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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA UNIVERSITARIA DE ARQUITECTURA TÉCNICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA A LA ARQUITECTURA TÉCNICA

MATEMÁTICAS I

Problemas

Curso 2009/2010 (Primer semestre)

Prácticas de Matemáticas I Tema 1. Función real de variable real

Tema 1. Función real de variable real

1. Una caja cerrada con base cuadrada de lado x tiene un área de 100 cm2. Expresar su

volumen V en función de x. Hallar el dominio de dicha función.

2. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

(a) f(x) = 1 +√

x2 − 1 (b) f(x) = 1√2x+4

(c) f(x) = Ln(

1+x1−x

)(d) f(x) = Ln

(ex+1ex−1

)(e) f(x) = 1

sin x(f) f(x) =

√cos x− 1

(g) f(x) = arccos 1|x| (h) f(x) =

√x+3x

(i) f(x) = ln(2−x)√x+2

(j) f(x) =√

x2 + x− 2 (k) f(x) =√

x3 − x (l) f(x) = ln(

1x− 6)

(m) f(x) =√

ln x− ln√

x (n) f(x) = 1x2−9

(o) f(x) = xtan x

(p) f(x) = ln(arctan x) (q) f(x) = 1arcsin

(r) f(x) = arccos x2

(s) f(x) = e√x−2x (t) f(x) = 1√

1−x2 (u) f(x) = ln(x2+1)x2+x

3. Calcular los siguientes límites:

(a) limx→3

(x2 + 7x− 5) (b) limx→1

x2+1x−3

(c) limx→+∞

(x3 + x− 1)

(d) limx→−∞

(1x2 + 2

)(e) lim

x→0

sin x− 12

sin 2x

x3 (f) limx→π

4

1−tan xcos 2x

(g) limx→0

1−cos xx

(h) limx→+∞

[ln(x + 1)− ln(x + 2)] (i) limx→+∞

(1 + 1

x

)x+7

(j) limx→0

√sin2 xx

(k) limx→0

3 sin x arcsin x1−cos x

(l) limx→0

3xln(1+x2)

m) limx→0

(2x3 + x4 − 3

x6

)(n) lim

x→0

(x+2)2−4x

(o) limx→+∞

−2x+33x2+1

(p) limx→0

√1+x−1

x(q) lim

x→0

tan x−xx−sin x

(r) limx→0

x2e1x

(s) limx→0+

ln xln(sin x)

(t) limx→0+

xx (u) limx→0−

1

1+e1x

(v) f(x) =

{|x+1|x+1

x 6= −1

2 x = −1lim

x→−1f(x)

4. Hallar los límites en los extremos de su dominio, para las siguientes funciones:

(a) f(x) = arctan (9− x3) (b)f(x) = arccos√

x

EUATM Curso 09/10

1

Prácticas de Matemáticas I Tema 1. Función real de variable real

5. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

(a) f(x) = e− 2x(x−1)2 (b) f(x) = |x|

x(c) f(x) = arctan(x2−1)

x−1

(d) f(x) =

{x−1

1+e1

x−1x 6= 1

0 x = 1(e) f(x) =

{sin 1

xx 6= 0

0 x = 0(f) f(x) =

{x2 sin 1

xx 6= 0

0 x = 0

6. Aplicando la de�nición de derivada en un punto, calcular, si existe, en los puntos indicados

la derivada de las siguientes funciones:

(a) f(x) = 1xen x = 0 (b) f(x) = tan x en x = 0 (c) f(x) = (x− 1)(x− 2)2(x− 3)3

en x = 1; x = 2; x = 3

7. Hallar la función derivada de las funciones siguientes:

(a) f(x) =

{sin x

xx 6= 0

1 x = 0(b) f(x) =

{x2 sin 1

xx 6= 0

0 x = 0

8. Sea f(x) = x√

x(4− x), obtener los puntos de intersección con los ejes, puntos de crecimiento

y decrecimiento, extremos relativos, extremos absolutos, recorrido y grá�ca.

9. Sean f(x) = x2 − 1 en [0, 3] y g(x) = 1x−1

en [2, 5] indicar de cada una de estas funciones si

están acotadas superior y/o inferiormente, en el intervalo correspondiente. Decir si alcanzan su

máximo o su mínimo absoluto y calcular el recorrido.

10. Calcular los puntos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de las funciones

f(x) = ex

xy g(x) = ln x3−1

(x−1)3.

11. La grá�ca de una función f(x) = ax2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto (1,1).

Además la tangente a dicha curva en el punto de abcisas x=2 es paralela a la bisectriz del primer

cuadrante. Calcular a, b y c.

12. Hallar extremos absolutos y recorrido de las funciones:

(a) f(x) = arctan x2 (b) f(x) = x + 1xen (0, +∞)

(c) f(x) = earcsin√

2x+5 (d) f(x) =

{(x− 2)

23 + 1 en [0, 3)

−(x− 4)23 + 3 en [3, 5]

EUATM Curso 09/10

2

Prácticas de Matemáticas I Tema 2. Integración

EUATM Curso 09/10

3

Tema 2. Integración 1. Calcula:

a) dxx67x3 2∫ − b) dx

x

4x5

22

∫

−− c) dxx

xsen∫ d) dxxsen2

∫ e) dxxe2x1

∫−

f) dxxe

1ex

x

∫ ++

g) dx1x

2x 2

∫ +−

h) dx4x4x

124∫ ++

i) dx4x

xx44

3

∫ ++

j) dx1e

ex2

x

∫ + k) dx

senxx

xcos1∫ +

+ l) dxarctgx∫ m) dxsenxex

∫

n) dxxlnx 5∫ o) dx

x9

x2∫ −

p) dxx9

12∫ −

q) dxx41

22∫ +

r) dx2x2x

x2∫ ++

s) dxxx

1x2x2

3

∫ −++

t) dx)1x)(1x(

x2

2

∫ −+

2. Calcula:

a) dxxsenxcos2

0

3∫

π

b) dxx1

e1

0 2

arctgx

∫ + c) dxex

3

2

x2∫

− d) dxx93

0

2∫ −

e) ( )dxxexe1

0

1x2∫

−− f) dxx3

1)x2(

3

1x22x

1

0

3332∫

−−+− g) dxx11

0

2∫ −

h) dxx3

1 - x-x

3

14

2

0

643∫

i) dx)x1(

1

x

1

4

13

1 22∫

+− j) dxxe

2

11

0

x2

∫−

k) dx)1e(x1

0

x2

−∫ l) dxsenx1

xcos

2∫

ππ +

m) dxxe1

0

x2

∫ n) dxx1

x11

0 2∫ +−

3. Área de la región plana limitada por el arco de curva de ecuación y = senx y las rectas:

a) y = 0, x = 0, x = π b) y = 0, x = π, x = 2π c) y = 0, x = 0, x = 2π

4. Área, mediante una integral definida, de la región plana limitada por las curvas:

a) y = x, y = - x2 + 2x en el primer cuadrante

b) y = x + 3 e y = x2 + x - 13 desde x = 1 hasta x = 3

c) y = ex, y = e-x, x = 1.

