russell, bertrand. (1984). los principios de la matemática,

8/9/2019 Russell, Bertrand. (1984). Los Principios de La Matemtica,

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BERTRAN!) RUSSELL

L O S P R I N C I P I O S

D E L A M A T E M T I C A

t r a d u c c i n d e l i n g l s p o r

JUAN CARLOS GRIMBERG

T E R C E R A E D I C I N

Q A 9 / R S 8 5 1 9 6 7

2 6 9 5 2 9

1 6 5 1 7 3

D O N O 1

P Clasi r Q k ci

?

U ACA 2 6 9 5 2JL

En el captulo IV de los P r i n c i p i o s se dice que cada palabra que

forma parte de una sentenci debe tener algn significado; y de nuevoLlamar trmino a todo lo que pueda ser objeto de pensamiento, o sepueda presentar en una proposic in verdadera o falsa,' o p ueda contarse


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LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMATICA 13

como uno... Un hombre, un momento, un nmero, una clase, unarelacin, una quimera, o cualquier otra cosa que pueda mencionarse,es seguramente un trmino; y negar que tal cosa es un trmino debeser siempre falso. Este modo de entender el leifguaje ha resultado ser

equivocado. No siempre es verdadero que una palabra debe teneralgn significado por supuesto que la palabra no debe ser uncon junto a rbitrario de letras, sino tene r uso inteligible si se consideraaplicado a la palabra aislada. Lo que es cierto, es que la palabra con-tribuye al significado de la sentencia en la que se presenta; pero estoes algo muy diferente.

El primer paso del proceso fue la teora de las descripciones. Deacuerdo con esta teora, en la proposicin Scott es el autor de Waver-ley, el anlisis de la proposicin es, aproximadamente: Scott escribi

Waverley, y quienquiera que haya escrito Waverley fue Scott; o, conmayor precisin: La funcin proposicional x escribi Waverley esequivalente a x es Scott es verdadera para todos los valores de x.nEsta teora desterr la discusin promovida, por ejemplo, porMeinong de que en el dominio del Ser deben existir objetos talescomo la montaa de oro y el cuadrado redondo, ya que podemoshablar de ellos. El cuadrado redondo no existe ha sido siempre

proposicin difcil; porque resulta natural preguntar: Qu es loque no existe?, y cualquier respuesta posible parecera implicar que,

en algn sentido, existe un objeto tal como el cuadrado redondo,aunque ese objeto tenga la propiedad particular de no existir. Lateora de las descripciones evit estas y otras dificultades.

El paso siguiente fue el de la abolicin de las clases. Este paso seemprendi en Principia Mathematica, donde se dice: Los smbolos

para clases, al igual que los sm bolos para descripciones, son. ennuestro sistema, smbolos incompletos; sus n-sos se hallan definidos,

pero no se supone que ellos mismos tengan en absoluto significadoalguno... As las clases, hasta el punto que las introducimos, son

simplemente conveniencias simblicas o lingsticas, no objetos genuinos (vol. I, pgs. 712). Observando que los nmeros cardinaleshan sido definidos como clases de clases, tambin resultan ser sim-

plem ente conveniencias simblicas o lingsticas. As, por ejemplo,la proposicin 1 f 1 = 2 , simplificada en cierto modo, resu lte serla siguiente: Frmese la funcin proporcional 'a es distinto de b, ycualquiera sea x, x es un y es siempre equivalente a x es a o x es b\frmese tambin la funcin proposicional 'a es un y, y, cualquierasea x, x es un y pero es distinto de a es siempre equivalente a x es b.

Entonces, cualquiera sea y, la afirmacin de que una de esta funcionesproposicionales no siempre es ,falsa (para valores diferentes de a; y b),es equivalente a la afirmacin de que la otra no siempre es falsa.Aqu han desaparecido completamente los nmeros 1 y 2 , y un an-lisis semejante puede aplicarse a cualquier proposicin aritmtica.


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funcin proporcional. (Por incompatibilidad de dos proporciones seentiende que no pueden ser ambas verdaderas.) Ninguno de ellos

parece muy im porta nte. Lo que se dijo ante rio rm ente respecto a o,se aplica igualmente a la incompatibilidad; y parecera absurdo decir

que la generalidad es uno de los componentes de una proposicingeneral.Por lo tanto, las constantes lgicas, si nos sintiramos capaces de

decir algo definido respecto a ellas, deben ser tratadas como partes dellenguaje, no como partes a las que se refiere el lenguaje. De este modo,la Lgica resulta ser mucho ms lingstica de lo que la crea en lapoca en que escrib los P r i n c i p i o s . Aun ser;'* cierto que en la expre-sin verbal o simblica de las proposiciones lgicas no se presentanconstantes, salvo las lgicas; pero no ser cierto qne estas constantes

lgicas son nombres de objetos, como intenta serlo Scrates.Por lo tanto, definir la Lgica, o la Matemtica, no es fcil en abso-luto, excepto en relacin a algn conjunto dado de premisas. Una

premisa lgica debe tener ciertas caractersticas que puedan definirse:debe poseer una generalidad completa, en el sentido de que no men-cione una cosa o cualidad particular; y debe ser verdadera en virtudde su forma. Dado un conjunto definido de premisas lgicas, podemosdefinir la Lgica, en relacin con ellas, como todo lo que ellas nosperm iten demostrar. Pero 1) es difcil decir qu es lo que hace una

proposicin verdadera en virtud de su forma; 2) es difcil ver cualquiercamino que nos sirva para probar que el sistema resultante de unconjunto dado de premisas es completo, en el sentido de comprendertodo lo que quisiramos que incluya entre las proposiciones lgicas.Respecto a este segundo punto, se ha acostumbrado a aceptar laLgica y la Matemtica corriente como un dato, y a buscar el mnimode premisas con las que puede construirse ese dato. Pero cuandosurge la duda como ha surgido respecto a la validez de ciertaspartes de la M atemtica, este mtodo no nos perm ite dilucidarla .

Parece evidente que debe de existir algn mtodo, para definir laLgica adems del que se refiere a la relacin con un lenguaje lgicoparticular. La caracte rs tic a fundam enta l de la Lgica es, manifies-tamente, la que se halla indicada cuando decimos que las proposicio-nes lgicas son verdaderas en virtud de su forma. El problema de lademostrabilidad no halla cabida aqu, ya que cada proposicin que enun sistema se deduce de acuerdo a las premisas puede, en otro siste-ma, ser to m ada como premisa. Si la proposicin es complicada, estoresulta inconveniente, pero no imposible. Todas las proposiciones de-

mostrables en cualquier sistema lgico admisible deben compartir conlas premisas la propiedad de ser verdaderas en virtud de su forma,y todas las proposiciones que son verdaderas en virtud de su formadeben incluirse en cualquier Lgica adecuada. A lg unos escritores,por ejemplo Cam ap en su Sintaxis lgica del lenguaje, t ratan todo el


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la serie misma tendra un nmero ordinal mayor que cualquier tr-mino de la serie, es decir, mayor que cualquier nmero ordinal.

La segunda contradiccin, la que se refiere al cardinal mximo,tiene el mrito de mostrar en forma particularmente evidente la ne-cesidad de una teora de los tipos. Sabemos, de acuerdo con la Arit-mtica elemental, que el nmero de combinaciones de n objetos, to-mados simultneamente en cualquier nmero de elementos, es iguala 2", es decir, que una clase de n trminos tiene 2n subclases. Podemos

probar la validez de esta expresin cuando n se hace igual a infinito.Y Cantor prob que 2n es siempre mayor que n. Por lo tanto no puedohaber cardinal mximo. Aun se podra supoaer que la clase que locontieno todo tendra el mximo nmero posible de trminos. Perocomo el nmero de clases de cosas excede el nmero de cosas, clara-

mente las clases de cosas no son cosas. (Explicar brevemente lo quequiere decir esto.)

De las contradicciones evidentemente lgicas se discute una en elcaptulo X: en el grupo lingstico la ms famosa, la del mentiroso,fue inventada por los griegos. Es la siguiente: Supongamos que unhombre dice: Estoy mintiendo. Si miente, su afirmacin es cierta, ypor lo tan to no est mintiendo; si no miente, entonces, cuando diceque miente, est mintiendo. As cualquier hiptesis implica su con-tradictoria.

En realidad, las contradicciones matemticas y las lgicas no sondistinguibles, como es fcil imaginar; pero en el grupo lingstico, deacuerdo con Ramsey (:), puede resolverse por las que pueden llamarse,en sentido amplio, consideraciones lingsticas. Se distinguen delgrupo lgico por el hecho de que introducen nociones empricas, talescomo las de que alguien afirma o piensa; y como estas nociones noson lgicas, es posible argumentar que dependen de consideracionesdistintas a las lgicas. Esto hace posible una gran simplificacin dela teora de los tipos, la que, tal cual surge de la discusin de Ramsey,

deja por completo de parecer poco plausible o artificial o simple hi-ptesis ad hoc destinada a evitar las contradicciones.La esencia tcnica de la teora de los tipos es simplemente la si-

guiente: Dada una funcin proposicional 9 r de la que son verdade-ros todos los valores, existen expresiones que no es legtimo sustituiren el lugar do


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cipio general es simplemente na forma ms precisa de uno que siem-pre se ha reconocido. En la Lgica convencional clsica se acostum -braba a sealar que un conju nto de palabras, tal como la v irtud estriangular, no es ni verdadero ni falso, pero no se haca ninguna ten-tativa para llegar a un conjunto definido de reglas que decidieran siuna serie dada de palabras tena o no significado. A esto tiende lateora de los tipos. As, por ejemplo, antes dije que las clases de cosasno son cosas. Esto quiere decir: Si x es un miembro de la clase a,es una proposicin, y '? x es una proposicin, en tonces 'cp a no esuna proposicin, sino una coleccin ininteligible de smbolos.

