matemÁtica i - universidad de san martín de porres...de las leyes del pensamiento”, que...
TRANSCRIPT
MATEMÁTICA I
Manual del estudiante
Ciudad Universitaria Santa Anita, 2019
© UNIVERSIDAD DE SAN MARTÍN DE PORRES
Unidad Académica de Estudios Generales
Manual publicado con fines académicos, 2019
Elaborado por: Revisado por: Aprobado por: Versión
Equipo docente Comisión de Acreditación y
Calidad
Coordinación Académica de
la UAEG 02
Fecha: 23 de enero del 2019 Fecha: 12 de Julio del 2019 Fecha: 1 de Agosto del 2019
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |3
Presentación
La matemática es una ciencia formativa que fomenta el razonamiento de las personas
en todos los ámbitos donde se pueda desarrollar, por lo que el curso de Matemática I, es
una asignatura que cumple uno de los objetivos básicos de la formación universitaria; el
desarrollar en los estudiantes capacidades y competencias que les permita, a partir de un
razonamiento lógico y estructurado de la ciencia, generar conocimiento para solucionar
situaciones problemáticas y toma de decisiones, de manera estratégica, creativa e
innovadora. Ello hará posible que nuestros estudiantes tengan una formación profesional
más competitiva, haciendo posible su ingreso con éxito al ámbito laboral y desempeñarse
con eficiencia y eficacia.
El presente Manual de Matemática I, elaborado especialmente para los estudiantes de
Estudios Generales, está orientado a incrementar y consolidar el conocimiento, desarrollar
habilidades, fortalecer el aprendizaje autónomo, los hábitos de lectura, de análisis y de
síntesis. Por ello, es indispensable que los estudiantes usen el manual tanto en clase y,
como un instrumento de práctica, fuera de ella. Se insta también a los alumnos usar la
bibliografía recomendada en el sílabo.
El manual que se presenta, contiene teoría, ejercicios resueltos y propuestos,
problemas de aplicación de cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el
presente semestre académico 2019-II, por lo que está organizado en cuatro unidades de
aprendizaje, en las cuales se hace referencia a los contenidos, capacidades y actitudes que
se espera alcancen los estudiantes. Estas unidades de aprendizaje son: I. Lógica
matemática y Teoría de conjuntos. II. Los números reales. III. Funciones y Tópicos de
Geometría Analítica. IV. Función cuadrática y Programación lineal. Aplicaciones.
Los docentes de la asignatura
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |4
ÍNDICE
Presentación .......................................................................................................................... 3
Índice ..................................................................................................................................... 4
UNIDAD I: LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS
Lógica matemática ................................................................................................................. 6
Cuantificadores lógicos ........................................................................................................ 11
Conjuntos ............................................................................................................................ 16
Operaciones con conjuntos.................................................................................................. 19
UNIDAD II: LOS NÚMEROS REALES
Ecuación lineal..................................................................................................................... 27
Sistema de ecuaciones lineales ........................................................................................... 31
Ecuación cuadrática o de segundo grado ............................................................................ 38
Inecuación lineal .................................................................................................................. 44
Inecuación cuadrática o de segundo grado .......................................................................... 52
UNIDAD III: FUNCIONES Y TÓPICOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Funciones ............................................................................................................................ 59
Dominio y rango de una función .......................................................................................... 67
Características y evaluación de una función ........................................................................ 74
Funciones especiales .......................................................................................................... 82
Función lineal ...................................................................................................................... 91
UNIDAD IV: FUNCIÓN CUADRÁTICA. PROGRAMACIÓN LINEAL
APLICACIONES
Función cuadrática ............................................................................................................ 101
Desigualdades en el plano cartesiano ............................................................................... 110
Programación lineal ........................................................................................................... 116
Maximización y minimización de una función objetivo ........................................................ 120
GLOSARIO ....................................................................................................................... 140
FUENTES DE INFORMACIÓN ......................................................................................... 142
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |5
COMPETENCIA, UNIDAD, CAPACIDADES Y ACTITUDES DE LA ASIGNATURA
Competencia Unidad Capacidad Actitudes
Aplica conceptos
y métodos de la
Matemática
Básica en la
solución de
problemas en
contextos reales
propios de su
formación
profesional.
Unidad I:
Lógica matemática y
teoría de conjuntos
Aplica racionalmente los
métodos de la Lógica
Matemática y Teoría de
Conjuntos para la solución de
problemas específicos de su
formación.
Respeto a la
persona.
Compromiso.
Conservación
ambiental.
Búsqueda de
la excelencia.
Unidad II:
Los números reales
Utiliza axiomas y/o
propiedades de los Números
Reales para la solución de
problemas relacionados con
operaciones de negocios.
Unidad III:
Funciones y tópico
de geometría
analítica.
Aplica y utiliza los conceptos
de funciones de la variable
real considerando las
condiciones del contexto en
la que se desarrollara el
profesional.
Unidad IV:
Función cuadrática.
Programación lineal.
Aplicaciones
Utiliza la función cuadrática y
los métodos de la
Programación Lineal en la
solución de problemas
relacionados con su
especialidad en contextos
reales.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |6
SEMANA
1
UNIDAD I
Lógica matemática y teoría de conjuntos
Tema: Proposición lógica
La lógica tiene sus inicios desde el tiempo de Aristóteles, nacido en Grecia (384-322 a.c.)
plasmado en su obra “Organum”, llamada lógica aristotélica o clásica. Luego el alemán
Gottfried Wilhem Liebnitz (1646–1716), introduce los símbolos lógicos los cual facilitaban el
estudio, utilizándolos como instrumentos matemáticos. Sin embargo no es sino hasta la
genialidad de George Boole (1815–1864) Inglés, quien publicó su obra “Una investigación
de las leyes del pensamiento”, que realmente dio un gran salto al estudio de la matemática
simbólica que gracias a Bertrand Russell (1872–1970) y Alfred Whitchead (1864–1947) con
su obra “Principia Mathemática” publicada en 1910 y 1913; que proponen como la base para
el desarrollo vertiginoso de la lógica llamada “lógica simbólica”.
Figura 1. Características fundamentales de la inteligencia lógico-matemática.
Recuperado de: https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/eciencias/article/view/15129/14438
1. Concepto: La Lógica es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo é deductivo. El
razonamiento inductivo es aquel que lleva a conclusiones generales a partir de
observaciones particulares y el razonamiento deductivo parte de conclusiones generales
y llega a conclusiones particulares.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |7
2. Enunciado.
Es toda oración o frase que exprese alguna idea, a través de afirmaciones, negaciones,
preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc.
Ejemplos:
¡Qué bueno que estudio matemática
¿Quieres tener éxito en tus estudios?
Hola, ¿cómo estás?
Enunciado abierto. Es aquel enunciado, el cual no se puede responder con verdadero o
falso.
Ejemplos:
3x<6
4x - 3y = 8
Ella es contadora
Proposición lógica. Una proposición es un enunciado, cuya propiedad fundamental es
que puede responderse como verdadero (V) o falso (F), pero no ambas a la vez. Por
tanto, no existe ambigüedad en la respuesta. Una proposición se representa
simbólicamente por letras minúsculas tales como: p , q , r , s llamadas variables
proposicionales.
Ejemplos:
p : La matemática es una ciencia pura.
q : Todos los ingresantes a la USMP han rendido un examen de admisión.
Valor de verdad. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota con ( )V p y
escribimos: ( )V p V si el valor de p es verdadero y ( )V p F si el valor de p es falso.
Proposición lógica simple. Es aquella proposición lógica que consta de un solo sujeto y
un predicado.
Ejemplos:
p : Las flores son parte de una planta.
q : El curso de matemática I es pre-requisito para poder llevar el curso de Matemática II
en la USMP.
r : Janet y Stefany son amigas.
Proposición lógica compuesta. Está conformada por dos o más proposiciones simples,
unidas por palabras (operadores lógicos) que enlazan a dichas proposiciones. Ejemplo:
Los universitarios tienen carnet de identificación y pagan medio pasaje
p q
3. Operadores lógicos. Son signos o símbolos que representan palabras y que son
usados para relacionar proposiciones. Tenemos:
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |8
Símbolo Nombre Algunas palabras
Conjunción “y”, “pero”, “también”
Disyunción inclusiva “o”, “a menos que”
Disyunción exclusiva “ o….o….”
Condicional “entonces”, “por lo tanto”, “luego”
Bicondicional “si y solo si”
Negación “no”, “ni”, “nunca”, “no es verdad que”
ACTIVIDAD 01
RECONOCIENDO LOS ELEMENTOS BÁSICOS DE LA LÓGICA
Objetivo
Reconocer los elementos fundamentales de la lógica y establecer su importancia.
Orientaciones
La actividad a realizar es de manera individual. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº1
CONOCIMIENTO Coloca (E) si es enunciado, (P) si es proposición lógica y
(EA) si se trata de un enunciado abierto.
Expresiones (E) –(P)- (EA)
1. ¡Me gusta el color blanco! ( )
2. Roma es la capital de Italia ( )
3. 5 2 13x . ( )
4. El número 333 es divisible por 3. ( )
5. El, es el Presidente del Perú ( )
6. Viajo el fin de semana a Piura ( )
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |9
NIVEL Pregunta Nº2
CONOCIMIENTO Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda a cada
una de las afirmaciones.
Afirmaciones V o F
1. es el conector lógico llamado disyunción inclusiva. ( )
2. es el conector lógico llamado condicional. ( )
3. Una proposición compuesta se forma al unir dos simples con uno o
más conectores lógicos. ( )
4. Luis y Ricardo son muy amigos. Es una propisicion lógica simple ( )
5. El día tiene 24 horas si y solo si una hora tiene 60 minutos. Es una
propisicion lógica compuesta. ( )
NIVEL Pregunta Nº3
COMPRENSIÓN Responda brevemente lo planteado.
1. De acuerdo a lo leído, ¿Cuál es la diferencia entre enunciado y proposición lógica?.
2. ¿Cuál es la diferencia entre proposición lógica simple y proposición lógica compuesta?
NIVEL Pregunta Nº4
APLICACIÓN
Utilizando los conceptos de proposición lógica
simple, compuesta y conectores lógicos, identifica
las proposiciones lógicas siguientes y simboliza:
Proposición lógica Simbolización
1. Marisol estudia la carrera de administración.
2. Lima es la ciudad de los Virreyes y Trujillo la
ciudad de la eterna primavera.
3. Alessandro es muy estudioso, también Ana.
4. O María está de viaje o se encuentra
hospitalizada.
5. Si Edica es estudiosa entonces no aprobará la
asignatura de matemática I.
6. Luis, Ángel y Enrique son economistas.
7. Santiago o Lucio serán excelentes contadores,
si y solo si estudian mucho.
8. Blanca viene a la universidad en el tren o en
colectivo
9. Si la empresa de Mario tiene muchas fortalezas
y oportunidades, entonces será un éxito
10. Lima es la capital del Perú sin embargo se
encuentra muy descuidada. Por consiguiente, el
nuevo alcalde tiene un gran reto.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |10
SEMANA
2
UNIDAD I
Lógica matemática y teoría de conjuntos
Tema: Evaluación de proposiciones y esquemas lógicos.
1. Tablas de verdad.
Signos de agrupación o de colección. Los signos de agrupación , , se
usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos. Otra
finalidad de estos signos es darles mayor o menor jerarquía a los operadores.
Fórmula lógica. Es una combinación de variables proposicionales y operadores
lógicos. Se evalúa mediante tablas de verdad.
Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se evalúan mediante tablas de valores
de verdad, el número de valores de verdad queda determinado por 2n, donde n
es el número de proposiciones.
Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su
operador principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA.
Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN.
Si es una combinación entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una
CONTINGENCIA.
Disyunción inclusiva
p Q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Conjunción
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Disyunción exclusiva
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
Condicional
p q pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Negación
p ~ p
V
F
F
V
Bicondicional
p q pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |11
2. Evaluación de esquemas lógicos
Determina si el esquema es tautológico, contradictorio o contingente.
[ ( p ~ q ) Λ ( ~ r v q ) ] ~ p
V F F F F V V V F
V F F F V V V V F
V V V F F F F V F
V V V V V V F F F
F V F V F V V V V
F V F V V V V V V
F V V F F F F V V
F V V V V V F V V
El esquema lógico responde a una CONTIGENCIA
3. Cuantificadores
Función proposicional. La función proposicional es un enunciado abierto de la forma
( )P x , es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al ser
sustituida por un valor particular se convierte en proposición.
Por ejemplo: 2( ) : 3 10P x x ; es un enunciado abierto
2(2) : 2 3 10P ; es una proposición falsa
2(3) : 3 3 10P ; es una proposición verdadera
Cuantificadores. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto
o función proposicional en una proposición para lo cual su misión es indicar cuántos
elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta función proposicional.
Cuantificador universal. Representado por ∀ se emplea para afirmar que todos los
elementos de un conjunto cumplen con determinada función proposicional.
Notación:
∀ 𝒙 ∈ 𝑨 ∶ ”Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que”
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |12
Cuantificador existencial. Representado por , se usa para indicar que al menos un
elemento de un conjunto cumple con determinada función proposicional
Notación:
∃ 𝒙 ∈ 𝑨 / ” Existe algún x que pertenece al conjunto A tal que”
Figura 2. Concepto de los cuantificadores lógicos.
Recuperado de: https://slideplayer.es/slide/2309440/
Negación de los cuantificadores.
~ / ( ) :x A p x x A ( )~ p x “la negación de un existencial da un universal”
~ : ( ) /x A p x x A ( )~ p x “la negación de un universal da un existencial”
NOTA.
En general, la proposición universal :x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x lo
es, es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos un
elemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .
En general, la proposición existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos un
elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningún elemento de A cumple con ( )P x , esto
es, todo elemento de A no cumple ( )P x .
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |13
ACTIVIDAD 02
EVALUACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS, ESQUEMAS LÓGICOS Y
LOS CUANTIFICADORES
Objetivo
Conocer las tablas de valores de verdad y cuantificadores lógicos.
Orientaciones
De manera grupal responda según lo señalado en cada uno de los ítems.
NIVEL Pregunta Nº1
CONOCIMIENTO Coloca en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o falso
(F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
1. Si dos proposiciones verdaderas se unen mediante la conjunción,
entonces el resultado es falso. ( )
2. Si dos proposiciones, la primera verdadera y la segunda falsa, se
unen con la disyunción exclusiva, entonces el resultado es verdadero. ( )
3. En la condicional cuando la segunda proposición es verdadera, sin
importar el valor de verdad de la primera, el resultado es verdadero. ( )
4. Si al evaluar un esquema logico, de manera indirecta, el resultado del
conector principal todos son falsos, entonces el esquema es una
tautologia.
( )
5. Si al evaluar un esquema logico, de manera directa, el resultado del
conector principal es verdadero, entonces el esquema es una
contingencia.
( )
6. La proposición: O Mario Vargas Llosa es escritor o es poeta, es falsa. ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Responda brevemente las preguntas planteadas.
1. Explique brevemente, ¿Cuándo una proposición, cuantificada universalmente es
verdadera?
2. Explique brevemente, ¿Cuándo una proposición, cuantificada existencialmente es
falsa?
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |14
NIVEL Pregunta Nº3
APLICACIÓN
Utilizando las tablas de valores de verdad y los
conceptos de las proposiciones lógica cuantificada,
responde.
1. Evalúa el esquema lógico y determina si es una tautología, contradicción o contingencia.
~p q p r q p
2. Dado el conjunto 𝑨 = {−𝟓,−𝟒…… , 𝟓}, determine el valor de verdad de:
a) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / (𝑥2 + 1) ∈ 𝐴 b) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ (𝑥2 − 1) = 0
c) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑥−5
𝑥+2> 2 d) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴/(4𝑥 − 16) > 0
3. Dado el conjunto 𝑩 = {−𝟑,−𝟏, 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕 } , negar las proposiciones cuantificadas y determinar su valor de verdad:
a) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 2𝑥−6
2> 3 b) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = −4
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
I. Determina cuáles de las siguientes expresiones representa un enunciado (E) una
proposición (P) o un enunciado abierto (EA)
a. El examen parcial de matemática I, está muy difícil.......... ..... ( )
b. 3𝑥 + 4 = 10…………………………………………………… …. ( )
c. El número cero, es un número par…………………… …… ( )
d. El, es el mi profesor de matemática.…………………… …… ( )
e. La USMP es una universidad licenciada por SUNEDU… … ( )
f. Tienes que estudiar para la práctica calificada de mañana. ( )
II. Según tus conocimientos sobre el tema responde V o F a las siguientes
expresiones:
a. En la bicondicional si ambas proposiciones son V el resultado el Falso…… .. ( )
b. Una proposición compuesta se forma al unir dos simples con un conector…. ( )
c. Si el resultado de la evaluación directa de un esquema lógico es falso, el ….. ( )
esquema es contradictorio.
d. En la conjunción, si una proposición es falsa sin importar el valor de la otra... ( )
el resultado es falso.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |15
III. Interpreta, comprende, simboliza y determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
a. Miguel Grau fue el Caballero de los Mares o el Brujo de los Andes
………………………………………………………………………………..
b. Lima es la ciudad de los Virreyes y Cuzco es la ciudad imperial.
………………………………………………………………………………..
c. 10 es múltiplo de 3 si y solo si 30 es divisor de 600.
…………………………………………………………………………………
d. Si Paolo estudió administración en la USMP, luego es un buen profesional.
…………………………………………………………………………………
e. El día tiene 24 horas a menos que una hora tenga 60 minutos.
………………………………………………………………………………..
IV. Enrique el estudiante promedio del aula siguiendo las pautas para resolver una
Evaluación Lógica determinó los resultados en cada una de ellas. Coloca una A si
estás de acuerdo y NA si no estás de acuerdo:
a. ~ ~ ~ ~p q p q p q ……………..Contradicción…… ( )
b. ~ ~ ~p q p r ………………………….. Contingencia……. ( )
c. ~ ~p q p q ……………………………… Tautología……… ( )
V. De la falsedad de ~ ~p q r s deduzca el Valor de Verdad de:
a. ~ ~ ~p q q p
b. ~ ~r q q q r s
c. ~r s q p s
VI. Dado el conjunto 𝑩 = {−𝟑,−𝟏, 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕 }. Hallar el Valor de Verdad inicial y luego
Negar cada una de las siguientes proposiciones y establecer el nuevo Valor de
Verdad:
a) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ (𝑥2 − 20) ≤ 29 b) x B :4 1
55
x
c) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵/ (𝑥2 − 6) ≤ 0 d) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / (𝑥 + 4) ≥ −1
e) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ (𝑥2 − 20) ≤ 5 f) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / 𝑥−1
𝑥−3> 0
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |16
SEMANA
3
UNIDAD I
Lógica matemática y teoría de conjuntos
Tema: Conjuntos
Desde que nacemos nos encontramos con agrupaciones. En primer lugar, con personas a
nuestro alrededor tratando de conocernos, luego con cosas con las cuales empezamos a
diferenciar formas, texturas, etc. Así continuamos aprendiendo a relacionar objetos y los
vamos agrupando según las necesidades. Por ejemplo los compañeros de la escuela, las
enfermedades del corazón, los estudiantes de matemática, entre otros. Nos hacemos
preguntas respecto a estas agrupaciones y sus componentes, por eso la matemática se
encarga de estudiarlas y este estudio es conocido como Teoría de Conjuntos.
1. Idea intuitiva de conjunto.
De manera intuitiva diremos que un conjunto es una colección bien definida de objetos.
A cada uno de estos objetos le denominamos elemento del conjunto. Un conjunto se
denota por una letra mayúscula, sus elementos se encierran entre llaves y se separan
por comas cuando el conjunto esta expresado por extensión.
Determinación de conjuntos.
Por extensión. Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista de
elementos la escribimos entre llaves.
Por comprensión. Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los elementos
que están en el conjunto.
2. Relación de pertenencia e inclusión.
Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se dice “que este elemento pertenece
al conjunto” y se denota por “pertenece”.
Subconjunto. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee “es
subconjunto de” ó “está contenido en”. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si
cada elemento de A también es elemento de B y se denota por A B .
El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto A.
Diagrama de Venn-Euler. Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas. En el
caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se usan generalmente
círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el conjunto universal.
