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Serie Comunidad

1Matemáticas

Portadillas.indd 16 3/18/11 9:48 AM

Dirección de contenidos y servicios educativosElisa Bonilla Rius

Gerencia de publicaciones escolaresFelipe Ricardo Valdez González

Coordinación editorialErnesto Manuel Espinosa Asuar

EdiciónCésar Jiménez EspinosaAlberto Lara CastilloSilvia García Peña

AutoríaApolo Castrejón Villar, Alicia Vicuña Guante,Martha Lilia Reyes Salgador, Ortos SoyuzCastrejón Torres

Revisión técnicaAlfredo Fuad Take GonzálezJuan Antonio Perujo Cano

Coordinación de correcciónAbdel López Cruz

CorrecciónMaría del Carmen Solano, Nina Salazar

Dirección de arte y diseñoQuetzatl León Calixto

Diseño de portadaJuan Bernardo Rosado, Brenda López Romero

Coordinación de iconografía e imagenRicardo Tapia García

ImagenEquipo SM

IconografíaEvelín Ferrer, Fernando Suárez Flores

Coordinación de diagramaciónJesús Arana

DiagramaciónMaría Elena Amaro GuzmánAldo Botello BáezJesús Antonio Díaz de León Castañeda

IlustracionesRafael Tapia Yañez, Aldo Botello Báez, María Elena Amaro Guzmán

FotografíaArchivo SM, Photos.com, Wikimedia.orgCONACULTA.-INAH.-MEX. Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Antropología e Historia, pág. 26

Digitalización y retoqueCarlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni

ProducciónCarlos Olvera, Teresa Amaya

Matemáticas 1SERIE COMUNIDAD

Primera edición, 2008Segunda edición, 2011D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830

ISBN 978-607-471-832-4

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V.

Prohibida su reproducción total o parcial.

Impreso en México/Printed in Mexico

SDAMAT1-B00-080311 3areimp2010.indd 2 3/4/11 12:54 PM

P r e s e n t a c i ó n p a r a e l a l u m n o

¿Te has fijado en todas las cosas maravillosas que existen a tu alrededor y cuánto tienen que ver con las matemáticas? Incluso tú mismo estás lleno de matemáticas.

¿Has visto un arco iris? Es un espectáculo fabuloso, ¿verdad? Ese evento puede explicarse gracias a la geometría: los rayos de luz sufren una desviación al atravesar las gotas de agua y se descomponen en los distintos colores que vemos en el arco iris.

Seguramente alguna vez has observado con algo de molestia el reloj que te despierta justo a las seis de la mañana. Ese reloj también está lleno de matemáticas. ¿A quién se le habrá ocurrido eso de medir el tiempo? Sin duda, su idea nos ha sido de mucha utilidad… Imagínate que en tu escuela dijeran: “Mañana la entrada será por la mañana”. ¿A qué hora llegarías? ¿Y tus compañeros?

Si alguna vez te toparas con una mariposa que tuviera un ala y no dos, de inmediato te darías cuenta de que hay algo raro en ella; esto se debe a que sabes que las mariposas son simétricas, pues tienen dos alas muy parecidas entre ellas.

Ya te estarás dando cuenta de lo mucho que sabes de matemáticas: manejas con cierta facilidad un reloj y reconoces a primera vista lo que es simétrico, entre muchas otras cosas que realizas todos los días y que se basan en tus conocimientos matemáticos.

Como ves, las matemáticas son algo que utilizamos todos los días. Al estudiarlas adquirimos herramientas que nos permiten resolver nuestros problemas cotidianos de una forma más sencilla.

Tu libro Matemáticas 1, de la serie Comunidad, está lleno de juegos que te ayudarán a seguir desarrollando el gusto por la asignatura y por observar las matemáticas en la naturaleza y en tu vida diaria.

Este libro, que se ha desarrollado según los contenidos de los programas oficiales, está hecho especialmente para ti. ¡Disfrútalo!

Los autores


P r e s e n t a c i ó n p a r a l o s m a e s t r o s

Estimado profesor, estimada profesora:El propósito de Matemáticas 1, Serie Comunidad, es servir de apoyo para que los alumnos

aprendan matemáticas por medio de actividades de construcción, al mismo tiempo que desarrollan las competencias que los capacitarán para responder a problemas de la vida real.

En la entrada de cada bloque se presenta una imagen y se plantean problemas detonadores para los que se recomienda una lectura grupal o por equipo con el fin de que los alumnos propongan y compartan estrategias de solución en las cuales apliquen sus conocimientos previos. Estas sesiones grupales son medulares para que los estudiantes asimilen que los conocimientos adquiridos sirven para resolver problemas.

En cada bloque encontrará la sección “Juegos y retos”, diseñada para trabajar en equipo, cuya finalidad es atraer la atención de los alumnos y permitir una aproximación lúdica e interesante a los conocimientos y procedimientos matemáticos que se estudiarán en las lecciones siguientes.

Las lecciones, de dos páginas, se pueden resolver en una o dos sesiones. En ellas se plantean preguntas y ejercicios para que los alumnos expresen, con sus palabras, lo que han aprendido y expongan argumentos. Asimismo, incluyen recuadros de información que permiten contrastar y complementar los conceptos y las estrategias de solución.

Al final de cada bloque se encuentran la secciones “TIC”, ideada para aplicar las tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza de las matemáticas, y “Recreación”, que brinda a los alumnos la oportunidad de expresar de manera creativa lo que han aprendido en el bloque.

En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los aprendizajes esperados con tres innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico.

• Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones considerando la carga horaria del programa vigente;

• para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento; y

• para la evaluación final, enriquecimos el libro con reactivos de opción múltiple que le permitirán detectar, por bloque, el nivel de logro de los aprendizajes esperados en sus alumnos.

Esperamos que este material didáctico sea útil para la construcción de aprendizajes significativos en el aula.

Atentamente

Los autores


B l o q u e 1D o s i f i c a c i ó n

Semana Sesión Lecciones

1

1 Entrada de bloque

2 Los extraterrestres

3 1 Sistema de numeración egipcio4 2 Sistema de numeración babilónico5 3 Sistema de numeración maya

2

6 4 Sistema de numeración romano7 5 Sistemas de numeración con bases distintas8 6 Sistema de numeración decimal9 7 Lectura y escritura de cantidades10 Fracciones y figuras

3

11 8 Fracciones en la recta numérica I12 9 Fracciones en la recta numérica II

13 10 Fracciones en la recta numérica III14 11 Fracciones en la recta numérica IV15 12 Números decimales en la recta numérica

4

16 13 Sucesiones I17 14 Sucesiones II18 15 Sucesiones III19

16 Fórmulas geométricas I20

5

21 17 Fórmulas geométricas II22

18 Simetría I23

24 19 Simetría II

25 20 Simetría III

6

26 La altura de la pirámide

27 21 Proporcionalidad directa I28 22 Proporcionalidad directa II29

23 Reparto proporcional30

7

31 24 Problemas de conteo I32

25 Problemas de conteo II33

34 TIC

35 Recreación

8

36

Repaso y

Primera evaluación bimestral

37

38

39

40



9

41 Entrada de bloque

42 Trimemoria

43 26 Problemas aditivos con fracciones y decimales I44

27 Problemas aditivos con fracciones y decimales II45

10

46 28 Problemas aditivos con fracciones y decimales III47 29 Multiplicación de fracciones I48 30 Multiplicación de fracciones II49 31 Multiplicación de fracciones III50 32 División de fracciones

11

51 33 Multiplicación y división de fracciones52 34 Multiplicación de números decimales I53 35 Multiplicación de números decimales II54 Figuras de papel

55 36 Mediatriz I

12

5637 Mediatriz II

57

58 38 Bisectriz59

39 Construcción de polígonos I60

13

6140 Construcción de polígonos II

62

63 41 Área del romboide64

42 Área del triángulo65

14

66 43 Área de trapecios y rombos67

44 Área de polígonos regulares68

69 Los engranes

70 45 Proporcionalidad directa

15

7146 Factores de proporcionalidad I

72

7347 Factores de proporcionalidad II

74

75 TIC

16

76 Recreación

77

Repaso y

Segunda evaluación bimestral

78

79

80

B l o q u e 2



17


82 Acertijos matemáticos

8348 División de números decimales I

8485

49 División de números decimales II

18

8687

50 Planteamiento de ecuaciones8889

51 Solución de ecuaciones I90

19

9152 Solución de ecuaciones II

9293 53 Solución de ecuaciones III94

54 Solución de ecuaciones IV95

20

96 55 Problemas con ecuaciones97

56 Construcción de triángulos I9899

57 Construcción de triángulos II100

21

10158 Construcción de triángulos III

102103

59 Construcción de cuadriláteros104

105 Juego de dardos

22

106 60 Unidades de área107 61 Problemas de área y perímetro I108109

62 Problemas de área y perímetro II110

23

111 63 Proporcionalidad. Valor faltante112 64 Problemas de proporcionalidad113 65 Porcentajes I114

66 Porcentajes II115

24

11667 Problemas de porcentaje

117118

68 Frecuencia absoluta y relativa119120 69 Gráficas I

25

121 70 Gráficas II122 71 Gráficas III123 72 Gráficas IV124

73 Espacio muestral125

26

12674 Probabilidad frecuencial

127

12875 Probabilidad clásica

129130 TIC

27

131 Recreación132

Repaso y

Tercera evaluación bimestral

133134135

B l o q u e 3



28


137 La línea del tiempo

13876 Números con signo

139

140 77 Valor absoluto

29

141 Cuadrados descuadrados

14278 Potencias

143

14479 Raíz cuadrada

145

30

14680 Relaciones funcionales I

147

14881 Relaciones funcionales II

149

150 Los círculos mentirosos

31

15182 Construcción de círculos

152

15383 Longitud de la circunferencia

154

15584 Área del círculo

32

156

15785 Problemas de área y perímetro de círculos

158

15986 Relaciones de proporcionalidad

160

33

161 TIC

162 Recreación

163Repaso y

Cuarta evaluación bimestral164

165

B l o q u e 4



34


167 Carrera al estacionamiento

16887 Adición y sustracción de números con signo I

169

17088 Adición y sustracción de números con signo II

35

171

17289 Adición y sustracción de números con signo III

173

17490 Adición y sustracción de números con signo IV

175

36

176 Las escaleras

17791 Representaciones gráficas, tabulares y algebraicas I

178

179 92 Representaciones gráficas, tabulares y algebraicas II

18093 Áreas de figuras planas

37

181

182 Justicia ciega

18394 Resultados equiprobables I

184

18595 Resultados equiprobables II

38

186

18796 Proporcionalidad inversa I

188

18997 Proporcionalidad inversa II

190

39

19198 Medidas de tendencia central

192

193TIC

194

195 Recreación

40

196

Repaso y

Quinta evaluación bimestral

197

198

199

200

B l o q u e 5


G u í a d e u s o

A continuación mostramos cómo está estructurado Matemáticas 1.

El libro está dividido en cinco bloques y cada uno se inicia con dos páginas:

Se enuncian los aprendizajes esperados de acuerdo al Plan y programas de estudio, esto se hace con la finalidad de tener presente lo que se desea que el estudiante aprenda al término del bloque.

Imagen que ilustra la aplicación de algunos conceptos matemáticos del bloque.

Problemas detonadores para que reflexiones y conozcas el tipo de problemas que vas a estudiar en el bloque.

Dentro del bloque encontrarás frecuentemente dos páginas de la sección Juegos y

retos. Tienen el propósito de introducir el estudio de los contenidos de una manera lúdica.

BLO

QUE

2

80

Como resultado del estudio de este bloque se espera que los estudiantes:

1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y di-

visiones con fracciones.

2. Resuelvan problemas que implican efectuar multiplicaciones con números deci-

males.

3. Justifiquen el significado de fórmulas geométricas que se utilizan al calcular el

perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

4. Resuelvan problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor

de proporcionalidad entero o fraccionario y problemas de reparto proporcional.

Aprendizajes esperados

A

B

Vacío

Lleno

Los Juegos Olímpicos se llevan a cabo cada cuatro años en sus dos modalidades:

Juegos Olímpicos de Verano y Juegos Olímpicos de Invierno. Se celebraron por

primera vez en el año 776 a.n.e. en la antigua Grecia. En 1886 se retomó la idea,

dándose origen a los Juegos Olímpicos modernos.

