matematicas1_clase3_6pp

19/04/2015

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Universidad San SebastinFacultad de Ciencia

MATEMTICAS I

Profesor: Marcelo C. Glvez Garca Huidobro

Primer Semestre 2015

1.8. Expresiones Racionales

Divisin de cero: De manera axiomtica esinnegable se tiene siempre que:

De hecho siempre se tiene que:

Cualquier nmero multiplicado por cero es iguala cero, con a en los reales, P(x) un polinomiocualquiera.

0)(

000

xPxa

01

00

aa


Divisin por cero: es un caso en el cual unafraccin de la forma a/0, con a en los realesno se encuentra definida, o se indetermina,por lo que implica que dicha fraccin noexiste.

Esto se basa, principalmente, en que unafuncin evaluada en un punto determinadoexiste, o est definida, s y solo s sus lmiteslaterales son iguales.


Divisin por cero.

Se toma por ejemplo la funcin 1/x y se evala en x=0, entonces se producir que sus lmites laterales entregan valores diferentes:

Lmite lateral derecho

Lmite lateral Izquierdo

xx

1lim

0

xx

1lim

0


Luego se tiene que

esto implica entonces que la funcin 1/x no se encuentra definida para x=0 .

xx xx

1lim

1lim

00


Decimales: generalmente representan unadivisin o un cociente entre dos nmeros,pero cuya representacin numrica no esfraccionaria.

Porcentajes: representan una razn ocociente, de una fraccin que considera latotalidad como 100, ubicada en eldenominador de una fraccin de porcentaje.

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Por ejemplo: el 30%, 20% y 50%, estnrepresentados como fraccin de la forma30/100, 20/100 y 50/100 respectivamente.(ntese que estas fracciones songeneralmente simplificables).

A su vez si se desea trasladar una fraccin aporcentaje, se cuenta principalmente con dosmtodos:


a) El primero consiste en igualar el numeradora 100 mediante la multiplicacin de un factor,que tambin debe multiplicar al numerador.

Por ejemplo: se desea calcular el porcentajeque representa 1/4, entonces:

100

25

254

251

25

25

4

1

4

1

1


Con el denominador de la fraccin resultantees 100, entonces el numerador (25)representa el porcentaje.

b) Otro mtodo consiste en simplementerealizar la divisin, de forma decimal, entre elnumerador y el denominador con el fin deobtener el cociente, luego este cociente esmultiplicado por 100.


Por ejemplo, nuevamente se desea convertir a porcentaje 1/4 , entonces:

O bien:

)10025,0(%2525,04:14

1

porcentaje

fraccin %25)(100

2525,04:1


Ejercicio: Convertir a decimal y a porcentaje, las siguientes fracciones.

Fraccin Decimal Porcentaje

1/2

1/3

1/4

1/5

1/6

1/7

1/8

1/9

1/10


Ejercicio: Convertir los siguientes porcentajes a decimal y a fraccin irreductible.

Porcentaje Decimal Fraccin

5%

10%

12,5%

20%

25%

33,333%

50%

75%

87,5%

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Convertir a decimal y a porcentaje

Exprese de forma algebraica la siguientes expresiones:

a) El p por ciento de q es igual a r.

b) Si el 7% de x es 35, determinar el valor de x.

c) El 15% del A% de 30 es 5. Calcule A.

1500

745


Razn y Proporcin.

Razn: corresponde a una fraccin o a unarelacin mediante una divisin de dosnmeros, por ejemplo, una razn es A/B, oA:B, y se lee como A es a B, donde A sedenomina antecedente, y B se denominaconsecuente.

uenteconBeantecedentABAB

A sec:::


Ejemplo: Se tiene una solucin alcalinizantetiene una razn entre bicarbonato de sodio yagua destilada de 1:4, esto significa que porcada medida de bicarbonato se necesitan 4medidas de agua, entonces, qu porcentajede la solucin es agua y qu porcentaje esbicarbonato?. Si se dispone de 100 gramos debicarbonato, Cuntos gramos de mezcla seobtendr?


Proporcin: es la relacin de igualdad queexiste entre dos (o ms) razones o fracciones.La proporcin se basa en la razn que tienendos nmeros o elementos para resolver ocalcular un dato faltante.

Existen dos tipos de proporcionalidad:

i) Proporcionalidad Directa.

ii) Proporcionalidad Inversa.