Cardinal de un conjunto. Es la cantidad o número de elementos de un conjunto y se
denota por n A
Conjuntos especiales.
Conjunto universal. Es aquel formado por todos los elementos con los cuales
estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es muy importante
establecer el conjunto universal, ya que eso determinará nuestro marco de
referencia.
Conjunto vacío. Es aquel que carece de elementos. Se denota por ó .
Conjuntos disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |17
Conjunto unitario. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Conjunto potencia. El conjunto potencia de un conjunto A , es el conjunto formado
por todos los subconjuntos de A . Se denota por P A y el número de elementos de
2nP A , donde n es el número de elementos de A .
Conjunto finito. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.
Conjunto infinito. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada. Por
ejemplo el conjunto de números reales.
Figura 3. Estructura de la teoría de conjuntos. Concepto, clasificación, operaciones y tipos de
conjuntos.
Recuperado de: https://sites.google.com/site/temasmatematicos/teoria-de-conjuntos
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |18
ACTIVIDAD 03
RECONOCIENDO ELEMENTOS BÁSICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS
Objetivo
Reconocer los elementos básicos de la teoría de conjuntos y establecer su importancia.
Orientaciones
La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda
1. / ; 1 4A x x x es un conjunto determinado por extensión. ( )
2. Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. ( )
3. / ; 0B x x x es un conjunto unitario. ( )
4. /C x x es un conjunto infinito. ( )
5. Si 1,3,4,6,7D entonces (C) 16nP . ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Elabore un concepto de lo que es un conjunto y de
subconjunto. Muestre un ejemplo
NIVEL APLICACIÓN
Utilizando los conceptos de la teoría de conjuntos responda las preguntas.
Pregunta Nº 3
Expresa los conjuntos siguientes por extensión:
1. 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝑍 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⁄ }
2. 𝐵 = { 𝑥 ∈ N −2 ≤ 𝑥 < 10; 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟; 𝑥 ≠ 4 ⁄ }
3. 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍 𝑥⁄ (𝑥 − 5)(𝑥 + 6)(𝑥 + 7)} = 0 } Pregunta Nº 4
Hallar el conjunto potencia de:
1. 𝑀 = {𝑥 ∈ 𝑍+ −2 ≤ 𝑥 < 4⁄ }
2. 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑁∗ −1 < 𝑥 ≤ 3⁄ }
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |19
SEMANA
4
UNIDAD I
Lógica matemática y teoría de conjuntos
Tema: Operaciones con conjuntos
1. Operaciones con conjuntos
a) Unión o reunión. Dado dos conjuntos A y B, la unión de A y B se define como:
/A B x x A x B
Nota; Siempre se cumple que A A
b) Intersección. Dado dos conjuntos A y B, la intersección de A y B se define como:
/A B x x A x B
Dos conjuntos son disjuntos sí A B . Además siempre se cumple que A .
c) Diferencia de conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A
y B se define como:
/A B x x A x B
A
B
U A B
U
A
B
U A B
U
A B
U A
B
U
A B U
A B U
A B U
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |20
d) Diferencia simétrica. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A y
B se define como:
/A B x x A B x B A
e) Complemento de un conjunto. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde
A U , se define el complemento de A como:
/' cA A x x U x A
Nota: Siempre se cumple que: 'U y ' U .
Figura 4. Operaciones con conjuntos.
Recuperado de: https://sites.google.com/site/portafoliousil2017g6/4-2-opreraciones-con-conjuntos-
intervalos-operaciones.
U
A
A B U A
B
U
A’
Luis y Hugo
U
Luis
Hugo
A
Paco
Ac
Complemento
Las personas que no cuentan
con Auto
A B U
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |21
2. Aplicaciones
a) En un aula hay 72 alumnos que gustan de la música rock o salsa. La cantidad de los
que gustan el rock es el quíntuplo de los que sólo gustan la salsa; la cantidad de los
que sólo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos géneros. ¿Cuántos
alumnos sólo gustan de un género?
b) Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes
especialidades: postres, cremas y pastas. Obteniéndose como resultado que: 30
ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20
ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres, pero no en
cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 ganó en las tres especialidades. Además,
se sabe que el número de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que
ganaron la especialidad de pastas.
Determine ¿cuantos ganaron al menos, en dos de las especialidades? ¿Cuántos
ganaron? en las especialidades de Postres y Cremas? Y ¿Cuántos no ganaron en
ninguna especialidad?
Paul, uno de los estudiantes que lleva la asignatura, resuelve el problema y afirma lo
siguiente:
18 ganaron en al menos dos especialidades
4 ganaron en postres y cremas
1 no ganó en ninguna de las especialidades
Resuelve y luego critica o defiende la afirmación justificando tu respuesta.
c) En un aula de clase se sabe que 22 estudiantes prefieren lenguaje, 24 estudiantes
matemática y 20 prefieren biología. Si los que prefieren al menos una asignatura son
35 y los que prefieren solamente una asignatura son 5. ¿Cuántos prefieren las tres
asignaturas?
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |22
ACTIVIDAD 04
REALIZANDO LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS Y SUS APLICACIONES
Objetivo
Realizar operaciones con conjuntos y utilizarlas en la solución de problemas de aplicación
Orientaciones
La actividad a realizar es de manera grupal. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Afirmaciones
1. ( )A B representa a la operación de intersección de dos conjuntos. ( )
2. ( )A B representa a la operación de diferencia de dos conjuntos. ( )
3. Si 1,2,4A y 0,2,4B entonces 0,1A B . ( )
4. Si 3,5,7M y 4,6,8B entonces 0,1M N . ( )
5. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces A B . ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Define, brevemente, cada una de las operaciones
con conjuntos.
NIVEL APLICACIÓN
Utilizando las definiciones de operaciones con conjuntos responda las preguntas.
Pregunta Nº 3
Sean los conjuntos: 𝑼 = {𝒙 ∈ ℤ+/𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟗} , 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ/𝒙 ≥ 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟓} y
𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ/𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟗 ∧ 𝒙 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓}
Determinar:
a) A B b) ' 'A B c) ( ) 'A B c) A B
Pregunta Nº 4
Sean los conjuntos: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/−3 ≤ 𝑥 < 6}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ∗/−2 < 𝑥 < 4} y 𝑈 = 𝐴 ∪ 𝐵.
Determinar:
a) ( ) ' 'A B A b) ( ) 'A B A c) ( )c cA B A
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |23
NIVEL ANALISIS
Pregunta Nº 5
Lee y analiza detenidamente, la situación planteada y responde:
De un aula de 35 estudiantes del primer ciclo de la Universidad San Martín de Porres que
son evaluados, 22 aprobaron matemática I, 20 aprobaron Filosofía, 21 aprobaron Realidad
Nacional, 10 los tres cursos y 12 solo dos cursos. Algunos de ellos no aprobaron ninguno
de los tres cursos. ¿Cuántos aprobaron un solo curso?
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 6
Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de la teoría de
conjuntos y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.
César, funcionario de una agencia de viajes, realiza una encuesta a un grupo de turistas
europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en Sudamérica y se obtuvo
que: 13 prefieren Brasil y Perú, pero no Argentina; 12 prefieren sólo Brasil. 9 sólo prefieren
Perú. 50 prefieren Perú o argentina, de los cuales 7 prefieren Brasil, pero no Perú y 4
prefieren Perú y argentina pero no Brasil. 40 prefieren Brasil. Si todos los turistas prefieren
por lo menos un país, César indica que:
a) 32 turistas que prefieren al menos dos países.
b) 30 turistas que prefieren solo un país.
c) El número de turistas que fueron encuestados fue de 62.
Resuelve y luego, de acuerdo a tus resultados, critica o defiende la afirmación del
funcionario.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |24
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS:
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y de ser el caso completar la
expresión:
a) La expresión /A B x x A x B corresponde a la Diferencia… ( )
b) Simétrica
c) Los elementos del Conjunto Potencia se calculan con la expresión:…………….
d) El conjunto / 2 0M x x es vacío…..… ( ).
e) El complemento del Conjunto Vacío es:……………………………………………….
II. Expresar los siguientes conjuntos por extensión:
a) 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝑍 𝑥⁄ (𝑥 − 5)(𝑥 + 6)(𝑥 + 7)} = 0 }
b) 𝐻 = { 𝑥 ∈ 𝑁 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟; 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜⁄ }
c) 𝐺 = { 𝑥 ∈ 𝑍 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⁄ ; 𝑥 ≠ 1 , 3}
III. Jorge estableció el Valor de Verdad de las siguientes expresiones en el siguiente
orden: V F V F V F ¿Es este el verdadero orden? Según sus conocimientos ¿está
usted de acuerdo? Si no lo está ¿Cuál sería el orden de los Valores de Verdad?
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍+ −10 < 𝑥 ≤ −4,⁄ }, es un conjunto vacío
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅+ √−9𝑥 ∈ 𝑅⁄ },es un conjunto nulo
c) / 3B x x es múltiplo de es un conjunto infinito.
d) 1,2,3A y 1,1,3,2,3B son disjuntos
e) 1,2,3,4E es subconjunto de 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍+ 0 < 𝑥 ≤ 4⁄ },
IV. Interpreta, Comprende y Determina el Valor de Verdad de las siguientes
proposiciones:
Sea el conjunto 3,4, 6 ,8A , colocar verdadero o falso, según corresponda:
a) 3 A
b) 4 A
c) 8 A
d) 3,8 A e) A f) 6 A
g) A h) 6 A i) { 6 } ⊂ A
V. Calcular el conjunto potencia de los siguientes conjuntos:
1) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 −1 < 𝑥 < 3⁄ } 2) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍+ 0 < 𝑥 < 4⁄ }
3) 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍 −1 ≤ 𝑥 < 2⁄ } 4) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑁 0 < 𝑥 < 5⁄ }
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |25
VI. Aplica los conceptos de operaciones con conjuntos y resuelve:
Sean los conjuntos:
𝒂) 𝑼 = {𝒙 ∈ ℤ+/𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟗} 𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ/𝒙 ≥ 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟓} y
𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ/𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟗 ∧ 𝒙 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓}
Determinar:
1) A B 2) ' 'A B 3) A B
b) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/−3 ≤ 𝑥 < 6}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ∗/−2 < 𝑥 < 4} ,y 𝑈 = 𝐴 ∪ 𝐵.
Determinar:
1) B A b) ( ) 'A B A c) A B
c) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ∗/𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0} , 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/(𝑥2 − 1)(𝑥2 − 4) = 0} y 𝑈 = 𝐴 ∪ 𝐵
Determinar: 𝐸 = (𝐴 − 𝐵)′
d) 𝑈 = {𝑥 ∈ ℤ/−4 < 𝑥 ≤ 7}, 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ∗/𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 < 4} y
𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/−2 < 𝑥 ≤ 7 ∧ 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜}
Determinar:
1) A U 2) ' 'A B A 3) A B
e) U = { x Ɛ Z / - 2 ≤ x ≤ 15 }, A = { x Ɛ N*/ x ≤ 8 }
B = {x Ɛ N / 5 < x < 15}, C = {x Ɛ Z / -1 ≤ x < 5} y
X = (A ∩ C) ∩ B e Y = (A – BC) - CC
Determinar si: X ≠ Y
Aplicaciones de conjuntos
1. En una reunión de doctores de 54 participantes, 35 dominan inglés y física, 21 inglés y
química y 16 física y química. Si todos por lo menos dominan 2 cursos ¿cuántos
dominan los 3 cursos?
2. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet, 14 fútbol
y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes, 2 practican fútbol y básquet pero no
tenis, 1 practica básquet y tenis pero no fútbol, 3 practican sólo tenis. ¿Cuántos
alumnos practican sólo un deporte?
3. Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradores con
conocimientos de algún idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben inglés,
21 francés y 17 alemán. Además 17 saben inglés y francés; 14 inglés y alemán; 11
francés y alemán y 9 inglés, francés y alemán. ¿Cuántas personas se presentaron al
concurso?
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |26
4. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que: 60 casas
tenían TV a color; 30 casas tenían equipo de sonido; 20 casas tenían DVD; 21 casas
tenían TV a color y equipo de sonido; 15 casas tenían TV a color y DVD y, 4 casas
tenían equipo de sonido y DVD. ¿Cuántas casas, como máximo, no tenían estos
aparatos?
5. Se lleva a cabo una investigación de 1000 personas para determinar que medio utilizan
para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias
en forma regular por TV. 300 personas escuchan noticias por la radio y 275 se enteran
de las noticias por ambos medios. Jorge resuelve el problema y afirma lo siguiente:
a) 115 personas investigadas se enteran de las noticias solo por TV.
b) 35 personas se enteran de las noticias solo por la radio.
c) 585 personas no ven ni escuchan las noticias.
Resuelve y luego emite un juicio personal si estas o no de acuerdo con Jorge.
6. Un grupo de alumnos de Administración ha planeado realizar una investigación sobre
las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las películas A, B y C.
Después de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente información: 20 han visto la
película A; 17 han visto la película B; 23 han visto la película C. 6 han visto las películas
A y B, 8 han visto las películas B y C, 10 han visto las películas A y C. Además, se sabe
que 2 han visto las tres películas. La finalidad del grupo es conocer: ¿Cuántas personas
han visto una sola película?, ¿Cuántas personas han visto al menos dos películas y
cuantas no han visto ninguna de las películas?
Uno de los integrantes del grupo se adelanta y afirma que:
18 personas han visto solo una película.
18 personas han visto al menos dos películas
12 personas no han visto ninguna de las tres películas.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta.
7. En un estudio de mercado, para conocer la marca de automóvil que prefieren los
peruanos, se realizó una encuesta a 310 personas obteniéndose los siguientes
resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan; 70 prefieren la marca Volvo y 110
la marca Toyota; 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota, pero no la marca
Nissan; 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan; 25 personas prefieren las
marcas Nissan y Toyota. Además, se sabe que el número de personas que prefieren
las tres marcas, es la séptima parte de los que prefieren la marca Volvo.
a) ¿Cuántas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de
Automóvil?
b) ¿Cuántas personas prefieren solo Volvo y Toyota?
c) ¿Cuántas personas prefieren Nissan y Toyota, pero no Volvo?
Omar uno de los estudiantes distraídos resuelve el problema y afirma lo siguiente:
60 personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de Automóvil
30 personas prefieren solo Volvo y Toyota
15 personas prefieren Nissan y Toyota, pero no Volvo
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |27
SEMANA
5
UNIDAD II
Números reales
Tema: Ecuación lineal
Ecuaciones lineales
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones
que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el
signo de igualdad “=”.
La ecuación lineal de primer grado con una variable es aquella que adopta la forma
canónica: ax + b = 0 / a 0 a, b
Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera
dicha igualdad.
La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: a
bx
Discusión de las raíces:
Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente:
1º La ecuación es compatible determinada, (finitas soluciones)
Si: a 0 b
2º La ecuación es compatible indeterminada, (infinitas soluciones)
Si: a = 0 b = 0
3º La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda)
Si: a = 0 b / b 0
Ejemplos.
1.- Resolver−𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]}
Solución:
Se resuelve primero lo que está dentro del paréntesis, respetando los signos, luego los
corchetes y finalmente las llaves.
−𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]} = −𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 − 𝟔 − 𝟔𝒙]} = −𝟓{−𝟐 [−𝟗𝒙 − 𝟔]}
= −𝟓{𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟐} = −𝟗𝟎𝒙 − 𝟔𝟎
𝟎 = 𝟎
Luego x toma cualquier valor de los Reales. CS= R
ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN LOS
NÚMEROS REALES
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |28
2.- Qué valor de “x” satisface a la ecuación:
Solución:
Siendo el m.c.m. (4, 3, 6) = 12, se obtiene:
3 (3x-2) – 4 (5x–1) = 2 (2x-7)
9x – 6 - 20x + 4 = 4x - 14
Simplificando:
-11x-2 = 4x-14
-15x = -12
De donde: x = CS= {4
5}
3.- Resolver:
Solución:
Aplicando las siguientes identidades
ad =bc
( a+b ) ( c+d ) = ac+ad+bc+bd
Obtenemos:
(X+3)(x–4) = (x-2)(x+1)
x2- 4x + 3x – 12 = x2 + x - 2x - 2
Simplificando: - x – 12 = - x - 2
-12 = -2 (Absurdo)
Luego, la ecuación es Incompatible. Por tanto: CS = Ǿ
4.- Qué valor de “x” satisface a la ecuación:
6
7x2
3
1x5
4
2x3
15
12x
5
4
4x
1x
2x
3x
d
c
b
a
x5
2x1
43
25
3x
1x1
43
25
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |29
Solución:
Debe tenerse en cuenta que los términos que son iguales en los dos miembros de la
ecuación se pueden cancelar directamente; es decir: 5 con 5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con –4 y 1
con 1; quedando:
o lo que es lo mismo:
Por proporciones
x2 5x-x+5=x2-2x-3x+6
Simplificando:
-x+5=6 x = -1 C.S.= {– 𝟏 }
5. Resolver las ecuaciones con radicales siguientes
a) 2 9 9x x
Solución
Elevando al cuadrado ambos miembros:
2 2 2( 9) (9 )x x
Resolviendo: 2 29 81 18x x x
18 81 9x
5x
Verificando: 25 9 9 5 4 4
Entonces: C.S.= 5
b) 3 2 5x x
Solución
Pasando la raíz negativa al segundo miembro y elevando al cuadrado ambos
miembros:
2 2( 3) (5 2)x x
Resolviendo: 3 25 10 2 2x x x
3 23 10 2x
2 2x Elevando al cuadrado ambos miembros: 2 2( 2) ( 2)x
4 2x
6x
Verificando: 9 4 5 1 5 es absurdo.
Entonces: C.S.=
x5
2x
3x
1x
5x
2x
3x
1x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |30
Aplicaciones de ecuaciones lineales
Lee detenidamente los siguientes problemas y utilizando los conceptos de las
ecuaciones lineales, resuelve.
a) Una compañía produce harina de pescado, con un costo variable de $38 por tonelada. Si
los costos fijos son $55 000 por mes y el alimento se vende en $63 por tonelada,
¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de
$270 000?.
b) La compañía Jimmys fabrica rodilleras para deportistas, que tienen un precio unitario de
venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos, que no dependen de la producción,
ascienden a $60 000, determine:
a. El número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90 000.
b. ¿Cuál será el ingreso para esa utilidad?
c. ¿Cuál será el costo total para esa utilidad?
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |31
2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Al conjunto de ecuaciones:
253
542
yx
yx se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales
con 2 variables. Las variables o incógnitas son x e y. el problema consiste en encontrar
valores para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera
simultánea). a estos valores se les llama soluciones del sistema.
Interpretación Geométrica.
Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus gráficas son rectas. Si los dibujamos en
un mismo plano, existen sólo 3 posibilidades:
1 .
2.
3.
y
L1
L2
(xo; yo)
xo x
L1
L2
y
x
Un sólo punto de intersección. El sistema tiene solución única:
0
0
x x
y y
No hay intersección.
El sistema no tiene solución.
Infinitos puntos de intersección. El sistema tiene infinitas soluciones. Se le llama Solución paramétrica.
( )
x rr R
y f r
y
x
L1 L2
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |32
Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los métodos, es
conveniente alinear los términos en x y en y:
A. Método de eliminación por adición
Ilustramos este método para el sistema: 2 4 5 .. . . . ( 1)3 5 2 .. . . . ( 2)
x yx y
Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para
esto multiplicamos a la ecuación (1) por 3 y a la ecuación (2) por -2, así queda un sistema
equivalente:
4106
15126
yx
yx
Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 y que es una
ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver: 2/11y
Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11y en cualquiera de las ecuaciones
originales (1) ó (2), para este caso elegimos la ecuación
(1):
2/11
542
y
yx
o 5)2/11(42 x
que es una ecuación lineal en la variable x, fácil de resolver, así 2/17x . Por lo tanto, la
solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx
Esta solución cumple en ambas ecuaciones.
B. Método de eliminación por sustitución
Ilustramos este método, con el sistema:
)2.....(253
)1.....(542
yx
yx
Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de las
variables, en este caso despejamos la variable y, así obtenemos:
2534
25
yx
xy
Sustituimos el valor de y en la ecuación (2), resultando una ecuación lineal, de una
variable, fácil de resolver:
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |33
2)4
25(53
xx , luego 2/17x .
Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal en la
variable y, fácil de resolver:
54)2
17(2
y , luego 2/11y .
Por lo tanto, la solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx .
Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuación (2) y
despejar la variable x, y proceder de manera similar.
Figura 5. Forma, representación, métodos de solución y tipos de solución de los sistemas de
ecuaciones lineales.
Recuperado de: https://emoji.bakacal.co/resolver-sistemas-de-ecuaciones-dos-incognitas/
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
5123
34
yx
yx b)
830043
920062
yx
yx
c)
2
11
6
5
8
3
22
1
3
2
yx
yx
d)
121)10()10(
22
xyyx
yx
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |34
ACTIVIDAD 05
RESOLVIENDO ECUACIONES LINEALES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y
SUS APLICACIONES
Objetivo
Resolver ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y sus aplicaciones
Orientaciones
La actividad a realizar es grupal. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Afirmaciones
1. La forma de una ecuación lineal es ax + b = 0 donde, a 0 ( )
2. Si ax + b = 0 y a = 0 luego la ecuación lineal es incompatible ( )
3. 5 2 1 2
1 2
x x x
x x x
es una ecuación racional ( )
4. La ecuación 64
89
2
37
xx tiene como C.S. = {- 2} ( )
5. La ecuación 2 7 1x x tiene como C.S. = {2}. ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Explique, brevemente, cuando un sistema de
ecuaciones lineales es compatible e incompatible
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |35
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
Utiliza los conceptos y propiedades de las ecuaciones determina el conjunto solución de:
1. 2 24 3 (5 4) 3 ( 1)x x x x
2. 21
53
14
98
3
72
xxx
3. 65
13
12
1
82
2222
xxxxxx
4. 9 10 2 3 2x x x
NIVEL ANALISIS
Pregunta Nº 4
Lee y analiza detenidamente, la situación planteada y responde:
La fábrica de comida para perros Omar’s, vende cada bolsa de comida en $200. El costo
de fabricación de cada bolsa es de $120. Los costos fijos mensuales son de $80 000.
¿Cuántas bolsas de comida para perros debe vender el fabricante para llegar al punto de
equilibrio?
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 5
Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de las
ecuaciones lineales y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.
Si la razón entre el número de horas que una tienda de electrodomésticos está abierta, al
número de clientes diarios, es constante. Cuando la tienda está abierta 8 horas, el número
de clientes disminuye en 92 menos que el número máximo de clientes. Cuando la tienda
está abierta 10 horas el número de clientes es 46 menos que el número máximo de
clientes. Carlos, administrador de la tienda, ha determinado que el número máximo de
clientes es de 276.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |36
EJERCICIOSCOMPLEMENTARIOS
I. Resolver las siguientes ecuaciones lineales.
a) 15x - 10 = 6x - (x + 2) + (-x + 3) b) 4 3 ( 2) 2( 8) 4 ( 6)x x x x
c) 5 ( 4 1) 6 (3 5) ( 2)x x x x x d) 6 2 8 3 2 14x x x
e) 2 2 2
3 1 5 3 4 2x x x
f) 64
89
2
37
xx
g) 11 4 10
2 33 6
x xx
h)
5
4
4
3
3
2
xxx
II. Resolver las siguientes ecuaciones lineales racionales:
a) 4
2
2
x
x
x
x
b)
2
2
2 1
2 2 4
x x
x x x
c) 2
3 4 3 5 12
2 4 2 8
x x
x x x x
d) 3
9
14
3
12
3 2
xx
x
x
x
e) 14
114
7
8
37
12
xx
x
x
f)
34
4
9
1
32
2222
xxx
x
xx
x
III. Resolver las siguientes ecuaciones lineales con radicales:
a) 6 2 5 0x b) 2 7 1x x
c) 5 2 4 2x x d) 1 1x x
e) 5 14 2 1x x f) 5 2 4 5x x x
g) 9 7 16 7x x x
APLICACIONES
1. Un fabricante de zapatos de cuero para caballero, vende cada par en $40. El costo de
fabricación de cada par de zapatos es de $24. Los costos fijos mensuales son de $16
000. ¿cuántos pares de zapatos debe vender el fabricante para llegar al punto de
equilibrio?
2. Para una compañía que fabrica ollas a presión, el costo combinado de mano de obra y
material es de $3 por olla. Los costos fijos son $10 000. Si el precio de venta de una olla
es $5.
a.¿Cuántas ollas debe vender para que la compañía tenga una utilidad de $140 000?
b.¿Cuál será el ingreso para esa utilidad?
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |37
3. Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio de
10002
q dólares por unidad. ¿Cuántas unidades deberá vender para obtener un
ingreso de $5 000?
4. La fábrica de comida para perros Omar’s, vende cada costal de comida en $200. El
costo de fabricación de cada costal es de $120. Los costos fijos mensuales son de $80
000. ¿Cuántos costales de comida para perros debe vender el fabricante para llegar al
punto de equilibrio?
5. El ingreso mensual total de un academia por la enseñanza de x alumnos está
dado por 450I x , y sus costos mensuales totales están dados por
380 3500C x . ¿Cuántos alumnos se necesitan inscribir mensualmente para llegar
al punto de equilibrio?
6. Un negociante vende primero 1/3, luego los 2/5 de una pieza de tela y sucesivamente 1
/ 4 de la parte que queda; sabiendo que vende en toral 48 metros. Determinar cuántos
metros quedará por venderse.
Rpta. 12 m.
7. Un negociante vende los 2/5 de un lote de aceite a un primer comprador, a un segundo
vende 1/3 de la cantidad de aceite que queda después de la primera venta; al final
quedan todavía 16 litros de aceite para vender. Cuántos litros ha vendido en total el
negociante.
IV. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
326
6124
pq
qp b)
3(2 ) 712 72 10 10
2 4
3 9 2
x yx
x y x y
Rpta: 24 litros.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |38
SEMANA
6
UNIDAD II
Números reales
Tema: Ecuaciones cuadráticas
Definición.
Una ecuación cuadrática, o de segundo grado, es aquella expresión en la que el exponente
máximo es 2, siendo además racional y entera y, de la forma: 2 0ax bx c ; donde
, ,a b c , son números reales y 0a .
Completas: 2 0ax bx c
Incompletas: 2 0ax bx donde 0c ; 2 0ax c donde 0b
Figura 6. Ecuación de segundo grado y sus tipos.
Recuperado de: https://algebra-01.es.tl/Ecuaciones-de-segundo-grado--k1-Cuadr%E1tica-k2-.htm
METODOS DE SOLUCION
Los métodos para resolver una ecuación de segundo grado son: Por factorización o por la
fórmula general
a) Por Factorización. - Pueden ser mediante factor común, aspa simple, completando
cuadrados, etc.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |39
Ejemplo:
Resolver: 032 2 xx
Factorización mediante aspa simple: 032 2 xx
x2 3
x 1
Los factores son: (2 3)( 1) 0x x
Igualando a cero cada factor: 01 ; 032 xx
Resolviendo se obtiene: 1 ; 2
3 xx
El conjunto solución es: 3
2. ; 1 C S
Ejemplo:
Resolver: 3𝑥2 − 6𝑥 = 0
Usando el factor común: 3𝑥(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2
𝐶. 𝑆: { 0; 2 }
b) Por la Formula General:
Una ecuación de segundo grado se puede resolverse utilizando la formula general:
2 4
2
b b acx
a
; donde cba , y son los coeficientes de la ecuación.
Procedimiento
a) Se halla el valor de los coeficientes: cba , y .
b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la fórmula general.
c) Se reducen los términos semejantes en cada miembro
d) Se despeja la incógnita.
Además, de acuerdo al valor de la discriminante se tiene:
Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales y diferentes.
Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son complejas.
Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales e iguales.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |40
Ejemplo:
Resolver: 0682 2 xx
Los valores de cba , y son: 2 , 8 , 6a b c
Reemplazando en la formula general (F.G.), se tiene:
2( 8) ( 8) 4(2)(6)
2(2)x
=
8 64 48
4
=
8 16
4
=
4
48
Entonces: 4
48
1
x y
4
48
2
x → 3
1x y 1
2x
→ 1 ; 3 . SC
APLICACIONES
1. La ecuación de ingresos de cierta compañía es: 2340 4I p p ; donde p es el precio en
dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿Cuál será el precio para que el ingreso
sea de $ 6 000, si el precio debe ser mayor de $ 40?.
2. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso
total por las ventas será q100 . Si el costo variable por unidad es de S/. 2 y el costo fijo
es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea cero.
ACTIVIDAD 06
RESOLVIENDO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y SISTEMAS DE
ECUACIONES NO LINEALES Y SUS APLICACIONES
Objetivo
Resolver ecuaciones de segundo grado, sistemas de ecuaciones no lineales y aplicaciones.
Orientaciones
La actividad a realizar es grupal. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Afirmaciones
1. La forma de una ecuación cuadrática es 2 0ax bx c , donde, a=0 ( )
2. El Discriminante de una ecuación cuadrática es: 2 4b ac ( )
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |41
3. Para resolver una ecuación cuadrática se usa el método de factorización
y la fórmula general. ( )
4. La ecuación 2 7x x tiene como C.S. = { 7 } ( )
5. En la ecuación 2 1 0x x el discriminante es 5. ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Responda brevemente las preguntas planteadas.
2. Explique, brevemente, el tipo de solución que tiene una ecuación cuadrática cuando el
discriminante es 0 , 0 y 0 .
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
Utilizando los conceptos y los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas
determina el conjunto solución de:
a) 2 132 0x x b) 2 22 6 6 8x x x x
c) 23 1 0x x d)
22 3 5 0x x
NIVEL ANALISIS
Pregunta Nº 4
Lee y analiza detenidamente, la situación planteada y responde:
Una compañía de muebles para computadoras tiene la ecuación de ingresos mensuales
dada por: 2450 9I p p , donde p es el precio en dólares de cada mueble. Determine e
precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de 5400 dólares, si el precio debe
ser mayor que 20 dólares.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |42
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 5
Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de las
ecuaciones lineales y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.
Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dólares por
unidad, donde qp 150 . El costo total de producir q unidades de camisas es de
)401800( q dólares. El fabricante indica que debe vender 60 camisas a la semana para
obtener una utilidad de 1 200 dólares, si el número de camisas debe ser mayor que 50.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
I. Resolver las siguientes ecuaciones por cualquier método de solución:
a) 0192322 xx b) 0125202 xx
c) 2 22 6 6 8x x x x d) 2 2 9 0x x
e) (x-1)(x+2) - (2x-3)(x+4) - x + 14 = 0 f) 1 + 4(2x - 3)² = 4(2x - 3)
II. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización:
a) x2 25x b) 2x2 – 72x = 0
c) x2 – 4x + 4= 0 d) 2x2 + x – 3 = 0
e) x2 – 2x + 9= 0 f) x2 + 8x + 16= 0
APLICACIONES
1. Un terreno rectangular de 4 x 8 m. se usa como jardín. Se decide poner una vereda en
toda la orilla interior de modo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. ¿Cuál debe ser
el ancho de la vereda?.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |43
2. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por 2800 7 ,R p p donde p es el
precio en nuevos soles del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso
será de S/. 10 000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?
3. Cuando el precio de un producto es de p dólares por unidad, suponga que un
fabricante suministrará 23 4p p unidades del producto al mercado y que los
consumidores demandarán 224 p unidades. Si el valor de p para el cual la oferta
es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio, halle el valor de p .
4. Suponga que un comerciante venderá q unidades de un producto, cuando el precio es
de )110( q dólares por unidad. Determine el número de unidades que debe vender a
fin de obtener un ingreso por ventas de 3000 dólares, si debe vender más de 50
unidades.
5. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de p
dólares por unidad, donde qp 185 . El costo total de producir q unidades de
pantalones es de )452800( q dólares. Halle el número de pantalones que debe
vender a la semana para obtener una utilidad de 2000 dólares, si el número de
pantalones debe ser mayor que 60.
Dilema Ético
Alteración de la parte contable y financiera de Enron
Enron Corporación, pasó de ser una pequeña empresa, a convertirse en una de las
empresas de mayor valor en los Estados Unidos. Enron, hizo participes de su
crecimiento a sus trabajadores, a través de la compra de acciones, las cuales se
iban cotizando cada vez más en el mercado de valores. El gerente General, cuyo
objetivo principal era que Enron Corporación aumentará cada vez más su valor, pidió
al Jefe del área contable y financiera de la empresa, que modificara los balances
para mostrar beneficios no existentes; así como la falsificación de documentos, que
describían una situación financiera no real de la empresa. El jefe del área contable y
financiera, que no quería perder su trabajo y que además había adquirido una gran
cantidad de acciones, no puso reparos a la solicitud del Gerente General.
1. Menciona y explica los valores éticos y morales que estuvieron en juego en la
solicitud de la alteración de la parte contable y financiera de Enron.
2. Si usted hubiese sido el Jefe del área contable y financiera de Enron, ¿hubiera
accedido al pedido del Gerente General?
3. De acuerdo a respondido a lo anterior, ¿Cuál sería su actuación ética?.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |44
SEMANA
7
UNIDAD II
Números reales
Tema: Inecuaciones lineales
Desigualdades:
Es un enunciado que establece una relación de orden (< ,>, ≤, ≥ )
Ejemplo: 5 > 8 5 ≥ 8 8 < 5 8 ≤ 5
Propiedades de las desigualdades
1) Si: 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 Ejemplo: 5 < 7 → 5 + 2 < 7 + 2
2) Si: 0a b
a b y c ac bc yc c
Ejemplo: 6 < 9 y 3 >0 ⇾ 6.3 < 9.3 y 6
3<
9
3
3) Si: 0a b
a b y c ac bc yc c
Ejemplo: 3 < 7 y -2 < 0 ⇾ 3 ( -2) > 7 ( -2) y 3
−2 >
7
−2
El conjunto solución de las desigualdades se da mediante INTERVALOS: Sea I un
subconjunto de R (I R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos
los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser reales o
ideales).
Figura 7. Representación de las desigualdades mediante intervalos.
Recuperado de: https://tustareas.lat/index.php/matematicas/item/4112-notacion-de-intervalos.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |45
INECUACIONES LINEALES
Definición: Son desigualdades, provistas de variables en primer grado y entes matemáticos
Ejemplo 1:
Resolver: 7𝑥 + 5 ≤ −3𝑥 − 5
Pasando las variables al primer miembro: 7𝑥 + 3𝑥 ≤ −5 − 5
Simplificando: 4𝑥 ≤ −10
Dividiendo entre 4: 𝒙 ≤−𝟓
𝟐
∴ 𝐶. 𝑆. = ⟨−∞; −5
2⟩
Ejemplo 2:
Resolver: −3𝑥 − 7 > 7𝑥 − 10
Pasando las variables al primer miembro: −3𝑥 − 7𝑥 > −10 + 7
Simplificando: −10𝑥 > −3
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 10: 𝑥 <3
10
∴ 𝐶. 𝑆. = ⟨−∞; 3
10⟩
Ejemplo 3:
Resolver: 3 −5𝑥
2≤
2
5+3𝑥
6
Multiplicando por 30 (MCD): 90 − 75𝑥 ≤ 12 + 15𝑥
Pasando las variables al primer miembro: −75𝑥 − 15𝑥 ≤ 12 − 90
Simplificando: −90𝑥 ≤ −78
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 90: 𝑥 ≥13
15
∴ 𝐶. 𝑆. = [13
15; ∞[
Ejemplo4.
Resolver: 3−1𝑥 + 2−1𝑥 + 6−1𝑥 > 5
Solución:
5623
xxx
M.C.M. (3; 2; 6) = 6
3
10
13
15
−5
2
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |46
556
32
x
xxx
∴ C.S. = <5; +>
Ejemplo 5:
Resolver 4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6
Separando las inecuaciones: 4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6
4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥
Pasando las variables al primer miembro:
4𝑥 + 5𝑥 ≥ 3 − 1
Simplificando: 9𝑥 ≥ 2
Dividiendo entre9: 𝑥 ≥2
9
2
9
3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6
Pasando las variables al primer miembro:
−5𝑥 + 7𝑥 > 10 − 3
Simplificando: 2𝑥 > 7
Dividiendo entre 2 : 𝑥 >7
2
7
2
∴ 𝑥 ∈ ⟨7
2 ,∞⟩
5
I
II
2/9
I
7/2
I
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |47
APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES
Obtener ganancia: 0U ; 0t tI C
No obtener pérdida: 0U ; 0t tI C
1. Una empresa produce cartucheras. Las cartucheras tienen un precio unitario de venta de
S/. 20 y un costo unitario de S/. 15. Si los costos fijos son de S/. 500 000, determine el
número mínimo de cartucheras que deben venderse para que la empresa tenga
utilidades.
2. En la producción del periódico “La Voz” se tiene que el costo de materia prima es de
S/. 0,20 y el costo de mano de obra es S/. 0,30, por unidad. El costo que se tiene sin
importar el volumen de ventas, es de S/. 1000 mensual. El precio de cada periódico es
S/. 1,00. Determine el número de periódicos que se deben vender para que la empresa
editorial obtenga utilidades.
ACTIVIDAD 07
RESOLVIENDO INECUACIONES LINEALES Y SUS APLICACIONES
Objetivo
Resolver inecuaciones lineales y aplicaciones.
Orientaciones
La actividad a realizar es grupal. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Afirmaciones
1. La expresión 2 10 es una inecuación lineal. ( )
2. Si ;x es lo mismo que x ( )
3. La expresión “para obtener ganancias” se representa por: I – CT ≥ 0 ( )
4. La expresión “para no tener pérdidas” se representa por: I – CT > 0 ( )
5. Si se tiene 50q entonces el mínimo valor de q es 50. ( )
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |48
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Responda brevemente las preguntas planteadas.
Explique, brevemente, el procedimiento a seguir en la solución de una inecuación lineal
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
Utilizando los conceptos y los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas
determina el conjunto solución de:
1. 57
3
5
6
3
2
xxx
2. 3 1
2 5 2
x x x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |49
NIVEL ANALISIS
Pregunta Nº 4
Lee y analiza detenidamente, la situación planteada y responde:
Un empresario en venta de repuestos para celulares exclusivos, estima que para obtener
ganancias mensuales debe vender como mínimo 5000 repuestos por mes. Si los costos
que no se relacionan con la producción son de $70,000, los costos combinados de mano
de obra y material es de $21 por unidad y cada repuesto se vende en $35, analiza y
determina si el empresario está o no en lo cierto.
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 5
Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de las
ecuaciones lineales y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.
Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del producto es
S/. 4,0. El próximo mes el precio por unidad se incrementará en S/. 0,50. El fabricante
quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor que
S/. 10750, ¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden venderse este mes?
Armando el estudiante más calificado resuelve el problema y afirma que el número de
unidades que pueden venderse hoy es 1000.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |50
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) Definir Desigualdades Lineales e Inecuaciones Lineales es lo mismo……… ( )
b) El intervalo [¨1 ; 4] se puede escribir…………………………………………………..
c) U ˃ 0 significa………………………………………………………………………………
d) I – CT ≥ 0 significa no obtener ganancias…………………………………………( )
e) El Equilibrio se da cuando………………………………………………………………..
f) Si se requiere la cantidad mínima para que U ˃ $10000 y luego de operar los
datos nos resulta q ˃ 500 la respuesta será 501…………………………………( )
g) El intervalo abierto en “a” y cerrado en “b” se denota………………………………..
II- Resolver e indicar el conjunto solución de los siguientes ejercicios:
a) (3x + 2)(x - 5) – (12x - 76) > 3(x + 7)(x - 1) – 42 b) (x + 2)2 – (x - 2)2 16
c) (x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) 10 d) (x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 13
e) x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3) f) 3 4 2 18
2 5 3
x x x
g)
2
1
3
12
1
2
5
x
x
x
APLICACIONES
1. Julio se dedica a la venta de sándwich de pollo. El precio de venta al público es de
S/. 1,50 cada uno. Si el costo unitario de S/. 0,80 y los costos fijos de S/. 20,0 determine
el número de sándwich de pollo que deben venderse para que Julio no tenga pérdidas.