En equipos lean lo siguiente, discutan al respecto y planteen cómo responder

cada pregunta. Si no pueden contestar, no se preocupen, lo importante es

recordar y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen.

a) En los Juegos Olímpicos celebrados desde 1900 hasta 2004, México ganó 50 meda-

llas: un quinto de ellas fueron de oro y 17 de plata. ¿Cuántas medallas de bronce

obtuvo México en ese periodo?

b) En los Juegos Olímpicos de la antigüedad muchas pruebas consistían en carreras a

pie, dando vueltas al estadio. En el estadio de Olimpia, la distancia de una vuelta era

174.125 m. ¿Qué distancia recorrían los corredores si daban 5 vueltas al estadio?

c) El principal símbolo de los Juegos Olímpicos son los aros olímpicos. ¿Podrías en-

contrar el centro de cada circunferencia?

81

J u e g o s y r e t o s

104

Figuras de papel

El siguiente cuadrado, formado por siete figuras, es un tangram, que es un juego chino

muy antiguo que consiste en formar siluetas con las siete figuras.

¿Puedes resolver los siguientes retos?

Elabora un tangram (en la siguiente página podrás ver cómo hacerlo) y forma las siguien-

tes siluetas. En cada una debes usar las siete figuras del tangram sin superponerlas.

Contesta.

Forma un cuadrado con tu tangram y mide uno de los lados. ¿Cuál es su área? ¿Cuál es

el área de cada una de las siluetas anteriores?

Forma un rectángulo con las siete piezas de tu tangram. ¿Qué área tiene?

¿Cuál es el área de cada una de las siete figuras de tu tangram? Calcula cada área sin

realizar ninguna medición.

105

Estrategias.

Para hacer un tangram consigue una hoja de papel rectangular y realiza los siguientes

dobleces:

7. Obtendrás un cuadrado con

varios dobleces que te servi-

rían de guía para elaborar tu

tangram.

Puedes colorear las piezas de tu tangram y pegarlas en cartulina.

1. Dobla tu hoja de manera 2. Realiza el mismo doblez 3. Obtendrás dos dobleces.

que dos lados consecutivos del otro lado de la hoja. Corta donde indica la línea

coincidan, como se ve punteada en la figura.

en la figura.

4. Al cortar, obtendrás un 5. Sin desdoblar, dobla de 6. Observa que obtienes un

cuadrado. Dóblalo por la nuevo por la mitad. cuadrado dividido en dos

mitad. triángulos por un doblez.

Divídelo en dos triángulos

con otro doblez.


Todas las lecciones del bloque se componen de dos páginas.

Título de la lección

Los títulos de cada lección dan cuenta de los conceptos que se estudiarán.

Actividades de construcción del conocimiento

Actividades que presentan situaciones problemáticas para que las enfrentes con los conocimientos que ya tienes al mismo tiempo que desarrollas nuevas técnicas y conceptos para resolver problemas similares.

En las actividades se busca que: • Observes e interpretes.• Organices resultados.• Discutas y analices.• Encuentres regularidades.• Reflexiones.• Profundices en las ideas básicas.

Información Cuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.

61

2 Traza el eje de simetría de las parejas de figuras simétricas que siguen.

a) b)

c) d)

3 Observa las figuras simétricas y completa las expresiones con las palabras

paralelos o perpendiculares.

a) AD y BC son e) EI y EF son

b) A’D’ y B’C’ son f) E’I’ y E’F’ son

c) AB y CD son g) EI y HI son

d) A’B’ y C’D’ son h) E’I’ y H’I’ son

4 ¿Qué relación se podrá establecer entre los tres símbolos de la página 19?

1.5. Construir figuras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Observa

AD significa “el segmento AD”.

Si un par de segmentos son paralelos, sus reflejos respecto de un eje también lo son.

Si un par de segmentos son perpendiculares, sus reflejos respecto de un eje también lo son.

A A’

D’

C’

B’

D

C

B

E I

F

G

H

I’ E’

H’

G’

F’

60

L e c c i ó n 1 9

Simetría II

1 Dibuja la reflexión de cada figura respecto del eje.

a)

b)

c) d)


TIC y Recreación. En la primera se aplica la tecnología para aprender matemáticas y en la segunda se brinda la oportunidad de que desarrolles tu creatividad y capacidad de expresión.

En las páginas 272 a 276 podrás encontrar un glosario con los términos que se usan en el libro.

76

T I C

El sistema binario en la calculadora científica

Los circuitos de las computadoras utilizan el sistema binario de numeración. El sistema

decimal que usamos en la vida diaria emplea 10 símbolos. El binario, cuya base es 2,

sólo requiere de dos símbolos: 1 y 0. Estas cifras pueden adaptarse perfectamente a los

dos estados que pueden presentar los componentes electrónicos: prendido y apagado.

A continuación veremos cómo escribir números en sistema binario usando la calcula-

dora del sistema operativo Windows.

En el menú de Inicio

elige Inicio>Todos los

programas>Accesorios

>Calculadora

En el menú de la calculadora

escoge Ver>Científica

Escribe cualquier número y después escoge

Ver>Binario o presiona la tecla F8. El número que

tecleaste en el paso anterior, ahora aparecerá escrito

en sistema binario.

Para regresar al sistema decimal puedes presionar

F6 o escoger Ver>Decimal

Prueba en la calculadora cómo se escriben algunos números en sistema binario. Anota

a continuación cuáles son las reglas y principios de este sistema de numeración.

Observa que con la calculadora también puedes expresar números en sistema octal o hexa-

decimal. Reúnete con un compañero o compañera y juntos exploren cuáles son las bases

de estos sistemas y qué símbolos emplean. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

77

R e c r e a c i ó n

En el siguiente espacio puedes hacer lo que desees: un dibujo, una serie con figuras

geométricas, un problema interesante, un cuento, un acertijo, una gráfica original, un

juego…

La única condición es que emplees los conocimientos que adquiriste en este bloque. A

continuación te damos algunas sugerencias:

Un sistema de numeración.

Un juego en el que se deban comparar fracciones para ganar.

Un cuento en el que los personajes sean figuras simétricas.

Una serie de figuras con muchos colores.

Un acertijo en el que se deban contar cosas para resolverlo.

272

G l o s a r i o

Abscisa Corresponde a x en la pareja ordenada (x, y).

Ángulo Abertura formada por dos semirrectas de origen común.

Ángulo central de un polígono

El que forman dos rectas que van del centro de un polígono regular a dos de sus vértices contiguos.

Apotema Segmento perpendicular de un lado de un polígono regular a su centro.

Base Es el factor de una potencia.

Base de un sistema de numeración

Es el número que indica cuántos elementos contiene cada agrupa-ción. Por ejemplo, en un sistema de base cuatro, se cuenta agru-pando de 4 en cuatro:

Se formó un grupo de 4 × 4, un grupo de 4 y sobran dos elementos. El número se escribe 112 en base 4 porque:

Grupos de 4 x 4 Grupos de 4 Elementos sueltos

1 1 2

Bisectriz Recta que divide un ángulo en dos ángulos de la misma medida.

Centímetro cuadrado Área de un cuadrado de 1 cm por lado, que se abrevia cm2.

Círculo Figura plana cuyo contorno equidista de un punto llamado centro.

Circunferencia Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro llamado centro.

Clase Clasificación de cada tres cifras de un número leídas de derecha a izquierda.

Cociente Resultado de una división.

Cuadrado Cuadrilátero que tiene cuatro ángulos internos rectos y cuyos la-dos son iguales.

Cuadrados perfectos Números cuya raíz cuadrada es un número entero.

Bisectriz

El bloque se cierra con una evaluación de opción múltiple.

234

E v a l u a c i ó n

Subraya la respuesta correcta.

1 La temperatura mínima de un día fue -6 °C y la máxima, 11.5 °C. ¿Cuál fue la variación de

temperatura ese día?

a) 5.5 ºC b) 17.5 ºC c) –5.5 ºC d) 11.5 ºC

2 ¿Qué número se señala con la flecha en la siguiente recta numérica?

a) 1 b) 23

c) – 23

d) –1

3 ¿Cuál de los siguientes números es mayor a –2.1?

a) –5 b) –2 c) –2.11 d) –10

4 ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado de 12.25 cm2 de área?

a) 6.125 cm b) 3.0625 cm c) 3.5 cm d) 3 cm

5 ¿Cuál sucesión tiene una regla de la forma 2n + 3?

a) 5, 8, 11, 14… b) 5, 7, 9, 11…

c) 4, 6, 8, 10, 11… d) 6, 12, 24, 48…

6 En un café Internet cobran la siguiente tarifa.

Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6

Precio ($) $10.00 $15.00 $20.00 $25.00 $30.00 $35.00

¿Qué expresión relaciona las horas (h) con el precio (p)?

a) p = 5h b) p = 5h + 5 c) h = 5p + 5 d) p = h + 5

7 Observa la figura y contesta. El punto C es centro del círculo.

−2 113

¿Cuál afirmación es verdadera?

a) Las líneas rojas son mediatrices de los lados del triángulo.

b) Las líneas rojas son bisectrices de los lados del triángulo.

c) Las líneas rojas tienen la misma inclinación que los lados del triángulo.

d) El triángulo es rectángulo.

C


Q

R

P

Í n d i c e

Bloque 1 181.1. Identifi car las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.Juegos y retos. Los extraterrestres 201 Sistema de numeración egipcio 222 Sistema de numeración babilónico 243 Sistema de numeración maya 264 Sistema de numeración romano 285 Sistemas de numeración con bases distintas 306 Sistema de numeración decimal 327 Lectura y escritura de cantidades 34

1.2. Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.Juegos y retos. Fracciones y figuras 368 Fracciones en la recta numérica I 389 Fracciones en la recta numérica II 4010 Fracciones en la recta numérica III 4211 Fracciones en la recta numérica IV 4412 Números decimales en la recta numérica 46

1.3. Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que defi nen las reglas de sucesiones numéricas y fi gurativas.13 Sucesiones I 4814 Sucesiones II 5015 Sucesiones III 52

1.4. Explicar en lenguaje natural el signifi cado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.16 Fórmulas geométricas I 5417 Fórmulas geométricas II 56

1.5. Construir fi guras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en fi guras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.18 Simetría I 5819 Simetría II 6020 Simetría III 62

1.6. Identifi car y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera fl exible diversos procedimientos.Juegos y retos. La altura de la pirámide 6421 Proporcionalidad directa I 6622 Proporcionalidad directa II 68

1.7. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional. 23 Reparto proporcional 70


h

B

1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.24 Problemas de conteo I 7225 Problemas de conteo II 74TIC 76Recreación 77Evaluación 78

Bloque 2 802.1. Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos.Juegos y retos. Trimemoria 8226 Problemas aditivos con fracciones y decimales I 8427 Problemas aditivos con fracciones y decimales II 8628 Problemas aditivos con fracciones y decimales III 88

2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.29 Multiplicación de fracciones I 9030 Multiplicación de fracciones II 9231 Multiplicación de fracciones III 9432 División de fracciones 9633 Multiplicación y división de fracciones 98

2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.34 Multiplicación de números decimales I 10035 Multiplicación de números decimales II 102

2.4. Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos.Juegos y retos. Figuras de papel 10436 Mediatriz I 10637 Mediatriz II 10838 Bisectriz 110

2.5. Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.39 Construcción de polígonos I 11240 Construcción de polígonos II 114

2.6. Justifi car las fórmulas de perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.41 Área del romboide 11642 Área del triángulo 11843 Área de trapecios y rombos 12044 Área de polígonos regulares 122

2.7. Identifi car y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales.Juegos y retos. Los engranes 12445 Proporcionalidad directa 126


Q

R

P

2.8. Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.46 Factores de proporcionalidad I 12847 Factores de proporcionalidad II 130TIC 132Recreación 133Evaluación 134 Bloque 3 1363.1. Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.Juegos y retos. Acertijos matemáticos 13848 División de números decimales I 14049 División de números decimales II 142

3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.50 Planteamiento de ecuaciones 14451 Solución de ecuaciones I 14652 Solución de ecuaciones II 14853 Solución de ecuaciones III 15054 Solución de ecuaciones IV 15255 Problemas con ecuaciones 154

