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
8 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-2 sin(2 - x) + 2 - 3 cos(2 - x) x ≤ 2
-2
3(x - 7) x -
41
32 < x < 5
2 sin(5 - x) + cos(5 - x) - 9 5 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=5.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2 y x=5.
337
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 10 x3 - 5 x4 + 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 7
8
(-6 a + 3 t + 2 a t
-3 t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -0.282337
2) -0.471037
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) -0.0282372
5) 0.267063
6) -0.542337
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -2 -4 -4 ) es combinación lineal de la uplas
( 0 -2 0 ), ( -2 4 -4 ), ( -1 0 -2 ), ( -2 2 -4 ), ( -1 2 -2 ),
1) Si 2) No
338
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 0 -11 1
. 1 -10 1
=0 00 1
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 - x2 + 4 x3 + 5 x4 + 9 x5 ⩵ 1x1 - 2 x2 + 2 x3 + 4 x4 + 7 x5 ⩵ 0-5 x1 + x2 + 2 x3 + x4 + 2 x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????1
+⟨
???
-38?
,
????-9
,
???7?
⟩
2)
?7???
+⟨
????5
,
???-4?
⟩
3)
??9??
+⟨
???-2?
,
???7?
,
????-2
,
?4???
⟩
4)
??0??
+⟨
????21
,
???11?
,
???10?
⟩
5)
???
-10?
+⟨
????24
,
????-8
,
????-5
⟩
339
340
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 86
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 2% compuesto en 7 períodos, en la que pasados 4 años
se pasa a ofrecer un interés compuesto del 7%. Inicialmente depositamos
8000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
5 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 252 414 41
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
35 y 41. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=4).
1) Se alcanzarán en el intervalo [2,4].
2) Se alcanzarán en el intervalo [4,5].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
4) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [4,5].
5) Se alcanzarán en el intervalo [2,5].
6) Se alcanzarán en el intervalo [1,2].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
8) Se cumplirá en los intervalos: [1,2] y [4,4].
341
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 240 x2 + 40 x3 - 30 x4 - 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -3 a
-4
(-2 + 6 a + 4 t - 12 a t - 6 t2 + 18 a t2 + 8 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -518
2) -507
3) -524
4) -510
5) -498
6) El resto de las soluciones son incorrectas
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -6 -8 -4 -6 ) es combinación lineal de la uplas
( 0 0 2 -2 ), ( 0 2 0 -2 ), ( -2 -2 -2 -2 ),
1) Si 2) No
342
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 00 1
. 0 1-1 1
-1=
0 11 -1
1) 0 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* 0* *
4) * 2* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 3 x2 - 5 x3 - 3 x4 - x5 ⩵ 29 x1 + 6 x2 - 9 x3 - 6 x4 + 3 x5 ⩵ 0-2 x1 - x2 + 2 x3 + x4 + 2 x5 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????3
+⟨
2????
,
?3???
,
4????
⟩
2)
??-6??
3)
??-5??
+⟨
?-9???
,
???-1?
,
?-1???
,
??5??
⟩
4)
??3??
+⟨
?-3???
,
?-2???
,
?-11???
⟩
5)
?-6???
+⟨
1????
,
?1???
,
?-8???
⟩
343
344
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 87
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 3% y en la que inicialmente depositamos 14 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
16 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 -11 572 111
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 7.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 449.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 207.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 4.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 15.
345
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 24 x - 6 x2 + 8 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
3 - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=2 y x=5.
1)223
2= 111.5
2) 111
3) 112
4) 108
5) 113
6) 110
7)221
2= 110.5
8)225
2= 112.5
346
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 -21 1 -1 00 0 1 00 0 0 1
.
1)
? -1 -3 -20 ? -1 00 1 ? 00 0 0 ?
2)
? -1 -3 01 ? -2 00 0 ? -10 0 0 ?
3)
? 0 0 2-1 ? 1 -20 0 ? 00 0 0 ?
4)
? -1 0 -11 ? 0 01 0 ? 0-2 -1 -2 ?
5)
? -1 0 1-1 ? 0 02 -1 ? -11 0 0 ?
6)
? 0 -1 01 ? -1 -10 0 ? 10 1 0 ?
7)
? 0 -1 02 ? 0 00 0 ? 0-4 -2 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 2 15 3
. 3 42 3
=5 724 33
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
-1 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 8 x2 + 10 x3 + 2 x4 ⩵ 6x1 + x2 - 4 x3 - 2 x4 ⩵ -32 x1 + 3 x2 + 2 x3 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?9??
+⟨
?-9??
,
5???
⟩
2)
-2???
+⟨
2???
,
??8?
,
???-2
,
?1??
⟩
3)
???-5
+⟨
??-2?
⟩
4)
??0?
+⟨
?-10??
,
?-4??
⟩
5)
??-3?
+⟨
?-7??
,
8???
⟩
347
348
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 88
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 5%, en la que pasado 1 año
se pasa a ofrecer un interés compuesto del 8%. Inicialmente depositamos
13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞4 - 4 x - 3 x2
3 - 9 x - 6 x2 - 4 x3
1) -∞
2) 0
3) 1
4) ∞
5) -1
2
6) -3
8
7) -3
7
349
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 8 x3 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular a
-3
(-3 - 2 a t + 3 t2 + 6 a t2 - 8 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -74
2) El resto de las soluciones son incorrectas
3) -60
4) -61
5) -54
6) -53
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -8 4 0 0 ) es combinación lineal de la uplas
( -4 -1 0 -1 ), ( 2 2 0 1 ), ( 4 1 0 1 ), ( -2 1 0 0 ), ( 0 3 0 1 ), ( -4 2 0 0 ),
1) Si 2) No
350
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
5 3-2 -1
.X. 2 13 2
-1=
-9 63 -2
1) 1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 2 x2 + 3 x3 + 3 x4 + x5 ⩵ 45 x1 + 4 x3 + 2 x4 + x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???8?
+⟨
???8?
,
???1?
,
????-4
⟩
2)
???5?
+⟨
????
-17
,
???2?
,
????-6
⟩
3)
????8
+⟨
??-4??
⟩
4)
???-6?
+⟨
??6??
,
????10
⟩
5)
?1???
+⟨
???4?
,
????-6
,
????-8
⟩
351
352
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 89
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 326 000 euros hasta un valor final de
437 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **5.*****%.
2) El interés será del **2.*****%.
3) El interés será del **9.*****%.
4) El interés será del **3.*****%.
5) El interés será del **8.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 124 -46 12
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
-18 y 2. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-2,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [1,5].
3) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].
5) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].
6) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
353
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 + 7 t)(sen(2πt)+1) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).
1)1
7
1
2+
7
2 πeuros = 0.2306 euros
2)1
7
13
2-
7
2 πeuros = 0.7694 euros
3)1
7
385
2-
49
2 πeuros = 26.3859 euros
4)1
720 -
7
πeuros = 2.5388 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 1 -2 0 ), ( -1 2 -2 0 ), ( -1 2 -2 -1 ), ( 1 1 0 -1 ), ( 0 1 2 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
354
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -32 5
.X + 8 53 2
=4 410 4
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* *
-1 * 5)
* *
0 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
6 x1 - 5 x2 - 9 x3 + 5 x4 - 7 x5 ⩵ 25 x1 - 2 x2 - 2 x3 + 3 x4 - 4 x5 ⩵ -14 x1 + x2 + 5 x3 + x4 - x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???
-12?
+⟨
???
-14?
,
???-4?
,
???
-24?
⟩
2)
???0?
3)
????2
+⟨
????0
⟩
4)
????
-11
+⟨
????-7
,
???-6?
,
???
-22?
⟩
5)
-2????
+⟨
????-4
,
???-7?
,
????
-15
⟩
355
356
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 90
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 6%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 9%
. Inicialmente depositamos 6000 euros en el banco A y 2000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→∞7 + 9 x + 2 x2 + 7 x3 - 7 x4
1) ∞
2) 0
3) -1
4) -9
5) 1
6) -∞
7) -7
357
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 96 x - 24 x2 - 8 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=2 + 3 t + 3 t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 40
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1)173
2millones de euros = 86.5 millones de euros
2) 136 millones de euros
3)89
2millones de euros = 44.5 millones de euros
4) 58 millones de euros
358
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 2 01 0 2 -10 -1 1 -1-1 1 -2 1
.
1)
? -3 2 01 ? 0 00 -1 ? 00 0 0 ?
2)
? -2 -2 -20 ? 2 20 0 ? -10 0 1 ?
3)
? -1 -1 -10 ? 0 11 0 ? 01 1 2 ?
4)
? 0 -2 -20 ? 0 11 0 ? 11 -1 0 ?
5)
? -1 0 0-1 ? -1 00 0 ? 10 0 0 ?
6)
? -1 1 0-1 ? -1 00 -1 ? 00 -1 0 ?
7)
? -1 1 01 ? 0 01 -1 ? 00 1 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
3 5-2 -3
-1.X -
4 -5-3 4
=-5 -32 3
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 5 x4 ⩵ 13 x1 + 4 x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??1?
+⟨
?9??
,
??-3?
,
??-5?
,
?-6??
⟩
2)
?-3??
3)
??3?
+⟨
???
-16
,
??34?
⟩
4)
???-1
+⟨
??30?
,
???
-20
⟩
5)
-3???
+⟨
???
-22
,
??34?
⟩
359
360
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 91
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto continuamente del 3%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 10%
. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 1000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→∞5 - 2 x - 9 x2 + 8 x3 + 9 x4 - 6 x5
1) -∞
2) -7
3) 0
4) ∞
5) -5
6) 1
7) -9
361
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 48 x + 48 x2 + 20 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=3 + 3 t + 3 t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
40 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1) 140 millones de euros
2)179
2millones de euros = 89.5 millones de euros
3) 60 millones de euros
4)91
2millones de euros = 45.5 millones de euros
362
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 -1 1 0-1 1 0 00 0 1 00 1 0 1
.
1)
? -1 -3 -3-2 ? 2 20 0 ? 0-1 0 -1 ?
2)
? -1 1 01 ? 0 00 0 ? 00 1 0 ?
3)
? 1 -1 01 ? -1 00 0 ? 0-1 -2 1 ?
4)
? 0 -1 -10 ? 0 01 0 ? -10 0 0 ?
5)
? 0 -1 00 ? 6 -10 3 ? -10 -1 -2 ?
6)
? 0 0 0-1 ? 0 -2-1 1 ? 10 1 0 ?
7)
? 0 0 0-1 ? 0 10 0 ? 0-1 0 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 4-1 3
-1.X +
0 -11 2
=-3 60 4
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 - 7 x3 - 2 x4 ⩵ -7-x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 ⩵ 34 x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-4?
+⟨
???
-16
,
???16
⟩
2)
?3??
+⟨
?9??
⟩
3)
0???
+⟨
???
-19
,
??-4?
⟩
4)
??1?
+⟨
??4?
,
???12
⟩
5)
-7???
+⟨
??-9?
,
???-3
,
10???
,
???-8
⟩
363
364
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 92
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 3% y en la que inicialmente depositamos 5000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
13 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0
-x +x3
6+ Sin[x]
x4
1)1
2
2) ∞
3) 0
4) 1
5) -∞
6) -1
7) -2
3
365
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 12 x2 + 12 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
2 - x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=-1.
1)71
6= 11.8333
2)59
6= 9.8333
3)77
6= 12.8333
4)40
3= 13.3333
5)37
3= 12.3333
6)34
3= 11.3333
7)15
2= 7.5
8)83
6= 13.8333
366
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 01 1 -1 -20 0 1 10 1 0 0
.
1)
? -1 0 -22 ? 0 00 0 ? 10 0 0 ?
2)
? -1 0 -10 ? -4 -20 0 ? 00 -1 2 ?
3)
? 0 0 00 ? 0 1-1 1 ? -11 -1 -1 ?
4)
? -1 0 1-2 ? 0 01 0 ? -10 0 0 ?
5)
? 0 -1 -11 ? 0 11 1 ? 10 0 0 ?
6)
? 0 -1 0-2 ? 1 20 0 ? 0-1 0 1 ?
7)
? 0 -1 0-1 ? 0 -1-2 -2 ? -20 1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 1 -11 0
. 1 0-1 1
=2 -11 1
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 - 3 x2 + 2 x3 - x4 ⩵ 3-6 x1 - x2 + x3 - x4 ⩵ 2x1 + 4 x2 - 3 x3 + 2 x4 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-5?
2)
0???
+⟨
??
-11?
,
???1
⟩
3)
???-3
+⟨
???-7
,
???4
,
?-3??
⟩
4)
???2
+⟨
???
-19
,
???-1
⟩
5)
???0
+⟨
???
-20
,
???4
⟩
367
368
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 93
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 2% y en la que inicialmente depositamos 12 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
20 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→28 - 20 x + 18 x2 - 7 x3 + x4
-12 + 16 x - 7 x2 + x3
1) -1
2
2) -2
3) -1
4) ∞
5) 1
6) 0
7) -∞
369
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 20 x3 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-2 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-3 y x=2.
1)1
3= 0.3333
2) 23
3) 21
4)41
2= 20.5
5)45
2= 22.5
6) 22
7) 19
8)43
2= 21.5
370
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 0-1 0 -2 10 0 1 -11 1 3 -1
.
1)
? -2 1 20 ? -1 -10 -1 ? 10 -1 0 ?
2)
? -1 -2 -11 ? -1 01 1 ? 11 1 0 ?
3)
? -1 -1 10 ? 1 -10 0 ? -10 -1 0 ?
4)
? 0 0 01 ? 1 1-1 -1 ? 0-1 -1 -2 ?
5)
? -1 0 00 ? 1 1-1 0 ? 1-2 0 0 ?
6)
? 0 -1 -10 ? -1 00 0 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 -1 00 ? 2 00 0 ? 00 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 00 1
-1.X -
3 15 2
=-2 -2-6 -1
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - x2 - 4 x4 ⩵ -4-5 x1 - 4 x2 + 2 x3 + x4 ⩵ -94 x1 + 3 x2 - 2 x3 - 5 x4 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-10???
+⟨
-1???
,
?-23??
⟩
2)
?-2??
+⟨
?3??
,
9???
,
???-2
,
?-4??
⟩
3)
??2?
+⟨
?-5??
,
?-18??
⟩
4)
??2?
+⟨
7???
,
???-2
,
???-9
,
-10???
⟩
5)
?11??
+⟨
?-2??
,
?-21??
⟩
371
372
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 94
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 2%, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un
interés del 10% compuesto en 5 períodos. Inicialmente depositamos
13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
5 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞8 + 3 x + 2 x2
-5 - 8 x - 2 x2
1) 1
2) -1
3) 0
4) -1
4
5) -1
6
6) ∞
7) -∞
373
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 40 x3 - 9 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 3 a
-5
(-5 - 18 a + 12 t + 36 a t - 18 t2 - 45 a t2 + 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 2413
2) 2421
3) 2430
4) 2414
5) El resto de las soluciones son incorrectas
6) 2440
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 2 -8 9 8 ) es combinación lineal de la uplas
( -1 -4 2 -2 ), ( -1 -2 2 0 ), ( -2 0 -4 2 ), ( -1 0 -2 1 ), ( -2 -2 0 1 ), ( 0 -2 0 -2 ),
1) Si 2) No
374
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 01 1
-1.X. 1 -1
3 -2-1=
0 0-5 2
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - 3 x2 - 5 x3 + x4 + x5 ⩵ -25 x1 - 3 x2 + 4 x3 + x4 + 2 x5 ⩵ 4-8 x1 + 9 x2 - 3 x3 - 3 x4 - 5 x5 ⩵ -6
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-5???
2)
????8
+⟨
???7?
,
????3
,
????-6
⟩
3)
0????
+⟨
???9?
,
???3?
,
???14?
⟩
4)
???4?
+⟨
???10?
⟩
5)
?3???
+⟨
????
-10
,
???5?
,
???11?
⟩
375
376
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 95
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 298 000 euros hasta un valor final de
144 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **7.*****%.
2) El interés será del **2.*****%.
3) El interés será del **3.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 22 145 77
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
14 y 29. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=5).
1) Se alcanzarán en el intervalo [2,5].
2) Se cumplirá en los intervalos: [-3,-2] y [3,5].
3) Se alcanzarán en el intervalo [-3,2].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-3,-2].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-3,0].
7) Se alcanzarán en el intervalo [2,3].
8) Se alcanzarán en el intervalo [-3,5].
377
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 24 x2 + 3 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(1 + 2 t)log(4 t) euros.
Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 2 (entre t=1 y t=2).
1)1
2(-6 - 2 Log[4] + 12 Log[12]) euros = 10.5231 euros
2) -6 - 2 Log[4] + 12 Log[12] euros = 21.0463 euros
3) -5
2- 2 Log[4] + 6 Log[8] euros = 7.2041 euros
4)1
2-21
2- 2 Log[4] + 20 Log[16] euros = 21.0896 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 1 0 0 2 ), ( -2 2 4 2 ), ( -2 1 1 -1 ), ( -3 2 3 0 ), ( -1 1 2 1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
378
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -10 1
.X - -2 -13 1
=0 3-2 -2
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
9 x2 + 5 x3 + 5 x4 + 2 x5 ⩵ -2-x1 - 5 x2 - 2 x4 - x5 ⩵ 3-x1 + 4 x2 + 5 x3 + 3 x4 + x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???4?
+⟨
???2?
,
????-7
,
????10
⟩
2)
?10???
+⟨
???8?
,
????-2
⟩
3)
??-2??
+⟨
???4?
,
???3?
,
???-2?
⟩
4)
????1
+⟨
???-2?
,
?-10???
⟩
5)
??1??
+⟨
???1?
,
???2?
,
???-3?
⟩
379
380
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 96
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 332 000 euros hasta un valor final de
461 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **6.*****%.
2) El interés será del **0.*****%.
3) El interés será del **3.*****%.
4) El interés será del **5.*****%.
5) El interés será del **1.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 274 -218 27
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
-9 y 6. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=8).
1) Se alcanzarán en el intervalo [6,8].
2) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
3) Se cumplirá en los intervalos: [1,2] y [6,7].
4) Se alcanzarán en el intervalo [1,2].
5) Se alcanzarán en el intervalo [1,8].
6) Se cumplirá en los intervalos: [0,2] y [6,7].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
8) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
381
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 2 x3 - 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(7 + t)(sen(2πt)+1) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).
1)1
7
15
2-
1
2 πeuros = 1.0487 euros
2)1
7
147
2-
7
2 πeuros = 10.3408 euros
3)1
7-13
2+
1
2 πeuros = -0.9058 euros
4)1
716 -
1
πeuros = 2.2402 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 2 1 2 ), ( -1 -2 -1 2 ), ( 1 1 0 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
382
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 1 2-1 -1
. 1 -1-4 5
=-8 100 0
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 0* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 - 2 x2 - 5 x3 - 4 x4 + x5 ⩵ -12 x1 - 3 x2 + x3 + 5 x4 - x5 ⩵ -24 x1 - 7 x2 - 9 x3 - 3 x4 + x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??7??
+⟨
-3????
⟩
2)
?1???
+⟨
?-10???
,
???-8?
⟩
3)
?3???
+⟨
-16????
,
-20????
,
?5???
⟩
4)
???1?
+⟨
?-10???
,
-19????
,
?1???
⟩
5)
???0?
+⟨
-17????
,
?-13???
,
5????
⟩
383
384
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 97
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 175 000 euros hasta un valor final de
353 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **2.*****%.
2) El interés será del **1.*****%.
3) El interés será del **5.*****%.
4) El interés será del **9.*****%.
5) El interés será del **7.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 173 115 27
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
7 y 17. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=5).
1) Se alcanzarán en el intervalo [4,5].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-1,5].
3) Se alcanzarán en el intervalo [5,5].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,4].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
385
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 12 x2 + 10 x3 + 4 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(6 + 6 t)ⅇ1+t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
4 primeros meses del año (entre t=0 y t=4).
1) 3 ⅇ3 euros = 60.2566 euros
2)3 ⅇ2
2euros = 11.0836 euros
3) -3
2euros = -1.5 euros
4) 6 ⅇ5 euros = 890.479 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -3 -1 2 -1 ), ( 2 0 0 0 ), ( 0 0 0 2 ), ( 1 1 0 0 ), ( -1 -1 2 -1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
386
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 5 -4-1 1
. 1 -11 0
-1=
4 1-1 0
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-8 x1 - 9 x2 - 4 x3 + x4 + x5 ⩵ 6-5 x1 - 4 x2 - 3 x3 - 2 x4 - 3 x5 ⩵ 1-3 x1 - 5 x2 - x3 + 3 x4 + 4 x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-1???
+⟨
????
-20
,
???32?
,
???13?
⟩
2)
??
-10??
+⟨
2????
,
???9?
⟩
3)
??-2??
+⟨
????
-24
,
????
-19
,
????
-12
⟩
4)
???0?
+⟨
????
-10
⟩
5)
????
-13
+⟨
???29?
,
????
-22
,
???15?
⟩
387
388
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 98
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
491 000 euros hasta un valor final de 124 000 euros a lo largo de 8
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **2.*****%.
3) El interés será del **9.*****%.
4) El interés será del **0.*****%.
5) El interés será del **5.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 02 46 60
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función
que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la
legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -12
y 40. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-1,4].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-2,7].
3) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].
4) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-4,6].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
389
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(4 + 4 t)log(3 t) euros.
Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 3 (entre t=1 y t=3).
1)1
3(-40 - 6 Log[3] + 70 Log[15]) euros = 47.6573 euros
2)1
3(-27 - 6 Log[3] + 48 Log[12]) euros = 28.5613 euros
3)1
2(-16 - 6 Log[3] + 30 Log[9]) euros = 21.6625 euros
4)1
2(-27 - 6 Log[3] + 48 Log[12]) euros = 42.8419 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -1 -1 1 0 ), ( 1 -2 -1 2 0 ), ( 0 0 1 1 -1 )
, ( 1 0 -1 2 -1 ), ( -2 2 2 4 -4 ), ( -1 1 1 2 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
390
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 10 1
-1.X -
3 -1-2 1
=-3 23 -2
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 2 x2 - 3 x3 - 3 x4 - 4 x5 ⩵ 33 x1 + 5 x2 + 2 x3 + 5 x4 - x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??0??
+⟨
9????
⟩
2)
????-3
+⟨
8????
,
?-2???
,
?-14???
⟩
3)
??-2??
+⟨
9????
,
8????
,
24????
⟩
4)
???-7?
5)
17????
+⟨
?-7???
,
5????
,
22????
⟩
391
392
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 99
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés del 4% compuesto en 6 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 7%
. Inicialmente depositamos 9000 euros en el banco A y 2000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2La población de cierto país (en millones de habitantes) viene dada por la función P(t)=
32-5 - 8 t + 2 t2
-3 - t + 2 t2
-5-4 t+t2
. Determinar la tendencia de futuro para esta población.
1) 32
2)32
ⅇ3
3)32
ⅇ5
4) -∞
5) 0
6) 32 ⅇ
7) ∞
393
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 6 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(8 + 9 t)ⅇ1-t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
30 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1) 30 -44
ⅇ2+ 17 ⅇ millones de euros = 70.256 millones de euros
2) 30 -35
ⅇ+ 17 ⅇ millones de euros = 63.335 millones de euros
3) 4 + 17 ⅇ millones de euros = 50.2108 millones de euros
4) 30 + 17 ⅇ - 8 ⅇ2 millones de euros = 17.0983 millones de euros
394
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 2 0 -10 1 0 05 2 1 -1-1 -2 0 1
.
1)
? 0 0 10 ? 0 0-4 0 ? -31 2 0 ?
2)
? -1 -1 -20 ? 1 01 0 ? -11 0 0 ?
3)
? -1 -1 -11 ? -1 -10 -1 ? -10 2 1 ?
4)
? -1 -1 00 ? -1 00 0 ? 0-1 0 1 ?
5)
? -1 -1 00 ? 2 00 0 ? 0-1 1 1 ?
6)
? -1 0 -1-1 ? 1 -2-1 1 ? 10 0 0 ?
7)
? -1 0 1-1 ? 0 -20 -1 ? 00 -1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 2 1-1 0
. 1 14 5
-1=
-2 09 -2
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - x2 - 5 x3 ⩵ 1-3 x1 + 2 x2 - 5 x3 - 4 x4 ⩵ -3-7 x1 + 4 x2 + 5 x3 - 4 x4 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-3??
+⟨
15???
,
4???
⟩
2)
?-4??
+⟨
?23??
,
?6??
⟩
3)
??1?
+⟨
?24??
,
5???
⟩
4)
??3?
+⟨
??-3?
,
3???
,
???1
⟩
5)
-3???
+⟨
??-9?
,
-3???
,
??5?
⟩
395
396
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 100
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 331 000 euros hasta un valor final de
443 000 euros a lo largo de 7 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **2.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **1.*****%.
4) El interés será del **3.*****%.
5) El interés será del **8.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 04 87 35
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
3 y 8. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).
1) Se alcanzarán en el intervalo [3,4].
2) Se cumplirá en los intervalos: [-2,-1] y [4,7].
3) Se alcanzarán en el intervalo [3,7].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,7].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-2,-1].
8) Se alcanzarán en el intervalo [-2,0].
397
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(2 + 3 t)log(3 t) euros.
Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 2 (entre t=1 y t=2).