2. Los niños de una escuela compran q unidades de galletas “Dulce sabor” al precio de
102
q por unidad. ¿Cuál es el número mínimo de unidades de galletas que deben
venderse para que el ingreso sea mayor que S/. 130?
3. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta S/. 0,20 en fruta y
S/. 0,20 en otros insumos (como azúcar, bolsas de marcianos, etc...) por unidad.
Además, debe aportar S/. 20,0 mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza para
la preparación de los mismos. Si los vende a S/. 0,50 cada uno. ¿Cuántos marcianos
debe elaborar y vender para obtener utilidades?.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |51
4. Un empresario que vende repuestos para celulares, estima que para OBTENER
GANANCIAS mensuales debe vender como mínimo 5000 repuestos por mes. Si los
costos que no se relacionan con la producción son de $70,000, los costos combinados
de mano de obra y material es de $21 por unidad y si cada repuesto se vende en $35,
determine si el empresario está o no en lo cierto. Emita un juicio personal sobre la
afirmación.
5. Un empresario en venta de carros exclusivos y reparados, estima que para NO
OBTENER PERDIDAS debe vender como mínimo 11 carros por mes. Si los
costos que no se relacionan con la producción son de S/.96, 000, los costos
combinados de mano de obra y material son de S/.2400 por carro y si cada carro
se vende en S/.12, 000 determine si el empresario está en lo cierto. Emita un
juicio personal sobre la afirmación.
6. Una empresa produce fundas de automóvil y cada una tiene un precio unitario de venta
de $80 y un costo unitario de $35. Si los costos fijos son de $100000, determine el
número mínimo de fundas que deben venderse para que la empresa obtenga una
Utilidad no menor a $800000.
El estudiante Juan sostiene que la empresa debe vender algo menos de 20000 fundas
para que pueda obtener la utilidad deseada. Critica o Defiende la afirmación.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |52
SEMANA
8
UNIDAD II
Números reales
Tema: Inecuaciones cuadráticas
Definición: Son desigualdades, provistas de variables en segundo grado y entes
matemáticos.
Casos: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 a, b, y c ∈ ℝ y 0a
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
Procedimiento:
Resolver la inecuación como si fuera una ecuación, hasta encontrar las raíces, o soluciones
de la ecuación, éstas serán los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al
conjunto solución.
Depende de la relación de orden que tenga la inecuación, para establecer el conjunto
solución.
Caso 1.- 2 0ax bx c , entonces:
1) 2 0ax bx c , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones 1x m y
2x n
2) Como la relación de orden es ≥
; ;x m n y m < n
Nota: Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solución sería:
; ;x m n
Caso 2.- 2 0ax bx c
𝑪. 𝑺 ∶ [𝒎;𝒏]
Nota: En el caso de ser solo < 𝑪. 𝑺 ∶< 𝒎,𝒏 >
m n
+ + −
− + +
𝑚 𝑛
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |53
Ejemplo:
Resolver 2 6 0x x
1) 2 6 0x x 0)2)(3( xx 31 x ó 22 x
2) Como la inecuación es
𝑪. 𝑺: 𝒙 ∈ ⟨−∞; −𝟐] ∪[𝟑 ; ∞⟩
Aplicaciones de inecuaciones cuadráticas
(Producción y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es
p dólares están dadas por xp 3200 . El costo de producir x unidades al mes del
artículo es )5650( xC dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse
y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2 200 dólares?
Solución.
( ) ( )I unidades vendidas precio por unidad
)3200( xxI
23200 xxI
El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es xC 5650 , la utilidad U (mensual)
obtenida por producir y vender x unidades está dada por:
CIU
)5650()3200( 2 xxxU
2 195 3 650U x x
Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que
2200 U
2195 3 650 2200x x
Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la
desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:
2 65 950 0x x
Que es una inecuación cuadrática, por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el
intervalo cerrado 8.42 ; 2.22
-2 3
+ + −
xpI
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |54
Rpta.
Para alcanzar la meta requerida el número de unidades producidas y vendidas por mes
debe estar entre 23 y 42 inclusive.
(Decisión de precios). Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un
costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de $0,75 en el precio, la
peluquería perderá 10 clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de
modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?
Solución.
Sea x el número de incremento de $0, 75 por encima de $8. Entonces el precio por corte
de cabello es (8 0,75 )x dólares, y el número de clientes será de (120 10 )x por semana.
Entonces: Ingresos totales semanales = numero de clientes×precio por corte
)75.08)(10120( xxI
Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$ 8120 por tanto los nuevos ingresos
deben ser al menos $960
(120 10 )(8 0,75 ) 960x x
Simplificando
2 10 7,5 0x x
Por tanto la solución de la desigualdad es el intervalo 4/3 , 0
Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $(8 + 0,75(4/3)) = $9,00
Rpta. El precio máximo que puede cobrarse es $9,00
(Ingresos del fabricante). Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto articulo
pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 .¿Cuántas unidades deberán
venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12 500?
Solución.
Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio
; 12 500 I
(500 5 ) 12500x x 2500 5 12500x x 25 500 12500 0 x x
2 100 2500 0 x x 2( 50) 0 x
La solución de la desigualdad es 50x
Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.
)5-(500 xxI
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |55
ACTIVIDAD 08
RESOLVIENDO INECUACIONES CUADRÁTICAS Y SUS APLICACIONES
Objetivo
Resolver inecuaciones cuadráticas y sus aplicaciones.
Orientaciones
La actividad a realizar es grupal. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Afirmaciones
1. La forma de una inecuación cuadrática es 2 0ax bx c , donde
a = 0 ( )
2. Un método para resolver una inecuación cuadrática es mediante la
fórmula general. ( )
3. Un método para resolver una inecuación cuadrática es mediante
los puntos críticos. ( )
4. La inecuación 2 2 3 0x x tiene como C.S. = ( )
5. La inecuación 2 1 0x x tiene como C.S. = ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Explique, brevemente, el procedimiento a realizar
en la solución de una inecuación cuadrática o de
segundo grado.
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
Utilizando los conceptos y los métodos de solución de las inecuaciones cuadráticas
determina el conjunto solución de:
a) 22 5 3 0x x b) 2 24 7 20 5 8x x x x
c) 2 24 5 3 7 9x x x x d) 2 6 25 16x x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |56
NIVEL ANALISIS
Pregunta Nº 5
Lee y analiza detenidamente, la situación planteada y responde:
El costo de producir “ x ” lámparas esta dado 2300 70C x x . Si estas se pueden
vender a 140 soles. ¿Cuántas deben producirse y venderse para obtener utilidades
semanales de al menos 900 soles?
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 6
Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de las
inecuaciones cuadráticas y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.
Una compañía de productos de belleza vende 300 unidades de un cosmético cuando su
precio unitario es de $60. Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45
unidades más. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos
$19 500? José uno de los más destacados estudiantes del aula afirma que el precio
máximo es mayor que 49 pero menor que 51.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
I. Resolver e indicar el conjunto solución
1. x2> 3 2. x3 + 1 < (x - 1)3 3. x2 – 2x – 1 0
4. x2 – 6x + 25 < 11 4. 5. x2 – 11x + 24 < 0 6. x2 – 9x + 20 > 0
7. x2 – 8x – 9 0
APLICACIONES
1. La fábrica de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dado
por la expresión G(x) = - 6x2 + 48x - 76 donde ( x en miles) es el número de unidades
producidas. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de al menos
S/. 14 000?
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |57
2. La demanda mensual de un cierto artículo cuando su precio es de p dólares viene dada
por 200
3
p
unidades. Los costos generales de la planta son 650 dólares mensuales
y el costo de producción de cada unidad es de 46 dólares. ¿Qué producciones garantizan
que el beneficio mensual sea de por lo menos 1325 dólares?
3. Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio de p dólares por unidad, x unidades
de cierto artículo, con 120p x . Si los costos totales son de (950 15 )x dólares,
¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes para obtener una utilidad
de al menos $1800?
4. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El costo
C (en dólares) de producir x unidades cada semana, está dado por 2 300 26400C x x . ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana
para obtener alguna utilidad?
JUICIO DE VALOR:
1. El precio “ p ” de cierto articulo depende de la cantidad demandada “ q ” y está dado por
120 2p q , y además los costos fijos son de $300 y el costo de producción de cada
unidad es de $20. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener
utilidades de al menos $900?. Ramiro un estudiante del aula afirma que
matemáticamente la respuesta se debe expresar: 20 ≤ x ≤ 30.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
2. Las ventas mensuales “ x ” de cierto producto cuando su precio es “ p ” dólares está
dada por: 240 4p x . El costo de producir “ x ” unidades es 700 20C x
dólares. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse de modo que las utilidades
mensuales no sea menor que $2 300?. Arturo afirma que el número de unidades a
producirse y venderse está entre 20 y 30.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
3. Un editor puede vender 12 000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; por
cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio
máximo deberá fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo menos
de $ 300 000?. Juana una de las más destacadas estudiantes del aula afirma que el
precio máximo resulta de resolver la siguiente expresión: n2 - 5n ≤ 0
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
4. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender
rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p céntimos por kilo,
venderá x kilos, con 1000 20x p . ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener
ingresos de por lo menos $12000?.
Norma acostumbrada a participar en clase afirma que el precio debe estar entre 20 y 30
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |58
TAREA AUTÉNTICA
Al finalizar tu carrera profesional, un inversionista te contrata para que le analices y
presentes una propuesta de inversión en el rubro de confecciones. El inversionista cree que
confeccionar y comercializar Gorras exclusivas para mujeres es un gran negocio. Para hacer
realidad esta idea de negocio, se necesita invertir en trámites para abrir la empresa, comprar
los insumos para las gorras (las telas, viseras, logos, etc), en la confección, en el alquiler de
local para vender las gorras y en la promoción de las mismas (volantes). Teniendo en
cuenta que el inversionista dispone de 12500 soles y desea confeccionar y comercializar
500 gorras como mínimo en el primer mes, complete los gastos a realizar en la tabla
siguiente:
Trámites Insumos Confección Alquiler de
local Promoción
LEMCO
Asimismo, con el acuerdo y decisión del equipo, determinen el precio al que se puede
comercializar cada gorra.
De acuerdo a lo anterior y a lo trabajado establecido en clase, justificadamente responda lo
siguiente:
a) Clasifica la inversión realizada, en los 5 rubros de la tabla, en costos fijos y variables.
b) Los costos unitarios por insumos y en confección.
c) Los costos fijos totales.
d) El costo total.
e) El ingreso obtenido en el primer mes.
f) La utilidad obtenida en el primer mes.
g) La cantidad de gorras a confeccionar para llegar al punto de equilibrio.
h) La cantidad de gorras a confeccionar para obtener ganancias.
La tarea autentica se realizará en equipo, formados por un mínimo de 2 y un máximo de 4
estudiantes. Cada equipo presentará la tarea autentica realizada en hojas de papel bond A4
a espacio y medio.
.
LEMA ÉTICO
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |59
SEMANA
9
UNIDAD III
Funciones y Tópicos de Geometría Analítica
Tema: Funciones
I. Sistema Coordenado Bidimensional
El sistema coordenado bidimensional o 𝑅2 o rectangular o plano, se representa mediante
dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan o cruzan en
un punto llamado origen O. A la línea horizontal se le llama eje X (eje de abscisas), y a la
línea vertical, eje Y (eje de las ordenadas).
Cada punto P en un plano XY debe tener asignado un par de números llamado par
ordenado, se denota ( , )P a b , a se llama abscisa de P y b ordenada de P. Se dice que
P tiene las coordenadas ),( ba .
EJERCICIOS
Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares e indique el cuadrante al que
pertenece cada punto.
a) ( 2, 6) (1, 1) (5, 7) (6, 3)
b) )9,2()11,0()0,2()8,1(
c) ( 0, 3) ( 2, 1) (3,5) ( 4,6 )
d) ( 0,0 ) (3, 3) ( 4, 5) ( 1, 6 )
II. Producto Cartesiano
Dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano se define como:
, /A B x y x A y B
y
x
I
CUADRANTE
II
CUADRANTE
III
CUADRANTE
IV
CUADRANTE
(eje de las ordenadas)
( eje de las abscisas)
y
xa
b
( , )a b
o
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |60
Ejemplo 1
Dado los conjuntos: 2;1;0A y 4;2B , hallar: BA
Solución:
)4,2();2,2();4,1();2,1(();4,0();2,0(BA
Ejemplo 2
Dado el conjunto: 4; 3; 1A hallar: A A
Solución:
(4, 4); (4,3); (4, 1); (3, 4); (3,3); (3, 1); ( 1, 4); ( 1,3); ( 1, 1)A A
Propiedad
ABBA
III. RELACIONES
Dado un producto cartesiano A x B, mediante una regla de correspondencia entre la
abscisa y la ordenada de sus pares ordenados se dice que existe una RELACIÖN.
Las abscisas de los pares ordenados de la relación se les llaman DOMINIO
Las ordenadas de los pares ordenados de la relación de les llama RANGO
Observación
Si BA tiene n elementos entonces existen n2 relaciones de A en B
EJERCICIOS
1. Si 2;1;0;1A y 1;1;0;2 B . Hallar las relaciones siguientes:
a) 1 ( , ) / .R x y A B x y es un número par
b) 2 ( , ) / 0R x y A B x y
c) 3 ( , ) / 2R x y A B x y
2. Si 2; 0; 1; 3A , hallar las relaciones siguientes:
a) 1 ( , ) /R x y A A x y
b) 2 ( , ) / 0R x y A A x y
c) 3 ( , ) / 2R x y A A x y
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |61
IV. Funciones
Definición de Función
Una función de A en B , es una relación BAf que hace corresponder a cada
elemento "" x del conjunto A a lo más un elemento "" y del conjunto .B
La notación de una función es )(xfy que se lee “ y es igual a f dé x ”, donde "" x
es la variable independiente e "" y la variable dependiente.
El conjunto de valores que puede tomar "" x se denomina dominio de una función, y al
conjunto de valores que puede tomar "" y se le denomina rango de la función.
Formas de Representar una Función
Con el fin de describir una función específica podemos usar las siguientes formas:
a) Verbal (mediante una descripción con palabras).
El interés bancario producido por un capital, está en función del tiempo que esté
depositado.
b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita).
Con una fórmula: A(r) = r2 que es el área de un círculo.
c) Visual (con una gráfica).
d) Numérica (a través de una tabla de valores).
Con una tabla de valores.
w (kilos) C(w) (dólares)
0 < w 1
1 < w 2
2 < w 3
3 < w 4
4
6.5
8.5
10
Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda.
x
y
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |62
e) Diagrama Sagital
Dominio Rango
f) Conjunto de Pares Ordenados
1 2
4, 2 ; ,3 ; 0,1 ; 6,0 ; , 32 5
g
g es una función
Formas para determinar si una Relación ó Correspondencia es una función
Existen dos formas para determinar si una relación o correspondencia es o no es una
función:
1. Estableciendo los siguientes Principios:
Principio de Existencia:
“Cada elemento de A está asociado a otro elemento de B”
Principio de Unicidad:
“A cada elemento de A le corresponde un solo elemento de B”
2. Aplicación del Método de la Recta Vertical:
“Se traza una recta vertical paralela al eje “Y” y si corta a la gráfica de la supuesta
función en un solo punto; luego la gráfica representa una función”
Nota:
Se debe analizar la gráfica presentada como posible función de izquierda a derecha
aplicando el método referido.
Ejemplos:
Establecer si la correspondencia de pares ordenados mostrada es una función:
g: A B {(1;3),(2;4),(,(3;5),(4;6),(5;7)} f: A B {(1;2),(5;2),(3;a),(a;-2),(a;5)}
A B
f
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |63
Determinar si las siguientes gráficas representan una función:
1.
2.
No es función ya que al trazar la recta vertical corta a la gráfica en 2 puntos.
No es función ya que al trazar la recta vertical, corta a la gráfica en 2 puntos.
g
1
2
3
4
5
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
f
2
a
-2
5
1
5
3
a
A B
y
x
y
x
A B
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |64
3.
4.
Figura 8. Representación de las desigualdades mediante intervalos.
Recuperado de: https://slideplayer.es/slide/11806755/
Si es función ya que la vertical que se traza corta a la gráfica en 1 punto.
No es función ya que la vertical corta a la gráfica en 2 puntos.
y
x
y
x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |65
Cálculo de las variables a y b en una función
1.- Si f es una función encontrar el valor de “a” y “b”
a) f: {(-1;42a – b),(2;3a + b),(6;1),(2;243),(-1;256)}
Solución
Para x = -1 tenemos y = 42a - b = 256
De acuerdo a la propiedad de los exponentes. 42a - b = 256 = 44 . . . . . . . . ( 1)
Para x = 2 tenemos y = 3a + b = 243
Por el misma propiedad se tiene: 3a + b = 243 = 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Luego de (1) y (2); igualamos los exponentes resultando un sistema de ecuaciones con
dos incógnitas donde obtenemos que a = 3 y b = 2
b) f : {(a; a + b),(a;14),(b; b - a),(b ; 4)}
Solución
De acuerdo al principio de unicidad se tiene:
a + b = 14 y b – a = 4
Resolviendo tenemos que: a = 5 y b = 9
c) f : {(-1; 2a – 3b),(2; 5a + b),(3; 5),(2; 25),(-1; 64)}
Solución
De acuerdo al principio de unicidad se tiene:
a – 3b = 6 y a + b = 2
Resolviendo tenemos que: a = 3 y b = -1
2) Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una
función.
a) (2; 3), (3;4), ( 3;1), (4;5)
b) 2 3(1;5), (( 1) ;9), ( 1;5), ( 1;9)
c) { (2;2),(2;3),(3;3),(3;4),(4;5),(5;6)}
d) (1;2),(5;2),(3; ),( ; 2),( ,5)a a a
e) { (0;8),(-1;3),(0;16/2),(-1;5),(1;-6)}
f) ( 2;1),(6; 2);(3; 16),(4;1),(3, 4)
g) 3( 3;0),(0;0),(2; 8),(5;3),(2; 2)
h) { (4;2),(-62;8),(-1;22),(0;2),(-36;9)}
i) 1 4
1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3
a a
3) Si f es una función determinar ba, e indicar su dominio y rango.
a) (3;4),(7;8),(3; ),(7; )f b a
b) f = { (x; x +y),(x;12),(y; y – x),(y; 6)}
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |66
c) f = { (3; 8),(3; 22a – 1),(4; 81),(5;6),(4; 33b + 5),(7; a + b)}
d) f = { (3;27),(3, 32a – 1),(4;625),(9;4),(4; 53b + 5),(-4; a + b)}
e) f = { (2; 81),(2; 33a – 2b),(7,1),(5; 144 ),(3; a + b),(5; 122b -1)}
f) f = { (4,-1),(2;a),(4; b2 – a),(2;1)}
4) ¿Cuál de los siguientes diagramas representa una función?
b)
d)
a) A B
f)
h)
e) A B1
2
3
4
A Ba
b
c
d
e
1
2
3
4 5
A B
g)
A B
.
A B
AB
A B
c)
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |67
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
En la definición de una función encontramos que los valores que puede asumir “x” y los
valores que asume “y” forman el Dominio (Dom) y Rango (Rang) respectivamente.
Para el caso de una función representada gráficamente puede asumirse una metodología
aparente para determinar el Dom y el Rang y es la siguiente:
Cuando se trata de definir Dom analizamos la totalidad de la gráfica de izquierda a derecha y
proyectamos la misma sobre el eje X con lo que obtenemos el resultado cuidando la forma
de los intervalos en cada tramo analizado.
Para el caso del Rangf hacemos exactamente lo mismo pero esta vez se proyecta la gráfica
sobre el eje Y.
Ejemplo: En las siguientes gráficas determinar Domf y Rangf
Dominio: 𝑥𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;−4 >∪ [−3; 1[ ∪ {3} rango:: 𝑦𝜖]−∞ ; 4]
Df : 𝑥 𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;2] ∪< 2; 0] ∪< 0; 2 >∪< 2;∞ >
Rf : 𝑦 𝜖 < −∞; −2 >∪ {−1} ∪< 0; 6 >
2
2 5
1 2
2
6
x
4
3 1 3
y
4
2
5
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |68
ACTIVIDAD 09
RECONOCIENDO LAS RELACIONES Y FUNCIONES EN
Objetivo
Reconocer relaciones y funciones, estableciendo sus diferencias.
