matemÁtica ii - usmp · 2020. 3. 6. · 03 fecha: 29/01/2020 fecha: 06/02/2020 fecha:07/02/2020 ....

MATEMÁTICA II

Manual del estudiante

Ciudad Universitaria Santa Anita, 2020

© UNIVERSIDAD DE SAN MARTÍN DE PORRES

Unidad Académica de Estudios Generales

Manual publicado con fines académicos, 2020

Elaborado por: Revisado por: Aprobado por: Versión

Modificado por: Luis Mallma A. Rignoberto Zegarra H.

Comisión de Acreditación y Calidad

Coordinación Académica de la UAEG

03

Fecha: 29/01/2020

Fecha: 06/02/2020

Fecha:07/02/2020

h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |3

Presentación

La presente asignatura tiene como propósito crear en el estudiante el interés por los

conceptos matemáticos para aplicarlos en la solución de problemas prácticos y, a la vez,

disponer de herramientas básicas para el desarrollo de asignaturas superiores del ámbito

de los negocios.

Es nuestra intención y propósito, que el presente Manual sea en un instrumento

básico de trabajo para el estudiante, por tanto, es indispensable la consulta permanente

con la bibliografía recomendada en el silabo. Asimismo, esperamos que contribuya a la

formación profesional y académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales

que cursan la Asignatura de Matemática II, así como también el de mejorar los procesos de

enseñanza aprendizaje.

El Manual de Matemática II, constituye un material de apoyo al desarrollo de la

asignatura, y está organizado en cuatro unidades de aprendizaje: Matrices, Determinantes

y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite, Continuidad y Derivada de una Función Real,

Aplicaciones de las Derivadas, Integrales. Cada unidad hace referencia a contenidos,

capacidades y actitudes que se espera alcance el estudiante.

Los docentes


ÍNDICE

Presentación ...................................................................................................................... 3

Índice ................................................................................................................................. 4

UNIDAD I: MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Matrices ............................................................................................................................. 6

Determinante de una matriz ............................................................................................. 20

Matriz reducida, matriz inversa ........................................................................................ 29

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales .............................................................. 36

UNIDAD II: LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL.

DERIVADA DE UNA FUNCION

Límite de una función....................................................................................................... 44

Continuidad de funciones ................................................................................................ 52

Derivada de una función .................................................................................................. 63

Derivada de una potencia, producto y cociente................................................................ 67

UNIDAD III: APLICACIONES DE LA DERIVADA

Derivada de la función exponencial y logarítmica ............................................................ 72

Incremento y razón de cambio. Aplicaciones a la Economía ............................................ 75

Extremos relativos de una función. Máximos y mínimos relativos de una función ............ 86

Extremos absolutos. Máximos y mínimos absolutos de una función ............................... 91

UNIDAD IV: INTEGRALES

La integral indefinida .......................................................................................................108

Integral definida ..............................................................................................................115

Aplicaciones de la integral definida .................................................................................118

Sesión integradora ..........................................................................................................124

GLOSARIO ....................................................................................................................132

FUENTES DE INFORMACIÓN ......................................................................................133


UNIDAD, COMPETENCIA, CAPACIDADES Y ACTITUDES DE LA ASIGNATURA

Competencia Capacidad Actitudes

Unidad I: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

Aplica conceptos y métodos de la Matemática básica en el planteamiento y solución de problemas específicos de su formación profesional, considerando el contexto.

Aplica el cálculo matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales en problemas relacionados a casos de negocios.

Respeto a la persona

Compromiso

Conservación ambiental

Búsqueda de la excelencia

Unidad II: Limite y continuidad de una función de variable real. Derivada de una función.


Calcula el límite de una función de variable real y determina su continuidad. Aplica el concepto de límite y la noción geométrica para calcular la derivada de una función.

Unidad III: Aplicaciones de la derivada.


Aplica el cálculo diferencial en el desarrollo y resolución de problemas relacionados con su especialidad.

Unidad IV: Integrales


Aplica el cálculo integral en el desarrollo y resolución de problemas relacionados con su especialidad.


SEMANA 1

UNIDAD I: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

Sesión 1

Tema: Matrices

DEFINICIÓN

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos ija dispuestos en filas y columnas. Estos

elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con

las letras mayúsculas , , A B C , etc.

Representación General:

11 12 1

21 22 2

1 2

.......

.......

.

.

.......

n

n

mnm m mxn

A

a a a

a a a

a a a

Orden de una matriz

El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la

matriz.

Si, [ ]ij m n

A a

es una matriz , entonces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n.

determinan el orden, que en este caso es m x n (se lee “m” por “n”). Los subíndices indican

la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la

columna (j). Por ejemplo el elemento 12a está en la fila 1 y en la columna 2.

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES

EJERCICIOS: Construir las matrices siguientes:

1) 2 2

;[ ] /

3 2 ;ij ijx

i j i jA a a

i i j

2)

2

3 3

2 ;

[ ] /;

2

i j

ij ijx

i j

A a a i ji j


IGUALDAD DE MATRICES

Las matrices [ ]ij m n

A a

y [ ]m nij

B b

son iguales, si y solo si tienen el mismo orden

y sus entradas correspondientes son iguales.

ij ijA B a b , para todo ,i j

EJERCICIOS:

Si las matrices A y B son iguales, entonces:

1. Calcule: 6

x y zE

si:

6 2 8

4 2

x yA

z x y

y

6 8

2 5B

2. Calcule: E xy xz yz si:

0,2 1 7

4 0

11 8

3

x

A y

z

y

25 1 7

4 0

8 3y

B y

x y

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se

denota TA . El orden original es m x n y el orden de TA es n x m.

Presenta las siguientes propiedades:

( )T TA A ( ) T T TA B A B ( )T Tk A k A

MATRICES ESPECIALES

Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila.

Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna.

Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.


Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas

y se denota nA . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas nnaaaa ,......,,, 332211

forman la diagonal principal.

Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran

fuera de la diagonal principal son ceros.

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la

diagonal principal son iguales.

Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la

diagonal principal son iguales a uno.

Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de

la diagonal principal son ceros.

Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima

de la diagonal principal son ceros.

Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A .

Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A . En una matriz

antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.

EJERCICIOS:

1. Si: 5 10

5 0

x zA

y

es una matriz nula, calcule E x y z .

2. Si:

2 8 16 7

2 10 4 0

0 3 21 0

x z

B y

z

es una matriz diagonal, halle los valores de , , x y z

3. Si: 5 10

5 10

x zC

y

es una matriz antisimétrica, calcule E x y z .


SEMANA 1


Sesión 2 Tema: Operaciones con matrices

ADICIÓN DE MATRICES

Si ij

A a y

ijB b

son matrices de orden m x n, entonces la suma A B es la

matriz de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (escalar), entonces la matriz

k A , tiene el mismo orden m x n y se obtiene al multiplicar cada entrada por k .

Propiedades

Sean A , B , C y O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k , 1k , 2

k son

números reales:

1. A B B A 5. 1 2 1 2( ) A Ak k k k A

2. ( ) ( )A B C A B C 6. 1 2 1 2( ) ( )Ak k k k A

3. O OA A A 7. 0 OA

4. ( )A Bk kA kB 8. O Ok

SUSTRACCIÓN DE MATRICES:

Dado que ( 1 )B B , se define: ( )A B A B

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Además de las operaciones de adición de matrices y de multiplicación por un escalar, puede

definirse el producto AB de matrices A y B bajo ciertas condiciones, las cuales son que el

número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p, entonces el producto

AB es la matriz C de orden m x p cuyas entradas ijc , se obtienen al sumar los


productos de las entradas de la fila “i” de la matriz A , con sus respectivas entradas de la

columna “j” de la matriz B .

Propiedades

1. ( ) ( )A BC AB C 3. ( )A B C AC BC

2. ( )A B C AB AC 4. ( )T T TAB B A

EJERCICIOS:

1. Dadas las matrices 5 7

2 4A

, 2 22 xB I A y BAC .

Calcule:

a) ( )C B A b) ( )TC B c) ( )(A )A B B

2. Si, 2 1

0 5

A

, 1 3

4 0

B

y 2 2

3x

BC I . Calcular: 2 ( ) TP B A B C B

3. Hallar el producto de las dos matrices:

1 4 7

2 5 8

3 6 9

A

,

1 -1 2

2 -1 3

3 -3 0

B

4. Una cadena de tiendas de equipos electrónicos tiene dos distribuidores en Lima.

En mayo las ventas de televisores, teléfonos y computadoras en los dos almacenes

estuvieron dados por la siguiente matriz A:

TV T PC

22 34 16

14 40 20

A

Distribuidor 1

Distribuidor 2

Si la dirección establece ventas meta para junio de un 50% de aumento sobre las ventas

de mayo, escriba la matriz que representa las ventas proyectadas para junio.


ACTIVIDAD 01

Matrices y operaciones

Objetivo

Reconocer características y propiedades de las matrices y sus operaciones.

Orientaciones

Responder de forma individual según lo señalado en cada uno de los ítems.

NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Encierre en un círculo según considera usted que el

enunciado es verdadero V o falso F .

PROPOSICIÓN

1. Es una matriz triangular superior si los elementos que están por encima

de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 i > j. V F

2. Una matriz es antisimétrica si se cumple: -A = AT V F

3. Una matriz cuadrada se denota por An V F

4. Si A·B = O implica que A = O ó B = O V F

5. La multiplicación de matrices siempre es conmutativa V F

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSION Identifica las matrices y coloca el nombre a cada una de ellas.

a) 0 3 53 0 45 4 0

b) 7 0 03 7 05 9 7

c) 5 1 50 5 90 0 5

d)

700

070

007

e) 201

f) 0 1 21 0 72 7 0

NIVEL Pregunta Nº3

APLICACIÓN Construye las siguientes matrices.

1)

2

3 3

; [ ] /

; ij ijx

i j i jB b b

i j i j

2)

3 3

2 ;[ ] /

2 ;

i

ij ijx

i jB b b

j i j


De manera grupal. Resuelva los siguientes problemas.

NIVEL

Pregunta Nº 4

ANALISIS Comprende, analiza y resuelve los siguientes problemas.

1. Un fabricante de zapatos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, blanco

y gris. La capacidad de producción (en miles de pares) en la Planta de Vitarte está dada por

la siguiente matriz A, y la producción en la planta de La Victoria está dada por la matriz B.

28 50 20

12 38 60

160 80 50

A

8 36 20

64 03 60

66 12 26

B

a) Halle la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapatos en

ambas plantas.

b) Si la producción en la planta de Vitarte se incrementa en un 50% y de la Victoria en un

25%, hallar la matriz que represente la nueva producción total de cada tipo de calzado.

2. Un fabricante de pantalones para niños, damas y caballeros los produce en color crema,

rojo y verde. La producción (en miles de pantalones) en la fábrica de Santa Anita está dada

por la matriz A, la producción en la fábrica de Villa el Salvador está dada por la matriz B.

70 30 80

24 4 18

28 16 8

A

40 30 20

10 40 10

20 60 80

B

a) Determine la representación matricial de la producción total del fabricante.

b) Halle la producción total de pantalones color rojo para niños.

c) Halle la producción total de pantalones color crema para damas.

d) Si la producción en la fábrica de Santa Anita disminuye en un 50% y en la fábrica de

Villa el Salvador se incrementa en un 30%, hallar la matriz que represente la nueva

producción total.

Negro

Gris

Blanco

Niños Damas Caballeros Niños Damas Caballeros

Negro

Gris

Blanco

Crema

Rojo

Verde

Niños Damas Caballeros

Crema

Rojo

Verde

Niños Damas Caballeros


EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN

A. Construye las siguientes matrices.

1) 3 3ij x

D d / ;

2 3 ;

2 3

j i

j iij

i jd

i j

2) 2 3

max ( , ) ; [ ] /

min ( , ) ;ij ijx

i j i jE e e

i j i j

3) 3 2ij x

M m / 2 2

3

2

i j

ijji

; i j

m i j ; i j

; i j

4) 2 3ij x

N n /

i

i jij

j

j ; i j

n ; i j

i ; i j

B. IGUALDAD DE MATRICES

Si las matrices son iguales, entonces:

1. Calcule: E s m p , si 3 5

4 10

p m s m

s pC

y 27 125

64 10D

2. Calcule: 5

1

x yE

z

, si

9 5

2 2

y z x z

x yM

y 81 25

8 2N

3. Calcule: 1

2E xzz

, si: 2 2

[ ]ij x

A a / a ij = ,

2 ,

i j i j

i i j

y

3

2 2

x

x yB

x y z

4. Calcule: x y

Ez

, si:

2 2[ ]

ij xA a / a ij =

,

2 ,

i j i j

i i j

y

3

2 2

x

x yB

x y z


5. Calcule: E s m p si:

0,5 2 7

4 0

11 3

7

S

A s

p

y

16 2 7

4 0

3 7m

B s

m s

C. MATRICES ESPECIALES

1. Si:

4 4 0

0 10 6

4 3 5 2 7

x y a b

N a b

c d x y

es una matriz escalar, halle:

4 2 3

2 ( )

d b cE

x y

2. Si:

3 0 ,25

2

6 8 7

x

x y

A z yz

es una matriz simétrica, halle x y

Ez

3. Si:

5 0,25

7 0 6

4 3 1

x

y z

y z

M y

x z

es una matriz simétrica, calcule: 2x y

Ez

4. Si:

4 2 5

5 12 243

2 3 4y z

x y

x y

A

es una matriz simétrica, calcule 2 3E x y z

5. Halle los valores de a, b y c, si

0 1 3

10 1

2 3 0

Aa

b c

es antisimétrica.

6. Si:

1 16 125

2 1 1/ 27

5 3 0

x y

y z x z

a b

A a b

es antisimétrica, calcule

3

2

3 2 4x y zE

a b


7. Si:

5

5 9

6 3 0

a b d c

A c

a

, es antisimétrica, calcule: a b c

dE

8. Sea M la matriz antisimétrica dada por:

( )

3 1

aa m n m n

M p b m n

c

, Calcule:

E ab c p mn

D. APLICANDO PROPIEDADES

1. Dadas las matrices: 2 1

1 0

A

; 35 50

1 7

B

; 2 2

0 4

C

, halle la

matriz X si se cumple: ( ) 4 2 ( )T T T TA B AC X B A C

2. Halle la matriz X en: ( 3 ) 3 ( )T T T TA B X A AB C . Si

a.

3 7 33

349

7

A

, 1 4

2 3

B

y 3T TC B A I 22x

E. Comprende, analiza y resuelve los siguientes problemas:

1. La empresa distribuidora de autos Perú Vagen de San Luis presenta las ventas,

del mes de Julio, de los autos WV modelo Bora y Vento mediante la matriz A

siguiente:

50 20 28

30 60 14S

Mientras que las ventas en la Av. La Marina está representada por la matriz B

siguiente:

25 50 40

30 20 35M

a) Indique el modelo y color de auto más vendido en cada local.

b) Escriba una matriz que represente la venta total de ambos locales e indique el

modelo y color de auto que menos se vendió en el mes de Julio.

Bora

Vento

Color Negro Color rojo Color Plata

Tamaño 2 Tamaño 3

Color Negro Color rojo Color Plata

Tamaño 2 Tamaño 3 Bora

Vento


2. Juan y Manuel son dos hermanos empresarios de la zona industrial de Villa el

Salvador, fabricantes de camas de una plaza, plaza y media y dos plazas en colores

blanco, cedro y nogal. La producción mensual de la fábrica administrada por Manuel

se representa mediante la matriz M siguiente:

Una plaza Plaza y media Dos plazas

15 20 27

10 18 28

12 16 30

M

Mientras que la producción mensual de la fábrica administrada por Juan está dada

por la matriz N siguiente:

Una plaza Plaza y media Dos plazas

14 22 26

11 15 30

12 13 31

N

a) Indicar el modelo y color de cama, que es más fabricada, por cada uno de los

hermanos.

b) Halle la matriz que representa la producción total mensual.

c) Halle la producción total de camas de dos plazas en color cedro.

d) Halle la producción total de camas de una plaza en color blanco.

5. Una fábrica ensambladora de automóviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus

dos plantas A y B ubicados en la ciudad de Tacna. Los ingresos mensuales en

dólares en el mes de diciembre son representados por la matriz I, mientras que

los costos de producción mensuales en dólares del mismo mes se representa

por la matriz C.

M1 M2 M3 M1 M2 M3

32000 17000 25000

40000 21000 15000I

5000 12000 15000

10000 3000 5000C

a) Matricialmente, halle la utilidad en la planta A.

b) Matricialmente, halle la utilidad en la planta B.

c) Halle la matriz utilidad.

6. Un agente de bolsa vendió a un cliente 50 acciones del tipo A, 60 del tipo B, 10 del

tipo C y 60 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 20; $17, $ 30 y $ 50 por acción

Blanco

Cedro

Nogal

Blanco

Cedro

Nogal

Planta A

Planta B

Planta A

Planta B


respectivamente, determine el valor total de la transacción comercial en forma

matricial.

7. En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos:

modelo A, modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420

y S/. 360 respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudación total por la venta

de 30, 45 y 60 buzos de cada modelo respectivamente.

8. En las elecciones municipales pasadas, un grupo político, contrató los servicios de

una empresa de relaciones públicas para promover a su candidato mediante tres

formas: por teléfono, repartiendo volantes a las casas y mediante cartas. El costo por

cada contacto establecido se obtuvo mediante la matriz:

Costo por contacto

S / . 1,20

S / . 1,80

S / . 2,20

El número de contactos que pudo establecerse en dos distritos, está representado

por la siguiente matriz:

Teléfono volante carta

930 1260 3120

750 2300 2000

a) Halle la cantidad total que se gastó en el distrito de Lince.

b) Halle la cantidad total que se gastó en el distrito de Jesús María.

c) Halle el gasto total realizado.

9. Una empresa fabrica billeteras, carteras y maletines en dos plantas A y B. Las

unidades vendidas en el mes de Julio se representan con la matriz V y las utilidades

obtenidas por cada unidad vendida se representan en la matriz U.

Billeteras Carteras Maletines Planta A Planta B

250 120 110

130 350 150V

$3 $4

$8 $9

$10 $12

U

Mediante el producto de matrices, calcule:

a) La utilidad obtenida en la planta A

b) La utilidad obtenida en la planta B.

Planta A

Planta B

Billeteras

Carteras

Maletines

Lince

Jesús María

Teléfono

Volante

Carta


10. En la empresa inmobiliaria Finca Feliz, un desarrollador de bienes raíces, construye

departamentos en tres distritos de Lima. El número previsto de unidades de cada

modelo que se construirá en cada distrito está determinado por la matriz

60 80 120 40

20 30 60 10

10 15 30 5

A

Las utilidades que obtendrían son de $20,000, $22,000, $25,000 y $30,000,

respectivamente, para cada modelo I, II, III y IV de departamento vendido.

a. Escriba una matriz columna B que representa la utilidad para cada tipo de

departamento.

b. Calcule la utilidad total que la inmobiliaria espera obtener en cada distrito, si todos

los departamentos se venden.

11. Pedro es propietario de dos estaciones de servicio, una en el centro de la ciudad y la

otra en el distrito de San Isidro. Durante 2 días consecutivos sus estaciones de

servicio registraron las ventas de gasolina representadas por las matrices siguientes:

1200 750 650

1100 850 600A

1250 825 550

1150 750 750B

Encontrar:

a. Una matriz que represente las ventas totales de las dos estaciones de servicio en

el plazo de 2 días.

b. Por motivo de restricción de fluido eléctrico en la ciudad, el tercer día se registró

una disminución de las ventas en 10% respecto del segundo día. ¿Cuál será la

nueva matriz que representan estas ventas?

Centro

San Isidro

Regular Reg. Plus Premium

Centro

San Isidro

Regular Reg. Plus Premium

La Molina

San Isidro

Miraflores

Centro

San Isidro

I II III IV

MODELOS


12. La empresa Lima Technology SAC tiene dos tiendas en la ciudad. Las ventas de

cuatro de sus productos durante el último año (en miles de dólares) están

representadas por la matriz

5 2 8 10

3 4 6 8V

Para el presente año, la gerencia ha proyectado que las ventas de los cuatro

productos en la tienda I serán 10% mayores que las ventas correspondientes del año

pasado y las ventas de los cuatro productos en la tienda II serán 15% mayores que

las ventas correspondientes al año pasado.

a. Encuentre la matriz E de orden 2, que permita calcular el incremento en las ventas

de los cuatro productos.

b. Calcule EV

13. Una empresa produce tres modelos de camisa, cada modelo requiere los servicios de

tres departamentos como se muestra en la tabla siguiente. Los departamentos de

corte, costura y embalaje, disponen de un máximo de 1 160, 1 560 y 480 horas de

trabajo por semana, respectivamente. ¿cuántas camisas de cada modelo debe

producir la empresa cada semana para que funcione a plena capacidad?

