Guías para Enseñar y Aprender

MATEMATICA

BGobierno de la Provincia de La Pampa

Ministerio de Cultura y Educación

Gobernador

Ministro de Cultura y Educación

Subsecretaria de Educación

Directora General de Educación Inicial y General Básica

Ing. Carlos Alberto Verna

Prof. María de los Angeles Zamora

Prof. Berta Suarez de Delú

Prof. Raquel Fernández

Guías para Enseñar y Aprender

Autores:

Prof: Daniel A. Maldonado

Edición:

Juan Montalvo

Botta Gioda, Rosana

Cornelis, Liliana Analía

Diani, Sandra

Olié, Ángela Lucía

Los autores de la presente guía agradecen la desinteresada y valiosa colaboración de los docentes

que participaron en la revisión del material.

MATEM

ATICAB

Autores

Diseño y Edición

Prof. Daniel Maldonado

Prof. Fani Citzenmaier

Juan Montalvo

Guías para Enseñar y Aprender

B

Estimado colega:

Las Guías para Enseñar y Aprender, instrumento que acompaña y/o complementa las propuestas de enseñanza del docente, acercan una propuesta didáctica concreta, para los diferentes años que conforman el Tercer Ciclo de la EGB.

El propósito de las guías consiste en brindar una selección de contenidos, una sugerencia de actividades alternativas para trabajar los mismos y una secuenciación u ordenamiento temático posible.

Así, la articulación de los diferentes contenidos propuestos y la resolución de las diferentes consignas propician, en el alumno, el desarrollo de procedimientos y capacidades básicas. La búsqueda de fuentes adecuadas para completar los cuadros comparativos o las imágenes y esquemas hace que la información adquiera mayor significatividad.

De este modo queda sujeto al trabajo del aula el grado de profundidad que se usará para desarrollar los diferentes temas, y la utilización de las actividades adecuadas al contexto áulico.

Los autores

Para los docentes

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ACTIVIDAD 1

Resolviendo problemas Básicamente, para resolver un problema es conveniente realizar los siguientes pasos:

1°) Comprender el problema.

2°) Pensar las estrategias que convienen seguir.

3°) Desarrollar el plan pensado en el paso anterior.

4°) Reflexionar sobre el proceso seguido.

A continuación encontrarás una breve lista de pautas para la resolución de distintos problemas del área de Matemática. Te sugerimos que la tengas siempre presente y la releas antes de realizar cada una de las actividades que te proponemos. 1°) Primer paso: Pautas para comprender el problema. Leé el enunciado del problema despacio. Identificá cuáles son los datos (la información que te dan en el enunciado) y cuál

es la incógnita (lo que se te pide averiguar). Tratá de encontrar la relación entre los datos y la incógnita. Hacé un esquema o un dibujo de la situación.

2°) Segundo paso: Pautas para pensar las estrategias que convienen seguir. Analizá si el problema es parecido a otros que ya resolviste anteriormente. Planteá el problema de otra forma. Imaginá un problema más sencillo. Imaginá el problema resuelto. Revisa si tuviste en cuenta todos los datos que se expresan en el enunciado. Armá una lista con las acciones (cálculos, gráficos, resolución de ecuaciones, etc.)

que tenés que hacer para resolver el problema, indicando el orden en que debés realizar dichas acciones. 3°) Tercer paso: Pautas para desarrollar el plan pensado. Comprobá cada uno de los pasos. Analizá si los pasos seguidos son correctos. Antes de hacer algo pensá: “¿Qué logro con esto?”. Frente a un dificultad, revisá el proceso y probá nuevamente.

4°) Cuarto paso: Pautas para reflexionar sobre el proceso seguido. Leé nuevamente el enunciado del problema y verificá si obtuviste lo que se te pedía (la

incógnita). Revisá la lógica de la solución a la que llegaste. ¿Los pasos previos al resultado final

verifican al mismo? Comprobá si la solución es posible. ¿Es coherente el resultado obtenido con los datos

del problema? Buscá todas las soluciones posibles (pensá si existe otras soluciones). Finalmente debés responder a la pregunta con una frase que indique la solución del

problema. Explicar y discutir nuestras ideas con otros ayuda a aclaralas, precisarlas y enriquecerlas. Por eso te sugerimos compartir con tus compañeros y con tu docente el planteo de los problemas y la solución que encontraste.

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A modo de ejemplo desarrollaremos un problema aplicando las sugerencias que hemos listado. Seguramente te servirá de entrenamiento y aprendizaje: 1) El dueño de un bazar compró 10 docenas de platos a $ 42 la docena. Vendió todos los platos, excepto 12 que dejó en previsión de roturas y deterioros. La ganancia total por esta venta fue de $ 210. a) ¿Cuánto le costaron en total las 10 docenas? b) ¿Cuál fue el ingreso total de dinero por la venta realizada? c) ¿Cuál fue el precio de venta de cada docena de platos? 2) Un hipermercado tiene empleados 180 hombres de los cuales 40 son empleados de oficina que ganan un sueldo doble al de los restantes que son cajeros. El gasto mensual en sueldo representa $ 88.000. ¿Cuánto gana cada cajero y cada administrativo? UNA PROPUESTA DE SOLUCIÓN... Al primer problema nosotros lo resolvimos así:

1°) Comprender el problema.

Datos: Compró 10 docenas. El costo de cada docena fue de $ 42. Vendió todos los platos (10 docenas), excepto 12 (1 docena). Vendió 9 docenas. La ganancia de la venta fue de $ 210. Incógnitas: Costo total de las 10 docenas. Ingreso total de la venta realizada (9 docenas). Precio de venta de cada docena. Relaciones entre los datos y las incógnitas: Costo total de las 10 docenas = Costo de cada docena multiplicado por la cantidad de docenas (10). Ingreso total de la venta realizada = Costo total de las 10 docenas más la ganancia de la venta. Precio de venta de cada docena = Ingreso total de la venta realizada dividido la cantidad de docenas vendidas (9).

2°) Pensar las estrategias que convienen seguir.

Primero: Calcular el costo total de las 10 docenas multiplicando el costo de cada docena ($ 42) por la cantidad de docenas compradas (10). Segundo: Calcular el ingreso total de la venta realizada, utilizando el resultado anterior. Es decir, sumar el resultado anterior con la ganancia de la venta ($ 210). Tercero: Calcular el precio de venta de cada docena, utilizando el resultado anterior. Es decir, dividir el resultado anterior por la cantidad de docenas vendidas (9).

3°) Desarrollar el plan pensado en el paso anterior.

Primero: $ 42 x 10 = $ 420 Segundo: $ 420 + $ 210 = $ 630 Tercero: $ 630 : 9 = $ 70.

4°) Reflexionar sobre el proceso seguido.

Comprobación de la coherencia de los resultado: Si vendo 9 docenas a $ 70 cada una, obtengo ingresos por ($ 70 x 9) $ 630. Si el costo de la compra de los platos fue de $ 420 entonces ($ 630 - $ 420) la ganancia que obtengo es de $ 210. Si el costo fue de $ 420 y compré 10 docenas, entonces cada docena me costó ($ 420 : 10) $ 42. ¡Los resultados son coherentes con los datos que aparecen en el enunciado!

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Respuestas a las preguntas del problema. a) En total, las 10 docenas le costaron $ 420. b) El ingreso total de dinero por la venta realizada fue de $ 630. c) El precio de venta de cada docena de platos fue de $ 70.

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ACTIVIDAD 2

Jerarquía de las operaciones 1) Un comerciante compró cierta cantidad de bolsas de papas en $ 7.120 y las vende en $ 8.188 ganando así $ 3 por bolsa. a) ¿Cuánto dinero ganó en total? b) ¿Cuántas bolsas compró? c) ¿Cuánto le costó cada una? 2) Un verdulero metió 320 naranjas en 2 canastos. Uno de ellos tenía 60 naranjas más que el otro. ¿Cuántas naranjas tenía cada canasto? 3) Un reloj atrasa 1 minuto cada 2 horas. A las 8 de la mañana se lo puso “en hora”. ¿Qué hora marcará a las 24 hs.? 4) Una empresa de transporte de pasajeros trabaja de lunes a sábados. Un ómnibus de dicha empresa hace 16 viajes en un día. En cada viaje transporta un término medio de 30 pasajeros. Cada pasajero paga 80 centavos de pesos por su boleto. ¿Cuánto dinero recauda la empresa con un ómnibus durante una semana?

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ACTIVIDAD 3 Potenciación y radicación 1) Un terreno cuadrado tiene 21 m de frente. Se lo compró a un precio de $ 43.750. ¿Cuánto costó el m2 de ese terreno? Al contestar, redondeá el resultado. 2) El área de la cara de un cubo mide 25 cm2. a) ¿Cuánto mide la arista de ese cubo? b) ¿Cuál es el volumen de ese cubo? c) ¿Cuántos cubos como esos caben adentro de un cubo de 10 cm de arista?