5. Calcula, mediante una integral definida, el área de la elipse 14

y

16

x 22

=+ .

6. Calcula, mediante integrales definidas, el volumen de: a) Un cono recto circular de radio R y altura H. b) Una esfera de radio R y centro (0, 0). c) Una pirámide regular de altura H y base un cuadrado de lado L.

7. Un sólido tiene base elíptica con ejes de longitudes 10 y 8 unidades. Calcula su volumen si

toda sección perpendicular al eje mayor es un triángulo isósceles de altura 6 unidades.

Prácticas de Matemáticas I Tema 2. Integración

EUATM Curso 09/10

4

8. Un sólido tiene base circular de radio 4 unidades. Calcula el volumen del sólido si toda sección perpendicular a un diámetro fijado es un triángulo equilátero.

9. Dada la curva y2 = 9

1x (x – 3)2, se pide:

a) Hallar el área del lazo comprendido entre x = 0 y x = 3. b) Hallar el volumen engendrado al girar el lazo alrededor de la recta y = 0.

10. Calcula la longitud del arco de la curva dada en el intervalo indicado:

a) y = 1x3

2 23 + en [3, 8] b) y = x2

1

6

x 3

+ en [2

1, 2]

c) y = 3x4 en [ 14

1, ] d) y = 2

3)x

4

1( + en [1, 2] e) y = )ee(

2

1 xx −+ en [0, 2]

11. Un cable eléctrico cuelga entre dos torres que están separadas 100 metros. Calcula la longitud

de arco de cable entre las dos torres, sabiendo que adopta la posición de una catenaria de

ecuación y = )ee(75 150x

150x −

+

12. Usa la regla de los trapecios y la regla de Simpson para aproximar el valor de la integral definida. Toma n = 4 y redondea la respuesta a cuatro decimales.

a) dxx

125

1∫ b) dxxln6

2∫ c) dx4x

x84

0 2∫ +

13. Evalúa cada integral impropia:

a) dxe0

x∫

∞+ − b) dx1x

10 2∫

∞+

+c) dx

e1

ex2

x

∫∞+

∞− +d) x

1(1 x)e dx

+∞ −−∫ e) dx1e

ex2

x

∫∞+

∞−

−

+

14. Resuelve las siguientes integrales impropias con discontinuidades infinitas:

a)∫1

0 3dx

x

1 b) ∫

2

0 3dx

x

1 c) ∫−

2

1 3dx

x

1

15. Estudia para qué valores de p la integral ∫∞+

1 pdx

x

1es divergente.

16. Usando la fórmula de la longitud de arco, demuestra que la circunferencia 1yx 22 =+ tiene longitud 2π.

17. Una función no negativa f se dice que es una función de densidad de probabilidad si

1dt)t(f =∫∞+

∞−. La probabilidad de que x esté entre a y b es ∫

b

adt)t(f y el valor esperado de x

es E(x) =∫∞+

∞−dt)t(ft .

Prueba que las funciones dadas son función de densidad de probabilidad, calcula ( )40 ≤≤ xP y halla E(x).

a) ( )t / 71

e t 0f t 7

0 t 0

− ≥= <

b) ( )2t /52

e t 0f t 5

0 t 0

− ≥= <

Prácticas de Matemáticas I Tema 3. Ecuaciones diferenciales

EUATM Curso 09/10 5

Tema 3. Ecuaciones diferenciales

1. Estudia si las siguientes funciones son o no solución de la ecuación diferencial correspondiente.

a) + =20

dy y

dx x,

2

1y

x= b) 3´ 2 xy y e− = , 3 2x xy e e= +

c) 2´ ´ ´ 4y y x x+ = − , 3 213 6

3y x x x= − + d) −=´ x yy e , 3y xe e= +

2. Comprueba que las siguientes funciones son solución general de las ecuaciones diferenciales correspondientes

a) f(x) = Cex solución general de y’ – y = 0

b) f(x) = C1senx + C2cosx solución general de y’’ + y = 1

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de variables separables:

a) x-2 yd = dxey b) 2 x dy - sen x dx 0cos = c) 2

2 xy =

y + yx′ d) y’ = y2lnx

4. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes y halla las soluciones particulares indicadas:

a) 1

´ , y(2) = 0= +y xyy

3 b) ln 0 , ( ) 1x xdy ydx y e− = =

c) 2( ) = 0 , y(1) = 1y xy dx x dy+ − d) y’ = xy + x – 2y – 2, y(0)= 0

e) 4

´3

xy

x

−=−

, (1) 2y = f) ( )2 , (1) 0dy

y x y x ydx

+ = =

g) 0ln' =− xyx

y, para x=1, y=0 h) 001 2 >=++ x,'xyyy ; y(1)=0

5. Obtén mediante una ecuación diferencial la familia de curvas tales que, en cualquiera de sus puntos ( , )P x y tenga pendiente 2m , siendo m la pendiente de la recta que une dicho puntoP con el origen de coordenadas si ≠ 0x (si = 0x entonces = 0m ). A continuación, determina la curva de dicha familia que pasa por el punto (1,1)P .

6. Una viga de luz L = 4 metros, soporta una carga uniformemente repartida de p=5 toneladas por metro. Halla la ecuación de la curva elástica sabiendo que es la solución particular de la ecuación diferencial: 2´ ´ 12 3 , (0) 0 , ´ (2) 0y x x y y= − = =

7. Una viga de longitud L = 4 metros, soporta una carga concentrada en el punto medio de la viga de 6 toneladas. Hallar la ecuación de la curva elástica si se sabe que es la solución de la ecuación diferencial:

3x 0 x 2y =

3x - 6 ( x - 2 ) 2 < x 4

≤ ≤′′ ≤

(0) 0 , (4) 0y y= =

8. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de manera que su velocidad en el instante t es 2sent. Determina la posición respecto de un punto de referencia en la recta de la partícula en el instante t. ¿Qué se puede decir si se sabe que, en el instante inicial, la partícula se encuentra a una distancia 2 del punto de referencia?


