matematicas general de ejecucion industrial
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y CC.
INTRODUCCIN A LA MATEMTICA PARA INGENIERA DE EJECUCIN.-2009
Prof. Jorge Inostroza . L.
Prof. Heraldo Gonzlez .S.INTRODUCCIN:
En el curso de muchos aos de experiencia en la formacin de Ingenieros en la Universidad hemos podido formarnos una meridiana idea de las bondades y las carencias de los postulantes que por ello su rendimiento no es todo lo esperado, al punto que en el ltimo tiempo se ha visto incrementando motivo por el cual nos hemos propuesto una instancia remedial mediante un proceso de homologacin que conlleve una revisin o consolidacin de conocimientos bsicos para una mejor insercin en el programa regular del primer nivel de matemtica. Junto a ello hemos pretendido dar una visin ms fundamentada de los conceptos, amn de insistir en las habilidades operacionales ms requeridas. No obstante ello se ver un tratamiento a veces algo superficial para profundizar en el curso normal de los estudios. Todo ello perdera su propsito si no contamos con la voluntad, la dedicacin y el esfuerzo para iniciar un efectivo proceso de auto-estudio y auto-evaluacin por parte del estudiante.
INDICE (Dos primeras semanas)
Materiaspgs.CALCULO APLICADOTEMA N 1.- LENGUAJE Y NOMENCLATURAS4TEMA N 2.- CARACTERIZACIN DE LOS NMEROS REALES (R)7
TEMA N 3.- IDEAS BSICAS DE TRIGONOMETRA11
3.1Razones Trigonomtricas
113.2Ecuaciones Trigonomtricas 153.3Otras Identidades Trigonomtricas 16TEMA N 4.- GEOMETRA ANALTICA (Conceptos bsicos) 214.1Plano Euclidiano 214.2Distancia entre dos puntos 214.3 La recta 224.4. Rectas paralelas y rectas perpendiculares 244.5 La circunferenciaMATEMATICA GENERAL 26TEMA N 5.- ELEMENTOS DE ALGEBRA CLSICA. 305.1Expresiones Algebraicas 305.2Valor numrico de una expresin algebraica 315.3Reduccin de Trminos Semejantes 325.4Resolucin de Parntesis 345.5Suma de Expresiones Algebraicas 355.6 Producto de expresiones Algebraicas 375.7Factorizacin de Expresiones Algebraicas 415.8Simplificacin de Expresiones Racionales 425.9Cuociente de Expresiones Algebraicas 445.10Cuociente de Polinomio con monomio 465.11Cuociente entre multinomios 475.12Expresiones Algebraicas Racionales 505.13Operaciones con Fracciones Algebraicas 545.14 Producto de Fracciones Algebraicas 575.15 Fracciones Algebraicas Compuestas 60
5.16Potencias 63
5.17Races Aritmticas 66
5.18Propiedades Operacionales 685.19Racionalizacin 72
5.20Logaritmo en Base A ( 76
5.21Propiedades del Logaritmo 78
TEMA N 6.- PROBLEMAS Y ECUACIONES 87
6.1Problemas Resueltos 1116.2Problemas Propuestos 119TEMA N 1.- LENGUAJE Y NOMENCLATURAS.
La matemtica se sirve, para su difusin, de un lenguaje o vocabulario y de una serie de smbolos o nomenclaturas a fin de universalizar sus proposiciones adems de dar mayor coherencia y claridad a sus elaboraciones. Este aporte le corresponde a la Lgica y la Teora de conjuntos,
Para que podamos hablar este lenguaje comn, en lo que nos corresponde, incorporamos aqu los elementos ms bsicos requeridos y su uso.
Conjuntos y sus operaciones:
El conjunto entendido como un concepto primitivo denotado por letras maysculas: .; y que est compuesto por elementos sealados por letras minsculas: . La pertenencia de stos a un conjunto y la inclusin de un conjunto en otro se denotan por:
Se lee a pertenece al conjunto A
Se lee a no pertenece al conjunto A
Se lee A es un subconjunto de B o est contenido en el conjunto B
Se lee A es un subconjunto o igual al conjunto B
Se lee El conjunto A no es parte del conjunto B.
Un conjunto se puede expresar por extensin, es decir enumerando todos sus elementos o bien por comprensin, sealando las caractersticas comunes de todos sus elementos mediante un clasificador:
Por extensin.
EMBED Equation.3 Por comprensin
Clasificador que se lee A es el conjunto de todos los x de R , tal que x es un nmero par.
Las operaciones principales entre conjuntos son: Unin e Interseccin:
Se lee es el conjunto de todos los elementos x que pertenecen a A pertenecen a B
:
Se lee Es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B
Tambin requerimos del Complemento de un conjunto o sea el de aquellos elementos del conjunto universal que no pertenecen al conjunto:
La Diferencia entre dos conjuntos A y B est dada por:
.
Las sentencias o proposiciones en matemtica son enunciados que admiten un valor de verdad, es decir pueden ser verdaderas o falsas: Ejemplo:
P = Dos naturales consecutivos no pueden ser ambos par
Q = Todo nmero divisible por 3 y por 4 lo es por 12
Para expresar o conectar sentencias o proposiciones necesitamos adems de ciertos smbolos o conectores que nos entrega la lgica simblica.
Se lee P implica Q, o Si P entonces Q
Se lee P es equivalente con Q.
Se lee P y Q
Se lee P Q.
Adems se tienen los llamados cuantificadores:
para todo
existe al menos uno
existe un nico
Las siguientes sentencias o proposiciones las vemos en smbolos:
1.- Para todos los alumnos del curso , existen menores o igual a 20 aos
.
2.- El curso est formado por los de edad entre 19 y 21 aos
3.- Todo nmero natural multiplicado por dos es par
.
Ejercicios:
Defina el conjunto y escriba en smbolos
1 Si un natural es divisible por 2 y por 6 entonces lo es por 12.2 Todo nmero divisible por 3 y por 4 lo es por 123 Si la suma de dos nmeros es par entonces uno es el 2.
Lea la sentencia:
1. a
2.
3.
Para cerrar este tema debemos advertir que en el programa formal de la asignatura Matemticas Generales y de Clculo Aplicado se tendr una mayor informacin al respecto, razn por la que aqu se da una visin simplificada a fin de ponernos todos en un mismo nivel de informaciones.
TEMA N 2.- CARACTERIZACIN DE LOS NMEROS REALES (R)
El conjunto de los nmeros reales, protagonista principal y casi nico de nuestro quehacer matemtico requiere ser identificado con cierta claridad y precisin en aras del rigor que debe acompaar todo nuestro quehacer, del mismo modo son necesarias las caracterizaciones de los otros sistemas numricos que forman parte de los reales.
Los Reales conforman lo que se llama una Estructura Algebraica, es decir un conjunto de Axiomas y operaciones que le dan el carcter de un Cuerpo-Ordenado y Completo. Se ver que en el enunciado de estos axiomas faltan muchas propiedades de los reales que son conocidas y con las que hemos convivido desde nuestros primeros aos de estudio, y es que todas ellas se derivan de estos enunciados y eso es lo grandioso de esta caracterizacin.
R es un Cuerpo: Es decir que admite dos operaciones llamadas suma y producto entre reales y que satisfacen los siguientes Axiomas
Clausura
Conmutatividad
Asociatividad
Neutro aditivo
Inverso aditivo
Clausura
Conmutatividad
EMBED Equation.3
Elemento unitario
;
Inverso multiplicativo
Distributividad.
Como se deca, de estos axiomas surgen otras propiedades de los reales que son objeto de demostraciones, que denominamos Teoremas y que no son sino aquellas que hemos estado asumiendo en nuestro quehacer cotidiano.
EMBED Equation.3 .-
EMBED Equation.3
;
.
EMBED Equation.3
;
;
.
Las demostraciones son tema para ms adelante, por ahora baste saber que son consecuencias de los Axiomas.
R es Ordenado: Se admite axiomticamente que existe un sub-conjunto de R denominado de nmeros positivos sealado por que cumplen los Axiomas de Orden:
.
Se definen los conceptos que le dan sentido al carcter de ordenado de R: Con los smbolos:
;
;
1.-x mayor o igual a y
2.- x mayor que y
3.-.x menor o igual a y
4.- x menor que yAqu, como es de suponer, tambin surgen otras proposiciones.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Con los axiomas y estas propiedades se pueden resolver ahora problemas de desigualdades y de inecuaciones que sern temas de nuestra preocupacin posterior.
Observacin:
Estos elementos nos permiten adems trazar un grfico de representacin de los reales en un eje o recta orientada en que cada real es un punto en la recta y cada punto de la recta un real As a la izquierda del 0 estn los reales de y a su derecha los de , de modo que si a < b ;b se ubica a la derecha de a.
a 0 b
Adems debemos sealar que existen otros conjuntos numricos dentro de R y que estn caracterizados por:
1. N el conjunto de los naturales; 1,.2,3,4,5,6,7caracterizados por el hecho que : a) 1N; b) Si nN n+1N.( n+1 es llamado sucesor de n, 1 es el nico que no es sucesor de ninguno)2. Z el conjunto de los enteros conformado por los naturales el cero y sus negativos: -3,-2,-1,0,1,2,3,..3. Q el conjunto de los Racionales, son de la forma con x e y enteros, e y no nulo.
As se tendr que: . Donde es el conjunto de los Irracionales. Adems existe otro conjunto y que contiene a los reales y que son Los Complejos, en l est, por ejemplo, las soluciones de la ecuacin:
R es Completo: Esto es, que cumplen el denominado Axioma del Supremo:
Previo algunas precisiones: Se dice
i) El conjunto S es Acotado superiormente si:
, M es llamado Cota Superior del conjunto.
ii) El conjunto S se dice Acotado inferiormente si :
, N es Cota Inferior del conjunto. iii) El conjunto S es Acotado; si
si .
Se llama Supremo del conjunto a la menor de las cotas superiores e nfimo del conjunto a la mayor de las cotas inferiores .Ahora el Axioma del Supremo
.-
Ejemplos:
1. Determinar cotas, Supremo e nfimo del conjunto:
Solucin:
Intuitivamente se observa que:
,luego todo nmero menor que 1 es una cota inferior y la mayor de ellas es el 1 y es el nfimo, y todo valor mayor que 2 es cota superior , la menor de ellas es 2 es el Supremo.