1) -10 -7 Log[3]
2+39 Log[9]
2euros = 29.0007 euros
2) -17
4-7 Log[3]
2+ 10 Log[6] euros = 9.8225 euros
3)1
2-10 -
7 Log[3]
2+39 Log[9]
2euros = 14.5004 euros
4)1
2-69
4-7 Log[3]
2+ 32 Log[12] euros = 29.2109 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -1 1 1 ), ( 0 -1 2 0 ), ( 1 -2 1 1 ), ( -1 2 2 1 ), ( -2 4 1 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
398
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
3 27 5
-1.X. -1 -3
0 -1=
2 9-3 -13
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
0 *
* * 5)
* *
-2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x2 + 2 x3 - x4 - x5 ⩵ 1x1 - 2 x2 - 7 x3 + 5 x4 + 4 x5 ⩵ -4x1 - 5 x2 - x3 + 2 x4 + x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
5????
2)
?-3???
+⟨
????2
,
????
-10
,
????0
⟩
3)
?-3???
+⟨
????2
,
????-4
,
????0
⟩
4)
??0??
+⟨
???-1?
,
???6?
,
???-1?
⟩
5)
-6????
+⟨
5????
,
4????
⟩
399
400
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 101
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 149 000 euros hasta un valor final de
369 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto cuatrimestralmente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **7.*****%.
3) El interés será del **5.*****%.
4) El interés será del **6.*****%.
5) El interés será del **2.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 222 224 6
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
16 y 22. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=4).
1) Se alcanzarán en el intervalo [0,0].
2) Se alcanzarán en el intervalo [0,4].
3) Se alcanzarán en el intervalo [3,4].
4) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [2,4].
5) Se cumplirá en los intervalos: [0,0] y [2,3].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
7) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [2,3].
8) Se alcanzarán en el intervalo [-1,0].
401
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 12 x2 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(8 + 7 t)sen(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
2 π primeros meses del año (entre t=0 y t=2 π).
1) -7 euros
2)16 + 21 π
2 πeuros = 13.0465 euros
3)16 - 7 π
2 πeuros = -0.9535 euros
4)16 + 7 π
2 πeuros = 6.0465 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 2 -1 -2 1 ), ( 1 0 2 2 ), ( -2 1 -1 1 ), ( -2 -1 0 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
402
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-3 1-7 2
.X + -1 -53 14
=8 2918 63
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 4 x2 - 3 x3 + 2 x4 - 5 x5 ⩵ 53 x1 + 11 x2 - x3 - 4 x4 - 3 x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??1??
+⟨
?-12???
,
?1???
,
?-21???
⟩
2)
???0?
+⟨
?-10???
,
-6????
,
?-18???
⟩
3)
???-8?
+⟨
-4????
,
-3????
⟩
4)
-2????
5)
???-2?
+⟨
40????
,
-8????
,
?-15???
⟩
403
404
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 102
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 265 000 euros hasta un valor final de
431 000 euros a lo largo de 8 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto en 10 períodos de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **8.*****%.
3) El interés será del **7.*****%.
4) El interés será del **6.*****%.
5) El interés será del **1.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 234 878 87
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
15 y 77. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=8).
1) Se alcanzarán en el intervalo [8,9].
2) Se alcanzarán en el intervalo [0,9].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,8].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
6) Se alcanzarán en el intervalo [3,8].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-1,3].
8) Se alcanzarán en el intervalo [8,8].
405
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 2 x3 - 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(6 + 5 t)ⅇ3+t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
5 primeros meses del año (entre t=0 y t=5).
1)1
5-ⅇ
3+ 11 ⅇ
5 euros = 322.4918 euros
2)1
5-ⅇ
3+ 6 ⅇ
4 euros = 61.5007 euros
3)1
5-ⅇ
3+ 26 ⅇ
8 euros = 15496.9644 euros
4)1
5-4 ⅇ
2- ⅇ
3 euros = -9.9284 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 0 -2 0 ), ( 0 2 1 -2 ), ( -1 -1 0 -2 ), ( 2 -1 0 0 ), ( -3 0 0 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
406
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 31 4
.X + 1 0-3 1
=-2 3-7 5
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 + 3 x2 - 2 x3 - 5 x4 + 3 x5 ⩵ 0x1 + 4 x2 + 3 x3 + 2 x4 - 3 x5 ⩵ -4x1 + 5 x2 + 8 x3 + 9 x4 - 9 x5 ⩵ -8
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-2???
+⟨
15????
,
24????
,
-24????
⟩
2)
??-4??
+⟨
??-5??
⟩
3)
???0?
+⟨
?-5???
,
26????
,
?6???
⟩
4)
0????
+⟨
???2?
⟩
5)
??-2??
+⟨
18????
,
?-6???
,
?4???
⟩
407
408
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 103
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 6% y en la que inicialmente depositamos 6000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
14 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0-1 + ⅇx
2
- x2
x3
1) ∞
2) 0
3) 1
4) -1
5) -∞
6) 2
7)1
3
409
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 240 x - 120 x2 + 60 x3 + 60 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-3 - 4 x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=5.
1) 108
2) 112
3) 110
4)221
2= 110.5
5) 113
6)223
2= 111.5
7) 111
8)219
2= 109.5
410
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -2 -3 10 2 3 -1-2 2 4 -11 -3 -4 2
.
1)
? 1 0 0-5 ? -2 12 1 ? 0-4 0 -1 ?
2)
? -2 2 -30 ? 0 0-1 0 ? -10 0 0 ?
3)
? -1 0 00 ? 0 00 0 ? 20 0 0 ?
4)
? -1 1 -2-1 ? 0 0-2 1 ? -10 0 -1 ?
5)
? 0 -2 10 ? -1 00 1 ? -20 0 -2 ?
6)
? 0 -1 -10 ? 0 10 0 ? 00 0 1 ?
7)
? 0 -1 0-1 ? 0 0-1 1 ? 02 0 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 -11 0
.X. 3 -11 0
-1=
1 -31 -2
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - 4 x2 + 3 x3 + 5 x4 ⩵ -3-2 x1 - 8 x2 + x3 + 2 x4 ⩵ -5-4 x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???
-11
+⟨
??-7?
,
??
-34?
⟩
2)
???-6
+⟨
?9??
,
??6?
,
??-3?
⟩
3)
??21?
+⟨
???1
,
???19
⟩
4)
??-9?
+⟨
?-7??
,
??8?
,
?5??
,
??9?
⟩
5)
??19?
+⟨
??-6?
,
??
-32?
⟩
411
412
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 104
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 144 000 euros hasta un valor final de
304 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **8.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **6.*****%.
4) El interés será del **9.*****%.
5) El interés será del **5.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 262 506 50
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
40 y 58. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [6,7].
2) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].
3) Se alcanzarán en el intervalo [-1,4].
4) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,4].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-1,7].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,7].
413
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 6 x2 + x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=30 ⅇ3+2 t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 primeros meses del año (entre t=0 y t=3).
1)1
315 ⅇ - 15 ⅇ
3 euros = -86.8363 euros
2)1
3-15 ⅇ
3+ 15 ⅇ
9 euros = 40414.992 euros
3)1
3-15 ⅇ
3+ 15 ⅇ
7 euros = 5382.7381 euros
4)1
3-15 ⅇ
3+ 15 ⅇ
5 euros = 641.6381 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 -3 -1 -3 ), ( 1 1 -1 2 ), ( -1 -2 -2 -1 ), ( 2 -1 0 -1 ), ( -2 -4 -4 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
414
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -12 -1
.X + -5 -9-1 -2
=-7 -10-4 -3
1) 1 *
* * 2)
* 0* *
3) * -1* *
4) * 1* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
7 x1 - 10 x2 - 2 x3 - x4 ⩵ 2-2 x1 + 3 x2 - 5 x3 + 3 x4 - 5 x5 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???1?
+⟨
?41???
,
-26????
,
?37???
⟩
2)
??0??
+⟨
?39???
,
-27????
,
?35???
⟩
3)
????3
+⟨
5????
⟩
4)
????2
+⟨
?42???
,
?-20???
,
47????
⟩
5)
????5
+⟨
3????
⟩
415
416
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 105
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 2%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés del 10% compuesto en 5 períodos
. Inicialmente depositamos 8000 euros en el banco A y 3000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→-∞5 + 8 x + 4 x2 - 3 x3 - 7 x4
1) -5
2) 3
3) -6
4) ∞
5) 1
6) -∞
7) 0
417
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 12 x - 6 x2 - 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=20 ⅇ3+3 t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 50
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1)170
3-20 ⅇ3
3millones de euros = -77.2369 millones de euros
2) 50 -20 ⅇ3
3+20 ⅇ9
3millones de euros = 53936.6559 millones de euros
3) 50 -20 ⅇ3
3+20 ⅇ6
3millones de euros = 2605.6217 millones de euros
4) 50 -20 ⅇ3
3+20 ⅇ12
3millones de euros = 1.0849×106 millones de euros
418
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
3 0 -3 23 1 -3 2-4 0 5 -34 0 -4 3
.
1)
? -1 -1 -11 ? 1 01 1 ? 12 1 1 ?
2)
? -1 -1 01 ? -2 -11 0 ? -1-1 0 1 ?
3)
? 0 1 -1-1 ? 0 00 0 ? 1-4 0 0 ?
4)
? -1 0 00 ? 0 01 0 ? 0-1 1 -1 ?
5)
? -1 1 01 ? 0 0-1 0 ? 00 0 0 ?
6)
? -1 2 -30 ? 0 00 0 ? -10 0 -2 ?
7)
? 0 -1 -1-1 ? -1 00 0 ? 10 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -3-1 2
.X. 1 -11 0
=8 -5-5 3
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 - x2 + 5 x3 + 8 x4 ⩵ -13 x1 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?0??
+⟨
??12?
,
??-3?
⟩
2)
???16
+⟨
??14?
,
??-6?
⟩
3)
?9??
4)
?-5??
5)
???16
+⟨
???-4
,
???4
⟩
419
420
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 106
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 5% compuesto en 11 períodos y en la que inicialmente depositamos 10 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
14 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→28 - 20 x + 18 x2 - 7 x3 + x4
12 - 8 x - x2 + x3
1) -1
2) -2
3
3) -2
4) 1
5) -∞
6) 0
7) ∞
421
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 12 x2 - 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-4 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-1 y x=3.
1)118
3= 39.3333
2)245
6= 40.8333
3)112
3= 37.3333
4)127
3= 42.3333
5)124
3= 41.3333
6)239
6= 39.8333
7)121
3= 40.3333
8)104
3= 34.6667
422
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 0 00 1 0 00 1 1 00 2 1 1
.
1)
? -2 -2 -2-2 ? 2 20 1 ? 10 0 -1 ?
2)
? -2 0 03 ? -1 1-2 4 ? -12 -4 0 ?
3)
? -1 -1 00 ? 0 0-1 0 ? 01 -1 -3 ?
4)
? 1 0 00 ? 0 00 -1 ? 00 -1 -1 ?
5)
? -1 0 00 ? 0 -11 1 ? 21 0 0 ?
6)
? -1 1 00 ? -1 00 -2 ? -10 3 -3 ?
7)
? -1 1 01 ? -1 -10 -1 ? 00 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 11 2
. 3 -2-1 1
-1=
-2 -4-5 -13
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
-1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + 5 x3 - 10 x4 ⩵ 6-x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 ⩵ 0-x1 + x2 + 4 x3 - 3 x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??6?
2)
??0?
+⟨
?1??
,
-10???
⟩
3)
-8???
+⟨
3???
,
-9???
⟩
4)
??7?
+⟨
???-5
⟩
5)
-9???
+⟨
?0??
,
?-5??
⟩
423
424
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 107
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 161 000 euros hasta un valor final de
367 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto trimestralmente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **0.*****%.
2) El interés será del **6.*****%.
3) El interés será del **7.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **9.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 112 195 1
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
11 y 17. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=5).
1) Se alcanzarán en el intervalo [0,4].
2) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
3) Se alcanzarán en el intervalo [1,5].
4) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [3,4].
5) Se cumplirá en los intervalos: [0,0] y [3,4].
6) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].
7) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [3,5].
8) Se alcanzarán en el intervalo [4,5].
425
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 48 x2 - 8 x3 - 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=sen(8 + 3 t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
π primeros meses del año (entre t=0 y t=π).
1) -10 +2 Cos[8]
3 πeuros = -10.0309 euros
2) 60 +2 Cos[8]
3 πeuros = 59.9691 euros
3)2 Cos[8]
3 πeuros = -0.0309 euros
4) 50 +2 Cos[8]
3 πeuros = 49.9691 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 2 -1 -2 2 ), ( 1 1 -2 1 ), ( 0 -1 1 2 ), ( -1 -2 3 1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
426
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-5 2-3 1
.X. 1 -3-1 4
=0 20 1
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -1* *
4) * 2* *
5) * *
0 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 2 x2 - 3 x3 - 2 x4 - x5 ⩵ -4-2 x1 + x2 - 4 x3 - 3 x4 - 3 x5 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-10????
+⟨
-5????
,
-4????
,
?-7???
⟩
2)
10????
+⟨
?3???
⟩
3)
-11????
+⟨
-6????
,
-3????
,
?-8???
⟩
4)
?-15???
+⟨
-6????
,
-2????
,
-2????
⟩
5)
??-9??
+⟨
???1?
⟩
427
428
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 108
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 6% compuesto en 5 períodos, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un
interés compuesto continuamente del 8%. Inicialmente depositamos
7000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0-x3 + Sinx3
x6
1) -2
3
2) 0
3) -1
4) ∞
5) -2
6) -∞
7) 1
429
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 120 x2 - 80 x3 - 15 x4 + 6 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 3
6
(6 - 3 a + 3 t + 3 a t
-2 + t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 1.41001
2) El resto de las soluciones son incorrectas
3) 0.571811
4) 1.66181
5) 1.11931
6) 1.07831
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -4 6 9 ) es combinación lineal de la uplas
( 1 1 1 ), ( -1 -1 2 ), ( 1 -1 0 ),
1) Si 2) No
430
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-2 -37 10
.X - 2 31 2
=-4 06 -12
1) 1 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 5 x2 - 5 x3 + 2 x4 + 3 x5 ⩵ 4x1 - 2 x2 - 3 x3 - x4 + 5 x5 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??0??
+⟨
5????
,
?4???
,
-19????
⟩
2)
????-3
+⟨
2????
,
11????
,
?-10???
⟩
3)
????6
+⟨
?-5???
⟩
4)
????3
+⟨
?2???
,
11????
,
-22????
⟩
5)
????-9
+⟨
?-2???
,
????-2
,
?1???
,
??-2??
⟩
431
432
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 109
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 2% y en la que inicialmente depositamos 8000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
13 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 1041 853 53
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 20.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue -9.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 3.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 4.
433
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 120 x2 - 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
6 + 8 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=4.
1)811
6= 135.1667
2)404
3= 134.6667
3)401
3= 133.6667
4)398
3= 132.6667
5)805
6= 134.1667
6)793
6= 132.1667
7)407
3= 135.6667
8)392
3= 130.6667
434
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 02 1 0 -12 0 1 00 0 1 1
.
1)
? -2 0 00 ? 0 10 -1 ? 00 0 0 ?
2)
? 0 0 00 ? -1 1-2 0 ? 02 0 -1 ?
3)
? -2 2 1-2 ? -3 -24 -6 ? 5-1 1 -1 ?
4)
? -1 -1 10 ? -1 20 0 ? -10 0 -1 ?
5)
? 0 -2 00 ? 1 00 0 ? 01 0 -2 ?
6)
? 0 -1 -10 ? 1 00 0 ? 10 0 -2 ?
7)
? 0 0 -10 ? 0 02 0 ? 03 -1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
3 -8-1 3
.X. 3 42 3
=-7 -123 5
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x2 + 4 x3 - x4 ⩵ 3-x1 + x2 - 3 x3 + x4 ⩵ 3-x1 + 3 x2 + x3 ⩵ 6
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-7?
+⟨
?3??
,
???-2
,
??9?
,
???-2
⟩
2)
?2??
+⟨
??2?
,
??-2?
⟩
3)
?0??
+⟨
??1?
,
???
-10
⟩
4)
???23
+⟨
??2?
,
???-8
⟩
5)
???-6
+⟨
???-9
,
2???
,
-1???
,
???5
⟩
435
436
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 110
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 8%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 2%
. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 15 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
cos(x + 2) - ⅇx+2 x ≤ -2
x - 2 ⅇx+2 + 2 cos(x + 2) + 2 -2 < x < 0
4 x - 3 (x + 1) log(x + 1) - 2 ⅇ2 + 2 + 2 cos(2) 0 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2 y x=0.
437
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 6 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(3 + 5 t)ⅇ-1+t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 90
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 90 -7
ⅇ2+2
ⅇmillones de euros = 89.7884 millones de euros
2) 93 +2
ⅇmillones de euros = 93.7358 millones de euros
3) 90 +2
ⅇ+ 13 ⅇ
2 millones de euros = 186.7935 millones de euros
4) 90 +2
ⅇ+ 8 ⅇ millones de euros = 112.482 millones de euros
438
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 0 10 1 0 1-2 1 1 01 -1 -1 1
.
1)
? -1 0 00 ? 0 10 0 ? 00 -1 0 ?
2)
? -1 0 00 ? 1 00 0 ? 0-1 0 0 ?
3)
? -1 0 0-1 ? -1 -13 -4 ? 11 -1 1 ?
4)
? 0 -1 00 ? 0 00 0 ? -10 -1 0 ?
5)
? 0 -1 10 ? 0 0-1 0 ? 00 0 -1 ?
6)
? 0 -1 10 ? 0 00 1 ? 20 1 -1 ?
7)
? 0 0 -12 ? 1 11 0 ? 00 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 -11 0
.X. 13 43 1
-1=
4 -17-3 13
1) 0 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -2* *
4) * 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 5 x2 - 3 x3 - 2 x4 ⩵ -15 x1 + 5 x2 - x3 - x4 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??4?
+⟨
???21
,
???11
⟩
2)
???0
+⟨
???17
,
??-7?
⟩
3)
??3?
+⟨
?1??
⟩
4)
???-8
+⟨
?7??
⟩
5)
0???
+⟨
???18
,
???10
⟩
439
440
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 111
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 4% compuesto en 3 períodos y en la que inicialmente depositamos 11 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
19 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-327 + 54 x + 36 x2 + 10 x3 + x4
-18 - 3 x + 4 x2 + x3
1) -2
3
2) ∞
3) -1
4) 0
5) -2
6) 1
7) -∞
441
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 40 x3 + 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
2 - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=4.
1)121
3= 40.3333
2)104
3= 34.6667
3)251
6= 41.8333
4)245
6= 40.8333
5)118
3= 39.3333
6)112
3= 37.3333
7)127
3= 42.3333
8)239
6= 39.8333
442
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 1 1 -20 0 1 -10 0 0 1
.
1)
? -1 0 -4-3 ? 0 -30 0 ? 02 1 0 ?
2)
? -1 0 01 ? -1 -20 0 ? 1-1 1 0 ?
3)
? -1 0 10 ? 0 10 2 ? 2-1 1 0 ?
4)
? 0 0 00 ? -1 10 0 ? 10 0 0 ?
5)
? -1 3 10 ? -1 0-1 -1 ? 10 -1 2 ?
6)
? 0 -1 -1-1 ? 0 -10 0 ? 01 1 0 ?
7)
? 0 -1 0-1 ? 1 10 0 ? 00 0 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 -11 0
.X - -1 11 -2
=0 -31 0
1) -1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* 1* *
4) * 2* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 + x2 - 2 x3 + 2 x4 ⩵ 0x1 + 2 x2 - 3 x3 + 5 x4 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-3??
+⟨
?-1??
,
?-1??
⟩
2)
-4???
+⟨
?-6??
⟩
3)
2???
+⟨
?2??
,
?0??
⟩
4)
-8???
+⟨
?-10??
⟩
5)
???0
+⟨
?1??
,
?-3??
⟩
443
444
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 112
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 2%, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés compuesto del 2%. Inicialmente depositamos 13 000
euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
2 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
Ejercicio 2La población de cierto país (en millones de habitantes) viene dada por la función P(t)=
9-3 + 9 t + 7 t2
-1 - 7 t + 7 t2
9+2 t
. Determinar la tendencia de futuro para esta población.
1) 0
2)9
ⅇ5
3) 9 ⅇ1143/250
4) 9 ⅇ32/7
5) ∞
6) -∞
7) 9
445
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 4 x3 - 3 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular a
1
(-3 + 16 a - 32 t + 4 a t - 6 t2 - 3 a t2 + 4 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 16
2) 7
3) 20
4) 23
5) El resto de las soluciones son incorrectas
6) 2
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 1 -4 -8 -4 ) es combinación lineal de la uplas
( -2 2 1 -1 ), ( -4 1 3 -3 ), ( 2 1 -2 2 ), ( -3 2 -1 -3 ), ( -1 0 -2 -2 ), ( -4 4 2 -2 ),
1) Si 2) No
446
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 2-1 -1
-1.X -
-2 31 -2
=-1 -51 3
1) 1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 - 4 x2 + 5 x3 + 2 x4 - 3 x5 ⩵ 5-2 x1 + 3 x2 - 2 x3 - 7 x4 + 11 x5 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
6????
+⟨
?-3???
,
?3???
⟩
2)
3????
+⟨
????
-27
,
???38?
,
???
-47?
⟩
3)
-3????
+⟨
????
-27
,
???32?
,
????
-34
⟩
4)
???64?
+⟨
????
-24
,
???35?
,
????
-31
⟩
5)
??3??
+⟨
??8??
,
??6??
⟩
447
448
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 113
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 378 000 euros hasta un valor final de
124 000 euros a lo largo de 10 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto cuatrimestralmente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **6.*****%.
2) El interés será del **7.*****%.
3) El interés será del **3.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2Una factoría fabrica cierto tipo de dispositivos. El coste marginal
(coste de fabricar una unidad) se reduce cuando producimos grandes
cantidades de dispositivos y viene dado por la función C(x)=4 + 2 x + 9 x2
4 + 9 x + 7 x2
. Determinar el coste por unidad esperado cuando se producen grandes cantidades de unidades.
1)129
100
2)9
7
3) -∞
4) 0
5) ∞
6) -1
7) 16 000
449
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=1 + 3 t2 euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
9 primeros meses del año (entre t=0 y t=9).
1)2
9euros = 0.2222 euros
2) 82 euros
3)10
9euros = 1.1111 euros
4)10
3euros = 3.3333 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 1 -2 -2 1 2 ), ( 1 1 0 1 1 ), ( -1 2 -1 2 -2 ), ( -2 1 -1 1 -3 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
450
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 11 1
-1.X -
7 -3-2 1
=-6 21 1
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + x2 - 4 x3 + 4 x4 - 3 x5 ⩵ -5-x1 + x3 - 5 x4 - 2 x5 ⩵ 8x1 + x2 - 3 x3 - x4 - 5 x5 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??1??
+⟨
0????
,
?5???
,
?9???
⟩
2)
???-7?
+⟨
????-9
⟩
3)
-5????
+⟨
?4???
,
-8????
,
?8???
⟩
4)
?11???
+⟨
?2???
,
-5????
,
?7???
⟩
5)
?2???
+⟨
???-5?
,
???2?
,
????-6
,
???9?
⟩
451
452
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 114
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 5% y en la que inicialmente depositamos 12 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
16 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-1x + 3 x2 + 3 x3 + x4
-2 - 3 x + x3
1) ∞
2) -2
3) -∞
4) 0
5) -1
3
6) -1
7) 1
453
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 12 x2 + 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
4 - 2 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=5.
1)189
2= 94.5
2) 97
3)265
3= 88.3333
4)193
2= 96.5
5) 96
6) 93
7)191
2= 95.5
8) 95
454
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
3 0 1 30 1 -1 12 0 1 20 1 -1 2
.
1)
? -4 -4 3-2 ? 3 -2-2 3 ? -20 0 0 ?
2)
? 1 -1 -1-2 ? 3 -1-2 0 ? 00 -1 0 ?
3)
? -1 -2 01 ? -1 00 0 ? 00 -1 0 ?
4)
? -1 -1 -40 ? 1 1-1 0 ? 20 1 1 ?
5)
? -1 -1 02 ? 0 03 1 ? 0-1 -2 -1 ?
6)
? -1 0 1-3 ? 1 -1-2 0 ? -11 0 0 ?
7)
? 0 -1 0-2 ? 1 0-1 0 ? 02 0 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 40 1
. 5 8-7 -11
=21 33-5 -8
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - 6 x2 - 4 x3 + 6 x4 ⩵ 8-x1 + 5 x2 + x3 - 2 x4 ⩵ 12 x1 - 2 x2 + x3 - x4 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-2???
+⟨
??-6?
,
???4
⟩
2)
-7???
3)
-2???
+⟨
??-7?
,
???5
⟩
4)
0???
+⟨
???-3
,
??9?
⟩
5)
??-5?
+⟨
???5
⟩
455
456
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 115
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 2% compuesto en 12 períodos, en la que pasados 4 años
se pasa a ofrecer un interés compuesto continuamente del 8%. Inicialmente depositamos
5000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→∞-2 + 4 x - x2
-4 + 3 x - x2
-1+8 x+5 x2
1) ∞
2)1
ⅇ3
3) 0
4) 1
5)1
ⅇ4
6)1
ⅇ
7) -∞
457
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 10 x4 + 9 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 3
6
(2 - t + a t
-2 t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el parámetro
a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 1.00689
2) El resto de las soluciones son incorrectas
3) 1.38629
4) 0.836994
5) 0.472994
6) 0.806994
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -8 4 5 ) es combinación lineal de la uplas
( 0 -3 1 ), ( 2 -2 -2 ), ( 1 -1 -1 ), ( 1 2 -2 ), ( 1 2 0 ),
1) Si 2) No
458
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 02 1
.X - -1 -31 2
=0 3-2 4
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + 5 x2 - 5 x3 + x4 + x5 ⩵ 12 x1 + 3 x2 - 2 x4 - x5 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
6????
