matemßtica iii b

UNIDAD 5

EXPRESIONESALGEBRAICAS

FRACCIONARIAS

http://www.conevyt.org.mx/cursos/comercio/libro1/imagenes/imagen227.gif%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

- Instituto Federal Nicolás Avellaneda - Matemática III -

UNIDAD 5EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir propiedades fundamentales.- Resolver operaciones.

11 EXPRESIÓN ALGEBRAICA FRACCIONARIA

En general, una

expresión algebraica fraccionaria se anota:

e indica el cociente entre dos expresiones algebraicas

enteras

Toda expresión algebraica fraccionaria tal que el numerador es múltiplo del denominador representa una expresión algebraica entera, es decir, es equivalente a un polinomio.

Ejemplo:

pues x2 – 4 es múltiplo de x – 2

ya que

En consecuencia, estas expresiones son equivalentes, pero no iguales.

Pues: si y solo si x 2

1.1 Simplificación de expresiones fraccionarias

Existen infinitas expresiones algebraicas equivalentes a una dada. Para obtener una expresión algebraica fraccionaria equivalente a una dada se aplica la siguiente:

2

http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/Donato/imagenes/gifs/einstein%20pensando.gif%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


PROPIEDAD FUNDAMENTAL: Si ambos términos de una expresión algebraica fraccionaria se multiplican o dividen por un mismo polinomio, se obtiene otra expresión algebraica equivalente a la dada.

Ejemplo:

Cuando se dividen ambos términos de una fracción algebraica por un mismo polinomio se dice que la fracción se ha simplificado.

Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de la misma forma que para simplificar números.

Por ejemplo:

Sea:

Se divide el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.

a) Podemos dividir ambos términos por el divisor común mayor de 32 y 12.

M.C.D. ( 32, 12 ) = 4 0

b) También podemos descomponer cada número en sus factores primos y cancelar los factores comunes.

Para simplificar fracciones algebraicas se procede en forma análoga.

a) Se divide el numerador y el denominador por el M.C.D. de ambos, o bien

b ) Se factorizan ambos términos y se cancelan los factores comunes.

El segundo procedimiento resulta más conveniente y es el que usaremos comúnmente.

El primer procedimiento se utiliza cuando no se conoce la forma de factorizar el numerador y el denominador.

Ejemplo:

4 x² + 16 x + 16

2 x² - 8

3


Factorizamos el numerador y el denominador:

4 x² + 16 x + 16 = 4 ( x² + 4 x + 4 ) = 4 ( x + 2 ) ( x + 2 )=

2 x² - 8 = 2 ( x² - 4 ) = 2 ( x + 2 ) ( x – 2 )

3

Entonces sustituimos y cancelamos los factores comunes del numerador y del denominador.

2

1

Sabemos que existen elementos no cancelables. Por ejemplo, no se puede cancelar cero, porque la división por cero no tiene sentido.

En consecuencia, para poder simplificar por x + 2 ( del ejemplo anterior ), debe ser:

x + 2 0 x - 2

La simplificación por x + 2 solo es posible si y sólo si x - 2.

Habíamos visto que estas expresiones son equivalentes pero no iguales.

La igualdad se cumple para x 2. Entonces escribimos:

Si reemplazamos x por – 2

la igualdad no se verifica pues la primera expresión es indeterminada y la segunda cero.

2 2 OPERACIONES

2.1 Adición de expresiones algebraicas fraccionarias

4


La adición de expresiones algebraicas fraccionarias se define de la misma manera que la adición de números racionales.

2.1.1 Adición de fracciones algebraicas de igual denominador

Las fracciones tienen el mismo denominador

= Se suman los numeradores. Se escribe el mismo denominador

Se factorizan el numerador y denominador

Se simplifica.

Si y solo si x -1

Recordar: Cada vez que se realiza una operación debe verificarse:

1° Si cada término se puede simplificar. 2° Si el resultado se puede simplificar.

2.1.2 Adición de fracciones algebraicas de distinto denominador

Por ejemplo:

La suma de dos fracciones algebraicas de distinto denominador es igual a la suma de dos fracciones equivalentes a las dadas, y del mismo denominador.