2. Determinar Supremo e nfimo de:
Solucin:
Una simple intuicin y dando valores a n, nos indica que Sup S = 1/3 y el Inf S = -1/2.
Para que el estudiante reflexione cuidadosamente se incluyen algunas propiedades derivadas de este Axioma del Supremo:
1. -Propiedad Arquimediana.2. .
3. 3.- .
Aqu terminamos una presentacin medianamente formal de los conjuntos numricos y sus propiedades, lo que se ver complementada en el desarrollo normal de los temas del primer curso de matemticas superiores.
El objetivo de esta primera parte se ver cumplido cuando el estudiante use adecuadamente este lenguaje y nomenclaturas en su decir y hacer matemtico y ver como esta disciplina puede ser llevada a todo su quehacer an el ms domstico.
____________________________________________________________
TEMA N 3. - IDEAS BSICAS DE TRIGONOMETRA
RAZONES TRIGONOMTRICAS:Definicin:
En el tringulo rectngulo ABC; se definen:
;
Sen 0= 0Cos 0 = 1
Tambin se definen: 1)
2) Segn Teorema de Pitgoras:
:
Al dividir por
De aqu construimos las llamadas Identidades fundamentales:
1.
2.
3.
4.
An ms, se pueden lograr relaciones de cada una de estas razones gracias a un simple expediente grfico con ayuda del teorema de Pitgoras.
a)
b)
c)
d)
e) 1 f)
1
En cada grfico buscamos la razn trigonomtrica segn la definicin:
As en a)
De este modo se puede construir en una tabla todas la relaciones o identidades fundamentales de las razones entre s.
___
____
____
_____
____
_____
3) Siendo 360 = 2 rad. Donde 1 radin es el ngulo cuyo arco es la medida del radio, como ste esta contenido 2 veces en la circunferencia que equivale al ngulo completo de 360. Entonces:
360 = 2 rad. 180 = rad.
90 = rad. .45 = rad.
60 = rad. 30 = rad.
4) Como en la fig. 1 :
pues:
y
5) Del grfico
Lo que podemos resumir en el siguiente cuadro
0
Sen
Cos
Identidades trigonomtricas:Son relaciones de igualdad vlidas para todo valor del ngulo, cuya verificacin se logra con las identidades fundamentales y algunos recursos algebraicos
Ejemplo:
Verificar las identidades elementales
a)
Solucin.:
b)
Solucin.:
c)
Solucin.:
1. miembro :
2 miembro :
d)
Solucin.:
ECUACIONES TRIGONOMTRICAS
Son relaciones de igualdad validas para ciertos valores del ngulo, valores que buscamos encontrar, pero ello demanda una mayor profundizacin en el tema veremos algunos ejemplos muy elementales.
1)
Solucin.:
2)
Solucin.:
3)
Solucin.:
OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICASOtras identidades que son de uso frecuente son:
1)
_____________________
2)
3) 3)
De ellas se puede deducir que (haciendo )
a)
b)
c) c)
De aqu se puede obtener las siguientes nuevas identidades
a) b) c)
En efecto:
a) Si tomamos debemos probar que: como vemos que
EMBED Equation.3
como esto ltimo es verdadero lo anterior lo es si argumentamos en reversa es decir a partir de esto ltimo y ( lo normal seria partir de este punto y construir lo que sigue en el proceso pero ello es ms laborioso). De igual modo se verifica las otras identidades.
Ejercicios
1) Calcular el valor numrico de:
Solucin.:
2) Calcular
Solucin.:
3) Demuestre que
Solucin.:
De igual forma se puede verificar que :
Ntese que haciendo se llega a:
a)
b)
c)
Estas identidades son de gran utilidad para estudios posteriores.4.- Si Hallar el valor de .
Solucin.
Recurriendo al cuadro de identidades (Pg. 13) luego
.5.- Si Demostrar que
Solucin.
EMBED Equation.3
6.- Determinar el valor numrico de: X=
Solucin.
Con ayuda del cuadro de la pg.14:
EMBED Equation.3 7.- Comprobar las identidades:
a)
b)
c)
d)
Solucin.a) Reescribiendo el primer miembro como:
EMBED Equation.3 y el segundo miembro como:
,
la identidad a demostrar quedara:
, por lo que no hay nada que demostrar.
b) Como una identidad no puede trabajarse admitiendo la igualdad, es que desarrollamos el primer miembro y/o el segundo por separado.
1 M
c) 1M:
d) y , la suma resulta 1.
Algunos Problemas 1) Un poste colocado a 100 mts. de un punto de observacin, el observador ve su cspide bajo un ngulo de 30. Hallar la altura del poste.
Solucin.:
100
2) En la orilla de un canal hay dos personas a 50 mts. una de la otras; en la otra orilla y en un lugar intermedio un observador ve a uno en un ngulo de 30 y al otro en uno de 45 Cul es el ancho del canal?Solucin.:
3) Pruebe que en el tringulo ABC su rea est dada por
Solucin.:
Los otros resultados se logran del mismo modo (rotando los vrtices)
4) Pruebe el llamado teorema del seno
En un tringulo ABC
Solucin.:
5) Pruebe el llamado teorema del coseno
Observacin
Al trmino de esta visin muy elemental del tema solo nos corresponde esperar que el alumno a partir de ello pueda insertarse exitosamente en los contenidos del programa regular de la signatura
TEMA N 4.- GEOMETRA ANALTICA (Conceptos bsicos)
En esta parte del programa, contamos con que el estudiante en, algunos casos, ya tiene algn manejo de ciertos conceptos bsicos de la Geometra Analtica obtenidos en la enseanza media. Sin embargo aqu daremos una breve informacin para homologar y ponernos a un nivel comn. No se trata de contenido completo de un curso de este tema sino ms bin una somera informacin.
4.1.- Plano Euclidiano
El plano Euclidiano plano geomtrico est conformado por puntos P, los que son representados mediante un sistema Cartesiano de ejes por pares ordenados de reales (x,y) ,establecindose una correspondencia biunvoca entre los puntos del plano y el conjunto de los pares ordenados .As el punto sealado por P se asocia al par (x,y) donde x es la abscisa del punto e y la ordenada de l , como lo muestra la fig.
4.2.- Distancia entre dos puntos.Los puntos: y ,segn la fig. son vrtices del tringulo rectngulo PQR. Y por tanto la distancia d(P;Q) se define como la hipotenusa de dicho tringulo. Como: ; y de acuerdo al Teorema de Pitgoras:
R
EMBED Equation.3
Propiedades:
a) d(P,Q)
b) d(P;Q)=0
c) d(P;Q)=d(Q;P)
d) d(P;Q)+d(Q;R) d(P;R) .Esto se puede verificar en la fig.
4.3 .- Divisin de un trazo en razn dada.
Si P es un punto del trazo
EMBED Equation.3 con
Luego si el punto P dimidia al trazo
Ejemplo:1.- Los puntos extremos de un segmento o trazo son:.Hallar el punto P(x,y) que divide en la razn -2.
Solucin:
2.- Los extremos de un segmento son los puntos:; el punto lo divide en la razn ,determinar su valor.
Solucin.
3.- Los puntos medios de los lados de un tringulo son: (2,5) , (4,2) y (1,1) .Hallar las coordenadas de los vrtices.
Solucin
Sean
EMBED Equation.3 los vrtices, entonces
EMBED Equation.3
Planteando y resolviendo estos sencillos sistemas se tiene
: luego los vrtices son :A(3,-2) B(5,6) C(-1,4)4.4 .-La Recta. La entendemos como un Lugar Geomtrico, o sea una coleccin de puntos sujetos a una ley determinada , expresada en sus componentes. As:
Recta por dos puntos:P y Q
EMBED Equation.3 .
En la figura :
EMBED Equation.3 , se llama la pendiente de la recta y corresponde a la de modo que la ecuacin toma la forma:
.
Que corresponde a la recta por el punto y con pendiente .Si la escribimos como
,
,
Decimos que tiene la forma estndar; siendo el punto en que corta al eje y coeficiente de posicin y ello se ve cuando hacemos x=0.
b
a
Si los puntos fueran:, la recta tomara la llamada forma de segmentos:
,
lo que se consigue haciendo las sustituciones correspondientes en la primera ecuacin y que corresponde a los segmentos que ella determina en los ejes coordenados como se ve en la fig:
Por lo tanto toda recta tiene la forma General:
,o sea una relacin de primer grado en x e y. Despejando y :
Ejemplos:
1. Dada la recta : 5x +4y = 8. Encontrar : a) pendiente ;b)interseccin con los ejes ;c) verificar si el punto (3,-2) est en ella ;d) encontrar la ordenada para que (-1,y) sea de la recta.Solucin:
a) , luego b) En ; hacemos :; .c) , luego no contiene al punto.d) En .
2. Encontrar la ecuacin de la recta con pendiente y que contenga al punto (1,1).
Solucin:
En .
3. Determinar la pendiente de la recta que pasa por:.Solucin :
Como .Rectas paralelas y rectas perpendiculares.Entendamos que las rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente, es decir hacen igual ngulo con el eje x; y sern perpendiculares si el producto de las pendientes es -1.Lo primero se aprecia claramente en la figura y la perpendicularidad se comprueba teniendo que:
EMBED Equation.3 Luego teniendo las rectas:
EMBED Equation.3 y con pendientes:
y , Por lo tanto el paralelismo se expresa
por: o sea
EMBED Equation.3 y la perpendicularidad
por: o sea .
Finalmente el punto de concurrencia de las rectas no paralelas se determina resolviendo el sistema:
.-
Ejemplo:Determinar el punto de concurrencia de las rectas:
Solucin:
_____________________/
4.5 La circunferencia:
La entendemos como el Lugar Geomtrico de los puntos P(x,y) del plano cuya distancia a otro fijo C(a,b),llamado centro ,es la constante R, llamada el radio de ella. La figura que acompaa ahorra ms detalles.