Proporcionalidad Directa, es cuando elcociente entre el numerador y el denominadores constante. Esto se refleja en que cuando elnumerador o el denominador crece o decrece,el denominador o el numerador,respectivamente, tambin lo hace en la mismaproporcin. O bien, cuando una variableaumenta o disminuye, la otra tambin lo hace.


Algebraicamente se tiene que:

Si se desea calcular alguna variable,conociendo los otros tres datos, se recurre a laregla de tres:

CBDAteconskD

C

B

A )tan(

D

CBx

D

C

B

x

C

DAy

D

C

y

A

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Ejemplo Grfico de Proporcionalidad Directa.


Ejemplos:

a) Se tiene que 3/4 y 5/x son directamenteproporcionales, calcular x.

b) Para preparar una torta de 800 gramos senecesitan 150 gramos de azcar, Cunta azcarse necesitara para preparar una torta de 1,35kilogramos?

c) La razn entre pintura y diluyente es de 5:2,Qu cantidad de pintura y diluyente se necesitanpara obtener 1.500 litros de mezcla?


Proporcionalidad Inversa, se basa en que elproducto entre el numerador y el denominadores constante, por lo tanto, si el numerador o eldenominador crece o decrece, el denominador yel numerador, respectivamente, decrece o crece.O bien, cuando una variable aumenta la otradisminuye.

La constante, que se origina al multiplicar elnumerador y el denominador, se denominaconstante de proporcionalidad inversa.


De manera algebraica:

Donde A, B, C y D son nmeros reales, y k esla constante de proporcionalidad inversa.

Se debe notar adems que:

kBAB

A kDC

D

C

D

C

B

A


Ejemplo Grfico de Proporcionalidad Inversa.


Ejemplos:

a) Se tiene que 3/4 y 5/x son inversamenteproporcionales, calcular x.

b) Si 3 obreros construyen un pozo en 7 das,Cunto se demoraran 5 obreros en construir elpozo?

c) Si una llave abierta llena un barril con agua en3,5 horas, Cunto se demorar en llenar el barrilsi se le agrega otra llave cuyo caudal de salida esun 50% mayor al de la llave inicial?

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Ejercicios - Encontrar las razones entre:

a) 27 centmetros a 3 metros.

b) 2,5 metros cuadrados a 180 centmetros cuadrados.

c) 1.000 centmetros cbicos a 1 metro cbico.

d) 0,5 toneladas a 3.500 gramos.

e) 1.875 segundos a 1 da.


Ejercicios Encontrar el valor de x entre las siguientes proporciones.

a)

b)

c)

d)

2:3)2(:)3( xx

2:)2(1:)4( xx

xxx 2:)6(4:)1(

)4(:5)1(:)12( xxxx


Ejercicios: Resuelva lo planteado.

a) Si (x+y):(x-y) = 5:2. Calcular x:y

b) Encontrar dos nmeros sabiendo que estn enla razn 3:4, y que sumndoles 4, su razncambia a 4:5.

c) Si x:y:z = 4:(-3):2, y 2x+4y-3z = 20, encuentre x,y, z.

d) Si un listn de 120 cms se divide en tressegmentos cuyas longitudes estn en razn de 3,4, 5. Calcular el largo de cada segmento.

1.9. Ecuaciones e Identidades

Ecuacin: se define como una igualdad entredos expresiones matemticas, que ademsdebe tener una o ms variables desconocidas,que reciben el nombre de incgnitas y quedeben ser develadas.

Solucin o Raz: la solucin es aquel valor ovalores en que la variable o incgnita satisfacela ecuacin, cumpliendo la igualdad entre lasdos expresiones matemticas.


El concepto de raz se centra ms en lasecuaciones del tipo polinmicas en donde losvalores en que la o las variables o incgnitas,originen el valor cero en el polinomio una vez quese reemplacen.

Ejemplo 1:

La ecuacin es 3x=8, o bien 3x-8=0 (ecuacinlineal o de primer grado), y x=3/8 es la raz osolucin la cual consigue que se cumpla laecuacin o que el polinomio de primer grado seacero.

38083 xx


En efecto si se reemplaza la variable oincgnita x en la ecuacin se obtiene:

Ejemplo 2:

Esta es una ecuacin cuadrtica o de segundogrado, cuya solucin o raz son los valores dela variable x cuando el polinomio sea cero.

