BIBLIOTECAJUVENIL

ILUSTRADAJose Antonio de la Pella

Matematicas ya vida cotidiana

510.7P32002 Pena, Jose Antonio de la

Matematicas y vida cotidiana / Jose Antonio de la Pena; ilus.Daniel Arreola Celis et al. - Mexico: SEP : Santillana, 2002.64 p. : il. - (Libros del Rincon) .

ISBN: 970-18-9812-5 SEP (obra completa)ISBN: 970-18-9857-5 SEP

1. Matematicas - Estudio y ensenanza. l. Arreola Celis, Daniel, il.n. t. Ill. Ser.

Direcci6n editorial: Antonio Moreno Paniagua

Producci6n editorial: Diagrama Casa Editorial, S.c.

D.R. © Editorial Santillana, SA de C.V, 2002

Av. Universidad 767, co\. Del Valle,

03100, Mexico, D.E

D.R. © Secretaria de Educaci6n Publica, 2002

Argentina 28, Centro,

06020, Mexico, D.E

ISBN: 970-29-0029-8 Editorial Santillana Cobra completa)

ISBN: 970-29-0297-5 Editorial Santillana

ISBN: 970-18-9812-5 SEP Cobra completa)

ISBN: 970-18-9857-5 SEP

Prohibida su reproducci6n por cualquier medio mecanico

o electr6nico sin la autorizaci6n de los coeditores.

ContenidoPresentacionLas matematicas son titHesEl mapa de la ciudadMidiendo la TierraMapas de la TierraLa velocidad del coche~Cuantas canicas tuve en promedio en la semana?La grafica de velocidadesMi tabla de crecimientoLas temperaturas en MexicoLas matematicas y la vida humana~Que es la estadistica?Fenomenos regidos por el azarTeoria de las probabilidadesContando con cuidado~Cuando llovera?El problema de PascalChicles de colores y cumpleafiosLa falacia del jugadorLa tasa de crecimiento del paisDistribucion de los resultadosComo medir la antiguedad de las cosasMatematicas y los juegosMensajes secretosLas matematicas en la computacionMatematicas en la cienciaLas matematicas en Mexico~Para que me sirven las matematicas?Grandes matematicosIndice analftico

568

101214161820222426283032343638404244464850525456586062

16 deabril

17 deabril

18 deabril

19 deabril

Presentaci6n

La Biblioteca Juvenil llustrada presenta en este volumen 27 temas que explican

en forma clara y precisa algunas aplicaciones de las matematicas en la vida cotidiana,

asi como su uso en distintas areas de investigacion cientifica.

El objetivo de la Biblioteca Juvenil Ilustrada es poner en manos de todos 105 jo-

venes libros que despierten su interes en las materias mas variadas, desde matemati-

cas y quimica hasta gramatica y literatura, desde las leyes del universo hasta 105 pro-

blemas mas cotidianos. Libros que 105 hagan pensar y entusiasmarse, que 105 ayuden

a estudiar y a resolver sus dudas.

Para Uevar a cabo este proyecto hemos reunido a mas de 60 autores, todos eUos re-

conocidos especialistas en sus areas de estudio e investigacion, divulgadores deseosos

de contagiar su entusiasmo y Uevar de la mana a 105 estudiantes por un camino Heno

de sorpresas.

La Biblioteca Juvenil Ilustrada es una vision fantastica de la ciencia, la literatura

y el pensamiento mexicanos escrita por quienes dia a dia investigan en laboratorios 0

imparten clases en escuelas y universidades.

Esperamos que la Biblioteca Juvenil Ilustrada contribuya a que 105 estudiantes se

familiaricen con las distintas areas del conocimiento y Heguen a decir "si asi es la qui-

mica -0 la historia 0 la literatura-, yo quiero dedicarme a eso en el futuro".

LAS MATEMATICAS SON UTILESCuando vemos alrededor de nosotros, podemos descubrir la presencia delas matematicas. Las encontramos en las cosas mas simples y cotidianas:al ver la hora en el reloj, al contar el numero de calles hasta laescuela, al calcular cuanto tenemos que pagar en la tienda, en elvelocfmetro del coche, etcetera. Asimismo, las matemMicas nosayudan a entender como funciona el telefono, la television, losaviones, las computadoras y los satelites espaciales. LasmatemMicas han sido utilizadas a 10 largo de los siglos en elarte, la arquitectura y en muchas ciencias como la ffsica, laqUfmica y la biologfa.

Las primeras trazas de las matemaricas en la vidadel hombre se encuentran registradas en lascuevas prehist6ricas. Muchas pinturas rupestresno son sino registro de 1as cosas que eran imp or-tantes para el hombre primitivo: sus com-pafieros, 105anima1es, el paso del tiempo ...

Poco a poco el hombre fue inventando mejoresmaneras de Hevar el registro de 1as cosas y paraeHo invent6 105numeros y 105simbolos paraescribirlos. Los simbolos con que denotamos 105numeros tienen una larga y complicada historia.

Los numeros que nosotros usamos se Hamananibigos y comenzaron a ser usados en la India haceaproximadamente mil afios. A 10 largo de ese tiempo 105simbo10s de 105numeros se han modificado poco a poco hastatomar su actual apariencia.

El usa mas elemental que se da a 105numeros es con tar. Tambiense hacen operaciones con eHos: sumar, restar, multiplicar, dividir yotras operaciones mas comp1ejas.

HINDU, SIGLO XI Z ~) 6::;1 ~ u 'lL 0

ARABIGO IGHOBARII_, SIGLO XI 2. Tt<r? ~ 'I 8 9

ARABIGO ORIENTAL, SIGLO XV Yy-'fV 6 It v A q

EUROPEO, SIGLO xv 1 2 3 R. Y A go 9 0C;;

EUROPEO, SIGLO XVII 1 Z. jJ. 5 b I 5 5} 0

CONTEMPORANEO 1 1.- ) Y ~ f9 1 ~ q 0

Desde 105 tiempos remotos se han tratado de disefiar aparatos quesimplifiquen y hagan mas rapidas las "cuentas" aritmeticas. Talvez el aparato mas antiguo es el abaco, un invento simple y efi-

ciente que todavia se usa en muchos paises. Aparentemente fueinventado en Babilonia hace mas de 5 000 afios, pero fueron

105 chinos quienes 10 lIevaron a la forma en que se usaactualmente.

~ \t ~, it

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~t

"

La maquinacalculadora

de Pascal.

En el siglo XVII, John Napier construy6 una calculadora para multiplicar.Posteriormente, Blaise Pascal construy6 una maquina que permitia sumar y res tarmecanicamente. Ciertamente, el tamafio de estas maquinas era mucho mayor que elde nuestras modernas calculadoras de bolsillo. En 105 ultimos 50 afios del siglo xxlas maquinas para calcular tuvieron una rapida evoluci6n hasta lIegar alas potentescomputadoras modernas.

1234567890numeros artibigos contemportineos

El hombre pronto encontr6 otras aplicaciones alas matematicas: medir terrenos ydistancias entre ciudades. Registr6 estas observaciones en mapas, asi naci6 la car-tografia. Registr6 tambien el numero de habitantes de las ciudades, 105 nifios quenacian y las personas que fallecian, de alIi naci6 la estadistica.

A 10 largo de este libro estudiaremos algunas aplicaciones fundamentales de lasmatematicas: el trazado de mapas, la medici6n de velocidades, el registro de fen6-menDs naturales. Estudiaremos nociones basicas de probabilidad y estadistica yveremos algunas de sus sorprendentes aplicaciones en problemas del mundo quenos rodea.

I EL MAPA DE LA (IUDADPara representar de manera clara las calles de una ciudad se hacenmapas. Para que se puedan leer convenientemente las distancias entrelos lugares, los mapas de una ciudad se presentan a escala. Para ubicarlugares a partir de un origen se usa tambien el plano coordenado.Las guias de las calles de la ciudad· son pIanos coordenados a dife-rentes escalas.

El matemarico frances Rene Descartes, uno de los iniciadores de las matemaricasmodernas, introdujo el plano coordenado, tambien Hamado cartesiano. En una hojade papel cuadriculado se construye el plano coordenado de la siguiente manera: seindica un punto, Hamado origen, a partir del cual se miden las distancias a los otrospuntos del plano. Desde el origen se trazan dos ejes coordenados. El eje coordenadohorizontal indica la distancia hacia el este desde el origen, y el eje coordenado verti-cal indica la distancia hacia el norte des de el origen. Cualquier punto en el mapa sepuede identificar por medio de dos numeros: la distancia desde el origen hasta elpunto hacia el este y desde el origen hasta el punto hacia el norte.

En el plano coordenado localizamos los puntos decoordenadas (2, 3) Y (5, 2), en la figura, A y B,respectivamente. Los puntos sobre la circunfe-rencia con centro en el origen y radio 4 sontodos 105puntos con coordenadas (x, y) que sa-tisfacen 1a ecuaci6n

Ilustraci6n de la primera edici6ndel Discurso del metoda, Paris,Biblioteca Nacional.

como 10 son 105puntos (4, 0), (0,4),0,3.87),(3.87, 1) Y muchos otros. La distancia entre dospuntos en el plano coordenado puede medirsefacilmente: si (Xl, YI) y (X2, Y2) son dos puntosen el plano, la distancia d entre eHos es:

Por ejemplo, entre (2, 3) Y (5, 2)la distancia es --J (5 _2)2 + (2 _3)2 = f9+I = 3.16

5eguramente conoces guias de las calles de tu ciudad. La mayoriade ellas usa el principio del plano coordenado, pero divide la ciu-dad en pequenos sectores para obtener mayor precisi6n. Estasguias estan hechas a escala; es decir, la raz6n de las distanciasentre dos puntos en el mapa es la misma que la raz6n entre esospuntos en la realidad. 5i la indicaci6n es que la escala es Lm,entonces cada centimetro en el mapa representa m centimetros dela realidad. Algunas veces la escala esta senalada por medio de unareglilla al pie del mapa.

Las guias de las calles de la ciudad son pianoscoordenados a diferentes escalas.

En la Ciudad de Mexico, la guia mas usada es laGuia Roji. 5i quieres encontrar una calle de laciudad, debes buscar en el indice el numero demapa en que se encuentra la calle. Como en oca-siones hay muchas calles con el mismo nombre,tal vez debas saber la colonia donde esta la callebuscada. Por ejemplo, si buscamos la calle Dr.Liceaga de la colonia Doctores, encontramos quese encuentra en el mapa 84. Pero este mapa estodavia muy complicado y tardarias mucho enencontrar la calle que buscas. Por ello el mapaesta cuadriculado y en el indice te dan dos coor-denadas: A6, por ejemplo. Esto te indica quedebes buscar en el pequeno cuadro con estascoordenadas para encontrar la calle que buscas.

MIDIENDO LA TIERRADesde tiempos remotos el hombre intent6 medir la Tierra yhacer mapas que representaran fielmente el mundo queconoda. La historia de las mediciones de la Tierra y lacreaci6n de los primeros mapas estan ligadas alas grandesaventuras de exploraci6n del mundo.

Los primeros mapas, que incluian las costas de varios continentes,se deben a un pueblo de grandes navegantes: 105 fenicios. Anosdespues, 105 sabios griegos del siglo v antes de nuestra era tenianya una idea clara de que la Tierra era una esfera. Idearon inge-niosos metodos para medir el tamano de la esfera y crearon 105

primeros mapas que incluian gran parte de 105 continentes quehoy conocemos como Europa, Asia y Africa.

Erat6steltes y lamedid6n del radiode la Tierra

Eratostenes era un sabio griego que vivio en el ano 300 antesde nuestra era. El sabia que la Tierra era una esfera, pero sedio a la tarea de medir el tamano de dicha esfera. En las ciu-dades de Siena y Alejandria a la misma hora del dia midio eltamano de las sombras de paredes de la misma altura.Conoda ademas la distancia entre Siena y Alejandria. Conesta informacion y el uso de un poco de trigonometria, quees la parte de las matematicas que estudia 105 angulos, obtu-

vo una estimacion del valor del radio de la Tierra.

La estimacion de Eratostenes era bastante exacta. Hoy se sabeque la Tierra es una esfera ligeramente achatada en 105 polos y

que su radio es de aproximadamente 25 400 km.

Los grandes viajes de exploracion, como los de Vasco da Gama yde Cristobal Colon, pero sobre todo el viaje de circunnavegacionde Americo Vespucio y Sebastian Elcano, demostraron la redondezde la Tierra y dieron noticia de la existencia de tierras diferentes alas conocidas hasta entonces. En estos viajes la determinacion dela posicion de los navegantes en medio del oceano se hacfa pormedio de ,instrumentos como la brujula, el sextante y tambien porla observacion de las estrellas. Pero era comun que los barcosanduvieran extraviados semanas enteras, pues no era asunto faci!ubi car la posicion.

e = latitud de PqJ= longitud de P

Vespucio estudiando laredondez de la Tierra.