3.3. Construir cuadrados. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.56 Construcción de triángulos I 15657 Construcción de triángulos II 15858 Construcción de triángulos III 16059 Construcción de cuadriláteros 162

3.4. Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superfi cie.Juegos y retos. Juego de dardos 16460 Unidades de área 16661 Problemas de área y perímetro I 16862 Problemas de área y perímetro II 170

3.5. Resolver problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos.63 Proporcionalidad. Valor faltante 17264 Problemas de proporcionalidad 174

3.6. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o decimal.65 Porcentajes I 17666 Porcentajes II 17867 Problemas de porcentaje 180

3.7. Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.68 Frecuencia absoluta y relativa 182


h

B

3.8. Interpretar información representada en gráfi cas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.69 Gráficas I 18470 Gráficas II 18671 Gráficas III 18872 Gráficas IV 190

3.9. Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justifi car la respuesta.73 Espacio muestral 19274 Probabilidad frecuencial 19475 Probabilidad clásica 196TIC 198Recreación 199Evaluación 200

Bloque 4 2024.1. Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.Juegos y retos. La línea del tiempo 20476 Números con signo 20677 Valor absoluto 208

4.2. Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.Juegos y retos. Cuadrados descuadrados 21078 Potencias 21279 Raíz cuadrada 214

4.3. Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En particular, la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx, asociando los signifi cados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.80 Relaciones funcionales I 21681 Relaciones funcionales II 218

4.4. Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.Juegos y retos. Los círculos mentirosos 22082 Construcción de círculos 222

4.5. Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justifi car la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.83 Longitud de la circunferencia 224

4.6. Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área del círculo.84 Área del círculo 22685 Problemas de área y perímetro de círculos 228


Q

R

P

4.7. Explicar las características de una gráfi ca que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.86 Relaciones de proporcionalidad 230TIC 232Recreación 233Evaluación 234

Bloque 5 2365.1. Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.Juegos y retos. Carrera al estacionamiento 23887 Adición y sustracción de números con signo I 24088 Adición y sustracción de números con signo II 24289 Adición y sustracción de números con signo III 24490 Adición y sustracción de números con signo IV 246

5.2. Analizar los vínculos que existen entre varias representaciones (gráfi cas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación, e identifi car las que son de proporcionalidad directa.Juegos y retos. Las escaleras 24891 Representaciones gráficas, tabulares y algebraicas I 25092 Representaciones gráficas, tabulares y algebraicas II 252

5.3. Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas fi guras planas y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas fi guras.93 Área de figuras planas 254

5.4. Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables. Juegos y retos. Justicia ciega y las ruletas 25694 Resultados equiprobables I 25895 Resultados equiprobables II 260

5.5. Identifi car y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos. 96 Proporcionalidad inversa I 26297 Proporcionalidad inversa II 264

5.6. Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.98 Medidas de tendencia central 266TIC 268Recreación 269Evaluación 270Glosario 272Bibliografía 277


BLO

QU

E

1

18

Como resultado del estudio de este bloque se espera que los estudiantes:

1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición, número de símbolos) y establezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales.

2. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos.

3. Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y vi-ceversa.

4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifiquen cuáles son las propiedades de la figura original que se conservan.

5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas.

Aprendizajes esperados

100

a

b

h

SDAMAT1-B1-080228.indd.indd 18 3/4/11 1:12 PM

El reciclado de basura se ha desarrollado mucho en los últimos años y es muy

importante para proteger el medio ambiente. Sin embargo, el éxito de esta tarea

depende de la labor de todos los ciudadanos.

En equipos lean lo siguiente, discutan al respecto y planteen cómo responder

cada pregunta. Si no pueden contestar, no se preocupen, lo importante es

recordar y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen.

a) Cada día se generan en el territorio nacional 90 000 000 de kg de basura. ¿Cómo se lee esta cantidad?

b) Se calcula que, de cada 10 kg de basura, 5 kg son de origen orgánico, 2.5 kg son papel y cartón y 1.5 kg son plástico y aluminio. ¿Cuánta basura de cada tipo se pro-duce en México diariamente?

c) Un depósito de basura se encuentra en el kilómetro 1034 de una carretera y otro en

el kilómetro 1512. Si un camión de basura se encuentra entre los dos depósitos, ¿en

qué kilómetro podría estar?d) Dos de los símbolos del recuadro de la derecha son iguales y representan el reciclado.

¿Cuáles son los símbolos iguales? ¿Cuál es la diferencia en el símbolo que no es igual?

19


20


Los extraterrestres

Pablo y Juan juegan a Los extraterrestres; para ello inventaron una unidad monetaria llamada vat. Las monedas que utilizan son las siguientes:

Ellos ponen sus monedas en un tablero dividido en casillas; el valor de cada moneda cambia según la casilla donde esté colocada.

El juego consiste en ganar vats para comprar alguno de estos trajes y naves espaciales:

a) b) c)

Precio:

d) e) f)

Precio:

vat vet

5

Se multiplica

por 81.

Se multiplica

por 9.

Se multiplica

por 1.


2121

ESTRATEGIA

Para ganar vats, los jóvenes tiran un dado negro y uno blanco. Los puntos del dado ne-gro valen 10 vats y los puntos del dado blanco, un vat. Siguen la regla de no tener más

de dos monedas de la misma denominación en cada casillero. Por ejemplo:

Reproduce las monedas en cartulina, consigue dos dados de distinto color y juega con un compañero. Gana quien pueda comprar la mejor nave y el mejor traje antes de 20 tiradas.

Para aprender a jugar mejor a Los extraterrestres, reúnete con tus compañeros y discutan lo siguiente:

a) ¿Qué traje cuesta más?

b) ¿Qué traje cuesta menos?

c) ¿Cuál es la nave más cara?

d) ¿Cuál es la nave más barata?

Representen los vats de cada pareja de dados.


22

L e c c i ó n 1

Sistema de numeración egipcio

1 Lee la información y contesta.

Uno de los primeros sistemas de numeración conocidos fue creado por los egipcios en el año 3000 antes de nues-tra era (a.n.e.). Ellos usaban símbolos llamados jeroglíficos. Observa cómo se escribían algunas cantidades:

4 8 15 42

214 432 3 521

50 042 210 430 3 025 104

a) ¿Cuál es el valor de cada símbolo egipcio?

= = = = =

= =

b) ¿Qué números se representan a continuación con símbolos egipcios?

i) ii) iii) iv)

v) vi) vii) viii)

c) Para escribir una cantidad, los egipcios no usaban el mismo símbolo más de nueve

veces. ¿Por qué crees que lo hacían así?

Jeroglíficos egipcios


23

d) ¿Es importante el orden en que se coloquen los símbolos egipcios? e) ¿Cuál es el número mayor que puedes representar con los símbolos egipcios que

conoces? . Si quisieras representar un número mayor respe-tando la regla de no repetir un símbolo más de nueve veces en cada cantidad,

¿qué harías?

Un sistema de numeración utiliza el principio aditivo o es aditivo cuando los valores de los símbolos se suman.

f ) ¿El sistema egipcio utiliza el principio aditivo? ¿Por qué?

2 Resuelve las siguientes operaciones con el sistema de numeración egipcio.

Después contesta las preguntas en tu cuaderno.

a)

+ =

b)

+ =

c)

− =

d)

− =

e) ¿Qué equivalencias estableciste entre los símbolos egipcios para resolver las opera-ciones anteriores?

Un sistema de base 10 es aquel en el que se realizan agrupaciones de 10 en 10.

f ) ¿El sistema egipcio es de base 10? ¿Por qué?

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración egipcio.


24

L e c c i ó n 2

Números babilónicos

La civilización babilónica se desarrolló entre los ríos Tigris y Éufrates hace más de 4 500 años. Los babilonios escribían los números en tablillas de arcilla. Usaban marcas en forma de cuña como las siguientes:

Observa cómo representaban algunos números:

Sistema de numeración babilónico

1 Lee la información y realiza lo que se pide.

a) Anota el valor de cada símbolo babilónico.

= =

b) Escribe qué cantidades están representadas a continuación.

i) ii) iii) iv)

c) Representa las siguientes cantidades con símbolos babilónicos. Utiliza el menor

número de símbolos posible en cada caso.

5 11 23 34 42 51

Para representar números mayores que 59, los babilonios usaban el principio posicional, que consiste en multiplicar el valor de los símbolos según el lugar que ocupan. Observa:

Se multiplica por 3 600 Se multiplica por 60 Se multiplica por 1

Entonces,

representa 240 + 11 = 251.

Números babilonios

5 2

5 16 5 20 5 31 5 47 5 59

5 3 5 4 5 8 5 9 5 11


25

2 Completa las expresiones y encuentra el valor de los símbolos babilónicos.

3 Escribe qué números se representan con los siguientes símbolos babilónicos.

Efectúa las operaciones en tu cuaderno.

a) = b) =

c) = d) =

4 Contesta las preguntas. Después, compara las respuestas con las de tus

compañeros.

a) ¿El sistema babilónico utiliza el principio aditivo? ¿Por qué?

b) ¿Cuál es el máximo de veces que se repite el símbolo en cada posición?

c) ¿Cuál es el máximo de veces que se repite el símbolo en cada posición?

d) La base del sistema babilónico es 60. ¿Por qué?

e) ¿Cuál es el número mayor que puedes representar con tres posiciones en el sistema

babilónico?

f) ¿El sistema babilónico utiliza el principio posicional? ¿Por qué?

g) En una tablilla babilónica encontraron el símbolo

y no sabían si representaba

el número 2 o el 61. ¿A qué crees que se debe esta confusión?

5 Reúnete con un compañero o compañera para que determinen las semejanzas

y diferencias entre el sistema de numeración egipcio y el babilónico. Anoten

sus conclusiones en sus cuadernos.

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración babilónico.

Se multiplica por 3 600. Se multiplica por 60. Se multiplica por 1.

× 3 600 = × 60 = × 1 =

Entonces representa 115 200 + + =


26

L e c c i ó n 3

Sistema de numeración maya

1 Lee la información y realiza lo que se pide.

La civilización maya se desarrolló en parte de lo que hoy es México y en Guatemala, Belize, El Salvador y Honduras, aproxi-madamente desde 3000 a.n.e. hasta 1500 de nuestra era. Observa cómo se representaban algunos números menores que 19:

2 3 4 6 7

8 10 12 15 18

a) Anota el valor de cada símbolo.

= = b) Representa con el sistema maya los números que faltan, hasta 19.

9 11 13 14 16 17 19

c) Reúnete con un compañero o compañera para que comparen las respuestas de la actividad anterior y corrijan las que estén mal. Después, contesten esta pregunta:

¿El sistema de numeración maya utiliza el principio aditivo? Justifiquen su respuesta.

d) Observa cómo se representan en el sistema maya algunos números mayores que 19.

¿Cuál es el valor del símbolo ?

Numeración maya

2a. posición

(3 20)

1a. posición

(3 1)

Número 20 22 25 40 100 102 173


27

2 Determina qué números están representados a continuación y contesta.

¿El sistema maya utiliza el principio posicional? En tu cuaderno, justifica tu res-puesta.

3 Representa las siguientes cantidades con el sistema maya.

245 127 302 267 189

4 Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Qué valor adquiere el símbolo en la primera posición?

b) ¿Qué valor representa el símbolo en la segunda posición?

c) ¿Cuál es el valor del símbolo en la primera posición?

d) ¿Qué valor toma el símbolo en la segunda posición?

e) ¿Cuál es el valor del símbolo en la segunda posición?

f) ¿Cuál es el número mayor que puedes representar con dos posiciones en el sistema

maya?

g) ¿Cuál es la base del sistema de numeración maya?

El sistema maya utilizaba un símbolo para el número 0.

5 Reúnete con un compañero o compañera para que comparen sus respuestas a

la actividad anterior. Discutan cómo pueden representarse números cada vez

mayores con el sistema maya. Escriban sus conclusiones en sus cuadernos.

6 En tu cuaderno:

a) Resuelve las multiplicaciones: 10 × 10, 10 × 100 y 10 × 1 000b) Escribe las mismas multipliaciones usando números mayas. Resuélvelas SIN con-

vertir los números a números decimalesc) Anota las dificultades que tuviste y coméntalas con tus compañeros.

