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Matemáticas IV. Geometría Analítica
Preparatoria Sur UAQ.
Ing. Mariana Lujambio Chávez
Apuntes Primer Parcial.
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Historia
• Prehistoria.
Actividades prácticas.
Formas geométricas a través de la naturaleza.
Historia de la geometría analítica.
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Historia
• La luna llena, la superficie lisa de un lago, la rectitud de un rayo de luz existió antes que el hombre mismo y son objeto de observación desde el primer momento de la existencia del hombre.
Historia de la geometría analítica.
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Geometría como ciencia.
• surgió en las primeras civilizaciones:
• Los egipcios usaron en la construcción de sus pirámides ciertas proporciones entre sus lados, seguramente por razones estéticas.
Historia de la geometría analítica.
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Geometría como ciencia
• Los griegos estudiaron matemáticamente las proporciones entre los segmentos de distintos polígonos regulares.
Historia de la geometría analítica.
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Principales aportaciones de:
• Pitágoras
• Euclides
• Descartes
Historia de la geometría analítica.
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Geometría Analítica.
• Nace en la primera mitad del siglo XVII
• Establece un nexo entre las curvas del plano y las ecuaciones algebraicas con dos incógnitas.
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Causa de:
• Mecánica contemporánea
• Astronomía
• Arte de la guerra
• Cuando kepler descubre que los planetas giran alrededor del Sol.
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Padres de la GA
• René Descartes (1596-1570)- “Discurso del método” y “Geometría”
• Pierre Fermat (1601- 1665)
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Definición de GA
• La GA es aquella parte de la matemática que aplicando el método de las coordenadas, estudia los objetos geométricos por medios algebraicos.
Historia de la geometría analítica.
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Segmento rectilíneo Dirigido
• Para fines de G.A. se añade al concepto de segmento rectilíneo la idea de sentido o
dirección.
A Origen o punto inicial
B Extremo o punto
final
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional
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Segmento rectilíneo Dirigido
• Podemos obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A.
• Un segmento dirigido en un sentido se considera de longitud positiva, mientras que en el sentido puesto se considera de longitud negativa.
A Extremo o punto
final
B Origen o
punto inicial
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional
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Sistema coordenado lineal o unidimensional
• O- punto fijo sobre la línea, llamado Origen. • 𝑂𝐴-longitud de medida (unidad de medida)=1 • 𝑂𝑃-longitud positiva, P corresponde al número positivo x.
• 𝑂𝑃′-longitud negativa, P corresponde al número negativo x’. • EJE- Recta X’X • El número real x correspondiente al punto P se llama
coordenada del punto P.
X’ X (x’) (x2)
P’ P2
(0)
O
(1)
A
(x1) (x)
P1 P
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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Distancia Dirigida.
• Es aquella que al medirla se establece un sentido entre sus puntos.
• La distancia dirigida de P1 a P2 es:
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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Distancia Dirigida.
• Y la distancia dirigida de P2 a P1 es:
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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Ejemplos.
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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División de un segmento en una razón dada.
• Sea el segmento definido por lo puntos P1 (x1) y P2 (x2), si P(x) es un punto sobre el segmento 𝑃1𝑃2 entonces P divide en los segmentos 𝑃1𝑃 y 𝑃𝑃2 en la razón r.
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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División de un segmento en una razón dada.
• Siendo 𝑃1𝑃 =x-x1 y 𝑃𝑃2 = x2-x por lo tanto:
• La coordenada del punto de división P es:
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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Ejercicios:
1
2
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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Ejercicios:
3
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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Punto medio
• Es aquel que divide un segmento en dos partes iguales. La coordenada del punto medio, Pm, del segmento definido por los puntos P1 (x1) y P2 (x2), se determina tomando la razón r=1.
• Se sustituye en :
• Se obtiene la coordenada del punto medio:
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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Ejercicios 1
2
Sistema de coordenadas lineal o unidimensional.
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EL problema de weber.
• Actividad
Sistema de coordenadas Bidimensional
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El problema de Weber
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Plano cartesiano
• Son dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen.
• Recta horizontal: eje X o eje de las abscisas.
• Recta vertical: eje Y o eje de las ordenadas.
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Plano cartesiano
• El plano cartesiano presenta cuatro regiones llamadas “cuadrantes”.
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Plano cartesiano
• A cada punto P se le asigna un par coordenado P(x,y).
P(x,y)
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Localización de puntos.
• Para localizar un punto P(x,y) en el plano cartesiano:
• Tomar como referencia el origen.
• Se avanza tanto como lo indique el primer número correspondiente a las Xs (abscisa) hacia la derecha o izquierda según sea su signo.
• A partir de la nueva posición se avanza como lo indique el segundo número correspondiente a las Ys
(ordenadas) hacia arriba o abajo según sea su signo.
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Ejemplo
• Grafica los siguientes puntos:
• A(-5,4)
• B(3,2)
• P(-2,0)
• Q(-1,-3)
• R(0,-4)
• S(5,-1)
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Ejemplo
• Grafica los siguientes puntos:
• A(-5,4)
• B(3,2)
• P(-2,0)
• Q(-1,-3)
• R(0,-4)
• S(5,-1)
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Ejercicios
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Repuestas
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Distancia entre dos puntos
• Dados puntos del plano, la distancia que existe entre ellos es de la forma:
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Distancia entre dos puntos ejercicios.
Sistema de coordenadas Bidimensional
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División de un segmento en una razón dada
Sistema de coordenadas Bidimensional
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División de un segmento en una razón dada
Sistema de coordenadas Bidimensional
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División de un segmento en una razón dada.
• El signo de la razón indica si el punto de división se ubica entre los extremos del segmento o fuera de ellos sobre la misma recta.
Sistema de coordenadas Bidimensional
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División de un segmento en una razón dada.
• El signo de la razón indica si el punto de división se ubica entre los extremos del segmento o fuera de ellos sobre la misma recta.
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Punto medio
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Puntos de trisección de un segmento de recta
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Ejercicios de clase. 1
2
3
4
5
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Pendiente de una recta.
• Apuntes subidos al portal. (A1)
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Ejercicios de clase 3
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Condición de paralelismo
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Condición de perpendicularidad
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Ejercicios.
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Ángulo entre rectas
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Área de un triangulo
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Área de un triangulo
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Área de un polígono
Sistema de coordenadas Bidimensional
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Ejercicios
1.
2.
Sistema de coordenadas Bidimensional