Desde los viejos mapas de Eratostenes, la Tierra eradividida en cfrculos de dos tipos: los que eran

paralelos al ecuadar (paralelos) y los cfrculosque pasaban por los polos (meridianos). Elangulo que se forma entre el ecuadar y unparalelo determina la latitud de un lugar sobrela superficie de la Tierra. El angulo que seforma entre un meridiano de referencia y elmeridiano que pasa por un lugar de la superfi-cie de la Tierra se llama la longitud dellugar.

Medir la latitud de un lugar, aun en medio deloceano, es sencillo, y los grandes navegantes

europeos del siglo xv y XVI 10 podfan hacer con pre-cision. Medir la longitud de un lugar era una tareamucho mas diffei!.

En 1714 la Corona de Inglaterra ofrecio un importante premio a la personaque pudiera resolver el problema de determinar la longitud de los diferenteslugares. Se hicieron muchos intentos, pero la solucion solo llego mas de 40afios despues. John Harrison construyo los primeros relojes que se man-tenfan funcionando par dfas enteros. Con ayuda de estos se pudo fijar la lon-

gitud de los lugares sobre la Tierra. Desgraciadamente, el premio nunca Ie fueentregado.

Desde 1884 se usa el meridiano que pasa por la ciudad inglesa de Greenwich comoel meridiana de referencia (0 sea, el meridiana 0°) para medir longitudes.

MAPAS DE LA TIERRALa cartografia, como la ciencia de representaci6n de la Tierra en mapaspIanos, fue evolucionando a 10largo de los siglos. S610despues delRenacimiento y del uso de la geometria proyectiva de los pintores seide6 efectuar distintos tipos de proyecciones geometricas para obtenermapas de la Tierra.

El problema de representar 10 que tenemos en la superficie de unglobo en una hoja plana de papel no es sencillo. Al desdoblar lasuperficie de un globo 10 rompemos y desfiguramos.

En el siglo xv, algunos pintores renacentistas, como Piero de laFrancesca y Alberto Durero, se dieron cuenta de la importancia dela geometrfa para alcanzar una representaci6n realista de 105 obje-tos y paisajes que querfan plasmar en sus cuadros. Por ello intro-ducen la idea de la perspectiva. Las lfneas de sus cuadros al acer-carse hacia el horizonte convergen en el punto de fuga. Esto es 10que sucede si te paras en el centro de una avenida larga: verasc6mo la calle parece estrecharse conforme se aleja y las aceras setocan en un punta lejano. Este es el principio de proyecci6n alpunto de fuga.

El primer mapa de la Tierra hecho por medio de proyecciones fueel del cartografo holandes Mercator, realizado en 1569. La proyec-cion de Mercator era bastante complicada y no fue sino hasta 30alios despues que el matematico ingles Edward Wright explicocompletamente 105 detalles de su elaboracion. Hoy el mapa deMercator sigue siendo muy popular.

~polo sur

Plano tangcntcal polo norte

Hay proyecciones mas sencillas que la deMercator, que nos permiten construir buenosmap as de la Tierra.

La proyeccion estereografica se obtiene pormedio de la iluminacion de un globo terraqueodesde el polo sur de la Tierra. Los rayos de luz

pasan a traves del globe y marcan 105 puntos de laTierra sobre un plano tangente al polo norte.

La proyeccion cihndrica se obtiene imaginando que a 10 largo del eje terrestre que une a 105 polostenemos una luz de neon. Enrollamos el globo terraqueo por medio de un cilindro que toea la Tierraa 10 largo del ecuador. Los rayos de luz pas an a traves del globe y marcan 105 puntos de la Tierra en elcilindro. Si desenrollamos elcilindro obtenemos un buenmapa de la Tierra, tambienconocido como mapamundi.

Proyeccioncihndrica.

Para la construccion de estos map as es necesario un conocimiento elemental detrigonometria y del uso de pIanos coordenados.

Los mapas de la Tierra tienen diversos usos; unos son mejores que otros deacuerdo con diferentes puntos de vista. La enorme ventaja que tiene el mapade Mercator y que 10 hizo rapidamente popular entre 105 navegantes es lasiguiente: si un barco se mueve sin cambiar el rumbo, tal como 10 indicaria

una brujula, entonces la trayectoria del barco sobre el mapa es una linea recta.Asimismo, el mapa que resulta de la proyeccion estereografica es muy preciso en

lugares cercanos al polo norte.

LA VELOCIDAD DEL COCHECuando vas en un coche, puedes ver la velocidad en 10sinstru-mentos del tablero. La velocidad no es siempre constante, cam-bia cuando se frena 0 cuando se presiona el acelerador. LQueinformacion nos proporciona la velocidad? LPodemos sabercmil es la distancia recorrida?

Cuando el coche esta detenido, por supuesto, tiene velocidad O. Sino arrancamos el coche, 10 empujamos 0 jalamos con una grua, elcoche no se movera. En una calle sin transito y andando a bajavelocidad, el coche puede mantenerse a velocidad constante v, estoes, vemos que la aguja del velocimetro marca todo el tiempo lavelocidad v. Si esta velocidad se mantiene durante un intervalo detiempo t, entonces la distancia d recorrida en ese tiempo par elcoche sera:

Cuando el coche se mueve avelocidad constante, la veloci-dad es la distancia recorridapor unidad de tiempo. Porejemplo, 10 kmlh (se lee "diezkil6metros par hora") indica que avelocidad constante el coche recorreria 10 kil6metros cada hora.

Para explicar el movimiento de 105 planetas y otros cuerpos en el espacio, elmatematico y fisico ingles Isaac Newton enunci6 una serie de leyes del movimiento.Uno de 105 principios basicos indica que un cuerpo en reposo, cuando no esta suje-to a ninguna fuerza de sus alrededores, se mantiene en reposo. Tambien un cuerpoque se mueve con velocidad constante y que no esta sujeto a fuerza alguna

mantiene su movimiento en linea recta y velocidad constante.

Observemos que nuestro coche esta sujeto a diversasfuerzas. Por un lade, al acelerar, el motor 10 empuja

hacia delante. Por otro lado la fricci6n del pisotiende a frenarlo. Para mantenerlo a veloci-dad constante, tenemos que equilibrar estasdos fuerzas.

Si el terreno pordonde circula el coche no

es plano, entonces el coche puedeexperimentar otras fuerzas; al avanzar par

una pendiente inclinada, esta sujeto a una fuerza quetiende a llevado hacia abajo; dicha fuerza es proporcional al peso

del coche.

Cuando la velocidad del coche no es constante, resulta mas dificil saber la distanciaque el coche recorre. Si medimos el tiempo t en el que se mueve y conocemos ladistancia d que recorri6, decimos entonces que la velocidad media v del coche estadada por:

Por ejemplo, si de mi casa al sur de la ciudad tardo media hora enllegar al centro y se que la distancia es de 20 km, entonces el viajese realiz6 a una velocidad media de

Hay otras situaciones donde el movimiento no tiene velocidad cons-tante, como la caida libre de una piedra. Podemos facilmente medir,con la ayuda de un cron6metro, cuanto tiempo tarda una piedrapequefla en caer desde 105 diferentes niveles de un edificio. Veremosque la piedra recorre 5 metros en 1 segundo. Si la piedra caedurante 2 segundos, habra recorrido entonces 20 metros; si caedurante 3 segundos, entonces recorre 45 metros y si cae 4 segundoshabra recorrido 80 metros. Obviamente, el movimiento de la piedraal caer no tiene velocidad constante, pues si asi fuera habria recorri-do solamente 10 metros en una caida de 2 segundos. La velocidadmedia de la piedra esta dada de acuerdo con la siguiente tabla.

Como vemos, cada segundo aumenta la veloci-dad media 5 m/seg. Decimos que este movimien-to es uniformemente acelerado. La fuerza queactua sobre la piedra y hace que su velocidad nosea constante es la fuerza de gravedad. Dichafuerza se mide como el peso de la piedra.

iCUANTAS CANICAS TUVE EN PROMEDIO EN LA SEMANA?En asuntos importantes es conveniente llevar un registro exacto de lasposesiones. El banco registra cuanto dinero tiene cada cliente y cuantodinero deposita 0 retira del banco cada dia. De manera similar, el gerentede la tienda lleva registro de las mercancias que se compran 0 venden.Probablemente nuestra madre lleva el registro del gasto de la casa. Estainformacion es de gran utilidad.

A Juan Ie gusta mucho jugarcanicas y lleva registro decuantas canicas tiene al finaldel dia, todos 105 dias. La tablade las canicas que hizo Juan lasemana que comenzo ellS deabril se ve como sigue.

15 de abril16 de abril17 de abril18 de abril19 de abril

La informacion de la tabla se puede poner demanera mas vistosa en una grafica de barrascomo la siguiente.

Canicas

40Hubo dias en que Juan tuvo muchas canicas, como el 16 y el 17de abril, en cambio hubo dias malos en que solo tuvo 25 canicas,como el 18 de abril. A Juan Ie in teresa saber cuantas canicas tuvoen promedio a 10 largo de la semana. Este numero se obtienesumando el numero de canicas de cada dia y dividiendo entre elnumero de dias, es decir, entre 7.

LQue quiere decir 32.57 canicas? jJuan nunca tuvo pedazos decanicas! El promedio no es el numero de canicas que tiene Juanen algun momento. Es solo un numero que indica mas 0 men oscuantas canicas tuvo Juan cada dia de la semana.

En la tienda de la escuela sevenden refrescos, lartas y dul-ces. Los refrescos valen 4pesos, las tortas 6 pesos y 105

dukes 50 centavos. La senorade la tienda ha hecho su tablade ventas de la semana:

15 de 16 deabril abril

Refrescos

Tortas

Dulces

A 10 largo de la semana, ~cuales el promedio de refrescosvendidos?, ~cual es el prome-dio de tortas vendidas? y ~cuales el promedio de venta totalde la semana?

LA GRAFICA DE VELOCIDADESCuando vamos en un coche, podemos ir anotando la velocidad que indi-ca el velocfmetro. Cuando el conductor acelera, la velocidad sube; cuan-do el conductor frena, la velocidad baja. Con estos datos podemos trazarla grafica de velocidades y obtener el promedio de velocidad del coche.

Antes de abordar el coche debemos prepararlapiz y papel y hacer una tabla como la siguiente:

Tiempo

o seg20 seg40 seg60 seg80 seg

100 seg120 seg140 seg160 seg

Velocidadkm/hora

Observemos que esta grafica no es de barras. Decada punto conocido en la grafica, digamos elpunto (0,0), al siguiente punto, digamos el (20,20), no sabemos realmente c6mo vari6 la veloci-dad del coche. LA los 10 segundos, la velocidadera de 10 kmlhora 0 de 15 kmlhora? Pero sabe-mos que el coche debe haber llegado de 0kmlhora a 20 kmlhora pasando por velocidadesinterrnedias. Por ella, 10 mas sencillo es trazaruna linea que una el punta (0,0) con el punto(20,20), luego este punto con el punto (40,35)Y as! sucesivamente.

8-1

Nos informan que un coche viajo durante 40 minutos a una velocidad de 60km/hora, luego cambio bruscamente su velocidad y durante los siguientes 30 minu-tos viajo a una velocidad de 80 km/hora. LCmil fue el promedio de velocidaddurante la hora y 10 minutos de viaje? LCmintos kilo metros recorrio el coche en esetiempo?

Puesto que 40 minutos son 2/3 partes de una hora, en los primeros 40 minutos de re-corrido el coche recorrio 2/3 hora X 60 km/hora = 40 km En la segunda parte del viajerecorrio 1/2 hora x 80 km/hora = 40 km. En total, el coche recorrio 80 kilometros.

En una pista de carreras, el coche al acercarse a una curva debebajar su velocidad. Al salir de la curva la velocidad sube hastaalcanzar un maximo en la recta. Luego vuelve a bajar al entrar aotra curva y as! sucesivamente.

La grafica de velocidades de un coche en una pista ovalada,como la que vemos a continuacion, se obtuvo midiendo lavelocidad en una vuelta en los 8 puntos marcados en la pista:

MI TABLA DE CRECIMIENTOPara muchos asuntos importantes es conveniente realizar tablas de infor-macion, con 10 cual posteriormente podnis contestar muchas preguntas.Por ejemplo, puedes medir cada mes tu estatura y tu peso, con 10 cual alfinal del ano sabras cuanto has crecido, cual es tu promedio de crecimientomensual y muchas otras cosas.