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración maya.


28

L e c c i ó n 4

Sistema de numeración romano

1 Lee la información.

El Imperio Romano (500 a.n.e.) utilizó un sistema de numeración que aún hoy encontramos en los relojes, y se usa para numerar siglos, indicar la sucesión de reyes o nombrar capítulos de libros.

Este sistema utiliza siete letras mayúsculas cuyos valores son los siguientes:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1 000

Los símbolos I, X, C y M se llaman primarios y pueden repetirse hasta tres veces. Los símbolos V, L y D se llaman secundarios.

2 Tú ya conoces este sistema desde la primaria. Escribe qué cantidades están

representadas a continuación.

III IV VII IX X

XXXV XLIV XC CLVIII CDI

MCDLXII MMDLXVII V XID XLVCV

3 Anota dos ejemplos en los que se aplique el principio aditivo en el sistema de

numeración romano.

4 Los siguientes números romanos no están bien escritos. Corrígelos.

a) IIII: b) XXXXX: c) DCCCC:

5 Lee la información y contesta en tu cuaderno.

Para no repetir más de tres veces un símbolo en el sistema romano se usa el principio sustractivo.

¿En qué consiste el principio sustractivo?

Coliseo romano

Recuerda

Una raya sobre un número ro-mano signifi-ca que se debe multiplicar por mil.


29

6 Para escribir números mayores que 4 000 se utiliza el principio multiplicativo.

Explica en qué consiste este principio.

7 Reúnete con una compañera o compañero y realicen lo siguiente.

a) Anoten qué número se representa con M.

b) Escriban el número que representa C. c) Completen la siguiente tabla. Anoten ✓ si el sistema de numeración utiliza el prin-

cipio indicado o ✗ si no lo aplica.

SistemaPrincipio

aditivoPrincipio

sustractivoPrincipio

multiplicativoPrincipio posicional

Egipcio

Babilónico

Maya

Romano

d) ¿Cuáles de los sistemas anteriores utilizaban un símbolo para el número 0?

e) Discutan acerca de las semejanzas y diferencias, también de las ventajas y desven-

tajas, tanto de los sistemas de numeración estudiados como del que usamos actual-mente. Anoten sus conclusiones a continuación.

Sistema egipcio:

Sistema babilónico:

Sistema maya:

Sistema romano:

8 Formen equipos de cuatro o cinco integrantes y realicen lo siguiente.

a) Sumen, resten y multipliquen números con el sistema romano. Anoten en sus cua-dernos las dificultades con las que se enfrentaron.

b) Investiguen otro sistema de numeración, establezcan sus principios y hagan un resumen en sus cuadernos.

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración romano.


30

L e c c i ó n 5

de nuevoel juego

Sistemas de numeración con bases distintas

1 Recuerda que Pablo y Juan juegan a Los extraterrestres y que inventaron una

moneda. Observa cómo se leen algunas de las cantidades.

2 Escribe el nombre de las siguientes cantidades.

a) b) c)

d) e) f)

3 Formen equipos de tres o cuatro integrantes, lean las siguientes preguntas,

discutan las respuestas y anótenlas en sus cuadernos.

a) ¿Cuál es el mayor número de vats que pueden representarse usando sólo la casilla amarilla?

b) ¿Cuál es el mayor número de vats que pueden representarse utilizando las casillas anaranjada y amarilla?

c) ¿Cuál es el mayor número de vats que pueden representarse con las tres casillas?d) ¿Por qué no es necesario tener más de dos figuras iguales en cada casilla?

vat vat

vet vat om vet

vat

vet om vat

vat om vet vet vat vat um vet vet vat vat om vat

vet vat vat

vet om

vat vat vet vet um vet


31

e) ¿Las siguientes cantidades son iguales?

¿Por qué?

f) Como Pablo y Juan quieren representar cantidades mayores, decidieron aumentar

dos casilleros a la izquierda, como se ilustra enseguida.

i) ¿Por cuánto deben multiplicarse los vats de cada nuevo casillero?

ii) ¿Cuál es la base del sistema de numeración que usan Pablo y Juan?

g) En una ocasión, Pablo y Juan querían jugar pero no disponían de tableros, enton-ces, Pablo propuso jugar sin tableros:

—Pondremos todas las figuras que van en un casillero en una sola columna. Por ejemplo:

—No —contestó Juan—, así podemos confundirnos, pero podemos usar tarjetas blancas. Por ejemplo, observa estas tres cantidades:

i) ¿Qué cantidades representó Juan?

ii) ¿Cuál es la función de la tarjeta?

iii) ¿Cuál es el valor de la tarjeta?

iv) Anota en tu cuaderno por qué Juan dijo que la representación puede crear confusión.

El número 0 es fundamental en un sistema de numeración que utiliza el prin-

cipio posicional.

1.1. Identificar la base y las propiedades de un sistema de numeración.


32

Sistema de numeración decimal

1 Analiza la información y realiza lo que se pide.

Si se multiplica un número por sí mismo, se obtiene una potencia de ese nú-mero. Por ejemplo:

• 100 es potencia de 10, ya que 100 = 10 × 10.• 1 000 es potencia de 10, ya que 1 000 = 10 × 10 × 10.• 10 000 es potencia de 10, ya que 10 000 = 10 × 10 × 10 × 10.

a) Anota otras tres potencias de 10:

b) Escribe tres potencias de 1 000:

c) Calcula las potencias.

i) 105 = =

ii) 107 = =

iii) 108 = =

iv) 1 0002 = =

v) 1 0003 = =

vi) 1 0004 = =

2 Observa la tabla y escribe con potencias la cantidad por la que se multiplica

cada orden.

L e c c i ó n 6

Recuerda

¿Cómo se realizan las multiplicaciones por 10?

Clases BillonesMillares

de millónMillones Millares Unidades

Órdenes C D U C D U C D U C D U C D U

Valor 108 103 100

Una potencia puede indicarse con un número pequeño llamado exponente. Por ejemplo:

102 = 10 × 10 = 100 102 se lee: 10 elevado al cuadrado o a la segunda potencia.103 = 10 × 10 × 10 = 1 000 103 se lee: 10 elevado al cubo o a la tercera potencia.104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 104 se lee: 10 elevado a la cuarta potencia.

Un número distinto de cero elevado a la potencia 0 es igual a 1. Por ejemplo:

100 = 1 1000 = 1 1 0000 = 1

Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número. Por ejemplo:

101 = 10 1001 = 100 1 0001 = 1 000

10 x 10 x 10 x 10 x 10 100 000


33

3 Escribe el resultado de las siguientes operaciones y contesta.

a) 4 × 103 + 5 × 101 + 2 × 100 =

b) 2 × 104 + 6 × 103 + 2 × 102 + 5 × 101 + 1 × 100 =

c) 4 × 105 + 5 × 103 + 6 × 101 + 7 × 100 =

d) 5 × 106 + 8 × 104 + 7 × 102 + 6 × 100 =

¿En el sistema de numeración que usamos se aplica el principio aditivo?

¿Por qué?

4 Lee la información y escribe los números en notación desarrollada.

5 Formen equipos de tres o cuatro integrantes y comenten qué principios se

aplican en el sistema de numeración que usamos actualmente. Anoten sus

conclusiones en sus cuadernos.

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos.

4 x 1 000 + 5 x 10 + 2 = 4 000 + 50 + 2 = 4 052

Número Notación desarrollada

a) 78 008 531

b) 70 762 560 901

c) 4 007 202 080

d) 50 906 432 002

e) 987 302 100 020

Expresar un número en notación desarrollada es escribirlo como la suma de los productos de sus cifras multiplicadas por el valor del orden correspondiente. Por ejemplo:

Número Notación desarrollada

567 5 × 102 + 6 × 101 + 7 × 100

51 567 938 5 × 107 + 1 × 106 + 5 × 105 + 6 × 104 + 7 × 103 + 9 × 102 + 3 × 101 + 8 × 100

50 507 908 5 × 107 + 5 × 105 + 7 × 103 + 9 × 102 + 8 × 100


34

Lectura y escritura de cantidades

1 Expresa las siguientes cantidades como suma de productos con potencias de

1 000. Observa el ejemplo.

a) 875 034 203 100 =

b) 789 453 801 =

c) 98 078 507 230 101 =

d) 34 001 000 005 325 =

Un número entero puede representarse como suma de productos con potencias de 1 000.

2 Anota en la tabla el valor de cada clase con una potencia de 1 000.

Para leer las cantidades, éstas se separan en grupos de tres cifras y se menciona la clase. La clase de las unidades no se menciona.

Por ejemplo:• 345 683 921 342 se lee 345 mil 683 millones 921 mil 342.• 5 302 000 421 002 s e lee 5 billones 302 mil millones 421 mil 2.

Nota que en el primer ejemplo no se tiene que decir 345 millares de millones o miles de millones.

3 Vuelve a leer el inciso a) de la página 19, respóndelo si no lo habías hecho o

reconsidera tu respuesta original.

L e c c i ó n 7

875 x 1 0003 + 34 x 1 0002 + 203 x 1 0001 + 100 x 1 0000

Clases BillonesMillares

de millónMillones Millares Unidades

Valor 1 0002 1 0000

Órdenes C D U C D U C D U C D U C D U


35

4 Escribe cómo se leen las cantidades resaltadas.

a) La población total de los Estados Unidos Mexicanos es de 103 263 388 habitantes.

b) La distancia entre el Sol y la Tierra es 150 000 000 de kilómetros.

c) La producción pesquera nacional en 2004 fue de 1 515 432 000 toneladas.

5 Anota con número las cantidades.

a) La extensión territorial de nuestro país es un millón novecientos sesenta y cuatro

mil trescientos setenta y cinco kilómetros cuadrados.

b) En 2006 se calculó que la población mundial era seis mil cuatrocientos noventa y

nueve millones seiscientos noventa y siete mil sesenta habitantes.

c) La estrella más cercana al Sol se encuentra a cuarenta y un billones seiscientos

veintiséis mil setenta y cuatro millones de kilómetros.

6 Resuelve la suma.

+678345

a) En tu cuaderno escribe la misma suma con números egipcios, romanos, mayas y

babilónicos.

b) Resuelve cada suma SIN convertir los números a números decimales. Hazlo en el

sistema de numeración correspondiente.

c) Anota en tu cuaderno las dificultades que enfrentaste en cada sistema.

7 Si quieres conocer más sobre sistemas antiguos de numeración, visita el

siguiente sitio en internet:

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act permanentes/mate/imagina.htm

Ahí haz clic en el vínculo >Numeraciones antiguas.

1.1. Analizar el sistema oral o escrito para leer y escribir cantidades correctamente.

IC

T



36

Fracciones y figuras

Dividir en partes iguales

¿Podrías dividir el siguiente segmento de recta en cinco partes iguales? ¿Y en ocho par-tes iguales? ¿Y en 13 partes iguales? Explica cómo.

Triángulos y más triángulos

Observa la siguiente secuencia de figuras y contesta.

¿Cuántos triángulos amarillos tendrá la figura 5?

Letras parecidas

Las siguientes letras se han clasificado en dos grupos. ¿Con qué criterio se clasificaron?

Al derecho y al revés

Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Por ejemplo, 323, 1221 y 1 092 901 son capicúas.

¿Qué patrón puedes descubrir en los resultados de las siguientes potencias?

12 = 1 × 1 = 1112 = 11 × 11 = 1211112 = 111 × 111 = 123211 1112 = 1 111 × 1 111 = 1234321

Calcula 11 1112 y 111 1112 ¿El patrón se repite indefinidamente?

A C D E H I M O T U V W X Y

B F G J K L N P Q R S Z

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4


ESTRATEGIA

37

Dividir en partes iguales

A continuación te mostraremos un método para dividir segmentos en partes iguales.

• Consigue una hoja de papel tras-lúcido, como el albanene, o de un material transparente, como el ce-lofán o el hule cristal.

• Con plumín, calca las líneas de una hoja rayada normal de manera que tu hoja quede como en el dibujo.

Ahora puedes utilizar la hoja que elaboraste para dividir un segmento en las partes iguales que desees. Para hacerlo, coloca tu hoja sobre el segmento de manera que las líneas lo dividan en las partes que necesitas. Utiliza la punta de tu compás para hacer agujeros. Por ejemplo, observa cómo se divide el siguiente segmento en trece partes iguales.

