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Serie Comunidad
2Matemáticas
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Dirección de contenidos y servicios educativosElisa Bonilla Rius
Gerencia de publicaciones escolaresFelipe Ricardo Valdez González
Coordinación editorialErnesto Manuel Espinosa Asuar
EdiciónCésar Jiménez EspinosaAlberto Lara CastilloEdgar García Manrique
AutoríaApolo Castrejón Villar, Alicia Vicuña Guante,Martha Lilia Reyes Salgador, Ortos SoyuzCastrejón Torres
Revisión técnicaAlfredo Fuad Take GonzálezJuan Antonio Perujo Cano
Coordinación de correcciónAbdel López Cruz
CorrecciónMaría del Carmen Solano, Nina Salazar
Dirección de arte y diseñoQuetzatl León Calixto
Diseño de portadaBrenda López Romero
Coordinación de iconografía e imagenRicardo Tapia García
ImagenEquipo SM
IconografíaEvelín Ferrer, Fernando Suárez Flores
Coordinación de diagramaciónJesús Arana
DiagramaciónJacquelinne VelázqueAldo Botello BáezBraulio MoralesJesús Antonio Díaz de León Castañeda
IlustracionesCecilia Cota, Dora Maritza Garduño,Judith Meléndrez, Bertha Ramírez,Guillermo López Wirth
FotografíaArchivo SM, D.R. Pablo Picasso /ADAGP/SOMAAP /México/2008/ Pág. 19M.C. © 2008 The M.C. Escher Company-Holland. Allrights reserved. Págs. 148, 182, 211, 269, 290© 2011, OTHERIMAGES
Digitalización y retoqueCarlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni
ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya
Matemáticas 2SERIE COMUNIDAD
Primera edición, 2008Segunda edición, 2011D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830
ISBN 978-607-471-878-2
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.
La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V.
Prohibida su reproducción total o parcial.
Impreso en México/Printed in Mexico
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P r e s e n t a c i ó n p a r a e l a l u m n o
¿Te has fijado en todas las cosas maravillosas que existen a tu alrededor
y cuánto tienen que ver con las matemáticas? Incluso tú mismo estás lleno
de matemáticas.
¿Has visto un arco iris? Es un espectáculo fabuloso, ¿verdad? Ese
evento puede explicarse gracias a la geometría: los rayos de luz sufren una
desviación al atravesar las gotas de agua y se descomponen en los distintos
colores que vemos en el arco iris.
Seguramente alguna vez has observado con algo de molestia el reloj que
te despierta justo a las seis de la mañana. Ese reloj también está lleno de
matemáticas. ¿A quién se le habrá ocurrido eso de medir el tiempo? Sin
duda, su idea nos ha sido de mucha utilidad… Imagínate que en tu escuela
dijeran: “Mañana la entrada será por la mañana”. ¿A qué hora llegarías? ¿Y
tus compañeros?
Si alguna vez te toparas con una mariposa que tuviera un ala y no dos,
de inmediato te darías cuenta de que hay algo raro en ella; esto se debe
a que sabes que las mariposas son simétricas, pues tienen dos alas muy
parecidas entre ellas.
Ya te estarás dando cuenta de lo mucho que sabes de matemáticas:
manejas con cierta facilidad un reloj y reconoces a primera vista lo que
es simétrico, entre muchas otras cosas que realizas todos los días y que se
basan en tus conocimientos matemáticos.
Como ves, las matemáticas son algo que utilizamos todos los días. Al
estudiarlas adquirimos herramientas que nos permiten resolver nuestros
problemas cotidianos de una forma más sencilla.
Tu libro Matemáticas 1, de la serie Comunidad, está lleno de juegos que
te ayudarán a seguir desarrollando el gusto por la asignatura y por observar
las matemáticas en la naturaleza y en tu vida diaria.
Este libro, que se ha desarrollado según los contenidos de los programas
oficiales, está hecho especialmente para ti. ¡Disfrútalo!
Los autores
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P r e s e n t a c i ó n p a r a l o s m a e s t r o s
Estimado profesor, estimada profesora:
El propósito de Matemáticas 2, Serie Comunidad, es servir de apoyo para que los alumnos
aprendan matemáticas por medio de actividades de construcción, al mismo tiempo que
desarrollan las competencias que los capacitarán para responder a problemas de la vida real.
En la entrada de cada bloque se presenta una imagen y se plantean problemas detonadores
para los que se recomienda una lectura grupal o por equipo con el fin de que los alumnos
propongan y compartan estrategias de solución en las cuales apliquen sus conocimientos
previos. Estas sesiones grupales son medulares para que los estudiantes asimilen que los
conocimientos adquiridos sirven para resolver problemas.
En cada bloque encontrará la sección “Juegos y retos”, diseñada para trabajar en equipo,
cuya finalidad es atraer la atención de los alumnos y permitir una aproximación lúdica e
interesante a los conocimientos y procedimientos matemáticos que se estudiarán en las
lecciones siguientes.
Las lecciones, de dos páginas, se pueden resolver en una o dos sesiones. En ellas se
plantean preguntas y ejercicios para que los alumnos expresen, con sus palabras, lo que
han aprendido y expongan argumentos. Asimismo, incluyen recuadros de información que
permiten contrastar y complementar los conceptos y las estrategias de solución.
Al final de cada bloque se encuentran la secciones “TIC”, ideada para aplicar las
tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza de las matemáticas, y
“Recreación”, que brinda a los alumnos la oportunidad de expresar de manera creativa lo
que han aprendido en el bloque.
En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los
elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en
la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los aprendizajes
esperados con tres innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico.
• Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación
de las lecciones considerando la carga horaria del programa vigente;
• para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades
indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento; y
• para la evaluación final, enriquecimos el libro con reactivos de opción múltiple
que le permitirán detectar, por bloque, el nivel de logro de los aprendizajes esperados en
sus alumnos.
Esperamos que este material didáctico sea útil para la construcción de aprendizajes
significativos en el aula.
Atentamente
Los autores
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Semana Sesión Lecciones
1
1 Entrada de bloque
2 Los frijoles saltarines
3 1 Multiplicación de números con signo I
4 2 Multiplicación de números con signo II
5 3 División de números con signo
2
6 4 Problemas de multiplicación y división de números con signo
7 Rompecabezas algebraico
8 5 Expresiones algebraicas
9 6 Adición y sustracción de expresiones algebraicas I
10 7 Adición y sustracción de expresiones algebraicas II
3
11 8 Adición de polinomios
12 9 Sustracción de polinomios
13 10 Expresiones algebraicas equivalentes I
14 11 Expresiones algebraicas equivalentes II
15 El león no es como lo pintan
4
16 12 Reconocimiento de ángulos
17 13 Reproducción de ángulos
18 14 Estimación y medición de ángulos
19 15 Rectas, semirrectas y ángulos
20 16 Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice
5
21 17 Paralelas cortadas por una transversal
22 18 Ángulos interiores de triángulos
23 19 Ángulos interiores de cuadriláteros
24 Cubos al cubo
25 20 Factor de proporcionalidad I
6
2621 Factor de proporcionalidad II
27
28 22 Proporcionalidad múltiple I
29 23 Proporcionalidad múltiple II
30 24 Problemas de conteo I
7
31 25 Problemas de conteo II
32 26 Polígonos de frecuencia I
3327 Polígonos de frecuencia II
34
35 TIC
8
36 Recreación
37
Repaso y
Primera evaluación bimestral
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39
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B l o q u e 1D o s i f i c a c i ó n
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Semana Sesión Lecciones
9
41 Entrada de bloque
42 Cuatro cuatros
43 28 Jerarquía de las operaciones I44 29 Jerarquía de las operaciones II45
10
46 30 Solución de ecuaciones I
47 31 Solución de ecuaciones II
48 32 Problemas multiplicativos I
49 33 Problemas multiplicativos II
50 Adivina adivinador
11
51 34 Prismas I
52 35 Prismas II
53 36 Pirámides
54 37 Vistas de un cuerpo geométrico I
55 38 Vistas de un cuerpo geométrico II
12
56 39 Volumen de cubos y prismas rectangulares
57 40 Volumen de prismas
5841 Volumen de pirámides
59
60 42 Problemas de volumen
13
61 43 Unidades de volumen
62 44 Unidades de capacidad
63 45 Problemas de capacidad y volumen
64 Cazador de gigantes
65 46 Comparación de razones I
14
66 47 Comparación de razones II
6748 Problemas de comparación de razones
68
69 49 Medidas de tendencia central I
7050 Medidas de tendencia central II
15
71
7251 Medidas de tendencia central III
73
74 52 Medidas de tendencia central IV
75 TIC
16
76 Recreación
77
Repaso y
Segunda evaluación bimestral
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79
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Semana Sesión Lecciones
17
81 Entrada de bloque
82 Cuadrados mágicos
8353 Sucesiones I
84
8554 Sucesiones II
18
86
87 55 Sucesiones III
88 La liebre y la tortuga
8956 Planteamiento de ecuaciones
90
19
9157 Solución de ecuaciones I
92
93 58 Solución de ecuaciones II
94 59 Solución de ecuaciones III
95 60 Solución de ecuaciones IV
20
96 61 Ecuaciones con paréntesis
97 62 Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
98 63 Problemas que se resuelven con ecuaciones
9964 Funciones I
100
21
10165 Funciones II
102
103 66 Funciones III
104 Teselados
10567 Ángulos interiores de polígonos
22
106
10768 Teselados I
108
10969 Teselados II
110
23
111 Buscando espías
112 70 Gráficas de relaciones lineales I
113 71 Gráficas de relaciones lineales II
11472 Gráficas de relaciones lineales III
115
24
11673 Gráficas de relaciones lineales IV
117
11874 Comportamiento de gráficas lineales I
119
120 75 Comportamiento de gráficas lineales II
25
121 TIC
122 Recreación
123Repaso y
Tercera evaluación bimestral124
125
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Semana Sesión Lecciones
26
126 Entrada de bloque
127 La leyenda del ajedrez
128 76 Potencias
129 77 Producto de potencias
130 78 Cociente de potencias
27
13179 Notación científica
132
133 80 Orden de magnitud
13481 Cálculos con notación científica
135
28
136 Triangulaciones
13782 Congruencia de triángulos I
138
139 83 Congruencia de triángulos II
14084 Congruencia de triángulos III
29
141
14285 Congruencia de triángulos IV
143
14486 Congruencia de triángulos V
145
30
146 87 Alturas de triángulos
147 88 Mediatrices de triángulos
148 89 Bisectrices y medianas de triángulos
149 90 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo I
15091 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo II
31
151
152 ¿Pescador o pescado?
15392 Eventos independientes I
154
155 93 Eventos independientes II
32
156 94 Regla del producto
157 95 Problemas de probabilidad
158 Carrera de obstáculos
15996 Interpretación de gráficas de línea
160
33
16197 Gráficas formadas por segmentos de recta I
162
16398 Gráficas formadas por segmentos de recta II
164
165 TIC
34
166 Recreación
167
Repaso y
Cuarta evaluación bimestral
168
169
170
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Semana Sesión Lecciones
35
171 Entrada de bloque
172 Animalirretos
173 99 Sistemas de ecuaciones I
174
175 100 Sistemas de ecuaciones II
36
176 101 Sistemas de ecuaciones III
177102 Sistemas de ecuaciones IV
178
179 Figurirretos
180 103 Traslación de figuras
37
181 104 Rotación de figuras I
182 105 Rotación de figuras II
183 106 Simetría
184107 Diseños
185
38
186108 Gráficas de sistemas de ecuaciones I
187
188109 Gráficas de sistemas de ecuaciones II
189
190 Los dados
39
191110 Eventos mutuamente excluyentes
192
193111 Cálculo de la probabilidad
194
195 TIC
40
196 Recreación
197
Repaso y
Quinta evaluación bimestral
198
199
200
B l o q u e 5
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G u í a d e u s o
A continuación mostramos cómo está estructurado Matemáticas 2.
El libro está dividido en cinco bloques y cada uno se inicia con dos páginas:
Se enuncian los aprendizajes esperados de acuerdo al plan y programas
de estudio, esto se hace con la finalidad de tener presente lo que se desea
que el estudiante aprenda al término del bloque.
Imagen que ilustra la
aplicación de algunos conceptos
matemáticos del bloque.
Problemas detonadores para
que reflexiones y conozcas el tipo
de problemas que vas a estudiar en
el bloque.
Dentro del bloque encontrarás
frecuentemente dos páginas
de la sección Juegos y
retos. Tienen el propósito de
introducir el estudio de los
contenidos de una manera
lúdica.
B4
5
BLO
QU
E
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Como resultado del estudio de este bloque se espera que los estudiantes:
5.1. Representen con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas
para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
5.2. Determinen las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Constru-
yan y reconozcan diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación
y la traslación de figuras.
5.3. Representen gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en-
teros e interpreten la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.
5.4. Distingan en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente exclu-
yentes. Determinen la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocu-
rrencia.
Aprendizajes esperados
El Taj Mahal es un monumento localizado en Agra, India, construido por una
fuerza de trabajo de 22 000 hombres. Este edificio de mármol blanco, que
presenta una gran simetría, fue mandado a hacer por el emperador Shah
Jahan, como un mausoleo para su esposa Arjumand Bano Begum.