En la siguiente tabla puedes ir anotando a 10largo del ano tus datos de crecimiento. Hemosanotado junto a ellos los datos de crecimiento deotros dos amigos nuestros: Juan y Pedro.

MIS DATOS

ESTATURA1 PESO

ENERO

FEBRERO

MARZO

ABRIL

MAYO

.JUNIO

.JULIO

AGOSTO

SEF'TIEMBRE

OCTUBRE

NOVIEMBRE

OICIEMBRE

En nuestra tabla, las estaturas estan medidas en metros yel peso en kilogramos. Observa que en el ano Juan cre-ci6 6 centfmetros, mientras que Pedro creci6 s6lo 4centfmetros. Sin embargo, Pedro sigue siendo masalto que Juan. Hay meses en que no se registr6ningun crecimiento en nuestros amigos; sin embargo,

el promedio de crecimiento mensual de Juan es de 0.5centfmetros y el de Pedro de 0.33 centimetros.

Al final del ano debes contestar las siguientespreguntas: (Cuantos centfmetros creciste? (Cual

fue tu promedio de crecimiento mensual?

DATOS PEORO

ESTATURA PESOESTATURA PESO

1.30 35

1.30 35

1.31 36

1.31 36.5

1.32 36.5

1.32 37

1.33 37.5

1.33 37.5

1.34 37

1.35 37.5

1.35 37

1.36 37.5

1.38

1.38

1.38

1.39

1.39

1.40

1.40

1.40

1.41

1.41

1.42

1.42

42

4242

42.5

42

42.5

43

43

4343

4444

o 2000 -en~ClE

I I I I I I!~ 0 ~ 0 ~ 0 mom 0 0 mom 0~ ~ N N ~ M ~ ~ m ill ill ~ ~ 00

Las gnHicas asociadas alas tablas de informacionde algunos asuntos presentan un comportamien-to particularmente simple. Por ejemplo, la cajerade un cine ha hecho la siguiente tabla de ingre-sos del cine:

5101525406080

100

150300450750

1200180024003000

Todos los puntos de la grafica caen sobre unalinea recta. Decimos entonces que la grafica eslineal. Decimos tambien que el asunto que esta-mos estudiando es un fenomeno lineal.

I Io U"l 00> 0> 0

En los fenomenos lineales es posible hacerpredicciones de 10 que va a ocurrir en el futuro.Por ejemplo, si la cajera del cine sigue vendien-do boletos hasta llegar a los 500, (cuanto dinerotendra? Siendo que cada boleto cuesta 30 pesos,es claro que tendra 15000 pesos.

Por supuesto, el crecimiento de unapersona no es un fenomeno lineal. Sifuera lineal, cada ano creceriamos 10mismo que el anterior, entoncesnuestro amigo Juan mediria 2.50

metros de estatura dentro de 20 anos yseria un gigante descomunal.

LAS TEMPERATURAS EN MEXICOLos datos mas importantes sobre 10 que sucede en Mexico yel mundo se registran en tablas y con ellos se elaboran grafi-cas. Asi, hay tablas sobre la poblacion en ciudades, estados ypaises, sobre la temperatura en cada lugar, la cantidad delluvia cada dia y otros asuntos mas. Toda esta informacionresulta uti! para entender 10 que sucede en cada pais, enten-der los problemas cuando se presentan y prevenir desastres.

Cada hora, cada dia, en cada ciudad importante se mide la tem-peratura a la intemperie. De esta manera se obtienen tablas de lastemperaturas en muchos lugares del pais. Se pueden hacer tablascon las temperaturas maximas medidas registradas durante el dia, .o bien con el promedio de las temperaturas de todo dia.

En la siguiente tabla reproducimos los datos de la temperaturamaxima promedio de cada mes en varias ciudades del pais. Dichopromedio se calcu16 utilizando las temperaturas maximas de todoslos dias en los alios 1951 a 1980.

CIUDAD ENE FEe MAR ABR MAY ..JUN ..JUL AGO SEP OCT Nov OIC

LA PAZ I 23.5 25.1 27.1 30.1 33.1 35.1 36.4 36.1 35.1 32.9 28.6 24.8

COLIMA 31.2 31.7 32.9 34.2 34.7 33.5 32.8 32.0 31.0 31.4 32.1 31.1

PACHUCA 18.7 20.0 22.6 23.4 22.9 20.7 19.4 19.8 18.9 18.8 18.8 18.4

GUADALAJARA 24.0 25.6 28.4 30.5 31.8 29.4 26.3 26.4 26.1 25.9 25.5 23.6

0.1=". 21.2 22.9 25.7 26.6 26.5 24.6 23.0 23.3 22.3 22.2 21.8 20.8

MONTERREY 20.3 22.6 26.3 29.8 31.3 33.1 34.1 33.7 30.7 26.9 22.7 20.6

HERMOSILLO 23.6 25.7 27.8 32.1 35.7 39.6 39.2 38.2 37.8 34.6 28.5 24.1

..JALAPA 19.7 20.5 23.4 25.5 25.9 24.8 23.9 24.5 23.9 22.5 21.2 20.0

TOLUCA 17.0 18.1 20.4 21.3 21.1 19.5 18.0 18.3 18.1 18.3 17.6 16.9

Estas temperaturas promedio pueden ser de gran importancia. Sicomparamos los datos de la tabla con los de dias recientes y obser-vamos que en estos ultimos la temperatura ha sido mas alta que 10normal, podemos determinar si se esperan sequias 0 incendiosforestales en los pr6ximos dias.

DC.45l1li40035030025020015

Temperatura media mensualabril2002

DC030025020015010

Sin embargo, 105datos presentados de esta manera no resultanfaciles de leer y necesitariamos varias paginas para tener la infor-macion detallada de 1as principales ciudades de todo el pais. Parella, es mejor presentar este tipo de informacion directamentesobre el mapa del pais. Por ejemp1o, la temperatura maximapromedio de la semana del 25 de abril al 1 de mayo de 2002 entodo el pais esta representada en el siguiente mapa.

Temperaturas mdximasdel 25 de abril al 01 de mayo de

En este mapa queda claro que la temperatura maxima reportadaen todo el pais fue bastante alta esa semana. l.En que lugares de laRepublica 1a temperatura estuvo por arriba del promedio de 105aftos 1951-1980?

Mas significativa resu1ta 1a temperatura media registrada en unlugar, esto es, e1promedio de temperaturas a 10 largo del dia. Enel siguiente mapa apreciamos la temperatura media mensualdurante el mes de abri1 de 2002.

Observa que la temperatura media en el dia es bastante mas bajaque la temperatura maxima. De hecho 1a temperatura maximapromedio en abril de 2002 en todo el pais fue de 36.5 DC, mien-tras que la temperatura media en ese mismo mes en todo el paisfue de 23.8 dc.

I LAS MATEMATICAS Y LA VIDA HUMANAPor siglos los cientificos y los medicos han buscado maneras para curarlas enfermedades y entender el funcionamiento del cuerpo humano. Tan-to medicos como artistas trataron de cuantificar las proporciones delcuerpo humano. Por ejemplo, Leonardo da Vinci realiz6 precisos dibujosanat6micos y Galileo estudi6 el ritmo cardiaco, companindolo con el rit-mo de oscilaci6n de un pendulo. Actualmente, las matematicas explicanmuchas de las funciones del cuerpo humano y son de gran utilidad en eldisefio de tecnicas modernas de detecci6n y tratamiento de enfermedades.

El registro metodico de datos sobre el ser humano nos penniteconocer informacion de vital importancia. Por ejemplo, a continua-cion damos el tiempo promedio de vida (en afios) de los habitantesde varios pafses.

Promedio de vidaPais Hombres Mujeres

Mexico 74.3Francia 82.9Estados Unidos 79.9Nigeria 51.6China 73.3

Por supuesto, 10 primero que nos llama la atencion es que lasmujeres viven, en promedio, mas que los hombres, salvo en elcaso de Nigeria, que tiene un bajo promedio de vida tanto parahombres como para mujeres. Si bien actualmente un ciudadano deMexico puede esperar vivir alrededor de 70 afios, y en otros pafsesaun mas, no siempre ha sido asf. En 1700, el promedio de vida delas personas era de 30 afios y para 1900 era de 40.

Galileo compar6 el ritmocartiiaco con la oscilaci6n

tie un pentiulo

Los espectaculares avances de la medicina han permitido erradicarcasi completamente algunas enfermedades, otras incluso ya nocobran muchas victimas. En Mexico, la principal causa de muerteson los problemas cardiacos, pero los accidentes han tornado ellugar que antes tenfan algunas enfermedades.

Cansas de muerteen Mexico (1996)

oCancerAccidentesOtras

4991635073285729

1511.48.0

65.6

Los datos promedio sobre todo tipo de variables fisicas del hombre son muy impor-tantes. Conocer el valor promedio de la presion arterial, la frecuencia cardiaca, laestatura de las personas, su peso, el numero de globulos en la sangre par mm3, el con-tenido de colesterol en la sangre, entre otras cosas, permite establecer rangos de nor-malidad; es decir, las personas que se alejan claramente del promedio de la poblaciondeben ser tratadas con cuidados medicos.

En 105 ultimos aflos las matematicas han permitido el desarrollode nuevas tecnicas medicas ,de diagnostico y prevencion de enfer-medades. Entre otros avances que han impactado la practica medi-ca contamos 105 siguientes:

• Tomografia: por medio de estatecnica es posible obtener imagenesmuy precisas de organos internosdel cuerpo humano, por supuesto,sin abrirlo.

• Estudios de la actividad cerebraly cardiaca mediante metodos de lamodema teoria del caos, uno de losmas recientes avances de lasmatematicas.

• Uso de computadoras para la identificacionrapida de muestras de DNA.

Como actividad importante te sugerimos que discutas estos temascon tu maestro de biologia y consultes libros sobre el tema.

i,QUE ES LA ESTADisTICA?La estadfstica es la recopilaci6n y analisis de datos sobre fen6menos 0

hechos que nos interesan. Estos datos frecuentemente se presentanpor medio de tablas como las que hemos encontrado en los temasanteriores. Las tablas sirven para mostrar de manera clara las princi-pales caracterfsticas del fen6meno que se estudia. En algunas oca-siones es muy diffcil recopilar todos los datos posibles acerca delmismo fen6meno. Por ello se realiza una selecci6n cuidadosa de loscasos que se pueden estudiar y se lleva a cabo una encuesta.

Muchos de 105 fenomenos quese desean estudiar se refieren aaspectos de las personas 0 dela vida social y economica de105 paises. Para estudiarlos sepueden preguntar 105 datos atodos 105 habitantes de unpais. En Mexico cada 10 anosse realiza el Censo Nacional dePoblacion y Vivienda en el cualse pregunta a cada uno de 105

mexicanos datos importantes:edad, sexo, escolaridad, ocu-pacion, ingresos economicos,caracteristicas de la casa dondehabita y otros datos impor-tantes. Estos datos sirven parasaber cwintos mexicanossomos, como somos, 105 prin-cipales problemas que tenemosy como resolverlos.

Algunos datos del ultimoCenso de Poblacion yVivienda:Poblacion: 100349766 habi-tantes.Edad promedio: 21. 7 anos.

En muchas ocasiones resulta dificil, tardado y muy costoso pre-guntar a todas las personas 105 datos que deseamos estudiar parapoder saber cual es el resultado promedio. Por ejemplo, sides earn os saber cwil es la edad promedio de 105 habitantes denuestra ciudad, tendriamos que pre gun tar su edad a todos y cadauno de ellos. iUna tarea titanica!

En muchos casos, para estudiar 105 datos de una poblacion, seelige un grupo mas pequeno y se Ie estudia. Este grupo pequenose llama muestra y si esta bien elegido, el resultado promedio queobtengamos sera muy parecido al de la poblacion completa.

£1 INEGI es el encargado derealizar el censo de poblacion yvivienda

Elegir adecuadamente la muestra no es una tarea facil y frecuente-mente lleva a resultados err6neos en las encuestas. Por ejemplo, sideseamos saber la edad promedio de los habitantes de la ciudad yelegimos como muestra la fracci6n de la poblaci6n que esta en laplaza central de la ciudad entre las once y las doce de la manana,estaremos cometiendo un grave error, ya que los ninos estan en laescuela a esas horas. El resultado que obtendremos sera muchomayor que el real. A veces, sin embargo, los errores son massutiles.

La muestra es elcofliunto cte

personas queelegimos como

representantes ctetocta la poblaci6n.

