matemática - mineduc · 2021. 4. 23. · actividad n° 1 el día de hoy trabajaremos identificando...

Material distribuido a establecimientos educacionales del Programa Escuelas Arriba y a escuelas rurales.

SEMANA 1

Matemática

GUÍA PARA ESTUDIANTES

Guía de actividades de apoyo

Estimado y estimada estudiante:

Las actividades que desarrollarás en la siguiente guía te permitirán comprender las potencias de base racional y exponente entero: transfiriendo propiedades de la multiplicación y división de potencias a los ámbitos numéricos correspondientes, relacionándolas con el crecimiento y decrecimiento de cantidades y resolviendo problemas de la vida diaria y otras asignaturas.

OBJETIVO DE LA GUÍA:

Comprender las potencias de base racional y exponente entero.

NOMBRE:

CURSO: LETRA: FECHA:

ESTABLECIMIENTO:

II MEDIO

2

MATEMáTICASEMANA 1

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO

ACTIVIDAD N° 1

El día de hoy trabajaremos identificando aquellas multiplicaciones que se expresan en forma de potencias e identificar sus partes: base, exponente y potencia.

Algunas multiplicaciones se pueden expresar como potencia. Por ejemplo, el volumen de un paralelepípedo es v = h • a • b donde, h = alto, a = largo y b = ancho.

1. Escribe como potencia y determina su valor.

i.

ii.

iii.

iv.

Cuando un número está presentado en forma de potencia, el exponente expresa la cantidad de veces que se debe multiplicar la base.

v = 5cm • 5cm • 5cmv = 5 • 5 • 5cm • cm • cmv=53 • cm3 ⟹ v = 125cm3

• En este caso el 5 es un factor que se multiplica 3 veces.

• La unidad de medida tambien es un factor que se multiplica 3 veces.

v = 8cm • 3cm • 5cmv = 8 • 3 • 5cm • cm • cmv = 120cm3


5cm

5cm 5cm

5cm

8cm

3cm

BASE

EXPONENTE

53

0,1 • 0,1 • 0,1 =

10 • 10 • 10 • 10 =

• ••12

12

12

12 =

8 • 8 • 8 • p • p • p • p • p =

3

MATEMáTICASEMANA 1


2. Desarrolla las siguientes potencias, indicando su valor.

3. Explicaladiferenciaentre5²y2⁵

4. Explica la diferencia entre: ¿(7 - 5)² por qué no es igual a 7² - 5² ?

3⁴=

(-2)⁵=

(-1)⁶=

⁵34 =( )

i.

ii.

iii.

iv.

4

MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 2

El día de hoy conoceremos el concepto de crecimiento exponencial, donde reconoceremos el valor de potencias cuyo exponente es positivo, cero o negativo.

i. Determina el valor de las siguientes potencias de base 2 y explica qué sucede con los resultados a medida que disminuye el exponente.

ii. Ahora ¿qué pasa en el caso de la potencia de base 2 y exponente 0 (20)? ¿Cuál es su resultado?

iii. Aplica la misma conclusión para determinar los siguientes resultados.

Potencia de base 2 exponente ℕ

Potencia de base 2 exponente negativo

2⁴=2•2•2•2=162³ = 2 • 2 • 2 = 8

2² = 2 • 2 = 42¹ = 2 = 2

2-¹ =

2-² =

2-³ =

2-⁴=

5

MATEMáTICASEMANA 1


( ) ( )( )

iv. Completa las siguientes tablas.

v. ¿Cuál es el valor de las siguientes potencias?

vi. Expresa como potencias de exponente positivo las siguientes potencias:

Todas las potencias de exponente negativo se pueden expresar como potencias de exponente positivo.

Potencia

Por ejemplo:

Resultado

3⁴ = 4⁴ =

3⁰ = 4⁰ =

5⁰ = 12⁰ = 6⁰ =

3² = 4² =

3-² = 4-² =

3³ = 4³ =

3-¹ = 4-¹ =

3¹ = 4¹ =

3-³ = 4-³ =

³ ²-²12

43

34= =2-³

( )-¹14 = ( )-¹2

3 = ( )-¹56 =

6

MATEMáTICASEMANA 1


vii. El crecimiento diario de una bacteria es en base 2, es decir, el día que se comienza la observación, día 0 (cero) hay una bacteria, el primer día habrá 2 bacterias, el segundo día tendremos 4 bacterias y así sucesivamente.