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ACTIVIDAD 4 Uso de paréntesis 1) Recordá el problema 1) de la ACTIVIDAD 1 que trataba sobre un bazar que vendía y compraba platos. a) Volvé a leer el problema. Para contestar la pregunta del ítem c) algunos alumnos de otra escuela anotaron los siguientes cálculos: Juan

7092104210 =÷+⋅ Gabriela

3,44392104210 =÷+⋅ Martín

33,65392104210 =÷+⋅ Marcela

28092104210 =÷+⋅ Como habrás notado, ninguno escribió paréntesis. b) Colocá los paréntesis necesarios para que la expresión de cada alumno arroje el resultado por ellos señalado. c) Indicá el error que cometió cada uno de los alumnos que no realizaron los cálculos adecuados. 2) En los cálculos que siguen colocá los paréntesis necesarios en los lugares adecuados para obtener los resultados indicados en cada caso:

a) 1481624 =−÷+ b) 22481624 =−÷+ c) 10481624 =−÷+ d) 28481624 =−÷+

3) En los cálculos que siguen colocá los paréntesis necesarios en los lugares adecuados para obtener los resultados indicados en cada caso:

a) 7262482 =÷−÷+⋅ b) 9262482 =÷−÷+⋅ c) 14262482 =÷−÷+⋅ d) 6262482 =÷−÷+⋅

4) Un jugador de fútbol firmó contrato con un club por una temporada. Su contrato fue por U$S 12.000 y un premio de U$S 750 por cada partido ganado por su equipo. Durante la temporada ganó 15 partidos. ¿Cuál es la expresión que representa sus ingresos?

a) ( )75015000.12 +⋅

b) ( ) 15750000.12 ⋅+

c) ( ) 75015000.12 ⋅+

d) ( )75015000.12 ⋅+

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ACTIVIDAD 5 Expresiones algebraicas

1) Completá un cuadro como el siguiente. Considerá que las letras que aparecen en las igualdades representa números naturales:

LA IGUALDAD ES VERDADERA Igualdad Siempre Nunca Sólo en el caso en que:

trpsrp ++=++

knmknm 42 ++=++

xx +=⋅ 22

xyyx +=+

abba −=− ba ≠

00 ⋅=⋅ yx

yyxx ÷=÷

0≠x e 0≠y

2) La edad de Eugenia supera en 12 años a la de Cecilia. En las siguientes expresiones, la letra e representa la edad de Eugenia, y la letra c epresenta la edad de Cecilia. ¿Cuáles de ellas traducen la situación anteriormente enunciada?

a) 12+= ce b) 12=− ce c) ce =+12 d) ce ⋅= 12 e) 12=− ec f) ce =−12

3) Marina y Fernando son hermanos. Ambos coleccionan latas de gaseosas. Fernando tiene tres latas más que su hermana. A su vez, el doble del número de latas que tiene Marina supera en dos al número de latas de Fernando. ¿Cuántas latas tiene cada uno?

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4) Santiago se presentó a rendir un examen para ingresar a trabajar en una importante empresa. El puntaje de la prueba se determinó de la siguiente manera:

• Por cada respuesta sin errores recibió 2 puntos. • Por cada respuesta con algún error recibió 1 punto. • Por cada pregunta no respondida o reprobada le restaron 1 punto. • Al puntaje obtenido se lo dividió por el número total de preguntas.

Escribí una fórmula que permita calcular el puntaje de cualquier postulante.

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ACTIVIDAD 6 Representación en la recta 1) El área de un triángulo no supera los 10 cm2. La longitud de la base es de 4 cm. La longitud de la altura es un número entero de centímetros. ¿Qué longitud puede tener la altura? 2) Loma Azul, ciudad cabecera del municipio del mismo nombre, se encuentra sobre la ruta provincial 23. Las vías del ferrocarril, que cruzan la ruta a la altura de Loma Azul, marcan la división entre la parte oeste y la parte este de dicho municipio. En el esquema se muestran los pueblos, ubicados sobre la ruta, que pertenecen al mencionado municipio y se indican las distancias que los separan.

Dos nuevas ordenanzas municipales establecen algunas normas.

Ordenanza 1123

Se fija en 80 Km/h la velocidad máxima de circulación, para cualquier tipo de vehículo que transite por la ruta provincial 23, en el tramo que se encuentra a una distancia de Loma Azul menor de 35 Km. En el resto del Municipio la velocidad máxima autorizada es de 100 Km/h.

Ordenanza 1127

Se establece como zona no urbanizada la que se encuentra a más de 50 Km de Loma Azul.

a) Marcá, en una recta que represente la ruta, los puntos entre los que se ha fijado una velocidad máxima de 80 Km/h. b) ¿Qué pueblos quedan afectados por la ordenanza 1123? c) Marcá sobre la misma recta los puntos en los que deberán colocarse los carteles que indiquen “Fin de zona urbanizada”. d) ¿Qué pueblos del municipio están comprendidos en la zona delimitada por la ordenanza 1127? e) Discutí con tus compañeros a qué velocidad se puede transitar la ruta 23 al atravesar la zona urbanizada del partido de Loma Azul. 3) Lucas y Marina miden la longitud del ancho del pizarrón con sus manos. Lucas contó entre 16 y 17 manos y Marina entre 17 y 18. La mano de Lucas mide 20 cm y la de Marina 18 cm. ¿Entre qué valores se encuentra la medida, en cm, de la longitud del ancho del pizarrón?

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ACTIVIDAD 7

Operaciones con números enteros 1) Ubicá cada elemento del conjunto A en uno de los casilleros del siguiente cuadro, de modo tal que la suma de cualquier fila o cualquier columna sea –12. A = {-12, -10, -8, -6, +4, +2, 0, -2, -4}

2) Ubicá en cada casillero un número entero de tal forma que sea igual al producto de los números contenidos en los casilleros que se encuentran debajo de él: a)

-15 -6

5

b)

6 -12

-1

c)

-54

9

3

d)

-48

8

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3) Una persona tiene una caja de ahorro. El banco donde tiene su dinero depositado le ha entregado una tarjeta de débito. Con esta tarjeta puede pagar sus compras, extrayendo, de manera automática, el dinero de su caja de ahorro. Esta persona tenía depositados en su caja de ahorro $ 468. Compró y pagó con su tarjeta de débito un pantalón jean de $ 36, varios comestibles que le costaron $ 173, y algunos ladrillos por $ 240.

a) ¿Cuánto dinero gastó utilizando su tarjeta de débito? b) ¿Cuál es el saldo de su caja de ahorro después de haber realizado las compras? c) ¿El saldo es positivo o negativo? Justificá tu respuesta.

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ACTIVIDAD 8 Operaciones combinadas 1) A continuación de cada una de las siguientes expresiones, hay una serie de afirmaciones sobre ellas. Indicá si son verdaderas (V) o falsas (F). Justificá tu indicación.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−+⋅⋅−−⋅⋅−++⋅ 2 454 443333 2 517311213181111 I.La expresión tiene siete términos.

II.El cálculo del primer término de la expresión es 11. III.El cálculo del segundo término de la expresión es 6. IV.El cálculo del tercer término de la expresión es 297. V.El cálculo del cuarto término de la expresión es -21.

VI.El cálculo del quinto término de la expresión es 24. VII.El cálculo de la expresión tiene como resultado -282.

b) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅−−−⋅−+−⋅⋅−+ 563323 22 115121627525

I.La expresión tiene cinco términos. II.El cálculo del primer término de la expresión es 50.

III.El cálculo del segundo término de la expresión es -32. IV.El cálculo del tercer término de la expresión es 125. V.El cálculo del cuarto término de la expresión es -1.

VI.El cálculo de la expresión tiene como resultado -130.

2) Indicá cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Modificá las que son incorrectas para que resulten correctas.

a) 23 6 28 xx =

b) ( ) baba +=+3 3

c) ( ) baba +=+ 2

d) baba −=+ 22

e) ( ) abbaba −=−=>< 2

f) ( ) 33 2 −=−

g) ( ) 223 3 −=−

h) 7169 =+

i) ( ) 22 3 −<− 3) “Es un disparate –le contestó Mariela a su hermano-: 1 no es igual a –1”. Sin embargo Julio efectuaba el siguiente razonamiento para convencerla:

( )22 11 −= Deshago la potenciación.

( )22 11 −=

La potencia y la raíz se anulan. 11 −=

¿Cuál es el error que comete Julio al justificar que 1 = -1?

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ACTIVIDAD 9

Introducción a las funciones 1) El gráfico muestra la temperatura de una habitación durante una noche de invierno, en Ushuaia.

a) ¿Durante cuánto tiempo estuvo apagada la calefacción? b) ¿Cuál es la temperatura de la habitación durante el día? c) ¿Cuándo la temperatura es de 5° C? d) ¿Cuándo la temperatura es menor que 16° C? e) ¿Cuál es la temperatura entre la 1 y las 3 de la mañana?

2) Un grupo de estudiantes salió a realizar un trabajo práctico en el que debían medir alturas o profundidades aproximadas de una región. Partieron de un refugio, en una elevación del terreno, de 5 metros de altura. Caminaron en línea recta, perpendicularmente a la orilla de un río que debieron cruzar en bote, para finalizar la tarea a 3 metros de la orilla opuesta. Así anotan sus mediciones:

a) ¿Qué representaron en cada uno de los ejes? b) Construí una tabla, colocando en cada columna de la izquierda las distancias al punto de partida y en la de la derecha las alturas o profundidades registradas.