Departamentos Modelo I Modelo II Modelo III Total

Dpto. Corte 0,2 h 0,4 h 0,3 h 1 160 h

Dpto. Costura 0,3 h 0,5 h 0,4 h 1 150 h

Dpto. Embalaje 0,1 h 0,2 h 0,1 h 480 h

Tienda I

Tienda II

Centro

San Isidro

A B C D

PRODUCTO


SEMANA 2


Sesión1 Tema: Determinante de una matriz

El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se

denota por: A .

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2

a bA

c d

a bA ad bc

c d , ejemplo:

2 3( 2 )(5) (3)( 4 )

4 52A

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)

a b c

A d e f

g h i

a b c a b

A d e f d e aei bfg cdh ceg afh bdi

g h i g h

Ejemplo:

2 1 3

0 4 5

3 2 0

A

Propiedades

1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces:

0A

2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 0A

3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces A es igual al producto de

las entradas de la diagonal principal.

36 20 0

2 1 3 2 1

0 4 5 0 4 (0 15 0) ( 36 20 0) 41

3 2 0 3 2

0 15 0

A


4. Si “ k ” es una constante y A una matriz de orden “n”, entonces: nA Ak k

5. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes

A B A B .

6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta TA A

7. Si A es una matriz invertible: 1

1A

A

EJERCICIOS:

1. Calcule el determinante de cada matriz.

a)

2 1 3

4 4 1

2 6 5

b)

6 1 2

2 3 5

2 8 3

2. Sea la matriz N, calcule el determinante de la matriz N.

2 2ij x

N n /

i

i jij

j

j ; i j

n ; i j

i ; i j

3. Sea la matriz 1 2

2 5A

Probar si se cumple que: |A2|=|A|2


SEMANA 2


Sesión 2 Tema: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por

el método de Cramer.

MÉTODO O REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

Dado el sistema 11 12 1

21 22 2

a x a y b

a x a y b

,Denotamos: 11 12

21 22

a aA

a a

, 1 12

2 22

x

b aA

b a

,11 1

21 2

y

a bA

a b

luego: xA

xA

yA

yA

siempre que 0A

Este método es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas,

siempre que 0A

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:

De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:

1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solución y puede ser:

a) Determinado. Cuando tiene solución única.

b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solución paramétrica).

2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solución.

Atendiendo a sus términos independientes:

a) Homogéneos. Cuando todos los términos independientes son nulos.

b) No Homogéneos. No todos sus términos independientes son nulos.

Ejemplo 1

Resolver por el método o regla de Cramer: 2 5 11

3 4 6

x y

x y

Solución:

2 58 15 7

3 4A

,

11 544 30 14

6 4xA

, luego

14

7x

2x

2 1112 33 21

3 6yA

, luego

21

7y

3y


Ejemplo 2

Resolver el sistema:

2 3

3 2 2 20

3 5 29

x y z

x y z

x y z

utilizando el método o regla de Cramer.

Solución:

2 1 1 2 1

3 2 2 3 2 20 2 9 2 12 15 9 5 14

1 3 5 1 3

A

3 1 1 3 1

20 2 2 20 2 30 58 60 58 18 100 148 176 28

29 3 5 29 3

xA

2 3 1 2 3

3 20 2 3 20 200 6 87 20 116 45 107 51 56

1 29 5 1 29

yA

2 1 3 2 1

3 2 20 3 2 116 20 27 6 120 87 69 27 42

1 3 29 1 3

zA

luego: 28

214

xx

A

A

;

564

14

yy

A

A

;

423

14

zz

A

A

EJERCICIOS

1. Determinar cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones.

-x + y = 5

-2x + 2y = 2

2. Resuelve el sistema de ecuaciones.

2 x +1- y = -3

3

3 x + 5 - y + 3x = 12

3. Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente de lavadora en 200 paquetes,

unos de 2 kg y otros de 5 kg. ¿Cuántos paquetes ha llenado de cada una?


ACTIVIDAD 02

Determinante de una matriz y resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Objetivo

Reconocer y aplicar las propiedades para calcular la determinante de una matriz.

Orientaciones

De manera individual o grupal responda según lo señalado en cada uno de los ítems.

NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Completa correctamente, colocando la palabra adecuada

sobre la línea

PROPOSICIÓN

1. La regla de Sarrus, sirve para calcular el ____________ de una matriz de tercer orden.

2. Sistema Compatible Indeterminado es aquel que ______________________________.

3. El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz ____________.

4. El determinante de una matriz es igual al determinante de su ___________TA A

5. El método o regla de Cramer es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales

con “n” incógnitas, siempre que el _________________________________.

NIVEL Pregunta Nº2

APLICACIÓN Calcula el determinante en los siguientes ejercicios:

a)

2 1 5

3 4 1

0 6 1

b)

4 2 3

1 4 5

3 1 7

c)

5 0 2

3 2 4

0 1 6

Utilizando el método o regla de Cramer resuelva los siguientes sistemas.

a) 3 8

2 5

x y

x y

b)

3 2 4

5 3 25

x y

x y

c)

3

2 4

2 2 2 5

x y

x y z

x y z


NIVEL Pregunta Nº3

ANALISIS Resolver los problemas

1. La empresa “Textiles del Perú” produce pantalones y faldas, con un costo de

producción unitario de S/. 90 y S/. 60 respectivamente y con un costo fijo mensual de

S/. 6 000. Sabiendo que el costo total mensual es de S/. 16 800 y que cada pantalón

se vende a S/. 200 y cada falda a S/.180, que generan un ingreso total mensual de

S/. 26 800. Determine la cantidad de pantalones y faldas producidas en un mes.

2. La empresa H&B fabrica y envasa mermelada de fresa y puré de manzana. Por cada

unidad de mermelada que vende la ganancia es de S/. 6 y por cada unidad de puré

que vende la ganancia es de S/. 9. Se vendieron 500 unidades entre mermelada y puré

siendo la ganancia total de S/. 3 900. ¿Cuántas unidades de cada producto se

vendieron?

3. Una empresa que fabrica artículos de cuero, tiene un costo fijo mensual de S/.10 000.

Si produce carteras y correas, con un costo de producción unitario (mano de obra y

material) de S/. 40 y S/. 30 respectivamente y con un costo total mensual fue de

S/. 20 000 y, además se fabrican 300 artículos (entre carteras y correas). Calcule la

cantidad de carteras y correas producidas en el mes.

4. Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora

de mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo, el modelo B

requiere de 1 hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada

hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra

disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. ¿Cuántos

automóviles de cada modelo pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas

de mano de obra?

NIVEL

Pregunta Nº 4

EVALUACIÓN Resuelve el problema y emite tu juicio crítico.

Escritorios Nacionales tiene plantas para la producción de escritorios en la Costa del

Atlántico y en la Costa del Pacífico. En la planta de la costa del Atlántico, los costos

fijos son de $16 000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $90. En

la planta del Pacífico, los costos fijos son de $20 000 por año y el costo de producción

de cada escritorio es de $80. El año siguiente la compañía quiere producir en total de

800 escritorios. Recomienda la producción de la planta del Pacífico para el año

próximo si el costo total de cada una debe ser el mismo.



1. Calcule los siguientes determinantes

a)

3 2 1

0 5 2

2 3 7

b)

4 2 5

1 3 6

3 1 2

c)

7 1 3

5 3 4

2 6 5

2. Utilizando el método o regla de Cramer resuelva los siguientes sistemas:

a) 2 5 25

4 7 1

x y

x y

b)

7 8 26

6 11 43

x y

x y

c)

9 5 7

7 4 37

x y

x y

d) 3 5 6

4 4 30

x y

x y

e)

0,5 0,1 1

4 15

x y

x y

f)

4 5 7

3 4

x y

x y

3. Utilizando el método o regla de Cramer resuelva y calcular lo que se indica.

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de z en:

a)

2 3 1

3 2 12

3 2 5

x y z

x y z

x y z

b)

4 3 2 14

3 5 2 23

2 5 6

x y z

x y z

x y z

Calcular el valor de y en: Calcular el valor de x en:

c)

5 6 7 31

3 5 3 4

4 3 2 5

x y z

x y z

x y z

d)

6 5 4 28

5 3 3 17

2 2 5 13

x y z

x y z

x y z

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de z en:

e)

0,2 0,3 0,4 2,7

0,3 0,1 0,5 3,1

0,7 0,2 0,4 4

x y z

x y z

x y z

f)

7 7 7 0

13 13 2 13 3 13

5 3 5 2 5 3 5

x y z

x y z

x y z


ANALISIS

Lee los siguientes enunciados, comprende y resuelve.

1. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de

fundición dispone de un máximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento

de acabado tiene un máximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A

necesita 12 horas para fundición y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8

horas para fundición y 12 horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su máxima

capacidad, ¿cuántas esculturas de cada tipo debe producir cada semana?

2. Una empresa tiene dos plantas para la fabricación de mochilas. Una está ubicada en La

Victoria y la otra en Los Olivos. En la planta de la Victoria, los costos fijos mensuales

ascienden a $ 5 900 y el costo unitario de producción a $ 25. En la planta de los Olivos,

los costos fijos son de $ 9 000 y el costo unitario de producción es de $ 30. Si se desea

fabricar 1400 mochilas mensuales, halle la producción de cada planta, sabiendo que los

costos totales mensuales en cada planta deben ser iguales.

EVALUACIÓN

Recomienda o en su defecto Defiende o Critica

3. Una diseñadora de modas que confecciona trajes de noche, tarda 3 horas en cortar y 2

horas en coser un vestido de fiesta. Para confeccionar un terno tarda 3 horas en cortar

y 3 horas en coser. En una semana de trabajo la diseñadora dispone de 30 horas para

el corte y 25 horas para el cosido. La diseñadora calcula que el número de trajes de

noche de cada tipo que puede producir en una semana, teniendo en cuenta que trabaja

aprovechando toda su capacidad es el mismo para ambos. Defienda o critique lo

calculado por la diseñadora justificando su respuesta.

4. Una fábrica de zapatos y zapatillas tiene un costo fijo mensual de $700, el costo de

producción unitario es de $40 y $30 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3

000 y se fabrican 70 pares entre zapatos y zapatillas. Recomienda la cantidad zapatos

y zapatillas producidas en un mes.

5. Un pequeño inversionista tiene un total de $2 000 depositados en dos instituciones de

ahorro. Una paga intereses a una tasa de 6% anual, mientras que la otra paga intereses

a una tasa de 8% anual. Si Michael obtuvo un total de $144 en intereses durante un año,

¿cuánto se ha depositado en cada institución?


6. Una empresa de venta de café envasado, vende una mezcla de café a partir de dos tipos

de café, uno cuesta $5 la libra y el otro, $6. Si el café mezclado se vende a $5.60 la libra,

encuentre la cantidad de cada tipo de café que se utiliza para obtener la mezcla deseada.

Suponga que el peso del café mezclado es de 100 libras.

7. Un granjero tiene 200 hectáreas de tierras aptas para los cultivos A, B y C. El costo por

hectárea de realizar los cultivos A, B y C es de $40, $60 y $80, respectivamente. El

agricultor tiene $12 600 disponibles para el cultivo. Cada hectárea del cultivo A requiere

20 horas de trabajo, cada hectárea del cultivo B requiere 25 horas de trabajo y cada

hectárea del cultivo C requiere 40 horas de trabajo. El agricultor tiene un máximo de

5 950 horas de trabajo disponibles. Si desea utilizar toda su tierra cultivable, la totalidad

del presupuesto y todo el trabajo disponible, ¿cuántas hectáreas de cada cultivo debe

sembrar? Formule el problema y resuelva.


SEMANA 3


Sesión 1

Tema: Matriz reducida - Matriz inversa

MATRIZ REDUCIDA

Una matriz se dice que es matriz reducida, si satisface lo siguiente:

Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero

en la fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las demás entradas de su

columna, son ceros.

En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada

diferente de cero de cada fila arriba de él.

Todas las filas que consistan únicamente de ceros están en la parte inferior de la matriz.

REDUCCIÓN DE MATRICES

Para transformar una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales

sobre filas de la matriz, estas son:

1° x yF F : Intercambio de filas. Se cambian la fila xF por la fila yF .

2° xk F : Multiplicación de un escalar por una fila. El número real “ k ” diferente de cero,

multiplica a la fila xF .

3° x yF Fk : Suma de “ k ” veces una fila a otra fila. K veces la fila xF se suma a la fila

yF . (La fila xF no se altera).

OBSERVACIÓN: Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o más

operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son

equivalentes.

Ejemplo: Reducir la matriz

Solución:

1098

795

442

1

(1 / 2)F

1098

795

221

1 2

( 5)F F

1098

310

221

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A


1 3( 8)F F

670

310

221

2

( 1)F

670

310

221

2 1( 2)F F

1 0 4

0 1 3

0 7 6

2 3

(7)F F

1500

310

401

3(1/15)F

100

310

401

3 1

(4)F F

100

310

001

3 2

( 3)F F

100

010

001

Por lo tanto, la matriz reducida de

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A

es

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B

.

EJERCICIOS

1. Determinar si cada matriz que se muestra a continuación es reducida o no (justifique su

respuesta):

a. 1 0

0 2

b.

1 0

0 0

c.

1 0 0

0 0 1

d.

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

e.

0 1 0 2

0 0 1 5

0 0 0 0

2. Haciendo uso de las operaciones elementales, reducir las siguientes matrices:

a)

4 0

105

b)

4 8 6

2 4 3

1 2 3

c)

4 0 6 2

1 4 2 2

3 3 3 12

d)2

0

1

1 e)

4 8 6

1 0 1

1 2 3

f)

2 1 2 1

1 2 -1 -3

-3 -2 3 2

-1 1 -4 -1


MATRIZ INVERSA

Definición. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una

matriz denotada por 1

A

tal que: 1 1

A A A A I

. A la matriz 1

A

se le llama

matriz inversa de A .

CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN

Sea A , una matriz cuadrada de orden “n”. Para calcular la matriz inversa de A , denotada

por 1

A

, se sigue los siguientes pasos:

1º. Se construye una matriz de la forma: A I donde I es la matriz identidad. A esta

matriz se le llama matriz aumentada.

2º Utilizando las operaciones elementales sobre filas (método de Gauss - Jordan), se

transforma (si es posible) la matriz A , en la matriz identidad: 1 I A . La matriz que

resulta en el lado derecho, será la matriz inversa de A .

Ejemplo 1.

Calcular la matriz inversa de 3 7

1 2A

Solución:

Formando la matriz aumentada de A : 3 7 1 0

1 2 0 1

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila: 1 2 0 1

3 7 1 0

1 2 0 1

0 1 1 3

1 0 2 7

0 1 1 3

1 I A

Por lo tanto: 1 2 7

1 3A

es la matriz inversa de A .

3F1 + F2

F1 F2

2F2 + F1


Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

1 1 3

2 1 4

3 2 2

A

Solución:

Formamos la matriz aumentada de A :

1 1 3 1 0 0

2 1 4 0 1 0

3 2 2 0 0 1

y aplicamos

A I

operaciones elementales sobre fila:

1 1 3 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 5 11 3 0 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

1 0 0 6 4 1

0 1 0 16 11 2

0 0 1 7 5 1

1 I A

Por tanto: 1

6 4 1

16 11 2

7 5 1

A

es la matriz inversa de A .

Propiedades

a) 1A A I b)

1 1 1( )A B B A

c) 1 1( )A A d)

1( )I I

e) 1 1( ) ( )T TA A f)

1 1 1( )A Ak k ; 0k , k

2F1 + F2

3F1 + F3

F2 + F1

5F2 +

F3

F3

F3 + F1

2F3 + F2

2F3 + F2

2F3 + F2


SEMANA 3


Sesión 2

Tema: Sistema de ecuaciones

Resolución por el Método de la Matriz Inversa

El sistema 12 1

21 22 2

11

a x a y b

a x a y b

, se puede expresar como:

1

21 22 2

11 12b

b

a a x

a a y

A X = B

Simbólicamente AX B , donde:

A es la matriz de los coeficientes.

X es la matriz columna de variables.

B es la matriz columna de las constantes

Multiplicando a ambos miembros por 1A (por la izquierda), se tiene:

1 1A AX A B

de donde: 1IX A B , por lo tanto:

1X A B

Este procedimiento es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con

“n” incógnitas, siempre y cuando exista 1A.

Ejemplo:

Resolver el sistema 5 23

2 11 49

x y

x y

Solución:

Formando la matriz de coeficientes: 1 5

2 11A

Hallando su matriz inversa: 1 5 1 0

2 11 0 1

1 5 1 0

0 1 2 1

2F1 + F2


1 0 11 5

0 1 2 1

entonces:

1 11 5

2 1A

Como: 1X A B

11 5 23 11.23 ( 5).49

2 1 49 ( 2).23 1.49

x

y

8

3

x

y

Por lo tanto: 8x ; 3y

ACTIVIDAD 03

MATRIZ REDUCIDA E INVERSA, SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Objetivo

Reconocer las características de una matriz reducida e inversa.

Orientaciones

De manera individual responda según lo señalado en cada uno de los ítems.

NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Encierre en un círculo según considera usted que el

enunciado es verdadero V o falso F .

PROPOSICIÓN

En una matriz reducida las filas que consistan únicamente de ceros están

en la parte superior de la matriz. V F

Se pueden intercambiar dos columnas para reducir una matriz. V F

Todas las matrices cuadradas tienen inversas. V F

Con la matriz inversa se cumple la propiedad de conmutatividad en la

multiplicación de matrices. V F

Una matriz cuadrada puede tener varias matrices inversas. V F

En una matriz reducida las filas que consistan únicamente de ceros están

en la parte superior de la matriz. V F

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Identifica sin resolver, colocando un check a la matriz reducida.

a. 1 0 0 4

0 1 1 0

b.

1 0 0

0 1 6

c.

1 0 0 3

0 1 0 1

d.

410

001

( ) ( ) ( ) ( )

5F2 + F1


NIVEL Pregunta Nº3

APLICACIÓN Haciendo uso de las operaciones elementales, reduce las siguientes matrices:

a) 0 0 8

0 6 10

b)

3 0

1 1 0

0 0

1

6

De manera grupal resolver los siguientes sistemas lineales.

NIVEL

Pregunta Nº 4

SINTESIS

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el

método de la matriz inversa.

a) 5 2 46

2 19

x y

x y

b)

8 5 66

3 2 25

x y

x y

c)

6 5 50

3 2 23

x y

x y

d)

2 2

3 2 4 8

5 4 14 20

x y z

x y z

x y z

e)

2 3

2 3 13

7 9 4 35

a b c

a b c

a b c

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A. COMPLETA correctamente, colocando la/s palabra/s adecuada/s sobre la línea:

La matriz BA donde B es la matriz de los términos independientes, se le llama

matriz aumentada para el método de la __________________________________ .

La matriz A I donde I es la matriz identidad se le llama matriz aumentada para el

método de la _____________________________ .

Si A y B son matrices cuadradas en las que se cumple que A.B= I y B.A = I entonces

por definición B es la matriz _________________ de A.

Si una matriz cuadrada A no tiene inversa, entonces se dice que es una matriz

_________________________________ .

B. Dada las siguientes matrices: 3 6

1 1C

,

1 1

1 0D

Calcula CD y DC . ¿Se puede decir que las matrices C y D son inversas?


SEMANA 4


Sesión 1 Tema: Metodología de Resolución de Sistemas de

ecuaciones lineales

Problema de aplicación resuelto por el Método de G. POLYA

1. Miriam gerente de una fábrica que elabora dos productos M y N. Sabe que por cada unidad que vende de M la ganancia es de $8 y por cada unidad que vende de N la ganancia es de $11. De su experiencia ha encontrado que puede vender 25% más de M que de N. Para el año siguiente Miriam desea obtener una ganancia total de $42 000. La Gerente ha calculado que debe vender 2 000 unidades del producto N. Ayúdala tú calculando ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender?

Utiliza el método de la matriz inversa e indica si es correcto lo que calculó Miriam.

RESOLUCIÓN

PASO 1: ENTIENDO EL EJERCICIO a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema?

La cantidad de productos M y N elaborados y vendidos.

b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del ejercicio?

Por cada unidad M la ganancia es $ 8

Por cada unidad N la ganancia es $ 11

Se desea obtener una ganancia de $ 42 000 el próximo año

Se debe vender 25% más del producto M que de N.

c) Identifica las condiciones (verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del ejercicio?

Cuántas unidades de cada producto M y N se debe fabricar y vender.

PASO 2: CONCIBO UN PLAN a) Redacta cómo vas a resolver el ejercicio o Puedes redactar el problema con tus

propias palabras

Primero debo formar las ecuaciones lineales

Formo el sistema de ecuaciones matriciales.

Construyo la matriz aumentada.

Resuelvo el sistema de ecuaciones por el método solicitado.

Obtengo los valores de M y N

Verifico las soluciones

Redacto mi respuesta.