2)
?1???
+⟨
????-5
,
???5?
,
????8
⟩
3)
????4
+⟨
????-6
,
????
-13
,
????10
⟩
4)
???-8?
5)
???-1?
+⟨
???1?
,
????
-14
,
????13
⟩
459
460
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 116
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 10% compuesto en 7 períodos, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un
interés del 5% compuesto en 11 períodos. Inicialmente depositamos
11 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
4 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 52 173 20
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 21.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 19.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 2.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 17.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 4.
461
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 60 x2 + 10 x3 - 15 x4 - 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -3 a
-1
(5 + 27 a + 18 t + 6 a t + 3 t2 - 27 a t2 - 12 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -14
2) El resto de las soluciones son incorrectas
3) 18
4) 0
5) 6
6) -11
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 1 0 -2 -4 ) es combinación lineal de la uplas
( 2 0 -1 0 ), ( 1 -1 0 -1 ), ( -1 -1 1 -1 ), ( 1 0 0 1 ), ( 1 2 2 0 ),
1) Si 2) No
462
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 1-1 0
-1.X -
-4 7-3 5
=-4 58 -13
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 + 2 x2 + 5 x3 - 3 x4 + 5 x5 ⩵ 3x1 + 3 x2 + 2 x3 + 2 x4 + x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????-2
+⟨
?6???
,
14????
,
-11????
⟩
2)
2????
+⟨
?0???
,
10????
,
-12????
⟩
3)
????-8
+⟨
2????
,
4????
⟩
4)
?2???
+⟨
-8????
⟩
5)
?2???
+⟨
-11????
,
13????
,
-13????
⟩
463
464
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 117
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 312 000 euros hasta un valor final de
197 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **6.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **7.*****%.
4) El interés será del **2.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 233 86 11
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
3 y 8. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-2,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [5,6].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
4) Se alcanzarán en el intervalo [6,6].
5) Se alcanzarán en el intervalo [3,5].
6) Se alcanzarán en el intervalo [3,6].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
465
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 6 x2 - 2 x3 + x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(9 + 7 t)sen(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).
1)18 - 7 π
3 πeuros = -0.4235 euros
2) -14
3euros = -4.6667 euros
3)18 + 21 π
3 πeuros = 8.9099 euros
4)18 + 7 π
3 πeuros = 4.2432 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 1 -2 1 1 ), ( -1 -1 2 -1 ), ( 1 0 -2 1 ), ( 2 -2 2 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
466
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 2 11 1
. -2 5-5 12
=-9 22-14 34
1) 1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
10 x1 + 8 x2 + 7 x3 + x4 + x5 ⩵ -15 x1 + 3 x2 + 5 x3 + 3 x4 + 2 x5 ⩵ -25 x1 + 5 x2 + 2 x3 - 2 x4 - x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???0?
2)
???1?
+⟨
???13?
,
???15?
,
???6?
⟩
3)
????-2
+⟨
???18?
,
????
-23
,
???11?
⟩
4)
????-1
+⟨
???15?
,
???13?
,
???9?
⟩
5)
????8
+⟨
???-6?
,
?-5???
⟩
467
468
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 118
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
292 000 euros hasta un valor final de 168 000 euros a lo largo de 6
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **7.*****%.
2) El interés será del **3.*****%.
3) El interés será del **4.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **5.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 222 184 22
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
19 y 22. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=4).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-2,4].
2) Se alcanzarán en el intervalo [3,4].
3) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [0,4].
6) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [3,4].
7) Se alcanzarán en el intervalo [4,4].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
469
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 6 x2 + x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 + 3 t)ⅇ-2+t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).
1) 3 ⅇ4 euros = 163.7945 euros
2) 1 euros
3)1
2 ⅇeuros = 0.1839 euros
4) -1
2 ⅇ3euros = -0.0249 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 -1 0 2 ), ( 1 2 1 -1 ), ( -2 -3 -1 3 ), ( 1 2 0 -1 ), ( 2 0 -2 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
470
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
5 -37 -4
-1.X -
1 02 1
=2 33 4
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 + x2 - 4 x3 + 2 x4 - x5 ⩵ -13 x1 + 4 x3 - 5 x4 + 3 x5 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????0
+⟨
?-7???
,
?9???
,
??-6??
,
-10????
⟩
2)
????-8
+⟨
????15
,
????-6
,
????11
⟩
3)
?-1???
+⟨
???8?
,
????-4
,
???6?
⟩
4)
0????
+⟨
????14
,
???-3?
,
???8?
⟩
5)
???-6?
+⟨
???8?
⟩
471
472
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 119
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 371 000 euros hasta un valor final de
126 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **8.*****%.
2) El interés será del **5.*****%.
3) El interés será del **7.*****%.
4) El interés será del **1.*****%.
5) El interés será del **2.*****%.
Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→-∞1 + 2 x - 9 x2 - 3 x3 + 2 x4
1) -9
2) -3
3) 0
4) ∞
5) -∞
6) 1
7) -4
473
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 12 x2 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=2 t + t2 euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).
1)20
21euros = 0.9524 euros
2)18
7euros = 2.5714 euros
3)70
3euros = 23.3333 euros
4)4
21euros = 0.1905 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 0 2 -1 2 ), ( -2 0 1 1 -1 ), ( -1 -2 -1 -1 1 ), ( 1 -2 -1 -2 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
474
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
6 1-1 0
.X. 5 22 1
=-18 -63 1
1) -1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 3 x2 - 3 x3 + 5 x4 + 5 x5 ⩵ -4-2 x1 - 3 x2 + 3 x3 - 5 x4 - 5 x5 ⩵ -5x1 + 2 x2 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???5?
+⟨
????0
,
??0??
⟩
2)
??1??
+⟨
?-1???
,
-9????
,
-12????
⟩
3)
?-4???
+⟨
????8
,
0????
,
-10????
,
7????
⟩
4)
??0??
+⟨
6????
,
-10????
,
?5???
⟩
5)
???1?
+⟨
?-6???
,
-12????
,
-12????
⟩
475
476
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 120
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 2%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 9%
. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 1000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→∞9 - 9 x - 6 x2 - 8 x3
6 + 2 x + 3 x2
1) ∞
2) 0
3) -3
8
4) -∞
5) -1
2
6) -1
7) 1
477
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 24 x + 30 x2 + 16 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=2 t + 2 t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
80 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1)268
3millones de euros = 89.3333 millones de euros
2) 107 millones de euros
3)416
3millones de euros = 138.6667 millones de euros
4)245
3millones de euros = 81.6667 millones de euros
478
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 1 0 01 1 1 10 0 1 1-1 -1 0 1
.
1)
? -2 0 -10 ? 0 00 0 ? 00 0 0 ?
2)
? -1 -1 0-2 ? 1 0-1 0 ? 02 -1 -1 ?
3)
? -1 1 0-1 ? -2 00 -1 ? -10 1 -1 ?
4)
? -1 0 00 ? 0 0-1 -1 ? 00 -1 1 ?
5)
? -1 0 00 ? 0 00 0 ? 00 0 0 ?
6)
? 0 -1 00 ? -1 0-1 0 ? 0-1 0 2 ?
7)
? 0 0 -10 ? 0 11 -1 ? -10 0 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 3-3 8
.X - 29 -1217 -7
=-26 10-60 23
1) 1 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 - 2 x2 - x3 + 3 x4 ⩵ 4-5 x1 - 4 x2 - 3 x3 + 8 x4 ⩵ -42 x1 + 2 x2 + 2 x3 - 5 x4 ⩵ 8
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?3??
+⟨
???1
,
??1?
⟩
2)
?-1??
+⟨
???3
,
??5?
⟩
3)
?0??
+⟨
???4
,
???2
⟩
4)
??-4?
5)
?-6??
479
480
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 121
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y
otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 5%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 10%
. Inicialmente depositamos 10 000 euros en el banco A y 6000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2La población de cierto país (en millones de habitantes) viene dada por la función P(t)=
371 + 5 t + 6 t2
-6 - 9 t + 6 t2
2+6 t
. Determinar la tendencia de futuro para esta población.
1) ∞
2) 37 ⅇ14
3) 0
4) 37
5)37
ⅇ5
6) -∞
7)37
ⅇ4
481
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 6 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(2 + 9 t)ⅇ3-t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
70 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1) 32 + 11 ⅇ3 millones de euros = 252.9409 millones de euros
2) 70 - 20 ⅇ2+ 11 ⅇ
3 millones de euros = 143.1598 millones de euros
3) 70 - 29 ⅇ + 11 ⅇ3 millones de euros = 212.1107 millones de euros
4) 70 + 11 ⅇ3- 2 ⅇ
4 millones de euros = 181.7446 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 2 0 10 1 0 00 -2 1 -10 1 0 1
.
1)
? -3 0 -1-1 ? 0 10 -2 ? -10 0 0 ?
2)
? -1 0 -10 ? 0 00 -1 ? -10 1 1 ?
3)
? -1 1 10 ? 1 10 -1 ? 10 0 0 ?
4)
? -1 0 -10 ? 0 00 1 ? 10 -1 0 ?
5)
? 0 -1 00 ? 1 1-1 1 ? 11 -1 -1 ?
6)
? 0 0 -1-1 ? 0 01 2 ? 22 1 0 ?
7)
? 0 0 0-1 ? 0 -10 1 ? -10 1 0 ?
482
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
3 -11 0
.X. -1 3-5 14
=13 -376 -17
1) 0 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* 0* *
4) * 1* *
5) * *
0 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 3 x2 - 3 x3 - 5 x4 ⩵ 2x1 - x2 + 2 x3 - 5 x4 ⩵ 0-x2 - 7 x3 + 5 x4 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-2??
+⟨
-9???
,
10???
⟩
2)
??1?
+⟨
-12???
,
?4??
⟩
3)
???2
+⟨
?5??
,
???3
,
??-4?
,
-9???
⟩
4)
?9??
+⟨
??-1?
,
???-3
,
??5?
,
?3??
⟩
5)
??3?
+⟨
?-5??
,
?4??
⟩
483
484
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 122
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un interés compuesto del 8%
, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un interés del 7% compuesto en 9 períodos
. Inicialmente depositamos 7000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
7 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→3-54 + 27 x + 9 x2 - 7 x3 + x4
-18 + 21 x - 8 x2 + x3
1) -2
2) ∞
3) -1
4) 0
5) -∞
6) 1
7) -2
3
485
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 120 x2 + 80 x3 - 15 x4 - 6 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 6
7
(-1 - 9 a - t + 3 a t
-3 - 2 t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) 0.825894
3) 0.0233942
4) -0.549506
5) 0.0112942
6) 0.709994
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 0 6 6 ) es combinación lineal de la uplas
( -2 0 -3 ), ( -4 4 -2 ), ( 0 2 2 ), ( -2 2 -1 ),
1) Si 2) No
486
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 00 1
.X. -2 -31 1
=0 03 4
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* -1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - x2 + 2 x3 + 2 x4 - x5 ⩵ -1-6 x1 - 4 x2 + 7 x3 + x4 - x5 ⩵ -83 x1 + x2 - x3 + 5 x4 - 2 x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-3???
+⟨
????
-13
,
???-2?
,
????11
⟩
2)
???7?
+⟨
???-5?
,
????-7
,
???5?
⟩
3)
1????
+⟨
???-8?
,
???0?
,
????14
⟩
4)
-2????
+⟨
??5??
⟩
5)
????10
+⟨
????0
⟩
487
488
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 123
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés del 10% compuesto en 2 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 3%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 6000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
2 sin(3) sin(x) + cos(3) cos(x) + 1 x ≤ 3
x (2 + log(8)) - 3 (x - 2) log(x - 2) - 2 - 3 log(8) 3 < x < 4-ⅇx-4 + 2 cos(4 - x) + 5 - log(8) 4 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=4.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3 y x=4.
489
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 3 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(1 + 2 t)log(2 t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 20
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 3 años.
1)19
2- 2 Log[2] + 20 Log[8] millones de euros = 49.7025 millones de euros
2) 4 - 2 Log[2] + 30 Log[10] millones de euros = 71.6913 millones de euros
3)79
2- 2 Log[2] + 20 Log[8] millones de euros = 79.7025 millones de euros
4) -5
2- 2 Log[2] + 42 Log[12] millones de euros = 100.4798 millones de euros
490
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 1 0 01 1 0 00 0 1 00 0 1 1
.
1)
? -1 1 -10 ? -1 10 0 ? -1-1 0 1 ?
2)
? -1 0 0-1 ? 0 00 0 ? 00 0 -1 ?
3)
? 0 -1 -1-2 ? 0 -14 0 ? 23 0 0 ?
4)
? 0 -1 10 ? 0 01 -1 ? -10 1 0 ?
5)
? 0 0 0-2 ? 1 0-4 1 ? 0-1 2 1 ?
6)
? 0 0 0-1 ? -1 01 -1 ? 01 0 0 ?
7)
? 0 0 00 ? 0 0-2 1 ? 11 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 2 -1-3 2
. 1 11 2
=1 -10 2
1) -2 *
* * 2)
* 0* *
3) * -1* *
4) * 2* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 2 x2 - 2 x4 ⩵ -4-5 x1 + 3 x2 + 5 x3 - 4 x4 ⩵ 1-2 x1 + x2 + 5 x3 - 2 x4 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
2???
2)
???2
+⟨
11???
,
?-3??
⟩
3)
-17???
+⟨
?16??
,
-1???
⟩
4)
-14???
+⟨
10???
,
-2???
⟩
5)
??-6?
+⟨
??-9?
,
??-8?
,
?8??
,
??5?
⟩
491
492
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 124
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto continuamente del 7%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 4%
. Inicialmente depositamos 3000 euros en el banco A y 14 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
3 cos(x + 1) - 2 x ≤ -11
4((2 - 3 x) x + 13) -1 < x < 1
-ⅇx-1 - 3 cos(1 - x) + 7 1 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=1.
493
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 6 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(3 + 4 t)log(4 t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 30
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 4 años.
1) -20 - 5 Log[4] + 90 Log[24] millones de euros = 259.0934 millones de euros
2) 4 - 5 Log[4] + 65 Log[20] millones de euros = 191.7911 millones de euros
3) 6 - 5 Log[4] + 44 Log[16] millones de euros = 121.0624 millones de euros
4) -6 - 5 Log[4] + 65 Log[20] millones de euros = 181.7911 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 1 -1 21 1 0 -20 0 1 00 0 -1 1
.
1)
? -2 0 01 ? 1 0-1 1 ? -1-1 -2 -1 ?
2)
? -2 1 -11 ? 1 0-1 1 ? 1-1 1 -1 ?
3)
? -1 -3 -4-1 ? 5 60 0 ? 00 0 1 ?
4)
? -1 -1 00 ? -1 -10 1 ? 00 0 0 ?
5)
? -1 0 -1-1 ? 0 01 0 ? 0-1 0 0 ?
6)
? -1 0 -1-1 ? 0 2-1 2 ? 20 0 0 ?
7)
? -1 0 00 ? -1 01 0 ? 00 0 1 ?
494
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 3 -1-2 1
. -1 -43 11
=5 19-9 -34
1) 1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 3 x2 + 2 x3 + 5 x4 ⩵ -4-2 x1 - 5 x2 + x3 + 3 x4 ⩵ 3-x1 + 8 x2 + x3 + 2 x4 ⩵ -7
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-4??
+⟨
???7
,
??7?
,
??9?
⟩
2)
?0??
+⟨
??-1?
,
??
-34?
⟩
3)
-2???
4)
2???
+⟨
???-1
,
??
-37?
⟩
5)
??
-25?
+⟨
??-2?
,
???12
⟩
495
496
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 125
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés del 9% compuesto en 12 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 1%
. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 9000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-2 ⅇx-1 - sin(1) sin(x) - cos(1) cos(x) + 4 x ≤ 11
43 x2 - 14 x + 15 1 < x < 3
x - 3 3 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=3.
497
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 96 x - 24 x2 + 8 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=10 ⅇ-1+2 t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
60 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1) 60 -5
ⅇ+ 5 ⅇ
5 millones de euros = 800.2264 millones de euros
2) 60 -5
ⅇ+ 5 ⅇ millones de euros = 71.752 millones de euros
3) 60 +5
ⅇ3-5
ⅇmillones de euros = 58.4095 millones de euros
4) 60 -5
ⅇ+ 5 ⅇ
3 millones de euros = 158.5883 millones de euros
498
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 -1 1 11 1 0 -1-1 -2 2 1-1 0 -1 1
.
1)
? -2 1 00 ? 0 01 -2 ? 00 0 0 ?
2)
? -1 -2 31 ? 0 00 0 ? -10 -1 -4 ?
3)
? -1 -1 -10 ? 1 20 2 ? 11 1 0 ?
4)
? -1 -1 11 ? 1 01 1 ? 00 0 0 ?
5)
? -1 -1 2-1 ? 2 20 -1 ? 00 0 0 ?
6)
? -1 0 0-1 ? 0 00 2 ? 20 1 0 ?
7)
? -1 0 10 ? -1 00 -3 ? 00 1 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 1
.X - 1 -11 0
=0 00 -1
1) 0 *
* * 2)
* -1* *
3) * 1* *
4) * 0* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - 2 x2 + 7 x3 + 11 x4 ⩵ -4-3 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 8 x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???2
+⟨
???14
,
??
-14?
⟩
2)
-2???
+⟨
???12
,
??
-18?
⟩
3)
?3??
+⟨
?3??
⟩
4)
0???
5)
?0??
+⟨
???11
,
???11
⟩
499
500
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 126
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés del 5% compuesto en 2 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 1%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 5000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞-7 + 9 x - 8 x2
-3 - 5 x - 8 x2
2-8 x+5 x2
1) ∞
2) 0
3)1
ⅇ5
4) -∞
5)1
ⅇ3
6)1
ⅇ4
7) 1
501
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 12 x + 9 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=3 + t + t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
20 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1)184
3millones de euros = 61.3333 millones de euros
2)143
6millones de euros = 23.8333 millones de euros
3)92
3millones de euros = 30.6667 millones de euros
4)85
2millones de euros = 42.5 millones de euros
502
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 0 1 0-2 1 -2 0-1 0 0 00 1 1 1
.
1)
? -2 0 -1-1 ? -1 00 0 ? 10 2 1 ?
2)
? -2 1 -1-2 ? -1 01 -1 ? 00 1 0 ?
3)
? 0 -1 02 ? -2 01 0 ? 0-3 -1 2 ?
4)
? -1 -2 11 ? 1 -11 2 ? -11 1 0 ?
5)
? -1 -1 -10 ? -1 0-1 2 ? 0-1 2 1 ?
6)
? -1 -1 -10 ? 0 00 0 ? 01 -1 -2 ?
7)
? -1 0 00 ? -1 0-1 1 ? 11 -2 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -10 1
.X. -4 -33 2
-1=
2 31 1
1) 0 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
10 x1 + 10 x2 - 5 x3 - 4 x4 ⩵ 25 x1 - x2 + 2 x3 + x4 ⩵ -2-5 x1 - 3 x2 + x3 + x4 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-8??
2)
??-3?
+⟨
??-7?
,
??-1?
⟩
3)
??-2?
+⟨
???15
,
???5
⟩
4)
?2??
+⟨
??-9?
,
??1?
⟩
5)
?0??
503
504
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 127
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de
410 000 euros hasta un valor final de 192 000 euros a lo largo de 6
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **2.*****%.
3) El interés será del **1.*****%.
4) El interés será del **6.*****%.
5) El interés será del **8.*****%.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-ⅇx + 3 cos(x) + 4 x ≤ 01
2(x - 2) x + 6 0 < x < 2
8 - 2 cos(2 - x) 2 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0 y x=2.
505
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 12 x2 + 10 x3 - 4 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=20 ⅇ-2+t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).
1)1
7-20
ⅇ2+ 20 ⅇ
5 euros = 423.6509 euros
2)1
7-20
ⅇ2+20
ⅇeuros = 0.6644 euros
3)1
720 -
20
ⅇ2euros = 2.4705 euros
4)1
7
20
ⅇ3-20
ⅇ2euros = -0.2444 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -3 -4 -2 3 0 ), ( -2 -2 -2 1 -1 ), ( -2 0 1 0 -2 )
, ( 1 2 0 -2 -1 ), ( -1 2 1 -2 2 ), ( -1 -2 1 -2 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
506
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -7-1 4
.X - 3 24 3
=20 8-12 -5
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 - 2 x2 - 2 x3 + 2 x4 + x5 ⩵ 5-5 x1 - 5 x2 + 3 x4 + 2 x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
2????
+⟨
-6????
,
?-3???
,
??1??
,
1????
⟩
2)
???5?
+⟨
????22
,
????4
,
???4?
⟩
3)
??-1??
+⟨
???
-15?
,
????6
,
???3?
⟩
4)
?-3???
+⟨
???
-11?
,
???-2?
,
???6?
⟩
5)
???-9?
+⟨
-1????
,
????4
⟩
507
508
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 128
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 495 000 euros hasta un valor final de
364 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto trimestralmente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **0.*****%.
3) El interés será del **5.*****%.
4) El interés será del **7.*****%.
5) El interés será del **8.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 13 346 121
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
17 y 86. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
2) Se alcanzarán en el intervalo [2,6].
3) Se alcanzarán en el intervalo [2,5].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-17
3,-
8
3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-17
3,0].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-17
3,6].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-17
3,2].
8) Se cumplirá en los intervalos: [-17
3,-
8
3] y [5,6].
509
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 2 x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(8 + 6 t)cos(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
π primeros meses del año (entre t=0 y t=π).
1) 70 -12
πeuros = 66.1803 euros
2) -12
πeuros = -3.8197 euros
3) 0 euros
4) -80 -12
πeuros = -83.8197 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -3 1 1 -1 -1 ), ( -2 0 0 -2 -2 ), ( -2 1 -2 0 2 ), ( 1 -1 -1 -1 -1 ), ( -4 1 -2 -2 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
510
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
3 54 7
.X. 1 02 1
-1=
-11 8-15 11
1) 0 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + 4 x2 + x4 + x5 ⩵ -5x1 - 2 x2 + 4 x3 - 7 x4 - 5 x5 ⩵ -9-x1 + 3 x2 - 2 x3 + 4 x4 + 3 x5 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????2
+⟨
?-3???
,
16????
,
?4???
⟩
2)
???-2?
+⟨
-5????
,
10????
,
10????
⟩
3)
??0??
+⟨
-8????
,
?3???
,
9????
⟩
4)
????-1
+⟨
????-1
⟩
5)
???-7?
+⟨
???-2?
,
????9
,
????6
,
-2????
⟩
511
512
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 129
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 7% compuesto en 5 períodos, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés del 4% compuesto en 2 períodos. Inicialmente depositamos
13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
9 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→∞-3 - 9 x + 9 x2 + 6 x3 + 9 x4 + 9 x5
1) 0
2) -∞
3) -9
4) 1
5) -4
6) -5
7) ∞
513
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 80 x3 - 20 x4 - 6 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -a
-2
(-4 - 10 a - 20 t + 4 a t + 6 t2 + 9 a t2 + 12 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) 0
3) 4
4) 5
5) 3
6) -10
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 8 0 -4 4 ) es combinación lineal de la uplas
( 4 0 -2 2 ), ( 2 0 -1 1 ),
1) Si 2) No
514
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -22 3
.X - 1 0-1 1
=0 -1-1 2
1) -2 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* 1* *
4) * 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 + 6 x2 + 10 x3 + x4 - 4 x5 ⩵ -1-x1 - 4 x3 + x4 - 2 x5 ⩵ -13 x1 - 3 x2 - 3 x3 - x4 + 3 x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???-1?
+⟨
????-2
,
???6?
,
????7
⟩
2)
???-1?
+⟨
???1?
⟩
3)
????3
+⟨
???-1?
,
???4?
,
????6
⟩
4)
????-4
+⟨
???-1?
,
-8????
,
?4???
,
-7????
⟩
5)
-2????
+⟨
???-1?
,
????2
,
????10
⟩
515
516
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 130
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 8% compuesto en 11 períodos, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un
interés del 10% compuesto en 12 períodos. Inicialmente depositamos
9000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
6 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 254 898 89
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
65 y 79. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=8).
1) Se cumplirá en los intervalos: [0,2] y [9,10].
2) Se cumplirá en los intervalos: [2,3] y [8,9].
3) Se alcanzarán en el intervalo [3,10].
4) Se alcanzarán en el intervalo [8,10].
5) Se alcanzarán en el intervalo [2,3].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,10].
7) Se alcanzarán en el intervalo [3,8].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
517
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 60 x2 - 10 x3 - 15 x4 + 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 0
3
(-6 - 5 a - 3 t - 5 a t
2 + 3 t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -5.32415
2) -4.66055
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) -5.00725
5) -4.50525
6) -4.58145
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -2 0 0 ) es combinación lineal de la uplas
( -2 1 -2 ), ( 0 1 -2 ), ( -4 2 -4 ),
1) Si 2) No
518
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 5 22 1
. 1 -10 1
-1=
-4 -6-2 -2
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + 2 x3 + 5 x4 + 4 x5 ⩵ -43 x1 - 3 x2 + 2 x3 + x4 + x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???