Existen an muchas cuestiones discutibles en Lgica matemtica,las que no trat de resolver en las pginas anteriores. Slo lie mencio-nado aquellos temas que, en mi opinin, han progresado en forma de-

finitiva desde que he escrito los P r i n c i p i o s . En general, creo an quoeste libro tiene razn cuando se halla en desacuerdo con lo que soha sostenido anteriormente, pero en lo que coincide con las teorasanteriores puede estar equivocado. Los cambios en Filosofa que meparecen necesarios se deben en p arte a los progresos tcnicos do laLgica matemtica en el intervalo de treinta y cuatro aos, que hansimplificado el aparato de las proposiciones e ideas primitivas, y quehan eliminado muchas entidades aparentes, tales como clases, puntose instantes. En general, el resultado es una visin menos platnica,

o menos realista en el sentido medieval de la palabra. Hasta dndees posible seguir en direccin del nominalismo, es, por el momento, ami parecer, una cuestin no resuelta, pero, tenga o no solucin, slopuede lograrse por medio de la Lgica m atem tica.


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PR EF A CIO

E l presente trabajo tiene dos propsitos esenciales. Uno de ellos, laprueba de que toda la Matemtica pura trabaja exclusivamente con conceptos definibles en funcin de un nmero muy pequeo de conceptoslgicos fundamentales, y de que todas las proposiciones se pueden deducir de un nmero muy pequeo de principios lgicos fundamentales,se halla encarado en las partes I I - V I I de este volumen y se establecer

por razonamiento simblico estricto en el volumen I I . S i no me equivoco,la demostracin de esta tesis tiene toda la certeza y precisin de que son

posibles las demostraciones matemticas. Como la tesis es m uy recienteentre los matemticos, y es casi universalmente negada por los filsofos, he encarado en este volumen la defensa de sus diferentes partes, a medida que se presente ocasin para ello, contra teoras tan adversas como parecen ser las ms ampliamente sostenidas o las ms difciles de refular.Tambin he tratado de presentar, en el lenguaje menos tcnico posible,las etapas ms importantes en las deducciones que sirven para establecerla tesis.

El otro objeto de este libro, que ocupa la parte I, es la explicacin de los conceptos fundamentales que la Matemtica acepta como indefi

nibles. ste es un trabajo puramente filosfico, y no me puedo jactarde haber hecho ms de lo indicado en un vasto campo de investigacin,y de dar un ejemplo de los mtodos por los que se puede llevar la investigacin. La discusin de los indefinibles que constituye la parte principal de la Lgica matemtica es el esfuerzo para ver claramente y mostrar a los dems con claridad las entidades con las que se trabaja,

para que la mente pueda tener una especie de conocimiento con ellas, talcomo el que tiene con lo rojizo o con el sabor del anan. Donde, como enel caso presente, los indefinibles se obtienen principalmente como el residuo necesario de un progreso de anlisis, a menudo es ms fcil saberque deben existir tales entidade que percibirlas; existe un proceso anlogoal que se present en el descubrimiento de Neptuno, con la diferencia deque la. etapa final la bsqueda con m > telescopio mental de la entidad


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que se ha inferido resulta ser a menudo la parte- ms difcil de la empresa. E n el caso de las clases, debo confesarlo, he fracasado en la 'percepcin de cualquier concepto que llenara las condiciones requeridas por lanocin de clase. Y la contradiccin que se discute en el captulo X muestra

que hay algo falso, pero hasta ahora no he podido descubrirlo.El segundo volumen, para el que he tenido la inmensa suerte de asegurarme la colaboracin de Mr. A. N. Whitehead, ser dedicado exclusivamente a los matemticos; contendr cadenas de deducciones, desde laspremisas de la T/>gica simblica a travs de la Aritm tica, finita e in finita, hasta la Geometra, siguieTido un orden semejante al adoptado enel presente volumen; tendr tambin varios desarrollos originales, en losque el mtodo del profesor Peano, auxiliado ]x>r la Ilgica de. relaciones,ha demostrado ser un poderoso instrumento de investigacin matemtica.El presente volumen, que puede considerarse como comentario o introduccin al segundo, se halla dedicado iguahnente al filsofo y al matemtico;pero ciertas partes sern ms interesantes para el uno, y otras para elotro. Debo advertir a los matemticos que a menos de que tengan u n inters especial en la Lgica simblica, comiencen por la parte IV , y slose dediquen a las anteriores cuando ello sea necesario. Las partes siguientes son las ms filosficas: parte I (salvo el captulo IIjiparte II, captulos X I, X V, X V I, X V I I I ; parte I I I ; parte TV, 207, captulos X X V I , X X V11, X X X I ; parte V, captulos X L 1, X L I1, X L I I I ; parte V I, captulos L , L I I ; parte VI I , captulos L i l i , L I V , L V , L V I1, L V I I I ; y

los dos apndices, que pertenecen a la parte I, y que deben leerse en relacin con ella. El trabajo del profesor Frege, que se anticipara en mucho al mo, me era desconocido en su mayor parte cuando comenz la impresin de la presente obra; he visto sus Grund Gesetze der Arithmetik, pero debido a la gran dificultad de su simbolismo no he alcanzado a comprendersu importancia,, y a entender sus conceptos. La nica forma,, en una etapa avanzada, de hacer justicia a su trabajo era la de dedicarle un Apndice; y en algunos pasajes los puntos de vista contenidos en el Apndice difierende los del captulo VI, especialmente en los 71, 73 y 74 . En algunas

cuestiones discutidas en estas secciones he descubierto errores despus deimpresos los pliegos; estos errores, de los cuales los principales son lanegacin de la dase vaca, y la identificacin de un trmino con la clase de que es nico miembro, se hallan rectificados en los apndices. Lostemas tratados son tan difciles que siento poca confianza en mis opiniones presentes y considero todas las conclusiones que se pueden defender coinomeras hiptesis.

Unas pocas palabras acerca del origen de la obra presente servirnpara mostrar la importancia de los temas discutidos. Hace aproxim adamente unos seis aos comenc una investigacin en la filosofa de la Di-nmica. Me ha ante la dificultad de que, cuando una partcula se hallasometida a varias fuerzas, en realidad no tiene lugar ninguna de las aceleraciones compov^tes^ sino solamente la aceleracin reatante, de,


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la que no son 'partes; esto vuelve ilusoria tal casualidad de particularespor particulares como afirma a primera vista la ley de gravitacin. P arece tambin que la dificultad respecto al movimiento absoluto es insolu-ble en una teora relativa del espacio. Estos dos problemas me llevaron

a hacer un nuevo examen de los principios de la Geometra, de all a lafilosofa de la continuidad de la infinid ad, y de aj con el pro-psitode descubrir el significado de la palabra cualquier, a la Lgica simblica.El resultado final, respecto a la filosofa de la Dinmica, es quiz demasiado insignificante; la razn de que suceda esto es la de que casi todoslos problemas de la Dinmica me parecen empricos, y por lo tanto fueradel plan de un trabajo como el presente. Se han omitido muchas cuestionesmuy interesantes, especialmente en las partes VI y VII, debido a quecarecan de imqxrrtancia para mi propsito el que, por medio de una mala

interpretacin, creo que ser conveniente aclararlo.Cuando se cuentan los objetos reales, o cuando se aplican la Geometra o la Dinmica al espacio o la materia reales, o cuando, de cualquierotro modo, se aplica el razonamiento matemtico a lo que existe, el razonamiento que se emplea tiene una forma que no depende del que los ob- '

jetos a que se aplica sean9 justamente esos objetos particulare-S^.sinosolamente a que tienen ciertas propiedades generales. En Matemtica

pura nunca se tratar de objetos reales en el mundo en que existimos, sinoslo de objetos hipotticos que tienen esas propiedades generales de lasque depende cualquier deduccin que se est considerando; y esas propiedades generales siempre se podrn expresar en funcin de los objetos

fundamentales a los que he llamado constantes lgicas. As , cuando sehabla de espacio o de movimiento en Matemtica pura, no se mencionael espacio real o el movimiento real, tal como los conocemos en la experiencia, sino cualquier entidad que posea esas propiedades abstractas generales del espacio o del movimiento, tales como se emplean en los razonamientos de Geometra o de Dinmica. El problema de la comprobacinacerca de si esas propiedades pertenecen o no al espacio real o al movimiento real es absurdo para la Matemtica pura, y por lo tanto no corresponde tratarlo en la obra presente, siendo, en mi opinin, una cuestinpuramente emprica, apropiada para investigar en el laboratorio o enel observatorio. Es cierto que, indirectamente, las discusiones relacionadas con la Matemtica pura guardan una dependencia muy importantecon tales cuestiones empricas, ya que muchos, quiz la mayora, de los

filsofos sostienen que el espacio y el movimiento son contradictorios ens, y por lo tanto necesariamente diferentes del espacio y movimientos reales, mientras que, si los puntos de vista defendidos en las pg ina s siguientes son verdaderos, no se presentan tales contradicciones en el espacio ymovimiento matemticos. Pero las consideraciones eztramatemticas deeste tipo han sido casi complejamente excluidas del trabajo presente.

En los problemas fundamentales de la Filosofa mi posicin, en todossus aspectos, deriva de la de Mr. G. E. Moore. He aceptado de l la


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naturaleza no existencia! de las proposiciones (excepto de cuqueJlas que,expresan justamente existencia) y su independencia de cualquier menteconsciente; y tambin el pluralismo que considera al mundo, tanto el delo existente como el de las entidades, como compuesto de un nmero in

finito de entidades independientes entre s, con relaciones ltim as y noreducidles a adjetivos de sus trminos o del todo que ellas componen.Antes de estudiar estos puntos de vista me consideraba totalmente incapaz de construir cualquier filosofa de la Aritmtica, mientras que suaceptacin trajo aparejada una liberacin inmediata de un gran nmerode dificultades que si no hubiera considerado insuperables. En mi opinin, las doctrinas que aqu menciono son completamente indispensablespara cualquier filosofa de la Mateintica aun tolerablemente satisfactoria,como creo que las pginas siguientes podrn demostrar. Pero debo dejar

a mis lectores el juicio de hasta qu punto el razonamiento admite esasdoctrinas y hasta qu punto las sostiene. Formalmente, mis premisas seadmiten simplemente, pero el hecho de que permitan que la Matemtica sea verdadera, lo que no hacen la mayora de las filosofas corrientes, esseguramente un poderoso argumento en su favor.

