• OBJETIVO:

1. utiliza las ecuaciones con números enteros para resolver problemas 2. Resuelve problemas aplicando la conversión de medidas

• INDICADOR:

1. Resuelve ecuaciones aplicando las operaciones con números enteros 2. Realiza conversiones de los diferentes sistemas de medida

ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS: Es importante recordar las reglas de las operaciones básicas con números enteros

Al resolver un ejercicio que tenga diferentes operaciones es necesario tener en cuenta que entre ellas existe jerarquía y las operaciones se realizan dependiendo de ésta. La jerarquía entre las operaciones indica el orden en que ellas deben ser realizadas

Es decir, si tenemos operaciones combinadas lo primero que vamos a resolver son las multiplicaciones o divisiones que encontremos de izquierda a derecha y luego realizaremos las sumas o las restas que encontremos, también de izquierda a derecha, así: (recordemos que el símbolo “:” también representa división)

Ejemplo 1: 24 : (−2) − 3 · 4 − 6 : 2 − (−3) · (−2) en este caso tenemos 2 divisiones y 2 multiplicaciones además de unas restas por tanto procedemos de la siguiente manera

MATEMATICAS SEPTIMO

24 ÷ (-2) − 3 • 4 − 6 ÷ 2 − (-3) • (-2) (-12) − (12) − (3) − (+6) Se han resuelto primero las divisiones y las multiplicaciones (-12) + (-12) + (-3) + (-6) se aplicó la regla para realizar las restas (-24) + (-9) Se aplica la regla de la suma -33 Ejemplo 2: 5 • (−2) − 3 • (−1) + 5 • 2 + 7 (-10) − (-3) + (10) + 7 (-10) + (3) + 17 -7 + 17 10

OPERACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN Con frecuencia encontramos operaciones en las que se tienen signos de agrupación, estos tienen jerarquía superior a cualquier operación y por tanto se deben realizar primero. Los signos de agrupación más frecuentes son: los paréntesis ( ), las llaves { } y los corchetes [ ]

Entonces, lo primero que se debe resolver son las operaciones que se encuentren dentro de los signos de agrupación en la misma forma como ya se planteó anteriormente.

Ejemplo: 4 − [2 − (3 − 4 · 3)] + [4 − (24 : 4)] – 4 en este caso se tiene corchetes y paréntesis, estos últimos dentro de los corchetes por tanto serán los primeros en resolverse. Se procede así: 4 – [2 – (3 – 4 • 3)] + [4 – (24 ÷ 4)] – 4 Se resuelve la multiplicación y división que está dentro del paréntesis 4 – [2 – (3 – 12)] + [4 – (6)] – 4 Se realiza las restas que están dentro de los signos de agrupación 4 – [2 – (-9)] + [ -2 ] – 4 4 – [ 2 + (9)] + [-2] + (- 4) Se aplica la regla para hacer las restas 4 – (11) + (- 6) Se aplicas la regla para realiza sumas -7 + (-6) –13

ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: Una ecuación es una igualdad que contiene uno o más valores incognitos (desconocidos), llamados variables. Los valores desconocidos se representan con una letra cualquiera, la llamaremos incógnita. Por ejemplo: Al sumar un número a 12, se obtiene 50”. Cómo no se conoce el número utilizamos una letra cualquiera para referirnos a él y al plantear esta situación en forma matemática nos queda: n + 12 = 50

a esta expresión llamamos ecuación y resolverla implica que debemos determinar qué valor debe tomar la variable para que al reemplarla se cumpla la igualdad. Es decir, Solucionar una ecuación es hallar el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad.

Las ecuaciones siempre tienen 2 términos, que se encuentran a lado y lado del símbolo =. Cuando se encuentre la expresión primer miembro se refiere al término que se encuentra a la izquierda y segundo miembro al término que se encuentre a la derecha del símbolo igual

4x + 3 = 23

Primer término Segundo término

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES.

Si en una ecuación sumamos el mismo término en ambos miembros, la igualdad se mantiene.

Si en una ecuación restamos el mismo término en ambos miembros, la igualdad se mantiene

Si en una ecuación multiplicamos el mismo término en ambos miembros, la igualdad se mantiene.

Si en una ecuación dividimos el mismo término que no sea cero en ambos miembros, la igualdad se mantiene

Una ecuación es como una balanza en equilibrio

Para que la balanza se mantenga siempre en equilibrio si se quita o se agrega algo a un plato se debe hacer lo mismo en el otro plato.

Resolver una ecuación significa despejar la variable, es decir dejarla sola en uno de los lados.

En este caso, cada cilindro equivale a 3 kg.

Para resolver una ecuación se debe colocar en un solo lado de la igualdad los términos con incógnita y al otro lado de la igualdad los datos numéricos y luego realizar las operaciones según corresponda. Dejar a un lado solo la variable implica quitar todos los valores numéricos que la acompañan usando las operaciones inversas: de la suma la resta, de la resta la suma, de la multiplicación la división y de la división la suma; y, aplicando las propiedades de las ecuaciones. Al quitar los valores numéricos se debe empezar por aquellos que suman y restan y al final se quitan los que multiplican o dividen a la variable o incognita.