Las fracciones tienen distinto denominador

Factorizamos los denominadores

5

Números racionales

Expresiones algebraicas fraccionarias

=


x² - 4 = ( x + 2 ) ( x – 2 ) Se calcula el múltiplo común de menor

x² + 4 x + 4 = ( x + 2 )² grado de los denominadores. ( denominador

m.c.m.gr = ( x + 2 )² ( x – 2 ) común de menor grado ).

Se escriben dos fracciones equivalentes a las dadas con el denominador común de menor grado (x + 2)2 (x – 2).

2.1.3 Propiedades de la adición de expresiones algebraicas fraccionarias.

1. Ley de cierre.2. Ley asociativa.3. Existencia de elemento neutro: ( polinomio nulo ).4. Cada elemento tiene inverso.

El inverso aditivo de R es el opuesto – R tal que:

R + ( - R ) = 0

Ejemplo

5. Ley conmutativa.

2.2 Sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias.

Para sustraer dos expresiones algebraicas fraccionarias, se suma a la primera, la opuesta de la segunda.

Ejemplo:

=

2.3 Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias.

La multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias se define en forma análoga a la multiplicación de números racionales.

6


Ejemplo:

Factorizamos y simplificamos:

Como hemos simplificado por ( x – 1 ) y ( x + 2 ), resulta:

2.3.1 Propiedades de la multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias

La multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias cumple con las siguientes propiedades:

1. Ley de cierre.2. Ley asociativa.3. Existencia de elemento neutro: R = 1.4. Para toda expresión racional A/B 0 existe inverso multiplicativo5. Ley conmutativa.6. Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

2.4 División de expresiones algebraicas fraccionarias

Para dividir una expresión algebraica fraccionaria por otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

7

Números racionales

Expresiones algebraicas fraccionarias


Ejemplo:

2.5 Potenciación y radicación

La potenciación y la radicación de expresiones algebraicas fraccionarias se resuelven aplicando la propiedad distributiva con respecto a la división.

Ejemplos:

1.

Actividad Nº 1

Resolver

8


*

Ha finalizado Ud. la Unidad 5

Le recuerdo que su tutor puede ayudarlo

CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN

1. Simplificar las siguientes expresiones fraccionarias indicando en cada caso la condición que debe cumplir x para que la simplificación tenga sentido.

9


2. Resolver las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

3. Resolver las siguientes potenciaciones y radicaciones:

a)

b)

c)

d)

10


*

SOLUCIONES A CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN

1.

a)

b)

c) para todo x.

2.

a)

11


b)

c)

d)

e) x + 1 x 1 y x -1

f)

g)

h)

3.

a)

b)

c)

d) x – 2 x -2

12


*

13

UNIDAD 6

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS


UNIDAD 6FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir relaciones entre las funciones trigonométricas.- Realizar cálculos.- Resolver problemas.

Recordemos:

1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos (2R)

2. El Teorema de Pitágoras relaciona entre sí los lados de un triángulo rectángulo.

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

1 1 TRIGONOMETRÍA

La disciplina de la Matemática que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo es la TRIGONOMETRÍA.

1.1 Funciones trigonométricas

15

http://images.google.com.ar/imgres?imgurl=http://worlddestroyers.tripod.com/triangulos.jpg&imgrefurl=http://worlddestroyers.tripod.com/www.html&h=336&w=249&sz=10&hl=es&start=74&um=1&tbnid=mDBfqlC2waRViM:&tbnh=119&tbnw=88&prev=/images%3Fq%3Dtriangulos%26start%3D60%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


Consideremos un triángulo rectángulo. Con a designamos a la hipotenusa. Con designamos

al ángulo recto.Si vemos cuántas razones podemos formar con las longitudes de los tres lados, tendremos

lo siguiente:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Este es uno de los tantos casos, en los que habitualmente, se usan cálculos trigonométricos

La puerta de entrada a un edificio se halla a varios metros sobre el nivel de la acera y se accede a él por una rampa o subiendo por escalera.Si una persona camina 2 metros por la rampa, se encuentra a 1m del piso y si recorre 2 metros por la escalera está a 1,5 metros del piso ¿Qué sucede si caminamos 1 metro por la rampa o por la escalera?