De la definicin dada y el teorema de Pitgoras se deduce su expresin analtica:
(a)Donde (a,b) es su centro y R el radio ,luego si el centro es (0,0) tomar la forma:
.Desarrollando la expresin analtica vemos que es de la forma:
(c)
Sin embargo no toda expresin de esa naturaleza puede representar una circunferencia, pues para que ello ocurra debe poder cumplir con lo demandado al completar los cuadrados de binomio:
la condicin ser que :;de modo que es su centro y el radio.
Para identificar la circunferencia necesitamos conocer 3 incgnitas, veamos los Ejemplos:
1. Hallar la circunferencia centro en el origen y contiene al punto P(1,-4).Solucin:
Ser de la forma (b) ,luego
EMBED Equation.3 es la ecuacin.
2. Hallar la circunferencia centro en (3,0) y contiene al origen.Solucin.:En la forma a) y
EMBED Equation.3 ;
y la ecuacin ser: .
3. Encontrar la circunferencia tangente a los ejes y centro en (-3,3).Solucin.:
En la forma a) al ser tangente a los ejes:,luego es la solucin buscada.
4. Determinar la circunferencia que pase por los 3 puntos (0,6);(4,-2);(9,3).Solucin.:
La forma c) nos genera el sistema:
Cuya solucin es : y la ecuacin ser:.
5. Encontrar radio y centro de la circunferencia :.Solucin.:
Debemos dar la forma a ) para ello completamos el cuadrado de binomio:
.
6. Sealar radio y centro de :
Solucin.:
Para llegar a la forma b) completamos los cuadrados de binomio: .
Debemos reiterar que nuestro propsito no es hacer un desarrollo acabado de estos temas, sino mas bien definir un piso mnimo para que el inicio de los estudios tenga una base comn.
MATEMATICA GENERAL
TEMA N 5.- ELEMENTOS DE ALGEBRA CLSICA.
INTRODUCCION
Luego de conocer los fundamentos y consecuencias de los reales, nos disponemos a efectuar una revisin de ideas en torno a la operatoria con tales elementos; ello con el propsito de observar con una ptica diferente, fundamentada y lgica, aquella operatoria que nos debi parecer arbitraria o inexplicable; el beneficio de esta revisin es evidente.
Junto a esto est tambin la oportunidad de ejercitar un espritu crtico que esperamos haber fomentado en los captulos anteriores.
Este ltimo tema tendr una connotacin y estructura diferentes, por lo que se ha dicho; estar constituido bsicamente por listados de ejercicios operatorios de los temas de Algebra de los Reales ms relevantes de la Enseanza Media.
Tiene por lo tanto tambin un carcter evaluativo que el alumno podr autoaplicarse una vez concluida la etapa de anlisis de conceptos y revisin de tcnicas operatorias. Sin embargo se incluyen, en algunos casos, el fundamento de algunas reglas operatorias para que el alumno observe con igual sentido todos los algoritmos operacionales del texto.
5.1 Expresiones Algebraicas:Definicin:
Se llama Expresin Algebraica, a aquella constituida por las operaciones de suma y producto y otras entre factores numricos y literales, estos ltimos representativos de valores reales arbitrarios.
Ejemplos:
1.
2. (x-2)5y3.
4.
5.2 Valor numrico de una expresin algebraica:Se consigue sustituyendo en cada factor literal los valores numricos asignados.
Ejemplo:
Determinar valor numrico de las siguientes expresiones.
a) 3a2 bc 2a
; Si a = 2; b = 1 ; c = 3b)
;Si a = 2; b = 1c)
;Si a = 2; b = 1; c = 3
Solucin.:
a) 3a2 bc 2a = 3 ( 4 ( 1( 3 2 ( 2 = 32 //
b)
c)
Ejercicios:
Determine el valor numrico para:
1) 3x2 - 6x + 5
;Si x = 52) x2 - 2xy + y2
;Si x = 4 ; y = 23) (x + y) ( x y) - x2 + y2;Si x = 13 ; y = 144)
;Si z = 10 ; x = 27 ; y = 35)
;Si x = 10 ; y = 206)
;Si x = 27)
;Si a = 35 ; b = 28 ; c = 31
5.3 Reduccin de Trminos SemejantesEn una expresin algebraica, son trminos semejantes aquellos que tienen los mismos factores literales y los mismos exponentes aunque el factor numrico sea diferente:
Ejemplo:
a)
b)
Reducir trminos semejantes es agrupar en un solo los trminos semejantes entre si efectuando las operaciones algebraicas que se sealen.
Ejemplos:
Reducir trminos semejantes:
a) -5 a3 b4 - 7a3 b4 -3a + 12a3 b4 - 13a3 b4
b) 24a - 7b + 12c - 11a - 3b + 11c - 5a + 9b + 6c
c)
Solucin:
b) 24a - 11a - 5a - 7b - 3b + 9b + 12c + 11c + 6c =
8a - b + 29c //
c)
Observacin:
Esta reduccin recoge la propiedad asociativa de los reales
Ejercicios:
Reducir trminos semejantes:
1) 3m - 7m + 5m - 7m + 3n - 8p - 5n + 8p2) x - 5y + 8 + 7x - 3y3)
4) 12xy - 4x2y + 6xy2 - 4x2y + 3xy + 8xy2 - yx3 - x2y25) 0,75x - 0,6y + y + 1x - y6) 8 a - 6,35b - 5,7a - 2b + 1a + 7b7) 32x + 17y + 14z - 21w - 0,86x - y - z
5.4 Resolucin de ParntesisLos parntesis se usan para agrupar o asociar expresiones y cuya resolucin se rige por las propiedades de distributividad en los reales o asociatividad de estos:
Ejemplos:
Resolver parntesis en:
a) 5a + (3b 2a + c) - 4c
b) 7x - (3x + 9) + (6x + 8)
c) 3x ( (2a - b) +
Solucin:
a) 5a + (3b - 2a + c) - 4c = 5a + 3b - 2a + c - 4c
=3a + 3b-3c
b) 7x - (3x + 9) + (6x + 8) = 7x - 3x - 9 + 6x + 8
=10x 1
c) 3x ( (2a - b) + (3xa - xb + xa) = 6xa - 3xb + 3xa - xb + xa = 10ax 4 bx.Observaciones:
Recurdese las siguientes propiedades de los reales:
- (a + b) = - a - b
- (a - b) = - a + b
- (-a - b) = a + b
Ejercicios:
Resolver parntesis y reducir trminos semejantes:
1) (a - b + c) - (a + b - c) + (-a + b + c)
2) m -
3) (9a - 4c) -
4) (7a - 2b) -
5) 2a - 2b +
6) a -
7) -
EMBED Equation.3 5.5. Suma de Expresiones Algebraicas
La suma de expresiones algebraicas se hace entre trminos semejantes; empleando las propiedades asociativas, conmutativas y distributiva que caracteriza a los reales:
Ejemplo:
Si A = 3x2 - 4x + 8 ; B = 2x2 - 6x + 4 ; C = -6 + 4x + x2Calcular
a) A + B
b) 3A + 2B - C
c) (A + B) + (-2A - 3B) - 6C
Solucin:
a) A + B = (3x2 - 4x + 8) + (2x2 - 6x + 4)
= 3x2 + 2x2 - 4x - 6x + 8 + 4
= 5x2 - 10x + 12 //
b) 3A + 2B - C = 3(3x2 - 4x + 8) + 2(2x2 - 6x + 4) - (-6 + 4x + x2)
= 9x2 + 4x2 - x2 - 12x - 12x - 4x + 24 +8 + 6
= 12x2 - 28x + 38 //
c)(A + B) + (-2A - 3B) - 6C = A - 2A + B - 3B - 6C
= -A - 2B - 6C
- (3x2 - 4x + 8) - 2(2 - 6x + 4) - 6 (-6 + 4x + x2) =
- 3x2 + 4x - 8 - 4x2 + 12x - 8 + 36 - 24x - 6x2 =
- 3x2 - 4x2 - 6x2 + 4x + 12x 24x - 8 - 8 + 36 =
- 13x2 - 8x +20 //
Ejercicios:1. Sumar las expresiones:
Si:
A = 5a + 6b - 7
B = 3a - 4b + 2
C = -4a + 3b - 4
1) A + (B - C)
2) A - (B 2C)
3) 2A + 3B - (2C + 4A)
2. Calcule
a)De la suma de 6xy - 8x + 15 con - 7x2 + 8xy - 10 rstese
5x2 + 8xy 20
b) Sume con el doble de
c) Al doble de 3x2 - 12x + 6 aumentado en 11, rstese un medio de la suma entre (x2 + 4x + 2) y (-2x2 + 6x + 4)
d) El Semi-permetro de un rectngulo es 3x + 2y + 7, y el ancho es:
x - 3y + 2 Cul es el largo?
5.6 Producto de expresiones Algebraicas:
a) Producto de Monomios
Para ello se emplean las propiedades del producto de reales y se multiplican los coeficientes numricos entre s y los coeficientes literales homlogos.
Ejemplo:
Multiplicar
a)
b)(-8ab) (
c)axn ( bxm ( c x
Solucin:
a) 3a2 (
= a3 x3 //
b) (-8ab)
= a3 b3 //
c) axn ( bxm ( cx = a ( b ( c xn ( xm ( x
= abc xn+m+1Ejercicios:
Multiplicar los monomios
a)
b)
c)14a2 bcx ( (-8ab3 x)
d)7ab3 c2 ( 0,21 a2 b2 c2 ( a3 bc2e)
f)5a3 b3 ( 3a-3 b3 ( 7ab
g)
b)Producto entre polinomios:
Su ejecucin contempla la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y las otras propiedades o axiomas del cuerpo (.
Ejemplo:
a)(5ab - 3a) ( 2a2 b2b)3 (-2a2 - 6ab2) ( (a3 b3)
c)(2x - 6) (x + 4)
Solucin:
a)(5ab - 3a) 2a2 b2 = 10 a3 b3 - 6 a3 b2 //
b)3 (-2a2 - 6 ab2) (a3 b3) = (-6a2 - 18 ab2) (a3 b3)
= 6 a5 b3 - 18 a4 b5 //
c)(2x 6) (x + 4) = 2x (x + 4) - 6 (x + 4)
= 2x2 + 8x - 6x - 24
= 2x2 + 2x - 24 //
Ejercicios:
Multiplicar y reducir trminos semejantes.