Si deseamos saber cuales son los ingresos econ6micos de las fami-lias mexicanas, cometeriamos un error si realizaramos una encues-ta telef6nica, pues en Mexico hay menos de 10 millones de tele-fonos y las familias que tienen uno son las de mayor ingresoecon6mico. Por ello, los resultados obtenidos tomando una mues-tra asi seran mas altos que los reales.

Para que una muestra sea correcta deben tomarse en cuentamuchas variables: la proporci6n de hombres y mujeres en lapoblaci6n, quienes son habitantes de la ciudad y quienes delcampo, quienes son tecnicos y quienes profesionistas, etcetera.

FENOMENOS REGIDOS POR EL AlARLanzar una moneda al aire para ver si cae aguila 0 solo lanzar dos dadospara ver cuanto suman sus caras son fen6menos cuyo resultado nopodemos predecir, por 10 que decimos que son fen6menos regidos por elazar.

Tambien podemos decir que son fen6menos aleatorios 0 de suerte(la palabra griega alea significa "suerte"). El estudio de este tipode fen6menos es muy importante y puede hacerse por medio delas matemGiticas.

Una moneda lanzada al aire puede caer tanto en aguila como en sol.Esto es, en una moneda normal, sin deformaciones, existe el mismonumero de posibilidades de que caiga aguila 0 sol. Por ello decimos quela probabilidad de que salga sol es 1/2 y la probabilidad de que salga aguilaes 1/2 . l.Quiere decir esto que de dos volados, uno saldra aguila y el otro sol yque en cuatro volados, saldran dos aguilas y dos soles? No. Veamos con cuidadoun experimento:

Echemos volados con una moneda y vayamos anotando los resultados. Abajoanoto los resultados que obtuve al arrojar una moneda 80 veces:

Sol, Aguila, Aguila, Sol, Sol,Aguila, Sol, Sol, Sol, Aguila,Sol, Aguila, Aguila, Sol, Sol,Sol, Sol, Aguila, Aguila, Aguila,Aguila, Sol, Sol, Aguila, Sol,Sol, Aguila, Sol, Sol, Aguila,Sol, Aguila, Aguila, Aguila, Sol,Sol, Sol, Aguila, Aguila, Sol,Aguila, Sol, Aguila, Aguila,Aguila, Sol, Aguila, Sol, Aguila,Aguila, Aguila, Aguila, Aguila,Sol, Sol, Sol, Sol, Sol, Aguila,Sol, Aguila, Aguila, Aguila, Sol,Sol, Sol, Aguila, Sol, Aguila,Aguila, Aguila, Aguila, Sol, Sol,Aguila, Sol, Sol, Sol, Aguila,Aguila.

Podemos elaborar una sencilla tabla del experi-mento realizado con la moneda:

0.330.60.550.560.550.480.5160.5140.5

Al echar el primer volado no sabemos que resultara. Digamos que,como en nuestro primer volado, sale sol. LQue debemos esperardel segundo volado? Nada especial, es tan probable que salgaaguila como que salga sol: jla moneda no recuerda 10 que salio enel primer volado!

Y si en 105 cuatro primeros volados salen soles, Lque debemosesperar del quinto vola do ? Otra vez, nada especial. Es tan proba-ble que salga aguila como que salga sol. Lo que es muy dificil quepase es que nos salgan 5 0 mas soles en forma consecutiva.

Lo que debemos esperar es que conforme echemos mas y masvolados, la proporcion de soles sea mas y mas parecida a la pro-porcion de aguilas. Esto es, conforme mas volados echemos, elcociente SN se parecera mas y mas a 1/2. Esto se conoce como laLey de 105 Grandes Numeros.

Al arrojar un dado a la mesa sabemos que esigualmente probable que salga uno de 105

seis numeros: 1, 2, 3, 4, 5 0 6. Puesto quehay 6 resultados igualmente probables,entonces la probabilidad de que al arro-jar el dado salga 1 0 cualquiera de 105

cinco numeros es de 1/6.

Esto quiere decir que si tiramos 105

dados muchas veces, digamos N veces,debemos esperar que el numero de vecesque sale 1 sea parecido a N/6.

I TEORiA DE LAS PROBABILIDADESLa teorfa de las probabilidades es la parte de las matemMicas que estudialos fen6menos aleatorios. Los primeros estudios en teorfa de probabili-dades se realizaron con el objetivo de determinar las oportunidades deganar en juegos de azar, como los dados 0 las cartas. Pronto esta teorfaencontrarfa un gran numero de aplicaciones en muchas situacionesimportantes de la vida cotidiana.

El uso de la probabilidad y la estadistica datan, al menos, deltiempo de los faraones egipcios. En efecto, en esos tiempos selevantaron los primeros censos de poblacion y se calculabanlos beneficios de los campos de cultivo.

En el siglo XVII hubo un gran desarrollo de la teoria de la probabi-lidad, ya que algunos matematicos intentaron determinar las posi-bilidades de ganar en los juegos de azar.

La obra mas importante en elmarco de la teoria de lasprobabilidades fue escrita porel matematico frances PierreSimon de Laplace. En ellaaparece por primera vez laregIa de Laplace, la cual esfundamental para la determi-nacion de las probabilidadesde un suceso.

Pierre Simon de Laplace,grabado de Delaistre.

Sin duda, otro de los matem:iticos que masaporto a la teoria de las probabilidades es el rusoKolmogorov, quien define la teoria en la maneraque se estudia hoy en dia.

Al estudiar un fen6meno nos preguntamos cwil es la probabilidad de que unsuceso en particular resulte cierto, por ejemplo, que allanzar un dado suscaras sumen 4. El matemlitico Laplace estableci6 la siguiente regIa: con-temos primero todos los posibles resultados del fen6meno que esta-mos estudiando, digamos R, luego contemos todos los posi-bles resultados que serian exitosos, digamos E, entonces laprobabilidad de que suceda 10 que queremos es de E/R.

Si deseamos calcular la probabilidad de que tengan lugar dos suce-sos de manera consecutiva, debemos que pro ceder con cuidado.

Decimos que dos sucesos son independientes si el resultado delsegundo no condiciona de ninguna manera el resultado delprimero. Por ejemplo, los resultados que se obtienen al arrojar dosdados son dos sucesos independientes: el resultado del primero yel resultado del segundo. En pocas palabras, el resultado delsegundo dado no depende en absoluto del primero.

Por otro lado, cuando tenemos dos sucesos independientes, la probabilidad de quesucedan los dos es el producto de la probabilidad de que suceda cada uno de

ellos. Por ejemplo, la probabilidad de que al arrojar un dado se obtenga 6es de 1/6 y la probabilidad de que al arrojar dos dados se obtenga undoble 6 es de

Decimos que dos sucesos son complementarios si cada vez que noocurre el primer suceso, ocurre el segundo y, a la inversa, cuando no

ocurre el segundo, ocurre el primero. La suma de la probabilidad de dossucesos complementarios siempre es 1. Por ejemplo, el hecho de que al arrojar

un dado salga un numero menor 0 igual a 5 es un suceso complementario al hechode que salga 6. La probabilidad de sacar 1, 2, 3, 4 0 5 al tirar un dado es de 5/6 y laprobabilidad de sacar 6 es de 1/6. ASl,

(ONTANDO CON CUiDADO

Sabemos que la mama de Juan tiene dos hijos, pero no sabemos silos dos son varones 0 sijuan tiene unahermana. (Cual es laprobabilidad de que Juan tenga un hermano?

Una importante dificultad al tratar de aplicar 10sprinci-pios de la teoria de probabilidades es determinartodas las formas posibles en que un suceso puedeocurrir. Por ello, hay que pensar con cuidadocomo contar, aun en 10scasos que parecen massencillos.

jLa respuesta no es 1/2! Sabemos que la probabilidad de que unapersona elegida al azar sea var6n es de 1/2, pero en el caso de loshijos de la mama de Juan hay las siguientes posibilidades:

Luego, de las 3 posibilidades de secuencias de hijos, s610 en laprimera hay dos hijos varones. As!, la probabilidad de que Juantenga un hermano es de 1/3.

Tenemos una bolsa con tres objetos diferentes. Sacaremos los objetos uno por uno. Queremossaber con que probabilidad podemos adivinar el orden en que saldran los objetos.

Cada extraccion de los tres objetos de la bolsa es igualmente probable, por 10 que solotenemos que determinar de cuantas posibles formas podemos sacar los tres objetos.

Las posibilidades estan ilustradas enseguida:

Vemos aqui que el primer objeto sepuede tomar de 3 maneras posibles,

pero una vez elegido solo quedan 2 obje-tos en la bolsa; por 10 tanto, en cada uno de

los 3 casos solo hay 2 posibilidades para lasegunda extraccion. La tercera extraccion queda

determinada por las otras dos. Luego, el numero de posi-bilidades de extraccion se calcula como 3 x 2 x 1 = 6.

Si tuvieramos 4 objetos diferentes en la bolsa -digamos que agrega-mos una pera-, las posibilidades de extraccion serian4 x 3 x 2 x 1 = 24.El resultado de multiplicar un numero n portodos los numeros que Ie preceden es denotado por n!, que se lee"n factorial".

5! = 1206! = 7208! = 57609! = 51840

Tomamos ahora la bolsa con 4 objetos diferentes y sacamos sin ver2 objetos simultaneamente. l Cual es la probabilidad de que adi-vinemos los objetos que saldran?

/ \~ 0

I I~ ~

'ff!

/ \o

I IG

Q/ \

~

I

Otra vez se trata de con tar los posibles casos:pera y manzana

pera y pelotapera y trompomanzana y pelotamanzana y trompopelota y trompo

Luego, hay 6 casos diferentes. Situvieramos 5 objetos dentro de la bolsa,

entonces el numero de posibilidades de extraer2 objetos seria 10. lPor que?

El numero calculado se llama las combinaciones de 4 tornados de2 en 2 y se expresa como

(4)= 4x3= 4x3x2x12 2x1 2x1x2x1

En general, el numero de combinaciones posibles de n objetostornados de t en t resulta

(~)= n!t! (n-t)!

LLOVERA?Los meteorologos estudian 10s cambios en la atmosfera (la formacion denubes ciclones, vientos y lluvias) para tratar de hacer predicciones sobreel clima de 10sproximos dias. La tarea no es faeil y solo con cierta pro-babilidad pueden saber 10que pasara manana.

Cuando un suceso es completamente seguro, tam-bien decimos que ocurrinl. con un 100 por cientode probabilidades. Como vemos, los porcentajesson una manera usual de escribir la probabilidadde que un suceso ocurra. Asi, si un evento tiene0.6 de probabilidades de ocurrir, diremos que es60 por ciento seguro que suceda y; por otro lado,si tiene 0.8 probabilidades de realizarse, diremosque es 80 por ciento seguro que ocurra.

En el noticiero del viernes se dio un informe acerca de las condiciones del tiempo para el fin de sema-na: "Hay 50 por ciento de probabilidad de que llueva el saba do y 50 por ciento de probabilidad deque llueva el domingo". La mama de Juan concluye que llovera el fin de semana. Pero Juan, quehabia estudiado sus clases de probabilidad, corrige a su madre indicandole que s610 hay 75 por cientode probabilidades de que llueva el fin de semana. (Quien tiene raz6n?

Como siempre,el problema seresuelve contan-do todas lassituaciones posi-bles y luegoviendo cualesnos interesan.Juan hizo elsiguiente dibujoa su madre.

Domingo DomingoPosibles situaciones para el fin de semana.

...•_ ~c i::a fa -b es siruaciones para el c1ima del fin descmana y que solo en 3 de ellas era segura que lloviera. Juan tenia razon.

Cuando oimos que la probabilidad de lluvias par la tarde es de 50 por ciento, Lquedebemos entender? LVaa llover en la mitad de la ciudad? LVaallover la mitad de latarde? LLa lluvia depende de un volado? LLos meteorologos no saben nada?

Debemos entender que si hubiera muchos dias, digamos 1000, con las mismas condi-ciones atmosfericas que hoy, entonces lloveria aproximadamente la mitad de esos dias.Pero en realidad, no hay dos dias que tengan exactamente las mismas condicionesatmosfericas, por.lo que las indicaciones de los meteorologos son solo aproximadas.

Se cuenta que el gobiemo de cierta ciudad decidio hacer algo pormejorar el transito en las calles. Los congestionamientos eran yainsoportables.

El alcalde penso: "si ponemos tres carriles en las calles que solotienen dos, entonces podnin circular mas caches por las calles".Enseguida dio la orden de borrar las rayas de los carriles en lascalles y pintarlas de nuevo. Pero los problemas continuaron, ahorael transito era muy lento, pues los coches apenas cabian en loscarriles y los conductares temian chocar facilmente.