Orientaciones
La actividad a realizar es grupal. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Afirmaciones
1. El plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes en sentido horario ( )
2. Un punto queda establecido en el plano cartesiano cuando tenemos
definido el par ordenado ( x; y) ( )
3. Si 1,2A y 3,4B entonces (3,1),(4,2)R es una relación
de A en B. ( )
4. La inecuación 2 2 3 0x x representa a una función. ( )
5. Si el conjunto de pares (3,1),(1,2),(4,2),(3,1) representa a una
función entonces 3,1,4Dom y 1,2Rang . ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Si los pares ordenados siguientes son funciones,
halla el valor de a y b.
1. 2 3( 1;2 ),(2;5 ),(3;5),(2, 625),( 1;64)a b a bf
2. 2 2(5;7),( 1; ),( ;2 ),(5; 2 ),( 1;2)f a b a b b a a b
3. 2(1;27),(7;2),(2;4 ),(1,3 ),(2;16)a b a bf
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |69
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
Utilizando los conceptos de domino y rango de una función, determina el dominio y rango
a partir de las gráficas de las siguientes funciones:
1.
2.
3.
4
2
y
x1
3
5 73 8
1
4
3
2
2
y
x461
2 2
3
4
2
8
( )f x
3
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |70
NIVEL ANALISIS
Pregunta Nº 5
Analiza detenidamente, cada una de las gráficas siguientes y establece cual representan a
una función. Explica la justificación.
a) b)
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 6
Juan ha establecido que el dominio y rango de la gráfica de la función es:
5;4 2;3 3;5Dom y 2; 1 1;5 1;4Rang . Critica o defiende la
afirmación de Juan. Justifica tu respuesta.
.
y
x
y
x
y
x55
2
4
4
2
3
1
1
4
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |71
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) El plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes en sentido horario………… ( )
b) Un punto queda establecido en el plano cartesiano cuando tenemos………….. ( )
definido el par ordenado ( x; y)
c) El Producto Cartesiano A x B = B x A…………………………………………… … ( )
d) Si A = {0;1;2} y B = {2;4} luego (4;2) es una relación de A X B……………………( )
e) Si a cada “x” elemento de A le corresponde un solo elemento “y” de B decimos
que…………………………………………………………………………………………………
f) La Regla de Correspondencia de una función se expresa como:……………………..
g) Los Principios de Unicidad y Existencia determinan…………………………………….
………………………………………………………………………………………………..
d) Una supuesta función expresada en pares de ordenado se reconoce si lo es cuando
………………………………………………………………………………………………..
e) El Método de la Recta Vertical consiste en……………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
f) El Rango de una función está formado por………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
g) Si A = 1 4
1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3
a a
luego representa una función…………….( )
II- Si 2;1;0;1A y 1;1;0;2 B . Hallar las relaciones siguientes:
a) 1 ( , ) / . 1R x y A B x y
b) 2 ( , ) / .R x y B A x y es un número impar
c) 3 ( , ) / 0R x y B A x y
d) 4 ( , ) / 1R x y B A x y
III. Si 2; 0; 1; 3A , hallar las relaciones siguientes:
a) 1 ( , ) / 1R x y A A x y
b) 2 ( , ) /R x y A A x y
c) 3 ( , ) / 1xR x y A A y
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |72
IV. Si f es una función encontrar los valores de “a” y “b” así como el dominio y rango:
a) f = {( 7;42a – b),(12;3a + b),(3;1),(12;243),(7;256)}
b) )64;1(),625,2(),5;3(),5;2(),2;1( 32 babaf
c) )2;1(),2;5(),2;(),;1(),7;5( 22 baabbabaf
d) )16;2(),3,1(),4;2(),2;7(),27;1( 2 babaf
V. Determine que grafica representa una función:
x x
y y(a) (b)
y
x
y
x
(c) (d)
(e) (f) y
x
y
x
(g) (h) y
x
y
x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |73
VI. Hallar el dominio y el rango sólo de los gráficos que representan una función:
4
3
1 4 5 -1
-2
-2
-4 2 4 x
-2
(b)
(d)
y
x
y
x
y
x
y
x
y
-4
6
2
1
(a)
(c)
-2
2
5
6 f(x)
1 2 5
y
x
5
1
2
-2 -3
-4 -6
6
(2; 3)
6 8 10
(e) (f)
-2 2 8
-2
(4; 7)
(g) y
x(0, 1)
(3, 6)
(0, 4)(4, 4)
y
x3
3
35
4
1 2
(h)
3
7
8 f(x)
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |74
SEMANA
10
UNIDAD III
Funciones y Tópicos de Geometría Analítica
Tema: Características y evaluación de una función
Características de una función
Función creciente: Una función f es
estrictamente creciente en el intervalo I ,
si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(
La grafica crece o sube de izquierda a
derecha conforme el valor de x también
aumenta.
Función decreciente: Una función f es
estrictamente decreciente en el intervalo I ,
si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(
La grafica decrece o baja de izquierda a
derecha conforme el valor de x aumenta.
Ejemplo
La función 2( ) ( 1) , 0,5f x x x es estrictamente creciente.
Solución
Considerando 01 x y 52 x , entonces:
1)10()0()( 2
1 fxf
36)15()5()( 2
2 fxf
Se tiene que si )()( 2121 xfxfxx se cumple 5,0, 21 xx
Por lo tanto la función es estrictamente creciente en 5,0
Signos de la función
i. 0)( xf )(xf es negativa ;x a b
ii. 0)( xf )(xf es positiva ;x b c
y
1( )f x
2( )f x
1x2x x
x
y
( )f x
a b c
y
2( )f x
1( )f x
1x 2x x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |75
Intersecciones con los ejes coordenados
- Intersección con el eje x
Hacemos 0)( xfy , y hallamos el valor de x .
- Intersección con el eje y
Hacemos 0x , y hallamos el valor de y .
Ejemplo
Dada la siguiente gráfica de la función: )(xfy
Tenemos:
Dominio:
, 8 6 5,0 1,8domf
Rango:
, 4 3 2,3Ranf
Intervalos de crecimiento:
5,0 ; 5,8
Intervalos de decrecimiento
1,5
)(xf es positiva en
6 , 1,3 , 7,8
)(xf es negativa en
, 8 , 5,0 , 3,7
Puntos de
intersección con el
eje x
(3,0), (7,0)
Punto de
intersección con el
eje y
(0, 4)
y
x1
3
5 5 7
4
3 8
1
68
3 2
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |76
Evaluación de una función
Evaluar una función significa encontrar un valor para la misma y éste puede ser numérico o
literal.
La evaluación de una función tiene dos características:
- Evaluación Analítica
- Evaluación Gráfica
Ejemplos:
a). Evaluación Analítica
1) Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados:
Función f(a) f(0) f(-2) f(5) f(x + h)
f(x) = 4x2 + 1 4(a)2 + 1 1 17 101 4(x + h)2+1
f(x) = x / 2 a/2 0 -1 5/2 X + h / 2
f(x) = 2x - 6 2a - 6 -6 -10 4 2(x+h) - 6
f(x) = 3x 3a 0 -6 15 3(x+h)
2) Evaluar la función f(x) = 6x – 2 para: f(0) ; f(-2) ; f(8)
f(0) = 6(0) – 2 = -2 ; f(-2) = 6(-2) – 2 = -14 ; f(8) = 6(8) – 2 = 46
3) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + √𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎: 𝑓(1) 𝑦 𝑓(9)
𝑓(1) = √12 + √1 = 2 ; 𝑓(9) = √92 + √9 = 12
4) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = {(2𝑥2 – 10𝑥 + 2) ; 𝑥 < 3 7𝑥 + 1 ; 𝑥 > 3
𝑓(0) ; 𝑓(5) ; 𝑓(−2) ; 𝑓(√3)
Para evaluar debemos tener en cuenta el dominio en el que se sitúa el valor de x
examinado y el respectivo valor de la función para ese valor de x.
Luego:
𝑓(0) = 2(0)2 – 10(0) + 2 = 2
𝑓(5) = 7(5) + 1 = 36
𝑓(−2) = 2(−2)2 – 10(−2) + 2 = 30
𝑓(√3 = 2(√3)2 – 10(√3) + 2 = 8 − 10(√3)
5) Evaluar función: 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 1 ; −6 ≤ 𝑥 ≤ 6
36 − 𝑥2 ; 6 < 𝑥 ≤ 10
ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑀 = 3𝑓(0) + 8𝑓(7)
4𝑓(−4) – 3𝑓(10)
Luego:
f(0) = 02 –1 = -1 ; f(7) = 36 – 72 = -13; f(-4) = (-4)2 –1=15 ; f(10)=36 – 102 = - 64
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |77
Así: 𝑀 = 3(−1) + 8(−13)
4(15) – 3(−64) =
−107
252
b). Evaluación gráfica
1) Dada la gráfica Nº 1:
Determinar los valores de: f(-3), f(0), f(2), f(4), f(5) y f(8)
f(-3) = 0 f(0) = -4 f(2) =-6 f(4) = -6 f(5) = 4 f(8)= No existe
2) Dada la gráfica Nº 2:
Hallar: 𝑃 = 𝑓(−4) + 𝑓(0)
𝑓(5) − 𝑓(3)
f(-4) = 5 f(0) = -3 f(5) = 4 f(3) = 0
Luego: 𝑃 = 5 – 3
4 – 0 = ½
x
y
-4
-6
-6
4
8 5 2 -3
x
y
-4
0
-3
-5
4
5
5 3
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |78
ACTIVIDAD 10
IDENTIFICANDO LAS CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN Y SU
CORRESPONDIENTE EVALUACIÓN
Objetivo
Identificar las características principales de las funciones especiales y evaluarlas.
Orientaciones
La actividad a realizar es grupal. Lee detenidamente, analiza, evalúa y responde.
NIVEL Pregunta Nº1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Afirmaciones
1. El dominio de una función es el conjunto de valores que están sobre
el eje x. ( )
2. El rango de una función es el conjunto de valores que están sobre el
eje y. ( )
3. Una proposición compuesta se forma al unir dos simples con uno o
más conectores lógicos. ( )
4. Luis y Ricardo son muy amigos. Es una propisicion lógica simple ( )
5. El día tiene 24 horas si y solo si una hora tiene 60 minutos. Es una
propisicion lógica compuesta. ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Responda brevemente las preguntas planteadas.
1. De acuerdo a lo establecido en la sesión, explique brevemente, que es evaluar una
función.
2. A partir de la gráfica de una función, ¿Cuándo se dice que la función es positiva o
negativa? ¿Cuándo la función es creciente o decreciente?
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |79
x
y
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
Considerando que la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , halla:
a. Dominio
b. Rango
c. Los intervalos de crecimiento
d. Los intervalos de decrecimiento
e. Los intervalos en el cual 0)( xf
f. Los intervalos en el cual 0)( xf
g. Los puntos de intersección con los ejes coordenados.
Pregunta Nº 4
En cada una de las funciones siguientes, hallar los valores funcionales indicados
a. f(x) = 4x4 + 1 )5(;)(;)4( fhff
b. 5
( )3
xf x
x
,
( 1) ; (0) ; ( )f f f x h
c. 42)( 2 xxxf ( ) ; (0) ; ( 3)f h f f
d. 62
1)( xxf
1( ); (0) ; ( 1)3
f f f
e. 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 + 2 (0) ; ( 1)f f
f.
84;16
44;)(
2
2
xx
xxxf )0(;)6(;)
3
1( fff ; )2(f
g. 2
5 ; 3 3( )
6 8 ; 3 9
x xf x
x x
3 ( 2) 2 (3)
3 (4) 2 (8)
f fA
f f
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |80
NIVEL ANÁLISIS
Pregunta Nº 5
Analiza la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , y halla:
a. ( 1)f
b. ( 5)f
c. (1)f
d. ( 2)f
e. ( 3)f
f. (2)f
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 6
Luego de analizar la función ( )f x , Luis ha encontrado que el valor de la expresión R es 4.
¿Estás de acuerdo con lo encontrado por Luis?. Justifica tu respuesta
2
3 2
5 ; 0
( ) 2 3 4 ; 0 6
10; 6
x x
f x x x x x
x x
( 2)
(2)(0) 8 ( 1) (6)
(3)
f
ff f f
fR
-3 2 x
y4
3
1
-1 -2
-5 1
-2
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |81
EJERCICIOS ADICIONALES:
1. Dada la gráfica de la función:
a) Hallar (7) ( 3)
(2) ( 6) (0)
f f
f f f
b) Hallar los “ x ” para los cuales se cumple que
.0)( xf
c) Halle el dominio y el rango.
d) Indique los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
e) Indique los intervalos en que la función es
constante.
f) ¿En qué intervalos la función es negativa?
g) Hallar los puntos de intersección con los ejes
coordenados.
Tomando la gráfica Nº 1 como modelo: hallar
𝑀 = 6𝑓(7) + 3𝑓(3)
2𝑓(2) − 3𝑓(−3) 𝑁 =
7𝑓(6) − 𝑓(2)
2𝑓(−3) + 4𝑓(0)
Tomando la gráfica Nª 2 como modelo: hallar
𝑅 = 6𝑓(−5) + 8𝑓(12)
3𝑓(8) – 4𝑓(−4) 𝑆 =
3𝑓(0) + 3𝑓(20)
2𝑓(3) + 2𝑓(5) 𝑃 =
𝑓(7)+𝑓(0)
𝑓(−5)−𝑓(−4)
2. Dada la gráfica de la función f (x), determina los intervalos donde es creciente o
decreciente. Así como los intervalos donde 𝑓(𝑥) > 0 𝑦 𝑓(𝑥) < 0.
-3 x
y
6 4
-1
9
6
2
1 3 5 7 8 9
-2
4
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |82
SEMANA
11
UNIDAD III
Funciones y Tópicos de Geometría Analítica
Tema: Funciones especiales
Funciones especiales
1. Función lineal: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃;𝒂 ≠ 𝟎, 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙): 𝒙 ∈ 𝑹 , 𝑹𝒈 𝒇(𝒙): 𝒚 ∈ 𝑹
2. Función constante.
cxf )( , donde c es una constante, fDom , cfRan
3. Función cuadrática
,)( 2 cbxaxxf 0a , fDom .
4. Función polinomial
),()( xpxf Donde )(xp es un polinomio, fDom
5. Función Racional
( )( )
( )
p xf x
q x , donde )()( xqyxp ; q(x) ≠ 0 son funciones polinomiales.
0)(/ xqxfDom
6. Función radical
( ) ( )nf x p x , si n es par, 0)(: xpfDom
7. Función por partes o tramos
33
22
11
,)(
,)(
,)(
)(
fDomxxf
fDomxxf
fDomxxf
xf 21 fDomfDomfDom 3fDom .
8. Función valor absoluto
f x x , donde
, 0
, 0
x si xx
x si x
, )( fDom
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |83
Ejemplo
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
1. 2
4( )
xf x
x x
04 x
x4
02 xx
10
0)1(
xx
xx
,4 0,1Dom f
2. 6 3 3
( )3 4
xf x
x
036 x
x2
043 x
43x
3/ 4,2Dom f
OPERACIONES CON FUNCIONES
1. Suma de funciones
xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(
2. Diferencia de funciones
xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(
3. Multiplicación de funciones
xgxfxfg . , gDomfDomgfDom ).(
4. División de funciones
xg
xfx
g
f
, gDomfDomgfDom )( 0)(/ xgx
5. Composición de funciones
,)()( xgfxgf )()()()( fDomxggDomxgfDom
,)()( xfgxfg )()()()( gDomxffDomxfgDom
Observación
Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las
nuevas funciones sea distinto de vacío.
4 2
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |84
7321
Ejemplos
1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x hallar ))(( xgf y ( )( )f
xg
Solución
;1Dom f y, RgDom )( , entonces:
;1Dom f g , ;1 2f
Domg
Luego:
21)()()( xxxgxfxgf
2
1
)(
)()(
x
x
xg
xfx
g
f
2. Si 7,3,2)( xxxf y 3,0,4)( xxxg . Hallar )(xgf y )(xfg
Solución
a) )()()()( fDomxggDomxgfDom
7,343,0 xx
31
743
x
x
3,0)( gfDom
1 0 3
Por lo tanto:
xxxfxgfxgf 2)4(24)()(
b) )()()()( gDomxffDomxfgDom
3,027,3 xx
21
12
320
x
x
x
)( fgDom
Por lo tanto:
)(xfg No está definido.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |85
y
x
y
GRÁFICA DE FUNCIONES
1) Función constante
cxf )( , c = constante
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 {𝑐}
3) Función cuadrática
2)( xxf
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 0;Ran f
5) Función valor absoluto
, 0( )
, 0
x xf x x
x x
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅
0;Ran f
2) Función lineal
xxf )(
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 𝑅
4) Función raíz cuadrada
,)( xxf
,0fDom , 0;Ran f
6) Función racional
x
xf1
)(
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅 − {0};
𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜀 𝑅 − {0}
y
y y
c
x x 1
1
1
1 -1
-1
- 1 1
1
1 4
2
1
x
-1 1
1
x
y
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |86
ACTIVIDAD 11
RECONOCIENDO LAS FUNCIONES ESPECIALES SU GRÁFICA, DOMINIO Y
RANGO. REALIZANDO OPERACIONES CON FUNCIONES
Objetivo
Reconocer las funciones especiales, su gráfica, dominio y rango. Así como las operaciones
entre funciones.
Orientaciones
La actividad a realizar es grupal. Observa, analiza, calcula y responde.
NIVEL Pregunta Nº1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o falso
(F), según corresponda a cada una de las proposiciones.
Proposiciones
1. ( ) 2 1f x x es la función especial valor absoluto. ( )
2. 1
( )f xx
es la función especial lineal. ( )
3. La función 2( )f x x tiene como dominio a . ( )
4. Si 2( ) 2 1f x x x y ( ) 2g x x entonces 2( )( ) 2 3g f x x . ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN De acuerdo a lo establecido en la sesión, indica el
nombre de las funciones especiales siguientes.
Justifica.
a) b)
y
x
y
x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |87
c) d)
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
En cada una de las funciones siguientes, hallar el dominio
a. 12
3)(
2
xx
xxf
b. xxf 25)( ,
c. 42)( 2 xxxf
d. 6
)(2
xx
xxf
e. 2 3( )
6 2
xf x
x
f. 6( )
3
xf x
x
y
x
y
x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |88
NIVEL ANALISIS
Pregunta Nº 4
Analiza la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , y halla el valor de E:
3( )( 15) 2( )( 3)
5( )( 20)
f g f gE
f g
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 5
Luego de analizar la función ( )f x , Pedro ha encontrado que el valor de la expresión M es
8. ¿Estás de acuerdo con lo encontrado por Luis?. Justifica tu respuesta
Si : 2
2 4 ; 0( )
; 0
x xf x
x x
y
2( 4) 6 ; 1
( )
5 2 5 ; 1
x x xg x
x x
halle el valor de la expresión:
1 2
34 /
f g f gM
g f
x
y( )g x
3
8
6 5
4
x
4
3 1 3
y
4
2
5
( )f x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |89
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
I . Determine el dominio de las siguientes funciones:
1. 9)( xf
2. xxxf 22
3. 2518)( xxxf
4. 216)( xxf
5. xx
xxf
2
3)(
2
6. 232
25)(
2
4
xx
xxxf
7. x
xxxf
24)(
2
8. 16
22)(
2
x
xxf
9. 1
326)(
2
x
xxf
10. 2
14
7)(
x
xxf
11. xx
xxf 5
32
49)(
12. 21
2)(
x
xxf
13. 12
1054)(
2
2
xx
xxxf
14. 65)( 2 xxxf
15. 4
65)(
2
x
xxxf
16.