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ACTIVIDAD 10

Función lineal 1) Tu docente te dará un rollito de papel con el que harás algunas mediciones.

A medida que vayas desenrollando el papel, quedarán formados distintos rectángulos.

a) ¿Qué medida varía en cada uno de los rectángulos que se forman? b) ¿Hay alguna medida de los rectángulos que se mantiene constante? c) Calculá el valor del perímetro de cada uno de los rectángulos construidos. Anotá las medidas obtenidas. d) En las cuentas que han hecho, hay alguna medida que se repite para todos los rectángulos? ¿cuál? e) Completá la siguiente tabla con los diferentes valores de las bases de los rectángulos construidos y su perímetro.

Medida de la base

Perímetro

Ya sabés que otra forma de ordenar valores que aparecen en una tabla es la de representarlos en un sistema de ejes. f) Ubicá los valores obtenidos en el siguiente par de ejes cartesianos.

g) ¿Cómo han quedado los puntos que marcaste? h) Compará tu gráfica con la de alguno de tus compañeros Supone que un rectángulo cambia la medida de la base (representada por la letra B) en cada segundo. i) Escribí una fórmula para calcular rápidamente los valores de los nuevos perímetros de dicho rectángulo.

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j) Compartí con tus compañeros la fórmula que escribiste en el apartado anterior. ¿Son todas las mismas? ¿Qué tienen de diferente o de igual la tuya con las de tus compañeros? 2) La última vez que Alfredo fue a la despensa del barrio, el despensero le quedó debiendo $ 2 porque no tenía cambio. Alfredo desea comprar chupetines que cuestan $ 0,10 cada uno. a) Si compra 14 chupetines en la despensa del barrio. ¿Cuánto dinero le tendrá que pagar al despensero o cuánto él le quedará debiendo? b) ¿Cuántos chupetines le tendría que dar el despensero a Alfredo para saldar su deuda? c) ¿Cuánto dinero tendrá que pagar Alfredo si compra 23 chupetines? La siguiente fórmula permite calcular el saldo de la cuenta corriente de Alfredo en la despensa:

Saldo = 0,10 · Chupetines – 2 (se le resta $ 2 que es lo que le debe el despensero a Alfredo)

d) Usando la fórmula anterior completá la siguiente tabla:

Chupetines Saldo

5

0

25

e) Graficá en un par de ejes cartesianos la relación que existe entre la cantidad de chupetines que compra Alfredo y el saldo de su cuenta corriente en la despensa. 3) En una casa de juegos electrónicos, para poder utilizarlos, hay que comprar una tarjeta magnética y “cargarla” con dinero. a) Andrea “cargó” su tarjeta con $ 4. El costo de cada juego es de $ 0,25. b) ¿Cuánto dinero le quedó en su tarjeta a Andrea después de haber jugado en 3 juegos? c) ¿Cuánto dinero le quedó “cargado” en su tarjeta a Andrea después de haber jugado en 8 juegos? d) Escribí una fórmula que te permita calcular el dinero que le quedó “cargado” en su tarjeta a Andrea después de haber jugado a una cantidad dada de juegos. e) Utilizando la fórmula que escribiste en el apartado anterior, completá la siguiente tabla:

Juegos jugados

Dinero cargado en la tarjeta

7

12

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f) Graficá en un par de ejes cartesianos la relación que existe entre la cantidad de juegos jugados por Andrea y el dinero “cargado” en su tarjeta.

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ACTIVIDAD 11

Función de proporcionalidad directa 1) En una fábrica se emplean 4 tornillos por cada silla que se arma. a) Completá la siguiente tabla:

SILLAS TORNILLOS 1 4 20 140

100 500

6.000 b) Encontrá una expresión para la función que hace corresponder a cada cantidad de sillas la cantidad de tornillos que se necesitan. 2) Considerá que la siguiente tabla relaciona cantidades directamente proporcionales.

a b c 4 x y

a) Calculá x si b es la mitad de a. b) Calculá y si c es el quíntuple de a. 3) Indicá cuáles de las siguientes situaciones corresponden a funciones de proporcionalidad directa. a) La cantidad de agua por minuto que arroja una bomba en relación con el tiempo que tarda en llenar una pileta determinada. b) La altura de una pared y la cantidad de pintura necesaria para pintarla. c) El área de una pared y la cantidad de pintura necesaria para pintarla. d) La cantidad de libros por estante y el número de estantes que se utilizan para distribuir 200 libros en una biblioteca, colocando la misma cantidad de libros por estante. e) El peso y la altura de una persona. f) El peso y la edad de una persona. g) La cantidad de vasos que pueden llenarse con un litro de gaseosa y la capacidad del vaso. 4) Indicá cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones de proporcionalidad directa o inversa. Determiná para esos gráficos, las respectivas constantes de proporcionalidad.

a)

21

b)

c)

d)

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ACTIVIDAD 12

Análisis de funciones 1) Indicá qué fórmula corresponde a cada gráfico:

a) y = 4 b) y = 2x c) y = 2x + 3 d) y = -2x + 3

2) Para enviar un paquete al exterior una empresa de correo privado “Chasqui S.A.”, cobra una suma fija de $ 6 en concepto de seguro y $ 3 por cada paquete que se envíe. Otra empresa, llamada “Interpostal”,cobra $ 4,50 por cada paquete, precio que incluye el seguro. a) Escribí, para cada empresa, la fórmula de la función que relaciona el costo del envío con la cantidad de paquetes. b) ¿Cuántos paquetes puedo enviar con la empresa “Chasqui S.A.” si dispongo de sólo $ 36? c) ¿Cuántos paquetes puedo enviar con la empresa “Interpostal” si dispongo de sólo $ 36?

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d) ¿Con cuál empresa puedo enviar más paquetes si dispongo de sólo $ 36? e) ¿Cuántos paquetes puedo enviar con la empresa “Chasqui S.A.” si dispongo de sólo $ 42? f) ¿Cuántos paquetes puedo enviar con la empresa “Interpostal” si dispongo de sólo $ 42? g) ¿Con cuál empresa puedo enviar más paquetes si dispongo de sólo $ 42? h) ¿Cuál empresa resulta más conveniente si se desean enviar 3 paquetes? i) ¿Cuál empresa resulta más conveniente si se desean enviar 7 paquetes? j) ¿Cuál empresa resulta más conveniente si se desean enviar 4 paquetes? k) Graficá, en el mismo par de ejes cartesianos, la función que relaciona el costo del envío con la cantidad de paquetes para cada empresa. l) Escribí las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de las funciones correspondientes a las empresas. 3) Por cuestiones laborales, necesito comprar un teléfono celular. La empresa “Unicel” me ofrece el siguiente servicio: un costo fijo de $ 20 por mes por el mantenimiento de la línea, más un costo de $ 0,30 por cada minuto de uso. La empresa “Globalcel” me ofrece: un costo fijo de $ 25 por el mantenimiento de la línea, más un costo de $ 0,28 por cada minuto de uso. a) Escribí, para cada empresa, la fórmula de la función que relaciona el costo del servicio con la cantidad de minutos de uso. b) Graficá, en el mismo par de ejes cartesianos, la función que relaciona el costo del servicio con la cantidad de minutos usados para cada empresa. c) ¿Cuántos minutos tendría que hablar para que ambas empresas me cobren el mismo importe? d) ¿Cuál empresa me resulta más conveniente si sé que las llamadas a mis clientes siempre superan las 5 horas por mes? e) ¿Cuál empresa me resulta más conveniente si sé que las llamadas a mis clientes no superan las 4 horas por mes?

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ACTIVIDAD 13

Triángulos congruentes 1) Dibujá un triángulo que tenga las siguientes características: a) Triángulo ABC: un lado mide 8 cm y otro lado mide 6 cm. b) Triángulo DEF: un lado mide 5 cm y un ángulo mide 60° c) Compará los triángulos que dibujaste en los apartados anteriores con los que dibujaron tus compañeros. d) ¿Son iguales todos los triángulos que dibujaron los alumnos de tu curso? e) Escribí una lista con los datos que deberían darse para que todos los alumnos dibujen triángulos iguales. 2) Dibujá un triángulo que tenga las siguientes características: a) Triángulo ABC: un lado mide 8 cm, otro lado mide 6 cm y otro lado mide 10 cm. b) Triángulo DEF: un lado mide 5 cm, otro lado mide 7 cm y el ángulo formado entre ellos mide 60° c) Triángulo GHI: un lado mide 9 cm y los ángulos ubicados a sus extremos miden 70° y 40°. 3) ¿Cuáles son las características que deben tener iguales, como mínimo, dos triángulos para ser congruentes?

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ACTIVIDAD 14 Propiedad de los ángulos de un triángulo 1) Dibujá triángulos que tengan ángulos de las siguientes medidas:

Triángulo Medida de sus ángulos ABC 90°, 60° y 30° DEF 100°, 55° y 25° GHI 80°, 20° y 50° JKL 80°, 40° y 60° MNÑ 110°, 30° y 40°

a) ¿Pudiste dibujar todos los triángulos de la tabla? b) ¿Cuáles triángulos pudiste dibujar? c) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos de los triángulos que pudiste dibujar? d) Escribí una conclusión sobre la medida de los ángulos de un triángulo.