En Matemtica mis obligaciones principales son, como resulta evidente, para Jorge Cantor y el profesor Peano. Si hubiese conocido conanterioridad el trabajo del profesor Frege le hubiera debido mucho, pero tal como me han sucedido los hechos he llegado independientemente amuchos resultados que l ya haba establecido. En cada etapa de mi trabajo he sido ayudado en ms de lo que se puede expresar por las sugestiones,crtica y generoso estmulo de Mr. A. N. Whitehead, quien tambin ha tenido la bondad de leer mis pruebas, y ha mejorado enormemente la expresin final de un gran nmero de pasajes. Debo tambin muchas sugerencias muy tiles a Air. JV. E. Johnson; y en las partes ms filosficas del libro mucho debo a Mr. G. E. Moore, adems de la posicin general aceptada en toda la obra.

Para poder cubrir un campo tan amplio ha sido imposible adquirirun conocimiento exhaustivo de toda la literatura. Seguramente hay muchos trabajos importantes que no conozco; pero donde el trabajo de pensary escribir absorbe necesariamente tanto tiempo tal ignorancia, aunquelamentable, no parece ser completamente imperdonable.

En el curso de la discusin se encontrarn muchas palabras definidas en sentidos aparentemente muy distintos a los del uso comn. Tales diferencias, y pido al lector que as lo crea, nunca son arbitrarias, sino que se han llevado a cabo con mucha precaucin. En los puntos filosficos se han necesitado debido a dos causas. En primer lugar, a menudo sucede que dos nociones relacionadas deben considerarse al mismo tiempo, y que el lenguaje tiene dos nombres para la una, y ninguno para la otra.Entonces resulta completamente conveniente distinguir entre los dos nombres comnmente usados como sinnimos, tomando el uno para el significado usual del trmino y el otro para el hasta entonces carente de nombre.


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LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMTICA 23:i

La otra causa surge de la discrepancia filosfica con los puntos de vista comunes. Cuando se supone comnmente que dos cualidades se hallan inseparablemente unidas ,pero aqu se las considera separables, el nombre a plicado a su combinacin deber restringirse generalmente a una u'otra de

ellas. Por ejemplo, se considera generalmente a las jrroposiciones como 1)verdaderas o falsas, 2) mentales. Sosteniendo, como lo hago, que loque esverdadero o falso en general no es mental, necesito un nombre para loverdadero o falso como tal, y este nombre apenas puede ser otro que pro-

posicin. En tal caso, la desviacin del uso no es arbitraria en absoluto.Respecto a los trminos matemticos la necesidad de establecer el teoremade existencia en cada casoes decir, la demostracin de que existen entidades del tipo en cuestin me ha llevado a muchas definiciohes que,parecen m uy diferentes de las nociones generalmente unidas a los trmi

nos considerados. Ejemplo de esto son las definiciones de nmeros cardinales, ordinales y complejos. En los dos primeros casos, y en muchosotros, la definicin de una clase, derivada del principio de abstraccin, se recomienda principalmente por el hecho de que no deja duda espertoal teorema de existencia. Pero en muchos casos de una tal discrepanciacon el uso, puede dudarse acerca de si se ha hecho ms que dar precisina una nocin hasta entonces ms o menos vaga.

M i defensa por la publicacin de un libro que contiene, tantas di ficultades sin resolver es la de que la investigacin no me fui revelqdo un medio inmediato para resolver adecuadamente la contradiccin discutida en el captulo X, o para adquirir una visin mejor acerca de la naturaleza de las clases. El descubrimiento repetido de errores en solucionesque durante un tiempo me han satisfecho hizo que estos problemas aparecieran como si slo se hubieran ocultado tras teoras aparentemente satisfactorias y que una reflexin un poco ms detenida habra des'chado,

or lo tanto parece mejor establecer simplemente las dificultades queesperar hasta haberme persuadido de la verdad de alguna doctrina casiciertamente errnea.

Agradezco a los sndicos de la University Press, y a su secretario,Mr. R. T. Wright, su amabilidad y cortesa respecto a este volumen.

Londres, diciembre, 1902,


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CAPTULO I

DEFINICIN DE MATEMTICA PURA

1. M a t e m t i c a pura es la clase de todas las proposiciones de laforma p implica q, donde p y q son proposiciones que contienen unao ms variables, las mismas en ambas proposiciones, y ni pni q contie-nen constante alguna, excepto las constantes lgicas. Y las constanteslgicas son todas nociones definibles en funcin de lo siguiente: Impli-cacin, la relacin do un trmino a una clase de la que es miembro, la

nocin detal que,

la nocin de relacin, y otras nociones tales quepuedan hallarse involucradas en la nocin general de proposicionesde la forma anterior. Adems de ellas, la Matemtica usa una nocinque no forma parte de las proposiciones que considera, la nocin deverdad.

2. La definicin an terio r de M atem tica pura es, sin duda , algorara. Sin embargo, sus diferentes partes parecen susceptibles de justi-ficacin exacta justificacin que ser el objeto del presente trabajo.Se mostrar que todo lo que se ha considerado en el pasado comoMatemtica pura se halia incluido en nuestra definicin, y que todolo que adems se incluye posee esas caractersticas por las cuales laMatemtica se distingue, comn, aunque vagamente, de otras dis-ciplinas. La definicin no trata de ser una decisin arbitraria parausar una palabra comn con un significado no comn, sino ms bienun anlisis preciso de las ideas que, ms o menos inconscientemente,se hallan implicadas en el empleo vulgar del trmino. Por lo tanto,nuestro mtodo ser analtico, y nuestro problema puede llamarsefilosfico es decir, en el sentido de que intentaremos pasar de locomplejo a lo simple, de lo demostrable a sus premisas indemos-trables. Pero en cierto y determinado sentido no pocas de nuestrasdiscusiones diferirn de las fc[ue reciben generalmente el nombre defilosficas. Podremos, gracias a la labor de los mismos matemticos,alcanzar la certeza en la consideracin de la mayora de las cuestiones


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a las que nos referiremos; y entre las que son susceptibles de unasolucin exacta, encontraremos muchos de los problemas que, en elpasado, se vieron envueltos en toda la incertidum bre tradic ional delas discusiones filosficas. La naturaleza del numero, del infinito, delespacio, tiempo y movimiento, y de la misma inferencia matemtica,son todas cuestiones a las que en el trabajo presente se dar unarespuesta que tratar de ser demostrable con certeza matemtica

esta respuesta slo consiste en reducir los problemas anterio resa problemas de Lgica pura, los que no se hallarn satisfactoria-mente resueltos en lo que sigue.

3. La filosofa de la M atem tica ha sido ha sta el presente tandiscutida, oscura y estacionaria como las otras ramas de la Filosofa.Aunque se coincida generalmente en que la Matemtica es verdaderaen cierto sentido, los filsofos disputaban acerca del significado real

de las proposiciones matemticas: aunque algo era verdadero, nadiese pona de acuerdo sobre qu es lo que era verdadero; aunque sosaba algo, nadie tena noticia de qu es lo que se saba. Pero mien-tras persistiera esta duda apenas se podra decir quo la Matemticallegara a lograr algn conocimiento cierto y exacto. De acuerdo conesto encontramos que los idealistas tendan ms y ms a considerarque toda la Matemtica trabajaba con meras apariencias, mientrasque los empricos sostenan que todo lo matemtico era una aproxi-macin a cierta verdad exacta sobre lo que nada tenan que decirnos.

Debemos confesar que este estado de cosas era completamente in-grato. La Filosofa preguntaba a la Matemtica: Qu quiere decir?En el pasado, la Matemtica no poda contestar, y la Filosofa res-ponda in troduciendo la nocin com ple tam ente desacertada de mente .Pero en la actualidad, la M atem tica puede contes tar por lo menoshasta el punto de reducir todas sus proposiciones a ciertas nocionesfundamentales de Lgica. En este punto la discusin debe ser reto-mada por la Filosofa. Procurar indicar cules son las nocionesfundamentales involucradas, probar detalladamente que no figuran

otras en Matemtica, y sealar brevemente las dificultades filosficasinvo lucradas en el anlisis de es tas nociones,s Un desarrollo completode estas dificultades requerira un tratado de Lgica, lo que no sehallar en las pginas siguientes.

4 . H as ta hace poco exista una dificultad especial en los princ i-pios de la M atem tica. Pareca evid ente que la M atem tica estformada por deducciones, y sin embargo los clculos ortodoxos de ladeduccin eran casi total o totalmente inaplicables a la Matemtioaexistente. No slo la teora silogstica aristotlica, sino tambin las

doctrinas modernas de la Lgica simblica, eran o tericamente ina-decuadas para el razonamiento matemtico, o por lo menos requeranformas tan artificiales de formulacin que apenas podan aplicarseprcticam ente. E n esto se basa la fuerza del punto de vista kantiano,


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que asegura que el razonamiento matemtico no es estrictamenteformal sino que siempre usa intuiciones, es decir, el conocimientoa priori del tiempo, y del espacio. Gracias al progreso de la Lgicasimblica, especialmente tal cual la trata el profesor Peano, puede

darse ahora refutacin final e irrevocable a esta parte de la filosofakantiana. Con la ayuda de diez principios de deduccin y de otrasdiez premisas de naturaleza lgica general (por ejemplo, la implica-cin es una relacin) puede deducirse toda la matemtica estricta yformalmente, y todas las entidades que figuran en Matemtica pue-den definirse en funcin de las que figuran en las veinte premisasanteriores. Bajo esta formulacin la Matemtica no slo incluye laAritmtica y el Anlisis, sino tambin la Geometra, euclidiana ynoeuclidiana. La Dinmica racional y un nmero indefinido de otros

estudios aun no comenzados o en su infancia. El hecho de que toda laMatemtica sea Lgica simblica es uno de los descubrimientos msimportantes de nuestro tiempo; y una vez establecido este hecho, loque queda de los principios de la Matemtica consiste en el anlisisde la propia Lgica simblica.