El alcalde dijo entonces: "vuelvan a pintar solodos carriles en las calles donde habiamos puestotres". 1nmediatamente se repintaron las callescomo estaban al principio. Al dia siguiente unayudante del gobemadar Ie dijo: "Oh, sabioalcalde, en verdad ha logrado mejorar el transitoen la ciudad. Con su orden de julio el numerode coches que podian circular por las calles seincremento un 50 por ciento. Con su orden deseptiembre, el numero de coches que podian cir-cular disminuyo en 33 por ciento. Por 10 tanto,la capacidad de transito en la ciudad aumento en50 por ciento - 33 por ciento = 16.6 par ciento.iMaravilloso! ".

A pesar de esto, los ciudadanos no notaronninguna diferencia en la ciudad. LPar que

Las calles enjunio.

Las calles enjulio.

Las calles enseptiembre.

C IDO ,imos en un tema anterior, en el siglo XVII los matemaricos se~reocuparon por analizar las probabilidades de ganar en los juegos dea=ar ya fueran dados 0 cartas. Es famoso el problema que un aristocrataFrances cuya diversion era jugar a los dados planteo al matemarico y filo-sofo Blaise Pascal: "L Que es mas probable, que con cuatro lances de undado salga al menos un seis 0 que con 24 lances de dos dados salga almenos un par simultaneo de seises?". La solucion del problema dependede la aplicacion de la regIa de Laplace 0 bien del calculo de la probabili-dad de sucesos independientes.

Apliquemos la regIa de Laplace para resolver el problema que el aristocratajugador planteo a Pascal. Para ella, hay que calcular la cantidad total R1 deposibles resultados al tirar un dado 4 veces y la cantidad de posibles resul-tados exitosos E1; de esta manera la probabilidad buscada sera E1 / R1.

ya que en los cuatro lanzamientos se puedeobtener cualquier numero entre 1 y 6.De estos lanzamientos los exitososson aquellos donde se obtiene almenos un 6. LCuantos son?Contemos las maneras posiblesde lanzar el dado 4 veces sinobtener nunca un 6: en los cuatrolanzamientos tendria que salirun numero entre 1 y 5. Hay, par10 tanto, 5 x 5 x 5 x 5 = 625 lanza-mientos no exitosos, esto es, el numero posi-ble de lanzamientos exitosos es:

Entonces la probabilidad de sacar al menos un 6 en cuatrolanzamientos de un dado es:

En el caso de los dos dados, arrojados 24 veces, los posiblesresultados son

multiplicando 24 veces el numero 36, que es el numero de posi-bIes resultados al arrojar dos dados.

El numero de casas no exitosos en cada tirada es 35, luego 105 casas donde no hayningun par de seises en 24 tiradas de dados es:

multiplicando 24 veces el numero 35. El numero de casas exitosos esE2 = R2 - N2. Finalmente, la probabilidad de sacar al men os un parde seises en 24 tiradas de dados es:

jProblema resuelto! Es mas probable sacar algun 6 tirando 4 veces undado que sacar un par de seises tirando 24 veces un par de dados.Por supuesto, para realizar estas operaciones requerimos de unabuena calculadora de bolsillo.

Consideremos nuevamente el problema de Pascal. En el caso de un solo dado tirado 4 veces,cada uno de 105 lanzamientos del dado es independiente de 105 otros tres. Por ello, la proba-

bilidad de no obtener un 6 tirando una sola vez el dado es de 5/6 y la probabilidad de noobtener un 6 en ninguna de las 4 tiradas del dado es

Similarmente, la probabilidad de no obtener un doble 6 tirandouna vez 105 dados es de 35/36. Por 10 tanto, la probabilidad de noobtener un doble 6 despues de tirar 105 dados 24 veces es de

multiplicando 24 veces la fracci6n 35/36. La probabilidad deobtener un doble 6 en 24 tiradas de dos dados es entonces:

CHICLES DE COLORES Y CUMPLEANOSHay muchas situaciones en la vida en que no sabemos que va a pasar,pero nos gustaria saberlo. Por ejemplo, cuando compramos un boletopara participar en una rifa 0 sorteo 0 cuando participamos en un concur-so de pron6sticos deportivos. La teoria de probabilidades nos puedeindicar 10 que podemos esperar en todas estas situaciones.

Juan va a una farmacia donde hay una maquina que vende chiclesde colores. Cada vez que deposita un peso, la maquina Ie devuelveun chicle, pera Juan no sabe de que color sera. Juan desea unchicle raja y antes de depositar su primera moneda cuenta cuan-tos chicles hay en el anfora de la maquina: 10 chicles rajas, 6azules y 9 blancos. (Cual es la probabilidad que tiene Juan desacar un chicle raja al depositar su primer peso? (Cual es la pro-babilidad de que Juan obtenga un chicle raja si esta dispuesto agastar hasta 3 pesos?

Ayudemos aJuan. Segun la regIa de Laplace debemos contar cuantos resultadosposibles existen al depositar la primera moneda: hay 25 resultados posibles, de 105

cuales 10 son exitosos. Par 10 tanto, la prababilidad de sacar un chicle raja aldepositar la primera moneda es de 10/25 = 0.4. Si al depositar el primer pesono sale un chicle raja, entonces la prababilidad de sacarlo can la segunda

moneda es de 10/24 = 0.416, pues ahara 5610 quedan 24 chicles en elanfora.

La prababilidad de que Juan obtenga el chicle deseado can 3 pesos se puedecalcular asi: si can tres pesos no obtiene el chicle raja, quiere decir que can laprimera moneda obtuvo otra color, 10 cual puede ocurrir can una prababilidad

de 15/25; can la segunda moneda obtuvo tambien otro color, 10 que puedeocurrir can probabilidad de 14/24 y de igual manera can la tercera moneda

obtiene un color diferente al raja, 10 que puede ocurrir can prababilidad de 13/23.Puesto que 105 tres sucesos son independientes, entonces la prababilidad de que noobtenga el chicle deseado es de:

Par tanto, podemos concluir que la probabilidad de que Juantenga el chicle raja luego de usar 1, 2 a 3 pesos es de

Esto no es una mala noticia para Juan. Quiere decir que si va a lafarmacia todos 105 dfas del afio, dispuesto a gas tar 3 pesos paraobtener el chicle rojo, 10 obtendni aproximadamente en 295dfas (observa que 365 X 0.81 = 295.65).

Haz el siguiente juego en tu salon de clase, 0 en una fiesta con tusamigos.

En una fiesta en casa de Juan, este les dice a 105 20 invitados que esta seguro deque hay dos de eUos que cumplen afios el mismo dia. iEsta es una afirmacionsorprendente! LComo puede saberlo si en la fiesta hay 20 personas y hay365 dfas del afio?

Veamos cual es la probabilidad de que 20 personas cumplan afiosen dfas distintos. Comencemos por un caso mas sencillo: cual esla probabilidad de que dos personas cumplan afios en dfas dis-tintos. La segunda persona solo tiene 364 posibilidades de quesu cumpleafios no sea el mismo dfa que el de la primera per-sona. Por 10 tanto, la probabilidad de que cum plan afios en dfasdiferentes es de 364/365. Luego, la probabilidad de que dos per-sonas cumplan afios el mismo dfa es de

un numero muy pequefio. La probabilidad de que tres personas cumplan afios endfas diferentes es de 364/365 X 363/365, pues la tercera persona solo tiene 363

dfas en que puede cumplir afios. Por tanto, la probabilidad de que en un grupode tres personas dos de eUas cum plan afios el mismo dfa es de

Todavfa un numero pequefio. Pero cuando repetimos el razonamientopara 20 personas, tenemos que la probabilidad de que dos de ellas cum-

plan afios el mismo dfa es de

que es un numero sorprendentemente cercano a 1. jEsto qui ere decir que casi concert.eza dos de 105 amigos de Juan cumplen afios el mismo dfa!

LA FALACIA DEL JUGADOREn los juegos de azar pueden suceder acontecimientos inesperados. Porejemplo, al echar volados pueden salir repetidamente muchos "soles",por 10 que tendemos a esperar que el siguiente volado resulte "aguila".Esto no es asi; a pesar de 10 que haya pasado en los volados anteriores, elsiguiente volado tiene la misma probabilidad de resultar "aguila"0 "sol".

Ya 10 hemos dicho antes: la moneda con la que jugamos volados no recuerda 10 quepaso en los volados anteriores. Por tanto en el proximo vola do la probabilidad deobtener "aguila" sigue siendo 1/2. Lo anterior es, a veces, dificil de en tender paralos sorprendidos jugadores. Hubo un incidente famoso en el Casino de Monte Carloen 1913: en la ruleta salio 26 veces consecutivas el negro. A partir de la quinceavaocasion que esto ocurria, un gran numero de apostadores se reunio alrededor de lamesa para apostar fuertes sumas de dinero a favor del rojo para la siguiente tirada dela ruleta. Como consecuencia, el Casino de Monte Carlo obtuvo grandes ganancias.

EI siguiente metodo de apuesta hasido propuesto en multiplesocasiones para ganar a 10seguro. Vamos a jugarvolados y apostemossiempre al "sol". En el

primer volado apostamosun peso; si ganamos, en el

segundo vola do apostamos unpeso, y si perdemos, apostamos

dos. Supongamos que continuamosasi, si ganamos un volado, volvemos a

apostar 10 mismo que en el volado anterior, si 10 perdemos, apos-tamos el doble. l.Que pasa si hacemos esto? Veamos un ejemplo:

Un poco de matematicas nos muestran que si tenemos una cadena de volados perdidos yluego ganamos uno, automaticamente recuperamos todas nuestras perdidas. En efecto, si

perdemos 5 volados consecutivos, habremos perdido

Pero para el sexto volado apostaremos entonces 32 pesos y si 10 ganamos ten-dremos ganancias netas de 1 peso. jBasta esperar el tiempo suficiente hasta quesalga un "sol" para salir ganando con este metodo! (Cieno?

El problema es que puede haber rachas perdedoras. LQue sucede si al jugarvolados perdemos 26 veces consecutivas como sucedio en Monte Carlo?Habremos perdido en ese momenta

Eso es mucho mas dinero del que tenemos. Estaremos en banca rotaantes de poder continuar jugando mas de 10 0 12 volados.

Definitivamente, el metodo no es tan bueno como parece.

Hay muchas situaciones regidas por el azar en las cuales losresultados inesperados nos hacen pensar que tenemos alguncontrol sobre estas cuando en realidad no sabemos nada.Pensemos en los siguientes casos:

• El papa de Juan ha sacado reintegro 5 semanasconsecutivas comprando billetes de loteria con termi-nacion 7. Espera seguir ganando si vuelve a jugar el 7.

• Juan y Maria van al cine y se forman en filas diferentes paracomprar refrescos en la dulceria. La fila de Juan siempre avanzamas rapido, por 10 que Maria decide mejor formarse en la fila queelijaJuan.

En realidad la probabilidad de que el papa de Juan gane reintegrola proxima vez que juegue a la loteria es de 1/10. En cuanto aMaria, nada Ie garantiza que la fila de Juan avanzara mas rapidoque las otras la proxima ocasion.

LA TASA DE CRECIMIENTO DEL PAisUna importante aplicaci6n de la estadistica es el registro del mimero denacimientos y muertes en cada ciudad y naci6n. Los datos acumuladosde varios alios permiten obtener la tasa de crecimiento del pais, infor-maci6n muy importante para predecir cuantos habitantes seremos enel futuro y planificar el desarrollo del pais.

La siguiente grafica nos mues-tra las estadisticas de variospaises del mundo en 10 que serefiere a nacimientos ymuertes. La gnifica ofrece losresultados relativos a cada1 000 habitantes a 10 largo devarios afios; esto es, la barraazul muestra cmintos habi-tantes nacen en promedio porcada 1 000 habitantes y labarra roja muestra cmintoshabitantes mueren por cada1000.

Estos numeros se conocentambien como la tasa denacimientos y muertes parcada 1 000 habitantes.

~~-•-•••••..l-....J.

I1....1I

1

,

China

EstadosUnidos de

America

India

Observamos, por ejemplo, que Nigeria es el paisdonde mas personas nacen y tambien donde maspersonas mueren por habitante. Mexico, por suparte, es el pais donde menos personas muerenpor habitante. Uamaremos tn a la tasa denacimientos por cada habitante y tm a la tasa demuertes por cada habitante. Estos numeros seobtienen dividiendo entre 1000 10s numerosexpuestos en la grafica anterior.

~,

,"","-_ ....•."'-~-..~~ ~~---

La tasa de crecimiento de un pais se obtiene como la diferencia entre la tasa denacimientos menDs la tasa de muertes. Asi, la tasa de crecimiento de Mexico es:

tcCMexico) = tn CMexico) - tmCMexico) = 0.027 - 0.005 = 0.022.