Obviamente, varían las alturas alcanzadas y a cada ángulo le corresponderá una altura determinada, pero distinta de las anteriores. Se observa que los triángulos rectángulos que tienen en común un ángulo α son semejantes, por lo tanto, sus lados son proporcionales.

El cociente entre la altura y la distancia recorrida es el mismo para cada ángulo.

En la rampa es: En la escalera es:

Entonces, a cada ángulo agudo como α y β, le podemos asociar un número que obtnemos como razón o cociente entre la altura alcanzada y la distancia recorrida.Estos números reciben el nombre de seno del ángulo y los escribimos así:

Con una tabla o calculadora podemos hallar que los ángulos agudos que tienen estos senos son:

16


En total son seis razones trigonométricas.

Las razones entre pares de lados se mantienen constantes mientras el ángulo sea constante, y varían al variar el ángulo. Es decir, estas razones dependen del ángulo y no de los lados. Cada una de las seis razones consideradas es un número que recibe un nombre especial.

Por ejemplo:

En consideramos el ángulo

a = hipotenusa b = cateto opuesto a c = cateto adyacente a

SE ANOTA

1. seno de sen

2. coseno de cos

3. tangente de tg

4. cotangente de cotg

5. secante de sec

6. cosecante de cosec

17


Veamos como pueden calcularse aproximadamente estas razones para un ángulo de 30°.

Primero, se construye un triángulo con un ángulo de 30° y se mide la longitud de sus lados

B = 30° = 6 cm b = 3 cm c = 5,2 cm

Calculamos las razones correspondientes:

sen 30° = 0,5

cos 30° = = 0,86

tg 30° = 0,577

cosec 30° = 2

sec 30° = 1,15

cotg 30° = 1,73

1.2 Valor de las funciones trigonométricas para amplitudes de 0° y de 90°

18


1.2.1 Ángulo B = 0°

Imaginemos que gira el lado a, de modo que B disminuye hasta anularse.

Entonces el cateto c coincide con la hipotenusa y el cateto b se anula.

B = 0°

Las funciones trigonométricas toman entonces los siguientes valores:

sen 0° =

cos 0° =

tg 0° =

cotg 0° = no está definida

sec 0° =

cosec 0° = no está definida

1.2.2 Ángulo B = 90°

19

a, b, clados deltriángulo


Imaginemos que gira el lado a, de modo que B aumenta hasta hacerse igual a 1R. (recto)

Entonces el cateto b coincide con la hipotenusa y el cateto c se anula.

B = 90° y

Las funciones trigonométricas toman entonces los siguientes valores:

sen 90° =

cos 90° =

tg 90° = no está definida

cotg 90° =

sec 90° = no está definida

cosec 90° =

Como la división por cero no está definida, en consecuencia tampoco están definidas las funciones trigonométricas cuando el denominador es cero.1.3 Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo

Definimos las funciones trigonométricas del ángulo B

20


sen =

cos =

tg =

Los pares de razones marcadas por las

cotg = flechas son inversos multiplicativos

sec =

cosec =

Entonces:

sen =

21


ó sen . cos = 1 cosec =

ó cos . sec = 1

cos =

sec =

ó tg . cotg = 1

tg =

cotg =

Es decir:1. La cosecante de un ángulo es igual a la inversa del seno de dicho ángulo y recíprocamente.

2. La secante de un ángulo es igual a la inversa del coseno de dicho ángulo y recíprocamente.

3. La cotangente de un ángulo es igual a la inversa de la tangente de dicho ángulo y recíprocamente.

Teniendo en cuenta estas relaciones es suficiente saber calcular el seno, el coseno y la tangente, pues las otras tres razones son inversas a las tres primeras.