5. La do ctrina general de que toda la M atem tica es deduccinpor princip ios lgicos a p artir de princip ios lgicos, fue ardientem entedefendida por Leibniz, quien arga constantemente que los axiomasdeben probarse y cjue todo debe definirse excepto unas pocas nociones

fundamentales. Pero en parte debido a una Lgica defectuosa, en partea la creencia en la necesidad lgica de la Geometra euclidiana, lleg acometer errores desafortunados en la tentativa de desarrollar en de-talle un punto de vista que, en general, se considera actualmentecorrecto (x). Por ejemplo, las proposiciones de Euclides no se deducensolamente de los principios de la Lgica; y la percepcin de estehecho llev a K an t a sus innovaciones en la teora del conocimiento.Pero desde el desarrollo de la Geometra noeuclidiana result ma-nifiesto que la Matemtica pura no tiene ninguna relacin con elproblem a de si los axiomas y proposiciones de Euclides valen o 110para el espacio real: ste es un problema del dominio de la M atemticaaplicada, que debe decidirse, hasta el punto en que es posible cualquierdecisin, por medio de experimentos y observaciones. Lo que la.Matemtica pura asevera es simplemente que las proposiciones euclidianas se deducen de los axiomas euclidianos es decir, afirma unaimplicacin: cualquier espacio que tiene tales y tales propiedades,posee tam bin ta les y ta le s o tras. As, m ientras nos hallamos en elcampo de la Matemtica pura, las Geometras euclidianas y noeuclidianas son igualmente verdaderas: en cada una de ellas no seafirma nada salvo implicaciones. Todas las proposiciones que se re-fieren a lo que existe realmente, como el espacio en el que vivimos,

(l) Acerca do este tem a, vase C ou tura t,La Logique de Leibn iz, Pars, 1901,


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tantes, porque esas frases no denotan un objeto definido, y por ellolos que reciben el nombre de parmetros son simplemente variables.Tomemos, por ejemplo, la ecuacin ax f by + c 0 , consideradacomo ecuacin de una lnea recta en el plano. Aqu decimos que x e

y son variables, mientras a, b y c, son constantes. Pero a menos quenos refiramos a una lnea absolutamente particular, por ejemplo lalnea de un punto particular en Londres a un punto particular enCambridge, nuestros a, b, c, no sern nmeros definidos, sino que re-

presentarn nmeros cualesquiera, y por lo tanto son variables. Y enGeometra nadie trabaja con lneas realmente particulares; siemprediscutimos cualquier lnea. El hecho es que agrupamos las diferentescuplas parejas x, y, en clases de clases, definindose cada clasecomo las cuplas que guardan cierta relacin fija respecto a una tra:

da (a, b, c). Pero de clase a clase a, b, c, tambin varan, y por lotanto son, en realidad, variables.7. En M atemtica se acostum bra a considerar nuestras varia -

bles como restr ingidas a cie rta s clases: E n Aritm tica, por ejemplo,se supone que representan nmeros. Pero esto slo significa que sirepresentan nmeros, satisfacen alguna frmula, es decir, la hiptesisde que son nmeros implica la frmula. Es esto entonces lo que enrealidad se afirma, y en nuestra proposicin ya no es ms necesarioque nuestras variables sean nmeros: la implicacin vale igualmente

cuando no lo son. As, por ejemplo, la proposicin


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Algunas hiptesis sobre x, por ejemplo, x es griego, aseguran laverdad de x es un hombre; en consecuencia x es griego implicax es un hombre, lo que vale para todos los valores de x. Pero estaafirmacin no pertenece a la Matemtica pura, porque depende do la

naturaleza particular do griego y hombre. Pero podemos cambiartambin esto, y tendremos: Si o y b son clases, y a se halla contenidaen b, entonces x es un a implica x es un 6. Aqu tenemos por finuna proposicin de Matemtica pura, que contiene tres variables yl


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tipo de relaciones como una clase de relaciones definida por algunapropiedad definible solamente en funcin de constantes lgicas.

9. As la M atem tica pura no debe con tener indefinibles, exceptolas constantes lgicas, y en consecuencia ni premisas ni proposiciones

indemostrables salvo las que se refieren exclusivamente a las constan-tes lgicas y a las variables. Es precisamente esto lo que distingue laMatemtica pura de la aplicada. En Matemtica aplicada los resulta-dos, respecto a una variable que la Matemtica pura demostrara sededucen de alguna hiptesis, se afirman realmente de cierta constanteque satisface la hiptesis en cuestin. Los trminos que eran variablesse transforman en constantes, y siempre se necesita una nueva pre-misa, a saber: esta entidad particular satisface la hiptesis en cuestin.As, por ejemplo, la Geometra euclidiana, como rama de la Matem-

tica pura, est formada enteramente por proposiciones que contienenla hiptesis S es un espacio euclidiano. Si agregamos: El espacioque existe es euclidiano, esto nos permite asegurar acerca del espacioexistente las consecuencias de todas las hiptesis que constituyen laGeom etra euclidiana, en que aho ra se reemplaza por la constan teespacio real. Pero con este paso vamos de la Matemtica pura a laaplicada.

10. La conexin de la M atem tica con la Lgica, de acuerdo alo dicho anteriormente, es excesivamente estrecha. El hecho de que

todas las constan tes m atem ticas son constan tes lgicas, y de que todaslas premisas de la M atem tica se hallan relacionadas con ellas, da, creo,la formulacin precisa de lo que los ilsofos queran decir al asegurarque la Matemtica es a priori. El hecho es que, una vez que ha sidoaceptado el aparato lgico, se deduce necesariamente toda la Matem-tica. Las mismas constantes lgicas deben definirse solamente por enu-meracin, porque son tan fundamentales que todas las propiedades

por las cuales debe definirse su clase presuponen algunos t rm in os dela clase. Pero, prcticamente, el mtodo para descubrir las constantes

lgicas consiste en el anlisis de la Lgica simblica, que ser el objetode los prximos captulos. La distincin entre Matemtica y Lgicaes muy arbitraria, pero si se desea una diferencia, debe formularsedel modo siguiente: La Lgica est formada por las premisas de laMatemtica, junto con todas las proposiciones que se refieren exclusi-vamente a las constantes lgicas y a las variables, pero que no cum-

plen la definicin anterior de M atem tica ( 1). La M atem tica con-siste en todas las consecuencias de las premisas anteriores que afirmanimplicaciones formales que contienen variables, junto a aquellas de

las premisas mismas que presentan estos rasgos. As, algunas de laspremisas de la M atem tica, por ejemplo, el princip io del silogismo,si p implica q y q implica r )( entonces p implica r, pertenecern a laMatemtica, mientras que otras, tales como la implicacin es unarelacin pertenecern a la Lgica, pero no a la Matemtica. Mas con

L o 8 p r i n c i p i o s d e l M a t e m t i c a . 8


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el fin de adherirnos al uso comn debemos identificar la Matemticacon la Lgica, y definir ambas como la clase de las proposiciones quecontienen solamente variables y constantes lgicas; pero el respeto por

la tradicin me impulsa ms bien a adherirme a la distincin anterior,aunque reconociendo que ciertas proposiciones pertenecen a ambasciencias.

De lo dicho hasta ahora, el lector podr apreciar que el trabajopresente debe cumplir con dos fines: prim ero , dem ostrar que toda laMatemtica se deduce de la Lgica simblica, y segundo, descubrir,mientras ello sea posible, cules son los principios de la Lgica misma.El primero de estos fines ser tema para las partes siguientes, mien-tras que el segundo pertenece a la parte I. Y, en primer lugar, como

preliminar a un anlisis crtico, ser necesario dar un bosquejo deLgica simblica considerada simplemente como una rama de la Ma-temtica. ste ser el tema del captulo siguiente.


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CAPTULO n

LGICA SIMBLICA

11. La Lgica simblica o fo rm a l usar estos trminos comosinnimos es el estudio do los diferentes tipos generales de deduc-cin. La palabra simblica designa el sujeto por una caractersticaaccidental, pues el empleo de smbolos matemticos, aqu como encualquier otra parte, es simplemente una comodidad tericamente sinimportancia. El silogismo, bajo todos sus aspectos, pertenece a la L-gica simblica, y constituira todo su objeto si toda deduccin fuerasilogstica, como lo supone la tradicin escolstica. Es por el reconoci-miento de inferencias asilogsticas por lo que la Lgica simblica mo-derna, desde Leibniz en adelante, ha derivado el camino para progre-

sar. Desde la publicacin de las Leyes del pensamiento, de Boole (1854),se ha investigado el tema con cierta intensidad, y se ha logrado undesarrollo tcnico muy grande ('). Sin embargo el progreso logrado notuvo casi utilidad alguna para la Lgica ni para ninguna otra ramade la Matemtica, hasta que fue transformado por los nuevos mtodosdel profesor Peano (2). La Lgica simblica no slo ha llegado a serabsolutamente esencial para todo lgico filosfico, sino tambin neceTsaria para la comprensin general de la Matemtica, y aun para l

prctica con xito de cie rta s ram as de la M atem tica. Lo til queresulta en la prctica slo puede ser juzgado por aquellos que han;

sentido el aumento de poder derivado de su adquisicin; sus funcionestericas sern expuestas brevemente en el captulo presente (3).

() Desde todo pu nto de vista se ha llar la noticia ms com pleta de losmtodos diferentes al de Pe ano en los tres vo lmen es de Schrder, Vorle&ungerber die Algebra der Logik, Leipzig, 1890, 1891, 1895.

(a) Vase Formulaire de Mathemaiques, Turn, 1895, con ediciones sub-siguientes en aos posteriores; tambin Revue de Mathmaliques, vol . VII,nm ero 1 (1900). L as edicione s del Formulaire sern ci tadas como F . 1895, yas sucesivamente, la Reime de Malhmatvques, que fuera or iginar iamente laRivisla di Matematica, ser ci tada como R. di M .

(8) En lo que sigue, los punco s princ ipales se deb en al pro fesor Pe ano ,excepto en lo que respecta a relaciones; aun en los casos en que no compartob u s p un tos de v ista , los p roble m as consid erados m e h an sid o sugeridos porsus trabajos.


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13. El sujeto de la Lgica simblica est formado por tres partes:el clculo de proposiciones, el clculo de clases, y el clculo de relacio-nes. Entre los dos primeros existe, dentro de ciertos lmites, un cierto

paralelism o, que se presenta del modo siguiente: E n cualq uier ex-presin sim blica las letras pueden interpretarse como clases o comoproposiciones, y la relacin de inclusin en un caso puede reem pla-zarse por la de implicacin formal en el otro. As!, por ejemplo, en elprincipio del silogismo, si a, b, c son clases, y a se halla contenidaen b, b en c, entonces a se halla contenida en c; pero si a, 6, c son pro-

posiciones, y a implica, b, b implica c, entonces a implica c. Se ha usadomucho esta du alidad, y en las ltim as ediciones de su formulario,Peano parece haber sacrificado la precisin lgica para conservarla (').