1)
2)(x - 8) (x + 6)
3)(x + 4) (x - 3) (x + 1)
4)(6x2y - 3xy + 4xy2 + 8x2y2 - 7x2y) (xy2 - x2 y2)
5)(x - y) (x2 + xy + y2) (x3 - y3)
6)3(2x - 6) + 4 (3x + 4) - 7(2x - 1) + 8(x + 3) (x + 1)
7)(x + 2y) (x + 2y) (x + 2y)
Observacin:
Hay ciertos productos usuales, que es necesario conocer su desarrollo.
1.Cuadrado de Binomio
(a + b) (a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a - b) (a - b) = (a - b)2 = a2 -2ab + b2
2.Cubo de Binomio
(a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3(a - b) (a - b) (a - b) = (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
3.Producto de binomios que slo difieren de un signo
(a + b) (a - b) = a2 - b2(-a - b) (-a + b) = a2 - b24.Binomio con un trmino comn (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) + ab5.Cuadrado de Polinomio
(a + b + c ..)2 = a2 + b2 + c2 . + 2(ab + ac +` bc + ..)
6.Suma de Cubos
(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)
(a3 - b3) = (a - b) (a2 + ab + b2)Ejercicios:
Resolver los productos notables siguientes:
1) (2a + b2)22)
3) (6x - 3y)24) (3ax + 2ay)25) (-2 - 2b)26) (x - 2)37) (2xy - 5y)38) (3x - 2y + z)29) (2xy - x2 + y2)210) (3ax - 2ay) (3ax + 2ay)
11) (2x - 3y) (3x - 2y) (2x + 3y) (3x + 2y)
12) (2x - 6) (2x + 9)
13) (x - xy) (x + x2)
14) (x - 8) (x - 4) (2x - 3)
15) (a + 32 + b + 2b2)216) (x - y + z)317)
5.7Factorizacin de Expresiones Algebraicas
Se trata de restituir a un producto, una expresin algebraica desarrollada como una aplicacin de la propiedad distributiva.
Ejemplo:
Factorizar las expresiones siguientes:
a) (2ax - 3x)
b) 3ax2 - 2ax
c) 2a3 b2 c4 d - 6ab4 c3 + 8a2 b2 c4 d2d) x2 - 2x + 1
e) 9x2 - 16
f) x2 - x - 6
Solucin:
a) 2ax - 3x = x (2a - 3)
b) 3ax2 - 2ax = a x (3x - 2)
c) 2a3 b2 c4 d - 6ab4 c3 + 8a2 b2 c4 d2 = 2ab2 c3 (a2cd - 3b2 + 4acd2)
d) x2 - 2x + 1 = (x - 1)2e) 9x2 - 16 = (3x - 4) (3x + 4)
f) x2 - x - 6 = (x - 3) (x + 2)
Observacin:
Un problema de factorizacin frecuente es el caso de un trimonio cuadrtico.
ax2 + bx + c
Recurdese el producto:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
es decir, en el trinomio:
x2 + sx + py
s representa la suma de los trminos no comunes y p el producto de los mismos; por eso en:
x2 - x - 6 ; s = -1
p = -6 o sea
a + b = -1
ab = -6 a = -3 ; b = 2 ( x2 - x - 6 = (x - 3) (x + 2)Ejercicios:
Factorizar los trinomios
1) x2 - 5x + 6
2) x2 - 7x + 3
3) 10x2 + 17 + 3
4) -6x2 + 37x - 45
5) 6x2 + xy - 12y26) 10x2 + 17xy + 3y27) x2 + x + 1
8) 3x3 - 12x2 + 9x
9) x5 - ax4 - a4x + a510) (a + b)2 - 4ab
11) a12 + b12 (a4)3 + (b4)312) a12 - b125.8Simplificacin de Expresiones Racionales
Simplificar una expresin racional es cancelar factores comunes que parecen en el numerador y denominador de ella; esto es la aplicacin de la propiedad del inverso multiplicativo.
Ejemplo:
Simplificar
a)
b)
c)
Solucin:
a)
b)
c)
Observacin:
Este trabajo de simplificacin, si no se hace concientemente es fuente de graves errores, de ah el desarrollo detallado del ejemplo a) hago usted lo mismo con:
a)
b)
c)
Ejercicios:
Simplificar o cancelar factores comunes en:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
5.9Cuociente de Expresiones Algebraicas
a) Cuociente entre Monomios: Se trata, como ya se sabe, de un producto del monomio dividendo por el inverso multiplicativo del monomio divisor.Ejemplo:
a) 16 a2 b5 c6 : 4ab3c3b) -0,14a3 b-2 c-4 : 10a3 b3 c3Solucin:
a) 16 a2 b5 c6 : 4ab3 c3 = (16a2 b5 c6) ( (4ab3 c3)-1 = 16 a2 b5 c6 ( 4-1 a-1 b-3 c-3 = 16 ( 4-1 a2 ( a-1 ( b5 ( b-3 ( c5 c-3 = 4ab2 c3
otra forma
Esta forma es una modalidad ms frecuente pero la justificacin para ello est en la primera modalidad.
b) -0,14a3 b-2 c-4 : 10a3 b3 c = a3-3 b-2-3 c-4-10,14b-5 c-5 =
Ntese que:
; puesto que
IN
Ya antes habamos usado el hecho que
am ( an = am+n ; m, n ( IN
y que est basada en la asociatividad del producto, por cuanto:
am an =
=
Ejercicios:
Efectuar las operaciones
1)
2)-12a4 b3 c-3 : -18 b-3 c43)
5.10Cuociente de Polinomio con monomio
Est basado en la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.
Ejemplo:
a) (15x4 y2 - 9x2 y3 + 12 xy4) : 3xy
b)
Solucin:
a) (15x4 y2 9x2 y3 + 12xy4) ( 3-1 x-1 y-1 =
b)
Ejercicios:
Efectuar las divisiones:
1) (8a2 b5 - 16a3 b3 + 24a-2 b5) : 8a2 b32) (-4x7 y8 - 12x20 y10 + 24x21 y42) : 4x9 y-105.11Cuociente entre multinomios
La divisin entre multinomio, an cuando est determinada por la distributividad en los reales, tiene un algoritmo especial para conseguir el cuociente y el resto, si lo hay. Puesto que si A y B son dos expresiones se trata de encontrar las expresiones C y R tal que:
A = B C + R C es el cuociente y R es resto
El algoritmo lo explicamos en el ejemplo
(a2 + 4ab + 3b2) : (a + b) = a + 3b
Observacin:
Tngase presente que hay que:
Ordenar respecto a las potencias de una letra ambos multinomios.a) Se busca un elemento que multiplicado por el primer elemento del divisor resulte el primer elemento del dividendo.
b) Se multiplica el elemento encontrado por todo el divisor y el producto se resta del dividendo.
c) La diferencia es un nuevo dividendo y se repite el proceso hasta llegar a un resto cero o un elemento que no permite continuar.
Ejemplos:
a) (3a5 - 6a2 + 9a - 7) : (2a2 - 3)
Solucin:
3a5 - 6a2 + 9a - 7) : (2a2 - 3) =
EMBED Equation.3
(Resto)
Luego debe tenerse que
(3a5 6a2 + 9a - 7) = (2a2 -3)
En efecto, realizando el producto se llega a:
3a5 - 6a2 - a + 9 Sumando el resto
Ejercicios:
Efectuar el cuociente y comprobar:
1) (2x3 + 2x3 - 3x2) : ( 2x + 4)
2) (x4 - 2x3 - 3x2 + 5x + 2) : ( x3 - 4x2 + 5x - 2)
3) (x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 3x + 2 ) : ( x + 2)
4) (x5 - 3x4 + x2 - 2x - 3 ) : (x - 3)
5) (x7 + 3x6 + 2x3 + 3x2 - x + 1) : (x4 - x + 1)
6) ((x + 1)3 - x2 + 2x ) : (x2 + x - 1)
Observacin:
El cuociente xn - yn : x - y ; tiene siempre resto cero cualquiera sea el valor de n ( N.
Ejemplo:
x5 - y5 : x - y = x4 + x3 y + x2 y2 + xy3 + y4
De igual forma podr verificarse que:
x6 - y6 : x - y = x5 + x4y + x3y2 + x2y3 + xy4 + 5
y en general puede intuirse que:
xn - yn : x - y = xn-1 + xn-2 y + xn-3 y2 + . + x2 yn-3 + xyn-2 + yn-1Ejercicios:
Escriba el resultado directamente:
a) a5 - x5 : a - x
b) 8x3 - y3 : 2x - y
Igual situacin a la anterior se produce con los cuocientes.
a) xn + yn : x + y si n es par (n = 2p)
b) xn + yn : x + y si n es impar (n = 2p 1)
Verifquelo para:
a) x8 - y8 : x + y
b) x7 + y7 : x + y
c) x6 - y6 : x + y
d) x5 + y5 : x + y
Adems conjeture una frmula general para dichos cuocientes.
5.12 Expresiones Algebraicas Racionales:
Son aquellas en forma de cuociente entre multinomios:
Ejemplo:
a)
b)
A) Mnimo Comn Mltiplo
El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) entre dos o ms expresiones; es la expresin que se obtiene al multiplicar los factores primos numricos o literales cada uno con su mayor exponente.Ejemplo:
m.c.m. entre: 15a2 b3 ; 8ab2 ; 3a3 b
3 ( 5 a2 b3 ; 23 ; 3 a3 b es:
3 ( 5 ( 23 a3 b3 120 a3 b3 //
Observacin
El m.c.m. es entonces la expresin ms pequea que contiene a cada una de las expresiones dadas.
m.c.m. entre (1 + a) ; (1 - a) es (1 + a) (1 a)
m.c.m. entre a3 b ; xy2 ; uv5 es a3 bxy2uv5m.c.m. entre 6(a - b) ; 9a2 - 9b2 ; 8(a2 + b2 - 2ab)
es:
Como 6(a - b) ; 9a2 - 9b2 ; 8 (a2 + b2 - 2ab) se puede expresar por:
3 ( 2 ( (a b) ; 32 (a - b) ( (a + b) ; 23 (a - b) ( (a - b)
Entonces el m.c.m. ser:
32 23 (a - b)2 (a + b)
Ejercicios:
Determinar m.c.m. entre:
a) (1 - a) ; (1 + a) ; (1 - a2) ; (1 + a2)
b) 6a2 b ; 2abc ; 5a2 b2 ; 13 abc2d
c) (a - 1) ; (a + 1) ; (b - 1) ; (b + 1)
B) Reducir dos o ms Expresiones Racionales o Fracciones Algebraicas a Funciones de igual Denominador.
