antologia matematicas geo analitica

MATEMÁTICAS: Geometría Analítica

Actividades guiadas para el desarrollo del pensamiento geométrico

El siguiente material didáctico se desarrolla considerando la propuesta de

Pierre M. Van Heile respecto a cómo enseñar geometría a los estudiantes de

preparatoria.

Autor: J. Refugio Sánchez Barrón

Prof. CECyTEA Jesús María

Julio 2012


Prof. J. Refugio Sánchez Barrón

Tema: Ecuaciones de primer grado una incógnita

Intensión didáctica Identificar los elementos que intervienen en ellas y la relación que guardan con las

gráficas de las líneas.

Información Cuandovamos a comprar algo nos preguntamos cuánto cuesta para saber si podemos comprarlo o simplemente saber cuánto nos deberán regresar de cambio. De esta manera si compramos 3 piezas de pan, digamos 3 cuernitos rellenos de chocolate, nos interesa saber cuánto cuesta cada uno.

Orientación guiada De la compra anterior nos cobran 6 pesos. ¿Cómo saber el precio de cada uno? ______________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿Por qué estamos tan seguros de ese valor? ________________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿Podríamos saber cuánto pagaríamos si compramos 5 o 7 piezas de pan del mismo precio? _____________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿Habría otra forma de saberlo? ______________________________________________________________________________________________________________________________________

Explicitación Podríamos representar este caso en forma de ecuación y nos quedaría de la siguiente forma:

Donde la letra “p” representa las piezas de pan. Ésta sería una ecuación de primer grado de una incógnita que es la “p”.

Por tanto el precio de un solo pan seria es decir, 6 entre 3 resulta 2 pesos cada pieza de

pan.

6



Si cada pieza de pan cuesta 2 pesos y compramos 4, entonces debemos pagar 8 pesos porque 4 panes de 2 pesos cada uno resulta 4x2=8. Podemos utilizar otra manera de conocer el costo de la compra según los panes que compremos, esto se logra por medio de una tabla como esta.

Cantidad de piezas de pan

Costo de 8 pesos Total a pagar

1 2 2

2 2 4

3 2 6

4 2 8

5 2 10

6 2 12

7 2 14

Como pues ver basta con multiplicar por 2 la cantidad de panes. Lo anterior se puede representar de manera gráfica y encontrar el costo en función de las piezas de pan que compremos. Observa que la línea recta nos ayuda a identificar en sus intersecciones los valores que buscamos. Por ejemplo si compramos 2 piezas de pan la gráfica nos indica que el costo es de 4 pesos.

Orientación libre Es posible identificar las ecuaciones de primer grado y lo que representan, de igual manera podemos representarlas en una gráfica. Todas las ecuaciones de primer grado se pueden representar en una gráfica.

Cantidad de piezas de pan

Costo a pagar



De lasiguiente tabla relaciona las compras con su ecuacióne identifica su correspondiente gráfica uniéndolas con una línea.

Tres tamales cuestan nueve pesos

Un vaso de atole cuesta cuatro pesos

Cinco refrescos cuestan nueve pesos

Cinco jugos cuestan veinte pesos.

1a=4 3t=9 5j=20 5r=9

Integración Si luego de caminar por toda la feria de Jesús María junto con tus amigas y amigos te compraras 6 vasos de nieve todos del mismo precio y te cobraran 72 pesos, ¿Cuál sería el precio por cada vaso de nieve? ¿Cómo lo representarías de forma gráfica? y ¿Cuál sería la ecuación que describe la compra? Muy bien. Luego de saber cuánto cuesta cada vaso de nieve, como saber cuánto cuesta la bolsa de papas si compran 4 y en total les cobran 100 pesos. La ecuación ahora quedaría así recuerda que “n” representa las nieves y “b” representa las bolsas de papas.

Ahora tenemos una ecuación de primer grado con dos incógnitas como ya sabes el valor de una de esas incógnitas podrás saber el valor de la otra.



Tema: Exponentes

Intensión didáctica Identificar los elementos de una relación de exponentes y la manera de resolverlo

Información Si multiplicaras tres veces el 2 obtendrías el valor de 8 pues esto significa 2x2x2. De igual manera si multiplicaras 5 veces el 3 obtendrías 243 pues implica 3x3x3x3x3. A este proceso le podemos llamar “potencia de un número” en esto ejemplos seria “la potencia de 2 a la 3 es 8” o “la potencia de 3 a la 5 es 243” La potencia relaciona al número y al exponente de ese número. Es decir.