Pero, en realidad, el clculo de proposiciones difiere bajo muchos as-pectos del de clases. Consideremos, por ejemplo, el siguiente : Si p,q, r son proposiciones, y p implica q o r, entonces p implica q o p im -plica r. E sta proposicin es verdadera, pero su correlativa es falsa,a saber: Si a, b, c son clases, y a se halla contenida en b o c, entoncesa se halla contenida en 6 o a se halla contenida en c.>i Por ejemplo,en el pueblo ingls todos son hombres o mujeres, pero no todos sonhombres ni todos mujeres. El hecho es que la dualidad vale paraproposiciones que aseguren que un t rm in o variable pertenece a una

clase, es decir, proposiciones tales como x es un hombre, siempreque la implicacin involuntaria sea formal, es decir, vlida para todoslos valores de x. Pero


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y proposiciones son ms fundamentales que la inclusin y clases; y enesta opinin coincido con l. Pero no me parece que logre adecuada-mente la distincin entre proposiciones genuinas y las que contienenuna variable real: as, se ve obligado a hablar de proposiciones como

verdaderas a veces y otras falsas, lo que por supuesto es imposible parauna proposicin genuina. Como la distincin involucrada reviste granimportancia, me ocupar de ella antes de seguir adelante. Una pro-posicin, podemos decir, es cualq uie r cosa que es verdadera o que esfalsa. Una expresin tal como x es un hombre no es por lo tanto una

proposicin, pues no es verdadera ni falsa. Si damos a x cualquiervalor constante, sea el que fuere, la expresin se transforma en unaproposicin: es algo as como una forma esquem tica que representaraa cualquiera entre toda una clase de proposiciones. Y cuando decimos

ex es un hombre implica x es mortal para todos los valores de xt, noafirmamos una implicacin singular, sino una clase de implicaciones;tenemos ahora una proposicin genuina en la que, aunque aparecela letra x, no existe una variable real: la variable se halla absorbidadel mismo modo que la x bajo el signo de integral en una integraldefinida, de modo que el resultado ya no es ms funcin de x. Peanodistingue a una variable que aparece de este modo como ajxirentc,ya que la proposicin no depende de la variable; mientras que enx es un hombre existen diferentes proposiciones para diferentes va-

lores de la variable, y la variable es lo que Peano llama real (').Hablar exclusivamente de proposiciones en las que no exista variablereal: donde existan una o ms variables reales, y para todos los valo-res de las variables la expresin involucrada sea una proposicin, lla-mar' a esa expresin uncin proposicional. En mi opinin es msfundamental el estudio de las proposiciones genuinas que el de clases;pero el estudio de las funciones proposicionales parece hallarse es-trictamente a la par con el de clases, y aun es apenas distinguible deaqul. Peano, como McCoil, considera primero las proposiciones comoms fundamentales que las clases, pero en forma an ms definidaconsidera a las funciones proposicionales ms que a las proposiciones.Schroder se halla exento de esta crtica: su segundo volumen se refierea las proposiciones genuinas y seala sus diferencias formales con lasclases.

A. El Clculo preposicional

14. El Clculo proposicional se carac teriz a por el hecho de quetodas sus proposiciones tienen como hiptesis y como consecuente laafirmacin de una implicacin material. Generalmente la hiptesis esde la fo rm a y> im plica pt>, etc., la que ( 16) es equivalente a la afirma

(') F . 1901, pg. 2.


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LOS PRINCIPIOS DE LA MATEMTICA 39

cin de que las letras que figuran en el consecuente son proposiciones.De este modo los consecuentes estn formados por funciones propo-sicionales que son verdaderaa para todas las proposiciones. Es impor-

tante observar que, aunque las letras empleadas son smbolos querepresentan variables, y los consecuentes son verdaderos cuando lasvariables reciben valores que son proposiciones, estos valores debenser proposiciones genuinas, no funciones proposicionales. La hiptesisp es una proposicin no se halla satisfecha si reemplazamos p porx es un hombre, [ero s si colocamos Scrates es un hombre o sicolocamos x es un hombre implica x es mortal para todos los valoresde x. Para abreviar, podemos decir que las proposiciones representa-das en este clculo por letras singulares son variables, pero no con-

tienen v ariab les es decir, en el caso en que se satis face la hiptesisde las proposiciones que afirma el clculo.15. Nuestro clculo es tud ia la relacin de implicacin entre pro-

posiciones. E sta relacin debe ser distinguida de la relacin de im pli-cacin formal, la que vale entre funciones proposicionales cuando launa implica la otra para todos los valores de la variable. La implica-cin formal se halla tambin involucrada en este clculo, pero no seestudia explcitamente: no consideramos funciones proposicionales engeneral, sino slo ciertas funciones proposicionales definidas que figu-ran en las proposiciones de nuestro clculo. Es un problema difcilel punto hasta el cual la implicacin formal es definible simplementeen funcin de la implicacin, o de la implicacin material como puedellamarse, y se discutir en el captulo III. Un ejemplo servir parademostrar la indiferencia que existe entre las dos. La quinta proposi-cin de Euclides se deduce de la cuarta: si la cuarta es verdadera, lomismo Buceder con la quinta, mientras que si la quinta es falsa, lomismo suceder con la cu arta . ste es un caso de implicacin m aterial,

pues ambas proposiciones son absolu tam ente constantes, no depen-diendo en su significado de que se le asigne un valor a una variable.Pero cada una de ellas establece una implicacin formal. La*cuarta es-tablece que si x e t/son tringulo que cumplen con ciertas condiciones,entonces x e y son tringulos que cumplen con ciertas otras condicio-nes, y esta implicacin vale para todos los valores de a: y de y; y laquinta establece que si a; es un tringulo issceles, x tiene iguales losngulos en la base. La implicacin formal involucrada en cada unade estas dos proposiciones es una cosa muy dife rente de la implicacinmaterial que existe entre dos proposiciones como todos; se necesitan

ambas nociones en el Clculo proposicional, pero es el estudio de laimplicacin material el que distingue especialmente este tema, porquela implicacin formal figura en el desarrollo de toda la Matemtica.

En los tratados de Lgica, se acostumbraba a confundir los dostipos de implicacin, y a m enudo a hallarse considerando rea lm ente laespecie formal cuando slo la espeoie material era aparentemente


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involucrada. Por ejemplo, cuando se dice que Scrates es un hombre,por lo tan to Scrates es mortal, Scra tes es sentido como variable; esun tipo de humanidad, y uno siente que cualquier otro hombre en sulugar sera lo mismo. Si en vez de 'por lo tanto, que implica la verdad

de hiptesis y consecuente, decimos Scrates es un hombre implicaScrates es mortal, parece a primera vista que podemos sustituir noslo otro hombre, sino cualquier otra entidad arbitraria en lugar deScrates. As, aunque lo que se establece explcitamente en tal casoes una implicacin material, lo que se quiere significar es una implica-cin formal; y se necesita algn esfuerzo para limitar nuestra imagi-nacin a la implicacin material.

16. Una definicin de implicacin es com ple tam ente imposible.Si p implica q, entonces si p es verdadero, q es verdadero, es decir,la verdad de p implica la verdad de q\ tambin si q es falso p es falso,

es decir, la falsedad de q implica la falsedad de p 1). De este modoverdad y falsedad nos dan simplemente nuevas implicaciones, no unadefinicin de implicacin. Si p implica q, entonces ambos son falsos oambos verdaderos, o p es falso y q verdadero; es imposible que q seafalso y p verdadero, y es necesario que q sea verdadero o p falso (2).De hecho, la asercin de que q es verdadero o p falso resulta ser eetrictamente equivalente a pim plica


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son proposiciones, su asercin conjunta es equivalente a decir que esverdadera toda proposicin tal que la primera implica que la segundala implica. No podemos formular, con correccin formal, nuestra de-finicin en esta forma ms breve, porque la hiptesis p y q son pro-

posiciones va es el producto lgico de p es una proposicin y q esuna proposicin. Ahora podemos formular los seis principios funda-mentales de inferencia, a cada uno de los cuales debe darse un nombre,debido a su importancia; de ellos todos, salvo el ltimo, se hallarnen las notas de Peano acerca de este tema. 5) Si p implica p y q im -plica q, entonces pq implica p. sta recibe el nombre de simplificacin, y afirma simplemente que la asercin conjunta de dos proposi-ciones implica la asercin de la primera de ellas. 6) Si p implica q y qimplica r, entonces p implica r. sta recibir el nombre de silogismo.

7) Si q implica q y r implica r, y si p implica que q implica r, entonces]>q implica r. ste es el principio de importacin. En la hiptesis tene-mos el producto de tres proposiciones; pero esto, por supuesto, puededefinirse por medio del producto de dos. El principio establece quesi p implica que q implica r, entonces r se deduce de la afirmacinconjunta de p y q. Por ejemplo: Si hablo a tal persona, entonces, siest en su casa, me recibir, implica: Si llamo a tal persona y si esten su casa, me recibir. 8) Si p implica p y q implica q, entonces, si]x implica r, p implica que q implica r. ste es recproco del principio

precedente y recibe el nombre de exportacin ('). El ejemplo anteriorinvertido servir para ilustrar este principio. 9) Si p implica q y pimplica r, entonces p implica qr: en otras palabras, una proposicinque implica a cada una de dos proposiciones, las implica a ambas.Este se llama principio de composicin. 10) Si p implica p y q implicaq, entonces 'p implica q implica p implica p. ste se llama principiode reduccin; es menos conveniente que los principios anteriores, peroes equivalente a muchas proposiciones que son evidentes por s mis-mas. Lo prefiero a ellas porque, como sus anteriores, se halla explci-

tamente relacionado con la implicacin, y tiene el mismo tipo de ca-rcter lgico que tienen aqullos. Si recordamos que p implica qes equivalente a q o nop, podemos convencemos fcilmente de queel principio anterior es verdadero; porque 'p implica q implica pes equivalente a p o la negacin de 'q o nop, es decir, a p o 'p yno-q, es decir a p. Pero este modo de persuadimos de que el prin-cipio de reduccin es verdadero comprende muchos principios lgicosque aun no han sido demostrados, y que no pueden demostrarse ex-cepto por reduccin o algo equivalente. El principio es especialmentetil en relacin con la negacin. Sin su ayuda, por medio de los nueve

(!) 7) y 8) (segn creo) no pue de n ded ucirse de la defin icin de pr o du ctolgico, porque se necesitan para pasar de Si p es una proposicin, entonces*g es una proposicin implica etc. a Si p y q son proposiciones, entonces eto,*


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primeros principios, podemos dem ostrar la ley de contradiccin; pode-mos demostrar, si p y 7 son proposiciones, que p implica nonop;que p implica no-


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podemos dem ostrar las leyes de contradiccin y del tercero excluidoy doble negacin, y establecer todas las propiedades formales de lamultiplicacin y suma lgicas las leyes asociativa, conmutativa ydistributiva. En consecuencia, la lgica de proposiciones est ahora

completa.Los filsofos objetarn las definiciones anteriores de disyuncin ynegacin basndose en que lo que queremos decir con estas nociones esalgo muy distinto al significado que les asignan las definiciones, y enque las equivalencias establecidas en las definiciones son, en realidad,proposiciones significativas y no simples indicaciones del modo en quedeben usarse los smbolos. Creo que tal objecin se halla bien fundadasi se invoca la consideracin anterior como dando un anlisis filosficoverdadero del tema. Pero cuando debe cumplirse con un propsito

puram ente form al, cualquier equivalencia en la que aparezca unacierta nocin de un lado, pero ninguna en el otro, servir de definicin.Y la ventaja de tener ante nosotros un desarrollo estrictamente formales la de que aporta los datos para el anlisis filosfico en una formams definida que la posible en otro modo. Por lo tanto, la crtica delprocedim iento de la Lgica form al se pospondr hasta que se dfin a estas breves consideraciones.