1.4 Signo de las funciones trigonométricas

Teniendo presente el signo de las coordenadas x e y en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano, se puede determinar el signo de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo, cualquiera sea el valor de éste.

A continuación veremos el signo de las funciones en los cuatro cuadrantes:1. El valor del ángulo está comprendido entre 0° y 90°. Los signos de las coordenadas

son: x positiva; y positiva.

22


Por lo tanto:

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo comprendido entre 0° y 90° son positivas.

2. El valor de un ángulo está comprendido entre 90° y 180°. Los signos de las coordenadas son: x negativa, y positiva.

Luego:

Todo ángulo cuyo lado móvil pertenece al segundo cuadrante tiene: funciones seno y cosecante positivas; y las funciones coseno, tangente, cotangente y secante negativas.

3. El valor del ángulo está comprendido entre 180° y 270°. Los signos de las coordenadas son: x negativa, y negativa

23


En consecuencia:

Todo ángulo cuyo lado móvil pertenece al tercer cuadrante tiene: funciones seno, coseno, secante y cosecante negativas; y las funciones tangente y cotangente positivas.

4. El valor del ángulo está comprendido entre 270° y 360°. Los signos de las coordenadas son: x positiva, y negativa.

Por lo tanto:

1.5 Cálculo de las funciones trigonométricas

En la práctica los valores de las funciones trigonométricas se buscan en tablas o se obtienen por medio de una calculadora.

24


Utilizando la trigonometría, podemos calcular el ancho de un río sin necesidad de atravesarlo.Si se localiza un árbol o algún otro punto de referencia en la orilla opuesta, se puede marcar el punto a, ubicado enfrente del árbol, y en la orilla desde la que se va a hacer la medición, como indica el dibujo:

Luego se marca el punto b, ubicado a una cierta distancia de a, por ejemplo 200 metros, y se mide el ángulo β, utilizando, por ejemplo, un teodolito. El teodolito es un instrumento que usan los agrimensores para medir ángulos.

Supongamos que la medida del ángulo β es igual a 35º.

Como

Tendremos:

El ancho del río es, entonces, igual a 140 metros.1.5.1 Uso de tablas de valores naturales

Los valores de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de los ángulos comprendidos entre 0° y 90° han sido calculados y registrados en tablas denominadas “Tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas”. Estas tablas contienen los valores de las funciones de grado en grado.

Cabe destacar que las funciones secante y cosecante no figuran en la tabla porque no son indispensables, debido a que la secante es la inversa del coseno y la cosecante es la inversa del seno, en consecuencia es fácil calcularlas con los datos de la tabla.

En el cálculo de funciones trigonométricas pueden presentarse dos problemas:

a) PROBLEMA DIRECTO: Conocido el ángulo, calcular las funciones trigonométricas.

25


1. Si el ángulo está comprendido entre 0° y 45°, se lee el valor del ángulo en la columna de la izquierda de la tabla y el nombre de la función en la parte superior de la columna correspondiente.

2. Si el ángulo está comprendido entre 45° y 90°, se lee el ángulo en la columna de la derecha de la tabla y el nombre de la función en la parte inferior de la columna correspondiente.

En ambos casos, el valor buscado se encuentra en la intersección de la fila encabezada por el valor del ángulo y la columna encabezada por el nombre de la función.

Por ejemplo:

Calcular: sen 28° (28° 45°)

Leemos 28° en la columna de la izquierda y la función seno en la parte superior. En la intersección de la fila con la columna correspondiente leemos: 0,4695. Este es el valor del ángulo.Entonces sen 28º=0,4695

Calcular: cos 39° (39° 45°)

Leemos 39° en la columna de la izquierda y la función coseno en la parte superior. Entonces: cos 39° = 0,7771.

Calcular: tg 5° (5° 45°)Leemos 5° en la columna de la izquierda y la función tangente en la parte superior. Entonces: tg 5° = 0,0875.

Calcular: cos 72° (72° 45°)

Leemos 72° en la columna de la izquierda y la función coseno en la fila inferior.

Entonces: cos 72° = 0,3090.