Se trata de obtener mediante un proceso de amplificacin, que cada fraccin tenga el mismo denominador. Amplificar una fraccin algebraica es multiplicar numerador y denominador por un mismo factor; con ello no se altera el valor de esta por cuanto mediante un proceso de cancelacin o simplificacin se retorna a la expresin original. Amplificar y simplificar son procesos recprocos.
Ejemplos:
a) Amplificar por b2 a3 ; luego queda:
b) Simplificar : luego como =
queda
Para determinar el denominador comn; entre dos o ms fracciones; (es conveniente que sea el mnimo posible) o ms bien el mnimo comn denominador; se busca el mnimo comn mltiplo entre denominadores y se amplifica cada fraccin por una expresin conveniente y lograr que el denominador sea ese m.c.m.
Ejemplos:
Reducir las fracciones dadas a expresin de igual denominador pero que sea el mnimo comn denominador.
a)
b)
c)
Solucin:
a) m.c.m. entre (x - y) ; (x - y) (x + y) ; x + y es (x - y) (x + y) ; luego
b) m.c.m. entre 6b ; 7a ; 2c es 6 ( 7 abc = 42 abc (mnimo comn denominador)
c) m.c.m. entre 2a2 b ; a2 b2 ; abc
es: 2a2 b2 c ; luego
Ejercicios:
Reducir al mnimo comn denominador las fracciones:
a)
b)
c)
d)
5.13Operaciones con Fracciones Algebraicas
1. Suma:
La suma de fracciones algebraicas se realiza transformndolas a fracciones de denominador comn; luego el resultado es la suma de los numeradores manteniendo el denominador.
Ejemplo:
1) Sumar:
Solucin:
m.c.d: 10a2 b2 (
=
2) Sumar:
Solucin:
m.c.d.: (a - b) ab
3) Sumar:
Solucin:
m.c.d entre 2(a - 1) ; 2(a + 1) ; (a + 1); (a + 1) (a -1) es
2(a + 1) (a - 1) = 2(a2 - 1)
Ejercicios:
Sumar y expresar el resultado en la forma ms simple:
a)
b)
c)
d)
5.14 Producto de Fracciones Algebraicas:
El producto de fracciones algebraicas se efecta multiplicando numeradores y denominadores entre s y el cuociente se encuentra multiplicando la primera fraccin por el inverso multiplicativo de la segunda.
Ejemplo:
1.
2
3.
Se ha usado la distributividad en lugar de expresar los factores como fracciones o sea
Ejercicios:
Resolver los productos, y simplificar si procede:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Para dividir dos expresiones fraccionarias se reducen a un producto como ya se seal:
Ejemplo:
1)
Solucin:
Como
2)
3)
Ejercicios:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
5.15 Fracciones Algebraicas Compuestas
Se trata de fracciones cuyo numerador y denominador son a su vez fracciones y su desarrollo consiste en darle una forma simplificada.
Ejemplo:
1)
Ejercicios:
Resolver:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5.16 Potencias
Siendo la notacin an una expresin para el producto de n factores a; para n ( IN o sea.
an = a ( a ( a .. a (n veces). Para n = 0;
a0 = 1
Se tiene las siguientes consecuencias operacionales:
a)am ( an = am+nb)am : an = am-n :
c)an ( bn = (ab)nd) am : bm =
e) (am)n = am(n
Adems son inmediatas las siguientes propiedades:
f)( a ( ( ; a2n ( 0
g)( a ( ( ; a2n-1 ( 0 si a ( 0
a2n-1 0 si a 0
Ejemplos:
a)a ( ax+1 = ax+2
b)a2n-3 : a= a(2n-3)-(n+1) = an-4c)5x ( 7x = (35)xd)82n : 42n =
e)
f)(-7)2 = 49
g)(-5)3 = -125 ( 0
( 3)3 = 27 ( 0
Observacin:
Si m ( Z ; Entonces
Ejercicios:
1. a)a2n+3 ( a3n =
b)25x ( 8 =
c) 52p-1 ( 25p+1 =
d) (x + y)3n ( (x + y)1-n e) (a + b + c) ( (a + b + c)n-1 ( (a + b + c)n f)
g)
h) (1 + 2xy)2 : (1 + 2xy)-3
i)
j) (32xy)3 : (4x)3 k) (16-1 ( 40) : 4-2
2.a)
b)
c)
d)
e)
f)
h)(0,25)-2 + 160 + (-2)-3 =
5.17 Races Aritmticas
Si n ( IN ; ; luego (*)
La Potenciacin es la operacin recproca de la radicacin
Ejemplo:
Denotemos tambin:
ya que si en / elevamos a n ambos lados, se tendr:
quedando justificada la notacin.
De lo anterior se tiene:
Ejemplos:a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Ejercicios:
1) Simplificar las races
a)
b)
2) Convertir en races de igual ndice
a)
b)
3) Calcular:
a)
b)
c)
5.18 Propiedades Operacionalesa)
b)
c)
d)
El fundamento de ello es que:
a)
a = xn ; b = yn (
ab = xn yn = (x ( y)n (
b)Anlogamente:
c)
( a = umn (
d)
Observacin:
Ejemplo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)Reducir:
i) Reducir:
Ejercicios:
Desarrollar las expresiones y reducir
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
5.19 RacionalizacinPara una expresin Fraccionaria con races en el denominador, la racionalizacin es la operacin de amplificacin que tiende a eliminar dicha raz.Ejemplo:
a)Racionalizar:
Solucin:
b)Racionalizar:
Solucin:
c)Racionalizar:
Solucin:
d)Racionalizar:
Solucin:
e)Racionalizar:
Solucin:
f)Racionalizar:
Solucin:
Tngase presente que:
x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2) Si
EMBED Equation.3 (
Luego:
Ejercicios:
Racionalizar:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
5.20 Logaritmo en base a (
Para la ecuacin ax = b , a ( 1 ; a > 0 la solucin se define por:
x = logab
luego:
ax = b ( x = logab(*)( a)
b)
Observacin:
Ambas se logran por simple sustitucin de acuerdo a la relacin (*) y con ello se determina que la operacin de exponenciacin y la de logaritmacin son recprocas una de la otra.Ejemplo:
1)log32 = x ( 3x = 2
2)log28 = 3 ( 23 = 8
3)log2x = 5 ( 25 = x ( x = 32
4)logx64 = 6 ( x6 = 64 ( x =
Ejercicios:
1) Dar forma exponencial a
a)log981 = 2 (b)log322 =
EMBED Equation.3 (c)log82 = (d)log1010 = 1 (2) Determinar el valor de x en:
a)logx8 = 3 (b)log749 = x (c)log8x = (d)logx0,01 = -2 (e)5x = 3 (5.21 Propiedades del Logaritmo
1)logaa = 1
( a ( (+ - {1}
2)loga1 = 0
( a ( (+ - {1}
3)loga(x ( y) = logax + logay
4)loga = logax - logay
5)logaxn = n logax
6)logbx =
7)
Demostracin:
1) y 2) son consecuencia inmediata de la definicin:
3)Sea loga(x ( y) = u (
au = x ( y
Sea logax = m
logay = n (
x = am (
y = an ( xy = am+n = au
m + n = u
logax + logay = logax y
4)Sea = u ( au =
Si logax = m ( logay = n ( x = am y = an (
m - n = u
loga
5)Es una reiteracin del caso 3 pues
logax2 = 2 logax
log3x3 = 3 logax
6)Si logbx = u
x = bu
y m = logax ; n = logab
am = x ; an = b (x = am ; bu = (an)u = anu ( a = anu m = nu
7)Se sabe que:
Sea
Sea
= x (
= luego
au = ay u = y o sea
Ejemplo:
1)Probar que: logaa = 1
Solucin:
Si u = logaa
au = a ( u = 1
2) Calcular log216 ; log264 ; log21
Solucin:
log216 = log224 = 4 log22 = 4
log264 = log226 = 6 log22 = 6
log21 = log220 = 0 log22 = 0
3) Calcular x en log4x = 3 ; logx121 = 2
Solucin:
log4x = 3 ( 43 = x ( x = 64
logx121 = 2 ( x2 = 121 ( x = 11
4)Desarrollar:
Solucin:
5)Calcular usando log10, el valor de:
y = ; Si log 2 = 0 , 30103
Solucin:
Luego haciendo uso de la calculadora se puede verificar el resultado en que:
y = 0,000322499
Observacin
Cuando la base es 10 el logaritmo se denota log; y en el caso que la base sea el nmero e, el logaritmo llamado natural se denota Ln.