En equipo lean los siguientes problemas; discutan al respecto y planteen cómo
solucionarlos. Si no los pueden resolver, no se preocupen, lo importante es recordar
y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen.
a) El Taj Mahal tardó en construirse 23 años y la suma de los años en que se inició y se
terminó su construcción es 3 285. ¿Entre qué años fue construido este edificio?
b) ¿Cuál es el eje de simetría del Taj Mahal en la fotografía?
c) La imagen de la derecha es un grabado de M. Escher, ¿observas simetría?
269
J u e g o s y r e t o s
158
La liebre y la tortuga
Érase una vez una liebre muy vanidosa a la que le gustaba presumir su velocidad y siem-pre se burlaba de las tortugas por ser lentas y pacientes. Pero un día la paciencia de las tortugas se terminó y decidieron darle una lección. Llamaron a su campeona velocista, una tortuga diferente a todas, con patas largas y un caparazón ligero, capaz de alcanzar la sorprendente velocidad de 1 km/h, es decir, un kilómetro por hora, velocidad jamás alcanzada por alguna tortuga.
Reunieron una comisión y fueron a retar a la liebre, quien se carcajeó más de me-dia hora antes de aceptar la apuesta.
—¡Muy bien! ¡Muy bien! Iré a la carrera y procuraré ser un digno contendiente. ¡Ja! —dijo la liebre sin poder aguantar la risa—. ¿Cuándo será la carrera?
—En un mes —dijeron las tortugas.Durante un mes la tortuga velocista se dedicó a entrenar, pues quería asegurarse
de mantener su velocidad de 1 km/h durante toda la competencia. Tal vez así gana-ría. En cambio, la liebre se dedicó a ir a fiestas y divertirse. No se ocupó de entrenar. Estaba muy confiada.
Llegó por fin el día de la carrera y todos los animales se reunieron para presenciar-la. Se indicó la salida y la meta. A las 10:00 de la mañana la competencia se inició en-tre grandes aplausos.
La liebre corría confiadamente a 16 km/h y la tortuga, que corría sin parar a 1 km/h, pronto se quedó muy atrás.
Después de 15 minutos la liebre encontró un árbol y se sentó a descansar bajo su sombra. Como se había desvelado casi un mes, pronto se quedó dormida.
Después de mucho tiempo la tortuga llegó adonde estaba la liebre. —Si no te apuras, te voy a ganar —advirtió la tortuga a la liebre con actitud muy
deportiva. —Cinco minutos más, mamá, por favor —dijo la liebre sin abrir los ojos y siguió en
brazos de Morfeo. De repente, la liebre despertó y miró su reloj. —¡Las 3:15 de la tarde! Ya es muy tarde —dijo mientras se levantaba y volvía a co-
rrer a 16 km/h. Al cabo de un tiempo la liebre vio a la tortuga cerca de la
meta. Calculó que su velocidad era suficiente para empatar la carrera.
—Le pondré un poco de emoción a esto, todavía no aumentaré mi velocidad —pensó la liebre.
Los espectadores veían cómo la liebre al-
canzaba rápidamente a la tortuga. Gritaron emocionados; iba a ser un final de fotografía.
Cuando la liebre se encontraba muy cerca
de la tortuga, pensó en acelerar para ganar. Todavía
le quedaban muchas reservas de energía
159
y podía lograrlo. Pero no pudo hacerlo, exactamente en el momento que
alcanzó a la tortuga, tropezó con una piedra y quedó tendida, retor-
ciéndose de dolor unos segundos, el tiempo suficiente para
que la tortuga cruzara la meta y ganara la carrera.
Desde entonces, la liebre, por confiada, es el hazmerreír de
todos los animales.
Contesta las siguientes preguntas.
¿De qué distancia aproximadamente fue la carrera
de la liebre y la tortuga?
¿Cuánto tiempo duró la competencia?
En parejas determinen a qué hora la tortuga se encontró a la liebre durmiendo
bajo el árbol. Recuerden que la liebre recorre 16 km cada hora y la tortuga, 1 km.
Completen la siguiente tabla. Calculen el tiempo en que la liebre alcanzó a la tor-
tuga.
Tiempo
(horas)
Distancia de la salida (km)
Liebre Tortuga
0 0 0
0.1 1.6 0.1
0.2
0.25
0.5
1
ESTRATEGIAS
Recuerden que 1 hora es igual a 60
minutos.
¿Cuántos minutos son un cuarto de
hora?
¿Cuántos minutos son 0.1 horas?
¿A qué distancia del árbol se encuen-
tra la tortuga cuando la liebre reanu-
da la carrera?
¿A qué distancia del árbol está la tor-
tuga 3 minutos después de que la
liebre reanuda la carrera?
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Todas las lecciones del bloque se componen de dos páginas.
Título de la lección
Los títulos de cada lección dan
cuenta de los conceptos que se
estudiarán.
Actividades de construcción del conocimiento
Actividades que presentan situaciones problemáticas
para que las enfrentes con los conocimientos que
ya tienes al mismo tiempo que desarrollas nuevas
técnicas y conceptos para resolver problemas similares.
En las actividades se busca que:
• Observes e interpretes.
• Organices resultados.
• Discutas y analices.
• Encuentres regularidades.
• Reflexiones.
• Profundices en las ideas básicas.
Información
Cuando es necesario, los conceptos
importantes de la lección aparecen
resaltados.
671.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
d) Contesta.
i) ¿Qué relación encuentras entre las fracciones de cada copia?
ii) ¿Existe una relación de proporcionalidad entre las dimensiones de la fotografía y las
de las copias? ¿Por qué?
Al dividir las dimensiones de una copia a escala entre las correspondientes del
original, se obtiene una constante llamada factor de proporcionalidad.
e) Comprueba que al multiplicar las dimensiones del original por el factor de propor-
cionalidad obtienes las dimensiones de la copia.
Largo Ancho
Original 8 4
Copia 1 8 x 1 = 8 = 4 2 2
Copia 2
Copia 3
f) Contesta.
i) ¿Por cuánto se debe multiplicar el ancho del original para obtener el ancho de la co-
pia 1?
ii) ¿Por cuánto se debe multiplicar el largo de la copia 1 para obtener el largo del
original?
iii) ¿Podrías obtener el largo de la copia 1 dividiendo el largo del original entre algún
número? ¿Entre cuál?
12
es el inverso multiplicativo de 2. Dividir un número entre 2 es igual que mul-
tiplicarlo por 12
. 2 es el inverso multiplicativo de 12
. Dividir un número entre 12
es igual que multiplicarlo por 2.
g) Anota los inversos multiplicativos de los factores de proporcionalidad de las copias 2 y 3.
Factor de proporcionalidad Inverso multiplicativo
Copia 2
Copia 3
66
L e c c i ó n 2 0
Factor de proporcionalidad I
1 Lee el texto y realiza lo que se pide.
Laura sacó fotocopias, de distintos tamaños, de una fotografía del templo de Apolo en Corinto.
a) Mide las dimensiones de las figuras anteriores y anótalas en la tabla.
b) Contesta.
i) ¿En qué copia las dimensiones son la mitad de las del original?
ii) ¿En qué copia las dimensiones miden cinco cuartas partes de las del original?
iii) ¿En qué copia las dimensiones miden tres cuartas partes de las del original?
c) Escribe las fracciones y simplifícalas.
Largo
Copia 1 4
8
1
2
Copia 2
Copia 3
Original Original Original
Ancho
Copia 1
Copia 2
Copia 3
Original Original Original
Copias
Original 1 2 3
Largo (cm) 8
Ancho (cm) 4
Copia 1
Original
Copia 2
Copia 3
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TIC y Recreación. En la primera se aplica la tecnología para aprender matemáticas y
en la segunda se brinda la oportunidad de que desarrolles tu creatividad y capacidad
de expresión.
82
T I C
Gráficas poligonales con la hoja de cálculo
En esta actividad utilizarás una hoja de cálculo para elaborar gráficas poligonales.
Supongamos que quieres graficar el número de minutos de televisión que ven a diario
tú y tu amigo.
Abre la hoja de cálculo y
registra los datos.
Selecciona los datos que
quieres graficar.
En el menú escoge Insertar Gráfico y apare-
cerá el asistente para gráficos. En Tipo de gráfico
escoge la opción Líneas.
Presiona Siguiente dos veces
y aparecerá un cuadro de diá-
logo donde puedes asignar
título a la gráfica y nombre a
los ejes. Presiona Finalizar.
La gráfica aparecerá en la
hoja.
83
R e c r e a c i ó n
En el siguiente espacio puedes hacer lo que desees: un dibujo, un rompecabezas, un
problema interesante, un cuento, un acertijo, una gráfica original, un juego…
La única condición es que emplees los conocimientos que adquiriste en este blo-
que. A continuación te damos algunas sugerencias:
Un dibujo como el cuadro de Picasso, donde haya ángulos y figuras geométricas.
Un rompecabezas con los bloques de la página 30.
Un cuento en el que los personajes sean monomios y polinomios.
Un problema como el que le planteó el oráculo de Delfos a los atenienses.
El bloque se cierra con una
evaluación de opción múltiple.
En las páginas 306 a
310 podrás encontrar
un glosario con los
términos que se usan
en el libro.
Subraya la respuesta correcta.
1 ¿Cuál es el resultado de 3 + 4 × (2 – 7)?
a) –35 b) 35 c) –17 d) –23
2 ¿Cuál es la solución de la ecuación 5x + 8 = −32?
a) 4 b) 8 c) –8 d) –24
3 ¿Cuál es la solución de la ecuación 2(x + 12
) = 2?
a) –1 b) 1 c) 12
d) – 12
4 ¿Cuál es el desarrollo plano de un cubo?
a) b) c) d)
5 ¿Cuál es la vista superior del siguiente cuerpo?
a) b) c) d)
6 El volumen de un cubo es 125 cm3. ¿Cuál es el área de una de sus caras?
a) 5 cm2 b) 15 cm2 c) 25 cm2 d) 125 cm2
146
E v a l u a c i ó n
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Í n d i c e
Bloque 1 181.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones
y divisiones de números con signo.
Juegos y retos. Los frijoles saltarines 201 Multiplicación de números con signo I 222 Multiplicación de números con signo II 243 División de números con signo 264 Problemas de multiplicación y división de números con signo 28
1.2 Resolver problemas que impliquen adición y
sustracción de expresiones algebraicas.
Juegos y retos. Rompecabezas algebraico 305 Expresiones algebraicas 326 Adición y sustracción de expresiones algebraicas I 347 Adición y sustracción de expresiones algebraicas II 368 Adición de polinomios 389 Sustracción de polinomios 40
1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas
equivalentes a partir del empleo de modelos
geométricos.
10 Expresiones algebraicas equivalentes I 4211 Expresiones algebraicas equivalentes II 44
1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer,
estimar y medir ángulos, utilizando el grado como
unidad de medida.
Juegos y retos. El león no es como lo pintan 4612 Reconocimiento de ángulos 4813 Reproducción de ángulos 5014 Estimación y medición de ángulos 52
1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones
relativas de dos rectas en el plano y elaborar defi niciones
de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer
relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse
dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el
vértice y adyacentes.
15 Rectas, semirrectas y ángulos 5416 Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice 56
1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se
forman entre dos rectas paralelas cortadas por una
transversal. Justifi car las relaciones entre las medidas de
los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
17 Paralelas cortadas por una transversal 5818 Ángulos interiores de triángulos 6019 Ángulos interiores de cuadriláteros 62
1.7. Determinar el factor inverso dada una relación
de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad
fraccionario.
Juegos y retos. Cubos al cubo 6420 Factor de proporcionalidad I 6621 Factor de proporcionalidad II 68
1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver
problemas de proporcionalidad múltiple.
22 Proporcionalidad múltiple I 7023 Proporcionalidad múltiple II 72
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1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con
base en la identifi cación de regularidades. Verifi car los
resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de
árbol u otros recursos.
24 Problemas de conteo I 7425 Problemas de conteo II 76
1.10. Interpretar y comunicar información mediante
polígonos de frecuencia.
26 Polígonos de frecuencia I 7827 Polígonos de frecuencia II 80TIC 82Recreación 83Evaluación 84
Bloque 2 862.1. Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis
si fuera necesario, en problemas y cálculos.
Juegos y retos. Cuatro cuatros 8828 Jerarquía de las operaciones I 9029 Jerarquía de las operaciones II 92
2.2. Resolver problemas multiplicativos que impliquen el
uso de expresiones algebraicas.
30 Solución de ecuaciones I 9431 Solución de ecuaciones II 9632 Problemas multiplicativos I 9833 Problemas multiplicativos II 100
2.3. Describir las características de cubos, prismas y
pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas
y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo
geométrico.
Juegos y retos. Adivina adivinador 10234 Prismas I 10435 Prismas II 10636 Pirámides 10837 Vistas de un cuerpo geométrico I 11038 Vistas de un cuerpo geométrico II 112
2.4. Justifi car las fórmulas para calcular el volumen de
cubos, prismas y pirámides rectos.
2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y
pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros
relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
39 Volumen de cubos y prismas rectangulares 11440 Volumen de prismas 11641 Volumen de pirámides 118
2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y
pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros
relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
Establecer relaciones de variación entre diferentes
medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones
de medidas de volumen y de capacidad y analizar la
relación entre ellas.