Calcular: cotg 50° (50° 45°)

Leemos 50° en la columna de la izquierda y la función cotangente en la fila inferior.

Entonces: cotg 50° = 0,8391. b) PROBLEMA INVERSO: Conocido el valor de una función trigonométrica, determinar

la amplitud del ángulo.

Por ejemplo: tg = 0,3443

Se busca el número dado en la columna encabezada por “tangente ”. Si existe el número dado, se lee la amplitud del ángulo correspondiente, sobre la misma fila, en la columna de la izquierda.

Como 0,3443 = tg 19° =19º

26


Decimos que es el ángulo cuya tg es 0,3443 y escribimos:

= áng. tg 0,3443

Por ejemplo: = áng. sen 0,9877

Se busca el número dado en la columna en cuya parte superior se lee: sen . Este número no figura en la columna ni está comprendido entre otros dos.

Entonces, se busca en la columna en cuya parte inferior se lee: sen . Si existe el número, se lee sobre la misma fila, en la columna de la derecha, la amplitud del ángulo correspondiente.

0,9877 = sen 81° =81º

O bien:

81° = áng. sen 0,9877

1.5.2 Uso de calculadoras científicas

En la actualidad, las tablas trigonométricas fueron reemplazadas por las calculadoras científicas que tienen las teclas

Se deberá consultar el manual de la calculadora y practicar cómo se hallan los valores del seno, el coseno y la tangente de distintos ángulos.

En general, las calculadoras tienen distintos modos de medir los ángulos. Conviene utilizar el modo DEG (degree = grados).

Por ejemplo:

Queremos hallar el sen 70°.

En algunas calculadoras, basta apretar las teclas:

En el visor se lee: 0.93969262

Por lo tanto, sen 70° 0.9397 si redondeamos a cuatro decimales.

En otras calculadoras se aprietan las teclas:

SIN

7 0 =

Es el mismo procedimiento, el que se utiliza para el cálculo de las otras funciones trigonométricas.

27

http://images.google.com.ar/imgres?imgurl=http://www.mercadolibre.cl/jm/img%3Fs%3DMLC%26f%3D4538394_5096.jpg%26v%3DP&imgrefurl=http://www.remate.cl/regalos/&h=250&w=250&sz=9&hl=es&start=1&tbnid=Ey9m_eXuK7m4hM:&tbnh=111&tbnw=111&prev=/images%3Fq%3Dcalculadoras%2Bcient%25C3%25ADficas%26gbv%3D2%26svnum%3D10%26hl%3Des%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


Si por el contrario, lo que tenemos es el valor del seno de un ángulo , y lo que buscamos es saber cuanto vale , el procedimiento inverso que se sigue, es el siguiente:

Por ejemplo:

sen = 0,93969262 y buscamos saber cuanto vale el ángulo .

1er. paso: marcar en el visor de la calculadora el número del seno:

0,93969262

2do. Paso: apretar las teclas, siguiendo la secuencia que se indica a continuación:

INV SIN INV ° ‘ “ =

El el visor de la calculadora, se leerá el valor de 70, que es el del ángulo buscado.

En algunas calculadoras, en lugar de la tecla INV, se utiliza la tecla 2ND (second

function).

Actividad Nº 1

Calcula el valor de x en las siguientes expresiones

TABLA DE VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0° a 90°GRADOS Seno Tangente Cotangente Coseno

0 0,0000 0,0000 ------------- 1,0000 901 0,0175 0,0175 57,2900 0,9998 892 0,0349 0,0349 28,6363 0,9994 883 0,0523 0,0524 19,0811 0,9986 874 0,0698 0,0699 14,3007 0,9976 865 0,0872 0,0875 11,4301 0,9962 85

6 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 847 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 838 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 82

28


9 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 8110 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 80

11 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 7912 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 7813 0,2250 0,2309 4,3315 0,9744 7714 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 7615 0,2588 0,2679 3,7321 0,9659 75

16 0,2756 0,2867 3,4874 0,9613 7417 0,2924 0,3057 3,2709 0,9563 7318 0,3090 0,3249 3,0777 0,9511 7219 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 7120 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 70