08883

83

0)4)(3(0122 xxxx

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Esta solucin o raz son los valores de x tales que:

En efecto, reemplazando en la ecuacin original:

Para x = -3

430)4(0)3( xxxx

0123912)3()3( 2

01241612)4()4( 2

4_ xPara


Identidad: es una igualdad entre dosexpresiones u objetos, que principalmente seescriben y se ven compuestos de manerasdiferentes pero que son lo mismo, o tienen elmismo valor.

Ejemplos: 7357 xx

1534 32 xx

392 xx


Ecuaciones Equivalentes: dos (o ms)ecuaciones son equivalentes, si y solo si,tienen la misma solucin. Por lo tanto tambinimplica una o ms identidades.

Ejemplos: 2063 xx

032213 xxx

0104101055215 222 xxxxxxx

0525010410 22 xxxx


Operatoria y Resolucin de Ecuaciones.

Ejercicios:

a) d)

b)

c) e)

4)4(3 yy

)52(2)26(23 xxx

2

43

3

92

xx

1

1

42

32

x

x

x

x

10

1

5

43

zz


f)

g)

h)

i)

31

412

x

x

x

x

2222 )3()2()1()3( xxxx

)2(3)1()12( 22 xxxx

3

2

2

2

1

5

1

5

yyyy


j)

Despejar x:

a) d)

b) e)

c) f)

2

4

23

2

4

7222

xxxxx

)6(3)(2 xppx

baxabx 462

a

bx

b

ax

22

dx

cx

bx

ax

cbxax

111

2

22

bx

ax

bx

ax

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Ecuaciones Lineales y Sistemas de Ecuaciones.

- Ecuacin Lineal: es una ecuacin, de una oms variables, de primer grado, es decir, lasvariables o incgnitas tienen como potenciamxima 1.

El asignacin de lineal se debe a que la grficaen una ecuacin de dos variables es una lnearecta.


Ejemplo: y x = 0

Si se despeja y en funcin de x, se obtienela siguiente relacin:

y = x

Entonces se tiene que para cada valor de x,existe un valor de y. En este casocorresponde a una funcin llamada identidad.


Grfico de la Funcin Identidad:


Ecuacin General de una Recta (2 variables)

Donde x e y son variables (en este caso degrado 1), y a, b y c pertenecen a losreales., por lo tanto no se descarta quealguno(s) de los coeficientes sea igual a cero.

0: cbyaxL


Se puede despejar la variable y en funcinde la variable x, con lo que se obtiene y(variable dependiente) en funcin de x(variable independiente).

De manera genrica se tiene:

Entonces:

b

caxycbyax

0

b

c

b

axy


Pendiente de una recta: es el grado deinclinacin la recta, una vez graficada, peroesencialmente representa la variacin de lavariable y con respecto a la variable x.

Para el caso de la recta L, se tiene que:

Entonces para este tipo de rectas, lapendiente siempre ser a/b.

b

c

b

axycbyaxL 0:

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Grfica de una Recta.Sea una recta de la forma:

Entonces para obtener el grfico de y en funcin dex, se debe:i) Despejar el valor de y de la recta L, cuando x = 0.As se obtiene (0 ; y0).ii) Despejar el valor de x de la recta L, cuando y = 0.As se obtiene (x0 ; 0)iii) Ubicar los dos puntos en el plano coordenado xy,unirlos mediante una lnea recta y extenderla ms allde los puntos.

0: cbyaxL


Ejemplo: Determine la pendiente de y,adems, grafique y en funcin de x de lassiguientes rectas.

a)

b)

c)

0835:1 yxL

05107:2 yxL

0164:3 yL


Sistema de Ecuaciones Lineales.

Son sistemas compuestos de dos o msecuaciones lineales, en donde se buscanvalores para las variables, o incgnitas, quesean solucin para cada ecuacin, de formasimultnea.

Los sistemas de ecuaciones pueden (y deben)tener tantas variables como ecuaciones seannecesarias.


Ejemplos:

a) Sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas (2x2):

b) Sistema de tres ecuaciones y tres incgnitas (3x3):

0835:1 yxL

05107:2 yxL

032:1 zyxL

05324:2 zyxL

0823:3 zyxL


OBSERVACIONES:

Una ecuacin lineal (de primer grado) de dos variables de la forma

genera una RECTA.