42 Problemas de volumen 12043 Unidades de volumen 12244 Unidades de capacidad 12445 Problemas de capacidad y volumen 126
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2.6. Resolver problemas de comparación de razones, con
base en la noción de equivalencia.
Juegos y retos. Cazador de gigantes 12846 Comparación de razones I 13047 Comparación de razones II 13248 Problemas de comparación de razones 134
2.7. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central
de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera
especial las propiedades de la media aritmética.
49 Medidas de tendencia central I 13650 Medidas de tendencia central II 13851 Medidas de tendencia central III 14052 Medidas de tendencia central IV 142TIC 144Recreación 145Evaluación 146
Bloque 3 1483.1. Construir sucesiones de números con signo a partir de
una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de
números con signo.
Juegos y retos. Cuadrados mágicos 15053 Sucesiones I 15254 Sucesiones II 15455 Sucesiones III 156
3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y
la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma:
ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en
ambos miembros de la ecuación, utilizando coefi cientes
enteros o fraccionarios, positivos o negativos.
Juegos y retos. La liebre y la tortuga 15856 Planteamiento de ecuaciones 16057 Solución de ecuaciones I 16258 Solución de ecuaciones II 16459 Solución de ecuaciones III 16660 Solución de ecuaciones IV 16861 Ecuaciones con paréntesis 17062 Ecuaciones con coeficientes fraccionarios 17263 Problemas que se resuelven con ecuaciones 174
3.3. Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a
fenómenos de la física, la biología, la economía y otras
disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en
función de la otra y representar esta relación mediante una
tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
64 Funciones I 17665 Funciones II 17866 Funciones III 180
3.4. Establecer una fórmula que permita calcular la suma de
los ángulos interiores de cualquier polígono.
Juegos y retos. Teselados 18267 Ángulos interiores de polígonos 184
3.5. Conocer las características de los polígonos que permiten
cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.
68 Teselados I 18669 Teselados II 188
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3.6. Construir, interpretar y utilizar gráfi cas de relaciones
lineales asociadas a diversos fenómenos.
Juegos y retos. Buscando espías 19070 Gráficas de relaciones lineales I 19271 Gráficas de relaciones lineales II 19472 Gráficas de relaciones lineales III 19673 Gráficas de relaciones lineales IV 198
3.7. Anticipar el comportamiento de gráfi cas lineales de
la forma y = mx + b, cuando se modifi ca el valor de b
mientras el valor de m permanece constante.
74 Comportamiento de gráficas lineales I 200
3.8. Analizar el comportamiento de gráfi cas lineales de la
forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras
el valor de b permanece constante.
75 Comportamiento de gráficas lineales II 202TIC 204Recreación 205Evaluación 206
Bloque 4 2084.1. Elaborar, utilizar y justifi car procedimientos para
calcular productos y cocientes de potencias enteras
positivas de la misma base y potencias de una potencia.
Interpretar el signifi cado de elevar un número natural a
una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación
científi ca para realizar cálculos en los que intervienen
cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Juegos y retos. La leyenda del ajedrez 21076 Potencias 21277 Producto de potencias 21478 Cociente de potencias 21679 Notación científica 21880 Orden de magnitud 22081 Cálculos con notación científica 222
4.2. Determinar los criterios de congruencia de triángulos a
partir de construcciones con información determinada.
Juegos y retos. Triangulaciones 22482 Congruencia de triángulos I 22683 Congruencia de triángulos II 22884 Congruencia de triángulos III 23085 Congruencia de triángulos IV 23286 Congruencia de triángulos V 234
4.3. Explorar las propiedades de las alturas, medianas,
mediatrices y bisectrices en un triángulo.
87 Alturas de triángulos 23688 Mediatrices de triángulos 23889 Bisectrices y medianas de triángulos 24090 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo I 24291 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo II 244
4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que
son independientes. Determinar la forma en que se puede
calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos
independientes.
Juegos y retos. ¿Pescador o pescado? 24692 Eventos independientes I 248
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93 Eventos independientes II 25094 Regla del producto 25295 Problemas de probabilidad 254
4.5. Interpretar y utilizar dos o más gráfi cas de línea que
representan características distintas de un fenómeno o
situación para tener información más completa y en su caso
tomar decisiones.
Juegos y retos. Carrera de obstáculos 25696 Interpretación de gráficas de línea 258
4.6. Interpretar y elaborar gráfi cas formadas por segmentos
de recta que modelan situaciones relacionadas con
movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
97 Gráficas formadas por segmentos de recta I 26098 Gráficas formadas por segmentos de recta II 262TIC 264Recreación 265Evaluación 266
Bloque 5 2685.1. Representar con literales los valores desconocidos de un
problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de
ecuaciones con coefi cientes enteros.
Juegos y retos. Animalirretos 27099 Sistemas de ecuaciones I 272100 Sistemas de ecuaciones II 274101 Sistemas de ecuaciones III 276102 Sistemas de ecuaciones IV 278
5.2. Determinar las propiedades de la rotación y de la
traslación de fi guras. Construir y reconocer diseños que
combinan la simetría axial y central, la rotación y la
traslación de fi guras.
Juegos y retos. Figurirretos 280103 Traslación de figuras 282104 Rotación de figuras I 284105 Rotación de figuras II 286106 Simetría 288107 Diseños 290
5.3. Representar gráfi camente un sistema de ecuaciones
lineales con coefi cientes enteros e interpretar la
intersección de sus gráfi cas como la solución del sistema.
108 Gráficas de sistemas de ecuaciones I 292109 Gráficas de sistemas de ecuaciones II 294
5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que
son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que
se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.
Juegos y retos. Los dados 296110 Eventos mutuamente excluyentes 298111 Cálculo de la probabilidad 300TIC 302Recreación 303Evaluación 304Glosario 306Bibliografía 311
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BLO
QU
E
1
32 z 1 9
12 y 2 8
8y 2 12
y 1 1
Como resultado del estudio de este bloque se espera que los estudiantes:
1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo.
2. Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.3. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos.4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de can-
tidades.5. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia.
Aprendizajes esperados
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Observa esta obra cubista de Pablo Picasso. Se llama Tres músicos.
En equipos lean los siguientes problemas, discutan al respecto y planteen cómo
solucionarlos. Si no pueden resolverlos, no se preocupen, lo importante es
recordar y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen.
a) En el museo donde se exhibe la pintura en forma temporal, ésta se debe mantener a una temperatura de 6 °F. ¿A cuántos grados centígrados equivale esa temperatura?
b) ¿Cómo reproducirías con regla y compás la cara del músico de la derecha?
c) La imagen de arriba es una reproducción a escala 1 a 15 de la obra origi-nal. ¿Cuál es la altura de la pintura real?
d) En otra versión de esta obra, Picasso colocó de distinta manera los tres personajes: primero el arlequin, en medio el flautista y al final el mon-je. ¿Cuántas opciones tuvo para ordenar a los tres músicos?
19
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20
J u e g o s y r e t o s
Los frijoles saltarines
Los frijoles saltarines es un juego divertido con el que aprenderás a multiplicar números positivos y negativos; se juega en grupos de dos o tres personas. Necesitan elaborar por grupo dos dados de cartulina como los siguientes.
Dado 1 Dado 2
También se pueden usar dos dados comunes, a los que deberán colocar etiquetas en las caras, con los números, signos y colores correspondientes.
Cada jugador debe hacer un tablero de 25 casillas como el siguiente:
El jugador o jugadora necesita también dos frijoles: uno café y uno negro, que pue-de sustituir por dos fichas como las de la izquierda.
Reglas
1 Al iniciar la partida el jugador o jugadora coloca sus dos frijoles en el cuadro
de salida, marcado con S en el tablero. El frijol café avanza a saltos de tres en
tres casillas y el negro, de dos en dos.
2 Cada participante, por turnos, lanzará los dos dados, cuyo significado es el
siguiente.
Dado 1. Los signos 1 indican que el frijol debe saltar hacia la derecha; los signos 2, que lo hará hacia la izquierda. Dado 2. Los números indican cuántos saltos da el frijol. Si el signo del número es 1, debe respetarse la dirección del salto que señala el dado 1, pero, si el signo del número es 2, debe saltar en sentido contrario al que indica el dado 1.
3 El jugador o jugadora decide qué frijol avanza en cada tirada después de lanzar
los dados.
4 Gana quien logre colocar sus frijoles a 5, 10 ó 15 saltos de una casilla de
distancia entre ellos.
5 Si los frijoles no pueden avanzar, se pierde el turno.
2
2 2 ++
+
–2
–3 –1 +3+1
+2
S
3 2
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2121
ESTRATEGIA
Veamos cómo jugaron Claudia y Antonio.
Primero tiró Claudia y le salió: 2 11 . El signo 2 del dado 1 indica que debe sal-tar a la izquierda y el 11 del dado 2, que debe dar un salto. Claudia escogió mover el frijol negro, que salta de dos en dos.
Antonio tiró los dados y obtuvo: 1 23 . El signo 1 del dado 1 significa que debe avanzar a la derecha y el 23 del dado 2, que debe dar tres saltos, pero como tiene sig-no 2, cambia el sentido de los saltos. El joven decidió mover el frijol café.
En su segundo tiro Claudia obtuvo: 2 21 . El signo 2 del dado 1 señala que debe avanzar a la izquierda, pero, como el 21 del dado 2 tiene signo 2, debe avanzar en sentido contrario, es decir, un salto a la derecha. La joven decidió mover el frijol café.
Como los frijoles de Claudia quedaron a cinco saltos de una casilla de distancia, ella gana el juego.
Formen grupos de dos o tres integrantes y jueguen a Los frijoles saltarines.
• Realiza las siguientes actividades para mejorar tu estrategia en este juego.
a) Explica en qué casos los frijoles avanzan a la derecha y en cuáles a la izquierda.
b) Si tus frijoles quedan como en el dibujo y te sale 2 12 , ¿cuál frijol moverías?
¿Por qué?
S3
2
S2
3
S 32
S 32
S3 2
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22
3 Observa lo siguiente.
Dado 1 Dado 2 Frijol
Dado 1 Dado 2 Frijol
Dado 1 Dado 2 Frijol
Multiplicación de números con signo I
1 Contesta de acuerdo con las reglas del juego Los frijoles saltarines.
a) Si el dado 1 muestra una cara azul y el dado 2 una cara verde, ¿hacia qué lado es el
avance del frijol?
b) Si el dado 1 indica una cara verde y el dado 2 una cara azul, ¿hacia qué lado es el
avance del frijol?
c) Si el dado 1 muestra una cara azul, ¿qué debe suceder con el dado 2 para que el
avance sea a la derecha?
d) Si el dado 1 indica una cara verde, ¿qué debe suceder con el dado 2 para que el
avance sea a la derecha?
2 Completa la tabla y contesta.
a) ¿En qué casos se avanza hacia la derecha?
b) ¿En qué casos se avanza hacia la izquierda?
L e c c i ó n 1
Color de la cara del dado 1 Color de la cara del dado 2 Avance hacia la…
derecha
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2
2 313
13
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 321
de nuevoel juego
12, 12, 12,5 (13) × (12) 5 16
3 veces a la derecha ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎨ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−3, −3, −3,5 (−3) × (13) 5 −9
3 veces a la izquierda ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎨ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
13 5 (11) × (13) 5 13
1 vez a la derecha ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎨ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
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23
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
• Escribe las multiplicaciones y represéntalas en la recta.
a) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
b) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
c) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
d) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
e) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
4 Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. Explica cómo llegaste a
tus resultados.
5 Observa las rectas y completa las multiplicaciones.
2 3 5
3 (25)5
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 13
3 221
222 2
31 11
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
La multiplicación también puede realizarse con números negativos. La multiplicación se puede representar en la recta numérica.
1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones de números con signo.
31 21
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24
Multiplicación de números con signo II
1 Completa las secuencias numéricas y anota cómo cambia cada secuencia.
a) 4, , 2, 1, 0, 21, , 23,
La secuencia
b) 20, 15, 10, , , 25, 210, , 220
La secuencia
c) 5, 4, , , , 0, , , 23
La secuencia
d) 220, 216, , 28, , , 4, , 12
La secuencia
2 Relaciona las secuencias anteriores con las multiplicaciones y anota los
resultados que faltan en las tablas. Pon especial atención en el signo
del resultado.
3 14 13 12 11 0 21 22 23 24
15
3 15 14 13 12 11 0 21 22 23
24
3 Reúnete con dos compañeros o compañeras y comparen sus respuestas de la
actividad anterior. Luego, resuelvan la actividad 4.
4 Escriban los resultados de las multiplicaciones.
a) (16) 3 (13) 5 h) (23) 3 (16) 5 ñ) (23) 3 (21) 5
b) (16) 3 (12) 5 i) (23) 3 (15) 5 o) (23) 3 (22) 5
c) (16) 3 (11) 5 j) (23) 3 (14) 5 p) (23) 3 (23) 5
d) (16) 3 (0) 5 k) (23) 3 (13) 5 q) (23) 3 (24) 5
e) (16) 3 (21) 5 l) (23) 3 (12) 5 r) (23) 3 (25) 5
f) (16) 3 (22) 5 m) (23) 3 (11) 5 s) (23) 3 (26) 5
g) (16) 3 (23) 5 n) (23) 3 (0) 5 t) (23) 3 (27) 5
• Coloreen de azul las casillas con resultado positivo, de amarillo las casillas con re-sultado igual a cero y de verde las casillas con resultado negativo.