(e = 2,7182818)6)Resolver la ecuacin exponencial:
a)a2x b3x = c5
b) (a4 - 2a2 b2 + b4)x-1 = (a - b)2x (a + b)-2
Solucin:
a)Aplicamos log a ambos miembros o sea a toda la ecuacin:
log (a2x b3x) = log c5 (
2x log a + 3x log b = 5 log c
x (2 log a + 3 log b) = 5 log c
b)Se tiene:
(a2 - b2)2(x-1) = (a - b)2x (a - b)2x (a + b)-2 (( (a - b) (a + b)(2x-2 = (a - b)2x ( (a + b)-2 ((a - b)2x-2 ( (a + b)2x-2 = (a - b)2x ( (a + b)-2 / (a + b)2(a - b)2x-2 ( (a + b)2x-2+2 = (a - b)2x / (a - b)-2x(a - b)-2 ( (a + b)2x = 1 / (a - b)2 ((a + b)2x = (a - b)2 / log
2x log (a + b) = 2 log (a - b) (
//
7)Dado log 2 = 0,30103; hallar:
Log25200
Solucin:
Ejercicios:
1) Hallar logaritmo de:
a) 16 base
b) 125 base
c)0,0625 base 22)Hallar:
3)Hallar el valor de:
4)Expresar en funcin de log a ; log b ; log c
a)
b)
c)
d)
5)Demostrar que:
6)Resolver las ecuaciones exponenciales:
a)
b)ax = cbx7)Dados log 2 y log 3, hallar:
8)Resolver el sistema:
2x+y = 6y3x = 3 ( 2y+1
TEMA N 6. -PROBLEMAS Y ECUACIONES Prof .Heraldo Gonzlez S
Ecuacin
Una ecuacin es toda igualdad entre dos expresiones matemticas ,denominados miembros de la ecuacin, por ejemplo es una ecuacin.En muchos problemas matemticos, la condicin del problema se expresa en forma de ecuacin algebraica; se llama solucin de la ecuacin a cualquier valor de las variables de la ecuacin que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de nmeros o elementos sobre el que se plantea la ecuacin que cumpla la condicin de satisfacer la ecuacin. Al igual que en otros problemas matemticos, es posible que ningn valor de la incgnita haga cierta la igualdad. Tambin puede que todo valor posible de la incgnita valga. Estas ltimas expresiones se llaman identidades.
Historia de las ecuaciones polinmicas
Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los rabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, lgebra (del r. algabru walmuqbalah, reduccin y cotejo). La cosa era la incgnita. La primera traduccin fue hecha al latn en Espaa, y como la palabra rabe la cosa suena algo parecido a la X espaola medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Mjico, Ximnez/Jimnez), los matemticos espaoles llamaron a la cosa X .Para resolver ecuaciones hasta segundo grado, el hombre no encontr gran dificultad, la situacin fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2.
En efecto, la ecuacin general de tercer grado: requiri consideraciones bastante profundas y resisti todos los esfuerzos de los matemticos de la antigedad. Slo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aqu se presentar el ambiente en que aconteci el descubrimiento de la solucin de las ecuaciones de tercer grado o cbicas. Los hombres que perfeccionaron las cbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemticos tan pintoresco como nunca se ha dado en la historia. La mayora de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de inters compuesto y de seguros.
Habindose elevado por encima del simple clculo prctico, los grandes algebristas italianos constituan en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las ctedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre s competencias para la solucin de problemas. (Algo muy similar a lo que hacan los hindes siglos antes). Para hacer doblemente difcil su deporte, algunas veces hacan apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmsfera combativa estall la guerra en torno a la ecuacin cbica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 public un compendio de lgebra, la "Suma Aritmtica". Con ella transmiti el lgebra inventada hasta la fecha y termin con la irritante observacin de que los matemticos no podran todava solucionar ecuaciones cbicas por mtodos algebraicos.
El primer hombre en recoger el desafo de Pacioli en torno a las cbicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que lleg a ser catedrtico de matemtica en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solucin general para todas las ecuaciones cbicas de la forma simplificada .
Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus ltimos das confo su solucin a un estudiante, Antonio Fior, quien la utiliz en una disputa de lgebra con un rival, Ncolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padeca este defecto.
En la poca de la contienda con Fior, Tartaglia haba pasado a ser uno de los ms sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y haba ideado un arma secreta propia: Una solucin general para las cbicas del tipo .Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos especficos del tipo , le respondi con ejemplos del tipo . Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho das antes de finalizar el plazo, Tartaglia haba encontrado una solucin general para las ecuaciones del tipo y en dos horas resolvi todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acab el tiempo y lleg el da de hacer el cmputo, Tartaglia haba solucionado los problemas de Fior y ste no haba solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontr con un rival ms fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegtimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astrlogo que hacia horscopos para los reyes, un mdico que visitaba a sus enfermos y un escritor cientfico de cuya pluma emanaron montaas de libros. Fue tambin un jugador inveterano, siempre balancendose al borde de la prisin. Pero Cardano siempre sala bien parado. El Santo Padre lo pension solucionndole as sus problemas econmicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solucin de la ecuacin cbica.
Aunque Cardano jur mantener secreta la solucin de Tartaglia, la public unos cuantos aos despus, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte). Tartaglia, que haba estado a punto de escribir su propio libro, pas el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconoca el descubrimiento de Tartaglia. Tambin en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matemtico: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que muri a la edad de 43 aos, envenenado por su propia hermana. As como Tartaglia haba solucionado la cbica, de la misma forma Ferran, cuando todava estudiaba con Cardano, solucin de las de cuarto grado (con frmulas ms complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de las cbicas y las curticas, divulgando los dos avances del lgebra ms trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 aos antes.
En el Ars Magna, Cardano acept formalmente el concepto de los nmeros negativos y enunci las leyes que los rigen. Tambin anticip otro tipo nuevo de nmero que denomin ficticio o sofisticado. Tal fue la raz cuadrada de un nmero negativo, que es incluso ms difcil de comprender que un nmero negativo propiamente, ya que ningn nmero real multiplicado por s mismo da un nmero negativo. En la actualidad los matemticos llaman a la raz cuadrada de un nmero negativo nmero imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un nmero real, el resultado se llama nmero complejo.
Los matemticos posteriores han mostrado que los nmeros complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.
En gran parte debido a Cardano, la matemtica sali de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El xito de los matemticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna haba sobrepasado las conquistas de los antiguos.
Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportacin haba consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no haban tenido xito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedi en el siglo XVI, un siglo antes de la invencin de nuevas ramas de la matemtica: Geometra analtica y Clculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Despus de esto, no hubo matemtico importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y ms alto grado en forma anloga a los italianos, es decir, encontrando una frmula general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales.
El prominente algebrista del siglo XVII, Tschirnhausen (1651-1708) crey haber encontrado un mtodo general de solucin. Su mtodo estaba basado en la transformacin de una ecuacin a otra ms simple; pero esta sola transformacin requera de algunas ecuaciones auxiliares.
Ms tarde, con un anlisis ms profundo se demostr que el mtodo de transformacin de Tschimhausen, en efecto, da la solucin de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuacin de quinto grado se necesita resolver primero una ecuacin auxiliar de sexto grado, cuya solucin no era conocida.
El famoso matemtico francs Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solucin de ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771, (con ms de 200 pginas) crticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su poca y demostr que su xito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores.
Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, ms de dos siglos y medio haban pasado y nadie durante este gran intervalo haba dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar frmulas que envuelven slo operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin, exponenciacin y races con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la solucin de una ecuacin en trminos de los coeficientes, esto es, frmulas similares a aqulla por la que se haba resuelto la ecuacin de segundo grado en la antigedad y a aqullas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matemticos pensaron que sus fracasos se deban principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solucin. Lagrange dice en sus memorias:
El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es ms alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos.
Lagrange avanz bastante en la teora de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su poca y descubriendo nuevas relaciones entre esta teora y otras como la teora de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneci sin solucin y constitua, en palabras del mismo Lagrange, "Un reto para la mente humana".
Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 - 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuacin se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresin algebraica con dichos coeficientes que fuera solucin de la ecuacin correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los ms grandes matemticos de todos los pases para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el xito por la sencilla razn de que ste problema simplemente no tiene solucin.
Esas frmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales frmulas.Pero eso no es todo an. Un resultado extremadamente importante en la teora de las ecuaciones algebraicas esperaba todava ser descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que s se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad.
Resumiendo, despus del descubrimiento de Abel la situacin era la siguiente:
Aunque la ecuacin general de grado mayor que 4 no se poda resolver por radicales, hay un nmero ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que s se pueden resolver por radicales. La pregunta era cules ecuaciones s se pueden resolver por radicales y cules no? o en otras palabras: qu condiciones debe cumplir una ecuacin para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo ste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemtico francs Evariste Galois. (1811-1832).
A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de la matemtica y en particular dio la solucin al problema que quedaba pendiente en la teora de las ecuaciones algebraicas en un pequeo manuscrito titulado "Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales", que fue escrito en treinta y un pginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 aos.
En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier ecuacin de cualquier grado. El problema result ser ms difcil y ms profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creacin de nuevos conceptos, importantes no slo para el lgebra sino tambin para la matemtica en general. Para la solucin prctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:
Qued claro que una frmula general para las ecuaciones est muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad prctica a causa de las operaciones sumamente complicadas que se tenan que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo).
En vista de lo anterior, los matemticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son:
1. En el problema de la existencia de races (soluciones).
2. En el problema de saber algo acerca de las soluciones slo trabajando con sus coeficientes.
3. En el clculo aproximado de las races o soluciones de una ecuacin.
Polinomios
Para constantes en algn anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como R o C, en cuyo caso los coeficientes del polinomio sern nmeros) con an distinto de cero, para n > 0, un polinomio de grado n en la variable x es una expresin de la forma.
Las constantes se llaman los coeficientes del polinomio. A se le llama el coeficiente constante y a , el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mnico, siendo x un smbolo llamado indeterminada.
A los polinomios de
grado 0 se les llama polinomios constantes (excluyendo el polinomio cero, que tiene grado indeterminado), por ejemplo
grado 1 se les llama polinomios lineales, por ejemplo
grado 2 se les llama polinomios cuadrticos, por ejemplo
grado 3 se les llama polinomios cbicos, por ejemplo
Las Ecuaciones polinomiales de grado n son de la forma y nos interesar determinar el conjunto solucin de las ecuaciones lineales y cuadrticas.
En primer lugar pretendemos resolver ecuaciones que ya estn en lenguaje algebraico para luego dedicarnos al planteamiento de la ecuacin que le corresponde a problemas con enunciado.Ecuacin de primer grado
Una ecuacin de primer grado con una incgnita es una ecuacin que se puede poner bajo la forma cannica: donde a, b , con a 0, son nmeros que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los nmeros reales R o a los complejos C.
Para resolver la ecuacin lineal o de primer grado , usamos las propiedades de la estructura de cuerpo para despejar el valor de x.