Una ecuacin de primer grado de tres variables de la forma,

genera un PLANO.

0: cbyaxL

0: dczbyaxL


Ecuaciones Linealmente Dependientes (L.D.) yLinealmente Independientes (L.I.).

Sean dos ecuaciones lineales, de la forma:

Entonces, L1 y L2 son linealmente dependientes(L.D.), si una recta puede ser generada a partir de laotra, esto es:

0: 1111 cybxaL

0: 2222 cybxaL

)( 222111 cybxakcybxa

0k

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De manera contraria, si una ecuacin no puede ser

generada mediante la otra, entonces, ambasecuaciones son linealmente independientes (L.I.).

Ejemplo: Determinar si son linealmenteindependientes (L.I.) o linealmente de pendientes(L.D.), los siguientes pares de ecuaciones:

a) b)

0634:1 yxL

0241216:2 yxL

0473:1 yxL

0345:2 yxL


De forma general, se tiene que si dos (o ms)ecuaciones son linealmente dependientes, secumple que:

Son linealmente dependientes, si y solo si:

0: 1111 cybxaL

0: 2222 cybxaL

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a


Si al menos uno de los cocientes

es distinto de otro, entonces las ecuacionesson linealmente independientes (L.I.).

Para que un sistema de ecuaciones tengasolucin nica, se deben tener tantasecuaciones linealmente independientes comovariables. Esta solucin representa el punto endonde las rectas se cruzan.

2

1

2

1

2

1 ,,c

c

b

b

a

a


Tipos de Soluciones para un Sistema deEcuaciones.

- Si se tienen n variables o incgnitas, debenexistir al menos n ecuaciones.

- Si las n ecuaciones son L.I., entonces elsistema tiene solucin nica. (excepto en elcaso de rectas paralelas).

- Si las n ecuaciones son L.D., entonces elsistema tiene infinitas soluciones.


- Si se tiene el caso que

entonces ambas rectas son paralelas y noexiste solucin para el sistema, debido a queson rectas paralelas y no se cruzan en ningnpunto.

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a


Ejemplos grficos por tipos de solucin de un sistema 2x2.

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Ejemplo: Sean las rectas

a) Determinar si las rectas son L.I. o L.D.

b) Calcular la solucin para el sistema.

c) Graficar ambas rectas y la solucin al sistema si correspondiera.

0633:2 xyL

0933:1 xyL


Ejercicios: Determinar si los siguientes sistemas son L.I. o L.D. y calcular la solucin si corresponde.

a) d)

b) e)

c) f)

032 yx095 yx

012 yx0935 yx

032 yx012 yx

0132 yx

0844 yx

0264 yx

0226 yx

0132 yx0764 yx


Determinar el valor de k para que el sistema tenga: i) Solucin nica, ii) Infinitas soluciones.

a) c)

b) d)

032 kyx01 yx

03 yxykx 3

0648 yx912 kyx

2 ykx3 kyx


Resolver los siguientes sistemas:

a) c)

b) d)

1 ypx0qyx

1byax0 aybx

)1(:3)7(:8 yx

7)2(8)48(4 yx

9)84(5)73(6 yx

2:5)29(:)26( yxyx


Sistemas de Ecuaciones Lineales 3x3.

Son sistemas compuestos por tres variables oincgnitas, por lo tanto, se necesitan al menostres ecuaciones linealmente independientespara que el sistema tenga solucin nica.

Estos sistemas son de la forma:

0: 11111 dzcybxaL

0: 22222 dzcybxaL

0: 33333 dzcybxaL


A diferencia de los sistemas de ecuaciones de 2x2, queestn compuestos por rectas, los sistemas 3x3 estncompuestos por planos (que vendran a sersuperficies), por lo que la solucin de estos sistemasde la forma (x,y,z) pueden representar una punto(solucin nica), una recta (infinitas soluciones) oincluso un plano (infinitas soluciones).

Para esto se debe ver el grado de dependencia (L.I. oL.D.) entre una ecuacin, y las otras dos restantes,pudiendo incluso una ecuacin ser generada mediantela combinacin de las otras dos. (por ejemplo: L1 = 3L2 2L3).

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Ejemplo: asumiendo que las tres ecuaciones son L.I.,calcular la solucin a los siguientes sistemas deecuaciones 3x3.