L e c c i ó n 2
disminuye de uno en uno
-20
-20
Observa
En la multiplicación de números con signo se cumple que:(15) 3 (24) 5 (24) 3 (15)
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251.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones de números con signo.
Recuerda
El signo 1 delos números positivos puede omitirse.
5 Resuelve las siguientes operaciones con una calculadora.
3 22.5 22 21.5 21 20.5 0 0.2 1.2 1.8 2
20.3
20.1
0
0.2
0.4
0.6
• Colorea de azul las casillas con resultado positivo, de amarillo las casillas con resul-tado igual a cero y de verde las casillas con resultado negativo.
6 Escribe multiplicaciones cuyos resultados sean positivos, negativos y cero en
los espacios correspondientes de acuerdo con los colores que se establecieron
en la actividad anterior.
7 Resuelve las multiplicaciones.
a) 3 3 5 5 b) 6 3 3 5 c) 7 3 8 5
d) 3 3 (25) 5 e) 6 3 (23) 5 f) 7 3 (28) 5
g) 23 3 5 5 h) 26 3 3 5 i) 27 3 8 5
j) 23 3 (25) 5 k) 26 3 (23) 5 l) 27 3 (28) 5
8 Completa la tabla.
Signo de los factores Signo del producto
+ 3 + =
+ 3 = 2
3 + = 2
2 3 = +
Observa
Para cambiar el signo de un número en la calculadora científica, se utiliza la tecla
1/2 .
El signo del producto de una multiplicación depende del signo de los factores.
Observa
En estos casos el paréntesis sirve para separar los signos 2 y 3.
Recuerda
Las cantidades que se multipli-can se llaman factores y el resultado de la multiplicación es el producto.
IC
T
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26
División de números con signo
1 Analiza las situaciones y realiza lo que se pide.
a) Claudia y Antonio siguen jugando Los frijoles saltarines. Claudia tiene la siguiente posición en su tablero y le toca tirar.
i) ¿Qué debe salir en los dados para que Claudia gane? Anota las dos posibilidades.
Dado 1 Dado 2
ii) Escribe las multiplicaciones que corresponden a los movimientos anteriores y represéntalas en la recta numérica.
Multiplicación: Multiplicación:
b) Antonio tiene esta posición en su tablero y le toca tirar.
i) ¿Qué debe salir en los dados para que Antonio gane? Anota las cuatro posibilidades.
ii) Escribe las multiplicaciones que corresponden a los movimientos anteriores y represéntalas en la recta numérica.
Multiplicación: Multiplicación:
L e c c i ó n 3
214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
S 32
S 32
214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Dado 1 Dado 2
de nuevoel juego
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27
2 Completa las multiplicaciones.
a) 4 3 5 20 b) 3 4 5 28 c) 7 3 5 56 d) 9 3 5 72
e) 4 3 5 220 f) 3 27 5 228 g) 3 (28) 5 256 h) 9 3 5 272
i) 3 5 5 220 j) 27 3 5 228 k) 27 3 5 256 l) 29 3 5 272
m) 24 3 5 20 n) 3 24 5 28 ñ) 3 8 5 56 o) 29 3 5 72
3 Resuelve las divisiones. Considera las multiplicaciones anteriores.
a) 20 4 4 5 b) 28 4 4 5 c) 56 4 7 5 d) 72 4 9 5
e) 220 4 4 5 f) 228 4 (27) 5 g) 256 4 (28) 5 h) 272 4 9 5
i) 220 4 (5) 5 j) 228 4 (228) 5 k) 256 4 (27) 5 l) 272 4 (29) 5
m) 20 4 (24) 5 n) 28 4 (24) 5 ñ) 56 4 8 5 o) 72 4 (29) 5
4 Completa la tabla.
Signo del dividendo Signo del divisor Signo del cociente
1 4 1 5
1 4 2 5
2 4 1 5
2 4 2 5
5 Realiza las operaciones y escribe los números que faltan.
a) 36 4 (26) = b) 256 4 8 = c) 234 4 2 = d) 281 4 9=
e) 4 (25) = 40 f) 63 4 = 29 g) 272 4 (29) = h) 81 4 9=
i) 45 4 (25) = j ) 4 4 = 232 k) 4 8 = 11 l) 4 (27) = 49
m) 1 4
22
3 4
5 ( ) n) 52
1 3)(2
2 4
3 ñ)
2 3
4 1
5 5 4
o)
6 Convierte las siguientes fracciones en número decimal usando la calculadora.
No olvides tener en cuenta los signos.
Para cambiar el signo de un número se usa la tecla 1/2 .
a) 523 4
b) 52122 _______
c) 5 5 28
d) 5 23 216 ______
e) 523 220 _______
f) 523 225
g) 5 25 6
h) 5 3 22
52 1
3)(2 4
5
Recuerda
Para convertir una fracción en número deci-mal, el nume-rador se divide entre el deno-minador.-0.75
1.1. Resolver problemas que impliquen divisiones de números con signo.
Recuerda
Si c 5 a 3 b,entonces:c 4 a 5 b, y c 4 b 5 a
IC
T
_______
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28
Problemas de multiplicación y división de números con signo
1 Contesta.
a) Escribe tres multiplicaciones cuyo resultado sea 224.
b) Anota dos multiplicaciones cuyo resultado sea 1. Utiliza sólo números enteros.
c) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 249.
d) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 49.
e) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 0.
f) Escribe dos divisiones cuyo resultado sea –1.
g) ¿Qué número multiplicado por 4 da 212?
h) ¿Por qué número se debe dividir 24 para obtener 8?
i) ¿Por cuánto debe dividirse 234 para obtener –1?
j) ¿Por cuánto debe multiplicarse 13 para obtener 1?
k) ¿Por qué número debe multiplicarse 4 para obtener 2 12 ?
l) ¿Por qué número debe multiplicarse 23 para obtener 22?
m) ¿Por qué número debe multiplicarse 57 para obtener 32 ?
n) ¿Por qué número debe multiplicarse 57 para obtener 2 15 ?
2 Revisen en grupo sus respuestas y con ayuda de su profesora o profesor
comparen las estrategias utilizadas para obtenerlas.
L e c c i ó n 4
Recuerda
Los números en-teros son:
• Los negativos:21, 22, 23, 24, 25, etcétera.• Los positivos:1, 2, 3, 4, 5,etcétera.• El cero
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29
3 Escribe los números y las operaciones que faltan.
4 Lee el siguiente texto para que comprendas lo que son los grados Fahrenheit.
El grado Fahrenheit es la unidad de medida de temperatura que se utiliza en algunos
países de habla inglesa.
Para convertir grados Fahrenheit en grados centígrados se utiliza la fórmula
C 5 59 3 (F 2 32), donde F representa los grados Fahrenheit. Por ejemplo, para conver-
tir 20 8F (20 grados Fahrenheit) en centígrados se realiza lo siguiente.
C 5
a) Expresa en grados centígrados las siguientes temperaturas.
i) 10 8F = ______ 8C ii) 8 8F = ______ 8C iii) 50 8F = 8C
iv) 4 8F = _______ 8C v) 0 8F = ______ 8C vi) 27 8F = ______ 8C
b) Reúnete con dos o tres compañeros o compañeras y contesten las siguientespreguntas.
i) ¿Cuáles temperaturas en grados Fahrenheit son menores que 0 °C y cuáles
son mayores?
ii) Recuerden el problema del inciso a) de la página 11. ¿Cómo lo resolvieron? ¿Pueden resolverlo usando la fórmula de arriba? Discutan las estrategias que usaron y escojan las mejores. Anoten sus conclusiones enseguida.
1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.
59
3 (20 2 32)=59
3 (212)=5 3 (212) = 9
260 9
ø 26.66 °C
4
50 10
3(25)
4(22)
Recuerda
El símbolo ø significa “aproximadamen-te igual a”.
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J u e g o s y r e t o s
30
Rompecabezas algebraico
Observa los siguientes bloques.
Dentro de cada bloque se indica su área. Observa que: 1 3 1 5 1, x 3 1 5 x
y x 3 x 5 x2.
Observa el área y el perímetro de los siguientes rectángulos.
Perímetro = x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 5 8x Área 5 x2 1 x2 1 x2 5 3x2
Perímetro = x + 1 + x + x + 1 + 1 + 1 + x + 1 + 1 + x + x = 6x + 6Área = x2 + x2 + x + x + x + x + 1 + 1 = 2x2 + 4x + 2
1
1
1
xx xx2
x
x
x x x
1
1
1
x
x x
Recuerda
En primergrado viste que
x 1 x 5 2x
x + x 1 x 5 3x
x2 1 x2 5 2x2
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31
ESTRATEGIA
Reproduce cinco veces en cartulina cada uno de los bloques de la página anterior; conserva su tamaño. Resuelve los siguientes retos:
1 Arma con los bloques un cuadrado de 4x + 8 de perímetro y
x2 + 4x + 4 de área.
2 Determina con tus bloques el perímetro y el área de estas figuras:
• Analiza y contesta. Recuerda cómo se obtiene el perímetro de un cuadrado. ¿Cuánto debe medir el lado de un cuadrado para que su perímetro sea 4x + 8?
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32
L e c c i ó n 5
Expresiones algebraicas
1 Descubre cómo se forman las secuencias de las figuras y anota en la tabla su
perímetro.
Secuencia 1
Secuencia 2
Secuencia 1
Figura Perímetro
1 2 + 22
3
4
5
6
7
8
1
x x x
1
x x x
1
1
x
1 1
x
1 1 1
x
Figura 3
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 1 Figura 2
Secuencia 2
Figura Perímetro
1 2 + 22
3
4
5
6
7
8
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331.2. Resolver problemas que impliquen adición de expresiones algebraicas.
• Contesta.
a) ¿Qué va cambiando en los perímetros de la secuencia 1? _______________________________
b) ¿Qué va cambiando en los perímetros de la secuencia 2? _____________________________
c) ¿Cuál es el perímetro de la figura n en cada secuencia?____________________________
2 Escribe el área y el perímetro de las figuras. Toma en cuenta las medidas de los
bloques de la página 30.
a) b) Perímetro = ___________ Perímetro = _________
Área = ________________ Área = _____________
c) d) Perímetro = _______________ Perímetro = ____
Área = ____________________ Área = ________
e) f)
Perímetro = _________
Área = ______________
3 Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras.
Perímetro = _____________
Área = __________________
Una expresión algebraica indica operaciones entre números y letras. Las letras se denominan literales.
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34
Adición y sustracción de expresiones algebraicas I
1 Escribe el perímetro de las siguientes figuras. Anota la expresión más simple
que puedas.
a) b)
Perímetro = ___________ Perímetro = _________
c) d)
Perímetro = ___________ Perímetro = _________
2 Observa el perímetro de cada figura y anota en las líneas los valores que faltan.
a) b)
Perímetro = 12z 1 8 Perímetro = 18a
3 Compara las respuestas de esta página con las de tus compañeros y
compañeras. Con ayuda de su profesor o profesora, corrijan sus errores y
busquen las expresiones más simples.
L e c c i ó n 6
3x 1 2 5z 1 1
32 z 1 9
12 y 2 8
8y 2 12
y 2 12
3z 1 19
4y 2 z
4z 1 6
69a 2 7b
4a 1 3b
Observa
El cuadrado y el pentágono son polígonos regulares porque sus lados y sus ángulos internos son iguales en cada caso.
12 + 8
y 1 1
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35
4 Reúnete con un compañero o una compañera y plantéense uno a otro el
siguiente juego varias veces. Después, contesten las preguntas.
i) Piensa un número entero. ii) Multiplícalo por dos. iii) Al resultado anterior, suma el número siguiente al número que pensaste. iv) Suma 8 al resultado anterior. v) Divide entre tres el resultado anterior. vi) Resta el número que pensaste al principio. vii) Te queda 3.
a) Si se denota como x al número que se piensa, ¿cómo se denota ese número
multiplicado por 2?
b) ¿Y cómo se denota el número siguiente?
c) ¿La división del inciso v) siempre es exacta? ¿Por qué?
d) ¿Siempre resulta 3 al final? ¿Por qué?
5 Inventa un juego como el anterior y plantéaselo a tus compañeros.
• La primera instrucción deberá ser: “Piensa cualquier número”. • La última instrucción deberá ser: “Te queda 1”.
6 Contesta.
a) La suma de un número entero más el anterior es par o impar?
¿Por qué?
b) Si se suma el triple de un número entero más su quíntuplo, ¿el resultado siempre es
divisible entre 4? ¿Por qué?
1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
Si nos fijamos en las expresiones algebraicas podemos interpretarlas. Por ejem-plo, si n es un número entero, podemos saber que 6n es divisible entre 3, ya que al dividirlo entre 3 obtenemos 2n, o que 4n + 2 es un número par, ya que al divi-dirlo entre 2 se obtiene 2n + 1.