3 exponente

Número 2 = 8 potencia

5 exponente


Sobre el nacimiento del ajedrez hay muchas versiones; una de ellas, la más aceptada,

dice que el juego de ajedrez fue inventado en la India alrededor del siglo VI dC. Se le

conocía como "el juego del ejército" o "Chaturanga" y podía jugarse con dos o con

cuatro jugadores. Gracias a los viajes de los mercaderes y los comerciantes el juego

llegó primero a Persia y después fue conocido en toda Asia. Más adelante los árabes

estudiaron a profundidad el juego y se dieron cuenta que estaba muy relacionado con

las matemáticas, escribieron varios tratados sobre él y aparentemente fueron los

primeros en formalizarlo y en escribir sus reglas.

Sobre este juego existen muchas leyendas, pero sin duda una de las más famosas es la

siguiente:

"Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en una

batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreir sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan feliz con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy tranquilo, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gran sorpresa:



¡no alcanzaba todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez!"

Orientación guiada ¿Cuantos granos habrá en el noveno cuadro del tablero de ajedrez?

_________________________________________________________________________

_____.

Para calcular los granos que habrá en el séptimo cuadro, pensemos en la potencia de 2 a la

7. Sabemos que 2 es el número base y 7 es el exponente por lo que 2x2x2x2x2x2x2 nos

da como resultado 128 granos.

Las potencias de 2 se utilizan en muchas áreas, una de ellas es en la computación, pues la

capacidad del procesador, la capacidad de la memoria ram, entre otras tiene valores que

son potencia de esto número. Como ejemplo, la capacidad de la memoria ram las hay de

128, 256, 512 etc.

Casos importantes:

La potencia de un número elevado al exponente 1 siempre dará el mismo número.

1 exponente


Es decir 4 elevado a la 1 es 4, así cualquier número que se eleve a la 1 siempre será el

mismo. Para representar cualquier número lo podemos hacer con una letra como por

ejemplo “a”

1 exponente

Número a = a potencia

La potencia de un número elevado al exponente 0 siempre dará el valor de 1.

0 exponente


Es decir 2 elevado a la 0 es 1, siempre que eleves a la 0, no importa que número base sea

el resultado será 1. Esto se puede representar

0 exponente

Número a = 1 potencia



Completa la expresión de la potencia.

3 exponente

Número __ = 27 potencia

_ exponente

Número 4 =64 potencia

Explicitación El concepto de potencia implica realizar multiplicaciones sucesivas de un mismo número. Además el concepto del exponente se puede utilizar en operaciones y cada una de ellas se resuelve tomando en cuenta algunas reglas. Potencia de mismo número base y diferente exponente.

En una multiplicación:

se deja el mismo número base y se suman los exponentes.

4 5 4+5 9

2 x 2 = 2 = 2

En la división:

se deja el mismo número base y se le cambia el signo al exponente de debajo de

manera que queda 5 -3

6

2 6-3 3 _____ = 2 = 2 3 2



Potencias de número base distinto y exponentes diferentes.

En una multiplicación:

se calcula la potencia de cada uno y se realiza la multiplicación.

En la división:

se calcula la potencia a cada uno y se realiza la división, sin embargo se recomienda

expresarlo en forma de quebrado si el resultado no fuera entero.

Orientación libre Regresando al tablero de ajedrez, ¿cuál sería la cantidad de granos en el cuadro 9? _______________________________________________________________________________ ¿En cuál de los cuadros de ajedrez la cantidad de granos pasa de 1000? _______________________________________________________________________________ ¿En cuál de los cuadros del ajedrez la cantidad de granos pasa de 1000 000? _______________________________________________________________________________ Realiza las operaciones necesarias para encontrar la respuesta.

Integración Será fácil encontrar ahora el valor de las potencias de las siguientes cantidades.



Tema: Operaciones con quebrados

Intensión didáctica Identificar los elementos que representan un quebrado e interpretar las operaciones en una ecuación.