Para practicar este método, reúnanse en parejas, traza un segmento en tu cuader-no y pídele a tu compañero o compañera que lo divida en las partes iguales que tú pidas (de 5 a 10).

Letras parecidas

Para resolver este reto fíjate en la forma de las letras. Recuerda el concepto de si-metría.


38

L e c c i ó n 8

0 21

0 21

Fracciones en la recta numérica I

1 Lee el problema y realiza lo que se pide.

El pistón de una máquina tiene seis anillos con las dimensiones que aparecen en la ilustración (en fracciones de pulgada). Para colocar los anillos en las ranuras se tiene en cuenta el grosor, y se instalan de menor a mayor. ¿Cuál es la ubicación de cada anillo en el pistón?

a) Escoge una recta numérica y representa en ella las medidas de los seis anillos.

b) Explica por qué no escogiste la otra recta.

c) ¿Te hubiera servido una recta con el segmento de 0 a 1 dividido en 14 partes iguales?

¿Por qué?

d) ¿Sería adecuado dividir el segmento de 0 a 1 en 32 partes iguales?

¿Por qué? e) ¿En qué otro número de partes iguales sería adecuado dividir el segmento de 0 a 1?

Subraya las cantidades que podrían servir para este fin.

2 8 5 15 24 40 48 60 64 72 80

f) Expresa las medidas de los anillos con fracciones equivalentes del mismo denomi-nador.

1716 = 1

4 =

78 =

54 =

38 =

516 =

g) Escribe las medidas de los anillos ordenadas de menor a mayor.

< <

<

<

<

1716

14

78

54

38

516


39

Recuerda

Las fracciones equivalentes son las que tienen el mismo valor. Por ejemplo, 12, 24 y 36 son equivalentes.

Para ordenar fracciones, es conveniente convertirlas en fracciones equivalentes con el mismo denominador.

Para encontrar una fracción equivalente a otra se multiplican o se dividen tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Por ejemplo:

26 = 2 × 2

6 × 2 = 4

12 26 = 2 ÷ 2

6 ÷ 2 = 13

2 Divide en partes iguales el segmento indicado entre los puntos de cada recta y

representa las fracciones que se piden. Observa el ejemplo.

Recta 1

a) 35, 13 y 53

Recta 2

b) 36, 12 y 43

Recta 3

c) 18, 34 y 32

Recta 4

d) 19, 46 y 23

Recta 5

e) 56, 29 y 418

• Contesta.

f) ¿En qué casos localizaste fracciones en el mismo punto de la recta numérica?

Las fracciones equivalentes se representan con el mismo punto en la recta.

0 2

0 2

0 1

0 1

0 213

35

53

Recuerda

En Juegos y retos de las páginas 36 y 37 se muestra un método para dividir un segmento en partes.

1.2. Representar números fraccionarios en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.


40

Fracciones en la recta numérica II

1 Lee el texto, analiza la tabla y contesta.

Cinco amigos jugaron al salto de longitud. Saltaron sobre una línea recta y, para medir la longitud de cada salto, usaron una cuerda dividida en partes iguales por nudos. Los resultados fueron los siguientes:

Nombre Arturo Cristina Leonor Jorge Rodrigo

Longitud del salto

52 de cuerda 3

4 de cuerda una cuerda 53 de cuerda 4

3 de cuerda

a) ¿Quién saltó más? b) ¿Quién hizo un salto de más de dos cuerdas de longitud?

c) ¿Quién saltó menos de una cuerda de longitud?

2 Reúnete con una compañera o un compañero y resuelvan lo siguiente.

Al día siguiente, los niños regresaron al lugar donde habían saltado pero, como había llovido, muchas marcas se borraron y sólo encontraron estas dos:

a) Si se mide con la cuerda, ¿cuál es la distancia entre las marcas de Leonor y de Arturo?

b) Localicen en el dibujo anterior la marca desde donde se mide la longitud de los sal-

tos. Escriban a continuación qué método emplearon.

L e c c i ó n 9

Leonor Arturo


41

c) Localicen en el dibujo de la página anterior las marcas de Cristina, Jorge y Rodrigo. Después verifiquen las respuestas de las preguntas a), b) y c) de la actividad 1. Si encuentran diferencias, seguramente hay un error: corríjanlo.

En la recta numérica un número mayor se localiza a la derecha de otro menor.

3 Lee y realiza lo que se pide.

Arturo, Ricardo, Silvia y Míriam salen de la escue-la secundaria y caminan hacia sus hogares, que se encuentran en un mismo camino en línea recta. La distancia de la escuela a la casa de cada uno se re-gistra en la tabla.

a) Arturo representó en la siguiente recta la locali-zación de su casa y la de Silvia. Localiza los pun-tos donde Arturo debe representar la escuela, la casa de Ricardo y la de Míriam.

b) Míriam representó en la siguiente recta la localización de su casa y la de Ricardo. Localiza los puntos donde Míriam debe representar la escuela, la casa de Arturo y la de Silvia.

c) Compara tus respuestas con las de una compañera o compañero, corrige las que estén equivocadas y contesten juntos las siguientes preguntas.

i) ¿El orden de las casas es diferente en las representaciones de Arturo y de Mí-

riam? ¿Por qué? ii) Observa que la distancia entre las casas de Arturo y Míriam no es igual en am-

bas representaciones. ¿Por qué?

iii) Rosa vive entre las casas de Arturo y Míriam. ¿A qué distancia de la escuela es

posible que viva Rosa? Menciona tres opciones.

4 Vuelve a leer el inciso c) de la página 19, respóndelo si no lo habías hecho, o



A S

R M

Distancia de la escuela a su casa

Arturo 112

km

Ricardo 35

km

Silvia 134

km

Míriam 23

km


42

Fracciones en la recta numérica III

1 Encuentra el punto donde se localiza el 1 en las siguientes rectas numéricas.

a) b)

c) d)

Observa

Puedes comparar distan-cias usando tu compás.

L e c c i ó n 1 0

2 Encuentra la fracción que corresponde al punto rojo y contesta.

a) ¿Cuál es la distancia entre 14 y 12?

b) ¿Cuál es la distancia entre 14 y la fracción que escribiste?

c) ¿Qué fracción se encuentra a la misma distancia de 0 y de 14?

3 Escribe las fracciones indicadas en la recta y contesta.

a) ¿Cuál es la mitad de 13?

b) ¿Cuál es la tercera parte de 13?

c) ¿Qué fracción se encuentra a la misma distancia de 13 y de 23?

4 Escribe la fracción indicada con el punto en cada recta y contesta.

a) ¿Qué fracción localizaste en ambas rectas?

b) ¿Por qué la distancia entre 0 y la fracción que escribiste no es la misma en ambas

rectas?

0 1 0 1

14

12

25

0 35

0

32

0 53

0

0 13

0



5 Escribe la fracción que corresponde al punto rojo en cada recta y contesta.

a)

b)

c)

d) ¿Qué fracción corresponde al punto rojo de la recta del inciso a)?

e) ¿La fracción que corresponde al punto rojo de la recta del b) vale el doble de la

del a)? ¿Por qué?

f) ¿La fracción que corresponde al punto rojo de la recta del c) vale el triple de la que

localizaste en la recta del a)? ¿Por qué?

La fracción 34 representa tres partes de un entero dividido en cuatro partes igua-les y también que tres enteros se dividen en cuatro partes iguales.

6 Lee el texto y realiza lo que se pide.

Pitágoras de Samos, en el siglo VI a.n.e. [antes de nuestra era], descubrió la relación entre la longitud de una cuerda y la nota que se emite al pulsarla. Por ejemplo, si una cuerda que corresponde a la nota sol mide 1 unidad, las longitudes de las otras cuerdas para obtener las notas la, si, do, re, mi, fa, serían las siguientes:

Fa: 1615 Mi: 65 Re: 43 Do: 32 Si: 85 La: 16

9

Observa la longitud de la cuerda de do y dibuja las otras cuerdas.

Sol

Fa

Mi

Re

Do

Si

La

0 1

0 2

0 3


44

L e c c i ó n 1 1

Fracciones en la recta numérica IV

1 Localiza la fracción que se encuentra a la misma distancia de las dos

señaladas con puntos rojos en cada recta y escríbela como una fracción

simplificada. Puedes dividir cada recta en las partes iguales que desees.

Observa el ejemplo.

Una fracción simplificada o irreductible es aquella cuyo numerador y deno-minador tienen el 1 como único divisor común. Por ejemplo:

38

es una fracción simplificada porque 1 es el único divisor común de 3 y de 8.

621

no es una fracción simplificada porque 3 es divisor común de 6 y de 21.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2 Reúnete con una compañera o un compañero y comparen sus respuestas a la

actividad anterior. Si hay diferencias, busquen juntos la solución correcta. Pro-

pongan una manera de comprobar que la fracción encontrada está a la misma

distancia de las dos indicadas.

0 113

12

23

34

10 12

0 232

34

0 353

12

0 5125

143

0 412

185


45

3 Encuentra dos fracciones que se ubiquen entre los puntos rojos.

• En el recuadro, comprueba que las fracciones que encontraste son mayores que 32 y menores que 25

4 . Puedes convertirlas en fracciones equivalentes con denominador común o utilizar los productos cruzados.

4 Contesta las siguientes preguntas.

a) Si dos fracciones distintas están representadas en la recta numérica, ¿siempre podrás

encontrar una fracción que se localice entre ellas? ¿Por qué?

b) Si dos fracciones distintas están representadas en la recta numérica, ¿siempre podrás

encontrar dos fracciones que se localicen entre ellas? ¿Por qué?

Recuerda

Para comparar dos

fracciones ab

y cd

se

pueden emplear los productos cruzados:

Si a × d > b × c, entonces:

ab

> cd

Si a × d < b × c, entonces:

ab

< cd

Si a × d = b × c, entonces:

ab

= cd


0 732

254


46

L e c c i ó n 1 2

Números decimales en la recta numérica

1 Representa las siguientes cantidades en la recta numérica. Después, contesta.

110, 15, 45, 9

10, 1310, 32, 0.1, 0.2, 0.8, 0.9, 1.3, 1.5

a) ¿Qué cantidades ubicaste en el mismo punto de la recta? Anótalas a continuación.

= = =

= = =

b) ¿Qué número decimal es equivalente a 12?

2 Localiza los siguientes números en la recta numérica.

a) 0.56, 0.57, 0.60, 0.64, 0.645, 0.655, 0.7

b) 1.312, 1.319, 1.322, 1.328, 1.3285, 1.329

3 Observa las rectas numéricas y contesta.

Recta 1

Recta 2

a) ¿Podrías representar 0.70 en la recta 1 sin hacer más divisiones? ¿Cómo?

Después del punto decimal, los ceros al final de un número pueden eliminarse.

Recuerda

Los números decimales pueden expresarse como fracciones cuyo denominador es una potencia de 10. Por ejemplo:

0.7 = 710 = 7

101 3.2 = 3210 = 32

101 0.45 = 45100 = 45

102 1.023 = 1 0231 000 = 1 023

103

0.55 0.65

1.31 1.33

0 1

0 1

0 12


471.2. Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

4 Lee el texto y realiza lo que se pide.

Don Fabián es un carpintero que elabora bancos y mesas para niños. Ha determinado la altura ideal para sus productos:

Altura mínima (m)

Altura máxima (m)

Banco 0.25 0.4

Mesa 0.5 0.7

a) Don Fabián ha elaborado bancos con las siguientes alturas: 0.3, 0.17, 0.26, 0.28, 0.33, 0.41.

Localízalas en la recta numérica y contesta.

¿Qué medidas fueron menores que la ideal?

b) Don Fabián también fabricó varias mesas. Representa sus alturas (0.53, 0.77, 0.65,

0.55, 0.45, 0.48) en la recta numérica y contesta.

¿Qué medidas fueron menores que la ideal?

5 Escribe qué fracciones se representan con los puntos rojos en la siguiente

recta. Después realiza lo que se pide.

a) Divide el segmento de 0 a 1 en 10 partes iguales y anota cada número decimal. ¿Entre

qué números decimales se encuentran las fracciones que localizaste?b) Divide el segmento determinado por las dos fracciones que encontraste en 10

partes iguales e identifica cada número decimal. ¿Entre qué números decimales

se encuentran los puntos rojos? c) Convierte las fracciones que representan los puntos rojos en números decimales. Escribe entre qué números decimales se encuentran los puntos rojos si se divide

el segmento de 0 a 1 en 100 puntos iguales.