Ejemplo 1: Resolvamos la ecuación dada anteriormente: 4x + 3 = 23 4x + 3 – 3 = 23 – 3 Para eliminar el 3 de la izquierda restamos 3 pero en los dos términos 4x = 20 porque 3-3 = 0 y 4x + 0 = 4x

4x

4=

20

4 Como 4 multiplica a x dividimos por este número en los 2 términos

X = 5

Luego en este caso la variable tiene el valor de 5, para comprobar o verificar que es la respuesta correcta se reemplaza en la ecuación inicial la variable por el valor encontrado, así: 4x + 3 = 23 4(5) + 3 = 23 20 + 3 = 23 23 = 23 se llegó a una verdad por tanto la solución es correcta Ejemplo 2: resolver el problema La edad que tengo ahora es el doble de la edad que tenía hace 6 años. ¿Qué edad tengo? Como la edad actual es la que no conocemos la llamamos: X La edad de hace 6 años es: x – 6 El doble significa multiplicar por 2, entonces el enunciado queda planteado como una ecuación así: 2 • (x-6) = x aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación y tenemos 2x – 12 = x como la x está en los 2 términos, la restamos del segundo para quitarla de ahí 2x – 12 – x = x – x como se resta en el lado derecho también se debe restar en el izquierdo 2x – x – 12 = 0 si a un valor se le resta el mismo valor da cero 1x – 12 = 0 se restan las cantidades de x y quitamos el 12 del lado izquierdo x – 12 + 12 = 0 + 12 para quitar el 12 de la izquierda se suma 12 pero también se debe sumar a la derecha x = 12 La solución es 12

Verificamos si quedó correcto, entonces: 2•(12 – 6) =12 (recuerde: debemos cambiar la variable por el valor hallado)

2 • (6) = 12 12 = 12 es cierto, la ecuación quedó bien resuelta La respuesta a la pregunta planteada ser: la edad que tengo es 12 años. Ejemplo 3: Indique la ecuación representada en la recta y resuélvala

Como vemos, en la recta aparece 4 veces la “x” con movimiento hacia la derecha y 10 a la derecha, el punto final quedó en 28. Así que la ecuación es:

4x + 10 =38 4x +10 – 10 = 38 – 10 4x = 28 4x÷ 4 = 28÷ 4 X = 7

UNIDADES DE MEDIDAS

La gran mayoría de las cosas que existen pueden ser medidas, hay algunas que no las podemos medir como puede ser la simpatía, así como sucede con la altura o el peso de una persona, con la distancia que hay entre un punto y otro, el tiempo que gastamos en realizar una tarea, la velocidad que lleva el autobús, etc.

Las magnitudes son las propiedades que pueden ser medidas y medir consiste en comparar un ente físico con un patrón determinado o valor unitario de medida.

Imagen tomada de: INNOVEDUCA.COM

Por ejemplo, si se dice que un objeto mide 5 metros, es porque

En el mundo que nos rodea encontramos diferentes magnitudes, cada una se mide con instrumentos propios para ello. Cada instrumento tiene su patrón de medida.

En la mayoría de los países se utiliza el Sistema internacional de unidades de medidas que fue instaurado en 1960 con el fin de unificar los diferentes sistemas de medidas en uno. Este sistema de medidas está basado en un sistema métrico, en el cual cada unidad es 10 veces mayor que la anterior o 10 veces menor que la posterior

La mayoría de las unidades de medidas tiene múltiplos y submúltiplos. Por ejemplo, la tabla de ellos, en el sistema métrico decimal, para las medidas de longitud es: Cada unidad de medida de esta tabla equivale a 10 de las unidades que se encuentra inmediatamente debajo de ella en la tabla. Es decir: 1 m = 10 dm 1dm = 10 cm 1cm = 10mm 1 dam = 10 m 1 hm= 10 dam 1 Km = 10hm

Si queremos convertir una media en otra unidad diferente debemos tener presente que: Para pasar de una unidad determinada a otra que esté por encima, en la escala, se debe dividir por tantos 10 como peldaños se suba. Para pasar de una unidad a otra que esté abajo, en la escala, se debe multiplicar por tantos 10 cómo se baje. Es decir, Si queremos convertir desde una unidad que está "separada" de otra, debemos "acumular las operaciones" según "subimos" o "bajamos" de la escalera.

Ejemplo: expresar 2400 m en hectómetros y en decímetros

Para expresar 2400 m en hectómetros debo dividir 2 veces por 10 porque de metros a hectómetros me toca subir 2 peldaños, entonces:

2400 m ÷ 10 = 240 dam 240 dam ÷ 10 = 24 hm 2400m = 24 hm Para expresar 2400 m en decímetros debo multiplicar 1 vez por 10 porque de metros a dm tengo que

bajar 1 peldaño, entonces: 2400m • 10 = 24000 dm

Pero, cómo las únicas unidades que se manejan en la cotidianidad no son las de longitud se debe tener en cuenta que siempre que se va a convertir a una unidad de orden superior se debe dividir por la equivalencia y si se convierte a una unidad de orden inferior se multiplica por su equivalencia.