¿Cuántas bacterias habrá en diferentes días? Completa la siguiente tabla, indicando la cantidad de bacterias existentes en diferentes días y exprésalos como potencias.

viii. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene el mismo resultado a la suma de potencias 26 + 20?

a. 43 + (9-8)2 = b. 82 + 1 = c. 92+ 32 - 52 =

Solo a. Solo b. Solo c. a., b., c.

ix. Si el volumen de un cubo es 36 cm3, ¿cuánto mide cada una de las aristas del cubo?

a. 30

b. 31

c. 32

d. 33

A medida que pasan los días, ¿qué pasan con la cantidad de bacterias?

Día Cantidad de bacterias

Potencia

0

1

2

3

4

5

...

n

7

MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 3

Hoy reconocerás procedimientos para multiplicar potencias de igual base o exponente.

i. Escribe en forma de potencia.

Propiedades del producto de potencias.

Multiplicación de potencias de igual base.

an • am=a(n+m)

Ejemplo1 25 • 23 • 24 = 2(5+3+4) = 212

Ejemplo2 38 • 92 = 38 • 9 • 9 = 38 • 32 • 32 = 3(8+2+2) = 312

Resuelve los siguientes ejercicios:

52 • 53 • 54 = 51

x( ) •x12 • x0 =

p2 • p4 • -51

p( ) = a(x+5) • a(x-5) = 32 • 93 • 272 = 83 • 162 • 44 =

Multiplicación de potencias de igual exponente.

an • bn = (a • b)n

Ejemplo1 43 • 53 = (4 • 5)3 = 203

Ejemplo2 4 4 4 43

535

3 • 155 • 18

1518

1518• •= = =( )

412( )( ( ( ) ) )

p • p • p • p • p • p = p6 27 = 33

5 • 5 • a • a • a = 52 • a3 (-1) • (-1) = (-1)2

7 • y • y • y = 7y3 (-4) • r • r = -(2r)2

2b • 2b • 2b = (2b)3 x • x • x • x • x = x5

8

MATEMáTICASEMANA 1


( )Resuelve los siguientes ejercicios:

ii. El ejercicio que se te presenta a continuación tiene igual base e igual exponente.

Resuelve usando ambas propiedades.

7 74075

30080•

(2x-1)1a =( )(2x-1)

a •

(x+2)16 =

(x+2)(x+2)43 ••

=

2 3 534

34

43• • =( ) ( ) ( )

3 3 312

12

12• • =( ) ( ) ( )

( ) ( )

74 • 54 • 24 =

ap • bp • cp =

Propiedad 1Multiplicación de potencias de igual base

Propiedad 2Multiplicación de potencias de igual exponente

9

MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 4

Hoy reconocerás procedimientos para dividir potencias de igual base o exponente.

A continuación, te presentamos 3 círculos donde se han trazado 3 líneas, las que han dividido al círculo en distintas regiones. Según como fueron trazadas, se obtiene una cantidad diferente de regiones.

¿Cómo trazar las líneas para obtener la máxima cantidad de regiones? Observa.

Un círculo se puede dividir por intermedio de “n” líneas, hasta llegar a un máximo de 12( ) (n2 + n) + 1 regiones.

En este caso, si usamos 3 líneas tendremos un máximo de 7 regiones.12( ) 1

212

12(n2 + n) + 1 = (32 + 3) + 1 = (9 + 3) + 1 = •12+1=6+1=7

i. Usando la expresión algebraica 12( ) (n2 + n) + 1 determina la cantidad máxima

y mínima de regiones que se pueden encontrar al trazar.

Cantidad de líneas

Cantidad máxima de regiones

Cantidad mínima de regiones

0123456

1

11

23

4

5

67

2

3

45

3

2

4

4 regiones mínimo 7 regiones máximo 6regiones

10

MATEMáTICASEMANA 1


ii. ¿Cuál es la máxima cantidad de regiones para 7 líneas? ¿Podrías representarlas?