B. El Clculo de clases

20. En este Clculo existen m uchas menos proposiciones pr im iti-vas nuevas en realidad, dos parecen ser suficientes, pero existendificultades mucho mayores en el modo no simblico de exponer lasideas expresadas en nuestro simbolismo. Mientras sea posible sepospondrn estas dificultades para los captulos posteriores. Mientrastanto tratar de hacer una exposicin tan directa y simple como sea

posible.El Clculo de clases puede desarrollarse considerando como funda-

menta] la nocin de clase, y tambin la'relacin de un miembro deuna clase a su clase. El profesor Peano adopta este mtodo, y es quizfilosficamente ms correcto que un mtodo distinto que, debido a fi-nes formales, he hallado ms conveniente. En el mismo tomamosan como fundamental la relacin (que siguiendo a Peano indicarcon e) de un individuo con la clase a la que pertenece, es decir, larelacin de Scrates a la raza hum ana , que se halla expresada diciendoque Scrates es un hombre. Adems de esto, tomamos como indefi-nibles la nocin de una funcin proposicional y la nocin de tal que.

inferencia justificada por leus premisas de Lewis Carroll os la de que si p esverdadera , g debe ser falsa, es decir, que p implica no-q; y eta es la conclusinque el sentido comn habra deducido en el caso que so discute.


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Son estas tres nociones las que caracterizan el Clculo de clases.Debemos decir algo para explicar cada una de ellas.

21 . La insis tenc ia en la distincin en tre e y la relacin de todo yparte entre clases se debe a Peano y reviste una im portancia muy

grande para todo el desarrollo tcnico y para la totalidad de lasaplicaciones a la Matemtica. En la doctrina escolstica del silogismo,y en toda la Lgica simblica anterior, se confunden las dos relaciones,excepto en el trabajo de Frege (1). La distincin es la misma que laque existe entre la relacin del individuo con la especie y la de la es-

pecie con el gnero, entro la relacin de Scrates con la clase de losgriegos y la relacin de los griegos con los hombres. Ampliar ia na-turaleza filosfica de esta distincin cuando me refiera crticamentea la naturaleza de las clases; por el momento ser suficiente sealarque la relacin del todo a la parte es transitiva, mientras que con e nosucede lo mismo; podemos decir: Scrates es 1111 hom bre, y los hom bresson una clase, pero no Scrates es una clase. Debe observarse que laclase debe distinguirse del conceptoclase o predicado por medio delcual debe definirse: as, los hombres son una clase, mientras quehombre es un conceptoclase. La relacin e debe considerarse vlidaentre Scrates y los hombres considerados colectivamente, no entreScrates y hombre. En el captulo VI volver a tratar este punto.Peano sostiene que todas las funciones proposicionales que contienenuna sola variable son susceptibles de expresarse bajo la forma .r es

un a, donde a es una clase constante; pero hallaremos razones paradudar de este punto de vista.22. La nocin fun dam ental siguiente es la de funcin proposicio-

nal. Aunque en el Clculo de proposiciones figuran funciones proposi-cionales, se define cada una de ellas a medida que aparece, de modoque no es indispensable la nocin general. Pero en el Clculo de claseses necesario introducir explcitamente la nocin general. Peano no lanecesita, debido a su hiptesis de que la forma nx es un a es ge/ieral

para una variable , y de que pueden usarse extensiones de la misma

forma para cualquier nmero de variables. Pero debemos evitar estahiptesis, y por lo tanto, introducir la nocin de funcin proposicional.Podemos explicar (pero no definir) esta nocin del modo siguiente:cpx es una funcin proposicional si, para todo valor de x, yx es una

proposicin, determ inada cuando so da x. As


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nuestro axioma debe conservar su valor, no debe ser de aquellos delos que hablamos al referirnos a clases. Debemos considerar la uninreal de trminos y no cualquier concepto que indique esa unin. Estoes esencial para los fines matemticos. Consideremos, por ejemplo, el

problema de cunta s combinaciones pueden form arse con un con-ju nto dado de trm inos, to m ando cualquier nmero cada vez, es decir,cuntas clases se hallan contenidas en una clase dada. Si clases dis-tintas pueden tener la misma extensin, el problema resulta comple-tamente indeterminado. Y evidentemente el uso comn considerarauna clone como determinada cuando ae han dado todos sus trminos.Por lo tanto, la visin extensiva de las clases es, en cierto modo,esencial para la Lgica simblica y para la Matemtica, y su necesidadso halla expresada 011 el axioma anterior. Pero el axioma mismo noes utilizado si distinguimos la igualdad de clases, que se halla definida

como inclusin mutua, basndonos en la identidad de los individuos.Formalmente las dos son totalmente distintas: la identidad se definocomo anteriormente, la igualdad de a y b se define por la equivalenciade x es un a* y x es un 6 para todos los valores de x.

25 . La m ayora de las proposiciones del Clculo de clases se de du -ce fcilmente de acuerdo al Clculo proposicional. El producto lgicoo parte comn de dos clases ay b es la clase de x tales que el productolgico de x es un o y


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Es importante entender claramente el modo en que se obtienen lasproposiciones en el Clculo de clases a partir de las del Clculo propo-sicional. Consideremos, por ejemplo, el silogismo. Tenemos


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de las dos implica siempre a A. Por lo tanto, la frmula anterior slopuede in terpretarse acertadam ente en el Clculo proposicional: en elClculo de clases es falsa. Esto puede hacerse fcilmente evidente deacuerdo a las consideraciones siguientes: Sean yx, tyx, y,x . tres funcio-

nes proporcionales. Entonces yx x implica y'_x, implica, para todoslos valores de x, que yx implica yx o


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sobre ella ms adelante. En consecuencia, la clase de primos paresno debe identificarse con el nmero 2, y la clase de nmeros que sonsuma de 1 y 2 no debe identificarse con 3. En qu consiste la diferen-cia, hablando filosficamente, es un punto que ser considerado en el

captulo VI.C. El Clculo de relaciones

27 . E l Clculo de relaciones es un tem a ms moderno que elClculo de clases. Aunque se pueden encontrar algunas sugestionesen De Morgan (1), en realida d el prim ero que lo desarroll fue C. S. Peirce (2). Un anlisis cuidadoso del razonamiento matemtico mostrar(como veremos en el curso del presente trabajo) que, en realidad, lo

que se discute son los tipos de relaciones, aunque una mala fraseolo-ga pueda ocultarlo; en consecuencia, la Lgica de relaciones tiene unarelacin ms inmediata con la Matemtica que la de clases o propo-siciones, y cualquier expresin tericamente correcta y adecuadade las verdades matemticas slo es posible por sus medios. Peircey Schrder han comprendido la gran importancia de la materia, perodesgraciadamente sus mtodos no se basan en los de Peano, sino enlos de la antigua Lgica simblica derivada (con modificaciones) deBoole; son tan incmodos y difciles que la mayora de las aplicacionesque deben llevarse a cabo son prcticamente irrealizables. Ademsde los defectos de la antigua Lgica simblica, su mtodo adolecetcnicamente (no trato ahora de discutir si de modo filosfico o no)por el hecho de que considera esencia lm ente una relacin como unaclase de cuplas parejas, necesitando por ello frmulas elaboradasde suma para trabajar con relaciones singulares. Este punto de vistaproviene, segn creo, de un error filosfico probablem ente inconsciente:siempre se ha acostumbrado a suponer las proposiciones relacinalesmenos ltimas que las proposicionesclase (o proposiciones de sujeto

predicado, con las que se confunden generalm ente las proposiciones

clase), y esto ha conducido al deseo de tratar las relaciones comouna especie de clases. De cualquier modo que sea, ha sido cierta-mente una opinin filosfica opuesta que he tomado de mi amigoMr. G. E. Moore (3), la que me ha conducido a un diferente trata-miento de las relaciones. Este procedimiento, tenga o no ms correc

(x) Camb. Phil. Trans., vol. X, On the Syllogism, N IV, and on theLogic of Relations*. Comp. ibld., vol. IX , p&g. 104; tam bi n su Formal Logic (London, 1847), pg. 50.

(s) Vanse e specialm ente sus artculo s acerca del lgebra de la Lg i-ca,, en Am-erican Journal of Mathematics, vols . I I I y VII . El tema se ha l latratado ampliamente por los mtodos de C. S. Peirce en SchrCder, op. cit.,vo lumen I I I .

(*) Vase su artculo On th e N atu re of Jud gem ent, en Mind,N . S. N . 30.


