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CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO “LIC. JESÚS REYES HEROLES”

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS III

CICLO ESCOLAR – TERCER SEMESTRE

G E O M É T R Í A

A N A L Í T I C A

G U Í A E X A M E N E X T R A O R D I A N R I O E N E R O 2 0 1 2

T U R N O M A T U T I N O

Elaboró: Arq. Daniel Constantino Sosa.

GUÍA

GE

OM

ET

RÍA

AN

ALÍ

TIC

A

2

Geometría analítica

CONTENIDO DE LA GUIA

• Localización de parejas de coordenadas en el plano cartesiano • Distancia entre dos puntos • Punto medio de un segmento determinado • Triángulo:

a) Demostrar si es un triángulo: ▪ rectángulo ▪ equilátero b) Calcular área del triángulo “ método determinantes “ c) Calcular perímetro de un triángulo d) Calcular ángulos internos del triángulo

• Recta: a) Ecuación de la recta conocidos dos puntos b) Ecuación de la recta conocido un punto y su pendiente c) Intersección de dos rectas - dadas las ecuaciones

Intersección de dos rectas - dados sus puntos de coordenadas d) Ecuación de la recta de la forma punto pendiente e) Ecuación general de la recta

e) Distancia de un punto a una recta f) Rectas perpendiculares g) Pendiente y ángulo de Inclinación de una recta

• Circunferencia: a) Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen b) Ecuación general de la circunferencia c) Pasar de la ecuación general de la circunferencia a la ordinaria d) Hallar la ecuación gral. de la circunferencia que pasa por tres puntos

• Recta y Circunferencia: a) Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro

es la intersección de las rectas b) Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro

C ( h, k ) y que es tangente a la recta

• Parábola: a) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de

simetría paralelo al eje de coordenadas “x “ b) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de

simetría paralelo al eje de coordenadas “ y “ c) Hallar los elementos (vértice, foco, directriz y lado recto )

“dada la ecuación general “ , o dado el foco y la directriz

• Elipse:

a) Ecuación general con centro en el origen ,dado un foco y la longitud del eje menor

b) Ecuación general con centro en el origen ,dado un vértice y la distancia focal

c) Hallar los elementos (los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto) “dada la ecuación general “

Nota: los temas indicados en la guía que no se encuentren ejemplificados en la misma, el alumno tendrá que investigarlos.

3

• Investigar: a) Sistema de Ejes de Coordenadas Rectangulares Cartesianas

b)Teorema de Pitágoras c) Distancia entre dos puntos d) Método de Determinantes

• Demostrar que el triángulo cuyos vértices: son : A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ) y C ( 7, 9 ) representan un triángulo rectángulo • Localiza los puntos A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ) ,y C ( 7,9 ) en un sistema de ejes de coordenadas y calcula el perímetro del triángulo resultante. Formula:

2 2

2 1 2 1d (x x ) (y y )

• Localiza los puntos A (4, -5), B (-3,-2) y C (5,3), Calcular el área del triangulo formado por los vértices ABC. ( utiliza el método de Determinantes). Ejemplo.

DETERMINANTE:

4 -5 1

A =2

1 -3 -2 1

5 3 1

= 2

1[ ( - 8 - 9 - 25 ) – ( 15 + 12 - 10 ) ]

= 2

1[ (- 42 - 15 - 12 + 10 ) ]

=2

1 (- 59 )

= 2

59

= 5.29

A = 29.5 u2

Resuelve los siguientes ejercicios

• Localizar los puntos y calcular el área de cada triangulo de los siguientes ejercicios

1.- A (-6, -5 ), B ( 8, 2 ) y C ( 5, - 6 ).

2.- A ( 2, -3 ), B ( - 6, 3 ) y C ( - 4, -1).

( UTILIZA EL METODO DE DETERMINANTES PARA EL ÁREA – EN LOS EJERCICIOS PROPUESTOS )

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• Localización de puntos en el plano cartesiano. ( ORDENADA Y ABCISA). EJERCICIOS

Localiza las siguientes parejas de coordenadas en el plano cartesiano, cada ejercicio en un plano Cartesiano. Únelos y forma el triángulo ABC

1.- A ( 3, 5 ), B ( - 7, -4 ), C ( - 5, 6 ). 2.- A ( -2, -3 ), B ( - 5, 8 ), C ( 7 ,- 2 ). EJEMPLO:

Localizar los puntos A (4, -5), B (-3,-2) y C (5,3), Únelos y obtiene el triangulo ABC

y

C (5,3)

x

A(4,-5)

B(-3,-2)

• Distancia entre dos puntos. “CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS” EJERCICIOS

Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos:

1.- P ( - 5, 6 ) , Q ( 4, 0 ).