21 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 6922 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 6823 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 6724 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 6625 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 65

26 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 6427 0,4540 0,5095 1,9626 0,8910 6328 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 6229 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 6130 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 60

31 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 5932 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 5833 0,5446 0,6494 1,5399 0,8387 5734 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 5635 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 55

GRADOS Seno Tangente Cotangente Coseno 36 0,5878 0,7265 1,3764 0,8090 5437 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 5338 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 5239 0,6293 0,8090 1,2349 0,7771 5140 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 50

41 0,6561 0,8693 1,1504 0,7547 4942 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 4843 0,6820 0,9325 1,0724 0,7314 4744 0,6947 0,9657 1,0355 0,7193 4645 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 45

Coseno Cotangente Tangente Seno GRADOS

Ha finalizado Ud. la Unidad 6

Le recuerdo que su tutor puede ayudarlo*

Algunas actividadesResolución de triángulos rectángulos

Aplicando los conocimientos de trigonometría adquiridos en esta unidad

1. En el ; es recto.

29


C

b

A c B

2. En el ; es recto.

C

b

A c B

30

a

a


3. Calcular la longitud de una escalera que apoyada sobre la pared alcanza una altura de

2,20 m y forma con el piso un ángulo de 57º.

2,20 m X

Actividad Nº 2

Otros problemas para resolver, pero ahora, solos.

a) En el rectángulo ABCD, la medida de una de las diagonales es 2,5 cm y el ángulo que ella forma con la base es de 38º. Calcular el área del rectángulo.

b) Calcular la altura de un árbol que proyecta una sombra de 14 m para una altura del sol de

CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN

1. En el siguiente dibujo, hallar las funciones de

y

M

31

57º


4

y=4

O

x = 8

M’ x

2. Hallar los valores de las funciones siguientes:

a) sen 32°=

b) sen 64°=

c) sen 15°=

d) sen 81°=

e) sen 90°=


a) cos 10°=

b) cos 67°=

c) cos 26°=

d) cos 80°=

e) cos 90°=


a) tg 0°=

b) tg 45°=

c) tg 73°=

d) tg 38°=

e) tg 54°=

5. Hallar los ángulos, tales que:

a) sen = 0,391

b) sen = 0,719

32


c) sen = 0,777

6. Hallar los ángulos tales que:

a) cos = 0,990

b) cos = 0,242

c) cos = 0,500

7. Hallar los ángulos tales que:

a) tg = 0,839

b) tg = 0

c) tg = 0,510

8. En el BAC con A recto, y los datos dados, calcular las incógnitas:

C

= 15 cm

DATOS: b a INCÓGNITAS

B = 61° C

A c B

9. Martín remontó un barrilete.Cuando había soltado 150 m de hilo, el mismo formaba un ángulo de 35° con la horizontal.

¿A qué altura estaba el barrilete?

10. Completar el cuadro siguiente, para BAC, con A recto

B

C

63° 12

32° 5,3

20° 4,7

33


16 5

41 20

*

SOLUCIONES A CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN

1. Por el teorema de Pitágoras, se obtiene el valor de = 12.

34


Luego: sen = sen =

cos = cos =

tg = tg =

sec = sec =

cosec = 3 cosec =

cotg = 2 cotg =

2.

a) 0,530

b) 0,899

c) 0,259

d) 0,988

e) 1

3.

a) 0,985

b) 0,391

35


c) 0,899

d) 0,174

e) 0

4.

a) 0

b) 1

c) 3,271

d) 0,781

e) 1,376

5.

a)

b)

c)

a)

b)

c)

7.

a)

b) = 0°

c)

8. C = 29°

9.

sen 35° =

36


h = l sen 35° = 150 m . 0,5736 = 86,04 m

l

35° h

10.

B

C

63° 27° 12 10,692 5,448

58° 32° 10 8,48 5,3

70° 20° 5 4,7 1,71

18° 72° 16 5 15,2

64° 26° 45,6 41 20

37

matemßtica iii b

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