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7/22/2019 MATEMATICAS TRES ASINTOTAS DE UNA FUNCION X.doc

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Matemticas

ESTUDIO DE LAS ASINTOTAS DE UNA FUNCION.

RESUMEN:

El estudio de las funciones representa un argumento muy importante en losfenmenos fsicos aplicados a la ingeniera.

Un reto pedaggico para el docente universitario, consiste en transmitirconocimientos a travs del gr fico, y si a este gr fico se le conocen sus asntotas,

todo su estudio se facilita. En este tra!a"o presentaremos de forma clara ypedaggica la o!tencin de asntotas funcionales para una curva.

#onsideremos la funcin x x ee x x f +== )cosh(2)( . $!servando lo siguiente:0=

x

xelim

0=

x

xelim

El comportamiento asinttico por la derec%a es x

e , respectivamente por lai&'uierda xe

(a funcin )cosh(2)( x x f = , tiene dos asntotas funcionales no rectilneas.Si se conoce las asntotas de una funcin en estudio se facilita.

)efinicin:

Sea )( x f una funcin real de varia!le real definida en el intervalo [ ),a orespectivamente ( ]a, , tal 'ue:

*+ )()()( xh x g x f += , 'ue satisface:


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*- 0)( =+ xhlim x , o respectivamente:

*0)( =

xhlim

x .

Entonces se dice 'ue, para + x *respectivamente: x , la curva)(: x g yG = es una curva asinttica, o simplemente una asntota para la curva)(: x f y F = .

/or e"emplo, la funcin12

2

4

+

+=

x x

y , definida en . Se puede escri!ir:

13

112

22

2

4

++=

+

+=

x x

x x

y , con:

01

32 =++ x

lim x

, 01

32 =+ x

lim x

.

(a curva de ecuacin: 12 = x y , es una asntota para!lica para la funcin

racional12

2

4

++

= x x

y .

Se define la distancia del punto ),( y x P a la curva )(: x f y F = de lasiguiente manera:

( ){ }q pd F pd ,inf ),( = F q

Si 0, es una recta ),( F pd es la medida del segmento perpendicular desde p%asta la recta.

1. 2E$REM3: Si )(: x g yG = , es una asntota para la curva )(: x f y F = para

+ x

*respectivamente: x

, entonces se tiene :0),( =

G pd lim

x , F p .

)emostracin:


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#omo )( x g y = es una asntota para )( x f y = se tiene 'ue:

)()()( xh x g x f += , con 0)( =+ xhlim x si e l punto )(),( x f y F y x P =

)()( xh x g y += y por lo tanto el punto ),( y x P es de la forma( ))()(, xh x g x + .

/or otra parte:

i. ( ) ( )q P d G P d Gq ,,0 > , las curvas )( x f y = ,)( x g y = se pegan asintticamente 0),( = G P d .

)e particular importancia es el caso en el cual la curva )(: x f y F = presentaasntotas rectilneas. En tal caso se tiene:

).()()( xhbmx x f ++= con 0)( =+ xhlim x , respectivamente: 0)( =

xhlim

x.

(a recta bmx y L +=: es una asntota para + x *asntota rectilneaderec%a o respectivamente: x *asntota rectilnea i&'uierda . #uando (,es una asntota rectilnea derec%a e i&'uierda simult neamente se dice 'ue ( esuna asntota rectilnea.

11. 2E$REM3: (a curva 0, representada por la funcin )( x f y = . 2iene a lo m suna asntota rectilnea derec%a *respectivamente i&'uierda .

)emostracin:


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Supongamos 'ue 0 tiene una asntota rectilnea derec%a de ecuacinbmx y += . /or *+ se tiene:

i. ).()()( xhbmx x f ++= con 0)( =

xhlim x .

Supongamos 'ue 0 admite otra curva asinttica derec%a, de ecuacin:

ii. ).()()( 111 xhb xm x f ++= con 0)(1 =+ xhlim x . )e *i y *ii se tiene:

iii. 0))()(()()()( 111 =++= xh xhbb xmm x f .

4 se deduce 'ue :

iv. )()(,, 111 xh xhbbmm ===

5aranti&ando la unicidad de la asntota. (a unicidad de la asntota i&'uierda sedemuestra de forma an loga.

3S1N2$23S )E UN3 0UN#1$N R3#1$N3(.

#onsideremos la funcin racional)()(

)( xq x P

x f = . )onde )( x P y )( xq son

polinomios con coeficientes reales en la varia!le 678, s )( x A y )( x R sonrespectivamente los polinomios cociente y resto de divisin de )( x P y )( xq , se

tiene: )()()()( x R x A xq x P +=

+.)()(

)()()(

xq x R

x A xq x P += .

#omo el grado del polinomio )( x R es inferior al grado del polinomio )( xq se tiene:

-. 0)()( =

xq x Rlim

x.

(a ecuacin )( x A y = es una curva asinttica para la funcin)()(

xq x P

y = ,

tanto derec%a como i&'uierda, es decir: )( x A y = es una asntota.


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Si )( x P es de grado 6n8 y de grado 6n9+8, entonces )( x A es de grado +, y

por lo tanto)( x A

es una asntota rectilnea.