Información Si quisiéramos que solo 1/2 del grupo resolviera el ejercicio cuantos alumnos serian si el grupo es de 32. Pues seguramente diremos que 16 porque la mitad de 32 es 16. Es decir, que 1/2 indica la mitad. De igual manera si sabemos que un litro de leche tiene 1000 ml entonces 1/2 de litro de leche serian 500 ml. Es muy sencillo saber que 1/2 representa la mitad de algo. Pero también existen otras cantidades como por ejemplo 4/5, 13/7 que podemos resolver. Lo importante es saber lo siguiente:

numerador 1 -------- = 0.5 Cociente denominador 2

Para calcular 1/2 de 32 lo que se hace es multiplicar el numerador por 32 y luego se divide con el denominador. De esta manera (1)(32)/2= 16 En el caso de querer calcular 4/5 de 32 se realiza de la misma forma, es decir (4)(32) resulta 128 y luego esto se divide entre 5 y quedaría 128/5=25.6

Orientación guiada Pero cuántos alumnos serian 2/8 del grupo. Pues esto implica multiplicar por 2 la cantidad del grupo (2*32) y dividir entre 8 y nos daría 8. Es decir, (2)(32) que resulta 64 y luego dividir entre 8 que resulta 8. Cuantos alumnos serian 1/4 del grupo. Pues si lo resuelves quedaría (1)(32)/4=8. ¿Te fijas que el resultado de 2/8 y el de 1/4 tienen algo en común? ¿Por qué nos resulta lo mismo 2/8 y 1/4 al calcularlo de 32?

Explicitación Existe el concepto de equivalentes, es decir, dos o más expresiones se escriben distintas pero tienen el mismo valor. En este caso la cantidad de 2/8 es equivalente a 1/4 porque se reduce la cantidad a su mínima expresión. Ejemplo si tememos 16/64 podríamos encontrar sus equivalentes reduciendo esta cantidad.



16 =

8 =

4 =

2 =

1 ----- ----- ----- ----- ---- 64 32 16 8 4

Por tanto 8/32 y 2/8 es lo mismo. Para reducir una expresión debemos dividir tanto numerador y

denominador entre el mismo número, por ejemplo se dividió entre 2 de manera que 16 entre

2 da 8 y 64 entre 2 da 32 de esta manera queda . las divisiones se realizan hasta cuando ya no

sea posible dividir tanto numerador como denominador. Ejemplo

18 =

9 ----- ----- 4 2

En este caso se realizaron divisiones entre 2 pero solo fue posible una vez ya que el 9 no se puede dividir entre 2.

25 =

5 ----- ----- 15 3

En este caso las divisiones se realizaron entre 5 y solo fue posible una vez pues el 3 ya no se puede dividir otra vez.

Orientación libre Como calcularías el total de manteca que doña Pancha consume para elaborar tamales si el primer día utiliza 3 kilos, el segundo día utiliza 3/4 de lo que uso el primer día. ¿Cuánta manteca uso el primer día? __________ ¿Cuánta manteca uso el segundo día? _________ ¿Cómo calcular este dato?

Si la respuesta es 5 kilos y de kilo. Comenta con tus compañeros el resultado y como es que se

llega a el.

¿Cuánto seria el total de manteca si en un tercer día consume de lo que utilizo el primer día?

Bien primero es importante saber que este día equivale a 11 kilos.

La razón de esto es que si el primer día fueron 3kilos y el tercer día fueron de este, entonces

implica que (3)(11) /3 =11kilos.



Integración Pedro sabe que su calificación es de la calificación de Juana más 2 puntos adicionales. Si Juana

obtuvo un 8 de calificación. ____________________________________________ Celia pide a su Madre dinero para comprarse ropa, ella le da dos billetes de 200 pesos y cuatro

billetes de 100 pesos más 75 pesos en monedas, pero le dice que solo podrá gastar del dinero

que le dio. El resto será para comprarlo de pescado para comer. Si el kilo de pescado cuesta 95 pesos ______________________________________________________________ ¿Cuántos kilos de pescado le traerá a su Mamá? ___________________________ ¿Cuánto se pudo gastar en ropa? _______________________________________ Si en casa de Celia consumen 850grs de pescado al día, ¿para cuantos días alcanzara el pescado que compró? ________________________________________________________



Tema: Teorema de Pitágoras

Intensión didáctica Interpretar el teorema de Pitágoras y resolver diversos ejercicios.