Es interesante resolver una ecuacin de primer grado al interior de la estructura algebraica de cuerpo, sin embargo, despus de este trabajo podemos permitirnos ciertas licencias en su resolucin. El siguiente tecnicismo nos ayuda:
En el proceso de buscar el valor de x, es decir, en el proceso de despejar la incgnita x, las constantes que estn sumando en el miembro que contiene a x pasan restando a la expresin del otro lado de la ecuacin y, las que estn multiplicando pasan dividiendo y, al revs.La ecuacin anterior tiene la siguiente resolucin: , por ejemplo, al resolver la ecuacin tenemos:
Las ecuaciones de primer grado pueden aparecer, originalmente, en formas distintas a la original, y en realidad, sabemos de su condicin lineal cuando aplicamos una serie de procedimientos que conducen a dicha forma.
Pronto veremos como plantear ecuaciones, por ahora nos limitaremos a resolver una ecuacin planteado en lenguaje algebraico.Ejemplo 1
Resuelva la ecuacin
Solucin
Dejamos en el lado izquierdo de la ecuacin a todos los trminos que contienen a la incgnita x , obtenemos , es decir, , de donde .La verificacin de este resultado implica mostrar que al reemplazar x por en la
ecuacin original, sta ecuacin se convierte en identidad; tenemos
.Ejemplo 2Resuelva la ecuacin
Solucin
Esta es una ecuacin con productos y lo que debemos hacer es, desarrollar dichos productos; tenemos:
Ejemplo 3
Resuelva la ecuacin
Solucin
Esta ecuacin es una ecuacin fraccionaria y la convertimos en una ecuacin con productos amplificando por el mnimo comn mltiplo que, numricamente es igual al mnimo comn denominador.
El mnimo comn mltiplo de 6,8,12 denotado es el menor nmero que contiene a los nmeros 6,8,12 , para determinarlo descomponemos a los nmeros como producto de nmeros primos y tal MCM es el producto de los primos con mayor potencia, en el ejemplo: como ; ; entonces ; tenemos:
(amplificamos por 24)
EMBED Equation.3
(ecuacin con productos)
Ejemplo 4
Solucione la ecuacin
Solucin
Aparentemente la ecuacin no es de primer grado, sin embargo, al desarrollar el cuadrado de binomio..
Ejemplo 5Resuelva la ecuacin ;
Solucin
El mnimo comn mltiplo es ; tenemos:
Ejemplo 6
Resuelva la ecuacin
Solucin
Estamos frente a una ecuacin con una fraccin de fracciones; tanto el numerador como el denominador se deben transformar a una fraccin, para empezar, tenemos:
Ejemplo 7
Resuelva la ecuacin
Solucin
El mtodo consiste en resolver las fracciones paso a paso, desde abajo hacia arriba:
(Observe )
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Ecuacin de segundo grado
Una ecuacin de segundo grado con una incgnita es una ecuacin que se puede poner bajo la forma cannica: donde a, b y c, con a 0, son nmeros que pertenecen a un cuerpo usualmente a los nmeros reales R o a los complejos C.
El caso generalSea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer races cuadradas.
En este cuerpo, es posible factorizar por a (con a 0), y las siguientes identidades son vlidas:
Para resolver la ecuacin , debemos factorizarla en dos binomios de primer grado:
( 1 )
Sea y entonces la expresin ( 1 ) queda
Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce un trmino que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1). El nmero d es una de las dos races del discriminante . Se utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si y slo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio de ntegridad), lo que da las soluciones:
La igualdad: da, al desarrollar el segundo miembro e identificar los coeficientes: es decir, si conocemos las races de une ecuacin de segundo grado y ellas son entonces la ecuacin es .El caso cuerpo de los nmeros realesSi a, b y c son nmeros reales, el raciocinio anterior es, por supuesto, vlido, pero es prctico distinguir dos casos, segn el signo del discriminante :
Si , entonces para d se puede tomar su raz cuadrada, y las soluciones son:
Si , entonces ni ni la ecuacin tienen races reales. Es preciso emplear nmeros complejos: para d se puede tomar la raz cuadrada de -, multiplicado por i (que verifica ), pues:
y las soluciones son:
Segn los signos de y el signo de a , la curva asociada a la funcin cuadrtica se posiciona como se muestra en la figura adjunta, con relacin a los ejes:
Ejemplo 8Solucione la ecuacin
EMBED Equation.3 Solucin
Basta con desarrollar el parntesis para reconocer la ecuacin como cuadrtica.
Si nos damos cuenta que el trinomio se factoriza por entonces la ecuacin queda de donde as,
Otra forma es aplicar la frmula para resolver una ecuacin de segundo grado, tenemos:
En reconocemos de donde la frmula se convierte en , es decir,
, as,
Ejemplo 9Solucione la ecuacin
Solucin
Es una ecuacin con productos; desarrollando estos productos obtenemos:
(ecuacin incompleta pura )
Ejemplo 10
Resuelva la ecuacin Solucin
Esta ecuacin es fraccionaria y el mnimo comn mltiplo es , tenemos
(amplificando por )
(ecuacin con productos )
de donde as,
Ejemplo 11
Solucione la ecuacin
Solucin
Estamos frente a una ecuacin fraccionaria, sin embargo nos damos cuenta que es una proporcin, entonces, como el producto de los medios es igual al producto de los extremos tenemos:
, si desarrollamos los productos
obtenemos la ecuacin , es decir,
.
Si le damos la forma general conseguimos; los coeficientes son muy grandes, pero cada uno de ellos es divisible por 25, al simplificar la ecuacin por 25 tenemos .Como entonces las races de la ecuacin son .Naturalmente que puede aplicar la frmula pero tendra ms clculos.
Ejemplo 12
Resuelva la ecuacin
Solucin
Esta ecuacin fraccionaria tiene como mnimo comn mltiplo al polinomio , tenemos:
Podemos aplicar la frmula de la ecuacin de segundo grado obteniendo
, as,
Ejemplo 13
Resuelva la ecuacin
Solucin
En este tipo de ecuacin conviene usar una variable auxiliar.Sea entonces y , reemplazando en la ecuacin original
obtenemos , que es una ecuacin de segundo grado en y
Volvamos ahora a la incgnita x
; .Relaciones entre coeficientes y races de la ecuacin de segundo grado
Sabemos que, a igualdad: da, al desarrollar el segundo miembro e identificar los coeficientes: es decir, si conocemos las races de une ecuacin de segundo grado y ellas son entonces la ecuacin es .
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 14Determine la ecuacin de segundo grado cuyas races son
Solucin
La ecuacin es , reemplazando los datos obtenemos
, desarrollando los parntesis conseguimos la ecuacin .Ejemplo 15Encuentre una ecuacin de segundo grado cuyas races sean los cuadrados de las races de la ecuacin , sin resolver esta ltima.
Solucin
Sean las races de entonces se cumple
La ecuacin pedida es .Debemos expresar en funcin de ; tenemos:
As, la ecuacin pedida es , es decir, .Ejemplo 16Determine para que la ecuacin tenga races iguales.Sean las races de entonces .
Solucin
Como el enunciado indica que las races son iguales entonces .
Como , reemplazando en la segunda ecuacin obtenemos , de donde .La ecuacin es con raz doble igual a .Ejemplo 17Considere la ecuacin .Determine la ecuacin de segundo grado que tiene por races los valores reciproco de la ecuacin dada.
Solucin
Sean las races de la ecuacin , entonces se cumple .Como las races de la ecuacin pedida son entonces la ecuacin es
.Debemos expresar en funcin de y de .Como y entonces la ecuacin buscada es
es decir,
Ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadrticas
La ecuacin bicuadrada , que no tiene trminos de grado impar, se resuelve al hacer el cambio de variable ,entonces la ecuacin quedar como una de segundo grado
La resolvemos, y entonces desechamos las ya que no dan solucin en las x pero las positivas nos darn dos valores de x ;
Ejemplo 18
Resuelva la ecuacin
Solucin
Con el cambio de variable , la ecuacin queda , entonces de donde , sin embargo queremos los valores de x,
tenemos: y de donde .Ejemplo 18Resuelva la ecuacin
Solucin
Resulta inmediato usar la variable auxiliar , con esto la ecuacin original queda , al factorizar obtenemos de donde las dos soluciones son .
Volviendo a la variable x producimos las dos ecuaciones: ; .
Ecuaciones con racesHay veces que nos encontraremos con ecuaciones que tienen la x dentro de races cuadradas o de mayor ndice, para solucionarlas hay que aislar las races una a una y elevar a potencia igual al ndice de la raz.
Al elevar a potencia y buscar la solucin, aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar a potencia para eliminar las races), debemos seleccionar las soluciones que son solucin de la ecuacin original, debemos hacer la comprobacin en la ecuacin inicial.
Ejemplo 19
Resuelva la ecuacin
Solucin
Despejamos la raz y luego elevamos al cuadrado para eliminar tal raz, tenemos
Comprobacin
Si entonces , de donde, es solucin de la ecuacin original.
Si entonces , de donde, es solucin de la ecuacin original.Ejemplo 20Resuelva la ecuacin
Solucin
De la ecuacin original despejamos la primera raz, obtenemos (podramos haber despejado la segunda raz).Si elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuacin (para eliminar al menos una de las races obtenemos , es decir,
; en esta ecuacin despejamos la raz que persiste, tenemos: , al elevar al cuadrado conseguimos es decir, , de donde .
Comprobacin:
Si entonces , as, es solucin de la ecuacin original.Si entonces , as, no es solucin de la ecuacin original.Ejemplo 21Determine el conjunto solucin de la ecuacin .
Solucin
Debemos verificar la solucin encontrada en la ecuacin planteada; reemplacemos x por 3 en ; tenemos:
, as, la ecuacin no tiene solucin.Ejemplo 22
Resuelva la ecuacin
Solucin
Si elevamos al cuadrado para eliminar la raz cuadrada, tendramos:
Esta es una ecuacin un poco ms complicada ya que es una ecuacin donde no podemos, inicialmente, encontrar una sustitucin fcil que baje el grado. Sin embargo, con algunas ayudas como: races racionales, regla de los signos y otros se podra solucionar.