Propiedad de la división de potencia

División de potencias de igual base

an • am = a ( n - m )

Ejemplo1 25 : 23 = 2(5 - 3) = 22

Ejemplo2 215 : 83 = 215

23 • 23 • 23215

29= = 26

iii. Resuelve los siguientes ejercicios:

iv. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión a(2x - 1)

a(-3x + 3) ?

Ejemplo1 65 : 25 =(6:2)5 = 35

Ejemplo2 8 82

58

25: =( ) ( )85

4( )8 825

25

825

258: •= =( ( ) )

División de potencias de igual exponente

La cantidad máxima de regiones es

515 : 257 =

a5x : a3x =

a) a(-x+2) b) a(-4+5x) c) a(-x-4) d) a(5x+2)

5 314

12: =( ) ( )

5 -525

52: =( ) ( )

bm : am = ( b : a ) m

11

MATEMáTICASEMANA 1


v. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión (-5)17

(-5)14 ?

viii. El ejercicio que se te presenta a continuación tiene igual base e igual exponente. Resuelve usando ambas propiedades.

vi. ¿Cuál es el valor de la expresión 3 31

413: =( ) ( ) ?

vii. Al resolver

b) 1 c) -1250

123

d) -125

3112( )

45445( )

43081( )

334( )

343( )

565( ) ( )

469

4

4

6959

=( )( )

3 312

12: =( ) ( )

Propiedad 1División de potencias de igual base

Propiedad 2División de potencias de igual exponente

a) 125

a)

a)

b)

b)

c)

c)

d)

d)

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MATEMáTICASEMANA 1

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO

( )

ACTIVIDAD N° 1

El día de hoy trabajaremos identificando aquellas multiplicaciones que se expresan en forma de potencias e identificar sus partes: base, exponente y potencia.

Algunas multiplicaciones se pueden expresar como potencia. Por ejemplo, el volumen de un paralelepípedo es v = h • a • b donde, h = alto, a = largo y b = ancho.

1. Escribe como potencia y determina su valor.

•

•

•

•

Cuando un número está presentado en forma de potencia, el exponente expresa la cantidad de veces que se debe multiplicar la base.

v = 5cm • 5cm • 5cmv = 5 • 5 • 5cm • cm • cmv=53 • cm3 ⟹ v = 125cm3

• En este caso el 5 es un factor que se multiplica 3 veces.


v = 8cm • 3cm • 5cmv = 8 • 3 • 5cm • cm • cmv = 120cm3


5cm

5cm 5cm

5cm

8cm

3cm

BASE

EXPONENTE

50,1 • 0,1 • 0,1 =

⁴

10 • 10 • 10 • 10 =

• ••12

12

12

12 = =1

21

16

(0,1)³ = 0,001

10⁴ = 10.000

8 • 8 • 8 • p • p • p • p • p = 83p5 = 512p3

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA

3

13

MATEMáTICASEMANA 1


2. Desarrolla las siguientes potencias, indicando su valor.

3. Explicaladiferenciaentre5²y2⁵

4. Explica la diferencia entre: ¿(7 - 5)² por qué no es igual a 7² - 5² ?

3⁴=

En la primera potencia 52 indica que la base (5) se debe multiplicar 2 veces dando como resultado 25.

La segunda potencia 25 indica que la base 2 se debe multiplicar 5 veces, dando como resultado 32.

En el primer caso se debe resolver primero el paréntesis y el resultado obtenido se debe elevar al cuadrado.

En el segundo caso se deben resolver las potencias en primera instancia y luego, realizar la sustracción entre los resultados obtenidos.

(7 - 5)² = 2² = 4

7² - 5² = 49 - 25 = 24

3 • 3 • 3 • 3 • = 81

(-2)⁵= (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32

(-1)⁶= (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • = 1

=34

34

34

34

34

2431024

⁵34 =( )

14

MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 2

El día de hoy conoceremos el concepto de crecimiento exponencial, donde reconoceremos el valor de potencias cuyo exponente es positivo, cero o negativo.

i. Determina el valor de las siguientes potencias de base 2 y explica qué sucede con los resultados a medida que disminuye el exponente.

ii. Ahora ¿qué pasa en el caso de la potencia de base 2 y exponente 0 (20)? ¿Cuál es su resultado?

iii. Aplica la misma conclusión para determinar los siguientes resultados.