Ejemplo: 1 kg equivale a 100 g, entonces, ¿a cuántos kg equivalen 8000 g? Cómo los g son unidades más pequeñas que el kg debemos dividir por su equivalencia para expresar la media dada en kg: 8000 gr ÷ 1000 = 8 Kg

Ejemplo: Daniela tiene 25 cm de cinta y Claudia tiene 150 mm, ¿cuál de las dos tiene mayor cantidad de cinta? Como las cantidades de cinta no están en las mismas unidades se debe decidir a qué unidad se convierten y luego si se comparan. En este caso vamos a convertir a cm entonces: 150mm ÷ 10 = 15 cm. Ahora si podemos comparar las dos cantidades y podemos decir que 25cm > 15 cm por tanto Daniela tiene la mayor cantidad de cinta.

ACTIVIDAD

Basándose en la información aquí suministrada y las explicaciones desarrolladas en los encuentros sincrónicos desarrollar la actividad de la guía de matemáticas en las Hojas de respuestas. No olvide, siempre debe ir el procedimiento y justificaciones.

Tomado de:

Iturra Q,, Fabiola, Manosalva I., Catalina & otros. Matemática 7° básico Texto del Estudiante. Chile. 2020?

https://sites.google.com/site/goyaevvtriangulosrectangulos/resolvemos-pensando

NOTA: Si se desea hacer operaciones o comparar medidas es necesario tenerlas en las mismas unidades, si no lo están primero se debe hacer la conversión a una sola unidad.

MATEMATICAS 7°

DESARROLLA AQUÍ LAS ACTIVIDADES DE LA GUÍA 9

ACTIVIDAD 1: No olvide, siempre debe ir el procedimiento y justificaciones.

1. Realizar cada uno de los siguientes ejercicios. no olvide la jerarquía de las operaciones y hacer paso a paso

a. 35 – (–21 – 15) + (–40 + (–74))

b. [-2 + 3 • (2 – 5) ÷ 3] – [(3 – 5 + 2) – 2 • (3 – 4)] c. 12 – (24 – (–12) + (–8) + 18) – 6

d. (-120) ÷ [15 + (-20) ÷ (-4) – (-2) • 5] + 2 e. 8 – 4 • [9 – 7 + (3 • 6 – 24) – (-1)] + 12 ÷ (-2 – 2)

2. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones, paso a paso y verificar su respuesta

a. 5x – (2x + 3) = 42

b. x

10− 12 = 5

c. 2x – 2 = -3x + 13

d. 5x + 2 = 7

e. 2x + 15 = 9

3. Plantear cada uno de los siguientes problemas con una ecuación, luego resolverlos.

a. Al triple de un número le restamos 16 y se obtiene 20. b. Beto tiene 42 años y tiene 8 años más que el doble de la edad de Toño, ¿qué

edad tiene Toño? c. Juan tienen el doble de dinero que tiene Carlos aumentado en 100 dólares.

Si entre los 2 tienen 850 dólares, ¿Cuánto tiene cada uno?

4. Indique la ecuación representada en cada recta y calcule el valor de la incógnita

a.

b.

5. Resolver cada una de las situaciones planteadas

a. José, Jesús y Sofía tienen una cometa cada uno. José tiene 90 m de hilo para elevar su cometa, Jesús 66 m y Sofía 56 m

¿Cuantos metros tienen entre los tres

¿Cuantos centímetros tiene más Jesús que Sofía?

b. La estantería de mi habitación resiste un peso de 10 kg y quiero rellenarla con libros que pesan 800g cada uno. ¿Cuántos libros puedo colocar como máximo sin superar el peso?

c. José pesa 40kg, su padre Miguel pesa el doble que él. La madre de José se llama Sofía y pesa 500 hg (hg es hectogramo y equivale a 100 g).

¿Cuánto pesan entre los 3?

Pueden subir a un ascensor que admite como peso máximo 20000 dag

(decagramo=10 g)

d. Dos hermanas fueron a comprar una cuerda de saltar. Cada una fue a una tienda diferente. La hermana mayor compró una cuerda que medía 223 cm de largo. Y la hermana pequeña una que medía 25 dm de largo.

¿Cuál es la cuerda más larga? ¿La de la hermana mayor o la hermana

menor?

¿Cuántos centímetros mide de más?

e. Un depósito contiene 1kl (kilolitro=1000 litros) de agua y otro contiene 8hl (hectolitro= 100 litros) de agua. Ambos se usan para regar indistintamente.

Si hemos gastado para regar 50 dal (decalitro=10 litros) de cada uno,

¿cuánto queda?

Teniendo en cuenta la cantidad que queda después de regar ¿podemos

repartir las cantidades para que los dos depósitos tengan la misma

cantidad? ¿qué cantidad debe tener cada uno para tener la misma?

6. Una cada expresión con palabras con la expresión correspondiente

ESPACIO PARA OPERACIONES

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