Emito mi juicio crítico.


b) ¿Qué operación matemática debes hacer?

Formo las ecuaciones

1

4

8 11 42 000M N

M N N

8 11 42000

4 5 0

M M

M N

Aplico el algoritmo de la matriz inversa.

PASO 3: EJECUTO EL PLAN

OPERACIONES

Formo el sistema de ecuaciones matriciales: 8 11 42000

4 5 0

M

N

Construyo la matriz aumentada: 8 11 1 0

4 5 0 1

Hallando la matriz inversa: 8 11 1 0

4 5 0 1

11 11

8 81 0

4 5 0 1

11 11 0

8 8

21 10 12 2

5 111 0

84 84

1 20 121 21

entonces: 5 1111

84 4 -8A

Como: 1X A B 5 11 2 5001

84 4 8 0 2000

42000M

N

Por lo tanto: 2500M ; 2000N

PASO 4: EXAMINO LA SOLUCION

Verifico las soluciones obtenidas.

8 11M N + = 42000

8(2500) +11(2000) = 4200042000 = 42000

14

14 (

M = N + NM = 2000) + 2000M = 2500

RESPUESTA

Se deben vender 2500 unidades del producto M y 2000 unidades del

producto N

1/8 F1

-4F1 + F2 -2/21 F1


JUICIO DE VALOR

Estoy de acuerdo con la Gerente Miriam porque su cálculo es correcto, se

debe vender 2 000 unidades del producto N.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

ANALISIS

Lee los siguientes problemas, comprende y resuelve, utilizando el método de Cramer o el

método de la inversa de matrices.

1. Un empresario compró acciones mineras y comerciales de los tipos A y B respectivamente.

Cada acción del tipo A la adquirió a S/.10 y cada acción del tipo B la adquirió a S/.15. Si se

sabe que compró 900 acciones entre las del tipo A y las del tipo B y que invirtió S/.11 000

en la compra. ¿Cuántas acciones del tipo A y del tipo B adquirió el empresario?

2. En una empresa textil se fabrican chompas y camisas cuyos precios de venta unitaria se fijan

en $ 25 y $ 20 respectivamente. Los costos totales ascienden a $ 12 000 y se desea fabricar

700 prendas en total. Halle la cantidad de chompas y camisas que se debe fabricar para

obtener una utilidad de $ 4 000.

3. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. Suponga que cada modelo A

requiere 10 partes del tipo I y 14 partes del tipo II, mientras que cada modelo B requiere 8

partes del tipo I y 6 partes del tipo II. Si La fábrica puede obtener 850 partes del tipo I y 930

partes del tipo II, ¿cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las

partes disponibles?

4. Una fábrica de zapatos y zapatillas tiene un costo fijo mensual de $1 000. El costo de

producción por par (mano de obra y material) es de $40 y $20 respectivamente. Si el costo

total mensual es de $3 000 y se fabricaron 70 pares entre zapatos y zapatillas, calcule la

cantidad de pares de zapatos y zapatillas producidas en un mes.

5. La empresa “Dulces SAC” fabrica, envasa y vende mermelada y puré de manzana. Por cada

unidad de mermelada que vende, la ganancia es de $6 y por cada unidad que vende de puré

la ganancia es de $ 9. La empresa determinó que por cada 3 frascos de mermelada vende

2 frascos de puré. Así que para el próximo año la empresa desea obtener una utilidad de

$72 000. ¿Cuántas unidades de puré deberá vender?

6. Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1 y B2. El precio

de venta del modelo B1 es de $30 y del modelo B2 es de $40. Si en el mes de enero la tienda

vendió 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total fue de $15 000, determine

el número USB de cada tipo que se vendieron durante el mes de enero.

7. Una compañía tiene ingresos gravables por $ 312 000. El impuesto a la Sunat es el 25% de

la parte que queda después que el impuesto al Municipio ha sido pagado. El impuesto al

Municipio es el 10% de la parte que queda después que el impuesto a la Sunat ha sido

pagado. Encuentre el monto pagado a la Sunat y al Municipio.


EVALUACION

Defienda o Critique la afirmación hecha:

8. Un sastre por campaña escolar compra tela para pantalones y camisas, el metro de

tela para pantalón cuesta S/ 10, y el metro de tela para camisa cuesta S/.5, El sastre

compró 400 metros de tela de ambos tipos; esto le generó un gasto de S/2500. El sastre

afirma que compró 100 metros de tela para pantalón y 300 metros de tela para camisa.

Defienda o Critique lo afirmado por el sastre.

9. Un veterinario compra comida para pollos y cerdos, la bolsa de 4kg de comida para

pollos le cuesta S/ 10, y el de comida para cerdos la bolsa de 4kg le cuesta S/.15, El

veterinario compró 900 bolsas en total entre comida para pollos y cerdos; que le generó

un gasto total de S/ 11 000. El veterinario afirma que tiene que comprar 300 bolsas de

comida para pollos y 600 bolsas de comida para cerdos. Defienda o Critique lo

afirmado por el veterinario.

10. Una fábrica de muebles, que produce mesas y roperos, tiene un costo fijo mensual de

$500. El costo de producción unitario (mano de obra y material) es de $300 y $400

respectivamente. Si el costo total es de $10 500 y se fabricaron en un mes 30 muebles

entre mesas y roperos, calcule la cantidad de mesas y roperos producidos en un mes.

El fabricante afirma que se debe fabricar igual cantidad de mesas y roperos. Defienda

o Critique esta afirmación calculando la producción de cada artículo.

11. La empresa de turismo Lima Tour, ofrece paseos escénicos por aire y por tierra en la

cordillera del departamento de Lima. Los boletos para el tour de 7 horas y media

cuestan S/. 169 por un adulto y S/. 129 por un niño, y cada grupo de turistas se limita

a 19 personas. En tres viajes recientes con lleno completo, los ingresos totales fueron

S/. 2 931 para el primer viaje, S/. 3 011 para el segundo y S/. 2 771 para el tercero.

a. Mediante el Método de Cramer y de la matriz inversa determine, cuántos adultos y cuántos niños estuvieron en cada viaje.

b. ¿Con cuál de los métodos usted puede obtener los resultados, ahorrando tiempo en el procedimiento?


CASO: MATRICES – DETERMINANTES – MATRIZ INVERSA

El promedio del número de pasajeros que viaja en una unidad del metropolitano de Lima

durante el día es 1 000 personas. La tarifa preferencial para escolares y universitarios es

de S/1,25 y la tarifa general es $2,50. El total de ingresos recibidos por los pasajes del día

(en promedio) es de $2 250.¿Cuántos pasajeros viajaron haciendo uso de la tarifa

preferencial y cuantos de la tarifa general?

Fuente:https://diariocorreo.pe/ciudad/el-metropolitano-planea-atender-a-100-mil-pasajeros-mas-en-este-ano-662690/

Si consideramos:

x= Pasajeros que pagaron con tarifa preferencial.

y =Pasajeros que pagaron con tarifa general.

CONOCIMIENTO

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. 1000x y es la ecuación que representa al total de pasajeros.

B. 1250x y es la ecuación que representa al total de pasajeros.

C. Ninguna es correcta.

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. 1.25 x + 2.50 y = 1 000 es la ecuación que representa los ingresos.

B. 1.25 x + 2.50 y = 2 250 es la ecuación que representa los ingresos.

C. Ninguna es correcta.

3. ¿Cuánto paga de pasaje un adulto común?

4. ¿Cuánto paga de pasaje un estudiante de USMP?

5. ¿En cuánto excede la tarifa general a la tarifa preferencial?

COMPRENSION

6. ¿Qué representa la ecuación: x + y = 1 000?

7. ¿Qué representa la ecuación: 1.25x + 2.50y = 2 250?

APLICACIÓN

8. Escriba el sistema de ecuaciones lineales (simplifíquelas) y luego represéntelo en

forma matricial usando la multiplicación de matrices.

a) ¿Cuál es el orden de la matriz de las variables?

b) La matriz de los coeficientes es una matriz escalar. Justifica tu respuesta.

ANALISIS

9. Utilizando los datos proporcionados en el caso y el Método de la matriz inversa resuelve

e indica:

METROPOLITANO

https://diariocorreo.pe/ciudad/el-metropolitano-planea-atender-a-100-mil-pasajeros-mas-en-este-ano-662690/


a) ¿Cuántos pasajeros viajan usando la tarifa preferencial?

b) ¿Cuántos pasajeros viajan usando la tarifa general?

10. Verifica tu respuesta haciendo uso del método de Cramer.

EVALUACIÓN

El gerente de Comercial del Metropolitano afirma que el número de pasajeros que usaron

la tarifa preferencial es 250 y el número de pasajeros que usaron la tarifa general es 750.

Defienda o critique usted esta afirmación. Emita su opinión sobre lo que afirma el

gerente.

ACTIVIDAD 04

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

Objetivo

Consolidar el aprendizaje de la primera unidad. Matrices, determinantes y sistemas de

ecuaciones lineales.

Orientaciones

De manera grupal desarrollar las fichas 1 y 2 de la Unidad I del Portafolio.

Tarea Auténtica

Usted está a punto de ser seleccionado para realizar prácticas pre profesionales en una

empresa pesquera, que tiene como presentación en su página web la siguiente

información.

“Somos la empresa pesquera líder en el Perú, dedicados a la extracción,

transformación y exportación de productos hidrobiológicos; y estamos

comprometidos con el desarrollo sostenible asegurando la pesca

responsable y contribuyendo al crecimiento del país.”

Los finalistas deben responder el siguiente cuestionario:

Se pide

1. Construir una matriz con la producción del mes de diciembre 2017 y del mes de

enero 2018, de cinco de las especies que tuvieron mayor incremento.

2. Construir una matriz con los precios relativos a los meses de diciembre 2017 y

enero 2018, de cinco de las especies que tuvieron mayor incremento.

Mediante operaciones matriciales, determine.

3. La producción total de los meses de diciembre 2017 y enero 2018, de cinco de las

especies que tuvieron mayor incremento.

4. El ingreso total por la venta de todo el consumo de los meses de diciembre 2017 y

enero 2018.


Para ello se les entrega la siguiente información:

Fuente: http://ogeiee.produce.gob.pe/index.php/shortcode/oee-documentos-publicaciones/boletines-

pesca/item/download/142_ed439ecb035cc18a348ef2e2335c4322

http://ogeiee.produce.gob.pe/index.php/shortcode/oee-documentos-publicaciones/boletines-pesca/item/download/142_ed439ecb035cc18a348ef2e2335c4322

http://ogeiee.produce.gob.pe/index.php/shortcode/oee-documentos-publicaciones/boletines-pesca/item/download/142_ed439ecb035cc18a348ef2e2335c4322


Esta tarea lo debes resolver en forma grupal, mínimo de 2 estudiantes y máximo 4. Se debe

presentar desarrollada en la siguiente sesión.

Puede acceder a los datos oficiales mediante el código QR.

GLOSARIO

Matriz. Una matriz de mxn es un conjunto rectangular de números con m filas y n columnas.

Orden de una matriz. El orden de una matriz queda determinado por el número de filas n

y el número de columnas m que tenga la matriz.

Determinante. Si A es una matriz cuadrada, entonces la función determinante asocia a A

exactamente un número real, al que se denomina determinante de A.

Resolver una ecuación. Significa encontrar todos los valores de sus variables para los

cuales la ecuación se verifica

Soluciones de un sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones lineales puede

tener una solución única, ninguna solución, o una cantidad infinita de ellas.

Método o regla de Cramer. Se aplica a sistemas de n ecuaciones con n incógnitas cuando

el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero.

FUENTES DE INFORMACIÓN

Haeussler, E. y Richard, P. (2008). Matemáticas para Administración y Economía. (12ª

Ed.) México. D.F.: Pearson Educación.

Hoffmann, D. y Geral, B. (2006). Cálculo para Administración, Economía y Ciencias

Sociales. (8a. Ed.). México: McGraw-Hill.

Arya J. y Lardner, R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía.

(5a. ed.) México D.F: Pearson Educación.


SEMANA 5

UNIDAD II: Limite y continuidad de una función de variable real. Derivada de una función.

Sesión 1 Tema: Limites

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

Es importante conocer el comportamiento de una función ( )f x , cuando los valores de la

variable independiente “ x ”, se aproximan a un número determinado que llamaremos 0x .

Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos

al número 0x .

Ejemplo Si 3 1

1

xf x

x

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el

entorno de 1, y calculamos los valores correspondientes de la función ( )f x :

1x 1x

x 0,95 0,99 0,995 0,999 1,001 1,005 1,01 1,05

xf 2,8525 2,970 2,9850 2,9970 3,0030 3,0150 3,0301 3,1525

De la tabla podemos observar que, mientras el valor de “x” se aproxima al número 1, el

valor de ( )f x se aproxima al número 3.

Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función ( )f x cuando x “tiende” a 1; es 3.

Esto se simboliza:

3

1

13

1limx

x

x

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

El límite de una función ( )f x , cuando la variable x se aproxima a un valor dado 0x , es el

número real “L” , (siempre que exista), al cual se aproxima la función, esto se simboliza:

( )lim0x x

f x L

, se lee: “El límite de ( )f x cuando x tiende a 0x es L ”

ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS

Sean k , 0x números reales y n un número entero positivo. Entonces:

1.

0

limx x

k k

2. 0

0

limx x

xx

3. 0

0

lim n n

x xxx

Observamos que el punto 0 1x no pertenece al

dominio de la función.


PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Sean k , 0x números reales y n un número entero positivo y f, g funciones cuyos

límites existen:

0

( )limx x

f x L

y

0

( )limx x

Mg x

Entonces:

1.

0 0

( ) ( )lim limx x x x

Lf x f xk k k

2. 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x

f x g x f x g x L M

3. 0 0 0


f x g x f x g x L M

4. 0 0 0


f x g x f x g x L M

5. 0

0

0

( )( )

( ) ( )

lim

limlim

x x

x xx x

f xf x L

g x Mg x

, siempre que 0M .

6. 0 0

( ) ( )lim lim

n

n n

x x x xf x f x L

7. 00

lim lim nnn

x x x x

f x f x L

FORMA INDETERMINADA: 00

Cuando en una función ( )f x reemplazamos la variable por un valor dado “x0” y nos da la

forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el

0

( )limx x

f x

; previamente se debe factorizar

o racionalizar ( )f x con la finalidad de “eliminar o levantar la indeterminación.

Ejemplo 1 Calcular 2

21

2

2 3limx

x x

x x


Solución: 2

21

2 0 . .02 3

limx

x x F Ix x

2

21 1

( 1)( 2)2 ( 1)( 3)2 3

lim limx x

x xx xx xx x

1

( 2) ( 3)

limx

x

x

4

3

Por tanto: 2

21

2 3 42 3

limx

x x

x x

Ejemplo 2 Calcular 7

2 3 7

limx

xx

Solución: 7

2 3 0 . .7 0

limx

x F Ix

7 7

2 3 2 3 2 3 7 7 2 3

lim limx x

x x x

x x x

2

2

7

2 3lim

( 7)( 2 3)x

x

x x

7

( 7)lim

( 7)( 2 3)x

x

x x

7

1lim( 2 3)x x

6

1

Por tanto: 7

2 3 1lim7 6x

x

x

EJERCICIOS:

Calcular los siguientes límites

1. 3 (7 )lim

x 2. 4

2 lim

xx

3. 2

22 3lim

xx x

4.

2

2 2

3 4

3lim

x

x x

x x

Forma indeterminada 00

7. 4

1

1

1limx

x

x

8.

24

4

12lim

x

x

x x 9.

22

2

4limx

x

x

10. 2

2 2

2limx

x

x

11.

2 3

3

7 4lim

x

x

x

12.

2

0

1 1limx

x

x

13. 2

22

5 6

3 10limx

x x

x x

14.

2

1

2

1limx

x x

x

15.

23

3

2 3limx

x

x x


4

6

2

y

x

SEMANA 5


Sesión 2 Tema: Limites laterales

Consideremos una función por tramos:

2 ; 2

( )

34 ; 2

x si xf x

x si x

Podemos observar que cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la izquierda ( 2)x , la

función se aproxima al número 4; esto se simboliza: 2

( ) 4limx

f x

Asimismo, cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la derecha ( 2)x , la función se

aproxima al número 6, esto se simboliza: 2

( ) 6limx

f x

DEFINICIÓN. Una función ( )f x tiene límite en “ a ” si los límites laterales en “ a ” son

iguales; esto es:

Lxfax

)(lim Lxfxfaxax

)(lim)(lim

EJERCICIOS:

Verifique si existen los siguientes límites:

1.

2 2 1; 1( )

4 1 ; 1

x si xf x

x si x

a) 1

limx

f (x)

b) 1

limx

f (x)

c) 1

( )limx

f x

2.

2 4 ; 2

( ) 2

5 6 ; 2

xsi x

f x x

x si x

a) 2

limx

f (x)

b) 2

limx

f (x)

c) 2

limx

f (x)


3. Halle el valor de m y n si existen 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

;

2 3 ; 2

( ) 5 ; 2 1

32 ; 1

x m si x

f x mx n si x

x si x

4. Dada la gráfica de la función ( )f x , calcule si existen los siguientes límites:

ACTIVIDAD 05

LIMITE DE UNA FUNCION Y LIMITES LATERALES

Objetivo

Determinar el límite de una función.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Completa correctamente, colocando la respuesta

adecuada sobre los espacios en blanco.

Para que exista el límite de una función cuando la variable se aproxima a un valor

determinado, _______ necesario que la función esté definida en ese valor o punto.

( )lim0x x

f x L

, se lee: “El límite de ( )f x cuando x ____________ a 0x es L ”

Lxfax

)(lim lim ( ) lim ( ) ______x a x a

f x f x

Si el límite de una función existe, este se puede determinar, estimar o calcular usando

una tabla (y calculadora), aplicando ____________ u observando una ___________

a)1 3

( )limx

f x

b)1 3

( )limx

f x

c)1 3

( )limx

f x

d)1 2

( )limx

f x

e) 1 2

( )limx

f x

f)1 2

( )limx

f x

g)21

( )limx

f x

h) 21

( )limx

f x

i)12

( )limx

f x

j) 0

( )limx

f x

k) 0

( )limx

f x

l)0

( )limx

f x

23

1

1

3

4

2 x

y


NIVEL Pregunta Nº2

APLICACIÓN Aplique las propiedades correspondientes y calcule los

siguientes límites:

A. 1. 2

2

3 10

11limx

x x

x

2. 2

23

5 24

12limx

x x

x

3.

1

8

3limx

x

x

B. Formas indeterminada(0/0)

1. 2

22 3

3 2

3 4 4lim

x

x x

x x

2.

2

2

4 4

2lim

x

x x

x

3.

2

2 4

9 20

3 4limx

x x

x x

4. 0

9 3

16 4limx

x

x

5.

2 2

limx a

b x b a

x a

6.

2

0

3

3 1 1limx

x x

x

De manera grupal determinen los límites indicados:

NIVEL

Pregunta Nº 3

ANALISIS Analiza la función definida por tramos y/o la gráfica y determina

si los límites existen.

A.

2

2 ; 1

1( )

3 ; 1

8

x xsi x

xf x

xsi x

a) 1

( )limx

f x

b) 1

( )limx

f x

c) 1

( )limx

f x

B.

I. a) 2

( )limx

f x

b) 2

( )limx

f x

c) 2

( )limx

f x

II. a) 5

( )limx

f x

b) 5

( )limx

f x

c) 5

( )limx

f x

III. a) 7

( )limx

f x

b) 7

( )limx

f x

c) 7

( )limx

f x

2 x

y

-2 5 6

1

3

5

7



I. APLICACION

A. Aplicando las propiedades correspondientes calcule los siguientes límites:

1. 0

2

4 2

9 3limx

x

x x

2.

4

2 2

1 3limx

x

x

3.

4

2 1 3

2 2limx

x

x

4. 1

2

4 2

8 3limx

x

x x

5.

4

3 3 2

2 1 3limx

x

x

6.