Potencia de base 2 exponente ℕ

Potencia de base 2 exponente negativo

El resultado de la potencia disminuye a la mitad cada vez que el exponente disminuye en 1.

2⁰ = 1

2⁴=2•2•2•2=162³ = 2 • 2 • 2 = 8

2² = 2 • 2 = 42¹ = 2 = 2

2-¹ = 12

2-² = 14

2-³ = 18

2-⁴= 116

15

MATEMáTICASEMANA 1


( ) ( )( )

iv. Completa las siguientes tablas.

v. ¿Cuál es el valor de las siguientes potencias?

vi. Expresa como potencias de exponente positivo las siguientes potencias:

Todas las potencias de exponente negativo se pueden expresar como potencias de exponente positivo.

Potencia Potencia

Por ejemplo:

Resultado Resultado

3⁴ = 4⁴ =

3⁰ = 4⁰ =1

5⁰ = 1 12⁰ = 1 6⁰ = 1

1

3 4

9 16

27 64

81 256

3² = 4² =

3-² = 4-² =19

116

3³ = 4³ =

3-¹ = 4-¹ =13

14

3¹ = 4¹ =

3-³ = 4-³ =127

164

³ ²-²12

43

34= =2-³

²324 6

5( ) ( )( )-¹14 = ( )-¹2

3 = ( )-¹56 =

16

MATEMáTICASEMANA 1


vii. El crecimiento diario de una bacteria es en base 2, es decir, el día que se comienza la observación, día 0 (cero) hay una bacteria, el primer día habrá 2 bacterias, el segundo día tendremos 4 bacterias y así sucesivamente.

¿Cuántas bacterias habrá en diferentes días? Completa la siguiente tabla, indicando la cantidad de bacterias existentes en diferentes días y exprésalos como potencias.

viii. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene el mismo resultado a la suma de potencias 26 + 20?

a. 43 + (9-8)2 = 64 + 12 = 65 b. 82 + 1 = 64 + 1 = 65 c. 92+ 32 - 52 = 81 + 9 - 25 = 65

Solo a. Solo b. Solo c. a., b., c.

ix. Si el volumen de un cubo es 36 cm3, ¿cuánto mide cada una de las aristas del cubo?

a. 30

b. 31

c. 32

d. 33

A medida que pasan los días, ¿qué pasan con la cantidad de bacterias?

A medida que aumentan los días la población de bacterias se duplica.

Día Cantidad de bacterias

Potencia

0 1 20

1 2 21

2 4 22

3 8 23

4 16 24

5 32 25

... ... ...

n 2n

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MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 3

Hoy reconocerás procedimientos para multiplicar potencias de igual base o exponente.

i. Escribe en forma de potencia.

Propiedades del producto de potencias.

Multiplicación de potencias de igual base.

an • am=a(n+m)

Ejemplo1 25 • 23 • 24 = 2(5+3+4) = 212

Ejemplo2 38 • 92 = 38 • 9 • 9 = 38 • 32 • 32 = 3(8+2+2) = 312

Resuelve los siguientes ejercicios:

52 • 53 • 54 = 59 51

x( ) •x12 • x0 = x7

p2 • p4 • -51

p( ) = p11 a(x+5) • a(x-5) = a(2x)

32 • 93 • 272 = 314 83 •162 • 44 = 225

Multiplicación de potencias de igual exponente.

an • bn = (a • b)n

Ejemplo1 43 • 53 = (4 • 5)3 = 203

Ejemplo2 4 4 4 435

35

3 • 155 • 18

1518

1518• •= = =( )

412( )( ( ( ) ) )

p • p • p • p • p • p = p6 27 = 33

5 • 5 • a • a • a = 52 • a3 (-1) • (-1) = (-1)2

7 • y • y • y = 7y3 (-4) • r • r = -(2r)2

2b • 2b • 2b = (2b)3 x • x • x • x • x = x5

18

MATEMáTICASEMANA 1


( )Resuelve los siguientes ejercicios:

ii. El ejercicio que se te presenta a continuación tiene igual base e igual exponente.

Resuelve usando ambas propiedades.