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ACTIVIDAD 15

Ángulos exteriores de un triángulo 1) El dueño del lote vecino al mío desea saber la medida del ángulo û. Me preguntó cuánto medían los ángulos â y ĉ. Me fijé en los planos que me había hecho un agrimensor y le contesté que el ángulo â medía 112° y el ángulo ĉ medía 30°.

a) ¿Cuánto mide el ángulo û del lote del vecino?

2) El siguiente gráfico representa la ventana de un edificio.

El vidrio de la derecha fue roto por un proyectil. Se lo desea cambiar por otro vidrio. Para poder cortar el vidrio nuevo con la misma forma que el roto, debe conocerse la medida del ángulo û. El ángulo â mide 50°. El ángulo ĉ mide 103°.

a) ¿Cuánto mide el ángulo û? 3) Escribí una conclusión sobre la medida de los ángulos exteriores de un triángulo.

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ACTIVIDAD 16

Simetría 1) Algunas de estas figuras se habían dibujado solo una y la otra, es su reflejo en un espejo.

a) ¿Cuáles figuras se dibujaron utilizando un espejo? b) ¿Cómo te das cuenta cuáles son las figuras que se dibujaron utilizando un espejo? c) ¿Dónde colocarías el espejo? 2) Si tuvieses la siguiente figura y la línea representara el espejo. ¿Cómo se verían la figura y su imagen?

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ACTIVIDAD 17 Triángulos semejantes – Primera parte 1) Dibujá y recortá triángulos que tengan lados con medidas proporcionales. 2) Completá una tabla como la siguiente, anotando las medidas de los ángulos de los diferentes triángulos (con lados proporcionales) que recortaste en el apartado anterior.

Ángulos Triángulo

Â Ê Ĉ AEC

A’E’C’ A”E”C”

3) Escribí una conclusión sobre la medida de los ángulos de los triángulos que tienen todos sus lados proporcionales.

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ACTIVIDAD 18

Triángulos semejantes – Segunda parte 1) Federico dibujó varios triángulos. En la tabla siguiente se muestran las medidas de sus lados:

Triángulo Medida de los lados ABC 7 cm, 10 cm y 13 cm DEF 3 cm, 4 cm y 5 cm GHI 11 cm, 8 cm y 4 cm JKL 2 cm, 4 cm, y 6 cm MNÑ 12 cm, 15 cm y 9 cm OPQ 3 cm, 2 cm y 1 cm RST 14 cm, 26 cm y 20 cm UVW 5 cm, 6 cm y 2 cm XYZ 8 cm, 20 cm y 24 cm

a) ¿Cuáles de los triángulos que dibujó Federico tienen los ángulos congruentes? b) Elegí uno de los pares de triángulos del apartado anterior y calculá el cociente entre sus lados correspondientes. c) Escribí una conclusión sobre los resultados de las divisiones que hiciste. Gabriela dibujó un triángulo cuyos lados medían 24 cm, 36 cm y 18 cm. d) Encontrá un triángulo que tenga ángulos congruentes a los del triángulo que dibujó Gabriela.

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ANEXO

Actividades complementarias

ACTIVIDAD 3 1) En una fábrica de alfajores hay siete depósitos. En cada depósito hay siete estantes en cada estante hay siete empaques de siete cajas de alfajores cada uno.

a) Si cada caja contiene siete alfajores ¿Cuántos alfajores hay en la fábrica? b) Expresen el resultado como una potencia.

ACTIVIDAD 5 2) En una evaluación de Lengua, Luis ha obtenido 5 puntos más que Abel y Juan obtuvo 2 más que Abel. La suma total de las 3 notas fue de 22 puntos. Calculá cuántos puntos obtuvo cada uno de los chicos. 3) Pablo, Julián y Jorge trabajaron un total de 21 horas. Pablo y Julián trabajaron entre los dos 15 horas y Pablo trabajó 2 horas menos que Jorge. ¿Cuántas horas trabajó cada uno? 4) Un grupo de amigos decide realizar una pequeña fiesta y para ello compran tres gaseosas y una pizza. La pizza ha costado tres pesos más que el doble del precio de una gaseosa. En total se han gastado $ 13.

a) ¿Cuánto cuesta cada gaseosa? b) ¿Cuánto se pagó por la pizza?.

5) Patricia tenia $k al salir de su casa. Al llegar al kiosco se encontró con su hermano que le pidió $1 para comprar chocolates. Después fue a la librería y gasto $3. Cuando regresaba a su casa se cruzo con Federico que le devolvió los $2 que le debía. Al volver a su casa le quedaban $h. ¿Cuál o cuales de las siguientes expresiones permite calcular h conociendo k?

h = k – 1 – 3 + 2 h = k - (1 – 3 - 2) h = k - (1 + 3) + 2 h = k - (1 + 3 + 2)

ACTIVIDAD 6 6) Ubicá en la recta numérica los siguientes números enteros:

1 ; -2 ; 4 ; 5 ; -4 ; -7 ; 10 ; -10 7) Escribí el opuesto de cada uno de los siguientes números enteros:

2 ; 5 ; -4 ; 34 ; -8 ; -25 ; 568 ; -439 8) Completá con < o >

-3 8 -7 0 -5 -9 2 -6 -15 -16 0 -4

31

2 6 -2 -6 5 3 -5 -3 -2 4 2 -4

9) Claudia anotó en fichas la temperatura de cada hora a partir de las 8 de la mañana pero, las fichas se le desordenaron. Ayudá a Claudia a escribir la temperatura correspondiente a cada hora, si se sabe que fue subiendo a lo largo del día.

0°C ; 5°C ; -7°C ; -4°C ; 9°C ; -5°C ; -3°C ; 4°C 10) Ordená de menor a mayor los siguientes números enteros:

4 ; -8 ; 34 ; 0 ; -2 ; -4 ; 6 ; -15 ; -11 ; 3 11) Escribí el anterior y el siguiente de:

Anterior Siguiente

5

-3

400

-237

1

-1

0

-330

12) Marcá los conjuntos A, B, C y D en la recta numérica. A = {números enteros mayores o iguales que –2 y menores que 4} B = {números enteros menores que 0 y mayores que -6} C = {números enteros mayores que –1 y menores que 8} D = {números enteros mayores que 2 y menores o iguales que 7} 13) Completá la siguiente tabla:

a b -a -(-a) -b -(-b)

2 5

3 7

5 6

-3 4

0 -10

14) Ordená de mayor a menor los siguientes números:

-13 ; 8 ; 15 ; -45 ; -100 ; 340 ; -16 ; -1 ; 5 ; 0

32

15) Contestá las siguientes preguntas:

¿Es 7<8? ¿Es 7>-5?

¿Es –5<5? ¿Es –9>1?

¿Es –7<0? ¿Es 0>-2?

¿Es 5>5? ¿Es –2<-2?

16) Para cada caso escribí cinco números enteros:

a) menores que –5 b) mayores que –2 c) menores o iguales que 3 d) mayores o iguales que –10

ACTIVIDAD 8 17) Colocá V o F a cada afirmación y justificá la respuesta:

a) ( ) 334 4 −=−

b) 202 6666 =⋅⋅

c) ( ) 443 3 −=−

d) 55 −>−

ACTIVIDADES VARIAS 18) Resolvé las siguientes situaciones. Dibujá rectas numéricas que te ayuden a la resolución: a) En una ciudad, la temperatura subió 3ºC por la mañana y bajó 10ºC por la tarde. ¿Cuál ha sido la variación de la temperatura a lo largo del día? b) Elvira está buceando a 3m bajo el nivel del mar y desciende 4m. ¿En dónde se encontrará ahora? c) Cleopatra nació el año 68 a.C. y vivió 38 años. ¿En que año murió? d) Las primeras olimpíadas se realizaron en Grecia en el año 775 antes de Cristo. ¿Cuántos años transcurrieron hasta las olimpíadas de Barcelona (España 1992)? 20) Completá las siguientes afirmaciones:

a) El opuesto de un número positivo es...........................

b) El opuesto de un número negativo es..........................

c) El valor absoluto de un número negativo es.............................

d) El cero es......................... que todos los números negativos

e) El cero es menor que todos los números..............................

21) Mirta y Jorge van en bicicleta y salen del mismo lugar. Mirta avanza 6 Km y luego retrocede 2 Km., mientras que Jorge avanza 8 Km. y retrocede 5 Km.

33

a) ¿ A qué distancia se encuentran? b) ¿ Quién ha avanzado más? c) ¿ Quién ha recorrido más kilómetros?