2;1
2;2)(
3 xx
xxxf
II. Dada las funciones:
,24)(13)( xxgyxxf hallar las operaciones siguientes:
a) ))(( xgf b) ))(( xgf c) ))(.( xgf d) ))(( xg
f
xxf )( y ,123)( 2 xxxg hallar las operaciones siguientes
a) ))(( xgf
b) ))(( xgf
c) ))(.( xgf d) ))(( x
f
g
III. Sean las funciones:
2;63
2;42)(
xx
xxxf
y
4;4
4;24)(
2
xx
xxxg
Hallar: 6)2)((2
5)2)(.(3)
gof
fgHa
2 . 6 12)
7 0/
f g g fb H
f g
IV. Sean Las funciones:
1;256
1;46)(
2
xx
xxxf
y
0;
0;24)(
2 xx
xxxg
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |90
hallar: a)
3 2 2 1
3 3
/f g f gH
g f
1/ 2
3 . 2 2)
2
f g f gb H
f g g f
V. Si 9,5,4,0,5,1,2,3 f y 6,8,1,5,2,3,4,2g
Hallar:2; ; . ; ; 3/f g f g f g f g f g
VI. Sean las funciones:
2,3,4,0,5,1,2,2 f y 6,0,1,5,2,3,4,2g
Hallar:
(2) 2 (0)
4 (3)
/f g f gM
g f
VII. Sean las Funciones
Hallar: a) )6)((3
)0)((4)5.)(.(2
gf
gfgfE )
VIII. En cada uno de los ejercicios, indicar el dominio de gf , fg y hallar su regla de
correspondencia si existe.
a) 4,1,4)( xxxf y 5,0,12)( xxxg
b) 7,1,33)( xxxf y ( ) 12, 2; 4g x x x
c) 8,3,1)(2
xxxf y ( ) 3 , 5; 2g x x x
x
y( )f x
4
6
6 4
4
3
2
2
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |91
SEMANA
12
UNIDAD III
Funciones y Tópicos de Geometría Analítica
Tema: Función lineal
RECTAS
Pendiente de una recta
Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la
recta se define como: tg Ø = 2 1
2 1
y y cambio verticalm
x x cambio horizontal
Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:
Pendiente cero Recta horizontal
Pendiente indefinida Recta vertical
Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha
FORMAS DE ECUACION DE UNA RECTA
Ecuación de la recta con punto – pendiente conocido
Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuación:
0 0( )y y m x x
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.
Solución.
Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuación de la recta es 4 5( 1)y x
simplificando : 5 1L y x .
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuación de recta
es: 2 11 1
2 1
( )y y
y y x xx x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |92
Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5).
Solución.
Es claro que 5 2 3
3 ( 1) 4m
y tomando como punto de paso cualquiera de ellos,
digamos el punto (3,5) se tiene la ecuación: 3
5 34
y x . Reduciendo tenemos:
3 11:
4 4L y x
Ecuación pendiente – intersección
Sea la recta L con pendiente m que interseca al eje y en b, tiene por ecuación:
bmxy
Ecuación lineal general: 0 CByAx
Ecuación de una recta vertical: ax
Ecuación de una recta horizontal: by
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas Paralelas
Dos rectas 1 2L y L son paralelas, si sus pendientes 1 2m y m son iguales. Es decir:
21 // LL si sólo si 21 mm .
Rectas Perpendiculares
Dos rectas 1 2L Ly son perpendiculares, si sus pendientes 1 2m y m satisfacen la
siguiente relación 1 2. 1m m .
Es decir 1 2 1
2
1
L L mm
si y solo si .
Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto
(1,2) y es paralela a la recta 2 3y x .
Solución. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2 3y x entonces la
pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuación punto pendiente tenemos
2 2( 1) : 2y x L y x . Luego la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que
pasa por (1,2) es L1: 1
2 12
y x resolviendo tenemos L1:1 3
2 2y x que es la
recta perpendicular a L.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |93
APLICACIONES
Demanda Lineal Oferta Lineal
m es cantidad de equilibrio
n es precio de equilibrio.
Ejemplo
Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio
de $ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de
demanda, si dicha ecuación es lineal.
Solución.
Según los datos, es claro que q = 150 y p = 40; también q = 300 y p = 35. Por el hecho que
es lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos
representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos 150,40 300,35y , hallando
así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que
q
p Pendiente negativa
q
p
Pendiente positiva
q
p
m
n (m,n) Punto de equilibrio
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |94
35 40 1
300 150 30m
, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150)
tenemos la recta 1 454
30 3p q
, que es la ecuación de demanda.
APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y APLICACIONES
VARIADAS DE OFERTA – DEMANDA- PUNTO DE EQUILIBRIO
1. Dada las ecuaciones de oferta y demanda para un determinado producto, donde “p“
representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades por unidad de
tiempo, encuentre el punto de equilibrio.
Oferta: 35 2 250 0q p ;demanda: 65 785 0q p
2. Dado el ingreso total TI en y el costo total TC , en dólares para un fabricante donde “q”
representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades
vendidas. Encuentre la cantidad de equilibrio y esquematice un diagrama de equilibrio.
2 4500
3
T
T
C q
I q
3. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 250 0p p
y 100 1100 0p q respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad
de equilibrio.
4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;6
5150
p q y 9
20 0150
p q
respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número
de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |95
ACTIVIDAD 12
RECONOCIENDO LAS FUNCIONES LINEALES Y ENCONTRANDO LA
ECUACIÓN DE UNA RECTA
Objetivo
Reconocer las funciones lineales y determinar la ecuación de una recta.
Orientaciones
La actividad a realizar es grupal. Observa, analiza, calcula y responde.
NIVEL Pregunta Nº1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o falso
(F), según corresponda a cada una de las proposiciones.
Proposiciones
1. La pendiente de una recta es:
verticalm sen
horizontal
( )
2. Para encontrar la ecuación de una recta se utiliza:
0 0( )y y m x x . ( )
3. La gráfica de una recta que va de izquierda a derecha tiene
pendiente positiva.. ( )
4. Si dos rectas son paralelea, entonces sus pendientes son diferentes. ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN De acuerdo a lo establecido en la sesión, indica el
nombre de las funciones especiales siguientes.
Justifica.
Un fabricante vende todo lo que produce. Su ingreso total está dado por: 7TI q y el
costo total es 6 800TC q donde “q” representa el número de unidades producidas y
vendidas. Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama
de equilibrio.
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
En cada una de los casos siguientes, hallar la ecuación de la recta que:
1. Corta al eje Y en 5 de pendiente 4.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |96
2. Pasa por el punto A (-2, 5) y perpendicular a la recta y = 3x + 2.
3. Que pasa por A (0,4) y paralelo a la recta L: 2x + y = -1
4. Pasa por A (5, 4) y paralela al eje Y.
NIVEL ANALISIS
Pregunta Nº 4
Analiza la siguiente situación problemática y responde
(Ecuación de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio
es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuación de oferta,
sabiendo que es lineal.
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 5
Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de las
ecuaciones lineales y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.
(Función de oferta). Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por
( ) 5 20p f q q y ( ) 15 120p f q q respectivamente. Un consumidor acude al
mercado con las intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si el
consumidor está dispuesto a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, ¿Cuál de los
bienes debería comprar?
Omar el estudiante más calificado del aula afirma que el bien B debe ser comprado
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |97
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) Cuando se conoce dos puntos de la recta la pendiente es calculable……... ( )
b) Dos rectas paralelas tienen pendientes…………………………………………..
c) La pendiente m de una de dos rectas perpendiculares se expresa:……………
d) La recta paralela al eje “X” tiene pendiente 0………………………………….…( )
e) La recta paralela al eje “Y” tiene pendiente positiva……………………….…… ( )
f) La gráfica de una recta que va de derecha a izquierda tiene pendiente……..
II. Realizar la gráfica de la recta que:
a) Por el punto (-2;1) y tiene pendiente m = 3
b) Pasa por los puntos (-1;3) y (2;5)
c) Pasa el eje “X” y al eje “Y” en 5 y 6 respectivamente
III. En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación de la recta con las
condiciones dadas:
Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m = 3.
Pasa por 4
2;5
y m = 5.
Pasa por 1 6
;5 5
y 3
24
m
Pasa por (-1,3) y (2,5)
Pasa por el punto 3
,12
y 2
7 31
2 4
m
Pasa por el origen y su pendiente es -4.
Corta al eje X en 3, y su pendiente es 2.
Corta al eje X en 6 y al eje Y en 3.
Pasa por (1,5) y es paralela a la recta de ecuación: y = -x + 3.
Pasa por el punto A (2, 4) y es paralela, a la recta que pasa por los puntos B (0, 2) y
C (-1, 5).
Pasa por el punto A (2,1) y es perpendicular, a la recta que pasa por los puntos
B (2,6) y C (9,1).
Pasa por el punto A (3,4) y es perpendicular a la recta de ecuación: y = -x + 2 y
Pasa por B (2, 4) y paralela al eje X.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |98
APLICACIÓNES DE FUNCION LINEAL
1) (Ecuación de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un
producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de
$ 40 cada una. hallar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el
precio por unidad cuando se requiere 35 unidades.
2) (Ecuación de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de
30,000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20, 000 libros cuando el precio
es de $ 25 c/u. hallar la ecuación de demanda para el libro, sabiendo que es lineal.
3) (Ecuación de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio
es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuación de
oferta, sabiendo que es lineal.
4) (Ecuación de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado
50 mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio
es de $ 30. determine la ecuación de oferta, sabiendo que p y q están relacionados
linealmente.
5) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado
bien son, respectivamente:
180 15 6 18
2
pq s p
y . Obtenga el punto de equilibrio.
6) (Ecuación de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto
es de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C está relacionado de
forma lineal con la producción q, determine el costo de producir 35 unidades.
JUICIO DE VALOR:
7) (Función de demanda). Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda
son: 90 3
( )5
pq f p
y ( ) 140 12q f p p , respectivamente, donde p está expresado
en dólares.
Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5, 75, ¿Cuál de los dos bienes tendrá
mayor demanda?
¿Existe algún precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la
misma?
Jaime el estudiante más distraído del aula afirma que el bien B2 es de mayor demanda y
no existe precio en el mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la misma.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |99
8) (Punto de equilibrio) Un docente de matemática propone el siguiente problema:
Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien son,
respectivamente:
180 15 6 18
2
pq s p
y . Obtenga el punto de equilibrio.
Pedro estudiante sobresaliente del aula afirma que PE (30; 8)
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
9) Un docente de matemática propone el siguiente problema:
Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (5; 6) y es perpendicular a la recta
L1 que corta a “X” e “Y” en 3 y 4 respectivamente.
Oscar el estudiante más calificado del aula afirma que la ecuación general es:
4y – 3x – 9 = 0
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
10) (Ecuación de oferta). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una
lámpara es de S/ 2 000, no hay lámparas disponibles, sin embargo, por cada S/ 1 000 de
aumento en el precio, se dispone de 20 lámparas más para el mercado. Asumiendo que
la relación entre la cantidad ofrecida S y el precio unitario p es lineal. ¿Cuál es la
ecuación de la oferta?
Alfredo el estudiante más relajado del aula se propone resolver seriamente el problema y
afirma que la ecuación de la oferta es:
p= 50q + 2000
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
11) Un docente de matemática propone el siguiente problema:
Un fabricante de “MOUSE” para laptops produce 5200 unidades cuando el precio es de
$1240 y de 3200 unidades cuando el precio es de $1050. Suponga que el precio p, y la
cantidad q, producidas están relacionadas de manera lineal. Determina la función de
oferta.
Paul estudiante de EE.GG. en la asignatura de matemática afirma que la ecuación de la
Oferta es: 𝑝 = 19
200𝑞 + 746
Sistemas de ecuaciones
1. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3 200 1800 0q p y
3 100 1800 0q p , respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en
dólares y “q” el número de unidades vendidas por periodo.
a) Encuentre, algebraicamente, el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una
gráfica.
b) Encuentre el precio de equilibrio, cuando se fija un impuesto de 27 centavos por
unidad, al proveedor.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |100
2. A un precio de $2 400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades, mientras que su
demanda es 560 unidades. Si el precio aumenta a $2 700 por unidad, la oferta y la
demanda serán de 160 y 380 unidades respectivamente.
a) Determine las ecuaciones de oferta y de demanda, suponiendo que son lineales.
b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio.
3. El punto de equilibrio de mercado para un producto, ocurre cuando se produce 13 500
unidades a un precio de $ 4,50 por unidad. El productor no ofertará unidades a $1 y el
consumidor no demandará unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y
demandas si ambas son lineales.
4. A un precio de 50 soles por kg. la demanda de un cierto artículo es de 4 500kg.,
mientras que la oferta es de 3 300kg. Si el precio se incrementa en 10 soles por kg., la
demanda y la oferta serán de 4 400 y 4 200kg., respectivamente. Encontrar la ecuación
de la oferta y demanda sabiendo que son lineales, indicando el punto de equilibrio.
5. Un empresario de ropa para niños observa, que el punto de equilibrio del mercado
ocurre cuando se producen 10 000 unidades a un precio de 40 soles por unidad. El
consumidor no demandará unidades a un precio de 50 soles la unidad y el productor no
ofertará unidades a 20 soles la unidad. Hallar la ecuación de la oferta y demanda
sabiendo que son lineales.
6. Un fabricante vende un producto a $ 8,35 por unidad, y vende todo lo que produce. Los
costos fijos son de son de $2 116 y el costo variable es de $ 7,20 por unidad. ¿A qué
nivel de producción existirán utilidades de $ 4 600? ¿A qué nivel de producción ocurre
el punto de equilibrio?
7. La compañía de Sandalias Cómodas fabrica sandalias para las que el costo del material
es de $ 0.80 por par, y el costo de mano de obra es de adicionales e $ 0,90 por par.
Hay costos adicionales por par de $0.30. Los costos fijos son de $ 70 000.Si cada par
se vende a $ 2,50 ¿Cuántos pares se deben vender para que la compañía llegue al
equilibrio?
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |101
SEMANA
13
UNIDAD IV
Función cuadrática y Programación Lineal. Aplicaciones
Tema: Función cuadrática
FUNCIÓN CUADRÁTICA
f es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma 2( )f x ax bx c ;
donde a, b y c son constantes, con 0a .
Representación gráfica de una función cuadrática.
Su gráfica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical
hx , llamada eje de simetría y con vértice khV , .
si 0a , 2 y ax bx c si 0a ; cbxaxy 2
la parábola se abre hacia arriba. la parábola se abre hacia abajo.
( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k ( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k
k valor mínimo de la función k valor máximo de la función
Coordenadas del vértice
Las coordenadas del vértice son: , ,2 2
b bV h k f
a a
Ejemplo 1
Determinar dominio, rango y gráfica de 2( ) 2 8 3y f x x x
Solución:
y
x h
k ( h ; k )
y
x h
k ( h ; k )
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |102
Primero hallamos el vértice
Como ,2a 8b y 3c , luego 2)2(2
)8(
2
a
bh y 2(2) 2(2) 8(2) 3 5f
Entonces el vértice es: (2, 5)V
Como 02 a , entonces la parábola se abre hacia arriba
Gráfica
Ejemplo 2
Determinar dominio, rango y gráfica de 2362)( xxxfy
Solución:
Primero hallamos el vértice
Como ,3a 6b y 2c , luego h= 1)3(2
6
2
a
b y
5)1(3)1(62)1( 2 f
Entonces el vértice es: )5,1(V
Como 03a , entonces la parábola se abre hacia abajo
Gráfica
( )Dom f R
( ) 5,Ran f
)( fDom
5;)( fRan
3
x
2
-5 ( 2 ; -5 )
y
5 (-1; 5)
y
x
-
1
2
4
1
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |103
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÀTICA
Recuerda:
Ejemplo:
El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la
siguiente función 224 288 64I t t , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el
tiempo medido en años.
a) ¿En qué año se alcanzará el máximo ingreso y cuánto será
b) Grafique la función ingreso.
Resolución:
a) 6)24(2
288
2
a
bth
224 288 64I t t
Luego: 2(6) 24(6) 288(6) 64I
(6) 800I
El máximo ingreso se alcanzará en el 6to año.
El máximo ingreso será de 800 mil dólares.
b)
U = IT - CT IT = p.q donde: p precio unitario. q cantidad.
V (h, k) =
a
bf
a
b
2,
2 el vértice de una parábola.
I
t 6
800 (6,800)
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |104
ACTIVIDAD 13
RECONOCIENDO LAS CARACTERISTICAS DE LA FUNCION CUADRÁTICA Y
SUS APLICACIONES
Objetivo
Reconocer las características de la función cuadrática y utilizarlas en la solución de
aplicaciones.
Orientaciones
La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Afirmaciones
1. La forma de una función cuadrática es 2( )f x ax bx c . ( )
2. La grafica de una función cuadrática es una parábola. ( )
3. Al vértice de una parábola se le representa por (h;k). ( )
4. En una función cuadrática, si 0a entonces la gráfica se extiende
hacia abajo ( )
5. La función cuadrática 2( ) 2 4 10f x x x presenta punto máximo. ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Responda brevemente las preguntas planteadas.
3. Explique brevemente, las características de la función cuadrática cuando el coeficiente
del término cuadrático es: 0a y 0a .
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |105
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
Utilizando los conceptos de la función cuadrática, realiza la gráfica e indica su punto
máximo o mínimo y su dominio y rango
a) 2
( ) 4 1y f x x x b) 2
( ) 6 2f x x x
c) 2
( ) 2 4f x x x d) 2
( ) 3 2 1f x x x
NIVEL ANALISIS
Pregunta Nº 4
Lee y analiza detenidamente, la situación planteada y responde:
La función de demanda para el fabricante de un producto es ( ) 1200 3p f q q en
donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.
a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso.
b) Determine este ingreso máximo.
c) Grafique la función ingreso.
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 5
Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de las
ecuaciones lineales y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.
Para una empresa dedicada a la venta de bolsas de cemento para construcción se tiene
que la Función Costo se expresa como 2( ) 2 100 2500C q q q , determina la cantidad
bolsas de cemento que debe producir y vender para que el costo sea mínimo en dicha
empresa.
Juan sostiene que son 25 bolsas que se debe producir y vender y el Costo mínimo es de
1250.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |106
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) Si a ≤ 0 la parábola va para abajo………………………………………………………….. ( )
b) El par ordenado que representa el vértice de la parábola es:………………………………..
c) Si la parábola va para arriba, entonces (h,k) es:………………………………………….
d) Si la gráfica de la parábola va para abajo, se deduce que debo maximizar f… … . ( )
e) Si la gráfica de la parábola va para arriba me indica que debo minimizar f…………….( )
f) La parábola en una función cuadrática tiene pendiente 0……………………… ……….( )
Grafica las siguientes funciones cuadráticas
a) f = 12 + - 4x – x2 b) f = X2 – 4x + 1
c) f = 1400 x – 7x2 d) f = 2x2 + 2x + 3
Determinar dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados y graficar las siguientes
funciones:
a) 2232)( xxxfy b)
2342)( xxxfy
c) 2
( ) 3 4 y k x x d) 2
( ) 2 8 y h x x x
e) ( ) ( 3) 14 f x x x f) 2
( ) 6 13 t f s s s
g) ( ) ( 3) 14 f x x x h) 261)( xxxfy
i) 154)( 2 xxxfy j) 32)( xxxfy
k) xxxfy 2)( l) 25)( xxfy
APLICACIONES
1. La función de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( , donde p
es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.
b) Determine el ingreso máximo.
2. La función de demanda para una compañía de seguros para autos es
qqfp 132600)( , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se
demandan q unidades (semanales).
a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante.
b) Determine el ingreso máximo.
c) Grafique la función ingreso.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |107
3. La función de demanda para el fabricante de un producto es ,31200)( qqfp en
donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.
a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso.
b) Determine este ingreso máximo.
c) Grafique la función ingreso.
4. La utilidad diaria por la venta de árboles de jardinería de un almacén, está dada por 2( ) 169 16P x x x , en donde x es el número de árboles vendidos.
a) Determine la cantidad de árboles vendidos que maximizará la utilidad.
b) Determine dicha utilidad máxima.
5. El ingreso mensual, en soles, por conceptos de venta de q unidades de cierto artículo
está dado por 2( ) 12 0,01I q q q . Determine el número de unidades que debe venderse
cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el máximo ingreso
correspondiente?
JUICIO DE VALOR:
6. Para una empresa dedicada a la venta de bolsas de cemento para construcción se tiene
que la Función Costo se expresa como C (q) = 2q2 – 100q + 2500, determinar la cantidad
bolsas de cemento que debe producir y vender para que el costo sea mínimo en dicha
empresa.