Recuerda

Para convertir una fracción en número decimal se divide el numerador entre el denominador.

Observa

Conviene localizar primero el punto que representa a 0 en las rectas numéricas.

0.25 0.4

0.5 0.7

0 1


48

Sucesiones I

1 En cada inciso hay una sucesión. Dibuja las figuras que faltan.

L e c c i ó n 1 3

a)

b)

c)

d)

e)

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5






49

2 Reúnete con un compañero o una compañera y comparen las respuestas de la

actividad anterior. Expliquen en sus cuadernos por qué dibujaron cada figura.

Incluyan comentarios de cómo van cambiando las figuras.

Una sucesión de figuras es una secuencia de figuras que se transforman de acuerdo con una regla.

3 Completa las sucesiones de figuras, anota el número de cuadrados rojos que

hay en cada una y contesta.

1.3. Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.

1

1

1

cuadrado cuadrados cuadrados cuadrados

¿Cuántos cuadrados habrá en la quinta figura?


¿Cuántos cuadrados habrá en la séptima figura?


¿Cuántos cuadrados habrá en la décima figura?

4 Observa los montones de esferas y contesta.

¿Cuántas esferas tendrá el montón número 9?

Montón 2

5 esferas

Montón 1

Una esfera

Montón 4

30 esferas

Montón 3

14 esferas


50

Sucesiones II

1 Observa las siguientes figuras formadas con palitos y después contesta.

a) ¿Cuántos triángulos tiene la primera figura?

b) ¿Cuántos palitos tiene la primera figura?

c) ¿Cuántos triángulos tiene la segunda figura? ¿Y cuántos palitos tiene?

d) Si se sigue la secuencia de figuras, ¿cuántos triángulos tendrá la sexta figura?

¿Y cuántos palitos?

e) Completa la tabla.

f) ¿Cómo va cambiando el número de triángulos en la tabla?

g) ¿Cómo va cambiando el número de palitos en la tabla?

h) ¿Cuántos palitos tendrá una figura formada por 20 triángulos?

i) ¿Cuántos palitos tendrá una figura de 105 triángulos?

j) Reúnete con una compañera o un compañero y contesten las siguientes preguntas.

Verifiquen sus respuestas usando la tabla del inciso e).

i) Si se sabe cuántos triángulos forman una figura, ¿cómo se calcula cuántos pali-

tos tiene?

ii) Si n triángulos significa cualquier número de triángulos, ¿cuántos palitos tiene

una figura con n triángulos?

2 Observa las figuras y completa la tabla. Después contesta.

a) ¿Cómo va cambiando el número de triángulos en la tabla?

b) ¿Cómo va cambiando en la tabla el número de palitos?

L e c c i ó n 1 4

Triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Palitos

Triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Palitos


51

c) ¿Cuántos palitos tendrá una figura formada por 15 triángulos?

d) En esta secuencia, ¿cuántos palitos tendrá la figura de 78 triángulos?

e) ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de 81 palitos?

f) Si se conoce el número de triángulos que hay en una figura, ¿cómo se calcula el

número de palitos?

g) ¿Cuántos palitos tiene una figura con n triángulos?

3 Observa las sucesiones de figuras y completa las tablas.

a)

Cuadrados 1 2 3 4 5 6 7 8 n

Palitos

b)

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

Palitos


Para representar un número cualquiera puede utilizarse una letra. Estas letras se llaman literales. Una expresión en la que se indican operaciones aritméticas con literales es una expresión algebraica. Por ejemplo, las siguientes son expre-siones algebraicas:

a + 4 3 × b 6 × n + 7 y ÷ 5 = s

Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una regla. Por ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16… es una sucesión. Cada número de la sucesión se lla-ma término de la sucesión. Para calcular el término que está en el lugar n de la sucesión, se multiplica n por 2, n × 2 es una expresión algebraica que indica la regla de la sucesión. Por ejemplo el término que está en el lugar 25 de la su-cesión es 50 porque 25 × 2 5 50.

1 2 3 4


52

Sucesiones III

1 Contesta.

Durante la celebración de la fiesta de un pueblo adornaron el lugar con cadenas de pa-pel. Ésta es una cadena de 10 eslabones.

a) Observa que los eslabones están numerados; ¿qué números tienen los de color ama-

rillo?

b) ¿Qué números tienen los eslabones de color verde?

c) ¿Qué eslabones son de color rojo?

d) ¿Qué eslabones son de color azul?

e) ¿Cómo es la secuencia de colores en la cadena?

f) Si la cadena tuviera 52 eslabones, ¿cuál sería el color del último?

g) Si la cadena tuviera 400 eslabones, ¿cuál sería el color del último?

h) Si la cadena tuviera 399 eslabones, ¿cuál sería el color del último?

2 Considera que la cadena de la actividad anterior tiene muchos eslabones y

completa la tabla.

Color del eslabón

Número de eslabón

Amarillo 1 5 9

Verde 2 6 10

Rojo 3 7 11

Azul 4 8 12

a) Contesta.

i) ¿Cuál es el valor de 4n cuando n vale 1?

ii) ¿Cuál es el valor de 4n cuando n vale 2?

iii) ¿Cuál es el valor de 4n cuando n vale 5?

L e c c i ó n 1 5

Observa

Los números que corresponden a los eslabones azules forman una sucesión. La regla para determinar el número de la posición n en esta sucesión numérica es 4 × n.

Observa

La expresión 4n es igual a 4 × n.En las expresiones algebraicas se puede omitir el signo × para evitar confundirlo con la letra x.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



b) Completa la tabla.

Regla de la sucesión correspondiente a los eslabones azules:

Valor de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Valor de 4n

¿Obtuviste los mismos valores que en la tabla anterior?

c) Determina las reglas de sucesión de los eslabones de los otros colores y completa las

tablas.

i) Regla de la sucesión correspondiente a los eslabones rojos:

Valor de n 1 2 3 4 5 20 28 40 50 100

Valor de

ii) Regla de la sucesión correspondiente a los eslabones verdes:

Valor de n 1 2 3 4 5 15 18 25 30 95

Valor de

iii) Regla de la sucesión correspondiente a los eslabones amarillos:

Valor de n 1 2 3 10 17 20 28 64 70 100

Valor de

3 Escribe dos términos más en cada sucesión numérica y su regla.

a) 3, 6, 9, 12, 15, , Regla:

b) 2, 5, 8, 11, 14, , Regla:

c) 7, 11, 15, 19, 23, , Regla:

4 Escribe los términos de las sucesiones siguiendo la regla.

ReglaValor de n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2n 2 4 6

4n + 1 5

7n − 3 4

Si la regla de una sucesión está enunciada con una expresión algebraica, los tér-minos de la sucesión pueden encontrarse asignando valores a la literal o literales en la expresión algebraica.


54

L e c c i ó n 1 6

Fórmulas geométricas I

1 Observa las fotografías y realiza lo que se pide.

Elena tiene varias fotografías y quiere enmarcarlas con encaje. Necesita saber cuál es el perímetro de cada fotografía para estimar la cantidad de encaje que requiere:

Fotografía 1 Fotografía 2 Fotografía 3 Fotografía 4

a) Escribe los datos que Elena necesita conocer:

b) Escribe dos procedimientos para calcular el perímetro de la fotografía 1. No anotes

fórmulas, sino el procedimiento para calcularlo.

Procedimiento 1:

Procedimiento 2:

c) Supón que cada lado de la fotografía 1 mide 13 cm.

i) Escribe una suma que permita calcular su perímetro:

ii) Anota una multiplicación que permita calcular su perímetro:

d) Supón que la fotografía 1 mide 2 dm por lado.

i) Escribe una suma que permita calcular su perímetro:

ii) Anota una multiplicación que permita calcular su perímetro:

e) Escribe una suma y una multiplicación para calcular el perímetro de este cuadrado.

Suma:

Multiplicación:

f) Considera las expresiones que escribiste en el inciso anterior y completa la tabla.

Valor de a 1 2 3 4 6 8 13 15

Suma 4

Multiplicación

a


55

g) Elena calculó que el perímetro de la fotografía 1 es 50 cm. Anota la medida de cada

lado de la fotografía:

h) Escribe un procedimiento para calcular el perímetro de la fotografía 2. Recuerda que

no debes anotar fórmulas, sino el procedimiento.

i) Los lados de este pentágono tienen la misma medida. Anota una suma y una mul-

tiplicación para calcular su perímetro.

Suma:

Multiplicación:

j) Escribe las operaciones aritméticas necesarias para calcular lo que se pide. No es-

cribas el resultado.

k) Escribe dos expresiones distintas para calcular el perímetro del rectángulo.

P =

P =

Los lados del hexágono de la izquierda tienen la misma longi-tud. El perímetro de la figura se calcula con la fórmula P = 6l, o bien, P = l + l + l + l + l + l. Las expresiones algebraicas 6l y l + l + l + l + l + l son equivalentes, es decir:

6l = l + l + l + l + l + l

1.4. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

Longitud de líneas verdes: Longitud de líneas verdes:

Longitud de líneas rojas: Longitud de líneas rojas:

Suma de las longitudes anteriores:

Suma de las longitudes anteriores:

a

am

l

17 cm

11.5 cm

12.1 cm

16.2 cm


56

de nuevoel reto

Fórmulas geométricas II

1 Observa las figuras y contesta.

a) ¿Cuál es el perímetro del triángulo de la figura 1?

b) Anota el perímetro del triángulo azul de la figura 2.

c) Escribe el perímetro del triángulo azul de la figura 3.

d) Completa la tabla.

2 Lee el problema y contesta.

Valor de a

1 cm 2 cm 3 dm 4 dm 5 m 17 m 28 m

Perímetro del triángulo de la figura 1 3 cm

Perímetro del triángulo azul de la figura 2 1.5 cm

Perímetro del triángulo azul de la figura 3 0.75 cm

El tablero de ajedrez es un cuadrado dividido en 64 cuadrados llamados casillas o escaques. En una tienda venden tableros de ajedrez de distintos tamaños.

a) En un tablero, los lados de los escaques miden 5 cm; ¿con

qué operación se calcula el área de cada escaque?

b) En otro tablero los escaques miden 5.5 cm. ¿Con qué operación se calcula el área de

cada uno?

c) Un tablero mide 45 cm de lado. ¿Con qué operación se

calcula su área?

d) ¿Cuál es el área del cuadrado de la izquierda?

L e c c i ó n 1 7

Figura 3

a4

Figura 1

a

Figura 2

a2

x


57

3 Escribe las fórmulas para calcular el área y el perímetro de estas figuras y

completa las tablas.

a)

Fórmulas Datos Perímetro Área

P = b = 4 cmh = 3.5 cm

A = b = 7 mh = 6 m

Triángulo equilátero

b)


P = a = 2.5 dmb = 3.8 dm

A = a = 6 dmb = 9.2 dm

Rectángulo

c)


P = a = 3 mb = 4.5 mh = 2.6 m

A = a = 7 dmb = 6 dmh = 5 dm

Romboide

d)


P = l = 8 cma = 9.7 cm

A = l = 3 mma = 3.6 mm

Octágono regular

Las fórmulas del perímetro o el área de una figura geométrica son expresiones algebraicas que indican operaciones entre las literales. Las literales se sustituyen por las medidas de las figuras.

1.4. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

h

b

a

b

a

b

h

la


58

L e c c i ó n 1 8

Simetría I

1 Ejecuta lo siguiente.

Necesitas: una hoja de papel, compás, regla, transportador, un espejo rectangular, lápiz y un color rojo.

a) Dobla la hoja de p apel a la mitad. b) Dibuja un triángulo en una de las mita-des y, con la punta de tu compás, haz orificios en sus vértices, de manera que traspasen las dos mitades de la hoja.

c) Desdobla la hoja. Observa que los orifi-cios que hiciste son los vértices de otro triángulo; trázalo.

d) Marca con rojo el doblez de la hoja y co-loca de canto el espejo, como se mues-tra en la figura. Comenta con tu grupo lo que observas.

