UNIVERSOS FRACTALES1. Introduccin. Qu es un fractal?2. Los primeros fractales de la historia De los fractales a la realidad.3. Fractales del sistema L4. Fractales del sistema IFS De la realidad a los fractales.5. La dimensin de los fractales y los objetos reales6. Universo homogneo versus universo fractalJulio Bernus y Mara Lpez

IntroduccinBenoit MandelbrotFractal: Del latn fractus, interrumpido o irregularMandelbrot set

IntroduccinBenoit MandelbrotMandelbrot setActa fundacional: Los objetos fractales, Tusquets 1975

IntroduccinBenoit MandelbrotAcepto que se me califique de padre de la revolucin fractal con sorpresa pero con gusto

Mandelbrot set

IntroduccinBenoit MandelbrotHe concebido, puesto a punto y utilizado extensamente una nueva geometra de la naturaleza

Mandelbrot set

IntroduccinBenoit MandelbrotMi libro es un documento histrico

Mandelbrot set

Qu es un fractal? Definicin (provisional) 1. Un fractal es el producto final que se origina a travs de la repeticin infinita de un proceso geomtrico bien especificado.Definicin (provisional) 2. Un fractal es un conjunto cuya dimensin no es entera. Existen los fractales ?

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 1. Curva de Koch Helge-von Koch(1879-1924)

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 1. Curva de Koch 2. Tringulo de Sierpinski3. Alfombra de SierpinskiWaclaw Sierpinski(1882-1969)

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 1. Curva de Koch 2. Tringulo de Sierpinski3. Alfombra de Sierpinski4. Esponja de Menger

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 1. Curva de Koch 2. Tringulo de Sierpinski3. Alfombra de Sierpinski4. Esponja de MengerMenger (1902-1985)

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 1. Curva de Koch

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 1. Curva de Koch

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 1. Curva de Koch

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 2. Tringulo de Sierpinski

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 3. Alfombra de Sierpinski

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 3. Alfombra de Sierpinski

Fractales autosemejantes. Los primeros fractales de la historia. 4. Esponja de Menger

Fractales del sistema L1. Curva de Koch como sistema L

Fractales del sistema L1. Curva de Koch como sistema LAlfabeto: F, +, - Axioma: FReglas: F -> F + F - - F + F + -> + - -> - Significado: F = Avanzar una unidad + = Giro de 60 - = Giro de - 60

Paso 1: FPaso 2: F + F - - F + F Paso 3:(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)- -(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)

Fractales del sistema L2. Construccin de objetos reales

Fractales del sistema L2. Construccin de objetos reales

Fractales del sistema L2. Construccin de objetos reales

Fractales del sistema L2. Construccin de objetos reales

Fractales del sistema L3. Una dimensin ms. Paisajes fractales

Fractales del sistema L3. Una dimensin ms. Paisajes fractales

Fractales del sistema L3. Una dimensin ms. Paisajes fractales

Fractales del sistema L3. Una dimensin ms. Paisajes fractales

Fractales del sistema IFSMtodo creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteracin de varias funciones de la forma

Fractales del sistema IFS1. Brocoli IFSF

Fractales del sistema IFS2. Helecho de Barnsley

Funcin 1

Funcin 2

Funcin 3

Funcin 4

a

0

0,2

-0,15

0,75

b

0

-0,26

0,28

0,04

c

0

0,23

0,26

-0,04

d

0,16

0,22

0,24

0,85

e

0

0

0

0

f

0

1,6

0,44

1,6

La dimensin de los fractales y de los objetos reales1. Mtodo de contar cajasLa dimensin de un conjunto viene dada por la frmulaDonde N(h) es el nmero de bolas de dimetro h que se necesitan para cubrir el conjunto.

Ejemplo:

Dimensin de un segmento es 1. Dimensin de una circunferencia es 1. Dimensin del fractal de Koch ,

La dimensin de los fractales y de los objetos reales1. Mtodo de contar cajasLa dimensin de un conjunto viene dada por la frmulaDonde N(h) es el nmero de bolas de dimetro h que se necesitan para cubrir el conjunto.

Ejemplo:

Dimensin de un segmento es 1. Dimensin de una circunferencia es 1. Dimensin del fractal de Koch ,

La dimensin de los fractales y de los objetos reales1. Mtodo de contar cajasdimension (experimental) = 1.18 dimension (analytical) = 1.26 deviation = 6%

PRIVATElog (1/h)

0

-0.69315

-1.38629

-2.56495

-3.09104

-3.49651

-3.78419

-4.00733

-4.18965

-4.34381

-4.47734

-5.17615

log N(h)

7.60837

7.04054

6.32972

4.85981

4.21951

3.52636

3.29584

3.04452

2.99573

2.70805

2.56495

1.60944

La dimensin de los fractales y de los objetos reales1. Mtodo de contar cajas(dimension (experimental) = 1.73 dimension analytical) = ?? deviation = ??

PRIVATElog (1/h)

0

-0.69315

-1.38629

-4.06044

-4.71850

-5.12396

-5.41165

-5.63479

-5.81711

-5.97126

-6.10479

-6.79794

log N(h)

13.1055

12.0209

10.9253

5.99894

4.82831

4.14313

3.73767

3.36730

2.94444

2.83321

2.63906

1.79176

La dimensin de los fractales y de los objetos reales1. Mtodo de contar cajasDimensin de costas y fronteras. (Lewis Fry Richardson, 1961).

Costa de Africa del Sur: Dimensin= 1Frontera terrestre de Alemania: Dimensin =1,18

Costa oeste de Gran Bretaa: Dimensin = 1,25Frontera Espaa-Portugal: Dimensin = 1,16

Resumiendo ....- Los fractales son objetos sencillos de construir. La reiteracin es la causa de su aparente complejidad.- Una caracterstica de los fractales es su apariencia autosemejante.- En fsica sobre todo, se le llama fractal a todo objeto que tiene dimensin no entera.

Universo homogneo versus universo fractalIs the universe fractal? , por V.J. Martnez, Science, vol 284 (1999) p. 445 ss

Is the universe homogeneous on large scales? , por L. Guzzo, New Astronomy, vol 2 (1997) p. 517 ss Principio Cosmolgico (Einstein): El universo es homogneo a grandes escalas.

Universo homogneo versus universo fractalEst aceptado que a pequea escala el universo no es homogneo. El universo tiene estructura fractal en escalas de hasta 50 millones de aos luz. Dos opiniones:1. El universo, a grandes escalas, es homogneo. 2.El universo, a grandes escalas, tiene estructura fractal de dimensin: - Dimensin 1,00 (Mandelbrot)- Dimensin 2,00 (L. Pietronero)- Dimensin 1,2 - 1,5- 2,2 (otros autores)

Universo homogneo versus universo fractalIndicaciones de que nuestro universo (visible) posee estructura fractal. Mtodo 1.

M(r) es el nmero de galaxias en un crculo de radio r centrado en la Tierra.

Si la distribucin fuese homognea, M(r) crecera como r 3.

En una escala de 450 millones de aos luz, M(r) crece como r 2.

Universo homogneo versus universo fractalIndicaciones de que nuestro universo (visible) posee estructura fractal. Mtodo 2.

C(r) es el nmero medio de galaxias en un crculo de radio r.

Si la distribucin fuese homognea, C(r) crecera como r 3.

En una escala de 450 millones de aos luz, C(r) crece como r 2 (otros autores deducen exponentes distintos).