2

2 5 1

4 2limx

x

x

B. En los siguientes ejercicios, calcule la constante c de modo que el límite exista.

Para ese valor de c determinar el límite.

a) 2

21

2 1

limx

x x c

x

b)

2

22

3 7 4

limx

x x c

x

c)

2

22

5 6

limx

x x c

x x

d) 2

24

2 8

limx

x x c

x x

e)

2

23

4 2 15

limx

x x c

x x

f)

2

22

5 4 12

limx

x x c

x x

II. SINTESIS

A. Analiza la función por tramos y determina si los limites existen:

3

2

8 ; 2

4( )

3 3 3 ; 2

2

xsi x

xf x

xsi x

x

a) 2

( )limx

f x

b) 2

( )limx

f x

c) 2

( )limx

f x

B. Dada la gráfica de la función ( )f x , calcule si existen los siguientes límites:

C. Dado:

3 2

2

3 1 ; 1

( ) 1 ; 1

3 1 2

Bx x si x

f x xsi x

x

, calcule el valor de, B si existe 1

( )limx

f x

a) 11

( )limx

f x

b) 11

( )limx

f x

c) 11

( )limx

f x

d) 2

( )limx

f x

e) 2

( )limx

f x

f) 1 2

( )limx

f x

g) 0

( )limx

f x

h) 0

( )limx

f x

i) 0

( )limx

f x

2

3

1 2

8

4

9

x

y


D. Halle el valor de a y b si existen 1

( )limx

f x

y 3

( )limx

f x

;

2 1 ; 1

( ) ; 1 3

5 ; 3

x si x

f x ax b si x

x si x

E. Halle el valor de m y n si existen 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

;

2 3 ; 2

( ) 5 ; 2 1

32 ; 1

x m si x

f x mx n si x

x si x

IV. EVALUACIÓN

1. Se sabe que 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

existen, Pedro afirma que el valor de a es

5 y b es -6. si. Juzgue Ud. si está a favor de lo que afirma Pedro. Justificando su respuesta.

2

2

2 ; 1

( ) 4 ; 1 2

3 6; 2

ax x si x

f x x ax b si x

x si x

2. Se sabe que 3

( )limx

f x

y 5

( )limx

f x

existen, Luis afirma que el valor de m es 4

y n es -7/3. si. Juzgue Ud. si está a favor de lo que afirma Luis. Justificando su respuesta.

2 ; 3

( ) ; 3 5

1 3; 5

x nx si x

f x mx n si x

m x si x


SEMANA 6


Sesión 1 Tema: Continuidad

En matemáticas, el término continuo tiene el mismo significado que en su uso cotidiano.

Decir, de manera informal, que una función f es continua en x = a significa que no hay

interrupción de la gráfica de f en c.

Una función ( )f x es continua en a ; si y sólo si, se cumplen las siguientes tres

condiciones:

1. Existe ( )f a , es decir a pertenece al dominio de ( )f x .

2. Existe el ( )limx a

f x

, es decir los limites laterales existen y son iguales

( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x f x f x

3. ( )= ( )limx a

f a f x

OBSERVACIONES

Una función polinomial es continua en todo su dominio.

Ejemplo 1 3( ) 2 3 1, f x x x x

3

3 3

3

Sea : ) ( ) 2 3 1, existe.

) ( ) 2 3 1 2 3 1, existe.

( ) ) ( ) ( ) 2 3 1 a

lim lim

lim

x ax a

x a

a i f a a a

ii f x x x a a

iii f x es continuaf a f x ea na

Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y es

continua en cualquier otro punto de su dominio.

Ejemplo 2

Analizar la continuidad de la función: 2

2 1( )

9

xf x

x


Solución:

2

Si 3:

2(3) 1 7) (3) , 3

03 9

x

i f f x

es discontinua en

2

Si 3:

2( 3) 1 5) ( 3) , 3

0( 3) 9

x

i f f x

es discontinua en

EJEMPLOS

1. Analizar la continuidad de la función: 2

3 1, 0

( ) , 0 1

2 1, 1

x x

f x x x

x x

Solución:

Hacemos el análisis de la continuidad de la función en x=0 y x=1

2

2 2

0 0

0 0 0

2

2 2

1 1

Si 0 :

) ( ) 0 0

) 0 0; (3 1) 3( 0 ) 1 1

( ) ( ) ( )

0

Si 1:

) (1) 1 1

) ( 2 1) 2 (1) 1 1; 1 1

lim lim

lim lim lim

lim lim lim

x x

x x x

x x x

x

i f x

ii x x

f x f x f x

f x

x

i f

ii x x

es discontinua en

1

1

( ) 1

) (1) ( ) 1

1

limx

f x

iii f f x

f x

es continua en

2. Si la función

3 , 1

( ) 3 1, 1 2

2 1, 2

x a x

f x a x

bx x

, es continúa en todo su dominio. Hallar a y b

Solución:

Se analiza la continuidad en 1x y 2x , pues esto va generar que se formen

ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de “ a ” y “b ”.

Como ( )f x es continua en 1x , basta observar que: 1 1

(1) ( ) ( )lim limx x

f f x f x


Luego: (1) 3 1f a ; 1

(3 1) 3 1limx

a a

; 1

(3 ) 3limx

x a a

3 1a = 3 a 1a

Como ( )f x es continua en 2x , basta observar que:

2 2

(2) ( ) ( )lim limx x

f f x f x

Luego:

(2) 2 (2) 1f b ; 2

(2 1) 2 (2) 1limx

bx b

; 2

(3 1) 3 1limx

a a

;

4 1b = 3 1a 4 1b = 3(1) 1 = 2 1 4b

EJERCICIOS

1. Determine en puntos la función es continua.

2

1( )

3 27f x

x

2. Analice la continuidad de la función f(x).

2 3

2( )

3 3

2 3

si xx

f xx

si xx

3. Determine los valores de x para los que cada función es continua.

a) ( ) 2f x x b)

2 4( )

2

xg x

x

c)

2 2( )

1 2

x si xh x

si x

d)

1 0( )

1 0

si xF x

si x

e)

10

( )

1 0

si xF x x

si x

SUGERENCIA: Utiliza un cualquier graficador para hacer más fácil tu respuesta.


SEMANA 6


Sesión 2 Tema: Tipos de discontinuidad

1. Discontinuidad removible o evitable. Una función presenta discontinuidad

removible o evitable en un punto “ a ” cuando existe ( )limx a

f x

pero es diferente

de ( )f a ó ( )a Df x .

Ejemplo:

OBSERVACIÓN

a. En el primer gráfico, (3) 5f pero3

( ) 4limx

f x

,

luego ( )f x es discontinua removible en 3x

b. En el segundo gráfico, (3)f no existe, sin embargo,3

( ) 4limx

f x

( )f x es discontinua removible en 3x

2. Discontinuidad no removible o inevitable. Una función presenta discontinuidad en

un punto “ a ” cuando no existe ( )limx a

f x

, o al menos uno de los límites laterales en

“ a ” es .

Ejemplo

OBSERVACIÓN

2

4

7

3

1

5

4

3

( )f x

3

4

( )f x

a) b)


a) En el primer gráfico, 2

( ) 4limx

f x

y 2

( ) 7limx

f x

2

( )limx

f x

( )f x es discontinua no removible en 2x

b) En el segundo gráfico, 3

( ) 1limx

f x

y 3

( ) limx

f x

3

( )limx

f x

( )f x es discontinua no removible en 3x

ACTIVIDAD 06

Continuidad de funciones

Objetivo

Reconocer y aplicar las condiciones de continuidad de una función.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Utilizando la definición de continuidad indique porqué la

función dada es continua en el punto indicado.

a. 3 8 , 2f x x x x ________________________________________________

b. 23

, 02

xf x x

x

_________________________________________________

c. 3

, 39

xf x x

x

________________________________________________

d. 3 , 1f x x x _________________________________________________

e. 2 3 , 0f x x x ________________________________________________

f. 3 8

, 22

xf x x

x

________________________________________________

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique de qué tipo se trata:

a. 4

( )2

xf x

x

b.

2

3( )

9

xf x

x

c.

2

2

4( )

1

xf x

x


NIVEL Pregunta Nº3

ANALISIS Analice la continuidad de las siguientes funciones

a.

2 1 ; si 1

( ) 1

2 ; si 1

xx

f x x

x

b.

2

2

3 2 ; si 2

2 4( )

2 4 ; si 2

4

x xx

xf x

xx

x

De manera grupal responda según lo señalado en cada uno de los ítems.

NIVEL

Pregunta Nº 4

APLICACIÓN

Sabiendo que las funciones son continuas en todo su

dominio. Aplique los criterios correspondientes y determine

el valor de las constantes.

1.

3 ; 1( )

3 ; 1

ax xf x

ax x

2.

2 ; 1( ) 3 ; 1

x a xf xx

3.

22 4 ; 2

( ) 6 ; 2 4

3 2 ; 4

ax b si x

f x si x

ax b si x

4.

2 2 5 ; 1

( ) 8 2 ; 1 3

2 ; 3

ax b si x

f x x si x

ax b si x


CONOCIMIENTO Y APLICACION Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique de qué tipo se

trata

a.

2

2

1( )

4

x xf x

x

b.

2

2

4( )

16

x xf x

x

c.

3

7( )

xf x

x x

ANALISIS I. Analice la continuidad de las siguientes funciones:

a.

4 1 ; 1

( ) 5 ; 1

2 3 ; 1

x si x

f x si x

x si x

b.

3 8 ; 2

2

( ) 3 ; 2

2 1 ; 2

xsi x

x

f x si x

x si x


c.

2 1 3 ; 1

1( )2 1

; 13

x xsi x

xf xx

si x

d. 2

4 2 ; 1

( ) 3 ; 1 4

6 ; 4

x si x

f x x x si x

x si x

e.

2 1 ; 2

( ) 6 ; 2 8

4 3 ; 8

x si x

f x si x

x si x

f.

2 2 1 ; si 7

( ) 1 ; si 7 9

2 ; si 9

x x x

f x x x

x x

g.

2

2 ; 2

4( ) ; 2 3

2

5 ; 3

x x

xf x x

x

x

h.

3

1 ; si 0

3

2 1( ) ; si 0 2

3

8 ; si 2

xx

x

xf x x

x x

II. Calcule el valor de las constantes, sabiendo que las funciones son continuas en todo su

dominio.

1.

2 ; 2

( ) 3 ; 2 1

6 2 ; 1

x a si x

f x ax b si x

x b si x

2.

3 1 ; 1

( ) ; 1 3

4 ; 3

x si x

f x ax b si x

x si x

3.

3 ; 1

( ) 4 ; 1 2

2 8; 2

x si x

f x si x

bx si x

4.

2

2

3 1 ; 1

( ) 1 ; 1

3 1 2

ax x si x

f x xsi x

x

5.

2 2 1; 2

( ) 2 1 ; 2

3 3 ; 2

mx n si x

f x x si x

n mx si x

6. 3

2

2 ; 3

( ) 27 ; 3

3

m x si x

f x xsi x

x x

III. Analiza las gráficas siguientes y determina los valores de x donde la función es

continua o discontinua. En caso de ser discontinua indica el tipo de discontinuidad.

Justificando tu respuesta.

y

x

( )f x

2

5

6

22

y

x

1 4

3

y

x

( )f x

1

7

53

5


EVALUACIÓN

1. Manuel estudiante aplicado de Mat II de la USMP, afirma que esta función por tramos es continua en el punto x=1 y discontinua inevitable en el punto x=4, defiende o critica esta afirmación, justificando tu respuesta.

2. Julio estudiante poco aplicado de Mat II de la USMP, afirma que esta función por tramos es continua en el punto x=0 y discontinua inevitable en el punto x=2, defiende o critica esta afirmación, justificando tu respuesta.

3. José afirma que la gráfica de la función dada, es discontinua evitable en x=-3 y discontinua no removible en x=0. Defienda o critique usted lo planteado por José. Justifique su respuesta.

4. Armando afirma que la gráfica de la función dada, es discontinua evitable en x=-2 y

discontinua no removible en x=2. Defienda o

critique usted lo planteado por Armando. Justifique su respuesta

2

4 2; 1

( ) 3 ; 1 4

6 ; 4

x si x

f x x x si x

x si x

3

1; 0

3

2 1( ) ; 0 2

3

8; 2

x si xx

xf x si x

x si x


PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÓN:

1. El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende

reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente

función indicará en cada momento (t, medido en meses) el porcentaje de pacientes que

podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera:

2 8 50 0 10

( ) 38 100 100,4

t t t

P t t tt

Confirma que dicha función es continua y que, por tanto, no presenta un salto en t = 10.

SOLUCION:

Hacemos el análisis de la continuidad de la función en t =10

2

2

10 10

10

10

Si t 10 :

) P (10) (10) 8(10) 50 70

38 100) ( 8 50) 70; 70

0,4

P ( ) 70

)P(10) P(t) 70

P 10

lim lim

lim

lim

t t

x

t

i

tii t t

t

t

iii

t

es continua en

OBSERVACION

Si t ≠ 10, la función es continua por estar definida por un polinomio o un cociente de

polinomios con denominador no nulo en su dominio de definición.

2. Un plomero cobra $100 por la primera hora de trabajo a domicilio y $75 por cada hora (o

fracción) posterior. La función de lo que le cuesta una visita de x horas es:

$100 0 1

$175 1 2( )

$250 2 3

$325 3 4

x

xf x

x

x

Determine: 1

( )limx

f x

y 2,5

( )limx

f x

SOLUCION: 1 1

( ) (100) 100lim limx x

f x f

y 2,5 2,5

0 ( ) (250) 25lim limx x

f x f


DILEMA ETICO RESPETO DE LAS NORMAS LABORALES DE LA EMPRESA

Como parte del cumplimiento de las leyes laborales que protegen a los trabajadores de

cualquier empresa, están obligados a realizar un aporte ya sea a la ONP o a las AFPs, que

servirán para que en el futuro puedan contar con una pensión de jubilación. que servirá

para cubrir sus necesidades. Existen otros dispositivos legales que promueven y protegen

estos aportes en las AFPs, de tal manera que el trabajador no pueda retirar libremente

dichos fondos, sin embargo, mediante la LEY 30425 que se promulgo en el año 2016, los

trabajadores puedan realizar retiros de esos fondos pero con ciertas condiciones, entre ellas

que tengan una cantidad de dinero como aporte y también comprendidos dentro de un

rango de 50-60 años de edad. En la última semana un diario comunicó de esta manera la

ejecución de la normativa:

“… antes de la norma que libera hasta el 95.5% del fondo del afiliado los que aplicaban a

la Jubilación Anticipada Ordinaria eran los afiliados de 59 - 60 o 61 años de edad. Porque

matemáticamente era difícil que alguien más joven tenga un fondo que le permita una

pensión equivalente al 40% de su fondo", señaló Aldo Ferrini , gerente general de AFP

Integra : “Algunos afiliados han ideado pedir créditos a bancos y ponerlo como ahorro

voluntario previsional para que las matemáticas le den una pensión del 40% de su sueldo.

Inician el trámite y aplican al 95.5%. Una vez que aplican devuelven el monto prestado.

Esto claramente es una sacada de vuelta a la norma, vulnera el sistema y es un beneficio

que no debería existir", comentó”.

Fuente: https://gestion.pe/tu-dinero/afp-afiliados-38-anos-edad-retiran-95-5-fondos-

255786?href=tepuedeinteresar

Un empleado de una AFP en la posición de “Analista de estos casos de devolución de

aportes” se entera del reportaje periodístico antes descrito, le llega la solicitud de un

excompañero de estudios, al cual lo une, una profunda amistad; pero que no cumple los

requisitos exigidos por la ley, sin embargo en su análisis correspondiente observa que hay

una continuidad en sus aportes esto hace que le sugiera la manera de como pueda burlar

la ley y poder acceder a la devolución de estos aportes.

1. Estarías de acuerdo con la manera de actuar del analista. ¿Por qué?

2. Si usted estaría en esa posición laboral ¿Cuál sería su actuación?

3. ¿Cree usted que el desempeño laboral del analista sea confiable para cualquier otra

empresa? ¿Por qué?

https://gestion.pe/noticias/aldo-ferrini

https://gestion.pe/noticias/AFP-Integra

https://gestion.pe/noticias/AFP-Integra


CASO: LIMITES - CONTINUIDAD

Los costos fijos de una empresa encargada de empaquetar

emparedados al vacío son $3000, los costos totales de la

empresa para incentivar la producción disminuirán hasta

$2000 cuando se empaqueten hasta mil emparedados,

según la función: ( ) 3 , 0 1C x x si x .

Donde x es el número de emparedados empaquetados

expresado en miles y C(x) es el costo total también

expresado en miles de dólares. Si el número de

emparedados empaquetados es superior a mil el costo total

se calculará de acuerdo a la siguiente función 2( ) 1 , 1C x x si x .

CONOCIMIENTO

1. De los datos, la función lineal del costo total es:

2. De los datos, la función cuadrática del costo es:

3. Cuáles el costo total de la empresa cuando se empaqueten exactamente mil

emparedados.

COMPRENSION

4. Con los datos completa la gráfica y contesta verdadero (V) o falso (F):

- El punto (0;3) debe ser abierto ( )

- El punto (1;2) debe ser cerrado ( )

5. Cuál será el costo total de la empresa cuando se empaqueten 2 000 emparedados.

Responda solamente observando la gráfica.

APLICACIÓN

6. Escribe la regla de correspondencia de la función por tramos

7. Aplicando límites demuestra tu respuesta de la pregunta 5.

8. Aplicando limites laterales demuestra que 0

lim ( )x

C x no existe

ANALISIS

9. Analiza la continuidad o discontinuidad (indicando el tipo), de la función por tramos o la

gráfica de la función en x = 0 y x = 1.

EVALUACIÓN

10. El Gerente afirma que la función es continua en ambos puntos. Emite tu opinión sobre lo

afirmado por el Gerente.

3

2 4

2

1

4

5

1 3

( )C x

x


SEMANA 7


Sesión 1 Tema: La derivada de una función

Uno de los procesos más importantes del cálculo: la derivación, que para efectos del

curso debemos interpretarla como la tasa de variación o razón de cambio.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:

Sea )(xf una función definida en cada punto del intervalo I , entonces se dice que

)(xf es derivable en el punto x I , si existe el límite siguiente:

0

( ) ( ) lim

h

f x h f x

h

La derivada de una función se denota por: ( )' xf o por ( )xdf

dx y se lee “la derivada de

)(xf en el punto x ”, entonces por definición se tiene:

0

( )

( )( ) ( )

' lim h

xx

f x h f xf

h

df

dx

Ejemplos:

Halle la derivada de las siguientes funciones usando la definición.

a) 23)( xxf b) 23 2 5f x x x c) ( ) 2 1f x x

Solución:

a)

0

( )( ) ( )

' l imh

xf x h f x

fh

0

( )3( ) 2 (3 2)

' l imh

xx h x

fh

0

( )3 3 2 3 2

' l imh

xx h x

fh

0

( )3

' l imh

xh

fh

0

( ) 3' l imh

xf

3)(' xf .

b)

0

( )( ) ( )

lim´h

xf x h f x

fh

2 2

0

( )3( ) 2( ) 5 (3 2 5)

' limh

xx h x h x x

fh

2 2 2

0

( )3( 2 ) 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh


2 2 2

0

( )3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2 2 2

0

( )3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh

2

0

( )6 3 2

' limh

xxh h h

fh

0

( )(6 3 2)

' limh

xh x h

fh

0

( )(6 3 2)

6 2' limh

xh x h

f xh

( ) 6 2´ xf x .

c)

0

( )( ) ( )

' l imh

xf x h f x

fh

0

( )2( ) 1 2 1

' limh

xx h x

fh

0

( )( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)

( 2 2 1 2 1)

' limh

xx h x x h x

fh x h x

0

( )(2 2 1 2 1) 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)

' limh

xx h x h

fh x h x h x h x

0

( )2 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 1 2 1)

' limh

xfx h x x x

( )2 1

2 2 1 2 1

' xfx x

.

Ejercicios

Aplicando la definición, encuentre la derivada de las siguientes funciones:

1. ( ) 2 7f x x 2. 2 5

( )4 1

xf x

x

3.

3 5( )

4 2

xf x

x

Para derivar una función mediante el uso directo de la definición de derivada puede

resultar una tarea muy tediosa, para ello se establecieron unas reglas que nos permiten

obtener la derivada de una función con procedimientos más eficientes.


SEMANA 7


Sesión 2 Tema: Reglas básicas de derivación

Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define:

1) Si, ( )xf k , es una función constante, entonces: ( ) 0' xf

2) Si, ( ) nf x x , n , entonces: 1( )' nf x nx

3) ( )( ) xx fk f k , donde k es constante.

4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g

Ejercicios

Aplicando las diferentes reglas de diferenciación, halle la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el punto dado:

1. 𝑓(𝑥) = √𝑥3+1

𝑥 ; 𝑥 = 1 2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2√𝑥 + 2𝑥3; 1x

ACTIVIDAD 07

Derivada de funciones

Objetivo

Reconocer y obtener la derivada de funciones.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Completa correctamente lo siguiente, colocando la

palabra o el signo adecuado

a. Si, ( )xf k , es una función constante, entonces: ( )' xf _______________ .

b. Coloca los signos que faltan a la siguiente formula: ( ) ( )

( ) limh

f x h f xf x

h

0

c. Si, f(x) = xn, n , entonces: ( )' xf __________________ .

d. ( )' xf se lee “la derivada de )(xf en _____________________ .


NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Encuentre la derivada de las funciones siguientes, empleando la definición.