1) 3)

Respuestas:

2) 1) (x,y,z) = (3,-1,-5)

2) (x,y,z) = (2,-2,1)

3) (x,y,z) = (-4,-2,2)

3 zyx

21632 zyx

1453 yx

01 zyx

016234 zyx

05322 zyx

1633 zyx

4223 zyx

222512 zyx


Ecuacin Cuadrtica.

Consiste principalmente en una ecuacin desegundo grado (o polinomio de grado 2), quetiene, a lo ms, dos soluciones.

Estas soluciones pueden ser igual, distintas, osimplemente no existe solucin en losnmeros reales (lo que implica, en algunoscasos, que la solucin podra ser un nmerocomplejo).


Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones de segundogrado, determinando los valores de x.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

072 xx

049 2 xx

025 2 x

1872 xx

025204 2 xx

xx 24169 2

92416 2 xx

060222 2 xx


Solucin Mediante Frmula Cuadrtica.

Se tiene que una ecuacin cuadrtica de laforma:

Tiene races o soluciones de la forma:

02 cbxax

a

acbbx

2

42

2,1


Donde:

Particularmente el trmino se denominadiscriminante. Y en base a sus valores se pudever la naturaleza de las races de la ecuacin.Tambin se abrevia con el smbolo .

a

acbbx

a

acbbx

2

4

2

4 2

2

2

1

acb 42

acb 42


Para el caso de los distintos valores deldiscriminate , existen tres casos:

i) Si > 0, entonces la ecuacin tiene races osoluciones reales y distintas.

ii) Si = 0, entonces la ecuacin tiene races osoluciones reales e iguales (una solucin).

iii) Si < 0, entonces la ecuacin tiene racescomplejas y distintas (no tiene solucin en losreales).

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Las soluciones o races de una ecuacin desegundo grado, se relaciona con loscoeficientes de la siguiente manera:

Sean a, b, c son coeficientes reales, y x1 , x2races de la ecuacin, entonces se tiene que:

02 cbxax

a

cxx

a

bxx

2121


Ejemplos: resolver utilizando frmula cuadrtica, lassiguientes ecuaciones:

a)

b)

c) d)

0652 xx

3633 2 xx

132 2 xx 0322 xx


Aplicaciones (sistemas de ecuaciones y ecuacincuadrtica).

1) Encuentre dos nmeros cuya suma sea 28 y sudiferencia 12 (nota: tambin se puede resolver conuna sola incgnita).

2) Encuentre una fraccin, sabiendo que si elnumerador aumenta en 2 y el denominador en 1 seobtiene 1/2, y que si el numerador aumenta en 1 y eldenominador disminuye en 2 se obtiene 3/5.


3) Hace dos aos un padre era 6 veces mayor que su hijo.Encuentre sus edades actuales sabiendo que dentro de18 aos la edad del padre ser el doble que la del hijo.

4) Cinco mesas y cuatro sillas cuestan $115; tres mesas ycuatro sillas cuestan $70. Encuentre el precio de cadamesa y de cada silla.

5) Un inversionista ha colocado un cierto capital a 4% unaparte y a 5% la otra recibiendo anualmente un inters de$1 100. Si las hubiera invertido al revs, recibira al ao$50 ms en concepto de intereses. Encuentre la cantidadde dinero que ha invertido.


6) Encuentre el nmero de 2 cifras que satisfaga las 2 condiciones siguientes: (1) el cudruplo de la cifra de las unidades es igual al doble de la correspondiente a las decenas menos 6, (2) el nmero es igual al triple del que se obtiene invirtiendo sus cifras menos 9.

7) Encuentre 3 nmeros sabiendo que el primero es igual al segundo ms la mitad del tercero, que la suma del segundo y el tercero es igual al primero ms 1, y que si se resta el segundo de la suma del primero con el tercero el resultado es 5.


8) Los obreros A y B trabajando juntos pueden realizar una tarea en 4 das; B y C juntos pueden hacerlo en 3 das y A y C en 2.4 das. Encuentre el tiempo que tardara cada obrero en realizar dicha tarea actuando independientemente.

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Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

9) 12)

10) 13)

11) 14)

4122 yx

922 yx

2732 22 yx

122 yx

85 yx62 xy

42 yx522 yx

182 xy3022 yx

5xy2622 yx

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