EUATM Curso 09/10 6

9. Identifica cada ecuación diferencial con su campo de direcciones:

a) y’ = 2x b) y’ = cosx c) y’ = 2x

1−

Fig.1

Fig.2

Fig.3

10. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire.

Si la temperatura del aire es de 20ºC y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100ºC hasta 60ºC, ¿cuánto tiempo tardará su temperatura en descender hasta los 30ºC?

11. Resuelve, con las condiciones dadas, las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) y’’ + 9y = 0 ; y(0) = 2, y’(0) = 15

b) y’’ + 4y = 0 ; y(0) = 0, y

π2

= 0

c) y’’ - 4y = 0 ; y(0) = 0, y’(0) = 3

d) y’’ = y ; y(0) = 0, y(1) = 1

e) y’’ = - y ; y(0) = 0, y(1) = 0

12. La ley de «enfriamiento» de Newton establece que la variación de la temperatura, T, de un

cuerpo con respecto al tiempo, t, es proporcional a la diferencia entre la temperatura, T, y la temperatura ambiente, Ta.

Un día de primavera a 30ºC, se mete una pizza a las 20.30 horas en un horno precalentado a una temperatura Ta=220ºC. Si a los 15 minutos la temperatura de la pizza es de 150ºC, ¿a qué hora alcanzará la pizza los 200ºC?

13. El ritmo con que el número de personas abandonan un pabellón deportivo de baloncesto después de un partido, es proporcional al número de personas que todavía no lo han abandonado. Si inicialmente había 10000 espectadores y a los tres minutos habían salido 1000 personas, ¿cuánto tiempo tardarán en salir del pabellón la mitad de los espectadores?

14. En cierto país donde habita una tribu indígena aparece un extraño virus que produce la muerte de sus habitantes de forma instantánea. Si la variación de la población, y , de dicha

tribu por semana es igual a y− personas, y cuando se declara la infección la población es

de 625 personas, ¿en cuántas semanas estarán todos muertos, si no se encuentra antes una vacuna eficaz?


EUATM Curso 09/10 7

15. Un cultivo de bacterias recién inoculadas contiene 100 células. Al cabo de 60 minutos se encuentra en el cultivo 450 células. Sabiendo que la tasa de crecimiento del cultivo de bacterias es directamente proporcional a la población inicial, se pide:

a) Número de células presentes en cualquier tiempo t medido en minutos.

b) ¿Cuánto tiempo será necesario para que el número de células inoculadas inicialmente se duplique?

16. Sea la ecuación diferencial c1ky

dt

dy += , donde k es una constante positiva y c es un número

positivo denominado término de crecimiento.

�� Determina la solución general de esta ecuación diferencial para y > 0.

�� Una raza de conejos tiene el término de crecimiento c = 0´01. Si se crían inicialmente 2 conejos y al cabo de tres meses hay 16 en la conejera, calcula el valor de k. ¿Cuándo tiempo tardará en tener la población 10000 conejos?

17. Resuelve la ecuación diferencial (3y2 + 2y)y’ = xcosx. Encuentra la solución particular que verifica la condición inicial y(0) = 0.

18. Halla la solución general de la ecuación diferencial y´− 4x3y = 0. ¿Cuál es la solución de la condición inicial y(0) = 4?

19. Un cuerpo se mueve a lo largo del eje de abscisas de tal forma que, en cada instante t, su

velocidad viene dada por la ecuación tlnxdt

dx 2= . Si el cuerpo se encuentra en el punto de

abscisa -2 cuando t = 1, ¿en qué punto se hallará cuando t = 3?

20. El DMA ha encontrado un cadáver el pasado lunes al mediodía en un despacho donde la temperatura ambiente es de 21ºC. En el momento del descubriento del cadáver por un miembro del DMA, el cuerpo presentaba múltiples lesiones y una temperatura corporal de 24´4ºC, siendo una hora después la temperatura de 24ºC. ¿A qué hora se produjo el fallecimiento de nuestro amigo?

�� La ley del enfriamiento de Newton establece que la variación de la temperatura, T, de un cuerpo con respecto al tiempo, t, es proporcional a la diferencia de temperatura, T, y la temperatura ambiente Ta.

�� Se considera que la temperatura normal del cuerpo humano es de 37ºC.

21. La ecuación kPdt

dP = modela el crecimiento de una población donde P es el número de

individuos, k la constante de proporcionalidad y t el tiempo en años.

a) Hállese la solución general de esta ecuación diferencial, en forma explícita, que permita expresar la población en función del tiempo.

b) Tomando k = 0´018, ¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que se duplique la población inicial?

Prácticas de Matemáticas I Tema 4. Funciones reales de varias variables

EUATM Curso 09/10

8

Tema 4. Funciones reales de varias variables 1. Dibuja, aproximadamente, la gráfica de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 5 b) f(x, y) = 4 – x2 – y2 c) f(x, y) = x2 + y2 d) f(x, y) = 9

y

4

x 22

+

2. Representa las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) z = x + y , para c = -1, 0, 2, 4

b) z = 22 yx25 −− , para c = 0,1, 2, 3, 4

c) f(x, y) = 22 yx

x

+, para c = 1, 2

3. Identifica y representa, aproximadamente, el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 22 yx4 −− b) f(x, y) = xln(xy) c) f(x, y) = arcsenx + arccosy

d) ( ) ( )3yxcosarc4x2yy,xf 2 −−+−+−= e) ( ) ( ) − −= + +

2 29, 3 ln

x yf x y y x

y

Posteriormente, analiza si cumplen (en sus dominios respectivos) el Teorema de Weierstrass. 4. Identifica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = y

x

e b) f(x, y) = ln(4 – x – y) 5. Halla y representa, aproximadamente, el dominio de las siguientes funciones, indicando si se trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado.