-24?
+⟨
????
-16
,
????15
,
????-8
⟩
2)
?-6???
+⟨
?5???
,
????-8
,
-9????
,
-2????
⟩
3)
?-3???
+⟨
???14?
,
???
-13?
,
???3?
⟩
4)
??-6??
+⟨
8????
⟩
5)
?3???
+⟨
????
-15
,
????14
,
????
-11
⟩
519
520
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 131
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 5% compuesto en 10 períodos y en la que inicialmente depositamos 11 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
20 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 342 103 4
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 8.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 16.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 2.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 4.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 12.
521
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 240 x + 240 x2 - 60 x3 - 30 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-6 + 9 x - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=-2.
1) 232
2)459
2= 229.5
3) 233
4)467
2= 233.5
5) 234
6)465
2= 232.5
7) 231
8)463
2= 231.5
522
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 13 2 1 60 0 0 -12 1 1 4
.
1)
? -1 -1 -1-6 ? 0 -43 0 ? 23 0 0 ?
2)
? 0 1 0-1 ? 1 -1-1 -1 ? 20 0 -1 ?
3)
? -1 0 -10 ? -1 00 -1 ? 00 0 0 ?
4)
? -1 0 -10 ? 0 01 0 ? 00 1 0 ?
5)
? -1 1 00 ? 0 0-1 -1 ? 10 0 0 ?
6)
? 0 -2 -11 ? 2 10 -1 ? 10 -1 0 ?
7)
? 0 0 -10 ? 0 12 1 ? -21 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
4 7-3 -5
.X. -1 -21 1
-1=
0 -30 2
1) 1 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
13 x1 + 5 x2 - 4 x3 + 4 x4 ⩵ -518 x1 + 7 x2 - x3 + 5 x4 ⩵ 1-5 x1 - 2 x2 - 3 x3 - x4 ⩵ -6
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??5?
+⟨
?8??
,
8???
,
??7?
,
?-10??
⟩
2)
???-3
+⟨
21???
,
0???
⟩
3)
?106??
+⟨
25???
,
?4??
⟩
4)
??0?
+⟨
23???
,
?7??
⟩
5)
?0??
523
524
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 132
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 3% y en la que inicialmente depositamos 11 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
16 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-39 x + 6 x2 + x3
-18 - 3 x + 4 x2 + x3
1) 0
2) 1
3) ∞
4) -1
5) -∞
6) -2
7)3
5
525
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 12 x2 + 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
2 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=4.
1)407
3= 135.6667
2)416
3= 138.6667
3)419
3= 139.6667
4)245
3= 81.6667
5) 81
6)829
6= 138.1667
7)413
3= 137.6667
8)823
6= 137.1667
526
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 0 -1-1 0 0 0-2 1 1 03 -1 -2 0
.
1)
? -1 0 -11 ? 1 -11 0 ? 00 0 0 ?
2)
? -1 0 0-1 ? 0 -1-1 1 ? 0-1 1 1 ?
3)
? -1 0 00 ? 2 10 -1 ? -1-1 -2 2 ?
4)
? -1 0 01 ? 0 00 0 ? 0-2 -2 0 ?
5)
? -1 0 10 ? 0 -13 -2 ? 2-1 0 0 ?
6)
? -1 0 20 ? 1 00 0 ? 0-1 -1 -1 ?
7)
? -1 1 00 ? 0 10 0 ? 10 -1 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 11 2
-1.X +
-1 11 -2
=-1 -21 0
1) 0 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 + 7 x2 - 10 x3 + 6 x4 ⩵ -22 x1 - 3 x2 - 4 x4 ⩵ -4-x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-17???
+⟨
15???
,
5???
⟩
2)
-15???
+⟨
18???
,
?1??
⟩
3)
-14???
+⟨
?13??
,
7???
⟩
4)
?7??
+⟨
5???
⟩
5)
0???
+⟨
?-2??
,
0???
,
??-8?
,
-8???
⟩
527
528
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 133
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés del 5% compuesto en 5 períodos
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 8%
. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 1000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
2 ⅇx-1 + 3 sin(1) sin(x) + 3 cos(1) cos(x) - 5 x ≤ 11
2-x2 + 6 x - 5 1 < x < 3
sin(3 - x) - cos(3 - x) + 3 3 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=3.
529
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 96 x - 24 x2 + 8 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=1 + t + 3 t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
50 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1) 62 millones de euros
2)169
2millones de euros = 84.5 millones de euros
3)105
2millones de euros = 52.5 millones de euros
4) 126 millones de euros
530
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
-1 -2 2 -11 1 -1 10 0 0 -10 0 1 1
.
1)
? -2 -2 11 ? 0 0-1 0 ? 01 0 -1 ?
2)
? -2 -1 1-1 ? 2 -20 -1 ? 00 -1 -1 ?
3)
? -1 -1 -11 ? 1 0-1 -1 ? -12 1 0 ?
4)
? 2 1 0-1 ? 1 10 0 ? 10 0 -1 ?
5)
? 0 -1 00 ? 0 0-3 1 ? -11 -1 -1 ?
6)
? 0 -1 00 ? 0 00 0 ? 0-1 0 1 ?
7)
? 0 0 0-1 ? 2 -2-1 0 ? -10 0 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 15 3
.X + 0 -11 0
=0 -30 -7
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 ⩵ -5-x1 - 7 x2 + 3 x3 + 2 x4 ⩵ 94 x1 - 5 x2 + 5 x3 + 3 x4 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??
-21?
+⟨
??-8?
,
???18
⟩
2)
???32
+⟨
???20
,
???21
⟩
3)
???33
+⟨
??
-11?
,
???20
⟩
4)
8???
+⟨
??-5?
,
?3??
,
???3
⟩
5)
???6
+⟨
???6
,
??7?
,
??7?
⟩
531
532
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 134
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 3% compuesto en 7 períodos, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un
interés del 7% compuesto en 11 períodos. Inicialmente depositamos
8000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
9 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 01 463 126
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 190.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 13.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 288.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 20.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 12.
533
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 40 x3 + 40 x4 + 15 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 3
4
(4 - 8 a - 2 t - 4 a t
-4 + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -2.44199
2) -3.57579
3) -3.75509
4) -2.77259
5) El resto de las soluciones son incorrectas
6) -2.73599
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -8 4 -4 ) es combinación lineal de la uplas
( 2 -1 0 ), ( 4 -2 0 ),
1) Si 2) No
534
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 1 02 1
. 1 -12 -1
-1=
-2 2-3 3
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - 2 x2 - 4 x3 + 5 x4 - x5 ⩵ 22 x1 - 3 x2 - 4 x3 + 6 x4 - x5 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????
-40
+⟨
???-1?
,
???3?
,
????-6
⟩
2)
??0??
+⟨
????
-22
,
????3
,
????-4
⟩
3)
??-6??
+⟨
????-3
,
????1
⟩
4)
?-9???
+⟨
????5
,
6????
,
???-8?
,
????4
⟩
5)
??-1??
+⟨
????
-20
,
????2
,
???-1?
⟩
535
536
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 135
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 9%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 1%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 5000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞-4 - 6 x + 6 x2 + 5 x3
-8 - 7 x + 7 x2 + 6 x3
1) ∞
2)5
6
3) -1
3
4) -1
5) -∞
6) 1
7) 0
537
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 12 x + 9 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=1 + t + t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
80 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1)491
6millones de euros = 81.8333 millones de euros
2)260
3millones de euros = 86.6667 millones de euros
3)340
3millones de euros = 113.3333 millones de euros
4)193
2millones de euros = 96.5 millones de euros
538
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 0 -1 -21 1 0 -10 0 1 1-1 0 0 1
.
1)
? 0 1 10 ? 0 1-1 0 ? -21 0 1 ?
2)
? -2 0 00 ? 1 10 0 ? 10 1 1 ?
3)
? -1 -2 00 ? 0 00 -1 ? -10 1 0 ?
4)
? -1 0 -10 ? 0 0-1 1 ? 0-1 1 1 ?
5)
? -1 0 1-2 ? 2 -3-1 1 ? -10 0 1 ?
6)
? -1 1 10 ? 1 1-1 1 ? -11 -1 1 ?
7)
? -1 1 11 ? 0 00 0 ? -10 0 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 01 1
-1.X -
6 -7-5 6
=-6 612 -11
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
0 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 - 5 x2 + 5 x3 - 11 x4 ⩵ 55 x1 + 5 x2 - 4 x3 + 9 x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
3???
+⟨
???
-12
,
??-9?
⟩
2)
-7???
+⟨
6???
,
5???
,
?-6??
,
?7??
⟩
3)
???7
+⟨
??
-30?
,
???-2
⟩
4)
??12?
+⟨
??
-28?
,
???-5
⟩
5)
5???
+⟨
??-4?
⟩
539
540
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 136
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 2%, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un
interés compuesto del 3%. Inicialmente depositamos 12 000
euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
Ejercicio 2La población de cierto país (en millones de habitantes) viene dada por la función P(t)=
33-3 - 8 t - 8 t2
5 - 9 t - 8 t2
-9+5 t+7 t2
. Determinar la tendencia de futuro para esta población.
1)33
ⅇ4
2)33
ⅇ3
3) 33
4) 0
5) -∞
6) ∞
7)33
ⅇ
541
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 10 x3 - 5 x4 - 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 1
3
(-10 - 5 t + a t
2 t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el parámetro
a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 0.987826
2) -0.0708744
3) -0.356774
4) El resto de las soluciones son incorrectas
5) 0.510826
6) 0.464026
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -3 -2 -1 ) es combinación lineal de la uplas
( 0 4 2 ), ( 0 2 1 ), ( 1 -2 -1 ),
1) Si 2) No
542
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - -2 3-3 4
. 3 -41 -1
=0 -18 -12
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
-1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 - 2 x2 + 4 x3 - x4 + x5 ⩵ -3x1 + 4 x2 - 4 x3 - 3 x4 + 2 x5 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????2
2)
?-3???
+⟨
????15
,
???7?
,
????
-13
⟩
3)
?10???
+⟨
??
-10??
,
???-6?
,
1????
,
7????
⟩
4)
??3??
+⟨
???10?
,
????12
,
????
-17
⟩
5)
???
-10?
+⟨
???9?
,
???8?
,
???
-12?
⟩
543
544
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 137
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 5%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 8%
. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 1000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→∞7 + 7 x - 5 x2 + x3
-9 + 9 x - 6 x2 + 9 x3
1) ∞
2) -2
3) -∞
4) 1
5) 0
6) -3
2
7)1
9
545
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 6 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=2 t + t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 70
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1)214
3millones de euros = 71.3333 millones de euros
2)230
3millones de euros = 76.6667 millones de euros
3) 88 millones de euros
4)322
3millones de euros = 107.3333 millones de euros
546
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 11 1 -1 00 1 1 -1-1 0 1 0
.
1)
? -3 0 1-1 ? 0 0-2 6 ? -10 -2 0 ?
2)
? -1 2 10 ? -1 0-1 0 ? 01 0 0 ?
3)
? -1 1 -10 ? 0 11 -1 ? 01 0 0 ?
4)
? 0 -1 00 ? 1 00 1 ? -10 0 0 ?
5)
? 0 0 -1-2 ? 0 20 1 ? 1-1 0 0 ?
6)
? 0 0 -1-1 ? -1 10 -1 ? 00 -1 0 ?
7)
? 0 0 0-1 ? -1 01 1 ? -10 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -42 -7
.X + 0 1-1 -2
=7 1212 21
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -2* *
4) * 0* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 - 4 x2 - 3 x3 + 2 x4 ⩵ 03 x2 + 4 x3 - 3 x4 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-3??
2)
?1??
+⟨
???
-13
,
???-9
⟩
3)
-2???
+⟨
??-6?
,
??-9?
⟩
4)
??6?
+⟨
?-5??
⟩
5)
???-3
+⟨
??-9?
,
???-7
⟩
547
548
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 138
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 6% y en la que inicialmente depositamos 10 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
12 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→28 - 4 x - 2 x2 + x3
4 - 3 x2 + x3
1)4
3
2) -2
3) ∞
4) 1
5) -1
6) 0
7) -∞
549
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 120 x2 - 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
4 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=3.
1)79
2= 39.5
2) 36
3) 40
4) 39
5)75
2= 37.5
6)81
2= 40.5
7) 41
8) 38
550
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 2 -4 5-1 -1 1 -20 0 1 -11 2 -3 4
.
1)
? -1 -2 -10 ? -1 -10 0 ? 00 1 0 ?
2)
? -1 -1 00 ? 0 00 0 ? 00 -1 0 ?
3)
? -1 0 00 ? 1 00 -1 ? 01 2 1 ?
4)
? 0 1 -10 ? 2 1-1 -2 ? 0-1 -2 -2 ?
5)
? -1 1 00 ? 1 10 0 ? 01 0 1 ?
6)
? 0 -1 00 ? 0 00 -1 ? 00 1 0 ?
7)
? 0 0 -10 ? 0 01 0 ? -1-1 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
5 -32 -1
.X - 1 -3-2 7
=-6 30 -7
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -2* *
4) * 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 - 5 x2 + 2 x3 + 3 x4 ⩵ -42 x1 - 3 x2 - 3 x3 + 8 x4 ⩵ -1-x1 + 2 x2 - 5 x3 + 5 x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???3
+⟨
20???
,
?-16??
⟩
2)
???-1
+⟨
23???
,
-34???
⟩
3)
?8??
+⟨
?-6??
⟩
4)
7???
+⟨
21???
,
-31???
⟩
5)
-9???
+⟨
?-2??
,
7???
,
?5??
,
8???
⟩
551
552
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 139
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 2% y en la que inicialmente depositamos 5000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
13 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0
-1 +x2
2+ Cos[x]
x3
1) 0
2) 1
3) -1
4) -2
3
5) ∞
6)1
2
7) -∞
553
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 120 x2 + 160 x3 + 75 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-6 + x + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=4.
1)16
3= 5.3333
2) 23
3)43
2= 21.5
4) 24
5) 20
6) 22
7)47
2= 23.5
8)45
2= 22.5
554
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 00 1 0 00 0 1 -10 0 0 1
.
1)
? -1 0 -10 ? 0 0-2 1 ? 1-1 0 0 ?
2)
? -1 0 01 ? 0 -20 1 ? -10 0 0 ?
3)
? -1 0 11 ? 0 -10 1 ? -2-1 -1 0 ?
4)
? 0 1 10 ? 0 00 0 ? 10 0 0 ?
5)
? 0 -1 10 ? 0 01 0 ? 00 0 1 ?
6)
? 0 -1 11 ? -1 2-1 0 ? -10 0 0 ?
7)
? 0 0 00 ? -2 20 -1 ? -30 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 0-4 -1
.X + 2 -5-1 3
=3 -54 2
1) 0 *
* * 2)
* -2* *
3) * -1* *
4) * 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 3 x2 - 4 x3 ⩵ -2-x1 + 2 x2 - 8 x3 - 3 x4 ⩵ -2-3 x1 + 5 x2 - 4 x3 - 3 x4 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??2?
+⟨
?17??
,
?8??
⟩
2)
-9???
+⟨
34???
,
6???
⟩
3)
???-9
+⟨
?10??
,
-3???
,
???-6
⟩
4)
??9?
+⟨
???-5
,
4???
,
??7?
⟩
5)
??0?
+⟨
?20??
,
?6??
⟩
555
556
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 140
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 6% compuesto en 2 períodos y en la que inicialmente depositamos 7000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
12 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 62 23 3
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue -10.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 18.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 2.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue -8.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 6.
557
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 480 x - 360 x2 - 40 x3 + 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
3 - 2 x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=3.
1) 34
2) 32
3) 35
4)69
2= 34.5
5)71
2= 35.5
6) 36
7)67
2= 33.5
8)32
3= 10.6667
558
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 -1 -1 -10 1 0 01 0 1 00 -1 -1 0
.
1)
? -4 0 -10 ? 0 00 0 ? 01 1 0 ?
2)
? -1 0 0-1 ? 0 00 0 ? 00 0 0 ?
3)
? 1 1 10 ? 0 00 -1 ? -1-1 0 0 ?
4)
? -1 0 02 ? 1 -11 0 ? -1-1 0 0 ?
5)
? -1 1 00 ? 0 -1-1 0 ? 01 -1 1 ?
6)
? -1 1 10 ? 0 01 0 ? 10 0 0 ?
7)
? 0 0 -3-1 ? -1 1-1 0 ? 20 -1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 3 12 1
. -1 -20 -1
-1=
-3 5-1 2
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x2 + 6 x3 - 3 x4 ⩵ 2-x1 - x2 + 4 x3 ⩵ 5-x1 - 2 x2 - 2 x3 + 3 x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-6???
+⟨
13???
,
?6??
⟩
2)
???6
+⟨
0???
⟩
3)
?5??
+⟨
?-5??
,
?4??
⟩
4)
???9
+⟨
???-7
⟩
5)
-7???
+⟨
10???
,
?3??
⟩
559
560
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 141
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés del 8% compuesto en 9 períodos
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 5%
. Inicialmente depositamos 8000 euros en el banco A y 13 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-2 sin(x + 2) + 2 cos(x + 2) + 3 x ≤ -2-2 x - ⅇx+2 + ⅇ2 (x + 2) + x sin(2) + cos(x + 2) + 1 + 2 sin(2) -2 < x < 0
-4 x + 2 (x + 1) log(x + 1) + ⅇ2 + 1 + 2 sin(2) + cos(2) 0 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2 y x=0.
561
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 12 x - 3 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(1 + 3 t)log(t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 90
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 3 años.
1)303
4+ 28 Log[4] millones de euros = 114.5662 millones de euros
2) 68 +85 Log[5]
2millones de euros = 136.4011 millones de euros
3)235
4+ 60 Log[6] millones de euros = 166.2556 millones de euros
4)543
4+ 28 Log[4] millones de euros = 174.5662 millones de euros
562
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 2 1 00 1 0 0-1 -1 0 00 -1 0 1
.
1)
? -4 -1 -70 ? 1 11 -2 ? -40 0 0 ?
2)
? -3 0 -1-1 ? 0 10 0 ? 1-1 1 1 ?
3)
? -1 -1 00 ? 0 01 -1 ? 00 1 0 ?
4)
? -2 0 01 ? 0 00 0 ? 10 0 -1 ?
5)
? -1 -1 00 ? -2 -10 0 ? 00 0 1 ?
6)
? -1 1 00 ? 0 1-1 -1 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 -2 12 ? -1 01 0 ? 0-1 -1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -12 1
.X + 7 23 1
=6 35 0
1) 0 *
* * 2)
* -2* *
3) * -1* *
4) * 0* *
5) * *
1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 - 3 x2 - 10 x3 + x4 ⩵ 8-x1 - x2 - 3 x3 + 3 x4 ⩵ 52 x1 + x2 + 4 x3 + 5 x4 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
8???
+⟨
?-9??
,
-1???
,
??-3?
⟩
2)
?-12??
+⟨
?-2??
,
-8???
⟩
3)
??1?
+⟨
2???
,
?12??
⟩
4)
???2
+⟨
1???
,
?12??
⟩
5)
-10???
563
564
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 142
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 3% y en la que inicialmente depositamos 14 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
22 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 51 272 45
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 77.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 69.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 6.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 17.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 14.
565
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 120 x - 90 x2 + 20 x3 + 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-9 + 12 x - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=3.
1) 12
2) 11
3)25
2= 12.5
4) 10
5) 0
6)19
2= 9.5
7) 8
8)21
2= 10.5
566
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 0 -10 0 0 -10 1 1 10 1 0 1
.
1)
? -2 0 1-2 ? -1 -11 0 ? 01 0 1 ?
2)
? -2 1 -1-1 ? -1 00 -3 ? 00 1 -1 ?
3)
? -2 1 30 ? 0 -11 -1 ? 21 -1 1 ?
4)
? 0 0 10 ? 0 10 0 ? -10 -1 0 ?
5)
? -1 0 00 ? -1 20 -5 ? -2-1 3 0 ?
6)
? 0 -1 -10 ? 0 -11 -1 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 -1 -12 ? -1 -10 0 ? 00 0 2 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 1 01 1
. -1 -14 3
=-6 -52 1
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
1 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-6 x1 + x2 - x4 ⩵ 102 x1 - 5 x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ 2-4 x1 + 3 x2 + x3 + x4 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??
-10?
+⟨
??7?
,
??-6?
,
2???
⟩
2)
?3??
+⟨
???-4
,
??-6?
⟩
3)
?0??
+⟨
???-6
,
??-4?
⟩
4)
?-2??
+⟨
??6?
⟩
5)
?-1??
+⟨
???-8
,
??-7?
⟩
567
568
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 143
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 4% y en la que inicialmente depositamos 14 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
17 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 -22 864 158
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 286.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue -4.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 236.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 8.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 12.
569
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 120 x2 + 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
3 x - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=0.
1)325
2= 162.5
2) 166
3)333
2= 166.5
4) 164
5) 167
6) 165
7)329
2= 164.5
8)331
2= 165.5
570
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 11 1 -1 00 0 1 00 0 -1 1
.
1)
? -2 0 -21 ? 0 2-1 0 ? -10 0 0 ?
2)
? -1 -2 00 ? 1 00 0 ? 10 0 -1 ?
3)
? -1 1 20 ? 1 00 0 ? 00 -1 0 ?
4)
? 0 0 -1-1 ? 1 10 0 ? 00 0 1 ?
5)
? 0 -1 -10 ? 0 12 0 ? 00 0 0 ?
6)
? 0 -1 0-1 ? 0 01 0 ? 00 -1 1 ?
7)
? 0 -1 00 ? -1 -10 1 ? 0-1 0 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 1 0-1 1
. 1 -20 1
=2 -4-2 4
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 + x2 - 5 x3 + 2 x4 ⩵ -5-6 x1 - 4 x2 + 6 x3 - 10 x4 ⩵ 8-2 x1 - x2 - 2 x3 - 3 x4 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
6???
+⟨
-7???
,
-1???
⟩
2)
??-3?
+⟨
?10??
,
2???
⟩
3)
?-14??
+⟨
-9???
,
?2??
⟩
4)
10???
+⟨
???
-10
,
?-10??
,
?2??
⟩
5)
-9???
+⟨
??-3?
,
???9
,
?4??
,
-10???
⟩
571
572
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 144
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 1%, en la que pasados 4 años se pasa a ofrecer un
interés del 3% compuesto en 4 períodos. Inicialmente depositamos
10 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
4 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-12 + 3 x + x2
3 + 4 x + x2
1) -1
2) -∞
3) -2
3
4)1
2
5) 0
6) 1
7) ∞
573
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 60 x2 + 30 x3 + 5 x4 - 9 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -3 a
5
(5 - 18 a - 12 t - 12 a t - 6 t2 + 27 a t2 + 12 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 886
2) 887
3) 906
4) El resto de las soluciones son incorrectas
5) 900
6) 898
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -4 3 2 8 ) es combinación lineal de la uplas
( -1 -1 1 2 ), ( -2 -2 2 4 ),
1) Si 2) No
574
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0-2 1
-1.X -
2 1-1 0
=-2 -21 -3
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -1* *
4) * 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 - 5 x2 + 3 x3 + 5 x4 + 3 x5 ⩵ 02 x1 - 3 x2 + x3 - 3 x4 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?6???
+⟨
?3???
,
30????
,
?6???
⟩
2)
???-1?
3)
???
-10?
+⟨
?-2???
,
?-7???
,
?-10???
,
?4???
⟩
4)
8????
+⟨
?1???
,
31????
,
?4???
⟩
5)
11????
+⟨
?6???
,
28????
,
?7???
⟩
575
576
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 145
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto continuamente del 6%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 9%
. Inicialmente depositamos 8000 euros en el banco A y 3000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→∞-4 + 9 x + 6 x2 - 4 x3
3 - 8 x + 3 x2 - 4 x3
8+5 x+2 x2
1) 0
2) -∞
3) 1
4)1
ⅇ4
5)1
ⅇ5
6) ∞
7)1
ⅇ3
577
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 24 x - 18 x2 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=20 ⅇ2+3 t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 50
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 50 -20 ⅇ2
3+20 ⅇ8
3millones de euros = 19873.7929 millones de euros
2) 50 -20 ⅇ2
3+20 ⅇ11
3millones de euros = 399161.6844 millones de euros
3) 50 +20
3 ⅇ-20 ⅇ2
3millones de euros = 3.1922 millones de euros
4) 50 -20 ⅇ2
3+20 ⅇ5
3millones de euros = 990.1607 millones de euros
578
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 1 0 01 0 1 -1-2 -1 0 1
.
1)
? 0 0 00 ? 0 01 1 ? 12 1 0 ?
2)
? -1 0 10 ? 0 -10 0 ? 10 1 0 ?
3)
? 0 -2 00 ? 1 10 -1 ? 00 0 0 ?
4)
? 0 -2 01 ? -1 11 0 ? 02 0 -3 ?
5)
? 0 -1 -1-1 ? 0 -11 -1 ? 10 0 0 ?