Intentemos la sustitucin , entonces la ecuacin original queda
. Tenemos
Hemos producido las dos ecuaciones: ,
Verifiquemos las posibles races
Para tenemos
Para tenemos
Para tenemos
Por otro lado
EMBED Equation.3 Para tenemos
Por otro lado
As las races son
Ejemplo 23Resuelva la ecuacin
Solucin
En realidad la ecuacin de cuarto grado tiene 4 races: dos races reales y dos races complejas. Este tema se puede profundizar al estudiar el Anillo de los polinomios.Problemas de Planteo
Existe una gran cantidad de problemas que se pueden resolver por medio de ecuaciones, escribiendo los datos con el uso del Algebra bsica.
Para resolver un problema se recomienda: Leer atenta y comprensivamente el enunciado del problema.
Identificar la incgnita y los datos que se utilizarn en la solucin.
Relacionar los datos con la incgnita planteando una ecuacin.
Resolver la ecuacin con el apoyo de algunas tcnicas elementales. Analizar la solucin de la ecuacin para decidir si corresponde a una posible
solucin del problema.
Declarar la respuesta en el contexto del problema.Aprendamos, con la solucin de algunos problemas que nos servirn como gua para otros equivalentes o mezclas de estos.6.1. Problemas Resueltos
1)Escribir una expresin algebraica asociada al siguiente enunciado.
a)La mitad de los alumnos en la sala, ms diez. Sea x el nmero de alumnos en la sala, entonces la mitad ms diez se escribe .b)El triple de un nmero ms el 25% de l. Sea x el nmero, entonces la expresin algebraica que le corresponde es ; naturalmente que puede escribir .c)La suma de las edades de Juan y Mara es 50 aos; escriba una expresin para cada uno de ellos, en funcin de la edad de Juan.
Si x es la edad de Juan, entonces es la edad de Maria
d) La suma de dos nmeros multiplicada por su diferencia. Sean x e y los nmeros, entonces el producto de su suma por su diferencia se expresa: .e)Sumar el triple de un nmero con el doble de su cubo. Si a es el nmero, la situacin descrita se escribe:
f) Sumar el cuadrado de un nmero con el cubo de su duploSi x es el nmero, la situacin ahora se escribe:
g)Escribir tres nmeros enteros consecutivos. Si n es un nmero entero, la situacin descrita se puede escribir:
o .h)Un viajero debe recorrer a km. y ha recorrido b km. Cunto le falta por recorrer? Le falta km. por recorrer.
i) Pedro recibe por un trabajo y de mesada . Con todo el dinero alcanza a comprar revistas. Si todas las revistas tienen el mismo valor, cunto le cost cada una? .
Cada revista le cost .2)En un gallinero hay 5 pavos ms que gallinas y 3 patos ms que pavos. Si en total hay 49 aves, cuntas gallinas, pavos y patos hay?
Solucin:Sea x el nmero de gallinas, entonces, de los datos concluimos:
el nmero de pavos es y el nmero de patos es
Como en total hay 49 aves podemos plantear la siguiente ecuacin:
, de donde , as,, en consecuencia, hay 12 gallinas, 17 pavos y 20 patos.3)La suma de tres nmeros enteros consecutivos es 63. Hallar los nmeros.
Solucin:
Conviene declarar a los nmeros por . Del enunciado del problema tenemos:
, luego , entonces los nmeros que satisfacen la condicin son: 20,21,22.4)A las 8.00 horas Pedro (L) sale desde cierta ciudad y viaja al Sur a 60 . Una hora ms tarde Juan (V) sale detrs de l viajando a 80 . Cundo alcanza Juan a Pedro?.
Solucin:El problema se resuelve con ayuda de la frmula: , donde v=velocidad, t = tiempo, R = recorrido, asumiendo que la velocidad es constante.
Sea Nmero de horas despus de las 8.00 en que Juan alcanza a Pedro, entonces, el nmero de horas que conduce Pedro es x y el nmero de horas que conduce Juan es .Como la distancia recorrida por cada una de las personas es la misma y dado que lo recorre Pedro es y lo que recorre Juan es entonces la ecuacin que se produce es .Puesto que la solucin de la ecuacin es concluimos que Juan alcanza a Pedro a las 12.00 horas.5) La suma de tres nmeros pares consecutivos es 102. Hallar los tres nmeros. Solucin:Si escribimos el primer nmero par entonces los pares consecutivos son
. Como la suma de los tres nmeros es 102, la ecuacin que se produce es , al resolverla obtenemos, por lo tanto los nmeros buscados son 32, 34, 36
6)El permetro de un rectngulo es de 100 m. Si el largo se aumenta 5m y el ancho se disminuye 10 m, su rea disminuye en 250 . Calcular sus dimensiones.
Solucin
Sea x = largo en metros, y = ancho en metros., entonces el permetro del rectngulo es de donde el semipermetro es ; de esta ltima relacin concluimos que si el largo es entonces el ancho es , de donde el rea del rectngulo es
El nuevo rectngulo tiene de largo y de ancho, de donde su rea es
Como el rea de este ltimo rectngulo disminuye en 250 entonces la ecuacin que se genera es
Al resolver la ecuacin obtenemos
7)La edad de Pedro es el doble de la edad de Mara. Si en cinco aos ms la suma de sus edades ser 43 aos, qu edad tienen actualmente? .
Solucin:
Sea x la edad actual de Mara, entonces la edad actual de Pedro es 2x
En cinco aos ms las edades de Mara y Pedro sern y respectivamente y como en tal evento la suma de sus edades sumaran 43 aos entonces, la ecuacin que se produce es . Al resolver la ecuacin obtenemos , de donde, la edad de Pedro es actualmente 22 aos y la de Mara es 11 aos.8)Un estanque se llena con la llave A en 3 horas y con la llave B en 5 horas. Cunto tardar en llenarse si se abren simultneamente las dos llaves?.
Solucin:Si con la llave A tarda 3 horas en llenarse, entonces en 1 hora se habr llenado slo del estanque.
Si con la llave B tarda 5 horas en llenarse, entonces en 1 hora se habr llenado slo del estanque.
Llamemos x al tiempo que tarda en llenarse con ambas llaves abiertas, entonces en 1 hora se habr llenado slo de estanque.
Podemos entonces plantear la ecuacin , la cual es equivalente a , es decir, .El estanque demora 1hora con 52,5 minutos en llenarse con las dos llaves abiertas.9)El arte de plantear ecuaciones. El idioma del lgebra es la ecuacin. "Para resolver un problema referente a nmeros o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del ingls u otra lengua al idioma algebraico, escribi el gran Newton en su manual de lgebra titulado Aritmtica Universal. Isaac Newton mostr con ejemplos cmo deba efectuarse la traduccin. He aqu uno de ellos:
En la lengua verncula: En el idioma del lgebra:
Un comerciante tena una determinada suma de dinero x
El primer ao se gast 100 libras x - 100
Aument el resto con un tercio de ste
Al ao siguiente volvi a gastar 100 libras
y aument la suma restante en un tercio de ella
El tercer ao gast de nuevo 100 libras
Despus de que hubo agregado su tercera parte
el capital lleg al doble del inicial
Solucin:
Para determinar cul es el capital inicial del comerciante no queda ms que resolver la ltima ecuacin. La solucin de una ecuacin es, con frecuencia, tarea fcil; en cambio, plantear la ecuacin a base de los datos de un problema suele ser ms difcil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernculo a la algebraica". Pero el idioma del lgebra es lacnico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fcil traduccin. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuacin de primer grado expuestos.
10)La vida de Diofanto La historia ha conservado pocos rasgos biogrficos de Diofanto, notable matemtico de la antigedad. Todo lo que se conoce acerca de l ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripcin compuesta en forma de ejercicio matemtico. Reproducimos esta inscripcin:
En la lengua verncula En el idioma del lgebra:
Caminante! Aqu fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los nmeros pueden mostrar, oh, milagro!, cun larga fue su vida, x
cuya sexta parte constituy su hermosa infancia.
Haba transcurrido adems una duodcima parte de su vida, cuando de vello cubrise su barbilla
Y la sptima parte de su existencia transcurri en un matrimonio estril.
Pas un quinquenio ms y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primognito, 5
que entreg su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que dur tan slo la mitad de la de su padre
Y con profunda pena descendi a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro aos al deceso de su hijo
Dime cuntos aos haba vivido Diofanto cuando le lleg la muerte.
Solucin:
Al resolver la ecuacin y hallar el valor de la incgnita, 84, conocemos los siguientes datos biogrficos de Diofanto: se cas a los 21 aos, fue padre a los 38, perdi a su hijo a los 80 y muri a los 84. 13)La manada de monos Otro de los problemas indios puede ser presentado en verso tal y como fue traducido por Lbedev, autor del excelente libro Quin invent el lgebra? Regocjanse los monos divididos en dos bandos: el cuadrado de su octava parte en el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo estn Sabes cuantos monos hay en la manada, en total?Solucin:
Si el nmero total de la manada es x, entonces: de donde
El problema tiene dos soluciones positivas: en la manada puede haber 48 y 16 monos. Las dos soluciones satisfacen por las condiciones del problema.
11)Las aves de la orilla En las obras de un matemtico rabe del siglo XI hallamos el siguiente problema:
A ambas orillas de un ro crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pjaro. De sbito los dos pjaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pjaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. A qu distancia del tronco de la palmera mayor apareci el pez?
Solucin
Mediante la figura adjunta y aplicando el teorema de Pitgoras, establecemos:
y por otro lado
Pero , por cuanto los pjaros cubren esta distancia en un mismo tiempo entonces , al quitar los parntesis y simplificar obtenemos la ecuacin de donde
El pez apareci a 20 codos de la palmera que tena 30 codos de altura
12) El enjambre de abejas
En la antigedad estaba muy extendida en la India una diversin singular: la solucin de rompecabezas en competiciones pblicas. Los manuales de matemticas de ese pas contribuan a la celebracin de tales campeonatos de clculo mental. "Aplicando las reglas aqu expuestas -escriba el autor de uno de dichos libros -, un hom