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36
Adición y sustracción de expresiones algebraicas II
1 Observa la sucesión de figuras que se formó con los bloques de la página 30 y
realiza lo que se pide.
a) Anota el área de las figuras anteriores y de las cuatro que seguirían. Toma en cuenta las medidas de la página 30.
Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Área X 2 + 1
b) Formen equipos de cuatro o cinco integrantes y contesten las preguntas.
i ) Si el área de una figura de esta sucesión es 15x + 105, ¿el área de otra figura de la
misma sucesión puede ser 20x 1 100? Justifiquen su respuesta.
ii) ¿Cuántos rectangulos verdes tiene una figura cuya área es 18x + 153?
iii) El área de una figura es 29x + 406, ¿cuál es el área de la figura anterior en la
secuencia? ¿Cuál es el área de la fi-
gura siguiente?
c) Observa cómo la figura 3 se puede transformar en un rectángulo de la misma altura; después forma un equipo de cuatro o cinco integrantes y contesten.
¿La figura de área 20x + 190 puede transformarse en rectángulo?
¿Por qué?
L e c c i ó n 7
Figura 2Figura 1 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
Recuerda
En primer grado asociaste suce-
siones de figuras con sucesiones
numéricas.
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371.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
2 Escribe los valores que falten en la siguiente recta numérica y contesta.
a) Si n es igual a 1, ¿cuál es el valor de n 2 3?
b) Si n 1 4 es igual a 5, ¿cuál es el valor de n?
c) Si n y el número anterior a n suman 29, ¿cuánto vale n?
d) Si n es un número entero y se suman n y el número siguiente, ¿el valor de la
suma es par o impar? Justifica tu respuesta.
e) Si n es un número entero y se suman n, el número siguiente y el número siguiente del siguiente, ¿el valor de la suma es par o impar? Justifica tu respuesta.
f) Escribe una expresión algebraica para denotar la suma del número entero n y
los dos números siguientes. g) Escribe una expresión algebraica para denotar la suma del número entero n y
los tres números siguientes.
3 Formen equipos de cuatro o cinco integrantes y comparen las respuestas de la
actividad anterior. Comenten, sobre todo, los procedimientos que usaron para
contestar los incisos d), e), f) y g). Después resuelvan estos problemas:
a) La suma de cinco números enteros consecutivos es 35. ¿Qué números son?
b) La suma de siete números enteros consecutivos es 228. ¿Qué números son?
c) ¿La suma de tres números consecutivos cualesquiera es divisible entre 3?
Justifica tu respuesta en tu cuaderno.
4 Comparen las respuestas de la actividad anterior con las de los demás equipos
y, junto con su profesor o profesora, revisen los procedimientos que siguieron.
n + 4n
Las expresiones algebraicas sirven para resolver problemas.
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38
L e c c i ó n 8
Adición de polinomios
1 Resuelve las adiciones anotando el área de las figuras. Toma en cuenta las
áreas señaladas en la página 30.
a)
b)
c)
d)
+
+
+ =
+ =
+
+
=
+
+
=
=
+
+
=
=
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391.2. Resolver problemas que impliquen adición de expresiones algebraicas.
Suma de los términos no semejantes.
Suma de los términos independientes.
Suma de lostérminos con x2.
Suma de los términos con x.
Un término o monomio es una expresión formada por el producto de números y literales elevadas a algún exponente; es decir, en un término sólo hay operaciones de multiplicación, división o potenciación. Un número solo y una literal sola tam-bién son términos. Ejemplos:
1 x 2x xyz 3xy 4x2 56 x
3
Los términos semejantes son los que tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes. Por ejemplo:
x, 3x, 6x y 34 x son términos semejantes porque tienen la misma literal elevada al
mismo exponente: x.
5x2y, –3x2y y 23
x2y son semejantes.
1, 2, –7, 0 y 12 son semejantes porque ninguno tiene literales. Los términos sin li-
terales se llaman términos independientes.
Un polinomio es la adición o sustracción de varios términos. Por ejemplo:
2x 2 4 3x2 1 5x 2 1 5xy + 34
3z2 1 3xy 1 4z 2 x 2 y 1 2
2 Efectúa la adición de los siguientes polinomios. Fíjate en el ejemplo.
a) 3 x2 + 2x – 1 b) 4x2 – 3x + 2 c) –6x2 + 4x + 5 +2 x2 – 3x + 5 + x2 – 2x + 7 + 2x2 – 2x + 8
d) –x2 + 4x + 3 e) 5x2 + 4 f) 8x2 + 2 + 2x2 – 2x – 2 + 5x2 – 8x + x + 8
g) 3x2 + 2x – 1 h) 3x2 – 4x + 1 i) –9x2 + 4x 2x2 – 3x + 5 2x2 + 3x – 3 4x2 – 8 + 5x2 – x + 4 + 6x2 – 4x – 1 + 3x + 4
El resultado de sumar dos o más polinomios es otro polinomio formado por la suma de los términos semejantes y los términos no semejantes. Por ejemplo:
4x2 + 5x + 2z + 2 + 5x2 – 3x + 3y – 6 9x2 + 2x + 2z +3y – 4
5 2 – + 4
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40
L e c c i ó n 9
Sustracción de polinomios
1 Resuelve las sustracciones anotando el área de las figuras. Toma en cuenta el
área de las figuras de la página 30.
a)
b)
c)
d)
2 =
2 =
2 =
2 =
2
2
=
=
2 =
2 =
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411.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
2 Escribe los polinomios que faltan.
a) 5x2 1 3x 2 1 b) 6x2 1 2x 2 1 c) –6x2 1 2x 1 5 1 1 1 4x2 2 2x 1 1 5x2 2 2x 1 1 4x2 1 x 2 4
d) 23x2 1 x 2 2 e) 5x2 1 3 f) 8x2 1 2 1 1 1 x2 2 4x 2 1 5x2 2 8x 2 x 1 8
3 Realiza la sustracción de los polinomios.
a) 4x2 2 3x 2 4 b) 5x2 1 2x 2 2 c) 26x2 1 4x 1 5 2 (4x2 2 2x 1 5) 2 (2x2 2 2x 1 5) 2 (2x2 2 2x 1 8)
d) 29x2 1 6x 1 2 e) 6x2 2 6x 1 4 f) 22x2 1 1 2 (5x2 1 x 2 3) 2 (3x2 2 8x) 2 (1 3x 1 2)
4 Efectúa las siguientes sustracciones y adiciones de polinomios.
a) 5x2 2 2x 2 4 b) 5x2 2 2x 2 4 2 (27x2 2 2x 1 5) 1 7x2 1 2x 2 5
c) 24z2 1 3z 1 4 d) 24z2 1 3z 1 4 2 (3z2 1 4z 1 2) 12 3z2 2 4z 2 2
e) 22y2 1 4x 2 3 f) 22y2 1 4x 2 3 2 (3y2 2 4x 2 3) 123y2 1 4x 1 3
5 Compara los resultados anteriores con los de tus compañeros y compañeras.
Corrijan los errores y digan qué relación hay entre las adiciones y las
sustracciones.
6 Lee el siguiente texto y escribe en tu cuaderno cómo se resuelve, con una
adición, la sustracción de polinomios.
El inverso aditivo de un polinomio es el mismo polinomio, pero con signo opues-to en cada término. Por ejemplo:
El inverso aditivo de 3x2 1 2x 2 5 es: 23x2 2 2x 1 5
El inverso aditivo de 24xz 1 7xy 1 4z 1 2x 2 7 es: 4xz 2 7xy 2 4z 2 2x 1 7
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42
L e c c i ó n 1 0
Expresiones algebraicas equivalentes I
1 Analiza el rectángulo y haz lo que se indica.
El área del rectángulo puede calcularse multiplicando la longitud de la base por la altu-ra o sumando las áreas de los bloques.
• Completa la expresión de acuerdo con el resultado anterior.
x(x 1 ___) 5 ____ 1 ____
2 Escribe las expresiones y reduce los términos semejantes en los polinomios.
a) Cuadrado
Entonces:
(x 1 1)________ 5 _______________
b) Rectángulo
Entonces:
(x 1 1)________ 5 _______________
Área
Base 3 Altura
Suma del área
de los bloques
( + 1) 2 +
Rectángulo
x 1
1
x
x 1
1
x 1 1
x 1
1
x 1 2
Recuerda
Para no confundir la x con el signo de multiplicación, éste puede omitirse:
ab = a 3 b
3y = 3 3 y
(3 1 4)(5 2 2) 5 (3 1 4) 3 (5 2 2)
Área
Base 3 Altura
Suma del área
de los bloques
Área
Base 3 Altura
Suma del área
de los bloques
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431.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
c) Rectángulo
Entonces:
_______________ = ______________
d) Rectángulo
Entonces:
_______________ = ______________
e) Rectángulo
Entonces:
_______________ = _____________
x 1
1
2 x
Área
Base 3 Altura
Suma del área
de los bloques
Área
Base 3 Altura
Suma del área
de los bloques
x 1
2
x 1 1
x 1
3
2x
Área
Base 3 Altura
Suma del área
de los bloques
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44
L e c c i ó n 1 1
Expresiones algebraicas equivalentes II
1 Dibuja o pega bloques que representen cada expresión algebraica y denota
los productos con un polinomio. Realiza la suma de términos semejantes.
Observa el ejemplo.
(x + 2)(x + 1) = 2 + 3 + 2
a) (3x)(x + 3) = ___________________________
b) (2x + 1)(x) = ___________________________
x 1 2
x 1
1
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451.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
c) (3x 1 1)(x 1 2) 5 ________________________
d) (3x 1 2)(2x 1 2) 5 _______________________
2 Observa las figuras y explica por qué las expresiones son equivalentes.
x(x 1 2) 5 x2 1 2x 5 x(x 1 1) + x
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J u e g o s y r e t o s
46
El león no es como lo pintan
Observa las figuras y contesta.
a) Si el centro del círculo es el punto rojo y la razón entre la superficie amarilla y la verde es 5:3, ¿cuánto mide cada ángulo?
b) ¿Cuántos cuadrados azules puedes ver?
c) ¿Qué ángulo es mayor, el de la izquierda o el de la derecha?
¿cuánto mide cada a ánángulo?
drados azules pupuededeses v ver??
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47
ESTRATEGIA
d) ¿Las líneas rojas son paralelas?
e) ¿Qué segmento es mayor, el rojo o el azul?
• En equipos comenten sus observaciones acerca de las figuras anteriores.
Propongan métodos para comprobar si sus respuestas son o no correctas. Si es necesario, investiguen la definición de cuadrado, líneas paralelas, líneas rectas, etc. Seleccionen el método para comprobar la respuesta que en cada caso les parezca más adecuado.
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48
L e c c i ó n 1 2
Reconocimiento de ángulos
1 Analiza el problema y contesta.
Antonio debe hacer un escudo como el que aparece a la derecha y para ello tiene calcomanías de la pelota, la manopla y el bate, pero debe conservar las medidas del círculo y de los ángulos. También sabe que el área de la región verde es una cuarta parte del área de la azul. ¿Cuánto mide cada ángulo central?
a) ¿Cuánto mide el ángulo central del sector rojo?
b) Si consideramos las áreas azul y verde como un sector, ¿cuánto mide su ángulo central?
c) ¿Cuánto mide el ángulo central del sector verde?
d) ¿Cuánto mide el ángulo central del sector azul?
e) Lee la siguiente información y clasifica los ángulos centrales del escudo.
Ángulo del sector verde: Ángulo del sector rojo:
Ángulo del sector azul:
2 Reproduce en tu cuaderno el círculo del escudo con sus ángulos. Utiliza tu
juego de geometría.
• Busca recortes para decorar el escudo con los motivos de tu deporte favorito.
El ángulo central es aquel cuyo vértice es el centro del círculo.
Los ángulos se clasifican, de acuerdo con su medida, en:
Recto
Mide un cuarto de vuelta.
Llano
Mide media vuelta.
Obtuso
Es mayor que el recto y menor que el llano.
Agudo
Es menor que el án-gulo recto.
Perígono
Mide una vuelta completa.
Un ángulo de un cuarto de vuelta mide 90º.
Recuerda
Las partes de un ángulo son:
Recuerda
lados
vértice
90º
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491.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.
Los ángulos se pueden denotar como sigue:
Ángulo A: / A Ángulo ROS: / ROS
3 Observa la figura y realiza lo que se pide.
El polígono cuyos vértices son lospuntos A, B, C, D y E es un pentágonoregular al que se le han trazado susdiagonales.
a) Anota los ángulos iguales a /CAD. /ADB
b) Anota los ángulos iguales a /BAE.
c) Anota los ángulos iguales a /EFA.
d) Compara las respuestas anteriores con las de tus compañeros y compañeras. Si hay diferencias, discutan para encontrar la respuesta correcta. Argumenta tus opi-niones.
4 Lee el siguiente texto.
El sextante es un instrumento que permite medir ángulos entre dos puntos distantes, como una estrella y el horizonte. Este aparato es muy útil en navegación porque, si se cono-ce la elevación del Sol y la hora del día, es posible determi-nar la latitud a la que se encuentra el observador.
• Investiga el significado de latitud.
B
A
G
I
DC
E
JH
F
A
R
O
S
Recuerda
La diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no contiguos.