6)
? 0 -1 -12 ? 0 -10 0 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 -1 00 ? 1 00 0 ? 01 0 -2 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-3 -2-1 -1
.X. 3 2-5 -3
=19 128 5
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 + 4 x2 + 4 x3 + x4 ⩵ -5-3 x1 + 5 x2 - 9 x3 - 2 x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?3??
2)
???
-32
+⟨
???47
,
??16?
⟩
3)
??10?
+⟨
???49
,
??16?
⟩
4)
-9???
5)
0???
+⟨
???48
,
???
-56
⟩
579
580
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 146
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 3% compuesto en 4 períodos, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés del 7% compuesto en 8 períodos. Inicialmente depositamos
6000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=sin(x + 1) - cos(x + 1) x ≤ -1sin(x + 1) - 1 -1 < x < 2sin(2 - x) - 2 cos(2 - x) + 1 + sin(3) 2 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=2.
581
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 10 x4 + 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 1
2
(-4 a - 2 t - 2 a t
2 t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -1.38629
2) El resto de las soluciones son incorrectas
3) -1.97499
4) -1.73479
5) -2.27969
6) -2.24279
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 9 9 -4 ) es combinación lineal de la uplas
( 4 -4 -2 ), ( 2 -2 -1 ),
1) Si 2) No
582
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 11 2
.X + 5 3-2 -1
=3 2-5 -3
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 4 x2 - 3 x3 + 2 x4 - x5 ⩵ -1x1 + 3 x2 + 4 x3 + 4 x4 + 2 x5 ⩵ 2-x2 + x3 + 6 x4 + x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
3????
+⟨
-4????
,
-24????
,
?-2???
⟩
2)
5????
+⟨
?1???
,
-22????
,
-5????
⟩
3)
????3
+⟨
-5????
,
-21????
,
-8????
⟩
4)
????6
+⟨
???9?
,
8????
⟩
5)
?-2???
+⟨
-10????
,
6????
⟩
583
584
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 147
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un interés compuesto del 3%
, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un interés del 7% compuesto en 6 períodos
. Inicialmente depositamos 8000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 1271 1063 70
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 6.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 15.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 42.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue -9.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 11.
585
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 240 x2 - 120 x3 - 10 x4 + 9 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 4
6
(-9 - 4 a + 3 t - 4 a t
-3 - 2 t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el
parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -4.91205
2) -4.18795
3) -5.21475
4) El resto de las soluciones son incorrectas
5) -4.39445
6) -4.37045
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 3 -5 -5 ) es combinación lineal de la uplas
( 2 0 -4 ), ( 1 0 -2 ),
1) Si 2) No
586
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 1-2 1
.X. 1 0-2 1
=6 -29 -3
1) 0 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* *
-2 * 5)
* *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 + 3 x2 - 5 x3 + 2 x4 + 5 x5 ⩵ -1-8 x1 + x2 - 4 x3 - x4 - 3 x5 ⩵ -63 x1 + 2 x2 - x3 + 3 x4 + 8 x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????12
+⟨
????
-19
,
???
-15?
,
???36?
⟩
2)
???5?
+⟨
?9???
⟩
3)
???
-33?
+⟨
???55?
,
????5
,
???35?
⟩
4)
???
-31?
+⟨
????
-20
,
???
-12?
,
????
-14
⟩
5)
??1??
587
588
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 148
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 286 000 euros hasta un valor final de
454 000 euros a lo largo de 10 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **6.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **9.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **1.*****%.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→11 - x - x2 + x3
-x + x2
1) -1
2) ∞
3) 0
4) -2
3
5) 1
6) -2
7) -∞
589
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 2 x3 - 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(4 + 5 t)(cos(2πt)+2) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 primeros meses del año (entre t=0 y t=3).
1) 23 euros
2)13
3euros = 4.3333 euros
3) -1 euros
4) 12 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -2 -1 -2 2 1 ), ( -1 -1 1 2 -2 ), ( 1 -2 1 -2 2 ), ( 2 2 -2 1 1 ), ( -4 -3 0 1 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
590
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 1-2 1
-1.X. -1 -2
-1 -3=
1 23 7
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + x2 - x3 - x4 - 2 x5 ⩵ 15 x1 + 7 x2 + 9 x3 - x4 - 4 x5 ⩵ -92 x1 + 4 x2 + 4 x3 - x4 - 3 x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?1???
+⟨
???-9?
,
???-4?
,
???-8?
⟩
2)
-10????
+⟨
?3???
,
4????
,
???2?
,
?-4???
⟩
3)
??-2??
+⟨
???
-10?
,
???-7?
,
???-8?
⟩
4)
0????
+⟨
????3
,
????3
,
???
-11?
⟩
5)
????4
+⟨
-10????
,
3????
⟩
591
592
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 149
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra
en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 10%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 4%
. Inicialmente depositamos 3000 euros en el banco A y 7000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-∞-9 + 5 x + 5 x2 + 4 x3
-2 - 2 x + 8 x2 + 4 x3
3+x
1) 1
2) 0
3)1
ⅇ3/4
4)1
ⅇ3
5) -∞
6)1
ⅇ4
7) ∞
593
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 24 x + 30 x2 + 16 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=30 ⅇ3+t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de
30 millones de euros, calcular los fondos disponibles pasado 1 año.
1) 30 - 30 ⅇ3+ 30 ⅇ
6 millones de euros = 11530.2977 millones de euros
2) 30 + 30 ⅇ2- 30 ⅇ
3 millones de euros = -350.8944 millones de euros
3) 30 - 30 ⅇ3+ 30 ⅇ
4 millones de euros = 1065.3784 millones de euros
4) 30 - 30 ⅇ3+ 30 ⅇ
5 millones de euros = 3879.8287 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 1 0-1 0 0 01 1 2 00 -1 -1 1
.
1)
? -2 -2 1-1 ? 1 00 -1 ? 11 -2 -1 ?
2)
? -1 0 02 ? -1 0-1 0 ? 01 1 0 ?
3)
? -1 0 0-1 ? 0 0-1 2 ? 00 -2 -1 ?
4)
? -1 0 00 ? 0 10 -3 ? -20 1 0 ?
5)
? -1 1 00 ? 1 00 0 ? 01 -1 -1 ?
6)
? 0 -2 -20 ? 1 10 0 ? -20 0 1 ?
7)
? 0 -1 -31 ? -1 -2-1 0 ? 22 1 -2 ?
594
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - -1 -31 2
. 1 01 1
=3 2-4 -2
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 - 2 x2 - x3 + x4 ⩵ 5-3 x2 - 4 x3 + 3 x4 ⩵ -59 x1 + 9 x2 + 7 x3 - 6 x4 ⩵ -10
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??17?
+⟨
???13
,
??2?
⟩
2)
???9
3)
?3??
+⟨
???9
,
???8
⟩
4)
??20?
+⟨
??9?
,
??3?
⟩
5)
-5???
595
596
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 150
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés del 3% compuesto en 6 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un
interés del 9% compuesto en 3 períodos
. Inicialmente depositamos 14 000 euros en el banco A y 9000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-2 sin(x + 1) + 1 - 3 cos(x + 1) x ≤ -11
4((x - 6) x - 27) -1 < x < 1
-x log(x) - 8 1 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=1.
597
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 24 x2 - 16 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(2 + 2 t)log(2 t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 30
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 4 años.
1)5
2- 3 Log[2] + 48 Log[12] millones de euros = 119.6961 millones de euros
2)33
2- 3 Log[2] + 24 Log[8] millones de euros = 64.3272 millones de euros
3) 90 - 3 Log[2] + 35 Log[10] millones de euros = 168.511 millones de euros
4) 10 - 3 Log[2] + 35 Log[10] millones de euros = 88.511 millones de euros
598
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1
.
1)
? -1 -1 10 ? 1 0-1 0 ? -11 1 0 ?
2)
? -1 0 -10 ? 1 10 1 ? 10 1 0 ?
3)
? -1 1 11 ? 0 0-1 0 ? -11 0 1 ?
4)
? 0 1 -10 ? 0 00 0 ? 00 0 0 ?
5)
? 0 -1 01 ? 0 10 0 ? -11 0 0 ?
6)
? 0 0 -10 ? 0 00 1 ? 1-1 0 0 ?
7)
? 0 0 -10 ? 0 1-1 -1 ? -1-1 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 02 1
.X - 1 30 1
=-1 -3-2 -7
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -1* *
4) * 0* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + 2 x2 - 2 x3 + 7 x4 ⩵ 42 x1 - x2 + x3 + 4 x4 ⩵ 1-x1 + x2 - x3 + x4 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
5???
+⟨
??4?
,
??-6?
,
???-9
,
?2??
⟩
2)
?3??
+⟨
?1??
,
-5???
⟩
3)
??-3?
+⟨
-1???
,
?-9??
⟩
4)
???-1
+⟨
1???
,
?-7??
⟩
5)
-9???
+⟨
??4?
,
???6
,
4???
,
-8???
⟩
599
600
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 151
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 5% y en la que inicialmente depositamos 14 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
23 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 102 583 79
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 115.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 179.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 13.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 11.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue -5.
601
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 120 x + 30 x2 - 60 x3 - 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-6 - 3 x + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=3.
1)315
2= 157.5
2) 158
3) 155
4) 117
5) 144
6) 128
7)317
2= 158.5
8) 157
602
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 1 01 1 -1 1-1 -2 3 -22 1 -1 2
.
1)
? 2 0 -1-1 ? 1 0-1 0 ? 1-1 -3 0 ?
2)
? -2 -1 00 ? 1 02 -4 ? 0-2 4 1 ?
3)
? -2 -1 20 ? 0 -1-1 0 ? -10 1 0 ?
4)
? -1 -1 0-3 ? 1 01 -1 ? 02 -1 -1 ?
5)
? -1 -1 11 ? 0 10 0 ? 01 -1 0 ?
6)
? -1 0 00 ? 0 0-1 1 ? 00 -1 0 ?
7)
? -1 0 01 ? 0 -10 0 ? 10 0 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - -3 81 -3
. 1 11 2
=-4 -120 2
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 3 x2 + 3 x3 + 2 x4 ⩵ 28 x1 + 2 x2 - 2 x3 - x4 ⩵ -23 x1 - x2 - 5 x3 - 3 x4 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??2?
+⟨
???
-34
,
??7?
⟩
2)
?3??
+⟨
??22?
,
???
-13
⟩
3)
?-8??
+⟨
?-6??
,
???-5
,
?6??
⟩
4)
?8??
+⟨
??3?
⟩
5)
??-1?
+⟨
???
-33
,
???
-13
⟩
603
604
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 152
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 1% compuesto en 7 períodos, en la que pasados 3 años
se pasa a ofrecer un interés compuesto del 1%. Inicialmente depositamos
5000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
8 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→∞9 + 3 x - x2 - 2 x3 - 6 x4
1) -∞
2) -8
3) ∞
4) 1
5) 0
6) -6
7) -7
605
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 4 x3 + 3 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 3
5
(2 - 2 a + t + a t
-4 + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el parámetro
a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 0.572272
2) 0.763872
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) 0.336472
5) 0.741772
6) -0.192428
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -9 2 4 ) es combinación lineal de la uplas
( 1 -2 1 ), ( -1 0 -1 ), ( 1 -2 -2 ),
1) Si 2) No
606
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0-4 1
.X + -1 1-2 1
=-1 2-1 -3
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-9 x1 - x2 + 2 x3 - x4 + 2 x5 ⩵ -10-3 x1 - 4 x2 - 4 x3 + 2 x4 - x5 ⩵ 2-2 x1 + x2 + 2 x3 - x4 + x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
1????
+⟨
???8?
,
???5?
,
????3
⟩
2)
??0??
+⟨
???5?
,
????2
,
????0
⟩
3)
????3
+⟨
-4????
⟩
4)
???-4?
+⟨
????8
,
????5
,
????1
⟩
5)
???-5?
+⟨
1????
⟩
607
608
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 153
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 463 000 euros hasta un valor final de
217 000 euros a lo largo de 10 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto semestralmente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **7.*****%.
3) El interés será del **0.*****%.
4) El interés será del **1.*****%.
5) El interés será del **6.*****%.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 01 152 28
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 10.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 48.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 64.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 4.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 8.
609
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(7 + 4 t)(cos(2πt)+2) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).
1) 38 euros
2) 3 euros
3)22
3euros = 7.3333 euros
4) -5
3euros = -1.6667 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -4 4 0 0 -3 ), ( -1 2 1 2 -2 ), ( 2 -2 -1 2 2 )
, ( 0 1 1 -1 0 ), ( -2 2 -1 2 -1 ), ( -4 4 -2 4 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 6
610
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
8 3-3 -1
.X. 3 12 1
=-7 -53 2
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -1* *
4) * 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 2 x2 + x3 + 4 x4 + 5 x5 ⩵ -3x1 + x2 - 3 x3 - 3 x4 - 4 x5 ⩵ -22 x2 + 4 x3 - 2 x4 - 2 x5 ⩵ 10
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????8
+⟨
-2????
,
??-9??
⟩
2)
?6???
+⟨
4????
,
0????
,
?0???
⟩
3)
-10????
+⟨
?-5???
,
?3???
,
0????
⟩
4)
-7????
+⟨
5????
,
2????
,
3????
⟩
5)
????0
+⟨
?4???
⟩
611
612
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 154
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 372 000 euros hasta un valor final de
492 000 euros a lo largo de 6 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto en 8 períodos de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **2.*****%.
2) El interés será del **9.*****%.
3) El interés será del **7.*****%.
4) El interés será del **4.*****%.
5) El interés será del **1.*****%.
Ejercicio 2La población de cierto país (en millones de habitantes) viene dada por la función P(t)=
10-2 - 4 t + 6 t2 - 5 t3
-3 + 3 t - 3 t2 - 5 t3
8+5 t
. Determinar la tendencia de futuro para esta población.
1)10
ⅇ
2)10
ⅇ9
3)10
ⅇ2
4) 0
5) 10
6) ∞
7) -∞
613
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 6 x2 - x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 + t)log(2 t) euros.
Calcular el valor medio del paquete de acciones entre el mes 1 y el mes 3 (entre t=1 y t=3).
1)1
3-51
4-7 Log[2]
2+ 20 Log[8] euros = 8.8043 euros
2)1
3-18 -
7 Log[2]
2+55 Log[10]
2euros = 14.2984 euros
3)1
2-8 -
7 Log[2]
2+27 Log[6]
2euros = 6.8814 euros
4)1
2-51
4-7 Log[2]
2+ 20 Log[8] euros = 13.2064 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 -2 -1 1 -3 ), ( -1 -2 2 -1 0 ), ( 0 0 -2 2 -1 ), ( 1 2 -1 1 2 ), ( 0 0 1 0 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
614
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 20 1
.X. 3 -2-1 1
-1=
0 11 3
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 - 8 x2 - 5 x3 + 2 x4 ⩵ 42 x1 - 5 x2 - 2 x3 - 3 x4 - 4 x5 ⩵ -4-x1 + 3 x2 + 3 x3 - 5 x4 - 4 x5 ⩵ -8
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-7???
2)
??1??
+⟨
?-6???
,
32????
,
29????
⟩
3)
??-3??
+⟨
?-6???
,
?16???
,
30????
⟩
4)
????-5
+⟨
???0?
,
?6???
,
??3??
,
??-3??
⟩
5)
???0?
+⟨
?-4???
,
?13???
,
?12???
⟩
615
616
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 155
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 4%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés del 9% compuesto en 2 períodos
. Inicialmente depositamos 12 000 euros en el banco A y 8000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
Ejercicio 2Una factoría fabrica cierto tipo de dispositivos. El coste marginal
(coste de fabricar una unidad) se reduce cuando producimos grandes
cantidades de dispositivos y viene dado por la función C(x)=1 + 2 x + 4 x2
3 + 9 x + 6 x2
. Determinar el coste por unidad esperado cuando se producen grandes cantidades de unidades.
1) ∞
2)17
25
3) 18 000
4)2
3
5) -∞
6) -2
7) 0
617
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(7 + 2 t)(cos(2πt)+1) millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 20
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1) 28 millones de euros
2) 38 millones de euros
3) 50 millones de euros
4) 14 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 10 1 0 00 -1 2 -10 2 -3 2
.
1)
? -1 0 -11 ? -1 -10 0 ? 01 1 -1 ?
2)
? -1 0 0-1 ? 0 00 -1 ? -20 0 0 ?
3)
? 1 -1 -10 ? 0 00 0 ? 10 -1 3 ?
4)
? -1 5 -20 ? -2 10 0 ? -10 0 -1 ?
5)
? 0 -3 -12 ? 2 01 0 ? 01 0 1 ?
6)
? 0 -1 01 ? -1 00 0 ? 0-1 -3 0 ?
7)
? 0 -1 02 ? -1 00 0 ? 00 0 1 ?
618
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 3
.X + 0 -11 0
=0 -12 -1
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
-1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 + 4 x2 - x3 - x4 ⩵ 5-4 x1 - 8 x2 - 4 x3 ⩵ -85 x1 - 2 x2 + 2 x3 + x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-10???
+⟨
2???
⟩
2)
-10???
+⟨
?5??
,
5???
,
-1???
,
??1?
⟩
3)
??2?
+⟨
??-1?
,
???6
⟩
4)
???-9
+⟨
??-3?
,
??-1?
⟩
5)
???
-10
+⟨
??1?
,
???7
⟩
619
620
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 156
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 10%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 5%
. Inicialmente depositamos 1000 euros en el banco A y 5000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
Ejercicio 2Calcular el siguiente límite: limx→∞-8 + 2 x - 5 x2 + 9 x3
1) 1
2) -5
3) -8
4) -3
5) -∞
6) 0
7) ∞
621
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 24 x2 + 16 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=2 + t + 3 t2 millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 90
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1)187
2millones de euros = 93.5 millones de euros
2)255
2millones de euros = 127.5 millones de euros
3) 104 millones de euros
4) 170 millones de euros
622
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 00 1 0 00 0 1 -20 0 0 1
.
1)
? -2 1 0-1 ? 0 0-1 1 ? 03 -5 0 ?
2)
? -1 0 0-1 ? 0 00 -1 ? 0-1 3 -1 ?
3)
? 0 0 00 ? 0 00 0 ? 20 0 0 ?
4)
? -1 1 01 ? 0 1-1 0 ? 02 0 0 ?
5)
? -1 1 11 ? -1 -10 1 ? 00 -1 0 ?
6)
? -1 2 -1-2 ? -1 01 -1 ? 01 -1 0 ?
7)
? 0 -3 -10 ? 1 00 1 ? 00 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 20 1
.X - 1 -20 1
=0 30 0
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 4 x2 + 2 x3 - 3 x4 ⩵ 7-x1 - x2 + 3 x3 - 5 x4 ⩵ -3-4 x1 + 3 x2 + 5 x3 - 8 x4 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
3???
+⟨
???6
,
??
-20?
⟩
2)
?-7??
+⟨
?-9??
⟩
3)
?0??
+⟨
??12?
,
??
-23?
⟩
4)
??9?
+⟨
8???
,
?5??
,
???-5
⟩
5)
-3???
+⟨
???10
,
???
-13
⟩
623
624
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 157
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 249 000 euros hasta un valor final de
432 000 euros a lo largo de 8 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **7.*****%.
2) El interés será del **6.*****%.
3) El interés será del **1.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **9.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 224 -107 8
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
-2 y 8. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).
1) Se cumplirá en los intervalos: [0,2] y [6,7].
2) Se alcanzarán en el intervalo [1,2].
3) Se alcanzarán en el intervalo [1,7].
4) Se cumplirá en los intervalos: [1,2] y [6,7].
5) Se alcanzarán en el intervalo [6,7].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
7) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
625
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 2 x3 + 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(6 + t)(sen(2πt)+1) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
4 primeros meses del año (entre t=0 y t=4).
1)1
414 -
1
πeuros = 3.4204 euros
2)1
4
13
2-
1
2 πeuros = 1.5852 euros
3)1
432 -
2
πeuros = 7.8408 euros
4)1
4-11
2+
1
2 πeuros = -1.3352 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -4 -2 2 -2 ), ( -1 2 -2 1 ), ( -2 1 1 2 ), ( -2 -1 1 -1 ), ( -4 0 2 1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
626
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 33 10
-1.X. 0 -1
1 1=
10 17-3 -5
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 + 3 x2 + 4 x4 - 5 x5 ⩵ -2x1 + x2 - 4 x4 - 5 x5 ⩵ -4-3 x1 - 2 x2 - 8 x4 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-9??
2)
???8?
+⟨
????10
,
?3???
⟩
3)
????-3
+⟨
?3???
,
?19???
,
?12???
⟩
4)
????0
+⟨
?0???
,
?20???
,
?15???
⟩
5)
?-13???
+⟨
1????
,
-15????
,
-13????
⟩
627
628
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 158
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de
274 000 euros hasta un valor final de 445 000 euros a lo largo de 5
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **0.*****%.
2) El interés será del **7.*****%.
3) El interés será del **6.*****%.
4) El interés será del **5.*****%.
5) El interés será del **3.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 264 508 170
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
17 y 71. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=8).
1) Se alcanzarán en el intervalo [5,8].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-3,8].
3) Se alcanzarán en el intervalo [8,8].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-1,9].
5) Se alcanzarán en el intervalo [0,8].
6) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-1,7].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
629
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(2 + t)(sen(2πt)+1) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
10 primeros meses del año (entre t=0 y t=10).
1)1
10-3
2+
1
2 πeuros = -0.1341 euros
2)1
106 -
1
πeuros = 0.5682 euros
3)1
1070 -
5
πeuros = 6.8408 euros
4)1
10
5
2-
1
2 πeuros = 0.2341 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 1 1 -1 ), ( -2 1 -1 2 ), ( -4 2 -2 2 ), ( 2 -1 1 0 ), ( 2 -2 -2 -1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
630
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 -2
-1.X. -5 2
-3 1=
14 -5-8 3
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* 1* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x2 - x3 + x4 - x5 ⩵ -2-2 x1 - 4 x2 - 5 x3 - x4 + 2 x5 ⩵ -4-2 x1 - x2 - 4 x3 - 2 x4 + 3 x5 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???-8?
+⟨
????2
,
????7
,
????6
⟩
2)
-1????
+⟨
???-1?
,
???9?
,
????8
⟩
3)
?-1???
+⟨
???-1?
,
????5
,
???10?
⟩
4)
1????
+⟨
??7??
,
-9????
⟩
5)
9????
+⟨
????-2
,
????9
⟩
631
632
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 159
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 191 000 euros hasta un valor final de
367 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto cuatrimestralmente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **8.*****%.
2) El interés será del **2.*****%.
3) El interés será del **3.*****%.
4) El interés será del **7.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 173 86 17
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
9 y 12. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=6).
1) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].
3) Se alcanzarán en el intervalo [4,6].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
5) Se cumplirá en los intervalos: [1,2] y [4,5].
6) Se cumplirá en los intervalos: [0,2] y [4,5].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,4].
8) Se alcanzarán en el intervalo [1,2].
633
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 2 x3 + 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(-2 - 6 t)sen(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
π primeros meses del año (entre t=0 y t=π).
1) 12 euros
2)-4 - 6 π
πeuros = -7.2732 euros
3)-4 + 6 π
πeuros = 4.7268 euros
4)-4 - 18 π
πeuros = -19.2732 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 2 2 -1 -2 ), ( -1 -2 -2 -2 ), ( -2 0 2 1 ), ( 0 0 -2 -1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
634
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-5 3-7 4
.X + 1 -1-1 2
=-8 19-11 26
1) -2 *
* * 2)
* -1* *
3) * 1* *
4) * *
-2 * 5)
* *
2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x2 - x3 - 11 x4 + 9 x5 ⩵ 02 x1 + 2 x2 - 4 x3 + 6 x4 - 5 x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???3?
2)
????
-11
+⟨
???18?
,
????4
,
???
-41?
⟩
3)
?2???
+⟨
????20
,
????2
,
???
-42?
⟩
4)
?-1???
+⟨
???16?
,
????5
,
???
-39?
⟩
5)
????-7
+⟨
???3?
,
-1????
⟩
635
636
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 160
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto continuamente del 3%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 7%
. Inicialmente depositamos 15 000 euros en el banco A y 8000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=-sin(1 - x) - cos(1 - x) + 3 x ≤ 1x - 2 x log(x) + x log(4) + 1 - log(4) 1 < x < 2sin(2 - x) + cos(2 - x) + 2 - log(4) 2 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1 y x=2.
637
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 6 x + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=30 ⅇ-1+t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 20
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 2 años.
1) 50 -30
ⅇmillones de euros = 38.9636 millones de euros
2) 20 +30
ⅇ2-30
ⅇmillones de euros = 13.0237 millones de euros
3) 20 -30
ⅇ+ 30 ⅇ
2 millones de euros = 230.6353 millones de euros
4) 20 -30
ⅇ+ 30 ⅇ millones de euros = 90.5121 millones de euros
638
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 1 00 1 -1 00 0 2 10 0 1 1
.
1)
? 0 -1 10 ? 1 -10 0 ? -10 0 -1 ?
2)
? -1 0 01 ? 1 20 0 ? 10 0 0 ?
3)
? -1 0 11 ? 0 -2-1 0 ? 0-1 0 0 ?
4)
? -1 2 01 ? 1 -10 0 ? 0-1 1 -2 ?
5)
? 0 0 00 ? 1 00 1 ? 1-1 1 1 ?
6)
? 0 0 00 ? 1 22 0 ? 2-1 0 0 ?