Juan sostiene que son 25 bolsas que se debe producir y vender y el Costo mínimo es de
1250.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
7. Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa
mediante la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 en donde q representa el número de
computadoras ensambladas.
a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo
sea mínimo.
b) Determinar dicho costo.
c) Graficar la función costo.
Paolo afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea
mínimo es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para
abajo.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
8. Se estima que, de aquí a “t” años, el número de personas que visitarán el parque de las
leyendas será dado por la función 2( ) 30 120 3 000N t t t .
a) Actualmente ¿Cuál es el número de personas que visitan el parque de las leyendas
b) Determinar el año en que será registrado el menor número de visitantes.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |108
Toñito sostiene que en la actualidad 2800 personas visitan el parque y en 3 años se
registrara el menor número de visitantes.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
9. La función de demanda de un fabricante de pieles es p = 2600 – 13q, donde p es el precio
(en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.
b) Determine el ingreso máximo
Piero afirma que el nivel de producción que maximiza el ingreso es 100 y el ingreso
máximo alcanza la cifra de 130000 euros.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
CASO 1. EQUILIBRIO ENTRE LA DEMANDA Y OFERTA
Las ecuaciones de la Oferta y Demanda de un producto que se vende en el Emporio
Comercial de Gamarra son: 3q -200p +1800 = 0 y 3q +100p – 1800; donde p representa el
precio / unidad en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo.
1.- Muestre las ecuaciones dadas de forma que representen las funciones Oferta y
Demanda:
....................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………………
2.- ¿Qué sentido tienen las rectas que representan a la Oferta y la Demanda?
Mostrarlo en una expresión matemática:
…………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………….
3.- ¿Cómo se expresaría el equilibrio entre la Oferta y la Demanda?
……………………………………………………………………………………………………………
4.- Determinar el precio y la cantidad en el equilibrio y muéstrelo mediante una
gráfica:
CASO 2. VISITANTES AL ZOOLOGICO DE HUACHIPA
Los directivos del zoológico de Huachipa se reúnen con el propósito de dilucidar algunas
dudas de parte del directorio quienes andaban preocupados por el ingreso de efectivo a fin
de cubrir los gastos y generar beneficios con la asistencia de público a las instalaciones.
Uno de ellos, matemático de profesión sostiene que de aquí a “t” años el número de
personas que visitaran el zoológico se puede expresar mediante la siguiente función:
N(t) = 30 t2 – 120 t + 3000
1.- ¿Cuál es el número de personas que asisten actualmente al zoológico?
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |109
2.- Tratándose de una función cuadrática ¿Cuál sería la gráfica que tendríamos que
trabajar en este caso?
……………………………………………………………………………………………………………
3.- De tratarse de una parábola determinar su sentido y vértice
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
4.- ¿En qué año en se registrará el menor número de visitantes al zoológico? Graficar
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.
1. En el problema siguiente, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda
para un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de
unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.
Oferta : 2 20p q ; demanda :2200 2p q
2. En el problema siguiente se representa el ingreso total en TI dólares y TC el costo
total en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades
producidas como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de Equilibrio.
Esquematice un diagrama de equilibrio
303
)10( 2
qC
qI
T
T
3. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20 y p + 2q2 - 200 = 0,
respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número
de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.
4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y p + 4q2 - 248 = 0
respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número
de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |110
SEMANA
14
UNIDAD IV
Función cuadrática y Programación Lineal. Aplicaciones
Tema: Desigualdades en el plano cartesiano
Desigualdades en el plano cartesiano
Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el
conjunto de puntos que están en la recta misma, y los semiplanos 1
p y 2
p formados por los
puntos que están a uno y otro lado de la recta L .
Consideremos la recta vertical x a .
Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. Los puntos que
están a la izquierda satisfacen la inecuación x a , y los puntos que están a la derecha
satisfacen la inecuación x a .
Ejemplo 1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y x
Primero graficamos a la recta y x .
y x
a
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |111
La recta ha sido trazada en forma punteada ya que los puntos sobre ella no forman parte del
conjunto solución de la desigualdad (semiplano abierto). Por tanto, la recta trazada es la
frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen.
Para determinar el semiplano que representa gráficamente a la inecuación se toman dos
puntos. Uno que esté por encima de la recta y el otro por debajo. El punto que satisface la
desigualdad determina el semiplano que representa la solución.
En nuestro caso tomamos los puntos ( 2; 2) y (3; 2) , entonces el punto que satisface la
desigualdad es (3; 2) , por lo que la gráfica de y x es el semiplano bajo la recta
fronteriza.
Ejemplo 2. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad 1y x
Primero graficamos a la recta 1y x .
Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este
es el caso, entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que
contiene al origen.
y x
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |112
Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las
siguientes desigualdades:
Ejemplo 3
25
0
0
x y
x
y
Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la
intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas.
Primero graficamos la desigualdad 0x :
Es decir: 0x . Se observa que esta recta es coincidente con el eje Y del sistema.
Su grafica es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y (puesto que 0x )
Segundo graficamos la desigualdad 0y :
Es decir: 0y . Se observa que esta recta es coincidente con el eje X del sistema.
Su grafica es el semiplano ubicado arriba del eje X (puesto que 0y ).
Tercero graficamos la desigualdad 25x y :
Es decir: 25x y .
Su grafica es el semiplano ubicado por debajo de la recta 25x y (puesto que
25x y ).
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |113
Ejemplo 4.
Indicar los vértices del polígono formado.
Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la
intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas.
Es claro que la región que corresponde a 0x es el semiplano ubicado a la derecha del
eje Y , y la que corresponde a 0y es el semiplano ubicado arriba del eje X .
Graficaremos las rectas 2 6x y y 4x y .
Ejemplo 5
𝑥 − 𝑦 < 5
𝑥 + 2𝑦 < 14
𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0
SOLUCIÓN
𝑥 − 𝑦 = 5 (1) 𝑥 + 2𝑦 = 14 (2)
Y
X
25
25
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |114
𝒚 𝒙−𝟓 𝟎 𝟎 𝟓
𝒚 𝒙 𝟕 𝟎 𝟎 𝟏𝟒
Ejemplo 6
2𝑥 + 𝑦 ≤ 8
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0
SOLUCIÓN
2𝑥 + 𝑦 = 8 → (1) 2𝑥 + 3𝑦 = 12 → (2)
𝒚 𝒙𝟖 𝟎𝟎 𝟒
𝒚 𝒙 𝟒 𝟎 𝟎 𝟔
A, B y C son los vértices del
polígono.
A, B y C son los vértices del polígono.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |115
ACTIVIDAD 14
GRAFICANDO DESIGUALDADES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES
LINEALES EN EL PLANO
Objetivo
Graficar desigualdades y sistemas de desigualdades lineales en el plano.
Orientaciones
La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Expresiones
1. La grafica de la desigualdad 2x es la región situada a la derecha
de la recta frontera. ( )
2. Los puntos que están situados a la derecha de la recta frontera se
representan como x < a ( )
3. La recta frontera que representan a la desigualdad x < a es una recta
vertical. ( )
4. La recta frontera que representan a la desigualdad x > a es una recta
horizontal. ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Explique en forma breve, cual es el procedimiento a
realizarse para graficar una desigualdad en el plano.
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
Graficar en el plano cartesiano los sistemas de desigualdades lineales siguientes:
a)
2 3 12
4
0
0
x y
x y
x
y
b)
4 4
2 2
0
0
x y
x y
x
y
c)
7
3 3
5
0
0
y
x y
x y
x
y
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |116
SEMANA
15
UNIDAD IV
Función cuadrática y Programación Lineal. Aplicaciones
Tema: Programación lineal
Introducción a la Programación Lineal
La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940 - 1950 por
matemáticos tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La
programación lineal sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión
lineal sujeta a un conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el
problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor
manera posible, esto es, en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de
operaciones, ciencias administrativas, física y biología.
Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una
variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los
cuales supone un costo a considerar. ¿Cuál debe ser la política a seguir si se quieren
conseguir los máximos beneficios?
FORMA DE REPRESENTAR LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
FORMA GENERAL:
FUNCIÓN OBJETIVO
FO: Máx. / Min Z = C1X1 + C2 X2 + ... + CJXJ + ... + CnCn
a. RESTRICCIONES ESTRUCTURALES
Re:
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+ . . . . . +𝑎1𝑛𝑥𝑛 , < = > 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+ . . . . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏2
.
.𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+ . . . . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏𝑚
Donde:
n = número de variables de decisión.
m = número de restricciones, y n > m
aij = son coeficientes técnicos, que indican la proporción de un determinado recurso
que requiere un producto, por cada unidad que se elabore de ella. Sirve para
indicar también en algunos casos, una relación lógica de las variables.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |117
bj= son las constantes, referidos al nivel de recursos disponibles.
En algunos casos representan los valores que tienen las relaciones lógicas.
Cj= representan los costos o utilidades que generan cada una de las variables del
modelo por unidad.
c) RESTRICCIONES DE “NO NEGATIVIDAD” (RNN)
XJ > 0 ; J = 1, 2, ..., n
X2
X1
VARIABLES ESTRUCTURALES O DE DECISION:
Son variables bases del modelo, que están directamente relacionadas con el problema real.
EJEMPLO N° 1:
FO: MIN Z = 2x1+ 15x2 + 10x3 + 5x4
Re:
{
2x1 + x2 + 3x3 − x4 ≥ 10x1 + 4x2 + 2x4 ≥ 15
5x1 + 3x2 + x3 + x4 ≥ 20x ≥ 0y ≥ 0
+
+
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |118
ACTIVIDAD 15
RECONOCIENDO LAS CARACTERÍSTICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.
IDENTIFICANDO LA FUNCIÓN OBJETIVO
Objetivo
Reconocer los elementos y características de la programación lineal.
Identificar la región factible
Orientaciones
La actividad a realizar es grupal. Lee detenidamente y responde.
NIVEL Pregunta Nº 1
CONOCIMIENTO Coloca, en los paréntesis de la derecha, verdadero (V) o
falso (F), según corresponda a cada una de las afirmaciones.
Expresiones
1. La programación lineal tiene su aplicación en las situaciones
problemáticas referidas a la asignación óptima de recursos escasos. ( )
2. El objetivo fundamental de la programación lineal es maximizar o
minimizar una función llamada función objetivo. ( )
3. Las desigualdades: 0x e 0y se denominan restricciones de no
negatividad. ( )
4. La expresión ( , , ) 2 4F x y z x y z representa a una función objetivo. ( )
NIVEL Pregunta Nº2
COMPRENSIÓN Explique en forma breve, cual es el procedimiento a
realizarse para obtener la región factible
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |119
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 3
Utilizando los conceptos de graficas de desigualdades en el plano y de programación
lineal, determina la región factible en los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales.
a)
2 80
3 2 120
0
0
x y
x y
x
y
b)
3
3
5 25
0, 0
x y
x y
x y
x y
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |120
SEMANA
16
UNIDAD IV
Función cuadrática y Programación Lineal. Aplicaciones
Tema: Maximización y minimización de una función objetivo
Maximización y minimización de una función objetivo
Aplicaciones
EJEMPLO 1
Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El
alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2
unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento cuesta $ 1,20 por unidad y el B $
0.8 por unidad. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben prepararse para minimizar el
costo? ¿Cuál es el costo mínimo?
SOLUCIÓN
Carbohidratos (x) A B
Proteínas (y) X 2 4
Y 2 1
𝐶𝑀𝐼𝑁 = 1,2𝑥 + 0,80𝑦
Sujeto a:
{
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 16 → (1)
4𝑥 + 𝑦 ≤ 20 → (2)
𝑋 ≥ 0 → (3)
𝑌 ≥ 0 → (4)
𝑦 𝑥8 00 8
𝑦 𝑥20 00 5
VERTICES:
𝐴 ( 8 , 0) 𝐶 (0 , 20)
B: 4𝑥 + 𝑦 = 202𝑥 + 2𝑦 = 16
4𝑥 + 𝑦 = 20 𝑥 + 𝑦 = 8
𝑥 + 𝑦 = 8 4 + 𝑦 = 8 ⇒ 𝑦 = 2 𝑥 = 4
𝐵 (4, 2)
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |121
𝐶𝐴 = 1,2 (8) + 0,8 (0) = 9,6
𝐶𝐵 = 1,2 (4) + 0,8 (2) = 4,8 + 1.6 = 6,4 (𝑚í𝑛. )
RESPUESTA:
Deben comprarse 8 unidades de carbohidratos y ninguna unidad de proteínas para
minimizar el costo. El costo mínimo será de 9,6 dólares.
EJEMPLO 2
Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 Kg.
de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesita 1Kg de
acero y 3 Kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesita 2kg de
acero y 2kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a $200 y las de montaña a $150.
¿Cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es
el beneficio máximo?
SOLUCIÓN
ACERO ALUMINIO
A 1 3 X : Bicicleta de paseo
B 2 2 Y : Bicicleta de montaña
Total 80 120 U : Utilidad
Máx 𝑈 = 200𝑥 + 150 𝑦
S. A.
{
𝑥 + 2𝑦 ≤ 80 → (1)
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 120 → (2)
𝑋 ≥ 0 → (3)
𝑌 ≥ 0 → (4)
𝑦 𝑥40 00 80
𝑦 𝑥 60 0 0 40
VERTICES
A (40,0) B
C (0; 40)
B:
𝑥 + 2𝑦 = 80 20 + 2𝑦 = 80
3𝑥 + 2𝑦 = 120 2𝑦 = 80 −𝑥 − 2𝑦 = −80 3𝑥 + 2𝑦 = 120
𝑦 = 30
2𝑥 = 40 𝑥 = 20
𝐵 (20; 30)
RESPUESTA:
𝑈𝐴 = 200 (40) + 150 ( 0) = 8000
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |122
𝑈𝐵 = 200 (20) + 150 (30) = 8500 (𝑀á𝑥)
𝑈𝐶 = 200 (0) + 150 (40) = 6000
Respuesta:
Deben construirse 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña. La utilidad máxima es de $8
500.
EJEMPLO 3
Una empresa fabrica dos modelos de DVD: el modelo A y el modelo B. Se dispone de 50
kilogramos de caucho y de 80 horas de mano de obra. Para fabricar un DVD del modelo A
se utiliza 1 kilogramo de caucho y 1 horas de trabajo, y para fabricar un DVD del modelo B
se utiliza 1 kilogramo de caucho y 2 hora de trabajo. Si la venta le genera una utilidad 30
soles por cada modelo A y 40 soles por cada modelo B. ¿Cuántos DVD de cada tipo debe
fabricar y vender para que la utilidad sea máxima?, ¿Cuál es la utilidad máxima?
SOLUCIÓN
Consideremos: x : Número de DVD del modelo A
y : Número de DVD del modelo B.
U : Utilidad mensual.
La función objetivo, que se debe maximizar, es: 30 40U x y
50 (1)
2 80 (2)
0 (3)
0 (4)
. .
x y
x y
x
y
s a
A las restricciones (3) y (4) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que
satisface simultáneamente las condiciones (1) a (4) se denomina región factible.
Graficando las desigualdades e identificando la región factible se tiene:
MODELO A MODELO B TOTAL
Cantidad de caucho 1x 1x 50 kg.
Horas de mano de obra 1x 2x 80 horas
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |123
Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía
tiene un valor máximo (o mínimo) y se encuentra en uno de sus vértices. Para hallar este
valor es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región
factible y después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima.
En nuestro caso, las coordenadas de los vértices de la región factibles son:
A (0, 0) B (50, 0) C (20, 30) D(0, 40)
Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:
U (0, 0) = 30 (0) + 40 (0) = 0
U (50, 0) = 30 (50) + 40(0) = 1500
U (90, 0) = 30 (20) + 40 (30) = 1800
U (0, 40) = 30 (0) + 40 (40) =1600
Por consiguiente U tiene un valor máximo en C , en donde: 20x e 30y .
Se debe fabricar y vender 20 DVD del modelo A y 30 DVD del modelo B. La utilidad máxima
es de de S/. 1 800.
EJEMPLO 4
Supongamos que una compañía fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada
uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto
manual requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina
B y de una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos
horas en B y una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas
disponibles por mes para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente.
La utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la
compañía vende todos los artefactos que fabrica ¿cuántos artefactos de cada tipo se deben
elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual?
Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla
Y
X
40
50 80
50
A B
C
D
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |124
A B A Utilidad
Manual 2h 1h 1h 4
Eléctrica 1h 2h 1h 6
Horas disponibles 180 160 100
Consideremos
x : Número de artefactos manuales que se fabrican en el mes.
y : Número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes.
U : Utilidad mensual.
La función objetivo es:
: 4 6U x y Maximizar
2 180 (1)
2 160 (2)
100 (3)
0 (4)
0 (5)
x y
x y
x y
x
y
A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que
satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible.
Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a la
función de utilidad.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |125
Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía
tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice. Esta
afirmación permite hallar soluciones óptimas, para lo cual es suficiente evaluar la función
objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la
función objetivo resulte óptima.
En nuestro caso, tenemos
A (40, 60) B (80, 20) C (90, 0) D(0, 0) E (0, 80) .
Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:
U (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520
U (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440
U (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360
U (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0
U (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480.
Por consiguiente U tiene un valor máximo de $520 en A , en donde 40x e 60y .
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |126
ACTIVIDAD 16
MAXIMIZANDO Y MINIMIZANDO UNA FUNCIÓN OBJETIVO
Objetivo
Maximizar y minimizar una función objetivo.
Orientaciones
La actividad a realizar es individual. Lee detenidamente, analiza, y responde.
NIVEL APLICACIÓN
Pregunta Nº 1
Utilizando los conceptos de la programación lineal, maximiza o minimiza la función
objetivo en cada uno de los casos siguientes:
1. Dada las restricciones
0,0
3
42
yx
yx
yx
Determine el máximo valor de ( , ) 2 3F x y x y
2. Dada las restricciones
7
3 3
5
0, 0
y
x y
x y
x y
Determine el mínimo valor de ( , ) 15 8F x y x y
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |127
NIVEL ANÁLISIS
Pregunta Nº 2
Lee y analiza detenidamente, la situación planteada y responde:
Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80
Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1
Kg. de acero y 3 Kg. de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2
Kg. de acero y otros 2 Kg. de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a 200 soles y las
de montaña a 150 soles. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el
beneficio sea máximo?
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |128
NIVEL EVALUACIÓN
Pregunta Nº 3
Lee la situación problemática planteada, resuelve utilizando los conceptos de las
ecuaciones lineales y critica o defiende la afirmación. Justifica tu respuesta.
Un estudiante de la San Martín dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda
publicitaría. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con
folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una
para los impresos A, en la que cabe 120, y otra para los impresos B, en la que cabe 100
Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. El estudiante
asegura que debe repartir 80 propagandas de la empresa A y 70 de la empresa B para
que su beneficio diario sea máximo.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación del estudiante, justificando tu
respuesta.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |129
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Maximice: 5 7Z x y
sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 2 7x y ; 2 5 12x y
2. Minimice: 4 3Z y x
sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 4 4x y ; 6 8x y
3. Maximice: 2Z x y
sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 2 1y x ; 4 9y x
4. Minimice: 2Z y x
sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 1y x ; 3 2y x
5. Dada las siguientes restricciones: 2 4x y ; 2 5x y ; 0x ; 0y
a) Grafica la región defina por las restricciones indicando sus vértices.
b) Calcule el valor máximo de la función objetivo 5 2z x y sujeta a las restricciones
dadas.
6. Grafique el sistema de inecuaciones
0,0
54
1
3
yx
xy
yx
yx
7. Dado el siguiente problema de programación lineal: : ( , ) 5 4F x y x y max
Sujeta a
0,0
602
15053
yx
yx
yx
. esboce la gráfica
8. Maximizar la función ( , ) 2000 5000F x y x y
Sujeta a las restricciones
2 3 3
2 9
2 5 5
0, 0
x y
x y
x y
x y
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |130
Maximización y minimización de una función objetivo
Aplicaciones
1. Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P1 y P2.
La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1 y
420 de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de
reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600 000 y es
capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día, el tipo B es un
diseño más económico, cuesta $300 000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30
unidades de P2 por día. Debido a los costos de operación es necesario tener al menos
4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para
minimizar el costo de construcción y aun así satisfacer el programa de producción
requerido? (Suponga que existe un costo mínimo).
2. Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre la contaminación una compañía
química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso que reemplaza al
proceso anterior de fabricación de un producto químico en particular. El proceso anterior
descarga 25 gramos de dióxido de carbono y 50 gramos de partículas a la atmósfera
por cada litro de producto químico producido. El nuevo proceso descarga 15 gramos de
dióxido de carbono y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La
compañía obtiene una utilidad de 40 y 50 centavos por litro en los procesos anteriores y
nuevos respectivamente. Si el gobierno no permite a la planta descargar más de 12 525
gramos de dióxido de carbono ni más de 20 000 gramos de partículas a la atmósfera
por día, ¿cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente por cada uno
de los procesos para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?
3. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos
artículos: camiones y camionetas con base en la información siguiente:
Máquina A Máquina B Máquina C
Camión 2h 3h 5h
Camioneta 1h 1h 1h
Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la
máquina A, 80 horas, para la B 50 horas, para el acabado 70 horas. Si las utilidades en
cada camión y cada camioneta son de $7 y $2 respectivamente. ¿Cuántos juguetes de
cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál es la
utilidad máxima?
4. La empresa de transporte “Viaje Feliz”, desea vender a lo más 260 pasajes de Lima a
Tumbes, , de dos clases: clase VIP y clase económica.
Las ganancias correspondientes son de 60 y 40 soles respectivamente. Además, la
empresa decide vender por lo menos 120 pasajes de la clase económica. Se pide:
a) La cantidad de pasajes de cada clase para que las ganancias sean máximas.
b) Cuál es la ganancia máxima.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |131
5. Si “X” es el número de unidades del producto A; “Y” el número de unidades del producto
B, el administrador formula el modelo utilizando la técnica de programación lineal (P.L.):
G = 500x + 200y
s.a.:
2x + 3y > 12
2x + y < 8
x > 0; y > 0
Afirma que cuando se producen y venden 3 unidades del producto A y 2 unidades del
producto B; la ganancia máxima será $19 000.
Se pide defender o cuestionar dicha afirmación justificando su respuesta.
6. La mueblería ESTILO S.A. fabrica y vende juegos de dormitorio en caoba y cedro. Cada
juego de dormitorio de caoba le origina una ganancia de $120 y cada juego de
dormitorio de cedro le origina una ganancia de $150. Se sabe que la fábrica produce al
mes no más de 200 juegos de dormitorios de caoba y no más de 250 juegos de
dormitorios de cedro; y que al mes en tienda no se venden más de 300 juegos de
dormitorios. Al utilizar la técnica matemática de la programación lineal, que consiste en:
a) Plantear tus incógnitas y darles variables.
b) Formular la ecuación o función ganancia.
c) Plantear el sistema de inecuaciones.
d) Graficar el sistema de inecuaciones.
e) Evaluar en la función ganancia.
Recomienda cuántos juegos de dormitorio y de qué tipo se deben producir y vender
para maximizar las ganancias de la empresa.
7. Un empresario textil para su departamento de ropa de vestir encarga la confección de
pantalones y poleras de damas estilo deportivo. El fabricante dispone para la confección
750 m de tejido de algodón y 1 000 m de tejido de poliéster; se sabe que cada pantalón
precisa de 1 m de algodón y 2 m de poliéster y que cada polera necesita de 1.5 m de
algodón y 1 m de poliéster.
El precio del pantalón se fija en S/.100 y el de la polera en S/.80. Su Gerente de Ventas
le indica que debe vender 250 pantalones y 375 poleras para que el Ingreso sea
máximo, Se le pide a Ud. que defienda o cuestione la opinión del Gerente de Ventas e
indique además cuál sería el Ingreso Máximo.
8. La empresa SONY S.A. fabrica televisores LCD y LED. Cada televisor LCD produce una
ganancia de $120 y cada televisor LED $80. Para cumplir con la demanda diaria, dicha
empresa debe cumplir como mínimo 250 LCDs y 150 LEDs. Si la producción diaria no
debe sobrepasar de 520 televisores. Al utilizar la técnica matemática de la
programación lineal, que consiste en:
a) Plantear tus incógnitas y darles variables.
b) Formular la ecuación o función ganancia.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |132
c) Plantear el sistema de inecuaciones.
d) Graficar el sistema de inecuaciones.
e) Evaluar en la función ganancia.
Recomienda cuántos televisores y de qué tipo debe producir y vender para maximizar
las ganancias de la empresa.
9. Una compañía fabrica dos tipos de artefactos manuales y eléctricos. Cada uno de ellos
requiere en su fabricación el uso de dos máquinas: A y B. Un artefacto manual requiere
del empleo de la máquina A durante una hora y de una hora en la máquina B.
Supóngase, además, que el número máximo de horas por mes que dispone para el uso
de las dos máquinas A y B es de 180 y 100 respectivamente.
La Utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y para los eléctricos es de
$6. Su Gerente de Ventas le indica que la Utilidad Máxima se obtiene cuando se venden
80 artefactos manuales y 20 artefactos eléctricos. Se le pide a Ud. que defienda o
cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique además cuál sería la Utilidad
Máxima.
CASO 1 MAXIMIZANDO EL BENEFICIO
Finalizado el semestre de estudio un estudiante de la USMP decide aprovechar su tiempo
repartiendo propaganda publicitaria.
La empresa A le paga $5 por cada impreso repartido y la empresa B con folletos más
grandes le paga $7 por impreso repartido. El estudiante lleva 2 bolsas:
Una para los impresos de A en la que caben 120
Otra para los impresos de B en la que caben 100
Así mismo, el estudiante ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos como
máximo entre ambos.
Analice, comprenda e interprete la lectura del caso y responda las preguntas siguientes
1.- Determinar la Función Objetivo
……………………………………………………………………………………………………………
2.- Establecer las condiciones (Desigualdades) que se generan en el problema
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
3.- Gráfica y obtenga el polígono resultante calculando cada vértice del mismo
4.- Evalué cada vértice y determine en cuál de ellos se generará el máximo beneficio, es
decir, la combinación perfecta de folletos de A y B.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |133
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO DE CASOS
UNIDAD Nª1
Conjuntos
CASO: Preferencias Profesionales
La Facultad de Ciencias
contables, económicas y
financieras de la USMP realizó
una encuesta dirigida a 60
estudiantes de la Institución
educativa “Santa Anita” y obtuvo
los siguientes resultados:
30 eligieron “Contabilidad”,
24 eligieron “Negocios
Internacionales”,
22 eligieron “Administración de empresas”,
8 eligieron “Contabilidad” y “Negocios Internacionales”,
6 eligieron “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”,
7 eligieron “Contabilidad” y “Administración de empresas”,
2 eligieron “Contabilidad”, “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”.
Fuente: http://www.usmp.edu.pe/contabilidadyeconomia/index.php
Ficha de encuesta
Estimado estudiante, esta encuesta permitirá conocer las preferencias sobre
las diferentes Carreras que ofrece la Facultad de Ciencias contables,
económicas y financieras de la USMP, por favor, responde las preguntas con
franqueza completando los espacios.
Nombre:
________________________________
Edad:
__________
Grado:
________
Mujer: Varón:
1. Contabilidad
2. Administración de empresas
3. Marketing
4. Negocios Internacionales
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |134
1. Responda las siguientes preguntas. (2 puntos)
a) ¿Qué carreras ofrece la Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de
la USMP? (0,5 puntos)
1 ) ________________________________________
2 ) ________________________________________
3 )________________________________________
4 ) ________________________________________
b) ¿Los que prefieren Negocios Internacionales son 28? (0,5 puntos)
__________________________________________________________________
c) ¿Los que prefieren Contabilidad son 24? (0,5 puntos)
__________________________________________________________________
d) ¿Los que prefieren tres de los cursos son 9? (0,5 puntos)
2. Si: M = Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de la USMP.
(3 puntos)
a = Contabilidad , b = Administración de empresas
c = Marketing d = Negocios Internacionales
e = Ingeniería Industrial f = Matemática Pura.
a) Determina por Extensión el conjunto M = Facultad de Comunicaciones (los
elementos serán las carreras de dicha facultad) (0,5 puntos)
M = ,
b) Determina por Comprensión el conjunto M = Facultad de Ciencias Contables,
Económicas y Financieras (0,5 puntos)
M = {x/x es una _____________________________________________________ }
c) Determina si cada elemento pertenece o no pertenece a cada conjunto escribiendo V
o F.
(0,5 puntos)
a M ( )
b M ( )
d M ( )
c M ( )
f M ( )
e M ( )
d) Si tenemos que M = { a, b, c, d } y N = { b } (0,5puntos)
Determina la inclusión o no inclusión escribiendo V o F.
N M ( )
b M ( )
d M ( )
M N ( )
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |135
e) Colocando Si o No en los paréntesis determine lo que se le pide: (1 punto)
En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M tiene:
2 elementos ( ) 4 elementos ( ) 1 elemento ( )
En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto N es:
Unitario ( ) Vacío ( )
En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M es:
Finito ( ) Infinito ( )
En relación a los datos de la pregunta d) los conjuntos M y N son:
Disjuntos ( ) Iguales ( )
Si definimos los siguientes conjuntos
A = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Contabilidad”
C = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Negocios Internacionales”
P = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Administración de empresas”
UNIDAD Nª2
INECUACION LINEAL
MOVISTAR empresa de prestigio en la rama de venta de celulares de marcas conocidas
como NOKIA encarga a la Gerencia de Marketting realizar un estudio para ampliar su
negocio, pero esta vez en la producción y venta de repuestos más solicitados por sus
clientes.
Dicha gerencia escoge el repuesto más solicitado y con el apoyo del personal que labora en
el Área de Costos proceden a evaluar una supuesta situación en la que se considera
importante la amplia demanda del repuesto y las posibilidades económicas de la empresa
para tomar una decisión tan importante.
Luego de costeado el repuesto se concluye que el Costo unitario de mano de obra y
material por unidad es de $21, los Costos Fijos por mes son de $70000 y el repuesto
debe venderse a $35.
Para que la empresa Obtenga Ganancia el encargado de Marketting sostiene que
MOVISTAR debe de producir y vender como mínimo 5001 unidades por mes.
Finalizado el estudio la empresa decide dar el paso importante de ampliar su negocio en la
producción y venta de repuestos más solicitados por sus clientes
1.- Responda V o Fa las siguientes preguntas: (4 puntos)
a) La expresión U > 0 significa que se obtiene ganancia……………………………… ( )
b) Costo Variable es igual a Costo unitario por la cantidad…………………………………( )
c) Costo Fijo es aquel que tiene que ver con la producción……………………………… ( )
e) El alquiler del local es un costo variable……………………………………………………( )
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |136
2.- Responda a las siguientes preguntas: ( 6 puntos)
¿Qué expresión utilizaría para obtener el ingreso?
a) I = p*q b) I = CV + CF c) U = 0 d) I < 0
¿Cuándo la empresa desea estar en el equilibrio se cumple?
a) U = I – CT b) I – CT = 0 c) U ≤ 0 e) U ≥ 0
¿Cuándo la empresa desea no obtener perdida se cumple?
a) I – CT ≥ 0 b) No vende c) I = 0 e) I = CT
¿Qué expresión utilizaría para obtener el costo total?
a) CT = Cuq + CF b) CT = Cuq – CF c) CT = I d) CT = q
En la simulación la desigualdad resultante es:
a) 35q – (21q + 70000) ≤ 0 b) 35q – (21q + 70000) ≥ 0
En la simulación la q mínima resultante es:
a) q = 4999 b) q = 5000 c) q = 5001 d) q = 4900
¿Si ud fuera el gerente de Marketting que recomendaría al Directorio de MOVISTAR?
UNIDAD Nª3
FUNCION LINEAL
En la fábrica de confecciones de la marca UMBRO se reúne el Gerente General con sus
asesores para delinear la expresión que representa a la Demanda y Oferta de un nuevo
modelo de zapatos de futbol.
Para ello, el Gerente de Producción en función a su experiencia y para no tener resultados
arriesgados propone una supuesta situación a través del siguiente caso:
“Cuando se oferta 50 pares de zapatos de futbol el precio será de $240 y cuando se
ofertan 70 pares del mismo modelo el precio es de $276”.
Pero, si la demanda es de 70 pares el precio será de $340 y cuando la demanda sea de
110 pares el precio es de $260”
1.- Responda V o Fa las siguientes preguntas: (4 puntos)
a) La pendiente tiene la siguiente expresión 𝑚 = 𝑞𝟐−𝐪𝟏
𝑝2−𝑝1……………………………… ( )
b) La Ecuación punto / pendiente se aplica al conocer 2 puntos de la recta…………… ( )
c) La intersección de las rectas de oferta y demanda representa el Equilibrio….. ………( )
e) Cuando la Oferta y la Demanda son iguales se obtiene ganancia……………………. ( )
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |137
2.- Responda V o Fa las siguientes expresiones: (4 puntos)
Pendiente cero Recta horizontal ( )
Pendiente indefinida Recta vertical ( )
Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha ( )
Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha ( )
3.- Responda las siguientes preguntas: (12 puntos)
La pendiente de la Oferta es:
a) 𝟒
𝟓 b)
𝟓
𝟒 c)
− 𝟒
𝟓 d)
−𝟓
𝟒
La pendiente de la Demanda es:
a) 2 b) – 2 c) 1 d) – 1
La Ecuación de la Oferta es:
La Ecuación de la Demanda es:
Los valores de “q” y “p” en el Equilibrio son:
a) (280;100) b) (100; 280) c) (100; 180) d) (180, 100)
Ubica los puntos de la Oferta y la Demanda en los gráficos dados:
q
p
Pendiente negativa
q
p
Pendiente positiva
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |138
UNIDAD Nº 4
PROGRAMACIÓN LINEAL
El Departamento de Diseño de la fábrica de muebles OLIMPIA presenta dos sillones A y B a
la Gerencia de Ventas de la empresa para su análisis y pronunciamiento respectivo.
El responsable de ventas recurre al Gerente de Producción entregándole la Ficha Técnica
de cada sillón, ya que en una reunión de ventas los agentes coincidieron en que tenían todo
lo necesario para lograr un buen ingreso para la empresa.
La inquietud llegó al Gerente General quien con una visión de negocio propuso que el área
productiva emita un informe sobre la forma más adecuada de obtener una ganancia
máxima antes de aprobar la producción de ambos sillones.
La Ficha Técnica para producir el sillón A manifestaba que era necesario 1 hora de
Carpintería y 2 horas de Tapicería y para producir el sillón B necesario 3 hora de Carpintería
y 1 hora de Tapicería.
La disponibilidad total de los talleres de Carpintería y Tapicería es 80 y 90 horas
respectivamente. Ventas estima que las ganancias por la venta del sillón A es de $60 y por
la del sillón B es de $30
1.- Responda V o Fa las siguientes preguntas: (2 puntos)
La función objetivo en este caso es:
a) G = x + 3y b) G = 2x + 6y c) G = 60x + 30y
Una de las restricciones es:
a) 2x + 6y > 0 b) x + 3y ≤ 90 c) 2x + 6y ≥ 0
El Polígono formado tiene:
a) 3 vértices b) 2 vértices c) 4 vértices
Uno de los vértices del polígono es:
a) (30;0) c) (30;20) c) (0;90)
2.- Complete las siguientes expresiones: (4 puntos)
a) La restricción en el área de Carpintería es:……………………………………………………..
b) La restricción en el área de Tapicería es:……………………………………………………….
d) El valor de “x” y “y” luego de solucionar el sistema de ecuaciones es:………………. ……..
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |139
3.- Cual de los gráficos adjuntos se asemeja al resultado del tema propuesto: (1
punto)
a) b)
4.- Si llamamos A, B , C y D a los vértices encontrados (3 puntos)
A: (0 ; 0) B: (0 ; 30) C: (30 ; 20) d) (40 ; 0) y evaluamos la
Función Objetivo la Ganancia máxima se da cuando:
a) X = 30 y Y = 20 b) X = 0 y Y = 30 c) X = 30 y Y = 90
Luego la ganancia máxima es de:
a) 900 b) 1600 c) 2400 d) 1700
Si ud fuera el Gerente General que juicio emitiría al respecto de la producción de
ambos sillones:
Y
X
40
50 80
50
A B
C
D
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |140
GLOSARIO
Enunciado. Un enunciado es una expresión, frase u oración a través del cual se comunica
algo. Un enunciado no siempre es una proposición lógica.
Proposición lógica. Es una enunciado que admite un valor de verdad (puede ser verdadero
o falso). Dicho valor de verdad debe ser único; es decir que el enunciado no puede ser
ambiguo.
Formula lógica. Representa de manera formal, mediante los símbolos p, q ,r, s, etc, a las
proposiciones lógicas compuestas.
Cuantificador. Expresión que permite convertir en proposición lógica a todo enunciado
abierto. El cuantificador puede ser existencial o universal.
Conjunto. Es toda agrupación o reunión de objetos, de cualquier naturaleza, que cumplen
determinadas propiedades o características, a los cuales se les denomina elementos.
Cardinal de un conjunto. Es el número de elementos que presenta un conjunto. Si uno o
más elementos se repiten, solo se toma en cuenta una sola vez, para establecer el cardinal
de dicho conjunto.
Operaciones con conjuntos. Llamado también algebra de conjuntos, permiten obtener un
nuevo conjunto a partir de otro. Las operaciones con conjuntos son: unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Ecuación lineal. Es una igualdad en la que aparecen una o más variables. Presenta dos
partes llamadas primer miembro (lado izquierdo de la igualdad) y segundo miembro (lado
derecho de la igualdad). El máximo exponente de las variables es la unidad.
Ecuación cuadrática. Es una igualdad en la que el máximo exponente de las variables es
dos. Es llamada también ecuación de segundo grado.
Inecuación lineal. Es una desigualdad (se puede utilizar los símbolos >, <, o ), en la
que aparecen una o más variables. El máximo exponente de las variables es la unidad.
Inecuación cuadrática. Es una desigualdad en la que el máximo exponente de las
variables es dos. Es llamada también inecuación de segundo grado.
Relación. Es la correspondencia establecida entre dos conjuntos. Al elemento del primer
conjunto le corresponde, por lo menos, un elemento en el segundo conjunto.
Función. Es una relación donde a cada elemento del primer conjunto, le corresponde uno y
solo un elemento del segundo conjunto.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |141
Dominio. Es la reunión de los elementos del primer conjunto (conjunto de partida), que
tienen una correspondencia con algún elemento del segundo conjunto (conjunto de llegada).
Rango. Es la reunión de los elementos del segundo conjunto (conjunto de llegada) que
tienen una correspondencia con algún elemento del primer conjunto (conjunto de partida).
Suele llamársele codominio o imagen.
Función lineal. Es una expresión de la forma ( )f x mx b , donde el exponente de la
variable es la unidad, m es la pendiente y b es la constante.
Función cuadrática. Es una expresión de la forma 2
( )f x ax bx c , donde el exponente
de la variable es dos, a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del
término lineal y c la constante.
Programación lineal. Procedimiento basado en algoritmos que permite optimizar un
conjunto de variables con la finalidad de usarlas de manera racional.
Función objetivo. Expresión en la cual se desea obtener un valor máximo (maximización) o
un valor mínimo (minimización).
Portafolio. Procedimiento utilizado en la evaluación. Consiste en disponer una carpeta en la
que un individuo va reuniendo evidencias sobre la actividad que desarrolla, las cuales
constituyen la base para realizar una valoración de dicho individuo.
h t t p : / / w w w . u s m p . e d u . p e / e s t u d i o s g e n e r a l e s / |142
FUENTES DE INFORMACIÓN
Haeussler, E. y Richard, P. (2008). Matemáticas para administración y economía. (12ª. Ed).
Ciudad de México: Pearson Educación.
Hoffmann L. y Geral, B. (2006).Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales.
(8ª. Ed.). México: McGraw-Hill.
Arya,J. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. (4ª. Ed.). Ciudad
de México: Pearson Educación.
Leithold, L. (1998). Matemáticas previas al cálculo. (3ª. Ed.). Ciudad de México: Oxford
México.
Loa, G. (2013) Matemática con aplicaciones en Ciencias de la Empresa. (T. I). Perú: Grupo
Editorial Megabyte.