2.- R ( - 5, 6 ) , S ( 4, 0 ).

3.- T ( - 5, 6 ) , U ( 4, 0 ).

4.- V ( - 5, 6 ) , W( 4, 0 ).

5

EJEMPLO:

Hallar la distancia entre los puntos A ( 2, -5 ), B ( -2,- 3 ).

Formula:

2 2

2 1 2 1d (x x ) (y y )

(x1, y1) = ( 2,- 5) y (x2, y2) = (- 2,- 3)

d = √

d = √ , d = 4.472 unidades

• Punto medio de un segmento determinado. “CALCULAR PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS”.

EJERCICIOS.

Hallar las coordenadas del punto medio que divide al segmento:

1.- A ( - 3, - 2 ) , B ( -2 , 0 ).

2.- C ( 9, -10) , D ( -4 , 7 ).

3.- E ( -12,-10) , F ( 1 , 0 ).

4.- G ( -12, 14) , H ( -2, 3 ). EJEMPLO:

¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento A ( 5, 3 ), B ( 1,- 1 )?

Formula:

x =

, y =

x =

= 3 , y =

= 1

6

• Recta – Pendiente conocidos dos puntos. “APLICAR LA FORMULA DE PENDIENTE ”.

EJERCICIOS

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

1.- A ( - 1, 1 ) , B ( 2 , 1 ).

2.- C ( - 3, 1 ) , D ( 4 , 2 ).

3.- E ( 5 , -1 ) , F ( 2 ,- 4 ).

4.- G ( 1 , 0 ) , H ( -1 , 2 ). EJEMPLO:

¿Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 1 , -1 ) y ( -3, 2 )?

Formula:

m =

, m =

=

= - 0.75

• Recta – Ecuación general conocidos dos puntos. “APLICAR ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS”.

EJERCICIOS

Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:

1.- P ( 0, -2 ) y Q ( -3,1 ).

2.- R ( 2, -1 ) y S ( 7, 6 ).

3.- T ( 2,- 5 ) y U ( - 2,-3).

4.- V ( - 6,-1) y W( -5,-2 ). EJEMPLO:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-2,1) y P2 (0,3).

Formula:

y - y1 = -

- (x - x1) ; y - y1 =

( x - ( -2))

y – 1 = 1 ( x + 2 ) ; y - 1 = x +2 , y = x +2+ 1 , x – y + 3 = 0

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• Recta – Ecuación general conocidos un punto y la pendiente. “APLICAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO Y SU PENDIENTE”.

EJERCICIOS

Hallar la ecuación general de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente m,

1.- P ( -2, -1 ) y m = -3

2.- R ( 3, 4 ) y m =

3.- T ( 1,- 2 ) y m =

4.- V ( -

,-1) y m = -1

EJEMPLO :

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (-3,-1) y pendiente m = - 2

Formula: y - y1 = m (x - x1) y – ( -1 ) = - 2 ( x - (- 3)) y + 1 = - 2 ( x + 3 ) , y + 1 = - 2 x - 6 , 2x + y + 7 = 0 • Recta – Intersección de dos rectas. “APLICAR METODO - ECUACIÓNES SIMULTANEAS”.

EJERCICIOS

Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

1.- 2x - 3y + 1 = 0 y 3x + 5y - 2 = 0

2.- 3x + y - 4 = 0 y x - 3y + 8 = 0

3.- 5x + 3y + 4 = 0 y 6x - 2y - 1 = 0 EJEMPLO :

Hallar el punto de intersección de las rectas: x + 2y - 5 = 0 y 3x - 4y +5

x + 2y – 5 = 0 igualando en ec. 1 x = - 2y + 5 , sustituyendo “x” en ec. 2

3 (- 2y + 5 ) - 4y + 5 = 0 ; - 6y + 15 – 4y + 5 = 0

- 6y - 4y = - 15 – 5 ; - 10y = - 20 , y =

, y = 2

Sustituyendo en ecuación 1 el valor obtenido

x + 2( 2 ) - 5 = 0 x - 1 = 0 , x = 1 por lo tanto ( 1, 2 ).