) ( , ) 2a f x y y x= + 2 2) ( , ) 4 9b f x y x y= − + − 2 2

1) ( , )

1c f x y

x y=

+ −

( ) ( )) x, y = lnd f x y− − 2

) (x, y) = y

e f arcsenx

) ( , ) lny

f f x yx

=

( )( )2 2 2 2) ( , ) ln 16 4g f x y x y x y = − − + −

( )2 2

2 2

ln 1) (x, y) =

x yh f

x y

− −

+ i)

2 2

1( , )

4f x y

x y=

−

6. Contesta y justifica las siguientes preguntas:

a) Si f(2, 3) = 4, ¿Existe )y,x(flím)3,2()y,x( →

? b) Si 4)y,x(flím)3,2()y,x(

=→

, ¿Es f(2, 3) = 4?

7. Calcula los siguientes límites:

a) 32)2,1()y,x( yx

x5lím

+→ b)

xy

senxylím

)0,0()y,x( → c)

)yx(arcsen

elím

y

)0,1()y,x( +→

d) ( ) ( ) xy1

xy1lím

0,1y,x −−−−

→ e)

( ) ( ) xy

1cosxelím y

3,0y,x →


EUATM Curso 09/10

9

8. Determinaxy

yxlím

22

)0,0()y,x(

+→

a) Siguiendo la trayectoria y = x b) Siguiendo las trayectorias y = kx c) ¿Existe el límite? Justifica la respuesta.

9. Halla, si existen, los siguientes límites. Si el límite no existe, explica por qué.

a) 2

22

22

)0,0()y,x( yx

yxlím

+−

→ b)

24

2

)0,0()y,x( yx

yx2lím

+→ c)

1yx

ylím

)0,1()y,x( −+→ d)

→

−− + −

2 2

2 2 2 3(x,y) (0,0)

x x ylim

2x 2x y y y

e) 2

2 2( , ) (1,0)

( 1)lim

( 1)x y

x Lx

x y→

−− +

f)2

2 4( , ) (0,0)lim

x y

xy

x y→ + g)

( ) ( )

4

3 4, 1,1x y

x ylím

x y→

−−

h)14x4yx

yxy lím

32)0(2, )y,x( −+−+−=

→

10. Calcula, si existen, los siguientes límites:

(x,y) (0,4)

sen) lim

xya

x→

( )2

2 2(x,y) (1,0)

ln 3) lim

yx eb

x y

−

→

+

+ 2

(x,y) (4, )) lim

yc y sen

xπ→

(x,y) (0,0)

) lim

x y x yd

x y→

− +

+

( )2 2

2 2(x,y) (0,0)) lim

xsen x ye

x y→

+

+

(x,y) (0,0)) lim

x yf

x y→

−

+

( )

2 2

22 2(x,y) (0,0)) lim

x yg

x y y x→ + −

2 2(x,y) (0,0)) lim

xyh

x y→ +

2

2 4(x,y) (0,0)

3) lim

xi

x y→ +

2 2

(x,y) (1,1)

y) lim

xj

x y→

−

−

11. Analiza la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:

a) f(x, y) = 22 yx

y2x

+−

, en el punto P(0,0)

b) f(x, y) = ln(x2+ y2), en el punto P(0,0) c) f(x, y) = exy, en cualquier punto P(x,y) 12. Estudia la continuidad en (0,0) de las siguientes funciones:

2 2

4, ( , ) (0, 0)

) f(x, y) =

0 , ( , ) (0, 0)

xyx y

x y

a

x y

≠ + =

2 2

1sen ( , ) (0, 0)

) f(x, y) =

0 ( , ) (0, 0)

x x yx y

b

x y

≠ + =

2 22 2

2, 0

) ( , )

0 , 0

xyx y

x y

c f x y

x y

+ ≠ += = =

2 2

sen ( ), ( , ) (0, 0)

) ( , )

0 , ( , ) (0, 0)

xyx y

x y

d f x y

x y

≠ += =

13. Se considera la función = − + +2g(x, y) x y arcsen(x 1). Se pide:

a) Encontrar su dominio, dibujarlo y razonar si se trata de un conjunto abierto cerrado y acotado.

b) Estudiar si los puntos A(0,0), B(-3,-1) y C(-1,3/4) son interiores del dominio de g.


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10

14. Se considera la función− + −

= + − +−

2x 2y 6f(x, y) arcsen(x y 2)

y 3. Se pide:

a) Hallar su dominio, dibujarlo y razonar si se trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado. b) Clasificar como interior, exterior o frontera los puntos A(0,3), B(-2,5) y C(0,0).

15. Se considera la función ( )2 216 x y 2f (x, y) e arcsen x y− −= − − .

a) Dibuja el dominio y razona si se trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado.

b) Estudia si los puntos ( ) ( )1

A 0,1 , B 1, y C 3,12

− son interiores, exteriores o fronteras del

dominio de la función.

16. Sea ( )22

22

yx

yxy,xf

+−= . Determina la existencia de

( ) ( )( )y,xflim

1,1y,x → y

( ) ( )( )y,xflim

0,0y,x →, y

estudia la continuidad de f.

17. Dada la función 3

3

3

x y, y x

x yf(x, y)

1 , y x

− ≠ −= =

. Estúdiese la continuidad en los puntos

A (0, 0), B(0,1) y C(1,1).

18. a) Prueba que no existe 1xy

yxlím

22

)1,1()y,x( −−=

→

b) ¿Cuál debe ser el valor de k para que la siguiente función f sea continua en todo ú2

19. a) Realiza un dibujo del dominio T de la siguiente función de dos variables

11yx

yx)y,x(g

22

22

−+−−

−−= . Posteriormente, razona si los puntos A(0,0), B

−2

2,

2

2,

C

0,

4

1 y D(-1,1) son interiores, fronteras o exteriores del conjunto T.

b) Calcula, si existe, 11yx

yx lím

22

22

)0(0, )y,x( −+−−

−−=→

.

20. Dada la función f(x,y) = 1y

x

2

e

yx1

−

−+. Se pide:

a) Encontrar razonadamente el dominio de f(x,y). Posteriormente, dibujarlo y averiguar si se trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado.

b) Clasificar como interior, exterior o frontera del dominio de f(x,y) los puntos A(-1,0), B(2,1), C(2,0) y D (0, 3).