Información Una área se entiende que es la superficie medida en unidades cuadradas, ya sean metros cuadrados, centímetros cuadrados, pulgadas cuadradas etc. Y se miden así porque cualquier superficie la podríamos dividir en pequeños cuadros de cierta medida, por ejemplo el área de la explanada de la prepa la podemos calcular sabiendo sus medidas, en este caso tiene 35 m de largo por 15 de ancho por lo tanto su área es de 525 m2 Si observas estas figuras toda su área está dividida en pequeños cuadros, algunos son más grandes que otros lo que podríamos decir que unos están divididos en metros cuadrados y otros en centímetros cuadrados. Dependiendo de la figura el área se calcula con distintas fórmulas, investiga cuales formulas se necesitan para estas figuras.

Orientación guiada Ahora dibuja o recorta tres cuadrados, el primero de 5*5cm, el segundo de 4*4cm y el tercero de 3*3cm. ¿Cuál será el área de cada uno? Toma cada cuadrado y coloca uno de sus lados de manera que formes un triángulo recto con ellos.



¿Qué observas de esta figura? ¿Notas alguna relación entre las áreas de los cuadrados y el teorema de Pitágoras?

Explicitación Bien, seguramente te quedo una figura como la anterior. Anteriormente calculaste el área de cada cuadrado por separado y los valores sin duda fueron 5*5= 25cm2 4*4=16cm2 3*3=9cm2.

Ahora si recordamos la ecuación del teorema de Pitágoras tenemos: Donde:

“c” representa el cuadrado de 5*5 “a” representa el cuadrado de 4*4 “b” representa el cuadrado de 3*3

De manera que si colocamos los valores en la ecuación quedaría Esto permite comprobar el teorema de Pitágoras.

Ecuación de Pitágoras c2= a2 + b2 Valores de las áreas de los cuadrados 25=16+9

Orientación libre ¿Qué pasaría con la figura del triángulo recto si el cuadrado “c” fuera de 6*6cm?. ¿Cuál sería el valor de “c” de la ecuación c2= a2 + b2 si a=4*4cm y b=2*2cm?



¿Podrías formar un triángulo recto con estos recuadros?

Integración Calcula el lado faltante del triángulo.

3

5

___

___

7

4

___

6

2

___ 6

8.48



Tema: Perímetros

Intensión didáctica Identificar el concepto y aplicar el proceso de solución.

Información El perímetro de las figuras es la línea que da forma a esas figuras. Por lo tanto podemos medir esa línea como una longitud. En este caso el perímetro de estas figuras implica sumar las longitudes de sus lados, en el caso de la figura del circulo se obtiene mediante un formula. Para las figuras geométricas es sencillo determinar el perímetro. Si observas la figura podrías determinar el valor del perímetro con solo sumar el valor de sus lados, 3+7+7+5 = 22

Orientación guiada

7

3

7

5



Juanito y Anita se encuentran una llanta de bicicleta y se ponen a jugar haciendo que la llanta ruede lo más lejos posible. Alex hermano de Anita regresa de clases y se pregunta si puede calcular el perímetro de la llanta en función de las vueltas que da y la distancia que recorre. Alex se imagina el recorrido que hace la llanta desde un punto inicial hasta el punto donde se detiene. Ahora se pone a observar cuando Anita lanza la llanta y cuanta las veces que completa una vuelta fijándose en la válvula que tiene. Al observar cuenta que la llanta alcanza a dar 3 vueltas y recorre aproximadamente 5 metros. ¿Cómo puede ayudar esto para saber el perímetro de la llanta?

Metros de perímetro. Luego de calcular esto, toma una cinta y mide directamente en la

llanta su perímetro y comprueba que tiene razón.

Explicitación En el caso de la llanta Alex piensa que si cortara la llanta y la extendiera de forma lineal podría saber su perímetro. Entonces lo que hace es dividir la distancia que recorrió entre las vueltas que dio.

A B

A B



Orientación libre Podría Alex determinar el perímetro de una llanta de carro que al recorrer 8 metros completa 6 vueltas? _______________________________________________________ Que tal si sabemos que el perímetro de una rueda de carreta mide 3metros, podríamos determinar que distancia recorre con 17 vueltas. _________________________ Si Juanito recorre con su llanta toda la cuadra de la calle y lo hace completando 46 vueltas, ¿Cuánto mide el largo de la calle? ______________________________________

Integración Ahora Alex se pregunta si puede determinar el diámetro de esa llanta. Que podremos hacer para conocer este dato. Investiga la relación entre perímetro y diámetro para lograr saber su valor.

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