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• Recta – Perpendicularidad. “APLICAR CONDICIÓN DE RECTAS PERPENDICULARES PUNTO MEDIO”.

EJERCICIOS

Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento indicado y es perpendicular a la recta :

1.- A ( 1, 4 ) , B ( -3 , -5 ). y recta 3x – 4y – 7 = 0

2.- C ( - 7,- 9 ) , D ( 1 , 0 ). y recta 8x + 7y – 10 = 0

3.- E ( 8, - 10) , F ( -2 , -4 ). y recta x + 9y + 2 = 0

4.- G ( - 6,11 ) , H ( -6 ,11 ). y recta 6x – 2y + 10 = 0

EJEMPLO :

Encontrar la ecuación general de la recta l1 que pasa por el punto medio del

segmento A (2,-4), B (-3,6) y es perpendicular a la recta 5x - 5y – 5 = 0 FORMULA

x =

, y =

x = 2

32 =

2

1 = - 0.05 y =

2

64

=

2

2

= 1 , Pm ( -0.05 ,1 )

Para la pendiente Para la pendiente de ml1

5x - 5y - 5 = 0

Ax + By + C = 0 m =

, m =

= 1 , ┴ m l1 = -1

Para encontrar la ecuación de l1

FORMULA y- y1 = m ( x - x1 ) , sustituyendo y + 0.5 = - 1 ( x -1)

y + 0.5 = - x + 1 , x + y+ 0.5 -1 = 0 , 1x + y - 0.5 = 0

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• Ecuación de la circunferencia “APLICAR – ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”

EJERCICIOS.

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y pasa por el punto indicado.

1.- Centro ( 0, 2 ) y punto Q ( -3,-6 ).

2.- Centro ( -4, -6 ) y punto S ( 10, -1).

3.- Centro ( -5, 5 ) y punto U ( - 2,- 4).

4.- Centro ( 8, - 9 ) y punto W ( 1 , 7 ). EJEMPLO :

Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( 0,1 ) y pasa por el punto P1 (- 1,- 2 ).

Formula:

2 2

2 1 2 1d (x x ) (y y ) ,

Ecuación de la circunferencia ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2

PARA ENCONTRAR EL RADIO

(x1, y1) = ( 0, 1) y (x2, y2) = ( -1,-2 )

r = √ , r = √ , r = 3.162 unidades PARA ENCONTRAR LA EC. GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

( x – 0 )² + ( y – 1 )² = ( 3.162 )² x² +y² - 2y +1 = 10 , x² +y² - 2y +1 -10 = 0 , x² +y² - 2y - 9 = 0

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• Ecuación de la circunferencia “APLICAR LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN”

EJERCICIOS.

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y radio indicado:

1.- Centro ( 0, -2 ) y r = 2

2.- Centro ( -6, -4 ) y r = 3

3.- Centro ( 5, - 5 ) y r = 8

4.- Centro ( -9, 8 ) y r =

EJEMPLO :

Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( -5,3 ) y radio r = 4

Formula:

( x – h )2 + ( y - k )2 = r2

( x – (- 5))2 + ( y - 3 )2 = 42

( x + 5 )2 + ( y - 3 )2 = 16 x² +10x +25 + y² - 6y + 9 = 16 x² +y² + 10x - 6y + 25+ 9 – 16 = 0 x² +y² + 10x - 6y + 18 = 0

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• Recta - Angulo entre dos rectas - Intersección de rectas

“Aplicar Pendiente, ángulo de inclinación y ecuaciones simultaneas”

EJEMPLO.

Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (- 2,1) y ( 0,5)

(x1, y1) = (-2,1 ) y (x2, y2) = (0, 5)

m =

; m =

= 2 ; m = 2

α = arc tan 2 ; α = 63° 26’ 05” EJERCICIO

1.- Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (4,7) y (-3,-7)

EJEMPLO.

Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m1 = - 3 y m2= - 5

Formula: tan θ =

, tan θ =

; tan θ =

=

θ = 7° 07’ 30”

EJERCICIO

1.- Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m1 = 9 y m2 = -8

EJEMPLO.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-2,1) y P2 (0,3)

y - y1 = y 2 -y

x2 - x (x - x1) ; y - y1 =

( x - ( -2))

y – 1 = 1 ( x + 2 ) ; y - 1 = x +2 , y = x +2+ 1

x – y + 3 = 0

EJERCICIOS

1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(-10,-3) y P2(5,-4)

2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 ( 0,-5 ) y P2( 7,6 )

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EJEMPLO.

Cuál es la pendiente de la recta 2x + 5y - 1 = 0 ? ¿Cuáles son sus intersecciones con los ejes?

m = -

; A = 2 ; B = 5 y C = -1

m = -

; a = -

=

; b = -

La intersección con los ejes es:

(

) (

)

EJERCICIO. 1.- ¿Cuál es la pendiente de la recta 7x + 12y - 10 = 0 ? ¿ Cuáles son sus intersecciones con los ejes?

EJEMPLO.

1.- Hallar el punto de intersección de las rectas: x + 2y - 5 = 0 y 3x - 4y + 5= 0 “APLICAR ECUACIONES SIMULTANEAS “

x + 2y – 5 = 0 3x – 4y +5 = 0

Despejando e igualando en ecuación 1 , x = - 2y + 5

Sustituyendo en ecuación 2 , 3(- 2y +5) - 4y + 5 = 0 ; - 6y + 15 – 4y + 5 = 0

- 6y - 4y = - 15 – 5 ; - 10y = - 20 , y =

, y = 2

Sustituyendo en ecuación 1 el valor obtenido

x + 2( 2 ) - 5 = 0

x - 1 = 0 , x = 1 , Por lo que el punto de intersección es Pi ( 1, 2 )

EJERCICIOS.

1.-Hallar el punto de intersección de las rectas: 3x - 2y + 5 = 0 y 3x - 6y + 5 = 0

2.-Hallar el punto de intersección de las rectas: 7x +12y -10 = 0 y 4x – 4 y+ 9 = 0

3.-Hallar el punto de intersección de las rectas: x - 3y +15 = 0 y 7x - y + 2 = 0

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• ANGULO ENTRE DOS RECTAS

EJEMPLO

Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo A (-3,2), B (5,4) y C (2,-5) Graficar.

Formula : m =

mAB = 35

24

=

8

2= 0.25

mBC = 52

45

=

3

9

= 3

mAC = 32

25

=

5

7 = - 1.4

Tan de β = )25.0(31

25.03

= 1.571 , β = 57° 31´18¨

Tan de α = )4.1)(25.0(1

4.125.0

= 2.538 , α = 68° 29´42¨

Tan de µ =)4.1(31

4.13

= - 1.375 µ = |- 53° 58´21¨| , µ = 53° 58´21¨

La suma de los ángulos α +β + µ = 179°59´ 21¨

EJEMPLO

Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son: A (1,1), B (6,4), y C (3,-7). Graficar.

mAB = 16

14

=

5

3 = 0.6

mBC = 63

47

=

3

11

= 3.666

mAC = 13

17

=

2

8 = - 4

Tan de β = )4)(6.0(1

46.0

=

4.1

6.4

= - 3.285 , β = - 73° 04´08”

Donde β = (180° - 73° 04´08” ), Por lo tanto β = 06° 55´ 52”

14

Continua ejercicio de pag. 13

Tan de α = )6.0)(666.3(1

6.0666.3

=

199.3

066.3 = 0.958 , α = 43° 46´ 16”

Tan de µ = )4)(666.3(1

4666.3

=

669.13

666.7

= - 0.560 , µ = | - 29° 17´32¨ |

La suma de los ángulos α +β + µ = 179°59´44¨

ANGULO ENTRE DOS RECTAS EJEMPLO.

Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3), B (-2,2) C (-4,4). Graficar

mAB = 52

32

=

7

1

= 0.142

mAC = 54

34

=

9

1

= - 0.111

mBC = 24

24

=

2

2

= -1

Tan de β = )142.0)(111.0(1

111.0142.0

= 0.257 , β = 14°24´47¨

Tan de α = )142.0)(1(1

1142.0

= 1.331 , α = 126°55´05¨

Tan de µ = )1)(111.0(1

1111.0

= 0.800 , µ = 38°39´35¨

La suma de los ángulos α + β + µ = 179° 59´27¨ EJERCICIOS.