22) En el fondo de un pozo de 13 m de profundidad se encuentra un caracol. Quiere salir de él y para ello sube cada día 3m y baja 2 m. ¿Cuántos días tardará en llegar a la boca del pozo? 23) Inventa un enunciado de un problema para cada una de las operaciones siguientes: a) (- 1200) + (+ 1800) b) (+5 ) - (+ 7) 24) Completá con = o ≠ y justifica con las propiedades.

a) (-2) + (-5) .......(-5) + (-2) propiedad:

b) -9 + ( 6 + 4)........(-9 + 6) + 4 propiedad:

c) 10 + (-5)........(-7) + 10 + 7 + (-5) propiedad:

d) 15 - (-4)........(-4) - (15) propiedad:

e) 4 - 9 + 6 + 8 + (-4) + 9........6 + 8 propiedad:

25) Respondé a) ¿Es posible encontrar el mayor número entero negativo? ¿Cuál es? b) ¿Es posible encontrar el menor número entero negativo? ¿Cuál es? c) ¿Es posible encontrar el mayor número entero positivo? ¿Cuál es? d) Dos números distintos, ¿pueden tener el mismo valor absoluto? Da ejemplos. 26) Resolvé cancelando y suprimiendo ( ), [ ], { }. a) 15 + 7 - 3 - 1 + 3 = b) -12 + 3 - { 8 - [ 9 + 4 - 1 + ( -2 + 8) ] + 3 } = c) -7 + [ 6 - (4- 7) + (4 - 8) - 1 ] + 3 = 27) Resolvé las siguientes operaciones: (separá en términos) a) 5 + (-4) - 2 + 8 – 3 + 4 – 7 – (-1) + 10 = b) 5 · (-4) + 120 : 4 – 14 : (-2) = c) 10 + 4 · 2 – 5 + 1 · 8 – 0 10 + 2 = 28) Completá las siguientes tablas:

: -2 -4

+4

0

-15 -3

-20 +2

34

x -5 0

+4 -12

+15 -18

+21

+8

a b a · b b · a a · 0 a · 1 3a-2b

-5 -3

+1 -9

-50 +7

a b a: b b: a a : 1

+40 -10

-27 -9

+8 -24

0 -5

29) Resolvé las siguientes situaciones: a) El nivel de agua de un pozo ha disminuido 63 cm en una semana. Si el descenso diario es el mismo, ¿cuánto ha bajado cada día? b) El producto de dos números es –24 ¿Cuáles pueden ser los números? Escribe todas las opciones posibles. c) Una chica ecologista se propone hacer lo siguiente: cada día va a recoger 7 papeles u objetos que encuentre tirados en la calle: I) ¿Cuántos recogerá al cabo de una semana? II) Si no sale de su casa en tres días, ¿cuántos habrá dejado de recoger? 30) En el depósito de un supermercado, hay 64 cajas apiladas (como muestra la figura), que contienen latas de tomates. Ricardo y Luis, que trabajan en ese depósito, necesitan saber cuántas latas hay en total. Para ello, abren una de las cajas y observan cuántas latas contienen.

35

En cada caja encontraron 27 latas, en 3 pisos. a) Dibujá en el esquema la disposición de las latas en las cajas. Cada uno de los empleados contó las latas de manera diferente y les dio lo mismo. b) Explicá cuáles fueron las diferentes formas de contar. c) ¿Cuántas latas contaron? 31) Se sabe que un tanque cúbico tiene un volumen de 3.375 m3. ¿Cuáles son las dimensiones del tanque? (Es decir, la medida de cada arista) 32) Colocá ≠ o = según corresponda, justificando en cada caso: a) (3 · a)3 ..……3 · a3 b) 175 · (-3)5........(-51)5 c) (2 · b 4)2........4 · b8 d) (b2 · b5 : b3 )2……..b8 e) (-x)2........- x 2 33) Sabiendo que a2 + b2 = 17, calculá:

(a + b)2 – 2 · (a - b)2 – 6·a·b = 34) Resolvé las siguientes ecuaciones y realizá la comprobación:

a) x2 - 1 = 34

b) 3 1+x = 9

c) (x-5)2 = x2 – 5 d) (x + 2)2 = x2 + (-12) . (-2)

e) x = 2 . [ -7 + (-5) . (-2)] 35) Resolvé y colocá = ó ≠ según corresponda

a) 916 + ........ 16 + 9

b) 3 64 ........

6 64

c) [ ]3 3)5(− ........ 5−

d) 4 729 ........ 3−

e) 25:100 ........ 25:100

f) 81.36 ........ 81.36

g) 33 3431000 − ........

3 3431000 −

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BIBLIOGRAFIA

Autores varios. 1998. El libro de la matemática 8. Argentina. Estrada

Seveso de Larotonda, J.; Wykowski, A.; Ferrarini, G.. 1998. Matemática 8 EGB. Argentina. Kapelusz.

Bindstein, Mirta; Hanfling, Mirta.1999.Matemática 8º EGB. Argentina . Aique

Ferraris, Liliana; Tasso, Marcela. 2003. Aprendamos matemática 8. Argentina.

Comunicarte.

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ACTIVIDAD 19

Repaso de racionales 1) Para festejar el día del estudiante, la maestra de 7° año preparó a sus alumnos distintos juegos y actividades deportivas. Al finalizar, organizó a sus alumnos en grupos de 3 chicos cada uno y distribuyó alfajores y gaseosas. Cada grupo de 3 alumnos recibió 5 alfajores. Todos los niños quieren comer la misma cantidad. a) ¿Cómo se pueden repartir los alfajores? b) ¿Qué cantidad de alfajor recibe cada alumno? 2) ¿En qué casos la zona rayada representa ¼ de la unidad?

3) Observa las figuras y contesta las siguientes preguntas. a) Esta figura representa ½ de la unidad. ¿Cuál es la unidad?

b) Esta figura es 2/4 de la unidad. ¿Cómo es la figura unidad?

37

4) ¿En qué casos se han pintado 2/3 de las bolitas?

a) b) c)

5) Compará las fracciones e indicá cuál es la mayor en cada caso.

a) 135

y 47

b) 5

12 y

518

c) 711

y 822

d) 5

12 y

611

e) 2217

y 1 f) 0 y 10015

6) Juan introdujo en su calculadora los racionales que están en la lista de la izquierda y obtuvo en el visor los correspondientes números que están a la derecha.

VISOR

41

0,25

31

0,3333333

52

0,4

10061

0,61

2017

0,85

65

0,8333333

Atención: los números en los cuales se repite la cifra 3 ó 6 de los ejemplos no terminan, no aparecen más cifras porque la calculadora solo muestra ocho dígitos. a) Verificá con una calculadora los cálculos hechos por Juan. b) Completá la siguiente tabla, indicando qué mostrará el visor de una calculadora cuando se ingresen los racionales de la columna de la izquierda.

VISOR

83

314

106

95

10021

38

65

c) Completá la siguiente tabla, indicando el racional que habría que ingresar en la calculadora para que el visor muestre los valores de la columna de la derecha:

VISOR

1,25

0,6666666

3,25

7,3333333

39

ACTIVIDAD 20

Comparando racionales 1) Colocá >, < o = según corresponda: a) 5/6.....0,8333 b) 3 + 1/100.....3,100 c) 2 + 1/100.....2,0100 d) 2,35.....2,53 e) 4 + 1/100.....4,1 f) 2,01.....2 + 1/10 2) Representá en una misma recta numérica los números: 1,28 y 1,4 3) ¿Cuáles son los números que se han representado con A y B en cada caso?

4) Hay que comparar los números 3,16 y 4

13.

Alberto dice: “Hice 13 dividido 4 y me dio 3,25. Entonces es mayor 4

13 porque

3,25 tiene mayor la cifra de los décimos que 3,16”.

Julieta comenta: “Yo hice 3,16 = 100316

y 100325

413

= . como 325 es mayor que 316,

entonces 4

13 es mayor que 3,16”.

¿Cuál de los razonamientos es correcto? Explicá cómo te decidiste. 5) Irene compró 0,75 kg. de pan a $1,20. Imanol compró en la misma panadería, 374 kg. del mismo pan y pagó $1,30. a) ¿Le cobraron bien a Imanol? b) ¿Por qué? 6) Natalia compró 0,250 kg. de queso a $ 2,50. Si hubiera comprado 1 3/4 del mismo queso en el mismo negocio. ¿Cuánto tendría que haber pagado si no le hacen ningún tipo de descuento? 7) En algunos casos cuando dividimos el numerador y el denominador de una fracción para obtener su expresión decimal, nos encontramos con que las cifras decimales del número se repiten y no terminan nunca. Por ejemplo:

1/3 = 0,3333... 5/6 = 0,83333...

A estos números se los llama decimales “periódicos”. Buscá tres fracciones distintas de las anteriores, cuya expresión decimal sea periódica. Explicá como las encontraste.

40

8) ¿Qué números hay que dividir para obtener cada uno de los siguientes decimales? a) 2,75 b) 0,18 c) 0,666666... d)1,33333333... 9) Eliseo dice que hay muchos pares de números que al dividirlos dan por resultado 2,75. a) ¿Es cierto? b) ¿Por qué? 10) Ubicá en una misma recta los números 0; 1,8; 2,3; 5/2 y 1. 11) Ubicá en una misma recta los números 1; 2,3; 1,7; 0 y 3/4. 12) Julián tiene que descubrir una clave secreta para abrir un maletín. ¿Puede hacerlo con las siguientes indicaciones?

Es mayor que 5,301 y menor que 5,302. Si dividimos un número natural por 10.000, se obtiene la clave. La última cifra decimal es divisible por 2, por 4 y por 8.