Los dos triángulos que dibujaste son simétricos. La línea roja que marcaste se llama eje de simetría.

e) Señala los vértices de los triángulos como se muestra en el siguiente dibujo.

f) Une con segmentos punteados los pun-tos simétricos. Marca con azul las líneas punteadas de una mitad de la hoja y con verde las de la otra mitad.

Observa

A’, B’ y C’se leen: “A prima”,“B prima” y “C prima”, respectiva-mente.

Recuerda

Los vértices de un triángulo son los puntos donde se unen los lados.

Los triángulos que trazaste son simétricos respecto del eje de simetría. A y A’ son puntos si-

métricos respecto del eje de simetría. B y B’ también son puntos simétricos, igual que C y C’. Si dos puntos o dos figuras son simétricos, se dice que uno es reflexión del otro.

A A’

B B’

C C’

A A’

B B’

C C’


59

g) Utiliza tu compás para comparar la longitud de la parte verde con la longitud de la parte azul de cada segmento que trazaste.

Registra enseguida tus observaciones:

h) Mide los ángulos que forman los segmentos punteados con el eje de simetría.


i) Usando tu compás, compara las medidas de los lados de un triángulo con las de su reflexión.


j) Mide con un transportador los ángulos interiores de los triángulos que trazaste y contesta.


Dos puntos simétricos se encuentran a la misma distancia del eje de simetría.

El segmento que une dos puntos simétricos es perpendicular al eje de simetría.

La medida de un segmento y la de su reflexión son iguales. La medida de un ángulo y la de su reflexión son iguales.

i) ¿Cómo es la medida de los ángulos A y A’?

ii) ¿Cómo es la medida de los ángulos B y B’?

iii) ¿Cómo es la medida de los ángulos C y C’?

Recuerda

Dos líneas o segmentos son perpen-diculares si forman ángulos rectos.

A A’

B B’

C C’

A A’

B B’

C C’

A A’

B B’

C C’

A A’

B B’

C C’


60

L e c c i ó n 1 9

Simetría II

1 Dibuja la reflexión de cada figura respecto del eje.

a)

b)

c) d)


61

2 Traza el eje de simetría de las parejas de figuras simétricas que siguen.

a) b)

c) d)

3 Observa las figuras simétricas y completa las expresiones con las palabras

paralelos o perpendiculares.

a) AD y BC son e) EI y EF son

b) A’D’ y B’C’ son f) E’I’ y E’F’ son

c) AB y CD son g) EI y HI son

d) A’B’ y C’D’ son h) E’I’ y H’I’ son

4 ¿Qué relación se podrá establecer entre los tres símbolos de la página 19?


Observa

AD significa “el segmento AD”.

Si un par de segmentos son paralelos, sus reflejos respecto de un eje también lo son. Si un par de segmentos son perpendiculares, sus reflejos respecto de un eje también lo son.

A A’

D’

C’

B’

D

C

B

E I

F

G

H

I’ E’

H’

G’

F’


62

L e c c i ó n 2 0

Simetría III

1 En cada caso, traza la reflexión respecto del eje. Observa el ejemplo.

a) b)

c) d)

2 Reúnete con dos o tres compañeros y comenten cómo resolvieron la actividad

anterior. Redacten en sus cuadernos el procedimiento que consideren más

sencillo para localizar puntos simétricos respecto de un eje.

Recuerda

Con la ayuda de una escuadra es posible trazar una línea perpendicular a otra que pase por un punto dado.

a) Se identifican los lados de la escuadra que forman un ángulo recto.

b) De los lados de la escuadra que forman ángulo recto, uno se coloca sobre la línea y el otro sobre el punto. Se traza la perpendicular.

A

A’ P

ME


63

3 Traza la reflexión de las figuras respecto del eje.

a) b)

c) d)

4 Traza el eje de simetría de cada pareja de figuras.

a) b)


Para encontrar la reflexión de una figura, debe verificarse que para cada pare-ja de puntos simétricos la distancia al eje de simetría sea la misma y que el segmento que los une sea perpendicular al eje de simetría.

A

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

B

D

C



64

La altura de la pirámide

Tales fue uno de los siete sabios de Grecia. Nació en Mileto (hoy Turquía) alrededor del año 624 a.n.e. y murió en el mismo lugar alrededor del año 547 a.n.e. Se hizo

famoso por predecir un eclipse de Sol el 28 de mayo de 585 a.n.e.

De Tales de Mileto se cuentan muchas historias y anécdotas. Por ejemplo:

Se dice que tuvo que soportar las burlas de quienes pensaban que tantas horas de estudio e investigación no servían para nada por-que a pesar de ser sabio no era rico, así que decidió sacar provecho

de sus conocimientos. Debido a sus observaciones meteorológicas, pudo saber que la cosecha de aceitunas sería muy buena, así que al-

quiló todas las prensas de aceitunas que había en la región. Los agri-cultores tuvieron que rentar a Tales todas las prensas y éste amasó una gran fortuna en sólo un año. Así, pudo dedicar-se con más empeño a sus investigaciones y nadie volvió a mofarse de él.

Cuentan que una vez Tales cayó en un hoyo por caminar distraído mirando al cielo. Su sirvienta le dijo: “¿Cómo espera entender el cielo si no ve lo que está a sus pies?”.

Viajó mucho. Visitó Egipto hacia el año 600 a.n.e., cuando las pirámides habían cumpli-do 2 000 años de haber sido construidas. El faraón, conociendo la fama del sabio griego, lo llamó para pedirle que determinara la altura de la gran pirámide de Kéops.

Tales apoyó una vara en el suelo y esperó. Cuando la sombra de la vara tuvo la misma longitud que ésta, pidió que midieran la sombra de la pirámide. El sabio griego deter-minó que en ese momento la longitud de la sombra de la pirámide también era igual que su altura.

Busto de Tales de Mileto

Pirámide de Kéops


ESTRATEGIA

65

Otras versiones de la historia cuen-tan que Tales no tuvo necesidad de esperar a que la altura de la vara y su sombra fueran iguales, sino que, una vez conocida la longitud de la vara, solamente midió la longitud de su sombra y la de la de la sombra de la pirámide. Observa el dibujo:

Supón que Tales determinó las medi-das que se presentan enseguida:

Reúnete con un compañero o una compañera, observen el esquema anterior y con-testen las preguntas.

Supongan que la vara mide 1 m.

a) Si la longitud de la sombra de la vara es de 2 m, ¿qué relación hay entre la lon-

gitud de AB y la altura de la pirámide? b) Si la longitud de la sombra de la vara es de 3 m, ¿qué relación hay entre la lon-

gitud de AB y la altura de la pirámide? c) Si la longitud de la sombra de la vara es de medio metro, ¿qué relación hay entre

la longitud de AB y la altura de la pirámide?

Junto con tu compañero o compañera empleen el método de Tales para determinar las alturas aproximadas de postes, árboles, astas y otros objetos que se les ocurran.

1mA B220.5 m

1.5 m

Determina cuál es la altura de la gran pirámide.


66

L e c c i ó n 2 1

Proporcionalidad directa I

1 Completa las tablas y contesta las preguntas.

a) Todas las bolsas de nueces pesan igual y tres bolsas de nueces pesan 6 kg.

Número de bolsas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Peso en kilogramos 6

b) Con el chorro de agua de una llave pueden llenarse nueve cubetas en tres minutos.

Número de cubetas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Minutos 3

i) Si determinado número de cubetas se llena en cierto tiempo, ¿cuántas cube-

tas se llenan en la tercera parte de ese tiempo?

¿Y qué pasa con el número de cubetas llenas si

sólo transcurre la mitad del tiempo?

En la actividad anterior el número de bolsas y el peso total de ellas están relaciona-dos. El peso total de las bolsas depende de su número. Si el número de bolsas au-menta o disminuye n veces, el peso total también aumenta o disminuye n veces.

i) Si el número de bolsas aumenta, ¿qué sucede con el peso total de las mismas?

ii) Si el número de bolsas aumenta al doble, ¿cómo cambia el peso total de

ellas?

iii) Si el número de bolsas disminuye a la mitad, ¿qué pasa con el peso total de

ellas?

iv) Observa que los pesos que anotaste en la tabla forman una sucesión. ¿Cómo

van cambiando los términos?

v) ¿Con qué operación puedes calcular cuánto pesan 27 bolsas?

vi) ¿Cómo se calcula cuánto pesan n bolsas?


67

ii) ¿Con qué operación puedes calcular cuántas cubetas se llenan en 412 minutos?

iii) ¿Cómo cambian los minutos que anotaste en la tabla? iv) ¿Cómo se calcula cuánto tiempo es necesario que transcurra para que se llenen

n cubetas?

c) Un robot de pilas recorrió 5 m en 30 s.

Metros recorridos 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Segundos 30

1.6. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

Dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales si se relacionan de manera que, si una cantidad aumenta o disminuye n veces, la correspondien-te del otro conjunto también aumenta o disminuye n veces.

i) ¿Cómo cambian los segundos que anotaste en la tabla?

ii) Si el robot recorre a metros en b segundos, ¿cuántos metros reco-

rrerá en 2b segundos? iii) Si el robot recorre c metros en d segundos, ¿cuántos metros reco-

rrerá en d2 segundos? iv) ¿Con qué operación puedes calcular cuánto tarda el robot en reco-

rrer 126 m?

v) ¿Cómo se calcula cuánto tarda el robot en recorrer n metros?

En la actividad anterior el número de cubetas y el tiempo para llenarlas están relacionados. Si el número de cubetas aumenta n veces, el tiempo necesario para llenarlas también aumenta o disminuye n veces.


68

L e c c i ó n 2 2

1

Figura 1

2

Figura 2

3

Figura 3

4

Figura 4

5

Figura 5

1

Figura 1

24

68

10

2

Figura 2

3

Figura 3

4

Figura 4

5

Figura 5

Proporcionalidad directa II

1 Observa la sucesión de cuadrados, completa la tabla y contesta las preguntas.

a) ¿El área y el lado del cuadrado son directamente proporcionales? ¿Por qué?

b) ¿El perímetro y el lado del cuadrado son directamente proporcionales?

¿Por qué? c) Si l denota el lado de un cuadrado y P su perímetro, ¿cuál es la fórmula que rela-

ciona ambas cantidades?

2 Observa la sucesión de rectángulos, completa la tabla y contesta las preguntas.

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lado 1 2

Perímetro 4

Área 1

Perímetro

Lado41 = 4

Área

Lado11 = 1


69

a) ¿Cómo se calcula la altura de un rectángulo de la sucesión si se conoce la base?

b) ¿Las bases y las alturas de los rectángulos de la sucesión varían de forma directa-

mente proporcional? ¿Por qué? c) Si b es la base de un rectángulo de la sucesión y h es la altura, ¿cuál es la fórmula

que relaciona ambas cantidades? d) ¿El lado de la base y el perímetro varían de forma directamente proporcional?

¿Por qué? e) Si b es la base de un rectángulo de la sucesión y P su perímetro, ¿cuál es la fórmula

que relaciona ambas cantidades?

f) ¿El lado de la base y el área varían de forma directamente proporcional?

¿Por qué?

Si x y y representan cantidades de dos conjuntos directamente proporcionales, la fórmula que los relaciona es y = kx, donde k es un número constante llamado constante de proporcionalidad.

3 Reúnete con dos compañeros y busquen tres ejemplos de parejas de conjuntos

que varían de manera directamente proporcional y tres parejas de conjuntos

que no lo hagan. Propongan cómo identificar magnitudes directamente

proporcionales.

4 Discute con dos compañeros o compañeras lo siguiente.

Expliquen cómo calcularían la altura de un árbol muy grande si pudieran medir la de un árbol cercano y mucho más pequeño. Planteen un ejemplo para exponerlo a los demás compañeros de clase.

1.6. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Base 1 2

Altura 2

Altura

Base2

Perímetro 6

Área 2

Perímetro

Base61 = 6

Área

Base21 = 2

de nuevoel reto


70

L e c c i ó n 2 3

Reparto proporcional

1 Lee los problemas y contesta.

a) En su clase del taller de cocina, Andrea y Beatriz prepararon, cada una, un tarro de mermelada de fresa usando la misma receta y después juntaron el contenido de los dos tarros. Pusieron en una tabla la cantidad de fresa y azúcar que utilizaron.