1. ( ) 5 2f x x 2. 2( ) 5 6f x x x 3. ( ) 3f x x

NIVEL Pregunta Nº3

APLICACIÓN Aplicando las diferentes reglas de diferenciación, halle la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el punto dado:

1. )(xf = 5 4 22 3 145

35 2 78

x x x ; 2x

2. ( )f z = 1/2 2/3 1/41

2 3 5

z z z ; 1z

3. ( )f x = 5 3x 22 3 3x x ; 1x

4. )(xf = 24x (3 38 2x x ); 1x

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

APLICACIÓN Y SINTESIS

I. Aplicando las diferentes reglas de diferenciación, halle la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el punto dado:

1. 1

( ) x

f xx

; 4x 2.

2( ) 5 2 6 5f x x x x ; 1x

3. 2/3 3

1/3

2 32 2( )

4

x x xf x

x

; 8x 4.

3 2 1( ) 2 2 3f x x x x

x

; 8x

5. 1 2 4/3

4

5 2 3( )

x x xf x

x

; 1x 6. )(xf =

2

3

(3 4 3)x x

x

; 64x

7. ( )f t =

3 6

2

5 2 7t t t

t

; 64t 8. )(xf = 32 7)(3( xxxx ) ; 1x


SEMANA 8


Sesión 1 Tema: Derivada de una potencia, producto y cociente

Derivada de una potencia

5) 1

( )( ) ( )n n

n f xf x f x

Derivada de un producto

6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x

Derivada de un cociente

7) 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f x f x g x f x g x

g xg x

, si ( ) 0xg

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Sea ( )y f x una función definida en I , I , cuya gráfica sea la siguiente:

Si: )()()( 0000 xfxxfxf

Entonces, en el triángulo rectángulo MPN,

)( 0xf representa la longitud del cateto PN, de

igual manera que 0x representa la del MP.

De aquí se tiene que: )()(

0

0 tgx

xf

Pero si hacemos ,00 x

Entonces:

0

0

0

00

( )( )l im

x

f xf x

x

.

Esto quiere decir que, geométricamente, la

derivada de una función en un punto debe interpretarse como: la pendiente de la tangente

geométrica a la curva de la función f , en el punto considerado 0 0, ( )x f x .

EJERCICIOS

Derive las siguientes funciones:

1. 3( )f x x x 2. ( ) (2 1) 1f x x x 3.

2

13)(

x

xxf

0x

0 0x x

P

N

M

0( )f x

0 0( )f x x

( )f x

x

y

0


SEMANA 8


Sesión 2 Tema: Recta Tangente y Normal

La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una

recta que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente.

La ecuación de la recta tangente TL a la gráfica

de ( )y f x en el punto 0 0,x y y pendiente

LTm está dada por: 0 0( )LTy y x xm .

Pero sabemos que la pendiente de la recta

tangente en 0x es la derivada de 0( )f x :

0( )LT f xm . Entonces, la ecuación de la recta

tangente es: 0 0 0( )( )y y f x x x

La ecuación de la recta normal NL a la gráfica

de ( )y f x en el punto 0 0,x y de pendiente LNm , está dada por:

0 0( )LNy y x xm .

Pero sabemos que: 1LN

LT

mm

. Entonces, la ecuación de la recta normal es:

0 0

0

1( )

( )y y x x

f x

Ejemplo:

Halle la ecuación general de la recta tangente y de la recta normal a la parábola: 22 8 5y x x en el punto (1, 1)P .

Solución:

Derivando 2( ) 2 8 5f x x x , se tiene: ( ) 4 8f x x .

Evaluando la derivada en 1x , se tiene la mLT es ' (1) 4f , luego:

La ecuación general de la recta tangente es: 1 4 ( 1)y x ; : 4 3 0TL x y

La ecuación general de la recta normal es: 1

1 ( 1 )4

y x ; : 4 5 0TL x y .

EJERCICIOS:

Determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones

siguientes:

1. 2( ) 4 5 2 f x x x ; en (2, 8)P 2. 3

1 23 xxy ; en 0x

0 0( ; )P x y

NL

TL

( )f x


ACTIVIDAD 08

Derivada de potencia, producto y cociente de funciones

Objetivo

Obtener la derivada de una potencia, producto y cociente de funciones.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Completa correctamente las siguientes proposiciones,

colocando la palabra o el signo adecuado.

a. Geométricamente la derivada de una función se interpreta como la _____________ de

la recta tangente a la curva de la función f en un punto.

b. La recta normal es una recta que pasa por el punto de tangencia y es

_________________ a la recta tangente.

c. La pendiente de la recta tangente a 0( )f x en el punto 0x es la __________de 0( )f x

NIVEL Pregunta Nº2

APLICACIÓN Aplicando las fórmulas adecuadas, derive las siguientes funciones

1. 5( ) ( 3)f x x 2. 5

3

5( ) ( 3)f x x

3. 2 23( ) (4 3 2)f x x x 4. 4 2( ) ( 1)( 3 5)f x x x x

5. 2

3

5 3 2( )

4

x xf x

x

6.

3 2

2

4( )

( 1)

x x xf x

x

NIVEL Pregunta Nº3

ANALISIS Analice y determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones siguientes:

1. 2( ) 5 3 1 f x x x ; en (3, 37)P 2. 654)( 2 xxxf ; en 1x

3. Encuentre la ecuación general de la recta tangente a la curva

2 1( )

2

xy f x

x

que pasa por el punto (1,1) .

De manera grupal desarrollar las fichas 1 y 2 de la Unidad II del portafolio.



APLICACION

I. Aplicando las fórmulas adecuadas derive las siguientes funciones:

1. 2

3

5 3 2( )

4

x xf x

x

2.

3 2

2

4( )

( 1)

x x xf x

x

3. 6 8

3

( 3) ( 1)( )

( 2)

x xf x

x

4.

107( )4

xf xx

5.

2/32

3

3 1( )

7

x xf x

x

6.

4( 5 )

3 1( )

x

xf x

7.

2

32

1( )

1

xf x

x

8.

2 5 2 2

3 2

(3 7 ) ( 2 1)( )

6

x x x xf x

x x

ANALISIS

A. Analice y determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de

las funciones siguientes:

1. 2

( )1

f x xx

; en 2x . 2. 2( ) 3 2f x x x ;

en 0x

3. 2( ) 7 ; 3f x x x en x 4.

2(2 )( ) ; (4, ) ( )

x xf x en P k f x

x

B. Analice y halle, determine o encuentre:

5. Halle la ecuación general de la recta tangente a la curva: ( ) 2 3 1f x x x , en

2x .

6. Sea 1

( )3

xy f x

x

. Hallar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta

normal, en el punto de abscisa 1.

7. Encontrar la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de la función:

1( )

1

xy f x

x

que pasa por el punto (2 ) ( ), k f x .


8. Sea :

2

23

3 6( )

xy g x

x

, halle la ecuación general de la recta tangente y normal a

la gráfica de ( )y g x que pasa por el punto (1, ) ( )g xk .

9. Encuentre todos los puntos en la gráfica de 2 3x 7y x donde la recta tangente

sea paralela a la recta x y 4 0

10. Encuentre todos los puntos en la gráfica de 3( ) 5x 2f x x donde la recta

tangente sea perpendicular a la recta x 7 y 4 0

GLOSARIO

Límite de una función. Decir que limf(x)= L significa que es posible hacer que los

valores de f(x) sean tan cercanos al número L como se desee haciendo que x se

aproxime lo suficiente a a .

Limite lateral. Si f (x) tiende a L cuando x tiende a a por la derecha, entonces se escribe

lim ( )x a

f x

. De manera similar, si f(x) tiende a L cuando x tiende a a por la izquierda,

entonces se tiene lim ( )x a

f x

. A estos límites se les denomina límites laterales.

Continuidad. Una función f es continua en x = a, significa que la gráfica de f no se

interrumpe cuando x = a.

Derivada de una función f. Es la función que se denota por ´f (y se lee ‘f prima”) que

está definida por 0

( ) ( )(́x) lim

h

f x h f xf

h

donde la base b >0 y 1b









SEMANA 9

UNIDAD III: Aplicaciones de la derivada.

Sesión 1 Tema: Derivada de la función exponencial y logarítmica

Derivada de funciones exponenciales.

1) ( ) ( )

( ) lnf x f x

f x aa a

, donde a .

2) ( ) ( )

( )f x f x

f xe e

, donde e es la constante de Euler.

Caso particular ( ) 'x xe e

Derivada de funciones logarítmicas.

3) ( )

ln ( )( )

f xf x

f x

, caso particular:

1ln x

x

4) ln

( )( )

( )b

f xlog f x

f x b

, caso particular:

ln

1( )

b blog x

x

NOTA

Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logarítmicas, aplicar algunas

propiedades de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las

siguientes:

1) ln lnna an 2) ln( . ) ln lna b a b

3) ln( ) ln lna

a bb

4) ln

loglnb

aa

b (cambio de base)

EJERCICIOS:

I. Derive las siguientes funciones:

1. 3 2

4 2 5( )

x xf x e

2. 2( ) 1lnf x x 3.

3

2

6( )

3ln

x xf x

x

4.1

( )2

x

f x

5. 3 2( ) lnf x x 6. 3 2 -( ) 3 +x - 1ln xf x x e


ACTIVIDAD 09

Derivada de la función exponencial y logarítmica

Objetivo

Obtener la derivada de una función exponencial y logarítmica

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

APLICACIÓN Aplicando las fórmulas correspondientes, derive las

funciones

1. 33 6 2( ) x xf x e 2.

35

( ) ( 3) 2x

f x x

3. 24 3 6( ) (7 8) xf x x e 4. 34 2 1lny x x

5. 2 21 2lny x x x 6. 2 3 3 2lny x x

7. 1 33 21 lny x x x

De manera grupal desarrollar los siguientes problemas:

NIVEL Pregunta Nº2

ANALISIS Analice la función y determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto indicado.

1. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva:

2

3

5 2

1( )

x

xf x

e

e

en 0x

Rpta: y e 0

2. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva ( ) 4 3lnxy f x que pasa

por el punto (1, 2 ) . Rpta: 4 x 3 y 10 0

3. Halle la ecuación general de la recta tangente y normal a la curva

2 2( ) ( 1) xy f x x e en el punto ( 2 , 5 ) . Rpta: : 9 x y 13 0

: x 9 y 47 0

T

N

L

L


EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y ELABORACION

APLICACIÓN

Aplicando las fórmulas correspondientes, derive las funciones:

1. ln

2

xy

x

2. 1

1( ) ln

x

xf x

3. 2 ln(2 1)y x x 4. 3 2ln( 2 5 ). 4 2y x x x x

5. 2

5log 1y x x 6.

x x

x xy

e e

e e

7. 3 2

2 y log x x 8.

22

32

1 1

4

lnx x

y

x

9.

3

2 4

6 5 ( 4 5)

(7 8) 8 1 ln

x xy

x x

10.

45

7

4 3 ( 2 7 )

( 2 7 ) 3 2 ln

x xy

x x

ANALISIS

Analice y determine lo solicitado:

1. Halle la ecuación general de la recta normal a la curva: 3 ln (2 3)

( ) ( 2)x

f x x e ,

en el punto donde 2x .

Rpta: : 24 x y 42 0

: x 24 y 146 0

T

N

L

L

2. Determinar la ecuación general de la recta tangente a la curva

( ) ( 3) (3 1) 3lnf x x x en el punto ( 0 , 3 ) .

Rpta: 9 x y 3 0


SEMANA

10


Sesión 1 Tema: Incremento y razón de cambio. Aplicaciones a la

Economía

Razón media de cambio de “y” con respecto a “x”:

Si tenemos la función y = f(x). Todo cambio en la variable independiente “x” produce un

cambio en la variable dependiente “y”. Así, si x cambia del valor “ x” a xx 1 , entonces “y”

cambia de )( 1xf . Así el cambio en “y” que podemos denotar como y es

)()( 11 xfxxf , cuando el cambio en x es x .

El promedio de la razón de cambio de “y” por unidad de cambio en “x”, cuando “x” cambia

de 1x a xx 1 , es: x

y

x

xfxxf

)()( 11

Así en general, tenemos: Cambio en x: x x x x

Cambio en y: ( )y f x x f x

( ) ( )Cambio en y y f x x f x

Cambio en x x x

RAZON INSTANTANEA DE CAMBIO DE “y” CON RESPECTO A “x”

Si existe el límite de 1 1

( ) ( )f x x f x

x

cuando x se aproxima a cero, lo cual

denotamos como 1 1

0

( ) ( )lim

x

f x x f x

x

; este límite es el que recibe el nombre de

razón instantánea de cambio de “y” por unidad de cambio de “x”.

Definición

Si ( )y f x , la razón de cambio instantánea de “y” por unidad de cambio de “x” en x1 es la

derivada de “y” con respecto a x en x1, denotada por 1

( )'f x , si ésta existe en x = x1.

APLICACIONES A LA ECONOMIA

Función de costo total.

La función de costo total de un fabricante, ( )C f q , nos da el costo total C de producir y

comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de C con respecto a q se llama


costo marginal. Así, Costo marginal ' dC

Cdq

Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional

producida.

Ejemplo 1.

El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado

por 245 5C q . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha

sustancia.

Solución:

Derivamos la función costo: ' 10C q entonces '(3) 10(3) 30C , es decir, si la

producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente en

30 dólares.

Función de costo promedio.

Si C es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo

promedio por unidad C es: C

Cq

Además, la función costo total se puede hallar utilizando: C q C .

Ejemplo 2.

El costo medio unitario en la producción de q unidades es

2100000

0.002 0.4 50C q qq

.

Determine la función del costo marginal y, en base a esta función, calcule el costo marginal

luego de producir 40 unidades.

Solución:

Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra

multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir:

3 20.002 0.4 50 100000C Cq q q q

La función del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir:

2' 0.006 0.8 50 C q q (Función de costo marginal)


Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:

'(40) 9.6 32 50 $27,60C aproximadamente por la unidad adicional

producida; es decir por la unidad 41.

Función de ingreso total.

La función de ingreso total para un fabricante, está dada por la ecuación ( )r f q pq

que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el

precio por unidad es p .

Función de ingreso marginal.

El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor total recibido, con respecto

al número total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente

la derivada de r con respecto a q : Ingreso marginal ' dr

rdq

El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional de producción.

Ejemplo 1.

Un fabricante vende un producto a 3 50q dólares/unidad. Determine la ecuación del

ingreso marginal y el ingreso marginal para 100q .

Solución:

El ingreso es r pq , entonces 23 50 3 50 r p q q q q q

Por lo tanto, el ingreso marginal es ' 6 50 r q . Para 100q , el ingreso marginal

será: '(100) $650 por una unidad adicional vendidar .

Interpretación: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento

en el ingreso de aproximadamente $ 650.

Función Utilidad

La función utilidad total por la producción y venta de q unidades, es la ecuación:

- -Ingresos CostosU r C

donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q

unidades.


Función de utilidad marginal

Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de

unidades producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación

y venta de una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la

derivada de U con respecto a q : ' ' ' U r C

Ejemplo 1.

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 210 0,01 700 p q q y

la función de costo es 21000 0,01 C q . Calcular la función utilidad marginal y también

evaluar la utilidad marginal para 100q unidades.

Solución:

Sabemos que la utilidad está dada por ( ) ( ) ( ) U q r q C q y que el ingreso es r pq . Por

lo tanto, despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener

la función ingreso:

2 2 10 700 0,01 70 0,1 0,001 p q q p q q

2 3 ( ) 70 0,1 0,001 r q pq q q q

2 3 2 3 2( ) 70 0,1 0,001 1000 0,01 0,001 0,11 70 1000U q q q q q q q q

2'( ) 0,003 0.22 70U q q q .

Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en 100q simplemente sustituimos este

valor de q en dicha función. Es decir:

2(100) 0,003(100) 0,22(100) 70 30 22 70 $94U , que es la ganancia

aproximada, por la unidad adicional producida y vendida.

Problema

La ecuación de la demanda de cierta mercancía es 28 qp y la función del costo total

está dada por 218)( qqqC donde )(qC dólares es el costo total cuando se compran q

unidades.

a) Encontrar la función de ingreso total

b) Encontrar las funciones de ingreso marginal y de costo marginal

c) Encontrar el valor de “q” para el cual el costo marginal sea igual al ingreso marginal.

d) Encontrar la función Utilidad marginal.


SEMANA 10


Sesión 2 Tema: Derivadas de orden superior.

Cuando se deriva una función se obtiene ( )'f x que también es una función. Si

se deriva esta función la nueva función que se obtiene se denomina segunda derivada y

se le denota como ( )''f x . De manera análoga si se deriva la segunda derivada se obtiene

otra función llamada tercera derivada. A las derivadas que se obtienen de esta forma se

llaman derivadas de orden superior.

Las notaciones que se usan para las derivadas de orden superior son:

, primera derivada de la función .

, segunda derivada de la función .

, tercera derivada de la función .

, esima derivada de la función .

Ejemplo:

Dada la función: 4 34 3 5 1y x x x , halle ( )'''f x y evalúe en 1x

Solución:

3 216 9 5'y x x 248 18''y x x 96 18'''y x

(1) 96 18 78'''y

EJERCICIOS:

Halle la derivada indicada de las siguientes funciones y, evalúe en el punto

correspondiente.

a. 3 25 6 4 2y x x x ; '''y ; 0

x = 1

b. 3

( )1

xf x

x

;

3

3

d y

dx ; 0x .

c. 4 233 6 4y x x x ;

2

2d y

dx ; 1x

( )y f x

dy df

dx dxy ( )f x

2 2

2 2

d y d f

dx dxy ( )f x

3 3

3 3

d y d f

dx dxy ( )f x

n n

n n

nd y d f

dx dxy n ( )f x


ACTIVIDAD 10

Razón de cambio y las funciones de la Economía.

Objetivo

Aplicar las derivadas en las funciones de la Economía.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Responde con V o F según le corresponda a cada una de las siguientes proposiciones:

1. El ingreso marginal es la derivada del ingreso con respecto al número de unidades vendidas.

2. Una función derivable en x=a, es continua en x=a.

3. La razón de cambio de C con respecto a q se llama Costo marginal

4. La función costo total se puede hallar utilizando: q

CC

5. Interpretamos el ingreso marginal como el ingreso aproximado recibido al vender la última unidad de producción.

6. Si la utilidad es U I C entonces la utilidad marginal es U I C

7. Si el costo marginal es negativo, entonces existen pérdidas.

NIVEL Pregunta Nº2

APLICACION Calcule la derivada indicada de las siguientes funciones y

evalúe en el punto correspondiente.

a. ( ) 8f t t ; )('' tf ; 0

t = 4

b. 1

4 2y

x

;

2

2

d y

dx ;

0x = 1

c. 1

1

xy

x

; ''y ;

0x = 2


NIVEL Pregunta Nº3

ANALISIS Analiza el enunciado de los siguientes problemas,

resuelve y responde según lo planteado:

1 La aceptación de cierto pisco dependerá del tiempo que tenga en el mercado de acuerdo

a la siguiente función 50 150

( )1

At

tt

, donde A es la aceptación expresada en puntos

y t es el tiempo en meses. Hallar la razón de cambio de la aceptación con respecto al

tiempo dentro de 3 meses. Interprete el resultado.

2 Debido a la depreciación, el valor de cierta maquinaria después de t años, está dada por

800000 60000 , donde 0 10V t t . Determinar qué tan rápido cambia el valor de

la maquinaria con respecto al tiempo a los 2 años. Interprete el resultado.

3 Sea 2500 2p q la ecuación de demanda del producto de un fabricante, donde q es

el número de artículos demandados y p es su precio unitario en dólares. Halle la razón

de cambio del precio con respecto a los artículos demandados, cuando éstos son 5.

Interprete el resultado.

De manera grupal resolver los siguientes problemas:

NIVEL Pregunta Nº4

EVALUACIÓN Según el enunciado resuelve los problemas,

resuelve y responde según lo planteado:

1. Sea )100)(50( qqp la función de demanda del producto “A” de un fabricante.

Encontrar la razón de cambio del precio “p” (dólares) por unidad con respecto a la

cantidad “q” (unidades). ¿Qué tan rápido cambia el precio con respecto a “q” cuando

q = 40? Calcule e interprete el resultado y defienda o critique la opinión del fabricante

quien afirma que el precio disminuirá aproximadamente $ 30.

2. La función de costo promedio de una fábrica que produce ventiladores de mano, está

dada por: 2 100000,002 0,4 50C q q

q , donde C está en dólares. Determine

el costo marginal de producir 40 unidades. Interprete el resultado. Defienda o

critique la opinión del dueño de la fábrica quien afirma que el costo aproximado de

producir el ventilador # 41 es aproximadamente $ 27,6.