−=

−≠++=

)0,3()y,x(,k

)0,3()y,x(,y3) (x

yy)y,x(f 22

2


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11

21. a) Prueba que no existe el límite: 44

22

)0,0()y,x( yx

yx8lím

+→

b) Halla los límites: • 22

3

)0,0()y,x( yx

xlím

+→ •

yx

)yx(sen)yx5(lím

)1,1()y,x( −−+

→

c) Estudia la continuidad de la siguiente función en los puntos (1,1) y (1,0):

=

≠−

−+

=xyx6

xyyx

)yx(sen)yx5(

)y,x(f

22. Dadas las siguientes funciones: f(x, y) = 22 yx

1

e + , g(x, y) = 42

2

yx

xy3

+

a) Halla el dominio de f(x, y) y de g(x, y).

b) Calcula )y,x(flím)0,0()y,x( →

.

c) Prueba que no existe )y,x(glím)0,0()y,x( →

.

23. Se considera la función f(x,y) = )yxln(

1y4x936 22

−+−− .

a) Halla, razonadamente, el dominio de f y realiza un dibujo aproximado del mismo.

b) Estudia si el dominio de f es un conjunto abierto, cerrado y acotado.

c) Clasifica como interior, exterior o frontera del dominio de f(x,y) los puntos A(1, 2), B(1, 1), C(1, 0) y D(1, -1).

Prácticas de Matemáticas I Tema 5. Derivadas parciales y diferenciabilidad

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Tema 5. Derivadas parciales y diferenciabilidad

1. Aplicando la definición de derivada parcial de una función en un punto, halla, si existen, las derivadas parciales xf y yf en los puntos indicados.

a) = +( , ) 2 ,f x y x y P(2,3) b)

≠= + =

2

2 2( , ) (0, 0)

( , )

0 ( , ) (0, 0)

x ysi x y

g x y x y

si x y

, P(0,0)

c) h(x,y) = 2x + 3y , P(1,2) d) j(x,y) = 22 yx + , P(0,0)

2. a) Pruébese que la función )y,x(f tiene derivadas parciales xf y yf en el punto (0,0) y, sin

embargo, no es continua en dicho punto.

( )

=

≠+−=

)0,0()y,x(si0

)0,0()y,x(sixyx

x)y,x(f 622

6

b) Pruébese que la función )y,x(g es continua en el punto (0,0) y, sin embargo, no tiene derivadas parciales en dicho punto.

+ ≠= + =

2 2

2 2

1( , ) (0, 0)

( , )

0 ( , ) (0, 0)

x y sen si x yg x y x y

si x y

3. Halla las funciones derivadas parciales primeras de las siguientes funciones: a) = − + − +2 2( , ) 2 5 3 6f x y x y x y x b) ( )=( , ) yg x y e sen xy

c) += −

( , ) lny x

h x yy x

d) =( , )y

j x y arctgx

4. Calcula, si existen, las derivadas parciales primeras de la función =+3

( , )y

f x yx y

.

Posteriormente, obténgase el valor de m para que verifique la ecuación ( , ) ( , ) ( , )x yx f x y y f x y m f x y+ = .

5. Calcula en los puntos indicados las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones:

= − +2 2 2( , ) 3 2 5f x y xy y x y ,P(-1,2) ; = −( , ) cos cosg x y x y y x,Q(0,π/2); =( , ) lnxh x y e y, R(0,e).

6. Encuentra el valor de k que verifica la ecuación ∂ ∂+ =∂ ∂g g

x y kx y

, siendo ( ) −= +

22 2

2 2

x yg x,y

x y.

7. Dada la función ( )

++=1x

ykxlny,xf . Calcula el valor de k para que ( ) ( ) 10,10,1 −=− yx ff

8. La función f(x,y), definida para todos los puntos (x,y)∈R2 , verifica que ∂ =∂

0f

x y

∂ =∂

0f

y,

y, además f(1,1) = 3. Halla, razonadamente, todas las posibles funciones f(x,y).


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13

9. El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ± 0,1 milímetros. Si las dimensiones en centímetros de la caja son 50x20x15, utiliza diferenciales para estimar el error cometido al hallar el volumen de la misma.

10. Dada la función 2 2

3( , ) (0,0)

( , )

0 ( , ) (0,0)

xysi x y

x yf x y

si x y

− ≠ += =

. Prueba que existen las derivadas

parciales en (0,0), pero que f(x,y) no es diferenciable en (0,0).

11. Calcula la derivada direccional de 2( , ) 2f x y x sen y= en el punto (1, / 2)π en la dirección del vector (3, 4)v = −�

.

12. La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es 2 2( , ) 20 4T x y x y= − − , donde x e y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de

(2, -3) aumenta más rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa de crecimiento?

13. Dada la superficie= +2 24z x y , se pide:

a) Pendientes en las direcciones x e y, en el punto P(1,-1,5).

b) Sean 1C y 2C las curvas intersección de la superficie z con los planos 1 : 1 0yπ + = y − =2 : 1 0xπ , respectivamente. Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes a 1C y 2C ,

contenidas en los planos 1π y 2π , respectivamente, en el punto P.

c) Dar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie z en el punto P.

14. Halla las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a las superficies indicadas, en los puntos correspondientes.

a) − − =( ) 2sen x y z , −

3, ,

3 6 2P

π π b) = y

z arctgx

, 1,1,

4Q

π c) )1seny(ez x += ,

0, , 2

2T

π

d) 2 2

2, ( , ) (0, 0)

( , )

0 , ( , ) (0, 0)

x yx y

f x y x y

x y

+ ≠= + =

en el punto P(3,4,2).

15. Se considera la función 2 2( , )g x y x y= + . Estudia la continuidad de la función ( , )xf x y y

halla, si existe,(x,y) (0,0)

lim ( , )xf x y→

.

16. Se considera la función 2 2g(x, y) y x arcsen y= − − . Se pide:

a) Hallar su dominio, dibujarlo y razonar si se trata de un conjunto abierto, cerrado y acotado.

b) Calcular el valor de la expresión g g

y xx y

∂ ∂+

∂ ∂.

17. Dada la función

=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,),( 22

2

yx

yxyx

xseny

yxf

a) Halla ),()0,0(),(

yxflímyx →

.

b) Calcula ( , )yf x y para todo )0,0(),( ≠yx .

c) ¿Existe )0,0(yf ?