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cipio de que cualquier trmino es el nico miembro de alguna clase;pero m ientras esto no pueda dem ostrarse, debido a la visin extensional de clases, este principio, hasta donde puedo apreciarlo, no es po-sible de demostracin. En este sentido, la visin extensional de rela-

ciones presenta una ventaja; pero la ventaja me parece equilibradapor otras consideraciones. Cuando se consideran las relaciones intensionalmente, puede parecer posible dudar acerca de si el principioanterior es verdadero en absoluto. Sin embargo, se admitir general-mente que, entre dos trminos cualesquiera, es verdadera algunafuncin proposicional que no lo es para un cierto par de trminosdados diferentes. Si se admite esto, el principio anterior se deduceconsiderando el producto lgico de todas las relaciones que existenentre nuestro primer par de trminos. En consecuencia, el principioanterior puede ser reemplazado por el siguiente, que le es equivalente:

Si x R y implica x 'R y ', cualquiera sea R , mientras R sea una relacin,entonces x y x ', y e y ' son respectivamente idnticos. Pero este prin-cipio introduce una dificultad lgica de la que hasta ahora habamosestado exentos, a saber: la de una variable con un campo restringido;pues a menos de que R sea una relacin, x R y no ser en absoluto unaproposicin, verdadera o falsa, y por lo tan to parecera que R nopuede tom ar todos los valores, sino solo tales que sean relaciones. Msadelante volver sobre la discusin de este punto.

29. Otras hiptesis necesarias son las de que la negacin de un a

relacin es una relacin, y de que el producto lgico de una clase derelaciones (es decir, la afirmacin simultnea de todas ellas) es unarelacin. El producto relativo de dos relaciones debe ser tambin unarelacin. El producto relativo de dos relaciones R, S , es la relacinque existe entre x y z, siempre que exista un trmino y con el que x guarde la relacin R y que guarde con 2 la relacin S. As, la relacinde un abuelo materno con su nieto es el producto relativo de padre ymadre; el de una abuela paterna con su nieto es el producto relativode madre y padre; el de un abuelo y nieto es el producto relativo de

padre y padre. En general, el producto rela tivo no es conmutativ o,

tal como lo muestran los ejemplos anteriores, y en general no obedecea la ley de tautologa. El producto relativo es una nocin que revisteuna importancia muy grande. Como no obedece la ley de tautologa,conduce a potencias de relaciones: el cuadrado de la relacin de padree hijo es la relacin de abuelo y nieto, y as sucesivamente. Peirce ySchrder consideran tambin lo que llaman la suma relativa de dosrelaciones R y S , que existe entre x y z, cuando, siendo y cualquierotro trmino arbitrario, o x guarda con y la relacin R, o y guardacon z la relacin S . s ta es una nocin complicada que no he hallado

ocasin de emplear y que solo se introduce conel

fin de conservarla dualidad entre suma y producto. Esta dualidad ofrece un ciertoencanto tcnico cuando se considera la materia como una rama in-


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dependiente de la Matemtica; pero cuando se considera nicamenteen relacin con los principios de la Matemtica la dualidad en cuestin,me parece desprovista de toda importancia filosfica.

30. La M atem tica necesita, segn creo, slo otra s dos proposi-

ciones primitivas: la una, que la implicacin material es una relacin:la otra, que e (la relacin de un trmino con la clase a la que pertenece)es una relacin (l). Ahora podemos desarrollar toda la Matemtica sinotras hiptesis o indefinibles. Merecen mencionarse ciertas proposi-ciones en la Lgica de relaciones, pues son importantes y puede du-darse acerca de si son posibles de prueba formal. Si u, v son dos clasescualesquiera, existe una relacin R cuya asercin entre dos trminoscualesquiera x e y es equivalente a la asercin de que x pertenecea u e y a v. Si u es cualquier clase no vaca, existe una relacin que

guardan todos los trminos respecto a ella y que no vale para ningnotro par de trminos. Si R es cualquier relacin, y u cualquier clasecontenida en la clase de referentes respecto a R, existe una relacinque tiene a u como clase de sus referentes, y es equivalente a R entoda esa clase: esta relacin es igual a i? en la parte en que es vlida,

pero tiene un dominio ms restringido. (Uso dominio como sinnimode clase de, referentes.) Desde aqu en adelante el desarrollo del temaes tcnico: se consideran tipos especiales de relaciones, y resultanramas especiales de la Matemtica.

D. Lgica sim blica de Peano

31. El breve resumen an terior de Lgica simblica se ha insp ira-do tanto en Peano que se hace necesario discutir explcitamente suobra, justificando en forma crtica I03 puntos en que difiero de l.

La cuestin acerca de cules entre las nociones de la Lgica sim-blica deben to m arse como indefinibles, y cules proposiciones como

indemostrables es, como ha insistido el profesor Peano (2), hastacierto punto arbitraria. Pero resulta importante establecer todas lasrelaciones mutuas de las nociones ms simples de la Lgica, y exami-nar la consecuenoia de tomar varias nociones como indefinibles. Esnecesario comprender que la definicin, en Matemtica, no significa,como en Filosofa, un anlisis de la idea a definirse en ideas constitu-

yente s. E sta nocin, en todo caso, slo es aplicable a los conceptos,mientras que en Matemtica es posible definir trminos que no sonconceptos (3). As, tambin se definen por Lgica simblica muchas

(1) Ex iste una dificultad respecto a esta proposicin prim itiva, discu-tida en I o b 53 y 94 ms adelante.

(2) Por ejem plo , F. 1901, pg. 6; F. 1897, parte I, pes. 623.(s) Vase cap. IV .


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nociones que no son de posible definicin filosfica, puesto que sonsimples y no analizables. La definicin matemtica consiste en sealaruna relacin fija respecto a un trmino fijo, de la que slo un trminoes posible; entonces este trmino se halla definido por medio de la

relacin fija y del trmino fijo. El punto en que esto difiere de la de-finicin filosfica puede aclararse sealando que la definicin matem-tica no indica el trmino en cuestin, y que slo lo que puede llamarsediscernimiento filosfico revela cul es entre todos los trminos queexisten. Esto se debe al hecho de que el trmino se halla definido porun concepto que lo denota en forma ambigua, y no por mencin realdel trmino denotado. Lo que se quiere decir con denotar, as como so-bre los diferente s modos de denota r, debe aceptarse como ideas pri-mitivas en toda Lgica simblica (*); en este sentido, el orden adoptado

no parece en modo alguno arbitrario.32. Para ser exactos, exam inem os algunas de las exposiciones deltema realizadas por el profesor Peano. En sus ltimas exposiciones (2)abandon la idea de distinguir claramente ciertas ideas y proposicio-nes como primitivas, probablemente debido a la comprensin de quecualquier distincin de este tipo es enteramente arbitraria. Pero ladistincin parece til, por introducir mayor exactitud y por mostrarque son suficientes un cierto conjunto de ideas y proposiciones pri-mitivas; lejos de abandonarla, debe hacerse ms bien lo posible parallevarla adelante. Por lo tanto, en lo que sigue tratar de desarrollar

una de sus primeras exposiciones, la de 1897 (3).Las nociones primitivas con las que Peano comienza son las si-guientes: Clase, la relacin de un individuo con una clase de la que esmiembro, la nocin de trmino, la implicacin donde ambas proposi-ciones contienen las mismas variables, es decir, la implicacin formal,la afirmacin simultnea de dos proposiciones, la nocin de definicin,y la negacin de una proposicin. A partir de estas nociones, ademsde la divisin de una proposicin compleja en partes, Peano trata dededuci? toda la Lgica simblica por medio de ciertas proposicionesprim itivas. Exam inemos la deducci n en form a resumida.

Podemos observar, para comenzar, que la afirmacin simultneade dos proposiciones puede parecer, a primera vista, insuficiente paraser tomada como idea primitiva. Pues, aunque puede extenderse por

pasos sucesivos a la afirm acin sim ult nea de cualq uier nmero finitode proposiciones, sin embargo no es todo lo que se requiere; necesita-mos poder afirmar simultneamente todas las proposiciones de cual-quier clase finita o infinita. Pero la asercin simultnea de una clasede proposiciones, aunque parezca raro, es mucho ms fcil de definir

( ') C aptulo V. '(2) F. 1901 y R . di M ., vol. VII, nm. 1 (1900).(3) F . 1897, parte I.


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que la de dos proposiciones [ver 34, (3)]. Si k es una clase de proposi-ciones, su afirmacin simultnea es la asercin de que p es un koimplica p. Si esto vale, todas las proposiciones de la clase son verda-

deras; en caso contrario debe ser falsa por lo menos una de ellas.Hemos visto que el producto lgico de dos proposiciones puede defi-nirse de un modo altamente artificial; pero casi indiferentemente puedetomarse como indefinible, ya que ninguna otra propiedad puede de-mostrarse por medio de la definicin. Debemos observar tambin quela implicacin material y la formal se hallan combinadas por Peanoen una sola idea primitiva, aunque deban tomarse separadamente.

33. Antes do form ular cua lquiera de las proposiciones prim itivas,Peano procede a dar ciertas definiciones: 1) Si a es una clase, x e y

son a significa x es un a e y es un a. 2) Si a y b son clases, todoa es un 6 significa x es un aimplica x es un b. Si aceptam os la implica-cin formal como nocin primitiva, esta definicin parece inobjetable;

pero tam bin puedo sostenerse que la relacin de inclusin entre claseses ms simple que la implicacin formal, y que no debe definirse porsus medios. s te es un tem a difcil, que reservar p ara una ulterior dis-cusin. Una implicacin formal parece ser la asercin de toda una clasede implicaciones materiales. La complicacin que aparece en este puntosurge debido a la naturaleza de la variable, punto que Peano parece

no haber considerado suficientemente, a pesar de que ha hecho muchopara dem ostrar su im portancia . La nocin de una proposicin que con-tiene una variable, la que implica a otra tal proposicin, que l tomacomo prim itiva, es compleja, y por lo tan to debe separa rse en sus cons-tituyentes; de esta separacin surge la necesidad de considerar la afir-macin simultnea de toda una clase de proposiciones antes de inter-

pretar una proposicin ta l como es un a im plica que z es un 6.3) Ahora debemos considerar una definicin completamente intil, yque por ello ha sido abandonada 1). sta es la definicin de tal que. Se

nos dice que las x tales que x es un a, quieren decir la clase a. Pero estoslo da el significado de tal que cuando se le coloca adelante de unaproposicin del tipo x es un a. Ahora bien, a menudo es necesarioconsiderar una x tal que alguna proposicin acerca de ella sea verda-dera, y en que esa proposicin no sea de la forma de x es un a. Peanosostiene (aunque no lo expone como axioma) que toda proposicinque slo contenga una variable es reducible a la forma xesuna* (2).Pero veremos (cap. X) que por lo menos una de tales proposicionesno ea reducible a esa forma. Y en todo caso, la nica utilidad de tal

que es la de efectuar la reduccin, que por lo tanto no puede admitirseya llevada a cabo sin ella. El hecho es el de que tal que contiene

0) Como resu ltado de laa criticas de P ad oa , R. di M ., vol. VH, pg. 112.(*) R . di M., vol. VTI, nm. 1, pg. 25; F. 1901, pg. 21, 2, prop. 4.0,

nota.