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ACTIVIDAD 21

Cálculos con calculadora 1) Contestá las siguientes preguntas: a) ¿Qué resultado aparecerá en el visor de la calculadora si hacés 0,5 x 10? b) ¿Y si hacés 0,05 x 10? c) ¿Y 0,05 x 100? d) ¿Y 0,5 x 100? 2) Se tiene escrito en el visor de la calculadora el número 3,25. a) ¿Qué habría que hacer para que apareciera 325 sin borrar lo que se tiene y con un único cálculo? Escribí el cálculo que crees necesario realizar. b) Verificá la respuesta anterior con la calculadora. c) ¿Qué habría que hacer para que apareciera 0,325 sin borrar lo que se tiene y con un único cálculo? Escribí el cálculo que crees necesario realizar. d) Verificá la respuesta anterior con la calculadora. e) ¿Qué habría que hacer para que apareciera 3250 sin borrar lo que se tiene y con un único cálculo? Escribí el cálculo que crees necesario realizar. f) Verificá la respuesta anterior con la calculadora. g) ¿Qué habría que hacer para que apareciera 32,5 sin borrar lo que se tiene y con un único cálculo? Escribí el cálculo que crees necesario realizar. h) Verificá la respuesta anterior con la calculadora. 3) Se tiene escrito en el visor de la calculadora el número 5,356. a) ¿Qué habría que hacer para que apareciera 535,6 sin borrar lo que se tiene y con un único cálculo? Escribí el cálculo que crees necesario realizar. b) Verificá la respuesta anterior con la calculadora. c) ¿Qué habría que hacer para que apareciera 0,5356 sin borrar lo que se tiene y con un único cálculo? Escribí el cálculo que crees necesario realizar. d) Verificá la respuesta anterior con la calculadora. 4) Utilizá la calculadora y proponé cuentas, sin utilizar la tecla de la coma, que arrojen los siguientes resultados: a) 0,01 b) 0,2 c) 0,5 d) 3,2 5) Elegí un compañero para conformar una pareja de trabajo. a) Juntos deben completar la columna “Cálculo propuesto” de la siguiente tabla. Deben escribir cuentas que al realizarse en la calculadora, sin oprimir la tecla de la coma, arrojen como resultado los valores de la columna “Número” (no vale hacer la cuenta en la calculadora). b) Cuando todas las parejas hayan completado la columna “Cálculo propuesto”, deben realizarse esos cálculos en la calculadora y anotar el resultado que arrojan en la columna “Resultado obtenido”. Si el resultado coincide con el valor de la columna “Número”, entonces se anotan 10 puntos en la columna “Puntos”. Gana la pareja que obtiene más puntos.

42

Número Cálculo propuesto Resultado obtenido

Puntos

4,5

2,204

23,057

0,08

0,089

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ACTIVIDAD 22

Cartas con fracciones en cuadrados Ahora, te invitamos a jugar con unos naipes especiales. Estas cartas tienen fracciones y su representación gráfica. Los modelos para fotocopiar y recortar están en las páginas siguientes. Estos juegos te permitirán utilizar fracciones equivalentes, comparar y sumar fracciones.

EL UNO Y MEDIO

Materiales El mazo de cartas de fracciones (son 40 cartas en cuatro "palos", con los

valores: 1,1/8,1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8, 9/8,5/4). Una hoja en blanco y un lápiz para anotar por alumno. Una tira de cartulina donde se ha representado la recta numérica con las

unidades divididas en octavos. Deberá tener una marca sobre el 1 1/2. Una ficha que represente a cada jugador (fácilmente distinguible)

Organización del grupo Se juega entre cuatro jugadores. Reglas del juego Se trata de un juego del estilo del "siete y medio", cuyo objetivo es sumar fracciones y compararlas mentalmente. Se juegan cuatro rondas. En cada ronda, uno de los jugadores reparte y no se da cartas a sí mismo ( es el "cartero"). Se mezclan las cartas y el cartero reparte una a cada jugador, quienes la ubican boca abajo. Cada jugador levanta y mira su carta -sin mostrarla- y en la siguiente ronda a su turno, le dice al cartero que quiere una carta más -tantas veces como desee, hasta que decida "plantarse"- o que no quiere más cartas. Se trata de acercarse a 1 1/2 tanto como se pueda. Para decidir quien gana cada ronda, una vez que los tres jugadores declararon que no quieren más cartas, cada uno calcula cuanto tiene (la suma de sus cartas) y pone su fichas sobre el número correspondiente a la suma de sus cartas en la "recta numérica", con lo cual es prácticamente inmediata la comparación de las fracciones resultado. Se muestran las cartas y controlan entre todos. Si alguien no está de acuerdo con el resultado, tiene que explicar por qué. Cuando todos acuerdan quien es el ganador, se anota el puntaje de la ronda. En cada ronda se juega un punto. El que se pasa de 1 1/2 no recibe puntos en esa ronda. Si un solo jugador sumó exactamente1 1/2, gana el punto de esa ronda. Si nadie sumó exactamente 1 1/2, gana el punto quien más se aproximó. Si hay empate, se fracciona el punto en partes iguales (medios o tercios). Se pueden jugar 4 u 8 rondas en cada partido, para que cada uno tenga la misma oportunidad de ser "cartero". Variantes del juego Se puede fabricar un segundo mazo, agregando cartas con sextos, tercios y doceavos. En este caso, para realizar las sumas deberán recurrir muchas veces a la búsqueda de fracciones equivalentes con denominador 12.

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BASTA NUMÉRICO CON FRACCIONES Reglas del juego Uno de los alumnos del grupo elige al azar un número entre 1/2 y 1 1/2 de los que figuran en la recta numérica. Por el término de unos minutos, todos deben escribir sumas cuyo resultado sea ese número. Terminado el tiempo acordado (por ejemplo, se dan 5 minutos) los jugadores controlan las sumas y se asigna 1 punto por cada respuesta correcta no repetida y 1/2 punto para cada uno si está repetida. Gana quien tiene mayor puntaje después de cuatro vueltas. Variantes del juego Por turno, cada alumno va retirando del mazo de cartas, dos o más que sumen el valor elegido hasta que se acaben todas, y van registrando por escrito cada extracción.

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46

47

ACTIVIDAD 23

Juego de los segmentos 1) Organizate con tus compañeros para jugar al juego “SEGMENTOS” que seguidamente te presentamos.

SEGMENTOS Materiales

Varias hojas (una por equipo) donde hay dibujados segmentos de 13 cm, 14 cm., 15 cm., 16 cm., 17 cm. y 18 cm..

Varias hojas donde hay dibujado un solo segmento de los que aparecen en la hoja del ítem anterior.

Varias hojas en blanco para que escribir mensajes. Organización del grupo Se juega en equipos. Cada equipo debe elegir un integrante que será el “delegado”. Reglas del juego Tu docente le entregará a cada grupo una hoja donde aparecerán dibujados varios segmentos. Al “delegado” le entregará otra hoja donde aparece un segmento dibujado (uno de los anteriores). El resto del grupo no debe ver la hoja que recibe el “delegado”. El delegado debe escribir un mensaje utilizando fracciones con denominadores 10, 100 o 1000 e indicando la medida del segmento en metros, para indicarle a sus compañeros de grupo cuál es el segmento que recibió. Los equipos que descubren el segmento que ha recibido su delegado, ganan un punto. Variantes del juego También se puede jugar sin entregar ninguna hoja a los grupos y así, ampliando la variedad de segmentos que puede recibir el “delegado”. Otra variante es permitir que los segmentos que recibe el “delegado” no tengan una medida entera de centímetros. Finalmente, otra variante sería permitir únicamente fracciones con numeradores de una sola cifra y, utilizar el signo de suma. 2) Suponé que estás jugando a “SEGMENTOS” con la última variante pero, también está permitida la escritura de enteros (además de las fracciones); y que sos el “delegado” de un grupo. Cómo escribirías los mensajes si te tocaran segmentos con las siguientes medidas: a) 0,57 m b) 1,06 m c) 3,4 cm d) 3 mm e) 2,39 m 3) Dibujá segmentos con las siguientes longitudes: a) 2/10 metro + 57100 metros b) 1/10 metros + 5/1000 metros c) 4/100 metros + 5/1000 metros 4) Indicá cuál de las siguientes medidas es mayor. a) 0,63 m b) 6/10 de metro c) 8/100 de metro

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ACTIVIDAD 24

Cartón lleno A continuación te proponemos un juego con unos dados especiales. En vez de tener números naturales, posee fracciones. Materiales

Dos cartones cuadriculados de 12 cuadraditos por 6 cuadraditos cada uno. Un dado con las siguientes fracciones escritas en sus caras: 1/8; 2/8; ¾;

5/4; 4/3 y 3/2. Papel, lápiz y goma de borrar.

Organización del grupo Se juega en parejas, uno contra otro. Reglas del juego Cada uno de los dos jugadores tiene un cartón. Se jugará teniendo en cuenta que la unidad corresponde al rectángulo formado por 12 cuadraditos. Los jugadores tiran el dado en forma alternativa. La fracción obtenida le indica una parte de la unidad (del rectángulo de 12 cuadraditos), que deberá pintar (o despintar) sobre sus rectángulos. El jugador decidirá si pinta o despinta. El juego termina cuando uno de los participantes llena su cartón, sin que sobre o falte algún cuadradito. Controlá lo que tu compañero pinta o despinta, ya que si se equivoca pierde un turno. Si te equivocás al corregir, eres tú el que pierde el turno.