Mermeladade Andrea

Mermeladade Beatriz

Mermeladasjuntas

Fresa (kg) 15 5 20

Azúcar (kg) 9 3 12

i) Si Andrea hubiera usado 3 kg de fresa, ¿cuánta azúcar habría necesitado?

ii) Si Beatriz hubiera usado 9 kg de fresa, ¿cuánta azúcar habría necesitado?

iii) ¿Cuánta azúcar empleó Andrea por cada kilogramo de fresa?

iv) ¿Cuánta azúcar empleó Beatriz por cada kilogramo de fresa? v) ¿La mezcla de mermelada guarda la misma proporción de azúcar y fresa que la que

emplearon Andrea y Beatriz? ¿Por qué?

b) Rita y Carmen hicieron equipo y prepararon arroz con leche. En la tabla se ven los ingredientes que utilizaron.

Arrozde Rita

Arrozde Carmen

Arrocesjuntos

Arroz (g) 300 120 420

Leche (ℓ) 3 112 41

2

Azúcar (g) 400 200 600

i) Si Rita hubiera usado 100 g de arroz, ¿cuánta leche habría necesitado?

ii) Si Carmen hubiera usado 3ℓ de leche, ¿cuánto arroz habría necesitado?

iii) ¿Rita y Carmen emplearon la misma receta? ¿Por qué?

Observa que, puesto que se usó la misma receta, la cantidad de fresa y azúcar en la mermelada de Andrea, en la de Beatriz y en la mezcla de ambas guardan la misma relación de proporcionalidad.


71

2 Lee el problema y completa la tabla.

En el taller de cocina, Cecilia y Azucena hicieron equipo y prepararon natilla usando la misma receta. Después mezclaron sus postres.

Natilla de Cecilia

Natilla de Azucena

Natillas juntas

Yemas de huevo 4 8 12

Azúcar (tazas) 94

Leche (tazas) 18

Cucharadas de esencia de vainilla 1 2 3

3 Reúnete con dos o tres compañeras o compañeros y discutan las siguientes

preguntas. Escuchen las propuestas de los demás y justifiquen sus argumentos.

Una vez que lleguen a un acuerdo, contesten.

Tres amigos, Lidia, Rosario y Alfredo, obtuvieron un premio de $2 000.00 en un sor-teo. Si Lidia aportó $4.00 para comprar el boleto; Rosario, $5.00 y Alfredo, $1.00,

a) ¿quién de los tres debe recibir más dinero del premio?

¿Por qué?

b) ¿Cómo deben repartirse el premio? c) Propongan una manera de repartir el premio tomando en cuenta lo que aportó cada

uno para comprar el boleto. Indiquen en sus cuadernos por qué creen que el repar-to que proponen es justo.

Lidia: $ Rosario: $ Alfredo: $

4 Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

a) Patricia y Carlos compraron 3 y 5 entradas para un concierto, respectivamente. Si les costaron $ 1 200.00, ¿cuánto debe pagar cada uno?

b) La pólvora esta compuesta de 75 partes de salitre, 12.5 de carbón y 12.5 de azufre. ¿Qué peso de cada componente se requiere para obtener 790 kilogramos de pólvora?

5 Vuelve a leer el inciso b) de la página 19, respóndelo si no lo habías hecho, o


1.7. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

En el problema anterior, un reparto justo puede hacerse entregando una cantidad que guarde una relación proporcional con lo aportado por cada uno.


72

L e c c i ó n 2 4

Problemas de conteo I

1 Dibuja los banderines que faltan y contesta.

Un equipo de futbol quiere diseñar su banderín. El banderín debe tener tres franjas con los colores del equipo: rojo, verde y amarillo. ¿Cuántos banderines distintos se pueden hacer? Observa que el orden de los colores sí importa.

Se pueden hacer banderines.

a) ¿Cuántos colores pueden elegir para la primera franja? b) Si ya se eligió el rojo para la primera franja, ¿qué colores se pueden elegir para la

segunda franja? c) Si ya se eligió el rojo para la primera franja y el verde para la segunda, ¿qué opcio-

nes de color quedan para la tercera franja?

2 Completa el siguiente diagrama de árbol y contesta.

Primera franja Segunda franja Tercera franja

a) ¿Con qué operación podrías calcular cuántos posibles banderines pueden elaborarse?


73

b) Si en lugar de tres colores pudieran usar cuatro, pero sin repetir ninguno, ¿cuántos

banderines de tres franjas podrían hacer?

Un diagrama de árbol es un esquema que permite organizar datos para contar-los con facilidad.

3 Resuelve los problemas. Después compara tus resultados con los del resto del

grupo.

a) Unos alumnos quieren vender camisetas para recaudar fondos para una excursión. Tie-nen camisetas de tres tamaños, chi-ca, mediana y grande (Ch, M y G); de dos colores, rojo y verde (r y v); y con dos adornos distintos, una Luna y un Sol (L y S). ¿Cuántas cami-setas diferentes tienen?

Tienen camisetas diferentes.

i) ¿Con qué operación puedes calcular cuántas camisetas diferentes se tienen?

ii) Si además piensan que las camisetas pueden ser de manga corta y de manga larga,

¿cuántas camisetas distintas habría?

b) Alberto y Benito son dos jugadores de ajedrez que se enfren-tan en una competencia. Los partidos empatados no cuentan y ganará la competencia quien derrote a su oponente dos veces seguidas o un total de tres veces. ¿De cuántas maneras puede terminar la competencia? Para resolver el problema puedes hacer en tu cuaderno un diagrama de árbol como el siguiente.

A = gana Alberto B = gana Benito

A A

B

B A

B

1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos como diagramas de árbol y otros procedimientos personales.


74

L e c c i ó n 2 5

Problemas de conteo II

1 Completa la tabla y contesta.

Tres amigos: David, de 10 años, Sergio, de 5, y Arturo, de 15, quieren repartirse seis canicas de manera que a cada uno le toque por lo menos una. ¿De cuántas maneras pue-den hacerlo?

Pueden repartirse las canicas de maneras distintas.

¿Cuál de los repartos es proporcional a las edades de los tres amigos?

2 Lee el problema y haz lo que se pide.

Cinco pueblos (A, B, C, D y E) se quieren comunicar de forma que todos los pueblos queden unidos por una carretera.

a) Dibuja las carreteras que se deben construir y contesta.

¿Cuántas carreteras se deben construir?

David 1 1

Sergio 1 4

Arturo 4 1

Total 6 6

A

B

D

C

E


75

b) Observa que cada carretera puede simbolizarse con una pareja de letras. Por ejem-plo AB o DE. Completa la tabla con las carreteras que se deben construir y contesta. Tacha o no escribas las carreteras repetidas.

A B C D E A

B

C

D

E

¿Cuántas carreteras se deben construir?

c) Comprueba si obtuviste el mismo resultado en los incisos a) y b). De no ser así, revisa tus procedimientos y corrígelos.

d) Escribe cuántas carreteras deben construirse si en lugar de cinco pueblos fueran seis.

Deben construirse carreteras.

Para resolver problemas en los que se debe contar, podemos auxiliarnos de diagra-mas, tablas o esquemas, o realizar operaciones aritméticas.

3 Resuelve los siguientes problemas. Si necesitas elaborar tablas, esquemas o

diagramas, hazlo en tu cuaderno.

a) Un grupo de seis personas, que se citaron para salir juntas, se saludaron al verse todas. ¿Cuántos saludos se intercambiaron?

Se intercambiaron saludos.

b) ¿De cuántas maneras pueden repartirse tres premios entre Juan, Pedro, María, Ali-cia y Pilar de modo que ninguno de ellos obtenga dos premios?

Se pueden repartir de maneras.

c) Una habitación tiene tres puertas. ¿De cuántas maneras es posible entrar por una puerta y salir por otra distinta?

Es posible de maneras.

d) Una habitación tiene cuatro puertas. ¿De cuántas maneras es posible entrar por una puerta y salir por otra distinta?

Es posible de maneras.

1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos como diagramas de árbol y otros procedimientos personales.

Observa

La carretera BA es lo mismo que la carretera AB.

AB AC


76

T I CEl sistema binario en la calculadora científica

Los circuitos de las computadoras utilizan el sistema binario de numeración. El sistema decimal que usamos en la vida diaria emplea 10 símbolos. El binario, cuya base es 2, sólo requiere de dos símbolos: 1 y 0. Estas cifras pueden adaptarse perfectamente a los dos estados que pueden presentar los componentes electrónicos: prendido y apagado.

A continuación veremos cómo escribir números en sistema binario usando la calcula-dora del sistema operativo Windows.

En el menú de Inicio elige Inicio>Todos los programas>Accesorios>Calculadora

En el menú de la calculadora escoge Ver>Científica

Escribe cualquier número y después escoge Ver>Binario o presiona la tecla F8. El número que tecleaste en el paso anterior, ahora aparecerá escrito en sistema binario.

Para regresar al sistema decimal puedes presionar F6 o escoger Ver>Decimal

Prueba en la calculadora cómo se escriben algunos números en sistema binario. Anota a continuación cuáles son las reglas y principios de este sistema de numeración.

Observa que con la calculadora también puedes expresar números en sistema octal o hexa-decimal. Reúnete con un compañero o compañera y juntos exploren cuáles son las bases de estos sistemas y qué símbolos emplean. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.


77

R e c r e a c i ó n

En el siguiente espacio puedes hacer lo que desees: un dibujo, una serie con figuras geométricas, un problema interesante, un cuento, un acertijo, una gráfica original, un juego…

La única condición es que emplees los conocimientos que adquiriste en este bloque. A continuación te damos algunas sugerencias:

• Un sistema de numeración. • Un juego en el que se deban comparar fracciones para ganar.• Un cuento en el que los personajes sean figuras simétricas.• Una serie de figuras con muchos colores. • Un acertijo en el que se deban contar cosas para resolverlo.


78

E v a l u a c i ó n

Subraya la respuesta correcta. Después analicen sus resultados. Identifiquen las dificultades.

1 En un sistema de numeración posicional se emplean sólo dos símbolos:

= 1 = 2 = 3 = 4

¿Qué número representa ?

a) 1 110 b) 14 c) 3 d) 5

2 El punto que señala la letra P está exactamente a la mitad entre las dos fracciones

indicadas. ¿A qué fracción corresponde?

a) 22 b) 2

3 c) 26 d) 1

3

3 ¿Qué número corresponde a la letra Q en la siguiente recta?

a) 4.28 b) 3.8 c) 1.1 d) 3.22

4 Observa la sucesión de figuras formadas con palitos y contesta.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

¿Cuántos palitos tiene la figura n?

a) n + 12 b) 4n c) 4n + 12 d) 12n + 4

3.4 Q 4.5

12

56

P


79

5 ¿Cuál es la regla de la siguiente sucesión?

2, 10, 18, 26, 34

a) 2n b) 2 + 8n c) 8n + 2 d) 8n – 6

6 ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un polígono de n lados si cada lado mide

3 cm?

a) n + n + n b) 3 + n c) 3 × n d) 3 ÷ n

7 ¿Cuáles son un par de figuras simétricas entre sí con respecto a un eje?

a) b) c) d)

8 Un automóvil consume 50 litros de gasolina para recorrer 550 km. ¿Cuántos litros gastará

para recorrer 220 km?

a) 5 litros b) 10 litros c) 15 litros d) 20 litros

9 Rafael, Gloria y Víctor compraron un boleto de $15.00 para una rifa. Rafael aportó $8.00;

Gloria $5.00 y Víctor $2.00. Si se ganaron $3 000.00, ¿cuánto le toca a cada uno?

a) A Rafael, $1 800.00; a Gloria, $1 000.00 y a Víctor, $200.00

b) A Rafael, $1 600.00; a Gloria, $1 000.00 y a Víctor, $400.00

c) A Rafael, $2 000.00; a Gloria, $800.00 y a Víctor, $200.00

d) A Rafael, $1 700.00; a Gloria, $900.00 y a Víctor, $400.00

10 En una papelería venden cajas de 6, 12 y 24 lápices de colores. Los hay chicos, medianos y

grandes. ¿Cuántos tipos de lápices de colores venden?

a) De 4 tipos

b) De 6 tipos

c) De 8 tipos

d) De 9 tipos


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