E"emplo:

11 223

+

+=

+ x x

x x

x

(a recta x y = es una asntota rectilnea para la funcin12

3

+=

x

x y .

111. 2E$REM3: 2oda funcin racional)()(

xq x P

y = tiene asntota.

)emostracin:

Sea n grado del polinomio )( x P ; m grado del polinomio )( xq :

Si mn > , por *+ se tiene 'ue el grado del polinomio )( x A es mn , ycomo se cumple *- se tiene 'ue el polinomio )( x A de grado mn , es una

asntota para la funcin)()(

xq x P y = .

S mn < :

0)()( =

xq x P

lim x

, Respectivamente: 0)()(

= xq

x P lim

x

(a recta 0= y es una asntota rectilnea para la funcin)()(

xq x P

y =

Si mn = . (a rectan

n

b

a y = es una asntota para la funcin

)(

)(

xq

x P y = . #on

na y nb coeficientes principales de los polinomios.

#uando )( x f y = , no es una funcin racional las cosas se complican al tratarde %acer la descomposicin *+ , pero e7iste un criterio para la !


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Supongamos:

L x f lim x

=+

)( , *Respectivamente L x f lim x

=

)( . L

(a curva )( x f y = , admite una asntota rectilnea derec%a *respectivamentei&'uierda de ecuacin L y = , !asta o!servar 'ue:

( ) L x f L x f += )()(

y %ay 'ue notar solamente 'ue:( ) 0)( =

+ L x f lim

x*respectivamente ( ) 0)( = L x f lim x .

E=EM/($:

(a funcin 8362 22 ++++= x x x x y , tiene asntota rectilnea derec%a: 21= y

y asntota rectilnea i&'uierda: 21= y .

E=EM/($:

x x

x x

eeee x y

+== )tgh(

1)tgh( =+

xlim x

1)tgh( =

xlim x

(a recta 1= y es una asntota rectilnea derec%a.(a recta 1= y es una asntota rectilnea i&'uierda.

Supongamos:

+=+ )( x f lim x y m x x f lim

x=

+)( . m *respectivamente para x

.

(a curva )( x f y = , tiene una asntota rectilnea derec%a y dic%a asntotatiene por ecuacin: bmx y += , donde:


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( )mx x f limb x

=

)( .

En efecto: Si la curva )(: x f y F = admite asntota derec%a, sta tiene porecuacin: bmx y += y se tiene:

( ) )()( xhbmx x f ++= con 0)( = xhlim x .

/or lo tanto tenemos:

x xh

xb

m x x f )()( ++=

tomando lmite: 0)( =

+

x

xhlim

x

y por lo tanto: m x x f

lim x

=+

)(.

/or otra parte se tiene:

)()( xhmx x f b = y como 0)( = xhlim x , se tiene:( )mx x f limb

x=

)(

Este resultado constituye un mtodo de c lculo para la asntota.

E=EM/($:

12 = x y . (as rectas x y = y x y = son las asntotas rectilneas derec%ase i&'uierdas respectivamente.

Supongamos:

+=+

)( x f lim x

y +=+ x

x f lim

x

)(

*respectivamente para x

(a curva )( x f y = no admite asntota rectilnea derec%a. )e %ec%o, si la

admitiera de!era ser:

( ) )()( xhbmx x f ++= , con 0)( = xhlim x y m x x f

lim x

=+

)(, y esto es una

contradiccin ya 'ue se tendra =m y ( )= ,m .


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)efinicin:

S =+ )(0 x f lim x x , se dice 'ue la recta 0 x x = es una asntota vertical derec%a.

S =)(

0

x f lim x x

, la recta 0 x x = es una asntota vertical i&'uierda.

S 0 x x = , es una asntota vertical derec%a e i&'uierda simult neamente, se dice'ue es una asntota vertical.

1>. 2E$REM3: Sea )(: x f y F = una curva 'ue satisface:

+=+

)(0

x f lim x x

o +=)(

0

x f lim x x

*respectivamente =+)(

0

x f lim x x

=)(

0

x f lim x x

Entonces, la recta ( de ecuacin 0 x x = , satisface:0),( =

+ L P d lim

y *respectivamente:0),( =

L P d lim

y ; con

( ) F y x P , .

)emostracin:

)emostremos el teorema en el caso cuando +)( x f y an logamente sera&ona cuando )( x f .

Sa!emos 'ue: )(),( x f y F y x P = y por lo tanto el punto P es de laforma: ( ))(, x f x P . ),(),( Q P d L P d LQ

En particular tomando el punto ))(,( 0 x f xQ , se tiene:

( )[ ] 00 ))(,(,)(,),( x x x f x x f xd Q P d ==

; y por lo tanto se tiene:

0),(),(0 x xQ P d L P d = .

S + 0 x x *respectivamente 0 x x , se tiene: 00 x x , + y y seconcluye 'ue:


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0),( =+

L P d lim y l.'.'.d.

Una funcin puede admitir infinitas asntotas verticales. /or e"emplo:

)tg()( x x f = , ya 'ue:

=

++

)tg(

2)12(

xlimn

x y

+=+

)tg(

2)12(

xlimn

x

n

(as rectas:

n x +

=2

, n , son asntotas verticales para )tg( x y = .

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