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ACTIVIDAD 25

Juego de los dados 1) Buscá dos dados y alguien con quién jugar. Por turno, arrojen ambos dados y representen, en el mismo intervalo dibujado en esta hoja, la fracción formada por el puntaje de cada dado.

Representen las fracciones diferenciando las obtenidas por cada uno de ustedes. Gana el que primero logra señalar tres puntos sin que el contrincante haya marcado otro entre los mismos. Diviertite jugando varias veces y luego respondé: a) ¿Cuántas y cuáles son las fracciones que se pueden obtener? b) ¿Hay tantos puntos marcados como fracciones obtenidas? c) ¿Siempre hay un ganador? d) ¿Tuviste que tomar decisiones ampliando las reglas del juego? ¿Cuáles? e) ¿En qué casos se superpusieron las representaciones?

50

ACTIVIDAD 26

Porcentaje 1) En una caja que contiene 350 gramos de queso tipo A, se lee: "Este queso tiene 140 gr. de materia grasa". En la caja de otro queso tipo B se encuentra: "Cada 150 gramos de queso tiene 50 gr. de materia grasa". Si tomamos 100 gr. de cada uno de los quesos, ¿cuál de ellos tiene mayor cantidad de materia grasa? 2) Para obtener una pintura de un cierto color, Ana mezcla 4 litros de pintura roja, 3 litros de pintura azul y 3 litros de pintura amarilla. a) ¿Cuál es la proporción de pintura roja en el total de la mezcla? Marcá la respuesta correcta con una cruz.

34

4

10

64

104

b) ¿Cuántos litros de pintura roja habría en 100 litros de mezcla? c) ¿Qué porcentaje de la mezcla es de pintura roja? 3) Los tres quintos de los alumnos de una clase son chicas. a) Si se añaden a esa clase 5 chicas y 5 chicos, ¿qué afirmación es cierta? Hay más chicas que chicos. Hay igual número de chicas que de chicos Hay más chicos que chicas. Con la información dada, no se puede saber si hay más chicas que chicos. b) ¿Qué porcentaje de chicas había inicialmente en la clase? c) ¿Qué porcentaje de chicos había inicialmente en la clase?

Uno de los significados de 53 es 3 ÷ 5 (tres dividido cinco).

d) Usá la calculadora y calculá 3 ÷ 5 y 2 ÷ 5. e) ¿Qué relación encontrás con el porcentaje que calculaste en los apartados b) y c)? 4) A continuación se presenta la receta para armar el cóctel llamado “Alexander”: Media medida de crema de leche; 4 medidas y media de crema de cacao; una medida de dry gin; una medida de azúcar impalpable. Batir todos los elementos. Servir en copa flauta. a) Representá en este gráfico las proporciones para el cóctel y explicá cómo lo hiciste.

51

b) Reproducí el gráfico en este círculo con centésimos para calcular los

porcentajes.

c) Completá los siguientes datos:

crema de leche _____%

crema de cacao _____%

dry gin _____%

azúcar impalpable _____%

d) Explicá cómo lo hiciste.

52

ACTIVIDAD 27

Probabilidad 1) En una bolsa hay 25 bolitas blancas, 20 azules, y 5 rojas. Analía saca una bolita sin mirar el interior de la bolsa. ¿Cuál es el color de bolita que tiene más chance de salir? ¿Por qué? 2) Se tiran dos dados simultáneamente, uno rojo y otro azul. a) Completá la tabla con todas las posibilidades de los resultados que se pueden obtener:

b) ¿De cuántas maneras pueden caer los dados? c) Del total de maneras que pueden caer los dados, ¿qué porcentaje arrojan como resultado de la suma 7? d) Representá con una fracción tu respuesta en el apartado anterior. e) Del total de maneras que pueden caer los dados, ¿qué porcentaje arrojan como resultado de la suma 11? f) Representá con una fracción tu respuesta en el apartado anterior. g) Del total de maneras que pueden caer los dados, ¿qué porcentaje arrojan como resultado de la suma 6? h) Representá con una fracción tu respuesta en el apartado anterior. 3) En una lotería que tiene todos los números del 200 hasta el 999, ¿cuál es la probabilidad de que salga: a) el número 745? b) un número par? c) un número con las tres cifras iguales? d) un número múltiplo de 5?

e) un número que tiene un 3 en el lugar de las decenas?

53

ACTIVIDAD 28

Integración de racionales 1) Observá el siguiente gráfico.

a) ¿Qué parte del entero representa la ficha A? b) ¿Y la B? 2) Escribí una fracción que represente la parte pintada de la siguiente figura.

3) Pintá 2/5 de estas fichas.

4) Pintá 3/5 de estas fichas.

5) Observá el siguiente gráfico.

a) ¿Qué parte de la ficha A representa la ficha B? b) ¿Cuántas fichas B se necesitan para cubrir a la ficha A?

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6) Se comieron dos tercios del pastel y quedó esto ¿Qué forma tenía el pastel?

7) Susana gastó las dos terceras partes del dinero que guardaba en su bolsillo. Pedro gastó la mitad de lo que tenía en el suyo. a) ¿Quién gastó más? b) ¿Pueden haber gastado igual? 8) Este gráfico representa ¼ de la figura. ¿Cuál es la figura?

9) El siguiente gráfico representa 2/3 de un entero. ¿Cómo es el entero?

10) Quiero repartir dos pizzas entre tres amigos que van a cenar. ¿Cómo puedo hacer? 11) ¿Es lo mismo 2:3 que 2/3? Carlos, Pedro y Tomás discuten sobre la respuesta a la pregunta anterior. Carlos dice: “2:3 es lo mismo que 2/3”. Pedro dice: “2:3 es más que 2/3”. Y Tomás dice: “No se pueden comparar”. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? 12) Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que saque un tres? ¿Una en seis? Escribí tu respuesta utilizando una fracción. 13) ¿Qué tanto por ciento es dos de cinco? ¿Y cinco de dos? Escribí tus respuestas utilizando fracciones. 14) De una docena de caramelos, 2/3 son de dulce de leche. ¿Cuántos caramelos de dulce de leche hay?

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15) La siguiente receta es para seis personas.

Crema de naranja al café 3 cucharaditas de café instantáneo 120 gr. de mermelada de naranja

½ litro de crema de leche 3 cucharadas de leche 3 cucharadas de azúcar

1/3 de vasito de ron ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesitaré para nueve personas? 16) ¿Qué número multiplicado por tres da por resultado dos?

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ACTIVIDAD 29

Potenciación y radicación con racionales 1) Ernesto tiene una cartulina cuadrada cuyo lado mide 1 m.. Necesita recortar un cuadrado cuyo lado mida ¾ m.. a) Dibujá, en escala, la cartulina que tiene Ernesto y, dentro de ella marcá el cuadrado que debe recortar. b) ¿Qué parte de la cartulina entera ocupa el cuadrado que debe recortar? Escribí los cálculos que hacés para contestar esta pregunta y, si es posible, usá la potencia para expresarlos. c) ¿Cuántos m2 tiene la cartulina entera? Escribí los cálculos que hacés para contestar esta pregunta y, si es posible, usá la potencia para expresarlos. d) ¿Cuántos cm2 tiene la cartulina entera? Escribí los cálculos que hacés para contestar esta pregunta y, si es posible, usá la potencia para expresarlos. e) ¿Qué tienen de igual y qué tienen de diferente tus respuestas en los dos apartados anteriores? f) ¿Cuántos m2 tendrá el cuadrado que debe recortar Ernesto? Escribí los cálculos que hacés para contestar esta pregunta y, si es posible, usá la potencia para expresarlos. g) ¿Cuántos cm2 tendrá el cuadrado que debe recortar Ernesto? Escribí los cálculos que hacés para contestar esta pregunta y, si es posible, usá la potencia para expresarlos. h) ¿Qué tienen de igual y qué tienen de diferente tus respuestas en los dos apartados anteriores? 2) Ahora le piden a Ernesto que recorte en una cartulina cuadrada de 1 m. de lado, un cuadrado cuya área sea las 4/25 partes de la cartulina entera. a) ¿Qué parte del lado de la cartulina tiene el cuadrado que debe recortar? b) ¿Cuántos m2 tendrá el cuadrado que debe recortar Ernesto? c) ¿Cuántos cm2 tendrá el cuadrado que debe recortar Ernesto? d) ¿Qué tienen de igual y qué tienen de diferente tus respuestas en los dos apartados anteriores? e) ¿Cuántos metros mide el lado del cuadrado que debe recortar? f) ¿Cuántos centímetros mide el lado del cuadrado que debe recortar? g) ¿Qué tienen de igual y qué tienen de diferente tus respuestas en los dos apartados anteriores? h) Dibujá, en escala, la cartulina que tiene Ernesto y, dentro de ella marcá el cuadrado que debe recortar. 3) Volvieron a cambiarle el pedido a Ernesto. Debe recortar de una cartulina cuadrada de 1 m. de lado, un cuadrado cuya área sea 0,25 m2. a) ¿Cuántos cm2 tendrá el cuadrado que debe recortar Ernesto? b) ¿Cuántos metros mide el lado del cuadrado que debe recortar? c) ¿Cuántos centímetros mide el lado del cuadrado que debe recortar? d) ¿Qué tienen de igual y qué tienen de diferente tus respuestas en los dos apartados anteriores? e) ¿Qué parte de la cartulina entera ocupa el cuadrado que debe recortar? f) ¿Qué parte del lado de la cartulina tiene el cuadrado que debe recortar?