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14


=

≠+=

)0,0()y,x(,0

)0,0()y,x(,yx

yx5)y,x(f 24

2

a) ¿Se puede afirmar que las derivadas parciales primeras en )0,0( existen y son iguales? b) Estúdiese la continuidad de ),( yxf en el punto )0,0( .

19. Dada la función 2 2( , ) 5 ( 1)g x y x y= − − + , se pide:

a) Dibujar la región del plano formada por los puntos (x,y) tales que g(x,y)≥0.

b) Hallar el plano tangente a la superficie ( , )z g x y= en el punto (4,0,2) y probar que ese mismo plano es tangente a la superficie en cualquiera de sus puntos de la forma (a,0,c), donde a>1, c=g(a,0).

c) Probar que no existe la derivada parcial gx(1,0).


=

≠+−

=)0,0()y,x(, 0

)0,0()y,x(, yx

xyyx)y,x(f 22

33

a) Halle las funciones derivadas parciales primeras para todo (x,y) ≠ (0,0).

b) Determine, mediante la definición, las derivadas parciales fx(0,0) y fy(0,0).

c) Pruebe que fxy(0,0) ≠ fyx(0,0).

21. a) Estudia la continuidad de la función

=

≠+−

=)0,0()y,x(, 0

)0,0()y,x(, yx

yx)y,x(f 22

22

b) La ecuación de una onda, puede ser una ola del mar, una onda de ruido, de luz o una onda que

viaja a lo largo de una cuerda vibrante, es: 2

22

2

2

x

fa

t

f

∂∂=

∂∂

. Estudia si f(x, t) = sen(x – at) verifica

la ecuación de la onda.

22. Dada la función f(x,y) = x2 arctgx

y - y2 arctg

y

x, se pide:

a) Dominio de f(x,y).

b) Funciones derivadas parciales primeras fx(x,y) y fy(x,y).

23. Se definen las siguientes funciones, f(x,y) = ln(x2- y) y g(x,y) = )yxln(

12 −

.

a) Identifica los puntos (x,y) donde f(x,y) = 0.

b) Dibuja sus respectivos dominios.

c) Halla las funciones derivadas parciales fy, gy.

24. Determina los extremos relativos de las siguientes funciones:

= − − +3 3( , ) 3 4f x y x y xy ; =( , ) cosxg x y e y; + −=2 2 1( , ) x yh x y e ; = +2 2( , )j x y x y ;

2 3( , ) 2 2k x y x y xy= − − ; 3 3 2 2( , ) 3 3 9l x y x y x y x= + − − − ; ( )( )2 2m(x, y) y x y 2x= − −


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25. Estudia, según los distintos valores de a, los extremos relativos de las siguientes funciones: a) = − +3 3( , ) 3f x y x axy y b) ( ) = − +3 3 2, 3g x y x axy a y

26. Halla los extremos absolutos de las siguientes funciones en los conjuntos indicados: a) f(x,y) = 2xxy − , { }2( , ) / 0 1, 0 1A x y R x y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

b) g(x,y) = 2 2 2x xy y− + en el triángulo de vértices (0,0), (2,0) y (0,2)

c) h(x,y) = 2 2 5 2x y y+ − − en la región del plano limitada por = yx , y=0, x=2.

d) j(x,y) = 32 yx2 + , { }1yx,0y,xy/R)y,x(B 222 ≤+≥−≥∈=

e) l(x,y) = 22 yx22 e)yx( −+ , { }1yx/R)y,x(C 222 ≤+∈=

27. Dada la función f(x,y) = )xy1()yx( −⋅− . Halla:

a) Extremos relativos.

b) Extremos absolutos en el triángulo de vértices (0,0), (3,0) y (3,3).

28. Se desea construir una caja metálica cerrada en forma de paralelepípedo de volumen igual a 60 m3. Debido al material empleado, el coste de la base es de 10 €/m2, el de la tapa 20 €/m2 y el de los lados de 2 €/m2. Se pide:

a) Determinar la función de costes de compra f(x,y), donde x es la longitud e y la anchura de la caja.

b) Averiguar las dimensiones de la caja para que el coste de compra sea mínimo y hallar dicho coste.

29. Un padre deja en herencia a sus tres hijos 9 millones de euros para su disposición a partir del año 2006. En el testamento se fija la siguiente cláusula matemática: “El producto de las cantidades repartidas en la herencia a cada uno de sus tres hijos ha de ser lo mayor posible”. ¿Qué cantidades heredarán cada uno de ellos?

30. Halla tres números positivos o nulos cuya suma sea 300 y tales que la suma de sus cuadrados sea mínima.

31. Dada la función 2 2 2( , ) ( )ax yf x y e b x y+= + + , se pide:

a) Estudiar par qué valores de a y b la función f tiene un máximo relativo en (0,0). b) Tomando 0 , 1 ,a b= = estudiar los extremos absolutos de la funciónf en el

semicírculo { }2 2 2( , ) / 4 , 0D x y R x y x= ∈ + ≤ ≥

32. Dada la función 2 22 2 1( , ) ( 4 ) x yf x y x y e− −= + ⋅ . Hallar:

a) Los puntos críticos.

b) Los extremos absolutos en el conjunto { }2 2( , ) / 1 1 , 0 1A x y R x y x= ∈ − ≤ ≤ ≤ ≤ − .

33. Se considera la función f(x,y) = x2-y2+kxy

a) Demuestra que la función f(x,y) para k=2 no posee extremos relativos.

b) Halla los extremos absolutos de f(x,y) para k=0 si se considera sólo los puntos (x,y) sobre la circunferencia de centro (0,0) y radio 1.

c) ¿Se produce alguna variación al considerar en el apartado anterior el conjunto de puntos (x, y) del círculo de centro (0,0) y radio 1?

34. Pruébese que la función 222 2),( yxyxyxg −+= no posee extremos relativos, y hállense los

extremos absolutos sobre el conjunto { }1/),( 222 ≤+∈= yxRyxA .


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35. Halla los extremos absolutos de la función = + −2( , ) 3 3h x y x y xy sobre la región limitada por las

rectas = =, 0y x y y = 2x .

36. Determina los extremos absolutos de la función ( )( , )g x y sen xy= en la región del plano

{ }2( , ) / 0 , 0 1S x y R x y= ∈ ≤ ≤π ≤ ≤ .