1.- Calcula los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son : A (-5,-3), B (9,-6), y C (1,-9). Graficar

2.- Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3), B (-2,2) C (-4,4). Graficar

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• Rectas perpendiculares “Aplicar Ecuación general recta – Punto medio – Rectas perpendiculares” EJEMPLO.

Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento A (2,-4) B (-3,6) y es perpendicular a la recta 5x - 5y – 5 = 0 FORMULA

x =

, y =

x = 2

32 =

2

1 = - 0.05 y =

2

64 =

2

2 = 1 , Pm ( -0.05 ,1 )

Para la pendiente Para la pendiente de m l1

5x - 5y -5 = 0

Ax + By +C = 0 m =

, m =

= 1 , ┴ m l1 = -1

Para l1

y - y1 = m (x-x1) y + 0.5 = - 1(x -1) y + 0.5 = - x + 1 , x + y+ 0.5 -1 = 0 , 1x + y - 0.5 = 0 EJERCICIOS.

1.- Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento A (-3,8), B (5,-2) y es perpendicular a la recta 9x - 2y - 10 = 0 2.- Encontrar la ecuación general de la recta que para por el punto medio del segmento A (0,5), B (-3,-1) y es perpendicular a la recta x + y + 7 = 0

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• Ecuación de la circunferencia “APLICAR ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA - DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”

EJEMPLO.

Encontrar la ecuación general de la circunferencia que pasa por tres puntos. A (0,5), B (-3,-1) y C (6,- 2). Encontrar el centro y radio de la circunferencia

Para A ( 0,5 ) (0)2 + (5)2 - 0D + 5E + F = 0

0D + 5E+ F= - 25 Ec.1 Para B ( -3,-1 ) (-3)2 + (-1)2 - 3D - 1E + F = 0

- 3D - 1E + F = - 10 Ec.2 Para C ( 6,- 2 ) (6)2 + (-2)2 + 6D - 2E + F = 0

6D - 2E + F = - 40 Ec.3 Tomando Ec.1 y Ec.2

-1( 0D + 5E + F = - 25 ) - 0D - 5E – F =+ 25 -3D - 1E + F = - 10 - 3D - 1E + F = - 10 -3D - 6E = 15 Ec.4 Tomando Ec.2 y Ec.3

-1(-3D - 1E + F = -10 ) 3D + 1E - F = +10

6D - 2E + F = - 40 6D - 2E + F = - 40 9D - 1E = -30 Ec.5

Tomando Ec.4 y Ec.5

9(-3D - 6E = 15 ) - 27D - 54E = 135 3( 9D - 1E = -30 ) - 27D - 3E = - 90 - 57E = 45

E =57

45

= - 0.789 , E = - 0.789

Sustituyendo el valor de E en la Ec.4 -3D - 6E = 15 -3D – 6 (- 0.789 ) = 15 -3D + 4.734 = 15 -3D = 10.266

D= 3

266.10

= -3.422 D= -3.422

Sustituyendo E y D en la Ec.1 0D + 5E + F = - 25 5(- 0.789 ) + F= - 25 , -3.945 + F = - 25 , F = - 25 + 3.945 ; F= - 21.055

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Sustituyendo valores D, E y F en la ecuación general de la circunferencia. x2 + y2 - 3.422 x - 0.789 y - 21.055 = 0 Ecuación general

Para encontrar el centro y el valor del radio

( x2 - 3.422 x ) + ( y2 - 0.789 y ) = 21.055 ( x2 - 3.422 x + 2.927 ) + ( y2 - 0.789 y + 0.155 ) = 21.055 + 2.927 + 0.155 ( x - 1.711 )2 + (y - 0.394 )2 = 24.137 ( x – h )2 + ( y + k )2 = r2 , C ( 1.711 , 0.394 ) , r = 4.912 • Parábola. “ECUACIÓN DE LA PARABOLA ”

EJEMPLOS.

Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo v (2,-1) y cuyo f (1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto. h= 2 FORMULA. Si F ( h + p, k ), ( y – k )² = 4p ( x – h ) k= -1 p= -1 h + p = 1 ( y + 1)² = 4( -1 ) ( x – 2 ) 2 + p = 1 y² + 2y+ 1 = - 4( x - 2) p = 1 - 2 y² + 2y +1 = - 4x + 8 , y² = - 2y - 4x + 7 p= - 1 LR= | 4 ( - 1 )| LR= | -4 | LR= 4 DIRECTRIZ x = h – p LR = І 4p І

x = 2 - ( - 1) = 3 LR = 4 Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco del vértice la directriz y del lado recto. y² = - 2y – 4x + 7 y² = - 2y – 4x +7 ( y² + 2y ) = - 4x + 7 ( y² + 2y + 1) = - 4x + 7 +1 ( y + 1)² = - 4x + 8

18

Continua de la pag. 17

( y + 1)² = - 4 ( x – 2 ) por lo tanto p = 4

4 = -1 , p = -1

( y – k )² = 4p ( x – h ) , v ( h, k ) f (h + p, k)

vértice v ( 2,-1) foco f ( 2 -1, -1), foco f (1, -1) h = 2 DIRECTRIZ x = h – p LR = І 4p І

k = - 1 p = - 1 x = 2 - ( - 1) = 3 LR = 4 • Parábola EJEMPLO.

Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (-2,-2) y cuyo foco f (-1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto. FORMULA. Si F ( h + p, k ), ( y – k )² = 4p ( x - h) h = - 2 h + p = - 1 k = - 2 -2 + p = - 1 p = 1 p = - 1 + 2 , por lo tanto p = 1 ( y + 2)² = 4(1) ( x + 2 ) y² + 4y + 4 = 4 ( x+ 8), y² + 4y + 4 = 4x + 8 y² + 4y - 4x - 4 = 0 , y² = - 4y - 4x + 4 LR= | 4 (1) |, LR= 4 directriz x = - 2 - 1 = - 3 EJERCICIOS.

1.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (2,-1) y cuyo foco f (1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto.

2.- Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco del vértice la directriz y del lado recto. y² = - 2y – 4x + 7

3.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo foco f (2,-1) y cuya directriz y = - 9

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Elipse. EJEMPLO.

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas f (2, 0) y longitud del eje menor igual a 6.

FORMULA.

= 1 , a2 = b2 + c2 , f ( c,0 )

c = 2 , La longitud del eje es 2b = 6 por lo tanto b = 3 de modo que a2 = 9 + 4

Por lo tanto la ecuación es:

= 1

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un vértice con coordenadas v (0, - 4) y distancia focal igual a 2.

FORMULA.

= 1 , a2 = b2 + c2 , v ( 0,- a ), La distancia focal es 2c

c = 1 ,De las ordenadas de los vértices a = 4 , de modo que b2 = a2 – c2

b2 = 16 – 1, b = √

Por lo tanto la ecuación es:

= 1

EJERCICIOS.

1.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas f (0,-6) y longitud del eje menor igual a 6.

2.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, longitud del eje mayor igual a 18 y foco f( 0,3) y longitud del eje menor igual a 12 Elipse. EJEMPLO

Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 25x2 + 16y2 – 400 = 0

FORMULA.

= 1 , a2 = b2 + c2 , LR =

, ℮ =

= 1, a2 = 25 y b2 = 16 por lo tanto a = 5, b = 4 entonces c = √

c = 3, foco f ( 0, 3 ) y f´ (0, -3 ), los vértices son v ( 0,5 ) y v´ (0,-5 ),

la excentricidad ℮ =

1 , El lado recto LR =

=

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EJERCICIOS.

1.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 25x2 + 9y2 – 225 = 0 2.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 9x2 + 5y2 – 45 = 0 3.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. x2 + 3y2 – 3 = 0

Bibliográfia.

Geometría analítica Solís Rodolfo Tercera reimpresión Editorial: Lumaza México 1994 Num. Pág. 197 Geometría y Trigonometría Dr. J. A. Baldor Primera edición Publicación Cultural Num. Pág. 405 Algebra A. Baldor Publicación Cultural Edición 1983 Núm. Pág. 198 Consulta matemático Lic. L. Galdós Editorial: cultural Nap. 994 Matemáticas 3 Eduardo Basurto Hidalgo Editorial PEARSON Primera edición 2010 Núm. Pág. 195