7)
? 0 0 01 ? -1 21 1 ? 21 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 10 1
.X. 0 -11 2
=-2 -3-1 -1
1) 0 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* 1* *
5) * *
-2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 - 4 x2 + 3 x3 - 4 x4 ⩵ -5-2 x1 + 3 x2 - 4 x3 + 4 x4 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???
-10
+⟨
10???
,
?10??
,
???4
⟩
2)
?-14??
+⟨
6???
,
?-6??
⟩
3)
??0?
+⟨
7???
,
?-4??
⟩
4)
-7???
5)
???-2
+⟨
6???
,
-7???
⟩
639
640
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 161
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 352 000 euros hasta un valor final de
111 000 euros a lo largo de 7 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **0.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **7.*****%.
4) El interés será del **6.*****%.
5) El interés será del **2.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 142 305 24
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
24 y 30. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=5).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
2) Se alcanzarán en el intervalo [1,2].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
4) Se cumplirá en los intervalos: [1,2] y [4,5].
5) Se alcanzarán en el intervalo [5,5].
6) Se alcanzarán en el intervalo [2,5].
7) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [4,5].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
641
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 6 x2 - 3 x3 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=2 + 2 t + t2 euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
6 primeros meses del año (entre t=0 y t=6).
1) 20 euros
2) 4 euros
3)16
9euros = 1.7778 euros
4)5
9euros = 0.5556 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 2 -2 2 ), ( 2 2 2 -1 ), ( 0 2 -1 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
642
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 11 2
.X + 1 -31 -2
=2 -23 0
1) -1 *
* * 2)
* -1* *
3) * 1* *
4) * 0* *
5) * *
-1 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 8 x2 - 4 x3 - 5 x4 - 3 x5 ⩵ 02 x1 + 3 x2 - 3 x3 - 7 x4 - 6 x5 ⩵ -53 x1 + 5 x2 - x3 + 2 x4 + 3 x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-38????
+⟨
?-5???
,
?-22???
,
?-21???
⟩
2)
?-5???
+⟨
??1??
,
???-9?
⟩
3)
???-2?
+⟨
????5
,
???1?
,
??-3??
,
?-6???
⟩
4)
??0??
+⟨
12????
,
41????
,
?-24???
⟩
5)
????2
+⟨
14????
,
44????
,
?-25???
⟩
643
644
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 162
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 10% compuesto en 7 períodos, en la que pasados 4 años
se pasa a ofrecer un interés compuesto del 7%. Inicialmente depositamos
11 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 2051 1673 103
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue -5.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 5.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 0.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 37.
645
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 40 x3 + 40 x4 - 15 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 2 a
-2
(2 - 4 a + 4 t - 20 a t + 15 t2 - 30 a t2 + 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 27
2) 36
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) 44
5) 29
6) 46
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -3 2 -4 -4 ) es combinación lineal de la uplas
( 2 -1 -2 0 ), ( 4 -2 -4 0 ),
1) Si 2) No
646
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -3-1 2
.X + 1 00 1
=7 2-4 -1
1) 1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 - 4 x2 + 5 x3 - 2 x4 - 5 x5 ⩵ -1-2 x1 + 3 x2 - 2 x3 - 3 x4 - 3 x5 ⩵ -2-5 x1 + 7 x2 - 7 x3 - x4 + 2 x5 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???-1?
+⟨
?-5???
,
?15???
,
30????
⟩
2)
????-4
+⟨
???-3?
,
???3?
⟩
3)
??10??
+⟨
????-8
,
?-4???
⟩
4)
????3
+⟨
-4????
,
17????
,
?18???
⟩
5)
????0
+⟨
?-4???
,
?13???
,
27????
⟩
647
648
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 163
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 4% y en la que inicialmente depositamos 14 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
19 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 21 482 90
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 12.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 0.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 162.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 290.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 2.
649
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 120 x2 + 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
3 - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-3 y x=1.
1) 27
2)53
2= 26.5
3) 26
4) 28
5) 16
6) 24
7)51
2= 25.5
8)55
2= 27.5
650
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 -1 00 1 0 00 1 1 -10 -2 -1 2
.
1)
? -1 -1 -10 ? 1 10 1 ? 10 1 1 ?
2)
? -1 2 10 ? 0 00 0 ? 10 1 1 ?
3)
? -1 2 3-1 ? 0 -10 0 ? 00 0 0 ?
4)
? 0 0 0-1 ? 0 20 0 ? 0-1 0 -1 ?
5)
? 0 0 00 ? 0 00 0 ? 0-1 -1 2 ?
6)
? 0 0 00 ? 0 10 0 ? 00 0 -1 ?
7)
? 0 0 00 ? 1 -10 0 ? 00 0 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 10 1
.X + 1 00 1
=1 -2-1 0
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 3 x2 + 2 x3 - 3 x4 ⩵ 1-x1 + 5 x2 + 3 x3 - 4 x4 ⩵ 2-3 x1 + 8 x2 + x3 - x4 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-1???
+⟨
3???
,
???
-10
,
?7??
⟩
2)
0???
+⟨
??11?
,
???
-19
⟩
3)
??-1?
+⟨
??13?
,
??
-24?
⟩
4)
?-2??
+⟨
??8?
,
???
-16
⟩
5)
?7??
+⟨
??-4?
,
?6??
,
?9??
⟩
651
652
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 164
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 9% compuesto en 3 períodos, en la que pasados 3 años se pasa a ofrecer un
interés compuesto continuamente del 3%. Inicialmente depositamos
14 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
9 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 32 114 35
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
5 y 11. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=4).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-2,0].
2) Se alcanzarán en el intervalo [1,2].
3) Se alcanzarán en el intervalo [-2,-1].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-2,1].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,4].
6) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
8) Se cumplirá en los intervalos: [-2,-1] y [2,4].
653
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 80 x3 - 20 x4 + 6 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 3 a
-3
(8 + 12 a - 8 t + 84 a t - 42 t2 + 45 a t2 - 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -72
2) -93
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) -103
5) -90
6) -71
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -3 -6 6 6 ) es combinación lineal de la uplas
( 4 -4 -4 0 ), ( 2 -2 -2 0 ),
1) Si 2) No
654
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0-2 1
.X - 5 -23 -1
=-4 3-4 -2
1) 1 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 - 4 x2 + 3 x3 + x4 + x5 ⩵ 28 x1 - 2 x2 + 10 x3 - 2 x4 ⩵ 10-x1 + 3 x2 + 2 x3 - 2 x4 - x5 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-1???
+⟨
???7?
,
????8
,
???2?
⟩
2)
??0??
+⟨
???4?
,
????5
,
???5?
⟩
3)
????9
+⟨
-1????
⟩
4)
????10
+⟨
????-8
,
????4
,
????
-10
⟩
5)
?7???
+⟨
??
-10??
⟩
655
656
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 165
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 6% compuesto en 7 períodos y en la que inicialmente depositamos 11 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
16 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 321 183 2
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 8.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 4.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 0.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 13.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue -4.
657
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 240 x + 240 x2 - 60 x3 - 30 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
12 - 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=2 y x=5.
1)169
2= 84.5
2)167
2= 83.5
3)165
2= 82.5
4) 84
5) 85
6)171
2= 85.5
7) 81
8) 83
658
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
2 -2 0 30 1 0 -10 0 1 0-1 0 0 0
.
1)
? -1 -1 0-2 ? 1 -1-2 1 ? 00 0 0 ?
2)
? -1 -1 0-1 ? 2 00 0 ? 00 2 2 ?
3)
? 0 0 -11 ? 0 20 0 ? 01 2 0 ?
4)
? -1 0 10 ? -1 -10 -2 ? 1-1 -3 0 ?
5)
? 0 -1 -20 ? 0 0-1 0 ? 10 0 1 ?
6)
? 0 -1 00 ? 1 0-2 0 ? 00 -2 -1 ?
7)
? 0 -1 1-1 ? 1 -1-1 0 ? -1-1 1 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 3 1-1 0
. 3 5-2 -3
=8 140 0
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + 3 x2 + x3 - x4 ⩵ -9x1 + x2 + 4 x3 + 3 x4 ⩵ -4x1 + 2 x2 - 3 x3 - 4 x4 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-2???
+⟨
?5??
,
-12???
⟩
2)
??0?
+⟨
-11???
,
?7??
⟩
3)
???-1
+⟨
-14???
,
-13???
⟩
4)
??-5?
5)
9???
659
660
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 166
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 5% y en la que inicialmente depositamos 7000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
16 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 -12 354 63
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 90.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue -3.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 10.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 99.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue -5.
661
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 40 x3 - 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-18 + 3 x + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=2 y x=5.
1)197
2= 98.5
2) 97
3)193
2= 96.5
4) 96
5) 98
6)195
2= 97.5
7)189
2= 94.5
8) 99
662
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 0 00 1 0 00 -1 1 01 1 0 1
.
1)
? -1 0 00 ? 0 00 1 ? 0-1 0 0 ?
2)
? -1 -1 00 ? -1 00 -5 ? 00 -2 1 ?
3)
? -1 0 0-1 ? 0 00 0 ? 00 1 0 ?
4)
? -1 0 01 ? 1 0-1 2 ? 00 -1 0 ?
5)
? -1 0 01 ? 2 10 0 ? 00 -1 2 ?
6)
? 0 -1 -2-1 ? 1 20 0 ? 10 0 1 ?
7)
? 0 -1 -10 ? 0 21 1 ? 10 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 3 -14 -1
. 1 30 1
=3 73 7
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * *
-2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 3 x2 + 13 x3 - 7 x4 ⩵ 57 x1 + 4 x2 - 4 x3 + 2 x4 ⩵ -319 x1 + 11 x2 + 5 x3 - 3 x4 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-2?
+⟨
?-112??
,
?58??
⟩
2)
?48??
+⟨
61???
,
-35???
⟩
3)
???-4
+⟨
??-5?
⟩
4)
??
-10?
+⟨
??-5?
,
?-7??
,
-1???
,
?8??
⟩
5)
??0?
+⟨
64???
,
?59??
⟩
663
664
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 167
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 3% compuesto en 4 períodos y en la que inicialmente depositamos 12 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
14 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 2931 2472 205
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue -3.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 5.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 133.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 12.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue -10.
665
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 12 x2 - 4 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-6 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-2 y x=3.
1)25
3= 8.3333
2)91
3= 30.3333
3)79
3= 26.3333
4)88
3= 29.3333
5)167
6= 27.8333
6)173
6= 28.8333
7)179
6= 29.8333
8)185
6= 30.8333
666
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 00 1 1 00 0 1 0-1 0 1 1
.
1)
? -1 -4 11 ? -4 10 0 ? 00 0 0 ?
2)
? -1 -1 00 ? 0 00 0 ? 00 -3 0 ?
3)
? 0 1 00 ? -1 00 0 ? 01 0 0 ?
4)
? -1 0 1-3 ? 1 -2-5 3 ? -3-1 1 1 ?
5)
? -1 1 01 ? 0 0-1 -2 ? 00 0 0 ?
6)
? 0 -2 00 ? 0 0-1 0 ? 00 2 0 ?
7)
? 0 -1 00 ? 0 0-1 0 ? 00 0 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
4 -3-1 1
.X + 0 1-1 3
=1 8-1 1
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + 3 x2 - x3 + 2 x4 ⩵ 0-x2 - 5 x3 + 8 x4 ⩵ 10x1 + 2 x2 + 2 x3 - 3 x4 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
18???
+⟨
7???
,
?6??
⟩
2)
?0??
+⟨
1???
⟩
3)
15???
+⟨
?-5??
,
-13???
⟩
4)
?-6??
5)
?-9??
+⟨
7???
,
?7??
⟩
667
668
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 168
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el banco
B. En el banco A nos ofrecen un interés del 1% compuesto en 11 períodos
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 7%
. Inicialmente depositamos 6000 euros en el banco A y 1000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-2 ⅇx-3 + 2 sin(3) sin(x) + 2 cos(3) cos(x) - 3 x ≤ 31
4x2 - 14 x + 21 3 < x < 5
-ⅇx-5 - 4 5 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=5.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3 y x=5.
669
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 12 x + 9 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(1 + 4 t)log(3 t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 40
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 3 años.
1) -3 Log[3] + 78 Log[18] millones de euros = 222.1532 millones de euros
2) 92 - 3 Log[3] + 36 Log[12] millones de euros = 178.1608 millones de euros
3) 12 - 3 Log[3] + 55 Log[15] millones de euros = 157.6469 millones de euros
4) 22 - 3 Log[3] + 36 Log[12] millones de euros = 108.1608 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 0-1 1 0 0-1 1 1 1-1 1 0 1
.
1)
? -3 -1 10 ? 2 -2-1 3 ? -10 -1 -1 ?
2)
? -1 0 -20 ? 0 10 1 ? 11 0 0 ?
3)
? -1 0 -20 ? 0 2-2 -1 ? -10 -1 0 ?
4)
? 0 0 01 ? 0 00 0 ? -10 -1 0 ?
5)
? -1 0 00 ? 0 11 -1 ? -1-1 0 -1 ?
6)
? 0 0 0-2 ? 1 0-3 0 ? -12 0 -1 ?
7)
? 0 0 00 ? 0 -1-1 0 ? 00 0 0 ?
670
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 10 1
-1.X +
2 -31 -1
=1 02 -2
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
* 1* *
4) * 0* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 - x2 - 5 x3 - 2 x4 ⩵ 0-x1 + 2 x2 - 2 x3 + x4 ⩵ 2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?3??
+⟨
?6??
,
?0??
⟩
2)
???6
+⟨
???2
,
??-6?
,
???-5
,
?-2??
⟩
3)
3???
+⟨
?5??
,
?0??
⟩
4)
2???
5)
2???
+⟨
12???
,
?1??
⟩
671
672
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 169
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 6% y en la que inicialmente depositamos 15 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
21 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 31 143 30
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 6.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 5.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue 39.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 4.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue -10.
673
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 60 x2 - 60 x3 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-9 x + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=4.
1)519
2= 259.5
2)517
2= 258.5
3)459
2= 229.5
4) 259
5)437
2= 218.5
6) 258
7)513
2= 256.5
8)491
2= 245.5
674
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 2 -2 20 1 0 00 0 1 0-1 -1 1 -1
.
1)
? -1 -1 01 ? 0 0-1 -1 ? 00 1 0 ?
2)
? -1 0 -1-1 ? 0 10 0 ? 01 -1 1 ?
3)
? 0 0 -20 ? 0 00 0 ? 01 -1 1 ?
4)
? 0 -1 -10 ? 0 01 0 ? -11 1 0 ?
5)
? 0 -1 10 ? -1 01 0 ? 10 0 0 ?
6)
? 0 0 0-1 ? -1 00 0 ? 0-2 1 0 ?
7)
? 0 0 0-1 ? 0 00 0 ? 02 -2 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 21 3
.X - 3 -22 -1
=-3 -1-2 -3
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -1* *
5) * *
-2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
5 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 5 x4 ⩵ -12 x1 + x2 - 2 x3 + 5 x4 ⩵ -1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-2?
+⟨
?14??
,
8???
⟩
2)
??-1?
+⟨
?14??
,
?-18??
⟩
3)
?6??
+⟨
?-5??
,
???-1
,
?-10??
,
??0?
⟩
4)
??0?
+⟨
?16??
,
5???
⟩
5)
??0?
+⟨
??-6?
⟩
675
676
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 170
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 5% compuesto en 5 períodos, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un
interés compuesto continuamente del 4%. Inicialmente depositamos
8000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
4 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
ⅇx+2 + 2 cos(x + 2) - 3 x ≤ -2
2 x + 2 ⅇx+2 - 2 ⅇ2 (x + 2) + 3 x sin(2) + 3 cos(x + 2) - 1 + 6 sin(2) -2 < x < 0
2 sin(x) - cos(x) - 2 ⅇ2 + 2 + 6 sin(2) + 3 cos(2) 0 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2 y x=0.
677
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 40 x3 + 40 x4 - 15 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -a
2
(3 - 7 a - 14 t - 26 a t - 39 t2 + 15 a t2 + 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -34
2) -23
3) -39
4) El resto de las soluciones son incorrectas
5) -27
6) -35
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -5 5 5 -5 ) es combinación lineal de la uplas
( -1 1 1 -1 ), ( -2 2 2 -2 ),
1) Si 2) No
678
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-2 1-7 3
.X - -1 2-5 9
=1 -45 -16
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* 1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 + 5 x2 + 3 x4 - 2 x5 ⩵ -3-4 x1 + 9 x2 + 4 x3 + 4 x4 - 3 x5 ⩵ 2-x1 - 4 x2 - 4 x3 - x4 + x5 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-2????
+⟨
????6
⟩
2)
???3?
3)
???
-13?
+⟨
???7?
,
????7
,
????12
⟩
4)
-1????
+⟨
???10?
,
????9
,
???11?
⟩
5)
2????
+⟨
????5
,
????6
,
????9
⟩
679
680
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 171
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 5% y en la que inicialmente depositamos 12 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
20 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→1-1 + 2 x - 2 x3 + x4
-2 + 5 x - 4 x2 + x3
1) 1
2) -∞
3) 0
4) -1
2
5) -1
6) -2
3
7) ∞
681
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 120 x2 + 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-4 - 6 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-2 y x=4.
1)326
3= 108.6667
2)338
3= 112.6667
3)661
6= 110.1667
4)679
6= 113.1667
5)332
3= 110.6667
6)667
6= 111.1667
7)335
3= 111.6667
8)341
3= 113.6667
682
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 -10 0 -1 00 1 1 0-1 0 0 2
.
1)
? -1 -2 01 ? 3 01 1 ? 0-2 -2 -3 ?
2)
? 0 -1 0-1 ? -1 01 0 ? 0-1 0 1 ?
3)
? 0 0 10 ? 1 00 -1 ? 01 0 0 ?
4)
? 0 -1 30 ? 0 0-1 1 ? -21 0 -1 ?
5)
? 0 0 -1-1 ? 1 01 0 ? -22 -2 -2 ?
6)
? 0 0 -10 ? -1 0-1 -1 ? -21 0 1 ?
7)
? 0 0 0-1 ? -1 -11 0 ? 11 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 1 -1-1 2
. 0 -11 1
=0 -23 5
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-6 x1 + 3 x2 + 5 x3 + 3 x4 ⩵ 0-3 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 2 x4 ⩵ -53 x1 + x2 - 2 x3 - x4 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
2???
+⟨
??4?
,
??4?
⟩
2)
???10
+⟨
???-6
,
??-5?
,
?-5??
,
-1???
⟩
3)
?-2??
+⟨
???0
,
???
-13
⟩
4)
??15?
+⟨
???-3
,
???
-11
⟩
5)
??-2?
683
684
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 172
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 104 000 euros hasta un valor final de
228 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto semestralmente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **5.*****%.
2) El interés será del **6.*****%.
3) El interés será del **0.*****%.
4) El interés será del **7.*****%.
5) El interés será del **9.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 282 284 36
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
28 y 31. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=4).
1) Se cumplirá en los intervalos: [0,0] y [2,3].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-1,4].
3) Se alcanzarán en el intervalo [-1,0].
4) Se cumplirá en los intervalos: [-1,0] y [3,4].
5) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].
6) Se alcanzarán en el intervalo [2,4].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
8) Se alcanzarán en el intervalo [-1,2].
685
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 12 x2 + 10 x3 + 4 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=10 ⅇ-1+t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 primeros meses del año (entre t=0 y t=3).
1)1
3-10
ⅇ+ 10 ⅇ
2 euros = 23.4039 euros
2)1
310 -
10
ⅇeuros = 2.1071 euros
3)1
3-10
ⅇ+ 10 ⅇ euros = 7.8347 euros
4)1
3
10
ⅇ2-10
ⅇeuros = -0.7751 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 1 -2 -2 ), ( -2 1 -2 -1 ), ( 2 0 -2 -2 ), ( -4 1 0 1 ), ( 2 1 2 1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
686
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-2 11 -1
-1.X. -3 -5
5 8=
5 85 8
1) 0 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
* -2* *
4) * 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 - x2 - 7 x3 + 5 x4 + 8 x5 ⩵ -14 x1 - 3 x2 + 2 x3 - 7 x4 - 11 x5 ⩵ 4-5 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 2 x4 + 3 x5 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-2????
+⟨
????0
,
?4???
⟩
2)
?1???
+⟨
????
-29
,
???
-38?
,
????38
⟩
3)
???
-21?
+⟨
????
-27
,
???
-35?
,
????39
⟩
4)
????11
+⟨
???42?
,
????23
,
???
-63?
⟩
5)
-8????
+⟨
???8?
,
??-8??
⟩
687
688
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 173
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 227 000 euros hasta un valor final de
403 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **5.*****%.
2) El interés será del **6.*****%.
3) El interés será del **1.*****%.
4) El interés será del **3.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 223 287 92
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
28 y 70. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).
1) Se alcanzarán en el intervalo [-4,-1].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-4,7].
3) Se alcanzarán en el intervalo [-4,3].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [3,6].
6) Se alcanzarán en el intervalo [3,7].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-4,0].
8) Se cumplirá en los intervalos: [-4,-1] y [6,7].
689
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 12 x2 - 6 x3 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(-1 + 2 t)sen(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
2 π primeros meses del año (entre t=0 y t=2 π).
1)-2 + 6 π
2 πeuros = 2.6817 euros
2)-2 - 2 π
2 πeuros = -1.3183 euros
3)-2 + 2 π
2 πeuros = 0.6817 euros
4) -2 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -2 1 1 ), ( 2 -2 -2 -2 ), ( 1 0 0 -2 ), ( 0 -2 0 -1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
690
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 3 -2-1 1
. -4 7-3 5
=-9 16-6 10
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
9 x1 - 5 x2 - 2 x3 + 7 x4 - 2 x5 ⩵ -54 x1 + x3 - 3 x4 + x5 ⩵ -4-5 x1 + 5 x2 + 3 x3 - 10 x4 + 3 x5 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?8???
+⟨
-1????
,
????10
⟩
2)
-1????
+⟨
????
-52
,
????17
,
????-3
⟩
3)
?-2???
+⟨
????
-52
,
???4?
,
???-3?
⟩
4)
??4??
+⟨
???6?
,
????10
,
????-2
,
????-6
⟩
5)
????
-43
+⟨
????
-55
,
????15
,
???0?
⟩
691
692
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 174
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y
otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto del 3%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 7%
. Inicialmente depositamos 12 000 euros en el banco A y 7000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-ⅇx+1 + cos(x + 1) - 1 x ≤ -1x (3 + log(4)) - 2 (x + 2) log(x + 2) + 2 + log(4) -1 < x < 0sin(x) + 3 cos(x) - 1 - log(4) 0 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=0.
693
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 48 x + 12 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(4 + 2 t)log(t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 80
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 3 años.
1)221
2+ 32 Log[4] millones de euros = 154.8614 millones de euros
2)85
2+ 60 Log[6] millones de euros = 150.0056 millones de euros
3) 52 + 45 Log[5] millones de euros = 124.4247 millones de euros
4)121
2+ 32 Log[4] millones de euros = 104.8614 millones de euros
694
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 00 1 -1 -20 0 1 10 0 0 1
.
1)
? 0 1 -10 ? 1 10 0 ? -10 0 0 ?
2)
? -1 -1 10 ? 0 01 0 ? 10 0 0 ?
3)
? -1 0 -30 ? 1 20 0 ? 10 -1 0 ?
4)
? -1 0 01 ? -1 1-2 2 ? -10 0 -1 ?
5)
? 0 0 -10 ? 0 1-1 0 ? 10 1 0 ?
6)
? 0 0 -13 ? 0 -23 1 ? -2-1 0 0 ?
7)
? 0 0 0-1 ? -2 0-1 1 ? 10 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 00 1
.X + 1 -1-2 3
=0 0-3 4
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 - x2 - 4 x3 + x4 ⩵ 15 x1 - 6 x2 - 10 x3 + 4 x4 ⩵ 0-2 x1 + 3 x2 - 2 x3 - x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???0
+⟨
14???
,
?-1??
⟩
2)
??-9?
+⟨
???5
⟩
3)
8???
+⟨
?12??
,
1???
⟩
4)
??2?
+⟨
?9??
,
1???
⟩
5)
6???
+⟨
?-2??
,
???-6
,
?4??
⟩
695
696
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 175
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de
199 000 euros hasta un valor final de 366 000 euros a lo largo de 10
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **6.*****%.
2) El interés será del **4.*****%.
3) El interés será del **5.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **2.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 293 387 22
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
29 y 34. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=7).
1) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [5,6].
2) Se cumplirá en los intervalos: [0,0] y [5,6].
3) Se alcanzarán en el intervalo [1,7].
4) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [5,7].
5) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
6) Se alcanzarán en el intervalo [1,6].
7) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
8) Se alcanzarán en el intervalo [6,7].
697
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 3 x2 +x4
2
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=1 + 2 t + 3 t2 euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
4 primeros meses del año (entre t=0 y t=4).
1)3
4euros = 0.75 euros
2)7
2euros = 3.5 euros
3) 21 euros
4)39
4euros = 9.75 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 2 2 -1 1 ), ( -1 0 -2 1 ), ( -4 0 0 -1 ), ( -2 2 -1 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
698
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-1 -20 -1
.X. -1 3-2 5
-1=
5 -35 -3
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x2 + 4 x3 - 2 x4 - 3 x5 ⩵ -2-2 x1 - 5 x2 - 5 x3 - x4 - 2 x5 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
????7
+⟨
????-6
,
????