37. Se desea diseñar una caja que tenga el máximo volumen posible y cuyas dimensiones en centímetros x, y, z cumplan la condición 3x + 2y + z = 180. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja?

38. Halla los extremos de la función 2 2( , ) 2 2 3f x y x y x= + − + sujeto a las restricciones 2 2 10x y+ ≤ .

39. Se considera la función f(x,y) = (x-1) cosy, con dominio 0≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π.

a) Halla los puntos de silla de f.

b) Halla los puntos del plano XY en los cuales la función f alcanza el máximo y el mínimo absolutos, así como dichos valores extremos.

40. Sea la función f(x,y) = x2 + kxy + y2

a) Prueba que para todo valor de k la función f tiene un punto crítico en (0,0).

b) ¿Para qué valores de k la función f tiene un punto de silla en (0,0)? ¿Para qué valores de k la función f tiene un extremo relativo en (0,0)?

41. Se está diseñando un edificio prismático de base rectangular sin vuelos en fachadas de tal forma que se minimice la pérdida de calor. Los muros orientados al este y al oeste pierden calor a razón de 10 unidades por metro cuadrado al día, mientras que los que dan al norte y al sur lo hacen a razón de 8 unidades por metro cuadrado, el suelo a razón de una unidad por metro cuadrado al día y el techo a razón de 5 unidades por metro cuadrado al día. Cada muro debe tener al menos 20 metros de longitud y al menos 4 metros de altura.

Sabiendo que el volumen del edificio ha de ser de 4000 metros cúbicos, se pide:

a) Expresar la función de la pérdida de calor del edificio en función de las longitudes de los lados de la base y dibujar el dominio.

b) Determinar las dimensiones del edificio que minimicen la pérdida de calor.

42. Demuestra que la función f(x, y) = 3xey – x3 – e3y tiene un extremo relativo en un punto que no es extremo absoluto.

43. Halla los extremos absolutos de la función f(x,y) = y6xyxy 2 +−− , sobre el dominio

D = {(x, y) ∈ ú2 / 0 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 5}.

44. Determina, razonadamente, los extremos absolutos de la función f(x,y) = x3 + y2 sobre el conjunto C = {(x, y) ∈ ú2 / x2 + y2 ≤ 1 ∧ y ≥ 0}.

45. El dueño de una cadena de tiendas ha dibujado en un mapa, donde la unidades vienen dadas en kilómetros, los tres centros más importantes que están localizados en los puntos A(0, 0), B(8,0) y C(1, 5). Desea construir un nuevo centro situado en un punto W con el fin de minimizar la suma de los cuadrados de las distancias desde él hasta las tres tiendas. ¿En qué punto del triángulo ABC se debería situar el nuevo centro W?

Prácticas de Matemáticas I Tema 6. Integrales múltiples

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Tema 6. Integrales múltiples 1. Dadas las siguientes integrales iteradas, dibuja su región de integración:

a) dydx)y,x(fy5

y

2

1 ∫∫−

b) dxdy)y,x(fxcos1

00 ∫∫+π

c) dydx)y,x(fy

y

1

0 ∫∫ d) dxdy)y,x(f2

2

x1

x1

0

1 ∫∫−

−−−

2. Plantea la integral iterada, para los dos órdenes de integración, sobre cada una de las siguientes regiones de integración:

3. Evalúa las siguientes integrales iteradas:

a) 22

0 0(sen cos )x y dxdyπ

π

∫ ∫ b) 1 2

20 0

8 2( )

1 1

y xdxdy

x y−

+ +∫ ∫ c) 2

1

0

senx

x

xdydx

x∫ ∫

d) 30 0

2 2 2

1( )

yx y x dxdy

−−∫ ∫ e)

12

0 01

x

x dy dx−∫ ∫ f) / 2

0senx seny dx dy

π π

π−∫ ∫

4. En cada apartado, plantea la integral iterada para los dos órdenes de integración y calcula la integral utilizando el orden más conveniente.

a) dxdy)x(ysen2 2∫∫ℜ

π U = {(x, y) ∈ú2 ,2x1/ ≤≤ }xy0 ≤≤

b) dxdyyx

y22∫∫ℜ +

ℜ : región limitada por , 2 , 1 , 2y x y x x x= = = =

c) dxdyx 2∫∫ℜ

ℜ : región limitada por 16 , , 0 , 8xy y x y x= = = =

d) dxdye y3x∫∫ℜ

+ ℜ : trapecio de vértices (1,1), (4,1), (2,2), (3,2)

e) dxdy)yx(

xyR 322

2

∫∫ + U = {(x,y) ∈ ú2 / x ≥ 0, y ≥ 1, y ≤ 3, y ≥ x2}.

5. Las integrales iteradas propuestas proporcionan el área de una región ℜ . Se pide dibujar la

región ℜ , hallar la integral iterada con el orden de integración invertido y calcular el área de la región.

a)1/ 3

2

1

0

y

ydxdy∫ ∫ b) 2

2 2

6 14

x

x dxdy−

− −∫ ∫ c)2

0 0

x

dxdy∫ ∫ +4 4

2 0

x

dxdy−

∫ ∫

6. Halla el volumen del sólido que tiene como base la región ℜ del plano XY y altura

( , )z f x y= , en los siguientes casos:


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a) z =2

y, ℜ [ ] [ ]0,4 0,2= ×

b) 2 4z y y= − , ℜ : región determinada por x y= , 2y= , 0 2x≤ ≤

c) 2yz xe= , ( ){ }2 2, / 0, 4x y R x x yℜ= ∈ ≤ ≤ ≤

d) 3 cosz x y x= + , ( ){ }2, / 0 ,02

x y R y x xπ

ℜ= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

7. Dada la función ( , ) cosf x y x y= , y la región U del plano XY limitada por las rectas

y = 2

π + x, x = 0, y = 0, x =

2

π . Se pide:

a) Estudiar la integrabilidad de f en U.

b) Razonar si el valor de la integral doble de f en U proporciona el volumen del sólido

comprendido entre la gráfica de f en U y su proyección sobre el plano XY.

c) Calcular dxdy)y,x(f∫∫ℜ .