Este numero indica que por cada habitante de Mexico, cada ano el pais crece enpromedio 0.022 habitantes. Puesto que Mexico tenia 100 millones de habitantes enel ano 2000, entonces ese ano el pais crecio en 2200000 habitantes.

5i hacemos el mismo calculo para Alemania resulta que tiene tasa de crecimiento:tcCAlemania) = tn CAlemania) - tmCAlemanla) = 0.009 - 0.011 = -0.002.

Esta tasa negativa indica que el numero de habitantes disminuye. Dado queAlemania cuenta con 82 millones de habitantes en el ano 2002, entonces el paisdecrece ese ano en 164000 habitantes.

Al calcular el crecimiento de un pais al paso de 105 anos hay que tener especialcuidado. Consideremos el caso de Mexico. En el ano 2000 habia 100 millones de

habitantes, 10 que nos da 102200000 habitantes en el ano 2001. L Cuantos habi-tantes hay el ano 200n No es correcto decir que la poblacion aumenta en otros

2200000 habitantes, puesto que el crecimiento para el 2002 se debe calcular enfuncion del numero de habitantes del 2001, esto es,

hab2002 = hab2001 + tc X hab2001 =

102200000 + 0.022 X 102200000 = 104448400.

Para el ano 2003 seremos en Mexico:hab2003 = hab2002 + tc X hab2002 =

104448400 + 0.022 X 104448400 = 106746264

Observemos que podemos calcular el numero de habitantes en Mexico en el ano 2003mediante el numero de habitantes en el ano 2001 0 2000 de la siguiente manera:

hab2002 = hab2001 - tc X hab2001 =

hab2000 + tc X hab2000 - tc X Chab2000 + tc X hab2000) =

= hab2000 X (l - tc)'y

hab2003 = hab2002 - tc X hab2002 =

hab2000 X (l + tc )2 - tc X hab2000 X C1 + tc)2 =

= hab2000 X (1 + tc)(1 - tc)2 = hab2000 X ( 1 + tc)3.

Podemos obtener la formula general para el ano 2000 + n comohab2000 + n = hab2000 X (1 + tc)n.

Esta formula se conoce comocrecimiento exponencial. Porejemplo, para el ano 2020, si latasa de crecimiento de Mexicose mantiene constante en 0.022,seremos mas de 150 millonesde mexicanos, 10 cual significaun incremento de mas del 50por ciento de la poblacion entan solo 20 anos.

DISTRIBUCION DE LOS RESULTADOSSi contamos la frecuencia con la que ocurre un fenomeno regido por elazar, descubriremos regularidades sorprendentes. Se dice que estos feno-menos tienen una distribucion normal. Descubrimos estas regularidadesno solo jugando volados 0 tirando dados, tambien al medir la estatura 0

el peso de los compafieros de la clase, al medirel tamafio de las hojas de un arbol y alobservar otros muchos fenomenos.

Hagamos el siguiente experimento: pidamos acada compafiero de la clase que tome una mone-da y la arroje 50 veces y despues nos reponecuantas "aguilas" obtuvo. Haz una grafica queindique el numero de compafieros que obtu-vieron 1, 2, 3 ... hasta 50 "aguilas".Probablemente tu grafica se yea mas 0 men os asi:

La mayoria de tus compafieros obtuvieron cerca de 25 "aguilas". Esto es facil deexplicar porque la probabilidad de obtener "aguila" es del 50 por ciento. Como

podiamos esperar, casi nadie obtuvo men os de 10 "aguilas" 0 masde 40. Observa que la distribuci6n de 105 puntos en la grafica

tiene una forma especial, como campana.30

V'I25

e<Ii·cro 200-E0u<Ii-0 15e<IiE

':::l 10Z

~:75 ]:/ :;1

J

05 20 25 30

Numero de "aguilas"

Observa tambien que la curva graficada en nues-tro juego de volados se ve igual a la derecha y a

la izquierda del 25. Esto tiene una raz6nmatematica: la probabilidad de obtener 5

"aguilas" en una serie de 50 voladoses igual a la probabilidad de obte-

ner 50 - 5 = 45. La probabili-dad de obtener 10 "aguilas"

es igual a la probabilidadde obtener

50 -10 = 40.LPor que?

Podemos verlo de dos maneras diferentes. La complicada consiste en contar todaslas posibilidades de obtener una cierta cantidad de "aguilas". Por ejemplo, en eldibujo de abajo ilustramos algunos de 105 posibles resultados de arrojar una mo-neda al aire 5 veces. Podemos ver que el numero de posibilidades de obtener 2

"aguilas" es igual al numero de posibilidades de obtener 5 - 2 = 3.

,~'--"00.

l5e te ocurre cual es la manera sendlla de ver esta simetria de lagrafica sin contar?

La curva de distribucion fue reconocida originalmente por el matemMico FrancesAbraham de Moivre alrededor de 1700. Pero el estudio preciso de la curva fue rea-lizado en el siglo XIXpor Karl Gauss, uno de 105 matemMicos mas importantes de lahistoria. A la curva de distribucion tambien se Ie llama campana de Gauss.

La campana de Gauss aparece en muchas situa-ciones. Organicemos a 105 companeros del salonpara que consigan las estaturas de todos 105

alumnos de la escuela. Contemos primero cuan-tos alumnos tienen 10 decimetros de estatura(1 metro), 11 decimetros de estatura y asi suce-sivamente hasta 17 decimetros. Grafiquemosahora 105 resultados. Probablemente el resultadose parece a la grafica que dibujamos enseguida:

jOtra vez la campana de Gauss! En realidad estono es una coincidencia: la distribucion demuchos fenomenos naturales es normal, 10 cualquiere decir que al graficarla se dibuja una cam-pana de Gauss.

COMO MEDIR LA ANTIGUEDAD DE LAS COSASAl realizar una excavaci6n arqueo16gica se suelen descubrir restos de 10que fue la vida en el sitio: huesos de personas y animales, restos decomida, madera quemada y trastos, entre otras cosas. La primera pregun-ta que se hace el arque61ogo es: "Lque antiguedad tienen estos restos?".El problema no es Lici!, muchos metodos inexactos se usaron durantesiglos. No fue sino hasta mediados del siglo xx que se encontr6 un meto-do preciso para fechar la antiguedad.

Los Momos estin formados por un nucleo quecontiene pro tones y neutrones; fuera del nucleose encuentran 105 electrones. Los pro tonestienen carga electrica positiva, 105 electronestienen carga negativa y 105 neutrones, como sunombre indica, son electricamente neutros. Los atomos de 105 ele-mentos tienen el mismo numero de pro tones , neutrones y elec-trones, de manera que son electricamente neutros.

El metodo conocido como fechamiento por carbono-14 fue desa-nollado por el fisico norteamericano Willard Libby en 1946. Elmetodo consiste en la medicion precisa de un isotopo radiactivodel carbon en restos de materia organica; dicho isotopo va dismi-nuyendo con el paso del tiempo de manera exponencial comoveremos a continuacion.

..- Electrones ~caEl hidrogeno es el mas sencillo de 105 elementos, pues solo cuentacon un proton, un neutron y un electron. Sigue el helio con dosprotones, dos neutrones y dos electrones. El carbon es el sextoelemento, ya que cuenta con seis protones, seis neutrones y seiselectrones.

oo o

/Un isotopo de un elemento cuenta con neutrones adicionales. Elcarbono-14 es el isotopo del carbon que contiene dos neutronesadicionales. Tambien se denota como C14 .

El isotopo C14 se forma en la atmosfera, es absorbido por las plan-tas verdes en la tierra y luego se transmite a los animales al comerdichas plantas. Pero sucede que los isotopos de carbono-14 no sonestables: poco a poco se van transformando en otros ,Homos en unproceso Hamado decaimiento radiactivo. Mientras el animal estavivo, la concentracion del isotopo se mantiene constante, ya queel que pierde por el decaimiento radiactivo se recupera al comerplantas verdes; pero al morir, los restos del animal van perdiendopoco a poco su contenido de isotopo C14, de manera que si medi-mos la cantidad de C14 presente en los restos podremos sabercuantos anos tiene de haber muerto el animal.

LCon que velocidad se pierde el carbono-14 en los restos ani-males? Experimentalmente se ha vis to que la cantidad del isotopodisminuye a la mitad por medio del decaimiento radiactivo en eltranscurso de 5 730 anos. Esta informacion es suficiente para cal-cular la antiguedad de los restos. En efecto, si Hamamos C(O) a lacantidad de C14 presente en el organismo en el momento de moriry kala tasa de decaimiento radiactivo del C14 en un ano,entonces despues de n anos tendremos la cantidad C(n) de C14en los restos, donde:

La informacion experimental con la que conta-mos es que si n = 5730, entonces el cocienteC(n)/C(O) = 1/2. Con la ayuda de una calculado-ra podemos obtener que k = 0.000012. Unnumero muy pequeno, pero que se convierte ensignificativo con el paso de los anos.

El me todo de fechamiento por la medicion decarbono-14 es el mas efectivo encontrado hastaahora. Gracias a el sabemos la antiguedad deculturas desaparecidas sin dejar cronicasescritas, como los teotihuacanos.

MATEMATICAS Y LOS JUEGOSNo todos 10sjuegos dependen unicamente del azar. En juegos como elajedrez, las damas chinas, el monopolio, 10sjuegos de cartas y otros, 10sjugadores desarrollan una estrategia para inten tar ganara su rival.El estudio de las estrategias en 10sjuegos es parte de una teoriamatematica conocida como teoria de juegos, la cual tiene importantesaplicaciones en las ciencias sociales y la economia.

En algunos juegos se pueden desarrollar estrategias para ganar siempre,· 0 bien parano perder. La mayoria de los juegos complicados, como el ajedrez, no tienen unaestrategia ganadora, solamente hay unas jugadas que son mejores que otras y, aveces, esto es tambien dificil de decidir.

Una estrategia en un juego nos indica cuales son los pasos que sedeben seguir en cualquier situacion para llegar a algun resultadodeseable. A veces la estrategia nos indicara como ganar; en otroscasos, la estrategia consiste en saber cual es la mejor jugada,aunque no sepamos cual sera el resultado del juego.

En el juego del gato existe una estrategia para que el jugador quecomienza no pierda. l.Cual es?

Comienza el jugador con una X en el centro del tablero. Siobservas bien, solo hay dos maneras de contestar: colocar el 0en uno de los cuadros extremos, 0 bien, poner el 0 en uno delos cuadros de en medio. Estas son las dos situaciones que seilustran enseguida:

Hemos indicado como debe pro ceder el jugador que inicio paraque la tirada del jugador 0 sea obligada. En el primer caso, si eljugador 0 no se equivoca, el juego se empata. En el segundo, noimporta 10 que haga 0, el jugador que comenzo gana.

La teoria de juegos y el estudio de estrategias es importante en latoma de decisiones. Para tener una idea de 10 que esto significaconsideremos una situacion sencilla.

Juan y Pedro eligen una de las letras A 0 B, sinque el otro sepa que eligi6. Si ambos eligen A,entonces Juan Ie paga 2 pesos·a Pedro; siambos eligen B, entonces Juan Ie paga aPedro 3 pesos. En caso de que Juan elija A yPedro B, entonces Pedro Ie paga 1 peso aJuan. En el otro caso, no se pagan nada.(Que deben elegir?

Pongamonos en 105 zapatos de Juan, quien puede pensar de lasiguiente manera: "como no se que va a elegir Pedro, puedosuponer que elige A con 50 por ciento de probabilidades, 0 queelige B con las mismas probabilidades". Entonces, Juan calcula: "sielijo A, puedo esperar terminar con

pesos, esto es, una perdida de 50 centavos. En cambio si elijo B,puedo esperar terminar con

Si Pedro sigue la misma estrategia, entonces deberia jugar B (worque?), pero en ese caso, terminara perdiendo 1 peso. Vemosentonces, que las estrategias no siempre indican la manera deganar, pero ayudan a tomar decisiones racionales.

En ellibro El problema final de Arthur Conan Doyle, el enemigode Sherlock Holmes, Moriarty, 10 persigue hasta la estaci6n detrenes. Holmes y su enemigo toman trenes consecutivos haciaFrancia. Hay dos paradas: Canterbury y Dover. Si 105 dos bajanen la misma estaci6n, Moriarty lograra matar a Holmes. SiHolmes sigue a Dover y Moriarty baja en Canterbury, Holmesestara seguro en Francia y se habra salvado por 10 pronto. SiHolmes baja en Dover y Moriarty tambien, la caceria conti-nuara todavia (en este caso podemos considerarque se da un empate). (Que debe hacer SherlockHolmes? Busca ellibro de Conan Doyle e investigaque hizo Holmes para salvarse.