-16
,
????
-12
⟩
2)
??-1??
+⟨
???9?
,
????
-15
,
???25?
⟩
3)
????9
+⟨
???-9?
,
-5????
,
???-9?
,
???-5?
⟩
4)
??0??
+⟨
???6?
,
????
-14
,
????
-14
⟩
5)
??1??
+⟨
????-2
⟩
699
700
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 176
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 4% y en la que inicialmente depositamos 12 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
18 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-1x + x2
2 + 3 x + x2
1) -∞
2) -1
3) -2
3
4) -1
3
5) 0
6) ∞
7) 1
701
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 40 x3 - 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-6 + 4 x + 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=2.
1)142
3= 47.3333
2)148
3= 49.3333
3) 38
4)14
3= 4.6667
5)305
6= 50.8333
6)299
6= 49.8333
7)151
3= 50.3333
8)293
6= 48.8333
702
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 10 1 0 0-1 0 1 01 0 0 2
.
1)
? -2 0 00 ? 0 -10 1 ? -10 -2 0 ?
2)
? 0 0 -10 ? 0 02 0 ? -1-1 0 0 ?
3)
? -1 -1 10 ? 0 00 -1 ? 10 0 0 ?
4)
? -1 -1 10 ? 1 -10 0 ? 0-1 0 1 ?
5)
? -1 0 -2-1 ? 0 31 -1 ? -1-1 1 0 ?
6)
? 0 -1 01 ? 0 10 0 ? 00 -2 -1 ?
7)
? 0 0 0-1 ? -2 00 0 ? -1-1 0 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 11 2
. -2 51 -3
=1 -23 -7
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - 3 x2 - x3 - 4 x4 ⩵ 15 x1 - 2 x2 + x3 + 3 x4 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???10
+⟨
??-3?
,
-9???
,
-7???
⟩
2)
???4
+⟨
???4
,
???-5
⟩
3)
???5
+⟨
???1
,
???-3
⟩
4)
?1??
+⟨
???3
,
???-8
⟩
5)
?-6??
+⟨
?8??
⟩
703
704
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 177
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés del 4% compuesto en 8 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 7%
. Inicialmente depositamos 13 000 euros en el banco A y 7000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
2 ⅇx+2 - cos(x + 2) + 2 x ≤ -2
-x2
4+ x + 6 -2 < x < 0
sin(x) + 3 cos(x) + 3 0 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-2 y x=0.
705
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 6 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(3 + 6 t)(sen(2πt)+1) millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 60
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 78 -6
πmillones de euros = 76.0901 millones de euros
2) 66 -3
πmillones de euros = 65.0451 millones de euros
3) 96 -9
πmillones de euros = 93.1352 millones de euros
4) 60 +3
πmillones de euros = 60.9549 millones de euros
706
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 00 1 0 0-1 0 2 0-1 0 2 1
.
1)
? -1 -1 0-1 ? 0 04 -2 ? 02 -1 0 ?
2)
? -1 1 2-2 ? -1 -11 -1 ? 2-2 1 -1 ?
3)
? 0 -1 -10 ? 0 -10 0 ? 00 -1 0 ?
4)
? 0 1 00 ? 0 01 0 ? 00 0 -1 ?
5)
? 0 -1 13 ? -2 1-1 0 ? 10 0 0 ?
6)
? 0 -1 30 ? 0 0-1 0 ? -20 1 2 ?
7)
? 0 0 -10 ? 0 -10 0 ? -20 1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 0 1-1 -1
. 1 -33 -8
-1=
6 -2-14 5
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 + 2 x2 + x3 - 3 x4 ⩵ -4x1 + 4 x2 + 3 x3 - 8 x4 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???6
+⟨
???1
,
??7?
⟩
2)
?0??
+⟨
??5?
,
???2
⟩
3)
?2??
+⟨
1???
,
???-1
,
-10???
⟩
4)
???5
+⟨
??8?
,
???-6
,
??2?
,
???-5
⟩
5)
???6
+⟨
???-1
,
??7?
⟩
707
708
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 178
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés del 5% compuesto en 6 períodos
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 9%
. Inicialmente depositamos 14 000 euros en el banco A y 9000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-sin(x) - 2 cos(x) x ≤ 01
2(x - 2) x - 1 0 < x < 1
-3
21 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0 y x=1.
709
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 12 x - 9 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(1 + t)log(5 t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 50
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 5 años.
1)173
4-3 Log[5]
2+ 12 Log[20] millones de euros = 76.7846 millones de euros
2)105
4-3 Log[5]
2+ 24 Log[30] millones de euros = 105.4646 millones de euros
3) 40 -3 Log[5]
2+35 Log[25]
2millones de euros = 93.9162 millones de euros
4)145
4-3 Log[5]
2+ 24 Log[30] millones de euros = 115.4646 millones de euros
710
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
0 -1 0 -1-2 3 0 -21 -2 1 01 -1 0 1
.
1)
? -3 -1 -20 ? -1 10 0 ? 01 -2 0 ?
2)
? -2 0 10 ? 0 01 -1 ? 11 -2 1 ?
3)
? -2 1 2-4 ? -2 -41 -2 ? 11 -2 1 ?
4)
? 2 0 50 ? 0 2-1 0 ? -1-1 -1 0 ?
5)
? 0 -2 -10 ? 1 00 0 ? 01 0 1 ?
6)
? 0 -1 00 ? 0 -1-1 0 ? 00 0 0 ?
7)
? 0 0 00 ? 0 11 -1 ? -10 1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
3 1-1 0
-1.X +
-1 -41 3
=-1 -52 7
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -1* *
4) * 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + 4 x2 - 2 x3 - 5 x4 ⩵ 2-5 x1 + 2 x2 - x3 - 4 x4 ⩵ -52 x1 - 2 x2 + x3 + 3 x4 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??0?
2)
?2??
+⟨
??10?
,
??0?
⟩
3)
??2?
+⟨
??-3?
⟩
4)
??
-11?
+⟨
???-3
,
???0
⟩
5)
??
-13?
+⟨
???-5
,
??4?
⟩
711
712
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 179
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan
desde un valor inicial de 129 000 euros hasta un valor final de
450 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **9.*****%.
2) El interés será del **3.*****%.
3) El interés será del **0.*****%.
4) El interés será del **4.*****%.
5) El interés será del **1.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 302 225 40
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
24 y 30. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=5).
1) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
2) Se alcanzarán en el intervalo [0,0].
3) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [4,5].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
5) Se alcanzarán en el intervalo [3,5].
6) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [3,4].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-2,4].
8) Se alcanzarán en el intervalo [0,5].
713
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(9 + 9 t)(sen(2πt)+2) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).
1)1
7567 -
63
2 πeuros = 79.5676 euros
2)1
727 -
9
2 πeuros = 3.6525 euros
3)1
7-9 +
9
2 πeuros = -1.0811 euros
4)1
772 -
9
πeuros = 9.8765 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 0 -1 -2 ), ( 1 0 -2 1 ), ( -2 -1 -2 1 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
714
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 1-1 0
.X. 1 -20 1
=1 -20 -1
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
* -1* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 + 2 x2 - 2 x3 - 3 x4 + 8 x5 ⩵ -3-x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 - 3 x5 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-1??
+⟨
????-5
,
???21?
,
????
-15
⟩
2)
??-2??
+⟨
???-3?
,
????10
,
????
-16
⟩
3)
?2???
4)
????3
+⟨
????-2
,
???22?
,
???
-46?
⟩
5)
????-9
+⟨
?-1???
,
??-9??
,
??5??
,
?9???
⟩
715
716
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 180
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 5% compuesto en 2 períodos y en la que inicialmente depositamos 11 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
20 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 1432 994 63
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 24.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue -1.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 20.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 17.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 12.
717
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 120 x + 30 x2 - 60 x3 - 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
4 + 2 x - 2 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=0.
1) 97
2)195
2= 97.5
3)193
2= 96.5
4) 95
5) 96
6)265
3= 88.3333
7) 93
8)191
2= 95.5
718
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 1 01 0 -1 00 0 1 0-1 0 0 1
.
1)
? -2 2 11 ? -4 -30 0 ? 00 -1 2 ?
2)
? 1 1 0-1 ? 2 00 0 ? 00 1 1 ?
3)
? -1 0 -10 ? 0 1-1 0 ? -11 1 -1 ?
4)
? -1 0 0-1 ? -1 01 -2 ? 0-3 4 -1 ?
5)
? -1 1 1-1 ? 0 00 0 ? -20 0 1 ?
6)
? -1 1 11 ? 1 01 0 ? 01 0 1 ?
7)
? 0 0 -12 ? 0 -20 0 ? 00 1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -12 -1
-1.X +
1 -2-1 3
=0 60 9
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-4 x1 + x2 - 4 x3 - 4 x4 ⩵ 23 x1 - x2 + x3 + x4 ⩵ 4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
-3???
+⟨
-4???
,
?-5??
⟩
2)
??9?
3)
??1?
+⟨
-4???
,
?-6??
⟩
4)
??10?
5)
??0?
+⟨
-3???
,
-3???
⟩
719
720
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 181
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 5% y en la que inicialmente depositamos 5000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
13 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0-x + Sin[x]
x3
1) -1
6
2) -2
3) -2
3
4) 1
5) ∞
6) 0
7) -∞
721
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 480 x + 120 x2 - 120 x3 - 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-2 x - x2 y el eje horizontal entre los puntos x=1 y x=4.
1) 38
2)79
2= 39.5
3) 36
4)81
2= 40.5
5)75
2= 37.5
6) 39
7) 41
8) 42
722
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 0 11 0 0 10 0 0 -10 0 1 1
.
1)
? -3 -2 0-6 ? -3 07 5 ? 0-1 0 0 ?
2)
? 1 1 0-1 ? 0 00 0 ? 10 0 -1 ?
3)
? -1 1 00 ? -1 -10 0 ? 00 -1 1 ?
4)
? 0 -2 13 ? -3 01 1 ? -11 0 -1 ?
5)
? 0 -1 00 ? 0 00 1 ? 1-1 -1 0 ?
6)
? 0 -1 10 ? 0 01 1 ? -10 1 0 ?
7)
? 0 0 0-2 ? 1 0-1 -1 ? 0-1 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - -1 -41 3
. 4 -3-1 1
=-5 5-4 2
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 - x2 + 5 x3 - 5 x4 ⩵ -12 x1 + x2 - 5 x3 - x4 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???-2
+⟨
?3??
,
?-13??
⟩
2)
-7???
+⟨
-2???
⟩
3)
?3??
+⟨
?8??
,
5???
⟩
4)
??10?
+⟨
???0
,
??7?
,
??5?
⟩
5)
-4???
+⟨
?5??
,
?-11??
⟩
723
724
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 182
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 6% y en la que inicialmente depositamos 7000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
12 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0-1 + ⅇx
3
- x3
x4
1) -2
2) 1
3) -1
2
4) 0
5) ∞
6) -1
7) -∞
725
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 + 240 x2 - 80 x3 - 30 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
2 + 3 x + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=4.
1)81
2= 40.5
2)245
6= 40.8333
3)211
3= 70.3333
4)425
6= 70.8333
5)431
6= 71.8333
6)407
6= 67.8333
7)208
3= 69.3333
8)419
6= 69.8333
726
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 0 0-2 1 0 02 0 1 -1-1 0 0 1
.
1)
? 0 0 02 ? 0 0-1 0 ? 11 0 0 ?
2)
? -2 0 11 ? 0 0-2 -3 ? 10 -1 0 ?
3)
? -2 1 0-3 ? 2 1-3 -2 ? 12 1 -1 ?
4)
? -1 -1 00 ? 0 00 1 ? 00 1 0 ?
5)
? -1 0 -1-3 ? 0 4-1 0 ? 1-2 2 -1 ?
6)
? -1 0 01 ? 0 11 0 ? 01 -1 0 ?
7)
? -1 1 11 ? 0 13 0 ? 10 -1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
5 22 1
.X - 0 -11 1
=-9 -2-4 -1
1) 0 *
* * 2)
1 *
* * 3)
* -2* *
4) * 0* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 - 7 x2 - 8 x3 ⩵ -2-5 x1 + 12 x2 - 4 x3 + x4 ⩵ 1-8 x1 + 19 x2 + 4 x3 + x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???0
+⟨
?52??
,
?-3??
⟩
2)
-20???
+⟨
122???
,
?-1??
⟩
3)
??1?
+⟨
?49??
,
?-6??
⟩
4)
?-8??
5)
???6
727
728
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 183
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto continuamente del 1%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés del 4% compuesto en 10 períodos
. Inicialmente depositamos 7000 euros en el banco A y 2000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-2 ⅇx-3 + sin(3) sin(x) + cos(3) cos(x) + 4 x ≤ 3
x2 - 8 x + 23 3 < x < 4cos(4 - x) + 6 4 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=4.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=3 y x=4.
729
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 6 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(2 + 4 t)log(t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 20
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 4 años.
1) -1 + 40 Log[4] millones de euros = 54.4518 millones de euros
2) -25 + 84 Log[6] millones de euros = 125.5078 millones de euros
3) -12 + 60 Log[5] millones de euros = 84.5663 millones de euros
4) -2 + 60 Log[5] millones de euros = 94.5663 millones de euros
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 0 10 1 0 01 -1 1 10 1 0 1
.
1)
? -2 0 0-1 ? 0 01 -2 ? 00 2 -1 ?
2)
? -1 -1 -10 ? 1 -10 1 ? 00 0 0 ?
3)
? 0 0 -10 ? 0 0-1 2 ? 00 -1 0 ?
4)
? -1 0 -1-1 ? 0 00 0 ? 00 1 0 ?
5)
? -1 0 02 ? 0 10 0 ? 00 0 0 ?
6)
? -1 1 0-1 ? 0 10 -1 ? 00 1 0 ?
7)
? 0 0 0-2 ? 0 -11 1 ? -12 -1 0 ?
730
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
4 -711 -19
.X + 1 02 1
=4 -710 -18
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
4 x1 + 5 x3 - 8 x4 ⩵ -3-9 x1 + x2 + 7 x3 - 11 x4 ⩵ 4-5 x1 + x2 + 12 x3 - 19 x4 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???43
+⟨
???70
,
???-8
⟩
2)
?3??
+⟨
??117?
,
???-8
⟩
3)
???8
4)
?0??
+⟨
???73
,
???-5
⟩
5)
??3?
731
732
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 184
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 3%, en la que pasados 2 años se pasa a ofrecer un
interés del 2% compuesto en 11 períodos. Inicialmente depositamos
15 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→-28 x + 12 x2 + 6 x3 + x4
4 + 8 x + 5 x2 + x3
1) -1
2) -1
2
3) 0
4) -∞
5) -2
6) 1
7) ∞
733
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 10 x4 + 3 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 2 a
0
(15 - 16 a + 16 t - 28 a t + 21 t2 - 12 a t2 + 8 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) El resto de las soluciones son incorrectas
2) -30
3) -39
4) -26
5) -14
6) -17
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 6 4 8 -6 ) es combinación lineal de la uplas
( 0 -1 1 0 ), ( -2 -1 -3 2 ), ( -4 -4 -4 4 ), ( -2 -2 -2 2 ), ( -2 -3 -1 2 ),
1) Si 2) No
734
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
3 7-1 -2
.X - 1 10 1
=2 3-1 -2
1) 1 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - 2 x2 - 8 x4 - 5 x5 ⩵ -2-2 x1 - 5 x2 + 2 x3 + 5 x4 + 3 x5 ⩵ -5-4 x1 - 7 x2 + 2 x3 - 3 x4 - 2 x5 ⩵ -7
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
0????
+⟨
????
-26
,
????
-50
,
???
-10?
⟩
2)
????53
+⟨
????
-29
,
???33?
,
???-9?
⟩
3)
????-7
+⟨
????-7
,
????6
,
??2??
,
??7??
⟩
4)
?-3???
+⟨
-9????
,
???10?
,
??7??
,
???-4?
⟩
5)
????49
+⟨
????
-27
,
????
-51
,
????18
⟩
735
736
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 185
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 395 000 euros hasta un valor final de
146 000 euros a lo largo de 9 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto cuatrimestralmente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **5.*****%.
3) El interés será del **6.*****%.
4) El interés será del **8.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=-sin(x) + cos(x) + 3 x ≤ 0x (-(3 + log(2))) + (x + 1) log(x + 1) + 4 0 < x < 12 sin(1 - x) - 2 cos(1 - x) + 3 + log(2) 1 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=1.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0 y x=1.
737
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=3 + t + 3 t2 euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
7 primeros meses del año (entre t=0 y t=7).
1)81
14euros = 5.7857 euros
2)111
2euros = 55.5 euros
3)16
7euros = 2.2857 euros
4)9
14euros = 0.6429 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 -2 1 2 -1 ), ( -2 -2 0 0 -1 ), ( 1 -1 2 1 -2 ), ( -4 -4 0 0 -2 ), ( 0 0 2 1 2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
738
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 -1-3 2
.X. -1 2-1 1
=-3 45 -7
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
0 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + 3 x2 - 4 x3 - x4 + 2 x5 ⩵ -5-4 x1 - x2 - 2 x3 - x4 + x5 ⩵ -2-8 x1 - 7 x2 + 6 x3 + x4 - 3 x5 ⩵ 8
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-7???
+⟨
???4?
⟩
2)
0????
+⟨
????-6
,
???-5?
,
???0?
⟩
3)
?-3???
+⟨
????-8
,
????-7
,
????1
⟩
4)
-8????
+⟨
-5????
⟩
5)
???2?
+⟨
????-9
,
???-8?
,
???2?
⟩
739
740
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 186
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés compuesto del 10%, mientras que en la del banco B tenemos un
interés del 5% compuesto en 2 períodos
. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 14 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
Ejercicio 2
Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
-2 sin(x) - cos(x) + 1 x ≤ 03 x2
4- 2 x + 1 0 < x < 2
4 (x - 2) - 3 (x - 1) log(x - 1) 2 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=2.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0 y x=2.
741
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 12 x - 9 x2 + 2 x3
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(1 + 2 t)log(t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 70
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 5 años.
1)119
2+ 20 Log[4] millones de euros = 87.2259 millones de euros
2)135
2+ 42 Log[6] millones de euros = 142.7539 millones de euros
3) 54 + 30 Log[5] millones de euros = 102.2831 millones de euros
4)95
2+ 42 Log[6] millones de euros = 122.7539 millones de euros
742
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 1 10 1 0 00 -1 1 00 -1 -1 1
.
1)
? -2 1 00 ? -1 00 -3 ? 02 -3 3 ?
2)
? -1 -1 01 ? 0 -11 -2 ? 00 1 -1 ?
3)
? -3 -2 -10 ? 0 00 1 ? 00 2 1 ?
4)
? -1 0 -10 ? 0 11 0 ? -1-1 0 -2 ?
5)
? -1 0 11 ? 0 10 -1 ? 10 0 0 ?
6)
? -1 0 21 ? 0 -31 0 ? -2-1 -1 0 ?
7)
? 0 0 -10 ? 1 -10 -1 ? 10 1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + -1 3-1 2
. 0 -11 2
=3 82 6
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -2* *
4) * 0* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-7 x1 - 4 x2 + 3 x3 + 5 x4 ⩵ -5-12 x1 - 7 x2 + 5 x3 - 4 x4 ⩵ 3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-1?
+⟨
0???
,
?-91??
⟩
2)
?-78??
+⟨
-1???
,
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4)
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1???
,
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⟩
743
744
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 187
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés del 2% compuesto en 7 períodos, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés del 4% compuesto en 12 períodos. Inicialmente depositamos
5000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
10 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
Ejercicio 2Una factoría fabrica cierto tipo de dispositivos. El coste marginal (coste
de fabricar una unidad) se reduce cuando producimos grandes cantidades
de dispositivos y viene dado por la función C(x)=4 + 8 x + x2 + 3 x3 + 6 x4
5 + 2 x + 7 x2 + 6 x3 + x4
. Determinar el coste por unidad esperado cuando se producen grandes cantidades de unidades.
1) 17 000
2) -∞
3)303
50
4) 6
5) -1
6) ∞
7) 0
745
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 120 x2 - 80 x3 - 15 x4 + 6 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 2
4
(4 - 4 t + a t
-t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el parámetro
a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 1.09861
2) 1.14451
3) 1.24381
4) El resto de las soluciones son incorrectas
5) 0.971712
6) 1.56311
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -7 -5 5 ) es combinación lineal de la uplas
( -3 -1 1 ), ( 1 0 0 ), ( -2 -1 1 ), ( -4 -2 2 ), ( -1 -1 1 ),
1) Si 2) No
746
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 3 -2-1 1
. 3 27 5
=-2 -211 8
1) 1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* -1* *
4) * 1* *
5) * 2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 2 x2 + 2 x3 + 6 x4 - 6 x5 ⩵ 0-x1 + 2 x2 + 4 x4 ⩵ -4-2 x1 + 3 x2 - x3 + x4 + 3 x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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,
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⟩
2)
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3)
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5)
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,
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747
748
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 188
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 2% y en la que inicialmente depositamos 13 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
19 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 1302 744 34
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 9.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue -2.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 8.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 2.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 10.
749
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 60 x2 + 100 x3 - 60 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
6 + 9 x + 3 x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-4 y x=-1.
1) 19
2) 18
3)37
2= 18.5
4)35
2= 17.5
5) 16
6)29
2= 14.5
7)33
2= 16.5
8) 17
750
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -2 0 11 1 1 01 0 1 00 -1 0 1
.
1)
? -2 2 11 ? 1 10 -1 ? 01 0 1 ?
2)
? -1 -1 00 ? 0 0-3 0 ? 00 1 -1 ?
3)
? -1 0 00 ? 0 00 0 ? -10 0 1 ?
4)
? 1 -1 -10 ? -1 0-1 -1 ? 10 1 -1 ?
5)
? -1 0 10 ? 0 -10 0 ? 10 1 0 ?
6)
? -1 1 00 ? 0 0-1 -1 ? 00 3 -1 ?
7)
? -1 1 01 ? 0 10 -1 ? -10 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 1-1 0
-1.X. 1 2
0 1-1=
0 -10 0
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* -2* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + 4 x2 + x3 + x4 ⩵ -35 x1 + 5 x2 + x3 + 2 x4 ⩵ 0-4 x1 - 7 x2 - 2 x3 - x4 ⩵ 9
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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+⟨
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,
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⟩
2)
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+⟨
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,
???-1
⟩
3)
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+⟨
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,
??0?
⟩
4)
4???
+⟨
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,
-3???
,
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⟩
5)
-3???
+⟨
-7???
,
???6
,
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⟩
751
752
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 189
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 484 000 euros hasta un valor final de
210 000 euros a lo largo de 7 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto continuamente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **8.*****%.
2) El interés será del **5.*****%.
3) El interés será del **1.*****%.
4) El interés será del **0.*****%.
5) El interés será del **6.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 102 64 10
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
7 y 16. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=4).
1) Se cumplirá en los intervalos: [0,1] y [3,4].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-2,5].
3) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,4].
5) Se alcanzarán en el intervalo [3,4].
6) Se alcanzarán en el intervalo [0,3].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-2,3].
8) Se alcanzarán en el intervalo [4,4].
753
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 + 24 x2 + 16 x3 + 5 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=10 ⅇ1+2 t euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
9 primeros meses del año (entre t=0 y t=9).
1)1
9-5 ⅇ + 5 ⅇ
19 euros = 9.9157×107 euros
2)1
9-5 ⅇ + 5 ⅇ
5 euros = 80.9416 euros
3)1
9
5
ⅇ- 5 ⅇ euros = -1.3058 euros
4)1
9-5 ⅇ + 5 ⅇ
3 euros = 9.6485 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 2 -2 0 -2 0 ), ( -3 1 0 2 -1 ), ( -3 0 -2 4 -2 ), ( -1 -1 0 0 -1 ), ( -1 -2 -2 2 -2 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
754
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-3 4-4 5
.X. -1 1-2 1
=7 -49 -5
1) 0 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * 0* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 - 5 x2 + x3 - 7 x4 - 3 x5 ⩵ -14 x1 + 5 x2 - 2 x3 - 9 x4 - 4 x5 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???-5?
2)
????2
+⟨
-6????
,
????-3
⟩
3)
??-2??
+⟨
???-5?
,
???
-32?
,
???12?
⟩
4)
???2?
+⟨
???-2?
,
????77
,
???8?
⟩
5)
????-9
+⟨
???-4?
,
????80
,
???10?
⟩
755
756
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 190
Ejercicio 1Ciertos terrenos se revalorizan desde un valor inicial de
109 000 euros hasta un valor final de 357 000 euros a lo largo de 8
años. Determinar cuál es el tipo de interés anual compuesto de esa revalorización.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **3.*****%.
2) El interés será del **7.*****%.
3) El interés será del **5.*****%.
4) El interés será del **9.*****%.
5) El interés será del **0.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 02 164 56
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la
función que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que
la legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre
5 y 33. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=4).
1) Se alcanzarán en el intervalo [0,1].
2) Se alcanzarán en el intervalo [-11
3,0].
3) Se alcanzarán en el intervalo [1,3].
4) Se alcanzarán en el intervalo [-11
3,4].
5) Se alcanzarán en el intervalo [1,4].
6) Se cumplirá en los intervalos: [-11
3,-
5
3] y [3,4].
7) Se alcanzarán en el intervalo [-11
3,1].