APLICACIÓN

Calcule la derivada indicada de las siguientes funciones y evalúe en el punto

correspondiente

a. 5 xy e ; '''y ;

1

5x

b. ln (4 2)y x ; '''y ; 2x

ANALISIS

ANALIZA el enunciado de los siguientes problemas, resuelve y responde según lo

planteado:

1. Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educación de niños

de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que “ x ” años después de

iniciado un programa particular, ( )f x miles de niños estarán matriculados, donde

210( ) (12 )

9f x x x , 0 12x

a) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 3 años de iniciado el programa?

b) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 9 años de iniciado el programa?

2. Supóngase que 522

1)( 2 qqqC es el costo total de la producción en dólares, de

ciertos artículos, determine:

a) La función de costo promedio

b) La función de costo marginal

c) El costo total al producir 1000 unidades

d) El costo promedio al producir 1000 unidades

e) El costo real de producir la unidad # 1001

3. Si la ecuación de demanda para cierta mercancía es 0122 qp . Encontrar:

a) La función del precio

b) La función del ingreso total.

c) La función del ingreso marginal

d) El ingreso total al vender 8 unidades

e) El ingreso al vender la unidad número 9


4. El número de dólares del costo total de la manufactura de q relojes en cierta fábrica,

está dada por: 15003020

)( qq

qC .Encontrar:


b) El costo promedio al producir 550 relojes

c) La función de costo marginal

d) El costo marginal cuando q = 40

e) El costo real de manufactura del cuadragésimo primer reloj.

5. Si C(q) es el costo total de la manufactura de “q” juguetes y 2( ) 110 4 0,02C q q q

. Encontrar:


b) La función de costo marginal

c) El costo promedio al producir 500 juguetes

d) El costo marginal cuando q = 10

e) El costo real de manufactura del onceavo juguete

6. Supóngase que un líquido se produce por cierto proceso químico y que la función del

costo total C(q) está dado por qqC 46)( , donde C(q) dólares es el costo total

de la producción de q galones del líquido. Encontrar

a. El costo de producir el 17 avo. galón

b. El número de galones producidos cuando el costo marginal es de $ 0.40 por galón.

7. Una compañía constructora renta cada departamento en p dólares por mes cuando se

rentan x departamentos y xp 230010 . ¿Cuántos departamentos deben de ser

rentados para que el ingreso marginal sea cero?

8. Si la ecuación de la demanda para cierta mercancía es 3 4 12q p . Encontrar:

a) La función del precio.

b) La función del ingreso total.

c) La función del ingreso marginal

9. Supongamos que cuesta qqqC 156 23 dólares producir “ q ” radiadores

cuando la producción es de 8 a 30 unidades. En un determinado taller usualmente

se producen 10 radiadores al día. Aproximadamente ¿cuánto más costará producir

un radiador adicional cada día?


10. La función de costo total de una fábrica de medias está dada por

2000328,0750,669,48410 qqC donde “ q ” es la producción en docenas

de pares y C el costo total. Encuentre la función de costo marginal y evalúela

cuando 5000q . Interprete el resultado.

11. Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es 2 5000

0,0001 0,02 5 C q qq

encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen

50 unidades? Interprete el resultado.

12. La función de ingreso total de la Empresa San Martín S.A. dedicada a la producción de

piensos (alimento especial) para aves viene dada por 2330 qqI , donde “ q ” es la

cantidad de toneladas de piensos vendidas por dicha empresa en un año. Determine

el ingreso marginal para 3q toneladas. Interprete el resultado.

13. La ecuación de la demanda del producto de un fabricante está dada por 5000

25p

q

,

en donde q son los artículos demandados y p es el precio de cada artículo. Determinar

la función del ingreso marginal y evaluarla cuando 100q . Interprete el resultado.

14. Suponga que el ingreso obtenido al vender “ q ” lavadoras es 1

20000 1rq

dólares.

a) Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras.

b) Use la función 'r para estimar el incremento en el ingreso como resultado del aumento

en la producción, de 100 a 101 lavadoras a la semana.

15. La función de demanda para el producto de un fabricante es 250 0,2 0,003p q q

y la función de costo es 2( ) 500 0,3C q q . Halle la utilidad marginal de producir y

vender 80 unidades, sabiendo que p y C están en dólares. Interprete el resultado.

EVALUACIÓN DEFIENDE O CRITIQUE la decisión tomada en cada uno de los siguientes casos:

16. Supongamos que 3 23 12r q q q nos da el ingreso en dólares que se genera

al vender “ q ” radiadores cuando la producción es de 8 a 30 unidades. En un taller

de tu propiedad usualmente se producen 10 radiadores al día. ¿En cuánto se

incrementa el ingreso al vender 11 radiadores al día? Opina si es correcto o no

el cálculo realizado que indica “el ingreso al vender el 11avo. radiador se

incrementara en aproximadamente $ 252.


17. La función de utilidad de una empresa, en miles de dólares, está dada por

( ) 50ln( 1) 90 U x x , donde x representa las unidades fabricadas y vendidas.

Calcule la razón de cambio de la utilidad con respecto al número de unidades, cuando

se fabrican y venden 10 unidades. Defienda o critique la opinión del dueño de la

empresa quien afirma que la utilidad aproximada recibida al producir la unidad # 11 es

$ 4 545,45

18. Un carpintero ha decidido producir y vender 70 muebles de escritorio en melamine en

vez de 50, pues cree que la razón de cambio de su Ingreso será mayor, siendo el

ingreso: )60(3 xxI donde x es precio por unidad. Defienda o critique la decisión

del carpintero.

19. El docente de la asignatura propone el siguiente problema: Suponga que la ecuación

de demanda para el producto de un monopolista es: 400 2p q y que la función de

costo promedio es 400

0,2 4C qq

, donde q es el número de unidades y, p y C

se expresan en dólares por unidad. Halle la utilidad marginal cuando 30q e

interprete el resultado. Mario estudiante aplicado de Matemática II opina: “El

incremento de la utilidad cuando se produzca y venda la unidad 31 es de

aproximadamente $ 264,00”. Emita usted un juicio al respecto refutando o

corroborando dicha opinión.


SEMANA

11


Sesión 1

Tema: Extremos relativos de una función

Examinar el comportamiento gráfico de las ecuaciones es una parte básica en matemáticas

y tiene aplicaciones en muchas áreas de estudio. Cuando se traza una curva, la simple

ubicación de puntos puede no dar suficiente información acerca de la misma, ya que la

función correspondiente puede ser creciente o decreciente o presentar otras características.

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:

f es creciente en I sí y solo sí ( ) 0 f x x I .

f es decreciente en I sí y solo sí ( ) 0 f x x I .

Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c I y si ( ) 0 f c o ( ) f c no

existe, entonces el valor de c es un punto crítico de f .

Ejemplo 1:

Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 2 3( ) 4 2f x x x .

Solución:

La derivada de 2 3( ) 4 2f x x x es ( ) 2 (4 3 )f x x x . La función es creciente en

aquellos intervalos para los cuales ( ) 0f x . Luego f es creciente para todo 0x y

4/3x , es decir en el intervalo 0, y , 4 / 3 .

f es decreciente si ( ) 0f x , luego es decreciente para todo 0x y 4/3x , o sea en

el intervalo 4 / 3, 0

Ejemplo 2:

Determine los puntos críticos de la función definida por 4/3 1/3( ) 4f x x x .

Solución:

1/3 2/3

2 /3

( 1)4 4 4( ) ( )

3 3 3´ ´

xf x x x f x

x

. Tenemos que ( ) 0´f x en 1x . y la

derivada no existe en 0x . Luego 1 ; 0x son los puntos críticos.


1. En los siguientes ejercicios encontrar los puntos críticos:

a) 2( ) 8f x x x b) 3 21 1

( ) 23 2

f x x x x

c) 3 2( ) 4 2f x x x d) ( ) ( 1)( 2)f x x x x

2. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) 2( )f x x b) 2( ) 2 1f x x x

c) 2( ) 2( 3) 5f x x d) 2( ) 8f x x x

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Sea ( )f x una función continua en el intervalo abierto ,a b . Sea c un punto de ,a b .

Tenemos lo siguiente

a) Si,

( ) 0

( ) 0

f x a x c y

f x c x b

en todo punto de

en todo punto de

Entonces ( )f c es un valor máximo relativo de la función.

b) Si,

( ) 0

( ) 0

f x a x c y

f x c x b

en todo punto de

en todo punto de

Entonces ( )f c es un valor mínimo relativo de la función.

EJERCICIOS

Aplique el criterio de la primera derivada para determinar los extremos relativos de las

funciones indicadas.

a) 2( ) 4 3f x x x b)

3 2( ) 3 2f x x x

c) 4 3( ) 4 12f x x x d)

3 22( ) 4 6 2

3f x x x x


SEMANA

11


Sesión 2

Tema: Regla para determinar los extremos relativos de

una función.

Para determinar los extremos relativos de la función ( )f x se procede de la siguiente

manera:

1. Se halla ( )´f x .

2. Se encuentran los puntos críticos de la función, o sea aquellos puntos tales que

( ) 0 ´ ( )´ ´f x o f x no existe.

3. Se aplica el criterio de la primera derivada a cada punto crítico.

Ejemplo:

Determinar los máximos o mínimos relativos, de la función 3 2( ) 6 9f x x x x

Aplicamos la regla dada:

1˚ . Derivada de la función: 2

( ) 3 12 x 9f x x ( ) 3( 3)( 1)f x x x .

2˚ . Puntos críticos: 1, 3x x ambos anulan a la derivada.

3˚ . Si, 1 3x entonces ( ) 0f x , y si 3, ( ) 0x f x ; luego en 3x la función

tiene un mínimo relativo.

Si 1x entonces ( ) 0f x , y si 1 3x , entonces ( ) 0f x , luego en 1x la

función tiene un máximo relativo.

EJERCICIOS:

1.- Determine, para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos

relativos y haga un bosquejo de la gráfica.

a) 3( ) 12 6 2f x x x b) 3 2( ) 2 9 12f x x x x

Solución de a:

1° Obtenemos los puntos críticos:

2( ) 6 16f x x , ( ) 0f x , luego 6( 1)( 1) 0 x x

Los únicos puntos críticos son: 1, 1x x

2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera

derivada son:

Intervalo 1x 1 1x 1 x

Valor de prueba x=-2 x=0 x=2

Signo de f´(x) f´(-2) = 58 > 0 f´(0) = -6 < 0 f´(2) = 58 > 0

Conclusión Creciente Decreciente Creciente

Máximo relativo en: ( 1) 16f y Mínimo relativo en: (1) 8f


Con esta información podemos hacer el bosquejo de la gráfica:

Ejercicios

Analiza y determina, para cada una de las siguientes funciones, los puntos críticos, los

intervalos de crecimiento y/o decrecimiento, los puntos máximos y mínimos relativos, con

esa información haga usted un bosquejo de la gráfica

a) 3 2( ) 6 9f x x x x b) 3 2( ) 3 1f x x x

ACTIVIDAD 11

Máximos y mínimos de una función.

Objetivo

Determinar los máximos y mínimos de una función.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Completa correctamente colocando la(s) palabra(s) adecuadas en los espacios en blanco.

1. f es decreciente en I si y solo si __________________________________.

2. Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c I y si ( ) 0 f c o

( ) f c no existe, entonces el valor de c es:________________________ de f .

3. En un intervalo I , si ( ) 0 f x entonces la función es _______________ en I .

4. Si cumple en el orden siguiente: ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0 f x f c y f x entonces la

función tiene un punto _____________________ en x c .

NIVEL Pregunta Nº2


APLICACION Aplique los criterios correspondientes y determine los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de las siguientes funciones.

a) 2( ) 4 3f x x x b) 2( ) 3 21f x x x

c) 3 2( ) 3 1f x x x d) 3 2( ) 6 9f x x x x

e) 3( )f x x f) 3 2( ) 4 2f x x x

g) ( ) ( 1)( 2)f x x x x h) 3( ) 3f x x x

De manera grupal responda cada uno de los ítems propuestos, además mediante una

herramienta de graficación online* comprueben sus resultados.

NIVEL Pregunta Nº3

ANALISIS

Analiza y determina, para cada una de las siguientes

funciones, los puntos críticos, los intervalos de crecimiento

y/o decrecimiento, los puntos máximos y mínimos relativos,

con esa información haga usted un bosquejo de la gráfica.

a) 3 2( ) 6 9f x x x x b) 3 2( ) 3 1f x x x

c)

3 2

( ) 63 2

x xf x x d) 4( ) 32 48f x x x

i) 5( ) 6f x x j) 3 21( ) 6 9 6

6f x x x x

k) 2 2( ) ( 12)f x x x l)

3 211( ) 2 10 2

2f x x x x

Usen DESMOS o GEOGEBRA:

Desmos: https://www.desmos.com/calculator

Geogebra: https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

https://www.desmos.com/calculator

https://www.geogebra.org/graphing?lang=es


SEMANA 12


Sesión 1 Tema: Extremos absolutos de una función

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Si una función f es continua en un intervalo cerrado ba, se puede demostrar que

entre todos los valores x de la función ( )f x en ba, , debe existir un valor máximo

(absoluto) y un valor mínimo (absoluto) a estos valores se les llama valores

extremos.

Teorema del valor extremo

Si la función f es continua en el intervalo cerrado ba, , entonces f tiene un valor

máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en ba,

Regla Practica: Para la determinación de los extremos absolutos de una función continua

en un intervalo cerrado

1) Determinación de los valores de la función en los puntos críticos de f en ba,

2) Determinación de los valores de ( ) ( )f a y f b .

3) El mayor valor determinado en los pasos 1) y 2) será el valor máximo absoluto, y el

menor valor determinado en los pasos 1) y 2), será el mínimo absoluto.

Ejemplo 1

Hallar los valores máximos y mínimos absolutos de la función 3 2( ) 3 9f x x x x

definida en el intervalo 4, 4

Solución:

Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está

garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica

dada.

Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.

( ) 3( 1)( 3) 0 3,1'f x x x x .

Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

( 3) 27 ; (1) 5 ; ( 4) 20 ; (4) 68f f f f , entonces:

En 4x se produce un máximo absoluto en 4, 4 , que es (4) 68f .

En 1x se produce un mínimo absoluto en 4, 4 , que es (1) 5f .


Ejemplo 2

Determine, si existen los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función:

4 28 16( )f x x x en el intervalo 3, 2

Solución:

Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está

garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica

dada.

Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.

' 3( ) 4 16 0

( 2)( - 2) 2,0,2

f x x x

x x x x

Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

( 3) 25 ; (2) 0 ; (0) 16 ; ( 2) 0f f f f , entonces:

Máximo absoluto de f en 3, 2 , es ( 3) 25f

Mínimo absoluto de f en 3, 2 , es ( 2) (2) 0f f

Ejemplo 3.

Determine, si existen los extremos absolutos de la función:

23( ) 1 ( 3)f x x en el

intervalo 5, 4

Solución:

La continuidad de f en el intervalo 5, 4, garantiza la existencia de extremos absolutos

de f en dicho intervalo.

Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada.

1/3

2'( )

3( 3)f x

x

El único punto crítico de f(x) es 3x donde la derivada no existe. (Note que ' 0f x ,

no tiene solución).

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

( 5) 3 ; (4) 0 ; (3) 1 ; f f f entonces:

Máximo absoluto de f en 5, 4 , es (3) 1f

Mínimo absoluto de f en 5, 4 , es ( 5) 3f

EJERCICIOS:

1.- Hallar los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo

indicado.


a) ( ) 4 3 , 3, 1f x x x b) 2( ) , 1,2f x x x

c) 3( ) , 1,1f x x x d) 2( ) 4 3, 1,3f x x x

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Si ( )y f x es una función, y los puntos en donde la segunda derivada se anulan se

denomina puntos de inflexión, es decir en 0x se tiene un punto de inflexión si 0( ) 0f x

Si 1x es punto crítico es decir 1( ) 0f x ó no existe

1( ) 0f x .

Si, ( ) 0f x , entonces existe mínimo en 1x x

Si ( ) 0f x , entonces existe máximo en 1x x

Si, ( ) 0f x , , ( )x a b f x es cóncava hacia arriba.

Si, ( ) 0f x , , ( )x a b f x es cóncava hacia abajo.

Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese intervalo

están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las rectas

tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte

para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o

"desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones

cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión.

Según este criterio tendremos:

Signo de ( ) ( )f x y f x Propiedades de la gráfica de f Forma de la gráfica

( ) 0 ( ) 0f x y f x Creciente y cóncava hacia arriba

( ) 0 ( ) 0f x y f x Creciente y cóncava

hacia abajo


( ) 0 ( ) 0f x y f x Decreciente y cóncava hacia arriba

( ) 0 ( ) 0f x y f x Decreciente y cóncava hacia abajo

Ejemplo:

Sea 4 3 24

( ) 43

f x x x x . Determine los extremos relativos de ( )f x aplicando el

criterio de la segunda derivada, los puntos de inflexión (si los hay) y las concavidades.

Utilice esta información para dibujar la gráfica de ( )f x .

Solución:


3 2( ) 4 4 8f x x x x , ( ) 0f x , luego 4 ( 2)( 1) 0 x x x

Los únicos puntos críticos son: 2, 0, 1x x x


derivada son:

Crecimiento: 2,0 1,

Decrecimiento: , 2 0,1

Máximo relativo en: (0) 0f y Mínimo relativo en: 32 5

( 2) (1)3 3

f y f

3° Obtenemos la segunda derivada: 2( ) 12 8 8f x x x

( ) 0f x

2212 8 8 0 3 2 1 0 (3 1) ( 1) 0 x x x x x x

Luego los puntos de inflexión son: 1 y 1/ 3x x

4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:

( 2) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.

(0) 0f cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.

(1) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.


x

y

Ejemplo 2:

Sea 3( ) 3f x x x determine los puntos máximos y mínimos relativos de ( )f x aplicando

el criterio de la segunda derivada, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades.

Utilice esta información para dibujar la gráfica de ( )f x .

Solución:


2( ) 3 3f x x , ( ) 0f x , luego 3( 1)( 1) 0 x x

Los únicos puntos críticos son: 1, 1x x


derivada son:

Crecimiento: , 1 1,

Decrecimiento: 1, 1

Máximo relativo en: ( 1) 2f y Mínimo relativo en: (1) 2f

3° Obtenemos la segunda derivada: ( ) 6f x x ( ) 0f x 6 0 0 x x

Luego el punto de inflexión es: 0x

4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:

( 1) 0f cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.

(1) 0f cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.


Con esta información podemos realizar la gráfica:

EJERCICIOS

1. Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos

relativos, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Trace la curva que

representa a cada función.

a) 3( ) 12 4 4f x x x b)

3( ) 12 12f x x x

c) 3 21 1

( ) 63 2

f x x x x d) 4( ) 32 48f x x x


SEMANA 12


Sesión 2 Tema: Problemas de optimización. Aplicaciones de la

derivada en la economía.

MAXIMIZACIÓN DEL INGRESO

Ejemplo:

La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: 80

, 0 q 804

qp

,

donde q es el número de unidades y p el precio por unidad, en dólares. ¿Para qué valor

de q se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?

Solución:

Sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como:

Ingreso = (precio) (cantidad), tenemos: r pq 280 80

,4 4

q q qq

donde .800 q

Haciendo 0dr

dq , obtenemos: r

80 20,

4

qdr

dq

80 2 0q ; 40q

Luego: (10)r 80 20

154

(50)r

80 1005

4

Examinando la primera derivada para 0 40q tenemos / 0dr dq , por lo que r es

creciente. Si 40q , entonces / 0dr dq , por lo que r es decreciente. A consecuencia

de que a la izquierda de 40 tenemos que r es creciente y a la derecha de 40, r es

decreciente, concluimos que en 40q da el ingreso máximo absoluto, además evaluando

en los extremos del intervalo r(0)=0 y r(80)=0, esto es,

280

4

q qr

280(40) (40)400

(40) 4r

MINIMIZACIÓN DEL COSTO PROMEDIO

Ejemplo:

La función de costo total de un fabricante está dada por : 2

3 4004

qC q , donde C es

el costo total de producir q unidades. Si C está en dólares, ¿Para qué nivel de producción

será el costo promedio un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?

+ -

0 10 40 50 80


Solución:

La función a minimizar es el costo promedio C . La función de costo promedio es:

C

2

3 4004004

34

qq

qC

q q q

Aquí q debe ser positiva. Para minimizar C , diferenciamos:

C 2

2 2

16001 400

4 4

qd C

dq q q

para obtener los valores críticos, resolvemos 0d C

dq 2 1600 0,q

luego: ( 40)( 40) 0q q . 40q (ya que 0q ).

C2

2

1600

4

q

q

´(10)C

2

2

(10) (1600) 15

4(10) 4

´(50)C 2

2

(50) 1600 9

4(50) 100

Entonces, C en 0 40q es decreciente, en 40q C es creciente en 40q hay

un mínimo absoluto.

Maximización del número de beneficiarios de los servicios de salud

Ejemplo 3:

Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa

específico de servicios de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas adultas

recibiría beneficios directos, donde: 3

26 323

tn t t ; 12. t 0

¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiarios?