MENSAJES SECRETOSLa criptografia es la ciencia de las comunicaciones secretas. El problema de escribircon claves secretas consiste en trasmitir e1mensaje de manera que s6lo e1destinatariopueda entender el contenido, a pesar de que todo el mundo pueda leerlo. Cuandotransformamos un mensaje de manera que s6lo puede ser entendido por el desti-natario, decimos que el mensaje ha sido codificado y que el destinatario conoce laclave de decodificaci6n.

Todos hem os jugado a enviar "mensajessecretos" escribiendo unas letras por otras,

de manera que solo el amigo al quedestinamos el mensaje sepa cual es elcambio de letras que utilizamos. Estees el mismo me todo que utilizaban105 emperadores romanos.

El emperador romano Julio Cesar utilizaba un desplaza-miento cfclico de las letras del alfabeto para cifrar susmensajes. De esta forma la A se escribfa como D y laB como E. La tabla completa de transformaciones ennuestro alfabeto seria la siguiente:

Letra: ABC D E F G HI] K L M Nap Q R S T U V W x y ZCodificada: D E F G HI] K L M Nap Q R S T U V W x Y Z ABC

Cuando aparecen este tipo de transformaciones, se dice que hay una transposicion.Si decidimos que 105 espacios en blanco se escriben como A, descifra el siguientemensaje escrito en el codigo de Julio Cesar.

Si no conocemos la clave de cifrado del mensaje, es muy dificH traducirlo. Puedeayudar saber que en un idioma la frecuencia con que las diferentes letras aparecenno es la misma. En espanol, la letra E es la mas usada, y como bien sabemos, no haymuchas palabras con la letra W La frecuencia de 105 caracteres (letras 0 signos) masusados en espanal es la siguiente:

EspaciaEASo

0.1720.1370.1070.0740.070

Al paso de los afios quedo claro que la codificaci6n de mensajeslargos en la forma en que 10 hacfan los roman os era facil de serdescubierta. Por ello se comenzaron a utilizar claves de codifi-cacion mas y mas complejas. Sin embargo, a 10 largo de la historiahan existido varios analistas que han logrado romper los codigossecretos del enemigo.

Durante la Primera Guerra Mundiallos britanicosinterceptaron un mensaje cifrado del ministro de

Relaciones Exteriores de Alemania dirigido al embajador en Mexico, Heinrich vonEckardt. Los analistas lograron romper el codigo del mensaje y descubrir un plan aleman de alentar algobierno de Mexico a entrar en la guerra como aliado de Alemania asegurandole que, al triunfo, recu-perarfa los territorios perdidos en la guerra contra Estados Unidos de America en 1847.

Una manera eficiente de codificar mensajes es la siguiente. Establecemos una correspondencia de lasletras con los numeros asf:

Podemos asociar el espacio con el numero o.Por ejemplo, el mensaje:

CODIFICA ESTE MENSAJE

ABCDEFGHIJ K L MNO PQR 5 TV VWXYZ1 2 3 456 7 8 91011 1213 1415 16 17 18 1920212223242526

se transforma en la lista de numeros3 1549693 1 05 192050 13 5 14 19 1 10 5

Ahora elijamos una matriz 2 x 2, esto es, un arreglo de numerosde la forma

Dividamos nuestra lista de numeros en parejas consecutivas(3,15), (4,9), (6,9) hasta llegar a (l0, 5). Transformemos ahorala pareja (x, y) en la pareja (u, v) haciendo las operaciones:

u=ax+byv = ex + dy.

El mensaje que enviamos es el de las parejas de numeros transfor-mados. Por ejemplo, si

(: ~) = (~ ~)

tenemos entonces que las parejas transformadas por medio de lamatriz son:

51 84355039639 14 15259815710 1541 6585137325310 15.

Este sera el mensaje que enviemos. L Como descifrarlo?Procedemos exactamente como antes, pero ahora, utilizando lamatriz ( 5 -3)

-3 2

Por ejemplo, de la pareja (51, 84) transformada por esta matriz seobtiene la pareja (3, 15), que corresponde alas letras CO con lasque comienza el mensaje. jTermina de descifrar el mensaje y com-prueba que esta es una excelente manera de codificar!

Esto no es magia, hemos elegido un par de matrices que tienenprofundas relaciones entre sf. Se dice que

(5 -3). (2 3)es mversa de-3 2 3 5

LAS MATEMATICAS EN LA COMPUTACIONDesde la mas remota antiguedad los hombres buscaron crearmaquinas para realizar las operaciones aritmeticas de manera eficientey rapida. Tal vez el mecanismo mas eficaz conocido antes de nuestraera fue el abaco. En el siglo XVII fueron inventadas las primerasmaquinas para sumar y restar. Pero la gran revoluci6n se dio en elsiglo xx con la invenci6n de la computadora. Los conceptos de fun-cionamiento y programaci6n de las computadoras son, sin duda, unade las aplicaciones mas apasionantes de las matematicas.

Hasta hace unos 30 afios eran frecuentes los tor-neos aritmeticos en que se enfrentaban personasque manejaban el abaco habilmente contra per-sonas con computadoras electr6nicas. En laactualidad las computadoras electr6nicas rea-lizan millones de operaciones aritmeticas porsegundo y sus circuitos electr6nicos cada vezocupan un espacio mas reducido.

Alrededor de 1830, el inventor ingles CharlesBabbage disefi6 la primera maquina programa-ble, conocida como el ingenio analitico, la cualfue precursora de las modernas computadoras digitales. Para el disefio de esta maquina Babbageintrodujo la idea de utilizar tarjetas perforadas, que es como funcionaban los telares mecanizadosingleses. Tambien tuvo la idea de crear lenguajes de programaci6n, similares a los lenguajes que seutilizan hoy para programar las computadoras.

h ~.~~.".~ffit:J

Sin embargo, el ingenio analitico nunca pudo operar, pues se requeria la fabricaci6n de un grannumero de piezas muy delicadas, mas aHa de las posibilidades de la ingenieria de la epoca.

La primera computadora electr6nica, EN1AC, comenz6 a funcionar en 1946 en la Universidad dePrinceton en Estados Unidos de America. Esta computadora pesaba 27 toneladas y tenia mas de20000 bulbos, pero no era mas rapida que una calculadora de bolsillo de nuestros dias. El grupo quetrabaj6 en el disefio de EN1AC estuvo a cargo del matematico de origen hungaro John von Neumann,a quien tambien se deb en los primeros resultados en la teoria de juegos.

El sistema binario que se utilizaen las computadoras es claro.Podemos pensar en una hilera defocos prendidos 0 apagados. Si unfoco esta apagado indica que eldfgito correspondiente es 0 y siesta prendido, el dfgito correspon-diente es 1. Asf el mimero 77 sepuede escribir como la siguientefila de focos:

Nuestro sistema de numeracion decimal es un sistema posicional, es decir, las cifras que forman elmimero tienen diferente valor dependiendo dellugar que ocupan en el m.imero. Asf, el mimero 132significa 1 centena, mas 3 decenas, mas 2 unidades:

En el sistema posicional de base 2 0 sistema binario, [as cifras son solo el 0 yell y la posicion de lascifras representa potencias de 2. Asf, elnumero 1001101 del sistema binario representa el 77 del sis-tema decimal:

Tambien se puede escribir cualquier numero de base decimal enbase binaria. Los primeros numeros se escriben asf:

" " •A partir de mediad os del siglo xx, el acelerado desarrollo en la tecnologfa de lascomputadoras ha tenido una gran repercusion en el mundo y ha modificado nuestramanera de vivir. Las computadoras controlan los semaforos, el transito de aviones,las fabricas de automoviles, los sistemas de comunicacion, etcetera. En casi todas lasoficinas, asf como en muchos hogares y escuelas se usan computadoras personales.Pero en el fondo, todas las computadoras son iguales: son maquinas que realizanoperaciones aritmeticas a velocidades extraordinarias.

MATEMATICAS EN LA CIENCIALos cientificos que estudian los fenomenos de la naturaleza,como los fisicos, los quimicos y los biologos, intentan no solodescribir los fenomenos que estudian, sino predecir 10 quesucedera en situaciones futuras. Para ella, crean modelosmatemaricos de la naturaleza, pues las matemaricas ofre-cen los metodos y la precision necesarios panj. obtenerresultados confiables. Tal vez el modelo matematico masaclamado de la historia es el de la Gravitacion Universalde Newton.

Durante milenios los hombres habian observado las estrellas enla noche y el movimiento de los planetas. Asimismo, losastronomos habian construido telescopios para observar los cielos yacumulado cuidadosas observaciones acerca del movimiento de los astros.Fue el astronomo austriaco Kepler en el siglo XVII quien logro condensaren algunas pocas expresiones las observaciones de muchos astronomos.Tal vez la principal observacion de Kepler es que los planetas se mueven

alrededor del Sol en orbitas elipticas, ocupando el Sol uno de los focos.

--;/ ~~ Focos de la elipse

/

En su obra maestra, los PrincipiaMathematica, Newton explico, por medio deun modelo matematico, como las mismas leyesregian la caida de una manzana en la superficie de la Tierra,el movimiento de los planetas alrededor del Sol, las fases de laLuna y las mareas de los oceanos.

Gauss y los asteroidesEn 1801 el astronomo italiano Joseph Piazzi vio accidental-

mente el primer asteroide, tambien llamado entoncesplaneta menor. A los pocos dfas, este asteroide, cono-

cido actualmente como Ceres, dejo de ser visto enlos telescopios de 10s astronomos. Los dos acon-

tecimientos conmocionaron a 10s intelectualeseuropeos: 1a aparicion de un nuevo planeta y surepentina desaparicion. Los astronomos nopodfan encontrarlo de nuevo.

Al tratar de explicar cuestionesdiffciles acerca del espacio, 1amateria, los atomos y los pla-netas, los cientfficos siemprehan encontrado un apoyo enlas matematicas. En muchasocasiones las matematicas uti-lizadas no han sido desarro-lladas con el afan de sus apli-caciones, sino par la mas puracuriosidad de los matematicos.Sin embargo, con bastante fre-cuencia, las matematicas resul-tan utiles para en tender la na-turaleza.

Con los pocos datos que se conocfan de la trayectoria del asteroide, usando lasleyes de gravitacion de Newton y realizando tediosos calculos, Karl FriedrichGauss predijo la orbita completa del asteroide. Tiempo despues, el pequeno p1ane-

ta aparecio del otro lado del Sol, en el momento y lugar que Gauss habfa predicho.Este exito matematico trajo gran fama y reconocimiento a Gauss.

A principios del siglo xx, el ffsico y matematico aleman Albert Einstein descubrio queel modelo de gravitacion de Newton tenfa limitaciones y por ello no predecfa con exacti-

tud todos los movimientos de los cuerpos en el espacio.

Einstein utilizo la teorfa de superficies desarrollada par el matematico Riemann, dis-cfpulo de Gauss, para explicar la curvatura del espacio en presencia de cuerposmasivos. Esta teorfa General de la Relatividad predecfa que la luz cambiarfa sutrayectoria al pasar cerca de cuerpos de gran masa como el Sol. Este fenomeno fueverificado observando la posicion aparente de las estrellas durante un eclipse de Sol.La comprobacion de este fenomeno fue uno de los exitos que hicieron univer-sa1mente reconocido a Einstein.

____ .;-;L1

..... Posicion aparente- - de la estrella

Posicil)u realde b estrelb

LAS MATEMATlCAS EN MEXICOHay importantes vestigios del desarrollo de las matematicas en el Mexicoprehispanico. Los mayas, los zapotecas y los aztecas desarrollaron sis-temas de numeraci6n y complejos calendarios basados en precisasmediciones astron6micas. En tiempos de la colonia se dieron catedrasde matematicas en la Real y Pontificia Universidad de Mexico. Entiempos modernos, las matematicas se han ido desarrollando poco apoco hasta contar hoy con varias instituciones de prestigio.

Las matematicas prehispanicas, sobre todo las desarrolladas en elmundo maya, han sido objeto de cuidadosos estudios y, sin duda,tu conoces algunos de los principales aspectos de ellas. Menosconocidas son las matematicas desarrolladas en Mexico entiempos de la colonia y poste-riormente en el Mexicoindependiente.

En la catedra de Astrologia y Matematicas inaugurada en 1637en la Escuela de Medicina de la Real y Pontificia Universidadde Mexico, fray Diego Rodriguez expuso las matematicas del

renacimiento italiano y las teorias astronomicas de Copernico,Kepler y Galileo. Cabe observar que en ese tiempo, a la astrologia

se Ie daba el estatus de ciencia y que incluso sabios europeos comoKepler elaboraban horoscopos para principes y potentados.