Hombre usando un sextante.
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50
a) Primero abrió el compás a la medi-da del radio del círculo.
c)
e) Entonces trazó el lado que faltaba del ángulo del sector verde.
b)
d)
f) Por último coloreó su dibujo y pegó las calcomanías.
L e c c i ó n 1 3
Reproducción de ángulos
1 En parejas realicen lo siguiente:
• Cada uno dibuje en una hoja un círculo dividido en cuatro ángulos centrales de distintas medidas.
• Intercambien sus círculos. • Reproduzcan en sus cuadernos el círculo de su pareja usando sólo regla y compás.
2 Observa el método que Antonio siguió para reproducir el escudo sólo con
regla y compás. Redacta la explicación en los pasos donde no la haya.
3 Copia el escudo en tu cuaderno siguiendo el método de Antonio. Utiliza regla
y compás. Comparen el método de Antonio con los que utilizaron tú y tu
pareja en la actividad 1.
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51
4 Copia los ángulos en tu cuaderno. Utiliza regla y compás.
a) b) c)
5 Revisa la información.
Cuando un rayo de luz o láser llega a un espejo, se refleja con el mismo ángulo con el que llegó (el ángulo de incidencia es igual que el ángulo de reflexión).
Observa cómo se refleja un rayo en una caja de espejos:
Usando sólo regla y compás, dibuja la trayectoria del rayo en la caja de espejos.
6 Junto con su profesor o profesora revisen los métodos utilizados en el grupo para
responder el inciso b) de la página 19 y elijan el mejor o busquen uno más eficiente.
1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos.
Pista: Puedes trazar circunferenciascon centro en los vérticesde los ángulos.
Ángulo de reflexión
Ángulo de incidencia de reflexiónde incidencia de reflede incidencia de ref
Fuente de luz
Fuente
de luz
Para reproducir ángulos pueden usarse la regla sin graduar y el compás.
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52
Estimación y medición de ángulos
1 Observa las fotografías y escribe la medida aproximada de los ángulos que se
señalan.
a) b) c)
d) e) f)
2 En grupo, revisen las estrategias que utilizaron para estimar la medida de cada
ángulo; elijan las que les parezcan más acertadas.
3 Mide los ángulos de la actividad 1. Escribe a continuación las medidas.
a) b) c) d) e) f)
L e c c i ó n 1 4
La unidad para medir ángulos es el grado; se divide en 60 minutos y cada minuto se divide en 60 segundos. 1 grado = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos
Los grados, minutos y segundos se denotan como sigue: 1 grado, 1° 1 minuto, 1’ 1 segundo, 1’’
El transportador se utiliza paramedir ángulos. Durante lamedición, es importante hacercoincidir el vértice del ángulocon el centro del transportador y uno de los lados con la marca de 0°.
0020
30
40
50
60
708090
10
110
120
130
140
150
160
170
180
100
Medida del ángulo
Marca de 0º
Centro del
transportador
Una vuelta com-pleta equivale a 360 grados.
Recuerda
Observa
Si prolongas los lados de un ángulo, la medida del ángulo se conserva.
/ /
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53
4 Contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántos minutos equivalen a medio grado?
b) ¿Qué parte de un grado son 45 minutos?
c) ¿Cuántos segundos equivalen a un grado?
d) Un ángulo mide 34.4 grados (es decir, 34 grados y 4 décimas de grado); Antonio dice que su medida es 34º y 40’, Miguel dice que es 34º y 4´ y Julio dice que el ángulo mide 34º y 24’. ¿Quién tiene razón y por qué?
e) Si un ángulo mide 2 718 minutos, ¿cuál es su medida en grados y minutos?
5 Lee la información y responde.
a) ¿Cuántos segundos hay en una hora?
b) Antonio hizo un escudo en 1 hora y 15 minutos, mientras que Verónica tardó
75 minutos en dibujar el suyo ¿Quién tardó más? ¿Por qué?
c) Juan terminó un videojuego en 3’ 43’’. Si Víctor lo terminó en 4’ 15’’, ¿cuánto
tiempo más tardó?
d) Una película en DVD dura 1 h, 25’ y 12’’, pero además tiene 30’ y 19’’ de
entrevistas. ¿Cuánto dura el disco completo?
e) En una carrera de relevos los miembros de un equipo hicieron estos tiempos de
manera individual: 1’ 15’’, 1’ 17’’,1’ 13’’ y 1’ 7’’. Si antes hicieron 5’ 26’’ en total,
¿con cuántos segundos mejoraron su marca? 6 Recuerda las características de un cuadrado y mide los ángulos necesarios para
resolver el reto del inciso b) de la página 46.
El minuto y el segundo también son unidades de tiempo. 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos
1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.
de nuevoel reto
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54
L e c c i ó n 1 5
A
B A
BA
B
A
B
C
ABC
E F
Rectas, semirrectas y ángulos
1 Observa cómo se denotan algunos elementos geométricos.
Recta AB Semirrecta AB Ángulo ABC Segmento AB
/ABC AB
• Realiza lo que se pide con base en los siguientes puntos.
Traza: , , , , CE, EA y BE.
• Contesta y justifica tus respuestas.
a) ¿Es lo mismo que ?
b) ¿Es igual que ?
c) ¿Es lo mismo que ?
d) ¿Es igual que ?
e) ¿Cuánto suman las medidas del /DEB y el /BEF?
f) ¿El punto B pertenece a o a ?
D
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551.5. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas
paralelas, perpendiculares y oblicuas.
2 Traza las diagonales que faltan en este hexágono regular.
A partir de los vértices del hexágono, contesta lo siguiente:
a) Menciona dos pares de rectas que no se crucen. AB y DE, AE y BD _____
b) Menciona tres pares de rectas que se crucen.
c) Menciona tres pares de rectas que formen ángulos rectos.
d) Menciona tres rectas que no se crucen.
e) ¿Todas las rectas que se cruzan forman ángulos rectos?
3 Observa las parejas de rectas y escribe la definición de cada una.
Rectas paralelas Rectas oblicuas Rectas perpendiculares
a) Rectas paralelas: __________________________________________________________
b) Rectas oblicuas: ___________________________________________________________
c) Rectas perpendiculares: ____________________________________________________
F
C D
EB
A
Recuerda
Los ángulos rectos se seña-lan así:
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56
L e c c i ó n 1 6
Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice
1 Observa las figuras y realiza lo que se pide.
a) Dibuja en tu cuaderno un rectángulo con sus dos diagonales de las medidas que quie-ras. Marca los vértices y el punto en el que se cruzan las diagonales con las mismas letras que las figuras de arriba.
b) Completa la siguiente tabla con las medidas de los ángulos de las figuras.
Figura 1 2 3 4 Tu figura
]AED
]DEC
]AED + ]DEC
]AEB
]AED + ]AEB
c) Reúnete con un compañero o compañera y comparen sus respuestas del inciso b). Después observen la siguiente figura y expliquen cómo se puede saber si las medidas de los ángulos son incorrectas, sin medir ninguno.
2 Calcula, sin realizar ninguna medición, los valores que se piden.
a) ]AEB 5 b) ]BEC 5
c) ]DEC 5
B A
DC
E
B A
DC
E
B A
DC
E
B A
DC
E
Figura 1
Figura 4
Figura 2
Figura 3
45˚50˚130˚
128˚
75˚
B A
DC
E
] a denota lamedida del ángulo a.
a
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571.5. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el
vértice y adyacentes.
3 Observa los ángulos y completa las expresiones.
]1 1 ]2 5
]1 1 ]4 5
]2 5 ]4 porque
4 Observa los ángulos de la figura de la derecha y señala con
una la casilla que corresponde. Fíjate en los ejemplos.
• Compara las respuestas con las de tus compañeros y compañeras.
5 Observa las figuras y define en tu cuaderno ángulos opuestos por el vértice y ángu-
los adyacentes.
Son ángulos opuestos por el vértice: No son ángulos opuestos por el vértice:
Son ángulos adyacentes No son ángulos adyacentes
• Muestra tus definiciones al resto del grupo y busquen las mejores.
6 Comenten en parejas cómo son las medidas de los ángulos opuestos por el vértice.
Revisen de nuevo el reto del c) de la página 46 y expliquen cuál es la solución.
1
3
4 2
A
B
C
D
E
FO
Vértice
común
Lado
común
Un lado de cada
ángulo se encuentra
en la misma recta
Los dos lados se
encuentran en las
mismas rectas
/BOA y /FOA
/BOC y /FOA
/AOF y /ADE
/DOC y /FOA
/DOC y /BOC
/AOB y /DOC
/BED y /DEF
/BOF y /AOF
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58
L e c c i ó n 1 7
l1
l2
12
4
56
87
3
Paralelas cortadas por una transversal
1 Analiza la figura, realiza lo que se pide y contesta las preguntas. Después
compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros.
a) Comprueba con una regla que las líneas rojas son rectas.
b) Si la medida del /ABC fuera mayor que la medida del /ADE, ¿ y se cruzarían
al prolongarse? __________ ¿De qué lado lo harían?____________________________
c) Si la medida del /ABC fuera menor que la medida del /ADE, ¿ y se cruzarían
al prolongarse? ________ ¿De qué lado lo harían? _________________________
d) Si la medida del /ABC es igual que la medida del /ADE, ¿ y se cruzarían
al prolongarse? _______ ¿Son paralelas?______________________________________
Si p1 y p
2 son paralelas y t es una transversal,
los ángulos a y b miden lo mismo.
Los ángulos a y b son correspondientes.
2 Anota las parejas de ángulos correspondientes y opuestos por el vértice.
Parejas de ángulos correspondientes:
a) /1 y _____ b) /2 y ______
c) /3 y _____ d) /4 y ______
Parejas de ángulos opuestos por el vértice:
e) /1 y _____ f) /2 y _______
g) /5 y _____ h) /6 y ______
3 Formen equipos de cuatro o cinco integrantes, contesten las siguientes preguntas
en sus cuadernos y escriban una definición de ángulos correspondientes.
a) ¿Los ángulos correspondientes se encuentran del mismo lado de la transversal?b) ¿Los ángulos correspondientes se encuentran dentro de las líneas paralelas, fuera,
o uno dentro y otro fuera?c) ¿Los ángulos correspondientes tienen lados sobre la misma recta?
E
A
C
B
D
a
b
t
p2
p1
l1 y l
2 son paralelas.
Observa
Una línea transversal es la que cruza o corta a otras.
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591.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
4 Calcula la medida de los ángulos que se indican.
]a 5 ________ ]b 5 ________
]c 5 ________ ]d 5 ________
]e 5 ________ ]f 5 _________
]g 5 ________
m1 y m
2 son paralelas.
5 Lee la información y contesta.
Si p1 y p
2 son paralelas y t es una transversal,
los ángulos a y b son alternos internos y los ángulos c y d son alternos externos.
a) ¿Cuál es la diferencia entre los ángulos alternos internos y los alternos externos?
b) ¿En qué se parecen los ángulos alternos internos a los alternos externos?
6 Anota las parejas de ángulos que se piden y contesta.
a) Parejas de ángulos alternos internos:
/3 y /4 y
b) Parejas de ángulos alternos externos:
/1 y /2 y
c) ¿Cómo son las medidas de los ángulos alternos internos?
d) ¿Cómo son las medidas de los ángulos alternos externos?
7 Define en tu cuaderno ángulos alternos internos y ángulos alternos externos.
Compara tus definiciones con las de tus compañeros y compañeras.
54
1
2
3
8
6
7s1
s2
a
b d
e
f
g
c
105º
m1
m2
a
bc
d
t
p2
p1
• Explica en tu cua-derno cómo se calcula la medida de los ángulos que se forman por dos paralelas cortadas por una transversal si se conoce uno de ellos.
s1 y s
2 son paralelas.
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60
L e c c i ó n 1 8
Ángulos interiores de triángulos
1 Traza en una hoja un triángulo cualquiera y realiza lo que se pide.
2 Contesta. Después compara tus respuestas con las del resto del grupo.
En el triángulo ABC se trazó la línea m, paralela a la base BC. Entonces, m y BC son paralelas.
y son transversales a las paralelas m y .
a) Menciona los ángulos interiores del triángulo.
b) ¿Cuánto suman las medidas de /x, /BAC y /y?
c) Mide /x y /ABC. ¿Cómo son estas medidas?
¿Por qué?
d) ¿Cómo son las medidas de /y y /ACB?
e) Con base en lo anterior, completa la siguiente expresión.
]x 1 ]BAC 1 ]y 5 180º
1 ]BAC 1 5
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
b) Recorta el triángulo en tres partes de mane-
ra que cada ángulo quede en una de ellas.
a) Colorea los ángulos internos de distin-tos colores.
c) Coloca los ángulos de manera que sean adyacentes, como muestra la figura de la derecha. i) ¿Cuánto suman las medidas de los tres
ángulos? ii) ¿Sucede lo mismo con los triángulos
de tus compañeros?
A
B C
yxm
En la lección an-terior estudias-te cuánto suman las medidas de los ángulos alternos internos en dos rectas paralelas cruzadas por una transversal.
Recuerda
SDAMAT2-B01-080219.indd 60 3/14/11 12:10 PM
611.6. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos.