Solución:

Haciendo 0dn

dt , tenemos: 2 12 32 0

dnn t t

dt

10 40 50

_ +


( 4)( 8) 0t t entonces: 4t ; 8t

Como el dominio de n es el intervalo cerrado 0,12 , el valor máximo absoluto se obtiene

evaluando en los puntos críticos y en los extremos de dicho intervalo:

Si, 0t , entonces 0n ,

Si, 4t , entonces 160

3n

Si, 8t , entonces 128

3n

Si, 12t , entonces 96n .

3

26 32 0,123

tn t t en , así se tiene un máximo absoluto en 12t .

ADVERTENCIA:

El ejemplo anterior ilustra que no se debe ignorar los extremos cuando se determinan

extremos absolutos en un intervalo cerrado.

MAXIMIZACIÓN DE UTILIDADES

Ejemplo 4:

Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un

precio de $ 6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) es:

2 -6 3 = 1000 + 6 0.003 + 10C x x x x ¿Qué valor de x debemos seleccionar con el objeto

de maximizar las utilidades?

Solución:

El ingreso producido por la venta de x artículos a $ 6 cada uno es = 6 R x x dólares. Por

consiguiente, la utilidad por semana es:

= - U x R x C x

2 -6 3= 6 1000 + 6 0.003 + 10U x x x x x

2 -6 31000 + 0.003 - 10U x x x

t

96

4 8 12

326 32

3

tn t t

n


A fin de encontrar el valor máximo de la utilidad, buscamos los puntos críticos en la forma

usual y luego investigamos su naturaleza. Derivando obtenemos:

-6 2 = 0.006 3 . 10U x x x y haciendo = 0U x , encontramos que

0 ó 2000x x

Así que 0 x es un mínimo local de U x , mientras que 2000x es un máximo local.

Este último valor representa el nivel de producción en que la utilidad es máxima.

La utilidad está dada por

2 3-62000 1000 + 0.003 2000 - 10 2000 = 3000U o $ 3000 por semana.

PUBLICIDAD Y GANANCIAS

Ejemplo 5:

Una compañía obtiene una utilidad de $ 5 por cada artículo del producto que vende. Si

gasta A dólares por semana en publicidad, el número de artículos que vende por semana

está dado por 2000 1 kAx e en donde 0,001k .

Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta.

Solución:

La utilidad bruta por la venta de x artículos es de 5x dólares, y de ésta restamos el costo

de la publicidad. Esto nos deja una utilidad neta dada por

5 10 000 1 kAU x A e A

(1)

Derivamos con la finalidad de encontrar el valor máximo de la utilidad.

= 10 000 1 = 10 1kA kAU x ke e . Haciendo esto igual a cero, obtenemos

10 = 1 o bien 10kA kAe e y tomando logaritmos naturales, resulta que

ln 10 = 2.30kA en consecuencia:

2,30 2,30

2 3000,001

Ak

La cantidad óptima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $ 2 300 por

semana. La utilidad máxima se encuentra sustituyendo este valor de A en la ecuación: (1).

Ya que 1

10

kAe , se sigue que la utilidad semanal máxima es:

1Um x = 10 000(1 - ) 2 300 6 700 dolares

10á


ACTIVIDAD 12

Máximos y mínimos relativos de una función.

Objetivo

Determinar los máximos y mínimos de una función y su aplicación a la Economía.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Responde con V o F según le corresponda a cada una de las siguientes proposiciones:

A. A los valores máximos y/o mínimos absolutos de una función también se

les llama valores extremos.

B. En una función los puntos en donde la segunda derivada se anulan se

denomina puntos críticos.

C. Si f es continua en el intervalo cerrado, la existencia de máximo y mínimo

absoluto está garantizada.

D. Si ( ) 0f x es cóncava hacia arriba, tenemos un valor mínimo.

E. Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de

inflexión

NIVEL Pregunta Nº2

APLICACION Calcula los máximos absolutos y mínimos absolutos de

cada función en el intervalo indicado

a) 3 2( ) 3 7, 0,5f x x x x b) 2( ) 2( 3) 5, 0,5f x x

c) 2( ) 3 21 , 1,2f x x x d) 3 2( ) 2 2, 1,2f x x x x

NIVEL Pregunta Nº3

ANALISIS

Analiza y determina, para cada uno de los siguientes

enunciados los máximos o mínimos según

corresponda.

La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es 5 60p q donde

4 10q . Halle el precio que maximiza el ingreso.


La función de demanda para el producto de un monopolista es: 1600 20p q , si el

monopolista quiere que el nivel de producción se encuentre en 50 75q , donde “

q ” es el número de unidades producidas. Determine:

a. El nivel de producción que maximiza el ingreso.

b. El ingreso máximo.

c. El precio para ese ingreso.

NIVEL Pregunta Nº4

EVALUACIÓN Evalúa y decide si lo que plantean en cada enunciado

corresponde con la solución al problema.

La función de demanda para el producto de un monopolista es de

3300( ) 150P q q

q , donde 70 ; 110q . Si el precio está en dólares por

unidad, determine:

1. El nivel de producción que maximiza el ingreso.

2. El ingreso máximo.

3. El precio para ese ingreso.

Defienda o critique la opinión del monopolista quien afirma: “El nivel de producción

que maximiza el ingreso es 75 unidades, el ingreso máximo es $2 325 y el precio para

ese ingreso es $31”

De manera grupal desarrollar las fichas 1 y 2 de la Unidad III del portafolio.


APLICACIÓN

Calcula los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo

indicado:

a) 3

( ) 1 , 4, 43

xf x x b)

4 2

( ) 3 , 4, 44 2

x xf x

Aplicando los conocimientos adquiridos, determine para cada una de las siguientes

funciones, los puntos máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión (si lo hay) y las

concavidades. Luego con esa información elabore la curva que representa a cada función.

a) 2( ) 4 3f x x x b)

3 2( ) 3 2f x x x

c) 4 3( ) 4 12f x x x d)

3 22( ) 4 6 2

3f x x x x

e) 5( ) 6f x x f) 3 21

( ) 6 9 66

f x x x x


g) 5 3( ) 5f x x x h) 2 4( ) 12 2f x x x

i) 4 3 24

( ) 43

f x x x x j) 4 2( ) (1/ 8)( 8 )f x x x

k) 3 4( ) 10 4f x x x l) 4 3( ) 8f x x x

SINTESIS

1. Un fabricante ha determinado que el costo total C , de producir un determinado artículo,

está dado por la función de costo: 20, 05 5 500C q q donde 100 120q . ¿Para

qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad?

2. El costo por hora (en dólares) de operar un automóvil está dado por:

20,12 0,0012 0,08C s s ; 30 60s , donde s es la velocidad en km por hora.

¿A qué velocidad el costo por hora es mínimo?

3. La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende pantalones, está dada

por: 3400

0, 6 60C qq

, donde 10 80q es el número de unidades

producidas. C está en dólares y q Determine:

a. El nivel de producción que minimiza el costo.

b. El costo mínimo.

4. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares

por unidad) está dado por: C 2 2002 36 210 ,q q

q donde 2 10q .

a. ¿A qué nivel dentro del intervalo 2,10 debe fijarse la producción para minimizar

el costo total? ¿Cuál es el costo total mínimo?

b. Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo 5,10 , ¿qué valor de

q minimizaría el costo total?

5. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es 72 0,04p q , y la

función de costo es 500 30C q . Si el costo está expresado en dólares y

600 700q , halle:

a. El nivel de producción que maximiza la utilidad.

b. El precio que maximiza la utilidad.

c. La utilidad máxima.


6. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares

por unidad) está dado por : 2 55002 42 192C q q

q , donde 3 12q .

Determine el nivel de producción que minimiza el costo y el costo mínimo.

7. La función de costo de un fabricante es: 2 = 1000 + 5q 0.1C q q cuando se

producen q artículos por día. Si a lo más 80 artículos pueden producirse por día,

determine el valor de q que da el costo promedio más bajo por artículo.

8. La ecuación de demanda para cierto producto es 2 7200

11 ,p q qq

y tiene un costo

fijo mensual de $1200 y el costo variable es de $80. Además q 8,20 .

a. Determine el nivel de producción que maximiza la utilidad.

b. Halle la utilidad máxima.

9. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: 72 0,04p q y la

función de costo total 500 30C q , donde q 100,500 . Si el precio y el costo

están en dólares, halle:


b. El precio que maximiza la utilidad.

c. La utilidad máxima

10. Para un monopolista la función de demanda es de ( ) 600 2P q q , y la de costo

2( ) 3300 480C q q q , donde 80 ; 110q . Si el precio y el costo están en

dólares por unidad, determine:


b. La utilidad máxima.

c. El precio para esa utilidad.

11. Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad ( )R x , viene dada en

función de la cantidad que se invierte x , en miles de soles, por la siguiente expresión:

2( ) 0, 001 0, 4 3,5R x x x

a. ¿Cuándo aumenta y cuando disminuye la rentabilidad?

b. ¿Qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan, para obtener la máxima

rentabilidad?

c. ¿Cuál será la rentabilidad máxima que se obtendrá?

12. Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 cada una. El ecuación del

costo total C por producir q unidades está dado en dólares por: 2 50 + 1.3 0.001C q q

a) Escriba la expresión para la utilidad total U como una función de q.


b) Determine el volumen de producción q de modo que la utilidad U sea máxima.

c) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?

13. La ecuación de demanda del producto de una compañía es 200 + 1.5p q , en donde

q unidades pueden venderse a un precio de $ p cada una. Si a la compañía le cuesta

(500 + 65x) dólares producir q unidades por semana. ¿Cuántas unidades debería

producir y vender la compañía cada semana con el objetivo de maximizar la utilidad, si

la capacidad de producción es:

a) A lo más 60 unidades?

b) A lo más 40 unidades?

EVALUACIÓN

14. Un fabricante puede producir, cuando mucho, 120 unidades de cierto artículo cada año.

La ecuación de demanda para ese producto es 2 100 3200p q q , y la función de

costo promedio del fabricante es C 22 10000

403

q qq

. Determine la producción

q que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad máxima, si el precio y el costo

promedio están en dólares. Luego defienda o critique la opinión de fabricante quien

afirma: “la producción que maximiza la utilidad es 120 unidades y la utilidad máxima

obtenida es $86000.

15. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero

invertido, según la fórmula: 2( ) 0,002 0,8 5R x x x , donde ( )R x representa la

rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad de x dólares. Determine, teniendo

en cuenta que disponemos de 500 dólares:

a) ¿Cuándo aumenta y cuando disminuye la rentabilidad?

b) ¿Cuánto se debe de invertir para obtener la máxima rentabilidad posible?

c) ¿Cuál será el valor de dicha rentabilidad?

Defienda o critique la opinión del inversionista quien afirma: “La inversión aumenta

cuando se invierte hasta cerca de $200, disminuye si se invierte más de $200; para

obtener la máxima rentabilidad se debe invertir $200 y la rentabilidad obtenida es de

$75.”


CASO: EXTREMOS ABSOLUTOS

Una fábrica de Polos Publicitarios para empresas e instituciones, ubicados en Gamarra

(Emporio comercial textil más grande del Perú). También los produce para exportación. El

fabricante con el ingeniero textil han determinado que para exportar a Europa, el costo

promedio (en euros por unidad) está dado por: 2 200

2 36 210C q qq

, donde

2 10q es la producción por hora. Fuente: http://polospublicitarios.net/fabrica-de-polos/

CONOCIMIENTO

1. De los datos, la función del costo total es:

2. ¿Qué grado tiene la función del costo total?

3. Escriba la función del costo marginal:

COMPRENSION

4. ¿Cómo se obtiene el costo marginal? Redacte su respuesta, no calcule.

5. ¿Cómo se interpreta el costo marginal? Redacte su respuesta, no calcule.

APLICACIÓN

6. ¿A qué nivel dentro del intervalo 2,10 debe fijarse la producción por hora, para

minimizar el costo total?

7. ¿Cuál es el costo total mínimo?

8. Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo 5,10 unidades por

hora, ¿qué valor de q minimizaría el costo total?.

ANALISIS

9. Analiza la función del costo total y determine: Los intervalos en los que el costo aumenta

(crece) y disminuye (decrece); los costos máximos y mínimos, con esa información

grafique la función del costo total.

JUICIO DE VALOR

10. Que es lo más conveniente para el fabricante respecto al nivel de producción. Emita su

opinión.

http://polospublicitarios.net/polos/


GLOSARIO



( ) ( )(́x) lim

h

f x h f xf

h


Punto crítico. Un punto 0 0( , )x y de una gráfica en el que (́ )f x es 0 o bien no está

definida es candidato a ser un extremo local o relativo, y a 0x , se le denomina valor crítico

Extremos relativos. Para que ocurra un extremo relativo en 0x la primera derivada debe

cambiar de signo alrededor de 0x .

Extremos absolutos. Si el dominio de ( )f x es un intervalo cerrado, entonces para

localizar extremos absolutos no solo se considera en dónde ocurren extremos relativos,

sino que también se examina ( )f x en los extremos del intervalo.









SEMANA 13

UNIDAD IV: Integrales

Sesión 1 Tema: La Integral Indefinida

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN: La función :F I es una antiderivada o primitiva de una función

:f I si y sólo si: ( ) ( ), [ , ]F x f x x I a b

Si ( )F x k , es la familia de antiderivadas de ( )f x .

DEFINICIÓN: Si ( )F x es una antiderivada de ( )f x sobre un intervalo [ , ]I a b , es

decir,

( ) ( )´F x f x , entonces:

( ) ( )G x F x k se demostrará por:

( ) ( ) ( )G x f x dx F x k , x I

Llamaremos integral indefinida de ( )f x

Al término ( )f x se le llama integrando

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN

a) dx x k c) ( ) ( )cf x dx c f x dx

b)

1

1

nn x

x dxn

k

; 1n d) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Donde k se le llama constante de integración.

Ejemplos

I. Halle la antiderivada de las siguientes funciones:

a) 265)( 23 xxxf b) 87)( 4 xxxf c) 3 2

2

4 6( )

x xf x

x

Solución de a)

3 2 3 2(5 6 2) 5 6 2dxI x x dx x x dx dx


3 1 2 13 2 5 6

5 6 2 23 1 2 1

x xI x dx x dx dx x k

4 352 2

4I x x x k

EJERCICIOS: Halle la integral indefinida de las siguientes funciones:

1. 4dx 2.

1

24 x dx 3.

9

1 dx

x 4.

3 4

1 2( ) x dxx x

II. Encuentre ( )f x , sujeta a las condiciones iniciales dadas:

a) ( ) 5 4 , (2) 3 / 4f x x f

b) ( ) 1, (0) 1, (0) 2, (0) 4y x x y y y

Solución de a)

( ) ( )( ) 5 4

df x df xf x x

dx dx ( ) 5 4f x x dx dx

254

2

xx k

25( ) 4

2 ;

xf x x k

3(2)

4f

2

3

4

x

y

23 5 5(2) 4(2)

4 2 4= k k

25 5 ( ) 4

2 4f x x x

EJERCICIOS

Hallar la integral indefinida correspondiente

a) 2( 1) x dx b) 2(2 3) x dx


SEMANA 13


Sesión 2 Tema: Aplicaciones de la Integral Indefinida

APLICACIONES

Problemas resueltos

1. Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es

20,6 0,8 9,5dC

q qdq

y el costo fijo es de $ 1 800, donde 𝑞 es el número de unidades

producidas. Halle el costo promedio cuando se producen 200 unidades.

Solución:

2 20, 6 0,8 9,5 (0, 6 0,8 9,5)dC

q q dC q q dqdq

Integrando:

2 3 2 (0, 6 0,8 9,5) 0, 2 0, 4 9,5 C q q dq C q q q k

Hallando la constante de integración

De CT CV CF si no hay producción ( 0q ) , entonces el costo total es igual al

costo fijo, luego: 3 2 1800 0, 2(0) 0, 4(0) 9,5(0)C CF k

1800 k

La función de costo es: 3 2 0, 2 0, 4 9,5 1800C q q q

Hallando el costo promedio: 2 1800 0, 2 0, 4 9,5

CC q q

q q

Evaluando en 200: (200)C 2 1800 0, 2(200) 0, 4(200) 9,5 7938,5

200

Cuando se producen 200 unidades el costo promedio es de $ 7938,5.

2. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es: 24( 5) 8dC

q qdq

.

Si el costo de producir 12 unidades es de $ 738, donde q es el número de unidades

producidas, determine el costo promedio de producir 30 unidades.

Solución:

2 24( 5) 8 (4 20 8 )dC

q q dC q q dqdq

Integrando:

2 (0, 6 0,8 9,5) dC q q dq

32 2

4 (4 20 8 ) 20 4

3

qC q q dq C q q k


Hallando la constante de integración:

Del dato: 12q

32

4(12) 738 20(12) 4(12)

3C k 750 k

La función de costo es:

La función de costo promedio es:

El costo promedio cuando se producen 30 unidades es:

3. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es

29 200dr

q qdq

, donde 𝑞 es el número de unidades producidas. Determine el

ingreso cuando se producen y venden 50 unidades.

Solución:

2 29 200 (9 200 )dr

q q dr q q dqdq

Integrando: 2 3 2 (9 200 ) 3 100r q q dq q q k


De: r pq , si 0 0q r 3 2 0 3(0) 100(0) 0r k k

Entonces la función de ingreso es: 3 2 3 100r q q

El ingreso cuando se producen y venden 50 unidades es:

3 2 (50) 3(50) 100(50) $ 125000r

4. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es 2 400dr

qdq

,

donde 𝑞 es el número de unidades producidas. Halle el precio cuando se demandan

120 unidades, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 4 200.

32

4 20 4 750

3

qC q q

24 750 20 4

3

C qC q

q q

24(30) 750 (30) 20 4(30) $ 1035

3 30C


Solución:

2 2 2400 ( 400) ( 400) dr

q dr q dq dr q dqdq

Integrando:


Del dato: si 30q entonces 4200r , luego:

3(30) 4200 400(30)

3r k

Efectuando operaciones se tiene que:

La función de ingreso es:

3

400 72003

qr q

La función de demanda es: 2 7200

4003

qr pq p

q

El precio cuando se demanda 120 unidades es:

2(120) 7200 (120) 400 $ 4460

3 120P

EJERCICIOS.

A. Si dr

dq es una función del ingreso marginal. Determinar la función de demanda.

a. 0,7dr

dq b. 15 0.4

drq

dq c.

2275 0.3dr

q qdq

d. 31000 4

drq

dq

ACTIVIDAD 13

Integral indefinida

Objetivo

Hallar la integral indefinida aplicando las propiedades correspondientes.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Completa correctamente, colocando la(s) palabra(s)

adecuada(s) en el espacio en blanco.

En la integral indefinida:

A ( )F x k , se le llama familia de _________________ de ( )f x .

Al término ( )f x se le llama _________________________.

A k se le llama constante de _________________________ .

32 ( 400) 400

3

qr q dq r q k

7200 k


De manera grupal resolver los siguientes problemas:

NIVEL Pregunta Nº3

ANALISIS Analiza y determina, para cada uno de los siguientes

enunciados las funciones que se aplican en Economía.

1. Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es

20, 03 1, 8 6, 5dC

q qdq

y el costo fijo es de $ 2 400 , donde 𝑞 es el número de

unidades producidas. Halle la función de costo y el costo cuando el nivel de producción

es de 100 unidades.

2. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es 4(3 ) 80dC

qdq

y el costo de producir 40 unidades es de $ 6 900, donde q es el número de unidades

producidas. Determine el costo promedio cuando el nivel de producción es de 50

unidades.

3. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal, para un

determinado producto es 15 2300dr

qdq

, donde 𝑞 es el número de unidades

producidas. Encuentre la función de demanda.

4. Una compañía actualmente produce 150 unidades por semana de producto. Por

experiencia, saben que el costo de producir una unidad adicional q en una semana

(esto es, el costo marginal) está dado por 25 0.02dC

qdq

Suponiendo que este costo

marginal aún se aplica, determine el costo extra por semana que debería considerarse

al elevar la producción de 150 a 200 unidades por semana.

NIVEL Pregunta Nº2

APLICACION Aplicando las propiedades básicas halle la integral

indefinida de las siguientes funciones.

A. Halle la integral indefinida

1 5( 2 4) x x dx 2 3 2(8 7 10) x x dx

3 2 2

5( 4 3 1)x x dx

x

4 9

3

4(2 6 5) x x dx

x

B. Encuentre ( )f x , sujeta a las condiciones iniciales dadas:

a) 2( ) 2 , (1) 0, (1) 1f x x x f f

b) ( ) 1, (0) 0, (0) 6y x x y y



APLICACIÓN

1. Aplicando las propiedades básicas halle la integral indefinida de las siguientes funciones

1 (2 4)( 5) x x dx 2 2 2( 4 )( 1) z z z dz

3 3 5 2

7 2

( )2

x x xdx

x

4

6 4

2

18 3( )

6

x xdx

x

5 2(2 3 1) x x dx 6 3 4( 3 6) za z dz

7 ( 3 ) x x x dx 8 2 3(2 3)( 6 ) x x x dx

9 3( 1)( ) x x x dx 10

3

3

( )( )

x x x xdx

x

2. ( ) 2 3, (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 4y x x y y y

3. ( ) 2 , ( 1) 3, (3) 10, (0) 12y x x y y y

SINTESIS

1. Para cierta fábrica de artesanías, su función de ingreso marginal está dada por:

2275 4 3dr

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Halle la función

de demanda, si cuando se producen 50 artículos el ingreso es de $ 5 000.

2. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por

(3 10)50

2

dr q q

dq

(en dólares), para q unidades producidas. Encuentre el precio

para 30q .

3. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dada por

20, 03 5dr

qdq

(en dólares), para q unidades producidas. Se sabe que al vender 10

productos se obtiene un ingreso de $1 000. Encuentre el precio cuando la demanda

es de 20 unidades.


SEMANA 14


Sesión 1 Tema: La Integral Definida. Propiedades

En la expresión 01

lim ( ) ( )n b

i ia

i

f c x f x dx

, el límite recibe el nombre de integral

definida de f de a a b . El número a es el límite inferior de integración, y el número b es el límite

superior de integración. La integral definida no es otra cosa que un número real y puede o no

representar un área.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Sea ( )f x una función continua, entonces:

P1. ( )b

a

c dx c b a , donde c es una constante

P2. ( ) ( ) b b

a a

cf x dx c f x dx , donde c es un número real arbitrario.

P3. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

P4. Si a c b , se cumple: ( ) ( ) ( ) b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

P5. Si c d , entonces ( ) ( ) d c

c df x dx f x dx

P6. ( ) 0 a

af x dx

P7. Si ( ) 0f x para todo x en ,a b , entonces ( ) 0 b

af x dx

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f una función continua en un intervalo cerrado ,a b :

Parte I: Si la función G está definida por ( ) ( ) b

aG x f t dt , para todo x en ,a b

entonces si ( )f x es continua, ( )G x es diferenciable sobre ,a b y se cumple que:

( ) ( )G x f x , es decir ( ) ( )b

a

df t dt f x

dt .


Parte II: Si F es cualquier antiderivada de f ó llamada también primitiva de f en ,a b ,

entonces: ( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a

Ejemplo 1

Evaluar

23 3 32

2

00

(2) (0) 16(4 ) 4 4(2) 4(0)

3 3 3 3

xx dx x

Ejemplo 2: Evaluar:

32 2 23

2 3 3 3

11

3 ( 1)(3 6) 6 3 6(3) ( 1) 6( 1) 48

2 2 2

xx x dx x x

Ejercicios

Evaluar las siguientes integrales definidas

a.

43 4

2

( 1)x x dx

b.

33 2

1

(4 3 2)x x dx

ACTIVIDAD 14

Integral indefinida

Objetivo

Hallar la integral indefinida aplicando las propiedades correspondientes.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Responda verdadero (V) o falso (F), según corresponda

( )b

a



( ) ( ) ( )b

a

f x dx F a F b

Si ( ) 0f x para todo x en ,a b , entonces ( ) 0 b

af x dx

Si ( )f x es continua en ,a b , entonces ( )G x es diferenciable en ,a b

( ) 1 a

af x dx

NIVEL Pregunta Nº2

APLICACION Calcule en cada caso las integrales

definidas.

1.

2

145 dx

2.

3

225 dx

3.

23 2

1(2 8) x x dx

4.

23 2

1

4 3 2

5 2 5 x x x dx


APLICACIÓN

Calcule en cada caso las integrales definidas:

1.

23 2

1

44

3x x x dx

2.

4 22

20

5 3 6

x xdx

x

3.

3 52

21

9 3 8

x xdx

x

4.

12

13 1 4 x x x dx

5.

3 210

1 5

4 3 1( )

q qdq

q

6.

2 3 23

21

1

x x xdx

x

7.

12

218 2 6 2 x x x dx

8.

32 3 2

15 8 9 3 x x x dx


SEMANA 15

UNIDAD III: Integrales

Tema: Aplicaciones de la Integral Definida.

La integral definida es ampliamente aplicada en la economía. Esto se observa cuando se

tiene como información la razón con la que varían los ingresos y los costos según la

producción (ingresos y costos marginales, respectivamente) y si se quisiera encontrar las

funciones de ingreso y costo. Asimismo, la integral definida puede aplicarse al cálculo de

utilidades netas, depreciación de maquinarias, excedencia del consumidor o del productor,

etc. Veamos algunos casos.

APLICACIONES

1. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas,

el precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente fórmula:

20,09 0,0006d P

xd x

, donde P es el precio.

a) ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas?

b) ¿Se debe vender todo el mineral posible ahora o se debe de esperar dentro de 10

semanas?

Solución:

Como 2 2 0,09 0,0006 (0,09 0,0006 )

d Px dP x dx

d x

Integrando: 10 10

2 3

00 0,09 0,0006 0,09 0,0002 dP x dx x x

El precio dentro de 10 semanas será:

103

046 0,09 0,0002P x x

Entonces: 46 1,1 47,1P .

a. Dentro de diez semanas la tonelada costará 47,1 dólares.

b. Se debe de esperar 10 semanas para vender todo el mineral posible.


2. Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es 2( 3 60 )dR

x xdx

. Calcula

el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades, si el

ingreso está en dólares.

Solución:

Al integrar la función de ingreso marginal se obtiene la función de ingreso y al evaluarla

se tiene el incremento, entonces:

2 2( 3 60 ) ( 3 60 ) dR

x x dR x x dxdx

Integrando: 2020 3 2 20

2 3 21515 15

3 603 60 30

3 2

x xR x x dx x x

3 2 3 2(20) 30(20) (15) 30(15) 8000 12000 3375 6750 625R

El incremento en el ingreso cuando la demanda varia de 15 a 20 unidades, es de 625

dólares.

3. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de

21 50R x x dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

2 ( ) 200 5R x x dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será más rentable?

Solución:

El segundo plan será más rentable hasta que las funciones de ambos planes sean

iguales: 1 2R x R x , entonces se tiene:

2 2 250 200 5 5 150 0x x x x

( 10)( 15) 0x x

1 1 10 ; 15x x

El segundo plan es más rentable durante 15 años


4. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón

de 2( ) 5000 20R x x dólares por año y costos que se acumulan a razón de

2( ) 2000 10C x x dólares por año.

a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria?

b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo

obtenido en la parte a)?

Solución:

a) El uso de la maquinaria será rentable mientras que el ritmo al que se generan los

ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que

( ) ( )R x C x , entonces:

2 2 25000 20 2000 10 100 0x x x

( 10)( 10) 0x x

1 1 10 ; 10x x

El uso de la maquinaria es rentable durante 10 años.

b) Dado que la ganancia neta generada por una maquinaria, durante cierto período

de tiempo, está dada por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma

y su costo total de operación y mantenimiento, se puede determinar esta ganancia

por la integral definida:

10 10

2 2 2

0 05000 20 2000 10 3000 30GN x x dx x dx

10

3 30

3000 30 3000(10) (10) 29000x x

Las ganancias netas ascienden a 29 000 dólares.


ACTIVIDAD 15

Aplicaciones de la Integral definida

Objetivo

Reconocer y aplicar la integral definida en funciones de la Economía.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Utilizando la definición de continuidad indique porqué la

función dada es continua en el punto indicado.

a. 3 8 , 2f x x x x ________________________________________________

b. 23

, 02

xf x x

x

_________________________________________________

c. 3

, 39

xf x x

x

________________________________________________

d. 3 , 1f x x x _________________________________________________

e. 2 3 , 0f x x x ________________________________________________

f. 3 8

, 22

xf x x

x

________________________________________________

NIVEL Pregunta Nº2

COMPRENSIÓN Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes

funciones e indique de qué tipo se trata:

a. 4

( )2

xf x

x

b.

2

3( )

9

xf x

x

c.

2

2

4( )

1

xf x

x


NIVEL Pregunta Nº3

ANALISIS Interpretar el enunciado y resolver el problema.

1. La compañía minera “Duran Ventures” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los

estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio por tonelada estará

cambiando a una razón de cambio dada por la función: 20,012 0,05d P

x xd x

,

donde P es el precio.

a. Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas.

b. ¿Debe la compañía vender todo el cobre posible ahora, o esperar dentro de 5

semanas?

2. La Empresa Pacific Rubiales vende el barril de petróleo a $ 105,6. Los estudios de

mercado indican que dentro de “ x ” meses, el precio del barril estará cambiando a una

razón dada por la siguiente función: 20, 0084 0, 012dP

x xdx

, donde P es el

precio.

a. Halle el precio del barril de petróleo dentro de dos meses. Rpta: $92,516

b. ¿La Empresa debe vender todo el petróleo posible ahora o debe de esperar dentro

de tres meses?. Rpta: La empresa debe esperar los dos meses para vender.

NIVEL

Pregunta Nº 4

EVALUACIÓN Defienda o critique la opinión dada.

2. Para cierta empresa la función de ingreso marginal es : 2

360q qdr

dq (en dólares)

halle el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 20 a 25 unidades,

pues el Gerente afirma que la empresa pierde $875. Defienda o critique esta

afirmación.



ANALISIS

1. En cierta fábrica, el costo marginal es 2

3 4q dólares por unidad cuando el nivel

de producción es “ q ” unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si

el nivel de producción aumenta de 6 a 10 unidades? Rpta : El costo total aumentara

en $352

2. Se estima que dentro de “ x ” meses la población de Tumbes cambiará a una razón

de 2x x personas por mes. ¿En cuánto crecerá la población de Tumbes durante

los próximos 3 años?

3. En el Distrito Federal de México los especialistas han determinado que el número de

personas infectadas por la gripe H1N1 tipo A, cambia a razón de 2, 2 2, 2idPt

dt

donde iP es el número de personas infectadas y t es el tiempo en semanas.

Determine el número de personas infectadas en los próximos dos meses.

4. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de

21 40R x x dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

2 ( ) 136 4R x x dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será más rentable?.

5. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón

de 2( ) 9260 25R x x dólares por año y costos que se acumulan a razón de

2( ) 3500 15C x x dólares por año. Halle:

a. El número de años en que es rentable el uso de la maquinaria.

b. Las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo de la parte a.

6. La avícola “Gallina Feliz” vende el kilo de pollo a S/.6,50. Los estudios del mercado

indican que dentro de “x” semanas, el precio de pollo estará cambiando a una razón

de 𝑑𝑃

𝑑𝑥= 0,03𝑥2 − 0,6𝑥 donde P es el precio. Dentro de 14 días

a. ¿El precio del pollo será mayor o menor a S/. 6,50? Rpta: Será menor

b. ¿Cuál será el precio dentro de 14 días? Rpta: S/.5,38

c. ¿Conviene vender todo el pollo posible ahora o se debe esperar los 14 días para

vender? Rpta: Debe vender todo el pollo posible ahora.


SEMANA 16

UNIDAD III: Integrales

Tema: Sesión integradora

REGLAS BASICAS DE DERIVACIÓN

Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define:

1) Si, ( )xf k , es una función constante, entonces: ( ) 0' xf

2) Si, ( ) nf x x , n , entonces: 1( )' nf x nx

3) ( )( ) xx fk f k , donde k es constante.

4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g

Derivada de una potencia

5) 1

( )( ) ( )n n

n f xf x f x

Derivada de un producto

6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x

Derivada de un cociente

7) 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f x f x g x f x g x

g xg x

, si ( ) 0xg


Derivada de funciones exponenciales.

8) ( ) ( )

( ) lnf x f x

f x aa a

, donde a .

9) ( ) ( )

( )f x f x

f xe e

, donde e es la constante de Euler.

Caso particular ( ) 'x xe e

Derivada de funciones logarítmicas.

10) ( )

ln ( )( )

f xf x

f x

, caso particular:

1ln x

x

11) ln

( )( )

( )b

f xLog f x

f x b

, caso particular:

ln

1( )

b bLog x

x

APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:

f es creciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I .

f es decreciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I .

Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c I y si ( ) 0 f c o ( ) f c no

existe, entonces el valor de c es un punto crítico de f .

APLICACIONES A LA ECONOMÍA

Función de costo total. ( )C f q

Costo marginal ' dC

Cdq

Función de ingreso total. ( )r f q pq

Ingreso marginal ' dr

rdq


Función Utilidad. U r C Ingresos - Costos

Función de utilidad marginal= ' ' ' U r C

Integral indefinida

1.dx x k 2. ( ) ( )cf x dx c f x dx

3.

1

1

nn x

x dxn

k

; 1n 4. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Integral definida

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a

P1. ( )b

a


P2. ( ) ( ) b b

a a

cf x dx c f x dx , donde c es un número real arbitrario

P3. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

P4. Si a c b , se cumple: ( ) ( ) ( ) b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

P5. Si c d , entonces ( ) ( ) d c

c df x dx f x dx

P6. ( ) 0 a

af x dx

P7. Si ( ) 0f x para todo x en ,a b , entonces ( ) 0 b

af x dx


ACTIVIDAD 16

Consolidando conocimientos

Objetivo

Reconocer y aplicar los conocimientos adquiridos.

Orientaciones


NIVEL Pregunta Nº1

CONOCIMIENTO Responda verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

1. Si, f(x) = xn, n , entonces: f ’(x) = nxn-1

2. Si

21

( )f xx

entonces 2( ) 2f x x

3. Si entonces

4.

( ) ( )'( ) lim

0h

f x h f xf x

h

5. ( ) ( )cf x dx c f x dx

6. ( )b

a


NIVEL Pregunta Nº2

APLICACIÓN Aplique los procedimientos estudiados correspondientes a cada unidad.

Derivar:

1.

2 3

( )ln(2 1)

x

f xx

e

2. 3 21( ) ln(2 5)xf x x

2. Sea : 32 11 q)(qf(q)C , función costo total. Halle el costo marginal.

(No simplifique su respuesta).


3. Para cierto fabricante, la función ingreso está dada por 23.070 qqr .

a) ¿Qué tan rápido cambia el ingreso respecto a q, cuando q = 100?

b) Halle la razón de cambio relativa cuando q = 10

4. Integre las siguientes funciones

a) dxxxx )4)(26( 3 b) 2 4 33 7 5 3 x x x x dx

NIVEL Pregunta Nº3

ANALISIS Interpretar el enunciado y resolver el problema.

1. Un fabricante ha determinado que la función costo marginal es

128.009.0 2 qqdq

dc y el costo fijo es de $ 2,500, donde q es el número de

unidades producidas. Encuentre la función de costo total y la función de costo promedio.

2. Para cierto fabricante, su función de costo marginal está dada por:

6 4 300dC

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Si sus

costos fijos son de $ 300, determine el costo promedio cuando se producen 4 unidades:


I. Utilizando las diferentes reglas de diferenciación: halle la derivada de las siguientes funciones y , si es el caso, evalúe en el punto dado:

1.

2

3

( 1)( 2 4)( )

( 2)

x xf x

x

2

35

2 4

6 5 ( 4 5)( )

( 7 8) 8 1 ln

x xf x

x x

3. 3 1( ) .ln 1xf x xe ; x = 1 4.

2 2( 1) 3( ) .ln( 1)xf x xe ; x = 1


II. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva, en cada caso:

1.

52

22

x

)x(f)xx(e

, en el punto (2; k) que pertenece a dicha gráfica.

2. 2 2( 1) xy x e , en el punto (2; 5).

3. ln(2 1)y x x , en el punto x = 1 .

III. Aplicaciones a la economía

1. La función de demanda, de una fábrica que produce carteras, está dada por:

50 0,3p q , ( p está en dólares y q es la cantidad producida). Halle la

función de ingreso marginal y evalúela para una producción de 30 unidades. Interprete el resultado.

2. Si la función de demanda, para el producto de un fabricante es: 2 70010 0,01p q q , ( p está en dólares y q es la cantidad producida),

halle la función de ingreso marginal y evalúela cuando se venden 10 unidades. Interprete el resultado.

3. La función de costo promedio por unidad, de una fábrica que produce carteras,

está dada por: 2 2500,02 0,1 C q q

q, ( C está en dólares). Halle la función

de costo marginal y evalúela para 10q . Interprete el resultado.

IV. Encuentre la derivada indicada y evalúe en el punto determinado

a) 17

1

xy ; )2(''y b)

23

7

xy ; )3('''y

V. Realice el bosquejo de la gráfica

En las siguientes funciones halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los

puntos máximos y mínimos relativos, las concavidades y los puntos de inflexión.

a) 3 2( ) 2 3 12 1f x x x x b) 104883)( 234 xxxxf

VI. Aplicaciones de máximos y mínimos

1. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: 60

4

qp

;

600 q , donde q es el número de unidades y p es el precio por unidad.


¿Para que valor de q se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso

máximo?

2. La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende polos, está dada

por: 9000

0, 2 72C qq

, donde C está en dólares y q es el número de

unidades producidas. Halle el nivel de producción que minimiza el costo y el costo mínimo.

VII. Integre las siguientes funciones:

a) dxxxx )4)(26( 3 b) 2 4 33 7 5 3 x x x x dx

c) dxx

xxx

)24)(27( 3

d) 3

42 )(( ) x x x x

x

dx

e) 2 2

3

(2 1)x

xdx

f) 2

5 2

(3 1)x

xdx

VIII. Aplicaciones de la integral


128.009.0 2 qqdq

dc y el costo fijo es de $ 2,500, donde q es el número de

unidades producidas. Encuentre la función de costo total y la función de costo promedio.

2. Para cierto fabricante, su función de costo marginal está dada por:

6 4 300dC

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Si sus

costos fijos son de $ 300, determine el costo promedio cuando se producen 4 unidades:

3. Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es

220 30dr

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Encuentre la

función de ingreso total.


4. Para cierta fábrica de artesanías, su función de ingreso marginal está dada por:

2200 20 3dr

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Halle la

función de demanda, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 2000.

5. Para cierta compañía su función de costo marginal está dada por:

26 10q qdc

dq , donde q es el número de unidades producidas. Si sus costos

fijos son de S/ 4000, determine el costo promedio cuando produce 100 unidades:


20.06 2 10dc

q qdq

, donde q es el número de unidades producidas. Si los

costos fijos son de $3600, determine la función de costo y el costo promedio producir de producir 90 unidades.

7. La función de ingreso marginal, para el producto de un fabricante, está dada por:

2 1015 2800dr

q qdq

. Si r está en dólares, determine el ingreso cuando se

incrementa la producción de 10 a 15 unidades

8. La compañía minera “Buenaventura” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio por tonelada estará

cambiando a una razón de cambio dada por la función: 20,012 0,05d P

x xd x

,

donde P es el precio.

a. Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas.

b. ¿Debe la compañía vender todo el cobre posible ahora, o esperar dentro de 5

semanas?

9. La Compañía Financiera Atlantis, lanza al mercado dos planes anuales de

inversión. El primero generará una rentabilidad a razón de 21 20P x x

dólares por año, mientras que el segundo lo hará a la razón de 2 ( ) 104 5P x x

dólares por año.

a. Determine el número de años que el segundo plan será más rentable que el

primero.

b. Halle la Utilidad Neta, si se invierte en el segundo plan en lugar del primero, durante

el periodo obtenido en la primera parte.


GLOSARIO

Límite de una función. Decir que limf(x)= L significa que es posible hacer que los

valores de f(x) sean tan cercanos al número L como se desee haciendo que x se

aproxime lo suficiente a a .

Limite lateral. Si f (x) tiende a L cuando x tiende a a por la derecha, entonces se escribe

lim ( )x a

f x

. De manera similar, si f(x) tiende a L cuando x tiende a a por la izquierda,

entonces se tiene lim ( )x a

f x

. A estos límites se les denomina límites laterales.

Continuidad. Una función f es continua en x = a, significa que la gráfica de f no se

interrumpe cuando x = a.



( ) ( )(́x) lim

h

f x h f xf

h


Punto crítico. Un punto 0 0( , )x y de una gráfica en el que (́ )f x es 0 o bien no está

definida es candidato a ser un extremo local o relativo, y a 0x , se le denomina valor crítico

Extremos relativos. Para que ocurra un extremo relativo en 0x la primera derivada debe

cambiar de signo alrededor de 0x .

Extremos absolutos. Si el dominio de ( )f x es un intervalo cerrado, entonces para

localizar extremos absolutos no solo se considera en dónde ocurren extremos relativos,

sino que también se examina ( )f x en los extremos del intervalo.

Integración, El proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada, y la función a determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada. Constante de integración. La constante C, que puede tener un valor arbitrario, y está presente siempre cuando obtenemos una integral indefinida.

matemÁtica ii - usmp · 2020. 3. 6. · 03 fecha: 29/01/2020 fecha: 06/02/2020 fecha:07/02/2020 ....

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