Probablemente el intelectual novohispano mas influyente en elsiglo XVII fue don Carlos de Siguenza y Gongora, quien compartioel gusto por la poesia y los problemas cientificos con Sor JuanaInes de la Cruz. Don Carlos de Siguenza fue un cientifico a laaltura de los europeos. En 1680 ca1culo la orbita de un cometavis to en la Ciudad de Mexico y demostro que estaba mas alIa de laLuna y que seguia una orbita circular alrededor del Sol, contradi-ciendo las voces alarmistas que situaban el cometa en la proximi-dad de la Tierra. Don Carlos ocupo en 1672 la catedra deAstrologia y Matematicas que deja vacante fray Diego Rodriguez.

La matematica moderna se inicia en Mexico en los anos 30 del siglo xx.Entonces un grupo de entusiastas, entre los que destacan Ricardo

Monjes Lopez, Sotero Prieto y Alfonso Napoles Gandara, realizaseminarios sobre asuntos de actualidad matematica en la Escuela

de 1ngenieria de la UNAM. En 1935 se crea el Departamento deCiencias Fisico-Matematicas donde fue posible abrir la carrerade matematicas. En el ano 1942 se funda el 1nstituto deMatemat~cas de la UNAM.

Desde entonces varios centros de investigacion matematicahan sido creados. En mas de 30 universidades del pais exis-ten carreras de matematicas y en algunas tambien posgra-dos. Aunque en Mexico se realiza investigacion matematica

de nivel mundial, el numero de matematicos es todaviapequeno. Queda mucho par hacer en nuestro pais en cuanto

al desarrollo de las ciencias y las matematicas.

Actualmente, Mexico cuenta con algunas supercomputadoras ygran cantidad de equipo mediano y microcomputadoras. A 10largo de todo el pais hay programas de licenciatura en com-putacion, algunos de ellos de gran calidad, asi como algunos pro-gramas de posgrado.

La computacion cientifica se inicia en Mexico con la llegada de lacomputadora IBM-650 ala Universidad Nacional en 1958. Lacomputadara se instalo en el Centro de Calculo, en el cual se dioapoyo a una serie de proyectos academicos y trabajos para arganis-mos estatales y privados como PEMEX y la CFE. Al ano siguientellegan varias maquinas mas que se instalan en dependencias delgobierno.

A pesar de este desarrollo, Mexico tiene todavia pocos expertosen computacion. Este campo de la ciencia tiene un gran futuroen el pais.

i,PARA QUE ME SIRVEN LAS MATEMAnCAS?Hemos visto en este libro algunas aplicaciones de las matematicas: larealizacion de mapas, el reporte de datos en tablas y graficas, el analisisde la informacion por medio de la estadistica, la comprension de feno-menos regidos por el azar y la aplicacion de las matem:iticas tanto en lacomputacion como en las ciencias. En realidad, las matem:iticas aparecenen todas partes y nosotros podemos hacer uso de ellas para entendermejor el mundo y sacar provecho de las ideas y valores matematicos.

Las matematicas son una poderosa arma para la comprensi6n y la soluci6n de pro-blemas y nos ofrecen la posibilidad de comprender mejor el mundo que nos rodea.Las matematicas han jugado tambien un papel importante en el desarrollo del arte yen los liltimos afios en el desarrollo de las ciencias sociales y la economia.

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Las matematicas no s610 nos sirven para resolver problemas aritmeti-cos y entender mejor los fen6menos naturales. Tambien son importantes en eldesarrollo y comprensi6n de conceptos artisticos.

Probablemente el ejemplo mejor conocido es el de los pinto res del Renacimiento,como Piero della Francesca en Italia y Alberto Durero en Alemania, quienes se dancuenta del importante papel que juega la geometria para alcanzar una repre-sentaci6n realista de los objetos y paisajes que desean plasmar en sus cuadros. Estospintores desarrollaron multiples metodos para lograr representaciones fieles a larealidad. Pero no es sino a principios del siglo XIX que los matemMicos consiguenformalizar muchas de las ideas desarrolladas por los artistas del Renacimiento.

A principios del siglo XX, las discusiones sobre lageometria no-euclidiana, la geometria eliptica yel espacio-tiempo de Einstein habian llegado alas reuniones de poetas, artistas y politiCOS. Lacuriosidad acerca de los nuevos mundos que lageometria abria se expres6 en el surgimiento denuevas corrientes como el cubismo.

Las sefioritasde Avifi6n de

Pablo Picasso

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A finales del siglo xx, surge una nueva vertienteartistica que consiste en utilizar las computado-ras para generar imagenes sofisticadas de objetosmatematicos como 105 fractales. Estas imagenesfusionan el arte con las matematicas y la com-putacion.

Fractal genera dopor computadora.

Probablemente el mayor valor del aprendizaje de las matematicases el desarrollo del pensamiento logico y ordenado. 5i podemosplantear correctamente un problema matematico, analizarlo yencontrar su solucion, (por que no podremos hacerlo con otrosproblemas de la vida cotidiana? El entrenamiento del pensamientocritico y ordenado sera una herramienta util a 10 largo de la vida.

Un locutor de television explica: "la Tierra gira alrededor del Solen una orbita eliptica y el Sol esta en uno de 105 focos. Cuando laTierra esta mas cerca del Sol es verano y cuando esta mas alejadaes invierno".

,, Invierno,o

(Es esta una explicacion correcta? Recuerda que cuando es veranoen el hemisferio norte de la Tierra, es invierno en el sur.\

I VeranoI

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Frecuentemente encontramos personas que nospreguntan par nuestro signo del Zodiaco y luegonos dicen: "iQUe coincidencia! Yo tambien soyLeo". (Que Ie explicarias a esta persona? (Esrealmente una gran coincidencia?

Cuando Ie preguntaron a un matematico que parque no creia en la astrologia contesto: "Porque soygeminis y 105 geminis no creen en astrologia".

Grandes"j , •matematlcoS

Ji, Erat6stenes de Cirene (276-194 a. de n.d.Cientifico griego; fue el primero en medir el meridiano terrestrecon extraordinaria exactitud, asi como la distancia de la Tierra a laLuna y el Sol.

Gerardus Mercator (1512-1594). Matematico y geo-grafo flamenco que construyo un mapa del mundo utilizando laproyeccion geografica cilindrica que lleva su nombre. Aplico porprimera vez el nombre de "atlas" a una coleccion de mapas.

John Napier (1550-1617). Matematico escoces, considera-do el inventor de 105 logaritmos y de varias reglas y formulas detrigonometria esferica.

Galileo Galilei (1564-1642). Astronomo y fisico italianoque descubrio el isocronismo de las oscilaciones pendulares. Esconsiderado uno de 105 fundadores del metodo cientifico moderno.

Rene Descartes (1596-1650). Filosofofrances fundador del racionalismo, creadortambien de la geometria analitica.

Blaise Pascal (1623-1662). Cientifico yfilosofo frances, dedicado a la geometria, asicomo a la teoria de las combinaciones y el calcu-10 de probabilidades,

Isaac Newton 0642-1727). Matem<itico, fisico,astronomo y filosofo Ingles que descubrio el cakulo diferencial eintegral y generalizo la formula del binomio demostrando que eraaplicable para cualquier exponente. Demostro matematicamenteque el curso de los planetas alrededor del Sol se explica admitien-do la atraccion mutua entre los astros (ley de la gravitacion uni-versal).

Pierre Simon Laplace 0749-1827). Astronomo, fisico y matematicofrances que aporto muchos avances al cakulode probabilidades.

Kar IF. Gauss 0777-1855). Matematico, fisicoy astronomo aleman que desarrollo el campo de los ntimeroscomplejos. Descubrio los ntimeros primos llamados gaussianos;cakulo la 6rbita de Ceres y realizo importantes avances en cakulonumerico y estadistica, como "la curva en campana" 0 "distribu-cion de Gauss".

Charles Babbage (1792-1871). Matematico britanico queconstruyo una cakuladora mecanica que utilizaba la teoriamatem<itica de las diferencias finitas; en 1834 diseii.o la maquinaanalitica, programada por medio de tarjetas.

Bernhard Riemann 0826-1866). Matematico alemanque ideo una nueva forma de integracion y aplico la geometria alcakulo de funciones de variable compleja. Fue uno de los inicia-dores de la geometria no-euclidiana.

John von Neumann (1903-1957).Matematico estadounidense de origen htingaroque realizo aportaciones a la mecanica cuantica,termodinamica, teoria de operadores fun-cionales, teoria de los grupos, topologia,cibernetica, etcetera.

aabaco 7, 52aceleracion 14, 18Alejandria 10angulos 10, 11azar 28, 30, 32, 36, 40Al, 44,

48, 58aztecas 56

beBabbage, Charles 52, 60-61Babilonia 7brujula 11calculadoras 7, 37campana de Gauss 44,45carbono-14 46-47Casino de Monte Carlo 40-41censo 26Ceres 55CFE 57codigo 50-51

,Indice analitico

Colon, Cristobal 11computadoras 7, 52-53, 57-58Conan Doyle, sir Arthur 49coordenadas 8-9crecimiento exponencial 43crecimiento lineal 21criptografia 50Cruz, sor Juana Ines de la 56

adecaimiento radiactivo 47Delaistre 30Descartes, Rene 8, 60-61Discurso del Metodo 8distancia 14-15distancia, entre dos puntos 8-9Durero, Alberto 12, 58

eEinstein, Albert 55Elcano, Sebastian 11electrones 46ENIAC 52Eratostenes 10-11,60-61

escala 8-9Escuela de Ingenieria (UNAM)

57estadistica 7, 26, 42estrategia 48-49

ffenicios 10fractales 59Francesca, Piero della 12, 58frecuencia 44, 50fuerza 14-15

9Galilei, Galileo 24, 60-61Gama, Vasco da 11Gauss, Karl 45, 55, 60-61Greenwich, meridiano de 11griegos 10Guia Roji 9

hliHarrison, John 11INEGI26isotopo 46-47Julio Cesar 50

klKepler, Johannes 54Kolmogorov 30Laplace 30-31, 36, 38, 60-61Las senoritas de Aviii6n 58latitud 11ley de los grandes numeros 29leyes del movimiento 14, 54Libby, Willard 46longitud 11

mnmapa 7-13, 23, 58mapamundi 13mayas 56Mercator 13, 60-61meridianos 11Moivre, Abraham de 45Monjes Lopez, Ricardo 57muestra 27n factorial 33Napier, John 7, 60-61Napoles Gandara,

Alfonso 57

~ d 12nes 46

. Isaac 14, 54, 60-61;:;;::::~ros6==::~:s arabigos 6- 7

o 11Blaise 7, 36-37, 60-61

_7'~ 57- _. ctiva 12: - Joseph 55- -,,- . Pablo 58

~ eartesiano 8coordenado 8-9

Principia Mathe,matica 54probabilidad 7, 28-39promedio 16-20, 22-26pro tones 46proyecci6n 12-13punto de fuga 12

sucesos imposibles 31sucesos independientes 31,

36-37sucesos seguros 31,34

r trelatividad general 55reloj 6, 11Renacimiento 12, 58Riemann 55, 60-61Rodriguez, fray Diego 56

tasa de crecimiento 42-43tasa de mortandad 42-43tasa de natalidad 42-43temperatura 22-23teoria de juegos 48teotihuacanos 47tiempo 14-15Tierra 10-13trigonometria 10,13s

sextante 11Siena 10Siguenza y G6ngora, Carlos

de 56sistema binario 53sucesos complementarios 31

vvelocidad 14,19,53velocidad media 15

velocimetro 14, 18Vespucio, Americo 11Vinci, Leonardo da 24Von Neumann, John 52, 60-61

wzWright, Edward 13zapotecas 56zodiaco 59

11111111111l1li1111111111111119 789701 898574

Matematicas y fa vida cotidiana muestra las aplicaciones de las matemi-ticas en nuestros actos diarios, explica la teoria de la probabilidad conejemplos divertidos y aplicaciones a 10s juegos de dados e invita allectora descubrir todo 10 que las matematicas rigen y como, para la ciencia.constituyen un lenguaje inigualable.

Jose Antonio de fa Pena, doctor en Ciencias matematicas por la l'~.\'.i.

ha publicado mas de 90 artlculos de investigacion y cuatro libros detexto. Fue presidente de la Sociedad Matematica Mexicana, director delInstituto de Matematicas de la UNAM y presidente de la Academi.lMexicana de Ciencias. Recibio la distincion Universidad Nacional 198'1y el Premio de la Investigacion Cientifica 1994.

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lectura Santillana SECRETARiA DE I SfPEDUCACIC>N

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