1208
268x
3 Calcula el valor de los ángulos que se indican.
a) b)
]x = _______ ]z = __________
c) d)
]s = _______ ]t = __________
4 Observa la figura y explica por qué el /ACB mide 328.
5 Contesta y justifica tus respuestas.
a) Si los ángulos de un triángulo equilátero son iguales, ¿cuánto mide cada uno?
b) Los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto. Si uno de los ángulos agudos
de un triángulo rectángulo es de 32º, ¿cuánto mide el otro ángulo agudo?
c) ¿Cuántos ángulos obtusos puede tener un triángulo?
d) Los triángulos isósceles tienen dos ángulos iguales. Si un triángulo rectángulo también
es isósceles, ¿cuánto miden sus ángulos?
508558
z
1248
368
s
908
278
t
120º152º
C
B
A
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62
L e c c i ó n 1 9
Ángulos interiores de cuadriláteros
1 Consulta en un diccionario el significado de la palabra colateral. Después
examina la información y contesta.
Si p1 y p
2 son paralelas y t es una transversal:
• Los ángulos a y c son colaterales externos.• Los ángulos b y d son colaterales internos.
a) Anota las parejas de ángulos colaterales externos.
/1 y /4 y
b) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos
colaterales externos?
c) Anota las parejas de ángulos colaterales internos: /2 y /3 y
d) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos colaterales internos?
2 Observa el paralelogramo y contesta.
a) Considerando AD la transversal que corta las paralelas AB y CD,
¿qué tipo de ángulos son /DAB y /CDA?
b) ¿Cuánto suman ]DAB y ]CDA?
c) ¿Cuánto suman ]DAB y ]ABC?
d) ¿Cómo son /DAB y /DCB?
Los paralelogramos son cuadriláteros con lados opuestos paralelos.
Romboide Rombo Rectángulo Cuadrado
1
4
3
2
5
8
7
6
a
bd
c
t
p2
p1
Recuerda
A D
B C
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631.6. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los cuadriláteros y, en particular, de los paralelogramos.
3 Calcula las medidas de los ángulos que se indican en los paralelogramos.
a)
i) ]ABC 5
ii) ]CDA 5
iii) ]DAB 5
b)
i) ]EFG 5
ii) ]FGH 5
iii) ]HEF 5
c)
i) ]LIJ 5
ii) ]IJK 5
iii) ]KLI 5
4 Reúnete con un compañero o compañera y observen la figura. Determinen
cuánto suman los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero y anoten por qué.
F
E
G
H
117º
I
L
J
K
B A
C D
678
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J u e g o s y r e t o s
64
Cubos al cubo
El templo de Apolo
Se cuenta que en la Antigüedad, en el año 429 a. n. e. (antes de nuestra era), la peste asoló la ciudad de Atenas; para acabar con ella, se envió un mensaje-ro a preguntar al oráculo de Apolo, en Delfos, qué se debía hacer.
El oráculo indicó que para combatir la epidemia debían construir un altar con forma de cubo a Apolo, igual que el que ya existía, también cúbico, pero con el doble de volumen.
Los atenienses construyeron un altar que midió el doble de largo, de fondo y de altura, pero no cumplieron con la pe-tición del oráculo. ¿Por qué?
Las fichas disjuntas
Para jugar a Las fichas disjuntas necesitas algunas fi-chas, que pueden ser círculos de cartulina, semillas o monedas iguales. El tablero será el desarrollo de un cubo, como el que se muestra a la derecha.
Reglas
1 Se juega en parejas.2 Por sorteo se decide quién inicia la partida; éste coloca una ficha en alguna de las
caras del cubo.3 El segundo jugador o jugadora coloca otra ficha de manera que no quede en una
casilla contigua a otra ya ocupada por una ficha. Por casilla contigua se entiende aquella con la que comparte un lado.
4 Los participantes siguen tirando fichas por turnos. Pierde quien, por obligación de jugar o por descuido, coloca una ficha en una casilla contigua a otra ocupada.
El juego puede complicarse si unes varios tableros. Por ejemplo:
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65
El templo de Apolo
• En equipos elaboren cubos de cartulina del mismo tamaño.
• Construyan un cubo grande con ocho cubos.
• Contesten y justifiquen sus respuestas.
• Si los cubos pequeños son una unidad, ¿cuál es el volumen del cubo grande? • ¿Cuántos cubos necesitan para duplicar el largo, el ancho y la altura del
cubo grande? • Digan qué debieron hacer los atenienses para construir el altar.
Guarden sus cubos porque los usarán en lecciones posteriores.
Las fichas disjuntas
• Dibuja dónde pondrías la ficha para ganar lo más pronto posible.
ESTRATEGIA
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66
L e c c i ó n 2 0
Factor de proporcionalidad I
1 Lee el texto y realiza lo que se pide.
Laura sacó fotocopias, de distintos tamaños, de una fotografía del templo de Apolo en Corinto.
a) Mide las dimensiones de las figuras anteriores y anótalas en la tabla.
b) Contesta.
i) ¿En qué copia las dimensiones son la mitad de las del original?
ii) ¿En qué copia las dimensiones miden cinco cuartas partes de las del original?
iii) ¿En qué copia las dimensiones miden tres cuartas partes de las del original?
c) Escribe las fracciones y simplifícalas.
Largo
Copia 1 48
5
12
Copia 2
5
Copia 3
5
Original Original Original
Ancho
Copia 1
5
Copia 2
5
Copia 3
5
Original Original Original
Copias
Original 1 2 3
Largo (cm) 8Ancho (cm) 4
Copia 1
Original
Copia 2
Copia 3
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671.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
d) Contesta.
i) ¿Qué relación encuentras entre las fracciones de cada copia?
ii) ¿Existe una relación de proporcionalidad entre las dimensiones de la fotografía y las
de las copias? ¿Por qué?
Al dividir las dimensiones de una copia a escala entre las correspondientes del original, se obtiene una constante llamada factor de proporcionalidad.
e) Comprueba que al multiplicar las dimensiones del original por el factor de propor-cionalidad obtienes las dimensiones de la copia.
Largo Ancho
Original 8 4
Copia 1 8 x 1 = 8 = 4 2 2Copia 2
Copia 3
f) Contesta.
i) ¿Por cuánto se debe multiplicar el ancho del original para obtener el ancho de la co-
pia 1?
ii) ¿Por cuánto se debe multiplicar el largo de la copia 1 para obtener el largo del
original?
iii) ¿Podrías obtener el largo de la copia 1 dividiendo el largo del original entre algún
número? ¿Entre cuál?
12 es el inverso multiplicativo de 2. Dividir un número entre 2 es igual que mul-
tiplicarlo por 12
. 2 es el inverso multiplicativo de 12
. Dividir un número entre 12
es igual que multiplicarlo por 2.
g) Anota los inversos multiplicativos de los factores de proporcionalidad de las copias 2 y 3.
Factor de proporcionalidad Inverso multiplicativo
Copia 2
Copia 3
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68
L e c c i ó n 2 1
Factor de proporcionalidad II
1 Encuentra las longitudes que faltan en estas figuras a escala y completa las
expresiones.
a)
|AB| = 8 cm
|DE| = 4 cm
|DF| = 3 cm
|BC| = 10 cm
i) |AC| = _______, |EF| = _________
ii) Para calcular |AC| se multiplica |DF| por
iii) |AC| también se obtiene dividiendo |DF| entre
iv) Multiplicar por es igual que dividir entre
b)
|BC| = 4 cm
|FG| = 6 cm
|BA| = 3 cm
|EH| = 4.5 cm
|HG| = 5.1 cm
i) |FE| = _______, |AD| = _________, |CD| = ________
ii) Para calcular |FE| se multiplica |BA| por
iii) |FE| también se obtiene dividiendo |BA| entre _____
iv) Multiplicar por _____ es igual que dividir entre _____
2 Escribe las divisiones como multiplicaciones y resuélvelas.
Divisiones Multiplicaciones Resultado
a) 2 1
53 4 2 2 × 3
2 =
b) 3 5
54 4 6
c) 2 1
53 4 5
F
D EA B
C
CB
A D
F
EH
G
|AB| signifi-ca la longi-tud de AB.
Observa
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69
3 Completa las tablas y escribe los factores de proporcionalidad.
a) Un automóvil se desplaza a una b) Un queso pesa 34 kg. velocidad constante de 70 km/h.
c) Para hacer un flan para seis personas se necesitan 34 , de leche, 300 g de azúcar, tres huevos y seis yemas de huevo.
4 Lee la información y contesta en tu cuaderno.
El impuesto al valor agregado (IVA) de un artículo es el 15% de su precio. Si se conoce el precio sin IVA de un artículo, el precio con IVA puede calcularse multiplicando el precio por 1.15. Por ejemplo, si un artículo cuesta $60.00, el precio con IVA es $60.00 × 1.15 = $69.00.
a) ¿Cómo se calcula el precio sin IVA de un artículo conociendo su precio con IVA?
b) Algunas calculadoras tienen la tecla 1/3 . Investiga para qué sirve esta tecla y cómo puedes usarla para contestar la pregunta anterior.
Tiempo Distancia
5 56 km1
Quesos Peso
11 21
3 1 51
10 minutos 1
12 minutos
1 hora 31
17 1 km 21
1 1 kg21
2 1 41
2 1 kg41
1
3
3 3
3
Personas 6 8
Leche (<)
Azúcar (g) 750
Huevos
Yemas
huevo10.5
IC
T
1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
1 12
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70
L e c c i ó n 2 2
Proporcionalidad múltiple I
¿Recuerdas que en la página 65 pedimos que elaboraras dos cubos?
Consideremos que los lados de las caras del cubo pequeñomiden una unidad (u); entonces, el cubo pequeño es unaunidad cúbica (u3).
1 Examina las figuras, completa las tablas y escribe los factores que faltan.
a)
b)
c) Contesta.
¿Qué pasa con el volumen de un prisma si duplica
una de sus dimensiones?
Dimensiones
Largo Fondo Altura Volumen
2 2 2 8
3 2 3 1 3 1 3
4 2
3 3 3 3 1 3
Dimensiones
Largo Fondo Altura Volumen
2 2 2
3 1 3 3 3 1 3
2 2
3 1 3 3 1 3
2
Altura
Largo
Fondo
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71
2 Observa qué pasa con las dimensiones de los prismas, completa las tablas y
escribe los factores que faltan.
a)
b)
c)
d) Contesta las preguntas. Después compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras.
i) ¿Qué pasa con el volumen de un prisma si se duplican dos de sus dimensiones?
ii) ¿Qué pasa con el volumen de un prisma si una de sus dimensiones se duplica
y otra se triplica?
iii) ¿Qué pasa con el volumen de un prisma si se duplican tres de sus dimensiones?
3 Explica en tu cuaderno qué igualdad es cierta y por qué.
1 dm3 = 1 000 cm3 o 1 dm3 = 10 cm3
Dimensiones
Largo Fondo Altura Volumen
3 3 3 3
Dimensiones
Largo Fondo Altura Volumen
3 3 3 3
Dimensiones
Largo Fondo Altura Volumen
3 3 3 3
1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.
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72
L e c c i ó n 2 3
Proporcionalidad múltiple II
1 Lee con atención el problema.
Se calcula que 40 , de agua son suficientes para tres niños que van de excursión duran-te dos días. ¿Cuántos litros de agua son necesarios para seis niños que van de excursión durante ocho días?
a) Contesta.
i) Si el número de niños aumenta el doble, ¿qué sucede con los litros de agua
necesarios?
ii) ¿El número de niños y los litros de agua son magnitudes directamente proporcionales?
¿Por qué?
iii) Si el número de días de excursión disminuye a la mitad, ¿qué sucede con los litros de
agua necesarios?
iv) ¿Los días de excursión y los litros de agua son magnitudes directamente proporcionales?
¿Por qué?
b) Forma un equipo de cuatro o cinco integrantes y propongan un método para resolver el problema, pero antes planteen una estimación del resultado. Comparen el método que en-contraron con los de los demás equipos.
c) Completa la tabla para calcular cuántos litros de agua se requieren para 72 niños y 12 días de excursión.
3
Niños
Días de
excursión Litros de agua
3 2 40
72 2
3
72 12
3 3
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73
2 Completa las tablas y resuelve los problemas.
a) Edith compra dos bolsas de comida para alimentar tres gatos durante dos sema-nas. ¿Cuántas bolsas iguales son necesarias para alimentar 12 gatos durante cinco semanas?
Son necesarias bolsas.
b) Si para elaborar cinco pasteles de 34 kg cada uno se emplean 2 kg de huevo,
¿cuántos kilogramos de huevo se requieren para hacer 21 pasteles de 1 12 kg cada
uno?
Se requieren kg de huevo. 3 Resuelve el problema.
Si por seis rollos de tela de 50 m se pagan $800.00, ¿cuánto cuestan ocho rollos de 30 m?
Ocho rollos cuestan $
Los problemas en donde aparecen varias parejas de magnitudes que se relacio-
nan de manera proporcional son problemas de proporcionalidad múltiple.
Gatos Semanas
Bolsas
de comida
3 2 2
3
3 3
3
3
3
1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.