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g) Dibujá, en escala, la cartulina que tiene Ernesto y, dentro de ella marcá el cuadrado que debe recortar. 4) Otra vez le cambiaron el pedido a Ernesto. Ahora, debe recortar de una cartulina cuadrada de 1 m. de lado, un cuadrado cuya área sea 6.400 cm2. a) ¿Cuántos m2 tendrá el cuadrado que debe recortar Ernesto? b) ¿Cuántos centímetros mide el lado del cuadrado que debe recortar? c) ¿Cuántos metros mide el lado del cuadrado que debe recortar? d) ¿Qué tienen de igual y qué tienen de diferente tus respuestas en los dos apartados anteriores? ¿Por qué crees que tienen estas similitudes? e) ¿Qué parte de la cartulina entera ocupa el cuadrado que debe recortar? f) ¿Qué parte del lado de la cartulina tiene el cuadrado que debe recortar? g) Dibujá, en escala, la cartulina que tiene Ernesto y, dentro de ella marcá el cuadrado que debe recortar.

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ACTIVIDAD 30

Cálculo de volúmenes 1) Se desea construir una cisterna para abastecer de agua a un edificio. La misma tendrá la forma de un cubo cuya arista medirá 1,50 m.. a) ¿Cuántos m3 tendrá la cisterna? Escribí los cálculos que hacés para contestar esta pregunta y, si es posible, usá la potencia para expresarlos. b) ¿Cuántos cm3 tendrá la cisterna? Escribí los cálculos que hacés para contestar esta pregunta y, si es posible, usá la potencia para expresarlos. c) ¿Cuántos litros de agua podrá almacenar? d) Se ha decidido duplicar la capacidad de la cisterna. Entonces, alguien sugiere que se debe duplicar el tamaño de la arista; otro, dice que debe duplicarse la altura; finalmente, un tercero está convencido que debe duplicarse el área de la base. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? e) Si se deseara tener una cisterna cúbica con una capacidad de 64.000 litros. ¿Cuántos metros debería medir la arista? 2) Juan construyó para su hija un arenero con forma cúbica. Cada arista del arenero mide ½ m.. Desea llenarlo con arena rubia. En el corralón de materiales para la construcción se la venden en bolsones de 1 m3.. a) ¿Cuántos cm3 de arena rubia necesita para llenar el arenero? Escribí los cálculos que hacés para contestar esta pregunta y, si es posible, usá la potencia para expresarlos. b) ¿Cuántos m3 de arena rubia necesita para llenar el arenero? Escribí los cálculos que hacés para contestar esta pregunta y, si es posible, usá la potencia para expresarlos. c) ¿Cuántos m3 debe comprar (recordá que se la venden de a 1 m3)? d) ¿Cuántos m3 le sobrarán? e) ¿Cuántos cm3 le sobrarán? 3) Martín también ha hecho un arenero. Tiene el mismo ancho y la misma altura que el arenero de Juan pero, su largo es de 1,50 metros. a) ¿Cuántos cm3 de arena rubia necesita para llenar el arenero? b) ¿Cuántos m3 de arena rubia necesita para llenar el arenero? c) ¿Cuántos m3 debe comprar (recordá que se la venden de a 1 m3)? d) ¿Cuántos m3 le sobrarán? e) ¿Cuántos cm3 le sobrarán? 4) Diego hizo un arenero igual al de Martín pero, su altura es de 25 centímetros. a) ¿Cuántos cm3 de arena rubia necesita para llenar el arenero? b) ¿Cuántos m3 de arena rubia necesita para llenar el arenero? c) ¿Cuántos m3 debe comprar (recordá que se la venden de a 1 m3)? d) ¿Cuántos m3 le sobrarán? e) ¿Cuántos cm3 le sobrarán?

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ACTIVIDAD 31

Cuadrado de un binomio 1) Santiago y Gonzalo tenían cuadrado de tela de 5 m. de lado para hacer una bandera del equipo de fútbol de la escuela. Luego, decidieron agrandarla y le agregaron 2 m. al ancho y al largo. A la hora de repartir los gastos, Santiago calculó que usaron (5 + 2)2 m2 de tela y, Gonzalo dijo que usaron (52 + 22) m2. a) ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? b) ¿Cuántos m2 de tela agregaron? 2) En la siguiente figura se sabe que el área total del cuadrado es de 400 cm2 y que el área del cuadrado I es de 225 cm2.

a) ¿Qué rectángulo tiene área más grande, el II o el III? b) Calculá el área de los rectángulos II, III y IV. c) Calculá el valor del segmento A.

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ACTIVIDAD 32

Bisectriz 1) Observá las siguientes figuras.

a) ¿Cuáles de ellas tienen alguna diagonal que divide al ángulo en dos partes iguales? b) Marcá las diagonales que cumplen con la propiedad enunciada en el apartado anterior. La bisectriz de un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. 2) ¿Existen otras figuras que tengan diagonales que sean bisectrices?

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ACTIVIDAD 33

Paralelismo, perpendicularidad y ángulos 1) El siguiente dibujo representa las terrazas de dos edificios.

a) Dibujá un puente que una las dos terrazas y que tenga la menor longitud posible. b) ¿Qué ángulo forma el puente que dibujaste con el borde de cada edificio? c) ¿Cómo es el puente respecto del borde de cada edificio? d) ¿Cómo son los bordes de los edificios entre sí? 2) Trazá una recta y luego, dibujá una recta paralela a ella utilizando únicamente una regla, una escuadra y un lápiz. 3) Observá la siguiente figura.

a) ¿Cómo son las rectas P y Q? b) ¿Cómo son los ángulos â y ô? c) ¿Cómo son los ángulos ê y î? d) ¿Qué inclinación tendría que tener la recta R para que los ángulos â y ô no sean iguales? e) ¿Qué tipo de ángulo se forma si se juntan los ángulos â e î? f) ¿Cómo son entre sí los ángulos â e î? g) ¿Qué tipo de ángulo se forma si se juntan los ángulos ô y ê? h) ¿Cómo son entre sí los ángulos ô y ê?

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ACTIVIDAD 34

Interpretación de gráficos 1) Observá el siguiente gráfico que muestra el peso de Enrique y el de Rosa a lo largo de los años.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Edad

Pes

o (e

n Kg

.)

EnriqueRosa

a) ¿Cuál era el peso de Enrique a los nueve años? b) ¿Cuál era el peso de Rosa a los diecisiete años? c) ¿Qué edad tenía Enrique cuando pesaba 50 Kg.? d) ¿Qué edad tenía Rosa cuando pesaba 20 Kg.? e) ¿Cuándo Enrique pesaba más de 40 Kg.? f) ¿Cuándo Rosa pesaba menos de 30 Kg.? g) ¿Cuándo Enrique pesaba más que Rosa? h) ¿Cuándo pesaban igual Enrique y Rosa? i) ¿Cuál fue el aumento de peso de Rosa entre los diez y los quince años? j) ¿Cuál fue el promedio de aumento por año en el período anterior? k) ¿Cuándo aumentó Rosa más rápidamente de peso? l) ¿Cuándo aumentó Enrique más rápidamente de peso?

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2) Observá el siguiente gráfico que muestra el recorrido de dos autos a medida que pasa el tiempo.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Minutos

Km

. 1° auto2° auto

a) ¿A qué hora salió cada coche? b) ¿Cuál llegó antes? c) ¿Cuál invirtió mayor tiempo en realizar el recorrido? d) ¿Cuánto tiempo estuvo parado cada coche? e) ¿En qué kilómetro se detuvieron? f) ¿Cuándo la velocidad del primer coche fue mayor? g) ¿Cuándo la velocidad del segundo coche fue mayor? 3) Observá el siguiente gráfico que muestra la cantidad de gasolina que hay en el tanque de un automóvil a medida que recorre cierta cantidad de kilómetros.

a) ¿Cuántos litros tenía en el tanque a la salida? b) ¿Cuántos litros tenía en el tanque a la llegada? d) ¿En qué kilómetro se encontraba cuando tenía 10 litros? e) ¿En qué kilómetro tenía el tanque con mayor cantidad de gasolina? f) ¿Qué sucedió en el kilómetro 80? g) ¿Qué sucedió en el kilómetro 240? h) ¿Cuándo puso más gasolina? i) ¿Cuántos litros gastó durante el viaje? j) ¿Cuándo gastó más gasolina? k) ¿Cuál fue el consumo medio (litros cada 100 Km.) en este viaje? l) ¿Se puede saber el tiempo que tardó en hacer el viaje? m) ¿Se puede saber la velocidad a la que hizo el viaje?

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BIBLIOGRAFIA

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