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una idea primitiva, pero dicha idea no puede separarse fcilmentede otras.

Para poder asimilar el significado de tal que es necesario observar,en primer lugar, que lo que Peano y los matemticos llaman general-

mente una proposicin que contiene una varia ble es en realidad, si lavariable es aparente, la conjuncin de una cierta clase de proposicio-nes definidas por a lguna co nstancia de forma; m ientras que si la varia -ble es real, de modo que tengamos una funcin proposicional, no existeen absoluto proposicin, sino simplemente una especie de representa-cin esquemtica de cualquierproposicin de un cierto tipo. Por ejem-plo, cuando se form ula por medio de una variable que La suma delos ngulos de un tringulo es de dos ngulos rectos, se transformaen: Sea x un tringulo; entonces la suma de los ngulos de x es de dosngulos rectos. Esto expresa la conjuncin de todas las proposicionesen las que se dice acerca de entidades particularmente definidas quesi son tringulos, la suma de sus ngulos es de dos ngulos rectos.Pero una funcin proposicional, en que la variable es real, representacualquierproposicin de una cie rta form a, no a todas las tales propo-siciones (vase 5962). Para cada funcin proposicional existe unarelacin indefinible entre proposiciones y entidades, que puede expre-sarse diciendo que todas las proposiciones tienen la misma forma,pero que en ellas inte rvienen entidades diferentes. Es esto lo que ori-gina las funciones proposicionales. Dados, por ejemplo, una relacin

constante y un trmino constante, existe una correspondencia biunvoca entre las proposiciones que afirman que los diferentes trminosguardan la relacin dicha con el trmino dado y los diferentes tr-minos que figuran en esas proposiciones. sta es la nocin que se ne-cesita para la comprensin de tal que. Sea x una variable cuyos valoresforman la clase a, y sea f(x) una funcin uniforme de x que es propo-sicin verdadera para todos los valores de x comprendidos en la clasea, y que sea falsa para todos los dems valores de x. Entonces lostrminos de a son la clase de trminos tales que f{x) es una proposicinverdadera. Esto da una explicacin de tal que. Pero debe recordarse

siempre que la ilusin de tener una proposicin f(x) satisfecha por unnmero de valores de x es engaosa: j(x) no es proposicin en absoluto,sino funcin proposicional. Lo que es fundamental es la relacin dediferentes proposiciones de forma dada respecto a los diferentes tr-minos que entran varias veces en ellas como argumentos o valores delas variables; se necesita igualmente esta relacin p ara inte rp reta rla funcin proposicional f(x) y la nocin de tal que; pero ella en s mismaes ltim a e inexplicable. 4) Ahora llegamos a la consideracin de ladefinicin de producto lgico, o parte comn, de dos clases. Si a y bson dos clases, su parte comn consiste en la clase de trmino x talesque i es un a y a: es un b. Ya aqu, como lo seala Padoa (loe. cit.),es Decesario extender el significado de tal que ms all del caso en que


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nuestra proposicin afirma el ser miembro de una clase, ya que sloes por medio de la definicin como se demuestra que la parte comnes una clase.

34. Las definiciones restantes previas a las proposiciones prim i-tivas' son menos importantes, algunas parecen referirse solamente alsimbolismo, y no expresar ninguna de las propiedades reales de loque se simboliza; otras, por el contrario, son de una importancialgica muy elevada.

1) El primero de los axiomas de Peano es toda clase se hallacontenida en s misma. Esto es equivalente a toda proposicin seimplica a s misma. Parece no existir medio de evitar este axioma,que es equivalente a la ley de identidad, excepto el mtodo empleado

anteriormente y que consiste en usar la autoimplicacin para definirproposiciones. 2) Luego tenemos el axioma de que el producto dedos clases es una clase. Este debe haberse establecido, al igual que ladefinicin de producto lgico, para una clase de clases; pues cuandoslo se establece para dos clases no puede extenderse para el productolgico de una clase infinita de clases. Si se toma clase como indefinible,es un axiom a genuino, que resulta muy necesario p ara el razonam iento.Pero quiz podra ser algo generalizado por un axioma que se refieraa los trminos que satisfacen proposiciones de una forma dada: por

ejemplo, los trminos que guardan una o ms relaciones dadas res-pecto a uno o ms trm in os dados form an una clase. E n la seccin B,ms arriba, se ha evitado completamente el axioma usando una formageneralizada del mismo como definicin de clase. 3) Ahora tenemos dosaxiomas que son en realidad uno solo, y que parecen distintos sola-mente debido a que Peano define la parte comn de dos clases en vezde la par te comn de una clase de clases. Estos dos axiom as establecenque, si a, b, son clases, su producto lgico, ab,se halla contenido en a yse halla contenido en b.Estos parecen dos axiomas diferentes debido a

que, tal como lo indica el solo simbolismo, ab puede ser distin to de ba.Uno de los defectos de la mayora de los simbolismos es el que dan unorden a trminos que intrnsecam ente carecen de l o que por lo menosnada tienen que se refiera al mismo. As, en este caso: si K es una clasede clases, el produ cto lgico de K consiste en todos los trminos que

perm anecen a toda*clase que forma parte de K . Con esta definicin re-sulta claro a primera vista que no interviene en absoluto el orden delos trminos de K . As, si K consta slo de dos trminos, a y 6, es in-diferente que se represente el producto lgico de K por ab o por ba,

ya que el orden slo existe en los smbolos, no en lo que se simboliza.Debe tenerse en cuenta que el axioma correspondiente respecto aproposiciones es el que la aserc in sim ultnea de una clase de propo-siciones implica cualquier proposicin de la clase; y sta es quiz lamejor forma del axioma. Sin embargo, aunque no es imprescindibleun axioma, es necesario, aqu como en cualquier lado, disponer de


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un medio para unir el caso en que partimos de una clase do claseso de proposiciones o de relaciones con el caso en que la clase resultade la enumeracin de sus trminos. As, aunque no se halla involu-crado un orden en el producto de una clase de proposiciones, existe

un orden en el producto de dos proposiciones definidas p, q, y tienesentidodecir que los productos pq y qp son equivalentes. Pero estopuede dem ostrarse por medio de los axiomas con los que hemos ini-ciado'el Clculo de proposiciones ( 18). Debe observarse que esta

prueba es anterior a la prueba de que la clase cuyos trm in os son py qes idntica a la clase cuyos trminos son q y p. 4) Despus debemosconsiderar dos formas de silogismo, ambas proposiciones primitivas.La primera afirma que, si a, b, c son clases, y a se halla contenidaen b,y z es un a,entonces z es un 6; la segunda, que si a, b, cson clases,y a se halla contenida en 6, b en c, entonces a se halla contenida en c.

Uno de los mritos ms grandes de Peano consiste en haber distinguidoclaramente la relacin de un individuo a su clase de la relacin deinclusin entre clases. La diferencia es extraordinariamente funda-mental: la primera relacin es la ms simple y ms importante detodas las relaciones, la ltima una relacin complicada que deriva dela implicacin lgica. Resulta de esta distincin que el silogismo Br-bara tiene dos form as, que generalm ente se confunden: una, la asercinclsica de que Scrates es un hombre, y por lo tanto mortal; la otra,la asercin de que los griegos son hombres, y por lo tanto mortales.

Estas dos formas se hallan establecidas por los axiomas de Peano.Debe tenerse en cuenta que, en virtud de la definicin de lo que seentiende por el que una clase se halle contenida en otra, la primeraforma resu lta del axiom a de que si p, q, rson proposiciones, y p implicaque q implica r, entonces el producto do p y q implica r. Peano sus-tituye la primera forma del silogismo por este axioma (): es ms ge-neral y no puede deducirse de dicha forma. La segunda forma delsilogismo, cuando se aplica a proposiciones en vez de clases, afirmaque la implicacin es transitiva. Por supuesto que este principio es elque en realidad da vida a todas las cadenas del razonamiento. 5) Ahora

nos hallamos ante un principio de razonamiento que Peano llamacomposicin: ste afirma que si a se halla contenido en b y tambinen c, entonces se halla contenido en la parte comn de ambos. Esta-bleciendo este princip io respecto a proposiciones, afirma que si unaproposicin im plica a cada una de otras dos, ento nces im plica su aser-cin conjunta o producto lgico; y ste es el principio llamado msarriba composicin.

35. Desde aqu avanzamos fcilm ente has ta que llegamos a laidea de negacin. sta, aparece en la edicin del FormvXaire que es-

tamos considerando, como una nueva idea primitiva, y se define por(*) V ase, p or ejem plo, F . 1901, parte I, 1, prop. 3.3 (pg. 10).


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parece ahora hallarse considerada como indefinible. O tra definicinpresentada a veces por Peano (por ejemplo, F . 1895, errata, pg. 116),es la de que la clase vaca es el producto de cualquier clase por sunegacin definicin sobre la que se pueden llevar a cabo considera-

ciones semejantes. En R. di M ., VII, n m. 1 ( 3, prop. 1.0), se definela clase de aquellos trminos que pertenecen a toda clase, es decir,la clase de trminos x tales que ia es una clase implica x es un a

para todos los valores de a. Por supuesto que no existen tales trmi-nos x. y hay una grave dificultad lgica en tratar de interpretarextensivamente una clase que no tiene extensin. Sobre este puntovolver en el captulo VI.

Desde aqu en ade lante la Lgica de Peano c on tina con un desarro-llo suave. Pero es an defectuosa desde un punto de vista: no reconocecomo ltimas a las proposiciones relacinales que no afirmen el ser

miembros de una clase. Por esta razn son defectuosas las definicionesde una funcin (') y de otras nociones fundamentalmente relacinales.Pero este defecto se remed

russell, bertrand. (1984). los principios de la matemática,

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