3
3
Pasteles
Peso de cada
pastel (kg)
Kilogramos
de huevo
53
412
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74
L e c c i ó n 2 4
Problemas de conteo I
1 Contesta las siguientes preguntas sobre el juego Las fichas disjuntas de la página 64.
a) ¿De cuántas maneras distintas se puede iniciar el juego con un solo tablero?
b) ¿Cuál es el mayor número de fichas disjuntas que pueden colocarse en un solo
tablero?
c) ¿Cuál es el menor número de fichas disjuntas que pueden colocarse en un solo
tablero?
2 Observa estos tableros.
Los tableros están llenos, ya que no es posible poner una ficha disjunta más.
a) Estima cuántos tableros llenos distintos puede haber.
b) Compara tu estimación con las de tus compañeros y compañeras. Después di-
bujen en sus cuadernos los distintos tableros llenos y contesten.
i) ¿Hay un tablero lleno con tres fichas?
ii) ¿Hay un tablero lleno con cinco fichas?
iii) Si jugaras con un solo tablero, ¿preferirías iniciar el juego? ¿Por qué?
3 Observa la variante del juego y contesta.
Considera que se agrega una casilla al tablerocomo se muestra a la derecha.
a) ¿De cuántas formas puede iniciarse el juego?
b) ¿Cuántos tableros llenos hay con tres fichas?
c) ¿Cuántos tableros llenos hay con cuatro fichas?
d) ¿Te gustaría iniciar el juego con este tablero? ¿Por qué?
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4 Lee el siguiente problema.
En un edificio nuevo hay cinco departamentos, cada uno con un lugar para estacionamiento. Por el momento, sólo se han ocupado dos departamentos: el de Sandra y el de Juan, quienes pueden colocar su automóvil en cualquie-ra de los cinco lugares.¿De cuántas maneras pueden hacerlo?
a) Si hubiera dos lugares, ¿de cuántas maneras podrían estacionarse?
b) Si hubiera tres lugares, ¿de cuántas maneras podrían estacionarse?
Completa el siguiente diagrama de árbol para comprobar tu respuesta.
5 automóvil de Sandra
5 automóvil de Juan
c) ¿De cuántas maneras podrían estacionarse si hubiera cuatro lugares?
d) ¿De cuántas maneras es posible que Sandra y Juan se estacionen en los cinco
lugares?
e) Comprueba tus respuestas de las dos preguntas anteriores elaborando diagramas
de árbol en tu cuaderno.
f) Si llega otro vecino, ¿serán más o menos las maneras en que podrían estacionar sus
automóviles en comparación con el caso anterior? ¿Por qué?
¿De cuántas formas podrían estacionarse?
g) Si llega un cuarto vecino, ¿cuántas posibilidades tendrán de estacionarse?
h) ¿De cuántas formas pueden estacionarse los cinco vecinos?
1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resul-
tados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.
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76
Problemas de conteo II
1 Lee el problema y contesta.
Desde su casa, Juan puede ver la ventana del departamento de Sandra. Ella se comunica en clave con Juan usando cinco toallas de colores (amarilla, blanca, verde, rosa y café). La joven cuelga dos toallas en su ventana y el mensaje depende del color y el orden en que las ponga. ¿Cuántos mensajes le puede enviar Sandra a Juan?
a) Si Sandra sólo tuviera dos toallas, ¿cuántos mensajes podría enviar a Juan?
b) Si tuviera tres toallas, ¿cuántos mensajes de dos toallas podría recibir Juan?
Comprueba tu respuesta completando el siguiente arreglo.
a = amarilla, b = blanca, v = verde
c) ¿Por qué están sombreados algunos cuadros del arreglo rectangular anterior?
d) Determina cuántos mensajes puede enviar Sandra con cuatro toallas. Escribe
tu c álculo.
e) Determina cuántos mensajes puede recibir Juan con cinco toallas. Escribe
tu c álculo.
f) Completa el siguiente arreglo para saber cuántos mensajes puede enviar Sandra
con cinco toallas.
a = amarillab = blancav = verder = rosac = café
g) ¿El arreglo anterior es útil para saber cuántos mensajes puede enviar Sandra con
cuatro toallas? Explica.
h) Anota una fórmula para calcular cuántos mensajes se pueden enviar con n
toallas.
a b v r c
a
b
v
r
c
a b v
a (a, b)b
v
L e c c i ó n 2 5
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77
i) Si el orden de las toallas no es importante, ¿cuántos mensajes recibirá Juan con
cinco toallas.
j) Escribe una fórmula para estimar cuántos mensajes es posible enviar con n
toallas si no importa el orden.
2 Resuelve los siguientes problemas.
a) En una fiesta se encontraron tres amigos. Si cada uno saludó de mano a los otros
dos, ¿cuántos apretones de mano hubo?
b) Si después llegó otro amigo y saludó igual a los otros tres, ¿cuántos apretones de mano
hubo en total?
c) ¿Cuántos apretones de mano hubo con cinco amigos?
d) Observa el esquema de la izquierda. ¿Es útil
para verificar cuántos apretones de mano
hubo entre tres amigos?
e) Completa el esquema para determinar cuántas veces se dieron la mano cuatro
amigos, y contesta.
i) ¿Cuántos segmentos tocan cada punto?
ii) Si multiplicas los segmentos que tocan cada
punto por el número de puntos, ¿obtienes el
total de segmentos?
iii) ¿Con qué operaciones puedes calcular el total
de segmentos?
f) En tu cuaderno, elabora esquemas para verificar cuántos apretones de mano
hubo entre cinco, seis y siete amigos.
g) Escribe una fórmula para determinar cuántos apretones de mano se dan n
amigos.
3 Lee de nuevo el problema del inciso d) de la página 19 y determina si ahora
conoces mejores estrategias para resolverlo.
1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resul-
tados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.
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78
L e c c i ó n 2 6
Polígonos de frecuencia I
1 Lee el texto, observa la gráfica y contesta.
Juan y Sandra jugaron toda la semana a Las fichas disjuntas con dos tableros; éstos fue-ron los resultados:
a) ¿Qué día ganó Juan tres juegos?
b) ¿Cuándo ganó Sandra nueve juegos?
c) ¿Qué días ganó Sandra más de seis juegos?
d) ¿Qué días ganaron el mismo número de juegos?
e) ¿Quién y cuándo no ganó ningún juego?
f) ¿Qué días jugaron más de siete juegos?
g) ¿Qué días jugaron menos de cinco juegos?
h) ¿Cuál es la mayor diferencia de juegos ganados en un día?
0
2
4
6
8
10
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Día
Juegos ganados
JuanSandra9
7
5
3
1
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79
En la gráfica anterior se encuentran dos polígonos de frecuencia como los que estudiaste en primer grado. Cuando se grafican dos o más polígonos de frecuencia en el mismo plano, es más fácil comparar las variables.
2 Observa la grafica y contesta.
Fuente: www.inegi.gob.mx
a) ¿En qué años produjo Brasil más que los otros dos países?
b) ¿Cuándo produjo México más que los otros dos países?
c) ¿En qué año la producción de Italia y México fue casi igual?
d) ¿En qué año presenta México mayor crecimiento en su producción de vehículos?
e) De 1999 a 2000 México y Brasil presentaron un crecimiento en la producción
de vehículos, ¿cuál de los dos crecimientos fue mayor? ¿Por qué?
f) Explica en tu cuaderno cuál es la diferencia entre la situación de producción de
vehículos que se presentaba en 1997 y la de 2005.
3 Compara tus respuestas de la actividad anterior con las de tus compañeros y
compañeras. Sobre todo, comenten cómo resolvieron las preguntas e) y f).
Brasil ItaliaMéxico
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Año
Miles
de vehículos
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Producción de automóviles en Italia, México y Brasil
1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.
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80
L e c c i ó n 2 7
Polígonos de frecuencia II
1 Analiza la tabla y traza las gráficas de población masculina y femenina de
nuestro país. Anota los valores del eje de los abscisas.
Año Hombres Mujeres1950 12 696 935 17 415 3201960 13 094 082 17 415 3201970 24 065 614 24 159 6241990 39 893 969 41 355 6761995 44 900 499 46 257 7912000 47 592 253 49 891 1592005 50 249 955 53 013 433
Fuente: www.inegi.gob.mx
• Contesta
a) ¿En qué año se registró mayor diferencia entre la población masculina y femenina?
b) ¿Cuándo hubo menor diferencia entre la población masculina y femenina?
c) Escribe una estimación de la población masculina en 1980.
d) Escribe una estimación de la población femenina en 1980.
e) De acuerdo con la tendencia de la gráfica, escribe una estimación de la población
masculina y femenina en 2020.
Nú
mer
o de
per
son
as (
mil
lon
es)
1950 1960 1970 1990 1995 2000 2005
Población de México
Año
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2 Lee la información. Después observa la gráfica y contesta.
Tasas de natalidad y mortalidad
La tasa de natalidad de una población es el número de nacimientos por cada 1 000 habitantes en un año determinado.
La tasa de mortalidad de una población es el número de defunciones por cada 1 000 habitantes en un año determinado
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 20500
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Tasa
s (p
or m
il)
Tasa de natalidad
Tasa de mortalidad
Año
Fuente: Estimaciones y proyecciones del Consejo Nacional de Población basadas en estimaciones
de Collver (1965) y Zavala (1989).
a) ¿Cuándo aumentó la tasa de mortalidad y qué acontecimientos ocurridos en nuestro país
influyeron para que esto sucediera?
b) De acuerdo con la gráfica, ¿en qué años la población presentó crecimiento y en
qué años presento decremento?
c) ¿En qué año la población presenta mayor crecimiento?
d) Las políticas de planificación familiar redujeron el número de nacimien-
tos. De acuerdo con la gráfica, ¿en qué años se presentó esta tendencia?
e) Elabora en tu cuaderno una gráfica de crecimiento de la población de acuerdo
con los datos anteriores.
3 Investiga el crecimiento de la población y las proyecciones para 2050 y
compáralos con la gráfica que elaboraste en la actividad anterior. Para ello
puedes consultar los sitios www.inegi.gob.mx. y www.conapo.gob.mx
Para interpretar gráficas poligonales debemos fijarnos en las relaciones entre los valores que se grafican.
1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.
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82
T I C
Gráficas poligonales con la hoja de cálculo
En esta actividad utilizarás una hoja de cálculo para elaborar gráficas poligonales.
Supongamos que quieres graficar el número de minutos de televisión que ven a diario tú y tu amigo.
Abre la hoja de cálculo y registra los datos.
Selecciona los datos que quieres graficar.
En el menú escoge Insertar . Gráfico y apare-cerá el asistente para gráficos. En Tipo de gráfico escoge la opción Líneas.
Presiona Siguiente dos veces y aparecerá un cuadro de diá-logo donde puedes asignar título a la gráfica y nombre a los ejes. Presiona Finalizar.La gráfica aparecerá en la hoja.
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83
R e c r e a c i ó n
En el siguiente espacio puedes hacer lo que desees: un dibujo, un rompecabezas, un problema interesante, un cuento, un acertijo, una gráfica original, un juego…
La única condición es que emplees los conocimientos que adquiriste en este blo-que. A continuación te damos algunas sugerencias:
• Un dibujo como el cuadro de Picasso, donde haya ángulos y figuras geométricas.• Un rompecabezas con los bloques de la página 30. • Un cuento en el que los personajes sean monomios y polinomios. • Un problema como el que le planteó el oráculo de Delfos a los atenienses.
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Subraya la respuesta correcta. Después analicen sus resultados. Identifiquen las dificultades.
1 ¿Qué número multiplicado por – 34
da 35
?
a) 12 b) – 4
5 c) 45 d) – 4
3
2 La suma de cualesquiera cinco números consecutivos siempre es divisible entre:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 10
3 ¿Qué expresión indica el área de la figura?
a) 9x2 + 3 b) 6x + 4 c) 6x2 + 9x + 3 d) 9x2 + 7
4 ¿Cuál es la medida aproximada del siguiente ángulo?
a) 60º b) 100º c) 135º d) 165º
5 ¿Cuánto mide el ángulo A?
a) 32º b) 58º c) 158º d) 148º
A
32º
2x+1
3x+3
84
E v a l u a c i ó n
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6 ¿Cuánto mide el ángulo C?
a) 55º b) 58º c) 60º d) 62º
7 ¿Qué operación tiene el mismo resultado que 43 × 3
2?
a) 32 ÷ 3
4 b) 23 ÷ 4
3 c) 32 × 3
4 d) 23 × 4
3
8 Para preparar tres pasteles de 2 kg cada uno se requieren en total 3 kg de harina. ¿Cuánta
harina se necesita para preparar dos pasteles de 4 kg?
a) 3 kg b) 6 kg c) 4 kg d) 12 kg
9 Un sistema de numeración utiliza estos tres símbolos:
¿Cuántos números de dos símbolos pueden formarse?
a) 2 números b) 9 números c) 4 números d) 6 números
10 En la gráfica está registrado cuántos helados de vainilla y fresa se vendieron durante una
semana en un restaurante.
¿Qué día hubo mayor diferencia entre los helados de fresa y de vainilla vendidos?
a) Lunes b) Martes c) Viernes d) Domingo
80
60
40
20
0LunH
ela
dos
ven
did
os
Mar Mié Jue Vie Sáb Dom
Día
Fresa
Vainilla
C140º
62º
100º
85
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