7 74075

30080•

(2x-1)1a =( )(2x-1)

a •

(x+2)16 =

(x+2)(x+2)43 ••

=

2 3 534

34

43• • =( ) ( ) ( )

3 3 312

12

12• • =( ) ( ) ( )

( ) ( )

74 • 54 • 24 =

ap • bp • cp =

704

(abc)p27

1

2(x+2)

1

Propiedad 1Multiplicación de potencias de igual base

Propiedad 2Multiplicación de potencias de igual exponente

3 3 3 (3 + 3 + 3)

9

9

9

(3 + 3 + 3)

9

12

12

12

12

12

121

51212

12

12

• • =

=

=

=

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) 9

9

3 3 3

(3)

(3)

12

12

12

18

18

1512

• • =

=

=

=

( ) ( ) ( )(3)1

212

12• •( )

(3)12

12

12• •( ) ( )

( ) 3183

3183

19

MATEMáTICASEMANA 1


ACTIVIDAD N° 4

Hoy reconocerás procedimientos para dividir potencias de igual base o exponente.

A continuación, te presentamos 3 círculos donde se han trazado 3 líneas, las que han dividido al círculo en distintas regiones. Según como fueron trazadas, se obtiene una cantidad diferente de regiones.

¿Cómo trazar las líneas para obtener la máxima cantidad de regiones? Observa.

Un círculo se puede dividir por intermedio de “n” líneas, hasta llegar a un máximo de 12( ) (n2 + n) + 1 regiones.

En este caso, si usamos 3 líneas tendremos un máximo de 7 regiones.12( ) 1

212

12(n2 + n) + 1 = (32 + 3) + 1 = (9 + 3) + 1 = •12+1=6+1=7

i. Usando la expresión algebraica 12( ) (n2 + n) + 1 determina la cantidad

máxima y mínima de regiones que se pueden encontrar al trazar.

Cantidad de líneas

Cantidad máxima de regiones

Cantidad mínima de regiones

0 1 11 2 22 4 33 7 44 11 55 16 66 22 7

1

11

23

4

5

67

2

3

45

3

2

4

4 regiones mínimo 7 regiones máximo 6regiones

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MATEMáTICASEMANA 1


ii. ¿Cuál es la máxima cantidad de regiones para 7 líneas? ¿Podrías representarlas?

Propiedad de la división de potencia

División de potencias de igual base

an • am = a ( n - m )

Ejemplo1 25 : 23 = 2(5 - 3) = 22

Ejemplo2 215 : 83 = 215

23 • 23 • 23215

29= = 26

iii. Resuelve los siguientes ejercicios:

iv. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión a(2x - 1)

a(-3x + 3) ?

Ejemplo1 65 : 25 =(6:2)5 = 35

Ejemplo2 8 82

58

25: =( ) ( )85

4( )8 825

25

825

258: •= =( ( ) )

División de potencias de igual exponente

La cantidad máxima de regiones es

12( ) (n2 + n) + 1 = 1

2 (72 + 7) + 1

12

(49 + 7) + 1

12 •56 + 1 = 29

515 : 257 =

a5x : a3x = a2x

55 31

412: =( ) ( )

5 -525

52: =( ) ( )

712( )1

bm : am = ( b : a ) m

a) a(-x+2) b) a(-4+5x) c) a(-x-4) d) a(5x+2)

21

MATEMáTICASEMANA 1


v. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión (-5)17

(-5)14 ?

viii. El ejercicio que se te presenta a continuación tiene igual base e igual exponente. Resuelve usando ambas propiedades.

vi. ¿Cuál es el valor de la expresión 3 31

413: =( ) ( ) ?

vii. Al resolver

4

4

6959

=( )( )

3 312

12: =( ) ( )

Propiedad 1División de potencias de igual base

Propiedad 2División de potencias de igual exponente

3 3 (3 - 3)12

12

12: =( ) ( ) ( )

0(3 - 3) 12

12 = ( )( )

0

112 =( ) 113 =

3 312

12: =

=

( ) ( ) )31

212:(

)31

212:( )

312

21•(

b) 1 c) -1250

123

d) -125

3112( )

45445( )

43081( )

334( )

343( )

565( ) ( )

469

a) 125

a)

a)

b)

b)

c)

c)

d)

d)

matemática - mineduc · 2021. 4. 23. · actividad n° 1 el día de hoy trabajaremos identificando...

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