8) Se alcanzarán en el intervalo [-11
3,-
5
3].
757
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 24 x2 + 16 x3 + 5 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(2 + 8 t)sen(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
2 π primeros meses del año (entre t=0 y t=2 π).
1)4 - 8 π
2 πeuros = -3.3634 euros
2)4 + 8 π
2 πeuros = 4.6366 euros
3)4 + 24 π
2 πeuros = 12.6366 euros
4) -8 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( -1 0 -2 -1 ), ( 1 -1 0 -1 ), ( 1 1 -2 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
758
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
-2 -11 0
-1.X +
-4 -95 11
=4 10-5 -10
1) 1 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* 1* *
4) * *
-2 * 5)
* *
0 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - x2 - 3 x4 - x5 ⩵ -15 x1 + 2 x2 - x3 - 2 x4 + 3 x5 ⩵ 5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
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+⟨
??3??
⟩
2)
???0?
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1????
,
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,
-1????
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3)
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?-17???
,
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4)
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+⟨
?-3???
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?-20???
,
2????
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5)
???6?
+⟨
1????
,
?-2???
,
4????
,
?9???
⟩
759
760
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 191
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto continuamente del 4%, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés compuesto continuamente del 4%. Inicialmente depositamos
12 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
5 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****4.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 91 342 57
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 5.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 13.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue -1.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 178.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 114.
761
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=2 - 120 x2 + 80 x3 - 15 x4 - 6 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 2 a
4
(9 + 36 a - 36 t - 56 a t + 42 t2 + 18 a t2 - 12 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 63
2) 73
3) 62
4) El resto de las soluciones son incorrectas
5) 61
6) 60
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -5 0 -9 6 ) es combinación lineal de la uplas
( -1 0 1 -1 ), ( -2 -1 0 3 ), ( 1 2 -2 -1 ), ( -1 1 -2 2 ), ( -2 -2 3 0 ),
1) Si 2) No
762
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - -3 -1-5 -2
. -1 2-1 1
=-2 4-7 12
1) -2 *
* * 2)
0 *
* * 3)
-1 *
* * 4)
* -2* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-2 x1 - 4 x2 - x3 + x4 - 2 x5 ⩵ 2-4 x1 - 4 x2 + 4 x3 - x4 + 3 x5 ⩵ -5-6 x1 - 8 x2 + 3 x3 + x5 ⩵ -3
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
0????
+⟨
???14?
,
????8
,
????-3
⟩
2)
-2????
+⟨
????
-10
,
??3??
,
???-6?
,
????-8
⟩
3)
1????
+⟨
???12?
,
????10
,
????-1
⟩
4)
????-2
+⟨
???13?
,
????5
,
????-2
⟩
5)
?-2???
+⟨
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,
???6?
⟩
763
764
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 192
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés del 2% compuesto en 10 períodos y en la que inicialmente depositamos 5000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
12 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **3.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0
-1 + ⅇx - x -x2
2-
x3
6
x4
1) -2
3
2) ∞
3)1
24
4) -∞
5) 1
6) -2
7) 0
765
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 120 x2 + 160 x3 + 75 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
-2 - x + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=0 y x=5.
1)88
3= 29.3333
2)155
6= 25.8333
3)173
6= 28.8333
4)91
3= 30.3333
5)115
6= 19.1667
6)167
6= 27.8333
7)191
6= 31.8333
8)185
6= 30.8333
766
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 -1 0-1 1 1 0-1 -3 2 20 -1 0 1
.
1)
? -1 0 20 ? 0 00 0 ? 00 -2 0 ?
2)
? -1 1 -11 ? 0 00 0 ? 01 1 -1 ?
3)
? -1 1 00 ? 1 00 -1 ? 00 -2 2 ?
4)
? 1 1 -21 ? 0 02 1 ? -21 1 0 ?
5)
? 0 -1 -1-1 ? 1 20 0 ? 10 0 0 ?
6)
? 0 -1 0-2 ? 1 1-1 0 ? 0-5 3 0 ?
7)
? 0 -1 00 ? -1 00 -1 ? 00 1 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 00 1
.X - 4 -3-1 1
=-3 30 -1
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
0 *
* * 4)
1 *
* * 5)
* -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-x1 + 3 x2 + x3 - 3 x4 ⩵ -4x1 - 2 x2 + 6 x3 - 5 x4 ⩵ -4-3 x1 + 8 x2 - 4 x3 - x4 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-8??
+⟨
-20???
,
?8??
⟩
2)
?8??
3)
???
-10
+⟨
3???
,
?-3??
,
?5??
⟩
4)
-23???
+⟨
?-10??
,
?6??
⟩
5)
?-7??
+⟨
-19???
,
?11??
⟩
767
768
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 193
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 1% y en la que inicialmente depositamos 15 000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
17 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 381 272 18
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad mínima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El mínimo de los fondos en cuenta fue 15.
2) El mínimo de los fondos en cuenta fue 9.
3) El mínimo de los fondos en cuenta fue 0.
4) El mínimo de los fondos en cuenta fue 6.
5) El mínimo de los fondos en cuenta fue 2.
769
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 + 480 x - 120 x2 - 120 x3 + 15 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
2 - 3 x + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=-5 y x=3.
1)187
2= 93.5
2) 94
3)189
2= 94.5
4) 93
5)268
3= 89.3333
6) 89
7) 91
8)185
2= 92.5
770
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 1 2 10 1 -1 00 0 1 01 2 4 2
.
1)
? 0 0 -10 ? 1 00 0 ? 0-1 -1 -3 ?
2)
? -1 -1 10 ? -1 -10 0 ? 10 0 2 ?
3)
? -1 0 -10 ? 0 1-3 0 ? 00 -1 0 ?
4)
? 0 -1 0-1 ? 1 00 -1 ? 0-1 0 1 ?
5)
? 0 -1 00 ? 0 01 1 ? 0-1 0 2 ?
6)
? 0 0 -1-1 ? 0 10 0 ? 00 1 0 ?
7)
? 0 0 -10 ? 1 10 0 ? 10 0 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 1
-1.X -
1 -10 1
=-2 2-1 -1
1) -1 *
* * 2)
0 *
* * 3)
* -2* *
4) * -1* *
5) * 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 2 x3 + x4 ⩵ -1-4 x1 + x2 - 3 x3 - x4 ⩵ -2-10 x1 + x2 + x3 + x4 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??10?
+⟨
??10?
,
??8?
,
?8??
,
?8??
⟩
2)
-3???
+⟨
???20
,
???0
⟩
3)
???7
4)
??3?
+⟨
???17
,
???-2
⟩
5)
???
-10
+⟨
???16
,
???-3
⟩
771
772
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 194
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 7%, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés del 4% compuesto en 12 períodos. Inicialmente depositamos
12 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
8 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****2.***** euros.
Ejercicio 2El balance en cierta cuenta de inversión varía de un año a
otro alternando períodos de pérdidas con otros de ganancias. Tenemos
los siguientes datos sobre la liquidez en la cuenta en diferentes años:
año fondos0 52 134 5
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función que proporciona los
fondos en la cuenta en cada año t. Emplear dicha función para calcular cuál fue
la cantidad máxima de fondos disponibles de que dispuso el fondo de inversión.
1) El máximo de los fondos en cuenta fue 4.
2) El máximo de los fondos en cuenta fue 13.
3) El máximo de los fondos en cuenta fue -19.
4) El máximo de los fondos en cuenta fue 2.
5) El máximo de los fondos en cuenta fue 20.
773
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=1 - 20 x3 - 15 x4 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular 3
4
(-8 a + t + 4 a t
-2 t + t2)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece el parámetro
a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 0.788228
2) El resto de las soluciones son incorrectas
3) 1.00263
4) 1.08073
5) 0.351128
6) 1.15073
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( -3 0 1 ) es combinación lineal de la uplas
( 2 0 1 ), ( -2 4 -4 ), ( -1 2 -2 ), ( 2 1 -2 ), ( -3 2 -3 ),
1) Si 2) No
774
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X - 1 01 1
. 5 -2-2 1
-1=
-2 -50 0
1) -2 *
* * 2)
2 *
* * 3)
* 0* *
4) * 1* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-5 x1 + x2 + 3 x3 + 5 x4 + 4 x5 ⩵ -8x1 + 3 x2 + x3 + 3 x4 + 2 x5 ⩵ 0-x1 + 5 x2 + 3 x3 + 7 x4 + 5 x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
primeras variables y despejando las últimas (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de derecha a izquierda)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
7????
2)
0????
+⟨
???-7?
,
????6
,
????-2
⟩
3)
?-7???
+⟨
?-3???
,
????0
,
????-5
,
?7???
⟩
4)
?-1???
+⟨
????12
,
????5
,
???-1?
⟩
5)
?3???
+⟨
???
-10?
,
???-4?
,
???0?
⟩
775
776
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 195
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una en el banco A y otra en el
banco B. En el banco A nos ofrecen un interés compuesto continuamente del 5%
, mientras que en la del banco B tenemos un interés compuesto del 10%
. Inicialmente depositamos 8000 euros en el banco A y 3000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **1.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→∞2 + x + 5 x2 + 7 x3
4 - 9 x + 5 x2 + 7 x3
5+7 x+2 x2
1) 1
2)1
ⅇ
3) -∞
4) 0
5)1
ⅇ4
6) ⅇ20/7
7) ∞
777
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 - 24 x - 18 x2 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=20 ⅇ3+3 t millones de euros/año.
Si inicialmente el capital del fondo de inversión era de 70
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados 3 años.
1) 70 -20 ⅇ3
3+20 ⅇ12
3millones de euros = 1.085×106 millones de euros
2) 70 -20 ⅇ3
3+20 ⅇ6
3millones de euros = 2625.6217 millones de euros
3) 70 -20 ⅇ3
3+20 ⅇ9
3millones de euros = 53956.6559 millones de euros
4)230
3-20 ⅇ3
3millones de euros = -57.2369 millones de euros
778
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 1 10 0 -1 -1-1 -1 -1 -10 1 2 1
.
1)
? -1 0 00 ? 0 10 0 ? 2-1 1 0 ?
2)
? 1 0 0-1 ? -1 01 1 ? 1-1 -2 -1 ?
3)
? -1 2 -20 ? 0 00 0 ? -1-1 0 -1 ?
4)
? 0 -2 21 ? -1 20 0 ? 10 0 -1 ?
5)
? 0 -1 -10 ? 0 00 -1 ? 0-1 0 1 ?
6)
? 0 -1 00 ? 0 -40 0 ? 30 0 1 ?
7)
? 0 -1 10 ? 0 00 -1 ? 00 0 -1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
0 1-1 0
-1.X. -1 0
1 -1-1=
0 01 1
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
* 0* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-3 x1 + 2 x2 - 5 x3 - 8 x4 ⩵ 6x1 - x2 + x3 + 5 x4 ⩵ -42 x1 - x2 + 4 x3 + 3 x4 ⩵ -2
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??0?
+⟨
?-2??
,
?7??
⟩
2)
0???
+⟨
?-3??
,
1???
⟩
3)
?-1??
+⟨
??-2?
⟩
4)
???-1
+⟨
-5???
,
1???
⟩
5)
9???
779
780
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 196
Ejercicio 1Disponemos de dos cuentas bancarias, una
en el banco A y otra en el banco B. En el banco A nos ofrecen un
interés del 7% compuesto en 9 períodos, mientras que en la del banco B tenemos un
interés compuesto continuamente del 3%
. Inicialmente depositamos 5000 euros en el banco A y 14 000
en el B. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en ambas cuentas se iguale?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **6.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **5.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **7.***** años.
Ejercicio 2Estudiar la derivabilidad de la función f(x)=
2 sin(x + 1) - cos(x + 1) - 3 x ≤ -1
-sin(x + 1) + cos(x + 1) + x sin(1) + cos(1) - 4 + sin(1) + cos(1) -1 < x < 0
cos(x) - 5 + 2 cos(1) 0 ≤ x
1) Es derivable en todos los puntos.
2) No es derivable en ningún punto.
3) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1.
4) Es derivable en todos los puntos excepto en x=0.
5) Es derivable en todos los puntos excepto en x=-1 y x=0.
781
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=3 + 24 x2 - 16 x3 + 3 x4
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4El saldo en la cuenta de cierto gran fondo de inversión varía de
una año a otro estándo la velocidad de variación determinada por la función
v(t)=(1 + 3 t)log(4 t) millones de euros/año.
Si en el año t=1 el capital del fondo de inversión era de 90
millones de euros, calcular los fondos disponibles pasados (con respecto a t=1) 4 años.
1)235
4-5 Log[4]
2+ 60 Log[24] millones de euros = 245.9675 millones de euros
2) 98 -5 Log[4]
2+85 Log[20]
2millones de euros = 221.8529 millones de euros
3)303
4-5 Log[4]
2+ 28 Log[16] millones de euros = 149.9167 millones de euros
4) 68 -5 Log[4]
2+85 Log[20]
2millones de euros = 191.8529 millones de euros
782
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 -1 0 -10 1 0 00 -1 1 -11 -1 -1 1
.
1)
? -1 -1 -2-1 ? 0 00 0 ? -1-1 2 1 ?
2)
? 2 1 10 ? 0 0-1 2 ? 1-1 1 1 ?
3)
? -1 0 -10 ? -2 00 0 ? 00 0 0 ?
4)
? -1 0 -10 ? 0 10 1 ? 10 1 0 ?
5)
? -1 0 01 ? 0 -10 0 ? 1-2 2 0 ?
6)
? -1 1 0-1 ? -2 -20 0 ? 10 0 1 ?
7)
? 0 -1 00 ? 0 -11 -2 ? -10 0 1 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 10 1
.X - 3 -11 0
=-3 00 0
1) -1 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
-10 x1 - 6 x2 - 6 x3 - 8 x4 ⩵ 6-3 x1 - 2 x2 - 4 x3 - 5 x4 ⩵ 42 x1 + x2 - x3 - x4 ⩵ 1
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
9???
+⟨
9???
,
8???
⟩
2)
??0?
+⟨
6???
,
?-13??
⟩
3)
0???
+⟨
-3???
,
-4???
,
???3
,
???8
⟩
4)
?-14??
+⟨
?-8??
,
?-16??
⟩
5)
???-4
+⟨
?-10??
⟩
783
784
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 197
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 3%, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés del 5% compuesto en 5 períodos. Inicialmente depositamos
13 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
3 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****1.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****5.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****8.***** euros.
Ejercicio 2A partir de un capital inicial de 11000, el interés en cierta cuenta varía
de un año a otro de modo que el capital viene dado por la función C(t)=
11 0006 - 7 t + 3 t2 - 9 t3
-5 + 3 t + 8 t2 - 9 t3
7+4 t+t2
. Determinar la tendencia de futuro calculando
el capital que podemos esperar en la cuenta pasado un gran número de años.
1) 0
2) -∞
3) 11 000 ⅇ
4) 11 000
5) ∞
6)11 000
ⅇ5
7)11 000
ⅇ2
785
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 20 x3 + 25 x4 - 12 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -a
1
(4 + 10 a + 20 t + 28 a t + 42 t2 + 15 a t2 + 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) 32
2) 13
3) 35
4) El resto de las soluciones son incorrectas
5) 24
6) 26
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 5 1 3 4 ) es combinación lineal de la uplas
( 2 2 1 1 ), ( -1 1 3 -2 ), ( 1 -3 1 2 ), ( 1 -2 -1 2 ), ( 0 -1 2 0 ), ( 0 -2 4 0 ),
1) Si 2) No
786
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
2 53 8
-1.X. 4 1
-5 -1-1=
17 12-7 -5
1) -2 *
* * 2)
1 *
* * 3)
2 *
* * 4)
* -2* *
5) * -1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
x1 + x2 - x3 - 3 x4 + 4 x5 ⩵ -13 x1 + 4 x2 - 6 x3 - 7 x4 + 5 x5 ⩵ -62 x1 + 3 x2 - 5 x3 - 4 x4 + x5 ⩵ -5
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
???0?
+⟨
-2????
,
?-2???
,
-11????
⟩
2)
??-3??
+⟨
???-5?
⟩
3)
????2
+⟨
?5???
,
?-3???
,
?5???
⟩
4)
?6???
5)
0????
+⟨
?6???
,
?0???
,
?5???
⟩
787
788
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 198
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria en la que nos ofrecen un
interés compuesto del 2% y en la que inicialmente depositamos 6000
euros. ¿Cuánto tiempo ha de pasar hasta que el capital en la cuenta alcance los
13 000 euros?
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) Tendrán que transcurrir **2.***** años.
2) Tendrán que transcurrir **8.***** años.
3) Tendrán que transcurrir **0.***** años.
4) Tendrán que transcurrir **4.***** años.
5) Tendrán que transcurrir **9.***** años.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→1
25
6- 8 x + 6 x2 - 8 x3
3+
x4
2+ Logx2
-1 + 5 x - 10 x2 + 10 x3 - 5 x4 + x5
1) -2
2) -2
3
3) -∞
4)2
5
5) 1
6) ∞
7) 0
789
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 - 120 x2 + 45 x4 + 12 x5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para encontrar los máximos y mínimos de la función, probar
con los puntos -2, -1, 0, 1, 2. Para resolver este ejercicio es preciso
determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Ejercicio 4Calcular el área encerrada por la función f(x)=
3 - 4 x + x2 y el eje horizontal entre los puntos x=2 y x=5.
1)34
3= 11.3333
2)65
6= 10.8333
3)31
3= 10.3333
4)28
3= 9.3333
5)59
6= 9.8333
6) 6
7)53
6= 8.8333
8)22
3= 7.3333
790
Ejercicio 5
Calcular la inversa de la matriz
1 0 1 -20 1 0 0-1 0 0 10 -1 -1 2
.
1)
? -1 -1 -1-2 ? 0 00 0 ? 01 0 0 ?
2)
? 1 0 10 ? 0 02 1 ? 11 1 1 ?
3)
? 0 -2 21 ? 2 -11 0 ? -2-1 0 -1 ?
4)
? 0 -1 0-1 ? 1 0-1 1 ? 10 0 0 ?
5)
? 0 -1 00 ? 1 00 0 ? 0-1 0 -1 ?
6)
? 0 -1 03 ? -1 1-1 0 ? 00 -1 0 ?
7)
? 0 0 0-1 ? 0 01 -1 ? -10 1 0 ?
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 -21 -1
.X + -2 3-1 1
=-2 2-2 3
1) 2 *
* * 2)
* 1* *
3) * 0* *
4) * *
-1 * 5)
* *
0 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + x2 - 5 x3 + 3 x4 ⩵ -33 x1 + x2 - 10 x3 + x4 ⩵ -2x1 + x2 + 5 x4 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??-3?
+⟨
?-2??
,
?-4??
⟩
2)
-2???
3)
-2???
+⟨
8???
,
3???
⟩
4)
??0?
+⟨
?-5??
,
?-7??
⟩
5)
???10
+⟨
?-4??
⟩
791
792
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 199
Ejercicio 1Ciertos terrenos se devalúan desde un valor inicial de 333 000 euros hasta un valor final de
170 000 euros a lo largo de 5 años. Determinar cuál es el tipo de
interés anual compuesto mensualmente de esa devaluación.
Atención: Para obtener resultados correctos
es preciso trabajar con al menos 5 decimales de precisión.
1) El interés será del **7.*****%.
2) El interés será del **8.*****%.
3) El interés será del **2.*****%.
4) El interés será del **3.*****%.
5) El interés será del **1.*****%.
Ejercicio 2Cierta institución pública alterna períodos de superávit con otros de endeudamiento. Tenemos
los siguientes datos sobre las cuentas de esta institución (en millones de euros):
año fondos0 124 -368 -20
Utilizar un polinomio de interpolación para reconstruir la función
que proporciona el balance de cuentas en cada año t. Sabemos que la
legislación obliga a que los fondos de la institución se sitúen entre -36
y -20. Determinar (utilizando la función reconstruida mediante el polinomio
de interpolación) durante qué años se cumple la normativa exigida dentro
del período en que disponemos de datos (es decir desde t=0 hasta t=8).
1) Se alcanzarán en el intervalo [2,6].
2) Se alcanzarán en el intervalo [2,8].
3) Se alcanzarán en el intervalo [0,2].
4) Se alcanzarán en el intervalo [0,6].
5) Se alcanzarán en el intervalo [6,8].
6) Se cumplirá en los intervalos: [0,4] y [6,8].
7) Se cumplirá en los intervalos: [2,4] y [6,8].
8) Se alcanzarán en el intervalo [2,4].
793
Ejercicio 3
Estudiar las propiedades de forma de f(x)=4 + 2 x3 - 2 x4 +3 x5
5
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4El valor de cierto paquete de acciones oscila a lo largo del
año. La siguiente función proporciona el valor de la acción en cada mes t:
V(t)=(3 - 5 t)sen(t) euros.
Calcular el valor medio que tendrá la acción a lo largo de los
3 π primeros meses del año (entre t=0 y t=3 π).
1)10
3euros = 3.3333 euros
2)6 - 5 π
3 πeuros = -1.03 euros
3)6 - 15 π
3 πeuros = -4.3634 euros
4)6 + 5 π
3 πeuros = 2.3033 euros
Ejercicio 5¿Cuántas de las uplas
( 0 -2 1 -2 ), ( 2 2 0 0 ), ( -1 0 -2 0 ),
son independientes?
1) 1 2) 2 3) 3
794
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
X + 5 -1-4 1
. 2 -1-1 1
=10 -5-12 7
1) -2 *
* * 2)
-1 *
* * 3)
1 *
* * 4)
2 *
* * 5)
* 1* *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
3 x1 + x2 - 3 x3 - 5 x5 ⩵ 4-x1 - x3 + 6 x5 ⩵ -82 x1 + x2 - 4 x3 + x5 ⩵ -4
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
??2??
+⟨
?7???
,
?3???
,
?-15???
⟩
2)
?6???
3)
8????
+⟨
?6???
,
?0???
,
?-13???
⟩
4)
7????
+⟨
????-5
⟩
5)
??-2??
+⟨
-4????
,
?3???
,
5????
⟩
795
796
Matemáticas 1 - ADE/FyCo - 2019/2020Examen final convocatoria enero para para el número de serie: 200
Ejercicio 1Disponemos de una cuenta bancaria que inicialmente ofrecen un
interés compuesto del 4%, en la que pasado 1 año se pasa a ofrecer un
interés del 7% compuesto en 8 períodos. Inicialmente depositamos
14 000 euros en la cuenta. ¿Cuál será el capital en cuenta pasados
9 años desde el comienzo de la inversión.
1) Tendremos un capital de ****7.***** euros.
2) Tendremos un capital de ****0.***** euros.
3) Tendremos un capital de ****3.***** euros.
4) Tendremos un capital de ****6.***** euros.
5) Tendremos un capital de ****9.***** euros.
Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite: limx→0
-x +x3
6+ Sin[x]
x4
1)1
3
2) -1
2
3) ∞
4) 0
5) -2
3
6) 1
7) -∞
797
Ejercicio 3Estudiar las propiedades de forma de f(x)=5 - 120 x2 + 40 x3 + 15 x4 - 12 x5 + 2 x6
para decidir cuál de las siguientes es la gráfica de dicha función.
1) 2)
3) 4)
Punto grande: máximo Punto pequeño: mínimo
Trazo claro: convexidad Trazo oscuro: concavidad
Indicación: Para resolver este ejercicio es preciso determinar los intervalos de concavidad
y convexidad de la función. Para encontrar los puntos de inflexión de la función que
separan los intervalos de concavidad y convexidad, probar con los puntos -2, -1, 0, 1, 2.
Ejercicio 4
Calcular -2 a
2
(-4 - 24 a - 24 t - 60 a t - 45 t2 - 30 a t2 - 20 t3)ⅆt
. La expresión resultante será una fórmula en la que aparece
el parámetro a. Calcular la derivada de dicha fórmula en el punto 0.
1) -276
2) -249
3) El resto de las soluciones son incorrectas
4) -275
5) -250
6) -270
Ejercicio 5Comprobar si la upla ( 8 8 8 -8 ) es combinación lineal de la uplas
( -2 -2 -2 2 ), ( -4 -4 -4 4 ),
1) Si 2) No
798
Ejercicio 6Calcular la matriz X despejando en la siguiente ecuaciones:
1 0-2 1
.X - 1 11 2
=-1 00 -3
1) -1 *
* * 2)
* -1* *
3) * 1* *
4) * 2* *
5) * *
-2 *
Ejercicio 7Encontrar la solución del sistema
2 x1 + 3 x2 + 2 x3 - 5 x4 + 5 x5 ⩵ -2-3 x1 - 4 x2 - 4 x3 - 8 x5 ⩵ 2-x1 - x2 - 2 x3 - 5 x4 - 3 x5 ⩵ 0
tomando como parámetro, si ello fuera necesario, las
últimas variables y despejando las primeras (es decir al resolver
por Gauss, comenzaremos seleccionando columnas de izquierda a derecha)
. Expresar la solución mediante combinaciones lineales.
1)
?-2???
+⟨
?2???
,
-20????
,
?1???
⟩
2)
??-3??
+⟨
?-1???
,
?14???
,
?3???
⟩
3)
???9?
+⟨
???-2?
,
?-7???
,
???
-10?
,
?3???
⟩
4)
???10?
+⟨
???-9?
⟩
5)
????-1
+⟨
-5????
,
-18????
,
-2????
⟩
799
800