8. Halla el volumen de un auditorio, construido sobre un solar en forma de triángulo rectángulo isósceles de lado 50 metros, sabiendo que, al situar los ejes coordenados X, Y sobre los catetos, un modelo para el suelo y el techo viene dado por las ecuaciones:

Suelo: x+ y

z =5

; Techo: xy

z = 20+100

9. Dada la integral iterada 4

1

2x

xf(x, y)dx dy∫ ∫ , se pide:

a) Dibujar la región de integración D. b) Calcular el valor de la integral para ) 1f(x, y = y razonar la relación de esta integral con el área de la región D. c) Hallar el valor de la integral para f(x, y)= x+ y y dar una interpretación geométrica de dicha integral.

10. Se quiere construir un recinto cuyo suelo, situado en el plano XY, tenga forma circular con

centro en el origen y radio 2u, y cuyo techo sea una cúpula dada por 2 216z x y= − − , con

unidades de longitud convenientes. Calcula el volumen del recinto.

11. Calcula el volumen del sólido que tiene como base la región del plano XY limitada por la gráfica 2 2x y 9+ = y altura z x 4= + .

12. Una vidriera de una iglesia esta limitada por una parábola en su parte superior y por un arco de circunferencia en su parte inferior (véase figura). Se pide: a) Ecuaciones de la circunferencia y de la parábola tomando como origen de coordenadas el centro de

la circunferencia. b) Superficie de la vidriera mediante la utilización de una integral doble (unidades de la figura en metros).

12

8

10


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13. Dada la integral iterada ∫ ∫2 1

0 y / 2f (x, y)dxdy. Se pide:

a) Dibujar la región de integración D.

b) Cambiar el orden de integración y, posteriormente, calcular el valor de la integral para

=3xf (x, y) ye

14. Se considera la región del plano ℜ limitada por las gráficas de y 2 x= , x 1= , x 2= ,

x y 0+ = . Y sea ( )f x, y una función continua en ℜ.

a) Plantea, en los órdenes de integración posibles, la integral doble de la función f en dicha región ℜ.

b) Resuelve dicha integral para la función ( )3y

f x, yx

= .

c) Razona si el resultado del apartado (b) es la medida del volumen del sólido limitado por ( )z f x, y= y cuya proyección sobre el plano XY es ℜ.

15. Halla ( )ℜ−∫∫

2

4 5xe sen y dxdy, donde ℜ es la región limitada por las gráficas de

= = =, 0, 4y x y x .

16. Utiliza integrales dobles para averiguar el área de la región del primer cuadrante limitada por

las curvas = 3y x , + =2 2 2x y y el eje de ordenadas.

17. Halla el volumen del sólido determinado por la proyección ortogonal de la superficie f(x,y)

sobre la región triangular del plano XY de vértices (0, -1), (1, 0) y (0, 1), siendo yxex)y,x(f +=

18. Sea U la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuación 2x

4y = e y = 5 –x2.

a) Expresa el área de U como una integral doble de dos formas distintas, es decir, intercambiando los órdenes de integración.

b) Posteriormente, calcula una de esas integrales para hallar el área de U.

19. Se considera la siguiente suma de integrales iteradas:

dydx)yx(dydx)yx(2

1

y2

0

221

0

y

0

22∫ ∫∫ ∫

−+++

a) Dibuja el recinto de integración A.

b) Invierte el orden de integración y, después, calcula su valor.

c) Razona si la integral calculada en b), representa el volumen del sólido determinado por la región A y la superficie z = x2 + y2

20. Determine el valor de k para que la función, f(x,y) = k(x + 2y), definida en el conjunto

U = {(x,y) ∈ ú2 / 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10}, verifique que 1dydx)y,x(f =∫∫ℜ .

¿Qué interpretación geométrica se puede dar a la integral anterior?


EUATM Curso 09/10

20

21. Dibuja la región U = {(x,y)∈ú2 / 0 ≤ x ≤ y9− , 0 ≤ y ≤ 3}. Posteriormente plantea la

integral para los dos órdenes de integración y utiliza el orden más conveniente para encontrar

el valor de ∫∫ℜ dydx e interprétalo geométricamente.

22. Se sabe que la integral doble I= ∫∫ℜ dA)y,x(f puede calcularse mediante la integral iterada

∫ ∫1

0

1

x2dxdy)y,x(f .

a) Dibuja la región de integración ℜ.

b) Da otra integral iterada igual a I invirtiendo el orden de las variables y calcula el valor de

dicha integral, para 2yxe)y,x(f −= .

c) ¿Cuál es el volumen del recinto -destinado a los músicos para conciertos al aire libre-

comprendido entre la base ℜ y su proyección vertical sobre la función 2yxe40)y,x(g −= ?

23. Dada la integral I = dydxey1

0

y

0

xy2∫ ∫ , se pide:

a) Dibuja la región de integración.

b) Plantea la integral en el orden de integración inverso al dado.

c) Calcula el valor de I e interpreta geométricamente el resultado obtenido.

24. Se está diseñando un pabellón polivalente que albergue eventos deportivos, conciertos,

grandes espectáculos y ferias. Además, las instalaciones albergarán un graderío retráctil que permita variar la superficie total de la pista central. Para ello, se ha pensado que la cubierta venga representada por el paraboloide de ecuación z = y2 – x2. Determina, mediante integrales dobles, el volumen del pabellón si la planta es la región del plano U = {(x,y) ∈ ú2 / -1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3}.

25. Se considera la siguiente integral doble:2

2

2 10 y

y0

4

xydx dy−

∫ ∫

a) Dibuja la región de integración.

b) Plantea una integral equivalente cambiando el orden de integración.

c) Calcula el valor de la integral en el orden más conveniente e interpreta geométricamente el resultado.

26. Una parcela de terreno linda al oeste por un río que sigue la recta y = 2x, al este por una plaza

parabólica de ecuación 2)4y(4

16x −=− , al norte y al sur por sendas calles según las rectas

y = 8 e y = 0, respectivamente.

a) Si las variables x e y vienen dadas en hectómetros, halla mediante integrales dobles la superficie de la parcela.

b) Se desea diseñar una torre de planta cuadrada situada en la parcela anterior, más concretamente sobre el recinto A = {(x,y) ∈ ú2 / 4 ≤ x ≤ 5, 2 ≤ y ≤ 3}, y que tenga por cubierta el paraboloide z = 2 – (x – 5)2 – (y – 3)2. ¿Cuál es su volumen?

matemÁticas i problemas - edificacion.upm.es · dada la curva y 2 = 9 1 x (x – 3) 2, se pide: a)...

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